24.中值定理基本内容通关-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:46:19

那我们就准备开始今天的课程吧，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境啊，没有问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们三九六精综数学的这个基础班部分内容，那么上次过程当中我们刚好讲到这个定积分应用。啊，所以说上次过程当中的东西啊，非常非常的重要啊，不知道同学们下去过程当中有没有做下整理呃，

上次过程当中作业啊，倒不是说特别难。但是上节课过程当中的知识点在今年过程当中一定会出题的，所以像这个部分内容你一定要好好进行去回顾一下。那么，接下来过程当中啊，我带着同学们进行去串讲一下呃，因为在之前过程当中，我们的核心重点只讲了两个问题，第一，事情就是这个定积分应用当中的求面积的问题。然后第二个事情我们进行去学习的，这个叫做求旋转体体积的问题，哎呀，没电了是吗？

你们稍微等我一下诶，等我一下。好了，那么接下来我们就继续开始吧。诶，可以了。好，那么首先第一个事件，我们先学习的这个东西啊，叫做求面积的问题，那么在求面积当中啊，有三件事情，第一件事情就是直角坐标。第二件事情就是极坐标，第三件事情是参数方程，

那么所以说首先第一件事情我们先来看看这个直角坐标。那直角坐标求面积啊，非常的简单，但是你要注意一个事情，里面当中有两种图形，一种叫s形图，一种叫做y形图。那么就是你这个东西到底是对x积分还是这个东西对y积分？你像这个内容啊，在我们考研过程当中非常重要。我们很喜欢考难度不高，但又很喜欢出题，你像这种题啊，一定要把它拿下来，然后接下来过程当中就是极坐标。

那极坐标求面积，首先第一个事情面积公式是二分之一，阿尔法岛贝塔阿尔法DC塔啊，这个公式容易忘。你不要把它记成了r这个东西，对西塔积分是二分之一r方，对西塔积分，那么当然在这里面当中啊，有些重点的事情，有些重点的这个极坐标的曲线。那么，首先第一个问题，极值转换公式得知道吧？对吧，我给你一个直角坐标方程，

然后把这东西转成极坐标方程，那这个内容非常重要，我们做的转换是什么？我令这个s=rcos西塔。我令这个y=rs in西塔，是不是这个事情？但是注意一个问题，我这样转换有个前提条件。什么前提要件就是保证直角坐标系的原点跟极坐标系的起点，它们是重合的，如果这两者之间它是重合的，我就可以这样转换。对吧，这是一个基本问题，然后接下来过程当中我又讲了一些什么，

像这个什么星形线还记得吗？还有这里面当中的双扭线，还记得吗？那这两个曲线你都得记住，那么包括的话，这个心形线球面积这个双扭线球面积，我就害怕在这里面当中啊，你发现出这一种题。我直接给你一个什么，我说心形线的方程是这个人，然后让你进行去求解这个面积，所以像这个部分内容和这个部分内容一定要把它掌握清楚。尤其是双扭线，因为这个东西的夹角它不一样，这个夹角是什么？

它这里面当中扭了一个疤。哎，这个人，但是你发现这有一条线是多少y=s这条线是多少y=-s？所以说尤其是这个双扭线，这个双扭线的这个夹角是很重要的，你把这个夹角写错了，那这题就没分了。所以说稍微注意下这个问题，能想清楚吗？基本点，然后接下来过程当中，我们再看参数方程呃，参数方程非常简单，第一步干嘛？

第一步，先写直角坐标。诶，我们先把这个直角坐标写出来。等你把这个直角坐标写出来之后呢，然后在这里面当中把这个s令成t的函数。哎令成t，然后接下来就可以处理了，那这时候你发现这个x就变成多少就变成了yt，然后是x对t求导dt。要注意一个事情，换元就需要换线，所以说像这个部分的内容，它的核心重点是什么？就是先写直角坐标。

然后接下来再换元就行，你记住这个问题，把这个直角坐标写出来，然后接下来把这个东西换进去，换元就需要三换换上下限。换背积完数，换积分变量，所以你的大脑里面留下什么呢？就是先写直角坐标，然后第二件事情呢，再进行去换元，那就出来了。好，这是一个基本点，过去了可以吗？

来接下来继续再来看看第二个问题，旋转体的体积问题，那这个内容上节课的黄金重点吧。那么，在这里当中讲了两大模型，第一种模型叫什么？第一种模型叫圆饼模型。对吧，如果你这个东西你发现竖着取，你这样一转圆饼模型，所以在这种当中啊，要知道这个圆饼，那这个圆饼的话，你发现所对应的这个体积怎么算？一起来，

