24.中值定理基本内容通关-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:46:31

去吧，我们再来看看这个后面部分内容啊呃，在这里面当中啊呃，我刚才过程当中已经对这个部分的内容，我们做了一个这个强调对吧？就是我们在考研过程当中啊。需要达到什么样一个要求？对吧，什么样的一个基本的这样的一个要求，所以接下来过程当中，我们一起来看看呃，如果这个板块知识点，我说一下。如果你实在是没有这个时间进行去复盘，那就说你在这里面当中啊，

复盘这个板块内容实在是没有时间，你就把这个部分内容放到最后再学，听懂我的意思吗？能听懂吗？就是你实在没有时间，你就把这个东西放到最后。放到最后去学，把别的东西重点来看，所以我说这个部分内容是附录部分能听懂吧？好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看第一个板块内容。我再强调一遍，只用学地理的内容就行，跟着我理解就行。

不用继续去证明啊，好，我们先来看看这个第一个问题。当然，如果你有兴趣证明，你可以去看看我们讲的那个数一数二数三同学的这个部分，你要有兴趣啊，你去看看。但我不知道你有没有兴趣啊？好，我们先来看看这里面当中的第一个问题，来操作一下吧。那么，首先第一件事情，它说这个函数在这个闭区间上是连续的诶，

同学们，什么叫闭区间连续啊？这件事情很重要，必须间连续那么在这种当中，我们来看看这个第一个问题，这是y，然后这是零，然后这是x。什么叫B区间连续？这是a，然后这是b。那么这个东西什么叫必须间连续呢？连续我们都知道，连续就是不断。B区间连续凸显出来三个事情，

就是开区间内部是连续的。然后在x=a处呢。大家注意a处的话，只能是这半边，所以叫做右连续。a点处是右连续，然后是b点处呢？b点处的话，你发现是这样跑，它叫做左连续。诶，这三个问题。所以端点处是单侧连续，那什么叫右连续啊？右极限等于函数值吧？

好右边放这跑，跑到函数值。什么叫左连续呢？哎，你发现左边往这跑，跑到函数值。这是这两个端点，然后中间呢？中间是不会断的，中间断不了，哎，你看这半边儿跑到a这半边儿跑到b中间是不断的来，中间随便怎么走？后来哎呀，跟这个交叉了。

随便怎么走，这就是我们在这里当中解释的问题，就是你发现你看你固定住端点，中间随便怎么走？你爱怎么走怎么走。所以大家注意一个事情，我们经常怎么讲？那不就是从这个点出发吗？到这个点的结束吗？我怎么讲的？这就是你的出生，这就是你最后的结束，那你发现我们肯定会经历过人生的巅峰以及人生的低谷，是不再回来。肯定是这样，

我一定会经历过人生的巅峰，我一定会经历过人生的低谷，然后再回来，所以同学们，你发现如果有巅峰有低谷。下来点，如果有巅峰有低谷，你就会发现个事情，这个函数怎么办？它就会拥有最大值。然后在这里面当中，一定还会怎么办？拥有这个最小值。哎，这个情况一定会拥有最大值，

一定会拥有最小值，既然有最大值和有最小值，它是不是介于最大值和最小值中间一定有界，所以两条内容就结束了。呃，这块内容我下课会发给。发这个笔记，所以上课过程当中啊，听一下就行。好，那么接下来过程当中，我们先来看第一条，第一条过程内容怎么说的呢？他这样说，他说如果你在这个B区间上是连续。

那么，在这个区间内，一定是有界吧？所以大家注意一个事情，人家说的是什么？人家说的是B区间连续B区间右间。你要想清楚什么区间，连续B区间。那同学们想想，如果说的是开区间呢？开局间，你会发现一个事情不就变成了扯面定理吗？所以大家注意啊，如果在B区间连续一定有节，然后第二条内容，

如果在B区间连续一定会拥有最大值和最小值两条解束。能理解吗？我相信你不用进去，去看这个内容，你脑子都能转出来，从a点出发到b点结束。那这事情就出出来了，好继续再来看。左右极限存在即连续。那不是的。连续是左右极限存在，且等于函数值啊，不要乱来。好，这是我们在这本当中介绍的这个问题，

那么接下来过程当中，我们再来看看介质定理。哎，这条内容。那么，这条内容的话，你发现仍然是B区间连续函数的性质吧？所以，同学们，它的第一条内容怎么说？都得是B区间连续B区间连续函数的性质，必须第一句话都一样，怎么说我这个人怎么了？我在B区间上是连续的。如果这个函数的话，

你发现在B区间上是连续我们一起来看看一个问题。那么，在这种当中，这条内容不是特别重要，考的几率基本上没有那么在这种当中，这是a，这是b。好，一起看，假设这是a点，这是b点，我是不会从a点出发，然后到b点结束啊。是不是啊？我一定会拥有什么情况？

我一定会拥有最大值，我也一定会拥有最小值。好最小值。那么，在这种当中啊，我们来看一个事情，那如果在这种当中。有一个数。你注意有一个数，这个数怎么了？这个数介于最大值和最小值中间。你看好了，有个数。哎，我这里面当中如果有个数，

我是介于最小值和最大值中间。我想问你个事情。你从最大值走到最小值，我中间拦我能不能拦得住？从头到尾一条路。对吧，你从这里面只有一条路，你站到中间，你能不能拦住这个人？那肯定难，你难道从这跳过去了吗？那不行，一定可以，所以说你看这中间肯定会有个点可塞。那这个可赛是不是等于a，

所以在这种当中，我们就可以说则怎么了？至少会存在一个可塞。属于这个a到b使得什么情况？使得这个人等于a。那么，这件事情非常简单，就说我在B区间连续，我肯定有最大值，最小值，我有山峰，我有山谷。然后你中间有一个树介于山峰和山谷之间，那么在这里面当中，我一定会有个树等于你的。

我绝对能把你拦得住的。那我有个问题啊。这个可赛是属于a到b的什么区间？什么区间？你有没有发现我画的特别的故异？b点是不也能等于a，所以说这个东西啊，是B区间。记住啊，只有这个人是B区间剩下学的所有人都是开区间。只有这个人是B区间，剩下所有人都是开区间。注意下这个事情。这条内容很简单吧。从头到尾一条路，

中间有一个数拦下，一定会有个函数值等于零。但这条内容基本不会考的啊，你放心吧，这考的这个几率啊，基本上是趋向于零的，来再来看看零点零零。那零点地理这个内容啊，我们继续来看。这跟单调有什么关系啊？啊，这单调有什么关系啊，你如果从a到b单调，你单调肯定是这样，那最小值不就在这儿，

最大值不在这儿，你拦一下还不是有个人吗？想法太多。想的时候的话，自己去实践，我如果是你，我就画一条线，哎，他是不是这个情况，不要老是喜欢提问题。提问题，你要进行去解决问题好了，那么接下来过程当中，我们继续看。再来冲这跟积分，

终止定理，八竿子打不着的两件事情，有什么像的像，就是有个可塞。我所有地理都有可才。那一会儿过程再讲零点零a有可再项。讲这个什么罗尔定理哎，尤克赛象，那不不是这样子吧啊，别这样啊，然后接下来过程当中，我们继续看。s那么在这里面当中，我们一起来看看这个零点定理。零点定理，

