28.多元函数求极值-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:48:13

那我们继续吧，我们再来看看这个七点三二这个题啊，怎么样了？来，我们来看看这个题吧，首先第一件事情啊，我们先来解一下第一件事儿，你先设一下这个函数对吧？你直接做肯定做不了。你要求解什么东西呢？这个人在这个条件，你把他带回去肯定不好做，所以在这本当中啊，设一下这个函数设置是几元函数？你发现这是三元函数，

引入一个lambda变成四元函数，所以说这是syz，然后再加上多少lambda倍的？s分之一加上y分之一，然后加上z分之一，然后再减去a分之一是吧？这个结果。然后这个东西啊，你发现把这个条件写在这后面就行啊，这块东西啊，你简单听一下就行了，然后对s求呢，这是yz，然后这个部分呢是？是s方分之负拉姆达。

或者你这样写，那就是减去lambda分之啊，这是x方分之一，然后再对y进行求y进去的话就是x，然后再减去lambda倍的y方分之一。然后这个人队再对z进行球z球的话，就是sy减去拉姆达倍的z方分之一啊，这些都没问题啊，然后最后一个事情对拉姆达球，那就是s分之一。然后加上y分之一，加上z分之一，然后减去a分之一，好这个结果。那么，

接下来过程当中，我们一起来看看这个事情，你发现。这东西的话，如果都让它们等于零，都让它们等于零，你看这个。都让它们等于零了之后的话，我们来进行去看看这个问题。那么，对于这个人的话，你怎么进行操作呢？怎么去解呢？我稍微给你说一下方向，你听一下就行了啊啊，

这个内容我们肯定不会说两分题的话出这么狠。啊，那倒不至于了。然后这是第一个方程，第二方程，第三个方程，第四个方程，大家先看。对于这几个方程当中，你觉得哪个方程最具有特殊性啊？哪个方程？第四个方程。第四个方程最具有特殊性。对吧，第四个方程最具有特殊性。

所以在这种当中的话，你发现一个事情，这几个方程，第四个方程是具有特殊性的。那么，在这种当中，我们做题的方式是什么呢？大家注意，就这个人。把前几个方程找一下关系，带到第四个方程当中。哎，注意一下啊，怎么找什么关系呢？你要注意进去去消掉这个lambda。

得到什么东西呢？得到xyz的关系。带进去就行。所以在这个当中，你的主体方法非常简单，就是把兰姆达消掉，这个人没有什么用，把这个关系找到，带到第四个方式中。能理解吗？就把拉姆达消掉，带到第四个方程中，这就是你的方向，这个方向非常重要。那么，

同学们告诉我，要找几个关系啊？找两个关系就行。比如说找到y跟s的关系，把它换成SZ跟s的关系，换成s，那这个东西只有s的方程就出来了。能听懂吧，替换掉两个，只剩下一个就能解了，好找两个关系，那这两个关系怎么找呢？我们一起来看看这个题。呃，我把这个求解写一边去。

来一起来看看这个人。那怎么进行解呢？把这东西啊，稍微转一下，你发现这就是yz。等于lambda分之s方。然后的话，这是iz拉姆达倍的y方分之一，然后这是sy拉姆达倍的z方分之一。然后最后一个事情是s分之一，加上y分之一，加上z分之一，减去a分之一等于零。呃，这个题啊，

我给你教好几种方法，我给你教三种方法。第一种方法是通法。后面两种方法是技巧法。大家想想一个事情，怎么进行去消呢？那很显然的一个事情，我就把这两个东西做个比呀。如果做比的话，你发现一个事情一比这个人就出来了y方分之s，你看一个关系出来了。但是大家注意啊，做笔得保证这个分母不为零。这是你要稍微小心的。对吧，

那么接下来过程当中，我们来看看他说sy ZA都是正数。你都是正数的话，你发现看你大于零，你大于零，你这人也大于零。你这个人大于零，这个人大于零，这个人大于零，那lambda是不是也是大于零？你能听懂吧，你看这俩人都大于零，把x方乘过去不就大于零吗？所以说这个东西没有任何问题，都是大于零不为零不为零，