那就是底面积派这人的平方，然后再来乘上高ds，那么在这种当中啊a到b的积分就行。好了，这是我们在这里面当中介绍的第一个问题，然后接下来过程当中，我们再看第二事情。vy vy这个东西啊，你发现一个事情是绕着什么东西转，绕着这个y轴转。绕着y轴转的话，你发现它的这个底面积呢？二派s再乘上这个厚度，然后再乘上fs 1积分就出来了。所以像这两种东西啊，

必须要把它掌握清楚，那么如果在考研过程当中啊，它考的就是x轴和y轴，非常简单。对吧，这个题它出的就是x轴y轴，你就直接套公式就行，但是大家注意一个问题，如果绕着一般轴呢？绕着一般轴，我旋转一下就行，对吧？取个v圆转一下就行，那这个内容非常的简单，那么在这种当中啊，

我简单讲一下这个事情。因为上次过程当中啊，很多同学你发现这个事情他转不过来。好，我们来看看这个问题。大家注意一个事情，如果是绕着一般轴转，比如说我们来看看这个问题。我再来强调一遍，你来看看这个事，从这个点到这个点的距离就是a点到b点的距离。那这两点之间的距离是多少？是c减去应该是x+ds。但是你发现这是c，我想问你个事情，

这个AB之间的距离和这个AC之间的距离，两者之间相差谁？相差。那这个ds呢？ds因为非常的小，非常非常的小，近似可以忽略。所以大家一定要想清楚这个问题，那么当时我们过程当中讲过这个事情，因为它非常非常的薄，你来想想一个问题。比如说这里面当中，我们把这个圆，我们再画一下。好，

我们来看看这个问题。就这个人，你想想一个事，那么在这种当中，假设这个半径是x，这个厚度是ds。这个厚度小不小？非常的小。小到什么程度呢？小到这个里面这个圆快接近于外面这个圆了。非常小。小的这两条线基本上快挨近了。所以说你在算这个面积的时候，你可以用二派s乘上ds。可以吧，

那么同学们想想，如果在这里面当中，我知道外面圆的半径呢？因为你想一个事情，你剪刀一剪一剪一拉长还是一个长条，你拉长了之后的话就是长条，我认为什么情况，外面这个人长度和里面长度是一样吧？那这时候呢，还不是二派s乘上ds吗？有什么区别呢？所以同学们一定要想清楚这个问题，这是一个非常非常小近似的趋向于理论。所以说这两条线基本上挨到一起了，你剪刀一剪一拉长外面长度跟里面长度基本上是一样的。

所以你用外面这个半径，里面这个半径都是一样的，能想清楚吧啊，非常简单啊，不是说特别难呃，很多同学在这里面当中啊，非常的轴。你要注意这个东西是个微圆的问题，非常非常的微小，它的处理问题啊，跟那个东西的厚度是有的，它是不一样的。你有些的话，你比如说厚度是一，你还能这样算吗？

就不行了，基本信息点好，这个题目我们就讲到这儿。那么，这就是我们在这门当中啊，处理的这个基本问题，所以说下去过程当中啊，你再推一下两件事情，注意这个内容啊，今年必考。一定会出题的，你明知道它会出题，一定会出一道题，所以我们就两个思维，如果这个题的话，

你发现你见到x轴。你见到这个y轴转，我贼开心哎，你发现只要见到x和y轴转，你就笑。那这个东西一套就行了，直接套公式就出来了，如果在这里面当中，你发现一个事情，如果这个轴线是一般的。它垂直于x轴，它垂直于y轴，你就取一个条转一下，看看这个v圆是什么情况？那就可以了。

但是你发现我们的大概率事件呢，仍然会考这个人。唉，我们的大概率事件都会考，这个人就说你发现我们的大概率事件还是x轴和y轴，所以像这个一般轴线。算我们三九六同学的拓展内容。诶，拓展内容。但是你发现这个老头子这两年出题啊，不讲武德，我们要做好的事情，就是在基础班过程当中要求的大纲核心考点。有几率出题的核心考点，必须把它拿下来，

这是基础班保证非常的全保证，每个部分知识点非常的稳。每一个部分知识点考的不会特别难，但是你要注意一个事情，每个部分知识点一定要学到位，能理解我的意思吗？这是个基本点，好了，像这个内容，我们就讲到这儿，再强调一遍，如果是x轴y轴端，你就怎么办套公式？如果绕着一般轴转，你就画一下图，

你稍微转一转，所以在这里面当中啊，给大家一个任务。当你每天过程当中啊，你发现无聊的时候。当你每天过程当中，比如说你午睡的时候，你发现醒来的时候。你实在是没有事儿，没有事儿啊，你就在你的笔记上画一个这个图，然后取个条儿，咱俩转一转，听懂我的意思吗？你取个条转一转，

每天多转一转，转两天的过程当中啊，什么东西都清楚了，你就取个条呗，取个条的话，你发现你转两圈。对吧，这样转。然后的话，接下来过程当中，你发现竖着转，天天转一转，什么东西都出来了。能想清楚吗？那么今天过程当中是4月15号。

