03.随机变量及其概率（C）+习题课-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:49:33

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们的概率论的基础班，那么上次过程当中我们还剩下一点内容，我们就能把这个第一章全部结束。那么，在这个概率论当中啊，其实你发现这个基础班部分的东西啊，包括我们大纲要求的内容其实也不多，

把这个第一章讲完了之后，然后进入到这个第二章。第二章是核心重点，讲完了之后，第三章啊，基本上就是一个小时的内容，然后就是第四章，第四章过程内容，也就是一切一节课，部分内容就讲完了。所以希望同学们好好来，对吧？那么接下来过程当中，我们先来把这个上次过程当中的核心知识点呢？我们先来复盘一下，

因为上次过程的内容啊，比较重要。你看在去年过程当中的真题当中啊，你发现出了两道题啊，非常的关键好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看上次过程当中的核心知识点。那么其实你发现最重要的问题是不是这些重点的公式啊？那这些公式啊，是一个非常重要的一个基础，所以接下来过程当中，你在屏幕前跟着我一起来，把这个内容好好记忆一下。那么，首先我们先来看看第一个事情，

对立事件公式，那这人等于多少一减去多少p，然后接下来过程当中，我们再来看看加法公式。a+b当然这个东西也可以，怎么写呢？就是a并b哎，这两个东西是一样的，a+b和a并b是一样。它的概率结果是多少呢？就是a的概率加b的概率减去a和b的概率，然后接下来过程当中就是a的概率。加上b的概率，加上c的概率，它也可以怎么去写呢？

你发现可以这样写，写成这个a的概率并上b的概率。bin上c的概率当然这个东西还可以，怎么写呢？还可以这样写。你如果共同拔下来之后的话，你看这个人这个人这个人你能听清楚吧，这几种写法是一样的，它的概率结果怎么算呢？a的概率加b的概率加c的概率。一个是加，两个是减，三个又是加啊，这个公式你得记清楚，然后就是减法公式，

减法公式就是a-b。a-b也可以，怎么写a-b就是AB吧，你要知道你在屏幕前跟着我写一遍啊，你这个公式最起码得记住。然后这人等于多少呢？就等于a的概率，然后再减去多少AB的概率好这个人，然后是条件概率公式，比如说。a发生的条件下b发生的概率怎么算呢？那其实就是a的概率分支a和b共同发生的概率。好，这个人当然这个东西得保证个前提条件，你这个人怎怎么办？

大于零啊，就不为零嘛，分母不为零。当然，在这里面当中，还有一个人。如果是b发生条件下的a发生概率呢，那就是PB分之多少pab？好，这个基本内容，所以在这种当中就引出了这个乘法公式，那乘法公式的话，你看如果这是AB。它可以等于多少？如果这是PA，

那就是a发生的条件下b发生，如果这是PB，那就是b发生的条件下a发生。好了，这些事情都能记清楚，请给我回复个一，我看看同学们都把这个基本内容打的怎么样啊？能记清楚吗？都应该记清楚啊，你像考研过程当中考这种题啊，真的是非常非常的简单。相当的简单，我们拓展一点可以吗？好，我们拓展一点。

如果这里面当中是ABC，怎么写？但这个东西考的这个几率我觉得不大，我稍微讲讲拓展一点啊，你就是了解一下就行，你看这个人怎么写呢？你这人可以这样写你，比如说你看你可以写成AB发生啊AB的概率AB发生的c的概率，这没问题吧？你看这个事情，你看这个东西可以写成PB分之PA BC嘛，你这个pab这两个东西就约掉了嘛。是不是可以，然后接下来过程当中，前面这个人怎么写呢？

你就可以写成a的概率乘上a的条件下b发生的概率。然后再乘上什么这个AB发生的条件下c发生概率。你也可以把这东西啊拆成这样子。所以说就是先把这东西写成两个人的，对吧？这两个人的话，你再把它打开，再写成一个人的。啊，能理解吧，稍微脑子转一转就行，不要背啊，不要背一背就傻了，脑子一转就出来了，多转一转啊，

非常简单。好，这是一个基本问题，那么接下来过程当中啊，我们先来看个题吧。呃，等一会儿过程当中，我们再来进行去复盘，我们上次过程当中讲的下面一个重点三大概型的问题，我们现在做个题。那么，这节课就是两件事情，一件事情啊，我们就是把剩下的部分内容讲完，然后一件事情我们来讲半节的习题课。

所以说这节课你好好跟着我进行去训练一下好了，我们来看看呃，把800题拿出来，我们来看看418题这个题。讲讲这个题。其实这个题啊，也不算什么提高题，对吧？也不算这个拔高提高题，那么在这个题的话就是个基础题，我们考研过程当中啊，可以随便的抽出一个进行考。考这个人可以考这个可以考这个考这个都行，所以接下来过程当中我们一起来看，我们先来看看第一个人来解吧。

好，先看第一个人，那第一个人的话，你看这是a的概率，这是b的概率，这是b发生的条件下a的概率，然后让我们去求pab，怎么去求啊？那这非常简单，你就用一下条件概率呗，见到这个东西啊，立即用条件概率，所以首先第一件事情我们可以看。这是b发生的条件下a的概率，那它就等于PB分之多少PB？

好这个人，所以说在这里面当中，马上来看这个人是多少，这是零点五，那这个人是多少，这是零点四，所以说上面这人等于多少，这是零点二。好，这里面当做马上得到第一个人pab的概率是多少？零点二。那么，接下来过程当中，我们再来看，然后我们去求解PA+BA，

加b就是a的概率，加b的概率，减AB的概率，你这里面当中知道a的概率，你还不知道b的概率啊，但没有关系，你看。AA发生的条件b，然后这b然后的话，这是这个人那么在这个当中，我们可以去求一下，哎，真都知道是吧，都知道我们就结束了啊。我以为是这个题，

告诉了一个a发生条件下b发生的，那就可以用乘法公式了，好直接来吧，那都知道了，都知道的话就直接做那a+b。那a的知道b的也知道，然后你发现再减去pab。这很有我们这个考题的这种感觉，就是这种感觉，所以在这个当中的话，你发现这是多少零点三b是多少零点四？AB是多少？AB是零点二，然后这个结果出来了，等于多少零点五？

好了，这个题啊，当中的话，这个前两问就出来了，然后接下来过程当中，我们再来看看第二问。第二问，让我去求什么a发生的条件下b发生？你可以怎么办呢？你可以直接用条件概率公式对吧？你可以走第一条方向就是直接用条件概率公式。这是a发生的条件下b发生的概率，它就等于多少a的概率分之AB的概率，而你发现AB的概率是多少零点二？a的概率是多少？

零点三，所以说等于三分之二或者怎么办呢？你可以用乘法公式那乘法公式怎么做？就是a发生的条件下b发生再乘上a。就等于这个b的概率再乘上b发生的条件下a发生概率。能理解吧，乘法公式，所以在这里面当中的话，你看这是多少零点三，这是要求的，这是多少零点四，这是多少零点五页出来？你怎么做都行啊，基本问题点过去了，可以吗？

好，这里面当中的内容就是你基本上就是用概率公式来做呗。你见到什么东西就写什么公式，都不用去想这个事儿，然后接下来过程当中，我们再来看看下面的问题，我换个颜色。来看看第二问，那这个问题的是怎么做呢？它说是a并b发生的条件下b发生的概率。呃，这个东西怎么读啊？有的同学说，老师，你这个读的有点儿，

好像有点儿奇怪，那为什么不是a发生的条件下b发生的？bin上这个b呢，你要注意这个优先级啊，人家这个人的优先级是这个优先级更高一点，什么优先级呢就是。这个东西啊，是分界线，你就要把这两个东西读在一起。你要注意这个问题，所以说接下来过程当中我们就可以算了，走一下吧，就是a并b发生的条件下，你们共同发生的概率。那就怎么办？

用b进行教一下，教一下这个a+b。好，做成这样，那么做成这样了之后的话，你看下面这人出来了，下面这人就是a+b的概率，刚才算过了，关键是上面。那上面这人怎么办呢？那首先第一个事情是a和b交吧。然后再加上多少b和b交b，再交b还不是b吗？然后这两个一加是几啊？我们都知道一个问题be这个人。

和AB这个人什么关系啊？我们说交的越多，是不是越小啊？越交越小，你要小一点，然后在这种当中交取小并取大，那这个时候你发现你跟这个人取并呢？病娇娶她娶这个逼。是吧，这很简单啊，所以说在这种当中这个问题点就出来了，那因此这个结果就等于PB比上多少呢p？ta+b出来了没？好，这个问题这个算过了吧？