怎么说呢？它仍然也是必须间连续函数性质，我觉得这条内容很重要。也是很重要。我再强调一遍，我们会出一种题。他如果把这个题改了。你要注意啊，我们说的是什么？我们在这个人的B区间上是连续的。对吧B区间连续。然后在这种当中一定要听清楚，必须是B区间连续。我就害怕这个内容会考。诶B区间连续那么如果这个东西B区间连续我，

而且你发现一个事情a点和b点处的函数值是异号的。什么意思呢？就说你这个点处的函数值和这个点处的函数值是异号的。一号对吧？你是正我是负，必须是一号的，我问你个事情，你从这儿不管怎么走怎么走，你是不是要跨过去？你跨过去肯定有等于零的点。你一定得跨过去，那所以说你这里面当中你不可能诶，跳过去那不行，断了不连续，所以大家注意一个事情，

你一定得跨过去。诶，你想想一个事情，你别管怎么样，你必须要跨过去，你跨过去的话，是不是有点的函数值等于零？所以在这里面当中，你就写则什么东西呢？至少会存在一个可塞。属于这个a到b。使得什么情况？使得这个点处的函数值等于零。肯定有个函数值等于零，一定会有函数值等于零，

一定拥有零点。那我想问你个事情，这个可塞它在a到b的什么区间啊？什么区间？B区间还是开区间好好想。能不能是a点？如果是a点的话，那a点等于零，那两个人相乘怎么可能会小于零，必须是开区间。大家注意那么，所以说像这个问题啊，非常的重要，我再来强调问同学们记笔记要会记记重点。它必须是什么？

必须兼连续。它必须是闭区间连续，然后端点值异号，中间一定会有一个函数值等于零。这是一定的。这个内容高中学过吗？这高中内容。你高中就学过，你高中学过一个东西叫二分法吧。二分法求根嘛。那当时的话，过程当中人家说，哎，我这个人在一到五当中有根，那怎么做呢？

来一到五。然后进去去算算几个人呢？哎，在这里面当中找个啊，这个什么这个终点的话是三。找个中点算一下这三个人呗，你算一下哦，我发现前面两个人异号哎，你发现后面同号那说明根在这儿。再找一个点中点二在下算一下这三个值诶，后面是同号，同号不在一号，这来继续再找中点。再找中电多少一点五？继续找，

继续找，继续找，继续找，只要保证什么东西啊，最后一个长度控制在可控的这个误差范围内，你就找对了。我就说你在这个范围内。好了，不重要不重要啊，不重要。那么，接下来过程当中，我们来看看预测点。如果说这种问题啊，能出题，

你要扣着我们的考研来啊。比如说你看这个题。你要会研究真题。我们三九六同学可能在这里面当中会出什么题，当然你不需要知道我来想就行，那么在这里当中我们说这个事情。如果。fs.在这里面当中a到b的开区间连续。然后接下来过程当中，我们说这里面当中的端点值是一号的。然后在这种当中，我们就说至少会存在一个可塞。属于a到b的区间，使得什么情况？

使得这个f可赛等于零，对不对？对不对？我可以出出四五个选项，然后让我继继续去排除这道题，对不对？对不对？那这个题的话，你发现我们说什么？我们说开圈连续。对不对？中间一定会有一个函数值等于零，对不对？大家注意错在哪儿？你能回答我错在哪吗？

如果这东西出错，到底错在哪？人家这个定理是非常严格的。非常严格，你这个人写的是开区间，你看我给你举例子。这是a，这是b。我想问你个事情，你来告诉我个事儿。这个开区间连不连续？你别在那瞎扯极限，跟函数值无关，你这是思维方式太发散了，你这是不要天马行空的去想啊。

告诉我开区间连不连续？开区间嘛，我没说B区间连不连续连续啊，然后接下来过程当中，你看我们说这个点的函数值在这儿。这一点的函数值在这儿。告诉我事情满不满足题意啊？开区间连续了呀。端点值异号啊。你看你这个端点之一，我没有B区间连续我开区间连续一不一号一号，那你告诉我中间有等于零的点吗？没有啊，所以说这条内容是错的。你看吧，

当我们把这个条件进行去更改了之后，那这个部分的内容它有可能不对。你知道怎么考题的吧？你知道我为什么进行去出这个板块内容吗？能理解吗？同学们。你能理解我为什么今天过程当中给你附录部分吗？它是对我们有可能进行去出题的。那如果出这种题的话，这考过的啊。不是无迹可循，这有迹可循的好，这个板块内容。好了，那么这个点我们就讲到这儿，

那么接下来过程当中，我们再来看看积分，终止定理，那这个内容是不是讲过？这个内容讲过。那么，这个部分的话，你发现积分中置定理我们是这样说的，怎么说的呢？他这人在a到b的B区间连续。注意下B区间连续那B区间连续的话，你发现一个事情，我们来操作一下，这是y这是零这是s。那这个点是a点，

这点是b点。那么，在这种当中，我们来看看这个事儿。好，如果这是BB区间连续就是这个结果。那这个B区间连续大家想想一个事情a到b的定积分，现在是这个面积吧？那我很想知道一个事情，你在中间有没有一个点的函数值的存在？使得什么情况呢？使得以这个函数值做高。然后以这个底端长度。最后什么情况呢？最后使得这个矩形的面积等于这个曲面梯形面积有没有可能？

你看这是这个呃曲边梯形面积，能不能以它为高乘上这个底端长度，有没有可能有可能？这是有可能的。所以大家注意啊，只要这个人在B区间连续。那a到b的这个部分的东西啊，你发现a到b的这个部分的这个积分。对吧，这个积分它就会等于f可再乘上b-a。我现在画的就是这个。是吧诶，这个部分的话就是我们的曲边梯形面积。它有没有可能等于这个巨形面积？它是有可能的。

所以大家注意啊，这个部分内容，而且可以推广，你记住啊，我们在考研过程当中直接用开区间就行了。能听懂吧诶，在这里面当中，我们用开区间就行。我们说的是存在。不是说有一个具体固定固定的点是存在。我们用开区间就行。所以这个类型问题对于我们而言，我觉得比较重要的是什么呢？我们的重要的是怎么去用？怎么去用这个人呢？

大家想，只要你这个人的臂区间上是连续的。只要你这个人必须间连续诶，你这个人必须间连续的话，大家想想一个事情，我们就可以怎么办？你这人必须先连续中间就一定会有个函数值，然后乘上b-a。大家注意，这个可塞是不是介于a到b的开区间啊？能理解我的意思吧，好，我再说一遍。你发现一个事情，这个定积分，

只要被积分函数连续a到b的，这个定积分就可以等于f可赛乘上b-a这个可赛。介于a到b之间。这个东西最大的作用是什么呢？它可以去积分线。去积分键能想清楚吗？同学们。大家注意一个事情啊，把这东西啊，去几分钱。这同学你得好好进行曲。啊，你这个这个想法有点离奇，对吧？我说是存在，

