25.多元微分学基本概念与偏导数定义-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:46:46

那了，我们就准备开始今天的课程吧，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的三九六精宗数学的睡前系列啊，这个基础班部分内容啊，这个最近怎么回事？老师进行去说那个睡前系列。好了，那么接下来过程当中啊，

我们就直接开始吧呃，首先大家说注意一下这个，今天部分内容非常非常的重要啊，今天的内容黄金重点内容。那么，在今天过程当中啊，我们会用差不多十来分钟时间啊，把这个微分方程的啊，这个这个中值定理部分内容我们结束。今天这个脑子怎么回事啊？呃，我们一会儿过程当中啊，还有两个事情，一个事情是柯西中值定理，还有一个事情啊是泰勒定理。

这两部分内容，我们把它讲完，那么讲完了之后啊，我们就直接进入到这个高等数学的最后一章多元函数的微分学。呃，最后一个部分的内容非常非常的关键，一会过程当中我们再来说呃，我们先来把这个上次过程当中的知识点，我们先做一个复习。因为上次过程内容，其实你发现次重点比较多啊，就是上节课过程，虽然我们讲了一节课的内容。但是你会发现核心重点呢，这个东西比较重要。

然后这个东西比较重要，还有这个东西，那在这种当中啊，当然这个旋转测表面积啊，也可能会考。但是这里面当中的B区间连续函数的四个性质，还有这个罗尔定理啊，说实话，出题点呢，不会特别多，所以在这个当中把这个重点的方向放在那几个人。先来看第一个事情，求护照。那么，求解弧长最重要问题是什么？

首先，第一件事情要知道弧微分，弧微分有三种情况，有三种弧微分。所以在这里当中啊，就有三种求弧长的方法，所以这件事情非常的简单，那么先来复习一下这个直角坐标，直角坐标是根号下一，加上y对s求导的平方。ds那然后在这种当中积个分，把这个上下限写成s上下限就结束了。然后接下来过程当中，我们再来看看这个参数方程，那参数方程就是is对t求导的平方，

然后再加上y对t求导的平方dt。然后这个时候一积分把这个上下限写成t的上下限就行，然后最后一个事情就是极坐标，极坐标是r方，加上r对西塔求导平方。DC塔那核心重点就这三个人，把这三个事情。咳咳。把这三个人呢，分别带上上下限，写成相对应的这个人的上下限，这题出来了。那么，接下过程当中，我们再来看第20题旋转测表面积，

那这个内容你还记得我们怎么去学的吗？我们说让你记那个公式，不如记那个微圆，记住那个微圆，不如记住那个图，记住那个图啊，不如记住原来的图。所以在这里头当中，一转转出什么情况，一起来写一下dea，这个人就等于二派yds。你把这个东西背完了之后的话，你发现我们接下来把这个人打开就可以了，所以说直角坐标写成直角坐标的记做啊，这个什么这个互为分。

然后这个参数方程写成参数方程的，这个互为分，那这题就出来了，所以说这个内容难度系数不是说特别大。呃，说实话，这东西的出题的几率啊，也不是特别高。几率比较高的求弧长，然后接下来过程当中，我们再来看下面一个事情B区间连续函数的四个性质。那么，在B区间连续函数四个性质当中啊，首先，第一个事情这个东西啊，

必须是B区间连续。对吧，必须是B区间连续B区间连续有巅峰，有低谷，有最大，有最小介于最大和最小之间就右接。然后这里面当中如果有个数介于最大值和最小值，中间一定会有个数等于你，然后最后的时间零点定理。零点定理啊，也是个闭区间连续函数四个性质，所以同学们注意啊，这四个定理的第一句话都说的是闭区间连续。如果你把这个条件改了，那将来过程当中啊，

这个内容就有可能不对了，所以要注意啊，都是必须间连续，然后这个东西呢，要保证。端点之一号。只要你能保证端点值一号，中间就一定会有个函数值啊，使得什么情况使得这个点处的函数值等于零好，这是一个基本问题。然后接下过程当中又讲了积分终值定理，那积分终值定理怎么讲的？如果被积分函数连续，那这个定积分就一定会等于多少f可塞？再乘上b- 1。

那这个可赛啊，应该是介于a和b的B区间，但是可以推广的开区间，那么在今年我们的考研题过程当中，你就使用开区间就行。不用管B区间好这个问题，然后再来看看罗尔定理，罗尔定理有几个条件啊？在这种当中，一定要注意下三个条件，然后下一个结论。哎，这是这个问题，它必须得保证，必须间连续开圈，

可导端点值相等，然后在这里面当中，我们就可以说什么，中间一定会有个导函数等于零。所以在这种当中啊，你发现就可以出题了，比如说举个例子啊，我们来出一个人。我们来改一下。呃，这个随手一出啊，就有可能出成我们的考题，那么在这当中我们说这样的事情，我们说如果这个函数。怎么了？

在这个开区间连续。然后接下来过程当中，开区间内可导。而且你发现端点值是相等的。然后接下来过程当中，他说则至少会存在一个可塞。属于a到b的开区间。使得这个导函数等于零，对不对啊？对不对？你看这个人，我们说什么呢？闭圈连续开圈，可导端点之相等可以。但是现在我改成什么开区间连续开区间可导端点值相等，

然后中间有没有一个导函数等于零的点呢？对不对？你能给我举个例子吗？啊，万一这个东西能推广的开区间呢？好，那么接下来过程当中，我们一起来看看，我给你举个例子，非常的简单。那么，这里面当中的话，同学们告诉我，我们来看看这个人。它只需要保证什么？

它只需要保证这个开区间内部是连续的。开区间内部是可导的端点值这个东西啊，你发现是相等的。但是你发现它没有保证a点和b点也连续吧，所以在这种当中啊，你看我给你举个这个例子。可不可以假设你发现这是个一次函数？哎，一次函数，然后这里面当中的话，这个点取。对吧，这个点不取，我把这个点点到这儿。诶，

这个东西满不满足呢？我们验一下，你看开区间内部是连续的不断。开区间内部都是可导的，导函数都是一，然后端点值都是相等的，你看这个事情非常的啊，这个巧妙。所以我就举出了b圈啊，开圈连续开圈可导端点值相等，但是同学们，你发现一个事情在这个开区间的内部。在这个内部内部，它的导函数都是解它的导函数都是一当s，怎么办？

属于a到b的区间当中。你发现没？中间有导函数等于零的点吗？没有你发现它不就说错了吗？所以大家注意啊，我们就非常害怕出这种题，就怎么讲呢？我把你的条件给你改了。然后接下来过程当中，我让你去判断这个东西的正确性，像这种类型问题啊，有可能会出题啊。我说过了，数一数二数三同学的这个真题啊，在九几年过程当中是出过这个的。

但是你发现我们是没有出过这种题，所以希望同学们要哎把这个东西啊，消化到位。好了，这个事情我们就讲到这。嗯，考这种题怎么了？考的不好吗？那不能说，你觉得好就好，对吧？你得站到这个出题人的这个角度上来看。好，那么接下来过程当中，我们再来看看拉格朗日终止定理，

那这个东西呢，是必须连续开圈可导，然后怎么办呢？使得什么？这个割线斜率等于中间一个点处的切线斜率，那这个内容可太重要了，那么上次过程当中啊，我们利用它进行去处理的好多题。对吧，对于拉格朗日中值定理的问题，我们见到相同对应的法则，两个函数做差的问题，我立即想到拉格朗日中值定理。所以这件事情啊，最重要问题啊，

就是一个定式思维的。对吧，你这个定式思维，这个定式思维能力啊，是非常重要的。去掉积分，现在是积分终止定理。啊，你不要搞混了。好了，那么接下来过程当中啊，我们继续，我们再来看看，后面还有两种地理呃，通过十来分钟时间吧，

