07.二维随机变量（仅离散型）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:52:31

正准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的三九六的概率论的基础班部分内容，那么上次过程当中啊，我们刚好是把这个第二章快讲完了。那么，接下来过程当中，我们来把这个之前部分内容我们稍微给同学们做一个串联，因为这两天过程当中我收到很多同学的私信，对吧？

呃，这个进入到概率论的学习啊，有些同学可能这个从高等数学，然后到这个概率论呢，两个部分的契合点呢，没有自己衔接好。那这里面当中的话，觉得这个自己做题的过程当中，稍微的会吃力一点，但是你要注意一个事情，这个概率论呢，要比高等数学要简单的多。但是关键点一个问题啊，你到底有没有切进去？所以接下来过程当中，

我们来把呃上每章第二章的重点内容啊，我们先做一个回顾。那么，其实在第一章的过程当中啊，你发现一个事情核心重点，其实三个事情，一个事情是随机时间，他们的关系和运算你下去得多进行去复盘，对吧？哎，什么样的关系，有什么样的运算，有什么样的运算率，你再把它掌握清楚，然后接下来过程当中就是概率公式，

那概率啊，它的五大公式，其实你发现细节的一点点应该是七个公式。那这七个公式啊，有没有把它记清楚？如果把这些公式都记清楚了之后，然后再把这个公式啊加以应用，那就可以了。好，这是我们讲的这个第二个问题，然后就是第三个事情，三大概型古典概型还有几何概型，还有伯努利事件。n次伯努利事件n重的伯努利事件，我们把它叫做什么？

二项分布事件啊，二项分布事件的话，你发现到了第二章过程当中，我们刚好学到二项分布。所以说这个内容啊，难度系数都不大了，好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看第二章为什么要重点来进行去看第二章呢？第二章是我们概率论当中啊，最重要的一章。我们不像这个数学一和数学三啊，他们还在这里面当中学习这个第三章是重点，第三章要比第二章难，但是我们的第三章只学一个内容。

所以说非常的简单，那么这节课我们的任务点不是说特别多，但是要注意啊，这节课的操作性要比上节课和上上节课要强一点。所以说这节课啊，好好听，那么接下来过程当中啊，我们一起来看看上章部分的核心重点，学了几个事情呢，首先第一个事情叫分布函数。那这是我们在这里面当中学习的第一个问题，我先说一下呃，接下来过程当中，你按照这个框架，你跟着我一起来走一遍。

听懂我的意思吗？啊，有同学今天生日是吧啊，生日快乐嗯，好加油对吧啊，好了，那么接下来过程当中，我们就继续我们再来看。那么，在这章过程当中啊，你好好跟着我梳理一遍，听懂我的意思吗？哎，我在这里面当中啊，这节课过程当中我没有提前敲出来。

我的目的性非常简单，我就希望同学们跟着我一起来把第二章的核心框架，然后把它梳理清楚，那么在这种当中学习的第一个问题就是分步函数。呃，在这种当中，我们要大意啊。这第一个点分布函数，然后紧接着的话，你发现一个事情，我们又学习了，第二点，第二点叫什么叫做离散型随机变量？啊，离散型。

离散型随机变量。这是我们学习的第二个问题，然后第二个问题学完了之后，那么接下来过程当中，我们再来看看第三点那么叫什么叫连续型随机变量？啊，随机变量，这是我们学习的第三个点，然后学习完第三个点，我们又学习第四个点叫做什么常见的分布？对吧，然后到了这个第五个点就是我们这节课过程当中啊，要学习的新内容叫做随机变量。函数的。所以说在这章过程当中，

你如果说这个部分的核心框架就这五个知识点，我们学习一年啊，就学这个内容。所以我觉得这个基础班应该是能把它攻克下来的，基础班就能达到这个问题的巅峰。因为只学这五个内容，然后在这五个内容当中，我们一个一个看，我们先来看看分布函数，分布函数又学几个内容呢？第一事情它的定义。这个内容非常的关键分布函数的定义，对吧？这是一个事情，然后紧接着我们再来看看第二事情叫做分布函数的性质。

也就是判定方法，第三个事情，他这个人呐，与概率之间的关系。的关系核心重点的话，你发现我们就研究这三个问题，第一，性质与概率之间的关系好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看。因为这节课过程当中，我们将会学一个内容，所以说这节课的东西啊，一会儿我就会讲，所以说接下来过程当中，

我们把这个定义啊，稍微的拓展一点。大家好好听啊，这个定义怎么说的呢？你发现看如果这个东西是x这个随机变量的分布函数。每个随机变量的分布函数，它在这个点处的值，它在这个点处的值，就等于这个随机变量小，于等于这个点处的概率。大家注意一个事情啊，你要想清楚这个问题。谁的分布函数在这点处的值就是谁小于等于这个点的概率，所以说你会发现有的时候我们这样写，我们还可以这样写。

怎么写呢？你要听清楚啊，你看我们有的时候在这个分布函数，你看这是个自变量吧，我在这儿会写个大x。我在这儿写个大s，什么意思啊？大家注意一个事情，这个东西啊，我们把它叫做主权。啊，你要听清楚主权什么意思呢？那这个东西的意思就是非常简单，我想说明你。是我大x的分布函数，

你不是别人的，你是我大x的分布函数。然后这里面当中的这个小S呢？小S表示这个函数的自变量。你看吧，这东西是个主权，那么然后怎么定义呢？谁的分布函数啊x的分布函数在这个x处值就是x这个随机变量。小于等于这个人的概率加和。你看这个人，所以同学们一定要听清楚啊，这个东西啊，我在这写个大S。表明了主权，那么接下来过程当中，

我看你学会了没？请告诉我事情，这里面当中有两个符号，一个是大S符号。一个是小S符号，哪个人可以改啊？你可以改变谁啊？哪个符号？你可以改一下。你可以改谁？大的还是小的？你你写个s，我也不知道是谁呀，大的还是小的？大家注意小的。

只能改变小的，为什么小的这个人是自变量一个函数的，结果跟自变量的选取没有关系，你可不能改大的。为什么呢？这个大S表明的是主权，你是大S，这个随机变量的分布函数，你不是别人的，你是大S的，你要换成y的话就变成了别人的分布函数了。所以同学们注意啊，你可以换这个人。你把它换成t。x这个随机变量的分布函数在t处的值就是x这个随机变量小于等于t的概率。

能理解我的意思吗？那以前过程当中，我为什么不在这里面当中写这个大S呢？非常的简单，因为我就知道你是大S这个人的分布函数，我就不写了。但是有的时候你发现既有大S的分布函数，也有什么东西呢？也有另外一个随机变量的分布函数，比如说y这个随机变量的分布函数。那这个时候你发现为了区分开，你是谁的分布函数，我就在这里面当中写了。能理解吧诶，你发现一个事情，

比如说你在y处的值，它就等于多少就等于这个随机变量小于等于y的概率加和。能理解吧，好注意一下这个事情啊，你发现一个事儿，这个符号表明了主权。一定要听清楚哪个分布函数，对吧？谁的分布函数在这个点处的值就是谁小。小于等于这个点概率的价和。哎呀，这样一选，你发现一个事情，你就达到这个问题的巅峰了。所以同学们，

你想想一个事情，谁是进行去挂钩这个分布函数的概率？你要注意这个分布函数啊。就这个人。这个人是跟概率挂钩的，因为分布函数是用概率进行定义的啊，这个事情一定要想清楚啊，这个内容很重要。对吧，非常重要，你学会了吗？你要想清楚啊，这个东西表明什么？这个东西表明主权。如果接下来过程当中你写一个y的分布函数呢？

在什么东西在a处的值，它就等于多少y这个随机变量小于等于a的概率的加和。啊，这个非常重要，这个定义很重要。好，这是这样写的，然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，我们再来讲讲性质。那么，性质这个东西具有几个性质呢？一定要听清楚分布函数具有四个性质，第一事情那就是这个分布函数。它是大于等于零，

小于等于一的第二事情，这个分布函数在正无穷等于一，分布函数在负无穷等于零。然后接下来分布函数具有又连续的性质，分布函数具有单调不减性，其实就是单调递增。他说老师单调不减，不是单调递增啊，我说类似嘛，哪有那么多的单调不减啊？哪有那么多的部件呢？其实你发现大部分都是单调递增，能理解我的意思吗？好注意一下这个事情啊，非常的关键。

好，这是一个分布函数，所以说分布函数具有四个性质，你发现这是不是个出题点啊？那么，这里面当中，我们做这种题做的太多了，所以说我们对于三九六同学啊，你去学复习这个概率论呢，难度系数真不大。有的时候你发现难题的话，基本上出在这个高等数学当中。你像这个概率论真的不难，你学一年的过程当中，你数都能数清，