我哪知道在哪啊？它是存在的。啊，好了，那么接下来过程当中啊，这个事情你要想清楚。就说a到b的这个定积分。对吧，这个定积分，这定积分的话，你发现我就会等于什么东西啊f可再乘上b-a，我可以去掉积分线。所以接下来过程当中，我来出几个题，比如说我们来看看例一这个题。

那么，在这种当中，比如说我举个例子，你看我来出一个题啊。出一个什么呢？你看这个题不说别的，这是n到n+1，然后这是x倍的。sin x分之一dx，你看这个题等于多少？你看这个题。这题我不说别的，这题你发现一个事情，你放在如果这个题没有刚才讲这个知识点的提示，这题还挺难的呢。

这还挺难的呢。那么，首先我们要注意一个事情，这个人是不是一个数列啊？你对x进行积分。结果就没有x。留下了nn的一个数列，或者可以把n看成什么，把看成n的变上线函数。变上下限函数应该是变线函数。对吧，你想想这个下面有n上面有n可以看成变线函数。诶，那这个变线函数怎么去处理呢？那我怎么做？

那变现函数的极限题，我们首先想洛必达法则，那这人怎么做呢？怎么处理啊？你发现这个变现函数在这光杆司令。你不信你试一下，你连型都定不出来。你这人往无穷大跑，你这人往无穷大跑，你告诉我一个事情，这个人是多少？你连形都定不出来。所以大家注意一个事情，你发现一个事儿这个题没有学今天的内容，它就是个难题。

它就是个难题，难在哪？难在有机分先。因为你这个东西有积分线，它很难莱布尼斯。你把这东西你能记得出来吗？你记不出来的。不信你换个圆，你一换个圆了之后的话，你发现这人就翻一下，他提不出来的。所以在这种当中，它最恶心的东西就是有机分解。所以在这个题当中，你发现这题很难，

你连形都定不出来。所以接下来过程当中我怎么办？难点在何处啊？难点就是因为有机分线，有机分线我就想去积分线，我怎么去积分线？当然，变线函数可以求导去积分线，洛必达法则，但是没法洛必达。那怎么去呢？我有种方法，七分钟之定。那七分中值定理的话，你发现看这是连续的吧？

那这连连续的话，你发现中间存在一个函数值可赛s in克塞，这是f克塞再乘上b-ab-a是一。是不是这个问题，所以你看上面这个东西就跟下面这个东西是相等的。然后其中这个可再介于什么介于n到n+1之间。介于这两者之间。那这时候你发现我把积分先干掉了，然后接下来大家想你往无穷大跑，你真人往无穷大跑，你一加中间就往正无穷跑，这个无穷大指的是正无穷。所以我就知道，当n趋向无穷大的时候，可再就趋向无穷大。

所以说这人就变成这样，那么接下再看，如果你趋向无穷大，这人就是零哦，这是零框三一框，立即等价无穷小一框。所以在这种当中可赛就趋向无穷大，那是可赛乘以可赛分之一，等于本题结束。所以像这个题的话，你发现一个事情，你今天过程做，它可能会简单简单点的原因在何处呢？那是因为我们刚讲的这个知识点，你能想得到。

但是如果我把这个题放在这个整个35个题当中，出一个题，有些同学就觉得难了。那怎么去想啊？这个题到底应该怎么做啊？有什么方法可处理啊？你发现你还只能使用积分终止定理。所以同学们，我们来复盘一下这个题的难点在何处？这个题的难点就是因为有积分线，有积分线很难。我就想去掉积分线，所以同学们，你发现没这个题的难点，它就是在于去积分线。

那么这个题我的核心重点，我就是希望把这个积分线给去掉。对吧，我就想把这个积分线去掉，我积分线去掉，我用积分中值定理，合情合理呀。这是一个事情。所以在这种当中啊，希望同学们好好进行去把它想象。这是有操作性的难度系数是有的。你不然的话，你会发现这个题很难办好，那么接下来过程当中，我们再来看一个事情。

好，继续呃，在我们的这个800题当中啊。有一个题。来，我们来看一个题，就这个题。好，我们继续，我们再来看看这个人。哪个是周期函数？哪人是周期函数？这人的周期是n吗？你不能学东西，学到半边拉垮的，

对吧？你见到a到a+t就直接把那个a给干掉。那不是纯属胡来吗？你得保证里面是周期函数。所以大家注意这个事情，来我们一起来看下面一个问题。不是这个题吗？叫看看哦，那最终版。哦，三五四不好意思。来看这个题，来看看这个人。看一下这个题，那么在这种当中啊，

我们先来看看这个题。那么这个题的话，你看今天我们继续来做。来解对于这个题而言的话，首先第一件事情你发现这是limits趋向零。然后的话，你发现这是ln多少一+s-as-bs^2，然后这是零到s这是e的t方dt。我顺便把这个题讲了。那么，在这种当中啊，其实你发现后面这个分是可以积的吧？先来看看无定义，点是零和一零和1e，到正无穷是没有无定义，

点没有无定义，点就直接算直接算怎么算？把x这个东西你发现凑到后面去。凑到后面去，那么凑到后面去了之后的话，你继续看。哪个人哦？这平方。那么，把这个人凑到后面去，那凑到后面去的话就是负的这个人分之一把一和正无穷带进去，带进去了之后的话，你发现罗音正无穷，这是零。无穷大分之一是零嘛，

龙一也是一，所以说这个结果是一，这件事情会吧，所以说本题啊，就相当于给了这个人。这就是本题过程当中给你的东西。那就是这个人，那么接下来过程当中，我们继续看，我们看这个题怎么做？什么题型，同学们？已知极限。反求其中的待定参数。已知极限，

求解其中的待定参数第一步，干嘛先定型来定一下吧，下面是零。因为上下限趋向零的时候，上下限相等是零。然后再看上面这个人ln 1是零零零比零型未定式。那么，在这个题当中啊，含有变线函数，那含有变线函数，你发现一个事情，我想干掉这个积分线，我首先想什么？我想洛必达法则。那这人就是一加s分之一，

减a减二BS下面这人呢？哎，你发现是一s四次方二s。这是不是等于一听得懂我的意思吗？就这个人，所以接下来过程当中，我们继续处理，你发现当s如果趋向零的时候。然后这是一加s分之一，减a减二BS，那么在这种当中你会发现一个问题点，那请问这。这个是多少一的零是一吧，一的零是一乘除法中的非零项，可以淡化，

淡化之后就是这个人。那么所以说这个题就做成这样了，那做成这样的话，接下来过程当中，我们继续定型来定一下下面这个结果是零。然后上面这个东西呢，这是一减去a减去零，所以同学们，你上面这个东西必须是零，那a等于减一跟得上吗同学们？上面肯定是零，你下面是零，上面肯定是零，所以在这种当中，我们就继续当x趋向零零比零，

继续落下一落，这是二，然后这是多少一+s平方分之负一。然后再减去2b，它等于一。那么所以说接下来过程当中就可以做了，你看这人是二，然后把零带进去，这是负一减二b，这个极限是存在的，等于它。所以说在这种当中，2b等于多少？那二b的话，你看把这东西出去，

