06.一维连续型的函数的分布-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:52:09

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题啊，我们就准备开始了。可以听到声音吗？哈，这个刚才出去了一下，然后瞬间暴雨啊，这个呃，只能赶紧跑回来了。啊，这个外面现在雨特别的大。

好了，那么接下来过程当中，我们就继续开始吧啊，今天是在这个刚好在公司啊，这个赶不回去了，这个刚才过程当中在那个。去那个商场谈点儿事儿，然后刚谈完，然后的话出来的话，这个外面就下雨了啊。好了，那么接下来过程当中，我们就继续吧，我们来看看这个今天部分内容，那么首先我们先来看看上次过程当中的重点内容啊，

我们先回顾一下。因为上次过程当中啊，东西啊，还比较重要一点，不知道你下去过程当中啊，有没有把这个相对应的东西啊，好好进行去整理一下，对吧，上次过程内容啊，非常关键。如果在我们的三九六同学的这个考研过程当中啊，尤其是上节课，我们在这个过程当中啊，会出几个题呢？一般是三个题。

有的时候还会出到四个题啊，五个题啊，概率不大，但是你发现三四个题啊，概率还是挺大的，所以说上次过程内容非常非常关键。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看吧，这个事情呃，如果你说你这个题做不出来啊，我觉得是上课过程当中的内容，你肯定没有消化。你要是消化了，不可能说那个题目我做不出来这个事情啊，

不牵扯这个问题，你有没有下去过程当中整理一下相对的笔记？你有没有下去过程当中，把我们上课讲的这个例题啊，完成了一遍，如果这个部分的内容你没有做到，那我觉得这个事情就非常完蛋了。哎，我们在考研过程当中，概率论确实只考七个，对吧？第一章出一到两个，然后这一章出到三到四个。然后最后一章出一到两个，然后这就是我们概率论啊，

所有的部分的考题，如果你把上节课过程内容整理了一下，你去做上次过程的题非常非常的容易。啊，可能有一两道题啊，你发现一个事情难度系数可能稍微的会大一点啊，一会儿过程当中我们谈一下吧，好那么接下来过程当中我们一起来看看上次过程当中的核心内容。那么，上次过程当中，其实讲了两个问题，第一，事情讲的什么？讲的这个连续型随机变量好，我们一起来看看。

那么，在连续性随机变量当中啊，核心重点我们先讲了第一个问题，那叫做概率密度函数，对吧？这个东西一定离不开概率密度函数。那大家想想一个事情，概率密度函数是怎么定义的？它是通过分布函数定义的吧，那这里面当中给了一个分布函数，分布函数什么意思啊？就是这个随机变量小于等于x的概率的加和。那么，在这种当中，我们再来看看这个事情，

哎，你发现离散型随机变量，我就把这个人小于这个点，所有的概率加起来。但是你发现一个事情，如果是连续性随机变量呢，能加得了吗？你加不了，你加不了怎么办？哎，我可以换一种方式。我就从负无穷到s，然后对什么东西呢？对一个函数进行积分，哎，

对这个函数积分积分的结果我们也相当于求出了这个概率。我把这个函数叫什么呢？这个函数叫做概率密度函数。哎，非常重要，概率密度函数，所以说概率密度函数怎么定义的呢？就是通过分步函数来定义的。对吧，这是一个分布函数，那么要进行求解，小于等于这个s的概率的加和，我就怎么办呢？我就从负无穷。吸到这个s非常重要，

你下去过程当中好好想想，所以说这里面当中啊，就有两类考题了，那么这里面当中的第一类考题是什么东西呢？你发现连续性随机变量，所有的东西都是以这个人为主体的，对吧？这人为主体，那么以这个东西为主体的话，你发现第一种考题就来了。那么，现在而言的话，我们不是知道这个人定义吗？如果这里面当中已知这个东西，求分布函数怎么做？

那怎么处理啊？如果已知这个东西去求解这个分布函数，我们直接用定义法吧，那么在这种当中的话，你发现一个事情，这个分布函数就等于负无穷到x。然后这是ftd t，你说实话，你下去过程当中这类考题没做出来，你说实话有点对不起人。就完全是一个套路拉条线，然后把那个轴线改成t，然后从负无穷开始引引到谁引到谁，你这一年过程当中，你把这个套路给我记住，

你都会做题。啊，所以非常简单，然后接下来过程当中第二个套路，那已知这个分布函数怎么去求概率密度函数啊？核心重点就干一个事情求导。对吧，求导分段点y直接求分段点上呢，爱怎么样怎么样，你想怎么样怎么样，所以说这件事情是非常容易的。好了，这是这个事儿，我们就讲到这儿，然后接下来过程当中，

我们又看一个事情，你发现一个概率密度函数，这个人的性质是什么呢？有两条性质。核心重点有两条，第一条呢，你发现它是非负的。对吧，你大于等于零就行，不需要小于等于一，然后第二事情必须要保证归一性，这是重点。对吧，这是一个重点，所以说经常而言的话，

你发现比如说我们知道概率密度函数怎么办？去求参数。我去求参数怎么做？我就用这个东西，一个事情是非复性，一个事情是归一性，把这东西做一个归一性，然后这个内容就出来了。所以说内容点难度系数不是说特别大，对吧？两个信息点，那么接下来过程当中，我们继续看吧，我们再来看看连续型随机变量的分布函数具有什么性质啊？你要注意一个事情，

以前的分布函数都是右连续，现在它不光是右连续，而且是什么？而且是左连续，因此你会发现一个事情，它的分布函数啊，一定是连续的。要注意一下这个事情，分布函数一定是连续的，不仅仅是又连续一定是连续。啊，这个外面声音有点大，好了，那么接下来过程当中，我们继续，

我们再来看看第四个点连续性随机变量，我们去求解概率。那么，求解概率怎么做呢？这里面当中啊，有两种方法，第一种方法呢就是积分。用概率密度函数积分也行，或者怎么办？用这个分布函数进行做差更简单。所以说两种操作性方法，一种是怎么办积分，一种是用分步函数进行做差，所以说这里面当中啊，我们的核心重点就是这几个考题。

所以你下去过程当中，你好好想想，每个类型问题怎么处理的啊？概率密度函数怎么定义的？它有什么性质？然后这里面当中连续型随机变量的分布函数具有什么性质，所以这时候你要读题的，有些题目应该说已知连续型随机变量怎么怎么样。对吧，连续性随机变量的什么什么怎么样？那这时候你要知道它的分布函数不仅仅是什么情况，哎，不仅仅是我们在这里面当中要求的一个什么右连续，而且左也连续。好基本问题啊，

所以下去过程当中，你好好想想基本问题点呃，不要乱想，想的太多了，对吧？这个跟那个什么大f小f那个连续性的，你发现好像没什么关系啊，基本点好，这个事情我们就讲到这，然后接下来过程当中，我们再来看看上次过程当中啊，讲的非常重要的内容。常见分布那么，在今年考研过程当中啊，一定会出题的。

常见分布一定会出题的，那么在这种当中我们来看看几个重点，一个事情是离散型随机变量的常见分布。离散型核心重点是什么？核心重点是三个字儿，分布率。如果你是个离散型，随机变量，你的核心重点就是分布率，我把你的分布率求出来就行，但是连续性随机变量呢，我的核心重点，我的核心重点是。概率密度函数。诶，

