05.连续型随机变量、常见分布-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:51:40

好，接下来我就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而是画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们的概率论呃，上次过程当中的内容啊，还比较重要一点，不知道下去过程当中有没有好好整理一下内容点非常的重要。可能相对于这个第一章过程当中啊，

内容点更好接受一点，那么在这个当中啊，我们稍微进行去复习一下，那么在上次过程当中啊，核心重点就讲了这两大问题。第一事情就是分布函数内容，那第二事情叫做离散型随机变量，所以接下来过程当中，我们一起来把这个部分的核心知识点呢，我们先来回顾复习一下。好了，那么接下来过程当中，我们先来看看这里面当中的第一个问题啊。那么，在这种当中啊，

你发现第一个事情其实就是分布函数的概念，对吧？分布函数的定义非常的重要，所以同学们一定要注意一个事情。分布函数，它针对的是随机变量而言。是随机变量的分布函数，它怎么定义的呢？它这样定义，如果这个函数叫做分布函数。它怎么定义呢？它在s处值就是这个随机变量小于等于s的概率的加和能理解吧，就说你在这个点处的值就是什么情况，就是这个随机变量小于等于这个点概率的加和。那比如说举个例子，

如果有一天过程当中，你发现一个事情，我想进行去计算a处值怎么办？我就这样，我就让这个随机变量小于等于a的概率。把这东西啊，加起来那么求出这个结果是多少？那就说明了这个点处的值就是多少能理解吧？好，第一个问题。然后接下过程当中，我们再来看第20题分布函数的性质，那分布函数有几个性质啊？核心重点四个性质。第一事情叫做非负性，

规范性，又连续单调不间隙，尤其是这里面当中啊，你发现规范性规范性就说明在正无穷，必须等于一。在负穷必须等于零。好这个人，而且第二个事情他必须要具备什么具备右连续的性质啊，注意啊，我不需要连续，我只需要保证什么东西啊，你是右连续就行。而不需要说这个函数是连续的，右连续不需要左连续，什么叫右连续呢？

右极限等于这个点处的函数值就叫右连续。好了，最后一个事件叫做单调不间隙，核心重点用的，你其实就是这个人和这个人，因为具备右联系性质，所以说把这个分步函数写成左闭右开的形式。永远不会出错，对吧？这是个基本问题，然后接下来过程当中，我们再来看看下一个事情分布函数和概率之间的关系，核心重点掌握两个人就行。如果是小于等于这个人呢？就是该点处的值，

如果这个东西是小于呢？小于就是该点处的左极限，那就是limits趋向于a负。真人极限好这个问题，所以说同学们一定要注意，小于等于该点值，小于该点做极限。你看，这是我们上节课过程当中啊，讲的第一步内容，那么今天过程当中啊，你发现肯定有考题的。那这个部分呢？一定会出题的，那么出题的话，

你发现有可能出一个，有可能出两个好了，这是这个事情，然后接下来过程当中，我们再来看看离散型随机变量。那同学们想想一个事情，我怎么进行去判断一个随机变量是离散型，随机变量非常简单，只要你拥有了分布率。分布率是离散型随机变量最重要的标志，如果你是离散型随机变量，你必须要拥有分布率。所以接下来过程当中，我们一起来看看什么叫分布率呢？两个事情，

第一事情，第一行写它的可能的取值。所有的可能取值第二行怎么办？去求出这个点处的概率对吧？一处概率二处概率，然后这是n处的概率，你可以这样写。或者怎么写呢？你也可以这样写。把这个东西写成多少？写成sk，然后接下来过程当中，这是PK，然后这个k从几啊从一一直到n。两种写法都行，

但是我们都是选择题，所以说你发现在做题过程当中非常容易看得出来，非常简单啊。然后接下来过程当中，我们再来看第二事情分布率，具备几个性质啊，两个性质，第一个性质叫什么？每个点处的概率必须是大于等于。第二事情呢，你发现这些概率的加和必须等于一，所以说这两条内容是重点内容。好，那么接下来过程当中，我们再来看下面一个事情，

离散性随机变量的分布函数具备什么特性呢？还记得吗？如果你是一个离散性随机变量的分布函数。那你的分布函数呢？一定呈现的是阶梯状。对吧，每一段都是常数，一定是个阶梯状，而且在分段点处取得这个概率的结果。说两个事情，第一事情阶梯状，每一段都是常数，第二事情呢，在分段点处取概率。好，

这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情怎么根据这个分布函数去求解这个分布率呢？非常简单。那么，首先第一个事情，我们先找到这个人的分段点。分段点其实就是你发现一个事儿，就是这个人的取值。然后第二事情怎么进行去求解出来，这个人的概率呢？那这个概率也非常简单，其实就是分布函数在这个点处的值再减去多少再？再减去分布函数，在这个点处的左极限。

能理解吧哎，再减去这个人的左极限好了，这两个问题，所以核心重点把它想清楚就行。如果你是个离散型，随机变量，你的分布函数必须是什么？是一个阶梯状，每一段都是常数，而且你有分段点，这些分段点呢，就是我概率的取值。然后怎么去求概率呢？那就进行去利用分布函数求概率小于等于减去小于不就是等于吗？所以说就是该点值减去该点所极限。

好了，这些问题啊，难度系数不大了，所以说上节课部分的核心知识点呢，在我们考研过程当中，难度不是说那么的大。所以下去过程当中啊，好好捋一捋啊，基本问题。呃，我先说一下这个，今天的这个课表的标题啊，可能跟我们这个今天过程当中的内容啊，有点出入。为什么呢？

因为我们的呃第三次课在中间不是穿插了一次课程嘛，不是讲了个习题嘛，所以这个标题啊，一直没有改。一会儿过程当中，我一会儿下课我会把这个标题给你改一下，可能明天还有一节课，我稍微把这个课程的这个时间啊，往后面稍微的调一下。啊，不然说两节课的话，这个课程时间啊，就挨到一起了，我们这个部分的课程呢，我先说一下，

还有几次课程就结束了呢。呃，今天一次课程，然后再来一次课程是函数分布，然后再来一次课程，应该再来两次课程，我们这个概率论就结束了。啊，所以说你发现啊，没有几次课程概率论就结束了，结束了之后啊，我们就直入主题进行线性代数，所以说在这里面当中啊，我们很快就会把这个基础班部分内容全部结束。所以你会发现，

你看我们东西多啊，真正多在高等数学，你看这个概率论难度系数啊，也不是说想象那么大。除了第一章，第一章可能很多同学觉得那个古典概型啊，稍微的难一点对吧？就是那个摸球怎么摸？总是感觉的话，这里面当中差了一点点意思啊，好了，这个事儿我们接下来过程当中，我们就直接开始好，我们先来看看今天的内容，你们现在状态怎么样？

啊，今天状态怎么样？非常好吧？哎，今天状态一定要拉满了，这应该是我们在第二章过程当中最核心的问题。我们今天的课程呢，有可能在今年的考题过程当中考两道考三道考四道都有可能性。你要注意啊，就今天一节课，有可能就能考了四道题，所以接下来过程当中，我们一起来看看下面一个核心重点问题。我们来看看连续性随机变量。那么，

在上节课过程当中啊，我们讲的是离散型随机变量，那离散型随机变量的话，你发现一个事情，它只是什么？在一些点处取得概率，你比如说我举个例子啊，比如说我们来看看它，在一处它取得概率是零点三。它在二处取的概率是零点五，它在三处取的概率是零点二，没有问题吧？那你想想一个事情，如果我想进行去计算，比如说我想进行去计算。

这个人在一点五处的分布函数，你怎么算呢？一点五处的分布函数其实就是这个随机变量。小于等于一点五概率的加和。但是你想想一个事情，你把这所有的概率进行加起来，其实你会发现你只需要把这个点加起来就行。当然，同学们，如果我小于等于这个人的概率加和呢，你只需要把这些点加起来就行，所以说你发现它是一些离散的点加起来。你虽然说后面进行加你，虽然说后面进行加，比如说我们再来看，

