04.分布函数、离散型随机变量-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:51:13

这个题啊，有没有写完啊？应该差不多了吧？好，我们先来看看这几个人啊啊，不是说特别难对吧？好，先看第一个人。那第一个人是谁呢？它是等于一那等于一的话，你发现就是小于等于。然后再怎么办？减去小于那其实就是这个点处的值，再减去这个点处的什么东西啊？锁极限。

没问题吧？好，我们先来看看这个事情，那一处值是多少？一处值刚好在这儿，那这是多少啊？一减e的负一次方啊，这块没什么打点的，赶紧给我取消。不能打对吧？有什么打的，你如果这个东西你做不出来，是因为刚才知识点的问题。啊，注意下好负一。

然后接下来过程当中，我们再来看看一的左极限，左极限是多少？左极限是在这儿对吧？左极限是对它求极限，那这里面当中刚好减去二分之一，刚好是多少？二分之一减去一的负一次方好，这是第一个事情，然后接下来过程当中我们再来看第二人，如果这里面当中的话，你发现是大于零小于一。它是多少？那其实就是小于一减去小于等于零。小于一是多少呢？

小于一是一处的左极限。然后的话减去小于等于零呢，小于等于零是零处的值，大家能跟上吗？我没有像刚才的过程当中，又把它写了一遍，但是我相信你脑子过程当中是能转的过来的，然后这时候你看一处的左极限呢，二分之一没有倒移，是一的左边嘛？然后在这里面当中减去f零零在哪儿零也在这儿，你看零是在这儿再减二分之一，它就是零。然后再来看看下面的人，如果这人是大于一，

那就是一减去。小于等于一呢？小于等于一就是一处的函数值。所以在这里面当中，一处函数值在哪？一处函数值在这，那就是一减e的负一次方e的负一次方。能想清楚吧好，这是这个问题，然后接下来过程当中，我们继续再是大于等于零，小于等于一，继续啊。那就是小于等于该点值减去小于小于该点左极限零处的左极限。那么，

在这种当中，我们看看，如果是一处呢？在这。然后就是零处的左极限，零处左极限的话，你发现看这个人没有道理啊，没有道理比零小，那就是减去零。那就是一减一的负一次方。好了，我们再来看看最后一个人，那最后一个人的话，你发现就是大于多多少零小于一，那其实就是。

小于一，小于一，就是该点处的左极限。然后再减去小于零就是零处的这个人的左极限。好，我们先来看看一处的左极限，一处是没有到一比一小对它求。然后零处是没有到零比零小对它求，所以说这是二分之一好这个。行吧呃，都对的，请给我回复个一。错一个的给我啊，这个什么如果都对了，给我回复个零。

好吧啊，都对了，给我回复个零。我看看情况，你错几个给我回复几个吧，好吧，你错几个给我回复个几个，我看看这个情况啊，做的怎么样？你错了几个，给我回复几个。嗯，还行啊，这一个都不能错，听到吧啊，

这一个都不能错好了，这是这个事情，你错两个。这就不行了，对吧？这不好了啊，不能错啊，不能错，不能错，一个都不能错啊，好了，这是这个事情过去了。好了，那么这个分布函数啊，我们就讲到这儿，

讲到三个事情，第一事情分布函数的定义特别重要。你要知道什么叫分布函数。分布函数是一个函数，这是自变量，这个自变量是属于r的。然后这个分布函数呢，它在这点处值就是这个随机变量小于等于这个点的概率。要求谁数值就是求随机变量，小于等于谁的概率。这就是分布函数，能理解吧？好，这个点我们就讲到这儿，然后第二事情讲了分布函数的四个性质。

非负性，规范性又连续单调不间隙啊，这是一个事情，然后最后一个事情，我们又讲了分布函数跟概率之间的关系。那么最后啊，我们再补充一个内容，说实话，这个内容对我们班同学没有什么用，因为我们考的都是选择题。但是你发现我稍微讲讲，然后也呃减轻一下大家的一个顾虑。你发现没？原来你在大学过程当中去写分布函数。一般分布函数都是一个什么？

一般分布函数都是一个分段函数。对吧，一般都是分度函数，比如说小于一，大于一，小于二，然后大于二。往往都是个分段函数。你回想下你原来大学过程当中学习，你最纠结的点在何处啊？你是不是非常纠结说你这个等号到底在这儿呢？还是在这儿呢？你等号在这儿呢？还是在这儿呢？是不这个问题。

你纠不纠结这个事情？我不相信你不纠结，你肯定纠结，你绝对纠结过，对吧？这个等号到底在哪呢？如果它是个分段函数的，你等号到底挂哪呢？好，那么今天啊，我解决完你这个顾虑，将来过程当中啊，你就不会再纠结这个事情了，好，大家听好了，

我们一起来看看。那么，请同学们告诉我事情，一个分布函数。对吧，这个分布函数。分布函数在这个点处具备什么性质啊？具有什么性质啊？具有右连续的性质。什么叫右连续性质呢？从右端往它跑，跑到函数值。左端未必是连续。左端有可能不连续，但是右端一定连续右端往它跑，

一定跑到函数值左边往这跑，未必跑到函数值。它一定又连续，所以说大家想想一个事情，你这个等号如果是这个人的等号挂在哪儿？啊挂在谁挂在右半边吧，所以说就是大于等于x0。是不是这个事情，所以说大家想想一个事情，那么接下来过程当中，如果我把这个东西给你画成一个这样的一个情况，你再来给我看。好，这是个大fs，然后这是零，

