26.多元复合函数偏导数计算-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:47:10

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的基础班部分的内容，那么在上次过程当中啊，我们已经进入到这个多元函数的微分学啊，上次过程当中内容非常非常的关键。所以说这个下去过程当中啊，一些部分的东西啊，你好好进行处理一下，

那么像上次过程当中的核心内容一定是我们在考研过程当中啊，一定会出题的。呃，首先第一个讲，我们还是来回顾一下吧，回顾之后啊，然后我们把这个上次过程当中，作业当中的几个题啊，我们来稍微讲一讲。比如说这个三七一这个题啊，如果是二战同学的话，应该非常有印象吧，这去年的考研真题。啊，这是去年新鲜的考研真题，

然后还有一个题啊呃，这个题我一会讲讲啊，这两个题好吧，那么接下来过程当中，我们一起来看看。那么，首先第一个事情，我们先来看看二元函数什么东西，叫二元函数呢？有两个自变量的函数，怎么进行去讨论？一个多元函数之间的一个，谁是因变量？谁是自变量，谁是中间变量，

像这些人之间那个关系啊，怎么判定啊，哎，这里面当中有一种方法非常简单，就是树形图的方法。对吧，你可以画树形分状图，那么在这个图形当中啊，它的起点是因变量，它的终点是自变量，中间的部分是中间变量。所以在这里面当中，第一个事情很重要。那这个东西啊，将来过程当中，

我们去处理问题可能会显得更加关键一点，然后第二事情一个二元函数表示的这样的一个几何意义是什么？是三维空间下的一个曲面。你要注意，如果是个一元函数。一元函数是一个二维平面上的一个线，如果是个二元函数，二元函数就是三维空间下的一个面。哎，这是一个基本问题s，这是零，这是y，这是z，然后在这个三维空间下的一个面啊，这个东西啊，

对应的一个二元函数。啊，基本问题点，然后接下来过程当中，我们再来看看下面事情二重极限非常关键。哎，这个内容那么首先我们先看第一个事情，只要见到二重器件就应该见到无数多条趋向这个点的方式吧。那么，在这种当中，比如说我们经常讲，你发现如果是x趋向s0，如果是y趋向y0，对吧？这个二重极限。

只要见到这个二重极限呢，你就相当于见到了无数多条趋向这个点的方式，他什么意思啊？他只看这个结果。就说我只在乎什么情况呢？我只在乎你这个结果是s0和y0就行，至于你怎么走过去无所谓，你可以这样走。你可以这样走，你可以这样走，这样走，这样走，这样走，你不光可以直线走，你可以扭着走，

哎，都行。所以说只要见到二重极限，就应该见到了无数多条趋向这个点的方式，如果这二重极限存在，应该保证每一条趋向都存在，而且相等。那这点当中问题来了，怎么进行去判定不存在啊？那刚才说了，如果存在每一条的去向都存在，而且相等，那怎么找不存在啊？找一条不存在就不存在。或者是找两条不相等也不存在啊，

这是个基本问题，那我可以找两条对吧？都存在，但不相等。尤其是我们上节课过程当中啊，讲了一个经典的一个极限，比如说同比次方的极限。那么，同比次方，我们在一重极限当中，它当然是存在的呀，所以说这个时候我就进行取一次函数关系，一次函数关系啊，没有破坏这个人的结构。仍然是同比次方数，

它是存在的，但是你发现这个东西啊，跟它的斜率有关，所以说我们就找到这个人不存在。能理解吧，好了，那么接下来过程当中，我们再来看怎么去求解呢？判断方法比较多，比如说我们有定型，我们可以等价，我们在这里面当中可以代换。那当然，这里面当中比较重要的无穷小成有界，比如说我们来看看这几个极限，

你先看第一个人。这个人x方加上y方这个人。极限等于几啊？好，我们再看第二个。如果这是xyx方，加上y方等于几啊？好，我们再看第三个人，如果x趋向0y趋向0 sy根号下x方，加上y方。你看又等几啊？好，先看第一个人。第一个人是个三阶比二阶。

但是你能下结果是零吗？你不能。我们说二重极限当中的界啊，在一重极限当中不能进行类比。对吧，一重和二重当中不能完全类比。那么，在这种当中，但是我给我了一个方向，只要取一次函数。他肯定见过士兵，但是这个题我们可以换一个方法，你发现这个人是不是有剑无穷，小乘有界无穷小？然后这个东西是不是有界无穷，

小乘有界无穷小？然后这里面当中，你发现同比次方呢，不存在啊，基本问题点你下去过程当中好好想想好，我们继续，我们再来看第二式型二元函数的连续性。那二元函数的连续性怎么判定呢？它的核心方法的话，其实你发现我只需要怎么办去求出这个点处的二重极限？只要这个点处的二重极限，等于这个点处的函数值，我就说什么，我就说这个二元函数是连续的。那问题来了。

只要见到二重极限，就应该见到了无数多条趋向方式。那你这个二重极限等于这个数，那说明每一条趋向方式是不是都等于这个数啊？所以在这种当中，我们就得到了一个信息点，你看这个点，那说明这个趋向下的极限等于这个数，这个项趋向下等于这个数。这个趋向下，这个趋向下，而这个数是函数值啊，说明每一个趋向都等于函数值，而你都知道每一个趋向是几冲极限。移除期间，

所以说每一个人都是一元函数连续。那因此，将来我们就知道，只要见到一个二元函数连续，它相当于无数多个一元函数的连续性。对吧，每一个方向都要保证一元函数是连续的，好基本问题点，然后接下来过程当中我们再来看下面事情偏导数。的偏导数是一个黄金重点。首先，我们先看第一个事情，它定义这定义会写吗？比如说这里面当中，我们来看看这个事儿，

我们写一个s偏导数。你来看看这个人s偏导数什么意思啊？它的意思就是先把这个y0带进去，然后再在什么再在x0处的导函数。那至于先带进去，然后再来求导，然后再来求导你，至于是写这个极限的定义式，你还是直接求导，那就是第二章内容了。然后接下来过程当中，我们再来看看y的这个偏导数。y的偏导数什么意思啊？就是我们先把谁s0带进去，然后这个函数啊，

再在y=y零处导数。所以接下来过程当中，你至于是写定义，你还是直接求，那这就是我们在第二章过程当中是使用导数定义还是？还是直接导数计算的问题啊，所以说这个事儿比较简单，然后再来看看第二事情几何意义呢？那几何意义我们都知道，如果这里面当中你发现给了一个二元函数。给了一个点好，这是s0，这是y0。s偏导数什么意思啊？s偏导数就是把y=y零带进去，

这个方向下的切线斜率就是s偏导数。然后你发现看y的偏导数呢，哎s都等于s0这个方向下的切线斜率就是y的啊，这个偏导数。所以说这是你要注意的一个方向，是s偏导数，一个方向是y的偏导数。所以二元函数可导，什么意思啊？二元函数的可导就是两个偏导数都存在两个偏导数都存在，就叫二元函数可导。所以它可导其实保证了一和二方向可导，那只能推出一和二方向连续。能推出这个函数连续吗？不行的，

刚才就讲过二元函数，要想连续每个方向都得连续，你看这些方上不知道啊。所以问题点就来了好，这是一个基本问题。呃，所以说这个东西的判定呢，也是个非常重要的事情，那么接下来过程当中我们来讲一下这个上次过程当中作业。有一个题，把这题看看。哎，讲讲这个题。但是这个题啊，说实话一点都不难哦，

这个题目。看一下这个人去年的考研真题啊，我们做了好几个了，好先看这个人。给了一个二元函数，然后说什么呢？在这个零零处啊，这个偏导数存不存在这个偏导数等于多少？那同学们想。分段函数在分段点处的导函数是不是得用定义啊？所以说这里面当中啊，你就得用什么你就得用这个导数的定义。对吧，直接上定义。所以在这种当中，

我们一起来写一下，它就是多少，它就是s趋向零，然后是多少fx 0。然后减去f零零比上s- 0。所以接下来过程当中，我们来算一下，当s趋向零的时候。如果这个人趋向零的话，你就发现你看这个人往哪带啊，这人往这带吧。那为什么呢？因为y是0s是趋向零。趋向里没有道理，所以说不同时为零，

你就把这个什么y=0带进去y=0带进去了之后就留下多少？sin x方比上一个根号，下x方加上y方，然后这个f零零呢是零比上这个人。跟得上吗？所以接下来过程当中，我们就来看当s趋向零，这是个几重极限啊。几重几险。这是高数上的内容啊，你不要说这个东西不会做来，赶紧看这个东西，就等价无效多少x方。所以说这东西约一下就变成了这个人。还有这个事情，