就说这个知识点呢，我们在上节课过程当中已经达到了今天过程当中的巅峰能力。就是你发现今年考研过程当中，到了最后也就是这个知识点，那么从今天的4月15号学到今年的12月24号，你还能学不通吗？天天转一遍，转一遍，转一遍，转两天，过程当中什么东西都出来了，我就害怕一个事情，就是这个知识点，你要放。你放上两个周啊，

这个东西就给忘没了，所以说第一遍学完了之后一定要复盘，这两天有没有复盘呢？有跟正复盘吗？我们在这个昨天的过程当中就开始复盘了。每天早晨的话，那个微博当中我发了两张图片儿，一张图片儿是数一数二数三的，还有一张图片儿是我们三九六同学的。一定要开始复盘哦。有没有发现这两天过程当中复盘了之后，很多部分知识点又捡回来了？那个东西才叫采矿一样。好多部分的东西，你发现忘了之后捡回来那种感觉是非常爽的，

你再进行第二遍的时候，感觉是不是非常良好？所以大家注意来上个一遍，来上个两遍，来上个三遍，你放心吧，这些知识点不在话下。所以希望同学们一定要进行复盘诶，这是这个问题。好了，这个部分内容我们就讲到这。怎么复盘？我不知道这个内容还需要我怎么进行去说呀？我都给你写成这个样子了，你还问我怎么复盘？

你比如说这里面当中的第一天，你的复盘的任务，然后去干嘛？第二天要干嘛？然后上班过程当中核心重点是什么？这些事情原本应该是你来做的。我都帮着你进行做了，你原本这些东西都应该是你自己布置任务，今天过程当中做什么？明天过程当中做什么都布置成这样了，你还不知道做什么？哎，昨天过程当中这个我发了下那个复盘，然后有些同学在那下面，过程当中又来了，

说有没有复盘的这个视频？好家伙，你真的是这么懒吗？原本这些事情都是应该你自己做的。然后在这里面当中，我告诉你怎么做，然后居然又来了一个什么有没有这个引导的视频？好家伙，你真是可以啊。好了，这个问题啊，我们就讲到这儿啊，你别这样啊，这些事情你应该都好好进行，把这个事儿好好做一下好了，

那么今天部分内容我们就讲到这儿，那么接下来过程当中我们来看看。下一个问题哎，考点三求曲线的弧长的问题。呃，这个事情啊，也是比较重要的，那么接下来过程当中，我们一起来看看这样的一个基本问题，首先第一件事儿你先听就行了。那么，在这里面当中啊，我们来拉条竖轴线。好，那么接下来过程当中啊，

我们一起来看，如果在这里面当中啊，你发现给一条曲线。这个点是a点，然后这个点是b点。好给条曲线，给条曲线了之后啊，然后我们稍微进行去看一下。我要进行去求解什么？求解这条曲线的长度，就叫求解这条曲线的弧长。怎么求啊？那这个东西的话，你发现又不是直线，也不是圆，

所以说初等数学做不了了。初等数学做不了怎么办？高等数学就来了怎么办呢？微元法。v元法怎么进行取v元呢？就是在x处。取一个长度为ds的段就叫v圆。所以在这种当中啊，你发现我就在x处取一个长度为多少ds的v圆，那这个长度是非常小的。然后在这种当中，我们对应上去。对应上去。对应上去。诶，

对应上去了之后的话，你发现这条线的长度。这就是弧长的微分长度。弧长的微分，那这个弧长的微分，我们把它叫什么？叫做弧微分。这个词儿非常重要，弧长的微分就叫弧微分，弧微分怎么写呢？弧微分用d小S表示。那么，就这个部分内容d小S表示。然后接下来过程当中，我们来看看大家来想想。

因为底端长度非常的小，我近似可以把上面这个东西看成直的吧，这是没有问题的，因为你太小了，我看成直的没有问题。那能不能看成平的呢？如果上面这个东西看成平的ds是不等于dx？就说这个弧a分跟ds相等，然后接下来过程当中，你看我怎么进行求这个弧长两边积分吧，从a到b进行积个分就行了。那a到b的积分结果是多少b-a？那就说明什么事情，就说明这个人的曲线长度就等于b-a，对不对？

是不是啊？如果这件事情你觉得是我们还不如不学微积分。为什么呢？因为你发现个事情，这不合理呀。明显一个事情，这个长度才是b-a。你这个长度是b-a，你又说上面这条曲线长度是b-a，这不胡扯吗？你想想一个事情，你的意思说这条线的长度跟上面这样，这条线长度是一样的。你推翻公理了。不是定理，

我们原来过程当中学过公理，两点之间线段最短，到了现在而言的话，你说这条线跟这条线长度是一样的，你发现一个事情，你把公理都推翻了。那不是纯属胡扯的吗？肯定不对。那么同学们，你想想这个东西不对，原因点在何处啊？是因为这个积分不对吗？积分没有问题，那很明显一个事情，这个不对。