你掰着你的大拇指，你都能数清，我们在概率论当中会能考哪些部分的题型？来来回回就那几个，你把这个概念梳理清楚了之后，用这个概念去处理问题，非常的简单。说给的四个函数，说哪个人是它的分布函数啊？你就检验呗，满足这四条，你就是分布函数。不是说给你一个函数就是分布函数，要想是分布函数必须要具备四个性质充要条件，然后接下来过程当中概率的关系是不是又会进行出题啊？

你看这是第二个题。那这人的话，你发现我们只需要考虑两个人，一个事情是什么？如果是小于等于。对吧，你这个随机变量小于等于a，就是你这个人的分布函数在a处置，如果你知道那个函数就是s分布函数，你就不要写了。那么再来看，如果是x这个人小于a的数值就是什么情况？就是你发现这个x的分布函数哎，你看在a处的左极限。你就掌握这个问题，

那么这些内容在脑子里面吧，如果你把这个知识点你掌握清楚了，你发现这个内容又过去了。啊，非常简单了，所以说同学们注意啊，我们这个基础班呢，跟强化班之间的一个非常重要的一个衔接点是何处呢？你发现这个基础班，我们能够把大纲要求的所有核心考点至少一个一个的攻克下去，然后到了强化班过程当中，我们核心重点是在做题型。啊，就是在做题型。呃，

最近两天呢？因为这个我最近也在选这个封面啊，对吧？也也是他们给了好多封面，然后的话，这个我们三九六同学的话也会。这个最近书稿的话，确定这个封面，还有确定这个最后的底稿也是我最近在做的最最重要的事情啊。然后的话，这个暑假过程当中啊，你就会收到这个呃，正式的这个出版物的这个书啊，所以说这个呃，最近我也在想想我们这一套书的话，

你发现用什么颜色啊？后面过程当中，我们再说吧啊，所以说同学们注意这个暑期过程当中啊的强化班核心重点在干什么呢？我们的重点就是在干一个事情。就是训练题型，把每个题型给我练烂。你看基础班的时候，有些同学说啊，我遇到这个题型没有快速反应，那强化班过程当中啊，你发现一个事情，你就要有快速反应，你见到这个题型知道怎么做？诶，

定式思维能力。超强的定时思维能力，超强的技巧性，这就是我们三九六同学的考题。好了，这个事情我们就说到这能理解吧，好，那么接下来过程当中我们再来看看第20题。离散型随机变量，你看又来了。那么，离散性随机变量我们都能梳理清楚，那这里面当中有几个考题呢？那其实你发现不就是三个事情吗？但是你要注意啊。

第一件事情求解分布律。我再来强调一遍，离散型随机变量最重要的问题是什么呀？最重要的东西是分布率，连续型，随机变量。最重要的东西是什么呢？连续型，随机变量。最重要的东西是概率，密度函数。所以说大家注意啊，你的核心重点是分布率，什么叫分布率啊？分布率就要知道，

它的取值就要知道，它们对应的概率。这就叫做分布率，而连续型随机变量呢？连续型随机变量最重要问题是概率密度函数。你有概率密度函数，你才是一个连续性随机变量，这就是这两个类型问题当中的一个区别点。你是离散型，你必须要拥有分布率，你是连续型，你必须要拥有概率密度函数。那么，在这种当中，我们来看看第一个事情分布率，

你要知道你怎么去做呢？非常的简单。第一件事情我要知道，哎呀，你的所有可能取值。这是你的取值第二件事情，你要把所有对应的概率确定下来。那这里面当中具有两个性质，第一事情每个点处的概率呢，大于等于零，第二事情所有概率相加和结果等于一。对吧，这两个基本点，每个点处啊，大于等于零，

然后所有相加啊，等于一，这就是分布率，然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情。你发现它的分布函数吧。随机变量。它的分布函数怎么求解？那么，给的分布率怎么去求解分布函数呢？我们说拉条线把每个点点上，哎，往后走，往后走，往后走。

我相信你能理解清楚这个人的分布函数具有什么特点呢？他这个人的分布函数啊，一定要注意，如果是离散型随机变量的分布函数。它必须是什么？每一段都是常数。对吧，它的每一段都是个常数，如果从图像上走向而言的话，它就是一个阶梯状。阶梯状每一段都是个常数，哎，这是它的一个突出性特点，你要注意啊，那么接下来过程当中我们再来看看连续性随机变量的分布函数呢？

连续型随机变量的分布函数必须是连续的。这是你要注意的问题。所以说如果有一个题的话，你发现它是分布函数，它又不连续，它又不是阶梯状，那它就是既非离散也非连续的分布函数。你这是要注意的，你要区分开，如果你是离散型，随机变量，分布函数，你必须每段是常数，你是个阶梯状。如果你是连续性随机变量分布函数，

你必须是连续的，你要不连续也不是阶梯状，你就是既非离散也非连续的分布函数。你要注意一下这种考题，这是我们今年过程当中可能会出题的点，要小心一点啊，好了，这是我们在这里面当中讲解的事情。然后接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题，连续性随机变量，这可太重要了。第一，事情概率密度函数怎么定义的？那怎么进行去定义的呢？

概率密度函数是跟分布函数挂钩的。对吧，这个分布函数的话就是随机变量小于等于这个点的概率，小于等于这个点的概率，我就从负无穷到x对这个人进行计分。你看上次过程当中，我们去讲那个习题啊，然后有些同学又会出现了一些问题，你比如说举个例子啊，知道概率密度函数，求分布函数能不能做烂？会走吗？你知道这个概率密度函数，求这个分布函数，你不就是把概率密度函数那条线拉出来，

然后把它改成ft，然后从永远从这个点，对吧？从负无穷开始走走走。你就把这个事情给我练烂。你明知道考研过程当中，它会考。你发现不听话，你上课的东西一定要把它消化到位再去做题。通过做题反哺我们上课过程当中讲解的知识点，你不然的话，我觉得做题没有任何意义好，这是这个事情，然后接下来过程当中，我们再来看第二事情。

概率密度函数的性质。的性质那么同学们想想一个事情概率密度函数，如果你是个概率密度函数，你必须要具备几个性质啊。两个性质，一个事情叫什么非负性，一个事情叫什么归一性，你看又是一个考题吧，比如说我给你了个概率密度函数，我让你去进行求解它的参数。先看看非不非负，然后第二事情看看归不归一，你发现做烂又是这个内容。对吧，你发现一个事情，

你做烂都是这个知识点。所以大家注意啊，这个概率论套路性太强了。所以说它很简单。你实在是套路性，就这就这些考题，你只不过要不然把被积分函数出的稍微的难一点，但是你发现题目当中的内容就是这样。无论怎么样，就是这样。那么，接下来过程当中告诉我事情，请问一个点概率密度函数有没有意义啊？大家注意一点，概率密度函数无意义。

注意啊，无意。没有意义，一个点概率密度函数有什么意义？概率密度函数只需要保证非负，只需要保证归一就行。只要保证从负无穷七到正无穷，那个整个积分区域的面积等于一就行，这就是我们在这种当中啊，所有的讨论。那么一个点有什么意义？没有什么意义啊，一个点不在乎的，哎，这是一个重点，

你这节课好好梳理啊，我们这节课等于是一节梳理课。然后这节课过程当中有两个知识点，一个事情我们会把二维的离散型讲完，一个事情我们会把一维连续型随机变量的函数分布把它讲完。所以有些同学的话，你发现之前没有串起来的，你这节课好好听哦。好，这是这个事情，大家注意概率密度函数，如果你是个概率密度函数，你要注意的事情，你只需要保证一个事情。什么事情呢？

就是你要注意一个问题就行，你就只需要保证哎，每个点大于零。然后这个积分区域等于一就行。对吧，只要这个积分区域的这个积分结果是一它就行了，那所以说比如说举个例子，我把这个点给挖掉，我点到这儿行不行？可以啊，我积分你看每个点也是大于零，我这个积分的这个区域的面积仍然还是一，所以没有任何关系的一个点，没有任何意义。好了，

那么接下来过程当中，我们再来看第四个点。连续性。随机变量。啊，随机变量。它的分布函数。是连续的。大家注意，这是一个内容。连续型随机变量的分布函数一定是连续的，所以说一个点的概率是等于零，然后接下来过程当中我们再来看看第五个事情求解概率呢？对吧，你怎么去求概率啊？

如果你是个连续性随机变量，怎么求概率？要不然去积分？对概率密度函数去积分，要不然怎么办？分步函数直接做差。连续型随机变量的分布函数不光左连续，而且右连续不光右连续，而且左连续，所以说以前过程当中像什么啊，这个点只是减那个点左极限，那这个点左极限减那个点左极限，现在都不用。就是端点值缩长，这就是连续性随机变量的魅力，