你发现一个事情概率密度函数这个人。所以说这样东西啊，已知的这个方向是不一样的。你要注意一个问题啊，就说一个题目告诉你是什么分布，它就相当于告诉你什么东西，如果是一个离散性随机变量，它告诉你是什么分布它。它就相当于告诉你了，分布率如果是个连续性随机变量，它告诉你服从什么分布，就相当于告诉你了，概率密度函数。能理解吗？好了，

那么接下来过程当中，我们先来看看第一个事情零一分布啊，第一个事情零一分布，那零一分布这个东西什么意思呢？其实就是伯努利时间。要不然成功，要不然失败，对吧？要不然是成功的，要不然是失败的啊，很吵是吧啊，这个今天雨特别大。我刚进那个商场啊，就是在那边儿那个咖啡厅跟一个谈了一点儿事儿，刚谈完，

然后就暴雨了。啊，好了，那么接下来过程当中，我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题，零一分布，那么如果一个题目当中啊，告诉你这个东西是个零一分布，它就相当于告诉什么？它就相当于告诉了你这个东西的分布率，对吧？两个事情零和一一般情况下，如果等于一说的是成功。如果说的是一啊，

说的是零，就说的是失败，那么成功的概率是谁p失败的概率是一减p？好，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们再来看看二项分布。如果一个题目告诉你说我这个人服从二项分布，对吧？我服从了二项分布。它的总个人数啊，对吧？次数是n，然后还有一个参数是p，什么意思呢？

它是这个意思对吧？进行了n次。独立的时间。我进行了n次，每次是相互独立的，每次成功的概率是p，我问你成功了多少次，那这时候你发现一个事情，如果这里面当中我成功的case在。怎么算呀？那就是n次里面取k次p的k次方，然后是一减p的n减k次方。k从几开始呢？从零一二三一直到n好，这个基本问题能理解吧，

所以说你要想清楚它什么意思？我进行了n次。每次是相互独立的，每次成功的概率是多少？我问你成功了多少次？就是这个事情。二项分布，然后接下来过程当中，我们再来看看泊松分布，你要注意一个事情，如果你上节课的作业题你做不出来。你或者是一点点都做不出来，你发现一个事情，你很明显不听话，你下去绝对没有整理上上课的内容。

你要是把上课的知识点整理了，你要是把讲义上的所有的例题会处理了，你去做那个作业难度系数一点都不大。你要注意啊，你慢慢来，你不要着急，你说你把作业做完了，你是为了学知识还是做作业呢？如果你学会了知识，你不做作业都行。但是你没有学会知识，你做再多的作业也没有用，所以同学们注意一个事情，什么是主，什么是次，

你要会学习。好了，那么接下来过程当中，我们再来看泊松分布。那泊松分布怎么说呢？说s啊，服从泊松分布，它的参数是拉姆达。当然，这个拉姆达大于零。然后如果告诉你服从泊松分布，就告诉了这个人的分布率，那这个分布率是多少？这个分布率就是k的阶乘。拉姆达的k次方e的负拉姆达次方注意，

这人从几开始啊，从零一二三一直到后面去。好基本问题，然后接下来过程当中，我们再来看看这个下面一个事情几何分布，那几何分布说什么呢？说如果s这个人呢？服从几何分布？哎，这个人他什么意思啊？叫做dk次才成功dk才成功的话就告诉了你分布率，那分布率就告诉你等于多少人的概率呗。那它是多少说明前面k- 1次都失败了，然后最后一次要成功，然后这个人k从几一二三一直到后面去。

能理解吧，好这些内容都能在脑子里面，请给我回回复个一，你要注意啊，如果告诉你服从什么分布离散型的。就相当于告诉你分布率，你就相当于能求出它等于多少点的出的概率结果。啊，这个基本点你要掌握清楚，然后接下来过程当中，我们再来看看连续性。连续性当中第一个事情，如果这个题告诉你是服从均匀分布，那就相当于告诉什么，比如说这样说。

服从ua到b的一个均匀分布。服从这个均匀分布啊，就相当于告诉你的概率密度函数，它的概率密度函数多少？它的概率密度函数是这样，如果这个s啊是大于a小于b的时候。它的概率，密度，函数等于长度分之一，如果这个东西在这个人的外面，它的概率，密度，函数等于零。那这个时候你发现一个事情，如果进去去求出一个人的概率呢，

求这个人的概率就等于长度之比a的这个长度比上总的长度。好，这个基本点，然后接下来过程当中，我们再来看，如果一个题目告诉你说，哎，我服从指数分布对吧？指数分布。那就相当于告诉什么，我就相当于告诉你的概率密度函数，它等于多少呢？它等于lambda倍的e的负lambdas。s怎么办？大于零，

如果这里面当中的话，你发现小于等于零呢，就是零，那同时而言的话，你发现我还能求出这个人的分布函数。那分布函数是多少？一减e的负lambdas s大于零，然后这里面的s小于等于零是几啊是零？好，这个基本问题，所以你要想清楚一个事情，就相当于怎么办？这叫常见的分布嘛。我们原来过程当中学离散性随机变量。我们又学连续型随机变量。

在离散型和连续型随机变量当中啊，有些非常常见的分布。当我告诉你离散性的分布，我就相当于告诉你分布率，你就可以用这个分布率去求出在哪个点处的概率。如果告诉你是连续性随机变量，我就相当于告诉你了，概率密度函数，那你就可以通过这个概率密度函数去积分求解概率。或者是通过这个分布函数，然后做差进行求改变。哎，基本点啊，你要想清楚行吧，那么接下来过程当中我们来讲一下这个上次过程当中作业吧，

好吧？你们看看有哪些题需要讲的啊？好，你看看有哪些题啊？先看考点四吧。427。好，我讲讲。428。430。426。越来越离谱了啊啊。你这是要干嘛呢啊？这是谁让我讲的题啊？你说你咋好意思呢，

对吧？你这题跟我们上课讲那个题有什么区别？你说你这题都不会做，你说你在这个下去过程当中，你说你好好复习了，谁信呢？你将来过程当中说这个如果的话，最后的话，你发现这个结果不太好，你说你努力了，你说这谁信呢？你自己又肯定是这个复习方法有问题。那上节课过程当中，我们不是讲过的题啊啊。还有吗？

呃，越来越离谱了啊，来三五。每次过程当中，这个讲作业真的是啊。行吧，那么接下来过程当中，我们来看看吧啊。好了吧，这是这个事情，行，那么接下来过程当中，我们来看看这几个题，你发现个事儿啊，这个。

呃，下去过程当中啊嗯。来看看吧。来讲讲吧。但是我有点担心。你让我静心去讲一个题，我花费一两分钟，那没有问题，但关键一个事情我很担心的，一个事情就是你的学习方法出现问题了。你一直很努力，最后你发现也是，如果这个结果不好，你说你多难受啊。所以说这个下去过程当中，

我建议呃，其实这个讲不讲这个题啊，我觉得无所谓，所以说问题你不听话，你老是不听话，我都说了好多次了。啊，好了，那么接下来过程当中，我们先来看这个题吧，来解。你看这个人，他说这个人和这个人都是概率密度函数吧，这俩人都是概率密度函数，他想让这个人是概率密度函数，

必须要保证什么性？必须要保证非负性，必须要保证归一性，大家想想一个事情呃，我们琢磨一个问题。如果你想让这个人是非富的。非负那么这个人是非负的话，你看你这个人是大于等于零，你这个人是大于等于零，你要想让这个结结果的话，你发现一定是大于零。得什么情况？你敢不敢保证的话，一个事情你敢不敢让这个b大于零？当然不敢。

