28.多元函数求极值-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:48:03

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们三九六的这个基础班部分内容，那么上次过程当中啊，我们应该是讲到我们高等数学的倒数第二次课程。那么今天课程啊，我们就会把这个啊，我们高等数学部分内容当中啊，所有的这个基础班部分东西全部结束掉，

所以首先第一个事情我们先来把这个上述过程当中的内容啊，稍微回顾一下。因为上节课过程当中的知识点呢，非常非常的关键，而且重要，所以接下来过程当中我们一起来看看上次过程当中的核心知识点。那么，上次过程当中啊，其实你发现我们重点讲了几个问题啊，讲了两个事情，第一事情我们讲的权威分对吧，讲了权威分的一些问题。那么，首先第一件事情我们讲了权威分的这个人的定义，你还记得吗？

什么东西叫它的定义啊？是这样说的，如果在一个点处的因变量增量。能够等于什么东西啊？等于自变量增量的线性关系。然后再加上一个自变量增量的高阶无穷小，但是你要注意一个事情，这里面当中有德尔塔s，而且这里面当中还有德尔塔y。所以说我们加的是什么？我们加的是根号下德尔塔s方，还有根号下德尔塔y方，哎，这个东西啊，它的高级无穷小。

哎，这是你要注意的问题，所以同学们注意，如果这件事情在什么情况呢？在这个德尔塔s还有这个德尔塔y，然后趋向零零的时候成立。我就说什么，我就说这个函数在这个点处是可为的，而你发现我把这个东西的线性关系叫什么东西呢？叫线性主播。线性主播也叫什么呢？也叫做微分，因为这里面当中有两个人，所以叫全微分剪辑成dz这个人。哎，

这是一个非常重要的东西，所以说希望同学们把它拿下来，对吧？权威分的这个人的定义啊，非常重要，然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情。计算那么同学们想全微分的这个人计算呢？什么东西叫微分呢？微分就是自变量，增量的线性关系，如果这里面当中是一元函数。你看一元函数。一元函数几个自变量，一个自变量，

一个自变量就是一个自变量的增量，然后前面配导函数就行。如果这里面当中的话，你发现是二元函数，二元函数有几个自变量，有两个自变量，有两个自变量的话，你发现一个自变量增量。两个自变量增量系数配上什么？配上这个人的偏导数。对吧，如果是三元函数呢？三元函数有三个自变量，那就有三项自变量，增量的线性关系啊，

这个事情非常重要。所以说我们在今天过程当中啊，还没有把这个剩下部分内容复习完之前，我要讲几个问题，这个内容非常非常的关键，大家好好听一下。因为这里面当中，这是我们在考研过程当中一大重点，等会回来我们再来进行复盘，能听懂我的意思吗？好了，那么接下来过程当中，我们一定要注意一个事情。重点内容啊。判定哎。

多元函数不应该是多元函数，应该是函数之间的关系。然后接下来过程当中去求解导函数。以及。微分的问题。呃，这件事情啊，其实你发现是一个非常关键的，那么在这种当中，我把这个标题啊起的稍微的笼统一点，起的稍微的大一点。但是你要注意这个知识点呢，是很多同学的短板。那么，在接下来过程当中，

我们来讲讲这个事情啊，我们来讲几个问题，讲几个题啊，然后同学们进行去感受一下。对吧，至于什么还有什么方程组的问题啦，不是方程组的问题，我们不用这样去讲，不用这样理解，只要你理解清楚了，我们这个片段的内容。我相信所有问题啊，都不是问题好了，那么接下来过程当中，比如说我们先来看看第一个事情，

你看我们来出一下例一。呃，我随便出的对吧？我这里面当中随便出的题，你好好听一下，然后这是u=fxyz。当然呢，这个f啊，它当然是可导的，能理解吧，我就不写了，我就简单写一下这个框架，你稍微进行理解一下。u=fsyz，然后上节课过程当中，

你发现那个题目当中就有个题对吧？如果再写一下哎，你发现。然后这里面当中说什么呢？说这个y跟x之间等于零。然后什么东西呢？然后这个是j，然后是z跟s之间等于零。好这个人诶，你看这个题怎么做？然后接下来过程当中啊，我让你去求解什么去求解u的微分。啊，微分du等于多少？那么这个题的话，

你发现就是一个非常经典的题了。那么，首先我们先来看看第一个事情，你琢磨一下这个问题。那么，这里面当中如果告诉了这样的一个东西，什么意思啊？就是xy之间是一个方程。两个人的方程，一个做因变量，一个做自变量，这是起源引函数啊。对，这是一元一函数。两个人的方程嘛，

我们两个人之间的方程，我们两个人之间的方程的话，你发现一个人作为因变量，一个人就作为自变量。那这是一元函数，那说明什么事情？说明由这个方程之间呢？可以确定一个y跟x之间的关系。所以同学们要注意一个事情y跟s之间，它不是没有关系的，它们两者之间是一元函数关系，然后接下来过程当中，我们再来看。诶，你再看这个人。

那这个人也是几个人的方程呢？也是两个人的方程诶，两个人的方程的话，你发现一个事情这类目当中，如果选z作为因变量。那这个时候的话，又确定了一个一元函数关系，能理解吧，如果在这里面当中，我们来画一下树形图，你看如果由第一个人的话他。它可以到s可以到y，然后又可以到z，但是你要注意一个事情，你看y又能到sy又能到z。

所以说这个题的话，你告诉我事情，这个u是s的几元函数啊，大家注意u是s的一元函数。你要注意啊，是一元函数，那因此在这里面当中，你要注意一个事情，既然是一元函数，你写偏还是低呀？你当然写偏啊啊，写d不能写偏对吧？一元函数得写d你写d的话，那么接下来过程当中，我们来坐下。

你要注意啊，好，我们来求一下这个人。那这人球的话，你发现一个事情，你看我先对第一个中间变量求导。第一个中间变量的话，你发现是ss求导是一。然后再加上第二个中间变量系统，你要注意啊，这个时候的y不是常数y跟s之间是一元函数关系。所以说应该是dyds。然后是f对第三个中间变量求导，这时候z也不是常数z跟s之间是一元函数关系，就是dzds。

能理解吗？所以在这种当中，你发现这个导函数就这样算。你这样进行计算，但是有两个东西不知道啊，那么这里面当中第一个人不知道，第二人不知道。这两个东西不知道诶，那这两个东西怎么求呢？我就要去求y对s导函数。那同学们想y跟s之间呢，它不就是一个一元隐函数关系吗？那既然是一元引函数关系，我怎么办？还记得一元引函数求导吗？

那就给这个方程两边同时对谁求导？同时对s，那就是f对第一个中间变量求导。y对s求导一元的啊f对第二个中间变量，求导中间变量对它求导是零。所以在这种当中，我就能解出y对s导函数等于多少就等于负的，然后是f二一撇儿比上这个f1撇儿。能理解吗？然后接下来过程当中，我们再来看这个人，这是个几元引函数，一元引函数，注意啊，是一元引函数，

不是二元引函数。对吧，学东西不要学混了，这是一元引函数，一元引函数是高数上内容，两边同时对s求导j对第一个中间变量求导。中间变量的话，你发现一个事情z跟s之间是一元函数z对s求导，然后再是j对第二个中间变量求导，又是一=0。所以说这个时候你发现这个dez ds等于多少呢？它就等于负的，然后是g二一撇比上g一一撇。好，这是这个问题，