这是s，如果这是a，这是b。大家想想一个事儿，你看你肯定又连续右端往它跑，跑到函数值，但左端往它跑，未必跑到函数值，它函数值有可能在这呃，当然分布函数它得。单调不减，我是这样画的。对吧，你发现一个事情，它有可能怎么办？

它有可能是这样。你这个点取，然后接下来过程当中它怎么办？它是这样。所以说你告诉我事情，这个等号挂在哪？这个等号的话，你发现一个事情，它一定是大于等于a小于b。哎，大于等于a小于b，所以说大家注意一个事情，分布函数写左闭右开，永远不会错。你记住这条路。

因为它具备的性质，只要你是分布函数，你就具备又连续的特性，所以说在这种当中，我们注到这。分布函数斜。左臂。又开。一定不会错。诶，注意下这个事情。左半边是b，右半边是开，左臂右开，永远不会错。

这个事情，但其实你发现考给我们的。没多少用啊，没多少用，因为我们都是选择题啊，但是我觉得也能检验吧啊，也能检验它这个东西啊，一定写成左闭右开，永远不会错。能理解吧哎，左半边是b的，右半边是开的，这是这个事情，所以说将来过程当中你发现一个事儿，比如说如果我写了一个分布函数，

它有。三段小于一，大于一，小于二，然后这个什么这是大于二怎么写啊？怎么去解左臂右开吧，你看左半边是闭的，右半边是开的那个等号就在这。啊，是不是啊？左左边是b的，右边是开的嘛？你这个等号就在这儿嘛啊，出来了。非常简单，

永远写成左闭右开，永远都不会错，永远不会错这个人。好，这个事情我们就讲到这儿，听明白了吧，你将来就不会纠结这个事情了，我只要见到分布函数，我就写左闭右开啊。好了，这是这个事情吧，跟得上吗？基本点，所以接下来过程当中，我们就来看看第二个部分问题了，

我们来讲讲离散型随机变量。啊，离散型。离散型的随机变量。那么，在这种当中啊，我们稍微进行去回顾复习一下。刚才过程当中，我们有没有讲过离散性随机变量？我们有啊。如果你是离散性随机变量，你的取值呢？你的取值就是离散的。如果你是离散型，随机变量，

你的取值就是离散的。你就取一个点一个点的。你比如说举个例子，你看我们刚才过程当中不是举过例子吗？摸那个什么摸那个白球的问题，还记得吗？摸那个白球的问题的话，你发现一个事情，刚才过程当中我们说过了，那个随机变量可以取几个值？摸到零个白球，一个白球，两个白球，然后接下来过程当中就是这几个事情，然后这里面当中啊，

你发现。呃，我们都知道在零处的时候的话，它的概率是多少？我忘了，然后这个人的概率是多少呢？一的时候的概率是多少？我也忘了，然后第三人的概率是多少？十分之一，好像这个人。第二人是多少？这我看看啊。我忘了那个那个结果啊，滋滋来找找找啊。

十分之三五分之三啊，十分之三五分之三。然后这时候你发现十分之三五分之三。所以大家注意啊，什么东西叫分布率呢？我们来看看，如果是一个离散性随机变量最重要的问题就是分布率。什么是分布率呢？你要求出它的所有可能取值。第二，事情在确定它在每个点处的对应的概率，这就叫分布率。所以大家想想一个事情，你看我们这个东西叫不叫分布率啊，我们这个东西就叫分布率。

我确定出来的，它的所有的取值。我还知道每一个取值的概率，这就叫分布率，所以你发现个事情，你高中的时候怎么写的？你高中的时候是这样写的。对吧诶，就是你在这里当中的话，你发现一个事情，你的所有的取值。然后这就是你的概率，你的取值是零，取值的是一，取值是二，

然后这是十分之三，然后这是五分之三，然后十分之一，你高中是不是这样写的？但是你要注意啊，我很喜欢这样写。我喜欢这样写。第一行过程当中s属于第一行，写它的取值。第二行进行去写，它的概率大家注意啊，这两种写法都行。我很喜欢选第二种。这两件事情都行，所以大家注意什么叫分布率呢？

你不是离散型的吗？对吧，你是离散型的，你是离散型的话，你发现一个事情，我们第一件事情，我就要确定你的所有的可能取值。这是第一件事，第一件事情我要确定你所有的可能取值两个三个。然后这是多少四个，然后一直移到多少n个确定所有取值，然后接下来过程当中，我们要继续去求出什么东西啊，我要求出每一个取值对应的概率。这是你的所有取值。

然后接下来过程当中，把这个对应的概率求出来。再把对应的概率求出来就行，就说你这个东西怎么了？我这里面当中的话，一定要注意啊，就说我x等于多少呢xk这个人。它的概率就是PK。诶，概率就是PK就是第一件事情，第一行是。取值。第二件事情取这个值的话，它对应的概率。啊，

就这个人第一行写取值，第二行写概率。那么，接下来过程当中，我们再来看，请同学们告诉我这个取值有可能是有限个吧，有没有可能是无限多个？有没有可能？也有可能。也有可能是无限多个。但是你放心啊呃，我们将来过程当中会学泊松分布。泊松分布就是无限动格。几何分布也是无限度的。但是这里面当中不会出题，

