04.分布函数、离散型随机变量-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:50:59

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们三九六的这个全程班，我们上次过程当中啊，刚好讲完了概率论当中的第一章，那么这个第一章部分东西啊，我们稍微把这个东西啊去串一下。东西比较多，但是你发现在考题过程当中啊，

比较难的部分应该是在这个古典概型部分。别的东西啊，难度系数都还好，那么核心重点的话，你发现一个事情就是古典概型难度系数稍微的会大一点。别的东西很重要，但是难度系数不是说特别大，好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看，那么在这章过程当中啊，你发现我们原来过程当中讲那个随机试验。我上课给你讲过这个事情，我说你听一下就行了，你要知道这东西什么叫做随机实验。

对吧，比如说在相同条件下可以重复发生，每次在进行之前就要知道所有的情况，然后每次发生之前的话，你不知道哪个人会发生，要随机适应。但是你发现一个事情这东西啊，基本上在考试过程当中，不会直接出题，对吧？不可能说我们今年过程当中考一个什么名词解释题不会的。所以说最重要问题啊，就是随机事件。那么，在这种当中，

我们会介绍几个问题呢？两个事情，第一事情，随机事件的关系和运算，包括它的运算率。那么，在这里当中有几个关系呢？我们有四个关系，包含关系相等，关系互斥，关系还有对立关系。嗯，大家注意一个事情，这个基础班过程当中啊，我们讲这个概率论基本上能讲到一个巅峰，

我们在考研过程当中，你发现达到的这个能力啊，基本上这个基础班都绰绰有余。所以后续过程当中再加强，我相信今年过程当中啊，这个效果一定会非常好的，那可能很多同学这个第一章做题的过程当中啊，受挫了很多。受挫的点在何处呢？q才这个。都在这个摸球，这个问题对吧？比如说摸球啦，比如说这里面当中的话，你发现摸一个摸几个红球，

或者怎么怎么样？哎，你就发现一个事情，很多同学的问题点都在这儿好了，那么接下来过程当中，我们就继续吧，我们再来看看下一个问题。那么，这里面当中的话，你发现如果是关系有几个关系呢？我们总共有四个关系，然后运算呢？我们有三个运算，有加法运算。有乘法运算，

有减法运算核心，重点把它掌握清楚好了，那么接下来过程当中，我们再来看看随机事件的概率公式。那这里面当中的概率公式呢？我们核心重点其实有七个公式，但是我们先看五个公式，第一事情对立事件的公式。第二，事情加法的公式。第二，事情减法的公式。对吧，然后在这种当中还有乘法的公式。还有我们的条件概率的公式。

好这些公式啊，只要见到这个东西，立即把它转过来。对吧，只要见到这个东西，立即转过来。呃数三转过来的，你先跟着这个部分听，你就看看你听哪了，如果你高等数学都听完了，我觉得这个是可以涵盖的。啊，是涵盖的，所以说概率论部分呢，因为这个数三还没有开，

所以说这个部分你得好好听一听好了，那么接下来过程当中我们再来看看独立性。那么，在独立性当中的话，你发现如果两个人的独立，他怎么判定呢？那两个人的独立的话，你发现有几个事情呢？第一事情那就是乘积的概率等于概率的乘积，然后另外事情的话就是你发生的条件，我发生。或者是你波发生的条件下，我发生概率是一样的，然后是a和b拔，对吧？

a拔啊，这个什么a和b拔b和a拔a拔和b拔也都是相互独立的。那么，在这种当中的话，你还发现一个事情，还有一个问题，那就是三个人。对吧，这个人的独立，三个人的独立就会出现一个问题，是两两独立吗？还是相互独立啊？如果相互独立的话，你发现任意两个独立任意三个人也独立啊，这个事情你要把它把握清楚好了，

那么接下来过程当中我们继续，我们再来看看三大概型。古典概型你发现，求解起来说这个事情很简单，就是a的次数比上总次数。然后这个次数怎么去求呢？次数这个东西啊，利用排列组合的知识点进行求解。对吧，尤其而言的话比较重要的是摸球，那个摸球一定要好好摸，对吧，放回去和不放回去。还有一次性对吧？这个摸多少个一次性摸n个还是摸多少次？

这个事情要抓住清楚好了，那么接下来过程当中我们再来看看几何概型？几何概型就是它的度量，那么在这种当中有可能是长度之比。也有可能是面积之比。对吧，这些问题也有可能是体积之比，那最重要问题是什么呢？最重要的问题就是引入多少个变量？引入一个变量长度问题，引入两个变量是这个东西的面积问题，然后接下来过程当中又讲了伯努利概型。哎，叫做不成功便成仁，只有两种情况，

要不然成功了，要不然失败了，只有这两种情况，又讲了一个东西，叫做二项概率事件。好了，这些问题啊，我们就讲到这，然后最后一个事情，有个东西叫全概率，还有一个东西啊，叫贝叶斯，那全概率公式是怎么做的呢？就是把一个事情的发生。放到一个完备事件组当中进行求解。

然后贝叶斯呢？这个东西啊，就是操作反了，对吧？顺序反了，先用一下条件概率公式，把它逆过来。对吧，调过来调过来之后的话，你发现就是出来了啊，基本点先用条件概率公式，再用乘法公式调换顺序。啊，基本点好了吧？那么这个事情我们就讲到这儿呃，

这个第一章啊，我觉得两个事情下去复习过程当中第一事情。最重要问题的公式。公式你得记一记，然后800题上的题啊，你得把它好好做一做，对吧？那个题目好好进行处理一下，尤其是里面当中啊，你比如说出现的一些那种选择题。你比如说昨天过程当中啊，应该是上节课，我们去讲那个作业题的时候，你比如说AB的概率等于零，能不能推出这个人是不可能发生事件？

能不能推出什么情况？这个呃，这两个人东西的话是互斥，两个人之间是独立等等一些的问题，你得把这个概念还有这个公式啊，把它掌握清楚。这是个基本问题，所以说第一章部分的东西啊，好好进行复盘一下，那么在去年过程当中真题啊，出了两道。所以说经验过程当中稍微小心一点好了，这个事情我们就讲到这儿，那么接下来过程当中我们来看看第二章。第二章应该是我们作为三九六同学，

我们在考研过程当中最重要的一章。没有之一，这是最重要的一章，没有之一。所以说这章部分的东西啊，一定要好好做，一定要好好学，所以接下来过程当中，我们首先第一件事情还没有正式开始学习这章，之前呢，我们先来浏览一下。那么，在这章过程当中，我们要学习多少核心？考点好了，

那么接下来过程当中，我们先来看看第一个问题。不定期分二五五之后。那不是不定积分之后，那是因为你前面的过程当中啊，你发现你花费的时间多。我原来给你出的那个极限题啊，难度系数也不低。对吧，难度系数也不低，还是一个问题点吧，就是前面的投入时间大，投入的时间多，你就会觉得话，你发现复习的比较好啊。