如果是二点五呢？那就是小于等于二点五的价的概率价和。你虽然说把所有人加起来，但是你发现一个事情，你只是把这个人加起来，把这个人加起来。那这个东西是非常好加的，但是今天过程当中，我们要学习一个新的内容，叫做连续性随机变量。那么，在讲连续性随机变量之前呢？我们先来讲一个例子，大家好好听哦，你认真听一下。

那么，在这种当中啊，我们先来看第一个问题，比如说举个例子，我要往一到五这一段上投石子。好注意，我同时走。我要想往这段进行去投石子儿的话，你发现一个事情投到一个点的概率是多少？一个点概率多少？一个点概率是零吧，但是你发现一个事情，比如说或者这样来，我想今天过程当中，我去求多少呢？

我去求在二处的分布函数。二处的分布函数就是小于等于二的概率，但是你发现这个事情，如果我想进行去求出一段的概率。大家琢磨下这一段的概率进行去加，你能直接加吗？而我们都知道一个点的概率是零。那你不能说一个点一个点的概率都是零，那加起来都是零呐，他不是这样，你这没法加呀。所以同学们注意一下这个事情，你刚才能加你刚才为什么能加呢？因为我后面是一些点，比如说有些点取零点二，

有些点取零点四，我把零点二和零点四加起来。但是你发现我现在这后面进行去加，你现在能加吗？好像不能加的耶。你这怎么办哎？但是我又想到了高等数学。在高等数学当中，我可以对一个连续函数进行去累加呀。什么累加积分嘛？那么，在高等数学的过程当中，你发现他给过一个概念，什么概念呢？你可以这样啊，

你可以在这一段上进行积分呐。你不就可以在负无穷到二上进行积分吗？你能理解吗？积分也是一种累加呀。你想把这些连续函数进行加起来，你可以进行累加，我对谁累加呢？大家注意，我可以对一个小fs累加。这个人叫什么呢？这个人叫做概率密度函数。大家注意啊，我们就先来进行去定义了一个东西，叫做概率密度函数。所以说你发现一个事情，

这个东西啊，就是我们这节课想重点研究的问题，那么接下来过程当中有些同学没有听懂，没有关系啊，你看完我接下来过程当中讲的这个定义啊。什么东西都清楚了。大家认真看。如果这个东西是一个连续性随机变量，注意哦，连续性随机变量。我想进行，求什么呢？我想进行去求出，它在一个点处的分布函数。怎么求啊？

分布函数其实就是这个随机变量小于等于这个点的概率的加和。这个没问题吧？哎，你看我要想进行去求出这个分布函数，它就是这个随机变量小于等于这个点的概率的加和。但是你发现一个事情，比如说举个例子，我现在想进行去加，比如说我从多少呢？我从负无穷，我想进行累加，算了吧？还是花数轴钱。那么，接下来过程当中，

我们一起来看看这个问题，你想干嘛呢？你想从负无穷累加到多少累加到这个？哎，你想进行去把这所有部分的概率进行求出来，但是你发现这段概率很不好求啊，我怎么办？我定义了一个函数。定义那个函数的话，你发现我也可以求，我就从负无穷积到x。你想求这一段的概率，我就对一个人进行积分。你想求哪块的概率，我就对谁进行积分，

那这个积分的这个东西啊，你发现上面已经用x了，你就改成t就行了。积分与变量字母的选取无关嘛，你就写成这样，哎，我想进行求这段的概率，我就对这个人进行积分。我想求哪块的概率，我就对它进行积分，那这个人是谁呢？这个人就是连续型随机变量当中最重要的标志叫做。概率密度函数。概率密度函数。大家注意，

这是个非常重要的概念。就是什么情况呢？哎，我在这里面当中定义了一个函数，你想求这段的概率，我就对它进行积分。你想求哪块的概率，我就对谁积分，我把这个人叫什么，把这个人叫做概率密度函数。大家能理解了吗？所以说将来过程你要接受这个概念。因为连续性随机变量，它每个点的话，你发现累加累加累加，

这是无法来的，我只能通过积分的方法，然后我想进行去求出这段的概率。我就对这个人进行积分，这个人的名字叫什么呢？我给他起了一个名字，叫做概率密度函数。能理解吧好，这是这样的一个问题呃，这里面当中啊，我稍微进行解释一下这个事啊。有些同学一直比较纠结的一个点，你现在拥有了高等数学的基础知识点了，你看这个东西就非常简单了，有些同学非常纠结的一个点在何处呢说？

老师，你这次为什么写成ft啊？我怎么有的时候的话写fs，有时候写ft呢？大家注意影不影响？不影响一个定积分的结果，跟积分变量字母的选取。没有关系啊，你用t你用u你用v用w都是行的，因为这个上线过程当中用了s，你就不要再用s了，你就用t就行了。能理解吧，好了，注意一下这个东西啊，

就是概率密度函数的定义，所以大家注意一个事情，我们接下来过程当中，我们来看几个事儿，注意一下。第一点。住在这。那么大家想想一个事情，如果你是一个离散型，随机变量，我怎么看呢？你要是个离散型，随机变量，你必须要拥有分布率，那我今天过程当中，

我学习的是连续性随机变量，我怎么进去去看看一个人是连续性随机变量呢？大家注意，如果你是连续性。随机变量。你的标志是什么？你的标志。是概率密度函数。如果你这个东西啊，你发现个事情，如果你是一个连续性随机变量，你的标志是什么概率密度函数？只要你拥有了概率密度函数，你就是个连续性随机变量，如果你拥有了分布率，

你就是个离散性随机变量，能理解吧？把这个东西啊，想清楚，那么接下来过程当中，我们要继续来看大家琢磨一下概率密度函数是通过什么定义的？概率密度函数是通过分布函数来定义的，那么我们要进行求解，一个点处的分布函数值就让这个随机变量小于等于这个部分的概率把它加起来。那我怎么办呢？我就可以通过在负无穷到这个点上进行积分，所以要注意啊，概率密度函数是通过分布函数来定义的。所以接下来过程当中，我们就来看看概率密度函数的性质。

你要想是概率密度函数，你必须要满足什么样的性质呢？来，我们一起来看看。大家琢磨一下，首先我们先来看看第一个事情概率密度函数怎么定义的概率密度函数是通过分布函数定义的。那么，要想求解一个点处的分布函数值，就是这个随机变量小于等于概率的加和，那就是负无穷到这个点，然后。所有的累加。没问题吧，要想求这个点的概率，对吧？

这一点的分布函数就是小于等于这个点概率的加和就让负无穷到这个点对概率密度函数进行积分就行。所以接下来过程当中，我们一起来看看吧，你告诉我个事情，一个分布函数具备几个性质，具备四个性质。对吧，它具备四个性质，首先第一件事情你必须得怎么办，第一个事你必须是大于等于零。小于等于一。那我想问你个事情，它要想大于等于零，小于等于一，不就是什么情况，

不就是负无穷到x对这个人的进行积分，它大于等于零。小于等于一吗？那我想问你个事情，这个概率密度函数它必须是什么样子的？它必须是非负的。大家注意一下这个事情啊，它必须是非负的。为什么呢？你想想一个事情，如果你这个人在下面。我从负无穷积到一个人，你发现看你这个人积分是负的呀。对吧，你只要有一段在下面，

我从这个人进行积分就有可能成为负的，所以说大家注意一个事情，一定要听清楚，从负无穷开始记。因此啊，这个人必须是什么情况，必须都是正的，所以第一件事情哎，你看他都是正的好，所以说满足第一条内容。非负性。非负性也就说这个概率密度函数必须怎么办？必须是大于等于零。但是接下来过程当中，我想问你个事情，