这个东西啊，也得带零，所以说这个部分的东西啊，你发现看y都带零，所以说最后的这个结果就变成了根号s方就是绝对值。来吧，同学们，你给我看一下这个人这个极限存不存在？那当然不存在啊，因为你发现零正的时候是s0负的时候，这是负s。所以说这个极限它是不存在的。跟得上吗啊，这题非常简单啊，来再来看第二事情y的偏导数y的偏导数也得上定义，

那就是y趋向零。然后走把x都带0 fy减去多少f零零比上这个y- 0，所以接下来过程当中我们就来带了。歪曲向里来走一下，你把这个什么情况，你把这个人要往哪带，你把这个东西啊，照样往这带。哎，往上面带往上面带的话，你发现你看你把s带成零，你带成零了之后的话，这个东西就是零。所以说这个结果它就是零了。能理解吧，

你把这东西带成零，它就是零，这没有对称性啊，不要乱来，所以说这个东西一带成零，那这个结果呢？是零，然后只是y。你要注意啊，如果说对称性呢，这题就废了啊，就废完了，所以说接下来过程当中，我们来看看这个结果，你看。

上面这个零呢，就是我们从小到大学的那个零零，除任何数都是零的那个零，那就是零。所以这个题啊，马上出来，这个人是不存在的，这人是存在等于零答案选c。这题出来了吧，所以我觉得这个题啊，应该是在一分钟内就把它做完了。难度系数一点都不高，就是为什么在往年过程当中这种题得分率非常差呢？你发现很多同学这个基本的。这个基础他没有打好，

你都不知道这个偏导书到底什么意思？这题说实话一点都不难。我们现在是基础班，我们就能处理的很好。好了，那么接下来过程当中啊，这个事我们就说到这，另外事情我再说一遍啊，这个东西啊，不具有对称性啊。没有对称性的，不信你调一下，你把这个sy调一下，一调的话，你发现看这东西不懂。

但是你发现这东西变成cos x方了，正变成sin x方了，这俩东西不是一个人。它不具有对称性的。什么叫具有对称性呢？你要把x和y对调一下，这个东西得保持不变。保持不变了，它才是个对称性。好，这是个基本问题，过去了。来那么接下来过程当中，我们继续吧，我们再来看看一个题，

再来看一下这个第一个题啊。三六四好，再看这个题。呃，这个题怎么处理呢？你发现这个题啊，就要具有迁移能力了。你首先观察一下，这什么函数？这复合函数吧。给了复合函数，求出原来函数。那所以在这种当中啊，我们就怎么办？直接进行代换就行，

把这个东西啊，令成u把这东西令成v。所以说接下来过程当中就直接来例，什么情况x+y=uy比s=v。是不是这个事情？这跟高数上的内容是一样的，然后接下来过程当中，我们就带了，你发现这是y=s乘上v。然后就是s乘上v，加上这个什么加上这里面当中的这个呃，这个y啊。s+s乘上v=u，所以说这个s等于多少呢？就等于u比上v+1，

然后y等于多少呢？y就等于这个人乘。uv，然后是多少v+1？能理解吧，把这东西解出来就行，解出来之后啊，你往上一带就行，所以在这种当中就得到了fuv。就等于第一个平方，然后就是v+1这种平方u的平方，然后再减去多少v+1^2 u的平方v的平方。好，这个结果，所以在这里当中啊，

马上出来v+1^2。啊，怎么了？然后这个东西啊，我们把它提一下，一提的话，你发现这是u方，然后是一减v，然后是一加v，所以说这个结果就变成了v加一，然后是u方倍的多少？一，纤维。好，这是这个人，

所以最后一件事情啊，再来一句话，函数的结果跟自变量字母的选取无关，我再把它换回去。换回去了之后的话，你发现这人是y加一，然后这是多少？这是s方，然后这是多少一减y？好了吧，这是这个题，所以在这种当中啊呃，答案的话。错了一个符号吧。错了一个符号的话，

你这添一个吧，选b啊，添一个选b。好，这个人过去了。呃，所以说这个基本的东西啊，你把它学会就行，所以在操作的过程当中一定要注意，这是一种什么的题？就是已经知道这个复合函数求出，原来函数的题，你就把这个东西啊，做一步代换就行。把这个换成u，

把这个人换成v，然后一解变成u和v的函数，那就出来了。过去了，可以吗？行吧，我们就讲到这三六四这个题目不是特别难啊，来我们继续吧，那么今天我们就继续开始，我们今天的核心重点内容。你们今天状态怎么样？今天的内容考研过程当中一定会考的非常重重要，所以说拿出你最好的状态，然后再认真来听。那么，

绩效过程当中，我们来看看下一个考点叫做多元函数的偏导数计算。那么，在上次过程当中，我们讲了这个定义。是吧，讲了这个偏导数定义，我们就得到了一个情况，如果你对某个自变量进行求导。那这个时候怎么办呢？你就要把其余自变量看成常数。那这就是我求导的方法呀，偏导数嘛，偏向这人求导就是对这个人求导的时候把那个东西先带进去，把它看成常数。

所以接下来过程当中，我们来算几个吧，比如说我们先来看看这里面当中的第一个题。先来做一下五点一这个题哎，非常基础来看这个人。来解他说这个东西是个几元函数啊。那很明显，这个iz既可以到s，也可以到y，是个二元函数。那既然是一个二元函数，多元函数肯定是偏导数，所以在这本当中就有偏z偏s。偏z偏y哎，这是偏。

能理解吧，哎，这是一个二元函数，所以说是偏导数，不是导数好，我们先对s对s的话，你发现这人就是个常数。常数先抛出去，然后这人求导呢2s。非常简单，然后再来看对y对y的话，你发现这人就是个常数，然后这人求导呢，是cos 2y中间变量，再求导呢，

就是二。好本题结束。学会了吗啊，这种题啊，比较简单啊，期末考试都懒得考的题来，我们来看一道有意思的。来看看这个人。五点一二这个题。这一题啊，有点意思了。好，我们先来看看。这是个起源函数。这个东西的话，

你发现你看这个u它可以到s，它也可以到y，它也可以到z，这是一个三元函数吧？注意，这是个三元函数。那三元函数的话，对某一个人自变量求导，其他的自变量都要看成常数。所以比如说我们在这里当中对s求导y和z都看成常数。对y求导s和z看成常数。好，我们一起来看看这个题，我先来做一个打个样。比如说我们这个偏u偏s，

你看等于多少呢？如果对s求的话，这个y和z啊都是个常数。能理解吧，这都是个常数，那这个人是个常数的话，你发现一个事情，你把他跑到前面去，那是幂函数嘛。幂函数上面是常数，所以说头顶移前，然后是头顶再怎么办？减个一。好出来了，跟得上吗？

因为你发现你看这是个常数嘛，你常数的话，这个人是幂函数幂函数头顶一前再减一嘛。这是个基本问题。好，我们再来看个题，比如说偏u偏y呢？这很有我们出题的那种风格。死贱活贱的，又不是特别难，就出成就喜欢出这种题。一两下就就出来了，但是也不是特别难好，再看第二点。那这个时候你看这是sy的z这个y是个常数。

啊，这是个常数，那这是个常数的话，你发现我们怎么去求呢？我给你教一个方法。你要是我们现在直接看吧，看完了之后再说。那这个部分的东西是个变量。下面和上面都是常数，你怎么去求呢？你先对这个人求。你先对这个人求的话，就是xy的zl ns，这是指数函数吧？然后这个上面这个东西再求，

然后是多少z倍的y的z- 1？有些同学就疯了，对吧？我讲了一个事情，我给你教一个小技巧。你要是实在不会啊，你就把这个东西给我改成个常数，你看怎么求的？你怎么求的？这人求导的话，是不是先对这人求二的y的三次方ln 2，然后上面求导呢三倍的y的平方？那这样会了吧？所以就是先对这个中间变量求导，中间变量再求导吧，

你先对这个人求导的话就是a的s倍的lna。然后上面是个幂函数，头顶移前落印底会了没？不难吧，你要实在是看不出来，你就不要在那装对吧，比如说老师，我就不我就一定要把它看出来。你这轴什么呀？所有的这个类型问题，只要你把它做出来就行了。这也是一种很好的方法呀，你偏要在这里面当中说我不写，我就要这样看，那您别这样啊。

好，我们继续，我们再来看第三个人。填z那么接下来过程当中，我们再来看这是xy的z。那现在呢？你是不是要对这个人求导？你对这个人求导的话，你发现它是个变量，你下面这个东西呢，是一个常数。那这这应该是个常数的话，它什么函数？它是个指数函数吧？sy的z ln sy。

