01.随机变量及其概率（A）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:48:54

接下来我们继续吧，我们再来看看这个第七个人写的怎么样？呃，不难吧，对吧，这个基本点，你看这个人呢，他说不多于一个发生什么叫不多于一个发生呢，其实就是这个人。对吧，就是零和一，要不然怎么办都不发生，要不然呢，只有一个发生，所以在这种当中的话，

你发现你就去写。哎，第七个人，你可以怎么写啊？就说在这里面当中的话，要不是零个发生，要不是一个发生，你可以把它列下，如果是零个发生的话，就是你不发生。且我不发生，且我不发生，只有一个呢，可以是a发生BC不发生，可以是b发生AC不发生。

也可以使谁呢c发生AB不发生，你听懂我的意思吗？哎，把它并一下就行。好了，这是这种情况，那在这里面当中的话，你发现你把这个事想清楚就行。那另外一点你也可以用对立事件求。对吧，对立事件情形求的话，你发现一个事儿，你就把这个情况这个情况我们刚刚做过吧，其实就是第五个题嘛。对吧，

至少有两个，你用全局空间减这俩人就行。能理解吧，就是第五个题。这是第五道题的用全，不要用一减哦，一减都是有问题的，你可以用全齐空间去减。把什么减呢？把这个第五个题的减了，把这个什么至少有两个发生的，把它给我减了。好，就这个情况。用全局空间讲减，

不是用一减啊，那是概率的问题，所以大家注意一个事情，你也可以这样写，能听懂吗？好听明白了给我回复一吧。呃，大家把这块内容啊，你学的轻松一点，还是要去理解，对吧？他说的是什么意思？就是且的关系，那就是教。宾的关系就是或啊，

这个基本问题，然后接下来过程当中啊，我们来看看下面一个问题啊，接下来这些题啊，考试过程当中可能会显得比较重要一点了。我们先来看看下面这个事情，他说对于任意两个事件a并b=b不等价的是，那么同学们告诉我。如果a进行去并b还能是b，那这件什什么意思啊？那说明谁大一点b大一点？对吧，我两者一并的话，你发现还能是并，那只能是什么情况？

哎，只能是的话，你发现b更大一点，所以在这种当中，首先第一件事我立即会把什么把a进去选了。当然的话，接下来过程当中有两种手法。第一个方向性能。方法一。方法一怎么办呢？你就直接进行去干嘛去？理论推导理论怎么推导呢？我们先来看看第一个事儿。这个事情什么意思呢？它的意思就是a发生用逻辑感进行去推啊，

就是用你的逻辑则b怎么办？一定发生。是吧，然后接下来过程当中，我们再来看看逆否命题，逆否命题怎么说呢？逆否命题是b不发生。则什么情况？则a不发生。然后在这种当中的话，你看你不发声，会导致我不发声属于，所以说这里也是对的。好，这是这个问题，

那么接下来过程当中，我们再来看你，再来看看c和d，你把这个什么不等价的选出来就行。再来看c和DC和d的话，我们稍微转一下，你看AB拔假设这是AB拔。这是空集。这两个东西的交集是空集，什么意思啊？那说明呢，我们两者之间不能同时发生，不能同时发生的意思就是什么？如果是a发生。则必拔不发声。

对吧诶，你必拔不发生的意思的话就是你发生了，导致我这个人不发生，我这个人不发生，那其实就是必发生嘛。你是能听得懂吗？拔不发生，拔了再拔不就是b吗？所以说a是属于b诶，这人也可以，所以说答案选d。你能跟得上我的意思吗？你发生会导致那个人发生，因为我们刚才讲了，如果两者交集是空集，

一个人发生会导致另外一个人怎么办？不发生。那不发生的，不发生不就是发生吗？你这个能理解吧啊，好，这是这个基本点，我不知道你们逻辑里面当中叫什么？叫做这个什么反的，反的是正的还是怎么叫的？好了，这是这样的一个问题啊，不多说了，当然同学们注意，你还可以怎么办？

画一个尾沿图。啊韦恩图的形式来做。那这件事情也比较容易，我们先来看看第一个问题，我们刚才过程当中啊，得到了一个情况，叫什么东西呢？就是这样的一个情况。来圈一下。谁要小一点呢？a要小一点，所以说这个a这个人呢？在这个b的这个人的里面，那这个人是a。对吧，

这里是a，然后外面这个人呢？这是b。那么，在这种当中，里面这个人是a外面这个人是b，那么接下来过程当中，我们来看看啊，你看。b的外面是不是只有这么多？这叫b的外面，但是a的外面更广泛一点。对吧，你里面小一点，核小一点，