这是二，然后这个东西是负三，那负三的话b等于多少负的二分之三？能想清楚吧，这个方法可以吗？你基本操作呗，就是我先把后面的这个反常积分算出来。算出来了之后的话，你发现就变成了这个极限，已知极限，求解其中待定参数还是求极限定型，然后再操作。这应该都会吧，好了，那么接下来过程当中，

我们继续来看。来再操作。那么，这里面当中，我们就继续再看看一种还有没有方法呀？我觉得是有的。方法二，那么同学们想想一个问题，大家注意，我们刚才想干掉这个积分线吧。去掉这个积分线的方法，对于变现函数而言，除了洛必达法则之外，除了求导之外，那除了求导之外，

我还能怎么办？我在这里面当中是不还可以使用积分中值定理啊？是不是啊？我是不是还可以使用积分终值定理啊？我把这个积分线给干掉来吧，同学们，中间有一个可塞。那中间有个可塞就是f可塞。然后再乘上上限减下限，其中这个可赛应该是大于零小于平方的。是不是这可赛的话，你发现一个事情就介于什么情况，零到x方之间。那么，接下来过程当中，

再来看x趋向零，那这是零我一加这个可赛是不是趋向零可赛趋向零的话，你发现e的零是几一？非零因子可淡化，所以说这个题啊，立即就做成什么x方ln 1+s。减as，减BS方这个事情。好了，这个题就做成这样，如果这个题会了之后，你发现一个事情，这个题就立即转成我们讲义上的一个题目，你有N多种方法可以进行操作。那么，

接下来过程当中，我们一起来看那这个题，就立即变成了什么东西呢？变成我们讲义当中的一个题目。就变成了这个题了。这个题当时上课过程当中啊，我们讲过好多种方法，我讲了三四种方法。这题还记得吗？我们有洛必达。我们有泰勒，我们有拆开。所以在这种当中，有好多种方法，那这个题接下来过程当中啊，

我相信你就会处理的。那所以在这里面当中，你发现这一部积分终值定理的方式的应用，它是非常重要的。所以同学们注意啊，这样进行去处理是不是更简单？所以你看你就学会了。因此，在这种当中，大家注意一个事情，积分中值定理对于我们三九六同学而言，你就只需要记住一个事情，它最大的作用就是去掉积分线。它最大的作用就是可以把积分线给我去掉，去掉这个人的积分线。

能理解吧，好，我们就讲到这儿，也不用证明。再说一遍，几分钟之定理的条件是必区间连续。积分终值定理的结论是，中间有一个可塞写开区间，不用写B区间可以推广的开区间，写开区间就使得什么这个定积分等于f可塞乘上b-a。这个事情就可以了，好这个问题点我们就讲到这，那么接下来同学们我们来看看微分中值定理。那么，在微分中值定理当中，

我们要讲哪些东西呢？第一事情废马引你。第二事情，罗尔定理。第三事情，拉格朗日中止定理。第四事情，柯西终止定理。第五个事情，泰勒定理。那么这些人呢？他其实都是在这个我们整个微积分学习过程当中，非常非常重要的一个板块内容。但是大家注意对我们的学习呢，相当简单。

哎，你发现一个事情对我们的学习非常简单，因为我们只需要了解内容。对吧，我们需要的学习内容，那么首先我们看第一个事情，费马引力。那这个费马引里的话，你看他说这个fs在这个人的邻域内有定音，并且在这点可导，如果对于任意的属于这个邻域，总有这个情况然后f导等于。啥玩意啊？这个东西的话，你发现学习的什么东西啊？

这啥内容啊，你学不过没？大家想想诶，淋浴当中，我这个点比淋浴当中的值都大，我这什么东西啊？不是提职吗？你这个点比邻域当中的人都大，不就极值吗？所以这条内容其实就是如果这个fx。你在这个点处。取极值。诶，如果你在这点取极值。你的导函数一定等于零吗？

不一定有可能是不可导点，既有可能是太子，也有可能是王爷。所以在这里当中加一条，如果这个点处的导函数存在，就是可导。那这时候你发现则立即可以说明这点导函数等于零。能理解吧，就这个玩意儿，所以你发现什么费马引力？哎，你发现把这条内容给我写到这。就说如果这个函数在这点取极值两种情况，一种情况是注点，一种情况是不可导点。

如果干掉不可导点，就是导数为零的点取极值，且可导导数为零，所以你会发现你能把这个非常繁杂的这个数学内容，你学的这个稍微的话，把它变简单，这是一种能力。对吧，这是一种能力。所以这个内容我们就讲到这，然后接下来过程当中，我们就继续再来看看下面的问题。我们再来看看比较重要的罗尔定理。这个罗二地理啊，其实你发现是数一数二数三同学考研当中比较难的东西，

比较重要的东西，但是你发现对我们的考研呢？啊，没有那么难，为什么我们不考证明题？不考真命题。但是这条内容我们将来会用啊。对吧，将来过程当中我会给你讲一个方程，根它的至多有的问题，那这件事情我强化班过程当中会用这个人，所以我必须要讲这个事情。罗尔定理必须要会。好，我们来看看罗二定理是什么？

三个条件下一个结论。它说如果你能满足B区间连续，如果你能满足开旋可导，如果你能满足端点值相等。你中间一定会有一个函数值的导函，数值等于零。三个条件下一个结论，你在必圈连续你在开圈，可导你中间一定会有一个人的导函数值等于零。一定会有的，一定会有导函数值等于零的，所以接下来过程当中，我们一起来看看这个事。你来操作一下，为啥呀？

啊，凭什么呀？那么，在这种当中，你发现一个事情，这是a点，这是b点。那么，现在它要求是诶，你端点值是相等的。你必须先连续吧。那你必须连续你发现从这出发到这结束，肯定拥有最大值和最小值啊。有最大值最小值吗？我问你个事情。

区间内的最大值是不是极大值？你都最大了，你在区间内。那区间内就有淋浴，内部就有淋浴，你比所有人大，你就比淋浴当中都大嘛。你区间你整个区间都是最大的，你肯定比我邻域当中最大，那最大值在这个区间内就是极值。所以同学们来一遍啊，来看看费马引里告诉我们什么？这个点取极值开区间内是可导取极值，要不是注点，要不是不可导点，

但是可导。导数为零。然后接下来过程当中继续，你发现这是可再因告诉我们在这点取极值，且可导导数为零，你发现是用飞马引力证明了罗尔定律。那就是这样，你在中间当中有最大值，区间内的最值就是极值。取极值切克导，导数为零。其实这里面当中还有一种情况，就是如果这个东西是一个常数呢？所以同学们，你就不用管了，

你理解一下就行了，对于这个定理啊，你理解到这个层次啊，我觉得差不多了。能想清楚吧，哎，基本点。嗯，简单吧。就说如果你必须要连续。如果你开拳可打。如果在这里面当中端点值相，等你从这点出发到这点结束，肯定会拥有最大和最小。那么，

在中间的话，取极值切克导导数为零。那你发现中间肯定会有导函数等于零的点。记住这个问题好了吗？同学们哎，这个内容。那么，接下来过程当中，我们再来看看下面的定理，你学到这儿就行了。其实你发现每次过程当中，如果是数一数二数三同学，我讲到这个定理，我得讲好久。因为的话，