因此你发现一个事儿，我就把这个部分带到这里面，我就把这个部分带到这里面，那你告诉我这个人的导函数是不出来了？那既然导函数出来之后的话，你就发现一个事情，我就写则这个du就等于多少u对s的导函数，再补上ds。因此，你把这一堆一抄，然后补个ds出来了。所以说在这种当中啊，你要注意这个问题，对吧？这是个基本内容好了，

这是这个事情。哦嗯，那很正常，你做那个不定积分呐，做到那个60题就是会卡壳啊，这是个很正常的现象。你可以问一下直播间的每个同学，每个同学都是从那开始卡壳的，这个很正常，非常正常的现象。好了，这个事情我们就讲到这儿，所以同学们注意啊，一定要会进行去判断这个函数之间的关系。判断这个函数之间的关系啊，

然后接下来过程当中啊，你就会发现一个事情，这个东西就清楚了，好了，这个事儿我们就讲到这儿。过去了，可以吗？来那么接下来过程当中，我们再来看个题。嗯，我们的那个。稍等一下，我找下。呃，我在这里面当中，

我找几个题吧，对吧？我再找一两个题，你们做一下。稍等一下。你们不用买这个书啊，我找两个题，你们做一下就行，好那么接下来过程当中，我们再来看一道。这个题我们那个上面也有。好，我们再来看看这个题。我们上面也有来看这个人。那么这个题啊，

我们接下来过程当中，我们再来看看。啊，再来研究一下，同学们注意啊，做这种题不要着急，那么首先第一件事情我们先来判断一下，你看这个u是谁的函数？这个u啊，它可以到x也可以到y也可以到z对吧？哎，是这个情况。但是你要注意一个事情，后面还有一句话，他说什么东西啊，

他说z=z sy是由这个方程确定。所以同学们告诉我事情，这个方程应该确定那个几元函数。这是一个二元隐函数吗？对吧，二元隐函数。因为你发现一个事情，这个二元函数是由这个方程确定二元一函数。那所以说在这里面当中的话，你发现你这个z又可以到y又可以到s。哎，这个情况。所以说这个问题点就出来了，那我问你个事情，请问同学们在这个题目当中u是一个几元函数？

你这个人是不是变成中间变量了？对吧，你的自变量是谁啊？你的自变量是x和y。所以对于这个人而言的话，你要判定清楚，这个人是个二元函数。这个人是个二元函数的话，你发现z是什么呢？z中应该有xy。听得懂我的意思吗？z中是有sy的z是一个xy的函数，你在求的过程当中啊，一定要这样看。因此，

接下来过程当中，我们一起来看。第一件事情你要进行求权威分，那你告诉我，既然是一个二元函数，权威分有几项有两项？有两项的话，你发现一个事情就是偏u偏s。偏u偏y听得懂我的意思吗？是不是这个事情好，我们先来看第一个事情，你对s这个自变量求导的时候，你就要把y看成什么函数，就要把y看成常数，不是什么函数。

你就要把它看成常数，为什么呢？因为这个东西是一个xy的二元函数。对吧u是xy的二元函数，你要注意xy是两个自变量。你对s求导的时候y看成常数，所以说那么这个时候你看先对第一中间变量求导是一。对第二中间变量求导是零，你对第三个中间变量求导的时候你要注意啊，这个z当中是有xy的，所以。所以说z而且还是xy的二元函数，偏z偏s。然后接下来再看yf对第一个中间变量求导，对y求导的时候x看成常数，

你要注意，这是两个自变量，它们是敌对的。对你求我是常数，对我求你是常数，能理解吧，好了，我们再来看看，对于第二中间变量求导呢，你是一对第三个中间变量求导呢，那一定是偏z偏y。好，这两个人，但是你发现你看在这个事情当中，这俩人是不知道的吧？

你这俩人还需要进行判断一下。我们还得进行判断一下。所以这俩人还需要进行去判断一下的，之后的话，你发现我马上来看，在这里面当中还需要再做。那这个z对s偏导数z对y的偏导数怎么进行去判断求解呢？非常简单，它不告诉了一个二元隐函数吗？一个二元隐函数，去求一阶偏导数，用什么方法对用公式法第一步先找三元函数？fxyz它就等于多少x倍的es-y倍的ey-z倍的ez。所以在这里面当中啊，你发现一个事情，

这个偏z偏s这个人呢，他就等于你要注意啊，谁是谁的事情就干谁是谁的事情就行。所以在这里面当中，我们是负的。先对s吧，那对s的话，前导后不导前不导，后来导，然后呢，再是负的对z那负的话，对z的话就是前导后不导。前不倒，后来倒。是不是这个事情，

所以说这个结果就是x+1倍的e的s，然后是z+1倍的e的z。好这个人，然后这是偏z偏y偏z偏y的话，你发现一个事情先对y那对y的话，这个人是负的。然后是e的y再减去y倍的e的y，然后下面这个呢负的e的z，然后加上z倍的e的z。所以说这个结果就等于负的，然后是y+1倍的e的yz+1倍的e的z跟得上吗？好，这样东西算完了之后，你看你把这人送到这儿，然后你把这人送到这儿跑出来了。

你送到这儿之后的话，你发现这个式子就具体了，这个式子也具体了，既然两个式子都具体了，所以说在这种当中，你发现deo这个人。应该等于多少偏u偏s倍的ds偏u偏y倍的dy，然后接下来过程当中就是这个人ds。这个人地位能理解吗？所以我希望同学们注意啊，你将来过程当中做这个题啊，你要注意你画树形图只有一个目的，我们画树形图的目的是什么呢？我们画树形图的目的就是。捋清楚清中的中间变量，

次变量和因变量，对吧？我们就要知道这些变量之间的关系。所以大家注意啊，只要你把这个事情捋透了，任他题目怎么出你都会做。所以叫一通百通。如果将来过程当中做这种题呢，你发现还迷糊，你说明这里面当中的判断，这个人之间的个关系啊，还不清楚。所以一定要注意这个问题，好那么接下来过程当中，我们再来看个题。

哎，我们再来一个。别说例三。那么，这里面当中，我们再来写一个人，比如说这是优这个人。u这个人等于多少呢？他等于fxyz。然后接下来过程当中，且什么东西呢？且这个里面当中的话，呃大f多少呢？大fy z=0。然后y又等于sin x。

然后接下来过程当中，让我们去求u的导函数啊，或者权威分吧，这个。好，我们再来判断一下，对吧？这个事情要捋清楚。那么，首先我们先来看看第一个问题。哎，这个事情。这个事情怎么判断呢？那这里面当中的关系，你就要判断清楚了，

好，我们来走一下，你发现看你这个u可以到s，你可以到y。你也可以捣贼。是吧，那么接下来过程当中，我们再来看看这个人。好，你看这个人。你看清楚这个人了吗？这个人是什么情况？这是个z跟y之间的关系吧。是不是啊z跟y之间的关系，但是你发现一个事情，

我们喜欢做自变量，一般的话，你发现看你这个y又能到s。大家想想一个事情。你z先到y，你看你这个东西应该是确定那个z跟y之间的函数嘛？但是如果你把这个y=3 s代进去。不就是z跟s之间的函数吗？所以大家注意一个事情，你最终应该是这样，你又到YY又到x。你就是这样的一个情况。对吧，你又到YY又到s。你其实就是这个情况，