为什么？因为它的分布函数是连续的。对吧，它是连续的，以前只是又连续。所以说现在是连续的左右极限都等于函数值。好，这是我们在这种当中介绍的问题，能想清楚吧？你还记得我画的那个框架图吗？所以有些同学这个不会学习，对吧？一直感觉的话，我有好多题没有做。不是说你题做的越多，

你成绩就越好，不是这样子的，你关注点的一个问题，你做题有没有把上课的知识点进行去消化？那所以在这里面当中，如果你每当做一个题的时候，你发现大脑一片空白，你不知道这个东西在考什么，那这个时候你做题是失败的。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看下一个问题，常见分布那么常见分布这个东西啊，非常关键这个人。那么，

常见分布的话，那么接下来过程当中，我们就继续看常见分布，那这个东西是什么呢？你要注意啊，这个内容必考。这个东西啊，其实就是如果是离散型。离散型。你要注意，如果是离散型，我告诉你这个常见分布，其实你发现就告诉了你什么东西啊，告诉了。你分布率。

哎，不是吗？所以说在这个当中啊，你发现一个事情，这个内容，它其实你发现一个事儿，它在告诉你分布率。我说你是零一分布哦，我就知道它分布率长什么样子，我说你是二项分布哦，我知道你分布率长什么样子，我说你是泊松分布哦，我知道你分布率什么样子。知道分布率，不就知道它的取值对应的概率吗？

我告诉你几何分布，我就知道分布率什么样子，那所以说在这里面当中，你要注意几个事情，第一个事情这里面当中的零一分布。对吧，然后第二事情二项分二项分布考研重点啊，对吧，然后接下来过程当中第三个事情泊松分布。然后最后一个事情几何分布。所以其实你发现我告诉了你离散型，我的常见分布，我说你是什么分布，我就告诉你分布率。对吧，

那这是第一事情，然后第二事情连续性的，如果是连续性的话，你发现我告诉你常见分布，我就相当于告诉了你。哎，你概率密度函数。所以同学们注意一个事情，给的分布率。其实就能求概率了，给了概率密度函数就是能求分啊，就是就是也能求概率了。所以在这里面当中啊，你发现一个事儿，我们去学习这个概率论部分内容啊，

其实就有三个事情，第一事情求概率。第二，事情求分布。第三个事情其实就是求解它的一个数字特征，期望方差，斜方差相关系数，但我们只学前两个。所以你要注意概率论，它如果你站到一个很高的位置，你俯瞰它，其实就学三个人。求概率怎么求概率对吧？怎么去求分布？你是一个什么样的分布？

知道了，分布它的目的是什么呢？他知道了，分布你知道了，分布率你的目的不是求概率吗？你知道了，概率密度函数你的目的不还是求概率吗？同学们，想想如果我们现在抛开这门课程，你给我想想概率论到底在学什么？不就在学习求解一个事情的概率吗？哪个东西最重要？不就是求概率，为什么叫概率论呢？就是求概率啊，

比如说我知道今年的考研数学。服从正态分布。那服从正态分布，你必须要知道一个事情，你看我现在就服从了正态分布。那你想不想知道缪是多少？你想不想知道sigma方是多少？我当然想知道，一旦我知道了缪和sigma方，我就知道了概率密度函数曲线。那这个时候比如说我举个例子，我们比如说我们三九六的这个啊，这个啊，经济类联考对吧，我们这个综合不不看单独数学，

我们看综合。比如说我举个例子，我就想看诶，我考在120分到130分的概率有多大，你看这多具有实际性呐。多具有实操性的你，今年过程当中考研数学服从正态分布好，我知道了分布。那你想不想知道MU和c跟马方？我想知道，我一旦知道这条概率密度函数曲线就固定了，那这个时候你看我就能进行去求出，在这个分值的范围内，你的概率多大？因为现在试卷还没改出来啊，

刚考完呢，我就想看看我落在这个区间段内概率到底有多大？多具有实操性呐。你能理解我的意思吗？所以你真的是抛开这个问题，你站到很高位置，你去看看这门课程，它很有意思，哎，非常有意思。好了，那么接下来过程当中，我们再来看，如果这是连续性随机变量，那么第一个事情，

我们学习什么均匀分布？然后接下来过程当中，我们再来看指数分布，当然在这种当中最重要的是正态分布。所以在这种当中啊，你发现一个事情，这几个人呢，非常非常的关键，那么接下来过程当中，我们再来捋一下。你要注意啊，这个页面你得多看啊，这是要记的很多说啊，这个老师东西很多，我上次不是有同学说东西很多吗？

你这一年就学这个内容，有啥多的呀？好，先看零一分布。如果零一分布的话，我就告诉你，你分布率。取零叫失败，取一叫成功，成功的概率是p失败概率一减p。如果这人是二项分布，说什么东西呢？它说的是n4独立。比如说我打靶，我打了n次，

每次独立，每次打中的概率是p。问你最后打中了多少次？对吧，这种情况，所以说这里面当中就服从b次数，每次成功的概率，那这个时候你会发现一个事情s=k的这个人的概率是多少呢？就n次里面取k次。然后的话，你发现成功的case失败了多少诶？失败了n-case。然后这个时候的话，你发现这个k从几开始呢？哎，

它要不然成功零次，要不然一直成功n次。好这个人，然后再来看泊松分布，泊松分布的话，你发现服从p的m的啊泊松。那这个时候的话，你发现一个事情，我也知道这个人的分布率啊，这分布率的话就是k的阶乘兰姆达k次方e的负兰姆达次方k从几开始呢？零一二一直到后面去。对吧，这个人，然后接下来过程当中，我们再看几何分布，

如果是几何分布，就是g1兰布达。什么叫几何分布呢？叫做dk次才成功。dk次才成功，那dk次才成功的话，你发现一个事情说明什么情况？说明前面的话k- 1次都失败了，最后一次成功。k可以从一二三移植到正无穷去。这有什么好打点的呢？你要注意啊，这个页面你必须要记住，如果你把它缩下来的话，就这个页面。

对吧，东西的难度系数不是说特别大，好好来啊，我们的概率论的话，还有两次课程，今天一次课程，再加上下一次课程，我们就能把这个部分全部结束。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看连续性，连续性。首先，第一件事情，我们先看均匀分布说，

哎，我是服从均匀分布。那这个时候的话，你发现我就知道了，你的概率密度函数什么概率密度函数呢？当你x是大于a小于b的时候，就等于长度分之一。如果在这个人的外面的时候就等于零，对吧？这个人，然后接下来过程当中，我们再看指数分布，当然如果服从均匀，分布概率等于多少长度之比？所以同学们想想一个事情，

我问你个事儿啊，第四个。这是第四条内容，如果从考试意义上，角度上而言，它应该是个什么问题啊？就是藏条件的。你比如一般情况下，我会告诉你它的概率密度函数，但是现在我说它服从均匀分布，它不就把这个概率密度函数给了你吗？所以说你会发现把这个东西藏起来了，如果这个东西服从指数分布。那指数分布的话，你发现一个事，

它的概率密度函数呢？概率密度函数是lambda倍的e的负lambdas s大于零。然后s小于等于零呢，这人就是零。而且这个人的话，你发现分布函数也得知道。对吧，你分布函数也得会写，而且这个东西啊，没有记忆性。跟那个起点值没有关系啊，在什么样的条件下怎么怎么样，这是你要注意到这个内容的话呃，强化班我们还会重点来。然后最后一个事情正态分布，

那么上节课过程当中，我们讲的最最重要的一个问题就是正态分布了。所以说在这种当中啊，我们把正态分布单独拉出来，看正态分布你上节课过程当中啊，有没有进行去把正态分布好好看看呢？一定是有的吧，所以说在这种当中，我们看看考点正态分布。那么，在正态分布当中啊，我们来看看几个事情，如果告诉正态分布，它不就相当于告诉了你概率密度函数吗？所以说，

这里面当中啊，有一般正态分布。对吧，一般正态分布还有什么东西呢？还有标准正态分布。标准质量分布一般的和标准的。那么，同学们要注意一个事情，一旦告诉你正态分布。其实在这里面当中就告诉了你什么东西啊，就告诉了你概率密度函数，你比如说一般正态分布，一般正态分布的话，它是说s服从多少呢？哎，

这个随机变量，服从正态分布，第一个参数是缪，第二个参数是sigma方，那这个时候你会发现个事情，它的概率密度函数等于多少？就等于根号下二派sigma。一亿的负的多少？二倍的sigma方，然后是x-mu^2 x属于r。那这个时候你要注意一个问题，它的概率密度函数啊，其实就非常的清楚了，我们来看看概率密度函数，它的概率密度函数啊，

我们来把它画出来。它就长这样子。它就长成。这个样子。那这个时候的话，你要注意一个事情，它的对称轴，这个对称轴就是多少？这个对称轴就是明。所以说在这里面当中啊，你要注意一个事情，这一半的积分是多少？这一半积分是二分之一。所以说我们经常在考试过程当中啊，遇到二分之一，