光证明题我就得讲半节课，但对于我们而言的话，你发现一个事情，我们就仅仅需要怎么办？掌握住这个内容就行。然后接下来过程当中，我们再来看看拉格朗日中置定理这个部分内容是非常重要的。这是我今天过程当中讲的最重要的问题。那么，对于我们在这几个补充的这个部分内容当中，如果能够把拉格朗日中值定理掌握清楚，接下来内容就结束了。哎，就结束了，后面什么柯西啦，

什么泰勒，稍微进行学一下就行，稍微了解一下就行，哎，知道就行。好了，那么接下来过程当中，我们来看看拉格朗日中值定理，这是我们在这门当中学习的重点。这个内容我们是可能会出题的。你稍微注意一下，这是可能会出题的，所以说希望同学们注意把这个东西学好。那么，接下来过程当中，

我们来看它有几个条件，两个条件，它说什么你在b圈连续，你在开圈可导它，只有几个条件，它只有两个条件。他条件很少对吧？他只有两个条件，然后在这种当中，他说中间一定会有个可再使得这个人等于他。啥玩意儿来，我们一起来研究一下。那么，在这种当中，这是y轴，

这是零，然后这是x轴，这是a点，这是b点。同学们告诉我，这两个端点值需要相等吗？需要吗？不需要不要求相等，你只需要怎么办？B区间连续可均可导就行，不要求相等，但是B区间连续就是从这一点出发到这点结束吧。从那个点出发到这个点结束。那么同学们，你告诉我个事情，

请问我这个式子里面当中的这个玩意儿是什么意思啊？这啥意思？那这人是FB减fa比上b减ay二减y一比上s二减s一，这啥东西啊？啊，哪两点之间的斜率啊？不像导数定义跟导数定义不像。哪个斜率？说准确一点。哪个斜率？这不是倒数第一。谁的斜率对端点的斜率端点的斜率什么斜率？大家注意，割线的斜率。哎，

注意啊，哥现在写的。不就是这两个端点之间的斜率吗？割线斜率，所以大家注意一个事情，这个内容啊，它的名字叫做割线斜率。这是这个人对吧？戈献血率，我想问你个事情。那后面这个东西什么意思啊？这东西是切线斜率。对不对？这东西是切线斜率。那我想问你个事情，

导函数嘛，切线斜率。切线斜率。那我问你个事情，中间有没有一个点它的斜率会等于两端点的斜率啊？你想想一个事情，你自己琢磨下，你从这个往上走，你再往下走，你往上走，往下走，你肯定会有一个点。你这个点处的切线斜率。或者你往下走，再往上走，

你切线斜率你这个切线斜率，你应该是等于我这个割线斜率的。我肯定会有。所以你会发现一个事情，这个拉格朗日中值定理，我们通过这个形象的理解，这是非常简单的，但同学们注意证明，得用罗尔定理证明，我们不需要掌握这个内容。我们只需要形象的理解，我们通过这个理解，把这个定理给记住，这就是我们的要求。所以大家注意，

只要你B区间连续你开圈可导，你这个割线斜率fb-fa比上b-a，你中间肯定会有一个点的切线斜率，等于这个人。中间一定会有一个点的切线几率等于这个人。能理解吧，那么接下来过程当中，我们来看看拉格朗日中值定理的定势思维。下课的时候稍微拖会儿堂啊，对吧？这个最近好久没拖堂了啊，好那么接下来过程当中，我们来看看考研当中的定式思维。拉格朗日中值定理的定式思维能力，我们看看一个重点内容。

来操作一下吧，定时思维那么请同学们告诉我，拉格朗日终止定点，刚才那种写法，其实你发现还有更好的写法。我们一起来写一下，这是FB。减去fa。我可以把那个b-a乘过去，把那个b-a乘过去的话，你发现就等于f撇儿塞乘以b-a。这是这个事情，那么同学们注意一个事情，这个可赛是介于a和b之间呃，这里面当中我简单说一下。

你听好了，虽说是从a到b，这个可赛是介于a到b谁大谁就在前谁小谁在后。你听得懂我的意思吗？不是说我这个人捡这个人，这个人就在前。你想想一个事情，你这个人调一下，你把它给调成fa-fb，这是f撇儿可赛，这是不是a-b，你两边都来一个符号，那是一样的。我再说一遍啊。不是说谁捡谁谁，

就在前面不是的。也可以是小的减大的，这无所谓。你注意下，就是这两个东西拉下。这两个东西相减，你反正要注意一个事情，这个可算是介于a到b我写一下。b之间谁大谁就在前面，谁小谁在后面。其实你们无所谓。为什么你们考的是选择题，他看不出来你写错，但是我们学习不能这样吧？我们学习得把这个东西学好，

我再强调一遍，谁减谁无所谓，你只要保证b-a，这是b-a就行。但是大家注意一个事情，这个可赛呢，是介于a和b之间谁大谁在前，谁小谁在后。你要注意这个问题啊。谁大谁在前，谁小谁在后。不是说你捡我，你就一定比我大，那不一定。我说清楚了吗？

同学们。我再说一遍，这可赛是介于a和b之间谁大谁在前，谁小谁在后，听得懂我的意思吗？不是说fb-fa就一定是b在前a在后。注意下这个问就是接于这两者之间就行好，那么接下来过程当中你给我看看这个问题。那么，在这里面当中，有一个什么样的定势思维呢？有没有发现拉格朗日中值定理有一件非常非常重要的一个事情？就是它能把两个相同对应法则的函数。两函数做差相同对应法则的函数做差，然后把这东西给去掉。

然后你发现把减法变乘法。所以接下来过程当中，它可以进行去跨越到什么呢？它就可以把函数变成导函数。函数就可以变成导函数，所以大家注意有个定式思维能力。相同对应。法则。函数做差，立即想。立即向拉格朗日。啊，哪个老师所以在这种当中，如果碰到什么相同的对应法则，两函数做差，

所以我们简单记就是两函数做差。如果我们在这里当中碰到两函数做差，两函数做差，我们想什么？拉格朗日终止定理，我指的两函数做差指的是？相同的对应法则函数做差。能听懂吧？拉格朗日终止定理，就拉格朗日终止定理。呃，不用进行一些什么拉式定理，没有必要。你要想进行去装的话，你就写lagrange。

拉格range。啊，你可以这样写。但没必要，谁能看得到你装的这个逼呀？你想想一个事情，我们考的都是选择题，你在这装它干嘛呢？所以在这里面当中啊，立即想到拉格朗日终止定理好这个事情。所以接下来过程当中啊，我们一起来看几个题啊，来看几个问题，先看这里面当中啊，我们先做这个题吧，

先做第二个人。先做第一个吧，好做第一个题。那么在讲第一个题之前，我再补一个题吧啊，再来个题。再补一个题。那么，在这里面当中啊，它很好用的，它非常好用，尤其是在求极限里面。那么，在这里当中当s趋向零，如果这是es-e的tangents比上三次方等于多少？

啊，怎么做？那么，第一种方法的话。方法一，你就在这里当中，怎么了？提出后者吧。你把这后面提出来吧，你提出来之后的话就变成了x-tangent t减个一比上这个人。能理解吗？提出后者不讲了，行不行？算了吧，讲一下吧。