所以大家注意一个事情，你这个东西的最终的这样的一个变量，结果只有几个变量，一个变量。你要注意啊，它是个一元函数。所以这里面当中，我们需要进行去判断一下。我问你个事情。请问z是y的几元函数？一元函数吧。z是y的一元函数，因为你发现两个人的方程，一个做因变量，一个做自变量，

一元函数。如果你把这个y用x进行去替换了。你替换了之后的话，你发现一个事情z跟s呢z也是x的一元函数。你能听懂吗？你发现你看你z1的话，你这这里面当把这个y用sins替换了嘛？你替换了之后的话，你发现它也是它的一元函数。所以说接下来过程当中，我们就可以看这个题了，那这个duds不是偏了来走。f对第一个中间变量s求导是1f对第二个中间变量求导，你告诉我这个东西能是零吗？它不是零。

现在不是二元函数，它只有一个自变量，你如果是二元函数对s求导y是常数，但现在是一元函数，你这个东西呢，你看y也是个s函数。y是s函数的话dyds。然后接下来过程当中，我们就继续我们再来看最后一个事情f对第三个中间被量求导。第三个中间变量的话，你发现一个事情，你看你这个z呢z也是个s函数，那就是z对s求导。好像这些人之间的关系啊，你要好好进行去转清楚。

非常的重要，对吧？好好捋。那么，接下来过程当中，我们再来看第二事情，你看你这里面当中的话y对s求导怎么求呢？y对s求导的话，你发现不就是coss吗？是吧，那z对s求导怎么求呢？你发现你可以对这个方程的两边同时对s求导，为什么这是一个x函数？这也是个s函数两边同时对sf对第一个中间变量求导y对s求导f对第二个中间变量求导。z对s求导，

然后等于零。然后接下来过程当中，你看你看这个人这个y对s求导是coss，然后这是f2撇，这是dzds。所以说你发现一个事情，这个z对s求导是不是就可以解出来了？你解出来之后的话，你发现你看你把它带到这儿，你发现你看你把它带到这儿，本题结束了。所以大家注意啊，我们的核心主旨都是对s求导。你要注意它们之间的一个关系，把这个事儿好好捋清楚，

对吧？好了，这是我们在这个当中啊，介绍的这个基本问题啊，这是一元隐函数，你不要说你看不懂了。对吧，一元隐函数。你不要学到今天的话，你发现一个事情呃，第二章的内容都看不懂了。这叫做两个人的方程吧。两个人的方程，一个人做因变量。一个人做自变量。

那就是一元函数。好了吧，同学们，你们下去过程当中好好想想，因为这波内容我觉得对大家而言还是比较重要。你一定要捋清楚，你看。你这里面当中的话z跟y之间是一元函数。你要是实在是看不懂的话，你发现你看你要想研究z跟s，你就把y换成sins，你告诉我。是不是又得到了一个z跟x之间的一个方程？z跟s的一个方程，一个做因变量，

一个做自变量。不就是一元函数吗？你好好捋啊，这个事儿很重要啊。行吧，那么这个问题啊，我们就讲到这呃，至于我们的考题过程当中啊，还没有达到这样的一个要求。但是这两年过程当中的话，你发现题目的要求的这个点呢，你发现一个事儿，他在把这个东西啊，处理的很啊，这个。

嗯嗯，这个没关系啊。没关系，就是你注意，最终它到s就行了。对吧，你最终到s就行。好了，这个问题啊，我们就说到这当然了嗯，在刚才过程当中啊，你也可以进行去求什么呢？哎，算了吧，你要纠结的话，

你就这样，我把这个题改成这样。你不纠结了吧？啊，你一直在纠结，我们就这样吧。题目不会让你歧义的。大家注意啊，我再说一遍，题目不会让你歧义的，你要歧义的话，我就把这个题改成这样，你就不会再纠结了。所以说考研出题，他一定不会让你纠结，

我在给你讲这个部分内容，我希望你们再去理解。对吧，你要把这个核心方向掌握清楚。你如果太纠结好，我们就做这个题。你现在不纠结了吧？好，这是这个事情啊。行吧，那么这是我们在这本当中啊，介绍的这个第一个问题，然后接下来过程当中我们又讲了第二事情，对吧？连续可导可微之间的关系。

连续可导，可为一阶偏导数，连续之间是怎么互推的？然后下面一个事情判断这个可微的方法，这是太重要了。这黄金重点判断可为的方法，那么怎么去判断可为呢？有两种方法，第一种方法叫充分条件法。对吧，第一种方法叫充分条件法，对吧？判断一阶偏导数连续第二种方法叫定义法。定义法哎，你发现这非常的重要啊。

非常重要，这个定义法，尤其是做差式的定义，你必须会写，然后接下来过程当中，我们再来看看下面一个事情，二元隐含数求导。那么，在二元隐函数求导当中啊，你可以两边同时求导。你也可以怎么办？用公式法，如果去求一阶公式法的话，你发现可以素描。非常清楚的就秒了，

好这个题啊，我们就讲到这。所以刚才这波内容应该是一点拔高的知识点，你下去过程当中好好捋一捋，过去了可以吗？行吧，我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们再来看看下面一个知识点。隐函数存在性定义。呃，我先说一下，对于这个知识点而言，是最不适合自学的。就这个知识点是最不适合自学的。

因为你发现个事情。这种题目不会呀，我给你开卷你都不会。不信我们来看看这个事情来，你看这个问题。呃，这就是这个东西的知识点，他说他去一级片导出，他怎么怎么样确定了这个函数可导怎么怎么样？比如说我们来看这个题吧。来直接抽这个题。你看这个题目。这个题目的话，你发现一个事情，我给了一个三元的方程吧。

三个人的方程。然后说什么东西呢？能不能确定一个这个函数，这个函数，这个函数诶，有些同学的脑子里面呢，你发现理解的不深刻，他都不知道这个东西在讲什么？他说那我如果把z作为因变量，那不是z的函数吗？那我把x作为因变量，把它s函数吗？y的因变量y的函数，那不都可以吗？那把这个题abcd四个选项都选了。

那这题都选了。你不胡扯吗？对吧，我们单选题啊。所以说你发现一个事情，你就根本不了解这个隐函数存在定理到底在干嘛？哎，他在干嘛？它为什么要分母不为零呢？那不为零，什么意思呢？为啥要不为零啊？大家注意，我们来看看这个事。所以在这种当中啊，

我们一起来看第一个问题，你看这是一个三元的方程。对吧，三元的方程。这个三元的方程呢？我们说一个问题，你看我们基本上而言的话，每次过程当中我们都说我们去确定一个什么东西啊，我们去确定一个z的函数。但同学们，你注意一个问题啊，我光确定这个函数有什么用？我们其实你发现隐函数存在定理，不是说你这个函数有没有？你这个函数不光有你这个函数，

而且还得有用。你看我这样解释啊，你绝对能听得懂。你不光要存在，你还得有用，你要是存在一个废物，我觉得没有用，我觉得你也不存在。所以我们说的这个存在的话说，你不光存在，你得有用，你怎么叫做有用呢？你得磕到。你可导就是有用，所以同学们注意，

