27.全微分与二元隐函数偏导数计算-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:47:50

那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个373题，这个题啊，来，我们来看看这个题。呃，这个题啊，做出来没s偏导数和y的偏导数非常简单吧，因为这两个东西的话，你发现基本上用眼睛进行秒就行了。这不是个分段函数，我也未必是要用定义，所以在这种当中啊，你可以先带你把这里面当中怎么办呢？

你把这个y=0带进去。y=0代进去了之后的话，你发现这就是零。你然后再把x=0带进去呢，你发现还是零。所以说你发现个事情，那这个东西在x处在零零处的偏导数是几？你求导的话，你发现很明显是零嘛。然后这个人呢，你在进行求导的时候，零求导肯定也是零嘛，说是零。好，这个非常简单啊，

你都未必要进行去把那个定义式写出来，非常快，然后接下来过程当中，我们就来写什么，我们来写这个可谓的做差式的定义来写。x趋向0y趋向零，然后跟上这是fx y-f零零。再减去dz在这个点处的零零处的啊，这个微分，然后再比上什么根号下x方，加上y方。然后绩效过程当中，你瞅一下，你看这个题的f零零是多少？把零和零都带上去，

是不是零？所以说这项是零。因为这两样东西的偏倒数都是零，所以说这一项呢也是零。你看这两项都是零唉，这两项都是零的话，你发现当x趋向零，然后这个y趋向零。然后这是多少根号下x方，加上y方那这个部分呢？留下了这个人。那么，这个结果是多少？我们的核心重点就变成了这个二重极限，所以你发现这种当中啊，

很考量大家的这个二重极限的能力。等于多少？其实你发现我眼睛漂一下，我都知道这东西肯定不可为。为什么呢？大家想想，我先给你教两种方法。我们先来做这个题，然后再来求这个极限，听懂我的意思吗？很多人说老师什么意思啊？你做这个题不要求这个极限吗？你先听我们来做这个题。大家告诉我，你做这个题的方向是什么呀？

你在乎这个极限存在和不存在吗？我不在乎，我管你存在不存在呢？我在乎的是什么？我在乎的是你这个人的话，你发现是不是零？对吧，你在乎的是这个人的极限是不是零，这是你的方向。然后接下来过程当中，我们稍微瞅一下，你看这个人是个一姐吧？然后这人是多少？这人是个三分之二节。低阶比高阶，

我们都知道在一重极限当中，低阶比高阶是无穷大，那么接下过程怎么办？我就取一个一次函数方向。取个一次函数方向，仍然是低阶比高阶，它肯定是无穷大唉，我找一个方向是无穷大，那这个时候你发现肯定不是零啊。或者而言，一个方向是无穷大，那这东西也是不存在呀，立即出来了，所以同学们这个东西的这个想法很重要。就是你做这个题的，

这个意识很重要，你不是在这里面当中拿到这个题，你胡乱来。你要判断的对吧？这上面这个低阶比高阶，所以说接下来过程当中怎么办？我就取。为了不破坏这个接触，我就取y=s趋向零零，那这个时候你发现一个事情立即变成了s趋向，多少趋向零？然后这是二倍的s方，然后这是多少s方开个三次方，那这个结果呢？这个结果是无穷大。

因为上面这个东西啊，是三分之二阶下面这人啊，是一阶在一重极限当中，低阶比高阶是无穷大。那找到一个方向，不存在那这个结果呢？肯定不存在，既然一不存在，你发现肯定是不可为，因为你不为零啊。其实同学们想想，如果这个人是存在，他照样不可为。你就比如说举个例子，这个东西我一看它是存在我的重点的内容，

不是看它存不存在我的重点，是看你为不为零。所以将来过程当中啊，你只要找一个方向不为零，它就不可为能听懂我的意思吗？好，这是这个事情。意识非常重要，你下去过程当中好好想想好了，那么这节课非常非常的高能。所以刚才过程当中，我们讲解了几个重点事情，第一事情可危的定义。第二，事情可为的这个计算，

第三个事情可为连续可导之间的关系，还有它的判定。好，这是这个事情，能想清楚吗？所以接下来过程当中啊，我们再来看一个内容，哎，我来讲一个问题，大家好好听啊。比如说我要出一个体能。这个题啊，作为今年二零二四年的考研真题，你觉得怎么样？啊，

我们三九六的题，但其中过程当中啊，有一个选项好，你听一下，如果在这种当中啊，你发现一个事情，我们出这个人。我们说如果它在零零处的这个偏导数是三。如果你发现一个事情，这个y的这个偏导数是四。然后接下来过程当中有一个选项，这有一个选项，他说他说则在这个点处。它的这个权微分就等于三倍的ds，加上四倍的dy，

你觉得对不对？好，你先看这个题。那么，这个部分的东西啊，很重要啊，对不对？啊。对不对？你s偏导数是三啊？你歪的偏导是四啊。则这个人权威分就是三倍的ds，加上四倍dy啊。对不对啊？为啥不对啊？

哎，你看有些同学非常好，非常好嗯。这个东西就是我们刚才讲的这个什么讲的这个哎。可微的这个计算全微分的计算性问题。大家注意啊，其实刚才过程当中我们讲这个内容不严格。唉，不严格，大家注意，不是说你给一个函数它的权威分就一定是偏sds偏ydy，这不严格。不是很严格的。这件事情的话，你发现一个事，

我们来看看这个讲义上的内容，大家好好听啊，你来看看这个人。他是这样说的。如果这个函数在这个点处是可微的。那么，这个函数在这个点处的偏导数一定存在，这当然了。可危必可倒嘛。那这个时候你发现一个事情，它的全微分才是偏sds偏ydy。大家注意一个事情，看一看第二个事情说对于可微分的函数。它的这个人的权威分才是偏sds，偏ydy，

偏zd啊这个dz。所以同学们，你想想一个事情，这一条内容非常的重要。什么时候才会有这件事情？大家注意，只有可微的时候才可以。你要记清楚啊，你要把这个部分内容你要学好，你要比别的同学学的好。你要比别的同学，你发现一个事情感受考点的这个强烈程度啊，要强一点，当然这些事情也不需要你去感受。啊，