你如果让这个b大于零，这个结果就有可能会小于零。你举个例子吧，比如说我们都取一。都取一的话，你发现你是正的，我是正的，有没有可能捡起来，结果有可能是什么？有没有可能这个结果是小于零有可能？它是有可能的，你要想让这个结果一定大于零，你必须得保证个什么事情，你必须要保证前面这个人是大于零。后面这个人是小于零，

你必须是什么？你必须是正加正。对吧，你要注意一下这个事情，你必须是正加正你，不然这个结果的话，有可能是小于零的，所以说这里面当中啊，你得保证一个事情，你这个a必须是大于零。你这个b必须是什么？必须是小于零，这样的话你才会保证一个事情，这个东西永远都是真的，你能听懂我的意思吗？

倘若什么事情呢？这个人是正，这个人是正，这两个一减有可能小于零，或者而言的话，你发现这个人是正，前面是负。这也有可能是小于零，所以大家注意啊，注意这个基本问题，然后接下来过程当中我们来看吧，归一心你就在这个负无穷到正无穷。然后对这个人进行积分，积分的结果是一，然后就是a，

然后是负无穷到正无穷，然后这是f1s积分。然后再减去b倍的f无穷到正无穷f2 sds积分，那这个结果等于多少？你归一吗？你也归一，这人等于一。也就说这两东西一减必须等于一，你发现你看这人不行，你看这人可以，你发现这人不行。对吧，你这一减的话，你发现不是一你这样一减呢也不行。但是你发现这个题啊，

要比我们上课讲那个题啊，恶心一点点，这是我专门出的一个题。我就想稍微的考考你，对吧？灵活度怎么样？那个题啊，是我们原来的真题当中出现过的题，就是我们上课讲义那个题是原来的真题当中出现过的题。但是你发现你看这个习题上的这个题啊，我给你改了一下。看有些同学就想不通了，说那到底选a还是选c呀？那这里面当中如果这两个人都是正的的话，你发现有可能这个结果小于零。

所以说这件事情这个不对，你得选c。你看稍微变一点点啊，也没什么灵活性啊，好了，这是这个事情吧，我们就讲到这儿，这四二六这个题。对吧，比上课讲那个题啊，难一点点啊。来继续，我们再来看。你下次能想清楚就行。能理解吧，

你下次能想清楚就行，你只要下次过程当中见到这个题啊，你会做就行，来继续再来看看这个题。四二七好，我们继续看。来看看这个点啊。那么，首先我们先来看第一个事情，你发现你看他说这俩人都是分步函数。是不具有四个性质啊，而且相应的概率密度函数概率密度函数具有两个性质，非复性和归一性。然后接下来过程当中，而且还说了一个事情，

这个概率密度函数什么函数连续函数我们讲了吧，如果概率密度函数是连续的，那。分布函数的导函数就等于概率密度函数，还记得吗？如果概率密度函数是连续的分布函数的导函数就等于概率密度函数。这个事情我们重点讲过。然后接下来过程当中，他说了，如果它一定为概率密度函数，那这时候积分结果等于几啊，积分结果等于一嘛。那这里面当中，你来看看第一个人行不行？你给这人积个分，

但是这个积分可不等于他的积分，乘他的积分呐。第一个人肯定不行。然后你再给这个人积分呢，你这个积分的话，你发现好像也看不出来啥。对吧，你发现这个事情，这个选项胡乱来的啊，纯属胡扯，没有一点靠的边的，你包括这个选项。那么，核心重点的话，我们来看看e选项。

e选项的话，你看如果给这个人积分，这积分这个人积分是一，这积分是一，那这个积分结果是三分之二啊。所以在这种当中只能是谁呢？只能去试一下dd这个人呢？还有点可能性，为什么呢？因为这个东西可以写成它的导函数。然后这个东西可以写成它的导函数。所以说这个结果啊，就做成这样了，那这个时候你发现一个事儿，它就变成什么，

它变成了你导我不导你不导我来导就是乘法求导。那乘法求导的话，你发现一个事情，这人导函数那最后的积分，结果呢？积分结果不就是它吗？好，这是这个人，然后把负无穷和正无穷带进去，正无穷带进去呢，我们都知道一个事情，你们两人都是分布函数，你们在正无穷的极限是。是一负同体的铅是零，所以说你把正无穷带进去呢，

那就是一×1是一，然后零×0是零，那这是一所以答案选几啊选d嘛？好，这个题啊，我们就不讲了，这也不难哦，我们讲啊，这个事情考给我们的完全可以。没有任何问题，考给我们原模原样的题都行好，这是这个事情来继续吧，再来看四二八。好，我们再来看看这个题。

看一下啊，这个人。呃，这个题啊，说实话是比较容易的一个题啊，就这个题，那首先我们来看看吧，他说这个人的概率密度函数是他。然后说负s=fs说明什么情况，说明这个概率密度函数是一个偶函数。所以说在这里面当中，我们就来看看这是fines，然后这是零，然后这是s，那这东西是个偶函数，

它就是这样一个情况。的偶函数，然后接下来过程当中告诉我们一个事情，说这个东西啊，是它的一个分布函数则怎么样？那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事儿，你发现第一个事情这个f负a呢？你如果在这种当中，你点一下，你看假设这是a，那这是不是负a啊？那我来问你一个事情，你看j里面当中的f负a是多少呢？

f负a不就是随机变量小于等于负a的概率吗？它应该是等于一的面积。没问题吧，它就等于一的面积，所以说它就等于这个部分面积。然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情。大fa呢？那这个人的话，其实就是随机变量小于等于a的概率，你把这个部分的面积叫二。那这个时候这个东西就是什么就是一，然后再加上二。没问题吧？那么然后接下来过程当中，

我们再来看你，发现看这是多少呢？零到a的这个积分，零到a的积分就是这个部分。所以接下来过程当中，我们应该也能看到。先来看第一事情，它说f负a=1-0到a。f负a是一。然后一减去零到a，这好像不对吧？你发现一个事情，一这个部分的面积应该是这块儿。诶，这是一的面积，

也就说这个东西也可以表示多少f负a没问题吧？f负a两个面积是一样吗？然后你再来看零到a的面积是这个人。所以说在这个题当中，我们应该得到了谁零到a的这个人的积分的这个面积，然后再加上f负a这个部分。它应该等于所有面积的一半儿，因为这是个偶函数，偶函数的话，整个积分的面积是一。一半面积就是二分之一，所以说这个题啊，应该选几啊，应该选b是没问题的。对吧，

选b，然后接下来过程当中再看f负a=fa相等吗？fa是这么多。f负a是这么多，两者肯定不相等，绝对不对。然后再来看看f负af负a=2倍的它减一。f负a这个人等于二倍的，它减一。这个东西好像没什么关系啊，你知道吧，这个东西好像没什么扯的，那么包括的话，这里面当中这个选项哎，完全的话都是充数的。

行吧，那么这个题我们就讲到这儿，核心重点是什么事情呢？就是你把这个图画一下，你要了解清楚什么是fa。什么是f负a？然后这里面当中零到a这个部分什么意思？把它掌握清楚就行行吧，掌握清楚给我回复一。好了，听明白给我回复一啊，这个题啊，最重要问题是画图。你把这个图像画出来就简单了。好了，

这是这个题啊。可以了吧，来继续吧。再来看一个题。看一下这个四二九。呃，说实话，四二九这个题啊，你没做出来答案也看不懂吗？你要是答案也看不懂这个问题，非常大了。啊，这个问题那么接下来过程当中，我们来看看它说了一个事情，它说连续型随机变量的分布函数。