它需不需要小于等于一啊？需不需要啊？需要还是不需要？需要小于一吗？不需要它。大家想想一个事情，你看你只要保证什么情况，你只要保证这个整体的这个积分结果是一就行。对吧，不用小于一，我要求的是什么？要求的是这个积分小于一，所以说大家注意这个事情啊，你要想清楚好，这是第一条。

然后第二条那么接下来过程当中，我们继续看，你会发现如果这是负无穷。等不等于零啊？等于零，你看你这个人带进去刚好是零，没问题，但是正无穷带进去呢，正无穷带进去就是第二条。那就是负无穷到正无穷，然后fs这个人积分就是一。能理解吗？如果你把这个正无穷带进去，就是负无穷到正无穷积分，它就是一所以说只需要满足这个人就行，

这叫归一性。然后第三条右连续等会我们来讲，一会我们就知道了这个东西啊，不光是右连续，而且是连续的，所以说你看。第一条满足了吧，非负性，第二条满足了吧，归一性，然后第三条的话，你发现又连续等会我们来讲。第四条内容单调不减刑，我们来看看它是不是单调不减的，你琢磨下这个问题，

这个事儿非常非常的简单。你想想一个事情，这个概率密度函数是什么情况？是非负的吧？你概率密度函数是非负的。那你想一个事儿，如果我去求这个x1处去求x2处，我去求x1处的分布函数，其实就是小于等于x1的概率。那你想想一个事情，如果求的是x2处的值呢？其实就是从负无穷累加到x2的概率。那你想想一个事情，这个部分是非负的，这个部分本来就是正的，

因此啊，它本来就是单调不减的。能理解吧，第四条内容本来就满足，所以我们在这里面当中概率密度函数，只需要满足几个条件。只需要满足这两个条件。一个是非负性，一个是归一性，注意一下这个事情概率密度函数，只需要满足两个条件。分布函数需要满足四个条件，满足了那四个条件，你才是分布函数满足了这两个条件，你就是概率密度函数。

所以说大家注意一个事情，它也是概率密度函数的充分必要条件。哎，概率密度函数的充要条件。那么，将来过程当中，我们先进行去检验一下，你是不是概率密度函数啊？就检验两条内容，第一个事情检验一下它是不是非负的？第二，事情检验一下它是不是归一的？如果你是非负的，又是归一的好，你就是概率密度函数，

注意啊，我们必须要检验这两条内容，就跟上节课是一模一样的。那么，上节课过程当中，我们是检验四条内容，那这节课呢？我们只需要检验两条内容，非负的归一就行了。对吧，非负归一就行了，那么接下来过程当中我来问你个事情来注两条内容。大家琢磨一个事情，我想问你个事。一个点的概率密度函数有没有意义啊？

啊，有没有？大家想想一个事情，如果你是概率密度函数，你只要非负，只要归一就行了。那我想问你个事。比说这是概率密度函数曲线，你这个积分已经是一了吧？我把这个点挖掉。你的积分是不是一样？还不是一吗？如果把这个点点到这儿，我点了个一个e。是不积分是一样。

还是一样，所以同学们想想一个事情，我只要保证这个人是非负的，我只要保证这个人的积分结果是一，他就是概率密度函数。所以说大家注意啊，一个点处的概率密度函数是没有意义的，而且概率密度函数在一个点处的值可以是超过一的。它可没有大于等于零，小于等于一，它只有大于等于零，没有小于等于一，艺术能理解吧？好了，那么接下来过程当中，

这个第一条就很重要。好，我把它注到这。一点的概率密度函数。概率密度函数没有任何意义。哎，一个点处的概率密度函数是没有任何意义的，因为概率密度函数只需要满足两条你是非负的。你的积分结果是一就行，能理解吧，好了，那么接下来过程当中啊，我们就可以来进行去看两类题目了。好，那么接下来过程当中，

我们先来看看第一类问题考点一，你要注意啊，这节课过程当中啊，有几大核心考点，你必须要理解清楚。好，我们先来看看第一个考点叫什么东西呢？哎，就叫判定概率密度函数。或者是什么东西呢？或者是已知概率密度函数。已知概率密度函数让我们进行去求解。其中待定参数。好，这个问题。

所以说这两类问题啊，你发现其实就是一类问题，对吧？你判定一个函数是不是什么判定一个函数？是否。为概率密度函数或者是什么东西呢？已知概率密度函数让我们去求解其中的待定参数，你要注意啊，这个类型问题啊，是我们的第一大考点。对吧，这是第一种，那么同学们告诉我，像这种类型问题的方法是什么？做题什么方法？

如果这个题的话，已知它是概率密度函数，让我们进行去求解，其中的待定参数，你怎么做非常简单？哎，你发现两件事。一个事情非负性。对吧，另外一个事情归一性。归一性。归一性。就这两个事情，所以在这里面当中，你是不是一个概率密度函数呢？

就检验两条，你是不是非负的？你是不是归一的？如果你非负又归一，你就是概率密度函数，所以接下来过程当中啊，我们先来看看这个题吧。好吧，先看这个题。先来看看二点一一这个题，他说了一个事情，他说。这俩人。都是啊，这个什么随机变量的概率密度函数，

你发现一个事情，这俩人都是概率密度函数，那说明什么情况，你是非负的，我也是非负的。你的积分结果是一我的积分结果也是一，然后他说如果让这个函数也是一个什么概率密度函数，则需要满足几条内容。啊，这个下列过程当中啊，成立的是那你想想一个事情，大家琢磨想。你要想让这个人成为概率密度函数，你就得检验两条内容，第一条内容，

你得保证这个人是非负的，但看起来好像没有什么用啊。核心重点检验什么？核心重点检验归一性，你必须要保证这个人的积分结果是一，而你发现这加减法吧，我把它拆开。那是负无穷，到正无穷，然后这是f1s积分，然后再减去多少必备的负无穷到正无穷。f2s，它的积分，因为这个人已经是概率密度函数，你发现一个事情，

他的积分结果是不是已经是一样？因为你已经是概率密度函数，你的积分结果也已经是一，所以说这个人呢，就是a-b这个人等于几呢等于一。所以说在这个题目当中啊，你必须要保证一个事情，你这里面当中的a-b啊，必须要等于一，你来看看这个人吧，不是一。不是一不是一只有谁啊，只有a选项。简单吧，你不要小看这个事情啊，

这有可能都是我们的考题，我们考研过程当中啊，还很喜欢考这个事情的来，接下来过程当中我们再来看一个事情。比如说我们来看看这个题。来再看这个。那么这个题啊，他说已经知道这个随机变量的概率密度函数，大家想想告诉了概率密度函数就相当于告诉了什么随机变量？连续性随机变量，注意啊，只要见到概率密度函数，就说明这个随机变量是连续性随机变量。然后接下来过程当中给了一个概率密度函数，让我们去求解其中的待定参数，

大家想想怎么处理啊？那么在接下来过程当中，我们把这个概率密度函数，我们先画一下。零到一的时候是x一到三的时候是多少a倍的三减x好这个人，那么这项过程当中让我们进行去求解，其中的待定参数你怎么求啊？这是零吧，这是零。那首先注意，如果你是概率密度函数，就是两件事情，一件事情叫非负性，一件事情叫归一性。但是你要注意，

非复姓有什么用啊？非负性好像没什么用啊，那么核心重点是什么？核心重点就是归一性，你不要小看这去年又考了这个事情。对吧，走负无穷，到正无穷，这个人的积分，结果他等于一。那这个人积分结果等于一的话，你看就相当于从负无穷到零积分对零积分，那核心重点有效段呢？零到一对谁积分？s积分一到三对值积分对a倍的三减s进行积分ds，