我们来总结。啊，我们来总结。呃，就跟这个。前天过程当中，我们每天晚上更新这个睡前系列一样，对吧？睡前系列一样，那比如说这个前天过程当中，我们更新了一个这个。呃，就应该是昨天还是前天那个数一数二数三同学里面当中啊，我讲了一个题是拉格朗日中值定理的题。啊，

就是那个arctangent-arctangent那个题，我们说用arctangent题啊，这个拉格朗日终止定理做那个题。然后下面就有同学啊，我发现就有些同学飘的不行啊，然后下面就来了考研过程当中不喜欢考这种直接出的。只喜欢考什么什么什么样子的。唉，我一听你去看看这个事情，两千一八年考的那个题就跟那个题是一样的。类似的，你发现个事情飘的不行啊？那所以在这种当中的话，你发现一点都不了解这个考研方向啊。好，

这是一个你还有一个事情的话，你看这两天过程当中，尤其是我们的税前系列，我们这两天过程当中，我们的税前系列正在更新什么？正在更新定积分的应用吧。啊，正在更新这个部分内容。那定期分的应用的话，你发现每天下下下面部分都有用二重积分秒了，二重积分秒了，你不看看那是我们三九六的题，你说在这里面当中装那一下干嘛呢？说实话，都没有什么必要，

对吧？所以在这里面当中，我们就不会进行去学习那个二重积分，难道就为了那个知识点去专门把二重积分去学一遍吗？不理解啊。很多人的话就喜欢秀那一下啊。好了，那么接下来过程当中，我们继续，我们把这个东西啊，我们就放下来。来那么接下来过程当中，我们来看看这个知识点。你要注意。只有在这个大前提条件下。

什么前提条件下呢？是这个人就说，如果这个函数在这个点处是可微的，可微分就是可微的。那这个时候你发现一个事情，他的这个人的权威分才会是这个人。这是你要注意的啊。听懂我的意思吗？唉，注意一下，只有你是可微的，你的权威分才能写成偏sds。天歪地歪，那么同学们想想一个事情。你现在过程当中告诉我x偏导数是3y的，

偏导数是四就告诉了两个偏导数都是存在的。两个偏导数都是存在的，只能说明什么东西啊，它是可导的。能理解吧，唉，这东西是可导的，那可导呢？可导一定能退出，可微吗？不行的。你要注意，可导推不出来，可为未必是可为的。能理解吧，

未必是可为的。所以说这个部分内容它是个必要条件，不是个充分条件。对吧，可为了有他有他可不一定可为。啊，就说呃，有他的可为啊，这个应该不不是这样说的，就说如果写出全微分了，他肯定可微分。但这件事情肯定是这样，你要注意啊，如果都把权威分写出来的，肯定是可为的，

这些东西的必要条件说的是什么呢？必要条件说的是这个东西，必要条件说的是可微，能推出可导。可导推不出来，可为所以说他写的是必要条件，你听得懂我的意思吗？哎，注意下这个事情。他说的是这个问题，什么问题呢？就说可危能推出可导可导推不出来可危，所以说。导偏导数存在是可微的必要条件。但是你要注意一个事情，

如果有一天过程当中，人家一个题已经把全微分写出来了呢，全微分写出来了，说明它是可以微分的。如果你不可以微分，你是没有权威分的，能理解吗？这事情能跟上吗？好注意下，如果把权威分都写出来了。它肯定是可违反的。它这个东西的必要条件说的是可为，能推出偏导数，存在偏导数，存在推不了，

可为说的是这个事情。好，这个问题点我们就讲到这儿，所以要注意啊，这个东西的这个预测点这是非常重要的。就害怕你把这个东西给选错了啊，小心再小心啊，非常要注意这个事情，好了，这个问题啊，我们就讲到这儿，那么接下过程当中，我们再来看看。第四节问题二元隐函数的偏导数计算。二元隐函数，

那这个部分内容也是个必考内容。所以你可以看出来，这一节对我们而言呢，非常非常的重要。就这一章的考点都很重要。无论是那个定义的问题。那去年过程当中的话，你发现考定义考了两道题，光定义考了四分儿考两道，然后偏导数的计算，又考了一道。那么，像这个二元隐函数的偏导数计算也非常的重要，那么接下过程当中，我们一起来看看什么叫做隐函数呢？

你放轻松啊，这节非常好学。这节贼好学。好，我们先来看看什么东西叫隐函数呢？隐函数这个东西非常简单，它的核心主体呢，是由方程进行确定的。方程唉，注意以方程进行确定，如果一个方程确定了一个几元函数，一个方程进行确定的一个二元函数。它就是一个二元一函数。所以在这里当中的话，你发现一个事情，

比如说我们这里面当中，我们写个二元函数。那你告诉我个事情，这个方程就有几个人的方程呢？就有三个人的方程。方程的圆指的是未知数。函数的元指的是自变量。两个自变量才叫二元函数。而方程呢，说的是未知数。你想函数肯定说自变量嘛。方程肯定说的是未知数，这里面当中有几个未知数，三个未知数，所以说这个方程叫三元方程。

你要听清楚啊。三元方程一个，三元方程确定了一个二元函数。函数指的是自变量，二元函数，三个变量，唉，三个未知数，叫三元方程，三元方程确定了一个二元函数。能理解吗？那么同学们，你还记得一元引函数吗？一元引函数，还记得吗？

唉，这个东西就叫二元一函数。一元一函数，还记得吗？那就是一个二元方程确定的一个一元啊，一函数。那么，在一元一函数当中，我们是怎么求导的呀？方程两边同时对s求导。那个时候里面当中的y不是个常数y，是一个x的组装y，是一个x的函数，那个事情还记得吧？考研重点啊。

那个东西也是必考内容。所以同学们注意方程，两边同时求就行，那么今天过程当中我们来看看二元隐函数的偏导数计算怎么做呢？其实你发现这个板块应该有三种方法。但是我为了给同学们进行去减负担，那个东西学霸也不会影响你去考满分的。不学也不会影响你考满分的，所以同学们，我们把一个权威分析是不变性，我们就不讲了，不用着急，那个事情不会影响的，你学了之后的话，你只会增加自己的负担。