肯定是这个东西不对，所以大家注意一个事情啊，你一定要想清楚一个问题，说明什么情况，说明那条线不能看成什么，不能看成平的。它只能看成直的说明什么情况，这条线才是dx。那就说明什么情况呢？说明这个东西之间呢，是有一定的倾角的。注意就说明什么事情呢，说明这个东西是有一定的倾角的，所以在这种当中啊，这两者东西不相等，

我们接下来过程当中怎么办？我把这个放大。你看我把这个三角形放大，放大了之后的话，你看这是ds吧，然后这是dx吧。我想问你个事情，这个边的长度是多少？非常简单y轴上的微分不就是dy吗？是不是这个事情，所以说这三者之间呢，拥有一个三角形的关系，所以接下来过程当中，我们就得到互为分，马上来。

弧微分这个结果就可以用勾股定理来说就是ds的平方，然后再加上dy的平方。好了，大家注意啊，这就是弧微分的表达式。胡微分的基础表达式就是这个人。弧微分等于多少呢？等于根号下ds的平方，加上dy平方，那么接下来过程当中，我们就来看了诶，这个弧微分有几种情况呢？如果这个题啊，你发现我放在直角坐标系下。我放到直角坐标系下，

我就可以把这个ds平方是不提出来了。把这个ds平方提出来，你发现一个事情，你看把这个人提出来，这就是一+y对x求导的这个平方。是不是这个事情，所以说然后把这东西开出去，就是根号下一加上，然后这是y对x求导的平方。ds能想清楚吧，这就是我们的基础公式，这公式怎么来的呢？就这样来的，能想清楚吗好？好，

这是第一个问题，第二事情，那如果是参数方程呢？那么，参数方程大家都知道x是t的关系，y是t的关系，那我就在这里面当中怎么办？我提出一个dt的平方。提出了之后的话，这就是des÷dt^2，加上dey÷dt^2。没问题吧，就变成这个人了。s÷dt^2。dy÷dt平方开出去，

所以这个ds就等于多少，就等于根号下。然后这是x对t进行求导的平方，然后加上y对t进行求导的平方dt。你看这个内容，这公式是要背的。把这个基础公式一定要背过，非常非常的简单，然后接下来过程当中，我们再来看第三个事情，第三件事情就是极坐标。极坐标的话，这是ds它等于多少呢？它等于r方，然后加上r对西塔求导的平方DC塔。

好，这就是我们在这种当中啊，介绍的第三个人。r方加上r对theta求导的平方d theta。好，这个人那么在这种当中啊呃，你们想推一下吗？第三个人。第三个人，如果你有兴趣啊，我也可以给你推一下。想让推吗？呃，对于你们的考试，把这个公式背过，

那没有任何问题，推一下可以吧啊，求知欲嘛，对吧啊，推一下。好，那么接下来过程当中，我们来一起来看看这个极坐标，极坐标这个东西的话，你发现就是这个人。啊，当然的话，这个东西你听不懂都没关系，不重要啊，理解一下就行，

这个东西是个几点，这是个几种？然后这里面当中有条曲线。那这个曲线的话，你发现我们就要进行求解，这条曲线的这个长度，那么接下来取弧微分，那么在这种当中，我们怎么办呢？我就这样取。我在c塔处取一个夹角为多少？夹角为DC塔的段，注意啊，这个夹角是多少？这个夹角是DC塔。

那么，在这种当中，我们来看看这个事情，你发现看这个边肯定可以看成直的。这个边是直的，跟圆弧边是没有什么差距的。为什么？因为这个夹角太小了。你这个夹角太小了，你这个边是直的，跟这个边是什么？跟这个边是个圆弧边，没有任何差距，然后接下来你看这条线的微圆长度就是弧微分。然后接下来过程当中，

你给我看看这个长度是多少？这个长度。原本这个长度是r。r上有一个v分，不就是dr吗？然后再来看这个半径是r。夹角是cdc它。那你告诉我这个边是多少？那这个边不就是rdc它吗？可以看成圆弧边。也可以看成直角边。这没问题l等于西塔r嘛，那么所以说在这里当中就建立了个三角形，三角形用下勾股定理，那就是r。

DC塔的平方，然后再加上dr的平方，然后这里面当中把这个DC塔的平方抽出来，抽出来就是r方。然后是r对theta求导的平方，这个结果把这一开出来了。一开就是r方，加上r对西塔求导的平方d西塔。能想清楚吗？啊，就这样推的。所以说你发现一个事情，这个胡微分呢，他就这样来，虽然我画的很大，