然后这里面当中，你发现一个事情，这是三次方。然后这个板块呢e的零是几e的零是一非零因子。然后这项是零一的框减一，立即等价无穷框，注意前面是非零因子，后面可以等价。然后这个东西呢，等价无穷小负的三分之x三次方，这是负三分之一。好，这是一种方法，能听懂吧？第一种方法来再来看，

第二种方法。还有没有方法呢有？有没有发现一个事情，这是相同对应法则的函数做差的问题啊。相同对应法则函数总长。那这个函数是谁呢？这个函数是es。这个b是谁呢？x这a是谁呢？tangent。相同对应法则函数做差，我可以拉一下。拉下就变成多少来走e的可赛，因为这个人导函数嘛，它的导函数就是f撇儿可赛，

乘上b-a嘛。你求个导师es把它带进去，然后b是多少呢？b是这里面当中的sa是这个人，然后接下来过程当中你就比上一个三次方。那这个东西就拉下了，然后接下来过程当中，你发现这可赛叫什么叫介于x与tan之间？诶介于两者之间。介于这两者之间的话，你看你这个人是往零跑，你摊这里人是往零跑，可赛是不往零跑，你可赛往零跑的话，你发现一的零是几，

一的零是一。所以说这个东西啊，它就是非零因子，可以淡化，又变成了这个人。所以说结果等于负三分之一。诶，这样做也可以啊，我拉一下，我一拉的话，你发现一个事情相同对应法则函数做差，我拉一下，我拉一下了之后的话也能处理。也没有快很多。也没有快很多。

这两种方法都差不多。都可以，你选哪种方法都行。你选第一种方法可以，你选第二种方法也行，无所谓，对吧？都可以。就是你在这里面当中，但是我们一直建立的体系呢，两根号做差，我有理化，200000000做差，我提后者。这是我一直来的体系，

如果你不想变，我就永远这样做都可以，没有问题，我们再来一道。时间非常的悠久了呀啊，这个时间非常非常的悠久了，我们来看一个题。别说同学们，我们来看看这个题。操作一下这个题。是否还记得这个题啊？这是零基础，提前学的一个题。我们基础讲义也有类似这样的题。先别管了，

无所谓了啊，都可以那么同学们想想我这里面当中是否有第一种方法？方法一有理化。根深蒂固吧。只要你在考试过程当中见到两根号做差有理化，根深蒂固就做了，我就干掉他。可以啊，那么今天过程当中我们再来介绍一种做法，但是我想说一个事情。方法的变多，不是让原来的方法的学习的内容变差不是这样，是让你变得更好。不要说这个，有了这个新方法，

你你发现一个事情，你就混乱了，不要这样，如果混乱了，你就用原来的方法。那么再来看，请问同学们，这是不是两个相同对应法则的函数所差呀？那么，在这里面当中，你想象一个事情，这个fs是多少根号s？那这个b是谁呢？b是一+tangent t，这a是多少呢？

一加上这个sine。那么所以说在这种当中，我遇到什么东西呢？遇到相同的对应法则函数做差，我可以在这拉一下。来拉一下，拉一下的话，你发现fb-fa就等于f导可赛导下导下就是二倍的根号分之一，那就是可赛分之一。然后再乘上什么乘以b-ab-a就是tangent t- 3a。除以三次方。你看这事情是不出来了？然后接下来过程当中，你再看其中这个可赛什么东西啊，可赛叫介于。

那么，其中这可赛怎么了？较介于b和a之间一加碳整体。和一+3e之间。那么，这里面当中的话，你发现看趋向零的数，这是一趋向零的数，这是一。你两边都是一的话，你这人是一一的话，你看。这是不是二分之一？所以非磷，离子淡化。

那淡化了之后的话，你发现一个事情在s趋向零的时候继续看那上面呢？上面提一个tangent，你还记得吗？上面提一个tangent，二分之一多少x三次方？同学们还记得吗？你不要说都忘了啊，你忘完了，这可不好。tant减sint一个tant等价无穷小于二分之s三次，方泰勒都慢了。泰勒的速度都不高。是不这个事情诶，你看你这样做也行啊。

我两根号做差，我可以怎么办？我也可以拉一下，但同学们想想这个东西比原来的过程当中也没有说谈复杂，也没有说谈简单。我觉得都可以啊。就说如果你拉格朗日用的好的话，一拉就出来了。当然，你也可以两根号作差有理化，所以在这种当中啊，我一直强调一个事情。没有说哪个方法更好，哪个方法你更会用就行。这两个方法都行，

能听懂我的意思吗？注意一下这个问题。好，这是我们在这里当中啊，介绍的这个问题，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看看这个问题，再来看这个值。啊，再看这个题。所以我刚才讲的两个例题啊，我觉得是什么两翼作差提后者根深蒂固的想法，两根号做尤里花根深蒂固的想法养成了这么长时间的。这个什么定式思维能力，

我只是希望同学们注意这块东西能推广，能拓宽，但是不要影响原来的思维。你第一下想到什么就什么方法对，非常好。来，但是看这个题呢？这个题拿到极限，是不是先定型啊？我们来定一下，一定前面是无穷大。arctan的正无穷二分之派二分之派减二分之派这是零。零乘无穷大未定式，同学们想想这个零乘无穷大未定式怎么做？凌晨无穷大未定式，

是不是把一个人下放了？下放下去。放下去，那放下去之后呢？你发现可以落必达，但是同学们，你想落吗？我不太想。我觉得这个洛必达也忒恶心了，我不想动。我很不想落档。所以在这种当中，我们看看还有没有别的方法呢？我观察了下，你看到这个人了吗？

那这时arctangent多少x+1再减去arctangent x，这是不两函数做差呀？两函数做差的话，你发现个事情，你可以把这个函数叫做什么叫做阿克塔阵体，你把这个b叫什么x+1，你把这个a叫x。那这时候我可以拉一下呀，我一拉你看这个人求导一求导是一加这个人的平方可赛平方分之一。然后是b-a是一好，就是这个人可再介于什么介于a和b之间。那么所以说接下来过程当中，你发现你看这个人就变成这样。注意哦，这个东西是等于这个人，

你看这两者是相等的，所以我们原来求的那个极限。它就变成了分之它的平方。注意下这个事情，就说我们原来求的这个极限。因为你这个东西就等于这个人，我们原来要求的这个极限就变成了这个人。再来抽大家想想一个事情，你看你这个东西变小了，结果是不是变大了？你这个人变大了，结果是变小了，就是一+x+1^2分之1x方。那他想这个事情是放无穷大跑，抓大头是一趋向无穷大，

抓大头是一诶我一+b准则，我中间接下去一出来了。所以你会发现你看这个题当中啊，拉格朗日中值定理就好用了。就非常好用了。我在这里面当中的话，你发现它的操作性就比原来的过程当中，你发现操作性强太多了。那这时候哪个老人宗旨定理好用呢？我不像原来过程，当我把它除下去，洛必达那就麻烦了。是吧，这是这个事情。那么，

接下来过程当中，我们再来看一个题。继续，你再来看。那这里面当中啊，有的时候的话，你发现有条件就做条件，没有条件创造条件，那么在这里面当中，我们再来看看这题。你看这个题。那这个题的话，你发现一个事情，你看。这一项是无穷大。