哎，你要注意一下这个事情，不是分布函数，是连续型随机变量的分布函数。那所以说在这种当中，你必须要要求一个事情来，我们来看看这个基本点啊，首先这里面当中你要注意几个问题，它肯定怎么办？它还是一个什么非负的。另外，事情还是规范的，正无穷是一负，无穷是零。对吧，

然后另外一个事情不光又连续，而且是连续的。因为是连续性随机变量，所以说这个东西是连续的，然后是单调不减的，我就不写了。所以在这种当中，不光又连续，而且是连续的，你要注意一个事情，它是连续型随机变量的分布函数。如果是一般分布函数是右连续，但是如果它是连续型随机变量的分布函数呢？它必须是连续的。所以这个时候不光右连续，

而且左也连续好，我们先来看第一个事情吧，你看正无穷，结果是一没问题。负无穷，结果是零啊，就可以用一下了，好，我们来看看负无穷。那如果limits趋向负无穷，对谁求极限？是不是对这个人求极限b- 1求极限？所以说这是b- 1等于几呢等于零？所以说这个时候的话，你发现b就等于一。

那既然b=1的话，你看这两个东西就可以排除了。然后再来看看什么，再来看a那a这个东西怎么求呢？那a这个东西的话，你看如果这个人用右极限等于该点值的话，那没什么可做的，为什么如果趋向零的右极限？你会发现一个事情，这个右极限本来就等于函数值，为什么这个等号挂在这呢？对吧，挂在这儿，所以说接下来过程当中，我们要用左右。

那么，在这种当中，当s=0的时候。首先，我们先来看看左极限。那左极限等于多少呢？那就是比它小，趋向零负的话，极限的话，你看这是一。那这个时候这个极限结果就是零。如果接下来过程当中，我们再来看右极限。u极限的话，你再来求这个人极限就limit x趋向多少零正零正对这个二减去a倍的e的负的x减二求极限。

那这时候你带进去吧，你带进去的话，这是e的二次方二减去a乘上e的二次方是不这个事情？因为你发现一个事情要连续左右极限存在，且相等，那这个结果肯定要等于0a也出来了。好了，这是这个事情诶，等会儿啊。零处。这个零处。呃，这个题放到这儿吧，行吧，我下去改改呃，

你能理解什么意思就行，把这题给我标出来啊，这个题放到这儿。咳。嗯，你先放到这儿吧，好吧，先放到这儿。呃，你不能说换着算对吧？你这个分布函数必须是连续的，你也得保证零处是连续的，好把这个题放在这儿吧。我下去改一下。你不能说理二处可以的。

你不能这样对吧？你零处要连续二处也得连续你这两个点都得连续，你不能说这个连续那个不连续，那也不行，它也不是分步函数了。好注意一下，你把这个题放到这。你不要说用二数算出来了，好这个事情你们不用管哦，因为你们是做题的学生啊，你不用敢管这个什么啊，这些出题的事情啊。好，这个题啊，我下去过程当中修正一下啊，

这个人。好，这是这个事情嘛，来，我们继续，我们再来看看下一个题。好，四三零这个题啊，这个题啊，非常非常的好，会做的同学秒杀，不会做的同学的话，你发现会做半天。好，那么接下来过程当中，

我们一起来看看这个题。四三零好，再看这个。那这人怎么处理呢？那首先我们来看看给的概率密度函数，说s大于等于k的时候的概率，结果等于三分之二。然后接下来过程当中问我们k是多少，那么接下来过程当中啊，我们来把这个概率密度函数的曲线画出来。大家注意啊。给了概率密度函数，画出概率密度函数的有效区域是非常重要的，那么在这个当中，我们一起来看看这个事情。

你发现这是概率密度函数，这是零，然后这是s。那么，这是零到几呢？一然后这是多少三到六？零到一。三到六。好，我们来看看三到六零到一的时候等于多少呢？等于三分之一。啊，这是三分之一，然后这是多少？这是九分之二？

好，这是九分之二。三分之一好了，那么接下来过程当中，我们来看看这个事情吧，他说比这个人大。对吧，剩下的都是零。你剩下这些概率密度函数，你看这块都是零。你看这块都是零。他说，大于等于这个人的概率是三分之二，那么接下来过程当中，我们研究一下，

你发现看，如果你把这个人积满了。把这人积满的话，你发现个事情这东西刚好是三分之一。是吧，怎么了？零到一的数是三分之一。三到六的时候九分钟。哦，标反了是吧？行行行，无所谓了，无所谓了，好了，这是这个事情，

然后接下来过程当中，我们再来看你，发现这个面积是多少？如果把这人积满了之后的话，你发现刚好是三分之二。哎，你发现一个事情，这个部分的面积的这个整体啊，就刚好是三分之二好了，你别管这个事情，无所谓的啊，草图嘛，对吧？好了，这是这个事情，

这个东西的话是三分之二。刚刚好是三分之二，这个部分是三分之一，他说什么时间比这个点大，对吧？你如果进行去比这个人大，比这人大的话，我们就是从k七到正无穷。那这个时候的话，你想想一个事情，如果我这个k在这儿行不行？我可以在这儿的话，我进行去积分的，结果刚好是三分之二。但是你往前跑一点点就不行了。

对吧，跑一点就不行了，你往后跑一点行不行？你再往后面跑一点行不行？你再往后面跑一点行不行？哎，你发现一个事情，但是迈过这儿又不行了。迈过这儿就不行了，迈过这儿的话，你发现你看你现在这个部分的面积刚好三分之二，如果你再多一点就不行了，因此你发现这个k只能怎么办？k只能在这个范围内跑。因此，

你发现一定是一到三。那么，绩效过程当中，我们来看看再三这个点行不行？行不行可以的，你再三这个点的话，你发现一个事情比这个人大的话，你看如果k就是三。k就是三的话，你发现大于等于三的概率刚好是这个没有问题，那同学们想我就在一行不行？我就在一的话，你发现一个事情比这人大的概率呢，还是这个人也可以，所以说这个k啊，

应该是大于等于一。小于等于三哎，所以说这里面当中啊，正确答案选一。你发现一个事情，这种题啊，很有我们的考题的感觉。你包括的话，这个有些东西可能这个往年做了一些真题，对吧？做过原来的这些真题，你非常的感觉这个事情。你发现我们的考题就很有这种感觉。啊，就是这个样子的，

难也不难，稍微的灵活度还稍微的会高一点点，稍微的技巧性还强一点点啊，这是你要稍微注意的。所以你看这个部分的面积刚好是三分之二。你只有把这个区域积满了，它就三分之二，你再多一点点的话，你发现就不行，哎，要注意啊，很喜欢出这种题。呃，这种题啊，如果说今天讲的这几个题啊，

四三零最有我们现在出题的这种感觉啊，非常重要。好吧，这个是这个事情，那么接下来过程当中，我们再来看。还有哪个题需要讲吗？这题不讲了。四三五我也不讲了吧啊。你四三五这个题不会做啊？你得重学啊，我没开玩笑，你确实得重学，你得把上节课的部分内容你重新学一遍，就这个题。

那么这个题的话，你就发现给了概率密度函数去求参数，你都不会归一性吗？归一性嘛，然后知道这人去求分布函数，你不会你得重学啊，你不要说啊，那我下去过程当中，我是题做少了，你胡扯。你不是题做错少了，你很明显一个事情就是这里面当中啊，你的内容没消化到位。你下去过程当中得好好复习了啊，好了，