人家不是说你能不能确定一个函数？不是的，人家说你能不能确定一个函数，而且这个函数是可导的。大家注意，这就是这个隐函数存在定理的核心讲结束了，结束了。不信你去看课本，课本隐函数存在定理啊，讲的更恶心。它其实隐函数存在定理不是一点都不难，就是最重要问题，就是你要知道这个东西在讲什么？所以这块内容是不适合自学，就是你要听懂对吧？

他到底要在干嘛？他说我不光要确定这个函数我，而且还要确定这个函数得是什么可导的。那同学们想想我怎么才能让你磕到？我怎么让你可导呢？我们来看看这个人的导函数。真导函数等于负的，然后这是SB×z。然后这个y呢，这东西就是fy撇比上fz。那同学们想想一个事情，怎么样才能让这个导函数存在呢？那非常简单嘛，你眼睛漂都能漂出来，你只需要保证什么？

哎，这个人的分布不为零。只要这个人的分母不为零，这个偏导数不就存在吗？你这个偏导数存在不就有用吗？这就符合了隐函数存在定理。所以大家注意啊，它不是说你z作为因变量就是z的函数y作为因变量y的函数s作为因变量s函数不是这个意思。他要的是什么？你能确定这个函数，而且这个函数得是可导的，所以你就得保证这个分母不为零。那么同理，你告诉我事情，如果这里面当中，

我让你去确定什么，我让你去确定一个x函数呢？切，科导，那你告诉我事情是什么情况？如果在这种当中让你去确定一个y的函数又是怎么样呢？你只需要保证什么事情呢？非常的简单，我这个东西啊，我只需要保证这个x1撇儿不为零，我只需要保证什么y1撇儿不为零。我只需要保证这个三元函数的，这个偏导数不为零。所以同学们这个知识点，只要你学会了，

它就将会变得极其极其的简单。它比我们上节课讲的那个偏导数计算简单多了。为什么呢？我只用判断这个人为不为零。你上节课过程当中，你还得把它计算出来，你还得化简。你就非常恶心了，所以在这种当中啊，它就变得非常的简单好了，那么接下来过程当中，我们直接看题来操作一下这个题吧。坐下这个人呃，这个题啊，是我们考研时。

三九六数一数二数三考研史唯一的一道隐函数存在定理的题啊。分析一道一道来，我们来看看这题吧。他说了一个事情，他说这个三元方程给了你。根据隐函数存在定理。在这个点的领域，你注意啊，它给了你一个点。在这个点的领域，它能确定一个什么样的函数啊？确定一个什么，他不是说确定一个函数，他说确定了一个具有什么？具有很多说那连续偏导数的函数，

其实没有关系。为什么呢？大家想想一个事情。你告诉个声，比如说这个x偏导数。这是不是一个具体的方程？那是一个具体的方程，那具体的方程的话，你发现倒过来之后，这东西就是个具体的函数，是不是初等函数？初等函数，这个分母不为零，它有定义。对于初等函数而言，

有定义就连续，所以同学们，你发现它说具有一个连续偏导数的函数，它还是在考察什么？还是在考察这个分母为不为零？所以同学们，你怎么去做？你只要在考研过程当中见到隐函数存在定理这几个字儿，你就直接去干就行了。直接去看分母为不为零就行，所以大家注意啊，速战速决就行好了，我们一起来看看这个题。操作一下吧节。怎么处理啊？

第一步，找三元函数怎么找？走你syz倍的ln ye的sz- 1。好了，那么接下来过程当中，我们就来求了你，求一下s偏导数呗，那就是y，然后再加上z倍的e的SZ，跟得上吧。然后再对y偏导数。s这是常数嘛，然后这是z然后这是y分之一，然后f再对z求导z求导是负的lny。加上s倍的e的IC，

是不是这个事情好了？那么接下来过程当中，我们来带进去来看一下这个点吧。那is的话，这个人零一一，它等于几代进去？一代的话，你发现这人是一。一代的话，你发现看这人也是一一的零，它也是一，所以说这个结果是二，你发现v不为零不为零，漂亮。在这个点处，

它的偏导数不为零，它在这个点处，它就有意义，而且初等函数有定义，它必然连续。所以你发现看这个is的函数能不能确定？能确定可以的。然后再来看看第二个人，继续吧，你把这个y的偏导数带进去。继续待待，继续等于几呢？第一个人等于零，然后这人等于负一，你发现v不为零不为零不为零，

能不能确定一个y的函数呢？哎，你看看也能确定。对吧，没有问题，然后再来看看第三个事情，然后把这个零一一带到这里面，带到这里面当中l1是零诶，这个人也是零哦。这人是零，那我问你个事情。那如果这东西是零是一定不能确定，还是不一定能确定，你想好再说话。一定不能，

还是不一定能。这件事情很重要。一定不能，还是不一定能。当然一定不能啊。一定不能。哎呀，你你要说是不一定能，你还是没有学会啊。你还是没有理解到，肯定是一定不能啊。哎呀，大家这个那这说明这个东西还是没有理解到骨髓里面。你想想一个事情，你要保证这个人的偏导数存在，

你现在而言的话，什么情况呢？你这人都等于零了。你等于零的话，这个东西就没有意义了，你偏导数就没有意义了，你偏导数不存在呀。所以同学们注意啊，你这人肯定不存在这一定不能啊。你能理解我的意思吗？这很简单的。呃，这个一定要理解深刻。你不要着急对吧？你都别急，

你慢慢把这个东西知识点啃下来。很简单的哦，大家想想，你觉得这个知识点跟我们上节课讲的那种题哪个难呢？当然的话，你发现一个事情。很多人说那分子也是零。行吧嗯，所以在这种当中的话，你发现一个事情，这其实就是这样的一个基本问题。对吧，这是个基本，你注意啊，我再强调一遍，

那也不是零比零。这极限学废了，对吧嗯。你初中都不会犯这个问题的。那不叫零比零。不不是不是就是就算它上面是零，它也不是零比零。你知道什么叫林碧林吗？零比零的意思的话就是上面的极限是零，下面的极限是零，这叫零比零。零比零叫未定式的极限。你能听得懂我的意思吗？你发现一个事情，你就算你比如说你初中的时候，

你初中老师讲了一个事情，你初中老师说上面是零，你老师说下面也是零，它就可以存在啦。你不胡来吗？分母永远都不能为零，你把这个事情我讲了无数多遍了。啊，还转不清楚，零比零叫未定式的极限，你上面有个数是零，你下面也不能为零。对吧，下面这是一个数，永远都不能为零，

你分母永远不能为零。你要注意一下这个事情，基本点。好了，这个问题啊，我们就讲到这儿，所以说这个题的正确答案选几，你看选d有没有发现老头子这个？出题啊。很贼对吧啊，有点贼，你想想一个事情，比如说啊，你要不会做这个题，你会选几啊？

你要不会做这个题啊，你肯定会选a。为什么呢？因为我们一般见到的这个隐函数啊，都是z的函数。你想是不是啊？是这个题，它不是z的函数，它是xy的函数啊，你看这个题出的啊。好，这个事儿我们就讲到这儿过去了吧，基本点，所以说这个隐函数存在定理啊，难度系数一点都不大，