好了，那么接下来过程当中，我们就继续吧，我们来看看下面一个问题，那么在这章过程当中，我们要学习多少核心考点呢？总共有五大核心考点。第一事情叫做分布函数。这东西啊，趋向于闭口。哎，分布函数那么分布函数这个东西啊，一会儿过程当中我们会重点讲它的定义，它的性质，还有它跟概率之间的关系，

你像这个部分问题啊，有一道题。诶，很喜欢考，然后接下来过程当中，我们看看第二事情叫做离散型，随机变量。这个东西啊，未必一定会出题，然后接下来就是连续型随机变量。连续型随机变量。啊，随机点。那么可能在这里面当中，我们更加喜欢出题的点在于连续性随机变量，

然后接下来过程当中，我们再来看看第四个事情，那就是常见的分布。哎，这个内容也是必考的。哎，必考那么，所以说在这种当中啊，分布函数常见分布，这一定会出题的，而且这个部分呢，也喜欢考。但是也不是应该说这个东西必考，你就知道这个东西是个重点就行，所以说我把这个哎，

把它抹掉，不然有些同学有容容易有点误区，说这两个东西是不重要不是的。哎，不是这个问题，然后最后一个事情。随机变量。函数的问题。哎，函数的分布。呃，这个东西啊，应该是我们在这章过程当中操作性最强的一节，那么这两年过程当中啊，你发现没有出很多出这种题？

没有出很多，所以说按理说的话，你发现这一节应该是这一章最重要的一节，但是出的不多，所以我们在今年过程当中啊，尤为的要注意一下这个事情。所以这就是我们在这章过程当中啊，重点要学习的这个问题。五个点分布函数离散性随机变量，连续性随机变量常见分布哎，随机变量函数的分布。这是我们在这个第二章过程当中啊，非常非常重要的内容。所以说第二章一定要好好学。呃，

那个每日一记啊？其实呃，可以听一听对你的提高也是很大的，但是我就觉得这个可能对于数一数二数三同学的话，这个帮助会更大一点。所以你看你的情况，你要没有时间听，你就不听了，因为这个东西啊，我们强化班过程当中啊，都会讲到，所以说这个东西啊，没有任何关系啊。好了，那么接下来过程当中，

我们就直接开始吧。啊，好了没？啊，可以了吧？好了，这个事情我们不多说了，那么接下来过程当中，我们就直接开始，我们先来看看啊，第一个问题。好了没？好不说话了，那么接下来过程当中，我们就直接开始了，

我们先来看看这章过程当中的第一个概念。叫做随机变量。这个东西啊，听就行了。诶，听就行了呃，注意一下这个事情，不要背听懂吧？不要背。那么，同学们给我想象一个事情，第二章过程当中，我们学习的这个东西的名字是什么呢？我们学习的这个东西的名字啊，它叫做随机什么东西啊？

随机变量。那么，同学们给我想想一个事情，我们在第一章的过程当中学的那个内容叫什么？叫随机事件。那这两个东西到底什么关系呢？我们现在学的这个东西的对象叫做随机变量哎，那第一章过程当中学的东西叫随机事件。那那个东西什么意思呢？所以接下来过程当中，我们一起来看看第一个事儿，随机变量的定义，你发现没发现这三行我能疯掉。不信你读你来读一下这个随机变量定义，他说随机实验的样本空间是它如对于随机实验当中的每一个可能，

结果都有一个实数与它表示，然后怎么怎么怎么样对应概率怎么怎么样随机变量。你看懂了吗？你理解这个事情了吗？所以你发现一个事情像这种东西啊，一定要好好去理解你，光进行去背这个东西啊，没有任何的用。所以接下来过程当中啊，大家注意啊，不用看它来听我来讲。那么，在这个当中啊，我只需要讲几个例子，讲完这几个例子啊，

你发现一个事情，你就知道第一章和第二章之间到底什么关系了。所以接下来过程当中，我们先来看看第一个例子。哎，第一个例子。比如说举个例子，我们去植硬币。诶值硬币这个事情。直硬币。这个事儿那么大家都知道，一个事情纸硬币会有几种结果？会有两种结果。第一种结果的话叫做什么？它是正面朝上。

或者是反面朝上，你不要说竖起来了，只有这两种情况，要不然是正面朝上，要不然是反面朝上。你发现一个事情，第一章的过程当中，我们是怎么办的？第一章过程当中，我们说这个事件叫a事件，这叫b事件，我们去求a事件和b事件的概率。这是第一种，但是大家注意啊，我们学的东西是什么？

我们学的东西是数学。我们学的是数学，我们喜欢数字，我不喜欢这种文字，我也不喜欢说什么，你要表示成ABC。不喜欢我们喜欢数字哎。所以在这种当中的话，你发现倘若我做一波规定，我说什么东西呢？如果你发现个事情，你直出正面，我就输出一个数字零。你直出反面，我就输出一个数字一。

我用零这个数字表示正面，我用一这个数字表示反面，那这个时候你发现我就把一个什么东西呢，把一个事件的问题变量化了。都把变量化，然后接下来过程当中，我就用随机变量表示。随机变量表示，什么叫随机变量？具有随机性又是个变量，就叫随机变量，那这个时候你发现当我的x进行取零的时候。我就说明一个事情哎，你直出了什么东西，你直出了正面。

当你的s等于几呢？等于一的时候，那这个时候我就说它怎么办？指出了反面。那这样的话，你发现在研究的过程当中，我们会更加的方便一点吧。所以说这个时候我就引入了一个概念，叫做什么叫做随机变量的概念。就是原来过程当中啊，我们叫做什么？我们叫做随机事件。那么，现在过程当中啊，你发现一个事情，

我们叫做什么随机什么变量？所以到底什么叫随机变量呢？非常简单，就是把事件变量化。变量化，你听懂了吗？哈，这就是这个事情，所以就是用了一个什么东西呢？用一个变量。你这种事件的情况，我能给你个数字，你这种事件的情况，我能给你个数字，哎，

这个东西的话就怎么办？把事件进行变量化。当我这个变量取到零的时候，我具有随机性呢，我又是个变量啊，我这个变量取零的时候哦，你指出了正面。你这个变量等于一的时候，我怎么办？值出了反面。好，这是第一种情况，那么接下来过程当中，我们再来看看第二种问题，好继续听啊，

你多听几个例子，你把这个东西啊，一定要根深蒂固的进行去理解。那么，在这种当中，我们继续啊，我们在数学当中啊，你发现概率论当中最喜欢干嘛呢？摸球嘛？是吧，比如说举个例子，这里面当中。有白球什么东西呢？有五个。呃，

或者这样吧，白球有两个，然后这里面当中的话，红球有三个，总共有五个球。好，这里面当中有五个球。那么，接下来过程当中我怎么办呢？我在这里面当中摸两个。一次性摸两个。我想问你个事情，请问摸出的白球个数是多少？个数的情况是多少？我想问，

摸出的白球个数。那大家想想一个事情，这个白球可能有几个？这个白球的话，你发现你摸两个有可能是零个，有可能是一个，有可能是两个。如果你发现在第一章的时候，你就设成a事件a事件，比如说叫做a0事件a0事件，就摸出了零个。a1事件就摸出了一个a2事件，就相当于摸出了两个。这是在第一章，但是你发现一个事情很明显，