并没有提高自己的做题能力，所以这里面当中啊，你掌握住这个方法就行，我们重点讲几个，你学几个就行，好，我们来看看两个人。那么，首先我们先看第一个事情，二元隐函数是什么来走向来一起看？三元的方程。然后确定那个几元函数确定了一个二元函数。所以说这里面当中的z啊，其实是一个sy的一个函数。这里面当中的z是一个sy的函数。

所以接下来过程当中，我们来看看这块东西的求解方法有几种呢？好，我们先来看看第一种方法，方法一。方法一是什么东西呢？方法一跟高等数学上册如出一辙，一脉相承。我们先看方法一。方法一啊，叫做求偏导法。那么叫核心重点呢？就是方程两边。方程两边。同时，

对x或者y。求偏导大家注意，这就是它的求解方法，就是我给这个方程的两边同时对s或者y求偏导。你发现这个方式啊，跟我们高速上一样不一样一样的呀，你原来过程当中是两边同时对s求导，我现在是两边同时对s求偏导。因为你是个二元函数，求偏导。然后两边同时对y求偏导。但是你要注意这个方程里面的z呢。z是一个xy组装而成的，就是你看到的z它应该是个xy的什么东西啊组装，所以说z中有SZ中有y。

啊，这个事情跟原来过程当中学习啊，一脉相承。那么，绩效过程当中，我们来看看吧，我们来做一个题，先来看看五点二四这个题你要注意啊，这个题啊，我们往年真题出过。啊，就这个题。好，我们先来看看这个题目吧，来解。

这是我们的真题啊。也是数一数二数三同学的真题。所以当年过程当中出我们这个真题啊，你发现就是在数一数二数三同学的那个真题当中，把那个题直接拿过来用了。好，我们一起来看看这个人。要想进行去求你看二元函数，由方程去定二元隐函数，二元函数求全微分，就是求解偏导数。能理解吧，二元一函数不是一元一函数二元，那我可以怎么办呢？方程两边同时对s来，

我们一起来。那就是先对中间变量求导。然后中间变量再求导s，求导是1y，求导是零，因为你发现这一当中你要注意这个事情，它是个二元函数。你对s求的时候y肯定是个常数，但是z中呢是有x的。所以接下来过程当中，我们继续写那就三倍的多少z对s偏导数。然后继续再加y是个常数，把它抛出去。然后s是s函数z也是乘法求导，前导是一，

后面不导，前面不导，后面来导是这个人。一求导是零移式出来。好出来了吧，就是方程两边同时对s求导。一求就行了，好这人就出来了，跟得上吗？同学们好，我们再来看啊，继续来一遍方程，两边在同时对y求导。继续走，先对中间变量求导。

中间变了再倒。s这个时候是常数y这个求导是二，然后是三倍的z对y求偏导。跟得上吗？然后接下来过程当中s是个常数y是y的函数z也是。那就是前倒后不倒，前面不倒，后面来倒是这个人。一求到是零二十。这跟原来过程当中学习一样不一样。非常相近，简直就是一模一样。好，这是这个事情。然后接下来过程当中，

我们再来看，然后去求解这个点数的值要不要解出来啊？不要解跟原来过程当中是一样，不要解。怎么办呢？直接将他带进去，第一件事情将零零带入到谁当中？首先第一章当中带入到原始中。先解出z好，带到这里面，带到这里面当中的话就是e的3 z=1，然后z等于几。c就是零，然后接下来过程当中继续再加什么s=0 y=0 z=0。带入谁当中呢？

带入一和二中好，我们继续看。那代到上面当中的话，你发现看你sy是零，这就是零啊。然后e的零这是一啊，就不管了，所以z对s这个人的偏导数是多少是负的三分之一？z对y的这个人的偏导数是多少？是负的三分之二。所以说这个部分内容就出来了，是负三分之一ds，负三分之二dy好出来了。跟上了没好基本点，你发现这个方法就跟我们高数上是不一样的。

一脉相承。唉，如出一辙，一脉相承，那所以你发现一个事情套路都一样，操作性也一样。好，这个点过去了，可以吗？好，这是我们在这本当中啊，介绍的第一个事情，但是注意啊，你要注意一个问题，不要做井底之蛙。

这个方法不是最好的。在一元引函数当中，掌握住那个方法，吃遍天一招，吃遍天，但是你要注意一个事情，在二元函数当中啊，这个方法不是最好的。这点当中啊，还会有更快更好的方法，那么接下来过程当中，我们来看看方法，二公式法，注意一下这个事情，这才是y yds。

就这个方法，这才是非常好的方法。但是这个方法有个特点。好用，但是一开始的接受啊，需要有点接受状态。就是你一开始的时候，你需要进行去接受它。就是一开始的时候，你你先得接受他，你可能在接受他的时候的话，你会发现没有刚才那个好接受。刚才那个东西好结束啊。因为刚才那个东西跟我们原来过程当中学的那个内容是一样的，所以好接受，

但是这个东西从接受角度上而言，可能没有那么好接受，但是你发现。非常好用，非常快。好，那么接下来过程当中，我们一起来看看下面的事情。那么，在这种当中，我们来看看公式法。那公式法是什么呢？公式法就是你要进行去求x的偏导数。对吧，你不是确定这个函数吗？

你要去求x这个偏导数。就等于负的，然后前面这个方程，这个人对s偏导数。方程的这个部分再对y的偏头数。然后接下过程当中，我们再来看看偏z偏y，它是等于多少负的fy撇比上fz 1撇。但是这里面当中啊，有一个特点。唉，有一个非常重要的一个事情，就这里面当中，你要时时刻刻注意一个问题，这个东西这个大f是谁呢？

对吧，这个大f是谁？这个大f你发现是方程的这一边儿。你都知道一个事情，像这种题题目都会给你方程吧？所以这个部分的这个函数在哪找呢？第一步，你要进行去找这个函数，怎么找把方程一边摆成零，一边摆成这个函数？同学们注意啊，这个东西是个三元函数。然后接下来过程当中，第二步再去求这个三元函数，对x3元函数，

