27.全微分与二元隐函数偏导数计算-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:47:38

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，提供回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的三九六的这个基础班部分的核心知识点呃，上次过程当中啊，我们其实已经重点讲到这个偏导数计算问题，那么今天过程当中我们将会重点来进行一个叫做全微分。啊，这个东西的计算，

所以说今天过程当中的内容啊，比较重要一点，等我们今天过程当中讲完了，然后再来一次课程，我们的高等数学就全部结束了。所以说下次课程呢，可能呃，这个知识点我们只用讲一啊，这个半节课程就行了，然后这个半节课程讲完了之后啊，然后还留下了半节课程，我们去讲一下这个作业题。所以说这样的话，我们的高等数学部分呢，就全部结束了好了，

那么接下来过程当中啊，我们就正式开始吧，那么首先第一件事情，我们先来进行去回顾一下，上次过程当中的核心知识点。那么，在上次过程当中啊，其实你发现我们的重点就讲了一个问题，讲了什么东西呢？就讲了这个东西的偏导数的计算性问题。那么，在这种当中啊，我们首先先看第一个问题点，那么这个东西的核心计算性方法呢？那就是对某个自变量求导，

其他自变量都看成常数。但是你要注意一个事情，是其他的什么东西啊，自变量都看成常数，比如说我举个例子，那么在这种当中啊，你发现一个事情，比如说我写个二元函数。那二元函数有几个自变量呢？二元函数有两个自变量，我对一个自变量进行求导，剩下的这个自变量就看成常数。那如果在这里面当中的话，你就发现一个事情，我给你个三月函数呢。

三元函数有三个自变量，那这个时候你发现我对某个自变量求导，剩下的自变量都看成常数。所以说大家注意一个事情，这就是我们在这里面当中啊，介绍的第一个问题呃，声音不行吗？呃，你们先给我测试一下这个声音，跟平时过程当中有没有区别啊？啊，有没有我害怕的话这个？是一样的是吧？啊，那就行啊，

好了，这是我们在这本当中啊，介绍的这个第一个问题点，然后接下来过程当中，我们又介绍了第二信息点，叫做偏导数的计算。高阶偏导数计算，那么在高阶偏导数当中啊，你首先要注意一个问题，你比如说在这种当中，这是z对s求了两阶偏导数。这是z对y进行求导，两阶偏导数，但是你要注意个事情，你像这个内容呢？

和这个内容呢？这两东西的话，你要注意一个问题，那么前面这个人呢？是先对s进行求，然后再对y进行求啊，怎么了？声音很糊吗？你这说的让我感觉到是不是用的这个电脑的这个声音？啊，还行是吧？好了，我们就继续啊，我们再来看那么，所以说在这种当中啊，

有二阶偏导数，那这两个东西呢，叫做二阶混合偏导数。那么前面这个东西啊，是先对s再对y，后面这个东西啊，是先对y再对s，所以大家注意一个事情，这两个东西啊，有一点吗？啊，稍等我一下啊。啊，不行，我有点强迫症啊，

你稍微等我一下。好，现在怎么样了？可以了吗？好，现在可以了吗？因为这节课的部分内容特别的重要啊。好了没？可以了是吧？好，这是这个事情，所以接下来过程当中啊，我们就继续，我们再来看。你发现一个事情，

这个东西和这个东西啊，一个东西是先对s偏，再对y偏，一个东西是先对y偏，再对s偏。这两个东西啊，未必是相等的，什么时候相等呢？一定要注意一个事情，二阶混合偏导数连续的时候。如果这两个二阶混合偏导数在这个区域当中是连续的时候，那么这两个东西啊，它是相等的。怎么进行去判断二阶混合偏导数连续呢？有两件事情，

如果这个东西啊，你发现的事情是一个具体的函数。如果是个具体的函数，你就进行去目测一下这些东西，进行去两阶偏导数了之后，你发现一个事情有没有无定点？如果这东西你发现偏导数的这个结果没有无定点初等函数，在有定义的范围内一定连续好，这是第一个事情。如果这个题的话，你发现是个抽象性呢？唉，你放心吧，抽象性一般题目告诉你，所以我们在考试过程当中，

一般情况下，这两个东西会相等的。但是我们的题出的比较贼一点。哎，很贼，我们那个题你发现一个事情出的死贱活贱的，所以在这种当中我就害怕出这件事情。就是这两个东西不相等的时候。所以大家注意啊，你稍微小心一点，因为它其实是一个知识点上的问题，就是我们的考题过程当中啊的东西，它不会说这个非常大的运算量。非常非常难，但是你发现他很喜欢抠这种小细节，

所以这是你要注意的问题，能听懂我的意思吗？好，这是我们讲的这个事。然后接下来过程当中，我们再来看看上节课过程当中的核心重点，核心重点是什么，当然是多元的复合函数的偏导数寄存。那么，在这种当中，求解性的方法呢？就是一件事情，先对中间变量求导，中间变量再对次变量求导，有多少个中间变量，

我就求几个部分。你有几个中间变量，我就有几个部分那么像这里面当中有单中间变量情况，你看是这个样子，还有多中间变量情况，你发现是这种样子。如果在这里面当中，我们先看第一个人，如果是单中间变量呢？单中间变量求导，一定要注意一个事情，是没有角标的，它一定是对中间变量求导。中间变量再导，是不是这个问题？

所以同学们注意一个事情，这东西啊，没有角标，这是要注意到它只有一项。但是你发现一个事情，这个东西呢，它是有角标的，这个角标什么意思呢？为了进行区分，你是对第一个中间变量还是第二中间变量还是第三个中间变量还是第四个中间变量求导？那么，这里面当中啊，我就想强调一下，大家注意一个事情，你来好好听一下这个事啊，

这个事很重要，如果在这里面当中啊，你发现个事情，我把它写成。z=fuv。那么，这两个东西啊，是一个中间变量u是一个什么呢？u是一个xy的函数。哎，注意u是一个xy的函数v也是一个xy的函数。好，这个东西那么请同学们告诉我事情，那么这两个东西就是一个什么，就是一个中间变量吧。

这个u和v就是个中间变量，能理解我的意思吗？所以同学们注意一个事情，你发现在这件事情当中，我f对第一个中间变量求导，什么意思啊？就是这个f对谁进行求偏导，对u求偏导。对吧唉，这是第一个中间变量f对第二个中间变量求导呢，就是f对v进行求变导。能理解吧，好注意一下这个事情，这个f1撇f2撇指的是对中间变量求导的结果，那如果你发现一个事情，

你看。如果这是z我对x求偏导呢？那这个内容怎么算呢？它是这样算，我们来一遍啊f先对第一个中间变量求导，比如说你发现这个f要对s求变导。我们走一下，那就是这个f先对u求偏导u，再对s求偏导，再加上f对第二个中间变量求导，然后是第二个中间变量再对s。能看懂吗？所以说你发现一个事情，这东西就是对第一个中间变量求导，第一个中间变量再对s求导。

再对第二个中间变量求导，中间变量再对is求导，你发现一个事情这样的一个写法，你发现跟这个内容的写法，两者之间会切换吗？我们喜欢这种写法，这是我们喜欢的写法，但是你发现这种写法你也要看得懂。跟得上意思吗？所以同学们注意啊，这个f1撇的意思是对中间变量求导的结果。对中间变量求导结果，一定要注意啊，所以同学们注意把这个东西啊，想清楚好，