这个事情非常好用，变量的形式进行表示吧。对吧，非常好用，变量形式进行表示，所以在这种当中我就设一个事情，我就设这个x。x为多少呢？x为摸到。白球的个数。摸到白球的个数，大家告诉我个事情，两件事，第一件事情，它是不是个变量啊？

它可以取零，它可以取一，可以取二是个变量，它具不具有随机性呢？你哪知道是哪个发生具有随机性？既是一个变量，又具有随机性，就叫随机变量。大家明白第一章和第二章之间的关系了吧？就是把第一章的事件文字版的东西把它变成什么，变成数字版的东西。你想想是不是啊？这就是数学的魅力啊。所以接下来过程当中，我们就可以做了。

首先第一件事情，如果x=0，就是摸到零个啊，这个球我先说一下。我这是一个大括号，听懂了吗？哎，这是个大括号，只不过有的时候你发现我写快的时候就变成这样，有些同学的话，你发现他他把这个东西给我写成这这个样子。不是的。我这个是哭下来了，你能理解吧，因为因为往年过程当中我见过好多同学的笔记是那样子，

我很难受。哎，我非常难受，你要注意一下这个事啊，我只不过是写快了，哎，注意一下这个问题好了吧，这是这个事，那么接下来过程当中我们来看。s=0诶，这里面当中的话，你发现是零个。然后接下来过程当中，如果等于一呢是一个，如果这个人等于二啊是两个。

好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看第一个人诶，注意下第一个人。那第一个人的话，你发现摸到零个白球怎么摸？非常的简单，就是五个里面一次性摸两个。只要零个白球，那说明什么情况？摸的全是红球，就在红球里面摸两个就行，然后再来看看一个。一个就是五个，里面取两个。

白球里面取一个，然后红球里面取一个。这就是这个结果，对吧？就是这个结果，它是只看这个结果，你摸出来就行了，然后接下来过程当中再来看。c五二如果是两个人呢？两个的话，你发现就是c2，那么接下来过程当中我们算一下。下面这个人是五乘四比上二乘一，这是十，那就是十分之三，

然后接下来过程当中，你发现这是十，那二三这人是六，那这人是多少五分之三？然后最后一个人呢，是十分之一。没问题吧？好，这个基本点，这有什么好打打点的呢？不用打啊。所以在这种当中，我们就得到了一个情况，你看这是个x。它的取值的话，

你发现一个事情有几种情况呢？你怎么能这样呢？你你这让我很难受啊。红球不是12球。我也在说话呀，我不是又不是静音状态，你就看我写字儿。我也在说话呀，对吧？不要这样，不要这样，不要这样。所以你发现一个事情，我们这个s啊，就能取几个呢？

可以取零可以取一可以取二。取零的时候的概率是十分之三，取一的概率的话，你发现这是五分之三，然后最后一个人是十分之一，能理解我的意思吗？所以说你要注意一个事情，你看这个东西，它就进行变量化了。对吧，这就是个变量化了，所以大家注意一个事情，这个东西啊，我们一会儿过程当中就会学这东西叫什么，这东西叫分布率。

哎叫分布率，大家注意了，你看把它进行变量化了。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看一个事情。比如说那么接下来过程当中，我们再来看看例三这个人。好例三这个人。嗯，是我写字儿，你看不懂吗？我一直觉得我的板书呃，稍微的话还可以啊，还算很整齐。

这这是看不明白吗？还是怎么了？不要这样，别别别这样啊，那一一两下就行了，好了，那么接下来过程当中我们再来看看第三个人，哎，继续看。如果这里面当中的话，你发现一个事情，我们继续拉一条线。对吧，拉扯性。然后接下来过程当中啊，

你发现一个事情，这是个数轴线，比如说这是一到五。一到五那么这个一到五的话，你发现一个事情，我们来看看这个事儿，我们说你投在二到四这个部分的概率是多少？哎，投到二到四，那大家想想一个事情，如果我们是在学习第一章，我们就会怎么办呢？我们就会把二到四的这个部分呢？设成一个时间，叫做事件，

事件叫做投石子儿，投到二到四。但是你发现一个事情，我觉得这里面当中啊，很明显它可以用数字化来表示啊。呃，怎么了？好了，这个没有问题的话，大家好好听课，我先说一下这个声音有没有问题？啊，有没有问题？我觉得这个东西我没有没有说呀。对吧啊，

没有事的话好好听课对吧啊，好好听课。所以接下来过程当中，你发现我如果投在这个区间呢？投到这个区间，如果在第一章的时候，你就要把它设成a时间。但是很明显，一个事情变量化处理是非常简单的，那我怎么办呢？我就用x表示呢哎头石子儿。投到的位置对吧？投到的坐标。投到坐标，那这个时候你发现一个事情，

我们这件事情就可以怎么写，我就可以说这人大于二。小于四的时候。那这个时候你发现一个事情，我们将来过程当中进行去处理问题的时候，是不是能看得非常的清楚，比第一章的时候看得清楚吧？第一章的时候，你得看到一个PA，你PA什么意思啊？你PA还要进行去看a的含义，但是接下来过程当中，我们直接这样看就能看得非常清楚。它就是落在二到四内的概率，你看进行了变量化，

那这个事情就非常清楚了，所以说这就是我们在这里面当中啊的基本问题。啊，稍等一下。这个我外面大风，对吧啊？好了，这是这样的一个事情，能听懂我的意思吗？所以说你要注意一个事情，那这样的话，我就把这个实际性的问题进行变量化，那就出来了。所以大家想想一个事情，接下来过程当中，

我们就回过头来看，那什么叫随机变量呢？随机变量这个事情就是把一个随机事件。进行变量化处理。哎，随机事件进行变量化处理，当我这个变量取到一个数的时候，就给了你一个随机事件的含义，就这个问题。所以在我们的这个分类的过程当中啊，你发现随机变量会分成以下三种，什么叫随机变量是随机性？是个变量，它就叫随机变量，那分成三种，

一种情况叫离散性随机变量，一种情况叫连续性随机变量，一种情况叫做既非离散。也会连续对于我们三九六同学，我们有一类考题。当给你一个随机变量的时候，你得进行去区分开，它是连续性还是离散型，还是既非离散也非连续，但这件事情我们现在做不了。我们现在做不了那么将来过程当中，我会重点谈这个事情，你把这个东西啊，这个问题放到脑海里面，那么将来过程当中，

我会重点讲这个事情的。好不同学们，如果你这个人，比如说掷色子。掷色子直出零这个点一这个点二这个点三这个点四这个点五这个点六这个点。那这个时候你发现它就是个离散型，那如果将来过程当中是连续性，比如说我们刚才过程当中，你发现那个什么，比如说我们在那一段当中投石子儿。同时早的话，你发现我这个坐标啊，可以落在什么情况落在零到一，或者我这个坐标可以落在二到三这个区间，那这个东西你发现它就是个连续性。