不是说不会出泊松分布，不是说不会出几何分布的题，是不会出什么题呢？我接下来过程当中，我把这个事情先讲了，你先听分布率具有几个性质呢？它具有两个性质。第一个性质就是每个部分的概率，它是大于等于零的。第二事情，你把所有的概率进行加起来，它是一。那么，接下来过程当中，我们检验一下，

你看你这每一个部分的概率。e是不是大于等于零呢？你把这所有的概率你给我加起来，它等于几它等于一。你把这些线加起来，它等于。所以说接下来过程当中，我们在考研过程当中，我们不可能出这种题，我们不可能出什么题呢？就说。是无限多格。对吧，比如说举个例子。取一取二，

取三取四，取五一直取到多少？取了无穷多个，然后这人是二分之一，这是二分之一的平方，这是二分之一的三次方，这是二分之一的四次方。这是二分之一的五次啊，这个什么呃，这是k分之一吧？k分之一的一次方k分之一，二次方k分之一，三次方k分之一，四次方k分之一，五次方，

然后让我们进行求求k，我们不会考的。不会考无限多个，为什么为什么因为如果是无限多个相加，这是无穷级数内容，我们不考无穷级数。我们在高等数学当中不学无穷级数，所以说像这个事情呢，你发现个事儿我们不会出的。对吧，所以说大家注意啊，我们做的题一定要适应我们的考情。它不会出这个问题的，这个事儿你要想清楚啊。跟得上吗？

但是我们可能会出有限个。有限个的话，你发现一个事情，比如说有一天过程当中，我们出一个题。啊，我们可能出的这个题目的话，你发现比如说。零然后给你个分布率，这是零，这是一，这是二，对吧？然后这是多少呢？这是p。

然后这是多少一减p？然后这是呃，这是一减二p。然后的话，你发现一个事情，这是一减二p，然后这是多少？这是三p。呃，这是不能是3p，然后的话这是。呃，这是。这是4p吧。对吧，

这也是p。那么，记下过程呢？让我们去求这个p那其实你发现就是p减去啊，这个加上一减四p，加上这个p，它就等于多少一减二p？这也不行啊。呃，这个人改成多少呢？叫我想想啊。嗯。改成一个二吧。比如说这种题对吧？你一加一加，

最后结果是多少？是二减去二p，这人等于一。对吧，它加起来等于一，所以说你发现这个二p等于多少二p等于一p就等于二分之一。的我们可能会出这种其实无穷多个的话，你发现数一和数三同学常考非常喜欢出喜欢出无穷级数那种。但是我们在考研过程当中，我们又不学无穷技术，所以这里面当中啊，我们的核心重点，你要知道有限个多个就行。对吧，这是个基本问题。

这是这个内容，其实你发现出无穷级数的题，可以出的非常的精彩啊，但是没关系，对吧？我们把这个内容学清楚就行。两个事情，什么叫分布率啊？第一个事儿，要知道所有取值。第22，确定每个部分的概率，这就叫做分布率。这就是分布率，分布率具有几个性质呢？

两个性质，一个事情叫非负性，你这个概率怎么办？你这个概率必须是大于等于零，小于等于一。第二，事情所有概率的加和必须是一啊，这个内容比较重要点。好了，同学们，这是第一个事情，过去了可以吗？来吧，那么接下来过程当中，我们先来看看第一种考题。

哎，先来看第一种口式。考题一考题一是什么题呢？它是这样的一个问题。稍等一下，我把它加个粗。求解。分布率问题。求解分布率对吧？就求解分布率，那怎么去求解分布率呢？大家注意核心重点两步走第一步。第一步，怎么进行处理呢？第一件事儿，

我们先进行去确定什么？先进行确定。随机变量。随机变量的所有。所有可能取值。第二件事情。第二步，然后进行求。求解每一个取值。下的概率。就可以，这就是我们进行去求解，这个分布率的两步走第一步。你要进行去确定这个随机变量的每一个取值啊，你看看它有多少个取值，

它有多少个取值？然后第二件事情干嘛呢？你去确定一下，每一个取值它对应的概率。对吧哎，取这个取值的时候，你的概率是多少？就是两步走，我要知道取值，我要知道每个取值下的概率。啊，这种问题啊，也是会出题的，比如说我给你一个实际问题，我说下列这个随机变量的分布率是下列当中的哪一个？

啊，都可能会出，所以接下来过程当中啊，我们稍微来做两个题。来先来看看二点八这个题。你不要小看这些题啊，我有的时候给你把它放到这上面的题，你一看的话，哎，你说怎么这么麻烦，这都会出的来，基本点。来看看这个人。他说甲乙两种箱子，两个箱子当中装有同种产品，

你要注意啊，是不是有些同学觉得恶心了？是吧，有些同学见到这个东西不喜欢了是吧？要注意差距就来了。我经常讲，如果你遇到的话，你发现你也觉得恶心，你放心，很多同学也不喜欢。一旦遇到这种不喜欢的，你要注意差距就来了，拉分点就来了，这就是选拔性的考试，所以在这种当中啊，

你要非常喜欢啊。好，那么接下来过程当中，我们先来看看甲乙两个箱子。先来看看第一个人甲的这个箱子当中啊，你发现有三个合格品。三个次品乙这个箱子当中只有三个合格品。现在说在假的箱子当中。取出三件，放到乙当中。注意我取几件呢？我取三件放进去说乙的这个箱子当中的次品件数。这题就是个骗子啊。你发现一个事情，这不就是骗子吗？