这个算过了吧？好，本题结束。因为这题a+b算过了呀，然后这题的b啊也知道啊，本题结束。我们的考题很有这种感觉，就喜欢考这个人，对吧？这个公式来来回回的转转。啊，转一转这个东西就出来了，好这个问题啊，我们就讲到这儿过去了，可以吗？

好，这是418题，这个题。那么，接下来过程当中，我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题呃，注意一个事情啊，我说一个问题呃，这里面当中有一个符号是敲错了。你们稍微注意一下，就这个。这是敲错了，你把它改一下，这个人是这样子的，

他是a拔b拔啊，在排版的时候把这个拔。两个横线放到一起了啊，注意啊，这块儿是分开的。你要稍微注意一下这个事情。诶，能理解吧诶，它是分开的。哎，能理解吗？但这题没法做了啊，好过去了。那么，接下来过程当中，

我们再来看看下一个事情。当然，在上节课过程当中啊，还讲过一个事情，还讲过一个叫做独立性的问题，你还记得吗？那么，上次过程当中，我们还讲过一个独立性，不行我们还得复习一下。那么，接下来过程当中，我们就继续独立性。两个人的独立怎么说？两个人的独立。

两个人的独立就可以说两个人相互独立，那没有问题，就你两个人。那这两个人独立的话，我们先来看看第一个事情，充要条件说什么两个人的发声没有关系。所以说独立跟互斥之间没有什么关系，那么在这种当中我们来看看，最起码的最重要的一个定义是什么？它的充要条件是乘积的概率等于概率的乘积。然后接下来过程当中，我们再看第二事情就是你发生的条件下，我发生跟什么情况呢？你不发生的条件下，我发生概率是一样的。

然后紧接着过程当中，我们再来看，那这个时候还要说明什么a和b拔独不独立啊？是独立的。然后在这里面当中还有谁呢？a拔于b独不独立呀？a拔于b也是独立的，然后接下来过程当中我们再来看第三个事情，那是a拔于b拔独不独立呀？也是独立的。好这个人呃，这是个基本问题啊，所以说你要想清楚独立性的这个检验性问题对吧？这是一个人。然后这里面当中，

如果你发现一个事情是三个人呢？三个人独立呢。如果一旦是超过二有三个人，那这里面当中就有一个问题了，是两两之间的独立还是相互独立？对吧，所以说如果是三个人的相互独立，怎么说的？那相互独立的话，首先我们先看第一个事情a和b独不独立a和b得独立。a和c独不独立？a和c得独立？b和c独不独立？b和c得独立？这东西叫两两独立，

除此之外还有个ABC也要独立。你要注意这个问题。那如果是四个人呢？四个人是任意，两个人独立任意，三个人独立任意，四个人也独立，那任意四个人就是他们四个。你能听得懂我的意思吗？你注意两两的意思就是我们两个人，两个人，两个人之间的独立，这叫两两独立。那如果是相互独立呢，就是我们任何人相互之间都是独立的，

用你的中文理解你去理解一下，你很容易进行把这个事情想清楚。好，过去了可以吗？上次过程当中，我们重点讲过这个题，你还记得上节课讲了一个例题，说已经两两独立了。已经两个两个人之间独立了，那怎么样才能再相互独立呢？你再加上三个人也独立就行。因为这三个人之间的话，你看已经两两之间独立了，你再加上一个三个人也独立，那这人就出来了。

好了没好基本问题了。呃，这是我们在上节课过程当中讲的独立性呐，独立性检验很重要啊，你下去过程当中好好看看，那么接下来过程当中我们再来看看三大概型。这个东西啊，是我唯一担心很多同学在概率论当中啊，做不出来的题，就这个古典概型。那这个古典概型的话，你就发现，比如说我们的掷色子，掷硬币啦等等，这些东西都是古典概型，

那这个内容是什么呢？就是a事件发生的次数比。比上总事件发生的次数。对吧，你发生的次数比上总事件发生的次数好了，那么接下来过程当中我们来看看上节课过程当中讲的排列组合的知识点还记得吗？这个人呐，我先问一下啊。你们下去过程当中有没有把上节课的那个那几道例题再做了呀？有没有再做一下？你做了吗？一定要再坐下。什么一次性摸几个？对吧，一次摸一个，

那这个东西就有个顺序关系了。对吧，一次性摸一个摸了多少次，你要注意啊，把这个东西好好进行，想想你多想想多转一转，哎，这个东西就很很简单了。如果这个东西出现问题，你再把那个课程部分东西啊，你再看看那个题，你今年过程当中能给我做个七八遍。对吧，做个七八遍就是见到这个问题，你就想的非常的快。

赚的非常的熟练，那我觉得这个事情就非常好了。你要绕不出来的话，你上节课过程当中是怎么解决的？没有下去过程当中，把那个课程再补一下吗？对吧，你自己下去过程当中一定要注意啊，这个东西得多转转。好了，那么接下来过程当中，我们先来看看第一个事情组合数，n个里面取m个这个东西是无序的。诶，没有顺序。

然后接下来过程当中，我们再来看排列数，排列数就是an m。那排列数有两个事情，第一个事情你先取出来。然后再让这个m个全排列m阶乘。这两件事情共同发生，才完成了这件事情，所以说是乘法。然后接下来过程当中，我们再来看看加法原理。那么，加法原理的话，你发现这应该是什么？哎，

这是完成这个事情的方法。这叫方法。就是我a到b。这是一些方法，这也是能完成你的方法，这也是能完成你的方法，所以这些东西啊，得加起来。然后再来看看乘法，乘法是什么？乘法是步骤。啊，乘法是步骤，就说我在这里面当中完成有几个步骤，你第一个步骤，

第二个步骤。你两个步骤共同完成，才相当于完成这个事情，所以说啊，这个东西是乘法。所以说你在想的时候啊，一定要把这个东西啊，想清楚。能理解我的意思吗？好注意一下这个问题啊，排列组合的基本知识点呃，这个事情啊，讲清楚了之后一定要下去，过程当中把上节课那两道例题啊。你好好想想，

因为它太重要了啊。好，就这几个例题。呃，你们稍微等我一下啊啊，等我一下。好了，那么接下来过程当中啊，我们就继续啊，我们再来看看这个下面问题。先上高数还是边上高呃，最好是先把高数听完了之后再去进行去听，这个概率论会好一点。啊，因为概率论的话，

会用到这个高等数学的知识点啊。好了，那么这个事情你下去过程当中好好想想吧。呃，这个东西是一个一个的都被取出来了。对吧，一个一个的都被取出来了，已经被取出来了，这是你要注意的，而这个人呢，是每次取一个不放回。啊，要想清楚。呃，自己下去过程当中再转一转吧，

我觉得这个题还比较重要啊，就这几个题，尤其是一点一六更重要一点来继续吧，回来了。好，这就是我们在上节课过程当中啊，讲的这个基本知识点，第一事情讲了古典概型，那么今天过程当中，我们就继续开始，我们再来看看下面一个问题，我们来讲讲。几何概型诶，我们来讲讲这个几何概型？如果这个几何概型的话，

你发现你这样进行去理解啊，这就非常恶心哎，我们在这种当中啊，换一种方式来讲。那么，首先我们先来看看第一个问题。我们以什么样的问题进行讲呢？我们以投石子的问题来讲。比如说举个例子，这有条线。这条线的话，你发现上面的话，有一个区，这个区域是a到b对吧？这个区我们来问你什么东西呢？

我问你往这上面投石子儿。投到这个区域的概率，投到这个c到d的区域的概率。你要注意啊，总的长度是a到b往这上面投石子，投到这个区域的概率，所以说在这种当中的话，你发现这个事件我们叫做a事件，这概率是多少？这概率就是a事件的长度，比上总事件的长度，那长度是多少d？减去c比上个b-a。好，这个问题啊，

所以说基本点的话，你发现一个事情就是这个总长度分支这个人的长度。好，这是第一个问题，如果改一下，那么接下来过程当中，我们再来把它改成一个什么平面问题诶，改成平面问题。还是在这个区域当中投石子。往这上面怎么图石子啊？头那么在这种当中，我们给一个区，比如说这是一个总的区。总的区这个总的区域叫做欧米伽区。然后接下来过程当中，

我们再来看看这里面当中还有一个小的区，这个小的区啊，是a的区。我们来问你个事情，你往这上面投石子，投到a的区域的概率是多少？那这时候你发现一个事情a的概率就变成什么？是不是就变成了面积之比a的面积比上这个面积，那这个时候你发现其实就是你去求一下第一个人面积再比上第二人的面积。是不出来了，那当然的话，你发现如果是空。空间的话就没办法说投石子儿了，你能理解就行了，就说我们想要去看看这个总的这样的一个空间的这个体，