把这个后面两种地理啊讲完。然后正式的进入下一章内容，因为下一章对我们的考研过程当中是非常关键的。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看柯西，终止命令。拉格朗日终止定理是一个人的事情。柯西中值定理呢？柯西中值定理是两个人的事情。两个人那么他说什么？他说这两个人都在B区间连续。都在开区间可导，而且做分母的导函数不为零，那这时候就有什么呢？

有这个fb-fa。比上这个jv-ja，就等于if导可塞，比上j导可塞。那这个事情的话，有的人说那很简单啊，那这个东西怎么证明的呢？那不就是拉格朗日中值定理吗？我们先写一下这个拉格朗日。它就等于if撇儿克塞，乘以一个b-a吧，然后这个人的话，你发现一个事情，我们继续用下拉格朗日中值定理，又等于if撇儿克塞。

乘一个b- 1，然后这个东西怎么办？两者除一下是不是就行了？对吧，这两者除以下来之后的话，你发现b-a就约掉了，是不是就上面这个人？对不对？是不是啊？是个鬼，大家注意哦，这东西不对的，你别胡来哦。你将来过程当中啊，别人问你说柯西中值定理怎么证明的，

你就说拉格朗日中值定理证明的两个拉格朗日中值定理做个比这东西出来了。那胡来。这就太low了。相当的low，那么这里面当中出现的原因点在何处呢？那么我们来看看这个事情，你来看第一个人。这是fs。那fs这个人的话，你发现一个事情，我们利用什么情况，你发现看他的终止点，假设在这儿。然后接下来过程当中，你发现这个js js的话，

你发现终止点在这儿。你能保证这两个点的终止点是一样的吗？你能保证吗？啊，你能保证这两个终止点是一样的吗？你保证不了。第一个人的话，这个切线斜率等于这个割线斜率在一个点上，第二人呢？你发现你的切线斜率等于割线斜率，你无法保证这两个点是同一个点。但是你发现人家让你证明的这个东西呢，人家是同一个点。所以在这种当中啊，你说这个柯西中值定理是两个拉格朗日中值定理做比，

这就非常low了。所以希望同学们注意，不是这样证明的，怎么证明的呢？我们不需要知道。如果你有兴趣啊，你可以去看看那个数一数二数三同学的那个部分内容，它是用罗尔定律证明的。哎，用罗尔定理证明的。罗二定理证明了拉格朗日中止定理。罗二定理证明了柯西终止定理。但是同学们注意，我们不考真命题，你不用管，

你知道这个地理的内容就行，过去了可以吗？啊，有兴趣你可以去看一下，没兴趣就算了，好这个事情我们就过去了，那么接下来过程当中啊，我们再来看看最后一个人叫做泰勒定理。呃，那么这个人呢？我们可见到的这个事件非常非常的悠久了。时间非常非常的长了，那么接下来过程当中啊，我们来讲讲这个态的定义。那泰勒定理是什么东西呢？

就说我给你一个函数。给你一个函数，当我给你一个点的时候。给你一个点，就能把这个函数在这个点处展开。比如说我给的是s0，这个点我就可以在s0处展开展，开成什么样子呢？展开成这样子if撇s0 s-s零。然后这个东西是二的阶乘分之撇儿撇儿s0，然后这是is-s零的平方，然后一直加一直加。加到多少呢？加到n的阶乘分之n阶导数在s0处，然后是ss-s零的N次方。

啊，就展成这样，就说我只要给你一个点，我立即可以把这个函数展成这样。对吧，我就展成这样，但是同学们注意这两个东西相不相等啊？相不相等？同学们告诉我，这俩玩意儿相等还是不相等啊？不相等。这俩玩意儿是近似相等的。哎，这个东西啊，不相同。

那么，后面过程当中啊，你得加上一个近似项，这个项叫做余项。像这种鱼像有两种。有两种预想。第一种语响就是顺着这个东西往下写。顺着这个东西继续往下写，那你发现一个事情，加上这个人的高见无穷小。哎，加上这个人，这个余项叫什么余项呢？这个余项叫匹亚诺余项。大家注意，

这个余项叫做匹亚诺余项的泰勒公式。好注意一下这东西呢，这个鱼像叫皮阿诺。当然的话，你见过一些书籍当中啊，他写的是比亚诺，无所谓英语当中翻译过来吗？所以说这个余项叫做。起亚诺渔箱好这个人。当然，在这里面当中啊，你发现还有一种情况。那就什么情况呢？我可以顺着这个东西啊，继续往下写，

你下面这个东西啊，考的几率就基本上没有了。哎，不太会出题的，你听一下就行了，知道就行，我可以跟着这个东西继续写一下，那就是n+1的阶乘。s-s零的n+1次方。然后这个东西呢，你发现就变成了n+1阶导，但是注意一个事情这东西啊，变成了一个终止点。哎，终止可赛点，

我们把这个余项叫什么呢？这个余项叫做拉格朗日余项。啊，这个人真厉害。叫做拉格朗日预想。如果你加的是这个，后面的高阶无穷小，我们讲的把它叫做PR no 1项，如果加的是什么，顺着这个东西再往下写一记。然后再加上一个终止点，那这个东西啊，叫做拉格朗日余香。所以我们这两个东西啊，我们稍微读一下这东西叫做带有匹亚诺余项的泰勒公式。

这东西叫做带有拉格朗日语向的他的故事。能掌握清楚吧，基本点好这个余项，那这个余项的这个可赛介于什么范围呢？这人是这个范围。它介于这两者范围。s与s0之间。什么叫介于两者之间呢？谁大一点谁就在前面。你就是什么情况呢？你谁大你大的话，你就在前你大你在前啊，这个无所谓，谁大谁就在前面。好，

这就是我们在这种当中啊，介绍的这样的一个基本问题，所以这两种余项它的公式啊，你要知道。当然，在这里面当中啊，其实你要挖深一点，你还要注意这个东西的使用条件。成立的范围呃，你像这里面当中，我简单谈一下就行了，可以吧？好，我们先来看看第一个事情，这个东西成立的条件是什么？

那这个成立条件的话，你发现最高是不到这啊？它就在这儿，所以最高在这儿，因此啊，你发现它必须要保证，如果这个s。fs在s=s零处。具有几阶导说。具有n阶导数。哎，具有n阶导数。如果你这个人具有n阶导数，我就在这个点处啊，能够把你展到n阶。

那这个时候这个x成立的范围是什么呢？这个x成立的范围啊，则在x零零域内成立。哎，领域当中的s均有这个事情，但同学们注意啊，这个东西啊，你听一下就行了。啊，不会考的，你放心吧，这个东西啊，作为一个拓展内容，你听一听就行了，不太会考的。

所以在这种当中啊，你知道这个东西叫做带有皮亚诺余项的泰勒公式就行。它如果的话，你发现要想成立，必须要具有n阶导数，你才能展到n阶。第二，事情的话，只有在这个点的邻域内才成立。那第二事情呢，我们再来看这个人。那这个人要想成立呢，这个人要想成立，你得保证这个事情吗？对吧，

你得保证这个事情，保证这个事情的话，你发现一个事情我们就要说，如果什么情况呢？如果这个函数。他不是在那个点。它应该是在一个区间内。具有什么情况？具有n+1阶导数。n+1阶导数，大家都知道这个条件就非常的苛刻了。相当的苛刻，有点苛刻了，但是没关系，如果你苛刻了，

你成立的范围就大了，所以说他说则。在什么情况？在这个区间内。均有什么情况？均有这个地方就不需要淋浴了。只要在这个区间内，你具有n+1阶导数，我在这个区间当中，我就能展成这样。所以这个部分内容啊，难度系数一点都不大。尤其是我们三九六同学学习啊，我觉得这块东西非常的轻松。你只需要学什么？

你只需要知道你原来学的那个泰勒公式是怎么来的就行，你放心吧，这块不会出题的。啊，这不会出题的，所以你只需要了解一下就行了，了解一下这个东西是加的皮亚诺语项，了解一下加的是拉格朗日语项就行。要知道它的成立的范围，要知道这个东西啊，成立的条件，那这个事情就可以了。好了，那么接下来过程当中，我们再来讲一个捡漏大王。