他问你这里面当中的次品的个数，这次品来源于谁呀？这次品不就来源于他吗？所以这个题的意思就是我在甲当中抽三件。取出次品的个数。所以在这个当中的话，你发现一个事情，这个次品数角s，它的可能取值有几个？有可能是零个，有可能是一个两键三键。对吧，这个人他的次品全来源于他，所以接下来过程当中，你去算就行了呗，

你直接算零件。就是在六键里面取三尖。零件次品说明三件都是合格品。就在合格品里面取三键，然后再来看看s=1。那就是在六键里面取三键。合格品里面当中取几件取两件，次品里面取几件取一件。然后再来看看s=2。那就是c六二啊c六三那就是怎么办？四品里面取两件合格品，里面取一件。然后接下来过程当中，我们再来看x=3。s=3的话就是六键里面取三键。

全是次品，那就是在次品里面取三件。那就是这样的一个结果，然后接下来过程当中，你发现这是多少六×5×4比上三×2×1，所以说就是20。因此，你发现这是二十分之一。然后这是20，这是三三×3呢，这是九，然后这是多少20，然后这是三×3，这是九，然后这是多少20，

这是一。所以说这个时候你发现分布率是多少？来走零一二三这个人，那这个人是多少？二十分之一这是多少？二十分之九这多少？二十分之九这多少？二十分之一？能理解吗？好，这个基本问题啊，你要把它想清楚。这就这个情况。所以说大家注意一个事情啊，问乙当中的次品，

它全来源于甲当中。就是在甲当中摸三件次品有多少好，这个这这是没有大题的感觉，这这这也不像高考大题啊。这比较简单，好，我们再来看看下面的问题来继续再来看一道题。看一下这道题吧。29来看看这个题。这个题啊，就比刚才那个题要好了。啊，这个题我们来看看这个人。它说有一个袋子当中。诶，

有个袋子当中有个袋子当中啊，有五个白球。呃，这个什么三个黑球？哎，五白三黑。然后说每次从中取出一个。如果取出的是黑球就不放回，则再放入一个白球，你看这个题，我觉得就非常好了。诶，这个题很棒。对吧，这一题就比刚才的棒。

你要注意一个事情，就说如果你在这里面当中怎么办？你要摸出什么情况？好，稍等一下啊。就是如果在这种当中，你进行去摸，你摸到是什么情况？如果你进行去摸到的是黑球，你就不放回了。对吧，然后我再放入一个白球。这样继续下去，直到摸到白球为止。球取出白球。

所需取求的这个次数的分布率。这题很棒啊，这题很棒，所以接下来过程当中，我们一起来看看这个事。来解首先，我们先看看可能性。它的可能取值的话，你发现你摸到白球，你可能有几次啊？大家注意，我们首先第一事情，你可能一次就取到了。你一下就取到了。对吧，

你一次就取到了。那么，也有可能是什么？你如果取了一次没有取到，然后的话怎么办？里面当中只有两个黑球了。两个黑球的话，然后的话，这这个是我还要放入白球。那有可能是两次，三次最多是几次？最多的是前三次我都摸到的是黑球。然后这下全部扔白球，你最后一次摸你绝对会摸到白球四四。大家注意啊，

只有这四种可能性。只有这四种可能性。所以说接下来过程当中，我们一起来看看下面一个问题，第一件事儿。如果一下就摸到了呢，一下就摸到了，就是八分之几八分之五。这一下就摸到了。然后接下来过程当中，你发现如果两下才摸到呢，两下才摸到第一下摸到什么球，第一下摸到黑球。八分之三。那八分之三第一下，

如果你没有摸到什么情况，你没有进行曲注意啊。如果你第一下的过程当中，你没有摸到这个什么，没有摸到白球，那现在摸到黑球，现在只有两个黑球了，你要塞进去一个就变成了六个白的。那么，现在在摸到白球概率是多少？八分之六。这两件事情共同发生才完成这个事儿，乘法如果是摸了三下呢？摸了三下的话，你发现第一次摸什么情况？

第一次摸它就变成了这个情况。说明第一次摸到的是啊，摸到是这个黑球八分之三，然后就变成这个情况，变成这个情况的话，又得摸到黑球，又是八分之二。那然后的话，你发现个事儿，现在就变成什么情况，现在就变成了这种情况。现在只有几个黑，一个黑，然后是七个白，那接下来过程当中，

你必须要摸到白球八分之几八分之七。如果接下来过程当中你摸了四次才摸到呢，然后接下来看第一次的时候你必须摸到什么球，黑球八分之三。第二次必须摸到黑球八分之几二，第三次必须摸到黑球八分之一，如果这个时候的话，你发现最后一次呢？这里面当中的话，你发现。全部都是什么？这是零个黑球，然后的话，你发现八个白球，你一定会摸到白球。

这是一你们共同发生才完成这个事情，所以说你把它算一下就行。那这个时候你发现这个s的分布率就出来了，哎呀，这个字太恶心了，所以说接下来过程当中啊，你把这个写一下就行了，一二三四。四你把k底算一下好吧，我不算了。好，这是这个情况。能理解吗？哎，大家一定要注意这种事情，