一÷1约就是它好一个关系找到，然后再来一个。你把这什么情况呢？你把这后面这两个东西除一下。后面这两个东西除一下就是z比y，然后是z方比上y方，那这个东西又不为零，你再约掉一个等于它。所以说最后就得到什么y=SZ=y，是不是这个情况你然后把这人带到这里面？带在这里面当中的话，就是s分之多少s分之三，然后等于a分之一s等于多少三个一。哎，出来了，

你看写完了。对吧，这是一个基本问题。所以说像这个方向性，你必须要把握清楚第一步啊，不要干第四个方程，干第四个方程，你就干完了，你做不动了。一定是什么？在前几个方程当中找关系，然后带到第四个方程当中。前几个方程呢？我们来找关系，然后把这个关系带到第四个方程当中。

能理解吧，哎，这就是我们的做题的方向性，把这个事情你好好想想。过去了，可以吗？哎，这是这个。但是这个题有还有没有更巧的方法呢？也有我再给你讲一讲巧的方法，但是注意啊，不要因为技巧性忽略了你的基础。那么现在这里面当中还有个绩效性，你看还能怎么做？你看我乘一个x过去，

这是不x分之xyz啊？我乘一个y过去的话，你发现一个事情是不是还是xyz啊？我乘一个z过去，是不是还是syz啊？那么，同学们告诉我事情，这三个东西是不是相等？这三个东西相等的话，你发现一个事情哎，相等的话，那不就是s分之一等于y分之一等于多少呢？z分之一吗？那不就is=y=z吗？哎，

你这个东西你不用看这一步，你就直接的话，这个分母是不是相等你相等的话，你看代进去出来了。是吧，这个操作性也很强。那这一类目当中的话，同学们注意还有没有更强的方法呢？还有。我给你讲讲更强的方法，眼神漂艳就出来了。怎么眼神漂一眼呢？你来看看这个人。在这几个方程当中啊，你把xy调换了之后，

它其实不动的。你把SZ调换了之后，其实不动的，你把yz调换，其实不动的，这就叫做对称性，所以说s=y=z出来了。是不是啊？所以说大家注意一个事情，像这个题啊，一定要注意这种类型问题的处理。能想清楚吗？好，这个事出来了。所以说最后而言的话，

你就解出了一个人，你就解出多少x=y=z等于多少等于3a。而我们在考研过程当中啊，不会进行去考，如果解出了一个点，那这个点怎么去判断它是不是极极大值还是极小值？不用考。那么，如果解出一个点，那这个点就一定是最小值。那所以说在这个点处就取最小值u等于多少27倍的a的三次方好出来？所以只要你能解出来，就一定有人能取。只要你能解出来就人取，然后的话解出这个人，

那就是他把他带进去就行。好，这个方向性我们就讲到这大致的学习啊啊，这个东西的考研的这个几率啊，不是说特别大，你稍微了解一下，保证一下这个知识点的这个全面性。好不好？那么今天过程当中应该是能保证这个所有的这个基本问题啊，我们都能讲完。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看最后一个事情，好再看最后一个问题。B区域最值问题。

呃，这个内容我们说一下就行啊，聊聊就行。那么，同学们想想一个事情。我们原来过程当中学过一个内容，叫做闭区间最值，还记得吗？一元函数当中。还记得B区间最值吗？第一步，做区间内的极值。第二步，做端点值。第三步，

PK。对吧，第一步做区间内的机制，第二步做端点制，第三步再PK。那么，首先我先说一个问题啊。这件事情是前两种问题的综合考几人函数。无条件极值是考二元函数，有条件极值可以考二元，三元，四元，五元取个交集几元，只会考二元。哎，

只会考二元函数。所以接下来过程当中，我们来聊聊什么叫做B区域呢？必须坚持有边界及其以内，那必须是有边界及其以内一样的啊。你听得懂我的意思吗？你看B区间是有端点及其以内，这叫B区间，那什么叫B区域呢？有边界，机器以内就叫必须。能理解吧好，这是第一个问题。所以说我们如果进行去做B区域，最值怎么做呢？