哎，简陋大王谁呢？他的名字叫做麦克劳里。如果在这里面当中，你把这个展开点取作零。大家注意，如果你把这个展开点取作零。那取出零了之后的话，你发现一个事情，我们就把这个函数啊，我们继续写，它就变成了f0，然后加上f撇0x。然后这是二的阶乘分之撇儿撇儿零，然后这是s方一直加一直加加到n的阶乘分之多少？

n阶导数在零初值SN次方，然后再加上它的高阶无穷小，这公式就叫什么呢？这公式一下子就变成了。麦克劳林公社。哎，就叫做麦克劳林公式。所以什么意思呢？就说在那个泰勒公式的话当中啊，把那个展开点取作零这个公式就叫麦克劳林公式。所以说这一行公式怎么读啊？就叫做带有匹亚诺余项的麦克劳林公式。当然，同学们注意，你也可以怎么办？

把下面这人的展开点曲作里呢，叫做带有拉格朗日语向的麦克劳林故事。所以这件事情我们就简单讲到这儿啊，这就可以了，因为我们在考研过程当中啊，这个部分内容你稍微注意一下就行了，你知道这个泰勒公式怎么写的就行。因为将来过程当中啊，会有一种考题，我强化班会讲，所以今天过程当中，我为什么讲这个事情呢？我们是有道理的。就是这个公式，你必须要记住。

我再强调一遍。这个公式必须要背过啊，这个人。这个公式就说这个里面当中啊，在零处展开的这个麦克劳林公式，这是一定要记住的。没有任何商量余地，别的东西你都可以不管了，但是这个公式必须要记住，因为将来过程当中啊，有一种高阶导数的题，我们是需要用的。好，这是这个人，那么接下来过程当中，

我们继续，我们再来看看下面一个问题，你可以试一下吧，比如说我举个例子，我们把这个函数取作es。取出es了之后的话，你发现e的零是一，然后呢？倒下还不是一吗？然后再倒下呢？你发现还不是一吗？然后继续倒下去呢，继续倒下去还不是一吗？你发现没？这不就是我们原来背的态的公式吗？

所以我们原来背的tad公式不就是这个tad公式吗？所以大家注意啊，这个红色框的这个公式，这是一定要背过的，当然这里面当中的话，你发现你比如说你看你再来看三音。那s in这个人的话，你发现看s in 0是几s in 0是0s in求导是cos cos 0是一。然后cosine再求导是负三，那负s in的话，你发现这又是零。然后这时再求到负cos in，然后再减去多少三的阶乘分之一三次方，倘若你写到这儿，这是不是原来倍的泰勒公式啊？

所以原来我们记得那个tag公式啊，就是这个人来的。对吧，给你一个函数，就在临处展开的带有匹亚诺鱼像的麦克劳林故事。就这个人能想清楚吗？你随便写，基本上都这个人。所以红色框的这个公式啊，这是一定要记住的。这个没有任何商量余地啊，因为强化班过程当中，我会讲一种题型，那种题型呢，要用的好，

这个事情我们就简单讲到这。可以了吗？像什么东西呢？这个带有皮亚诺一向的泰勒公式。一般点处怎么成立的？哪个范围你了解一下就行了，像这个什么东西拉格朗日一项你了解一下就行，但是同学们注意带有皮阿诺余项的麦克劳林公式是我们一定要掌握的。好了，这个事情我们就简单讲到这。终于把我们的这个高等数学上册，我们讲完了。然后接下来过程当中，我们就正式的进入到高等数学下册，也是我们三九六同学大纲要求的最后一章。

多元函数的微分学。大家注意啊，这张特别重要。这张可能对于数学一和数学二，数学三同学，他们也就只可能考一道题。但是注意啊，我们有可能会考到四道题。你注意下这个事情，这一章啊，有可能会出四个题。所以在这里面当中，这章部分的内容是非常非常关键的。希望同学们下去过程当中一定要在这章过程当中多进行复盘。那么，

接下来过程当中，我们一起来看看。而且这章过程当中有一类考题是很多同学的短板。那么，今天过程当中，你就要好好学了，我要求多少内容，你一定要消化多少内容，那这里面当中东西非常关键。那么，首先我们在正式上课之前呢？我们先把这里面当中的所有的大纲，我们先跟同学们浏览一下，来看看这个里面当中的部分内容需要考多少内容。那么，

首先我们讲细致一点，那么第一类问题就是二重极限。二元的连续性。可导性。可微镜的判定。大家注意这种类型问题啊，必出题100%的，你放心啊，100%出题，我们贼喜欢考这种题。就这种类型的题，就考这种概念。这种类型问题必出题，就说二重极限呢，二元函数连续性怎么判定可导性怎么判定？

可微信怎么判定去年的话，你发现考了两个题。就非常夸张了好，这是我们讲的这个第一个人，然后接下来过程当中，我们再来看看，那就是偏导数计算问题，就是多元的。符合函数的偏导数计算。这个类型问题必出题，然后接下来继续二元隐函数，偏导数计算问题。这个类型问题必出题，然后再来看看第四个事情，那就是多元函数。

函数的无条件机制问题。哎，这个类型问题，这个类型问题啊，必出题，当然在这种当中啊，你发现一个事情，还有几个冷门的？啊，冷门。那这冷门的话，你发现还有有条件机制。啊，有条件解制。还有B区域最值。

最值还有这里面当中啊，偏导数的反问题。这几个东西啊，是冷门考点，但是大家注意一个事情，前面四个部分呢，一定会出题的。你看我说的非常的绝对，我不说，可能我说的是一定。那么，这里面当中的话，你发现这个考点一定会出题的，去年出了两道。这个部分一定会出题的，

去年出了这个部分的内容，一定会出题的，所以希望同学们注意啊，在这个多元微啊，这个函数的微分学当中。这张是非常关键的。那可能我们在这块学习过程当中，侧重点跟数一数二数三同学有点不一样。但是我希望同学们你按照三九六同学的大纲来。你要进行去分析我们的考题形式啊，好了，那么接下来过程当中不多说了，我们先来看看第一个问题，大家注意哦。这个类型问题。

是众多同学的短板。很多同学，比如说考这个三九六同学考了68分。就有可能丢了一个两分题就丢到这了。有的人考到这个66分，你发现丢了这个什么两道这个两分题有可能也都丢到这了。所以你注意啊，这是三九六同学的一个短板，有什么二重极限了，连续性判定呢，可导性判定呢，可微性判定，我从来不担心这几个人。一谈到这种计算呢，你发现一个事情，

哎，谁都还行，不就算一个导数嘛，还可以算一个隐函数，导数也还可以。算一个无条件禁止也行，但是你发现像这种概念性问题啊，我希望同学们今年基础班一定要给我突破过去。不是特别难。为什么往年过程当中，很多同学学的稍微的话，这个部分学的稍微的差呢？因为你发现他没有多少基础的。它直接上来的话，基本上是强化，

然后到了这个冲刺，你发现这个部分呢概念学的非常的差。好了，那么接下来过程当中啊，我们就直接开始，我们先来看看这里面当中的第一个问题，多元函数的一些基本概念。我们先从多元函数开始讲起。讲这个概念呢，首先第一件事情我们就不得不进行去讲一下什么叫做多元函数。哎，多元函数，我来问你个事情，这个元指的是什么意思啊？你学了多少年的这个？

几元函数。你从初中就开始学一元函数，一元函数，哎，学了这么多年的这个元。那这个圆指的是什么？未知数。啊，可不是未知数。你发现学东西一定要注意主体函数，我们讨论的是自变量，因变量。对吧，方程我们才讨论的是未知数吧。能听懂我的意思吗？