这个题啊，很有意思。对吧，你要注意，很有意思，就是我第一次过程当中，我就发现我摸对吧？怎么了？你自己算嘛，对吧？啊，你会算，所以说你发现一个事情，你看你第一次过程当中，你哎呀，

这是你们喜欢算啊，你们要喜欢算。所以说在这里面当中，你发现我摸到什么球黑球，我不拿回去了，我扔一个白球，我如果再摸到黑球，哎，不拿回去了，再扔个白球。所以这个东西啊，你自己算一下好不好啊？这个人。行吧，这是这个事情，

我们就讲到这儿，那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题好了吧？哎，这是这个。这是第一种考题形式。那么，接下来过程当中，我们再来看看下面一个问题啊，这是第一种考点，再来看看第二种考题。再看第二种考题。叫做已知分布率。求分布函数。大家注意一个事情啊，

一定要听清楚。如果是一个离散型，随机变量。离散型随机变量，它最重要的问题就是分布率。离散型随机变量的标志就是分布率。你是不是零散循随机变量？就看你的标志是不是有有什么东西呢？有没有分布率？所以接下来过程当中，我们一起来看看这个事怎么进行操作。我们通过一个题啊，我来讲讲，我把这个题啊，我重点跟同学们讲讲。

大家好好听。那么，首先我们先来看看第一个事情，你发现这个人的分布率是谁呢？他是一，然后这是二，然后这是三。对吧，它是三，然后这个时候你发现这是零点二，然后这是多少？这是零点三，然后这是多少？这是零点五。它只有这三个取值，

但是大家注意一个事情，我们的分布函数是什么意思啊？我们的分布函数在这个点处的值。就等于随机变量小，于等于这个人的概率。那么，做这种题非常的简单，我教你怎么做？大家注意，第一步拉条数轴线。拉条数轴线的话，你发现它这个大S可以取多少？它可以取一，它可以取二，可以取三，

把它的概率给我标到上面。把它的概率给我标到上面，把它概率给我标到上面。大家想想一个事情。第一件事儿。就说如果你在这种当中的话，你发现你看你的x在这儿，你之后的概率是几？零你在这儿，你之后概率是几零你在这儿，你之后概率是几零你这儿，你之后概率是几，就说你这个小S的落点，你后面都是零。如果在这儿，

如果再移呢？在一的时候就是小于等于一，就要包括一，这不行，所以第一件事情只要你这个s小于一。你的这个人的分布函数结果就是这个概率的结果都是零一，不能包括如果再一呢？这后面呢，小于等于后面，那这人就是零点二了。然后你看一到二这后面零点，这后面零点，这后面零点，这后面零点，但是不能在二。

如果到二的话，你发现是二集齐以后，那这就零点五了。所以说接下来过程当中，我们就来看，如果这个人是大于等于几一小于二，那这时候呢，后面都是零点二。那么，记下过程，当我再来看，如果二集齐以后面呢？这是零点五，这后面呢？零点五，

这后面呢？零点五，这后面呢？零点五，这后面呢？零点五，这后面呢？零点五不能包括三。三的话，你发现三及其以后面，那这是所有了，所以说这是s怎么办？大于等于二小于三，那这是零点五。这后面的部分。

然后接下来过程当中，我们再来看看下面事情，如果再三这个点呢？三及其后面就是一这后面的一这后面的一这后面都是一，如果这里面当中的x怎么办？大于等于三。它就是一所以说这个题的话，你发现一个事情，我们就把它求完了。你会做了吧？它的做题方式非常简单，就是你拉条数轴线，把它能取的这个点呢，把它给我点在上面，它的后面它的后面，

因为你小S落在哪，我就要研究小于等于它的概率。你小S落在哪，我就要研究小于等于它的概率好这个事情，把它想清楚，但是这个事儿我没有讲完，接下来过程当中我得重点来谈谈。离散型随机变量分布函数的特征。大家注意一个事情，我们一起来把这个分布函数的图像画出来行不行？这是一个函数。你要注意，它是一个分布函数，我们来看看它的图像。那么，

这个部分的话，你发现看它是一，它是二，它是三。那么，在这种当中的话，你发现小于一的时候的话，它的概率都是几都是零。一到二的时候概率是零点二，二到三的概率是零点五，大于三的概率是一。它是这样的一个情况，而且你发现一个事情这块不取那块取这块不取那块取这块不取那块取。所以永远都是什么左闭右开，大家有没有发现？

离散型随机变量的分布函数，它是什么状啊？它是个阶梯状，每一段都是个常数。所以记下来过程当中，我们注到下面。离散型随机变量的分布函数特征。啊，分布函数。的特征，那对于一个离散型随机变量分布函数的特征长什么样子呢？你要注意一个问题，它具有以下几个特征。第一个事情。它什么情况诶，

呈阶梯状。及t中。就是它的图像呢？图像呈阶梯状。那么，从函数呢？函数的每一段。都是常数。这是这样的一个问题，你看它每一段都是常数，每一段都是常数，每一段都是常数，它的每一段都是常数，而且你发现这个函数呈现什么状？呈现阶梯的状。

哎，阶梯中这是一个问题。然后接下来过程当中，我们再来看看第二条内容。而且你会发现一个事情，你看这是分段点吧。这是分段点吧。它有几个分段点。它有三个分段点。而你发现我的取值呢？就有三个。分段点是一。分段点事儿。分段点是三，你的三个分段点处，