这是我们讲的这个基本信息点。能听懂吧，好掌握清楚给我回复一，这就是上节课过程当中啊，讲的核心知识点，那么这节课部分内容一定会出题的。而且是我们在每年过程当中，很多同学做不出来的题，有可能就是今天这个板块内容，所以接下来过程当中，我们一起来看看第一个事情。全微分这个内容明显，你发现这是必考的。哎，这是一定会考的。

每年的过程当中啊，我们都会考察一种问题，叫做连续的判定，可导的判定，可微的判定，连续可导，可微的判定。那么，在这里面当中啊，最容易考的是谁呢？当然是可悲。如果考到连续就挂了，那这个东西的话，你发现丝毫没有难度，所以如果考研出题啊，

一定会出到口碑。所以这个板块内容非常非常重要，那么在讲这个权威分的这个定义之前呢？我们稍微进行回顾一下。呃，如果你大学过程当中，你还有印象，你还记得如果这是个二元函数，那么请同学们告诉我这个权威分怎么算吗？那就是f对x求偏导，然后ds吧f对y进行求偏导，然后是dy吧？是不是这样写的？你发现有些大学老师过程当中啊，一两分钟就讲完了。

一两分钟就把这个东西讲完了，说你看权威分就是这个样子，你会不算偏导书，你会不算偏导书，你会好结束了。但是你要注意啊，如果是这样子的，我们三九六的话，这个考研过程当中一定过不了关。一定过不了，所以大家注意一个事情，你今天过程当中啊，必须要掌握清楚什么东西叫权威分这个内容特别的重要。所以我在这种当中啊，标出来，

这是个重点。你放心啊，今年过程当中一定会出题的。这种预感非常的强烈，所以接下来过程当中，我们来讲讲什么东西叫权威分，那么在抢权威分之前呢？我们先来进行去。回顾一下。那么同学们，你还记得吗？我们在一元函数当中的微分，你还记得它的定义吗？还记得吗？好，

我们一起来回顾一下这个事情，那么原来过程当中啊，我们是这样做的，在一元函数当中自变量只有一个。就是这个x。它的起点是s0，它的终点是s0，加上德尔塔s。如果用这个点处的函数值减去这个点处的函数值，它叫做德尔塔y。是吧，德尔塔y是谁呢？德尔塔y就是末点的函数值，然后再减去起点的函数值，还记得吗？

好同学们告诉我事情，一元函数当中什么东西叫可微的问题啊？我们把什么样的问题叫可危的问题啊？非常简单，以值代取的问题叫做可为的问题。是不是以值代取啊？我们是这样讲的，如果在一个点处的，因变量增量能够等于自变量增量的线性关系，你看这是值。然后接下来过程当中，如果怎么办？在德尔塔s趋向零的时候，后面再跟上一个高阶无穷小成立，我就说什么，

我就说这个函数在这个点处是。是可悲的，那这个时候你发现当德尔塔s很小的时候高阶无穷，小简直小的不像样了，小的不像样了，之后的话你发现因变量增量就近似等于自变量增量。的线性关系，而你发现这就是值，我把这个值啊，就叫做微分。你还记得吗？这个东西叫线性主播。所以什么样的问题叫做可悲的问题呢？就是以值代取的问题叫可悲的问题，因为你发现因变量增量等于自变量增量的线性关系，

然后再加上一个自变量增量的高阶无穷小。当它很小的时候，这项就没了，用这个值代这个取，把这个线性关系就叫做了微分。能理解我的意思吧，好了，你都还能记得，请给我回复个一，就算你不记得了，我刚才也把它进行去讲解，捡起来了吧？哎，你通过这个东西把它捡起来，这个东西非常重要。

过去了，可以吗？好，这是这个事情，那么同学们想想那么今天过程当中，我们学的这个内容是不是同比类推呀？对吧，同理可推，那么接下来过程当中，我先说一个事情，我们现在学的二元函数是三维空间。然后这个人的投影区域是这个区域，所以接下来过程当中我们只画什么，我们只画这个平面区域，听懂了吗？

我们只画它的定域，然后你要知道这个定域上面有个函数，能理解吗？好，那么接下过程当中，我们一起来看看这个问题。那么现在是几元函数，现在是二元函数，二元函数的话，你发现一个事情，它就有两个自变量。这是第一个自变量，然后这是第二个自变量哎，你要注意啊，有两个自变量。

那么，然后接下来过程当中，你发现看我这个点是个起点。这有一个起点，这个点是多少呢？这个点是x0y0哎，这有个起点，然后接下来过程当中，我们再来看这个终点。那这个终点的话，你发现一个事情，这个is 0有个增量就是is 0，加上德尔塔s，然后这个y也有个增量，那是多少呢？

就是y0加上多少？加上德尔塔y。跟得上我的意思吗？然后你发现个事情，谁是起点，这个a点是起点，然后这个点呢？这个点是个终点。所以接下来过程当中，你看这是起点到终点好，这是这个部分第一个自变量，增量是这个人第二个自变量，增量是这个人。那么，接下来过程当中，

我们一起来看看这个事情。那么，同学们同比类推啊，请告诉我事情因变量增量是多少？因变量增量，它就等于末点的函数值，对吧？就是这个点处的函数值。然后再减去起点处的函数值好，这叫因变量增量。所以接下来过程当中，我们就来定义了，你看我们是怎么定义的？他这样说，如果这个函数。

好，这个函数。这个函数怎么了呢？如果这个函数在这个点处，然后你发现个事情，满足什么情况呢？满足这样一个问题。满足它的因变量增量。能够等于自变量增量的线性关系。同学们告诉我，自变量增量有几个？自变量增量有两个，所以说你发现一个事情，自变量增量的线性关系，这是一个线性关系，

这是不是也是个线性关系？同学们告诉我一样不一样。唉，你来看看这东西是不是一样的，你看因变量增量等于自变量增量的线性关系，然后接下来过程当中再干嘛？加上一个自变量增量的高阶无穷小，但是同学们想，如果德尔塔s很小，德尔塔yb比小。德尔塔y很小，德尔塔s未必小，我怎么办？我就进行去加上一个什么就是这个人的高阶无穷小就行。就是起点和终点的高阶无穷小就行，

能理解我的意思吗？那你发现一个事情，这个肉等于多少呢？肉就等于根号下德尔塔x方。加上德尔塔y方勾股定理。所以你发现一个事情，这个内容是一模一样的，如果这个因变量增量等于自变量增量的线性关系，再加上个起点和末点。之间的一个什么东西呢？高阶无穷，小成立在什么时候成立呢？在这个时候在德尔塔s和德尔塔y哎，你发现一个事情。同时，

趋向临临的时候成立。我们就称称什么东西啊，称这个函数。然后他就在这个点处，是可危的。哎，在这个点出可谓。那可危的话，你发现个事情，我们把这个部分呢，这个部分也叫做它的线性主播。能理解吧，唉，你发现一个事情，我们把这个线性主步也叫微分，