但是你要注意一个事情，那个夹角是非常微小的。那个夹角小到什么程度？小到趋向于零。你一定要注意这个事情，我们在学习这个什么非常微小的问题，好这个事情过去了可以吗？很简单，非常简单呃，你可以不会推，大家注意啊，你可以不会推我们的要求点是什么？你要想考试过程当中拿到分，你就把这个人记住就行。你就记住这三个胡微分。

你就把它记住就行。记住这三个人，你就能拿到考研过程当中那道题。所以操作性不难，你看直角坐标系下互为分，就等于根号下一，加上y对s求导的平方ds。参数方程是多少？就是根号下x对t求导的平方，加上y对t求导的平方dt。然后第三个事情的话，你就发现这个ds呢，就等于r方加上r对theta的求导的平方d theta。好，这是这个事情跟得上吗？

同学们基本点。好了，所以说在这种当中啊，这三个人一定要把它记住。所以同学们想胡微分有三种表达形式。对这个弧微分积分是不是就是弧长啊？所以说弧长就是对这个弧微分进行积分。你想想一个事情，这是个微圆长度，对这个微圆长度进行积个分。叠加起来不就是总的长度吗？所以在这种当中非常非常简单，大家好好跟我品一下第二个页面来看看吧，就有三种。计算性的方法，

这个页面贼简单。非常简单好，我们首先看第一个事情，这是个什么坐标系直角？不要打点，别打点，别打点非常简单，不要打点听就行了，好，我们先看第一个事情直角坐标。那这个直角坐标就告诉了什么y跟x之间的关系？所以同学们注意我们来看，要不然这样吧。嗯，我想想。

我带着你写一下吧，你会有感觉一点好不好？我带着你写一下吧。先看第一种。直角坐标。那你告诉我个事情，这个胡微分怎么写？来一起来看那这个弧长就是对弧微分进行积分来走，那这个弧长就等于多少就等于弧微分是？根号下一+y对x进行求导的平方dx。然后接下来过程当中，你看你的积分变量是x你的上下限就写x范围就行。好，这是我们讲的这个第一个事情跟得上吗？特别简单。

然后接下来过程当中，我们再来看第二事情极坐标。那么，极坐标下怎么做呢？来继续看。对弧微分进行积分就是弧长来再来写啊s，这个人等于多少写这人的弧微分弧微分是r方？加上r对theta求导的平方d theta。后面这个部分是theta上下线写theta的范围。简单吧，非常简单，然后再来看看第三个人，如果这条线给的是什么？给的是这个参数方程。那么，

接下来继续我们再来看看这个人的弧长等于多少呢？继续走。好，再看那这时候你发现这个s等于多少，就等于胡卫分根号下x对t求导的平方。加上y对t求导的平方，然后递t。那这时候你发现后面是t写t的范围。会了吗？同学们。你这有什么打点，别打点，赶紧给我取消了。这能听得懂吧，非常简单，

就是我记住胡微分就对这个胡微分进行积分就行。对这个胡微分进行积分，然后这个上下限写后面那个积分变量字母的不就行了吗？非常简单，但是这里面当中啊，有个信息点，大家听一下。什么信息点呢？大家想想我问你个事情，这个弧长肯定是正的吧？是不是弧长？是不是正的？那当然是正的呀，弧长是大于零。那肯定是正的，

如果你认为它是负的你，你停止学这个内容，你学这个内容，你发现个事情，你把常识都给丢了。它肯定是正的，然后同学们，你想想一个问题，这个被积分函数都是什么都是开方式正的吧？被积分函数都是开方式证的，所以告诉我个事情，这所有人的上下限是怎么写的？怎么写下限都比上限小？这个积分线必须写正的积分线。只有这个积分线是正的，

然后被积分数正的，它才是正的，所以大家注意啊，不要把这个积分线写反了，像这三种情况，它的下限。一律都会比上限小。这是你要注意的问题，听得懂我的意思吗？非常简单。所以你觉得这个板块知识点是不特别好学？为什么呢？你记住公式就有分，你不要背这三个公式，你背谁呢？

你背胡微分。你把弧微分的公式记住，然后你知道对弧微分进行积分就是弧长，然后它的下限比上限小，那这东西出来了，这特别简单。所以当初管而言呢，你想想一个事情，这种类型问题的题难不难？不是特别难。诶，这种题真不难，我给你看看往年的真题吧。二二年，嗯。

我们来看看这个题呃，当年二二零二二年就考过这个事情，我们来找找。诶，你来看这个题。二零二二年考研真题就考过这个题来操作一下这个题吧。注意，这是我们二零二二年的考研真题。这道题目那么接下来我们先讲，讲完了之后再说，那么同学们告诉我这题考什么？这题考弧长。那么，考弧长的话，你发现给的是什么坐标系？