然后里面有一个部分，那就是体积之比。所以它的这个东西啊，核心重点应该是这样，这个核心重点其实叫做a的度量。a的度量。除以什么东西啊，欧米伽的度量。这个度量可以是什么？可以是长度可以是面积可以是体积诶长度诶，这个是面积，这是体积。但是你要注意啊，实际性的问题呢，却没有这么的简单。

有的时候我们会见到一些实际性问题，那么在这种当中啊，其实最重要的问题就是如何把这个模型给建立起来呢？这件事情才是我们要打开这种题目的一个操作，所以接下来过程当中我们来看看这种东西的操作性方法，大家想想。如果是个一维问题，应该只有一个变量吧？是吧，要想建立这个模型，一维的问题只有一个变量，二维的问题有几个变量，有两个变量。所以说像往往做这种实际性的问题的时候，你一定要注意一个问题来，

我们来看看两步走。注意破题方法。非常的简单，那么这里面当中第一步。第一步怎么办呢？我们就在这种当中，要引入这个东西的变量。要引入这个东西的变量，稍等一下啊，我把这个东西调一下。好，所以说在这里面当中，我们先来看第一件事情，第一件事情就是读题引入变量。这个变量怎么设出来的？

怎么出来的？是设出来的？一定要引入变量，你不引入变量这种题就没法分析。如果是一个变量，那其实就是长度问题，两个变量就是个面积问题，一定要注意啊，引入变量进行建模。这个词儿吧。你不要觉得它很高大上，对吧？建模就建模呗，建模是什么意思啊？把这个实际问题变成一个数学问题，

就叫建模，你不要看这几个字儿，这几个字儿我写到这儿就是主要一个目的，就是为了装逼的，对吧？你发现核心重点就是引入变量，然后接下来过程当中，我们来观察变量。哎，注意一下，我们来看看观察变量。如果注意一个事情，一个变量。长度问题。两个变量面积问题，

要注意啊。所以在这本当中的话，你发现一个事情就是两件事儿，第一件事情就是引入这个变量，把变量给我设出来。然后进行去建模，对吧？然后接下过程当中，如果是一个变量长度问题，两个变量面积问题，那这件事情呢？有些同学感觉的说，哎呀，什么意思呢？我们给你看个题。

我们先做一点一九这个题可以吗？先做下面这个题，再做上面这个题，这两个题啊，有可能会考啊。非常有几率，很有几率会考，你这是要注意的好，我们先来看看第一件事情，他说什么？他在这里面当中说这样一件事情，他说在零到一这个区间当中要随机的取两个数。你要取两个数，你是不得把这个数给设出来？你不设出来怎么做？

所以说我们设第一个数是x，第二个数是y，如果在这种当中的话，你发现全局空间呢？s和y应该是没有关系的。你s什么意思啊？就是在零到一当中随便取个数，那取个数的话，它的范围是多少？它的范围就是零到一。然后y这个人呢，也是随便取个数，它的范围是多少，还不是零到一吗？这就是全局空间。

它没有什么约束，就是s是一个数，我取零到一，我y取一下零到一，那你告诉我这个a事件呢？他说，两数之和小于五分之六的概率，那这个a事件是什么？a事件是这两个数相加。小于五分之六。那所以说在这里面当中，你告诉我事情这个问题点是一个一维问题还是二维问题啊？两个变量吧，两个变量的话，你发现很明显是个二维问题，

那二维问题的话，你发现看这是y这是零。这是x。那么，在这个当中啊，第一件事情我们先来看看这个区。那这时候就是面积问题了，总的区域是多少呢？就是这个人。总的区域就是这个人。诶，这是这个人，那这个结果是多少？这是一呃画大了画小一点。那么，

这个结果它就是一，然后这是一。然后接下来过程当中，我们再来看第二事情，两人相加小于五分之六，小于五分之六是谁呢？小于五分之六就是这个人。这是等于五分之六，那小于五分之六就是这个区域。所以大家告诉我事情，这个概率是什么？这个概率就是面积之比a的面积比上总的面积a的面积是多少？总的面积很好算，就是一×1。那a的面积呢？

我们可以用大的这个面积减去这个空白，然后这个部分是五分之六，那五分之六这个长度就是五分之一，这是五分之一，那这就是五分之四。那这也是五分之四，所以说就是五分之四乘以五分之四，再乘以二分之一。因此，这个结果立即出来了。你发现这是二十五分之几？二十五分之四，那就二十五分之二十一。好了，这是这个问题吧，

我们就讲到这儿基本点吧，一点一九这个题这个题很有几率会考，其实你高中都做过这个题。这题高中就会做，你取两个数嘛，把这两个数设出来，最重要的问题就是引入变量。诶，多少？没问题吧，这还要乘二分之一嘛？怎么了哦？这16这八是吧？哎呦。完了完了完了。

那拉倒啊，这题废了啊。好了，这个做了半天的话，你发现零分啊。你们不要犯这个错误，好了，这个事情我们就讲到这儿，那么接下来过程当中，我们再来看看下面的事情，你看我再来讲一个题，一个东西啊，叫做会面问题。啊，会面问题啊，

这个东西不是那个吃的那个会面啊，会面问题。那么，在这个当中，我们来看看这个事。他说甲乙两人约定从九点到十点的某地进行见面。我们要在九点到十点当中啊，某地见面。你要注意他们进行去见面的时间，就是九点钟到十点钟。然后说先到这个人呐，只等15分钟我就走了。请问两人能会面的概率是多少？那这件事情怎么做？还是这个问题，

你得进行去建模吧？你这里面当中没有变量啊，你纯文字儿怎么怎么做题啊？所以在这里面当中你最重要的事情啊，你要引入这个变量。你要注意，他们是从九点钟到十点钟见面。只能是九点钟到十点钟见面，我们假设什么情况，第一个人是九点零s分到。然后y这个人呢是九点零y分到。行不行？那请告诉我个事情，全集空间是多少？那这s是多少？

那这s的话，你发现可以从九点钟到十点钟的，任何时刻到，所以说它应该是大于等于零，小于等于60。没问题吧，然后y这个人呢？y这个人也是从零，然后到60，任何时刻能到。我从零到60的话，你发现我任何时间等，这是全集空间，不要受约束。对吧，

你无论哪个点到都行。你零分到60分到都行，你随便哪个点，这是你的全局空间，但是接下来过程当中，我们再来看俩人能会面呢。那这人两个人的话，你发现能够会面的话，这个概率是多少？我怎么样才能会面它？会面非常简单，就是这俩人怎么办？15分钟内，你得见面。什么意思？

就是这两人之间的时间差不能超过15。能想清楚吗？所以说其实就是x-y的绝对值小于等于15。必须是绝对值，你可以比我多一点，早一点晚一点都行，反正我们两个之间到达的这个时间点。它的这个绝对值啊，不会超过15，那这个时候你发现我们俩就能见面了。所以大家注意啊，这一波内容非常重要。他就把一个实际问题变成了一个什么数学语言，这就叫什么？这叫建模。

哎，这就是所谓的建模。你看吧，与这个什么文字问题变成了一个数学问题，所以接下来过程当中，我们一起来看几个变量。两个变量，那既然是两个变量的话，那么在这里面当中，我们一起来看两个变量就是二维问题。好，这个人。然后我们先来看看第一个人，他是零到六十零到60的话，你发现零到六十零到60他就是个正方形。

所以在这种当中，我们先给你个正方形，这是60，这是60。然后再来看看这个a这个问题a这个问题的话，你可以稍微调一下，它不就是多少y-s这个人小于等于15嘛？所以说就是y-s这个人大于等于多少负15小于等于15嘛y这个人小于等于s+15，然后大于等于多少s- 15。是不这样的，所以在这种当中的话，你看s+15的话，它是这。这是y=s+15。然后这y=s- 15是哪是这y=s- 15好这个部分，

然后它是位于两个人中间部分，就这个部分。所以在这里面当中，我们马上来看看这个人的概率等于多少？那就是总的面积呗，就是a的面积比上总的面积，然后总的面积是多少？60×60。俩60，然后的话，你发现这个中间的部分呢是60×60减去多少减去两个空白不就行。二倍的二分之一，这个点是十五，所以说是四十五，四十五乘以四十五好出来了。