我再强调一遍。这个东西啊，理解了，就是秒杀。你要记住啊，这种题目只要在考研过程当中出现，只要见到隐函数存在定理这种题，只要怎么办？你考研的过程当中，见到就是没有。理解的就是秒杀，没有丝毫难度系数，找到三元函数，把这个偏导数算出来，看看它分母为不为零就行。

只要这个分母，你想想一个事情，只要这个分母不为零，它就可以了。好七分点跟得上吧，基本问题了。好了，这是我们讲的这个基本信息点吧，过去了啊。好，那么接下来过程当中，我们就继续再来看看我们最后一个部分内容。哇，终于迎来了我们的微积分的最后一个板块知识点了，而且这个最后一个知识点呢，

我简单讲讲。这个部分内容对我们的考研过程当中要求是比较低的，但是你要注意啊，第一个知识点是必考的。你要注意啊，这个内容是必考的。第一个考点必考。100%会出题，每年的过程当中都是一道，有的时候的话，你发现一个事情，这里面当中会出现两道。所以大家注意啊，这个内容必考。好了，

那么接下来过程当中，我们来讲讲吧呃，既然在这里面当中，我们把这个基本的信息点，我们也跟同学们去串一下。好，我们以二元函数为例。大家想想一个问题。二元函数为例。必考还不好啊。那行吧，我改你把你把那个b改一下，你就改成可能会考行吧哦，大家别改哦，你给改一下透明虾啊，

你把它改成可能会考。行吧啊，好了，这是这个那么接下来过程当中，我们来看看，比如说以二元函数为例。好比如说这个东西呃，画的再曲折一点吧。不够曲折。好了，这是一个二元函数。假设你发现一个事情，你看这个二元函数。那么，同学们想想一个事情，

这个二元函数。他去求极值的时候，你就会发现一个问题，他会有几种情况？它就比一元函数轻况多了。为什么呢？大家想想一个事情。第一种情况。我可以什么都不说，求一致。什么都不说，求极值，是不是在求定义域范围内的极值？你告诉我是不是？我什么都不说。

我什么都不说的话，你发现不就是在整个定义域范围内求极值吗？能理解吧，哎，这是第一种问题，所以你发现你看第一种情况出现了，无条件机制。但是同学们注意，还有一种情况。你比如说举个例子，我说你sy不能随便跑。你只能沿着这条线跑。你只能沿着这条线跑，这是一个什么？这是一个y跟x之间的函数曲线。

你只能沿着这条线跑，你只能沿着这条线跑的话，你发现我们研究的这个函数，你发现一个事情，它只能变成这一端。哎，研究的这个函数就变成了这一段，其实你发现你在研究这个部分的，它的一个机制问题。那你就不是随便跑了，你就在这受控约束了，受约束了，你受约束的话，你只能在这个条件跑，这叫有条件机制，

但是同学们。你放心吧，我们考的基本上可能性不高，我一会儿过程当中啊，简单串一下就行啊，出题的几率不大。所以在这里当中啊，我们就有三种情况，第一种情况叫做无条件机制。什么都不说，求极值，无条件极值。第二种情况就是什么这个函数在这个条件下的机制，有条件机制。然后就是第三种情况，

你发现一个事情叫B区域的最值。对吧，这三种情况B区域最值。所以在这种当中啊，你发现它就要比一元函数当中啊，考的东西多了。你可以什么都不说，求极值啊，你在整个范围内的极值。你也可以在这个条件下的极值啊。你也可以在一个B区域最值那么大家注意啊，把你的所有的核心方向都放在第一个知识点的学习上。听懂我的意思吗？都放在无条件机制的学习上，在无条件机制当中，

核心重点只考二元函数。注意啊，只考二元函数。那么，接下来过程当中，我们稍微来复习一下。请告诉我事情，我们在高等数学的上册。学习极值，学了几条内容，我说的是上册。上册过程当中，我学了几条内容。我们学了四条内容，我们学了定义。

我们学的可疑点。太子和王爷。我们学的第三个事情，第一，充分条件，我们学的第四个事情，第二，充分条件，我们总共学了四条内容。然后接下来过程当中，其实你把这四条内容总结一下，其实就是定义可疑点，还有充分条件三条内容。到了今天过程当中呢，我们仍然这样学那么，

首先第一件事情我们还是要在这里面当中啊，学习这个东西的定义。你要注意啊，这个定义啊，我觉得。呃，今年的这个出题点呢？我觉得还是有点可能性的，你要注意这个定义啊，我们一直以来都考到这个充分条件，这个定义还是很重要的。所以说今年过程当中啊呃，强化班的时候我会在这个问题当中多进行讲讲。好，我们一起来看看第一个事情定义。

那这个东西的话，你发现你回忆一下什么叫机制啊？何为机制啊？大家注意，极值是一个领域的概念。哎，淋浴概念。那这个邻域概念的话，你发现现在是几元函数，二元函数进入到三维空间？那既然是个三维空间的话，你发现你看这是个s这是零这是y。然后这有个点。现在这个点的淋浴是什么？这个淋浴是它的一圈儿。

这一圈都叫你的淋浴，对吧？淋浴就是这个人的一圈，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事情。你看如果这个点处的函数值。它比这一圈儿都要大，你发现它就是个什么，它就是个极大值。爱极大值。这是真正的山峰啊。以前我们讲横看成林侧成峰，那个山峰是平面状的，现在才是什么真正的山峰啊？因为什么情况呢？

你发现一个事情。现在它是个立体的。哎，这是真正的山峰啊。所以你发现如果这个点比你四周小范围内的都大，你就是个极大值。当然，同学们注意，我们接下来再看。你发现个事情继续来看。如果这个点处的值。哎，这个点处的值比你四周小范围内的都要小。那你就是个什么值，你就是个极小值。

这就是个极小值。所以这个东西的核心重点呢，它就是这个问题。那我要想进行去判断这个点。取不取极值核心，重点在判断什么？你发现一个事情，它的核心重点就是在判断这个事情。判断什么事情呢？比如说这个点。我们想进行去看，这个点取不取极值，我只需要做一个事情，我就来看看这个点处的函数值。求一下这个点处的函数值。

求这个点处的函数值，然后再来进行去求出邻域内的函数值。哎，再来去求邻域内的函数值比较大小。如果这个点处的函数值比邻域内的函数值都要大，你就是个极大值，比邻域内的函数值都要小，这是极小值，大家注意啊，这是个邻域。非常非常小的范围，淋浴的概念。好，这就是我们在这本当中啊，介绍的第一个问题。

极值的一个定义。什么概念呢？淋浴概念。只要这个点比什么情况，比你这个四周哎，你看比你这个四周都要大，你就是个极大值，比你四周都要小，就是个极小值，我讲一个题可以吗？我说一下，你听一下就行了，有人说老师我想不到你听一下就行了，这个事情我强化班会重点讲基础班呢，你把这个充分条件很好学。

因为充分条件是90%多都会考的题好，我们来判断一个人。比如说这个人。这是y-s。然后这是y- 2s好，我们看这个人。然后这里面当中啊，请给我判断一下，零零是一个极什么值？第一种情况剥取机制。第二者极大值，第三个人极小值速判啊，你必须给我秒，你不要在那墨迹了。必须把他给我秒了。