是不是这个结果？好了，那么绩效过程当中，我们就来算一下吧，把这个积分呢，我们算一算来看第一个积分，第一积分是多少二分之一，然后这是a你看。这个人积分呢，三倍的上限减下限，这是二，然后这几分呢，这是二分之一，它的平方。那平方的话，

你发现就是上面平方减下面平方，那这是多少？这是刚好是八好这个结果，所以说这个结果啊，就等于一，因此你会发现一个事这。这人就是二分之一，加上a倍的，那这是几啊？六减四六减四的话，你发现刚好是二，然后这人结果等于一。因此，这里面当中的a这个结果就等于多少哎，你发现减过去不就等于四分之一吗？

好，这是个基本问题，能想清楚吧，好第一件事a就出来了。就说你要保证什么情况呢？它是一个概率密度函数，你就得满足两条内容。一个事情是非负性，一个事情归一性。好，我们再来看看下面一个题来再做一下二点一零这个题吧。看一下这个人，他说了一个事情，他说s1和s2为任意的两个连续性随机变量好，这条内容等会我们再来讲。

好，这是我们刚才过程当中啊，讲的第一个事情，对吧？第一条内容讲完了，那么接下来过程当中啊，我们再来看看第二条内容。稍微等会儿，一会儿我们会有好几个体系呢，我会给你形成一个非常完整体系。好，那么接下来过程当中，我们再来看看第20题概率密度函数与概率之间的关系。在讲这个问题之前呢，我们先来讲考点四。

那考点四这个内容非常非常的关键，那我们来研究一下一个连续性随机变量的分布函数具备什么特性呢？大家想想一个事情。你是一个连续型随机变量的分布函数，你是不是分布函数？你当然是啊。你是连续性随机变量的分布函数，你还不是分布函数吗？你也是分布函数啊，你当然是分布函数，你就要满足四条内容非复性，规范性，然后是又连续单调不减性。对吧，你就得满足这四条内容，

那么接下来过程当中，我们再来看，那倘若到了今天，你是一个连续型随机变量。对吧，随机变量，你的分布函数那么在原来的这个基础上有没有一点延伸呢？有没有一点特殊性呢？它是有的。但是这条内容呃，有一个知识点，我们是基本上会放到强化班来重点讲的，那么今天过程当中，我们简单谈一下可不可以？这个内容。

刚好最近我在写稿子，我可以给你看看啊。哎，就这条内容。我来给你看看，就这样的一个知识点。什么样的一个知识点呢？就这样的一个内容。你发现看这是一个什么，这是一个变上线函数吧？好，这是一个变上限函数，你注意，如果说什么情况，如果里面是连续的，

这个变上限函数呢？是可导的。而且它的导函数呢，就可以用求导法则来做。如果里面的过程当中是拥有第一类间断点，而且是有界的呢？那你发现哎，算了，我来写吧。这条内容我提前先讲一下可以吗？我讲一个高等数学的性质，你先把它学了，把它给我补充到那。呃，这个内容我写到一边去。

大家注意，这是一个变上限函数的这个特性。啊，这个人一个变上限函数的话，它具有两大特性，第一大特性，如果什么情况呢？如果被积分函数是连续的时候。如果你里面连续的时候，那这个外面这个人呢？外面就是可导的。变现函数可导的，而且你发现这个时候能不能用求导法则可以的，我们讲过对吧，被积分函数连续变现函数一定可导。

而且这个时候啊，就可以用求导法则来做变上线移上线，对吧？这个基本问题，然后接下来过程当中，我们再来看第20题。那如果说呢，如果这个被积分函数怎么办？不连续大家注意，只要你怎么了？有阶。且存在有限个第一类间断点。群存在有限个。第一类间断点。间断点，

这就是很多参考书过程当中啊，写的定积分的可积性哎，你把它写清楚就行，只要你有界。而且存在有限个第一类间断点，那这个时候呢，你这个人仍然是连续的。哎，仍然是连续的。注意一下这个问题啊，就说如果你这个人是连续的，我这个变线函数是可导的，而且我的导函数呢，就等于你小fs。啊，

这个问题，但是如果你不连续呢，只要你是有界的，而且存在有限个第一类间断点，你这个人呢，仍然是连续的。这条内容啊，很关键很关键，我强化班过程当中会重点来讲到这个内容。好了，这是一个重点知识点，能掌握清楚吧，没有什么难度，你把它记住就行。啊，

这就是一个特性，这是一个性质，我将来过程当中会在高等数学过程当中给你来讲，就说如果里面连续。这个人就是可导的，而且他的导函数啊，就等于什么就可以用变线函数，求导法则等于小fs。但是如果里面不连续呢，只要你是有界的，而且存在有限个第一类间断点，你仍然是连续的。好了，同学们，那么接下来过程当中，

我们来研究一下。如果你是一个连续型随机变量，你的分布函数是不是这样写的？是不是如果你是个连续型随机变量，你的分布函数跟概率密度函数之间就是这个特性？那么，接下来过程当中，大家思考一下，倘若什么情况呢？倘若里面是连续的时候。哎，倘若里面连续你这个外面时候什么可导的，而且你发现一个事情，你的导函数就会等于五。没问题吧？

好，这是这个事情，就说如果你里面是连续的时候，你的导函数就会等于。好，这是第一个问题，那倘若有一天过程当中，你发现你不连续呢，大家想想一个事情，这个东西会无界吗？你要想清楚，它是一个概率密度函数。它具有非复性和归一性，它会无界吗？怎么可能会无界啊？

你无界的过程当中，你怎么最后归一啊？你必须要积分起来是一啊，你必须要归一，你肯定是有界的，那么再来想你会不会存在第二类间断点啊？如果你存在第二类间断点，你想想一个事情又是非负的，又往无穷大跑。你这个积分结果可能是一吗？那会不会存在震荡间断点呢？如果你发现个事情，你比如说你震荡你这个积分，结果可能会是一吗？不可能。

所以说大家注意啊，你是一个概率密度函数，你必须要恢复，而且你必须要归一，你要想归一，你就不可能有第二个间断点。你也一定是有界的，所以说大家想想一个事情，它只会存在第几类间断点，只会存在第一类，哎，你发现个事情。如果你是有机，而且是第一类的情况。你是不仍然是连续的？

对不对？仍然是连续的，也就说概率密度函数连续的时候你是可导的，可导必连续。当被积分函数的话，概率密度函数不连续的时候是有界是第一类间断点的时候，你还是连续的。所以说我就得到了一个重点内容，什么内容连续型随机变量的分布函数一定是连续的。大家注意啊，一定是连续的，不光我们原来过程当中啊，哎，我们先写完。它一定是连续的，

那么在这种当中，我多写一点，它就不仅仅怎么了？注意下这个事情，不仅仅又连续了，而且左连续。缩连续。也就说这个事情啊，你要想清楚，一个连续型随机变量的分布函数啊，它一定是连续的。它不光是右连续，而且怎么了？而且还能左连续呢？它不光右连续，

而且还能左连续。所以说这个东西啊，一定要想清楚啊。啊不不不是，所以说它叫连续性不不不是的。所以这里面当中啊，你要注意一下它的分布函数，它不光又连续了，那么上节课我们去讲分布函数，如果你是随机变量的分布函数，必须要右连续。但是今天啊，我不仅仅又连续了我，而且还左连续，你想想一个事情，

那么这里面当中它就必须要满足什么？我在一个点处，我的右极限。等于我的什么极限，等于我的左极限，我们都会等于函数值右极限，等于函数值右连续左极限，等于函数值左连续。能理解吧好，这是这个事情，那么大家想想一个事，那么接下来过程当中，我们再来看第二个问题。如果你是个连续性随机变量。一个点处的概率怎么求？