方程才讨论的是未知数，也不是变量，那你告诉我个事情，这是个几元函数啊？你要说是变量的话，这里面当中有两个变量，两个变量应该是二元函数，这是个一元函数啊，大家注意一个事情，这个元指的是自变量。一定要注意啊，元指的是自变量写到后面。我们经常讲几元函数，几元函数，这个元呢，

指的是自变量。所以在这里面当中啊，几元函数当中，我们学的最多的是几元函数，最重要的当然是二元函数，把二元函数学好，那基本上后面的部分就可以同理可推了。所以所有的方向性放到二元函数上。那么，接下来过程当中，我们先来写一个二元函数。那么，同学们告诉我，这是不是就是一个二元函数啊？两个圆嘛，

两个自变量，这是不是二元函数？是不是啊？这样一写就是二元函数是吧？那可未必那么，所以说在这种当中啊，第一个考点内容就来了。怎么进行去判断它的因变量？它的中间变量？它的自变量？比如说举个例子，我们写一个人。然后这里面当中，我们又写了一个事情，这个y啊，

等于gs。请告诉我个事情，那么这个函数是一个几元函数啊？几元函数在这种当中啊，我要教同学们画一种事情，这个方法叫树形图的方法。哎，树形图。那画树形图啊，我们就能进行去看出这里面当中的所有东西的结构。那么，在这种当中，我们来画像，你发现一个事情从z开始。然后这个部分的东西啊，

它可以到x也可以到y。但是注意一个事情，你发现这个y是不是也能到x啊？请注意这个树形图的，这个人的起点。它是这个人的因变量。如果这个东西的末点是这个人的自变量。然后这人的中间是这个人的中间变量。你要注意，所以对于这个函数而言的话，你发现起点是这个人的因变量，因变量是z，然后它的自变量是谁？自变量是s。那这个y呢？

它叫做中间变量，它不是自变量，所以对于这个函数而言，它有几个自变量，它只有一个自变量，你可以这样看。你把这个y直接替进去，你替进去所有人都是x，所以说这个人呢，其实是一个z关于x的。一元函数，你要注意啊，这东西是一个一元函数。这个当中的这个y啊，它是一个中间变量的形式，

这是你要注意的，那么接下来过程当中我们再来看一个人。好，继续走。那么，在这种当中，比如说我们举个例子，我们再写一个，然后写了个u。u=fxyz。然后接下来过程当中啊，这个y=js。然后这里面当中的话，你发现fx z=0。告诉我事情，

这个人是个几元函数。打那表情干嘛呢？好好听课对吧？呃，你注意我在这个板块内容讲的这个方向都跟这个数一数二数三有点不一样。因为我们要更加注重我们的考勤。济源还说。首先，我们先来看看这个事情，这是y跟x之间的一元函数吧。对吧，那这个人呢？这个其实你发现是z跟s的一元隐函数。是吧，一元隐函数因为什么情况呢？

这个东西就能确定一个z跟s的函数z跟s之间是有关系的。所以接下来过程当中，我们来画一下这个图。你可以倒s，也可以倒y，也可以倒z。但是你发现这个y可以到SZ也可以到s。所以在这种当中的话，你发现所有的话，这个部分当中，它的一个起点是谁？起点在这儿，这是因变量。终点在哪儿？终点在这儿，

那这人是自变量，然后这里面当中的这俩人呢？这俩人都叫中间变量。所以对于这个函数而言的话，你发现一个事情，它其实是z关于s的一元函数。大家注意啊，这东西是个一元函数，这很重要。你为将来过程当中啊，做一些繁杂的题进行去服务。能想清楚吧，慢慢分析哦，一点一点的来好，这是个第一个基本问题。

过去了，可以吗？基本点。所以将来过程当中啊，如果写这个z=f sy。对吧，写这个z=fx y。那这个时候的话，你发现个事情什么都不说了，那就说明什么情况，说明这个z可以到s也可以到y结束了。那结束了之后的话，你发现这个xy呢，都是自变量，因此它就是一个二元函数。

能理解吧，二元函数。好，这是一个基本问题，过去了可以吗？然后接下来过程当中，我们再来看一个题，来看一下例三。好，继续写。然后这里面当中我们写个这个人，这是根号下一减去x方减去y方好了，同学们，你告诉我这是个几元函数没有了啊。就说这一句话，

济源还说。很明显z到xz到y就结束了。那就有两个末值，那这个人是个二元函数，所以他是个二元函数。哎，这个人的图像你会画吗？那这人图像的话，它不就是x方加上y方加上z方。它不就等于一吗？诶，除了等于一之外的话，这个z是大于等于零，那这是个什么？这是个球吧。

这是个球面。对吧，球面不是个球体啊，是个球面。那这个球面的话，你发现一个事情，它就进入到三维空间了。所以接下来过程当中，我们来看看三维的d卡坐标系。如果这个轴线是s轴。如果这个轴线是y轴，我问你个事情。这个z轴一定朝上，还是既可以朝上，也可以朝下。

你回答我，我们讲一些这个常识问题。你这个z是一定朝上，还是既能朝上也能朝下？大家注意啊，只能超生。哎，只能朝上。不能朝下。这个东西是为什么呢？因为我们基本上讲不到这啊，其实你发现一个事情，这个东西要符合右手定则。右手定则，如果有些同学学过那个向量代数的问题，

就I向量叉乘上j向量等于k向量。它们之间的话，一定是符合什么右手定则，就是从x到y捏一下那个右手的大拇指方向。大拇指方向，其实你发现一个事情就是那个啊，这个z轴的方向。啊，这个高中没有学过啊。你高中没有没有学过这个差级？我下午过程当中啊，刚好讲这个数学一同学的话，刚好讲到这个数一专题部分内容啊，下午刚好讲到这。讲的这个什么东西呢？

这个三大机。点击插集和混合机对吧？在这里面当中啊，你发现你高中学过插集。啊，你高中学过叉机吗？这个差距问题，所以在这种当中啊，你高中可能会学过这个什么右手定则的问题啊，好了，这个事情我们就简单讲到这啊，不用管了，来继续回来吧。所以在这种当中啊，你发现它就符合一个右手定则啊，

简简单单的一个问题啊，这个东西不重要，听一下就行了。所以在这种当中啊，它其实你发现这三个轴线把空间分成了几个部分呢？几个部分分成了八个部分。对吧，上面四个部分，下面四个部分，八个部分，这八个部分呢，不叫象限了，它的名字叫做挂线。那我们经常讲八卦，对吧？

八个卦先。然后这里面当中啊，大家来看看。上面前面右面就说s大于0y大于0z大于零都大于零都大于零的时候的话，你发现这是第一挂件。第一挂线的后面是第二挂线，第二挂线的左边是第三挂线，第三挂线的后面是第四挂线，然后接下来看一的下面是五二的，下面是六三的，下面是七。四的下面是八八卦线。看懂了吗？有些同学眼睛一看这个东西是一坨啊，有些同学看的是立体的，

有些同学看的是平面的，你看平面我就疯了。好，这个事情啊，我们就不讲了，你自己下去过程当中啊，你听一下就行，好，这是这个问题，所以它是八个划线。好了，这是这个问题。你听不懂吗？啊唉。这丝毫不需要一点空间想象能力啊。

半点都不需要来，你来看看。那你发现一个事情，你看这个点在第一挂线后面那个点在第二挂线这点第三第四第五第六第七第八，我讲清楚了吗？啊，这个不重要，来继续回来。不重要，我们再来看看这个部分问题，然后接下来过程当中，你发现你看这是个球，而且z是大于等于零。球心在原点处半径为一的球，所以说就得到了这样的一个球面，

这个球面是z等于根号下一减s方减y方。是不是个球面，所以说接下来过程当中你就会发现一个问题诶，一个二元函数，它在空间当中的表现是什么？它在空间当中的表现就是一个三维空间下的一个曲面。所以说这件事情我们就理解了，你发现看如果是个一元函数呢？一元函数我们知道是二维平面的线。那二元函数是什么呢？二元函数升一维，升一维就变成三维空间下的什么面？所以一个二元函数的几何意义，这是你要知道的。这个几何意义，