因为这里面当中有两个人，所以说我们加一个字叫做全微分。解集成d你告诉我事情，这跟一元函数一样不一样，太像了，你学了这个一元函数了之后，你同比类推就能学到二元函数。那这样的一个方式啊，是一个非常好的学习方法。一样的吧，你就往后面推一级嘛。你看，因变量增量等于自变量增量的线性关系，然后再加上一个起点和末点，哎，

这个部分的一个高阶无穷小。成立那这个时候我们就说什么这个函数在这个点处是可为的，而我们把这个线性关系就叫做微分，因为有两个人就叫全微分。非常简单啊，这个难度系数不大，所以接下来过程当中啊，我们来看看第二个事情。好，我们来看看第二个问题，可为的必要条件。那么，在这种当中，我们来重点来讲讲权微分的这个计算。对吧，

前面这个内容我们先讲一半，你先不用管，我们先重点来看看权威分的计算，那么同学们告诉我，如果这里面当中给了你一个二元函数。什么叫做全微分呢？微分是什么？微分就是自变量，增量的线性关系，有两个自变量就是两个自变量，增量的线性关系。能理解吧，两个自变量增量的线性关系好了，这个事情就成立了。自变量增量的线性关系，

那么同学们告诉我，你想进行去计算它，你想不想知道这个a是多少？你想不想知道这个币是多少？你想不想？我太小了。你要不想的话，这个这怎么发展呢？微积分学怎么发展呢？我还是那句话，你虽然不想吧，人家仍然在发展。当然很想。呃，你们希不希望去推一下？

你们想推一下吗？想推一下，我也可以给你推，但是注意啊，这个推导不会考的。这个推导不会考的。啊，可以推是吧？好，我给你推一下。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这样的个基本问题。那么，在刚才过程当中啊，

你发现一个事情，我们说如果它可为来，我们一起来看啊，如果这个函数可为，那么请告诉我个事情，我们应该怎么进行去操作这个问题啊？来提醒，如果这个函数在这点可为它的因变量增量。就等于自变量增量的线性关系。然后再加上一个这个对角边的高阶无穷小成立。没问题吧？好，这是可为，那么接下来过程当中，我们一起来看那这个德尔塔z是多少呢？

它是s0，加上德尔塔s。y0加上德尔塔y，然后再减去末点处的函数值。然后这个结果就等于a倍的德尔塔s+b倍的德尔塔y，然后再加上一个根号下德尔塔s的方加。加上德尔塔y方的高阶无穷小，那这个时候的话，你发现什么时候成立呢？它这件事情非常简单。我发现这个电脑非常烦，每次是不是里面写的东西太多了？好了，那么七下过程当中，我们一起来看，

那这时候你发现什么时候成立呢？我们一起来看它这个东西啊，是这个时候成立。是德尔塔s和德尔塔y，你发现看这是德尔塔y，这是德尔塔s，德尔塔s和德尔塔y都趋向零的时候成立。这是个几重极限。啊德尔塔x和德尔塔y都趋向零的时候成零。这是个几重极限，这是个二重极限，同学们想想一个问题。如果这个sy趋向零零，有多少个方向？有无数个方向吧？

有无数个方向吧？有无数个方向吧？唉，无数个方向，那么同学们接下来这件事情非常重要。如果无数多个方向都成立，那你告诉我其中的一个方向成不成立？成不成立成立呀？无数多个方向都成立，每一个方向下，它的这个极限结果都是零啊，都是这个人，不是都是零，就是这个东西都成立，那其中的一个方向肯定成立啊。

那么，接下来过程当中，你看我怎么取？我现在过程当中，我就想进行去先求出a，我求a的话，我就想把这个b干掉，我怎么办呢？我就取这条件。同学们，告诉我个事情，这一条线成不成立？成立吗？成立啊，这条线是什么？

德尔塔y就是零德尔塔s趋向零。你任何方向都成立啊，那这个方向肯定成立，所以在这种当中啊，你发现第一个事情当什么情况？当德尔塔y。就等于零的时候，它肯定也是成立的，来我们来往里面带，那就是is 0，加上德尔塔s，然后这是y0。然后再减去fs 0y0，那这个部分呢？就等于a倍的德尔塔s，

然后再加上什么你再加上这个部分是零，那就是德尔塔s绝对值的高阶无穷小。我问你个事情，绝对值的高阶无穷小，是不是真负它的高阶无穷小？而我们根据一个事情，高阶无穷，小的系数无关原则，直接写这个人行不行？可以啊，没有任何问题，直接写那么接下来过程当中，我们怎么办？我们接下来第二步，我们再把这个德尔塔s给我进行，

干嘛给我进行去除过去？好同学们，你看把德尔塔s除过去，那这半边就是a，然后这个东西就是个高阶无穷小比上它。然后接下来过程中干嘛呢？我给它两边同时取一个德尔塔s趋向零的极限，你看我就在这里当中。取一个德尔塔s趋向零的极限，你发现a还是a高阶比低阶呢？这就是零那a是不出来了？我想问你个事情，请同学们告诉我这是啥呀？诶，这是谁呀？

这不就是你发现看我把y0带进去。s0加德尔塔s-fs零比上德尔塔s德尔塔s趋向零，不就是先把y0带进去。在x0处的这个什么偏导数吗？是不这个事情不就是x的偏导数吗？所以你终于明白了吧，那这个a是谁a就是x的偏导数，那同理呢？你看任何方向都成立，那这个方向是不是也成立？你再让这个方向是德尔塔s=0。你又可以进行去求出b。同理可写啊，一样的做，再让德尔塔s趋向零=0，

德尔塔s=0，德尔塔y趋向零，然后继续做，你就能求出这个b。所以你看两个人，我们都求出来了。唉，这就是这个信息点，能想清楚吗？所以说你今天过程当中啊，你终于明白这个事情了，你发现这个a是谁啊？a就是这个z对s的偏导数。那这个b呢b就是z对y，它的偏导数都是它y。

你要注意啊，你看就是两个偏导数。能理解吧啊，你今天过程当中，我可以先给你推了的，那么同学们注意我们继续回到高等数学上册，你还记得一个问题吗？如果它是自变量。德尔塔什么就是d什么。德尔塔什么就是d什么，还记得吗？你自变量吗？那如果是因变量呢？因变量未必。因变量的话，

你发现一个事情，德尔塔z呢跟dz呢？不一定相等。因为这两者之间呢，你发现还错了一个高阶无穷小呢，唉，这是这个问题，所以在这种当中啊，马上出来唉，你发现这东西后面这东西就是ds。后面这个东西啊，就是dy。能掌握清楚吗？好基本问题就出来了。所以你看这其实就是我们的权威分的计算，

权威分的这个部分内容就是这样算的。所以接下来过程当中啊，我们来稍微的进行去总结一下。好，我们一起来看同学们告诉我什么叫做权威分呢？什么叫微分呢？微分就是自变量，增量的线性关系。那么，同学们想想，如果这个人是个一元函数。一元函数，请告诉我事情有几个自变量。有一个自变量，所以说这个人的微分就是自变量，

增量的线性关系，前面配谁？前面配y对它的导函数。对吧y对它的导函数，其实你发现一个事情，这个前面就配这个部分的导函数，你看这个线性关系就是导函数。然后接下来过程当中，我们再来看，如果它是个二元函数。好继续那全微分呢？全微分的话，你发现是自变量增量的线性关系，有几个自变量，两个自变量，