一个点处的概率，它不就是什么小于等于这个点再减去什么东西呢？再减去小于这个点吗？小于等于的话，就是该点处的函数值，然后小于呢？小于就是该点处的左极限。没问题吧，因为在上节课过程当中啊，我们操作的一些东西啊，因为我们上节课过程当中操作的一些东西，它未必做连续。未必所连续的时候的话，你发现一个事情这个东西啊，它就怎么了？

这个东西未必等于它，但是这节课呢？好，但是这节课呢，你发现个事情，它不仅仅是右连续，而且左连续，所以说这个时候怎么了？这个时候的左极限。也会等于它的函数值呢？是不是啊？所以说你发现等于零。因此，要注意一个事情，一个连续性随机变量，

一个点处的概率结果等于零。把这个事儿想清楚。好，我们来看看第二个问题。第二点，一个连续型随机变量。变量一点概率结果为零。这是你要注意的。一个离连续性随机变量，你的分布函数啊，不仅仅是右连续，而且还左连续，我一个点处的概率结果等于几等于零。这是你要注意的问题。你看，

这就比上节课过程当中啊，在那个原有的基础上又进行拓展了。能理解吧好，这是个基本问题，所以接下来过程当中我们来看看概率密度函数和概率之间的关系。那这个东西什么关系呢？我们一起来看看。那你想想一个事。比如说这里面当中啊，我们进行去操作一段。对吧，我想进行求谁呢？我进行去求这个人，我想进行求a到b的概率。怎么去求？

当然，同学们都知道一个事情，你求解这一段的概率，你求解这里面当中的a到b的这一段的概率。跟什么情况呢？跟这个a到b的概率是一样的。对吧，你跟什么情况呢？你跟这个人的概率是一样的。你跟这个人的概率也是一样的。为什么？因为一个点的概率，结果等于零。对吧，一个点的概率，

结果等于零，那么计算的过程当中，我们先来看看方法一。那方法一怎么做呢？你想想一个事情，我要进行求解，这个的概率我可以怎么办？我就可以积分，我就可以从a到b对概率密度函数的积分。这是第一种方法，那么除此之外的话，你发现还有第二种方法。大家想想一个事情，你在上节课过程当中做题的时候，这个东西。

它有可能是b处值减去a处值，它有可能是b处的左极限减a的左极限。它有可能是b处的，值减去a处的左极限，也有可能是b处的左极限减a处值。但是你想想一个事情，这节课我们讲的是连续性随机变量，它的分布函数除了又连续之外，而且昨夜连续。因此啊，无论是上节课讲的左极限还是什么东西呢？你发现永远都是这个人减这个人。能理解吧，再也没有什么左极限了。你上节课过程当中不就是这样吗？

你可以使分布函数在这点值减那个点值，也可以是这个点的左极限减那个点值，也可能是这点值减那个点左极限，也可能是左极限减左极限。但是你发现如果是连续性随机变量就非常的简单了，无论是怎么样就是端点做差。大家想想哪一个方法简单一点？当然是第二种方法。你喜欢求积分，还是喜欢代数啊？我当然喜欢代数啊。所以在这种当中啊，第二种方法可能会更简单一点。当然，有的时候你发现给了什么用什么就行，

给了这个概率密度函数就积分给了分布函数就做差基本问题啊。能想清楚吧，好，这是我们讲的这个重点内容，那么接下来过程当中，我们再来看看第三条知识点。这是我们刚才过程当中啊，介绍的几个内容。这个红色是不是有点炸眼啊？幻想。换成这个，那么接下来过程当中，我们再来看看第三个事情。第三条内容。连续使用随机变量。

随机变量。分布函数与概率。密度函数的关系。好，我们来讲讲这个关系，那么这个关系讲完了之后啊，知识点就讲完了，知识点讲完了之后啊，接下来过程当中我们就看题型。啊，一会过程当中你就发现这节课也很简单。啊，内容点没有说那么的难。那么，在这种当中，

你发现一个事情，我们刚才讲的所有的内容都是通过这两个人的，这之间的关系把它推出来的。什么关系呢？第一事情积分关系。我要想进行去算出这个点处的什么，这个点处的分布函数。那我怎么办呢？我就从负无穷到这个点，对概率密度函数进行去积分能理解吧？好，这是这个事情。能想清楚吗？哦，行行行，

可以啊啊，下去补回放就行。所以说在这种当中啊，你发现我想进行求一个点处的值，我就从负无穷到这个点进行积分，这是一种方法。那么，这两者之间的关系啊，具有积分的关系，但是接下来过程当中，我们再来看。那难道说这个人的导函数就一定等于他吗？那不一定，大家注意啊，不一定等于他只有当什么情况？

只有当被积分函数怎么了？连续的时候。只有你连续的时候的话，你发现一个事情，你的导函数呢？才能用变线函数的求导法则，那变上线一上线才会等于。所以说大家注意啊，当被积分函数连续的时候，外面这个人的导函数就会等于概率密度函数。能想清楚吗？所以说一定要想清楚这个事情。当概率密度函数是连续的时候，分布函数的导函数就会等于零。这就是个基本问题，

所以说这两者之间呢，一个是处于积分关系，一个是处于导数关系，但导数关系啊，你稍微注意一下。只有里面连续的时候，你的导函数才会等于我。好，这是我们讲的这个基本问题，能想清楚吧？好，那么接下来过程当中，我们就来看题型了。刚才过程当中啊，我们讲了第一个题型，

第一个题型叫什么判断一个函数是否为概率密度函数？怎么判断呢？那么这个人当中啊，我们判断两个事情，一个事情是非负性，一个事情是归一性，这个能想清楚吧好。好，那么接下来过程当中，我们再来看看二点一零这个题。好看看这个人。他说了一个事情，他说。这俩人都是连续性随机变量，它的分布函数是这个人对吧？

这是分布函数，然后这个东西是概率密度函数。你想想一个事情，如果你是分布函数，你具备几个性质啊？你是不是具备四个性质啊？第一，事情规范性。第二，事情呢？哎，你发现非复性。第三个，事情呢？不仅仅又连续了。

不仅仅又连续，而且是连续的，那最后一个事情呢，就是单调不间歇。所以接下来过程当中，我们来看看吧。他说，这个人也是这个分布函数，那就不对，为什么呢？当你进行求极限的时候，你试一下。当s趋向正无穷的时候，你求下这个人极限。当趋向正无穷的时候，

你是分布函数极限是一，你是分布函数极限是一，这是二，它不对呀。那么，绩效过程当中，我们再看这个人，那这个人是不是分布函数呢？当x趋向正无穷的时候f1s，然后再减去f2s。那你的极限是几一？你的极限是一，这是零，你正无穷的极限，结果都不是一了是零，

当然不对。没问题吧？好了，那么接下来过程当中，我们再来看，如果你是概率密度函数具备几个事情，具备两个事情，一个事情是非负性。一个事情是归一性，对吧？积分结果是一。就说你这个人已经非负你这个人也是非负那乘起来非负无这个加起来也非负，所以非负性就没用了。那么重点来看，什么看归一性？

那么，在这本当中，我们先来看看d选项d选项就非常简单，你负无穷到正无穷，你对这个人积分。三分之一f一s加上三分之二f二s，你对这个人进行积分，你积分的时候的话，你发现就可以拆开了。那拆开了之后就变成三分之一，第一个人积分是一，然后再是三分之二，第二人积分是一，这是一啊，没有问题d选项正确。

为什么你是正确的呢？你满足了两个特性，一个事情，你满足了非负性，一个事情，你满足了归一性，只要满足了非负性，满足了归一性，你就是一个概率密度函数，非常简单。那么，接下来过程当中，我们来看看c选项。那c选项对不对？比如说那c选项不也对吗？

那c选项的话，你看也是归一性啊，那负无穷到正无穷f1s×f2s积分。那这个积分不就等于第一个积分乘第二积分吗？我疯了。你注意下这个事情啊，乘法是拆不了的。别乱来啊，乘法是拆不了的。它这个东西的话，你发现一个事情可不是等于什么第一个人乘第二个人，你注意一下这事儿，这不对呀。这不对。如果这件事情对的，