外面的东西就更广泛一点，所以说这个时候b拔这个东西啊，是属于a拔b也没问题。能理解吗？然后接下来过程当中，我们再来看看下一个事情，这个毕拔这个人呢？我把毕拔吐出来。哎b拔b拔，这个人在哪儿b拔，这个人在这儿。这是碧娃这个人。对吧，这是b8这个人那么请同学们告诉我b8这个人跟a什么关系啊，跟a这个人的交集是不是空集啊，

所以说c。c也对，但是你发现a8呢a8的外面，比如说这块属不属于a8的外面属于的？a8的外面跟b交集是空集吗？不是的，所以你不对。能理解吗？所以同学们注意，你还可以通过画贝因图，你把这个图一画这东西出来了。这是个基本点，能理解吗？好一点二这个题来再来看看下面的问题呃，这不叫对立啊，

不是对立别别别乱来啊。好，我们再来看看一点三这个题。一点三这个题啊，我们来看看它说AB是任意事件，则下列选项当中错误的是先看a。说两个人的交集是空集。说明这两个护士嘛。对吧，说明这两个东西不相容嘛。则什么东西呢？a拔和b拔可能也不相容，可不可能？我们两个之间没有交集。我们拔了之后也没有交集。

可不可能可能啊，你比如说举个例子，如果AB对立的时候就行。我给你举个例子，你看你如果这是。全集空间一分为二，一分为二，这是AB那这个东西也叫什么东西呢？这东西也叫b的对立事件。这些东西叫a的对立事件，哎，可能啊，没有任何的问题。然后接下来过程当中，我们再看b，

如果这两者之间怎么办？没这个什么交集，不是空集，则这两个东西啊，也可能相容。同学们告诉我什么叫相容啊？相容的意思就是这两者之间呢，也有交集。你能理解我的意思吗？就说这两者之间也有交集好，那么接下来过程当中，我们再来画这个事情是非常显然的。因为你发现你在这种当中，我们来看看这个事儿。有交集不相容，

是没有交集相容，是有交集，你看这俩人这是a。这是b那么同学们想想一个问题，你看我不说别的，我就说这个范围。这个范围算a靶吧，它也算b靶，所以说你看发现有交集啊，没有问题的。然后接下来过程当中，我们再看c，如果这两个东西的交集是空集。啊，这是b选项，

再来看c选项c选项的过程当中，我们就继续看。说什么呢？如果这两个东西的交集是空集，说明这两个东西怎么办？说明这两个东西是互斥的。说明这两个东西是互斥的哎，然后接下来过程当中说a拔和b也可能相同。就说你这是a，你这是b，那a拔在哪呢？a拔的世界在这。这是a8的事件，你告诉我事情，这个a8跟b相不相重啊？

是不是可能相重的好，我们再来看看d选项。如果这两者之间呢，交集不是空集a拔和b1定不相容吗？那不一定是一定相容的。你发现一个事儿，我们就来看看这个人，你这个a的这个人的外面。你看你这个a的这个人的外面跟b是什么？有交集的是相容的，不是不相容的答案选d呃，这块内容学的应该比较简单。大家轻松一点啊。说实话，这个第一节啊，

你在考研过程当中基本不会太直接出题。这个直接出题的几率不是特别高，我们其实过程当中讲了三个事情，第一时间啊，就跟同学们去讲了些概念。然后第二事情就跟同学们去讲了一下事件的四个关系。三个运算，五个运算律，你下去过程当中复习一下就行好，那么接下来过程当中我们来看看我们考研过程当中啊。非常重点的内容，认真听，我们来看看考点四。呃，接下来问题啊，

就是我们考研过程当中啊，非常重要的内容了啊，这块内容考研过程当中可以直接出题。呃，其实你发现讲义的过程当中是直接出现了五大公式，我在前面的过程当中啊，增加了一个部分的内容。哎，增加了一个东西，叫做随机事件的概率及其性质，我加了一个部分内容，你可以不用记啊，对吧？呃，里面当中啊，

像这种长字的时候，你就不要记了。一会过程当中啊，下去过程当中好好整理一下就行，那么接下来过程当中我们先来看看第一点概率的定义。什么叫概率呢？这东西如果直接进行去看这个。看这样的一个定义啊，我觉得也没啥意思，说什么非复性，什么规范性，对吧？什么可可列可加性好，这个事情等会我们再谈。我不喜欢从这说。

从这里面当中进行去讲，概率的定义会把你进行去讲讲，麻烦了，讲晕了。其实你发现。什么叫概率呢？比如说我举个例子啊。我去值硬币。a事件叫直应b。直出硬币的正面。大家都知道，从你初中的时候，你就知道概率用p表示这人的概率是多少？植一个硬币，植出正面，