你要注意。对吧，我说他服从正态分布，我说大于一个人，小于一个人的概率是二分之一，那个人就是对称轴。所以说图像要在心中概率密度函数，要记住好，这是一个问题，然后接下来过程当中，我们再看标准正态分布。标准正态分布就是n零一给MU取0 sigma取一，那这个时候你会发现它的概率密度函数呢？我用小fx表示。那这个时候的话，

你发现它是等于多少等于根号下二派，你看这里面当中有没有未知参数啊？你看这个人派是知道的吧，这是固定的负的二分之x方，同学们告诉我一个事情，有没有未知参数啊？没有。你这里面当中都是固定参数。你是根号下二派分之一e的负的二分之x方，这都是固定参数啊，你都是固定参数的话，你发现一个事情，你这个概率密度函数曲线永远都是固定的，听得懂我的意思吗？你永远都是固定的，

大家注意这条线是不会动的。你要注意这条线是不会动的。不动就是这样。非常固定，他就是这条线。不像上面这个人，缪动了横向就要变换sigma，纵动的话，你发现一个事情上下就要变换，但是你要注意标准正态分布，它是固定的。你这里面当中的话，你发现你没有待定参数啊，你都是固定的，就是这个fins随着s的变换，

它就是这条线，它是固定的。所以说同学们注意它的分布函数呢，它的分布函数就等于从负无穷到多少到s，对这个人进行积分就等于小p hit dt积分。这个东西啊，你求不出来，不要求。但是你要知道一个事情，这里面当中的东西都是固定的，当我进行去确定一个人的值的时候，它其实就是负无穷积到a对这个人积分，这是你积不出来的。但是你要知道这个东西是能记出来的，是你记不出来，

但是计算机能记出来。能理解我的意思吗？你不要急，计算机能记出来，你要知道一个事情，一个分布函数标准正态分布的分布函数。它其实就是从负无穷求到这个人。这一段你发现曲线是固定的，这个面积肯定是有的。能理解吧，好这个事儿你要想清楚。所以在这里面当中啊，我们就有一些性质了，你比如说你看你在这里面当中的话，零处结果等于多少？

就是标准正态分布从负无穷积到零吧，它的是负二分之一，还有标准正态分布在a处的值。负a处的值刚好是一减的关系。而且这里面当中，如果你是服从标准正态分布，你小于等于a处的概率绝对值小于等于a处概率就等于二倍的。标准正态分布的分布函数，这些这个值是固定的，在a处值再减一。所以说大家注意一个事情，如果你是服从标准，正态分布。你的绝对值小于等于一，它的结果就等于二倍的标准，

正态分布的分布函数，它是固定的。在那个点数值，那这个结果是唯一的，再减去一。好，这是一个重点内容，然后接下来过程当中，我们又讲了一个事情，如果在考研过程当中，只要见到正态分布，立即把它进行标准正态化。赶紧把它标准正态化，立即写成s-mu比上sigma，就变成了n零一了。

所以我们就可以把很多不同的正态分布我都可以通过标准正态化化成统一的标准正态分布。不同的正态分布标准正态化，化成标准正态分布。那这个时候你发现一个事情，你们都是服从标准正态分布概率密度函数的曲线，就是唯一的一条，你就可以比较了。能理解吧好，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们来看看上节课的第一个知识点。上节课我们又讲了一个事情，我们又讲了函数的分布。当我知道了x的分布，我怎么去求什么东西呢？

我怎么去求x的函数的分布？对吧，我知道你的分布，我怎么去求函数的分布？那上节课我们讲了离散型。怎么去修的？我通过x的值把y所有可能取值求到。然后对应的概率再照抄合并一下就行，所以这个内容难度系数不大好，那么接下来过程当中我们就正式来看看今天的重点内容吧啊。好，我通过这个半个小时的时间呢，我们把这个第二章部分的内容我给大家梳理了一下。那第二章部分的内容啊，我们在考研过程当中啊，

有可能能出到三到四个题，出到五个题都有可能性。我出五个题，第一章出一个题，最后一章出一个题也有可能性。那所以说在这里面当中，我不知道同学们有没有把这个东西的体系建立在脑子里面，就这些东西。我们学了这些天的话，过程当中就这么多内容。那么所以说这门课程呢？你发现一个事情，你可能以前过程当中，你觉得哎呀，这个才切入是个新内容，

你觉得稍微麻烦一点，但是大家注意啊，这个。这个东西的上限呢，说实话很有度。就是学到最后的话，你发现难度系数真的很低，所以这门课程呢，我觉得觉得同学们注意一定不能丢分。要有信心一点，对吧？我还是希望你们要有自信心一点啊。对吧，没有没有，如果遇到了问题就赶紧进去查阅。

我再强调一遍。如果你比如说你进行去学习一个部分内容，你发现这个东西，哎呀，题目做的不好，你要注意啊，你马上要做的事情是什么？都要说哎呀，我怎么学的那么差哦，我不适合学概率论，我只适合学高等，这什么逻辑呀？没有谁对一门课程学不好。只有你学习的方法不正确。我不相信很多同学一直说，

哎呀，我觉得我不太适合学数学，我很不喜欢这种话。对吧，你在这里面哪有什么不适合的，只有你学习方法不到位。你就像以前过程当中有同学说，哎呀，我好笨，这是借口，你方法出现问题了，不是你笨，有的说老师，我这个我从小到大的话，这个数学学不好，

哪有谁从小到大学数学学不好？那所以在这种当中一定要注意，要调整一下，你要有正确的学习方法。你可能方法出现了问题，你如果这个题做的不好，你赶紧干嘛呢？去找到这个人的知识点。把这个知识点梳理一下，再找上两三个相对应的题，把它刻意的练习一下结束。这就是一个非常好的学习方式。适合任何一门课程。我就举个简单例子吧呃，比如说你学你的专业课，

你发现你在做题的过程当中，你这个题做的不好，你怎么办呢？找到这个书本或者找到讲义，把这个部分的知识点再好好看看，肯定是这个知识点消化的不好。然后再找上两三个相对应的题，把它刻意练习一下，然后再进去去处理那个题，你发现什么都清楚了。你要注意啊，适合适合任何一门课程，就是我觉得这个考研吧，对很多同学的塑造性呢，我觉得还是很强的，

你一旦这个东西啊。呃，叫什么东西呢？就是两个事情，第一个事情，如果有些同学的话，多年以来，比如说这个成绩不好，突然间考研考的还是非常好，自信心就上来了。你看他上的研究生过程当中，他有可能啊，考过了什么雅思托福啦，或者考过什么，这个你包括的话，

你们对应的一些什么考的CPA啦，还有这考的司法考试啦。等等的话，你发现所有的考试都是类似的，有自信心了，然后另外一个事情的话就是呃，我觉得学习方法就正确了。有了好的学习方法的话，你发现学什么东西都很快啊，好了，这个事情啊，我们就不多说了，来那么接下来过程当中，我们就来看看今天的重点内容。你们现在状态怎么样？

非常好吧，拿出今天最好的状态，听这个内容特别重要。相当的关键，我们来看看这个问题。那么，这个内容是什么呢？叫做一维的连续型随机变量函数的分布。一维的连续型随机变量函数分布什么意思呢？就说这个x这个人呢？你看这个人，他是一个什么东西呢？他是一个连续型的随机变量。什么叫随机变量呢？它具有随机性，

它是个变量，它确定了一个点，或者确定了一个区间段，能够进行确定它的概率。好了，这是这个事情，它叫连续型随机变量，那这时候我要去求什么呢？我要去求这个连续型随机变量的函数。y哎，它的一个分布情况，你能理解我的意思吗？比如说我知道x这个人的离散性随机变啊，这个连续性随机变量，我知道你的分布。

那这时候我想进去去求什么呢？我想去求y的分母。所以在这种当中啊，我们先来看看第一件事情，我们先看看第一件事儿，题目往往会怎么出？哎，题目。题目的话，经常而言的话，你发现会这样出题，比如说我已知x这个人的概率密度函数，你看这个时候啊，我来说清楚了。因为这里面当中将会出现两个人。

对吧，会有两个人。我为了进行去区分，我就一定要在这块写个大x。我这个大S表示什么呢？表示主权。我想说的是，你是大S这个人的概率密度函数，而这个人是自变量。至于这个自变量用什么字母表示呢？无所谓，你想用什么表示就用什么表示，就说我知道了x这个人的概率密度函数。我让去求什么东西呢？我让去求y这个人y这个人的话是x的函数，

我让去求它的概率幂的函数。诶，我让你去求它的概率密度。函数概率密度函数谁呢y这个人的概率密度函数？当然，同学们注意啊，一个事情，这个人是主权表示的，你是y这个人的概率密度函数。而这个人是自变量，至于这个自变量用什么字母啊，无所谓，你想用什么用什么，那么通常而言的话，你发现是大S用小S呗，