那既非离散，也非连续连续性，离散性怎么进行去判定呢？这个事情我将来会讲。所以说这件事儿是一个重点啊，也是我们今年过程当中可能会出现的一种考题，你要注意一下这个问题。好了，这个事情我们就讲到这。所以啊，讲了半天就讲了一个事情，什么叫随机变量，随机变量就是把随机事件进行变量化处理。我们喜欢进行去研究数，所以说在这里面当中啊，

我们研究这个数就行了，而随机变量通常用什么用大写字母表示这是你要注意的。诶，用的是大写字母表示。这个东西叫随机变量。好了，那么接下来的过程当中，我们就来看今天的第一波重点。很多同学的概率论呢，都是从这个第一个知识点开始跨掉的。所以说这个第一个知识点是非常非常重要的，我希望咱班同学一定要把它突破，那么接下来过程当中我们来看看第二节叫做分布函数。第二节分步函数。稍等一下，

我把这个标题粘过来。好，我们来看看分布函数。你们现在状态怎么样？非常好吧，拿出你今天最好的一种状态来听下面这个内容。首先第一件事情还是老件啊，这个什么老总讲法，大家好好听，我先不讲内容。我先干嘛呢？我先在这里面当中啊，我来讲讲这个东西的名字。大家一定要注意啊，它是什么呀？

它叫分布函数。分布函数，大家注意，它是一种函数。你要注意，它是一种函数，函数用什么呢？函数有自变量。函数有因变量，函数有对应法则。函数有自变量，函数有因变量，函数有对应法则。那只不过现在我们在学概率，那么将来这个函数是怎么定义呢？

是用概率进行来定义的。所以说这里面当中啊，叫做什么分布函数，这是你要注意它是一种函数。所以首先我们先来看看第一件事情，我们先来讲讲分布函数的这个定义，这个定义呀，最重要。一定要把这个定义啊，听清楚，你不把这个定义听清楚，我觉得这个事情啊，非常完蛋，所以首先第一件事情我们先来听一下这个分布函数的定义。那么，

在这种当中，有一个事情，这是一个什么呢？这是一个随机变量。大家告诉我一个事情，什么叫随机变量？当随机变量取到一个数的时候。那这个时候你发现它就变成了一个随机事件。能理解吧，它就变成一个随机事件，随机事件是可以进行求概率的。所以接下来过程当中，我们来看看分布函数是怎么定义的，那么首先我们先来看第一个事情，你看它的写法。

请告诉我事情，这是不是一个函数啊？你先别给我看别的。你先不要进行，想你再学概率论，你告诉我这是不是函数？你要注意，这是小S跟那个s不一样，这是小S。这是不函数啊，学了这么多年的函数了。这个大f是对应法则，这不是函数。这不是函数吗？呀，

这个。你咋能这样呢？你要是这样的话，你还不如不学概率论，你学了概率论的话，你发现这都不是函数了。你怎么能欺骗自己呢？你学了这么多年呢？这当然是函数啊，这是对应法则，这是自变量哎，你发现我写到。咋啦，这样写才叫函数吗？啊，

这是不是函数？当然是函数啊，学了这么多年，你发现一个事情，你不知道这是函数了，它当然是函数，大家注意一个事情啊，它就是一种函数。这是一个函数。只不过你发现个事情，这个函数呢？小S这个人是自变量。这个函数是怎么定义的呢？它是这样定义的，注意它这样定义。

他说如果我要进行去求x处的函数值。它的结果就等于随机变量小，于等于这个x的概率。你要注意一下这个事件，这个定义它怎么定义的呢？就说你想进行去求出这个点处的值，你就进行去计算出来。随机变量小于等于这个点的概率的加和。所以说接下来过程当中，我们就明白了一个事情了，如果在这里面当中拉条数轴线，大家好好听。如果怎么办呢？这是一个大S，这个随机变量，

这是随机变量，我想进行去求出小S处的函数值。那这个函数值怎么求呢？这个函数值就等于。小于等于这个点所有概率的加和。当我可以进行求出什么随机变量，小于等于这个点概率的加和它，就等于这个点处的函数值。哎，就等于这个点处的函数值，有些同学一直不理解一个事情，说老师你这个s跟这个s注意没有关系。没有关系，一点关系都没有。所以在这种当中的话，

你发现一个事情，我们一起来看，我先注意两条吧。第一条请告诉我这个人是什么呀？这人叫做随机变量。随机变量可以进行，怎么啦？随机变量可以进行去求概率。然后接下来过程当中，这个小S呢？小S是这个函数的自变量。分布函数的。四，变量。大家注意啊，

是这个分布函数的四变量，要注意一下这个问题，这是随机变量，是求概率的。这是自变量。那么，接下来过程当中，我问你个事情。请告诉我这个随机变量，这是自变量，那这个函数自变量的范围是不是定义域？请告诉我分布函数的定义域是多少？定域是多少？比如说我举个例子。我们来看一个例题。

就比如说举个例子，我们刚才过程当中还记得我们刚才那个摸球的这个问题吗？还记得刚才的摸球吗？注意下这个事情，这个x表示的什么东西啊？摸到零个球，摸到一个球，摸到两个球，这是一个随机变量吧？好，这是个随机变量，那么接下来过程当中，我来问你个事情，对于这个随机变量而言，它的分布函数。

请告诉我它的分布函数的自变量取值是多少？取值是多少？取值是几？你要严格的抠着定义走。好像说是零一二好，我们来看看这个事情。大家注意一个问题啊，你看如果这里面当中，我让你去求什么，我让你去求f几好去求f2。求f2的话，你发现一个事情，你在这里面当中就是这个随机变量小于等于二的概率，你要注意啊，我刚才讲过了。

要求二处的函数值就是大S小于等于二的概率加和，那么你发现一个事情小于等于二第一个算不算？第一个酸。第二，算不算第二个也算第三个，算不算第三个也算，这是一。然后接下来过程当中，我们再来看f2啊f1f1这个人指的分布函数，在一处指。就是随机变量小于等于一的概率加和，那这时候你发现一个事情小于等于一的有几个十分之三？五分之三，那这人呢？就等于十分之九。

那么，在这里当中，我们还能算f0，那就是随机变量小于等于零的概率，小于等于零只有几个，只有这一个。但是同学们，难道这就结束了吗？只有这么多吗？我想问你个事情，我能不能超过二？能不能超过二能啊，比如说举个例子，我们再看，如果这个人要想算三处的函数值，

三处函数值就是你小于等于三的概率。你小于等于三的概率，这都算呢，还不是一吗？那你能不能算四处的概率，或者你算一个亿处的概率呢？你想算一个亿出的概率的话，其实就是这个人小于等于一个亿的概率啊，小于等于一个亿的概率加和。小于等于一个亿的话，你发现所有人都是啊，那这个人还不是几啊？是不是这个事情那么同学们想想一个事情，我能不能取一点五我也能啊，一点五的话，

你发现就是这个人。小于等于一点五的概率加和一点五的概率加和的话，你发现看就是这俩人，那又是等于多少十分之九？那么，同学们想想一个事情，那么这个东西的话，你发现有没有可能是什么呢？有没有可能是比这个零小呢？当然也有可能比说。负五的概率啊，这个情况呢，如果是负五，其实就是随机变量小于等于负五的概率加和有没有比负五小的没有，这是零。