是不是啊啊？对不对？是不是啊？对不对？啊，那就废完了，不对呀。注意下这事情，这可不是指数函数。我来给你讲一个问题，你来看一个事。二的三的x。和二的三的x一样不一样。啊，你看看。

一样不一样，你不要听我语气对吧？你得尊重这个数学的这个事实啊，你看这个人。一样不一样，当然不一样，举个例子，比如说这个x是2x是二的话，你发现这是六二的六次方。如果这是二的话，这是二的九次方，这两个东西当然不一样。绝对不一样。然后我们来看看这个人，如果是这个人求导呢，

它是指数函数二的三的xl N多少二的三？好，这个人没问题，但是你发现这个人求导呢，你是不得先对他求导？a的sl na，然后上面再求导呢a的s继续lna。是不是这个事情，所以说这两个内容是不一样的。因为这个东西三次方的话，其实3s次方这东西啊s是打到三的，这个人头顶上注意下这个问题。那么，接下来过程当中，我们来看看你发现这个题是谁呢？

是前面这个人吗？不是的，他是后面这个人。他是这个人，如果你这样求啊，这题就废了。所以说这个题应该怎么去求呢？我们一起来看，就是你先对这个整体求导，那就是a的x倍的。lna.然后头顶上这个人呢，下面是常数，上面在变量，那就是a的x倍的lna。

啊，出来了，基本问题吧，所以说像这个题啊，我觉得呃得多转一转。你要想清楚的话，这就是我们在高等数学上册过程当中啊，学习这个导数计算，最起码的内容，你把这个事情啊，想清楚就行。好，五点一二这个题过去了，可以吗？我们就讲到这儿来，

继续吧，再看这个题。再来看五点一三这个图。那这个题的话，你就发现它让我们干嘛呢？它让我们去求解s的偏导数。对吧，让我们去求解这个人偏导数。让我们继续去求解这个偏导数，我们来琢磨一下。你下面这个东西是个s函数，这是个常数s函数，上面也是上下都是s函数，什么函数？幂指函数吧。

其实你发现这节课的内容啊，它就变成了一元函数求导，为什么呢？因为一个人变成常数，一个东西，那幂值函数立即怎么办？幂值转换e的x倍的ln多少x+e的y？哎，这个人，所以接下来过程当中，我们就可以进行求解偏导说。那么先求吧，先对这个中间变量求导。是吧，然后接下来过程当中，

我们再来看中间变量，再求导那中间变量，再求导的话，你发现你就求解这个人导数。那这人倒数呢？前倒数一，后面这人不倒。然后再加上前面不导，后面来导，那后面来导的话，你发现就是x加上e的y分之一。中间变量再求导，是几中间变量再求导，是一是不出来了。好，

这个事情立即结束，所以接下来过程当中我们干嘛呢？我们就只需要怎么办？把这个一这个零带进去就行。那带进去，我们来看看吧，你先看第一个人，这一项是一，然后这是1e的，0e的零是1e的罗音二。然后再来看，这是ln二，然后这个s这是几这是一，然后这是几，这是二分之一啊，

这个结果所以说这个人的话刚好是二倍。ln二加上二分之一，所以在这里面当中啊，马上出来二倍的ln二加上一。好，这就是我们在这种当中啊，处理的这第一种方法。非常常规呗，你就对这个人进行去偏导数计算，我就把那个人看成常数，然后接下来过程当中，你既然看成常数就变成了一元函数求导了。所以你在求的过程当中y是个常数处理就行。跟得上吧，基本问题点诶，

还有没有方法呢？我们再来看看。还有方法没？当然有，那这件事情就回到我们上节课过程当中啊，学习的这个偏导数定义了。学习偏导数定义，你想想这个偏导数什么意思啊？这个偏导数的意思就是我先把谁，我先把y=0带进去。啊，带进去。代进去了之后的话，你发现这就是一啊，这个是x+1。

贝塔s。然后接下来过程当中要求的这个导数啊，其实你发现就是这个函数求导。那这个函数求导，你是直接求还是用定义啊？都可以。当然，直接求简单一点，你直接求的话就是is倍的ln多少一+s？然后接下来过程当中，我们去看看。那这个偏导数啊，其实你发现就是这个函数。大家注意，就是这个函数。

然后对s求导，我们一起来看。诶，这个东西可以直接求啊，那就是先对中间变量求导。然后中间变道墙，倒是一后面不倒。对吧，后面这人不倒，然后再加上前面不倒，后面来倒是这个人。那么，接下来过程当中，我们就来看这个东西啊，它在什么情况？

它在这个一零处导函数。呃，就是这个偏导数。要不然这样吧，这样写不对，我们先这样写。那所以说你发现这个东西就是这个一零处的偏导数，结果我就把什么把一带上去，带上去了之后的话，这是login 2。然后这里面当中是LOL ing二，然后这里是二分之一，结果是一样的吧？你稍微整理一下，跟刚才这个结果是一模一样的，

所以这个方法就叫什么叫先代后求。啊，先带后求。我们喜欢这样烤。我们非常喜欢出这种题。所以先带后求的思想，这种技巧法的话，在我们三九六同学的这个真题当中是非常非常多。因为我们很喜欢考这个一阶平导数。那么，在这种当中，我们多看一下吧，我们再来看看上次过程当中的这个作业。再来看看这个三七零这个题。你来看看这个题目。

好来看这个题。你看这个题怎么做？他让我去求解什么？求解这个函数在零零处x的偏导数零零处y的偏导数。那我想问你个事情，对于这个题而言，你能直接求偏导吗？如果你直接进行去计算这个偏导数，对s的偏导数先对中间变量求导。那中间变量这个人再求导呢，那就是二倍的根号，这个人分之一。然后的话，你发现里面再求导2x，大家想想这个时候你把这个零零带进去。

它就不是不存在了。同学们，想想你把这个林林带进去，这叫不存在吗？这不叫分母，永远都不能为零。你这带进去的话，你发现个事情，这就叫没有意义了。这就叫没有意义了。所以对于这个题而言，千万不能把偏导数算出来。然后把它带进去，这是绝对不行的。所以一定要注意这个事情，

那么对于这个题而言，我们可以怎么做？那当然的话，你发现不能直接求导我，可以用定义啊。所以接下来过程当中，我们就用定义，我们用一下s偏导数的定义。is偏导数定义就是is趋向零。然后是多少fs 0减去多少f零零比上s- 0，然后在这种当中我们就可以处理了。当x趋向零的时候，这是s。你发现把这个y=0带进去，那这个东西的话y=0带进去的话就是e的s绝对值f零零是一。

所以接下来过程当中，我们就可以处理了。一亿的框减一，因为这个部分呢，它是趋向零的嘛？一亿的框减一立即等价无穷，小框那这个极限呢？这极限不存在啊。零正是sbs，零负是负sbs不存在的，然后再来看看y的偏导数。y的偏导数，我继续用一下偏导数的定义，然后就是y趋向零，然后把x=0代取fy。

减去零比上y- 0求极限跟得上吗？同学们啊，这个题你应该会做了啊，你再看这个题。你把这个s=0带进去，零带进去了之后的话，你发现看这个开方呢，这开方永远是正的，就是这个人。然后接下来过程当中，我们继续一的框减一，立即等价无穷小框，所以等于零。那所以说你发现这题正确答案选几选b？那这个方法就出来了，

直接用定义，但是要注意一个事情，这一题不能直接求导。直接求导就错了。本题不能直接出到，必须得用第一。当然，这个题的话，你发现我们还有一些技巧性的方法。你比如说在这种当中啊，我们进行去求什么，我们进行去求这个s偏导数。再去求x偏导数的时候的话，你发现一个事情，你可以把什么东西啊，

把这个y=0先带进去。那代进去了之后的话，我们再来看那这个结果的话，就等于e的根号s方就等于e的s绝对值。好，我们进行去分析一下这个函数在零处的可导性，可波导。你告诉我事情，这个函数在零处可不可导？来看一下这个人。这个人的图像非常简单，首先我们来看看第一个事情。它这个人是e的s，绝对值。一的x绝对值是个偶函数吧？

大于零的时候是这样哎，你看这半边是这样。所以接下来过程当中，我们来进行去瞅一下这个事情，哎，你看这个这半边是这样。那么，接下来过程当中，我们来看看这个人，你看这是es吗？es的导函数是es 8在零处的切线，斜率是一八，你对称过来，这是负一八。所以你看这是一这是负一吧，