如果趋向无穷，大抓过大头，这是1 tan 1呢，四分之派，四分之派，减四分之派，这是零。凌晨无穷大不一定是。如果按照常规的做题方法的话，你就把s放下去，然后怎么办？然后再进行这个东西，继续去洛必达。但我很不喜欢。诶，

那这里面当中的话，你发现我稍微的进行观察一下。我趋向无穷大，你这是s。你这个人的话，四分之派，你不就是阿克坦这里一吗？然后的话，你发现这不是arctangent这个结果吗？哦，这是相同对应法则的函数做差，那我明白了，那这里面当中的话，你发现这个函数是多少呢？这函数是arctangent。

那这个b是多少呢？b是一这个a是多少呢？a是这个人。那我是不是在这里面当中，我可以落下呃，这个什么我可以拉一下。我一拉的话，你看当s趋向无穷大，这是s。来求导，求导是多少？一加可赛平方分之一，然后是b减AB减a是多少？一减去x加一分之一。然后接下来过程当中稍微整理一下s趋向无穷大，

这是一加可赛平方分之一，然后再看后面这个。s+1。那这个部分刚好是一前面还有一个s来一个s。你注意啊，这一减的话，你发现一个事情不是一，这是x加一分之x加一一减一这个人。那这个东西你发现非零因子可以淡化出去了。所以说这个事情就变成了这个人。那么，接下来看看可塞。可赛应该是介于多少？介于这个一和多少？我也不知道谁大，

你就写介于介于一与这个人之间。对吧，我限于这个人之间。当x趋向无穷大的时候，这个人的极限是一趋向无穷大的时候，这是一可赛就是一，那可赛是一的话，你发现这人不就是二分之一吗？那非常精彩。所以你这样进行去操作，就比原来过程当中处理这个题啊，要简单太多了。你速度也会快了很多。对吧，这是这个题，

跟得上我的意思吗？我有条件，我用我没有条件，我去创造，我照样可以把这题处理的很好。这是这个事情，当然同学们，我们接下来过程当中继续回去。我觉得原来过程当中，我们进行去讲这个数列极限。好，我们再来看一个问题。把这个讲义往前翻，翻到这个题。往前翻，

翻到这个题一点四九这个题。find点一点四九。一点四九这个题还记得吗？那么，在这种当中的话，你发现一点四九当时我们做了这个题，我把这题再讲一下。继续来看，这是当初做的一个题。一点四九当时做这个题。我们说趋向无穷大，前面是无穷大。然后的话，你发现这是它的四分之派，一减一是零，

零乘无穷，大v零是。当时我们就说把那个x放下去，放下去，但是x分之一我就倒代换了。我倒带换了之后，洛必达这是当时的方法吧诶，那这个题还有没有方法呢？我来看看。你发现这是趋向于正无穷，然后这是s那这是tan 4分之派哦，这是四分之派，那这个一不就是tan 4分之派漂亮？我就把这个函数当做成tan x，我把这个b当做成四分之派，

减s分之一，我把这个a当做成四分之派。所以在这种当中，我就迅速的进行一拉。那就是这个人导函数，导函数是second这个人平方，然后接下来过程当中这两步当中啊，你发现一减一减负x分之一漂亮。所以说就等于负的x趋向正无穷s inet cosine方。诶，那这个时候你发现一个事情，这个可赛介于多少？它就介于四分之派减x分之一和四分之派之间。因为这个题是正无穷，我就知道你大当趋向无穷大的时候，

这是四分之派当趋向无穷大的时候，这是四分之派一加，你是四分之派。所以这个题就出来了。你塞肯定四分之派，那就cos 4分之派分之一二分之根号二翻一下根号二，所以说负二。所以大家进行去算，你自己算吧second这我们原来做过的second 4分之派它的平方。那个cos四分之派二分之根号二分之一嘛，你分之一的话就根号二你平方下不就是二嘛？诶，好像这种方法比原来的方法还要更简单。所以大家注意啊，有的时候你要喜欢用。

能用就用，对吧？不然白讲了。但是我们有的时候的话，你发现我们的铁达不到这个难度系数。说实话，你发现达不到这个系数。就像的话，你发现有一把这个什么呃。这个叫有一把非常牛逼的刀。诶，你发现一个事情，你继续去呃，这个叫什么呢？嗯，

这这这叫什么杀鸡？焉用宰牛刀对吧？就这种情况。所以在这里面当中啊，一定要注意。但这有同学考试的时候不敢用，怕弄错了。啥玩意儿都。你别这样。你咋能有这种想法呀？你老是有这种想法的话，这怎么样？就发现你说我学一个东西，我不敢用这这这怎么行啊？啊，

好了，那么接下来过程当中，我们继续看。你扣住这个内容进行用就行了，那么接下来过程当中我们再来看看第三个人，我说一下第三个题。第三个题不在乎证明要记结论。大家注意这个东西啊，要记结论。重点记不等式。这是在这里面当中啊，非常重要的一个不等式。啊，非常重要的。你不会真都行，

但是你会真了，这个东西就立马记住了，你不会真都行，然后在这种当中啊，我们一起来看。你不会认都可以，但是最重要问题是把这个东西给记住。你看怎么证的？如果你用高中的这些方法的话，就是一项设个函数。然后是求导。移项是个函数。对吧，移项是个函数求导，但是你发现一个事情，

你把这个移项过去求导，这也忒恶心了吧，你看我们怎么做？你不会震都行。我们来看看这里面当中是ln多少一加s分之一诶，这个人不就是ln多少x分之一加s吗？那这个东西是多少？这不ln 1+s再减lns这个lns嘛？哦，那么这里面当中的话，你发现这函数是多少lns这b是多少一+s这a是多少x撇？漂亮，所以接下来过程当中拉他一下，那这个一拉的话，你发现求导cos塞分之一。

b-a是一结束了。那么所以说我就明白了一个事情，你发现你看这个人是这个人，那其中什么情况，其中这可塞。叫做什么东西呢？介于这都不是介于你x+1，肯定比我大。是吧，所以在这里面当中的话，你发现这个多少呢？一加s分之一，它就等于可再分之一，你把这个缩小了，它就变大了，

你把它缩放大了，它就缩小了，本题解得都成。所以这个时候我进去去证明这个不等式的时候，我的操作就非常明显，我就把这个东西你发现写成了两函数之后我拉一下。我拉一下一下出来了。大家注意，这个不等式要记住。我不在乎这个证明，你不会证都行，但是我要让你把这个东西记住。一定要记住。这个不等式内容。这个不等式就是ln一加s分之一，

这个人是比这个人小，但是要比这个人大。注意s大于零的时候。好了，这是这个问题，能听懂我的意思吗？所以大家注意啊，把这个不等式要记住，我不管不管，你会不会真这无所谓，我在乎的是这个不等式能不能记住考研过程当中得用？哪块用比较定理内容？比较理你那块当中是不是经常要用不等式啊？你还记得吗？定积分的比较定理，