这个人的概率是多少你都知道，是二分之一吧，有人说不是二分之一，有时候直的时候的话，你发现还立起来。你不要不要经常的话，把那个港台剧当中的话，这种什么就是什么，赌这什么，这个赌神呢啊，像这种你不要把这个东西放上来了。啊，那么在这种当中就是两面，要不是正面，要不是反面，

但是我问你个事情。你的概率是二分之一。对吧，你的概率是二分之一，我的问题来了。那比如说我现在要植一次硬币。我值两次硬币，我值十次硬币，一定有五次正面吗？啊，一定有吗？就说你的概率是二分之一，那我值十次一定是五次正面吗？那可不一定。那同学们注意，

我值100次，一定是五次，50次正面吗？那也不一定。你值1000次，一定是一半吗？一万次，一定是一半吗？那不一定。不一定不是理论上，理论上也不是你，那不是理论啊，那是你的理论。所以同学们注意啊，这也不一定。

什么东西叫做这个概率呢？概率是这个意思。这个东西啊，源于一个东西叫频率。哎，原因一个东西叫频率，频率这个东西你学过对吧？就说你这个东西的次数比上总的次数。用你的次数比上总的次数。比如说你发现我值十次。然后有三次是正面，它的频率是十分之三。如果再大一点，你发现一个事情有可能是40。对吧，

我们再大一点。比如说你发现一个事情，有可能是450。对吧，但是你发现一个事情，当什么情况？当这个频率的次数趋向于无穷大的时候。它最后这个数会接近于二分之一，你能理解我的意思吗？就是如果说短期内你就算你只十亿次，也未必是一半，也未必是接近一半。对吧，只有你什么你值得这个次数无限大无限大无限大，最后正面的这个次数非常的接近于二分之一。

所以说这个概率有什么作用呢？当一件事情。我无法判断的时候，我可以进行去看看这个东西出现的概率的大小，它的可能性会更高一点。只能是可能性更高一点。他不能说一定是。对吧，不能是一定是。你就比如说你中彩票的概率很小，那不一定说我一定中不了。等会我也也也有可能会中啊。比如说你干一件事情的话，你的概率非常大。对吧，

你说做一个事情，你概率非常大，都达到99%了，你说你一定成功吗？你也未必，你也有可能是失败了。是吧，所以说同学们注意你要了解什么叫概率，那么在这里面当中，第一，我等会再说，你先不用着急，我先重点来讲讲概率的性质。因为概率的性质啊，是我们考研过程当中比较重要的问题，

我们先来看看第一个事情叫做概率的有界性。什么叫概率的有界性呢？一个事件的概率叫做这个人啊，叫做a事件，比如说我们直硬币的正面。这个事件的概率，这个概率啊，是大于等于零，小于等于一的。能理解吧，大于等于零。小于等于一的，所以叫有界性，你不可能超过一，你也不可能小于零。

你说一个人的概率是三，你不是胡扯吗？你说概率是负一，那也胡扯概率啊，大于等于零，小于一。所以接下来过程当中，我们要进行去重点讲一个问题了，大家听好了。如果这个a呀。是一个不可能发生事件。那请同学们告诉我。它发生的概率是多少？是几啊，你是一个不可能发生事件，

你的概率是几啊，那当然是零啊。你发生的概率是零，但是同学们注意一个问题，我想问你个事儿，如果它的概率是零，它一定不可能发生吗？啊，你的概率是零，你一定不可能发生吗？大家注意啊，这就大错特错了。哎，这就错完了。所以接下来过程当中，

这是一个重点，我们在这门当中啊，一定要注意。一个误区。啊，一个误区。我们讲讲这个问题。讲讲这个误区。大家注意一个事情，你要区分开。概率为零。事件事件。还有一个东西是不可能发生事件。这俩东西不一样。概率为零的事件和不可能发生事件，

这是不一样的，为什么呢？我给你举个例子。呃，其实同学们都知道你在呃高中，或者你用你朴素的认知，你都知道，比如说我举个例子，假设这一段的长度是三。三到五呃或三到七，这个长度是多少？这个长度是三到七的，长度是四。好，这个事情，

然后接下来过程当中，我往上面植植这个投石子投石子，我问你个事情。投到什么东西呢？投到这里面当中的这个四。到五这一段的概率是多少？对吧，你往上投石子，我想问你投到这一段的概率是多少？我们都知道是长度之比吧，是五减四，这个长度比上这个七减三。对吧，就是长度之比那四分之一就是长度之比，如果你发现我说你投的四到六呢，

四到六的话，你发现一个事情那。那就是六减四的长度和七减三的长度，这个很简单吧？那我问你个事情来了，问题来了。那么，在这种当中，我们来拉一个底啊，拉条竖轴线，我们来看看。我还是在这上面投石子，我在a到b上进行投石子。对吧，投石子我就在这一段上投石子，