大y用小y，你可以不用小y，你用t用u用w都行。好，这是这个事情，能理解吗？这是通常的提车条件，那么接下来过程当中啊，我们来看看求题的方法。呃，在教材当中啊，或者一般书籍当中啊，它会写的一种方法叫什么东西呢？啊，叫做这个。

有这个确定反函数的这种方法对吧？确定这个单调性的这种方法呃，像那种方法你不用看，那么在这个当中啊，我来给你进行去确定一个万能方法。呃，这个内容啊，有些同学做的不好。但是你要说实话，一个事情像这个类型问题啊，只要考研考就是送分题，你要有这种自信心，你其实我们感受不到那么的明显。但这两年过程当中啊，如果是数一数三同学太开心了。

因为这两年过程当中的话，出了好几个大题，就近两三年过程当中啊，就这个知识点出了几次大题。真的是出现在他们只有一道大题，出了话，你就把它秒了。非常的简单，所以说接下来过程当中，我们来看看万能的破题方法，注意下。我们来讲的是什么方法？我讲的是万能方法，你要注意啊，是万能的，

如果有一天过程当中学生说老师，我用你这个方法没做出来。不可能。肯定不可能，要不然就是你做错了，要不然就是不可能。你要注意啊，万能的方法，所以接下来过程当中，我们一起来看看这个事情，那这个方法是什么呢？这个分布方法叫做分布函数法。这个方法的话，你发现听起来觉得很牛逼，分步函数法什么叫分步函数法呢？

就是来进行去求分步函数。大家想想一个事情j name当中的第一步就是来进行去求求出y这个人的分布函数。分布函数。大家注意一个事情，这个人呢？马上进行去求出y这个随机变量的分布函数。我来进行求出你的分布函数，我只要能求出你的分布函数，然后接下来过程当中求你的概率密度函数简不简单？已知分布函数怎么求概率密度函数啊？求导呗，那分段点y直接求分段点上，爱咋咋地，所以说第二问的话没有什么难度了，核心重点就是求这个人。

所以在这种当中，你要注意一个事情，我为什么要这样做呢？这样做的原因其实非常简单，你发现看我知道了你的概率密度函数，概率密度函数可以去求概率。而概率跟谁挂钩呢？概率可以跟分布函数挂钩。是这样的一个问题，所以说大家注意一个事情啊，只要将来过程当中你记死一个题目，让你去求概率密度函数，先求它的分布函数。所以这点当中的第一步，我们就是来进行去确定这个人的分布函数怎么做呢？

我们有四步走，叫做画图，定点截线，投影积分就出来了。哎呀，这个事情有些同学可能听得稍微的难受一点，但没有关系，我们来通过一个问题啊，我们来讲讲好，大家注意啊，我们稍微来进行看看。这个题目的核心重点是什么东西呢？它是这样，它是已知x这个人的概率密度函数。我让你继续去求解什么东西呢？

我让你去求解这个y这个人的概率密度函数。好了，那么接下来过程当中，我们要干嘛呢？我要进行去先求它的分布函数，大家注意，第一步要求分布函数立即写。分布函数的定义式来看y这个人的分布函数在这块的值就等于y这个随机变量。小于等于这个点概率的加和。没问题吧？好注意啊，你的分布函数在这点值，就是你这个随机变量小于等于这个点的概率的加和。然后接下来过程当中，你就可以怎么办？

你就可以把这个人给替进去了，因为y这个人呢，其实就是x的函数。所以说这个人呢，我就立即得到这个人，那这个时候你发现一个事儿，这个人不就是确定x的一个概率吗？要进行确定x的概率，不就是对x这个人进行去积分吗？s的概率密度函数积分呢，所以同学们注意一个事情，我们来看看这人怎么做，你看第一步，你要知道研究什么。那这件事情在研究什么呢？

他研究的问题非常的简单，大家注意他在研究y等于。gx.在y等于小y。下方的概率没问题吧？好注意啊，他在研究大y=g大S。在什么东西呢？在大y等于小y下方的概率，所以说同学们注意啊，假设这是大y，然后这是大S。那这时候我怎么了？我就来进行去画出大y跟大S的图形，比如说大y跟大S的图形就是这样。

好，这就是大y跟大S的图形，我研究的问题是什么呢？我研究的问题非常简单，我就要研究这条线。下方的概率来截一条线，这条线是谁呢？这条线是大y等于小y研究的，是这条线。下方的概率，这个下方的概率，其实你会发现一个事儿。这个下方的概率不就是大S这人在a到b的概率吗？是不是这个事情，因为你发现一个事儿，

我要研究大y=g大S在这条线下方的概率，这条线下方的概率不就是大S在a到b的概率吗？大S在a到b的概率，你发现个事情可以怎么去求？不就是概率密度函数在a到b的进行去积分吗？所以说这个时候啊，你发现立即出来了。那么做题的话，你发现非常的简单，要注意啊，用一条线进行解。你下方的概率其实就是小fx的，这个人的积分。你想因为是大S这个人的概率啊，不就是小S这个人的积分吗？

所以在这种当中啊，方向性就出来了。那我们做题啊，非常非常的简单，那第一步叫什么呢？好，我把它写到这儿，核心重点就是四步。第一步，画图。第一步，画图。这个画图的话，你发现一个事情，你是画谁的图呢？

注意你画的是y跟x的图。大y跟大S的图。诶，画这个图大y跟大S的图好，这是我们在这种当中处理问题当中的第一步。啊，你发现一个事情第一步，我们来画图画大y跟大S的图。你要进行去求解的这个人呐，你看你求出这个人不就求出了这个分布函数吗？所以在这里面当中的话，你要发现一个事情，你要用横线进去去解。对吧，你去截。

它下方这个部分的话，你发现看你下方部分的概率不就是大S从a到b的概率吗？你从a到b的概率不就是概率密度函数要去积分吗？所以说这里面当中啊，第二件事情通常而言难点在何处呢？难点就是分类。对吧，你怎么去分类？所以说这里面当中的第二步非常的重要，那么接下来过程当中啊，我们来通过一个习题来讲可以吗？干讲我觉得没有什么意思，通过一个习题来讲，你来看看这个题。呃，

这个题啊，我们有可能会考。但说实话，这两年过程当中，我们还没有出过这种题，你要注意，我们没有怎么出过这种题，所以我觉得这个是我们在今年过程当中的一大嫌疑点。一定要会处理好好，我们一起来看看，他说已经知道了x的概率密度函数。y是一个x随机变量的函数，让我们去求y的概率密度函数，那么同学们告诉我，事情要想去求概率密度函数，

用什么方法用分步函数法？要求概率密度函数先去求它的分布函数。它的分布函数什么意思呢？就是大y这个随机变量小于等于小y的概率，然后接下来过程当中，你把它给我替进去。大y就等于x方。我知道有些同学，你发现他不会的时候，他在那瞎猜说，老师这个很简单，我一下把它解出来了。你要注意啊，它不同段内的概率密度函数不一样呢，你解出来有什么用啊？

所以这里面当中还是要分类，你要注意啊，你按照我们的方法做，绝对是最简单的，你不信你试一下吧，你就算解出来之后的话，你发现你在哪块对谁积分呢？你也不好看，所以接下来过程当中，我们一定要注意研究的方向是什么？我们研究的是大y等于大x方。在大y等于小y下方的概率。那么所以说在这种当中，我们接下来过程当中，我们就来看看，

那么首先第一件事情，我们先来画个图。诶，先来进行画个图画，谁的图呢？画大y跟大S的图形。好，我们先来画图，那么这里面当中的话，你发现这个人是大y，然后这人这是大S。我们要画这个图形，画这个图形的话，你发现y跟s之间什么关系啊？y跟s之间是平方的关系，

所以说这里面当中我们就画一下这个图。好y跟s之间是平方关系好，这个时候你发现图形就画出来了。好这个人，然后接下来过程当中，我们要继续来看一个事儿，你要琢磨一下，我问你个事情，你截一条线下去。然后的话，你发现个事，你投下去这个a点和b点。求x的概率就是对概率密度函数进行积分吧。是不是啊？所以说你要注意一个事情，

你其实就是投下去这个部分要对这个人进行积分，你要转一下啊，你下方的概率。不就是对这个人进行积分吗？这刚才过程当中，我们转过你s在这个区间内的概率，不就是这个人的积分吗？所以说大家想想一个事情，如果你落在负一到底内，你是对二分之一积分，但是这样我们再来看。如果你是负一道理内，你是对二分之一积分。如果你落在零到二内，你是对四分之一积分。

对吧，零到二内，你是对四分之一积分。那大家想想一个事情，接下来过程当中，分界点就来了。那这个负一这个点。你的左边和右边一样不一样。你不一样啊。你如果在负一到零的时候，你会对谁积分？你会对二分之一积分？所以你发现负一的左右两边不一样，而负一对应上去呢，负一对应上去刚好是一大家想想一个事情，