对y3元函数，对z。对s求的时候yz看成常数，对y求的时候SZ看成常数，对z求的时候sy看成常数。所以在这种当中，你发现一个事情，有些人就转不过来了，说老师不对啊，你刚才过程当中，你说对x求导的时候y看成常数没问题z不是一个x的函数吗？你怎么现在用公式法的时候，你怎么在这种当中对s求的时候yz都看成常数呢？有些同学就转不过来了。所以今天过程当中，

我给你推一遍。大家注意啊，我给你推一遍，所以在这种当中我们来看看啊，这里面当中来一个分析。我今天给你推一遍。啊，当然，你要有这种态度，你也能考满分啊，管他呢，把它记住是吧，记住啊，你也能拿分。但是我觉得基础班不要这样。

基础班还是理解一下比较好啊。基础班还是要理解一下，来一起看吧。那么，在这里当中，我们一起来看看这个事情，来操作一下。你发现这东西是个方程。这个方程是fxyz。等于零，然后接下来过程当中，我们确定了一个什么，确定一个z=z sy的函数。好，这是这个事情，

能理解吧？唉，确定这个函数。那么，接下来过程当中，我们一起来品一下这个事情，你来给我看看这个函数。这个函数的结构是什么呀？来一起看啊，这个函数的结构应该是先到x再到y再到z。是不是啊？但是你发现一个事情，这个x这是yz还要到SZ还要到ys到sy的到到这个人。你发现这是不是还要过来？能理解吗？

所以同学们注意一个事情，你看。你现在所看到这个东西啊，它应该是三个中间变量。这个中间变量再往下走一级才是自变量，能理解吗？所以接下来过程当中，我们来看看刚才的方法，你还记得刚才过程当中我们怎么进行去求这个偏导数的吗？还记得吗？怎么去求这个偏导数方程？两边同时对s求，所以说接下来过程当中我们方程这边对s求。这边对s求怎么求？先对第一个中间变量求导。

然后第一个中间变量再求导是一。然后再对第二个中间变量求导，第二中间变量y求导是零。在对第三个中间变量求导，因为是方程两边同时求嘛，是第一种方法两边同时求z中是有x的。好零求导是零，跟得上吗？好了，这就是我们刚才过程当中啊，方程两边同时求导的内容。唉，那这些当中的话，你发现我们不是要要这个人吗？我问你个事儿。

这个人什么意思啊？这个f一样。这个f1其实是对第一个中间变量求导的结果，我问你个事情，他只求到谁？他是不是只求到这儿？不是到这儿吧？它是对中间变量，中间变量再求导的，这个一在这呢。如果是求到这儿的话，你发现你看这一条线的话，它在这儿，所以它是对第一个中间变量求导结果。能听得懂吗？

所以同学们告诉我事情，第一个中间变量是谁？第一个中间变量是x。我就写s算了，我写慢一点，我们都知道中间变量应该是个缩写形式是这样的，一个缩写形式吧。然后这个是f3第三个中间变量是个缩写形式。然后这是z对s1撇等于零。而你发现这里面当中的话，它只求到中间变量第一个，中间变量是谁？第一个中间变量就是x，所以说我把第一个中间变量写成x。对吧，

然后第三个中间变量是谁？第三个中间变量就是z，我就把这人写成了z。z然后这是他zi c撇等于零，所以说你告诉我事情zi c1撇，这个人等于多少？等于负的f对x这个人。然后除以多少fz这个值。唉，那同学们告诉我事情这个公式法里面的这个人，你告诉个事情，这个公式法里面当中的这个x和z只求到哪一级啊？哎，公式法里面的这两个人只求到了这一级，只求到了中间变量级。

是不只求到中间变量，那么同学们告诉我，如果只求到了中间变量，不要看这个人。只求到中间变量，这是三个中间变量对第一个球，这俩人看成常数，对第二球，这俩看成常数，对第三个球，这俩人看成常数，你能理解我的意思吗？所以你应该是明白了，我为什么对这个人求的时候把它看成常数，因为我没有求到自变量级，

我只求到了这儿。这是这个问题，理解透了吧，我这个板块内容我讲的比较慢的啊，你要稍微理解一下，如果你实在不理理解不了，你下去再理解理解。如果你实在是理解不了。基础班的时候再坚持一下，再理解一下，我相信你是可以理解，帮着你进行把这个东西打通，如果实在实在实在不理解，你就把它给我记住。考试也没有任何问题，

能理解吧好，这是这个事，所以这两个部分的这个方法非常的关键。好，这两个方法。能理解吧，所以在这种当中做题分成两步走，第一步干嘛？第一步找三元函数。方程的一边是零，一边就是三元函数，然后再去求三元函数的三个偏导数。套公式就行。能理解吧好，我们用同一个题，

然后接下来过程当中啊，再来操作一下这个人。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个五点二四这个题好，我们再一次用这个方法二你进行做一下。你来看看它有多么的快公式法。好回答我第一步干嘛先找三元函数？这个三元函数在哪儿？这是方程，把方程的一边摆成零，那就是这个人。再加上xyz再减去一方程的一边是零，一边就是三元函数。好这个人，

然后接下来过程当中直接上这个偏导数，这个偏导数等于负的三元函数对s。除以三元函数对z，那你想想一个事情，既然是三元函数对s求yz都是常数，相当于一元函数求导了吧？这多简单，你看我先对这个中间变量求导。然后这个中间变量对s呢，就是1y和z都是常数，然后再对s求导呢，唉yz都是常数，你看这多简单。然后再对c先对中间变量进行求导。中间变量再对z求导，

你看这是三，然后这人对z求导呢xy。你看这特别好，求相当的容易，所以速战速决就变成了一元函数求导，然后接下过程当中，我们继续再来看偏y。就是负的三元函数对y÷3元函数对z下面这东西是一样的，三倍的一的2 s+3 y，然后再加上sy。那么再来看看上面这个人诶，你再对y求导呢？你再对y求导的话就是这个人先对中间变量求导。中间变量再求导呢y求导是二，然后中间这个人对y求导呢xz。

非常非常快。然后刚才过程当中，我们都知道当x=0 y=0的时候，你是不是往这儿带？待在这里面当中的话，就是e的3 z=1 z也是几z也是零诶，既然是零的话，你发现一个事情零零一的零是一好出来。负的三分之一。零零一一出来负的三分之二本题结束，因此你发现负的三分之一点s减去三分之二。好，这个方法。这个方法是最快的，对吧？