我来问你一个问题，投在这一个点处的概率是多少？你注意了啊，我们投到这个点。就是投到这个a点，它的概率是多少？是几啊？那这一个点的长度是没有啊，你发现投到这个点的概率是零，但是我问你，你真的投不到那个点吗？啊你你往上面投，你真的投不到那个点吗？那未必。你往上投有没有可能是有可能的？

是吧，有可能投到那个点。你肯定有一次过程当中，你你使劲投。你扔一把石子过去，你看看你有没有可能，你绝对有可能碰到那个点，所以大家注意啊，这个概率等于零，你可推不出来，它不可能发生。同理而言，同学们告诉我，如果一个东西是必然发生事件。那他这个东西的概率等于几啊，

他这个人的概率肯定等于一啊。对吧，你必然发生你的概率肯定是一，但是你概率是一，一定是必然发生吗？这件事情也不一定。哦，也不一定，我给你举个例子啊，大家来听。比如说我来问你个事情，我往这上面投石子。除了这一个点的概率是多少？你要听得懂我的意思啊，我往这个区间上投石子。

除了这一个点之外的情况叫a事件。请问概率是几？一个点又没有长度，是这个长度比上总长度，那就是一呀。但是同学们，你忘是投石子儿，有没有可能有一天过程当中刚好投到这个点？你当然有可能，你有可能就投到那个点，你就没有投到这个区间啊。所以你发现它真的一定发生吗？它也有可能没有发生。所以大家注意，要区分开概率为零，

不可能发生你不可能发生一定概率等于零，但是概率等于零可推不出来。一定发生啊，那那什么一一定不发生，不可能发生，同理而言，你必然发生概率是一，你概率是一，你可不能说它一定发生。啊，这条内容是很多同学心中的一个误区啊，若概率都等于零呢，那不就一定不发生吗？那未必。所以要区分开这个世界。

好，这是个基本点，那么接下来过程当中，我们再来看看第二事情，求逆公式。求逆公式什么意思呢？就说如果这是它的一个对立时间，对立时间a拔的概率就等于一减PA的概率。啊一减a的概率。所以说大家注意这两东西加和它的概率是一，然后再来讲讲概率单调性考研重点。那么，在这里当中，有些没有讲的东西，你可不能乱用啊，

我们是这样说的，如果这个a是属于b的。那么则在这里面当中，我们就一定可以看出来一个事情，则a这个人的概率一定会小于等于多少。b的概率你要注意啊，你比我小，你发生的概率就比我小。你属于我，你发生的概率是小于等于，但是这件事情推不回去啊。没法推回去。这是你要注意的。你的概率比他小，你一定说你属于他吗？

那也未必你比如说我举个简单例子。比如说呃，我们去投什么东西啊？掷色子吧。直到六点的概率是多少？直到六点的这个人的概率是六分之一。直到一二点的概率是多少？直到一二点的概率是六分之二。那么，现在这个b的概率是比它大。但是你能告诉我一个事情a属于这个b吗？没有啊，你就不要胡来了，你听得懂我的意思吗？不能回去啊。

说你属于我，你的概率比我小。哎，你属于我，你的概率是比我小的，那么所以说在这条内容当中啊，非常的有用处，我们接下来过程当中，我们就要注重点看了。你还记得刚才过程当中我讲过一件事情吗？你还记得吗？我们说月交。是不是越小啊？啊，讲过没？

我们讲过月交是不是月交啊？你教的越多，它越小，所以同学们注意，我马上就可以列出式子pab。小于等于PA。我马上就可以列出式子pab小于等于多少PB？是不是这个事情，所以同学们注意啊，你想看一道数三的真题吗？你们想不想看一下？我给你来一道题啊，你发现一个事情，你会就可以秒，你不会你就在那愣着了哦，

来一道题吧，因为我们的这个真题的话实在是。东西的话不是特别多啊。概率。我来给你看一道题，你把它给我秒了，信不信？要粘过来吗？好，我给你撵过来吧，来秒了他。结束了没来？你看看这题别的选项不看啊，别的选项你还不会呢，你就给我看CD就行。

只看CD就行。只看CD，不要看AB AB，你不会的。只看CD。出来了没？这不是我刚才讲的吗？你发现一个事情，你越交越小，你AB的概率肯定是比这个a的概率小。你越交越小的话，你AB的概率肯定是比b的概率小。那所以说在这种当中的话，你发现一个事情，你这个pab这个人的话不就小于等于二分之多少PA+PB吗？