什么值来，我们一起来看看。对于这个人的话，你发现个事情，我来画一个二维的迪卡坐标，系你稍微瞅一下，你速战速决啊，秒了他。那么，在这种当中，很容易进行去看到诶，我在零处等于几，我在零处的函数值就是零。对吧，我在零处，

你把零带去，它就是零。然后接下来过程当中，我们来看看这个人的领域。这个淋浴的话，范围其实非常非常的小哎淋浴。大家注意啊，你可以稍微瞅一下。有没有发现一个事情，你看如果y比s大，它是正的。它是什么？它是真的，所以说这里面当中就有一条线，你比如说你看这是y等于多少？

y=s。然后这是y=2 x。哎y，等于2s。好，这是y=2 s，这是y=s好，同学们，你给我判断一下。请问同学们，如果是在这个范围内是什么情况？这个范围内，你发现这个y比s小，这是负的y比2s小，负的负负得正，

这是不是正的？好在这个范围内，它都是正的。然后接下来过程当中，你再给我看这个范围。这个范围呢y比s大，这是正的y比2s小诶，你发现这是负的，大家想想一个事情。如果这个点是个极大值。他应该比四周的人都要大。如果你是个极小值，你都要比四周的人都要小，但是你的四周啊，有人比你大，

有人还比你小，你这个人怎么办？你当然不娶了。选a，你能听懂我的意思吗？你要是个极大值，你就要比四周都要大，你要是极小值，你就要比四周都要小，你现在等于零，你四周有大于零，你四周也有小于零，你这个东西的话，你就发现。速战速决。

呃，这个题啊，其实是去年二零二三年的这数一数二数三同学的大题啊，当中的一部。我觉得这一步比较好，这一步的话，你发现一个事情很适合出给我们一道题，所以说我把它抽出来了，因为我们从来没有出过定义的题。注意哦，从来没有出过定义的题。所以我们把它抽出来了，你发现还很好的一个题啊，你不听懂了吗？对吧，

你不是掌握的还挺好。好，这个事儿我们就讲到这儿。呃，那么这个事情我们就讲到这儿，那么这是我们讲的这个第一个问题，第一的问题，然后接下来过程当中我们再来看，第二事情必要条件。大家想想。取极值的人有几种啊？两种，要不然是偏导数等于零，要不然是偏导数不存在那么，所以说同学们，

你告诉我实情。如果在这当中我说了一个事情，我说如果这个函数。它在这个点处。取了极值。哎，取了极值，然后在这种当中，我能不能就说这个点是个注点？注入点的话，现在而言的话就是两个偏导数都等于零的点嘛，原来是导函数等于零的点嘛，能不能？能吗？诶，

你取了极值，怎么就能说导函数等于零呢？你这是太子啊，还有可能是王爷吧。所以在这种当中，你要注意，这就是著名的太子定理法。你加一个什么条件？你加一个，这俩人都怎么偏导书？这个东西与这个东西。都存在。诶，也就说它要不是导数为零的点，它要不是导数不存在的点，

如果你加上这个东西是什么？加上这个导数是存在的，你就不可能是不存在，所以说你偏导数必须等于零。大家能理解吗？所以同学们注意啊，这个内容的话迁移。知识的迁移好学吧。非常简单，你只要上次过程当那个内容学的好，你这个东西的话，你发现同理可推就行。好，基本问题，那么接下来过程当中啊，

我们来看看第三个事情，你放心啊，今年的90%。五以上的概率都在这个知识点上。哎，都在这个。这是最近几年过程当中啊，你发现每年必出题的点。哎，每年必须出题的点。所以在这里面当中啊，这个充分条件是非常重要，这个页面怎么选呢？记住就有分。啊，

记住90分。所以在这种当中，我们来一起来看看，首先第一件事，我给你个二元函数。我怎么进行去判断机制呢？首先你发现第一步。原来过程当中，我们在高等数学上册的时候，我们第一步干嘛？第一步是不是找可疑点啊？第一步，找可疑点。对吧，找可以点，

但是你要注意啊，在二元函数当中。很少会设置不可导点考研的过程当中，基本不会设置不可导点，所以你发现你看我写的多么的自然。我不会说找可疑点。我直接说找重点。所以你看这就是我在这里当中啊，写的非常自信，我们写的非常自然的点。直接上来找什么找重点就行。一般不会有不可导点，你放心啊，你做这么多年的题，基本上而言都不会有的。

你直接上来找注点就行，注点怎么找呢？注点非常简单，就是s偏导数等于0y的，偏导数等于零。两个方程一列，然后就解出来一个x0y0，这个点这就是我们的重点。好，这个点这是我们讲的第一步，但是同学们注意啊，注点只是可疑点吧。你驻点取不取呢？你还需要判定，所以说接下来过程当中啊，

就是第二步，第二步怎么办呢？第二步就进行判定。这个东西的判定的话，你发现你就只需要这样，你去求一下这个人的两阶偏导数xy的混合偏导数和y的两阶偏导数。你然后怎么办呢？你把这个注点，然后怎么办呢？你把这个注点，你把这个注点分别带进去，得到第一个人是a第2b第三个c。然后接下来过程当中，你就进行判断，判断谁呢？

判断b方减AC。判断这个b方减AC，判断b方减AC小于零，取大于零，大家注意这东西是不取的。如果这个等于零哎，不知道去不去，未知的这是个bug。小于零肯定取，大于零不取，然后的话你发现小于零的时候，如果大于零是极小值。小于零是其大值好了，大家注意啊，这个页面特别重要，

把它给我记住。对吧，基本问题点。好，这个呃，这个页面不用继续去推啊，这个书本上你去看同济七版教材都不写这个证明。啊，这个证明的话，你发现非常的稍微的麻烦一点，你把这个东西啊，理解透彻就行，好，这是我们讲的这个两步走。第一步的过程当中，

把这个注点求出来。第二步的过程当中，算出三个二阶偏导数，然后带进去得到三个值ABC。然后接下来过程当中判断b方减AC，我说两个信息点。不要不以为意。第一件事情。就是有些同学的话，你发现看了一些参考书，可能写法跟我们写的不一样，他说老师不对呀，人家这个参考书说。大于零取啊，小于零不取，

你看准一点，它有可能写的是ac-b^2，我们写的是b方减AC。有些书的话写ac-b^2，有些书写b方减AC，这都可以啊，你要注意这个事情，那么另外一个事情的话，你要注意一个问题。我们这里面当中写的是b方减什么减AC，听懂吗？不是4 AC。不要乱背哦，有些东西在这里面做题的话，你发现减的是4 AC，

你胡来了是减AC啊，这个信息。好了，这就是我们在政治当中啊的判定性方法，能听懂吧，基本问题第一步找到重点。然后第二步过程当中，我们去算出三个偏导数，然后接下来过程当中，我们需要怎么办进行去判定？但这里面当中，很多同学你发现挂的点在哪呢？有些同学不会解这个方程啊，一会儿过程当中我们再说吧，来我们一起来看看。

做一个题吧，看看这个题，五点二九这个题。呃，你别看这个题是一个大题的样子，这出给我们呢，完全可以出题，因为每年过程当中我们都有这种题。好，我们一起来看看，求解这个人的机制。来走吧，第一步的过程当中怎么办？又一听就会一用就废。你不要老是这样想。