你想想一个事情，我们哪有分啊，这个什么分布及分法了呀？俩人相乘的时候是拆不了的。你不要俩人相乘的时候的话，你发现就变成了第一个积分乘第二积分，那我真疯了。注意下，不要乱来哦。如果这件事情成立，那太疯狂了，那将来过程当中话，你发现你算x乘上s in的积分，那你也这个积，你这样积。

那你分布积分法干嘛？所以注意一下这件事，我说了好多遍了。好了，这个事情我们就讲到这，这是第一种题型。第一种题型是什么呢？第一种题型的话就是来判定。如果你这个人呢？你是一个概率密度函数。你必须要满足几条内容，第二事情，如果你是概率密度函数怎么进行求解，其中的待定参数两个事情非负性。归一性就行好，

这是第一个问题，然后接下来过程当中，我们再来看看第二个问题点。行吧，继续啊，再看第20题。考点已知。分布函数或者这样已知概率密度函数。求分布函数。好，我们再来看看第二第二题型。如果知道了概率密度函数，怎么进行求分布函数呢？那这人怎么做？方法非常简单定义法。

哎，定义法。那么，在考试过程当中的话，你发现一个事情，那这个定义法怎么做呢？它就这样来。你要想求解这个分布函数，分布函数就等于负无穷到x，对这个概率密度函数进行积分。对吧，就是积分，你从负无穷积到s这个人的积分就是分步函数，所以接下来过程当中，我们一起来看看刚才这个题当中的第二问。

可以吧，来一起来看看这个题。刚才这个题是不求出来，这个结果已经等于四分之一了。好，我们一起来看看这种题目怎么做，非常的重要，来走第二问。你要求的分布函数，先把分布函数的定义式写出来，就是负无穷到x对ft进行积分。所以接下来过程当中，我们怎么做呢？拉条数轴线就行。只要在这种当中拉上一条数轴线。

然后接下来过程当中，我们把它标出来就行，请注意啊，对谁积分对ft积分，所以说把这人写成ft。把它写成ft的话，接下来过程当中，我们一起看零到一一到三。零到一的时候，这个人是t不要写s啊，写成t，然后这是四分之一三减t好这个人。所以接下来过程当中，我们就可以来正式开始了，来看看这个人怎么去记。

好看，这个人大家想想一个事情，你的积分的起点是谁啊？你的积分的起点是负无穷。你是不是从负无穷开始记啊？好负无穷，走了走了走了，哎，你看现在我走的时候，你看我记到x如果x一直都比谁小。x这个人一直都比零小，你的积分是不是永远都是对谁解？永远都是对零解啊？没问题吧？那这时候就是零。

那如果接下来过程当中，我们就继续看你再来抽，如果接下来过程当中，我继续从这走走走哎，如果你超过零呢，你超过零的话，你发现它的有效段呢？有效段其实只有这一段对t极。如果接下来过程当中，我们再来看。你还是从负无穷走你走走走，这段对零级，这段对s级啊，对t级，然后这段对谁级啊，

这段就对这个什么四分之一这个人级。你s落在这这段这段。是不是这个事情还有最后一个事情，万一有一天过程当中，你发现你这个人怎么了？你超过了呢，你看我走走走这段记这段记这段记哎呀，你记到后面。积到后面都是对谁解，积到后面都是对零解。其实这个人的有效段只有哪一段呢？这一段是有效的，这一段是有效的，这个积分本来就是一。沾满这个有效段，

它就是以。所以说对于这个题而言呢，我们就需要分了，分成几种情况，分成以下四种情况来吧，我们一起来写一下这个人。好，先看第一个人。第一人就是这个s怎么办？小于零，我们说了分布函数写成左闭右开，一定不会错吧？小于零小于零的积分，结果就是零。然后接下来过程当中，

我们再来看，如果这个s的落点呢，大于等于零小于一的时候。好，第二事情小于一的时候的话，你发现核心重点其实只有这一段积分，对吧？零到s积分，所以我们就写零到s对t进行积分。如果记下过程当中，我们再看第三段，如果是大于等于一小于三呢？大于等于一小于三的话，你发现其实有效段只有这么长。这一段是对谁解这一段的话，

你发现零到一的时候对t解。然后是一到x的时候对谁解一到x的时候对四分之一这个人积分就是四分之一什么呢？四分之一，然后接下来过程当中的话，什么三减t积分？好，这个事情，然后最后一个事情呢，如果这个s超过三呢，它就积分结果是一。能理解吧，所以说在这种当中啊，我教过你方法了就怎么做呢？用定义法拉条数轴线。一定要注意一个事情，

把这个东西写成t的函数，因为你积分是对t积分，把每个人写到这上面。拉线拉到这时候，对谁急拉到这时候，对谁急拉到这时候，对谁急，你要注意你的起点，永远是从谁开始。你的起点永远是从负无穷开始。能理解吧哎，你永远是从负无穷开始，你走呗，走到哪它什么情况，走到哪它什么情况，

走到哪什么情况？会做了吗？同学们。哎，基本问题点，这非常重要。行吧，这是第一件事情，如果知道了概率密度函数，怎么去求分布函数呢？我就积分拉条数轴啊，拉条数轴线。把那个东西写成谁写成t的函数，走走走就出来了。我说一个事情，

你下去过程当中都不用大量的练题，你就上课过程当中把我这两个题啊练死练透就行，你将来下次过程当中见到这个题立即反映出来。很快就出来了。非常的简单，来那么接下来过程当中，我们再来看看这个题，继续吧，看这个题。呃，这个题啊，其实很有这个，去年这个真题的这个样子，你去年考那个真题啊，就跟这个人非常的像，

来我们一起来看吧，来解。首先第一件事情给了一个概率密度函数，让我们进行求解，其中的待定参数那怎么做呢？直接来呗。非负性不用看，直接看归一性，负无穷到正无穷c倍的e的负的s绝对值ds。然后接下来过程当中c这个人就抛出去要注意啊，在概率论与数理统计当中，哪怕它是个反常积分呢。那么，这个人偶函数也是二倍的，奇函数也是零，

你直接用就行了，因为它具有概率论的实际意义，来走吧，偶函数是多少？偶函数是二倍。零到正无穷，一亿得多少。负的s绝对值，然后怎么办dx？然后接下来过程当中，我们再来看看这是2c，然后这个东西的话，你发现零到正无穷就大于零，那大于零呢，那这人就是负x。

没问题吧，因为s现在大于零，绝对值等于本身就变成这个人了，变成这个人了之后的话，你发现这个积分等于多少？这积分呐，如果你稍微的听过，你都知道，你看。这一段这一段的结果是一，然后的话，你发现这一段的积分也是一。其实吧，你只需要进行去复习一个内容，叫做伽马函数的推论，

不知道还记得吗？伽马函数推论这样讲，零到正无穷。一个SN次方e的负sds，这个结果等于多少？这个结果等于n的阶乘？这个n属于多少呢？n属于整数啊，应该是正整数，不是正整数，应该属于什么自然数？它属于自然数你，比如说举个例子，这人是零次方，就是它零的阶乘是几零的阶乘是一。

如果这个东西的话，你发现这是一次方一次方的话，你发现这是一的阶乘就是一，如果这是零到周阶乘的话，这是二次方。二次方的话，这个人是二的阶乘，这是二。能理解吧，基本问题，所以说这个结果直接出来了，前面是s几次方零次方，这是一。好这个人呢？他等于一，

所以说c等于二分之一。好了，这是我们讲的这个第一个事情，你看概率密度函数啊，就出来了，然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，已知这个概率密度函数，我们去求分布函数怎么求？怎么做啊？哎，你发现一朝吃遍天吧，刚才讲过了你的做法的话，就是定义法，你注意啊，