你看。我给你拉条线，你来看看。如果你刚好是一。这个点对应下去，刚好是负一，你比这个一高，你这个点下去的话就比负一的什么边，如果你比一高的话，你看你就在负一的这半边。如果你在这里面当中的话，你发现你继续，如果你比这个负一低呢，你就在这个负一的这半边。你看这是不同情况，

所以说大家注意一个事情，我再说一遍，你负一的左右不一样，你对应上去其实就是一的上下不一样。然后再看零的左右不一样，对应上去就是零的上下不一样，然后这个二的左右不一样，对应上去就是几对应上去，我把这个点往过拉一点。对吧，对应上去的话，你发现一个事情就是四的左右不一样。大家听清楚了吗？所以说这叫定点，我定出了几个点呢？

我定出了零一。四我定出了四个点，这就是所谓的第二步定点。你看看吧，定点。不知道同学们，你听懂了吗？对吧？你落在那个点的两边不一样，两边的积分对象不一样，你对应上去的话就是上下不一样。这就是所谓的定点，然后接下来过程当中第三件事情，我们就可以怎么办？我们就可以进行去截线了。

截线。诶，截线截下来之后的话，那么接下来过程当中最后一步就是投影积分。诶，投影细分。这个键盘最后不好用，对吧啊？投影进行积分。所以说这里面当中就是四步画图画谁呢？画y跟x之间的大y大x的图形。然后怎么去定点呢？因为你投下去要对x的概率密度函数积分，然后用那个x的概率密度函数进行去上下定点。那这时候你发现一个事情，

我刚好定出了几个点，一个点，两个点，三个点，对吧？你发现一个事儿就是这个点。这个点，这个点。三个点，所以接下来过程当中，我们就可以开始看了，来吧，同学们一起来瞅一下这个事儿啊。好开始了，那这个时候的话，

你发现个事儿，我们就可以进行去分类了，你分成几种情况，那么首先第一件事儿，我们先看。如果你这个大y啊，你这个小y，你这个小y比四大呢？大家注意，如果你这个小y比四大。这个二对应上去是四。如果你比四大，你就会发现个事儿，这个投影下来的部分是谁呀？这个下面的部分句话就是这儿。

从这个点，然后落到这个点。那么你这个时候你发现你看你从这个点击到这个点，而你就会发现有效区域是这一段和这一段。这是有效区，外面的积分都是零，那这个时候你发现一个事情，你就相当于把整段都记了呗，你整段都积分的话，这个人不就是一吗？所以第一个事情，如果小y大于等于四，还记得吗？分布函数写成左闭右开吧，一定不会错，

那这时候你发现它的分布函数呢？就是这一段接到这儿，那这是一。好了，那么接下来过程当中，我们再看第二事情，继续来看。如果你会发现个事儿，你比这个零小呢？你看这个人这条线，那这个时候这个小y的话就比零小，那如果这个人的话，你发现这个小y比零小的时候你告诉个事情，它的下方有人吗？他没有人呢，

你哪有人呢？你没有人的话，这人就是零。你下方没有人吗？你没有人就是零，所以接下来过程当中，我们再来看看下面的事情，继续来看。好，我们再来看，那么这是我们讲的这个第二种情况，然后是第三种情况，如果你会发现是在一到四中间。你看这个小y是大于等于一小于四一到四中间，你这个点的落点就在这儿。

你这个点的落点就在这。那你告诉我事情，他的积分是多少？有效段就是这一段积到这。然后的话，你之后你发现一个事情，再从这个点击到这儿。那这个点的坐标是多少呢？那很明显啊，这是大y=x^2，又等于小y，那这人不就等于根号y吗？没问题吧，因为这条线是小y嘛。所以这个时候你就进行聚集，

然后再来看第三条，第三条当什么情况，当这个小y大于等于一小于四的时候，那这个时候的话，你发现这个分布函数就是多少？立即写从，负一到零。负一到零对谁几对二分之一几。好这个人，然后再来零到根号y对谁几对四分之一几好这个人，因此这个结果的话就是二分之一，然后是四分之一倍的根号y。你看这个人，这是我们讲的第三种情况。然后接下来过程当中，

我们再来看看最后一种情况。最后一种了，那最后一种情况的话就是零到几呢？零到一就这种情况。就说什么情况呢？你这个小y这个人的话大于等于零小于一，那这个时候它对应下去的话，就在这个点对应下去，在这个点。那这个时候你的积分区间呢？就是从这个点积到这个点。然后就从这个点记到这个点，那这个时候的话，你发现这个点坐标是多少负的根号y，你这个点坐标是多少根号y？

所以说这就是我们讲的第四种情况。对吧，再来看第四个值当什么情况呢？当这个小y大于零小于一的时候，然后这个时候的话，你就发现一个事第一段。就从负的根号y到零对二分之一级，然后再从零到根号y对四分之一级。所以说这个结果等于多少等于四分之三倍的根号y。能学会吗？这就是做题。所以它的操作性的话，你发现非常的强。这应该是如果说第二章当中哪个最难呢？这个东西是最难的，

但是最难的话，你发现就是这个套路，你把这个套路给我练一年，你看你能练会吗？这就是这个问题，所以说它的操作性的话，就这样，就是取点划线投影积分，但是要注意一个事情。第一件事情先写分布函数的定义。然后接下来过程当中要进行去看，到是研究哪个区间内的概率。然后是取点划线呃，这个什么是画图定点截线投影积分画图定点截线投影积分？能想清楚吧，

我又不需要你总结，该总结的东西啊，我全给你总结了。所有该总结的我全给你总结了。那所以说在这种当中一定要注意这个事情，你要想清楚你画的是谁的图啊？你为什么要这样画图啊？对吧，你画的是谁的图？你为什么要画图？你要画图的目的的话，你不就是研究这个人在这个人的下方的概率吗？所以说在这里当中，我画的就是大y跟大S的同步。然后这个截线投下去的积分要对概率密度函数积分，

你为什么要用它定点呢？因为我落下去要对它积分。所以说用它的分界点继续去定点啊，这就是个非常好的方法，好了么？同学们掌握清楚了吗？这是通法。当你一旦把这个分布函数进行确定下来了之后，然后接下来过程当中，我们再来看看第二步。第二步。那就是接下来过程当中，利用分布函数。利用分布函数求出概率密度函数，就这么简单。

所以说你要注意一个事情，全都是套路。那就是分段点y，直接求分段点上，爱咋咋地好，我们一起来求一下吧。最后一步了，来写一下概率密度函数，这个概率密度函数等于多少y这个人的概率密度函数在小y处值就等于分布函数对这个y求导。那么，同学们想这段一求导是几零？这段求导是几零？这段求导呢？这段求导的话是？八倍的多少？

八倍的根号y分之一。然后这个y是什么大于一小于四，这是分段点y嘛，这段求导呢，这是y大于零小于一，你求导是多少八倍的根号y分之三？然后其余部分都等于几，其余部分是零。啊，然后外面都是零，那说那一处怎么办呢？你这个零和这个四处你都挂零那一处怎么办？无所谓，你随便挂，挂上挂下都行。

这件事情是最简单的分段点外，直接求分段点上，爱咋咋地，想怎么样就怎么样，你愿意怎么样就怎么样，这个事情非常的简单。啊，这个内容难度系数不大，你要注意啊，这个题的主旨是谁？主旨是上面这个部分。能学会吧。好，这是这个问题。所以说在这里面当中啊，

我希望同学们下去过程当中，你好好看看哎，我觉得这里面当中啊，这还是很有几率去考的。对吧，非常有几率进行出题的，因为它也不是说特别的难，就是完全一个套路，一个套路下去就行。好，那么记下过程当中，我们再来训练一个题吧。来，再来操纵。呃，

那么接下来过程当中，我们来看几个这个呃，这个值是二点二七。这是二点二几二点二六。然后再来，这是二点二七啊，这是二点二八诶，我们来做一下这个题吧。你问的那个问题吧，那说明你没有学会对吧啊？分段点处爱为零就为零，你概率密度函数是大于等于零吗？而且那个点无所谓呀。你这个证明的话，你对这个东西还是没有理解的，

非常深刻的吧，你把这个点给挖掉，你点到这儿行不行行啊？那我还不是大于等于零吗？你看我大于等于零啊。然后的话，接下来你看这个积分的面积是一样。啊，所以说你这里面当中啊，你要注意一个事情，那问出来你就说明那个东西你还是没有理解深刻，你下去过程当中还要还要再看看。要注意啊，这个我觉得是个蝴蝶效应对吧？啊，