我还是这样的一个事情，这就是个借口。你如果一听就会一用就废，你还是不会。你不要老是给自己找这种借口。我就觉得一个事情，如果像这种照猫画虎的这种东西，你都不会做，那叫什么会呢？你来试一下这个人第一步干嘛来？直接上求一下s偏导数，求一下y的偏导数。那么，在这种当中，把s偏导数我们算一下，

你算s偏导数把y看成常数，那这个东西呢？就是2s，然后这就是二+y^2。然后对y进行求呢，前面是个常数，然后后面呢，这是2y，再加上前导后不导。前不倒后来倒，这是一，然后让这两个东西啊，都等于零。来解一下吧。解下的过程当中的话，

我们来看看这个事情怎么解啊？啊，这个特别简单，你发现看你观察一下这东西是不是不稳定啊？所以立即就得到什么情况，立即就得到s=0。对吧s=0等s=0的时候的话，你发现你看你看这个人等于零，你这个人等于零的话，这个lny=- 1，然后这个y就等于多少亿分之一？是不是这个人哎，一分之一，所以说这是唯一的注点，那注点出来之后再判定呗，

来走s的两阶。继续求s这个长处二+y^2，然后接下来过程当中再来看看sy的混合。sy的混合的话，后面对y求导2y4 sy。然后接下来过程当中再去求y的两阶y的两阶就是二x方，加上y分之一。然后把这个点带进去，得到AA等于多少二倍的，这个是二加上多少一方分之一，然后接下来过程当中，我们再来看BB，这个结果是零。然后c这个结果呢？c这个结果的话，

你发现是一。所以在这种当中赶紧出来，因此你发现马上出来b方。方减AC是什么？这人是大于零吧？这人大于零吧？这人等于零那这人肯定小于零啊？且这是什么情况？a大于零。因此你发现，在零亿分之一处取什么值取极小值？是不是出来了，你就在这个点处取极小值结束了。这考题你说这难啥呀？如果如果今年过程当中考一个这样的题，

你能开心死啊。你像这种题目都是送给你的。啊，如果这种题的话，你发现一用就废，那是真废啊，那真废了，那这种题的话，你发现没有丝毫难度系数就是第一步怎么样，第二步怎么样，你就你就按照这个套路走。而且你发现个事情，我都给你把它梳理成这种条条框框的了。一步两步三步怎么走？哎，

这个部分内容过去了，可以吗？好，这个问题来继续啊，我们再来看看下面的事情。来五点三零这个题。先看看这个题吧，来继续走。他说什么事情？他说。这个人的权威分等他。哦，我的人的权威分等你。全微分等于你，然后判断零零是不是这个人的什么连续点呢？

极值点呢？好，我们先来看看第一个事情，大家注意啊，我上节课就给你讲过。如果一个人已经把权威分写出来了。说明什么事情，说明这个人是可威风的吧。你还记得吗？如果这个人的话，你发现已经写出来了，说明他是可微分的。当你只给偏导数的时候，能不能写出来呢？你还得看看可不可为，

但是你把它写出来之后，它肯定是可以为分的。如果可为，必然连续a不对。对吧，然后接下来过程当中，我们去判断极值。但是你发现如果一个题给你全微分，相当于给的什么不就相当于给的x偏导数等于s。y的偏导数等于y吗？然后接下来过程当中，你来判断零零这个点是不是注点？啊，是不是啊？重点啊？

哎，你带进去了之后的话，两个人都等于零，然后接下来过程当中ss两阶是一。sy的混合是零，然后的话你发现YY两阶是解是一，所以说你发现看代进去，这是a。代进去，这是b。代进去，这是c，所以说这个b方减AC是什么情况？是小于零，且这个a什么零？

大于零，所以说极什么值极小值。你看这种题。呃，这种题啊，说实话，难度系数真不高，对吧？都基本点，你就算就行了。你像这种包装一下也就这样，但一般情况下它都不包装，直接给你一个函数，你算就行了，你把它给我算清楚就行。

好，这是个基本问题诶，但这个题啊，我还想多问一下。我多问一下。大家来抽抽。你发现一个问题啊，你看刚才这个人把注点带进去。是不是相当于没有带呀？你想想一个事情，你看你这人带进去跟没有带有什么区别？你这带进去跟没有带有什么区别？你带进去跟没有带有什么区别？大家发现没？如果任意一个点。

任意一个点带到这里面，当中都是a=1带到这里面的b都是零带到这里面当中c都是一吧。那任意一个点带进去的话，你发现都有b平方减AC是小于0a大于零，那是不是说任意一个点？都是几小时啊？啊，是不是啊？对不对啊？都是几小时。啊d任何一个点带进去a都是1b都是0c都是一样。任何一个点b方减AC都是小于零啊。a大于零，所以任何一个点都是极小值啊。是不是啊？

这就是充分条件啊，我没有问题啊，我这是充分条件，我往里面带啊。我没有反过来做，我就往里面带啊，这跟充分条件没关系。它本来就充分呐，得到b平方减AC小于0a大于零，本来就能推极小值啊。哪块有问题？你想想一个事情。我一直给你们讲。你学这个数学也要尊重一点，科学也要尊重一点现实。

你比如说之前过程当中，我们去求面积，有些同学求面积都能等于负三。求旋转体体积等于负五。你说这种东西你敢写吗？那面积怎么能为负的呢？那你告诉我事情到了今天，如果每个点都是极小值点，你告诉什么图图像长什么样子？啊，每个点都是个极小值点，长什么样子？大家注意，长的肯定它只能一种情况，就是平面。

任何一个点比邻域当中都是相等的，也可以算作成小的，它就个平面，但是你发现平面怎么可能导函数的话这个东西？如果是平面，它导函数是个常数。所以大家注意事情这个东西啊，哎，你要注意，这是有问题的点。啊，有问题的。你不能说每个点都是个绩效之点，大家注意，刚才那个问题点出错在哪呢？

大家注意，我来给你讲讲。你要时时刻刻注意一个问题，我们有了第一步，才会有第二步吧。只有他是驻点了，才有资格带进去啊。是吧，你只有注点才有资格带进去啊，你导函数又不是为零的点，导函数又不是不存在的点。那你告诉我个事情，你又不可疑，你肯定不娶啊，我带什么呢？

所以大家注意，他不是说这个后面不行，是他没有资格。你连一点资格都没有，你在那胡待。只有重点才有资格带进去，你都不是重点，我带你干嘛？我带进去，虽然这个结果，但是你也不是，所以大家注意啊，一定要学东西啊，把这东西学通一点。能说清楚吗？

只有驻点才有资格带进去，你都不是驻点，我带你干嘛？虽然带进去也有b平方减AC小于0a大于零，但是你发现一个事情你也不是。你就胡扯。好了，这个问题啊，我们就讲到这。呃，所以说我们讲到这儿，我们应该是把我们高等数学微积分当中的所有的核心知识点全部讲完了。讲到这儿，应该是结束了。然后后面部分呢，

还有两个信息点，这两个知识点呢，我简单跟同学们去讲一讲。简单讲一讲，大家听一下就行了。哎，听一听呢，这东西就结束了，所以对于我们而言的话，所有的这个基本问题你可以算作成结束了。后面还有两个问题，我们简单说一下。提一嘴就行了好吧，来我们一起来看看下面一个问题，有条件机制。