积分线相同，被积分函数不同，考比较定理，我们经常要用到这个不等式啊。所以你掌握住了这些不等式，它就好用了，所以在这里面当中，你要注意这个问题。你这又补一个来，再来看最后一个题，讲完这个题啊，我们今天就可以下课了，我再补一个题，这些题啊，你下去再整理啊。

讲义上都没有。好了，我们来看看这个题目。这个题当中说了一个事情，它说什么？它说二阶导数大于零。同学们，想想一个事情，二阶导数大于零，有几个事情？曲线是凹的。另外一个事情呢，一阶导数单调递增。一阶导数单调递增。你二阶导数是一阶导数的导吗？

一个事情的话是o曲线，一个事情是一阶导数单调递增。那么，接下来过程当中，我们来看它，让我们去比较f到零f到一f一减f零诶。你发现一个事情，你看。是不是遇到了两函数做差呀？零一，然后在这里面当中，它让我们进行去比较这个人。你想想一个事情，你看这都是导函数，你这是做差有没有方法把做差变成导函数有拉格朗日中止定理？

那就来拉一下它的结果呢，就等于f撇儿塞，然后再乘上b-a，那么所以说可塞介于零到一。哦，明白了，原来你这是克塞。诶，那我又知道了一个事情，你发现二阶导数大于零，一阶导数单调递增，那自变量越大不就越大吗？自变量越大不就越大吗？自变量越大不就越大，这是谁呀？

这不就是f1-f零吗？哦，完美，那说明f撇儿一大于f撇儿可塞大于这个人，所以说这题正确答案选b。所以你发现一个事情，两函数做差同种对应法则的两函数做差，我立即怎么办？我拉一下，我拉一下了之后的话，你发现我把它变成f导。那导函数是单调递增，我自变量越大越大呀。那所以说f撇一大于这个人，大于这个人漂亮。

所以说这里面当中的这个部分内容立即结束了。能想清楚吧。所以你会发现个事情，这个拉格朗日终止定理啊。是一种非常非常好的一些方式。所以对于我们三九六同学的话，不需要考特别难。只需要把这个基本点掌握清楚，为什么呢？因为我害怕这种题可能会考。大家想想一个事情，这个题能不能出成一道我们的考题啊？你觉得能不能？这个题难吗？它不难。

但是你发现你不知道这个东西，你就做不了。就就这种题的话，它很尴尬，它难也不难。非常非常简单，但是关键点一个问题就是你从来没复习过。你就没有见过拉格朗日中值定理，你从来没有见过，所以说今年过程当中啊，你发现我们三九六同学的这个体系是完全非常全的。非常非常全的，所以说你看也清楚一个事情，这节课我在讲这个中值定理部分内容，我一直在给你讲一个事情。

我说我们一定要契合着我们三九六同学的内容进行拒绝。不要进行去跟着这个数一数二数三同学学，我给你看看数一数二数三同学在这个板块内中，他们是怎么学的？好，我们来看看。你像数一数二数三同学，我们的核他们核心重点的话是这样。比如说罗尔定理最重要的问题应该就是这种证明题。最重要问题就是这种证明题，证明题这种证明题怎么做？但是我们不出这种题啊。你要进行去跟着这个数学三同学复习，那我相信你听了两节课。这个时间其实是浪费的，

他说呃，有同学说那老师我增加了自己的数学素养啊，我提高了自己的数学能力啊，好，那我就不想说了啊。那可以啊。你要是想增加自己的数学素养，那可以，那我就没话说了。你是奔着这个目标进行来，那我们觉得我可能这个。嗯，我我可能在这里面当中啊，没有达到你的这个对吧？这个境界啊，

好了，这个事情我们就说到这儿。所以一定要注意契合着我们的考题，比如说刚才过程当中我们说过哎，像这种题可以考吧，我出五个选项。我把这个定理当中的这个内容我给你改了，你看看这个东西对不对？是不是这个事情哎，这种内容，比如说刚才的积分终值定理，它的操作，它是干嘛的，比如说拉格朗日终值定理，我们会用它能干嘛，

把这个事情想清楚就行。好了吗？同学们行吧，那么今天晚上我们就讲到这儿，不好意思啊，这个。呃，拖了半个小时的糖，那么后面还剩下两种，一种叫柯西重置定理，一种叫泰勒定理，那两个东西啊。非常非常简单。哎，那两个东西啊，

非常简单了。那说那个有一个什么这个不等式。哎呀，触类要会旁通嘛，对吧？你说你这样学怎么行呢？来，你看。把这个s分之一当成t换一下。当成x那这个部分是不x同学们想想，这是不是我们原来学那个不等式？是不原来选那个？是不是原来学的一个？s是大于等于ln 1+s的，只有s=0取等号。

你现在是大于零，又不取等号，我肯定比你大，然后同学们想想把这个一翻，这不一加s分之一s嘛呃分之一嘛，然后这个东西不就是一加s分之s嘛，不就这个人嘛。诶，你看刚才那个同学那个同学问的这个问题，你问的这个东西是不是这个人？所以学东西啊，你稍微钻一下就行了。你又触了，又会爬动，你这个东西不就出来了吗？

你刚才说的是这个不等式。那这个不等式啊呃，当年在二零二二年的话，这个数一数二数三考过，我们还没有达到这个难度系数。但是你把这个基本不等式，你要记住，对吧？我们考试会考的。我再说一遍，这个证明你不会都行。你不会可以，但是一定要会这个基本内容。好了，那么今天啊，

我们来看一下这个作业题。好，我们来看看这个作业题。看一下今天的。呃，今天的题啊，特别少，你把这个三六二这个题。还有三六三这个题做完就行了，好吧，就这两个题。好了，这是这个事情吧，就做两个题，这节课作业基本上是没有没啥作业，

就这俩题，你把这两题的话，你发现做完就行。是吧，求解这个人长度，求解这个人长度啊，会求就行好，这是这个事情吧，我们就讲到这儿行，那么今天问题啊，我们就说到这儿，所以下去过程当中啊，好好处理一下。好不好同学们？这是基本问题。

行吧，那么今天的东西比较多，那么下节课过程当中只有两个人，一个事情是柯西中值定理，知道内容就行。我会在两三分钟内把它讲完。第二事情，这个泰勒定理我基本上而言也会控制在五六分钟范围内，把它讲完也就说后面还有两个定理，我基本上讲十分钟就可以了。十分钟左右就讲完了，所以下节课过程当中，我们就正式的进入到下一章多元函数的微分学，那么多元函数微分学，可是我们的重点。

非常非常重要，多元函数微分学，那是我们下节课过程当中的重点。所以到了下节课过程当中，把那个东西我们要重点学，那是我们高等数学的最后一章。所以马上我们就高等数学都结束了，你看我们这个东西啊，实在是没那么多啊，速度的话，你发现还是比较快的。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，能听懂我的意思吗？

下去过程当中好好处理处理啊。行吧，那么今天课程呢？我们就说到这下去，过程当中把相对应的知识点好好整理一下，我再强调一遍这节课的次重点比较多。考点四这个东西次重点后面部分的内容也是个次重点啊，稍微掌握清楚核心内容就行好吧，同学们行吧，那么今天课程我们就讲到这儿。好，下次见吧。

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24.中值定理基本内容通关-2

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