是不这个问题哎，这就叫越叫越小，所以说这个。破题的难度系数，说实话，你发现难度系数不高。就是注重点的话，你有没有理解这个事情啊？你越教越小，你把这两个东西加起来，这东西很重要，我再说遍，没有讲的东西你不要用。但讲的东西啊，你就使劲用概率单调性，

或者叫概率不等式。这是概率的不等式，不是概率的恒等式呃，不是概率的什么等式是不等式啊，不能叫恒等式。这是不等式，不是等式。好了，这是这样的一个问题吧，过去了可以吗？那么接下来过程当中，我们来看看概率的五大公式，你学轻松一点，这块贼好学。相当好学，

极其的简单，你就学一些公式就行了，那么首先我们先来看看第一件事情，我们先学啊，这个东西的加法公式啊。呃，这个讲义上的一些东西的话，你你看我的写吧，好吧，那么接下来过程当中，我们先来看看第一个人。叫做加法公式。好，那么接下来过程当中，我们先来看看第一个人加法公式。

好，这个人呢？比较简单一点，那么在这种当中，我们先来看看加法公式，它什么样子？首先我们先看看两个人。PA+b就是a并b，这公式怎么写？你的概率加上呃，这个我的部分那就是a的概率。再加上b的概率。但是你会发现一个事情，中间这个部分被算了几次啊，这部分是不是算了两次啊，

减掉一次减去？pab.跟得上吗？啊，就是a的概率加b的概率减去AB的概率。能听懂我的意思吗？那如果是三个人呢？三个人更简单了。那这个东西的话，你发现就是一个是加。一个是加，两个是减。两个是减。PBC，然后三个人又是甲了。

好，这个人就是在这种当中的话，我们的操作就是一个是加，两个是减。三个又是假。大家能听懂吗？那如果是四个呢？基本不会考，你能学到这三个人足矣了啊，考研足矣了，就学这两个人。那三个人也非常简单，你看这个人这个人这个人那就是a的这个部分b的这个部分，你发现个事情，你把这个部分。

和这个部分。都多加了一次吧。都多加了一次，你再减掉，但是你发现一个事情，你这个部分又被多减了呀，多减了一次，你又把这个东西给加回来。啊，就这个事情，就是你就记住一个加两个减三个加好，这是加法公式。然后接下来过程当中，我们再来看看减法公式好，再来看第二个人。

二，减法公式。那么，减法公式在这里面当中，我们来重点来看看。你比如说在这种当中，这是a，这是b。那么请告诉我a-b什么意思啊？a-b是这个部分吧？其实你发现就是a的概率。再把AB。相交的部分剪掉就可以了a的部分，再把AB相交的部分剪掉就行，其实我们有的时候你发现。

AB拔啊，这个什么a-b也可以写成AB拔AB拔也等于pa-pab。好，这个人跟得上吗？好难度系数不大，这个基本点，那么接下来过程当中啊，我们来做几个题吧。来操作几个？先来看看一点四这个题，你发现我们考题啊，很多的话就是这种来一起来哦，先看第一个人。他说PA的概率是零点五。两人相加的概率零点八，

我立即会想到加法公式，所以说我在考试过程当中，我啥都不想。我先把加法公式列到这儿。这是我的态度，也是我的做题素养，看到什么公式用什么公式，你要注意这块的做题就是这样。见到什么公式先写公式，写公式了再列。然后接下来你看这是零点四，这加起来是多少零点八？让我求PB。但这里面当中不知道pab啊诶，又来了一句话说ab互不相容，

什么意思啊？赶紧来。互不相容的意思就是交集，为什么集空集哦？交集是空集，我就可以立即推出概率等于零啊。这件事情没有问题，所以这个部分是零。因此，在这种当中，马上这个事就出来了哦，这是零点五。所以说在这里面当中啊，马上这个东西出来了，因此你发现这个结果是多少零点三结束了？

好做吧，跟个小学题一样。就是用一下概率公式，一下出来了好再来看看一点五这个题。好，继续看这个人。那么这个题的话，你继续看，你发现我一看到减法哦，我看到减法，我立即会想什么，我立即会想到减法公式。赶紧把减法公式列出来就是PA，然后再减去多少pab，完全在考公式，

那这时候你发现看这人是多少，这人是零点一。诶，这是多少？这是零点八，所以说在这种当中，我立即得到这个人等于多少零点七？诶，那我们要求的这个东西是什么呢？我们求的是AB这个整体的拔，我们都知道，我跟我们的拔之间的关系的话，你发现相加等于一，那这人等于多少？零点三是不是出来了？

所以说这个题啊，也非常简单，对吧？用了一下对偶律啊，用用一下那个对立事件公式不是对偶律啊，对立事件公式，一个是减法公式。来继续吧，再来看。再来看一点六这个题。呃，这个题我说一下。你注意一下，我不知道那个书籍当中印的怎么样？你稍微等我一下。