你必须要知道，所以接下来过程当中，我们来看看这个几何意义，那这个几何意义算了，我粘一下这个人就行了，我不写了。那这人几何意义啊？其实你发现就表示了三维空间下的一个什么曲面，所以接下来过程当中，我把这个事情我们再来讲讲。好，再来抽出。那这里面当中的话，我们接下来过程当中，我们来看看这是三维的一个d卡坐标系。

这是个三维空间，一个三维空间下的话，你发现有一个曲面。三维空间下的这个曲面，它就是个几元函数，就是一个二元函数。大家注意啊，这就是一个二元函数，那这个二元函数的话，你发现我把它投影下来。我把这个东西投影下来。把这个东西投影下来，就投影出来了，一个区同学们告诉我个事情，这个区域叫什么？

这个区域就是这个函数有定义的区域，这其实就是这个二元函数的。定义域。那么大家想想一个事情，对于定义域里面的一个点。它应该是由xy共同决定的吧，一个x和一个y共同决定定义域里面的一个人，然后此时你发现一个事情有什么样的z与之确定。有唯一的z已知确定，这不就是函数吗？因为有两个人进行去确定定义域里面的点，所以说它叫做二元函数。所以你看这样的一个基本点呢，我希望同学们去理解就行，好这个事情也不重要。

讲了半天呢，我们其实讲了一些基本的一个概念性问题，能听懂吧？哎，所以说你看这个事情就出来了。那么，接下来过程当中啊，是这节课的重点，你们现在状态怎么样？你们现在状态怎么样？非常好吧？从接下来过程当中，内容开始一直到今天，课程的结束都是高频重点，请你拿出今天最好的状态，

然后来听。那么，接下来过程当中，我来说一个事情。一会儿我们进行去画这个二元函数的时候，我不想画。我就来画这个二元函数的活动区域，行不行？可不可以？我们能不能达成这件事情的共识啊？我一会儿不会画这个二元函数，我只会画这个二元函数的活动区，它的定义域是一个平面，听得懂我的意思吗？哎，

它的定义域就是个平面。所以接下来过程当中，我们来看看下面一个问题，那同学们四层还记得一个事情吗？原来过程当中，我们学过一重机械煤。学过没学过呀，第一章学的极限不就是一重极限吗？移冲极限的话，你发现一个事情，我们要求fs极限。求解fs极限同学们告诉我个事情，这里面当中只有几个人在跑啊。几个人在动？只有这个x一个人在动，

比如说x趋向于这个点。只有s在动s的话，你发现一个事情这样跑，这样跑。只有一个人在动，一个人在动的话，你发现一个事情这个东西啊，它是一个什么？它是一条线。但是大家注意一个事情，我们现在在学习几元函数，我们在学习二元函数。那二元函数如果动它，应该是几个人在动呢？这个时候你发现不光x在动y，

也在动。是吧x在动y也在动，所以说这个时候你发现对应的一种极限，这个极限叫什么？这个极限叫二重极限。你注意下这个事情，这个极限叫做二重极限。两重极限。好这个人，所以首先第一件事情，我们先下来进行去学习一下二重极限的形式，这个定义不会出的，你就不要管了。我讲多少你吸收多少就行，我们先来看看第一个事情，

二重极限的形式。大家想想一个事情，接下来过程当中啊，大家好好看。那么，请同学们告诉我，我现在在画的是二元函数的什么东西啊？什么东西？我们刚才答的故事啊，我画的是那个二元函数的底部区域吧？函数在上面呢。画的是这个人的活动区，能理解吗？然后在这种当中，你发现我有一个点。

这个点是多少呢？是x0y0。你可以进行去类，比那个什么类比那个一重极限这块有个s0，我这样跑这样跑。但是你发现一个事情，现在它有个点。那么，现在而言的话，你发现我们这里面当中二重极限怎么看呢？它的形式可以这样写，我就说xy这个人。趋向于这个点。你的极限是多少？对吧，

就说sy往这个点跑的时候，你上面那一个函数那个函数的极限是多少？是这个意思。对吧，就是is y one这个点跑的时候，你上面那个极限啊，那个函数有个函数，它的极限是多少？是这个问题。这样写法，但是同学们注意，我不喜欢这样写考题，有时候有时候这样写啊，这两种写法都行，我喜欢怎么写呢？

我喜欢这样写。s趋向s0y趋向y0，我喜欢这样写，首先第一件事情达成一件事情的共识，这两种写法是一样的，听懂吗？这两种写法是一样的。那么，接下来过程当中，我们就看一个重点问题了。那么，这个二重极限呢？它表达的这个意义是什么呢？我们来看看第二个问题。这个e那么在这里面当中啊，

大家想想一个事情，你发现没？他只在乎结果。他只在乎xy趋向的这个点。对吧，就是xy往这个点跑。他只在乎结果，就s是趋向s0y，是趋向y0 sy，是趋向于这个点，但是你想想。往这个点进行去趋向有多少种可能性啊？你想想一个问题，我沿着这条线走行不行？可以啊，

你沿着这条线走xy不也是趋向这个点吗？你沿着这条线走呢sy不是趋向这个点吗？你沿着这条线走呢，这条线走呢，你沿着这几条线走的话，你发现都是sy趋向这个点。当然，同学们，你还可以这样走吧，你还可以这样走吧，你还可以这样走吧，同学们注意，不光可以按照直线走，你也可以扭着走吧。你别管，

你管我呢，我喜欢怎么走就怎么走，那么同学们举一个例子，比如说我们来看。我们来看一个事情。比如说我们放零零点炮。那么，同学们想想我往零零点跑有多少种可能性？有无数种可能性？比如说你看我是以。y等于。x往你这点跑，我也可以什么以y=x呃，这个什么也可以是y等于多少呢？比如说这是2s往你这跑。

我也可以是什么？我也可以是y等于多少根号s往你这跑？对不对？那都行啊。你可以这样跑。你可以这样跑，你可以这样这样跑，你也可以什么这样跑都行，有好多条线都能往这跑。所以同学们，你要注意一个事情，一个二重极限，它表达的这个意义，见到一个二重极限，应该见到了多少条趋向方式？

多少条？无数多条取向方式。不像我们原来学的一冲极限，一冲极限往这点跑呢，只能左极限和右极限。那这是原来学的，所以希望同学们要注意，只要见到二重基建，就见到了无数多种趋向方式。就见到了一个什么四面楚歌呀，这像行军路线一样，从四面八方包围这个点。能听懂我的意思吗？你只要见到是二重极限呃，我立即想到它是从四面八方趋向这个点，

它有四面八方的趋向方式。那么，同学们，我们回忆个事情。极限存在，必为一吧。这件事情能理解吗？如果你的极限是存在的，那么原来过程当中只有两条趋向，那就是左极限和右极限存在且相等。那么现在呢？现在如果这个极限要想存在，是不是应该是每一条趋向线的极限都是存在且相等啊？能理解吗？你现在有无数多条去向方式？

如果你的极限存在的话，应该是每一条趋向的极限都是存在且相等，那这一条这一条。这一条这无数多条的极限都是存在的，且相等，那第一个问题就来了，我怎么进去去证明一个二重极限是？是不存在的呢。这是一个问题点。对吧诶，我怎么进行去证明你这个二重极限是不存在的呢？那非常简单，找它的反方向不就行了吗？那这里面当中马上就有第一种方法。方法一，

你可以怎么？我就找一个。方向找一条去向。你不存在。找到一条去向，你不存在，你不就不存在吗？因为你要保证每条去向都存在切相，等你找了一条不存在不就不存在。这是一件事情。比如说举个例子啊，我们来看一个题离。这是limits趋向0y趋向零。然后接下来过程当中，这是x方加上y方，