大家注意第一步。哎，第一步。第一步怎么办？先做区域内。那区域内什么都不说，求极值什么极值，无条件极值。哦，我知道了，在区域内啊，做的是无条件机制。然后第二步。那就是边界上。边界上这个边界的话，

同学们想想啊，这个边界有没有边界方程呐？有边界方程呢？边界方程的话，你发现一个事情，它是有的，这个边界方程的话，就是一个x和y的函数。s和y的方程。如果的话，你发现一个事情，这个函数在这个什么在这个xy的这个方程的条件下。对吧，在这个条件下的机制什么机制啊？这是不是叫有条件机制啊？

大家知道这个东西叫有条件机制。如果是区域内无条件。边界上这叫有条件机制。对吧，有条件机制，然后接下来过程当中再来看看第三步。第三步怎么办？把这些东西进行PK就行了。好就出来了三步。区域内做无条件机制。别人介绍做有条件介质，然后再PK，所以你发现啊，这个东西的考的几率啊，不是说特别大。

你稍微了解一下就行了，能理解吗？哎，所以说在这里面当中两分钟啊，基本上是秒不掉的，但是有一类题他可以出那件事情，我们强化班再说。所以在这里面当中，你就了解一下知识点，我为什么还要讲一下呢？我让很多同学心安一点。对吧，心安一点，因为总感觉到一个知识点的话，他就会觉得说，

哎呀，老师，这个知识点还没有讲。哦，那个知识点还没有讲。那所以说在这种当中，我们把这个最后两个知识点呢，给同学们去串一下，让很多同学心安一点，你就知道了，我们在高等数学当中，微积分所有大纲要求的考点内容。我们都走了一遍，在基础阶段，所以希望同学们下去过程当中好好串讲一下，

所以说讲到这儿，我们的三九六的金综数学。我们的高等数学的基础班，我们就算正式结课了。所以上的这个时间呢，也基本上上了这个近两个多月的时间，对吧？这两个月的时间呢，我们也终于把这个高等数学的这个基础班呢。这个大头啊，我们给供下来了。因为说实话，这个部分的东西啊呃，东西比较多，难度系数也比较高，

因为在我们的考研过程当中，考的是最多的。那么，下一个阶段过程当中啊，我们去考这个概率论与数理统计当中的概率论部分。那这个板块内容我们考的东西啊，难度系数，其实你发现相对比高等数学而言简单很多。啊，一定会简单很多，然后最后一个事情呃，有一个问题，我来重点来聊聊对吧，这也是很多同学的话，你发现你比较关心的问题啊。

我来说一下这个事情。呃，要注意这个基础班，还有这个强化班两个阶段课程的衔接。所以大家注意，不要有的时候过程当中做了一些题的时候，你稍微在那里面当中啊，你见到这个题说哎呀，我们怎么没有见过这个知识点？你不用担心这个问题，那里面当中啊，有几个信息点，我们将会在强化班过程当中啊，重点来讲。所以说，

希望同学们不要着急，这个问题，比如说变现函数的定阶的问题。你可能只会用定义法，但是这里面当中还有更快的方法，导数定阶法。那第二件事情，比如说函数极限的饱和性，我们讲的是已知极限保这个什么对吧？保这个函数的正负性叫做脱帽饱和性。还有一个东西叫做家冒保护性，那家冒保护性的这个东西什么样子呢？你也不用着急，所以说不影响你这个整体的复习。然后就是函数有界性的判定，

我们也讲了，但是这个东西啊，只讲了一个什么东西呢，只讲了一个扯面定理。那这个部分呢？还有更加系统的提醒。然后下面一个问题就是不等式的证明和判定，但是我们不会考这个证明，我们会考的是这个判定。像这个不等式的，这个判定怎么去处理呢？这件事情是强化班过程当中的一个专题，而你发现这个内容特别重要。方程根的问题，那么像方程根的问题，

怎么去求解？那这是一个重点内容，那么最后一个事情就是变现函数的奇偶性，周期性，还有连续可导性的性质。啊，这是我们在这个部分的内容，重点来讲，当然还有经济学应用。还有经济学应用，所以大家注意啊呃，整个部分的内容已经全部完了。所以大家注意尽可能的过程当中啊，把这个核心重点的内容好好进行去，把它进行去复盘。