我看看。哎呀，这次的概率的这个部分的这个排版呢，实在是让人头疼啊，它怎么排成这个样子了啊？他这个牌的这个东西真的是。不行，我下课得找他了，对吧啊？他排的这个。这字体怎么这么小呢？这公式啊。我强迫症犯了啊。啊，你去看看前面的概率论，

这个线性代数部分也还行。行吧，我们把这个知识啊呃，学到啊，学到。呃，这个强化强化部分的话，我们今年过程当中是这个正式的出版物呃，就跟这个今年的考点。就是跟这个考点全刷一样，是在这个高等教育出版社出版的，这个正式的图书了，所以说到时候的话，这个强化过程当中的一本讲义啊，还比较这本讲义也很重要。

你一定要留好啊，对吧？你多进行去呃，把它进行去看一看好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看下一个问题来。来操作一下。那么，在这种当中，他给的是pab。PB，然后这是你要注意，这中间有个空听懂吧诶，有个空。是a把b把啊a把b把。

那这个东西的话，你发现一个事情是a拔b拔的话，这个东西怎么操作呢？那么，这里面当中，我们首先看第一个事儿。这个东西的话，你可以稍微进行去转一下。你看到这个a把其实是交上了，这个b把没问题吧，马上用一下对偶律，你把这东西给我写回来。怎么样？还可以吧，所以说这里面当中的话，

你看这是pab，马上把这东西给我写回来，写回来这是多少？a+b这个人。所以说在这种当中的话，这个部分就是pab那拔这个人的话，我又想到拔的公式就是一减去PA加b。所以在这种当中的话，你发现这是AB，然后这是一减，我们马上用一下这个什么这个加法啊，这个加法公式。PA+PB减去多少pab？是不是这个问题，所以说在这种当中就减掉它，

减掉它，然后接下来过程当中再加掉它。好这个人，所以说这个时候你看这两个东西就约掉了，所以我们就得到了这里面当中的这个p。加上这个部分的pp，它等于一。那么，在这种当中的话，这个a这个部分等于p那这个部分呢？就等于一减p好这个部分。所以这是我们在这种当中啊，介绍的这个一点六这个题啊，难度系数不大对吧？但是同学们，

你发现我们做了三个题，我们考研都很像这种题啊。有这种感觉了吗？包括去年那个真题也都是这种感觉，大家有没有发现我们这个版块内容都在干嘛呢？就在用公式就是见到什么公式先写什么公式转转转就出来了。慢慢来啊，用一下前面过程当中的公式，把那个公式好好用一下。我们在考验过程当中，核心重点就是把这个公式啊，用透就行。来再来一个，看一下这个一点七这个人很好做吧，非常简单啊，

再看这个人。一点七这个人的话，我们就继续，我们再来看他是。b属于a。c也属于a啊，我看到属于我知道交取小b取大能想到吗？两人相交取小的，两人相并取大的，好再来看这是多少p等于它哎，我又看到了这个人。那么，同学们做了刚才那个人，你现在有感觉了吗？这个人呢？

马上用一下对偶律，把这东西转成什么b教他教他就写成这样。所以在这种当中的话，我们来看看这个第一个问题。那因此你发现看这个第一个人的话，其实就是BC的这个人的拔它就等于多少一减去PBC？然后这个结果等于多少等于零点八，因此这个结果呢，它等于零点二五。好这个人，然后接下来过程当中，他让我们去求的是什么？他让我们去求的是减法a减去多少BC来，我们一起来写减法，那就是a的概率。

再减去a和这个BC相。嗯。我卡住了。诶，一样。哎呀，好。好了，这是这个。好了没？可以了吗？好听到这了吧？昨天是摄像头给爆了。我是发现了，真的是。

啊，今天这个麦在爆了，我我又疯了。这才换的摄像头啊，我有点害怕了啊。这今天才换的啊，来我们继续吧，我们再来看。那这个部分内容啊，它就是这样，你会发现看这一减，然后接下来过程当中，我们知道这个p等于多少？p=0点九。但是关注点的一个问题啊，

就是PA BC。这不好办呐，我这一题只能得到多少？只能得到PBC啊？等于零点二那ABC等于多少呢？对吧，我这个我这个BC我知道我ABC等于多少哎，我们看到前面是不是还有个情况，前面有个这样的一个情况。这个情况告诉我们什么呢？这个情况告诉我们郊区小。就说你这两个东西相交的时候取消的。所以在这种当中的话，你看这是a。我们都知道b是属于AB是属于a ab相交的时候呢，