你注意啊，考研过程当中啊，我们喜欢考一级。哎，我们喜欢考意见。呃，这个方法的话，你发现速战速决。很具有操作性，而且它可以帮助你进行去处理，很多繁杂一些的题。有些题很繁杂。长相非常恶心。操作性的话，也发现一个事情也非常的麻烦，

那么在这种当中，你用这个方法的话就非常的简便了。为什么呢？三元函数。对一个球，两个人是常数，那其实就是一元函数，求导这多简单呀。好，我们继续啊，我们再来看一个题来看这个人。那么，在这两件两种方法当中，我们怎么进行去区分呢？怎么进行去选取呢？

那么接下来过程当中，我把这个事情我们来讲讲。怎么去选取？大家听好了。那这里面当中啊，大家想。如果考研过程当中。注意啊，如果考研过程当中考的是一阶偏导书。我换成我喜欢的绿色。如果考研考的是一阶偏导书，你会选哪个方法？那当然，公式法呀。你一阶偏导数公式直接出来了，

公式直接出来了，那不用去想一阶偏导数用公式法。但是你放心啊，我们的考研过程当中啊，99%都是一阶偏导书。百分之九十九二元隐函数都考一阶偏导数。哎，这个事情，但是我觉得这两年过程当老头，老头子不是死贱活贱的吗？也会考到二阶偏导书，所以说今天过程当中啊，我专专门给你准备了一道二阶偏导书的题。啊，那么同学们想想，

如果这个题考二阶偏导书呢？啊，如果考二阶偏导书呢？大家注意，如果考二阶偏导说同学们注意一定用求偏导法。为什么哼，你想想吧，我举个简单例子。比如说我这个题要求x的两解。我要求s了结，你用公式法写出这个式子，你还有进行去再进行去求下去的欲望吗？啊，你发现一个事情，你看你这个东西的话，

你发现你把这东西求成这样了，你再进行去求二阶偏导数，你还想求吗？我反正不想求了。这也忒恶心了，所以在这里当中，你要注意一个事情，如果这个题啊，大家注意，如果这里面当中去求二检。求二阶的时候选第一种方法。方程两边同时求一下。方程两边同时再求一下，就有二阶偏导数了，一会我会讲啊，

一会我来讲，但是你注意啊，你放心吧，我们考研比较高频的部分就在这儿。我们考研高频的部分就是公式法。数一数二数三同学用了接近34年。才第一次考了二元隐函数，直接的导数计算的二阶导数计算。而且我不相信我们，我们又只需要一年吗？难道真是这样吗？直到去年过程当中，二元隐函数的偏导数计算。他才考到二阶偏导数计算那么多年，30多年都是一阶偏导数计算。

你发现一个事情，他们用了30多年，我就不信我们还是只需要一年吗？但没有关系，我们这里面当中，我也给你放了一个题。对吧，你看在这儿。好了，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看看一下这个五点二五这个题。来看一下这题。那么，在这个当中，

我们一起来瞅一下这个人。来看看这个。那没关系啊，反正我们都做好了准备啊，今年非常的全啊。好了，一起来看来解。请告诉我事情几阶偏导数，一阶偏导数，那既然这里面当中的话，你发现是一阶偏导数选什么方法公式法来？找三元函数。这个三元函数一边是零，那就是2 x- 3z，然后加上2 y-z一边摆零，

一边摆成三元函数。然后接下来过程当中，我们再来看看s偏导数，你注意啊，但是公式法里面当中啊，有一个易错点。你注意前面当中是不是有个负号啊？多少同学都是这样。而你发现，如果我进行出答案的时候，比如说举个例子啊，这题的正确答案是三，你发现那个我答案当中肯定会有个负三的。你少加负号了，这不是负三了吗？

所以这里面当中就会出错了，你要注意前面当中是有个负号的。而且如果有符号的话，那个答案当中肯定有一个这个人，我一下让你选到错误点。那这非常恶心了，前面有个负号，你要稍微小心一点，这是有个负号的。然后直接来，那就是对s偏导数，我直接写了，我就不写那个公式了，来对s对s的话，你发现这个人先对中间变量求导。

中间变量求导，这是二，然后后面求导没了好，这个人就是这个人。然后再对zz的话，你看这个人先对中间变量，求导中间变量，求导是负三，然后这个求导没了，然后这是负一，你看这多简单。然后接下来过程当中，我们再来看看偏z偏y，这是负的下面这个y是一样负三倍的，2 s- 3z，

这是负一。然后对y呢，没了没了，这是二，然后接下过程当中，你就整理一下，一整理这是多少负号下来？三倍的2 s- 3 z+1，然后这是二倍的e到2 s- 3z，然后这个部分呢？负号下来。三倍的e到2 s- 3 z+1，然后这是解这是二。然后接下来过程当中，我们一起来看你看，

这是一式一式要乘上个三，然后这是二式二式要乘个一。好同学们，你给我抽奖。这个分母啊，是同分母，分母都是三倍，这个人加一。然后这就是六倍。加个二六倍，加个二把二提出去不就三倍，加一三倍，加一除本题出来等于二。跟得上吗？好，

这结果出来了。所以你看这个分母是三倍加一啊，你把这二提出来不就三倍加一三倍加一咔一除没了。出来了，基本信息点啊，非常简单。好了，这是这个事情好做吧，你看这个公式法。非常快啊，他比你两边同时求偏导，然后进行去解，快多了，唉，操作性快多了。

因为你两边同时求的时候，你发现你对s求z中还有x它其实是两个部分都要看成s，求的时候就非常麻烦了。好，那么绩效过程当中，我们再来看看这个题。啊，这个题的话，你发现来继续。那这个题呢？这个题的话，你发现它给了一个什么？它给了一个抽象方程。唉，他给的是抽象方程，

你看这个方程方程不是具体的，刚才给的是个具体的方程。这是个抽象方程，你管他呢。什么抽象方程，你再怎么抽都没用。你再怎么抽我都按照我的做题方法都一样。所以首先第一件事情干嘛呢？第一步。先干嘛？先找三元函数。啊三元函数，但是你发现一个事情，有同学说啊，这里面当中三元函数，