然后这是x，你来看看这个极限。首先我先说一下，你做二重极限跟一重极限不一样啊。你不要把一重机械完全的迁移过来了，你这都是有问题的。那么，绩效过程当中，我们来看看这个题。那请同学们告诉我，见到这个二重基线，相当于见到了多少条曲线了。无数多条去向。无数多条。然后我稍微的观察一下，

你这个人是一次方，你这人是二次方诶，如果是一次比二次的话，在一重极限当中是什么情况？我先问你。啊，一次比二次在一重极限当中是什么情况？那在一重极限当中，不就是不存在吗？那非常简单，我为了保证它仍然是这种情况，我就取一次函数。一次函数是不会破坏这个接触的，所以怎么办呢？我就取这条线。

可以吧，我就取什么我就取，以y=x趋向多少呢？零零点。那这个时候的话，你发现个事情，马上把这个东西就可以送进去x趋向零的时候y就趋向零，因为现在的话y跟s是相等的。所以说这是s方，这也是s方，这是s方同学们告诉我变成了几重极限了。这是几重几千？这是高树上的基线吧？这是一重基线，低阶比上高阶，

这是无穷大呀。所以你看。我找到了一条方向，它不存在那这个东西呢，它不就不存在吗？所以注意这个事情，有同学说啊，那老师很简单，你低阶比高阶不就不存在，你不要这样来啊。你这都有问题的，一会我再来讲。所以要严格的控制这个二重极限的内容，你进行处理。能听懂我的意思吗？

这是这个问题。所以你在这种当中找了一条线，一条线不存在不就不存在吗？而且我还得到了一个信息点。大家发现没？我们说见到二重极限，就相当于见到了无数多条趋向方式。当你进行去确定出来一条趋向方式的时候。在这条趋向方式的条件下，它变成了一个几重机械呢，它是不是就变成了一个一重机械了呀？是不是啊诶，它就变成了一个一重极限了，为什么呢？因为你里面当中的y可以被s替换了。

所以我们又可以把这个知识点进行广义化。一个二重极限。代表了无数多条趋向方式，而每一条趋向方式都是一个一重极限。当你规定出来一条趋向方式的时候，它就变成了高数上的内容，就非常简单了。慢慢来啊，你不要着急，一点点的学啊，这些内容我都会讲的。好，这是一种方法，但是注意这个方法，有的时候你发现不好做题。

这类目当中还有更好的方法。我们刚才说了一个事情，如果你这个极限存在，应该是每一条趋向都存在，且相等哎，那我还可以怎么办？我可以这样。我还可以找两条。对吧，找两条取向。那虽然你都存在，但怎么了？不相等不也行吗？这也是一种非常好的方法，你找一条方向，

不存在它不存在。或者我怎么办？找两条方向不相等，它也是不存在的。所以说这就是一个非常非常重要的问题，我希望同学们注意啊，要会分析，那么接下来过程当中我们来看一个题，先来看看五点一这个题。啊，来瞅一下这个题。看这个人那么首先我们进行去求解一下这个极限，那这极限呢？它让我们求的是趋向零。趋向零那么，

首先我们先看第一个事情，趋向于零点到零点了吗？你sy是趋向于顶点的，你是不为顶点的没有到。没有到这个点，没有到这个点的话，你发现是对谁求极限，就是对这个人求极限。对吧，我对这个人求极限，那么接下来过程当中啊，我们来观察一下。观察下诶，二次比二次。是吧，

二次比二次。那二次比二次在一冲极限当中是什么呢？是存在的吧？你想想二次比二次嘛，那二次比二次在一重极限当中是存在的呀。我为了不破坏它的这个什么次数的关系，我就取一次函数。你能听懂我的意思吗？所以首先第一件事情，我们先来看看。我只要见到二重极限，我就相当于见到了无数多条趋向方式。无数多条为了不破坏这个次方数的关系，我就进行去取y=ks。行不行可以啊？

我们接下来过程当中，我就取取这个什么东西呢？以y=ks趋向这个点。那趋向这个点呢，之后的话，你发现一个事情，那这个极限就变成了一重极限吧x趋向0y就是零，那这东西呢是kx方。这是x方，然后这是k方x方。诶，我发现了一个事情，这个结果呢？你发现跟k有关。每个方向都是存在的。

选不同的key，它都是存在的。但是你发现这个不同下的这个结果跟k有关，什么意思呢？你选k1去向跟选k2去向，你告诉个事情，这个结果存不存在？存在啊，因为你发现如果是k1的话，这个结果就是这个人。对吧，如果你是k1的话，你发现这个结果就是就是k1的结果。如果你是k2的话，这个结果就是k2的结果哦，

都是存在都是存在，但是你发现跟这个k有关，它不相等。那既然不相等，马上就说明一个问题，估这个人怎么办？所以你就会发现一个事情，这个内容跟我们高数上一样，不一样不一样。高数上的话，你发现一个事情在这种当中啊，如果是同次方。你们两个人的这个接触是一样的，那知彼应该是存在的呀。但是你发现到了这个二重极限，

两个人的这个阶数是一样的，他反而变成不存在了。因为你发现你这样取的话，它次方数之比是存在的一个人，这样一取的话，次方数之比又是个人。它不相等，所以大家注意啊，这是一个非常重要的经验，在一般情况下，我说的是一般情况下。反正我们考研过程当中见的基本上都这样，一般情况下像这种同比次方。你注意啊，你不要找一个反例啊，

那将来过程当中我会讲的一个反例的，你不用管这个事情，我们讲这个东西完全的精确。一般情况下，同比次方数在二重极限当中都是不存在的。也就说你如果是二次比二次，你是个三次比三次，你是个四次比四次，一般都是不存在的。所以说这就是个重点，那么接下来我给你看个有意思的东西，这个东西啊，不是一般同学都能看出来的。啊，你发现没有学过这个高等数学，

而且高等数学学的不好，你发现他都看不出来，那么接下过程当中啊，我们来看个表情包啊。你来看看这个东西什么意思啊？啊，你看这个人。他什么意思啊？这不是一般同学能看出来的。你发现人家不光考了几千。人家考的是二重机械。所以你会发现一个事情，如果你这个高等数学的话，你发现你没有学好，你连这个图都看不懂。

那么，接下来过程当中啊，我们来看看这个事情，其实你发现非常简单，这些东西呢，一看这是个三次。然后这个东西是三次三次比上三次，那么在这个当中，我们一起来看看这个人。你发现一个事情，它是有无数多条趋向，趋向于零定点。那无数多条趋向趋向零零点，为了不破坏这个次方数关系，我们取多少，

我们就进行取y等ks。趋向这个领域。如果你进行去取这个人的话，你发现一个事情，你立即看当s趋向零的时候，上面这里呢是k倍的s三次方。然后这是三次方k倍的，三次方还是三次方？有没有发现一个事情？这个结果是不是跟k有关啊？跟k是有关的，跟k有关的话，你发现如果你取这个斜率呢？它的结果是一个人，你取这个斜率呢，

你发现结果又是另外一个人，很明显找到两个方向不相等，那这个极限呢，这极限是？不存在的。你看人家的手。对吧，不存在I不存在。好了，这就是在这种当中啊，你发现一个事情，这是个基本问题，所以同学们注意一个事情啊，你发现为了不破坏这个次方数。我就找到两个，

怎么办呢？哎，我就选同比次方，我就取一次函数，那一次函数的话，你发现找到两个方向不相等，那这个东西呢？它就不存在。能想清楚吧，这就是个基本问题。所以在这里面当中啊，你发现一个事情，我们就可以总结一下了。在这种当中啊，第一个问题点。

一个二重极限，它其实包含了无数多条去向方式。你见到一个二重极限，你要知道是从四面八方往这边跑。对吧，无数多条趋向方式，但是你要注意每一条趋向方式，它都是一个一重极限。所以在这里面当中，当你进行去确定了一条方向的时候，它立即就进行去变成了一个什么一重极限了。这是你要注意的，而且还得到了一个经验，如果是同比次方数，一般情况下是不存在的，