那么这个题我们就讲到这儿可以吗？我不算了，你们自己算吧啊，你们自己算啊，这个避免出错的啊。好，这是一点一八这个题会面问题。那么当然，在这里面当中的话，我们可以再来给你增加一个题，你比如说再来看。好，我们再来看一个题。比如说这里面当中啊，我们还可以出一个这样的题。

你听啊。我们说有一根。一根杆。长度为多少呢？长度为。呃。给一个具体数吧，你想出多少？你想出多少？长几米？我看一下，征求你们意见，随便啊，长为多少米，然后再怎么办？

取两点。可围成。三角形。概率是多少？啊，你咋那么狠？66。十米就行了，哎呀，好了好了，你看你们这些人出题出的多狠啊。好了好了好了啊。你们才是老头子啊，你去出题这个也忒狠了，你动不动上来的话就出这个什么啊，

这这几几。还出三点一四一五九二六，那怎么算呢啊？好了，我们来看看这个事情吧，来看怎么做？那这题怎么办呢？那么，这里面当中的话，我们就来看看呗，它说有一根这根杆长度为多少呢？长度为十米啊，这个长度为十米。我们要取两个点。取两个点的话，

你发现一个事情，我们取一下。诶，取两个点，那么在这种当中的话，你发现随便取。假设你发现这个长度是s，你就要引入变量吧，你这个y，然后这是多少十减s减y？好，这是这个人，所以大家想想一个事情，我们这个人的全集空间是多少？你要注意啊，

全集空间的意思就是在上面取两个点。全集空间就是你取两个点就行。至于围不围成三角形，这个事情跟我没关系。我在乎的是你就取两个点，那你告诉我什么范围s怎么了？大于零对吧？小于十。然后y怎么办？大于零小于十。十减s减y大于零小于十。这就是全局，空间就是你这个s得有有对吧？你得有你得存在，就说你的这个长度就是零到十。

y也得存在，就是零到十你十减x减y也得存在，你也是零到十就是你这个东西得有。对吧，你得有，然后接下来过程当中，我们再来看看a。那围成三角形呢，怎么样才能围成三角形？我们在小学的时候就学过一个公理。三角形的两边之和大于第三边，有一个推论叫做两边之差小于第三边。二者选其一就行了。对吧，两边之和大于第三边就可以了，

就能围成三角形，不是说两边之和大于第三边。且两边之差小于第三边，不需要。那个一个是公理，一个是推论。所以在这么当中，你发现只需要怎么办？两边之和大于第三边。然后这是两边之和的话，你这两个加你这两个加是多少十减y大于第三边，然后这两个加呢十。直减s大于第三边。好了没好，就是这个。

所以你发现一个事情，你看这个东西就可以了。那有三种，三种三种嘛，那没关系啊，来我们一起来看看。接下来过程当中，请告诉我事情有几个变量。两个变量，那既然是两个变量的话，你发现个事情什么问题啊，它就是个面积问题，所以说接下来过程当中，我们一起来看看。y这是零，

这是x。那么，接下来过程画图就行呗，那么在这种当中的话，你发现它是零到十。我们把这个东西啊画出来。哎，你发现这就是十，这就是十。但是这不是全局空间，那全局空间还有个人，这是多少？那这人是y怎么办呢？你可以把它移过去。y这人得大于你看走一下y这人大于多少十减x。

但是这个y这个人呢？呃，这应该是小于十减s。你小于时间s的话，你就移过去y是怎么办？小于时间s，然后y又大于多少？y又大于负s。那么这个时候我们就来看看吧，十减s是多少？十减s的话，你发现个事情，这是十减s就是这条线。比这条线低，比负s这条线高诶，

所以说你发现全局空间就在这。所以说全局空间就是一半。只是一个三角形，所以在这里面当中啊，我们画一下全景空间，全景空间就在这儿。这是我的全局空间，然后接下来过程当中，我们再来看看a的情况。a的情况先看第一行，第一行是多少是y+s大于五。其实就是y比多少负x+5大。哎，这个人，然后第二事情呢，

你发现y要小于多少？小于5s要小于多少？小于五哦，那这时候你发现你看。你这人就是我。然后呢？你发现这人也是五。俩人都比它小，但是要比什么负s+5大。你负s+5大的话，你发现一个事情，其实就是比这条线大。能理解吗？所以说你告诉我这个概率是多少？等于几啊，

你这个三角形跟这个三角形这个三角形这个三角形都一样吧，这概率等于多少四分之一吧。就出来了，所以说你要注意这个问题，对吧？它的一个操作性是什么？就是你把这个东西解一下，这个东西解一下。然后这个东西剪一下就行。会走了吗？啊，不是特别难的啊，这个全集空间是什么呢？你全集空间的话就是随便取两个点，让这三个段有长度就是你的全集空间。

然后两边之和大于第三边这个东西出来了。好，这是这个事。能想清楚不好这个标题。这复杂啥呀？啥都没有干啊，你说复杂一点都不烦你先，你去想想这非常简单嘛，你就是在这上面取三段嘛。一段x1段y1段它嘛，什么叫全局空间有就叫全局空间嘛。然后的话，这个a事件是什么让你成为三角形，就是两边之和大于第三边不就出来了啊，基本点。

你不太会画图啊，你不会画图，我也没办法啊。你这个东西的话，你发现。这个画图这个东西啊，就是。也没让你画什么图，你知道吧？都画直线，你说画什么？好，这个事儿吧，我们就讲到这儿过去了，可以吗？

基本点啊，几何概型就讲到这儿，然后接下来过程当中，我们再来看看伯努利概型。然后同学们再来看看下面的事情，伯努利改型。什么叫伯努利概型呢？伯努利概型啊，跟这个下面的二项概率公式啊，还不一样，我把这两个东西啊分开讲了。好，我们先来看看第一个事情，什么东西叫伯努利概型呢？伯努利概型就是不成功便成仁。

不成功便成仁，它只有两个结果，要不然是成功。要不然就是失败。成功概率是p，失败概率是一减p。所以伯努利概型就是只有两个结果，要不然成功了，要不然失败了。对吧，比如说举个例子，你去打靶对吧？你去射箭打靶，要不然打中了，要不然没打中。

但或者而言的话，你发现比如说你去摸球，要不然摸中了，要不然没有摸中。但是这两个东西的概率未必是一样的，你就记住它只有两种结果，但这两个概率未必相等啊。未必相等的。你比如说举个例子，有一个人的话，去射箭，他射箭的成功率是零点八。80%都能打得中，都能射得中，那失败的概率呢？

就是零点二这两个东西未必是相等的。这就叫伯努利实验。不努力那么，所以说接下来过程当中我们要干一件事情，那如果你发现一个事情再来看第二个问题。如果把这个伯努利实验进行n次。独立的进行。每次都是一样的。比如说举个例子，我去社监。我去射箭的话，你发现我x这个人。如果我射中。我射中叫一我成功概率是p，我射不中叫零概率是一减p，

同学们能看懂吗？我这个s表示射箭。我要射中的话，你发现就是一概率是p射，不中概率就是一减p啊，我先不讲这个吧，这个有点儿。就是第二章的话，随呃，这个随机变量的那种，我们先把它不把它切过来，你先理解就行。那比如说举个例子，我设十次呢？我射n次呢。

我射n次靶，射n次箭，打n次靶。那我问你个事情，请问他成功的次数是多少？成功的次数。为多少什么意思呢？就说比如说我去射箭，我射中的概率是p，我射不中的概率是一减p。我连着射射n次。连着射n次。我连着射n次的话，你发现我问你，我射中的概率是多少？

哎，就是成功了多少呢？成功了case的概率是多少？大家注意啊，这个东西叫做成功。case概率是多少呢？是np啊。你不能这样，你怎么能是np呢？他不是这样子的。那这不对啊，你别乱来啊。它可不是np，你这这高中学过了，你这里面当中经过经经历过多少次啊？

你经历了n次。但是你要知道一个问题，有哪些人是成功的呢？你得进行去操作一下，你在这里面当中的话，就是在n次里面挑多少次啊？挑case。你得取个case。取了k次呢，这k次都是成功的，每次成功概率是pp的k次方，但是剩下的部分必须是失败的，失败了多少次n-k次方？所以说它的计算应该是这样，在n次里面挑case。

让这kiss都是成功的，让剩下的东西都是失败的，两件事情必须同时发生，让这些人成功，而且还得让那些人失败，那这个时候你发现就是成功kiss。能理解吧，那你告诉我，我这个k的范围是多少？你打了n次法的话，你发现你可以成功零次，成功一次，成功两次，顶多成功几次n次。是这个问题，