当然不可导。绝对是冒尖的，你这半边的倾斜斜率跟那边倾斜斜率不一样，所以它怎么办？它在这个s=0处。不可导，你既然在零处不可导，我马上推出什么，我就推出了is这个人的偏导数。它不存在基本问题吧？好，那么接下来过程当中，我们再来看你把这个s=0代进去呢？s=0带进去了之后的话，这个人就没了，

然后就等于e的y方同学们告诉我，它在y=0处可不可导？绝对的可导。当然可导，你都能把导数给我算出来，你先对中间变量求导，中间变量再求导，你看看都能算出来，绝对的可导。所以说y的这个偏导数是存在的。好了，这个题啊，我们就讲到这。所以对于这个题而言的话，你发现你带进去再来看可导性。

还是用这个极限，这个定义都是一样的，刚才有个同学问了，说什么时候直接求导啊？什么时候用定义啊？你去翻看一下上节课的课程，我绝对讲过这个问题，你这上课听课得认真一点啊，注意力集中点。好，这个问题点我们都讲到这过去了，可以吗？我们就说到这可以了吧？你要注意这个函数到底用直接求导还是用定义呢？就取决于在一元函数当中，

你是怎么办的？一月函数当中怎么办呢？那这个事情就可以了。好了，那这个事情我们就讲到这过去了。那么，接下来过程当中，我们继续吧，我们再来看看下面一个问题，我们再来看看高阶导数的问题。啊，高阶频导数。那么，原来过程当中，我们学过这个高阶导数。

那对于偏导数而言呢，它也拥有二阶的偏导数的结果。那么，首先我们先来看看第一个问题点。大家想想。比如说我们写的这个函数。那么，在一阶导数当中，我们是这样。如果你发现看这叫对s偏导数。你也可以这样写，对s偏导数，你也可以这样写，对s偏导数，但是同学们注意啊。

只有把它写成了z=fx y的时候，这三个东西才相等。你听懂我的意思吗？这三个东西才一样。不然的话，你发现这个东西跟前面穷人不同。这跟高速上是一样的。然后z对y的偏导数，你可以这样写。你也可以写fy撇xy。跟得上吗？好，这是这个问题。然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，

我们再来看二阶偏导数。那我问你个问题。请问同学们。这个x偏导数。是一元函数还是二元函数？起源还是我。我偏到收益一下了之后是一元函数，二元函数。济源还说。一元吗？那医院就不做了啊，那结束了。好好结束了，不做不做了，那接下来课程就没了。

今天可以下课了啊。怎么可能是一元呢？那大家想象一个问题，你比如说我举个例子啊。z=s^2 y方你比如说求s偏导数。求s偏导数的话，你看这是2s，这是y方，你告诉我这是一元函数，二元函数。这起源函数。这是二元函数。大家注意一个事情，他说我们在对x求偏导数的时候，把y看成常数。

就是求偏导数的时候，把它看成常数。不是说它就是常数，你把它看成常数。你要注意这个问题，就是我在求的时候，我把它看成常数。你能理解我的意思吗？哎，注意下这个事啊，仍然这个东西啊，是一个二元函数。所以接下来过程当中，我们就继续我们再来看。所以说这个东西仍然是个季节。

就是我在求的时候把你看成常数。能理解吧哎，这是要注意的。所以接下来过程当中，我们再来看，那这个人仍然是个几元函数，仍然是个二元函数，那既然仍然是个二元函数，我问你个事情。这个二元函数能不能再对x偏导数？可不可以可以啊，我再对s偏导数怎么了？没有问题啊，那请告诉我事情，这个二元函数。

能不能再对y进行求偏导数？也可以吧，同理而言z对y这个人。你发现一个事情，它是个二元函数，那这个二元函数能不能对谁呢？能不能再对这个什么再对y进行求偏导？也是可以吧z对y的这个偏导数，你发现能不能再对x求偏导数也是可以的。所以他就会有这几种情况。我们先来看看第一种情况。第一个人，你对s求一下了之后，我们再对s求。那所以说这个东西就对s求两节嘛z对s这两节就这样写。

这跟高速上是一样的。完全的一致。你滑下去那个u2的滑下来这个u2。然后接下来过程当中再看这个人，那这个人就写成z对y的两阶偏导数。上面这个东西叫z对s的两阶偏导数。当然可以，怎么写呢z对sx？z对y对y啊了结能理解吗？好，我们继续看，再来看这个人。那这个人怎么写呢？这个人写成xx的两极xy。然后这是YY的两阶xy我说一下。

一般情况下。这种写法只能出现在书当中。很多书籍当中是这样写的。因为一般书籍当中是印刷体，它这上面当中没有撇撇。然后的话，这里面当中有些这个学校里面的教材当中啊，他也有这样写，有些老师也喜欢这样写。但是在这里面当中，我们注意一下，我们在考研过程当中，你就这样写就行，听得懂我意思吗？这样跟高等数学上册是统一的嘛？

所以很多说刚老师，为什么我们讲义当中是没有呢？我再说一遍，我们讲义这个东西啊，是印刷体听懂吗？啊，印刷体印刷体能听得懂吗？好，这是一个事情，我们一定要把它写成把这东西写成。这样的话，跟高等数学的上册是完全统一的。跟得上吧啊。那么，接下来过程当中，

我们就继续我们再来看。所以说这是这样的一个问题来，再来看看下面一个人。啊，再来看下面这个人。那这个人呢？你告诉我事情，他是先偏谁呀？这滑下去两个人。我们先偏谁？我们先偏的是x。后偏的是歪。哎，注意啊，先偏s后偏y，

而这个人呢？你再看这个人，这个人是谁呢？滑下去过程当中两个人，这是先偏y再偏s。所以大家注意，谁先偏谁写到前面去。先偏谁谁先到前面去，所以这个事情很重要哦。因为我们三九六同学，我刚才跟你说过这个事情，我们在这块题啊出的死贱活贱的。万一有一天过程当中就出这种题。它这两个东西不一样，一会我会给你讲什么时候一样，

这是你要注意的，然后接下来过程当中，我们再来看下面事件。你看这东西怎么办呢？它其实是先偏s再偏y先写s。先偏s再偏y先写s注意啊，这个东西不一样，这个东西是什么？先偏y再偏s。这里呢，先偏y再偏s，这个顺序很重要。谁先偏谁就在前。谁先来谁就先来哎，这是要注意的事情。

只不过在这种当中啊，通常情况下，等会我们再说吧，一会我们再说这个事情好不好？哎，一会我们再来讲这个问题。那么，接下来过程当中，我们先来做一个题，看一下五点一四这个题，把这个题讲一下，然后我们再去说那个问题。来先看这个题吧。很多说老师我们不是不考证明题吗？很简单说，

已知这个函数则我来到abcd。一五个选项，其中有个选项是这个人。对吧，你可以等于零，也可以等于一减法等于零减法等于一，你看这五个选项就出来了。那所以说要注意啊，我给你放在这上面题，我们都是可以可考的。好，先看第一个题。那么这个题啊，他让我们干嘛呢？让我们继续去检验一下这个东西的两节偏导数。

跟这个两阶偏导数相加等于零。我们怎么办？那就算呗，就去计算下两节偏导数啊，这节课你特别喜欢算。你要时时刻刻告诉自己，你特别喜欢酸，你非常喜欢酸。啊，你每天都要告诉自己好，我们一起来看看这个人。接首先第一件事情，我们先算一阶偏导数，要想计算二阶偏导数。先算一阶频道数。

那算一阶偏导数的话，你发现一个事情z对s1撇吧。然后怎么办？先对这里面求导是不是啊？对里面求导的话就是根号下这东西的分之一。里面再求导呢，这东西再求导二倍的根号，这个东西分之一里面再求导呢，2s是不是？是不是啊？你要这样算呢，有点做慢了。哎，这个速度的话，你发现明显跟不上来。

你注意，这就算慢了，考研特别喜欢这样出。老头子啊，在这里面当中出这种题，特别喜欢这样出。你没有发现个事情吗？你看这个人。这是z=ln这个人。它不就是这个人的二分之一次方吗？你不能把这个二分之一抽出去吗？这多舒服呀。那所以在这里面当中啊，你把这个二分之一抽出去，很喜欢这样抽。

你比如说有些的话，这个题的话，它就硬生生出成这样。有的人都不知道把这个东西抛出去，哎，注意一下好，那么接下来过程当中，我们继续，我们算一下，先对s撇。那这是二分之一，先对中间变量求导时它。然后这个中间变量再求导对s求的时候把y看成常数，那这东西一求就是2s，所以说就是x方，