所以同学们注意一个事情，你要注意一个问题。分布函数，这是一个函数，这个函数在这个点处的值的定义是什么意思呢？就是小于等于这个点概率的加和。所以大家一定要清楚一个事情分布函数的自变量是属于r的。哎，是属于r的，我可以属于任何点，它不一定说你发现一个事情，对于这个题而言的话，你发现它是什么零一二哎？不是这样，所以在这种当中一定要清楚，

我求这个点处的值，你要注意啊，我再说一遍。这个分布函数在谁处的值？其实就是这个随机变量小于等于这个概率的加和。你要进行去求三处值，你就小于等于三的概率，你要求四处的值小于等于四的概率，求五处值小于等于五六处值小于等于六七处值小于等于七，你听清楚了吗？就是这个意思。把这个事情要理解清楚啊，这是分布函数非常重要的定义。这个定义非常重要，一定要把它接受了，

有同学在想为什么要这样定义，这不是你现在想的事情。你要注意，你今天要学习的东西是什么呢？你要知道哦，人家是这样定义的，你要理解它到底是什么意思，把它给我接受了。能理解吧，分布函数在一个点处的值，它就是随机变量小于等于这个点概率的加和。好了，这就是这样的一个类型问题，对吧？你的分布函数就是你小于等于这个概率价和。

所以同学们接下来过程当中，我来问你一个事情，请问。这里面当中有一个符号可以改编。谁可以改变？改变谁？大家注意，你当然可以改变这个人。哎，你可以改变这个人，为什么一个函数的结果跟自变量字母的选取无关，你要说大x啊，你就胡扯啊。你怎么能改大x呢？大x的分布函数就是大x小于等于x的概率。

我要求你的分布函数，难道要让别人去小于等于这个概率吗？实实实在的话，你发现那你就还没有理解。呃，说明还没有理解，你把这个问题回答错误了，说明你没有理解。我们再说遍一个函数的结果，跟自变量字母的选取无关。你的这个人的分布函数就是你小于等于这点的概率。那这里面当中的话，你发现我能不能用t表示？我可以啊。一个函数的结果跟自变量字母的选取无关，

那刚才过程当中我都给你写到框了，你想想。我都给你写成这样子了，你还看不懂？诶，这是这样的一个问题，所以在这里面当中啊，一定要听清楚，这是小x。哎，这是这个事情。所以说在这种当中啊，你发现啊，这有些同学问呢，实际问题当中小S也可以为负数，

你问的这些问题啊，就说明一个事情。你还是没有理解啊，你还是没有理解，所以在这种当中，你得好好去想啊。我再说一遍，这个东西小S是这个函数的自变量。大x才是这个随机变量，以刚才那个题为例，那这个大S可以摸到零个球，摸到一个球，摸到两个球。有人说，那如果小于零的话，

万一你摸到负一个球怎么办呢？你胡来那是大S，我现在说的是小S。小S=- 1，不是说摸到负一个球是大S这个随机变量取零的时候是摸到零个球。一的数是一个球，二的数是两个球。哎，你要注意下这个问题，你得把它学清楚啊。好了，这个事情我讲的时间稍微的多了一点，所以我觉得希望同学们下去过程当中啊，好好去想这个问题好了，这个事儿我们就讲到这儿。

所以接下来过程当中，我们一起来看看下面一个问题分布函数的这个性质。哎，分布函数性质好好听啊，刚才这个事儿非常重要，其实就得到了一个重点，我分布函数。要想去求呃，比如说我们发现个事情，比如说。想求谁呢？想求呃，你给我来一个什么，比如说来个三角形吧，想求这个点处的值，

就是这个随机变量小于等于这个东西的概率加和。啊，就这个事情。你想求谁？就是小于等于谁的概率价和。你想求出这个点值呢？这个点值怎么求啊？去小于等于这个概率去求概率就行了，概率算出来多少？你的函数值是多少？是不是用了一种新的方法定义的一种函数啊？这就是这样子。所以我们就像原来过程当中学那个变现函数一样，我们学了定积分，我们用积分的方式定义了一个函数。

到了今天，我们学概率，用概率的方式定义了一个函数。哎，要注意下这个问题。所以接下来过程当中，我们一起来写一下s这个随机变量的分布函数怎么去写？x这个随机变量的分布函数，它在这个点处的值就是等于随机变量小于等于它的概率的加和。哎，小于等于概率的加和。呃，这有些同学你问的问题吧？我不喜欢那个什么哎呀八呀，那怎么怎么样能问出来的话，

你发现个事情。你就说明的话，你要是理解的话，你就不用敲那几个字儿啊，好好理解一下。好，这是这个事情。我喜欢感叹号，我不喜欢你的问号。好了，这是这个事情，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看那分布函数的性质。这个性质啊，

很重要，那么接下来过程当中，我们一起来看看，如果你是个分布函数，你必须要具备这几个性质。四个性质好，我们先看第一个性质，大家想想。这个函数。是用概率进行定义的吧？所以说你告诉我事情，这个函数它的范围是多少？它的范围是不是大于等于零，小于等于一啊？这是第一个事情。

它具有非负性。好了，这是第一个事情，然后接下来过程当中，我们再看第二式。那第二事情的话，你再来看，那么第二事情，它具有规范性，我要讲讲规范性。那规范性什么意思呢？大家想想，如果我去求真无穷处的值。什么意思啊？真无穷处的值，

就是你小于等于真无穷的概率。你小于等于正无穷的概率，就是所有人的概率加起来等于几一，然后再看负无穷，如果我去求负无穷的值。你就要小于等于负无穷的概率，小于等于负无穷，负无穷后面有吗？你这后面哪有概率啊？那就是零。然后接下来过程当中，我们再看第三个事情，它具备u连续的性质，因为它是大于啊，这个什么小于等嘛，

所以说它具备u连续的性质。大家告诉我什么叫右连续啊？它是个函数吧？你是个函数，可以求极限啊，你是个函数，可以求导数啊，你是个函数，可以求积分呐。那什么叫右连续？右连续就是当x趋向这个点处的右极限右极限。等于这个点处的值，这叫右连续。啊，注意啊，

右极限等于这个点初值。那左极限等于函数值吗？不一定，它必须保证右连续就行啊，这是它，然后第四个事情我们再来看单调不减性。大家想想一个事情，我们一起来看看这个问题。如果这是一条数轴线。哎，数轴线那么在这里面当中，我们有一个事情，如果我的x2比x1大。你听好了。如果x2。

比x1大。那你告诉我事情x2处的函数值就是小于等于x2的概率的加和。如果是s1初值呢，就是小于等于x1的概率的加和。那你想想一个事情，我在求概率耶。你们这两个人之间的话，是不是相差了这么多？这是你们相差的概率部分。大家想想这个部分的概率一定是大于等于零的吧？概率嘛，小于等于它的概率嘛。它肯定大于等于零，所以在这里当中的话，你发现谁大，

那肯定是x2这个人大于等于x1。哎，注意啊，它有可能等于零，但是一般情况下是正的，所以这个东西叫什么，这叫单调不减型。单调不解析。但同学们想想，哪有那么多的单调不减啊。基本上都是单调递增。你注意啊，除非什么情况，这一段的话，它等真的等于零。