那么这个事儿我们就讲到这儿，那么接下来过程当中啊，我们就正式开始今天的核心重点内容。啊，今天啊，还有两个部分的重点呢，那么接下来过程当中，我们来看看这节课最重要的一个知识点，正态分布。我也明确讲了一个事情，这个内容我们考研必考。今年的过程当中啊，在考研过程当中一定会进行出题的必考内容正态分布。在所有的分布当中，正态分布是最重要的。

没有之一，它是最最重要的一种。那么，接下来过程当中，我来讲讲什么东西叫正态分布。啊，什么是正态分布？我讲讲这个事情。如果你在这个大学过程当中啊，学习过一个这个。呃，概率论呐，或者叫概率论，数据统计或者是统计学都可以，你里面当中啊，

你可能会做过一个东西，叫做什么叫做高尔顿？挡板实验。哎，高尔顿挡板实验，那高尔顿挡板实验是什么呢？它这样的一个实验就说你发现你看你这个东西啊。它是一个什么哎？这是一个容器。这个容器的话，你发现是这样子。哎，这是一个容器。诶容器，然后怎么办呢？

呃，我在这里面当中插了一些板。啊，插了些板。也就说，将来过程当中啊，这块儿是有漏的。这块是漏的。可能说一个事情，说老师你这个板是怎么插的？怎么悬空了？我再来讲一下我这个东西是个立体的，听懂吗？啊，如果你是俯视图的话，

你发现一个事儿就是这块儿有个圈儿。能听懂吧？你不要乱来啊，好，这是这个事情，我这是画的平面图，你要理解啊，就是你横着切一刀的话，就是一个平面。上面有些漏洞，哎，有些漏洞。那么，接下来过程当中怎么办呢？我在这种当中塞一些球进去。

非常小的一些球，我把它投进去。那投进去了之后的话，你发现它的下面呢是一系列的漏斗。这个试验很简单吧，就什么意思呢？我把这个球投进去，球可以在这里面当中随便的滚，随便的滚，最后漏到这个漏斗里面。然后接下来过程当中，我们来看看这个事情最后会发生一个什么样的结果呢？我给你讲讲这个事情，最后啊，如果你投的非常的多，

它最后出现了这种情况。出现什么情况呢？最后的球是这样。中间的最多。两边的次值再往远跑的话，你发现就越来越少了，越来越少了诶，两边的次值。两边的次之，两边次之，两边次之，哎，你发现跑到旁边越来越少了，就这个情况。最后的球的话，

你发现大致是这个样子。你可以下去试一下，就是这个问题，最后你发现看我把这个曲线连起来呢，最后就是这样一条曲线。诶，就是这条曲线，这条曲线叫什么曲线呢？就是我们常说的正态分布曲线。这个正态分布曲线是非常具有实际价值的。如果说我们这三门课程呢？哪门课程跟实际问题连接起来最挂钩呢？就是概率论。你发现一个事情，我们实际生活当中很多问题都是这样，

比如说举个例子，我们去晋西区，比如说我们看呃，今天的话，我想进行采采集，这个海淀区。对吧，然后的话，这个大学生。大学生男生的体重的问题。我想进行看体重的问题，你想想最后而言的话，它最后生成的这个东西还不是一条正态分布曲线吗？对吧，正态分布曲线这个东西表示的平均值平均值假设的话，

你发现是120斤，比如说男生。120斤或者是130斤，那你想想一个事情，大家想一个问题，如果你能长到200斤，人是不特别少？那肯定的呀。那当然了，你要是只有四五十斤，40斤，30斤，那就更少了。你长了300斤，你见过吗？

我还没见过呢。所以它越跑的越远的话，你发现两边越少。它中间的这个部分的东西是最多的，内容是最多的。他肯定是这样，考研也是这样，对吧？考研分数也是这样，你比如说举个例子，以我们三九六同学为例，你假设我们考70分。70分的话，假设45分平均分，那这个时候你发现一个事情，

你看。聚集到这儿是非常啊，这个什么多的。能考到这个满分的人数啊，你发现肯定会下降的。它一定会是这样，它最后的话，你发现放两倍聚集，其实你发现我们的70分呢，这个还稍微的少一点，你比如说举个例子，假设以数一数二数三的150分为例。那这里面当中，如果这个年的平均分，比如说90分，

那90分的话，你看聚集到这儿的人数会很多呀。对吧，这一块的人数会很多，你越偏离的话，人数越少。你举个例子吧，你发现你考150分的考149分的148分的人肯定少，你考到零分的一分的两分的，这人也很少啊。那么，最重要问题都聚集在这了。哎，这就是这个问题，能理解我的意思吗？

所以说你要注意这个点啊，这是这个事情。所以这就是我们在这本当中常说的这个正态分布，它非常具有实际价值，你去统计很多问题，它都是一条什么最后的落脚点，都是一个正态分布曲线。对吧，都是一个这样的人。所以接下来过程当中，我们一起来看看第一个事情，我们先来讲讲正态分布。首先第一件事情，我们先讲一般正态分布。一般正态分布。

那么，首先我们先看第一个问题，一般正态分布，如果告诉你正态分布就告诉你了，服从连续性随机变量。那连续性随机变量，它会告诉你什么？它就会告诉你概率密度函数，所以说如果一个题说我服从正态分布这样写。它里面当中有两个参数，一个是缪，这个参数，一个是sigma方，这个参数。学到这个第四章你就知道了，

这个东西表示的期望，这个东西表示了方差，等我们后面再讲。所以你看这句话读作，我服从了正态分布，我的第一个参数是缪，我的第二个参数是sigma方。如果告诉你服从正态分布，就相当于告诉了你概率密度函数，那概率密度函数等于多少呢？它等于根号下二派sigma。然后是一的负的2倍的sigma方x进行去减MU的平方x属于。r有的可能会问了，说老师这个东西那么的恶心，要背吗？

当然要背。它比我们上节课讲的任何一种概率密度函数曲线都重要。比我们上节课讲的任何一种分布都重要，这件事情一定要把它给我背过。非常关键哦，不是重点，是相当大的重点。那么，接下来过程当中，我们来看看这条概率密度函数曲线是怎么画的？好吧，那么接下来过程当中，我们一起来看看吧，来看看这个人。怎么画呢？

如果在这种当中，你发现一个事情，你不会画这个人，那我问你个事情，我们画简单一点，你会不会画这个人呢？会画吗？这个会画吧，那这里面当中的话，你发现e的负I次方当s越大的话，你发现这个部分是这样子的。而且这个人是个偶函数，是这样子。这个会画吧？你肯定会画呀。

然后接下来过程当中，你会画这个人，那我相信问题不大了，你就会画这个人。这人怎么画左加右减法？也就说什么意思呢？我就把这个人向右平移，哎，你发现一个事情MU个单位。是吧，移动六个单位，然后接下来过程当中，你发现你会画这个人了，之后的话，你是不会画这个人呐。

这个东西啊，叫做伸缩变换，伸缩变换一下子之后的话，你发现你看巅峰值不变嘛，还是一因为你发现一个事情，这个最大就是一。但是你发现一个事儿，这个里面当中啊，可能有高低或者胖瘦的区别，你别管了，还是这个样子。然后记下的过程当中，这个人就都会画了，那这里面当中我们这个人也会画，那这个人影响什么呢？