我就直接写了，因为我们考的题都是选择题嘛。求这个人就是负无穷到s，然后ft进行积分。然后接下来过程当中，拉条数轴线把它写成t的函数，那ft是谁呢？ft是c倍的这个人。但是你要按照零来分，如果大于零就是e得多少负x。但是你要把s焊换成t，如果这点小于零呢？小于零就是二分之一e得多少了？那这是负的负负得正变成t。能理解吧，

好基本问题，然后接下来过程当中，你从谁开始走啊？你从这个负无穷开始走。你从负无穷开始走的话，走出什么情况呢？我们来看看。如果你是从负无穷一直走一直走一直走，哎，你这个x的落点在这儿，你就对它挤，但是你发现一个事情，如果你一旦怎么走走走，这段积满了，然后超过它呢？

有一段的话，你发现是对它记就这两段。所以说这个东西啊，马上出来了就可以写了，第一事情就是从负无穷，直接对到了s，然后对二分之一e的t进行积分。这是谁呢？这是x怎么了？x是小于零的第二事情的话就是负无穷到零等于二分之一的t积分。然后再加上零到多少呢？零到s对二分之一e的负t进行积分，这是s什么大于等于零？能理解吧，两个事情就出来了。

会做了吗？接下来，积分难度系数不大了吧？这积分很好积啊，你先看第一个积分。第一个积分的话，这个人的话就是多少二分之一e的t，然后把负无穷和s带进去，那就是二分之一e的s。e的负穷是几是零，然后这个s怎么办？小于零，然后这个积分呢？哎，这是二分之一，

然后再看后面这个人就是负的二分之一e的负多少？负t，然后把零和s带进去，那就是负的二分之一e的负se的零是一，那就怎么办？再减去。减去一个二分之一e的负x对吧？然后这里面当中再加上二分之一，你加上二分之一，两个二分之一呢，这就是一。s怎么大于等于零？好，这是这个事情，难度系数不大吧，

就非常简单，拉条数轴线。就从负无穷开始引对吧？但是你要注意啊，一定要把它写成t的函数就行，掌握住这个内容就行，这个这题就是去年的考研真题啊。二点一三这个题。好，这是这个事，那么接下来过程当中，我们再来看一个问题来继续吧。这是考点几啊，这考点二再来看下面一个问题，考点三。

再来看看考点三。那倘若的话，你发现一个事情，我们如果在考研过程当中说已知分布函数，让我们去求什么东西呢？让我们去求概率密度函数，那这个事情怎么做呢？这件事怎么办呢？我知道的是分布函数。那我知道分布函数怎么去求概率密度函数啊？根据一个特性，当什么情况？当概率密度函数连续的时候。你发现分布函数，导函数就等于零。

所以求导来做就行，那么所以说在这里面当中啊，我们来看看这个事情啊，这件事情很重要很重要，那么接下来。呃，我们写一个分布函数吧，比如说这个。找哪个呢？我很想把这个给击出来。把这个记出来行不行？哎，把这个记一下吧，记出来之后我用一下它。来把这个技巧。

这是零，这是二分之一x方，然后这是多少？这是二分之一，然后再加上多少？再加上四分之三？倍的多少x- 1？然后的话，接下来继续是二分之一啊，这是八分之一八分之一多少x方减去一？那这个结果的话，最后结果我们算一下，结果就等于负的八分之一x方。加上一个四分之三x，然后是二分之一减去四分之三，

加上八分之一，然后这个结果是多少？这个结果是八分之四八分之六。八分之一，那就是多少负的八分之一。没问题吧？好，这是这个人，然后最后一个事情就是多少这个结果，它是刚好是一。所以说最后结果是多少呢？是x小于零，是它x大于等于零小于一，是它然后接下来过程当中，我们继续写。

然后就是x怎么办？大于等于一小于三是它，然后最后一个事情大于等于三是它好，这个问题点。这就是我们的分布函数，所以接下来过程当中啊，我们来出一个题，我们反着来出一下，比如说这个题目就是这样。已知什么情况呢？已知这个分布函数是它。对吧，已知这个分布函数是它，然后让我们干嘛呢？让我们去求解这个概率密度函数。

怎么求啊？你看这个人。怎么求解？非常简单。首先，我们先来看第一个事情，你这个概率密度函数的话，首先第一件事。分段点外都是连续的吧？那分段点外都是连续的分段点外都是连续的分段点外都是连续的。连续的时候的话，你发现一个事情是不可以直接求。所以说分段点y都是连续的，可以直接导你这一导是零对吧？零求导是零，

你这一求导是x，你这一求导是负四分之一x加。加上四分之三，你这一求导是零。好，这是第一个事情，分段点y直接求导那分段点上怎么办？啊，同学们，难道分段点上，我要用定义吗？你这样一学啊，就说明你不懂概率论。你可能会高等数学，但是你不懂概率论。

那分段点上怎么办？那刚才过程当中我就讲过这个事情，你还记得什么叫做概率密度函数吗？概率密度函数的话，你发现一个事非常的简单，它具有非负性，它具有归一性，一个点的概率密度函数有没有意义？没有意义。你一个点处的概率密度函数是没有意义的，因为你只要是概率密度函数，你只要非负，只要积分结果是一就行。谁还在乎你说你一个点处的概率密度函数怎么样？你哪怕我把这个点给挖掉，

我在这里面当中填了一个点一个亿。行不行可以啊？所以说大家注意啊，一个点处的概率密度函数是没有意义的，所以说分段点上怎么办？随便来。爱咋咋地。所以说这个东西的操作方法就是分段点y，直接求分段点上，爱咋咋地，那同学们想我在这种当中写个x=0的时候是一个亿。x=1的时候是两个，1 x=3的时候是三个。一同学们告诉我行不行？行还是不行？

当然行啊。完全可以啊，可以啊，但是你发现你这样写，我们都是选择题，对吧？又回到这个事情上，我们都是选择题，没有任何问题。所以说大家注意啊，这个东西的做题方法，我们来总结一下，就是分段点y直接求。直接求。分段点上。

爱咋咋地昂。注意，你想咋咋。你爱怎么怎么样，但是注意啊，你得补一个大于零的。有的说老师，你不说爱咋咋地吗？我补一个负一我疯了对吧啊？你不要这样，我们补的这个人的话，一定是大于零，它必须要保证非负性，它必须要保证什么归一性。那所以在这里面当中，

你要补一个什么东西啊？补一个大于零的。那你想想一个事情，一般我们都怎么办？我们一般都补零。一般。补零或者。直接挂等号。所以在这种当中啊，你要注意这个事情啊，就说我一般情况下是补零的。所以我们现在过程当中进行做这个题啊，就非常的潇洒了，你发现一个事情，那现在怎么办？

你把它合一下。其实你发现这个东西啊，你得合下。好，我们来做一下。这里面当中的这一段求导，这一段求导是x这一段进行求导是负四分之一x，加上四分之三。然后这个数是分段点y，直接求这个数是分段点y，直接求。然后的话，你看这段求导是零，这段求导是零，所以说外面的求导都是零，

你看我们怎么写，我就写一个。其他都是零。那就说那一这个分段点怎么办？没有关系，挂上面行不行？可以挂下面行不行？可以无所谓，有同学说那不连续，你怎么随便挂无所谓？哎，没有任何关系。所以对于这个东西啊，你发现比高等数学的学习啊，要简单很多。

说实话，简单的不知道啊，这个。这个原来高等数学当中的难点就是分段点，你分段点得用定义难度系数，稍微的会大一点。那分段点外谁都很喜欢你，现在过程当中这个操作性难度系数多低啊，为什么你分段点外就直接穷？你分段点上呢，你想咋咋样？对吧，你想怎么补怎么补？你只要能补一个大于零就行，所以说这个等号随便来。