哪有那么多的单调不减，一般都是单调递增，我说的是一般，你要注意啊，讲内容的时候的话，我们当然说单调不减。一般都是单表皮层。好，这是这个事情，就是你越大你就会越大。嗯，自变量越大，你这个函数就会越大。你越大的话就是小于等于它的概率的加和那个部分就越大。好，

这是这个部分，所以大家注意啊，分布函数具备这四个性质，跟我一起来一遍啊，第一个性质叫什么？第一个性质叫非负性。恢复型，规范型，右连续单调不减型，好在屏幕前跟着我再说一遍，具有。恢复性，规范性又连续单调不减性，大家注意，如果将来过程当中我们进行去检测，

这个东西不光是性质。它还叫什么？叫它的充分必要条件。如果这个东西你想继续去检验，它到底是不是分布函数，请你给我继续去检验这四条。四条缺一不可。你要想是一个分布函数，你必须要具备这四条内容，这是个充要条件啊。如果你是分布函数。你就必须要具备这四条内容，你具备的这四条内容，你就是一个分布函数，所以说它可以用来进行怎么办判断？

这个人到底是不是一个分布函数？当然，它也可以干嘛给了一个分布函数去求其中的待定参数，都是做这个事情。只要你是个分布函数，你具备这四条内容。只有你具备了这四条内容，你才是个分布函数。所以说不是说每一个函数都能是叫分布函数的。不是说每个函数都能叫分布函数，你要想是分布函数必须要具备这四条内容，所以接下来过程当中，我们先来看看第一种考试。好提醒什么？好，

我们先来看看考题。叫做已知分布函数，求解其中待定。待定参数。已知一个分布函数，求解其中的待定参数，那或者什么东西呢？或者这种考题。或者判定一个函数。是否。为分布函数。你要注意一下，就是这两种题，就说如果已知一个分布函数，让我们去求解其中的待定参数啊，

它已经是分布函数了。或者怎么办呢？请你给我判定一下它是不是一个分布函数，像这种考题啊，我们都怎么办？都走定义法。方法怎么办呢？诶，方法都是定义法。都是判定四个性质。是否满足。哎，这就是我们在这里面当中常说的方法，好了，这是这样的一个事情，

把它标出来。能理解吧，就说以这个分布函数让我们去求解其中的待定参数，去验证这四条内容，判定一个函数是不是分布函数也去进行验证这四条内容。所以接下来过程当中，我们一起来看几个题吧来。呃，我先补一道题可以吧？我先给你补一道题，我们先把这个题灭了。先来看看这个事情。换个颜色啊。好吧，就这样吧。

我们先来看看这个题。我给你补了一个题啊，这种题我们会考的。把这个题出成一个选择题，轻轻松松，它就是个选择题。很多人说这不是选择题啊，你改一下不就行了吗？你给出五个选项不就行？好，我们一起来看。他说已知随机变量的分布函数是它，然后我们求解其中的ABC。是不叫做已知分布函数，求解其中的待定参数。

如果你是分布函数，你必须要具备四条性质，那我问你个事情，非复性有用吗？非负性，只能说明你大于等于零，小于等于一。对吧，这个事情是没什么用，还有一个事情单调不减性有用吗？其实也没有用。单调不减去，你只能说明这个人是单调不减的，或者叫单调递增的，你这个怎么能求出参数啊，

所以在这种当中。往往进行求参数的时候，第一条用的很少，第四条用的很少，核心重点用的是第二条。和第三条。好了，我们先来看看第一个事情，你先看第一个事儿，也就是说什么意思呢？真无穷真无穷，什么意思啊？把你高等数学能力给我拿过来了哦。你要用到高等数学能力，所以在这里当中就是s趋向于正无穷的极限，

来我们去求极限，那就是a加上多少？x+1的这个平方分之b这极限破解了，来告诉我这极限多少无穷，大分之b是零，然后这是a，那就是a。好正无穷，极限是解1a出来了。然后接下来过程当中，我们再来看第二事情负无穷，那就进行去求解负无穷的极限，当然是需要负无穷，对谁求极限？负无穷，

当然是对它求极限，它的极限是解c那c怎么办？等于零，你看第二个事情又出来了。对吧，两个东西都出来了，然后接下来过程当中，我们再来看一个人，还有谁呢？还有右连续，大家注意啊，我给你写慢一点。那这个I大fs，然后在什么东西呢？在x=0处右连续。

u连续什么意思呢？就是在这里当中当x趋向零的右极限，右极限等于这个点处的函数值。告诉我这一点的函数值是多少？这一点的函数值你发现等于号在这儿函数值是CC是几零？能理解吧，这一点的函数值在这儿是零，那你告诉我一个事情，右极限是对谁求极限，这是我们极限里面当中最基本的水平了。趋向于这个零正求极限吧，对谁求是，对上面求还是对下面求，当然是对上面求，所以在这种当中啊，

我们就对上面进行求极限。上面求极限是a+b比上一+x^2，这个人对上面求好了，我们来看看这个事情，请问第一个极限呢？是a见到存在就拆开。然后再看第二人呢，上面是b，下面是一，一定是a+b。所以说这个时候你发现个事情，这个极限得等于函数值是零，所以啊，马上求出BB是多少？你看这个知识点，

我们有没有可能考我们非常有几率会考，我们很喜欢进行出这种题。我给你个分布函数来吧，你给我验啊，这是什么给这个分布函数去给我求其中带点参数。所以在这种当中就是基本性的内容，就检验这四条，但是第一条和第四条往往没什么用，核心重点还是第二条，第二条什么东西啊？规范性正无穷是一负，无穷是零第二事情呢，它具有又连续的性质。所以大家想想，在这里面当中是不是用到了你高等数学的能力啊？

一个高等数学当中非常非常基础的能力。一个高等数学当中求极限的一个能力。好，这个事情啊，我们就讲到这儿，然后接下来过程当中，我们再来看个题。好，这个事儿我们就讲到这儿，然后接下来过程当中，我们再来看个题来看看这个题。看一下这个值。他说了一个事情，他说下列函数当中。能够作为随机变量分布函数的是。

大家想想，如果你是随机变量的分布函数，你必须要具备几条性质啊，你必须要具备四条性质。那四条性质的话，你发现我们进行去检验，那么首先我们先来看第一个事情，我们先进行是规范性和右连续听懂吗？而这是个初等函数，在定义域范围内，本来就连续那肯定又连续我们先看这个人。那在这里面当中的话，你发现一下子就废了，正无穷呢，等于零啊，

你都不是一不对。你连规范性都用不了，我正无穷，必须是解是一呀。然后再看这个人，如果正无穷的时候，你发现这个人。正无穷的时候，这是二分之派，然后这个时候是多少，你算一下，如果是正无穷。正无穷求极限，求极限的话，你发现这是个数出去，