好了，接下来过程当中，我们就继续吧，我们再来看看二点二八这个题来继续吧。呃，这个题啊，算一道拔高题，你看我在这个讲义过程当中啊，给你放了好几道拔高题。然后还有这道拔高题，你知道我为什么给你放这道题吗？我是来增加你的信心的，这是去年的考研真题，这去年数学三同学的考研真题，一到12分的题，

我让你去看看你具有了这些水平，你去处理他们的大题难度系数都不大。想怎么做怎么做，就这种破题好了，那么接下来过程当中，我们一起来看你，看这是去年的考题，我为什么给你摆到这儿？我就想让你自信心强一点。你认他怎么难？啊，你发现一个事情，你都能把它处理的很好，来那么接下来过程当中，我们先来看这个题。

呃，对于这个题啊，有些同学可能就操作起来，你稍微的压力大，要不然这样吧，我们先做下面这个题，因为这个题简单一点。那么这个题的话，你发现一个事情，他说这个人的概率密度函数是他。然后让我们去求解它的分布函数，大家想想一个事情，这是不是送分题啊啊？他连分段都没有分段，你说这种题有什么难度啊？

所以在这种当中，我们来看看第一个事情已知概率密度函数，求分布函数怎么求？不要说不会啊，非常的简单，你去求x这个人的分布函数，那分布函数的话就是负无穷到x。对概率密度函数进行积分，同学们想想你再怎么把它换成ft，那这个东西也都是一+t^2它。那这个时候你发现你连段都不用分，你从负无穷走，你走到这儿是它走到这儿是它走到这儿也是它。那所以说这个题的话，你发现你就直接积分就行了，

你说哪有这么简单的来继续负无穷到s走一的t1+1的t，然后平方dt你会不会记？你不会骑就见鬼的。你肯定会急啊，这破分有什么难度啊，那么这里面当中的话，首先第一件事情把这个e的t塞到后面去e的t+1^2 de的t加个一。是不这个事情，所以说积分结果等于多少负的e的t加一分之一把负无穷和x代进去。然后接下来过程当中，我们来看看这个事情。把s带进去的话，就是es加一分之x啊，这个是什么es加一分之一，然后减去就变成加上。

以负负得正嘛。e的负穷是零，然后这个人是一，所以说这个结果就等于一减去，然后是es加一分之一，那也就是多少es加一分之一s。是不出来了，好这一问一做三分到手啊，这个人。难不难？没有特别难吧？你这个基本点对吧？你把这个事情想清楚了，非常容易，然后接下来过程当中，

我们再来看看概率密度函数。那这概率密度函数更简单，来我们再来看吧，你这个题求什么呢？好，我们再看第二问。容不容易啊？豪爆锁。如果我们三九六同学去处理去年的考研真题的大题，你说有难度吗？也没什么难度啊，非常轻松啊。好，第一问掌握清楚，给我回复一吧，

我看同学们掌握的清楚怎么样啊？好了没？没问题吧？这非常简单啊，那就是给的概率密度函数，求分布函数，你积个分不就行了吗？他连段都不分，他比我们做的那个题还简单，然后接下来过程当中，我们再来看下面一个问题。下面这个题是什么呢？他说我已知道x的概率密度函数y，这个人跟x之间成函数关系，我要求解你的概率密度函数。

同学们告诉我怎么做？要求概率密度函数先写分布函数来y的分布函数在小y处置就等于y的分布函数等于小y。要注意啊，方法是分步函数法第一步先写分步函数的定义，谁的分步函数在这点处值就是谁小于等于这个点的概率。然后接下来过程当中，你就可以怎么办？你就可以把这人替进去了，有同学说老师那这个人我能解出来也不要紧。大家知道你给我分析。你不要说因为这个题，我们将来过程当中多段的时候，你发现我们那个方法是万能的，要注意研究的是什么呢？我们要研究大y=e的大S，

它在什么大y等于小y？下方的概念。所以说这里面当中的话，你就注意一个事情，我就要干嘛呢？我就要进行去画什么东西呢？画这个大y。和大S的图形。那这个部分的话，你发现个事情刚好是多少e的x？这个人下方的概率，同学们想想一个事情，我这个人截个线投下去对谁积分呢？我就让他在负无穷到多少到这个人对概率密度函数积分，同学们想想一个事情。

你无论是截在这儿，还是截在这儿，截在这儿，你都是你看你下面的这个人都是对谁积分，都是对那个人积分，你都不用分。你不像刚才那个人，你像我们刚才那个题的话，你发现比他恶心多了，如果在负一的左边和右边积分对象不一样。你二的左边和右边积分对象不一样，你零的左边和右边积分对象不一样，所以说这个时候我要通过那个点进行去分类。但是这个题呢，你发现一个事儿，

你无论是怎么解，你永远都是对那个人进行积分，你连分都不用分。但是要注意一个事情，有个特殊情况，你发现它的最小值是几是零？对吧，最小值是零，所以说这个时候的话，你发现你要分成两种情况。只有一种特殊情况。哎，就是一种特殊情况。就是如果你发现一个事情，你看你如果这个小y在这儿的时候。

那这个时候在你下方的时候的话，你发现你看就是从负无穷极到这儿，但是你要注意一个事情，一旦你这条线怎么办？你在零的下方，它的下方是没有人的。你要注意一下这个事情，因为你要看红色线的下方，你这个时候才有人，你这个时候没有人，因此对于这个题啊，马上来看看这个事儿来走吧。第一件事情当什么情况？如果小y哎，我们说左闭右开啊，

小于零的时候。那小于零的时候的话，你发现我们要求解它下方的概率是没有的。只有什么情况，只有这个小y大于等于零的时候，你才有下面的人。你下面的人是多少呢？来我们来看看。因为这条线的话是小y大于等于0e等于它的话，你发现e的大S等于小ys等于多少lny？就是从多少从负无穷，要积到这个点呢？走吧，就从负无穷积到什么积到这个lny这个点呢？那提到这个点的话，

对谁积分就对这个ese+es^2再来进行积分，这也忒简单了。这题做完了，然后接下来过程当中这个积分等于多少？刚才算过了，等于负的一加一s分之一。然后接下来把负无穷和lny带进去，然后这个结果呢，你先算一下，这是负的，然后这个人把lny带进去呢。罗云y带进去的话，你发现个事情，这就是y，然后再加上个一，

因此你会发现个事儿，分布函数出来了，概率密度函数等于多少？走下求导，这求导等于多少一+y的这个人平方分之一对吧？这是y大于零的时候。然后这上面这一段求导呢，上一段求导是零分段点数呢，随便挂挂到下面就行了，挂到这个else里面。挂到其他里面就是这个，难不难呀？这是什么破题，对吧？你像这样的一个题啊，

他们能给12分，你像我们在这里面当中，我们很快就做完了，不光说考给他们考给我们，我们都能处理的非常好。你像这样的一个题，我为什么在这里面当中给你梳理这几个题呢？我就想让你去看看，就算这里面当中啊，它出现底难的，我也会做。这就是操作性水平，你这也不难啊，你放过我们三九六的同学，我们照样考啊，

我们也可以秒啊。对吧，你发现个事儿，对于我们考的话，你发现我们也可以出啊。也能做非常的简单核心重点，不就是一步积分就行了吗？但是你要想清楚这个内容怎么做的，我再说一遍，已知它的概率密度函数，求它的概率密度函数，我们用的是分布函数法。先写分布函数的定义，然后再来操作。哎，

这个题。可以了吧，同学们好，这是这个事儿，来继续再看这个题。这个题啊，我觉得很有意思。啊，这个题很有意思。这个题的话，你发现一个事情，我觉得也是个拔高题呃，大家这个没有关系啊，我给你放的拔高题啊，是为了进行去提高你的能力的。

你将来过程当中再做这种题啊，就是一个降维打击的方式。我一直给你讲，你最后的考试，如果是降维打击，你会考的非常爽的，你会非常开心的，数学考好了，你后面的逻辑。写作你会发现一个事情，你做起来就顺了。那去年过程当中，很多同学为什么没考好呢？原点非常简单，数学前面做垮了，

你发现一个事儿，你后面的逻辑和写作就出现问题了。有人说，那我先做逻辑，你马后炮，你考完了之后你给我说这个东西有什么用啊？而且就算你模拟考的过程当中模了几次的话，你先做逻辑，最后做的好，你也在考试过程当中，最后你还是不敢，你还是先做数学。这就是我们三九六同学的这样的一个问题啊。那所以在这里面当中，你要注意一个事情，

我们肯定到了最后，你就算平时模拟考的话，过程当中有一天两天，过程当中你先做逻辑。你再做写作，再做数学，你最后一场考试，你也不敢，你还是先做数学，再做逻辑，再做写作，你不信，你想想吧。你可能有些同学是一战的话，你没有感觉咱们班同学有很多同学可能是二战同学。