交的时候是取的小的小的是谁？笑的是b。所以在这种当中啊，这个东西就是BC哦，那我明白了，这东西零点九这东西零点二这东西零点七。好跟得上吗？非常简单啊，这个东西，所以说大家注意要转一转，你看今天学的这个东西是个整体。随机事件之间的关系啊。随机之间的运算呢？随机事件之间的运算力啊，那这个部分的话最重要问题今天就是学了一串公式。

学了很多重点的一些公式的内容，你把这些东西啊，要来来回回的用好这个题啊，我们就讲到这来继续吧，再来看看这个题。继续啊，他告诉我们一个事情，他说a的概率。啊a的概率。然后b的概率。a的概率b的概率和的概率，那么同学们告诉我，我不知道你培养出来感觉了吗？我只要见到这个和的概率，我脑子转都不用转，

我马上把这个和的概率公式先写出来。a的概率b的概率，然后再减去AB的概率。是吧，所以在这种当中的话，你发现和的概率是零点六。a的概率是零点四b的概率是零点三，我立即秒懂了哦，这个部分的概率是零点一。然后接下来过程当中，这是b拔他让我们去求求什么东西呢？哎，马上去求ab拔同学们，什么意思啊？a发生且b不发生，

那不就是a-b吗？a-b的意思不就是a的概率再减去多少AB的概率吗？然后a的概率是多少？a的概率是零点四AB的概率是多少？零点一，所以说本题的结果呢？就是零点三这个结果。是不是出来了一点八这个题？所以像这个基本内容啊，你发现你要好好想想对吧，这个基本点。然后接下来过程当中，我们再来看一个题，来看看这个题。一点九一点九这个题。

他说a的概率b的概率c的概率四分之一AB的概率是零a cbc的概率是。十六分之一则事件全部发生的概率。那你想想一个事情。全部发生。全部发生什么意思？他让我们求的是什么？你不发声。且我不发生，且我不发生。你你看看刚才学的这个东西就要用到了。你刚才你学那个东西是为了干嘛呢？你刚才学了这么一堆，就是为了这里面当中用那么一下。啊，就为了这里面当中用这么一下，

你不发生，且我不发生，且我不发生，但是同学们，我觉得这不好看，我就立即用一下对偶律。把这东西写成冰。把这东西写成b。那这个bin这个东西啊，你发现其实就是加。所以在这种当中，我们立即可以写，就是一减去多少a+b+c。那么，在这种当中，

我们就可以减一下你减一下的话，你发现一个事情怎么去做呢？那其实就是a的概率。加b的概率。加c的概率。减去AB的概率。减去AC的概率。减去BC的概率。然后再加上多少加上ABC的概率，是不是这东西啊？把公式写下。公式写下来之后的话，你发现看这是四分之一。这是四分之一，这是四分之一AB的是零BC的是十六分之一，

这是十六分之一。对吧哎，你发现看就是这些东西相加啊，再减然后再减那这个题当中最重要的一个问题点是谁呢？那ABC等于多少？就是有一个问题，只有一个数据，就是你这个人，你把这人求出来就行。那么，在这种当中怎么去求呢？诶，我看到一个问题，那这种当中的pab它不是零吗？如果是零的话，

你发现一个事情，那这个人是空集，那这个人是空集的话，你发现我空集在交呢？如果你是空集在交交取小时空集哦，马上推出什么ABC的概率等于几零？是不是啊？对不对？是不是啊？胡乱来啊？但是注意恭喜你，这一年过程当中你考上了。为什么这个答案是对的？我们三九六同学的话，你发现听到这件事情非常的开心，

因为我们都是选择题。啊，都是选择题。这个结果是对的啊。但是注意啊，你这个这个部分的步骤啊，是有问题的。大家想想刚才过程当中，我就讲过吧。请问这一步能推出来吗？啊，能不能退出来？你概率为零，能推出来，它不可能发生吗？

你退不出来啊，这不刚才讲的吗？你概率为零，怎么能推出不可能发生呢？所以大家注意一个事情，这是不对的。哎，这不对的。那这件事情到底是怎么做的呢？非常的简单。我给你讲一个事情。这件事你一听你什么都不清楚了。那么同学们，你是否还记得刚才我讲过越交越小？你发现abcd交的多，

你就属于ABC。你就属于AB，你就属于a。这叫越交越小，所以说可以得到概率不等式，那你的概率就小于等于我的概率。就小于等于我的概率。就小于等于我的概率。没问题吧？那么在这一长串的过程当中啊，其实就是概率的不等式，越交的概率反而是越小的。大家注意，它的地平线是多少？它的地平线是零，