加上y方分之s。好，这个是跟得上吧？好了，那么接下来过程当中，我们再算两节。两阶两阶的话，你发现对s求的时候把y看成常数。s函数s函数，所以说这个东西就是个除法求导，因此你发现一个事情就是下面的平方。上面求导乘，下面减去下面的偏导数是2s乘上面，所以说这个结果它就留下了个x方，加上y方的平方。

然后是y方减x方。好了，那么记下过程当中告诉我事情，这题还做不做？还做不做？不要再做了，为什么呢？因为你发现一个式子，你看这个题这题啊x和y具有什么性？具有对称性。哎，对称性，你把sy做调换了之后的话，你发现这个式子是不变的，它具有对称性，

既然具有对称性，你进行去写这个y的偏导数的时候。你就把什么情况把这个式子当中的xy对调就行。能理解吧，因为现在的y就是原来的s，现在s就是原来的y，对调一下就行，把s改成y。把y改成ss改成YY改成s。好一对调就行，所以说接下来过程当中啊，你把这两个东西啊，一+1加的话就是偏z偏y的这个平方好。好，加一下，

加一下了之后的话，你发现个事情，这个分母是不一样的，这个东西的话，你发现同分母就是x方，加上y方的平方。然后这里是y方减x方，这里是x方减y方，这约掉约掉约掉对吧？都是零。啊，这个y跟y约掉嘛s跟s约掉这东西是零。所以本题结束了，你看这个题啊，里面当中有两个技巧性，

第一是想你这个二分之一抛出去，这是这个题当中的第一大技巧性。然后第二事情，这个sy是具有对称性的，具有对称性，你把sy对y啊调一下，就是这个人。不要算多了啊。你算多的话，你这个速度上不来，你像这样的一个题啊，顶多一两分钟把它做完。你说这样的一个题出成一道一两分钟内处理的题，没问题吧啊，基本点都可以。

所以不是说特别难的啊，五点一四这个题。好了，这个题啊，我们就讲到这儿，那么接下来过程当中啊，我们再来看一个吧。我们再来找一个题。好，我们再来呃，找两个题啊，我们来进行去算一下。然后接下来过程当中，我们算的过程当中，我们来看看有些部分的重点的一个结果。

好，我们来看看。找一下这个题算一下吧。这题就没有必要算到三级了啊，那没啥意思了，你看看这题。来算一个，能看清吗？啊，应该可以哦，来看这个题。走向先算什么情况呀？这算四个。行吧，算了z对s的什么一阶偏导数？

一阶偏导数的话，你发现把y看成常数，走3x方y方，然后这个人对s呢？三倍的y的三次方，然后呢y。好过去了啊，然后再来算一下啊z对y的偏导数。y的偏导数呢？这人就是个常数，那后面一求导是2y二倍的x三次方y。然后这个是常数，然后后面求导。后面求到是九呃三倍的，就是9x倍的y方，

然后这人呢减个x。跟得上吗？好，这个基本点啊，不是特别难，然后接下来过程当中我们再算一下啊z对s的两阶。对s两阶的话，你发现再来求个s，这是个常数，前面是多少6 sy方？然后后面没了。然后接下来过程当中，我们再来看看这个人对y求两项。对y求两项的话，你看s是个常数，

这求的是二倍的x三次方，后面求导是一。然后这就是个常数，这求导呢？这求导是2y，所以说是18 sy。好，后面没了。所以这个题啊，这两件事情就说出这个人。跟得上吗？同学们来继续啊，我们再来看重点，首先第一件事情你告诉我这个人什么意思啊？这个人的意思就是先偏上x，

然后再偏y好偏y偏y的话，这人是个常数，那后面是二倍的就是六倍的x方y。然后再偏y就是九倍的y方再减一倍。好，再来看，如果下面过程当中，我们再写个p NY p ns什么意思啊？这个东西的意思就是先进行去偏y，然后再进行偏s。要注意这个顺序啊，先偏y再偏s。先偏y，再偏s了之后的话，你发现再偏s偏s的话，

这里是多少？这是六倍的x次方y。再偏s那这是多少九倍的y方，然后减一。哎，大家有没有发现一个事情，这两个东西怎么是一样的呀？哦，这两个东西是相等的呀。完全的一致啊。所以我就明白了一个事情，在大部分的情况下，会不会也是这种情况呢？哎，这里面当中有一条非常重要的定理。

这个定理啊，很关键很关键，我们一起来看看什么定理呢？就在讲义当中。这条东西啊，当中啊，它是这样说的。把这条定理啊，给我们记住。你考试过程当中要会用啊。因为这块是一个非常啊容易出题的点。很巧妙的一个问题啊。好，那么接下来过程当中，我们一起来看看什么样的定理呢？

他这样说。如果这两个二阶混合偏导数，我问你个事情，这个二阶混合偏导数就这俩人。这样是不是交叉的？这样交叉的就叫混合偏导数。那告诉我事情混合偏导数是几元函数？混合偏导数是二元函数。对吧，多元函数求一下，求两下，求三下，你都要把它认为这是二元函数，对吧？一个二元函数求一下，

二元函数求两下，二元函数求三下，二元函数都要这样。那这既然是个二元函数，我们来看看这个定理，它说如果这个二阶混合偏导数这俩人。在这个区域当中是什么？在这个区域内连续。哦，这俩人在这个区域当中连续这俩东西就相等。这俩东西相等什么意思啊？这相等的意思就是偏s再来偏y跟偏y跟偏s也就说什么对谁先偏的顺序？啊，这就是偏导数的顺序无关。好，

这个内容你是不是想证明呢啊？这个证明就非常麻烦了，你想证明呢？同济七版教材上有，你可以去看看。这种当中啊，有几个定理都不需要证明的。你要是有兴趣啊，你可以进去去看看里面的证明，就非常麻烦，包括一会儿过程当中我们讲的什么，如果这个偏导数是连续这东西也可为。你要想震荡，你可以继续去看。这里面当中的这个证明啊呃，

可以去看啊，你想看的话，你可以去看，这没有问题，你看这里面当中。好了，这个事情我们就回来了啊，继续回来。不要求掌握这个事情啊，如果你想看啊，你可以去看看，没有任何问题好了，这个事情我们就得到这个重点。我再来说一遍。如果这两个混合偏导数在这个区域当中连续。

则在这个区域当中，两个偏导数它是相等的。两个混合偏导数是相等，也就说对谁进行去先偏导没有关系。呃，这条内容里面当中有几个事情，我们先重点讲讲。首先第一件事情的话，如果这个人。它的二阶混合偏导数。是连续的，怎么判定？我拿到那个题的时候，我怎么知道这个二阶偏导数是连续的？你怎么知道？

非常简单。根据一件事情初等函数。这是不是一个初等函数啊？是不是初等函数？初等函数，这是一个初等函数。初等函数在定义域范围内都连续。初等函数在定义区间内都列取。诶，大家想想这个事情，将来过程当中，等你拿到这个题，你给我看看。无论是这个人去求一解，求两解，

还是这个人去求三解，大家想想。这个人无论怎么进行去求偏导，说会不会存在无定义点。不会有都不会有无定点的，你怎么去求都行，你比如说你看这个人有无定点吗？没有。有无定点吗？没有说明在整个平面当中都是有定义的，整个平面当中都是连续的。所以说将来过程当中，等我看到这个题，你看我拿到这题的时候，我看看。

无论是求一下，求两下，都不会有无定义点的。初等函数在有定义范围内连续，所以说这个人的混合偏导数肯定是连续的，我就知道这俩东西啊，一定是。你能听懂我的意思吗？这就是水平。这是操作性，你第一下拿到这个题的时候，你就能看出来哦，这两个东西啊，肯定是相等的。能理解吧，

这是第一个事情，还有一种判定方法呢，不需要你来判，由出题人来说。出题人往往就会在题目当中的第一句话，你看我们来看一个题啊，比如说这个人。他就说f这个人具有二阶连续的偏导数。具有二阶连续的偏导数。说明二阶偏导数都是连续的，那二阶偏导数都是连续的，二阶混合偏导数连不连续，二阶混合偏导数不是二阶偏导数当中的两个人吗？二阶混合偏导数肯定是连续，那连续啊，

你对这个人呐，对谁偏啊？偏导是没有关系的。所以这件事情的话，你就看题目了啊，题目会告诉你，所以要注意这个事情。要不然就进行去看初等函数。然后在这个定义区间当中是连续的，要不然怎么看呢？就是题目当中告诉你。这个事情非常重要，把它给我标出来。好，这个人过去了，

来我们继续吧，我们再来看看下面一个黄金重点内容。你们现在状态怎么样？非常好吧，拿出你今天最好的状态，然后来听这个知识点。因为这个知识点呢，太重要了，明确讲一下必考。哎，必考。一定会出题的。我们基本上而言的话，就出一个两分题，你像数一数二数三同学呢，