那这个内容就叫什么呢？这一内容就叫二项概率公式。其实就是我们将来要学习的二项分布。将来要继续去学习的二项分布问题。能理解吧，要注意啊，所以说二项分布也叫什么叫n重伯努利实验？n重的伯努利实验。呃，所以说接下来过程当中，我们拿一个题目，我们来实验一下吧，对吧？我们操作一下来一起来看看这个题。看这个人，

他说三次独立实验，我见到这种词儿，我都立即会想到，这是二项概率实验问题。进行了几次呢？进行了三次，每次是什么呢？每次是独立的，你每次成功的概率是多少？你每次成功的概率是？p每次成功的概率是一样的。然后说至少发生一次的概率是它，请问它一次发生的概率是多少？那么，同学们想想一个事情，

你好好听哦，我总共进行了几次啊？三次。那它可以成功几次呢？可以成功零次，可以成功一次，可以成功二次，可以成功三次。这都是可以的吧，但是现在告诉我们什么呢？他说至少成功一次的概率是它。那所以说我们求谁简单，当然是求对立事件简单呀，所以说这个人成功的概率就是多少？二十七分之八。

所以接下来过程当中，我们设一下这个概率，因此你发现p。我们来看s=0的概率是多少呢？我们来走一下。那就来呗，三次里面取零次。成功的概率是pp的零次方，剩下的东西都是失败一减p的三次方，那这个结果等于多少就等于二十七分之八？所以在这么c三零是一，这是一，也就是说一减p的三次方等于多少二十七分之八？所以说这人的一减p就等于多少就等于三分之二，因此这人等于多少三分之一。

能跟上我的意思吗？你看这个基本点。所以说你在这个操作过程当中，你要注意一下他。他说什么问题啊，他说至少发生一次。哎，至少发生一次能想清楚吧，哎，要琢磨清楚这个问题啊。那么，接下来过程当中，我们再来出个题吧，比如说零。那么，

这里面当中，我们继续来看呃，要不然我们找一个题来做啊，这个不妙啊，这个基本点。不是说特别难，我们找一个题做。叫我看看这个题。这题也做不了。诶，这个题可以做。来看看这个题。看一下这个题，四二一这个题吧。做一下这个，

这个题也一样对吧？这两题出的都是一样的做题感觉一样。他说，一个射手对同一个目标，你看。独立的。重复进行四次。我只要见到这些词儿，我就立即会反应，这应该是个二项概率事件。我总共进行几次呢？我总共进行四次。它可以成功几次？可以成功零次，一次，

两次，三次，四次。他说，至少命中一次的概率是它，那我们在这种当中反算反算多少？八十一分之一。因此，这里面当中，我们就可以做了。那你发现你看成功零次的概率，我们来写啊，就是几次啊。四次里面取零次。成功的概率是pp的零次方一减p的四次方，

它是等于多少八十一分之一，所以说一减p这个人等于多少等于正负三分之一。但是你发现这个p等于多少呢？如果是负的话，三分之四，那这人只能取三分之二。选c。啊，这个题不是说特别难，我们再来一个题可以吗？再来一个噢，我再给你找一个题。呃，有一个题啊，那个题我们也考过，

是我们的真题里面考过的题啊，所以说接下来过程当中，你不要说以为说这个是数学三同学的题。我们也考过这个题来，那么接下来过程当中，我们来瞅一个题。你来看看。这个题怎么做？这个题是我们真题当中我们考过的题。它是把这个数一数二呃，这个数一数三同学的这个题啊，原模原样的拿过来了。哎，就这个题来，我们一起来看看这题目怎么做？

瞅一下这个地方。呃，我给你。一分钟的时间你去做，你看看你选几？好，动手吧。你注意读题啊。提奥读好。好，做完了把你答案给我回复一下啊。做完了把答案给我回复一下，这么快？可以呀，对吧啊？

很迅速啊。哎呀，还不错啊。啊，是学到好好多好多可怕，对吧啊，非常好啊，对吧？没有选b的吗？没有选c的吗？没有选d的吗？噢，我们来看看这个人。那么这个题啊，我们接下来过程当中，

我们来瞅一下。他说，某人向同一个目标独立重复的设计。然后说每次命中目标的概率是一样的。则此人第四次，恰好是第二次命中的概率。那有同学可能说那四次不就命中两次吗？四次里面取两次成功概率是p，然后这个人失败的概率是一减p也是二次方。那c四二是多少四乘三比上二乘一这不六吗？六p方乘上一减p的平方，他说选d大家注意啊，这就废完了。那这个东西出错的原因在何处呢？那么接下来过程当中，

我们一起来看看这个事儿。诶，一起来看看这个问题，那为什么这个东西就错了呢？你看你所建立的模型是什么？你建立的模型是四次里面取两次。这是第一次，这是第二次，这是第三次，这是第四次。我们说的是第四次，恰好是第二次命中，你是四次里面取两次举个例子啊，有没有可能是这种情况？有没有可能？

有可能有可能就是这种情况。你这个时候你发现四次里面取两次，万一你取的是这两次呢，这两次都命中了，这两次没有命中，那你告诉我这叫第二次，第四次是第二次命中吗？就不是了，所以说这里面当中就出现问题了，不能用c四二这个模型。那么c四二的话就是四次里面随便取两次嘛，你万一取的是这一次和这一次呢？对吧，这都不行，所以要注意一下它。

那么怎么做？什么叫做第四次？恰好是第二次命中呢？那说明什么事情，说明这个前三次怎么办？仅仅命中了一次。那如果是前三次仅仅命中一次的话，你发现就是三次里面去一次。成功概率是pp的一次方，失败概率一减p一减p的二次方。所以说这个时候的话，你发现就等于三p倍的一减p的平方是不是啊？对不对，胡来？所以说这个时候你发现很多同学就容易选a了。

又做错了，那做错的原因在何处呢？大家注意啊，你只保证了前三次命中一次。你没有没有保证第四次也命中啊。那万一第四次没有命中呢？我第四次没有命中，我叫第四次是第二次命中吗？也不叫。所以说大家注意啊，这件事情应该是这样。前三次命中一次三次，里面取一个p的，一次方一减p的，二次方，

这是前面的第一件事情。你而且还得保证第四次一定要命中。你万一是第四次是不命中的乘上一减p，这就废了，你还得怎么办？你还得乘个p。这个p表示什么呢？表示的第四次是命中的。你必须得命中，而且这两件事情共同发这个什么完成一件事儿，这是步骤，所以中间有乘法，因此你发现这个结果是多少？三p方一减p的平方，所以这题正确答案应该选几啊？

应该选c啊？那么，对于这个题的话，你发现一个事情啊，操作的过程当中啊，一定要注意一下这个问题啊，你看这题出的很好。啊，出的非常好，你一定要注意一个事情，要坚持自己的这样的一个正确结果啊，好了，这是这个事儿啊，怎么了？好，

这个事情啊，能听得懂吧？要注意哦，你如果只是前三次里面取一次，那这个时候你发现第四次啊。你无法保证是第二次命中，你一定要命中啊。好，这个事儿我们就讲到这儿过去了，可以吗？基本问题。好了，这是我们在当年过程当中的一道考题啊，也是一道非常非常不错的题。行吧，

那么接下来过程当中，我们来看看第一章最最后一个知识点，你们现在状态怎么样？你们现在状态怎么样？非常好吧？你们现在状态应该是非常好吧，拿出你今天最好的状态，听最后一个知识点，最后一个知识点是第一章当中最难的。但是你注意啊，没有男的。你好好听，你不要觉得难，你让别人觉得难去好，那么接下来过程当中，

我们一起来看看第一个问题，主要我们要讲两个公式，一个东西叫全概率公式。一个人叫做贝叶斯公式。啊，一个叫全概率，一个叫贝叶斯，那么接下来过程当中，我们先来看看全概率公式，在讲全概率公式之前呢？我们先介绍一个问题。它的名字叫做完备事件组。完备事件组。什么叫完备事件组呢啊？也叫完全事件组都一样嘛，

那么在这种当中，我们来一起看看这个事情。倘若这个东西啊，是一个全局空间。诶，全集空间，我们把这个全集空间怎么办？分成了很多部分。分成了很多部分。分成了很多部分。那这个时候你发现一个事情啊，这有很多部分。这里面当中有第一个部分。有第二个部分，然后这又是多少呢诶？

假设你发现这是n- 1个部分，这是n个部分。把这个全集空间呢，分成了很多部分，每一个部分不交叉合起来是全集。这就叫做一个完备事件组。比如说举个例子。第一个问题。你说打打靶。比如说打靶哎，比如说打靶，打靶的话，你告诉我个事情，什么叫做完备事件组呢？那这个时候的话，