给的是直角坐标系，直角坐标系对弧微分进行积分就行了，一+y对x求导的平方ds。然后再来写x范围零到四。所以接下来过程当中，你就直接操作就行，零到四，然后是根号下y对s求导，那这个求导的话，你看这是根三分之一。然后是x的二分之三次方。那所以说这个求导是多少？赶走向这个人进行去求导，那就是根三分之一。二分之三，

然后这是二分之一，二分之一就是这个人。那么所以说这个结果就变成多少变成了二分之根号，三根号s。那么所以说接下来过程当中，你看看这个人平方，这平方是多少平方？就是四分之三，然后这是xd x。这个分好做吗？相当的简单，那你想想这个事情，这是零到四这根号下多少？一加上四分之三s怎么做啊？同学们。

在这儿补个四分之三吧，那么前面就配个三分之四吧，然后这是x加上一吧，所以接下来过程当中我们记一下。二分之一，二分之三，三分之二，然后是一加上四分之三x，它的二分之三次方零到四。这个事情就出来了，所以接下来过程当中，这是九分之八，我们先看第一个人把四带进去，四带进去的话，你发现一个事情这东西就是三。

三加一是四，四开方是二，二的三次方是八，八减一，那这人就是七，所以说你发现七八五十六。所以说这题的正确答案选几选d。你说这题难不难？一点都不难。这题很简单吧，这题就是。送分题。送分题，但是有一个问题。但是有件事儿。

当年过程当中啊，这道题大量的同学做不出来。原因点在何处啊？原因点在没有学。没有学这个内容，它一直是按照数学三同学的大纲学的。数学三同学的大纲里面是不要求这个知识点的。不是说公式忘了，是从来没学。从来没有学过这个内容。因为什么情况呢？一直都是按照数学三同学大纲来。数学三同学的大纲是不要求求弧长，不要求去求旋转表面积的。所以说没有学，

学了之后这题就是送分，但是你发现没拿到分。这是当年过程当中的问题，然后二零二二年考完了之后，你发现更离谱，我来讲讲离谱到哪儿？二零二二年考完。那么，去年过程当中啊，在这个基础班的过程当中，有好多同学问我们的一个事情。说老师，我们三九六同学要不要进行去学数一专题当中的曲线曲面积分呢？我说你要学这个东西干嘛？那这东西肯定不考二重积分都不考学什么这个三重积分曲线曲面积分呐？

肯定不考，你知道为什么会有这种现象吗？因为你会发现一个事情，你在很多这种经验帖当中。很多的话，这里面当中非常不专业，他就说二零二二年就考了第一型曲线积分好家伙。我知道第一型曲线积分，第一型曲线积分的话就是对胡微分进行去积分，那这就叫第一型曲线积分。第一型曲线积分进行求弧长，但同学们注意，这不是考了第一型曲线积分。这是考了定积分应用后面的一个小知识点。所以你发现一个事情，

简直把很多同学给带坑里面了，好多同学开始复习二重积分，复习三重积分，复习第一形线，第一形面。好家伙，你还不如去考数一。所以在这里面当中一定要注意这个问题，你发现有些就很不专业，他就根本不了解这个问题。他一直感觉说哦，这个东西考了第一心曲线，哪是这样，这个东西的话，你发现是考什么东西啊？

考了定积分应用的这个板块内容。你不信去看今年过程当中仍然还有好多这个经验题，里面当中有这个部分，那不是胡来吗？我们要有这个时间的话，你发现我们这个部分有70分，这70分的话，我还要去把数一专题去考，那何必呢？好了呃，这个事情啊，我们就讲到这儿，所以大家注意啊，一定要听清楚这个问题。这个事儿我们就说到这儿，

那么接下来过程当中我们就继续再来看看下面一个问题点。四点三二这个问题。好，来看看这个人。所以你可以看出来，这一年过程当中啊的考题就给很多同学你发现，当头一棒远一点在何处呢？我们的大纲不等于数学三。一定要注意这个问题，我们的大纲不等于数学三。因为我们的大纲里面当中。其实是个很负不负责任的表现。对吧，非常不责呃，负责任的一个表现，

所以今年过程当中啊呃，其实不是那种经验题。是有些的话，这个这个有些的话，你发现你去你去那个考研的话，比如说那个B站了。或者那个什么这个呃小红书上面呢呃，或者有些的话，你发现那些没有没有考上研？或者说啊，刚考上研的，他就开始的话，这个进行去呃做一些这什么这个类型问题的辅导。所以你会发现一个事情问题点的话都变成这样了。所以我希望同学们注意啊，

你把这个部分的内容一定要切入我们的大纲过去来，那么接下来继续吧，我们再来看看下面一个问题。把这个点呢，我们来讲讲呃，所以说今年呃，我过两天过程当中刚好去那个呃，去高教室那边儿能不能建议一下？能不能把这个大纲写的详细一点？这大纲实在是太不详细了。所以说你们这过程当中，你发现一个事情，你摸不住头脑，你就摸不住这个东西，到底考什么？