我刚好取概率，所以说注意啊，分段点处。出取概率取值。概率啊，取概率就行。在分段点的时候取概率。就说你在这里面当中的话，你发现这是分段点，你这是分段点，你这是分段点。是不是这个事情，所以说在这种当中，你要注意这个问题。好了，

这是这个事情，掌握清楚了没啊？注意啊，一定是零点五。小于这后面的所有嘛。你要把所有都加起来，不是说小于这个人所有你得加起来零点二+0点三。说明这个。刚才的定义啊嗯，你得吃透对吧？你其实不能有这样的一个基本问题啊，我相信你下次过程当中你肯定能想得到，是小于等于它的所有嘛，对吧？第一啊，

下次掌握清楚就行。好，这个事情我们就讲到这儿，所以说已知分布率去求分布函数怎么做第一件事情，把它拉条线。把所有可能取值给我点到上面啊，小于它小于它小于它，把累加就行，非常的简单，能学会吗？好，这是这个基本问题啊，我相信你下次过程当中一定会处理的。那么，接下来过程当中，

我们再来看看最后一个考题。把这个等我想。嗯，这这些红色太多了。绿色呢呃，绿色太。呃，这个颜色吧好吧呃，这个。再换一个字体吧。好，这样就完美了啊。跟我们的这个主要部分的东西啊，区分开啊。好了，

那么接下来过程当中，我们再来看看第三个事情。好吧，再看第三个事情。那第三个事情呢，叫做已知离散型。随机变量。离散型随机变量的分布函数。我让你去求什么，求分布率。怎么求？就说在这种当中的话，你发现现在而言，我们是知道了它的分布函数去求分布率。那这时候怎么求？

那这里面当中的话，你发现都是套路啊，刚才过程当中，我们有没有研究过离散型随机变量的分布函数？我们有研究过。我们研究出来得到了一个什么样的一个结论呢？刚才过程当中，我们已经知道了是什么分段点处。取概率的取值。概率的啊，这个取值。概率的取值点。对吧，分段点处为概率的取值点。为概率的取值点，

所以说大家注意啊，分段点应该是分段点为概率的取值点。你的分段点有几个，我就有几个取值点。对吧，概率取值点好了，第二个事情那么接下来过程当中，我们再来看第二件事情，那就是怎么办？求该点的概率。利用什么东西呢？利用分布函数求该点的概率。怎么求解啊？怎么进行去利用这个概率进行去求解该点概率呢？那刚才我们都知道，

不知道你还记不记得啊？我们刚才做的。你发现。我要进行求a处的值。对吧，我要进行求什么，我要进行求a处的概率值，它就等于多少小于等于减去小于。分布函数这个点处值减去分布函数这个点处的左极限。诶，左极限就是该点值减去该点处的左极限就行了。对吧，你就用该点直线去该点左极限，所以说这个东西非常的简单，第一事情。

什么事情呢？你有多少分段点，我就有多少取值，我怎么去求这个概率呢？非常简单，就用分步函数来进行求，怎么求呢？该点直线求该点左极限。这是我们刚才讲的好多遍的。那接下来过程当中，你发现这个题就可以秒了，来秒了这个题。首先，接下来过程当中，我们先来看看第一个事情，

请问这里面当中有几个分段点？每一段都是常数吧？离散型随机变量的分布函数。每一段都是常数离散型，随机变量，分布函数来几个分段点，负一一三四。三个分段点。那三个分段点的话，那么接下来过程当中，我们先进行求负一处的值。来走负一该，点值负一在哪？负一在这该点值是零点四。减去左极限，

左极限没有到它求这个人的极限是零，所以说这是零点四，所以一填零点四。好了，我们再来看看第二事情s=1。s=1就是该点值，那该点值在哪呢？该点值等于号在这零点八。减去该点左极限，该点左极限的话，你发现没有？到一就是对这个人求减去零点四零点四。所以说这是零点四，当然同学们一加是一，那这肯定是零点二，

要不放心你再求一下等于三。等于三该点值是多少？该点值的话，你发现等于三在这儿，所以说是一左极限是没有到零点八。所以说就是零点二。出来了吧，该点直线去该点左极限这一加，你发现刚好是一。非常完美。所以说这个操作性就出来了。因为分布函数离散型随机变量的分布函数离散型的随机变量的分布函数，它具有什么特征呢？它具有阶梯状，每一段都是常数在分段点处取概率有几个分段点，

你发现概率就有几个取值？那怎么去确定该点概率呢？我就可以通过刚才已知分布函数求该点值的这种方法，用该点的分布函数值减去左极限，是不是出来了？要注意啊，不是说特别难基本点吧，哎，这一节课的话，你发现内容点可能比较高能一点，但是我学的相对而言呢。对很多同学而言，应该是觉得比上节课要好学。很多人不喜欢学上一节课，里面当中什么抽签事件啦，

什么全概率公式啦。什么贝叶斯公式啊，不喜欢学那些东西，但是你要注意一个事情，这个部分的内容啊，我觉得你一定要拿下来啊。呃，但是没有关系啊，这个我们到了强化班过程当中，你放心吧，你觉得痛点。啊，我觉得还是比较了解大家的一个情况。你发现每次过程当中，我觉得你们的痛点，

我在强化班的过程当中，一定会重点的加强。一定会重点的加强啊，所以说大家注意一个事情呃，不用特别着急，这个事儿对吧这个？我们后面还有强化班，这是第一轮。那么，有些同学的话，你发现这个第一轮呢呃，我们可能是只学了一遍。你还得再复盘一遍呢。对吧，你还得复盘一遍呢。