你发现那就是。陈宫。和失败就是一个完备事件组。能理解吧，哎呀，别这样啊，能听懂就行，所以说在这里面当中的话，你发现要不然是成功，要不然是失败。哎呀，你别别别这样啊，听课啊。所以说在这点当中的话，你发现要不然是成功，

要不然是失败。对吧，你成功和失败不可能交叉。它的结果只有可能是成功或者是失败，所以说这个时候你发现一个事情，这两人就是一个完备实践组。它不一定这两个人叫做对对立，但是你看接下来过程当中，我们再来看，比如说。哎呀，这个。掷色子。疯了对吧？掷色子那么掷色子的话，

你发现一个事情，接下来过程当中，你取的第一个点。你投到第二个点，你投到第三个点，你投到。第四个点，你投到第五个点，你投到第六个点，大家来看看这个事情，如果这点当中有六个点。六个点的话，你看这每一种情况不会交叉吧？会交叉吗？它不会交叉吧？

不会交叉呀，因为你发现第一点，第二点，第三点，第四点，这不会交叉的，你投到第一个点，它就不可能是第二点。你投到第二点就不可能是第三点，你投到第三点就不可能第四点，它不会交叉，但是合起来是不是全局空间？是全局空间吧，这也叫一个完备事件组。对吧，

也叫一个完备实践组就是什么情况，你把你完成的这个事情的所有切分成很多番儿，只要他们不交叉就行。能理解我的意思吗？这就叫完备事件组好，我们一起来看看第二个问题，我们来看看今天的重点内容全概率公式。黄金重点啊。那什么叫全概率公式呢？全概率公式的话，在这里面当中呃，概率可以不一样。也可以不一样，你或者而言的话，你看比如说我举个例子啊。

第三个人，你还是进行去掷色子。啊掷色子，你掷色子的话，比如说举个例子，我直出一这个点和二这个点。呃，然后的话，第二个事情的话，直出三这个点四这个点五这个点，然后还有一个事情，直出六这个点。这是不是一个完备事件组啊？是不是也是啊？你看你直出一或二，

你就不可能直出三或四或五，你就不可能直出六。不交叉，然后接下来过程当中合起来是不全集，空间是全集空间，所以说这也是一个完备实践组。所以大家注意啊，它就是把全局空间进行切分成很多份儿嘛，只要彼此不交叉就行。这非常简单哦，来我们来看看下面一个问题，全概率公式。那么，全概率公式啊，这个内容到底是在讲什么事情呢？

我来给你重点讲讲。大家好好听，不要进行去写n个了，写n个非常的恶心，我们就写三个人行不行？好，大家注意，这是一个全集空间。我们来把这个全集空间分成三个部分，第一个部分是a1，第二个部分是a2，第三个部分是a3。那请告诉我个事情，这三个人叫什么东西啊？这三个东西就叫做一个完备事件组。

没问题吧，把一个全局空间切分成三份，这三个人就叫做一个完备事件组。如果a的发生会影响一个b的发生，当我进行去讨论b的这个事件的发生的情况下的时候怎么办呢？我们就可以把这个b放到这个完备事件组上进行去研究。我再说一遍。a的发生会影响这个b的发生的时候。当我进行去研究这个b的时候，我就可以把这个b事件放到这个完备事件组上进行去研究。那这时候你发现b的概率其实就分成了三个部分，第一个部分还有这里面当中的第二个部分。还有这里面当中的第三个部分。那这个时候你看我研究的这个b的，这个人的概率，

它就是什么第一个部分是多少a1和b共同发生的概率？第二，事情a2和b共同发生的概率。第三个事情是a3和b共同发生的概率。所以大家注意啊，你一定要把这个事情给我理解透彻。非常的重要，我再说一遍，如果a的发生会影响b的发生的时候研究这个b的这个概率，我就可以把这个b。放到这个完备事件组上进行研究，那这个时候你看b的概率就有三块，一块是a1和b，一块是a2和b，一块是a3和b。

那么大家想想一个事情，如果这里面当中你是先我是后，那这个时候你发现我就可以把这个东西用乘法公式打开。怎么打开呢？你看这个人，这个人其实就等于a1发生在a1发生的条件下b发生的概率。再乘上a2发生，再在a2发生的条件下b发生的概率，再加上a3发生。在在a3发生的条件下b发生的概率好了，那这个时候我们就能求出这个b的概率了。大家注意啊，这个顺序是正顺序。这个顺序就是从啊，这个什么a这个人演啊，

这个什么影响b它这个顺序是正的。这是你要注意的，我再说一遍，如果a事件的发生会影响b事件的发生，我们就把b的这个事情的研究。放在一个完备事件组上进行研究，那这个时候b的概率就会有三块儿，一块儿是第一个完备事件组的第一块儿，你和b共同发生概率。然后是第二块共同发生概率，然后是第三块共同发生概率，然后这个时候你发现因为a的这个事件会影响b的这个事件，把这个东西的乘法概率用这个乘法公式把它给我打开。这事情就出来了，我知道有些同学听懂了，

有些同学可能模棱两可，听完下面这个例题，你什么东西都清楚了好了，那么接下来过程当中，我们看一道非常重要的一道例题。这道例题啊，你不要抄题，你给我听就行了。好不好？好好听就行。那么，接下来过程当中，我们一起来读一下这个题，他说有三个箱子。第一个箱子当中有四个黑球，

一个白球，注意这是第一个箱子，第二个箱子的话，你发现有三个黑球好好听啊，注意力集中一点。第二个箱子有三个黑球，然后有三个白球。第三个箱子有三个黑球，五个白球，它就叙述了三个箱子的情况，所以接下来过程当中，我把这三个箱子我来给你画出来。好，这是第一个小字。这是第二个小字。

然后接下来过程当中，这是第三个箱子。然后接下来过程当中，他说了一个事情，他说现在随机的取出一个箱子。然后再在这个箱子当中取一个球，这个球是白球的概率。大家注意，我们把怎么办呢？你发现一个事情，第一件事我把这个AI。叫做设成什么东西呢？摸到。di个箱子。行不行？

那这个东西叫做摸箱子。这东西叫做摸到第I个箱子，假设这是第一个箱子，这是第二个箱子，这是第三个箱子。我问你个事情。这三个人是不是一个完备事件组？你先别给我看别的。因为这里面当中有个先后顺序，你第一件事情是摸箱子嘛？啊，是不是啊？你摸到第一个箱子就不可能是第二个，第三个你摸到第二个就不可能是第一个，第三个你摸到第三个就不可能是第一个，

第二个。而且你肯定是这三个箱子当中的一个，难道还有第四个箱子吗？你不是胡扯吗？这就是一个完备事件组。然后接下来过程当中，他说摸到白球，比如说我把b事件叫做摸到白球。那我问你个事情，请同学们告诉我a的发生会影响b的发生吗？会不会影响鼻音当然会呀。在第一个箱子的时候，你发现是四个黑球，一个白球。如果第二箱子是三个黑球，

三个白球，然后第三个是三个黑球，五个白球。当然会呀。你要摸到第一个相似。你要是摸到第一个箱子的话，你发现你摸出来这个概率肯定不一样，你摸到第二箱子摸出的概率肯定也不一样，你摸到第三个箱子这个东西的概率肯定也不一样。所以说这个时候你发现你会影响我，那么怎么办呢？就把b的概率的求解放到完备事件组当中，跟我们一起讲学前惯例公式。摸到第一个箱子，再在第一个箱子当中摸到白球的概率，

然后继续摸到第二箱子。再在第二个箱子当中摸到白球的概率继续。再是摸到第三个箱子，再在第三个箱子当中摸到白球的概率。因为你发现一个事情，这件事情你要好好理解，因为现在我也不知道摸到的是哪个箱子，所以说我必须要放到这个完备事件组当中进行求解。因为第一个箱子有可能第二箱子也可能第三个箱子也有可能。对吧，你肯定是先摸箱子再摸球。对吧，这个顺序才是正的，你不能是先摸球再摸箱子，那这就反了。

所以我也不知道是哪个相似，我只能把我求解这个人的事情放到这个完备事件组当中求解。如果是第一个相似，第一个相似情况，如果是第二相似，第二相似情况，如果第三个相似，第三个相似情况，那这人就可以求了。好，我们先来看第一个事情，摸到第一个箱子的概率是多少？三个箱子摸一个三分之一嘛？然后第一个箱子摸到白球概率是多少？五个球，