所以对于我们而言呢，我们需要做的事情就是把大纲说的那些问题啊，一定要面面俱到。所以接下来过程当中啊，我们再来看看下面的问题啊，四点三二这个事情来继续吧，再看这个题。那这个题啊，我觉得是个非常好的一个题。非常好的题，所以说我把这个题啊放过来了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事情来解吧。那么，在这里面当中啊，

首先我们先看第一个问题来操作一下，求解这个人的什么弧长？那求解这个人弧长的话，你发现个事情来走。那就是对弧微分进行去积分就是弧长。弧微分进行积分就是弧长什么坐标系，直角坐标还是参数方程还是极坐标？啊，你觉得这个东西是一个什么坐标？直角坐标赶紧来，一+y对x进行求导平方ds。然后这个是一到一。好这个人，然后这项过程当中啊，你就带进去一到一根号下一加上，

然后这人求导一求导是多少二分之s，然后这是二s分之一的平方ds。这个题啊，太牛了。接下来过程当中，我把这个积分讲完，你简直会拍案叫绝。那这东西考什么呢？我给你算慢一点根号，下一加上四分之一x减去x分之一的平方ds。来看看这个人这东西考什么呢？考的这个人。这个东西叫什么？这个东西叫对勾函数。对勾函数。

这个对勾函数的平方是多少平方的话，你发现就是x方，加上x方分之一加个二。然后接下来过程当中，你再看这个人。那这人是多少x方，加上x方分之一，再减个二。是不是这个事情好了，注意一下啊，你看看这个问题，老头子特别会出题啊，出的真牛，那么在这种当中，我们来看看一个事情。

你发现这是一到一根号下，这是一加上四分之一，然后这是s方加上平方分之一减个二ds。你看出的特别好，特别好的点在哪呢？大家想想一个事情，你把这个四分之一提出来。我们都知道这两者之间刚好相差四，然后提出来第一个人是不四，这是不四四的话就是x方，加上x方分之一。四减二呢，这加二漂亮，那这个东西不就变成这个人了吗？出的真牛，

所以说这个人的话立即就变成多少四分之一x，加上x分之一的平方，相当精彩啊。绝了这题出的特别好。所以你就会发现一个事情，这两者的东西刚好在前面过程当中是四分之一，这两者东西啊，出的是刚刚好的。你所以你看多会出题呀？这题是不是非常棒？非常值得一做。就考了这个事情，这个对勾函数的话，你发现平方下两者之间刚好相差四。我再强调一遍，

你不要说我想不到你下次能不能想到？你下次不就会了吗？好，这是这个人，所以说你看开出来了。开出来了ds。所以说这个题啊，你发现我在这个选题的过程当中，这个题是非常重点的一个题。我就给你切过来了。你说接下来的分有什么难的，你接下来会记吗？这人会记吧。这人会急吧，你不会急，

下课来找我。不会击的话，这招重学。重新学，你得重学，你不要跟我说把这个题补了，那你的问题很大，你知道这个东西不会记，你得重学了。把这张出去，不从不定积分出去。好，这个事情我们就讲到这。所以你就会发现个事情，这个求弧长的题，

这题啊，非常非常好。所以今年过程当中，我希望同学们注意我们的大纲，我再强调一遍，我还是想说我们的大纲，因为这个部分的考点内容，如果你真学了，它不是特别难。就是最重要的一个问题点就是。我们很多部分内容没有学，没有学到它考了这个很亏的。这是非常亏的好，这个事情我们就讲到这儿呃，最近一段时间我要求咱们班三九六同学班级啊，

我们班级同学。必须要进行付款。你每天都要复盘。你要跟上我那个复盘计划，这是我对你们的要求。你们的时间呢，不是那么的紧张。就说老师，你怎么不紧张？我很紧张，我说这个四月份到六月份，中间我们是不是那么紧张？你要保证一个事情。我的基础班就是一个要求，我们讲义上的每个例题都要独立自主的能做出来。

这事情非常重要，我再强调一遍，就是我们讲义上的每道例题必须都要独立自主的做出来。能做到吗？就要这个要求，所以说这个讲义啊，来来回回的继续去翻，来来回回进行学，把它给我刷烂。这是基础班的要求好，那么这个事儿我们就讲到这儿。那么，接下来过程当中啊，我们就继续吧，我们再来看看最后一个事情。

你们不要这样。咱们都是一个班的同学，你就那么不关注我吗？你看这复盘在哪？复盘是什么？你这信息有点。你这信息有点不对称呐，对吧？啊，你这信息是不是有点不对称呢？那大家都知道，而且我在那个开始之前呢，我还给同学们进行开了一次直播去讲怎么进行复盘？你这个信息有点不对称呐，等啊。