然后到了强化班过程当中，我会带着同学们进行去练题。练提醒。嗯，所以说将来过程当中，我们把这个基础拿下来之后，强化班就非常的重要了啊。好了，这个事情我们就说到这儿，能理解吧诶，把这个基础一定要打牢。行吧，那么这个基本问题我们就说到这。呃，那么这节课的部分东西还有一个事情，

你看刚才还有一个题啊。你这个题不是要求分布函数吗？我就不求了，对吧？你拉条线的话，你发现点四个点一二三四它的后面它的后面它的后面你自己去试一下好不好？呃，我还是这样的一个事情，另外一个事儿多跟同学们去提一下，我知道在这个什么呢，就是下去过程当中进行去整理笔记。可能对很多同学觉得而言的话浪费时间，其实一点都不浪费。一点都不浪费时间，你下去过程当中进行去整理这个笔记的过程，

把上课的例题进行去完成的一遍过程。是非常非常好的，有效率的学习方法，大家注意这个基础班阶段呢，宁肯慢一点也要做的稳一点。你不然到了后面过程当中，你发现你这个知识点又要花上成倍的时间进行解，你还不如一遍把它做扎实。一遍做扎实了之后的话，你发现再进行训练，你发现水平又上来了，虽然的话，第一阶个阶段的话，你浪费点时间，但是从我们整个的。

复习的这个角度上而言，其实是节省了时间，就看你怎么想了。当下的过程当中，虽然的话，你觉得投入的时间多了一点，但是放在整个时间段的复习的过程当中，你发现时间呢，其实节约了很多。所以我觉得这个。呃，前段时间很多同学给我回复私信说老师，我在这个基础阶段呢呃，数学的话就投入了大量的时间。你要注意，

等到强化班过程当中啊，你就轻松很多了。那你就轻松很多了。所以一定注意把这个基础好好累一累。那强化班的过程当中，你就可以进行去，你还有这个时间进行去，可以复习这个逻辑了呀，那后面过程当中还有这个写作了呀，就这基本点了。还是这个问题啊，就是。你老是进行去问这个题目够不够？我先问你一句话，你有没有把这些题先消化到位？

啊，有没有如果已经消化到位了，再问这句话，如果已经消化到位了，你可以再买本书，再做一做。但是但是有一个问题点的话，就是你敢保证你讲义上的题你都会做吗？你能保证你讲义随便翻到一个页面的话，知识点你都会吗？你能保证你习题过程当中随便翻到一道曾经做过的题，你都能很快的把它做到做出来吗？如果能。你再继续去做更多，如果不能，

你先把已有的东西先吃透。这是我就觉得一个非常重要的问题，不要是老师的话，这个。你没有，如果你是一战同学，你没有考过一次，但是你总经历过高考吧。对吧，你高考总经历过一次。你发现你高考买了多少书？如果你稳稳当当的吃透一本儿两本儿书，你相信的话，你原来过程成绩肯定要比原来过程当中会更好一点。所以大家注意一个问题，

吃透比做多更都重要。我们去比啊，不要跟别人去比，你刷了2000道题，3000道题，你刷一万道题又怎么了？我们要比的是什么东西啊？我们要进行去比的是有效的题目的数。我弹一点点，我多说一嘴，我们就下课。这里面当中啊，我说一个事情。什么叫复习到位？基础复习到位，

我谈一下，我谈完了之后，今天课程我们就结束，我稍微的说一嘴，有的人觉得啰嗦。你要是觉得这个复习方法上的东西啊，你不想听那么呃下去过程当中，你可以呃下去直接复习就行。我说几个事情。什么东西叫？这个怎么这么大？等我想我有点强迫症。好了，那么接下来过程当中，我们来说一下这个事情，

什么叫做复盘到位？到位第一事情，讲义知识点。都记得讲义上的知识点，都记得你要注意，这是第一优先级。啊，这是第一优先级咦，换不了吗？这么调皮好，我敲一下。第一事情讲义上的知识点都得记得。然后接下来过程当中，你要注意一个事情，第二事情。

讲义上的立体。立体必须独立次数。做出来这个东西啊，优先级这两个优先级可能会更高。这就是这样的一个事情，然后第三个事情。呃，这个习题。的错题。消化到位。这个消化到位，什么意思呢？消化到位的意思就是下次见到。都会做，这就可以了。

所以我觉得达到这三个事情，你的基础就复习到位了。这就是这个题，另外事情我谈谈做题。谈谈数学当中的做题。嘿。我有点难受了。等我一下啊，这个一点都不智能啊。第二事情我们来谈谈做题。做题啊，我觉得是比的是有效题目数。哎比的是有效题目数。就这个题目的话，你发现什么叫有效题目呢？

我觉得是三个事情。第一事情，这个题目训练了知识点。课堂的知识点。就是我们下去过程当中进行去做题的时候，我发现通过这个做题啊诶复盘了上课的知识点，我们上课，比如说今天过程当中讲了。已知分布率进行求分布函数，已知分布函数求分布率，我通过这个练习，把这个知识点进行加强了，把这个训练了，哎，非常好，