二战的同学了，我相信我说这个事情你应该很理解吧？那所以在这种当中啊，希望同学们好好来啊，好那么接下来过程当中，我们来看看这个题。呃，这个题啊，那么接下来过程当中，我们先看看这个人，他说在这种当中啊，随机变量x的概率密度函数给定你。对吧，随机变量的概率密度函数。然后说y跟x之间是这个关系，

同学们想想。这题稍微的玩的比较花吧。玩的比较花呀，圆一点是什么呢？你发现一个事情，这还不是y跟x之间的关系吗？只不过这个y跟s之间是什么关系啊？是分段函数关系，所以说这个题啊，应该是我们今天过程当中拔高题当中的拔高题。你把这个题会做了，我相信基本上而言呢，没有什么能难得住你的。所以在这种当中啊y跟s之间呢，其实就是一个函数关系。

你虽然写这个分段函数，分段函数怎么了？我照样破你，这是这个问题，所以接下来过程当中，我们先看第一问。那这个题就是知道x的概率密度函数。然后让我们去求解x的函数的y，它的分布函数。那么，就用分布函数法呗，先写分布函数定义y的分布函数，在小y处值就是y这个人小于等于小y的概率。而y这个人的话，你发现又等于g大S。

所以说这个时候的话，就立即把它转成了谁呀？转成了大S的情况，那这个时候你发现一个事儿，你在研究什么？你在研究y=j大S。在什么情况？在y等于小y下方的概率。哎，这个我这两道拔高题啊，我觉得很重要啊，你慢慢继续去做一下对吧，研究它下方的概率。所以在这种当中的话，你发现个事儿，

我做题还不是这样吗？我就画图定点截线投影积分。所以在这个当中，我们接下来过程当中，我们就来画一个图。来画一下吧，画谁的图呢？画大y和这个大x的图形。那这个大y跟大S之间什么图形呢？它是这样小于一的时候是二，那你发现一个事情，它说你小于一，比如说这是一。小于一的时候，这人是二。

好这个，然后一到二的时候的话，你发现一个事情又是个x。那s的话，你发现是这个情况啊，这是一这是二。对吧，然后这个点不取，这人不取。然后说什么呢？大于等于二的时候的话，你发现个事情又是几又是一。好，这个人这就是它们之间的关系啊y跟s之间的关系，有同学说老师这个贼恶心啊，

不恶心也很简单。然后接下来过程当中，我们就来看看吧。你发现一个事儿，然后接下来你看你是不是要在这里面当中截个线呢？比如说我截在这儿，我要研究它的下方不就是这一块儿吗？是吧，哎，如果在这种当中的话，你发现在这儿，我研究它的下方不就在这一块儿吗？研究它下方的概率就行。就是它的下方，然后就是注意一个事情，

你截完了之后，它的下方对谁积分呢？你是要对这个小fs进行积分吧？零到三的时候是对你积剩下部分对零积，所以接下来过程当中我们就来看零到三的时候。哎，零到三。零到三的时候对那个九分之一那个东西积分对吧？九分之一这个人积分，然后外面是对零积分，所以同学们注意零的两边就不一样吧。零的两边的话，你其实你发现零这个人对应上去是几零这个人对应上去，这人是二。然后三这个人的两边不一样吧，

三这个人对应上去就是一。所以说这个人的分界点有几个人呐？这个分界点就有两个人。对吧，这两人的左右两边不一样嘛，就这两人。然后接下来过程当中，我们就可以进行去分类讨论了，所以接下来过程当中，我们先来看看这个人。好，我们一起来看看，首先我们先看第一个事情，你发现如果我这个人怎么办？我这个人比二高。

我比二二高的时候的话，你发现所有人都在我的下方吧。那所有人都在我的下方的话，你发现这个x这个人是不是要从负无穷积到正无穷啊？那这人就是一，所以说这个时候的话，你发现第一件事我们就写出来了来，第一个人。当什么情况？当这个小y大于等于二的时候。你的下方，你的下方，所有人都在下方，然后对概率密度函数积分就是负无穷七到正无穷，那这就是一。

第二，事情如果你在这种当中的话，你发现个事儿，你比这个一小。比一小，你小y比一小，你的下方有没有人呐？你下方没有人呐？你下方没有人的话，这人就是零。你注意一下，你下方没有人，这人就是零。那么所以说在这里面当中，大家注意一个事情，

我们最重要进行去讨论的问题啊，我把这个删掉啊，我们最重要讨论就是一到二。最重要的问题就是讨论一到二，所以说第三件事情我们就要讨论y，这人大于等于一小于二的时候。一到二有哪一段呢？大家想想一个事情，它有这一段。我把它变绿，就这一段。对吧，还有这一段。啊，这一段所以说这个时候的话，

你发现你把它对应下去。这是小y吗？对吧，这个小y的话，你发现有小y，所以说最后而言的话，你发现你进行积分的时候要积这一段，你还要积什么要积二到正无穷，其实只用积二到三。是不是这个事情，所以说在这种当中，你发现一个事它就出来了，第一个时候是一到y。对什么东西啊？九分之一，

你看我是要对这个人积分。你的下方嘛，所以说这个时候是九分之一x方进行积分，然后是二到三九分之一x方进行积分，这个会记吧？而且这题就结束了。因为这个题，它只让我们去求分段分步函数啊，这个题我不讲了，行不行？这积分会记吧？你这不会骑的话，你下课来找我，你这肯定会骑吧，非常简单。

所以啊，这里面当中的第一问就出来了。难不难？非常简单吧，所以说你会发现一个事儿，这个这种题就是这样。啊，就是这样，那所以在这里面当中，你要进行去掌握清楚它的一个套路。你就掌握住这东西到底什么意思？难不难长成这么难的，你都能处理的非常的清楚。所以说我敢保证一个事情，考研当中任他怎么处理都能处理。

这就是这个问题，你知道那个人的概率密度函数怎么求这个人，我们用万能的方法呀，分布函数法画图。定点接线投影积分。好，这是这个事情，然后接下来过程当中，我们再来把第二问做一下。来继续吧，看看第二问。那么第二问的话，你发现一个事儿，我们要进行去求解，这个人的概率。

啊求，这个概率大家想想一个事情，你求这个概率虽然是x小于等于y，而y也是x啊。你不就是小于x，小于等于这个人的概率吗？是吧，你就是求这个人在这条线的上方的概率诶，那这个时候就好办了呀。那么，接下来过程当中，我们来看看啊。哎，你发现你这个事情，你只要能获呃来图对吧？

非常简单，你想想一个事情，现在这幅图是谁呀？这幅图就是y等于这个人。是吧，这幅图其实就是y=gs。你要研究什么？你要研究这幅图像，在这个x的上方x是谁呢？x是这个人。这是y=x。你要研究的是这个人的上方的概率，这个上方有哪些呢？上方有这些。诶，

这是上方还有在这种当中的话，你发现也可以相等，也有这一段。是吧，也有这段，所以说这些段是可以的，那这些段对应的x是谁呢？这些段对应的x就是从这儿到这儿，然后再从这儿到二不就是负无穷到二吗？所以说这个时候你发现我们就可以写了，负无穷到2x的概率就是对x的概率密度函数积分。但是你发现它的有效段只是零到三，所以说核心重点就是零到三九分之一s方的积分出来了。你看这个题。所以大家注意个事情，

虽然你发现看你研究的是y比它大，但是y也是个s函数，其实你就是在研究什么东西呢？你就是研究这个函数图像在这条线上方有哪些段？你上方的话，你看你这有一段你等于的时候有这一段你对应的x不就是从负无穷积到二吗？而有效段只是零到二啊，零到二积分。因为外面的世界的积分都是零，你看这个题。好下去琢磨琢磨。能理解吧，基本点。所以我们在这种当中的话，你发现创造性的这个问题啊，

它的核心重点就是在研究什么，我就是在研究这个人。你要注意一个事情，你看我刚才所画的这个人的图像，这个图像其实就是什么，其实就是y=g大S。哎，这就是这个人，我要研究的是y=s这条线上方部分的概率，好了，这个题啊，听明白了给我回复一。注意下这事啊，你看内容点非常的清楚。我们就想研究这条线上方的概率，

哎呀，上方有哪些啊？上方有这一端，有这一端，你这一端的时候的话，你发现比它大啊，大于等。这一段的时候比它大于等，那对应的x不就是负无穷到二吗？下去好好想想这个问题啊，有点拔高的色彩啊，拔高体。行吧好，我们稍微休息会儿。呃，

然后在休息过程当中啊，你把这个题做一下吧，好不好？休息过程当中啊，把这题做下哎，这个题稍微的会难一点啊，有点难就这个题啊，难度系数稍微的会大。你自己稍微的注意一下。你要注意，你看你这个人啊，你想想他不也是个s函数。琢磨琢磨好，稍微休息会，一会我们继续吧。

啊，你们调整一下那个音量对吧？不然的话，这个下课有可能那个音乐的声音会大一点啊，你稍微调整一下。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册