然后这是二派分之一，这是二分之派诶，刚好是一没问题。但是接下来过程负无穷呢，负无穷这是四分之三，然后再加上二派分之一，然后多少呢？负的二分之派。那这是多少？这是二分之一诶，你不是零不对。你虽然正无穷的极限是一，但是你的负无穷的极限不是零，那就不对，你再看这个人，

然后这个人的话进行求正无穷的极限，你看这些极限都是口算题吧。他说老师，你咋不写极限符号？这用得着写吗？你漂一下都出来了，派分之二，这极限是二分之派，加上一，所以这人是二，不是一，你也不对，只能选几，只能选c。所以在这种当中啊，

你发现一个事情只能选c啊这个问题。嗯，我实在不知道你你你问的这个问题到底什么意思？为啥用极限的算法呀？你你知道你在你在问什么吗？你是觉得这是交叉学科吗？为什么能交叉学科？你都知道你在问什么呀？你正无穷的话，不就是求正无穷的极限吗？难道是在高等数学当中不这个概率统计当中不能用高等数学知识点吗？你要注意一个问题啊，我们在大学过程当中学习的概率论。与数理统计大部分的内容在用高等数学的知识点。哎呀，

这就讲了半天的话，你发现这什么意思呢？好了，我们接下来过程当中，我们就继续，我们再来看看CC为什么可以？那么，首先我们先来看看这个人。你发现啊，第一条内容和第四条内容啊，很少用，我们先来看看这个人，你先看正无穷。它在正无穷，其实就是求解趋向正无穷的极限。

趋向正无穷的极限就是大于零x加一分之s，这个求极限是一哎可以，然后接下来过程当中我们去求负无穷极限。负无穷极限的话，当s趋向负无穷的时候，对零求极限，对吧？你小于零嘛，对零求极限。然后这两个东西的话，你发现都满足，再来看右连续大家都知道分段点外已经连续只需要研究分段点上的连续性就行了。所以接下来过程当中，我们看看limits趋向于零正。零正的时候的话，

你发现进行去求极限，那就是limits趋向多少趋向零正比零大比零大是对这个人求极限。好来看，上面是零，下面是一，一定是就是零。然后该点的函数值呢？该点函数值在这，所以说它等于f0，因此你发现一个事情右极限等于函数值。是不是就是右连续啊？非常的简单，右连续。所以说对于这个人呢，规范性又连续都满足了。

而且你发现一个事情，你看这个函数，你可以稍微的把它整一整，你把s除下去，其实就是比上一加上s分之一。你s越小啊s越大，这人越小，下面越小越大，它就是一个单调，什么递增的函数？啊，这个能理解吧，好这个东西啊，我们就讲到这。呃，

基本点啊，就是去看它的四个性质。非复性，规范性又连续单调，不减性简不简单？相当的简单，贼简单好，我们再来看一个题来继续做做一下这个题，二点五这个题。很好做哦，对吧？这块儿这块儿内容的话，你发现很多同学估计很多同学都是这种感觉，没有第一章复杂吧。大部分同学应该很喜欢学这招。

我都说了，在该。概率论当中，我唯一担心的话就是古典概型。那是我唯一担心的别的东西啊，我相信啊，你好好听课，我都不担心。来看这个人吧，来继续。他说了一个事情。他说什么事情呢？他说这样的一个问题。他说这两个东西都是它的分布函数。你要注意啊，

这个人是分布函数，这个人也是分布函数。这俩人都是分步函数。那都是分布函数的话，它都具备四个性质，它已经在正无穷等于一负无穷等于零，已经又连续。它已经正无穷等于负无穷等于零，已经又连续，而且你发现这两人呢，都是单调不减的。所以在这种当中，它说如果这个东西也是个分布函数。也是个分布函数核心重点检验第二条和第四题呃，第三条嘛。

那么，这里面当中，你看连续连续连续之间的加减，它仍然连续，所以这个东西啊，我们就不看了。所以在这种当中，重点看什么呢？我们先来看负无穷。负无穷对这个人求极限，其实就是limits趋向于负无穷求极限，那是a倍的，这个f1x。减去必备的这个f2s。那这时候你发现你是分布函数负无穷极限是零，

你是分布函数负无穷极限是零都存在就是零。没有问题，但是接下来过程当中唯一要注意一个点，就是正无穷，那正无穷的话，你发现极限必须是一。所以在这里当中啊，这是a倍的f1s，减去b倍的f2s，然后这个极限必须是一我们来看。里面这个人已经是分布函数。已经是分布函数，你的极限本来就是一，你已经是分布函数，你的极限本来就是一。

都存在可以拆你，其实就是a-b，但这个人呢？我们要让它是分布函数，这必须是一。所以说对于这个题而言，你的a-b必须是一。你像这里面当中，你看这两个一减不是一。这两个一减也不是一，你这两个一减也不是一，只有这个a选项一减是一，所以说这题正确答案选几选a啊？对吧，这题的正确答案选a。

好了，这是这个事情啊，这个问题点呢，你要想清楚。如果在这种当中啊，你发现一个事儿啊，就是考题过程当中出现这种问题啊，你还是严格的进行去抠这个人的定义就行。对吧，抠这个点。操作性不难。会了没？我相信不难的。就分布函数第一事情了解分布函数的定义。那个定义啊，

下去得琢磨琢磨。第二，事情分布函数的这个人的性质，四条性质，那么接下来过程当中啊，我们再来看看下面一个知识点叫做分布函数，哎，你要注意接下来过程当中，我们再来看。分布函数与概率之间的关系。那么有的时候你发现一个事情，比如说一个题目啊，已经知道分布函数怎么去求概率呢？就说我知道了分布函数。我怎么进行去求解？

什么情况再进行去求解？这个概率呢？那这些件怎么做好？我们一起来重点来看看，大家就要想想了，分布函数是怎么定义的？分布函数在一个点处的值。就等于随机变量。这个随机变量小于等于这个点概率的加和。你想进行求奇数的值就是这个概率价和，那么现在怎么办？反着用就行了。那么，在这种当中的话，你发现一个事情，

我要进行求解，随机变量小于等于a处的概率呢？我要进行求解，这个随机变量小于等于它的概率呢？那不就等于它的分布函数在这个点处的值吗？你能理解吧，你分布函数在这点处值就等于随机变量，小于等它的概率，那你小于等它的概率不就分布函数在这点值吗？这个非常简单。那你可能会在很多参考书当中见到好多好多，比如说你发现这个人怎么求那个人怎么求怎么求，大家注意啊，这一页不要背。谁背谁就傻了，

你听我来讲，你要学的轻松，还要学的好，在这种当中只需要记住两个人。只要在这种当中知道两个人，你就知道所有。另外，事情没有等号的。只要能知道这两个人，你就能知道所有，所以接下来过程当中，我们看看小月一怎么办呢？我们一起来看看这个问题。来操作一下。那么大家都知道这个分布函数是什么？

分布函数是小于等于。这个点的概率加和。小于等，但是你发现一个事情，现在他说什么你这个点不能取。那我怎么办呢？那就非常简单，你可以用你的分布函数求一下这个极限就行。哎，这是左极限，所以在这里面当中的话，就是去求解什么x趋向于a负。你不包括这个点吗？你就是a负，然后求个极限。