什么叫做有条件机制呢？呃，在基础班过程当中，你可以不用练习这块的题。哎，不用练习那么强化，班过程当中我会设置几个，然后到时候你一做基本上差不多了。好，我们来看看，有条件机制。那么，这个东西的有条件机制啊，我们来看看什么意思呢？它这个意思，

首先第一件事情啊，它不光可以考二元函数，它也可以考三元函数。也可以考四元函数，我们先讲二元函数。它是这样的一个问题，我们先来看看提射条件。提示都会这样说，说什么呢？说你这个函数。在什么呢？在条件。哎，你得给一个条件，这个sy啊，

不是随便跑的，你得有关系，在什么东西呢？xy的一个关系的条件下。它的极值或者最值。那么，同学们，我们来看看那这种问题怎么做？你在这个条件下的极值或最值，我们怎么做？那么，首先我们先来看看方法。第一种方法，那比如说举个例子啊，你看我去求一个z=s^2，

加上y方，我让你去求，在这个条件下的极值，你怎么做？你带回去不就行了，一带回去的话就变成了一个一元函数了。是吧，就变成了一元函数求极值的，那非常简单了。所以大家注意啊，我们就可以把它回单。对吧，带回去。但是你要注意啊。如果我们真的考了这个问题。

你觉得他能让你回带回去吗？大家想想一个事情。比如说如果我们的考研题过程当中，我们真的考了这种问题。他能让你带回去吗？他不可能的。他哪有那么好心啊。他怎么可能会让你带回去，能让你带回去就见鬼了，所以大家注意一个事情，他绝对让你带不了，那带不了怎么办呢？我们接下来过程当中，我们来看第二事情，那方法二就叫拉格朗日乘数法。

乘除法哎拉格朗日乘除法。这个拉格朗日乘数法是怎么做的呢？那么在这种当中，你你看这个人这个人很牛逼啊呃，我们考的没有考的那么牛逼。你三九六的过程当中，我们去考这个拉格朗日考的稍微少。但是呃，如果放在这个普研的考研，对吧？数一数二数三的这个普研的考试呃拉格朗日啊，我一直这样讲。他不是数学史当中最牛逼的。它一定是考研史当中最牛逼的。他绝对是他是考研史当中最牛逼的。

历史当中啊，它排不到前四，但是你发现考研时它绝对是第一。因为我们原来过程当中，我们讲什么拉格朗日终止定理。带有拉格朗日遗像的泰勒展开。然后到了今天过程当中，拉格朗日程出发，所以像这个人呢，如果在普研的考试当中基本上都能出大题。啊，好了，我们接下来过程当中啊，我们继续，我们来看看这个人。

什么叫拉格朗日乘除法呢？那么在这本当中啊，核心做题有三步。第一步，我们进行去设拉格朗日函数。哎拉格朗日函数。好，这个人这个拉格朗日函数怎么去设呢？我们一起来看看。那么，在这个当中，要求谁先写谁？求你先写你。第二件事情引入一个参数lambda。啊，

引进一个参数lambda，然后把这个条件写到后面去。好，这就是我们设的函数。要求谁先写谁，然后引入一个参数lambda，然后把这个条件一边写成零，一边写到lambda后面。那么，同学们告诉我，现在得到了一个起源函数。原本是两元函数引入了个lambda，就变成了三元函数。好，这个这个l就是拉格朗日的这个首字母，

所以我们经常用l表示。然后接下来过程当中第二步。我们求助点就行，那求呗，求助点的话，你发现对s求偏导等于零对y求偏导等于零对lambda求偏导等于零。求完了之后的话，同学们告诉我，我可以解。我可以进行去解出xy。对吧，我也可以在这里面当中解除谁呢？我也可以在这里面当中解除lambda。我可以在这里当中解出sy，我也可以解出拉姆达。

我问你个事情。如果让你去解你的重心，是解sy还是解lambda？啊，你想想。你的重心是解sy还是解兰姆达？借谁啊？借他吧他。啊，你们那怎么怎么怎么能这样呢都？你捡那么大干嘛呀？你在求这个函数的极值点内。你在求那个函数在x等于多少y等于多少的时候取极值，关拉姆达什么事情我就算不求它都行。你求他干嘛呢？

你在求这个函数在哪个点处取极值？你光拉那么大，什么事情啊？你就算在这种当中没有写出来，它都行，哎呀，这这不重要啊。好了，这是这个事情，所以在这里面当中啊，这是这样的一个基本问题，然后接下来过程当中，我们再看第三步判定。最后一步判定非常的简单。啊，

最后不判定怎么办呢？比较就行PK。什么意思呢？比如说这里面当中啊，我们解出了100个注点。你就把这100个注点带回去，得到了100个z。最大的最大值，最小的最小值，极大最大的，如果让你去求的是极大值，那就是最大的就是极大值。如果让你去求的是极小值，那最小的就极小值。所以在这种当中啊，

你看这个基本问题啊，就出来了。能理解吗？所以在这种当中第一步，你就设这个函数，第二步求下偏导数解注点。解出来之后进行pkpk一下就行了。谁大题目要什么给什么就行，最大最大值最小最小值就这么简单。所以你发现你看这东西难不难？难不难？第一步难不难？啊，第一步难不难？不难吧？

你设函数有什么难的？啊，你要求谁就设谁啊？所以说这个东西设条件设函数也不难吧？你PK难不难？PK，难什么呀？你把这100个东西的话，你放上去，你放上去比较一下不就行了吗？求偏导的时候难不难也不难吧，所以说不难是不是啊？啊，是不是啊？是个鬼啊。

这这个东西有难度啊。那么，经常在考研过程当中出大题。但是我们的考研过程当中啊，从来没有出过题，如果呃继续去出小题啊，概率也不大，因为的话，你发现一个事情这东西啊，出大题的这个几率性还是比较高。我来给你讲讲这里面当中比较难的点在哪？比较难的点在这一步。哎，这一步比较难。解方程注意啊，

解方程比较难。啊，很多同学，你发现一个事情不会解方程。但是这件事情跟你的大学学习好坏没有关系。没有什么关系。跟你大学学习好坏没有什么关系。这东西的话，有可能你扔给你这个初中的这个表弟，你表弟都会解出来，但是你发现一个事情你解不出来。你扔给你一个高中的表弟哎，他给你解出来了，你有可能没解出来，这都有可能。

所以在这种当中啊，这是解方程。但是这个解方程呢，也有点套路。它不是随便解，它是有点套路的。有一点套路的。就是在哪里面当中的话呃，哪个部分是主体得解？要不要来一个题？你想试一个吗？你想不想来一个？来一个，我给你讲讲来讲一个吧，反正也不影响你时间，

我给你找一个题。呃，找一个这个。呃，我们就讲一个。来看看这个题。呃，我们要不然休息休息会吧，可以吧啊，我们休息会。然后你在下课休息的过程当中，你可以试一下，你把这个题截个图。截一下啊，截一下图，

然后你下课过程当中，你试一下你设函数会设吧。你不会设的话，你刚才就没有听啊。你设一下这个函数，你肯定会设，然后第二件事情的话就是我们在这里呢，偏导数会算吧？你得会算对吧啊？你得会算，你先把这个东西算出来，你算出来之后啊，你也解一解，你看看这个方程，你能不能解出来？

你试一下吧，好，我们稍后休息会儿吧，一会儿我们继续啊。

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28.多元函数求极值-1

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