一个白球。然后再看第二事情，摸到第二相册概率是多少三分之一，那第二相册摸到白球呢？六个球三个白的嘛？然后摸到第三个相册概率是多少？三分之一，那总共多少球八个球，然后这是五个，那概率不就出来了吗？所以说这个时候你发现白球的概率立即结束。同学们，听明白了吗？能不能听明白？好，

这个事情就理解了。所以说大家注意把一个事情放到一个完备事件组上进行去研究，这就是全概率公式。去研究一下第一块儿和它发生，第二块儿和它发生，第三块儿和它发生，然后把那个东西用全乘法公式给我打开。非常简单，然后接下来过程当中，大家好好听，认真再听一下，马上结束，我们再来看最后一个事情，叫贝叶斯公式。这里面当中有个梗哦。

有的人非常冷啊，比如说贝叶斯公式啊，不要背啊，这个东西不要背啊。背叶斯公式，不要背，千万不要背。不要背啊，接着去找叶斯公式，你可真懒。好了，这是这个事情，行吧，这个公式啊，不要背啊，

不要背不要背的意思是。记忆的那个碑不是这个碑啊，你们别给我乱来哦。啊，能听懂我的意思吗？我说的是不要背的那个意思是不要记忆的那个意思。好，我们一起来看看下面的问题。那贝叶斯公式是什么？你就记住一个问题，它反了。把这个字给我写到笔记上。它反了。哎，它反了什么意思呢？

就说这个顺序反了。它反了，就是你发现这个顺序，它是反的，我举个简单例子。所呃在这里面当中，比如说我们以刚才那个摸球那个问题。举个例子。我们说已经摸到白球，问你是第I个箱子的概率同学们。你发现个事情，这件事情你能求吗？它就反了，为什么反了呢？因为你发现个事情，

我应该是摸到这个箱子。在这个箱子里面摸球，这是简单的。但是你发现你是摸到了球，你问我是哪个箱子？这就是贝叶斯公式。所以说贝叶斯公式也叫逆盖公式。逆概公式。就是这个东西的话，你发现反了，但大家注意啊，这个东西不要背千万，背背了就傻了。注意第一步，请写出条件概率公式。

这是我们做题的第一步。然后第二步你发现下面这个人是不是全概率啊？没问题吧，上面这人不是反了吗？你喜欢球的是什么？在哪个箱子去摸球，然后用下乘法公式调一下。AI的概率在AI的这个箱子当中摸到白球概率。两步走，第一步写条件概率公式，第二步利用乘法公式进行切换结束。就这么简单，不要背啊，背了就傻了。千万不要背。

所以说他的操作是很简单的。就是先把什么东西呢？条件概率公式写出来。然后再怎么办？用条件概率公式切换一下，非常的简单。极其的简单，不要背，千万不要背，要理解它这公式的话，最重要问题就是你要理解，你会做题。那么，接下来过程当中，我们比如说我们看这个题。

这个题它说已知取出的球是白球。问你是第二个箱子的概率告诉我反了还是没反？它让我们求解的是，已经知道是白球。问你是第二个箱子反了没反反了。贝叶斯公式。那么，贝叶斯公式怎么做？第一步，先写条件概率公式。第二步，再用乘法公式进行去切换。乘法公式是在第二个箱子当中，第二箱子当中在摸到白球的概率。所以说接下来过程当中，

我们就可以看到来把这里算一下，下面是全概率吧，摸到第一个箱子，第一个箱子摸到白球，摸到第二箱子，第二箱子摸到白球。摸到第三个箱子，第三个箱子摸到白球，把上面这个东西抄下来了。然后再看上面这个人摸到第二个箱子的概率是三分之一。在第二个箱子当中，摸到白球的概率是六分之三。所以说这一算就出来了。因此你发现这就是著名的贝叶斯公式。上面就是著名的全概率公式，

这是第一章过程当中啊，五大公式里面当中最难的两个人。所以往往过程当中，我们会把它放到最后来讲。其实我们学习的这个公式啊，五大公式指的是加法，减法，乘法全概率贝叶斯。指的是这五个人，当然我们在里面当中加了条件概率公式。加了这里面当中的对立事件公式，我们加了两个人。所以变成了七大公式。但是你不用继续去刻意的进行去背它，要理解它好了，

掌握清楚了，没要理解它。好了，那么接下来过程当中，我们再来看个题，看一下一点二一这个题。好，先看这个题。那么这个题啊，我们先来看看这个事，他说一个事情。他说有一个袋子。这个袋子里面当中啊，你发现有50个球。50个球的话，

你发现20个人都是黄球。30个人是白球。现在怎么办呢？说有两人依次随机的从袋中割取了球，不放回呃，这个题等会讲。这题等会儿讲。这题等会儿讲。这题可以秒的。啊，这题可以秒。那么，这个题在讲之前呢？要不然这样吧，我们先做下面这个题可以吗？

可不可以先做下面这题，我把下面这题讲完了之后，我要给你讲一个内容，叫做抽签事件。我再给你讲讲抽签事件，或者抓抓事件，一会我来给你讲那个东西啊，是很多同学，你今天听完了之后，你发现你多年以来的话，这个疑惑你就解决了。好，我们一起来看看这个。那么他说了一个事情，他说有两个工厂。

一个事情是a工厂，一个事情是b工厂。这是a工程，这是b工程。那么，在这个当中，他说，这个人的次品率是1%，这个次品率是2%。视频率什么意思呢？就说你，比如说你，你去摸100个。你摸到次品的概率，这个人就是1%。

你这个人摸到次品的概率就是百分之二，其实就是概率，那这个摸到次品的概率的话，你发现就是一百分之一，你这个摸到次品的概率就是一百分之二。对吧，就这个意思。那么，现在而言的话，你发现他说a和b的产品分别占有了这人占有了60%。这人占有了40%的市场。现在而言的话，他说从一批产品当中抽取一件。那你到底是抽的是a产品还是b产品呢？我不知道。

反正抽取一件，然后发现是次品。该次品是a工厂的概率。很简单。那么，这里面当中的话，你发现一个事儿，它这个内容点是什么？反了没反？反了吗？反了呀，应该是先摸到a工厂，在a工厂摸到次品的概率是很好求的。你这显然就反了呀。所以在这种当中，

我们来看看这个事。我们把摸到。摸到次品。这个事情叫做c事件，可以吧？所以说现在而言的话，他让我们去求求的什么已经知道摸到次品在次品的情况下是a工厂的概率怎么办呢？调过来。就是PC分之PAC。那这个时候你发现一个事情PC AC呢，应该是a的概率在a工厂摸到次品的概率好求。没问题吧？好，我们先来看看这个人，先看PC。

PC怎么求摸到次品？你得放到这个全概率公式当中求吧，先摸到a工厂，摸到a工厂的概率是零点六。在a工厂当中摸到次品是零点零一。再加上摸到b工厂。在b工厂当中，摸到次品的概率是零点零二。然后再来看，摸到a工厂的概率是零点六，在a工厂当中摸到次品的概率零点零一，这一算出来了。很简单吧，下面是全概率嘛，你全概率的话，

你说摸到次品，你要a工厂a工厂摸到次品b工厂b工厂摸到次品。然后分支这个一算就出来了，会了吗？同学们。好，掌握清楚给我回复一啊。呃，这就是我们在这本当中啊，讲解的这个什么这个贝叶斯公式就是你一定要体会出来一个人，影响一个人。两个人之间，它是有顺序的关系，这个顺序不能反反了，就是贝叶斯啊，

这个人好了，那么接下来过程当中，我们在今天的最后一个点当中啊，给同学们去讲一个问题。这个内容叫做抽签事件的问题。也叫抓揪事件的问题。抓究。是抓酒吗？这怎么敲不出来呀？啊，是刷了吧？不好意思。抓究事件问题。好了，那么接下来过程当中，

我们一起来看看这是啊。抓球时间。呃，这个问题啊，很反常识。反常识的一个问题。什么样的意思呢？那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事儿。哎，我们来看看这个问题对吧？抓究事件呃，是一个什么样的一个场景呢？是这样的一个场景对吧？一个场景。

呃，比如说我们经常而言的话，比如说呃，十个人对吧？比如说我们有十个人。十个人呢？有一张嗯，比如说中奖的彩票行不行？好，这里面当中有一张中奖的彩票。有一张啊。有一张中奖的彩票的话，你发现这十个人进行去抓。从一般人的理解角度上而言，他认为什么事情呢？

他认为。呃，如果第一个人没有抓到。对吧，你要抓到了。那我我我的概率就是零。对吧，你要没有抓到，那我概率我的概率会更大，很多人会想到说什么事情呢？说这个哎呀，这个先抓的人概率大呀。很多人都会觉得，哎呀，先抓的人概率大，