原来我们的最大值是几是一？当你乘上这个数了之后呢，我的最大值变成谁？我的最大值就变成你，所以说最后啊，它就形成了这样一条。曲线哎，这样一条曲线。好，那么接下来过程当中，我们来研究一下这条线。这条线的对称轴是谁？是m这条线的巅峰值呢？巅峰值就是根号下二派sigma。所以在这个当中啊，

你要清楚一个事情，你看这个c干嘛决定了这个人的巅峰值，这个缪决定了这个东西的平移的一个什么平移的这个对称轴的一个情况。能理解吧，缪就是个对称轴。MU是一个对称轴，然后这个sigma影响了这个人的高度，那你想想一个事情，我们来看看这两个人的范围。那请告诉我，没有什么范围呀。MU是不是属于r啊？你想是不是你没有这个人的话，你可以在这个数轴线上随便平移啊，没有问题，

但是你要注意一个事情，这个sigma呢，一定要大于零。因为什么情况，概率密度函数一定要位于x轴的上方，所以说这个时候。sigma大于零。诶，两个事情要注意，这个概率密度函数曲线。非常关键。基本点好，这是这个事情，然后另外一个题啊，有件事情有个考题，

什么考题呢？大家琢磨一下。你看这个人。好，我们来看看这个人。那这个部分的话，你发现我小于缪的概率是多少？二分之一吧大于MU的概率是多少？二分之一吧，因为你是个对称轴啊，你对称轴的话，左边和右边的概率都是一样的，都是二分之一啊。都会是二分之一。所以在这种当中啊，

就会出现一种考题，你比如说我举个例子啊，他一个题这样说。说如果这个s服从什么呢？服从MU sigma方说这里面当中s大于等于六。它的概率是二分之一，那你告诉我六等于多少？是谁呀？六就是m。为什么呢？如果在正态分布里面出现了二分之一，你要注意二分之一，出现了之后它就是个对称轴。对吧，这就对称轴MU就是零。

要注意一下这个事情啊，基本点二分之一这个事情非常的，关键在我们的概率论当中啊，如果是正态分布出现这个二分之一啊，它就是对称轴。对称轴就是这个情况。好基本点过去了。行吧，这是我们讲的这个第一个问题，但是你要注意在考研过程当中，这个是最喜欢考的吗？不是的。不是最喜欢考的，最喜欢考的是谁呢？是我们的标准正态分布。

标准正态分布。好，这个人。那标准正态分布啊，那么记下过程当中我们得重点讲一下，这个人是五星级的重点标准正态分布。我们考研过程当中啊，最喜欢研究的就是标准正态分布，那么首先我们先来看看第一个事情，它的概率密度函数曲线。概率密度。函数曲线。那它的概率密度函数长什么样子呢？它这样如果你是个标准正态分布，我就是服从n零一。

n零一什么意思呢？就是给你的缪进行取零。你这个sigma方等于一了，但是sigma是大于零的，sigma就等于一。能理解吧，缪是0 sigma是一，所以说这人的概率密度函数长什么样子好，我们一起来写一下，它就等于。根号下二拍一的负的2倍的sigma方是一，然后是s-mu^2就是s方。x属于r好，这个人能理解吧，那么接下来过程当中，

我们再来看看第二事情，我们来看看它的图像。哎，概率密度函数的图像，我问你个事情。这条曲线是固定的还是不固定？固定不固定。啊，固定还是不固定？标准正台分布的曲线是固定还是不固定？固定的嘛。你想想一个事情，这个函数你画进去，它是唯一的一条曲线。他不像刚才这个人，

刚才这里面当中缪不知道sigma，不知道当我取不同的缪，不同的sigma这条曲线肯定会在发生改变。但是你要注意一个事情，现在的缪就是0 sigma就是一，你这个概率密度函数曲线的话，你发现每个参数都是固定的。所以说这个东西你发现一定是固定的，要注意啊，概率密度函数标准正态分布的概率密度函数是唯一的。但是，正态分布的概率密度函数曲线不唯一，为什么呢？因为这里面当中，缪和这个sigma是没有取的。

没有取的话，你取不同的人的话，他是不同的样子，你比如说我们取这个人，他这样子取这个人，这样子取这个人，这样子对吧？但是都长这样子。但是你要注意标准正态分布呢，标准正态分布是唯一的，因为这里面当中缪已经规定了sigma，也规定了那这人的概率密度函数就长什么样子。就长这样子。你要注意哦。标准正态分布的概率密度函数是唯一的啊，

这个同学说的非常的好，这是一个标尺。诶，这是一把标尺非常重要，它是一把尺子。那么，在这种当中，我们来看看几个重点吧。那么，首先我们先看第一个问题。有没有发现一个事情，这个人的对称轴是什么轴？对称轴是y轴吧？所以说这人的概率密度函数是个偶函数。那么，

接下来过程当中，我们再来看看第三个事情。我们来谈谈它的分布函数。诶，分布函数。标准正态分布的分布函数，那这个分布函数的话，你发现我们喜欢用大fx进行表示，它等于多少呢？它等于负无穷到x。然后是多少是概率密度函数曲线的积分？那我想问你个事情，这个分布函数啊？其实就是对这条线，然后进行积分吧。

对吧，就是从负无穷积到s。当如果在考研过程当中给你一个x之后，这个值是唯一的还是不唯一的？我让同学们能学进去吗？这个很简单的一个问题啊，唯一还是不唯一？你想想一个事情。我再说一遍，这条曲线是固定的。对吧，固定的当如果在这里面当中，比如说举个例子，你想哎，我给你个a的值，

那你想想一个事情，这个部分的话的概率一定是唯一的。绝对是唯一的。为什么？因为这条曲线是固定的呀，当我给你一个值的时候，那这个时候你从负无穷积到a基数的结果一定是唯一的。所以说你还记得原来过程当中啊，大学的时候你学习这个概率论吗？我给你稍微找一下。好，我们来看看。呃，大学过程当中啊，你学习的这个概率论后面是不是有张表啊？

对吧，后面有张表。你看这个人。那么，这里面当中的话，比如说我举个例子，它说标准正态分布的分布表。什么意思呢？就是对这个什么就是对这个概率密度函数的积分。它是唯一的，当我给你x进行取一个数的时候，它就是个唯一的。你比如说举个例子，你看。你在这里面当中，

如果这个s取几s，如果这里面当中取零。你去零的话，你发现一个事情，这个东西是唯一的呀，你就唯一进行确定，所以大家注意啊，标准正态分布这个东西是唯一的。有说老师这东西要不要背呀啊？你注意啊，不要背，千万不要背。不要背，你知道是唯一就行了，考试过程当中会给你的，

就如果在这种当中，你要注意，如果你是个标准正态分布的分布函数。就是对这个概率密度函数进行积分，但是你不用记，你不会记。你不要把它记出来，你记不出来的，如果在考研过程当中，比如说我举个例子，我让去求三处的值。它就会给你负无穷到三对标准正态分布的概率密度函数的结果是多少，它会给你。能理解我的意思吗？它是唯一的。

它是固定的，因为这条线是固定的，当你点到一个点的时候，从负无穷积到这时候，这个结果是唯一的。啊，这是你要注意的好，这是我们讲的这个重点内容，然后接下来过程当中我们来看看重中之重的内容来看一下，下面一个问题。哎，黄金重点。黄金终点。我们来看看这个。那么，