一定会出一道大题。这个知识点是一定会考的。非常非常关键。那么，接下来过程当中啊，我们来看看叫做多元的复合函数的偏导数计算。多元的复合函数的偏导数计算。那我问你个事情。如果一个函数拥有复合函数，它是复合函数，它一定会拥有什么呀？比如说你这个人是一个复合函数，一定会拥有什么，一定会拥有中间变量。大家知道它一定会拥有中间变量，

这是一定的。只要你是个复合函数，你一定会拥有中间变量的。这是必须的。所以接下来过程当中，我们来看看这个人去怎么去做的，哎，我拿一个题啊，我们来简单讲讲，但是同学们，我先说一件事情，不要记听，懂吗？你先别记一会儿过程当中，我会给你一个巅峰理解水平。

你听懂我的意思吗？不要记啊，不要记啊，一会儿过程当中我会给你个巅峰理解水平。那么，首先拿到这种题啊，你可以怎么办呢？你可以画一个树形图。哎，画个树形图，那么同学们告诉我这个z先到哪？先到这个整体吧。哎，先到这个整体就是到lns加上y分之一处。然后这人倒s，

然后这人倒y。所以在这里当中啊，这个东西就是个中间变量。这俩玩意儿就是个自变量。对吧，就是个自变量。那么，在这个大学过程当中，我相信你学过。你怎么进去去求这个偏导数呢？比如说举个例子。既然是一个二元函数，肯定是偏呐。一元函数就是d了，你大学过程当中怎么学的？

是这样学的。就近行去看看这个人。到这有几条线路。是不是这样学的，然后来看看哦，这是一条线路哦，只有这条路能过去。既然只有这条路能过去的话，你发现这个结果呢？它就等于z偏这个uu在。再偏这个s是不是这样做的，当然的话，你发现这过来只有一个量，就是z对u的d。z对这个人求导，

这人对这个人求导是不是这样做的？就是你看看过去有几条路线，有几条路线了之后的话，你发现一个事情，这是一这是二。因为z对这个u啊，你发现是一个变量过去，所以就要d啊z对u的du再对这个人偏。是不是这样写的，所以你看看这人过去有几条路线，在同一条路线上用乘法好，先不要着急啊。然后接下来过程当中，我们再来看个题，比如说你来看看这个题。

那这个题怎么做呢？然后接下来过程当中，我们继续来画树形图。你看它可以到x+y。它可以到x-y，它也可以到x×y。然后这个人呢，可以倒s也可以倒y倒s倒y倒s倒y。那我们来看看，请问同学们这个人有几个中间变量，他就有三个中间变量有几个自变量，有两个自变量。对吧，三个中间变量，两个自变量，

比如说这个题当中，让我们去求偏z偏s怎么求？你就要进去看了，有几条路径能过去来，一条线路过去。然后继续两条线路过去继续。三条线路过去。所以说这个题的话不要记啊，不要记，然后接下来过程当中就得到什么就变成了z先对这个人求导这样。这人在对SZ在对第二个中间变量求导，再对SZ对第三个中间变量求导，再对s。大学过程中是不是这样做的？啊，

这就是个基本能力，就是画树形图的方式，看看有几条线，第一条线的，第二条线的。第三条线当同一条线路当中啊，是用乘法连接的。同一线路用乘法，不同线路用加法，但同学们注意啊，这个方式很low啊，这个方式很low。所以接下来过程当中，我们今天讲直接上水平，我们来看看至高理解水平。

好，我们来看看黄金重点。多元复合函数偏导数。计算巅峰理解。好，那么接下来过程当中啊，我们一起来看看什么叫做巅峰理解水平呢？你发现这个东西的这个操作性方式啊，跟我们的高等数学上册是一脉相承的，你永远就记住一件事情就是。先对中间变量求导。然后中间变量再对。四，变量。求导就行了。

可以了，好同学们，你就给我把这句话给我记死。气死了，之后一会儿过程当中啊，你去看看。就是先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导。先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导，永恒不变都是这样的事情，只不过有几个中间变量就要求几次就行。好，我们先不多说，我们拿几个题来看看可以吧？

好，这个题啊，我们可以重新开始。我们可以重新开始了，你好好听啊，你一会就会发现这种题啊，水的不行。相当的简单。来先看第一个题。呃，作为初学者，我建议你们还是画下树形图，但是我们画树形图目的是研究清楚内在结构。不是说让你进去去画线的啊，好，

我们一起来看看。那么像这个人呢？首先我们来看看树形图来画吧，先到这个。中间变量，然后到s，然后到y那么请同学们告诉我有几个中间变量只有一个。只有一个中结贝塔。所以接下来过程当中，我们来看看这个偏z偏s。I撇s。那么，同学们，我们怎么做啊？先对中间变量求导，

它只有这个中间变量求导，你还记得吗？高等数学上册怎么学的？对这个中间变量，求导头顶肩膀上来一刀吧。注意啊，对这个整体求导，肩膀来一刀，还记得吗？肩膀来一刀，就是对这个中间变量求导的嘛。整体来刀就是对自变量求导。啊，这个还记得吧，跟上册是一样，

然后再乘以。中间变量再对x求偏导，对x求偏导是多少x分之一？好了，同学们告诉我结束了没？结束了呀，那不就是这样吗？就是对这个中间变量求导，中间变量再求导没了呀。结束了呀，就这个人。然后接下来过程当中，我们再来看偏z偏y。好继续，你再怎么办？

又来继续对这个中间变量求导来继续。再对中间变量求导肩膀来一刀。中间变量再求导是多少？中间变量再对YY分之方，分之负一好了这个题啊。出来了对吧？我就对这个中间变量求导嘛。中间变量再求导吗？对这个中间变量求导，中间变量再求导不就没了吗？跟你发现一个事情，你大学过程当中学的一样吧，你看这条线，这条线不就是先对中间变量求导。f一撇儿中间变量再求导s分之一是一样的，

一模一样。那么同学们，你告诉我这个页面跟高等数学上册一样不一样。一样的，然后接下来过程当中，我们再来看，然后是x倍的偏z偏s，然后加上y方倍的偏z多少？偏y那注意一下这个事情y方倍的偏z偏y，所以接下来过程当中，我们一起来看你看第一个人乘个s就是这个人。第二个人乘个y就是负的这个人。我问你个事情，这俩中间变量一样不一样？当然一样啊，

你第一个人是对这个人求导，你第二个还是对这个人求导，这是一样的，那这个负号一加是几零？能听懂吧好，这是第一种题，这种题叫什么？这种题质只有一个中间变量。这种题目只有一个中介变量，你们现在状态怎么样？你这样拿出最好的状态听啊，下面这个题相当的牛特别重要，这是必考题。拿出你最好的状态听，你要是困了，

你就站起来听，能听懂吧啊？好了，那么接下来过程当中，我们再来看看第二题。来继续那么请问同学们，我们作为初学者，我还是建议同学们画一下树形图。啊，建议你们画下。这个z到谁呢？z到s+yz到s-y。z到s×y这人到s这人到y到s到y到s到y。好了，我们一起来看，

请问同学们注意这个人有几个中间变量哎，这个东西啊，你发现有三个中间变量。是吧，哎，这个东西啊，有三个中间变量，你发现一个中间变量，两个中间变量。三个中间变量有几个自变量呢？你发现一个事情有两个自变量，一个自变量，两个自变量。好了，是有两个自变量，

有两个自变量就是个几元函数，就是一个二元函数。既然是二元函数，肯定是偏的。那我怎么做呢？好，你好好瞅一下，看好了我们不要画树形图，我们直接来做了。直接来看，要想求二解先进行求一解。好看，我们来走，请问同学们是不是先对中间变量求导？但是这里面当中有三个中间变量。

这是不是三个中间变量啊？你别管这个东西什么意思，它就是这个部分是个中间变量，这个部分是个中间变量，这个部分是个中间变量。三个中线变量。那这三个中间变量的话，你发现一个两个三个，你要对中间变量求导的话，你发现你看。你如果在上面打一撇，你能说得清楚吗？你说的清楚吗？你上面打一撇了之后的话，你发现你是对第一个球还是对第二个球？

还是对第三个球。那刚才能说清楚吗？刚才当然行啊，那刚才打一撇了之后肯定是对这个人求。你现在就说不清楚啊，说不清楚，大家注意就有一个东西的诞生呢，就是角标的诞生。注意啊，角标就出来了。角标是什么意思呢？你发现这是x+y。这是s-y。然后这是s×y。什么叫角标呢？