第二事情。那就是训练了。运算能力。这个运算能力啊，有的时候的话，你发现是巧度。有的时候的话，比如说原来过程当中，我们去做那个不定积分，你看原来过程，我讲很多对吧？你比如说一+s的积分的话，我如果在后面补一个一就会做的非常的巧。对吧，训练的运算能力加快了，

运算的速度，然后第三个事情给将来做题。将来做题。来做题一定的经验。啊静音。达到这三个事情，你就算把这个题做好。你如果这三件事情，一件事情都没有完成，你做的是个什么题呢？你做它干嘛呢？你还不如去休息去。你多睡一会儿，每天过程当中也不用拼那么早的吧，多休息休息，

然后的话这个状态还能好一点。保证睡眠，保证这个我觉得考研的过程当中啊，不用进行去拼，早晨过程当中啊呃，有的人五点多钟六点。你其实你发现正常起来就行了，对吧？正常起来就行，就是节奏感比你的话稍微进行去拼那一点点的时间，我觉得都有效。所以说注意啊，你有的时候你发现一个事儿。有的学说要做那个题的话，你发现下次过程当中见那个题咦，

我曾经做过吗新题？那我觉得这个做题啊，就没什么意思了。一点意义都没得。好了，这个事情我们就讲到这儿吧，行吧，你你不要说早晨过程当中睡不起来，晚上不睡觉，然后的话你发现晚上不睡觉，早晨起不来，然后下去过程当中说周老师今天讲要保证充足的睡眠。我懒得理你的。你可不要再这样，我可不背这个锅，

对吧啊？早晨起不来的话，这个都是我今天过程当中要保证充足的睡眠，你可真行啊。好了，这事儿我们就讲到这儿。行吧，那么今天课程呢？我们就说到这呃，昨天晚上我们也呃在那个微博，还有那个B站上给同学们做了一下那个五月份的备考规划。对吧呃，这个B站上也留了那个什么那个直播的回放，如果你想去看呢，你可以去看看，

有些同学可能昨天晚上没有来，有些东西可能来了，哎，这里面当中，你把这个东西看一看就行。好了，那么接下来呃，我觉得同学们这个接下来啊，就是今年过程当中啊，我尽可能保证每个月份呢。这个月初啊，都给同学们进行去直播，然后进行去谈谈这个规划，因为这样的话，我觉得可以解解决几个问题呢。

一个问题就是你的复习的节奏感。另外一个事情的话也能解决，很多同学的困惑。说实话吧，这两年过程当中的话，你发现很多同学焦虑的很。都是什么情况？这个市面当中啊，你发现这个节奏感带着呢。焦虑的不得了啊。你就比如说这个三九六同学，你去问问，有些这个去年过程的，有些有些同学去年考三九六的，这个考数学三九六的。

它有可能从秋六月份才开始。六月份才开始，他还能考到非常高的分数。你要注意这个问题，就是我们这一轮基础过去这个三九六的话，你发现这个部分的东西就能做的非常非常的扎实。我们这强化过程当中更多的东西就是在训练，在练习，在提高自己的这个做题的这样的一个效率。还有这个操作性。那不像这个数一数二数三同学数一数二数三同学的话，可能强化班过程当中拔高的东西，你发现这个加强的这个题型可能会更多一点。我们而言的话，暑期强化的过程当中，

最重要问题就是把这些东西啊，要融会贯通，哎，变成自己的做题能力。包括在这里当中有些做题的技巧性。这是我们要在暑期过程当中重点加强的，所以在这种当中的话，你发现。呃，这个问题点呢？这个就是现在是带的很多同学特别焦虑啊。啊，说实话，有些部分呢，你发现没有必要，

然后我们看看吧，这个。这个题啊。四二三。四二五四二五。四三二。四三三。四三四。好，我再说一遍，四三二。四三三。四三四。前面的过程当中就是四二三。四二五四二三四二五。

后面是。四三二四三三三呃四三四。好了，这是这个事情，行吧，我们就勾到这儿吧，没有几个题啊，我再强调一遍先。整理笔记。再完成作业，整理笔记的时候，例题很重要，必须消灭再做作业。那这样的时候，你把这个东西真的整理透的时候，

你发现真的叫刷题。啊，真的是叫刷题，你发现做的这个感觉的话就非常好，真的叫刷题，我碰这个都诶，我上课讲过讲过这个知识点，我赶紧用这个知识点干掉他。我做了这个题了，哎呀，我上课过程当中做过类似的题，赶紧用相对的方法干掉他。多爽啊，有些同学你发现做的这种题用用一个词儿叫什么有点儿苟延残喘的感觉。那是做的多辛苦啊，

你做的多痛苦啊，你发现这个题上课明显讲过不会做，做的很难受。下去过程做这个题，上课讲过又不会做，很难受，然后就觉得说哎，我怎么那么菜？你这多难受啊。啊，好了，这是这个事情吧，我们就讲到这儿啊。行，那么今天课程呢？

我们就讲到这儿吧，好吧，同学们行，那么今天不多唠了，然后下去过程当中好好进行整理一下，然后另外事情我先通知一下，我先通知一下。周一不是下午的课吗？我们放到周二下午呃，我周一下午有点事儿。能理解吧，放到周二的下午。哎，周二的下午注意啊，下次课我们放到周二的下午。

能理解吧啊。啊，这我提前跟你说了啊，你自己控制好这个调好这个时间。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿吧，行吧？好，那么今天部分内容我们就说到这儿，下次过程当中我们继续吧，好，下节再见。

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