这里面当中啊，就有一个非常非常重要的一个内容了，我们来一起来看看这个事情。操作下这个问题。黄金重点内容，那就是标准正态化。啊，标准正态化。那么，在考研过程当中，我们先来看看第一个事情。我们先来讲讲它的内容标准，正态化的内容。如果在考研过程当中啊，给你一个正态分布，

你一定可以把它变成标准正态分布啊，绝对可以的，这件事情就叫标准正态化。我们来看看内容。如果在这种当中，比如说举个例子吧，说如果这个x是服从什么情况，服从这个正态分布。是吧，正态分布，那这个时候你发现一个事情，这个x这个人呢？减去这个缪比上sigma这个人。那这个时候的话，你发现他就服从n零一这个分布。

要注意啊，首先第一个事情把它进行去平移，然后再进行一个伸缩变换，就服从了n零一的变换。大家想想一个事情，你要理解哦。这是不是一个新的随机变量？是吧，这就变成了一个新的随机变量了。也就说什么意思呢？你这个随机变量进行去减去MU除，以这个sigma这个人就变成了一个新的随机变量。这个新的随机变量就服从n零一的分布。所以大家一定要理解清楚啊，如果这个随机变量服从n MU sigma方那x进行去减MU比上sigma，

这个整体就是个新的随机变量。这个随机变量服从什么？服从n零一这个分布。能理解吧好，这是一个重点内容，那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题，第二事情。好定时四倍。考研中。只要见到正态分布。正态分布。立即标准正态化。哎，不用想。

只要在考研过程当中，你发现我只要见到正态分布。对吧，我只要见到这个人是个正态分布。我立即干嘛？我立即把它进行标准正态化，我想都不想。你这个人是服从正态分布，我减科没有比上sigma，我就立即服从标准正态分布。因为标准正态分布是唯一的呀，它的曲线是唯一的呀，我比如说我举个简单例子，你想想，比如说我出一个看一个题啊。

你看这个人，你这个人是服从这个正态分布，你这个人是服从这个正态分布，你这个人是服从这个正态分布，同学们想想。你的分布曲线不一样。对吧，你分布曲线不一样，你在不同段内进行求出的概率，结果一样不一样。当然不一样了，你比如说我举个例子。你这个人是这个样子，图形。你这个样子是这个样子，

图形你都是位于这个什么，比如说都是位于零到一。你都是位于零到一，你求出概率肯定不一样。是吧，这个时候就没法比了。你比不了了，因为你的曲线长这样子，我的曲线长这样子，你相同段内进行去积分，你结果也不一样。所以说这个时候就没法比了。但是我们可以通过一种方法，你是服从这个正态分布，你是服从这个正态分布，

你是这个正态分布，我都可以把你变成什么都把你变成n零一的分布。都变成同一个分布，你分布相同了，你曲线不就是一样的吗？所以这件事情要理解啊，你要注意，如果分布一样了。大家注意，如果这里面当中你的分布是一样的，比如说你们都是服从n零一的分布。那这个时候你的概率密度函数都是根号下二派e的负的二分之x方，那这个时候你发现你的概率密度函数曲线不就是一样？我们这几个人的概率密度函数曲线都是一样，这个时候你就可以在同一个曲线上，

比如说我是判断零到一的积分。你是一到二的积分，你很明显，我这个积分比你大，我就可以看出来我的概率比你大。能理解吧，就可以把它化成同一种分布，哎，你们是不同分布，但是我通过这样的一个标准正态化之后，我们就把你化成了同一种分布。这是个基本问题啊，好，这是这个内容第一件事儿，它的内容第二事情定时思维。

哎，定式思维。那么，接下来过程当中，我们再来看第三个点。哎，标准。正态分布的性质。哎，这个性质啊，非常的关键标准，正态分布的重要性质好，我们来看看第三条内容。那么，如果这个东西是服从标准正态分布，

它拥有什么性质呢？我们来重点来看看，比如说如果这个随机变量。它仅仅是个代号，你不要一直用大S表示，它也可以用y表示，你就是个代号，如果你这个随机变量服从n零一了之后。来，我们来看看拥有哪些性质呢？首先，我们先看第一个事情，如果你服从了n零一，那这个时候你的概率密度函数是唯一的吧？你的概率密度函数都关于什么对称？

都关于y轴对比。所以说这个时候你要注意，它是唯一的。好，如果你们都服从n零一，你们的概率密度函数是唯一的，都关于y轴对称。那这时候我们来看看第一个事情，你发现它们的分布函数是谁？这是标准正态分布的分布函数吧？标准正态分布的分布函数在零处等于几啊？等于几你是标准正态分布。标准正态分布在零处的结果就等于什么东西呢？就等于你小于等于零的概率。那就是标准正态分布的概率密度函数曲线从负无穷七到零对二分之一好，

这是第一个事情。继续来看那么，然后接下来过程当中，我们再来操作，你发现如果这人是a。哎，这是a，然后这人是负a，我再来问你一个事情，那这个时候你看phi a跟phi负a之间什么关系啊？你都知道f负a这个人应该是这样，稍等一下，我把这个复制一下。f负a是这个部分面积。这个部分的面积就等于这个部分面积，

因为phi负a是小于等于负一的概率加和嘛，这两个面积。然后接下来过程当中，我们再来看一下fa fa是哪个部分呢？小于等于a的概率，小于等于a的概率在这儿。哦，这是小于等于a的概率。那就说明小于等于a的概率和什么东西呢？这个部分的概率加起来等于几等于一说明什么事情，两者相加必须等于一。说明f负a=1-fa。两人一家等于一，然后接下来过程当中，我们再看第三个事情，

继续来看第三个问题最重要。如果你这个人是服从标准正态分布的，那这条线就是你的概率密度函数曲线，那么请同学们告诉我这个范围的概率怎么算？就说如果你是一个标准正态分布的。那这个人你如果小于等于a的概率呢？小于等于a的概率的话，不就是这个人和这个人之间的概率吗？不就说我们在这种当中的x怎么办？大于等于负a，小于等于a嘛，我就可以用分布函数做差了呀，就是a处的分布函数再减去负a处的分布函数。而这人等于几呢？这两人一加等于一，

你就等于一减一减它，它不就等于二倍的phi a减一吗？好，这是这个事情，能听懂吧？如果这个人是服从标准正态分布，你小于绝对值，小于等于a的概率就等于二倍的。标准正态分布的分布函数再减去一在a处的值减个一，你要注意啊，这个值是固定的。标准正态分布的概率密度函数曲线是固定的，它的分布函数只要在能确定一个点处的值，它都是唯一的。好了，

这几个性质非常的关键。非常非常重要，但是一定要注意啊，这是谁的性质啊？这一定是标准正态分布的分布函数的性质啊，这个要注意。一定是标准正态分布的分布函数的啊，这叫重点性质。好，这个内容我们就讲到这儿，能想清楚吧，来做几个题吧，因为有些人可能听懂了，但这个实践起来还挺重要。我们来做几个，

先看第一个人。好，先看第一个人。这个题他说这样的事情，他说这个人是标准正态分布的概率密度函数。注意啊，是标准正态分布的概率密度函数，它应该长什么样子呢？这个东西啊，它应该长这样子，注意我再说一遍，标准正态分布的概率密度函数是唯一的吧？因为它的方程是唯一的，那这人是唯一的诶，它长这样子。

然后这个东西呢，它是零的啊，这个负一到三上的均匀分布的概率密度函数，我们也能写出来。然后接下来过程当中又说，如果这个东西是概率密度函数AB，应该满足什么？同学们想想概率密度函数满足什么？一个事情是这两人都必须大于零，非负非负的话，你发现这个a必须大于0b，必须大于零，哎，满足了。AB都是大于零的嘛AB大于零的话，