我为了表示清楚一个事情。表述清楚什么事情呢？哎，这里面。好，我们先看第一个事情，这个角标什么意思呢？为了表示是对第一个中间变量。对这个人求导，我就在上面打一撇，这来个一。你注意下这个事情，我来了个一。来了个一什么意思呢？就说我是对第一个中间变量求导的，

结果你听得懂我的意思吗？好，那么接下来过程当中，我们继续你看。如果是对第二中间变量呢，我就在这来个二。如果是对第三个中间变量求导呢，你发现你看我就来了个三。哎，注意一下啊，这个东西啊，就说清楚了，我们是对哪个中间变量求导的结果？我们是对哪一个中间变量求导的结果？能理解吧，

哎，就是这个人。但是接下来同学们，你想想。如果我这个人。我要有100个中间变量，怎么办呢？我要有100个中间变量，我对第一个中间变量求导，你要把这所有人写下这多长啊？第二中，第一中间变量求导你再对第二个中间变量求导的话，你要把所有人抄下，这得多长啊？所以说在这种当中就有一个问题的诞生了，

怎么办？缩写。缩写往往我们把这个东西啊缩写成这个样，但是你要注意这个事情要听清楚。我们这个东西的话，你就发现你看这个东西其实就是这个东西。对吧，这个东西就是这个东西，你要知道这个东西是个缩写形式，这个东西啊，也有三个中间变量。然后接下来过程当中，我们再看这东西呢，缩写这东西呢，缩写，

所以大家注意啊，这个东西有个缩写形式。我们是这样进行去缩写的。要知道怎么缩写的，缩写这个东西很重要。好，那么接下来过程当中啊，我们就开始了来做一下这个题吧。怎么处理来走？你要想对x进行求导，我们根据一条法则。永远都是对中间变量求导，中间变量再求导来一起来哦。先对第一个中间变量求导，就是f一一撇。

这就是对中间变量系统。中间变量再对s求导呢是一。然后再对第二个中间变量求导。中间变量对s求导的是一。再对第三个中间变量求导，中间变量对s求导呢是y。学会了吗啊，就这样做，非常简单啊，就是对第一个中间变量求导，中间变量再对什么自变量求导。再对第二中间变量求导，中间变量再对自变量求导，再对第三个中间变量求导，中间变量对自变量求导。

同学们，你想想。这是不是一个巅峰理解能力啊？所以你在那里面当中啊，你画出树形图，你这走一下那走一下，你到了最后其实你的巅峰理解水平就是这个人。就是先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导，是不是这个事情只不过多一句话，有多少中间变量？中间变量。就有多少项你能理解吗？这句话能理解吗？你要只有一个中间变量，

我对中间变量，中间变量对自变量没了。你要有两个中间变量，我对第一个第一个再求对第二个第二再求那两项，我要有三个中间变量，我对第一个求第一个呢？第二个球，第二个来，第三个球，第三个来就有三项。是不是这个问题？你要注意一下这个事，它是怎么操作的？能跟上吗？好继续哦。

你们现在状态怎么样？啊，现在状态怎么样？你注意没有完哦，你注意力集中一点，这题太重要了，它不是重要，你现在状态怎么样？非常好吧，拿出最好的状态停啊啊，好继续再来看。然后接下来过程当中，让我们进行求什么，让我们进行求两阶偏导数。这才是巅峰理解。

就是我们考研过程当中，考到这个水平差不多了，巅峰理解好两节了。那么，如果是两阶偏导数，那其实就是这个，一是再对谁求导，再对y求导。啊，再对y求导，那我有一个问题，你这人对y求导怎么求啊？啊，你这个f1对y怎么求啊？你这个f1的话，

你在上面打一撇。这什么鬼呀？大家注意，不是这样子的。你要听清楚一个事情f1，这个人真的是f1吗？不是的，他是拥有三个中间变量的。你要注意他这个人的话，他是拥有三个中间变量的。这才是他真正的样子。如果这个人进行球的话，你发现一球变成几项，又变成了三项。好，

我们先来看第一个事情，就是先对这个人求，那就是f1对第一个中间变量，求同学们看懂我怎么写了吗？看清楚我怎么写了吗？你发现个事情，我刚才怎么写的？你看有些同学大学过程当中啊，这个事情他怎么写呢？你要注意，不是一一撇撇还叫一二撇撇，一三撇撇撇个鬼，不是这样子。人家是什么？人家是f1这个人第一个中间变量，

再求导人家是f1撇一撇。f1撇二撇f1撇三撇。人家是这样意思，人家表示的意思是f1撇这个人，他的第一个中间变量去求导。f1这个人第二中间变量去求导，你要注意它真正的意思啊，是这个意思。数学的符号，它是有意思的，你能理解吗？它是这样的一个问题。所以在这种当中啊，你发现一个事情，我接下来带着你重新写一遍来继续走。

那么，接下来过程当中就可以开始了。走一下这个事情，你有三个中间变量，先对第一个f1，这个人对第一个中间变量求导。第一个人对谁呢？对y求导是几y？求导是一。然后是第一个对第二个中间变量求导，这中间变量求导是几是负一。然后是f1对第几个第三个中间变量求导，这人对y求导是几是x？好，这是这个事儿，

能跟上吗啊，基本信息点啊，你必须要会做。这才哪到哪儿啊？你要是真的能考到这样的一个，就直接这样算的题啊，你能开心死。去年那个二三年的考研题比这个还稍微的恶心一点点。你要注意它没有多特别难。你怎么一写多你就去去觉得有点说这个难呢？什么叫难题？一笔都动不下去。你要是一笔都动不下去，你就不要喊难了。所以大家注意啊，

你不要每次过程当中稍微写两项就难。运算量大不叫难，那叫运算量大真正难呢，你一笔都动不下去来，继续吧，再来看第二问。然后接下来过程当中是f2撇。f2撇这个人的话，你发现是谁呢？f2撇这个人呢？是这个人的缩写。所以继续f2这个人对第一个中间变量求导，第一个中间变量求导是一。f2对第二中间变量求导，中间变量对y求导是负一。

f2对第三个中间变量求导，中间变量对y求导是几是x？好了，那么接下来过程当中，我们继续再来看。然后最后一项你发现看。这是y。这也是y的函数乘法求导，后面求导是一，前面不导，然后再加上什么你再加上。后面不倒，前面来倒。然后接下来过程当中，你再看f3这个人是这个缩写继续f3对第一个中间变量，

求导中间变量，求导是一。f3对第二中间变量求导，中间变量求导是负一。f3对第三个中间变量求导，中间变量求导是几x出来了？跟得上吗？哎，这样一算就结束了。所以在这里面当中啊，它的核心重点内容，它就这样。就计算呗。你把这东西啊，你算出来，

这是最重要的。一步一步的算。呃，这样吧。算了，我把它讲完讲完了，然后的话过程当中你再做。啊，再讲完。这里面当中啊，还剩下最后一步啊，最后还有一项。那么，接下来过程当中啊，就是最后一下整理。

整理这个事情也比较重要。那么，这里面当中啊，有一件非常重要的事情，他说什么f具有二阶连续偏导数？什么意思？那么这里面当中什么意思呢？什么叫做具有二阶连续偏导说？就说的是二阶偏导数是连续的。那二阶偏导数是连续的二阶混合偏导数，连不连续二阶混合偏导数就是连续的。哦，二阶混合偏导数连续刚才我们讲过。如果这个人的二阶混合偏导数连续。那我问你个事情，

对它未知这两个东西谁先偏导，有没有关系啊？对x求再对y求。对y球再对s球一样不一样。一样的，就是对它这个末知自变量，谁先偏导是没有关系的。那么同理而言，同学们，我们再来看。如果我把这个东西啊，我复制过来好，大家来看。你好好听。那么，

这个人的话，你发现一个事情。如果我不看中间变量。是不是这个函数它就到这两人呢？是不是啊z跟f是一样的嘛？如果不看中间变量，是不是到这两人？这个人具有二阶混合偏导数连续的条件。我对这个自变量，谁先偏导？有没有关系？没有关系。然后接下来过程当中，我们再来看。如果我不看这个人呢？

这是ff具有二阶混合偏导数连续的条件。对它的三个未知，谁先偏导？有没有关系啊？也没有关系，你也是我的知啊。我只要二阶混合偏导数连续我的未知的谁先偏导没有关系。那没有关系的话，同学们想想。对这个人求再对这个人求什么意思啊？就是对第一个中间变量求。再对第二个中间变量求。跟对第二个中间变量球对第一个中间变量球一样的。同理，第一个第三个呢？