一个增量的线性关系？一个增量的线性关系，线性关系的系数是谁？线性关系的系数就是偏导数。你看这多简单。是不这个问题啊，所以说它就变成偏导数，那同学们想想一个事情，如果我改成三元函数。三元函数，那三元函数的话，你发现一个事情有几个自变量，有三个自变量，一个自变量的线性关系。两个自变量增量，

三个自变量增量，线性关系的系数，谁线性关系的系数就是偏导数。线性关系的系数就是偏导数。线性关系的系数就是偏导数。能理解吧你，其实你发现一个事情，你今天真正的去理解了。什么东西叫微分？微分这个东西啊，就是自变量增量的线性关系，一元函数一个自变量，有一个自变量增量。线性关系的系数，谁就是导数，

如果是二元函数，两个自变量，两个自变量增量，两个自变量增量的线性关系，线性关系系数，偏导数。同理，三元函数13个。所以将来你就会发现一个事情，你这个东西的全微分，后面这个东西摆的是谁啊？它一定摆的是自变量增量的这个问题。哎，这是自变量的增量。自变量增量哎，

这个人。能理解吧，哎，基本点。那么，接下过程当中，我们来计算几个题吧，来我们先来看看五点一九这个题，你看这种题啊，我们的考研过程当中啊，也会考的。所以说你发现一个事情，我给你找了几个，我们来算一下好，我们先来看看这个人，

请告诉我个事情，这是个起源函数。你先看第一个人，这是个几元，这是个二元函数。那二元函数的权威分自变量，增量有几个自变量，增量有两个自变量，增量有两个，前面这个东西配什么？配它的这个偏导数就行，所以接下来过程当中我们的核心重点呢，我们就来进行计算一下偏导数，偏z偏s。偏z PS的话，

你发现我就先对这个人的中间变量进行求导。哎，然后这个中间变量再求导。中间变量再求导就是coss y，然后sy再对s呢就是y。跟得上吗？然后接下来过程当中，我们再来看偏z偏y。好，继续来，继续对中间变量求导一亿的s in xy。然后是这个人求导这人对这个人求导是多少coss y？然后里面这个人对y求导是多少x，所以说你发现一个事情，这人的这个全微分呢，

全微分就是一的s in xy。coss y，然后是这个y乘以个ds，然后加上一个什么x倍的dy哎，你把它提出来了嘛？对吧，你这个第一个部分，你要乘以多少ds，你这个第二部分，你要乘上dy，你公共部分，你提出来就这个结果。好了吗？同学们，这是个基本问题啊，

五点一九这个题。好了，这个题啊，我们就讲到这儿难度系数一点都不大，对吧？基本点的操作，那这里面当中呃，有一件事情我想强调一下，你们先听清楚了。这件事情一定要听清楚了，就是这一点，当中还有一个部分知识点叫做权威分的形式不变性。你不需要掌握。你掌不住我们教的这些东西，足以可以进行去处理，

考研当中的所有的问题。所以像那个部分东西啊，你不用进行去切入，所以有的时候你看到一些书籍当中讲了一个叫做权威分形式不变性，你不用啊，你发现一个事情你就觉得啊，这个东西好巧妙不巧妙。你掌不住这个东西啊，足以进行去处理所有的问题，而且快准狠啊，好了，那么接下来过程当中，我们就继续，我们再来看看下面一个题，五点二零这个题。

来再来看这个人。那么，这个人的话，我们就继续看你发现给了一个几元函数，二元函数。二元函数有几个自变量，两个自变量，两个自变量增量，那么前面过程当中呢？线性关系的系数呢？就是偏导数。所以接下来过程当中啊，我们要来进行计算一下，这两个偏导数首先是偏z偏s，你发现一个事情，

这节课部分内容啊，其实核心重点都是上节课内容。好s函数s函数乘法求导前导是一，后面不导，加上前面不导，后面先对这个人求导。先对这人求导，他不变，然后里面这个人再求导呢，是一好这个人。然后接下过程，当再对s求导，再对s求导，这个人呢，是个常数常数的话，

你发现一个事情，你先移出去。那这人求导呢？这人求导刚好是一。没问题吧？好，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看看偏z偏y。偏z偏y的话，你发现s就是个常数写到这，然后是这个人求这人先对里面求是e的x+y。里面再求导呢是一。然后接下来过程当中，你看这个东西又是个常数。

又是个常数，核心重点是这个人求导就是y加一分之一。能理解吗？好，这个内容我们就求完了，然后接下来过程当中干嘛呢？我们就把这个什么一零带进去来带一下值吧。那么，这里面当中的x是1y是0x是1y是零，这是解，这是一。然后这人呢？也是一，然后这人呢？这个y是零的话，

这没了，那就是二一。好，这个结果。然后这个部分呢，你发现这是一那这s呢，这是二，然后这人是解那这个结果就是一+2。所以说最后结果就是二亿倍的ds，然后再加上一+2倍的dy好出来了。能掌握清楚吧，好基本信息点啊，他怎么做的？所以他的核心重点还是来进行去求出这人的偏导数。把这个偏导数求出来，

那这东西就出来了。跟得上吧，好基本问题啊，这块比较简单，来我们继续吧，我们再来看看第三个人。哎，没有了吗？我记得下面还有一个题吧。还有一个题，等会儿我粘过来。好，这还有一个。继续再来看这个。那么，

下面这个部分的话，你发现一个事情是一个几元函数啊？好，我们再来看。几元呢？唉，这个东西啊，它是个三元函数，好注意一下这个东西啊，是一个三元函数。那么，既然是个三元函数的话，你发现呃这个东西先带后求就没有必要了，也可以。你像刚才这个题的话，

你发现你先带进去，然后再去求，其实你发现还不如直接求呢，弄得还稍微的麻烦了一点啊。好了，我们就继续吧，我们再来看这个人，那既然三月函数呢？这个部分的内容啊，它具有三个自变量，增量三个自变量增量。而且你发现个事情，这个系数呢？系数就是偏导数。所以接下的过程当中，

我们先来看第一个人偏u偏s这个人呢，等于一，因为后面都是常数嘛。然后接下来过程当中，我们再看偏u偏y。偏y的话，这人是常数没了，然后这人呢？cos二分之y中间变量再求导，二分之一然后这人呢？就是e的yz，然后再对y求导呢？这是z。然后接下来过程当中，我们再来看第三个人偏u偏z偏u偏z的话，

你看这没了这没了，然后就是对中间变量求导，中间变量再求导是y。是不是这人呢？所以说最后的话，你发现这个全微分呢，一乘以ds，然后这是二分之一cos二分之y。然后加上z倍的e的yz，然后这是dy，再加上y倍的e的yz，然后这是dz，非常简单啊。这个难度系数不大吧？几元函数，

一元函数是一项，二元函数是两项，三元函数是三项，你就注意它就是自变量的，增量的线性关系。线性关系的系数呢，就是偏导数。好，这是这个问题，很简单吧，非常非常简单。好了，那么接下来过程当中啊，我们就继续你们现在状态怎么样？啊，