你发现大于零大于零非负满足了第二事情重点什么重点是归一性。那就是负无穷到正无穷fs这个人的积分，它必须等于几等于一。所以说在这种当中，我们就来看看这个事情。那这点当中的话，你发现比零小的时候，那就是负无穷到几负无穷到0a倍的多少f1s积分？然后再加上多少，再加上零到正无穷，然后是必备的f2 sds积分，这结果等于几啊，等于一。好，这个事情，

然后接下来过程当中，我们就继续看吧，你再来看这个人怎么算？那这类目当中的话，你发现这谁啊？标准正态分布的概率密度函数啊？标准正态分布的概率密度函数从负无穷积到零的概率是几零的概率二分之一，所以说这是二分之一a。好把b提出去，那这个人呢？这人是服从什么？服从负一到三。的均匀分布，然后这里面当中我们要从多少从零极到正无穷零极到正无穷，就是有效长度，

有效长度，总长度是多少四？然后这有效长度是多少三，然后结果等于几？是不出来了。因为你是服从均匀分布的嘛，你均匀分布的话，你进行去求解这个什么零到正无穷，这个积分不就是零到正无穷的概率吗？求解这个概率的话，你发现就是长度之比嘛，所以说这个时候马上出来，它就变成多少2 a+3 b就等于四。所以说这个结果正确答案选a啊。能理解吧，

好二点一九不难吧？来继续哦，再看下面这个题。你看这个题怎么做？那么这个题我们就继续看吧，你发现这个人是服从正态分布。我见到了x- 0。我只要见到x-mu的话，你发现一个事情，我就会立即想到标准正态化，所以说这个时候你发现马上写x-mu。比上这个人就会服从n零一这个人对吧？你这个人是服从n零一那你这个人是服从n零一的话，我们首先看第一个事情。你x-mu这个人，

你小于sigma，我们要求解这个概率，然后这个时候你都知道一个事情sigma这个人什么零大于零。所以说这个时候把这人两边同时除过去除过去，这人大于零，这是绝对值小于一。没问题吧，把它除过去，这里就小于一，那同学们想想一个事情，你这个东西可以看作成什么，你把它看成y呀。你就把它看成一个y的随机变量，你看成y这个随机变量的话，你马上就可以写y这个随机变量小于一。

大家想想一个事情，你这个人是什么？你这个随机变量服从什么？服从n零一啊。大家一定要注意啊，只要你这个人的分布是n零一，你的概率密度函数都是这个人。你从负一到一处的进行去积分就是等于多少二倍的标准，正态分布的分布函数在一处只减一。这是不刚才讲的。你要注意啊，只要你这个人是服从n零一的标准震态分布。只要你是服从标准正态分布，你这个标准正态分布的这个人小于等于a的概率就等于二倍的标准正态分布的分布函数。在a处值再减个一。

能理解吧好，这是这个事情，所以说这个内容马上出来了，你发现变变这是个常数啊，不会变的答案选c。呃，这个题很有我们的考题的味道。很喜欢这样考，是不是不变呢？是递增呢？还是递减呢？基本问题好，这是二点二零。过去了，可以吗？

来我们继续啊，我们再来看看下面一个题来再来看。看这个题，那么现在这个题的话，你看它说这个随机变量，服从这个正态分布。这个随机变量服从这个正态分布，那同学们想想你是一个正态分布，我也是个正态分布，然后让我们两个人进行去比较，那怎么比呀？我们喜欢放在同一个图像上比，所以说这里面当中啊，就不可避免的，怎么办？

划成同一个分布，那这时候你发现我减去缪一。比上sigma 1，我就会服从n零一这个分布。然后接下来过程当中，我y这个人减去my MU 2比上sigma 2，我就服从多少n零一这个分比。大家想想一个事情，你琢磨下。这俩人的分布是一样的。我把比如说举个例子，我把这人叫做呃z1。行吧，我把这人叫做z2。你想想一个事情，

两个人的分布是一样的，我多讲讲。这里面当中能涉及什么问题啊？可能有同学可能这个理解当中啊，你要注意。两个随机变量。分布一样。能突出什么东西啊？如果我们这两个人的话，你发现分布是一样。那我们两个人的分布是一样。那对于连续性而言。对吧，连续性而言，你的分布是一样，

你的概率密度函数是不一样。是吧，概率密度函数是一样的。因为都是n零一嘛，只要服从n零一，它的这个分呃概率密度函数都是二根号下二派分之一，然后是e的负的二分之x次方。它概率密度函数一样，那概率密度函数的曲线是不一样。那相同段内。的概率是不是一样？能理解吗？所以说你要想清楚一个问题，你这里面当中到底突出了什么意思？对吧？

这个基本点。好，我们来看看这个事情。所以这个内容你要想清楚，能理解吗？就说如果你们俩的分布是一样，你都是n零一，你只要服从n零一，你的概率密度函数曲线肯定是一样的。那这个时候你发现概率密度函数曲线一样，你画出曲线一样，你在这个相同段内进行积分的结果不就一样吗？啊，这个非常简单啊，所以说这个时候我们就可以来操作了，

来一起来看看这个人。走向先来看第一个事情。那么，这里面当中的第一个人的话，你就可以把它进行处理一下了，你怎么办？你就要把它变成这个人s进行去减MU 1。你是不是要除上sigma一呀？你这个人就要小于sigma一分之一。好这个人，然后第二人呢？那么这里面当中我们就继续处理，然后就是y减去多少缪尔，然后接下来你要除以多少，然后。

然后要小于多少sigma二分之一，因为它是大于零。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事情，你发现这个人是服从标准正态分布吧？这个人是服从标准正态分布吧？它的曲线都是一样，当一个服从标准正态分布的人，它的绝对值小于等于一个数，它的结果呢，都是二倍的标准正态分布的分布函数，在这个数处的值。再减个一。是不这个事情啊，

这人比他大。然后接下来过程当中就得到什么，就得到继续二倍的标准，正态分布的分布函数值在这个处的值再减一。所以说你就得到什么情况，你就得到这个人比这个人大。没问题吧，而分布函数具有什么东西啊？单调不减型，哪有那么多单调不减啊，基本上都是单调递增，你里面外面越大，你这个结果就越大。里面越大，结果越大，

对吧？那外面越大，里面就越大，这个基本点，而这个东西是正的，那越大就越小。好正确答案选几选a。所以你发现一个事情，你看做了半天，你只要是不同的正态分布，我都化成同一个分布，我们既然分布一样了，我曲线就一样，我研究起来这个问题就简单了。那你想想，

你这是一这个分布，你这个也是这个分布，我们两个是同一个分布，我们俩的概率密度函数曲线是同一条，我们的绝对值小于这个数，那你就可以转了。你这个人选这个值，你就可以转了。好听明白了，给我回复一吧啊，基本问题啊，二点二一这个题。可以的吗？掌握清楚给我回复一。行吧，

这是基本问题，然后我们稍微的休息会儿吧，然后下课休息过程当中，你把这个二点二二这个题做了。好不好？你把这题做了，二点二一定要注意啊，为什么要划成同一个分布？一旦分布一样了，概率密度函数的曲线就一样了，分布在相同段内的积分的结果就一样了，概率的结果就一样了。好，下课休息过程当中啊，你把这个题做一下好不好？

好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊，二点二二这个题。可以吧。

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