所以在基础班的过程当中，我们相信把这么多的东西进行串讲完了，有核心的百分之八九十的类型问题啊，都可以进行处理了。所以下去过程当中，你如果想做些题啊，你都可以做做，但是我还想说的一个问题就是你还是认真复盘吧。对吧，好好进行复盘，那么在下个阶段的过程当中哦，我们下个阶段上盖桶。啊，注意啊，我们下个阶段先上概率统计，

能理解吗？所以说这里面当中还涉及了一些基本知识点，我们将会在强化班过程当中，我们会重点来讲。这就是我们在今天过程当中，高等数学我们算正式的结课了，哎，东西的那种，就算正式的结束了。所以说下去过程当中啊，一定要好好进行去把这个复盘工作做扎实，你比如说在这里面当中啊，我来谈几个事情。呃，最近的时间我们都在复盘，

尤其而言的话，你发现我们考研过程当中考的极限不会说特别特别的难。对吧，不会说特别特别难，但是你比如说举个例子啊。像这里面当中啊，有些东西长得非常的相近，你得会进行去判定的，你比如说举个例子s曲向林这个人。比如说is趋向零这个人。你比如说is趋向无穷大，你发现这个人。你比如说is趋向无穷大，你看这个地儿。你像这一部内容。

像这些事情的话，你发现它们之间呢是有区别的。你再比如说。如果s趋向零一加ss分之一。如果s趋向于多少无穷，大一加s分之一的s。如果s趋向零，你发现一+s的分之一的s。你看这些东西都是什么情况？还有在这种当中，如果s趋向多少无穷大，你发现这是什么情况？好，我们来看看这个问题。所以在这里面当中啊，

大家注意啊呃，这个东西啊，你要稍微注意一下，可能有些东西看到这个问题啊。因为你要想清楚一个事儿，你这个部分趋向零对吧？你这个无穷大。稍微注意一下这个问题啊，你看这个部分是一的无穷大吧，它是一这个部分是一的无穷大，它是一。啊，但这里面当中啊，你稍微要注意一点，有一点小细节啊，

就是你如果趋向零，你这个部分是多少无穷大？但是如果这个东西是负的呢？你负的的话，你进行去幂值转换这个东西就没有意义了。对吧，所以说这个题啊，如果严谨一点，应该是零帧啊，零帧零帧的时候的话，你发现一个事情应该是无穷大的零的位理式，它是一。啊，你稍微注意一下这个信息就行。如果是零负就没有意义了啊。

临症它是以。呃，严谨一点的话，你发现那个底这个部分得你取一个幂值转换的话，那个对数里面得大于零嘛？是吧，你取一个幂值转换love那个里面大于零，你大于零的话，你发现一个事情，这个结果是一啊，你稍微注意一下就行。好了，像这些问题点呢，所以我觉得下去过程当中都看一看你，比如说像这个东西啊，

它肯定是正当的，不存在吧？这是零吧，这是零吧，这是一我不知道你们能不能判定出来啊？啊，这几个人呢？所以我们在考研过程当中，我们考的那些问题啊，难度系数不是说特别特别大。但是你要注意一下，这是这些基本信息点。对吧，所以说一些基础问题啊，你得信心去好好看看啊。

好了，这个类型问题啊，我们就讲到这吧，这是一个基本功，那所以说下去过程当中好好注意一下这个那个基本问题。好了吗？同学们好，这是这样的一个问题，所以说呃，今天部分内容我们也算把这个部分东西啊，全部结束了。等全部结束了，你们下去过程当中，你就好好进行复盘吧，可以吧？

呃，那么今天我们的高等数学的这个基础的。啊班，我们就全部结束了。所以说下个阶段呢，我们应该是先上这个概率统计啊。啊，概率统计。嗯，下次再唱吧，我这最近都没有怎么去准备这个啊歌曲？呵呵，下次吧啊。所以说在这种当中啊呃，我觉得一些重点的问题，