状态怎么样？非常好吧，拿出你今天最好的状态，然后来听接下来播内容，你要注意啊，接下来的东西啊，一定会考的。考点三和考点四是每年过程当中啊，尤其是我们三九六同学，你发现非常痛苦的点，痛苦的点都在这。所以今天过程当中，你一定要把它给我干过去，你基础班就把它干过去，好那么接下过程当中，

我们来看一个重点内容，叫做二元函数的连续可。可倒可悲，那么首先第一件事情，我们先来复习一下一元函数。好，先来看第一个事情，一元函数。那一元函数的话，你发现个事情，这里面当中有个连续。这里面当中有个可导，这里面当中有个可为，唉，这三个人之间的话，

你发现一个事情具有什么样的一个关系呢？那么，接下来过程当中，我们一起来看看。那么，在一元函数当中连续。和这个什么东西呢？和这个可导之间的关系是非常简单的吧？这两者太简单了。然后在一元函数当中，我问你个事情，可微跟可导有没有区别？有没有区别？没有区别吧。你可微跟可导的话，

你发现没什么区别，为什么导数也叫微商？一元函数当中是没有区别，所以首先第一件事情你要注意一个问题，这两件事情它是没有区别的。然后是可导必连续连续却不一定可导，所以说可微必连续连续却不一定可微。好，这是一元函数，一元函数非常的简单。对吧，相当的简单，所以你下去过程当中啊，你再好好进行，把这个东西啊，

再串一串，但是连续和可导之间的内容就比较多了。谁可导，谁连续。二阶导数存在低一阶的，这个人连续。啊，这两句话很重要。好了，这是这个问题，然后接下来过程当中，我们再来看看下面事情，我们今天的重点，我们来看看二元函数，不要背啊，

谁背谁就傻了。不要背，千万不要背，你要背的话，你就有点对不起，我们在这里面讲了，不要背，我们先来看看第一事情，二元函数的连续。那么，首先我们先来看看第一个问题，那么同学们，你还记得二元函数的连续什么意思吗？你还记得吗？我如果在这里面当中画一个三维的迪卡坐标系，

然后这里面当中给出这个函数。这是z=f sy这个函数，然后接下来过程当中，这里面当中对应的一个点。唉，对那个点，然后这个点是多少s0这是y0，你还记得二元函数的连续什么意思吗？对二元函数的连续就是四面八方都得连续。每一个方向都得连续你这个方向，这个方向，这个方向，这个方向，每个方向都得连续听得懂吧？好，

我们再来看看第二事情。二元函数的可导。那二元函数的可导什么意思呢？二元函数的可导的意思就是两个偏导数都存在，唉。两个偏导数都存在什么意思啊？x偏导数存在是这个方向可导吧？y的偏导数存在是这个方向可导吧，是十字交叉线方向是可导的。你要注意啊s偏导数存在就是s方向可导y的偏导数存在就是y方向可导，只有这两个方向可导。这是你要注意的诶，那我有个问题，那可悲呢。可微到底代表什么意思呢？

这个东西所代表的几何意义到底是什么呢？我先讲一下，你们没法理解。如果有同学的话，这个数一的同学，他们是需要理解的。但是对于我们而言，你像数数学二同学，数学三同学都也不需要理解数学一同学得理解，那么什么叫可悲呢？我来讲讲。他讲的是这个意思，是每个方向都可难。每个方向的切线斜率都存在。每个方向的切线斜率都存在，

也就代表着每个方向都是一元函数可导。唉，你看这人就很强了。真正当中啊，有条定理是数学一同学要学的。如果这个函数是可微的，在这点可微每个方向的方向导数都存在，那就是这个内容。所以你会发现，你看每个方向都是可导的。唉，你的每一个方向都得看到你这个方向，这个方向，这个方向，每一个方向的切线学历都自己存在。

能听懂我的意思吗？而你发现可导呢？可导只需要要求这两个方向，可导这两个方向的切线协力存在。而你发现可危呢，就得要求每一个方向切线曲率都得存在。唉呀，这个东西你发现就非常的强了，所以接下来过程当中啊，我们来找一下这三个人的关系，理解啊，先来看第一个事情，请告诉我可导一定连续吗？一定连续吗？不一定。

可导指的是这两个方向，可导这两个方向连续，但是别的方向未必连续啊，所以说这件事情推不出来。那连续一定可导吗？那这件事情更推不出来，我们都知道连续是推不了可导的。那么，接下来我们再来看，可为能推可导吗？当然可以。每一个方向都可导，那你发现这个十字交叉线方向是不是可导？但是你发现十字交叉线方向可导，你能推出可危吗？

你不能。你能证明出别的方向也可导吗？那不行。但是同学们注意，我们可为能不能推连续？可不可以可以每个方向都可导，每个方向都是连续的，每个方向都连续不就是二元函数的连续吗？然后接下来过程当中，连续肯定推不了可碑啊，这是第一级，怎么推高级好？同学们，你记住了没有？我相信你肯定理解清楚了，

所以同学们注意将来过程当中脑子一转就出来了，不要背啊，谁背谁傻了。不要背，千万不要背。好了，这就是我们在这本当中介绍的这样的一个重点问题。但同学们注意啊，我们再加一条。再来加一条，再加一条什么内容呢？诶，再加一条叫做一级。偏导。书连续。

那么，接下来过程当中，我们再加一条，再加最后一条内容，唉，叫做一阶偏导数连续，你再坚持一下，非常的简单。一阶偏导数连续。好同学们，你告诉我个事情，什么东西叫做一阶偏倒数连续啊？一阶偏倒数连续的意思就是一阶偏倒数，它连续我能说老师你讲了个什么玩意儿？不就这个意思吗？

就是一阶偏导数，这个人连续什么意思呢？你看这是x这个人的偏导数。这是y的，这个人的偏导数。是这个人连续。注意啊，就是这个人连续。要上厕所忍着啊，这块内容太重要了，你最好别去听懂我的意思吗啊，你最好别去，你好好听啊，能理解吧，就是这俩人连续。

那我想问你个事情，这俩连续的话，你发现不就是这个极限等于什么东西啊？极限等于函数值吗？所以说在这种当中啊，它这个东西就是极限等于函数值。它这东西就是极限等于函数值。能理解吧，那么接下来过程当中，我们再来看看你，发现一个事儿，这个东西是个几重极限呢？x要跑y也要跑吧，所以。所以说这个东西应该是个二重极限。

唉，这应该是个二重极限，好注意下这个问题啊。能理解吗？一阶偏导数的极限等于一阶偏导数的函数值就是一阶偏导数连续。那我问你个事情，这里面当中出现了两个连续，上面这个连续说的是谁啊？你不要把这两个东西混为一谈，这个东西所说的对象是fx y。上面这个人说的是f sy连续，这个人说的是偏导数连续，他不一样的。是偏导数这个二元函数，它连续这是f sy这个二元函数，

它连续。能理解我的意思吗？所以说这件事情啊，非常的重要，那么接下来过程当中我来给你看看教材上的内容，你好好听这块内容啊，比较重点。好，我们来看一个问题。那这里面当中啊，如果一阶偏导数连续，我一定可以推出什么，我一定可以推出这个函数，在这个点处是可为的。那么，