会了吗？同学们。哎，基本问题啊，我们想怎么做就怎么做，我爱怎么挂我就怎么挂。好，这是我们讲的这个考点三这个事情过去了，可以吗？好了，这个事情我们就过去了，来基本问题来再来看看，最后一个事情。最后一个点。求概率。

不难吧，就这四个题型。学一年的过程当中，就这四个题型。那一呢等于。等于的话，零能加等。你随便写。你想怎么写怎么写？你要是不舒服的话，你就在这写个一，你写个2000万。我跟你讲，他拿你没办法。你就这样写，

你把这个一单独写出来，你在这写个2000万。你要掌握住真谛啊，你要理解清楚这个事情，你要注意注意它的内核就什么情况呢，就说你这个一你随便刮。你想挂上面行，你想挂下面行，你想怎么来怎么来？大家注意一个事情，你爱怎么怎么样，因为一个点处的概率密度函数不具有价值。只要你补的这个东西是大于零就行，所以你想想一个事情，这个东西难还是高等数学难啊？

当然是高等数学难，这简单死了，你要理解清楚的话，你发现一个事儿，它非常简单，我分到两外直接求我分到脸上呢，我想怎么样怎么样。啊，非常简单，好了，我们接下来过程当中，我们再看最后一个事情，求概率。求概率这个事情有两种方法。方法一就是积分概率密度函数积分。

好，这是第二件事情，还有第二种方法，方法二分布函数速差。做长好了，这是这个事情。所以说在这里面当中啊，你要注意一下这个基本问题点，对吧？有这两种操作性的方法，一种事情就是积分，一种方法就是用分步函数来做差。这个事刚才过程当中，我们讲过这个事情吧，你比如说我举个例子，

你看我们写一个人。大于等于a，小于等于b，跟什么情况大于a，小于b一样不一样一样的，那这个东西都等于多少？都等于分布函数去做，差这多简单呀。都也可以，怎么办？用概率密度函数进行积分。概率密度函数积分就是这个概率积分，可以求概率分布函数做差，也可以求概率好，这是一个事情。

然后接下来过程当中，我们再来看，如果你发现看你这是小于等于b呢？你小于等于b一个点概率等于零跟小于b没有什么区别，那你也可以怎么做？你发现一个事情，小于b不就是从负无穷积到b，然后进行积分吗？那这时候怎么办呢？有人说，那怎么做差呢？也可以做差呀，不就是b处值再减去负无穷的值吗？那负无穷，值等于零嘛，

那不就是出来了吗？好基本点是不是啊？然后再来看，如果这里面当中，你看我如果是大于等于a呢？跟这个人什么东西呢？大于a是一样。我也可以积分呐，我就从a积到多少，积到正无穷，然后对这个人进行积分。是吧，从a到正无穷，对这个人进行积分，这是一个问题，

或者怎么办？你可以做长，你也可以怎么办？就用正无穷减a嘛，正无穷是几一，然后再减a。能理解吧，哎，这个东西就两件事，要不然怎么办呢？用概率密度函数积分，要不然怎么办？分步函数做差。所以说接下来过程当中啊，这个题就水死了。

以前过程当中，我们还常考这种题呢。你说这种题难度系数有多大呢？来把概率密度函数有效区域先画出来。概率密度函数有效区域是零到一。然后接下来过程当中，让我们积什么？让我们积哎，你发现求解小于等于二分之一的概率。小于等于二分之一的概率直接在这积分就行，所以说这个东西小于等于二分之一的概率。就相当于从零，然后到二分之一这个人进行积分。ds那等于多少四分之一？你这有什么打脸的？

这个打啥点呢？这没有必要吧，这浪费你一个点啊，你下去过程当中还要看这个。这种破题啊。就说给的概率密度函数去积分。那不就是你小于等于二分之一，不就是从负无穷积到二分之一吗？你的有效区域的话，你发现只有这一段是多少呢？这一段是对2s积分，你这段是对零积分的。是不是这个事情，所以说这个部分问题啊，我们就讲完了。

那么，接下来过程当中，我们来看看这个事情，整理一下吧，总结一下。考研中连续性随机变量。考题框架图。哎，注意一下，我们来看看这个事情，所以说你发现你看这种题目的难度系数稍微的低了很多。我跟你讲一个事情，你一个月学一个题型都学完了。就是一个月学一个题型。接下来过程当中，

我们一起来看看这个东西的核心是谁呀？这个东西的核心就是以概率密度函数为核心展开的一系列问题。他就是核心。所以在这里面当中啊，你要注意我们所有的事情都是通过它延展出来的。就这个人通过这个东西的话，你发现延展出来了，那么首先我们来看看第一类考题，第一类考题是什么？我们就在这种当中，如果知道。这个人去求分布函数怎么做？还记得怎么做吗？就是来积分就是从负无穷积到s去积分，然后拉一条线。

把那个人写成小fs，然后永远从负无穷开始走，永远从负无穷开始走，你看这种题好，这就是我们这个月要练的。这个月的每一天都大脑里面想一个事情，知道概率密度函数怎么去求分布函数哦拉条线？把这个概率密度函数点出来，从负无穷开始走走走，不同情况好，这是这个圆。下个月怎么办呢？下个月学这个人。那知道分布函数怎么去求概率密度函数呢？那就知道分段点y是直接求导的分段点上呢？

想怎么办就怎么办？随便挂无所谓，只要补上一个什么大于零的人就行好，这是下个月的事情，然后接下来过程当中我们再来看。那如果到了什么东西呢？下下个月。我知道概率密度函数，我想进行去求解，其中的待定参数怎么做呢？哎，我也知道那用什么方法，非常的简单。就是使用两个事情，一个事情是非复性，

一个事情是归因性，这是下下个月，这是我们七月份八月份做的事情。好了，再到下个月份的过程当中，我们干嘛呢？我们学习求概率。对吧，求概率。那如果用概率密度函数求概率，怎么做用概率密度函数求概率就积分用分布函数求概率怎么办？用分布函数求概率，我们就进行怎么办？端点做差好，这是九月份干的事情。

行吧，结束了。要注意啊，这个页面有可能有一道题，有可能有两道题，也有可能有三道题。一个月做一道，一个月做一种，你脑子里面当中有一个提醒你考场过程当中见到这个东西，立即反应好结束了。好，就是这个东西啊。所以我们学习一年的过程当中，就这个内容。能理解吧，

就这几个题型叫做什么？叫做心中有题型，做题先定型。就是拿到这个题的时候的话，你首先第一件事情干嘛呢？我先进行去判断，哎呀，什么题已知概率密度函数，求解其中待定参数。归一性。好，下一个题已知概率幂的函数，求解分步函数非常简单，拉线从负无穷积到s。再到下件事情呢哦，

知道分布函数求概率密度函数已知这个什么分布函数求概率密度函数分段点外直接求分段点上。随便挂，非常的简单啊。好，这是这个事情，你下去过程当中啊，好好想想这个事情难度系数不高，对吧？非常的重要，加上我喜欢的。绿色好了。呃，下去过程当中好好想想吧，对吧？一定要把这个事情啊，

想清楚分步函数概率密度函数。概率基本的内容啊，就结束了。我们其实你发现我们的概率论与数理统计啊，应该是讲到这儿就结束了。接下来过程当中的内容啊，都是为了刚才学的这些东西加以服务。比如说我们下一个部分当中学习到常见分布，就是来服务这些内容。然后或者下下节课，我们学习什么函数的分布也是这个东西的眼神，然后再到下节课，我们去学习二维的离散也是这个上节课的眼神。在学习的期望和方差也是这些东西的眼神。所以我们在考研过程当中啊，

这个概率论真不难。你要把概率论的分啊，放过去了，实在是有点这个划不来啊，说实话好吧，我们稍微休息会，一会继续吧。

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