对第一个中间变量求第三个球跟第三个球，再对第一个球没有关系，同理。二三三二也是一样的。能理解吧。所以大家就会发现个事情，你会发现问题点就非常简单了，如果直接看这个图。你看好这个人具有二阶混合偏导数的连续的条件。如果你的二阶混合偏导数连续。这些人的谁先偏导？有没有关系？没有关系，这些人的谁先偏导？有没有关系？

没有关系，就是对自变量谁先偏导？没有关系，对中间变量，谁先骗到也没有关系，一定要注意这个事情啊，他给这个条件什么意思？你把这个意思想清楚就行。就说如果我们在题目当中啊，你发现告诉了什么，说这个人的二阶。偏导混合，偏导数连续。哎，我知道了，

你对自变量谁先偏导没有关系，你对中间变量谁先偏导也没有关系。跟上了吗？同学们。注意一下这个事情啊，你对自变量谁先偏导没有关系，你对中间变量谁先偏导也没有关系，这非常简单啊。所以这个题的话，你发现你先求s再对y，你先对y对s一样不一样的。是自变量，同理，中间变量也一样，所以接下来过程当中，

我们就可以整理了。那么，接下来过程当中，我们一起来整理一下这个事情，你下去好好品一下啊，这块内容比较多，来一起看，先整理同类项。一一撇撇再整理同类项，二二撇撇再整理同类项xy倍的。三三片片。好，继续来看，那这里面当中的话，我们继续看。

这个东西和这个东西是不是没了？哎，没问题，然后记下过程当中，你看这个人和这个人呢？这个人和这个人的话就是x+y倍的f一三。然后这个东西和这个东西呢，就是x-y倍的三二和二三一样，这个人，然后最后还有一项。f三一撇。我啥都没干。我什么都没干，为什么我就在这里面当中把它合并了一下？把这个一二和二一一三和三一。

还有二三和三二，我把它合并了一下，这东西出来了。所以说最后的这个答案呢，就写成了这个样子。哎，这是最后的答案。答案就写成这样子，有的说老师，我们最后的答案能写成这样，你考选择题，你着急啥？你是考大题，你问一下，问一下也是可以的。

问一下，也就是这个答案。但是你想想一个事情，你不觉得这个答案太长了吗？是吧，有点太长了，所以说接下来过程当中我再加一问。好，我加一吻，你好好听啊。我想问你个事情。零零处等于几？他在临临处等奖。来，我们一起来看，

所以说这个偏z偏s偏y这个人。它在零零处等于几啊？它就等于f1撇撇减去f二二撇撇零零零，加上f3撇。是不出来了。能理解吧哎，就做成这样了。是不是啊？对不对？是不是啊？是个鬼呀。这样一写这题就废了。大家注意这一写这题就废了。绝对废完了。啊，

废的不像废呃，废成什么样了？你要注意个事情，你看你这个人是不是要求函数值啊？这是函数值吧？而你这是啥呀？你比如说这个人。你看f三一撇是什么？f三一撇是x+yx-yx×y的缩写，它是函数啊。它是函数。你这是函数，这是函数值。所以大家注意一个事情，一定要怎么办？

把里面这个东西算出来零零零。f二二撇撇零零零，然后是f三一撇零零零。注意一下，其实这个事情跟我们讲没什么意思，因为我们都是选择题，你要注意这件事情，如果是数一数二数三同学问题大了。你写错了，填空题就零分。写成刚才那样子就零分，写成这样子得五分，那这样的话，你发现一下分就没了。如果是一道大题，

你写错了之后先扣三分再说，所以对我们的考题啊，我们都是选择题。你要再不会，你也会看选项，对吧？眼神盯着这个选项，你也知道这个东西该是什么样子。所以像这种题啊，你下去过程当中得多练一练。能听懂吧，得多练练，我相信通过这个题啊，把所有东西我应该讲的很满哦。这样的一个题该进行讲的这个东西啊，

我讲的很满，都放在这里面了。行吧，我们下课稍微休息会儿，你休息过程当中。你来做一个题啊。你来做一下这个题。说实话是可以的，你下去过程当中把五点一六那个题啊，你使劲的多多做几遍，你没事干的时候做一遍，没事干的时候做一遍。你很快这个东西都想清楚了。但是另外一个事情，我想强调一下。

因为这个市面的过程当中啊，很多这个书籍的这个写法不一样，你就按照我们的角标的写法，听懂我的意思吗？有些的话，你发现一个事情，它不是这种角标的写法，你比如说举个例子。你看我给你看一个题。比如说就这个题吧。看这个题，我们写一行吧来说一下。你发现一个事情，这个课本写东西啊，写的比较啰嗦。

它就是这个什么，它说让我们这个w偏谁呢偏s？首先，大家注意一个事情，你看这个人。那么，同学们告诉我，这是个几元函数。起源函数。你w可以到谁呀？其实你发现到了现在而言，你只要眼睛轻轻的一漂，你都知道了。告诉我是几元函数。三元函数对吧？

有几个中间变量？你现在眼神闭着都能看得出来，你发现这个w是到x+y+z。然后这是xyz，然后这到x到y到z。然后到x到y到z。两个中间变量。所以同学们两个中间变量就有几项，两项，所以接下来过程当中，你发现你看你偏w偏s怎么求？先对第一个中间变量求导，是它一再对第二中间变量求导是多少yz简不简单？很简单吧。非常的简单。

所以在这种当中啊，大家注意不要按照这个教材这种写法，你看他怎么写？他说我把这个东西另成u，这人另成v，然后怎么办呢？你看偏这个先对第一个中间变量求导。中间变量再求导，再对第二个中间变量求导，中间变量再求导，你告诉我事情他写的这个东西是。是不是刚才我们的理解性的水平呢？你告诉我是不是？所以同学们注意一个事情，你看你这样写，

它就是我们在这里面当中的水平呐。所以他写的这个问题就是我们刚才过程当中求导的部分内容，我们一步到位做到这儿，而且不需要u和v直接就是一和二就行了。能听懂吧，所以在这种当中，我再强调一遍，你不需要按照任何的话，这个教材当中写的那种方法。就按照我们这个角标的这种方法，所以书面的过程当中，教材的书籍的写法会有两种，一种的写法是用角标写。一种写法的话，就是用这种偏导数这种样子写，

你看。就这样写。看起来多恶心呢。有的时候你发现一夜过去，你看这个，你再看看。就这样，一堆写过去。就让人瞬间的觉得恶心了，其实你发现按我们的写法，它会非常的简洁。非常的简洁。所以说你看看这个，你看这个。你去看看很多这个书里面当中的话，

他写这个东西，所以大家注意啊，不需要这样写，这样写稍不得有点麻烦。你按照这种巧妙的形式进行写，这东西就会很简单了。简洁很多又清晰又简洁，能理解吧，好这个事我们就讲到这，刚才有个同学说，他说这个f1撇体现不出来自变量。人家没有想提前自变量。你对s偏导数的时候，你f一一撇是f1撇，你看对第一个中间变量，

假设是对s，那就是对第一个中间变量求导。那中间变量再求导是在后面，那中间变量是对x还是对y？那是后面的事情了。所以说要注意啊，它是对中间变量求导的结果。啊，不要混啊。好了，这个事情我们就讲到这儿非常高能的一节课程，所以你注意啊，下去过程当中这块问题啊，你得好好进行处理了。好，

我们稍微休息会，下课休息的过程当中，把五点一七这个题慢慢的把它给我算出来可以吧？一定要把它给我算完，五点一七这个题我觉得这块的题啊，能磨性子。摩。磨性子啊，那非常的好磨性子，所以在这块东西的话，你发现把你的性子好好抹一抹。有的同学呢，一方发现一个事情在这块做题啊，非常的浮躁。对吧，

非常浮躁哎，在这种当中你稍微。怎么了啊？啊，慢点写对吧？慢慢写。然后另外一个事情，我说一个问题啊。你写好看就是写整齐点，不需要好看。写整齐一点。这个学数学这个东西啊，你写整齐一点，我们都是选择题，又不需要看这个什么改卷，

老师怎么样？你这个东西写完了之后的话，你得看得清楚啊。我不说别的。你要是写的非常的潦草，你一画这个加法减法乘法，然后这些符号的话，你发现混为一谈。你一会儿过程约约约的时候的话，你就你就知道痛苦了。你所以在这种当中稍微的写整齐一点。写整齐啊，是为了你自己啊，做题的准确性进行服务的。不要经常去说啊，

这里面当中啊，我怎么老是容易少符号呢？怎么怎么样啊？在这里面当中把这东西啊写整齐一点。好，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊，下课休息过程当中把五点一七这个题把它做一下。好吧，休息会，一会继续啊。

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26.多元复合函数偏导数计算-1

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