这条内容为什么呢？我来给你讲讲，你看这就是权威分析式不变性，你不用看了。你放心吧，我们这块内容足以进行去处理，所有的类型问题好，那么接下来过程当中，我们来给你看看这个事。好，就在这。来这条内容的话，你发现我们一起来进行去读一下这个内容。来走一下，看一下这个人。

这个部分的内容是什么意思呢？它是这个意思，等我一下啊。好，我们来看他这个内容讲的是这个人，他说什么？他说这个人他的偏导书，这俩玩意儿。偏到书，这个人在这点连续，我就说这个函数在这个点可微分。唉，偏导数在这个点处连续，我们就可以推出什么推出这个函数，在这个点处是可为的。

你要注意啊，它的偏导数就是倒下，这个人连续唉，我们就说什么就说这个函数在这点是可为的。这件事情有人说，老师，为什么你想不想证明啊？好，你想证明你就截个图，好，你想证明你就截个图。这件事情我们不需要争，你要有兴趣啊，你可以去看看，你看这里面当中还有什么引用拉格朗日中止定理。

这可忒恶心了，不需要你要想证明啊，你就截个图，你下去过程当中看去就行。好了，这个事我们就说到这，你只需要记住。记住这个问题就行，所以同学们，你发现看一阶偏导数这个人连续是不能推，可悲啊。但是大家注意一个事情，我们刚才讲过这个条件，什么条件叫充分条件吧，也就说只能过来。

能不能回去？不能回去。所以在这种当中啊，一阶偏导数连续能推可为，但是可为却推不出来，一阶偏导数连续。所以大家注意啊，这件事情是推不回来的，好了，我们就讲完了。这就是我们在这里面当中啊，需要进行去掌握住的一波内容。这个内容的话，你发现如果没有下面这些东西啊，你发现一个事上面很好理解吧。

你也就增加了一条内容，增加了一条什么内容，一阶偏导数，这个人连续我就能推出这个函数，在这点可为。如果这个函数在这点可为推不出来一阶偏导数是连续的。能理解吗？好，这是这个问题啊，那么接下来过程当中，我们来看一个题，来看看这个题，这个题啊，虽说是二零零二年啊，这个数一数二数三同学的真题。

但是你发现像这种题啊，完全可以考给我们二零二四年的考呃，这个什么三九六我们的真题没有任何问题来一起看吧。呃，我给你30秒的时间，然后你来坐下。好动下手啊，我给你30秒的时间，然后你来看看这个题。来都是我。处理一下，把你选的这个答案啊，回复一下。嗯，可以啊。

嗯，很好。噢，非常好，非常好噢，非常好好，我们来看看这个事情，你发现第一个人表示的是连续吧？第三个人表示的是可违法。来同学们，他说两个偏导数连续什么意思啊？这就是我们刚才讲的一阶什么东西啊？一阶偏导数，这个人连续能理解吗？如果说两个偏导数都是存在，

说的是什么？说的就是可导。唉，可导那么接下来过程当中，我们看a选项二能不能推三？你发现一阶偏导数连续推，可威没有问题。三能推一可微推，连续没有问题，正确答案选。这题出的真不行啊。这个选项应该放到d选项，你像我们选项应该放到e选项，怎么能一下就出来了呢？来我们再看看别人啊。

那么请告诉我事情三能不能退二这件事情不行哎，不行。你发现一个事情，这肯定不行啊，因为它是个充分条件，然后接下来过程当中，我们再来看看二能不能推一啊？啊，我很想问一下这个事情。二能不能推一啊？能不能啊？一阶偏导数连续能不能推出？这个人连续啊。唉，这件事情可以，

为什么呢？一阶偏导数连续可以推出，可为可为能推出这个连续不就可以吗？所以这条是可以的。你要注意一下这个事情，哎，是可以的。然后接下过程当中，我们再来看看下面事情三能不能推四，可为能不能推，可导可以。四能不能推？一可导推不了连续。然后再来看看三能不能推一可为能推连续可以连续能推可导不行？所以在这种当中，

你发现正确答案，就选择a选项这个结果。能听明白吧，好，这个基本信息点呢，我希望同学们一定要把它掌握清楚，好，我们再来看一个事情。好，我们再来看一个题，比如说我们这里面当中啊，来瞅一下这个题。你看这个题。呃，这两题啊，

我觉得是没有什么区别的。啊，就没有什么区别，你来看看三二七这个题。来你瞅一下吧，你看看这个题怎么做？看一下这个题。把习题集拿出来，我们来看看三二七这个题。这个题的话，你发现一个事情跟刚才过程当中啊，它的一点区别点呢啊，其实你发现非常的明显。这个题的话，就是把刚才过程当中啊，

说的中文字。然后接下来过程当中改成什么东西呢？改成这个数学的符号，那么接下来过程当中我们先来看看第一个人，你发现个事，你看这是个数吧。那这是一个数啊。那这是个数的话，你发现一个事情数是存在的，那数是存在的话，你发现一个事情加减法当中，只要见到存在，是不是就可以拆开？拆开的话，你发现一个事情就是这个极限，

等于这个数。那你想想一个事情，这不就是极限等于函数值吗？说的是谁啊？说的就是这个函数怎么了？连续。哎，这个函数连续这第一个信息点，然后接下来过程当中，我们再来看看第二个。那这个偏导数在函数值也是个数啊。那不就是偏导数的极限等于偏导数函数值，偏导数极限等于偏导数函数值，那这个东西什么这是一阶什么？一阶偏导数，

这个人怎么了？唉，他是连续的。那么，接下来过程当中，我们再来看第三个人，第三是什么意思啊？你发现因变量增量等于自变量增量的线性关系，然后再加上这条斜对角线的高阶无穷，小沉立这啥玩意儿？哎，这东西就说的是可危。能理解吗？这不可谓的定义吗？然后再看最后一个事情。

那么，这个人的话，你发现看把y0都带成y0 fs，减去fs 0比上s-s零。这不就是x的偏导数吗？然后这个东西呢，这不就是y的偏导数吗？俩偏导数都存在，这叫什么？这不叫可导吗？你看这个事情。所以啊，他就换了一句话进行说，把刚才过程当中的中文字改成了现在的数学的语言的符号，你能理解吗？

我相信你是可以的，好，我们先来看看第一个人，请问二能不能推三？一阶偏导数连续，能不能推可为可以可为能推连续可以答案选a。好了，这是这个事情吧呃，基本信息点难度系数也不大呀，你发现个事情这个题就是刚才这个题的姊妹篇吧。是不是啊？刚才用中文字儿，现在怎么办？改成了一个数学的语言的符号，那所以说一定要注意啊，

这个基本符合内容啊，它是怎么来的？好了吗？同学们。可以了吧好，这是这个事情一定非常的重要，那么接下来过程当中啊，我们再来看看下面的知识点。你们现在状态怎么样？非常好吧。好注意啊，拿出你今天最好的状态，听下面这个内容。考点四这个部分内容明确讲，今年一定会考。

哎，这是一定会出题的。连着出了好几年了，这个部分内容一定会出题，那同学们，你想想一个事情，比如说举个例子，我们出一个题。如果你是做题做的比较多的同学，你比如说给了一个函数a选项说。呃，连续但不可导。b选项说，连续但可导啊，且可导，