为了不破坏这个次方数关系，我去取一次函数。结果发现，在不同的方向下，它的极限不一样。好像这些经验一定要掌握清楚，我问一下。你猜一下，在考研过程当中，二重极限考的难还是一重极限考的难？肯定是一重二重极限不会考的，特别难的考的都是那些非常常规的那些问题哎，所以说你大可放心。好了，这是这个事情，

那么接下来过程当中，我们继续。但是你发现你只会做证明一个二重极限，不存在，这算什么水平？这不是水平吧？你回想下，我们回到高等数学上册。如果有一天过程当中，我说你极限学的怎么样？你说我学的很好。你怎么能保证你学的很好的，我会证明不存在。诶，你会证明不存在，

这算什么水平？一般情况下，我们都需要把这个东西求出来吧，所以接下来过程当中，我们再来看看下面的问题。二重极限的。求解啊。那怎么去求呢？如何进行去求二重极限。首先，我们先来看看第一件事情，那二重极限的求解，那首先，我们先来看第一个问题，大家想二重极限是不极限？

那二重极限还不是极限吗？那二重极限当然是啊，所以说首先第一件事情我们也需要定型，我们也需要把它怎么办？分成了一个已定式，还有这里面当中的未定式之分。他当然是这样，我也需要订的。你能定我也能定，第二件事情再来看哪几种方法？那么，首先第一件事情等价无穷，小代换能不能用？能不能等价无穷小代换呢？可以用，

还是不能用？可以用代唤醒的方法，没有任何问题，但是这里面当中我们来看看下面事情诶，洛比达法则和泰勒公式还能用吗？它的公式如果按照整体可以用，一般情况下用不了。那洛比达法则还能用吗？我就很想知道这个事情，洛比达法则能用吗？那肯定不行啊。你想想一个事情，洛必达法则要求导。你说你这个知彼，你到底是对谁求导？

你说你对s求导，我y还不干了呢。你说对y求导，我s还不干了呢，而说我一起求导，那什么叫一起求导？你能给我解释一下，怎么叫一起求导吗？所以在这种当中啊，一般情况下，洛必达法则用不了。那么，接下来过程当中，我们继续我们再来看这个当中还有一件事情，还有一种非常好的方法，

我们可以带宽。代换为什么？代换为一重极限。哎，就进行我们进行代换，当然四则运算也可以。是吧，那么接下来过程当中，我们一起来看看下面的事情来做几个题吧，我们来看看。先来看看五点二这个题。看这个人拿到极限先定型，我一定的话，你就发现一个事情，当x趋向几趋向0x是往零跑y是往二跑。

零×2的话，这个结果是零啊。那这人就可以等价了呀！塞框立即等价无穷，小框那这个东西的话，你发现我立即就把它等价了。等价完了之后的话，你就发现约一下，约一下留个YY的极限多少二出来了？所以你看这个东西非常的简单。那么，接下来过程当中，我们再来看看第二个人。好，继续看这个人。

那这个人还是这样，那么首先我们先来看看第一种方法。方法一到s趋向0y趋向零，那乘积肯定是零。那乘积肯定是零的话，你发现上面这个东西就是一加框的二分之一次方减一不就可以等价无穷，二分之一框吗？所以在这种当中，当x趋向零y趋向零，然后这个东西是xy上面不就等价无穷小二分之一塔吗？那不就二分之一吗？是不是出来了哦？基本点结束了，这非常非常的简单。但是同学们注意还有没有方法呢？

我觉得也有。我观察了一下。在这个式子里面的话，你发现所有人都是sy，那我能不能这样，我把这个sy做一个代换另成t。这就是最low的这种机型，你慢慢做。那把这个换成t，我换成t了之后的话，你发现这个结果就变成多少就变成t，然后接下来过程当中是一加t这二分之一次方减一。那xy都是趋向零，那这一乘呢？你不就趋向零吗？

那这人就变成了一重极限，你就可以为所欲为了。你想怎么做怎么做，你爱怎么做怎么做，那在这种当中的话，你发现等价无效，它二分之一。所以这里面当中的这个基本点，你就掌握清楚了。好，这是你不用感觉到没有必要，我在给你介绍方法呢。我希望通过这个事情，把这个方法给你介绍了。所以你不要沉溺于自己的世界里面就行，

好了，这个事情我们就讲到这能听懂吧，所以在这种当中这个操作，你发现我是不是还可以代换呢？那如果将来过程当中，我看到这个事情，你发现里面当中都是一个整体，我是不是可以把这个东西进行去代换呢？能听懂我的意思吗？那么接下来我们来看看这里面当中最重要的方法方法四。方法四是我们在考研过程当中啊，考这个二重极限用到的最多的方式就是习惯性出题的那种人。非常喜欢考这个叫什么呢？叫无穷小。成友街。

是无穷小。哎，无穷小乘有阶是无穷小。一个无穷小量乘上一个有界变量，它是个无穷小量。那么，在这里面当中，我们一起来看看，首先这里面当中啊，有一个问题，同学们怎么判断有捷径啊？有界限怎么判断？问题来了，有界限怎么判断？有界限的话，

就是这个函数能被两条线夹住吧？就是给这个函数加个绝对值。看你小不小于一个数，如果你小于一个数，我就说这个函数是什么是有界的？所以你就会发现一个事情，我判断这个函数有界，我怎么办？我就给你加个绝对值。很多同学问，为什么要加绝对值？因为我要看有上界也有下界，我加个绝对值，如果加上个绝对值之后，你是小于等于个数的。

那就说明你被这个负的这个人和这个正的这个人夹住，你不就有节吗？这就是判断方法。所以接下来过程当中，我们来看两个事情，先看五点四这个题啊，这个题非常简单。你发现一个事情，当x趋向0y趋向零，那这一项是趋向零。那趋向零是无穷小，然后这个人是个有界变量吧，你像s in这个人。它永远都是什么大于负一，小于等于一，

有界变量无穷，小乘有界无穷，小无穷小极限是零好这个题非常简单。大家认真听接下过程当中内容特别的重要黄金重点内容来看一下，五点五折起。看一下这个题，那么在这个题当中啊，我们一起来看它这里面当中说什么，它说sy是趋向零。那你都知道一事情趋向零道理了吗？那么，首先我们来看，当x趋向0y，趋向零，趋向于零到零了吗？

没有到零。那就是对这个人求极限。对这个人求极限的话，你发现有些东西就来了。啊，他就来了，他说什么东西呢？他说哎，我一看上面是二阶啊，我一看下面是一阶啊。高阶比低阶是零啊。然后他就写了零呢一对答案，他对了，他就任由自己这样对下去了，你发现学了个继母。

纯属学了个寂寞，我先给你明确讲一个事情，在二重极限的接和一重极限的接，结果是不一样的，你千万不敢这样。一会儿我给你看一个题。所以在这种当中，我们看看这个题，你只能做个预判。你只能做个预判，同学们想想。如果我拿到一个题，它是个二阶比一阶。在一重极限当中是不是零啊？你先告诉我是不是？

一重极限当中是不是零？这件事情没问题吧，一冲极限肯定是零，一冲极限高阶比低阶是零嘛。那同学们，我能得到一个结论。我可不敢下结论，这个人的结果是零，我能下一个结论。当我取y=ks的时候。不破坏这个次方数的关系，我已经进入到一重极限了。那这人就是零。我能得到这个信息，不是说毫无用处，

有用就说我定出这个二重极限的话，你发现是二阶比一阶。是零我知道了一个事情，我知道什么事情呢，我知道当我取一次函数的去向的时候。我没有破坏它的接收的关系，它的这个结果都是零，所以我敢保证一个事情，当你取得所有的这个直线。哎，1度是零。我只能得到这个信息，有同学说那不就是零吗？大家注意，除了这个直线之外，