你要注意啊，你只能到零。啊，你看你a在这儿，你AB在这儿，你ABC在这儿。然后的话，你发现一个事情，你abcd在这儿。哦，它是这样，那么这里面当中你想想一个事情，如果在这一一诶，我等于零了。你放心，

后面的人都是零，为什么你这块是零，我概率是大于等于零的？你又小于等于零，你一定可以推出来，那后面这些人呢？马上都是零，你是零，你也是零。为什么你想想一个事情，你看你把这你如果这个部分是零，你往下压，你都到零，它地平线是零，夹住这个部分肯定是零啊。

这也不算什么加v准则，这个很好讲的啊，你能理解吧，你的概率都到零了，你后面这些人比我零小，我又比零大，你只能是零。你想想从我这级把你按到地平线，你都是在地平线上。对吧，你的地平线是零，你从这个部分你把它按到地平线，你后面的这些人都是零。所以说你发现那后面那些人再教的多，他都会是领导。

所以将来过程当中都知道你AB这个人都是零，那后面什么abcabcdabcdefg？它都是零，所以同学们，你能想清楚吗？你将来要会这样学啊，以前过程当中看不懂，将来过程当中要贼清楚。就是从这一级为零了之后，后面教的更多的这些人都会是零，他们都在地平线上，他们都会是零，将来有经验了吗？应该有了啊，然后你去算一下吧。

呃，这是四分之三，然后再减去八分之一，然后这是四分之几？四分之六再减呃，这个八分之六再减去八分之五。然后这个结果八分之三啊。好，这个题啊，我们就讲到这。所以说今天的核心内容，我们就说到这吧，这是概率论的第一次课程，那么今天的课程呢？那难度系数可能不是特别高。

但是东西比较多，对于尤其是很多同学没有基础的同学，可能会觉得这个知识点怎么的那么的多呢？对吧？公式也很多。啊串的东西也很多，但是大家注意啊，我们有好几轮呢。我们有好几轮。这才是我们的第一轮。然后到了这个强化，还有第二轮到了这个后续过程当中冲刺，还有一轮，所以大家注意慢慢来啊，你放心吧，

这些部分东西啊，都不在话下的。其实这节课的核心重点都是一些呃要记忆的一些东西，得装到脑子里面，对吧？这个基本问题。好了，今天的部分东西啊，我们就讲到这，所以说呃，学到了一个新的板块内容了，对吧？大家其实你这一块的思维方式不用去调。为什么对于我们而言的话，我们是先上这个高数，

再上概率论，然后再上现代呢？因为如果进行去上线性代数啊，你从高等数学的那个思维方式，你得转一下。你得调一下。你得调一下你的思维方式。因为线性代数的学习思维方式啊，跟高等数学的学习思维方式是不一样的。但是概率论呢，它又是统一的。那为什么数一数二数三同学呢？高等数学学完了之后得上现代呢？因为数学二同学线性代数学完了之后就结束了，他们不考概率统计，

所以说一般的话都是。从高速然后到现代再去改造。啊，所以说我们这个东西啊，统一起来就行好，我来看看。呃，今天的话。下节课再做吧啊。下节课再做吧。因为这里面当中的话，这个。只有这几个题对吧啊？只有几个题，下节课再做吧，

我把所有的公式讲完了，你再做呗。你该让我去画你画的话，你都知道我这节课肯定画的是加法时间，减法时间的题。那就没有意思了，对吧？啊，行，好了。呃，这是我们今天的部分内容啊，今天没有作业，这个五一了是吧？你们是已经放假了吗？

啊五五一啊，这个已经放假了吗？其实你们会稍微的轻松一点，对吧？呃，可以自己休整两天也行。以最好的状态就是学的时候要疯狂的学，玩的时候也要好好玩啊。好了，这个呃，所以我觉得这个五一你可以稍微的调调整两天，稍微休息一下，但是那个状态不要把它太松散了。啊，那个状态呃，

不然的话你你发现等你你玩玩时间太长了，你玩个这个五六天。你五六天的过程当中，等你回来之后的话，你发现你那个状态收不回来了，你需要好长时间继续去收回这个状态啊。好了，这个事情我们就讲到这吧呃，我的五一全都是课啊，劳动节果然是劳动最光荣啊，每年都是这样。行吧，好，那么今天课程呢？我们就讲到这。

呃，你别说那个。最近那个淄博那个烧烤还是真的很火，对吧？啊，等我最近一段时间啊，这个课稍微少一点啊。可以去看看啊。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿呃，自己下去过程当中好好进行去处理吧，好吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿。

行，那么今天我们不多说了，今天是概率论开篇的，这个第一次课程稍微的轻松一点，把相对的内容好好进行处理一下就行。好，那么今天课程呢？我们就讲到这好，同学们好，下节课见啊。

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