然后说说什么，但不可为。c选项说。可导但可为。啊啊，且可为怎么怎么样，你发现一个事情，你像这种题，它一定会考到谁呀？他一定会考到可为。你想是不是如果你是个出题人呢？比如说给了一个题的话，你发现一看唉，不连续那做个鬼啊。所以说像这种部分的东西啊，

它一定得考到可为。他绝对在可危当中去选，所以说这个可危的判定其实是最重要的。那么，以前过程当中，你发现一个事情，你学没学过连续的判定？啊，连续怎么判呢？连续这个东西就看极限，等不等于函数值呗。那么，前面过程当中，你发现一个事情，你学没学过可导的判定？

不就是偏导数的定义存不存在吗？写出这个偏导数的定义呗，就看那个极限存不存在呗，这两件事情都非常简单吧，那么就看今天了，我们今天要重点来讲。可危的判定唉，那可危的判定我们有几种操作性的方法呢？那么接下来过程当中，我们先来看看第一种方法。方法一。方法一叫充分条件法。唉，充分条件法何为？充分条件法呢？

我们来讲讲这个事。充分条件法的意思其实非常的明显。换一个颜色。换这个吧，这个。不太鲜艳，对吧？画这个吧。好了，这时候我们再还是红色显眼啊，好，那么这里面当中我们先看第一种方法，充分条件法。那充分条件法什么意思呢？其实你发现核心重点呢？

判断一阶偏导数连续。判断一阶偏导数，连续大家注意，这就是我的方向，我们的方向是什么？我们的方向就是进行去判断一阶偏导数连续。这个方向。那么，同学们想想一个事情，你发现啊，这个进行去判断一阶偏导数连续的话，你告诉我事情好不好判？好判吗？其实不好判，你发现一个事情，

判断一阶偏导数，连续就得这样判。你看拉回来，你就得这样盘。你就得判断这俩人。第一个人的话，你发现你得求出这个点，外面的偏导数。你得求出这个点，外面的偏导数。然后还得求极限，还得求出这个点处的偏导数，看看这个极限等不等于它，这是非常恶心的。这能恶心死。

所以你就会发现一个事情，这种东西啊，不好来，一般情况下我们都不会选它的。这个方法一般都不会选的。什么这里面当中判断一阶偏导数连续，你发现非常的恶心，另外一个事情。如果一阶偏导数连续，就算好判，那万一判出来的一阶偏导数不连续，你说可不可为？啊，一阶偏导数连续的可以推可为啊。一阶偏导数不连续，

能推不可位吗？这是不行的。所以说这个方法短板非常多。如果一阶偏导数连续了，可为那一阶偏导数不连续呢，你就尴尬了，你判断不出来了，所以说首先第一件事情，这个方法先不好判。另外，事情的话，你发现一个事情，它是有bug的。所以一般情况下，我不会选这个方法，

那往往过程当中，我们选什么方法呢？大家注意方法，二五星级黄金重点。定义法。重点算了吧，这样不好看，你就知道是重点就行。好吧，我们来看看第二件事情，五星级的黄金重点内容。好，这样来呃，这个部分内容考研的过程当中啊，是重中之重的内容。

但是同学们不要背啊。不要硬着背。根据往年的一些情况，很多同学这个东西都没学会。反正的话，你发现就背了一长串式子，背的自己很辛苦，不要背啊，那么接下来过程当中，我们来看，脑子一转就出来了，怎么转呢？我们一起来看看这个问题。那么，同学们想想一个事。

刚才。过程当中，我们就讲过，可为什么叫可为呢？如果这个人。等于权微分。然后再加上一个什么东西呢，这个人的高阶无穷，小成立同学们告诉我是不是可为啊？啊，如果因变量增量好，这个同学呃cbed这个同学下去过程当中把可谓的定义给我抄个十遍啊。能理解吧哎，就给我抄个十遍，你这刚讲的啊，

转头就忘。七秒钟还没过呢。好，我们来看看，如果这个因变量增量等于自变量增量的线性关系，再加上这个人的高阶无穷，小成立是不是就要可为？如果这件事情成立，它就是可为的，没问题吧？唉，只要这个成立就叫可为，那么同学们告诉我，我如果把它一个项。能不能斜成这样？

我说这个东西成立就叫可为，有没有问题？那有啥问题？我一个项目这件事情成立就叫可为。那么，接下来过程当中，我们怎么去判断这个人成不成立呢？大家想想判断这个人成不成立，不就是去判断这个人是不是这个人的高级无穷小吗？大家想想我们怎么进行去判断a是不是b的高阶无穷小，怎么判断非常的简单。就是把这俩人放在同一个极限下做比。就是把这个人跟这个人作比，进行求极限，就看看这个人的极限结果是几？

是不是零？能理解吧，就看看这个人的极限，结果是不是零，如果你的极限结果是零，你就是你的高阶无穷小那。那就说明这个人的可危的定义是成立的可危，所以说你发现我立即可以退出这人可危。当然，这是定义啊，它是个充要的，也能回来啊，这个事儿没有任何问题。你学会了吗？就这么简单。

那什么时候呢？一定得保证德尔塔s趋向零，德尔塔y趋向零的时候是一个二重极限。好注意啊，这是个二重极限。能学会吗？不要背啊，一背就傻了。就是这个德尔塔z-dz，是不是这个人的高级无穷小？就是把德尔塔z减去个dz，然后比上这个人求个极限。看看这个人是不是姐是不是零我问你个事儿？如果这个人的极限不是零是一，行不行？

一行不行？啊，如果这个人的极限结果是一行还是不行？当然不行啊。我一定得是你的高阶无穷小，你必须是零，你不是零，不好使的，你必须是零，所以进项的过程当中，我们来看看，我们就把这个东西啊，我们写出来。在做具体题的时候怎么做呢？我们一起来看。

那这个人怎么写呢？德尔塔z我们先写一下，德尔塔z就是s0，加上德尔塔s，然后再减去多少？唉，你发现这个还有一个，然后就是y0加上德尔塔y，这是末点末点处的函数值，然后再怎么办呢？再减去起点处的函数值。这是什么？这是德尔塔z，然后接下来过程当中再减dz dz就是x这个人的偏导数。再乘上德尔塔s+y的这个人的偏导数，

然后再乘上德尔塔y。是这个人，然后要比上什么情况，比上德尔塔x方加上多少，德尔塔y方的这个人。就来看看什么情况，在这个德尔塔s趋向零德尔塔y趋向零的时候，就看看你是不是零。就是这一常数式子，注意啊，不要硬着背脑子，一转就出来了。有些同学的话就硬生生的背这个式子。对吧，硬生生在那背啊，

这个fs 0加上德尔塔sy 0加上德尔塔y减去这个人，然后减去这一坨比上这个人，看看是不是零不要背？一背就傻了。你在学数学灵活一点，你要背，你要我干嘛啊？是不是啊？要理解啊，但是同学们。这个式子我也不喜欢用。我们也不喜欢用这个人。唉，你要注意一下啊，我们在考研过程当中也不喜欢用这个人。

这个人我也不喜欢你，就像我们原来过程当中学习第二章学那个导数定义一样。那个导数定义你喜欢增量定义吗？我不喜欢我们喜欢什么？我们喜欢做差事，我把这个东西放到这行不行？我放到这，你知道这个东西不重要就行，这个东西不重要，但是大家注意下面这东西极重要，好，我们来看看。黄金重点。不行，我得敲出来，