这里面当中稍微小心一点就行了，如果你把这个三元函数你都知道，一边是零，一边是三元函数，你这样写。不太好吧，其实你理解。这俩f不一样。你能理解吗？这俩f不一样，这件事情就像什么呢？比如说举个例子啊，我们经常比如说在高数上当中，我们设fs。对吧，

设fs。但是同学们，你想想，如果这个人的题目当中。题目当中有个fs的时候，我们就设什么，我们就设成gs。是不是这个意思啊？灵活一点嘛。你这是个代号嘛，你设了一个函数嘛，所以大家注意事情，你就换一下就行了，好，我们来看看这个三元函数呢，

我设成这个人。是这个人好，这个人。如果你是个高手，你要是个高手，我就这样做了，我这个三元函数就直接是这个人。你管我呢？我也不用写代号了，我管他呢，好了，我们来看看这个事情pi zp is出来了，走负的来四。三元函数对s，它对s呢？

f对第一个中间变量求导。y是一个常数x方分之负一，加上f对第二中间变量求导。中间变量求导的话，你发现z是常数x方分之负一跟得上吗？应该能走通啊，来继续再对z。f对第一个中间变量求导没有z这是零，然后是f对第二中间变量求导s分之一。看不懂吧，好继续再来看偏z偏y。偏z偏y的话，你发现下面是一样好，继续再对y。对y求的话，

你发现对第一个中间变量求导，中间变量对y求导s分之一。然后接下来过程当中，你再看这个人。唉，你这个人的话，你发现没有y没有y的话就没有了，所以说这件事情啊，就立即出来了。所以接下来过程当中，我们就来看把这东西稍微整理一下，你发现这是f二一。把这个负号挪上去，挪上去，再乘个ss分之yf一撇s分之zf二撇是这个人。

然后这个部分呢，它就是负的f2撇f1撇。是不是这个人，然后接下来过程当中，你看这第一个式子啊，它要乘个x第二式子啊，它要乘个y。所以接下来过程当中，我们把它进行叠加一下，就是s倍的偏z偏s，加上y倍的偏z偏y。是不是这个结果好了，那么接下来过程当中，我们一起来看。那么，

在这个当中，马上来看这个分母，这个部分是一样的，你乘个s呢，你乘个sy倍的f1z倍的f2。减去y倍的f1哦，这俩东西约掉了，这俩东西又约掉了，好本题结果就是个z。能听懂吧，好基本问题点。所以像这种类型问题啊，你完全套公式就行，你就记住一个事情。这一块就是我要找的那个三元函数。

你一边是零，这半边就是我要找的那个三元函数，我要对三元函数去求导我，然后进行去套公式就出来了。能掌握清楚吗？好非常简单啊，这个题。很好做，相当简单，来继续吧，我们再来看看下面一题。好这个题啊，这题是预防万一的。那这个题的话，你发现一个事情，

它就考了这个什么两阶偏导数好，那么今天过程当中，我们来做一个两阶偏导数怎么做？好，我们继续，你发现一个事情，这个题是个几节？这一题是一个二阶偏导数。二阶偏导数，你就得用方法一了。对吧，两边同时求那对x求两极啊，就是方程两边先求一下。然后方程两边再求一下就行，跟高数上一样来一起看这一行，

两边同时对se的z。注意，这个时候z中是有s的吧，两边同时求的时候z中有s，再加上s函数s函数。前倒是后不倒，前面不倒，后面来倒，然后这人对s呢？这是二。好，第一件事情是不是出来了？这也不难呐，然后接下来干嘛呢？两边再求两边再求一次就行。

你发现s函数s函数那么前面求导呢e的zz对s导，后面不导。然后再加上前面这人不倒，后面这人再求倒两级倒。然后再加上z对s1撇s函数s函数，那么就是前导是一后面不导。前面不倒，后面来倒就是ss的两撇二求导是零。好，这里是不是求出来了？跟得上吗？就是这个时候的话，你发现你对s求y肯定是常数嘛，但是z呢z中是有s的，因为你两边要同时求嘛。

公式法为什么看正常数呢？因为我只求到了中间变量好这个问题，然后接下来干嘛呢？你再带值第一个事情。将什么东西啊？将x=1 y=1带入到谁当中呢？带入到原式当中。带到原式当中的话，你发现一个事情，你往里面带，那就是e的z，然后加上z它等于几它等于一。唉，这个人等于一的话，你发现严惩罚，

这是超越方程，严惩罚等于减零一的零是一，后面是零，然后接下来过程当中继续再将s啊，这个什么等于一？y=1，z等于几零，你不需要写那么详细啊，因为你们都是选择题，你写那么详细干嘛？再带到20当中。我是为了让你看到，你看跟高数上是一样的，来继续带一的，这个临时解1z对s1撇。

然后加上多少？这是零。然后这是多少z对s1撇它等于几它等于二，所以说z对s1撇它是一，然后最后一件事情你不需要写这些字啊。然后将这个人这个人z对s1撇，等于几一带入到谁当中呢？带入到三当中。好，这是当中，然后最后一件事情，我们来说关了，你发现。这是一那这是一好，前面一个一一的零是一，

然后的话，这个东西是z对ss的两撇。然后这个结果呢，又是个一，然后这又是个一，然后s是一，那你看z对ss的两撇等于零，所以说z对ss两撇。在零零处等于几它等于负的二分之三。好，这个结果负的二分之三本题出来了吧？诶，这个东西跟高树上一样不一样。一样的高数上就这样，倒倒倒带带带，

你现在也是倒倒倒带带带。倒两下，带两下一样的，你操作性一样，那这件事情你现在心里踏实了吧？唉，我相信你心里肯定是非常踏实了。啊，第一处。所以说这里面当中的话，你发现我们一下把这个内容我们就讲完了。那这个部分的核心知识点，那就出来了，非常简单哎，这个人。

好了，这是我们在这本当中啊，介绍的这样的一个重点问题，所以说这节课核心重点，我们就讲到这，然后剩下部分内容我们都留到下节课再来重点来讲。哇卡的这么好，这个今天。好，这是这个部分内容，所以说今天部分的内容我们就讲到这儿讲了两个事情，一个事情是我们的权威分。权威分非常重要。第二个事情就是我们讲的这个二元隐函数，二元隐函数也非常的重要，