因为你发现你先抓的时候的话，你发现这个，你直接去摸。对吧，害怕的话，第一个人把它摸到了之后，我怎么办？很多同学都是这种感觉。这是多年以来的话，很多同学的一个印象，但是你想想一个事情，这件事情从古代到现在。我们一直认为它是一个公平的。比如说我们进行去评判一件事情。或者是处理一件事情，

我们都用这个东西，它肯定是公平的。他要不公平，他不可能流传到现在的，那照你这样而言的话，每个人概率不一样吗？所以接下来过程当中，我们一起来看看，谈谈这个事情到底公平还是不公平？好了，那么接下来过程当中，假设有两个同学。a同学和b同学可以吧？这个人假设这里面当中的话，我们来看看这个人。

这里面当中啊，我们先看。比如说这里面当中有十张。比如说这里面当中有十张。彩票十张彩票。但是你要注意啊，只有一张是中的。九张是无的。哎，只有一张重的，那么在这种当中，假设a事件a这个b这个同学非常礼貌，说a事件哎a同学你先来吧。你先来，那么在这个当中a同学就会有两种情况，

一种情况叫做当啊，这个什么抓到？以一种情况叫抓不到。你有可能是抓到，有可能是抓到，那么接下来过程呢？我们的重点呢？我们的重点是研究b的概率。因为a同学他也不知道他能不能抓到。你a同学你你觉得你能抓到吗？你未必能抓到，你也是抓到或者抓不到，所以接下来过程当中，我们一起来看看b。PB，

那怎么算呢？那么在这种当中的话，你发现这是不是一个完备事件组啊？这就是个完备事件组啊，那么首先第一件事情我们先看，如果a这个人抓到了，然后再乘上a同学抓到他的概率。然后接下来过程当中，我们再继续看你发现，如果这个b同学呢？你继续看，如果这个a同学他没有抓到，然后这个b同学呢，他抓到了概率。能理解我的意思吗？

所以接下来过程当中，我们先来看第一个事情。如果这个a同学抓到它的概率是多少？它的概率应该是十分之一。那么，接下来过程当中，我们再来看呃，如果我们换一下吧，这一张彩票的话，做起来这挺恶心的，我们换一下吧，假设两张行不行？好不好？两张嘛？呃，

行不行？一张的话，我觉得这个概率算起来这个数据啊，说服不了你啊，说服不了你。那么，接下来过程当中，我问你个事情。请问第一名同学。它抽中的概率是多少？它抽中的概率是十分之二，这没问题吧？第一个同学，那么接下来过程当中，我们再来看。

那第二个同学抽中的概率是多少？再来看看第二名同学抽中的概率，这是我们要重点要谈论的事情。那么，在这里当中，我们来看看第一个事情，如果第一个同学抽中他，抽中的概率是多少？他抽中的概率是十分之二。没问题吧，那么接下来过程当中，我们再来看那第二个同学呢？那第二个同学的话，你看如果第一个同学抽中了第二个同学还抽中呢，还抽中的话就变成了九分之一了。

然后再到接下来过程当中，我们再继续看。那如果第一个同学他没有抽中，他没有抽中的概率的话，就是十分之八抽没有抽中他嘛，然后接下过程当中再来看。如果这东西没有抽中，没有抽中，我抽中的概率呢，就是九分之几，那这人的话，你看很明显是九分之二。来算一下这个人，那这人的话，你发现你可以提出多少，

你可以提出一个十分之二。提出一个十分之二的话，这人就变成了九分之一，再加上九分之八，哎，你发现没这个概率还是十？十分之二，你看到没？所以我我们就说一个事情，你比如说就是十张彩票，有两张是中的。八张是没有中的。第一个同学进行去摸的话，它的概率是十分之二。第二同学再去摸呢，

第二同学摸的概率也是十分之二，你要注意一个事情。那b同学去摸的时候a同学还没有摸呢。a同学还没有摸呢。这是你要注意的，所以说大家一定要听清楚，就是b同学要去摸之前啊，摸之前的话，你发现a同学还没有摸。a同学没有摸那a同学去摸a概率多少十分之二？那b同学呢？b同学在a同学没有摸之前的话，你发现它的概率也是十分之二。你同理c同学去摸呢，也是十分之二，

所以说将来你就知道了。其实你发现每个人去摸的概率是一样，谁先谁后无所谓，所以将来过程当中遇到这些事儿礼貌一点，其实你发现你心里啊，不要感觉不对称。心理是对称的。所以将来过程当中，你会发现你就会在遇到这些事情的时候啊，你就会能想得通。好了，那么接下来过程当中，我们就来看看下面一个问题，我们再来看看一点二一这个题。那一点二一这个题呢？

你发现一个问题就非常的简单了。我们说袋当中有50个乒乓球。50个乒乓球。然后有20个是黄的。然后有30个是白的。有两个人依次的从中怎么办？取一个球不放回，同学们想想。是不抽签事件问题。你抓一张走了，你在那抓一张，那请告诉我第二人取得黄球的概率是多少？还是五分之二？第一个人继续去抓球的概率是多少？五分之二。

第二个人去抓多少？五分之二。第三个同学多少？五分之二。你要想算也非常简单，来我们来算一下吧，第二同学摸到的概率就是。第一个同学摸中。在摸中的条件下，我的概率。再加上第一个同学没有默重，在没有默重的条件下，我的概率。那你摸中的概率呢？你摸中的概率是五十分之二十。

在你摸中的条件下，我摸中的概率呢？那就是49你已经摸中了，那就变成了19了。然后再加上你没有摸中呢，五十分之三十。在你没有摸中的条件下，我摸中呢，那就变成20。所以说这个时候你发现你把这五十分之二十提出来，那就是四十九分之十九，然后再加上多少？这是提出来诶，这是四十九，然后这是四十九分之三十啊，

我看看差了，所以说在这里面当中还是五十分之二十五分之二。所以在这里面当中啊，你发现一个事情，那对于这个题的而言的话，哎，第一个人摸和第二个人摸概率是一样的，其实你发现我们怎么做的，我们直接秒的。对吧，我们直接秒。你看这有个同学问问题。你问的问题真的是很没有水平啊，这个。也不好意思说你那他说如果放回呢？

放回还摸个鬼呀，那第一个人是多少？第二个人不是多少吗？那你放回来第一个人摸跟第二个人摸有什么区别吗？你放回的话，你第一个人是五分之二，第二个人还不是五分之二，这有啥区别？你这个问问题啊，我觉得不应该问啊。你要放回的话，你你总体是这么多，你概率多少啊？我们其实每次纠结的是问题是我们不放回他，万一摸完了之后拿走了。

拿走了之后的话，我的概率是不会变小了。因为你们心里一直在想一个事情，万一第一个人摸中的概率，第一人摸中概率是五十分之二十，那第二人的摸中概率的话就是四十九，九分之十九。你不要这样想。你知道你们一直这样想的概率，问这个问题点在哪吗？有人说，那第一个人摸中的概率是五分之二十。那第二人的话，默认概率就是四十分之十九，那第三人是四十八分之十八。

大家告诉我一个事情，这个认知的错误点在哪？把这个事情讲清楚。错误点在哪？错误点在于你只一直在想它，万一摸中了呢？它还有可能没有某种呢。注意啊，它还有可能没有某种啊，这就是人性。你想想是不是啊？好，这个事情啊，我们就讲到这儿，所以你发现一个事情这个东西啊，

你得会进行去理解它。好了，这个事儿我们就讲到这儿，跟得上我的意思吗？我相信你应该是理解清楚了。啊，你应该是理解清楚了，就是他这个人的话，就是你摸完了之后拿走了啊，第一个人摸和第二个人摸的话，你发现概率其实一样的。行吧，那么这个第一章部分内容我们就全部讲完了，哎，第一章全部讲完了，

这就是我们在第一章过程当中啊，重点讲的这个概率的问题。我相信难度系数啊，不是说特别大啊，七分点好，我们稍微休息会儿吧，一会儿下半节课我们来讲这个作业。唉，讲这个作业那么前面过程当中啊，你有问题的部分的题目啊，我们都可以稍微的进行去说一下这个事情好，稍微休息会儿吧，一会儿我们继续。摸球问题跟抽签问题，这不是一件事儿啊。

你你问出这个问题，就说明你混了，你再你再想想啊。抽签它也有可能是变成摸球的问题啊，你要注意一下这个事儿。你别别别混了，这这两个东西八竿子打不着的两件事儿好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊。

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