展示出来它的重要性好，我们来看看黄金重点。做差式。定义。那么，接下来过程当中啊，这个部分的内容非常非常的关键啊，那么接下来过程当中，我们一起来看看做差是零。来一起来看啊，非常关键，这个东西就是我们考研考的。我们考研最后考呢，就考这个人那么在这种当中，什么叫做差事呢？

我们一起来看看这个人。你发现个事情，这是一个二维的d1坐标系，就是那个底面，然后这块有个点，这有个点是谁呢？这是s0。然后这个部分呢，这是个y0，那么同学们想想这个末点可以不是多少呢？可以不是增量时，你可不可以是xy啊？可不可以可以啊，就是个sy，所以接下来过程当中啊，

我们一起来看那这个德尔塔s是多少德尔塔s的话，你发现一个事情就是is-s零。然后这个德尔塔y是多少是y-y零，然后是这个人。好，我们一起来看，马上把这东西写出来，这太重要，这一行是要记的，但是脑子转着记一起来看。那么，请同学们告诉我，这个德尔塔z是多少？先来看德尔塔z。德尔塔z其实就是末点f sy，

然后再减去fs 0y0。这德尔塔z。对吧，用这个末点函数值减去这个起点函数值，这是德尔塔z，然后再减去多少dz就是x的偏导数。乘以德尔塔s就是s-s零+y的这个人的偏导数。然后再乘上y-y零，你注意这是要记的啊，然后比上德尔塔s方，那就是s-s零的方。然后这是多少y-y零的方，那么这里面当中德尔塔s趋向零呢，就是s趋向s0德尔塔y趋向零呢，就是y趋向y0。

必须要让这个极限等于零。好注意啊，这是错差式的定义，这是一定要记得。它的末点是f sy，它的起点是fs 0y0，你要喜欢用这个人，不要喜欢用增量的，好多话你看一些书当中喜欢用增量的。不要用增量的，非常写的非常麻烦，这个东西好用。哎，非常好用，这是我们今天的黄金重点啊。

好判断这个可威性呢，就看他了。柿子非常的长。但是我们作为学会了的同学，就觉得唉，你发现小菜一碟。对吧，都是骗子，障眼法，但是你发现让一些不会的同学呢，一见到这个式子哇，怎么这么长？这也太难了吧，这也太恶心了吧，这怎么是人学的吗？

唉，不要有这种感觉，所以同学们，你一定要把它记住。能记得住吗？末点减起点，德尔塔zs偏导数乘德尔塔sy的偏导数乘德尔塔y比上根号下德尔塔x方加德尔塔y方就。就看这个极限结果是不是零好了，那么接下来过程当中我们就可以看题了，来做一下这个题吧。来看一下这个题。呃，这个题啊，我们多做一点行不行？我们不光判断可为呃，

我们再加两问。你说判断连不连续？判断可不可导唉，都加上行不行？把这几问都做了，那这样的一个题的话，你发现就可以改成我们的选择题。你去年的考研题的话，就很有这种类似的感觉。所以大家注意，这个部分内容一定要把它给我突破过去，好，我们先来看看第一个事情。先来看连续性的判定。连续性怎么判定呢？

你放心吧，这个人肯定连续。为什么可危必连续你都不连续可危都不用做了？是不是啊？他不可能让你这样干的好，我们来看看求极限。s趋向零。y趋向零。求这个人的极限。xy的极限，那么这里面当中的话，你发现一个事情当x趋向0y趋向零到零零了吗？没有，就是对这个人求极限。好回答我，

这个极限是多少？对，非常好，那这里面当中的话，你发现这东西不就是有界的吗？无穷小乘，有界无穷小无穷，小极限是零吧？它该点处的函数值呢？该点函数值也是零，所以说你发现一个事情，它是连续的。然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，可导性可导性怎么研究啊？

其实你发现就是研究偏导数的存在性。分段函数在分段点直接写偏导数的定义就行，不需要先带再来看看，是用极限的定义还是直接求？分段函数在分段点必须得用定义s趋向零，然后走fx 0。减去f零零比上s- 0。跟得上吗？然后接下来过程当中，我们就来算一下，这是s。那么，请问同学们告诉我这个第一项往哪带啊？是不是往这儿带？虽然y是零。

但是x是趋向于零不为零，一个不为零，一个是零不同时为零，往这逮把y=0带进去。y=0往这一代的话，你发现这一项是零，那就是零，然后再f零零是零，同学们告诉我上面就是你从小到大学的那个零吧，那这是零。那么请告诉我个事情y的偏导数还算吗？就不算了。为什么不算呢？你发现一个事情，你把这个式子当中的xy做调换，

它这个东西是不动的，所以说它们具有。对称性。所以一般参考书写什么写同理可得事例好，这个人那么接下过程当中，我们再来看看这节课的最重要的问题，我们来看看。可微信。那可微信怎么判定呢？我们立即来写做差式的定义。那我们一起来讲走你limit。来看这里面，当中就是多少fx y减去多少f零零，因为你要研究零零嘛。末点减去f零零。

然后接下来你发现一个事情，你看这俩偏导数都是零，这俩偏导数都是零的话，你发现个事情说明这个部分的这个结果是几？这个部分是零吧，因为x偏导数是零嘛y的偏导数是零，这个部分是零，然后接下来过程当中根号下x- 0^2。y- 0^2x要往x0跑，这是0y往y0跑，这是零我们就要看看这个极限结果是不是几啊？是不是零那么同学们想想你发现看这一项是零吧，这一项是零吧，然后这个部分呢？趋向于零零，

你发现一个事情是不为零的，趋向于零零是不为零，是把这个东西带进去。对吧唉，你看把这个东西带进去，就是这个部分就是这个人来塞进去，塞进去了之后的话，你发现那个根号是不下来了？那根号下来了之后的话，你发现两个根号不就是x方加上y方吗？好了，同学们告诉我，这极限等于多少？等于几啊，非常简单啊，

等于几？啊，等于零。这是同比次方诶。那个表情包哎，这什么东西啊，这是不存在。那么，同学们想想你都不存在，你会可为吗？当然不可为。是因为不存在而不可为吗？不是的，是因为不为零而不可为。就是因为不为零，

你哪怕是一呢，也不可为你必须是零，你只能有一个结果就是零，所以说这个函数不可为。你看清楚吗？好，这个信息点我们就讲到这。你看这题的操作性。所以一定要掌掌握清楚这个事情，每个部分内容是怎么用的？会用到吗？啊，一定要会用啊，这是个基本点。好了，

那么接下来过程当中，我们再来做两个吧嗯。这个题留到你们下去，自己做好吧，这个题留到自己做。要不然这样吧。你们先做一个吧，你先做一下这个吧。好，我们稍微休息会儿，休息会儿了之后啊，然后接下来过程当中，我们来完成一下这个题。好，休息会吧，

休息会之后啊，我们再来看看这个三点三七这个题啊，373题这个题。好，这是这个稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊。下课休息过程当中，做373题，这个题好，稍微休息会一会继续啊。

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27.全微分与二元隐函数偏导数计算-1

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