所以说希望同学们下去过程当中，你好好看看。然后接下来过程当中啊，下去过程当中把这个作业做一下。呃，上次作业很难做对吧？378题吗？这个题目。我有点不想算了。来算一下吧，这个题什么？来我们算一算。那么这个题的话，你发现首先是对s求变导。对s求的话，

你发现一个事情，这个东西是什么？这东西是乘法求导，那乘法求导的话就是前导是它。后面不懂。然后再加上前面不倒，后面的呢cosy分之s。然后啊。387是吗？87。87还是78呀？87是吧？哦，那那挺好，那这题你自己做吧啊，

你自己做啊，87来我们来看看。87啊，这个。看一下这题。呃，这个题啊，你发现一个事情，他让我们去求什么，他让我们去求两阶偏导数。那么，首先第一件事情，我们先去求z对s偏导数。啊，这题很好。

呃，你看我就情愿算这种题啊，你再烦一点也行啊，来我们来看看这个东西是一个单一中间变量吧。所以在这种当中的话，你发现你就对这个单一中间变量求导，这是x，然后这是多少fx+y，然后这是2y。好，这人穷能听懂吧？好，这是先对中间变量，然后这个中间变量部分再对谁呀？你再对s，

你再对s是多少呢？我们来看看这个事情，其实这个题啊。对y先求好，求一点。啊对y先求好求一点。你自己下去试一下吧，为什么对y求的话，这里面这个部分就是个常数啊，它会好求很多，所以在这种当中，我们一起来看。那这个部分的话就是x+y 2y。因为它具有二阶混合偏导数连续的条件嘛，你对s球的再对y球对y球的再对s球是一样的，

然后再加上x。s之后的话，你发现是这个人求，那就是f对第一个中间变量求导，中间变量对s求导是几是一？对y求呢，没有了唉，这个其实对y求也不好求，对y求的话，你后面就是两个部分。都行吧，怎么样都都行好，这是这个事情，然后接下来过程当中，我们再来看，

偏这个人再偏y。那在偏y的话，你发现一个事情，你看你前面这个人是y的函数。你前面这个是y的函数的话，就是先对这个中间变量继续求导。s+y这是2y。对吧，中间面的求导两极导，然后就是里面再求导，里面再求导是多少呢？s是个常数。那就是这个部分在对y，求你这个部分对y求的话就是f对第一个部分求是1f对第二个部分求导，这是二。

然后这个时候你发现后面这个东西是不导的fx+y 2y，然后再加上x倍的f1撇。那么，记下过程当中啊，再加上。然后再加上前面这东西不倒这个题啊啊，明显对我们而言是拔高题啊。但是你多磨磨性子，我觉得是非常好的。你磨一下性子，你考试过程当这种题都会算，你去年其实也有这种套娃的题，你去年二零二三年的考研真题的话，那道题就是套娃的题。好，

我们继续再来看后面那后面这个人在对谁呢？在对y就是你，你先对y的话就是f对第一个中间变量求导是一。f对第二中间变量求导绳。然后接下来过程当中s就是个常数，然后是f1需求f1是谁呢？f1这个人是？是x+y 2y这人缩写就是f1对第一个中间变量求导，这是一。f1对第二个中间变量求导，这是二好。能跟上吗？好，你自己整理这题就出来了。呃，

所以说对我们的同学啊，你发现能做到这就行了。为什么你要会判断考情？这种题是很重要的。但是写到这就行了。听懂我的意思吗？写到这就行了。就这个题的话，你要注意啊，写到这儿就行了，为什么因为我们考的是选择题，它不会出这么长的式子？它肯定会考一个点处的值。哎，这个人他肯定会考一个点出的值好这个人。

行吧，那么这个题我们就说到这啊，自己下去过程当中，我们好好看看吧。这300其实行吧，我来讲讲吧啊。好，再来看这题来继续吧，然后这是z对s1撇的话，就是前面求导，后面不导。然后再加上前面不导，后面来导，后面来导的话就是cosy分之s，然后对s求导呢，

里面求导，这是y分之一。然后接下来过程当中，我们再去求再对y求。再对y求的话，你发现一个事情，这个部分就是个常数。然后这个部分呢，先对中间变量求导，注意啊，它的常数中间变量求导。中间变量再对y求导呢s这个常数，然后是y方分之负一。然后接下来过程当中，我们再继续，

再加上然后这是负s是个常数，这个来先看前面。前面这人求导时负的sin x比y。然后这个s是个常数，然后是y方分之负一钱，倒了之后后面不倒，然后是前面不倒了，后面来倒y方分之负一。问题结束，自己带啊。哎，能理解吧哎，这个是。好了，这是这个事情吧，

你自己下去过程当中啊，你自己带纸。哪个部分有y分之一啊？好，这是这个问题。啊，你如果到了今天过程当中你。你做这个题的话。你先把它算出来，你再能带值。能听懂我的意思吗啊？第一步做完了之后也能带，第一步做完了之后在这个点处再对谁求导，再对这个y求导，你就把s=2带进去，

其实没有必要。哎，没必要好这个人。可以了吧，你自己对照一下就行了。好，这是这个事儿。可以的吗？好，你就按照我这个标准答案进行走就行。可以不按照我这个答案去走就行。可以了没哎，这个。好了，这是这个题，

那么接下来过程当中，我们来布置一下这个今天的这个部分的题目啊。那么，今天过程当中，我们需要进行去完成的上次过程当中运算量比较大。啊，比较大，它是超过了我们考研过程当中的一些题目的要求的。所以在这里面当中啊，我觉得一些核心重点的部分东西啊，比较重要一点，但是这些东西啊，它就是贴近我们的考试的运算的。所以啊，我们在这里面当中基本上都是降维打击啊。

好了，那么接下来过程当中，我们就继续。好，再来看呃，这个题应该没问题。好了，我们继续，我们再来看看这个今天的作业，今天作业三八九。三九零。三九一。然后三九三。三九四。然后是三九五。