是不是还有曲线呢？你无法保证是零的。你只能保证这些人是零的话，你能保证所有人是零吗？那不能保证的。同学们，听懂了吗？我再说一遍，这个机啊，不能下结论，但不是毫无用处。你不能下结论，但不是毫无用处。我至少能得到一个事情，当我取一次函数的时候，

不破坏这个接受的关系，这些人都是零能听懂我的意思吗？要记住这个经验特别重要。那这个题到底怎么做呢？我们一起来看看。其实你发现你能不能一眼瞅过去，这个人是零啊，这个人是有界的。能不能？你能不能瞅出来这个红色部分是有界的？如果以前不能，我希望你将来会能。怎么瞅呢？你发现判断这个人有接，我就给你加个绝对值。

加个绝对值之后的话，你发现你看到这个人了吗？我把下面这个东西不要了。下面这个东西不要了，下面变小了，下面变小了，结果就变大了。所以说就留下这个人了，那这人的话，其实你就发现就是y的绝对值之比，这是一呀哦漂亮，原来绝对值，你发现它是小一个数，因此你发现我立即知道哦，原来你是个有界变量。

非常完美精彩吧。立即出来了，然后你发现你是无穷小哎，你看你极限是零你极限，这人你就是无穷小无穷小臣有界无穷小。无穷小极限生命。这件事情是绝对的高手，操作性非常的强。所以在这种当中的话，你发现还有一些非常常见的人呢，哎，非常喜欢考的人，比如说你发现看。x比上这个人。你加上绝对值了之后，

你把y不要了，它有解，然后另外一个事情的话是y比上这个人。它有截，而且你发现s方比上s方加上y方y方比上s方。驾外方都是这些有界的人。这些人都是经典的，有界的人，你可以试一下，你就在上面过程当中啊，给我加上个绝对值，你加上个绝对值，把一个人不要了。下面变小了，结果变大了，

立即可以漂了。眼神漂他一下，这结果出来了。相当的具有操作性，这么多年的考研真题考的非常多的，这个人就喜欢这个人。所以在这种当中啊，你就会发现这个基本点就出来了。能想清楚吧，哎，这个问题。所以说这个事情呢，我希望同学们下去好好想想，你看这人不要了哦，不要了，

不要了，下面变小了，结果变大了，哎，这就是一。非常简单。所以在这里面当中啊，我来给你讲几个考研的过程当中啊，非常喜欢考的二重机械，我们讲一下这个人。注到笔记上特别重要。考研中。五星级重点的二重极限。在这种当中啊，核心重点有这几个人，

那么接下来过程当中，我们一个个看一下。非常重要的几个人。你这几个人的话，你必须要会。那么，首先我们先来看看第一个人。那第一人的话，你发现你看x趋向零以y趋向零，然后这是xy比上x方加y方同学们告诉我等于几啊？然后接下来过程当中，我们继续看当x趋向0y趋向零什么xy比上个根号下x方加上y方等于几啊。然后再来，你发现当x趋向零，然后y趋向零，

然后是xy方比上个x方，加上y方等于几啊？第一个人是零啊。谁告诉我第一个身是林的？啊，第一个人是李茂。咋都不怕呢？你先判一下，这是二阶比二阶吧。那我知道取一次函数的时候仍然是二阶比二阶，但是你发现不同方向的结果不一样，这是不存在啊。咋了，那表情包就记不住啊？就记住表情包了，

表情包的内容呢，咋就记住那个手了，这画的有点胖了。啊，你就记住这个手了，内容呢？内容给忘了，那我要这个东西干嘛呢啊？好了，我们继续再看第二人。那这个人等于多少？你先看这个人等于几啊？你发现眼睛一漂都知道这人是有界的吧？那无穷小臣有界是无穷小极限是零吧？好这个人，

然后接下来过程当中，你再看这个人。那真人世界，这不是有界吗？无穷小乘，有界无穷小。所以同学们注意，你可以大致的判一下，你看这是二比二。进入到一重极限当中，也是二比二，但不同方向不相等，它不存在。然后接下来你看这是二比一。二比一取一次函数都是二比一都是零，

但是无法得出是零，但是我根据无穷小乘有阶，它是零。然后这人是多少三比二，三比二无法得出是零。但是取一次函数的时候仍然是三比二，它是零。不能下结论，那我怎么做呢？无穷小陈有节，听得懂我的意思吗？要跟上这个事情。好，这就是我们在这本当中啊，这几个基本问题，

你所以下去过程当中一定要好好进行去练习一下，这非常关键。不行我再做做几个。再来做几个。看一下同学们的这个触类旁通能力怎么样？好，再来做几个。呃，来瞄几个吧。来秒一下吧。好，先来看看这个三六五这个题。选几啊，选几啊？淋巴怎么做的？

虽说是三阶比二阶，但不能下零的结果。三阶比二阶不能下林的结果。你不能下的。对吧，你不能下的话，但是我知道一次函数，它是这个人，你不能下结论，你可以怎么做哎，非常好，你把它写成s乘上s方s方加上y方嘛。这不有界吗？无穷小臣，有界无穷小吃不出来了。

来再看这个人呢？那这个人的话，你发现你看这不也是有界吗？无穷小乘，有界无穷小又是a。是不是这个人好，那么接下来过程当中啊，我们再来做两个题，你来看看这个题怎么做？哎呀，我觉得这个题有意思。我喜欢这个题。这种题有意思来看一下这个人。那么这个题的话，你发现它的这个极限是多少呢？

那首先我们进行去琢磨一下呗。你发现一个事情。上面是四次。上面这是四次，这是二次。那么，同学们想想一个问题啊，你琢磨一下。你看这是四次，这是四次，这是二次。那我们都知道一个事情，如果把它退化到一冲极限。退化到一重极限管事的人是谁啊？管事的人应该是二四，

因为二阶加四阶合取，第一阶是二阶，管事的人是二阶。其实你发现下面这个人的主体其实是二阶高阶比低阶应该是零。对吧，这时候是零。但是接下来过程当中，我又想了一个事情，如果xy是相等的，这项没了这支笔，又是一哎，我找到两个方向不相等。我就找到两个方向不相等，两个方向不相等，不存在。

所以你看这个水平点相当的强，你能听懂我的意思吗？所以大家注意啊，我眼神漂了一下，你发现你看这是四这是四这是二。那么我们都知道一个事情，为了不破坏结构，不破坏结构的时候的话，你发现下面管事的人是二。四比二是零。在这个方向下，它是零。但如果xy相等的话，你发现这支笔又是一。所以找到两个方向不相等。

所以接下来过程当中，你可以随便取一下吧，比如第一个人，我取多少？你就在这里面当中取一个，这个人不为零的一次函数，你比如说取y等于多少负x行不行？行不行？我随便取嘛。你只要让这个东西啊，是一次函数又不让这个东西为零就行了，那这s趋向零，然后这是多少这是k倍的，这是x几次方？这是四次方，

这是s四次方，然后这里呢？这一减的话是四倍的s平方。然后这个东西何取DJ是这个人，因此你发现这是零。你取这个人是零，当你继续去取y=s的时候呢y=s这项没了，那然后这个极限结果是一。那这时候你发现取了两个方向不相等，它不就不存在吗？所以大家注意，我再强调一遍，那个街不能下绝顿，但也不是毫无用处。也不是毫无用处。

那个阶我们知道，当我取一次函数的时候，它的阶仍然是这种情况，我就可以用一重极限的东西进行分析了。能听懂我的意思吗？这是这个事情，这非常强哦，这个点。来那么接下来继续吧，再来看一个。再做一下这个题。好看一下这个人。操作一下吧，看一下这个题，结果等于多少？

你看一下这个人，你们来坐下吧，你坐下三六八吧，行吧，我下课给你留点时间，你去坐下三六八，我看大家的。触类旁通能力怎么样？哈，这个触类旁通的能力行吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续吧，可以吧？休息会儿啊。368题，

这个题。好，稍微休息会，一会我们继续。

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25.多元微分学基本概念与偏导数定义-1

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