它就等于这个分布函数，哎，这个人怎么办？分布函数的左极限。一定要注意啊，如果是小于等于就是分布函数在这点的值，如果是小于就是分布函数在这点的左极限。记住这两条。小于等于分布函数，这点值小于分布函数，这点左极限小于等于该点值小于该点左极限小于等于该点值小于该点左极限。你要注意一下这个事情，念念不忘，必有回响，多想一想。

小于等于该点值，小于该点左极限，大家永远注意一个事情，你喜欢的是什么？你喜欢的是？小于。这是你喜欢的，你不喜欢大雨。你喜欢的是小鱼，你永远注意你喜欢小鱼。诶，在这个部分问题小于等于该点值小于该点，左极限小于等于该点值小于该点，左极限。把这事情想清楚，

要注意啊，你喜欢的是小于。所以接下来过程当中，把这个事情学清楚了，哎，那你发现接下来过程当中脑子稍微的转一转，什么东西都出来了，比如说我们先看第一个人。那这个题的话，你发现它让我们去求大于怎么办？非常简单就可以用对立的部分，那不就是一减去什么？小于等于嘛。而我们都知道，小于等于什么东西啊，

小于等于该点值出来。是吧，在这里面那么接下来过程当中，我们继续我们再看，那这人是什么呢？那这人的话，你发现继续诶，可以用对立事件就是小于a。诶，小于等于什么呢啊？小于什么呢？小于该点左极限。所以说这是这样的一个问题。哎，这是这个事儿。

所以接下来过程当中，我们再看第三个人。那等于怎么办呢？那我等于a怎么求你看这有个同学问生活顺利吗啊，你问的就是这个，那等于怎么求呢？你说能不能减去a处概率，那关键是a处概率怎么求？你现在马上东西你都秒懂了。那这人怎么求呢？大家注意，我们不喜欢这个人，我们可以用小于等于再减去这个小于啊。是吧，小于等于再减去小于那这个人不就等于吗？

你看你现在就懂了，你问的那个问题啊，你发现一个事情，你要注意啊，他知道的是什么？所以小于等于该点值，小于该点左极限。所以就是s趋向于多少a负这阵的极限。好了，这是这个事情，听得懂吧？呃，另外一个事情我说一下。这个你可能见过一些书籍里面当中都是这样写，因为概率当中啊，

很喜欢这样写，我为什么不这样写呢？我为了呃不让很多同学混。你要注意啊，这个左极限也可以写成什么写成a- 0。fa- 0其实就是a的左极限。哎，这个东西是一样的，能听懂吧？好，那么接下来过程当中，我们再看这个人，这个第三条很重要。第三条如果是等于就是小于等于减去小于。小于等于减去小于，

那就是该点只减去该点左极限第三条非常的重要。然后接下来过程当中，我们看看后面的人，你看第四条怎么办？我喜欢这个范围吗？你看这是a，这是b。你这人不娶，你这人是娶。我怎么办？那非常简单，你可以用小于b。小于等于b再把什么情况再把小于等于a减掉。对吧，再把小于等于a减掉。

小于等于b减去这个小于等于a那这个时候你发现一个事情就是大于a反而小于等于b。那这个时候你看我就喜欢小于啊，小于等于该点值，小于等于该点值，你看这多简单，非常的容易啊。好了，那么接下来过程当中，我们再来看下面一个事情，那这个人呢？这个人就是小于b的部分，把小于等于a的部分减掉。那这个时候的话，你发现一个事情，第一个人呢，

就是该点的左极限。再减去该a点值。是不是啊？这个人，然后再看第三个人呢？第三个人的话，你看小于等于b，小于等于b的部分，把小于a减掉就行。小于等于该点值，小于该点左极限。漂亮，那最后一个人呢？最后一个人就是小于b的部分。小于b的部分，

然后把什么东西呢？这个小于a的部分减掉。那这里面道路的话，你发现一个事情小于该点左极限。小于该点左极限。好，这个东西啊，立即出来了，你学会了吗？好基本问题。哎呀，这个东西不要背一背就傻了。啊，曾经我见过很多同学，你发现一个事情，

有些书籍里面当中一写写写了是写了多少？写了九条内容。一写写了九条内容，有同学在那背呢，对吧啊？大于等于多少呢？大于等于一减a，大于等于一减a的左极限，然后等于怎么办？等于该点式减去概念，你背那干嘛呀？没有这么多脑子，大家注意啊，这也是什么呢？你既学的努力，

你又学的差，我不希望的大家的话，做这样的一个情况。好了，这是这个事情吧，我们就说到这啊。好了，这是这个问题，行吧？啊，这是a。a好，这是这个问题，过去了可以吗？所以在这里面当中，

你的核心重点要把握这个时机。诶，这个事情，所以接下来过程当中，我们就来看看第二个问题。第二个考题它就来了。哎，刚才过程当中我们讲过第一个考题，来看看第二个考题。已知分布函数。求概率。已知分布函数求概率小于等于该点值，小于该点左极限就是刚才部分内容。来，我们来做一个题吧，

先来看二点二这个题。秒啊，一定要给我秒来看这个题。他的第一件事情干嘛呢？他说。这是一个人的分布函数。让我们继续去求a，大家注意怎么做？它是一个分布函数，我怎么去处理啊？非常简单，检验四条内容。检验它是否满足这四条内容，所以说接下来过程当中，我们先来看第一个事情，

直接先用正无穷。a在正无穷上吧，就直接来s趋向正无穷，那就是一+s比上as这个极限简单吧，这极限多少抓大头是多少？是a，你发现这个极限在我们高等数学当中都懒得做。说实话，懒得做等于几咦a是不出来了？所以大家注意一个事情，这个a就是一。a就是一。好了，那么接下来过程当中，我们去求这个人哎，

你看这个人怎么求？知道分布函数怎么进行去求概率啊？我们喜欢小于，那就把这个人怎么办？写成小于等于二再减去多少？小于等于负一。小于等于该点值，小于等于分布函数该点值。那么，现在看看二。二是什么呢？二就要带到这儿。二就要大于零，所以说在这里面当中的话就是一加二分之二。然后负一呢？

负一是小于零就要带到这儿，带到零当中，所以说结果等于三分之二。你想想一个事情，我们有没有可能会考这种题啊？非常有纪律。相当的有几率，你放心吧，这个分布函数啊，那今年过程当中肯定有道题。很喜欢考这个人。一个事情是你来给我判定一下这个分布函数，第二事情的话，分布函数去求概率很有可能性啊，你要注意一下它。

好不好做贼简单？你发现很多同学可能这个今天过程学啊呃，上节课过程当中的内容很多同学不喜欢。啊，但是你发现一个事儿，这个部分呢啊，你发现一个事儿，你就很喜欢了啊。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看这个人吧，对吧？再看这个人要不这样吧，我们下课过程当中，你坐下。

好不好？你下课休息过程当中，你去坐一下这个人。可不可以你不然的话，下课过程当中多无聊啊啊，你下课休息过程当中做一下这个题，把这个做一下好，我们稍微休息会儿吧，一会儿过程当中我们就继续开始了。

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