三九五这个题拔高题。这题我下节课讲。我下节课会讲这个题的啊，就这个题。好了，这是这几个题，然后。嗯，这个题啊。这个题你自己去做做，很有趣味性哦。我觉得我们考研就很喜欢考这种。你发现一个事，就是我们在考研过程当中啊，我们就很喜欢考这种。

就这个题的话，很明显的话，你发现非常贴近我们的考研。他难也不难，就死箭活箭的。你看看这个事情，如果这个人的话，你看是这个人。你就要把这个人当做成什么东西啊，你就要当做成s的函数。那当做是x函数就是负的。三元函数，你对x对y呢？那就是x这个什么y这一撇。再对x1撇，

你自己去想啊，然后第二个呢，你就要把它当做是y的函数，那y这个人呢就是负的。然后是多少是这个z1撇，然后这是y1撇，然后第三个人呢？第三个人很很简单，就是负的多少？fs 1撇儿fz 1撇儿。就这个题啊，难也不难啊，你发现一个事情，你看你这对角线，你看约掉了，

你看对角线约掉了，你看对角线约掉了，所以三个符号本题结果是负一。你看像不像我们的题？非常像。贼笑就是如果你是二战的同学的话，你发现你你感受一下，你看看我们的考题是不是这种感觉？就这种感觉，它难也不难，就是里面当中的话，你发现它就怎么讲呢？它很精心去抠这个部分的内容。很抠这个东西，它这个东西的话难度系数也不是特别大啊，

就这个事情。哼，是不是啊？他他很有这种感觉，你尤其如果你是二战同学，你去感受一下。他很有这种感觉啊，你这这个题你下去看看。好了，这是这个部分吧，我们就出来了，行，我们就讲到这儿。好，这是这次课程的一个作业题，

你下去过程当中，你好好完成一下行不？同学们好了呃，我们下次还有一次课程。那么下次课程呢？我们需要讲这个第一个问题。第一个问题啊，我们需要讲一个隐函数存在定理，然后再继续去讲下面一个问题，多元函数的极值，无条件极值比较重要。然后至于有条件机制当中的拉格朗日陈述法。还有最后一个B区域最值，我们做一个简单的了解就行。所以我们下节课高等数学，

我们通过这个两个小时的课程呢，肯定是结束了，那么下次过程当中，我估计就是。半节课我们的课程就结束了，然后还有半节课，我们去把高等数学当中啊，前面的一些作业我们来跟同学们去讲一下。所以说这个高数部分内容啊，我们就最后啊，我们就讲完了。能理解吧，好，这就是我们在这里面当中的一些重点内容。所以你看高数啊啊，

这个大头终于是要结束了。那么，接下来过程当中，我们的安排是这样，我们高数讲完了，我们趁热打铁，我们去讲概率论。能理解吗？我们趁热打铁去讲概率论。你可能这个讲义后面过程当中是线性代数，我先给你讲讲为什么要这样？因为在这种当中啊，这个概率论部分当中啊，它刚好是用高数的内容。刚好用高数内容，

你既然用高数内容，我们高数讲完了之后，我就直接讲，因为线性代数的这个部分内容，你发现一个事情它。他跟我们在这个就是考研过程当中啊的高等数学和概率论呢，其实你发现。没有什么关系。就没关系。你线性代数，初中同学都可以学啊。初中同学都可以学概率论啊，都都可以学，不是学概啊，概率论都可以学线性代数，

所以大家注意啊，概率论部分内容内容点非常的少。它的核心重点，其实你发现只有两章内容。说实话，只有两章内容，第一章部分内容是我们在这种当中的概率论当中的话，这个随机事件的问题跟高中的一些东西很像，但是有同学说我没有高中基础，我们到时候补。第二章部分内容是核心，那么很多时候我还有第三章，第四章，第三章只考一个二维离散。第四章只考一个期望和方差，

其实这个东西啊，考的不是特别满，你像数一数二数三同学的话，还要进行去出这个什么斜方差相关系数。判断先呃这个相关性的问题，所以像这部分的东西啊，一定要注意这个事儿。好，这个部分我们就讲到这。所以下节课过程当中，我们就把这个部分内容全部讲完了。啊，你放心吧，线性代数你再零基础也很简单。啊，

你放心吧，这个线性代数不是说特别难。好，那么今天课程呢？我们就讲到这啊，这三个部分的内容高等数学马上就结束了，你放心吧，我再强调一遍。不要对未知的东西充满恐惧。你不然的话，有我在这讲干嘛呢？你不是有我呢吗？你着啥急呢？唉，所以说你不要对你这个未知的东西啊，

充满恐惧。所以将来过程当中啊，我们都会进行去重点，讲的好了，这个事儿我们就讲到这儿。好了吗？那么今天过程当中把这些作业的部分题啊，你好好做做三九六这个题啊，比较具有拔高色彩，你下去好好处理一下。好，那么今天课程我们就讲到这呃，今天部分的东西下去好好整理整理好吧，同学们呃，另外一个事情啊，

这个。因为今年的话，这个。呃，这个800题啊。因为今年这个800题是第一版呃，因为的话，这个今年也没有放到这个高等教育出版社出版，所以说里面的过程当中有一些。这个排版上的一些刊物，有些部分的话，那个错了一些位，大家大可这个有的时候的话，你如果看到了，你就改过去就行了啊，

也也挺不好意思的话这个。大家稍微的见谅一下，然后强化部分的这个部分内容呃，强化的部分，我们因为是在那个高等教育出版社出版的，它会有三省三教，所以说我相信啊，这个部分的问题啊，就不会有这样了。好了，这个事我们就讲到这，所以你下去过程当中啊，如果有问题的东西，我们及时的会刊物，所以说你及时的进行去关注一下。

APP里面的东西能理解吧？APP里面当中有一份800题的刊物。啊800题的刊物。所以说你及时的进去去关注一下这个事，那这个开户网我们会及时的进行更新，如果有问题的东西啊，我们及时把它调过来就行。好，这个事儿我们就讲到这儿好，同学们行吧，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，所以下去过程当中好好把今天的问题啊，好好处理一下。好，

那么今天啊，我们就说到这儿好，下节课见吧。

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27.全微分与二元隐函数偏导数计算-2

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