你好好进行看看，然后这里面当中啊呃，下去你有些部分的一些习题啊。改天过程当中，我们在上概率统计的过程当中，也可以给同学们进行去加一下这个加一节这个习题课，然后跟同学们进行去。讲讲这个前面过程当中啊，大家有些问题的一些习题都是可以的。所以我觉得这个高等数学对于我们大家而言是比较重点的一个坎儿。把这个东西卖过去了，后面的东西啊，都不是特别难，可能很多同学对这个概率统计啊，稍微的话会有点这个心有余悸一点。

或者对这个什么线性代数有点怯一点啊，这个东西啊，都不用着急好了，这个事儿我们就说到这儿。呃，这是今天部分内容，所以说下去过程当中啊，你好好进行串想。这个多元微分学啊，要不这样吧，概率统计呃，概率论我讲两次课程。两次课程之后的那节课，我讲习题行吧？哎，

两次课程之后的那节课，你们自己稍微的注意一下，这个时间就行。我会给你们加一次，那个就是概率统计，我讲两次课程的，下一次课程我讲那个习题课，你注意一下那个时间哦。好吧，我会讲一节习题课，那些习题课我可能会讲的题比较多一点，你就尽可能的话，把你所有的话有问题的题啊，你提前过程当中啊，你先把它勾画出来。

你不会做也没关系啊，你就等这过程当中，我把这个东西啊，我们讲完就行。好，这个事我们就说到这吧呃。如果你有时间呢，你可以去派看看，说一个问题啊，你可以去看一下排列组合的内容。排列组合的内容当中啊，你就进行去注意一个问题就行，这个cnm什么意思？这个an m什么意思就行，你不需要那么多会做啊。

啊，下节课过程当中，我会讲一下这个问题。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这吧。呃，下次课程。再唱吧啊啊，今天就不唱了吧啊，好那么今天课程呢，我们就说到这。呃，然后把这个作业。嗯。

作业就。三九七到400吧，就最后一页呗。对吧，把这个最后一页做完就行了啊，最后一页。嗯，然后下一个阶段呢，我们就进入这个概率论了啊，所以说这个题呀，你发现一个事情也做的差不多很多了。那么今天呃，我们就到这吧，行吧啊，今天就到这。

下节课好吧啊，一定下节课啊，我提前先准备一下好，那么今天的话我们就不唱了吧啊。好，那么今天课程呢？怎么了？觉得下课早了啊。行啊，可以啊。呃，我找一下这个去年过程当中，我也唱过那个歌儿，有些同学估计听过。但是那个歌啊。

哎，我可以唱这首歌，对吧？呃，唱一个。贝加尔湖畔吧，可以吗？啊，怎么样？可以吧哇，唱个贝加尔湖畔啊。好了嗯。稍等一下，我找找。哦哦哦。

在我的怀里。在你的眼里。那里春风沉醉，那里绿草如茵。月光把爱淋。洒满的湖面。两个人的烽火照亮整个夜晚，多少年以后。嗯。如云般游走。那变换的脚步让我们难牵手。这一生一世。有多少的我？被吞没在月光如水的夜里。多想某一天。

往日又重现。我们流连忘返，在贝加尔湖畔。多少年以后。往事随云走。那纷飞的冰雪容不下那温柔。这一生一世。夜世间太少。不够真明融化。冰雪的神奇。就在某一天。你忽然出现。你清澈又神秘。在贝加尔湖畔。你清澈又神明。

向北加尔湖畔。行吧，唱的啥玩意儿对吧啊？磕磕绊绊的好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，自己下去过程当中啊，好好进行去把这个内容处理一下吧，那么今天我们的高等数学啊，我们就正式的结束了。那么，下次过程当中，我们就正式的进入到这个概率论部分内容了，所以下去呃，这两天过程当中，

我觉得大家。呃，你们的时间会稍微的会富裕很多，所以说每天过程当中啊，好好跟着那个呃复盘计划，好好把那个部分的内容好好进行复盘一下。好了，同学们好，那么今天课程呢？我们就讲到这好，同学们好，下节课见吧。

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