好了，那么接下来这事儿我们就说到这儿，那么接下来过程当中我们就继续再来看看下面一个问题，旋转测表面积。啊，这个人这个内容。那么，接下来过程当中啊，我们就继续，我们再来看看旋转侧表面积。嗯。行吧，我把那个公众号也同步一份儿，可以吧？哎，

从明天开始的话，我们在那个公众号同步一份儿，你不想进行去呃，这个看那个微博也都行，你去看公众号也行。这个东西毕竟封闭一点，你每天用微信的话呃，我觉得也是比较容易点，行不行？他说那你微信是你微信公众号是多少？你别这样啊，对吧？你这你这一年过程当中，你在这个全程班学习，你对这个对我这边儿东西也太不关注了啊。

好了，这是这个来，我们接下来继续，我们再来看看下面一个问题，旋转侧表面积。那这个旋转侧表面积啊，那么接下来过程当中，我们来看看这个事情，这个内容应该是个冷门考点。冷门性考点，但是我们在这种当中啊，基础班还是把它加强一下好不好？但是你要会学。如果你去看讲义上那个公式特别特别的长，那就是不会学。

那么，在这本当中，我们一起来看看这个问题。来走那么将这个部分内容啊，首先我们先来看看这样的一个基本问题，首先第一件事儿，我们先画一个二维的迪卡坐标系。这是y轴，然后这是零。这是x那么在这种当中，我们来看看这条曲线。我画的突出一点。好这条曲线，然后接下来过程当中，我们考什么呢？

我们考这个事情。考这个问题。就是考这条线。然后围城的这个区。就这个区。绕着x轴旋转，一周旋转一周的话，你发现个事情就转出来，这个情况。诶，就这个东西。转出这个东西啊，以前过程当中我们考的是体积。但是现在我们只要求你把这个。侧表面积掌握清楚。

把这个表面积会求就行，能听懂我的意思吧，把这个表面积会求就行。那怎么去求表面积啊？那是不是使用威远法呀？所以在这种当中啊，我们就使用一下微元法，微元法在这种当中，我们一起来看看这个事情，我就怎么办？我就在x处。取一个长度为ds的段。对吧，就在x处取一个长度为ds的段，接下来有一件事情很重要，

但是这件事情你不用管。连数一，数二，数三同学，我们讲这个部分内容都不需要去管，你知道就行，因为那个推导特别特别的麻烦。那么，在这种当中，这条线能不能看成直的？能看成直的，但是不能看成平的。听懂我的意思吗？不能看成平的这条线叫做弧微分。那有些同学，

我估计你很想问我先提前给你回答了，他说老师为什么不能看着频道，你昨天过程当中讲旋转体体积怎么是平的？你现在怎么不能是平的呢？这件事情啊，推导非常麻烦，最终的这个结果的话，你发现是因为这个东西不再是那个人的高阶无穷小无所谓，你不用管。你就记住它是活位分就行。就这一个人非常特殊，你就把这东西给记住就行，推导非常的麻烦。哎，这个推导非常麻烦，

所以我希望同学们注意你把这个人知道就行，你就知道那条边是弧微分，不能看成平的。我说清楚吧，哎，注意一下这个事儿，不能看这边就上节课。啊呃，这个橙色啊幺a零六你改个ID吧。好不好？不能看成平的，只能看成互为分。记住这个事情就行，我再说一遍，这个考点是个冷门性考点。

所以在这种当中，最后得到什么情况，我们就转一下，一转的话，你发现你看就转出了这个人。然后在这种当中就赚出了这个结果。诶，转出了这个情况。那么，在这种当中，我们来标注出来，这是弧微分，然后在这种当中，你会发现一个事情，这个高度呢？

是x处的函数值，它就是y。是不这个事情我们要进行干嘛？我们要进行去求出这个部分面积。诶，这个面积。那这个面积等于多少呢？大家来算哎，你发现看这个面积，这个面积是不是等于长度？二派y因为这个东西非常的短，非常的小，你就算一个长度直接乘上这个长度就行，你听懂我的意思吧？周长再乘上这个横向的跨度ds，

就是这个面积。就是这个侧表面积，所以大家注意这里面当中啊，最重要的问题就是在这儿把这个东西要记住。这个内容是最重要的，我再强调一遍啊，你把这个公式记住，你听懂我的意思吗？记这个公式。但是你记住这个公式，你不如记住这个公式呃，你不用管那个两边长度，因为它特别的小。特别特别的小，你要基本上忽略这个人的这个长度，

他特别特别的小，特别特别小，就是周这个一周长度再乘上这个厚度就行。要注意这个问题呃，你在这个东西啊，你要想清楚。这个东西不是拼的。就是周长，然后再乘上这个厚度，你要注意那个东西是弧微分就行。听懂我的意思吗？那个东西是微分就行。怎么就转不出来呢？我再说一遍，这个长度你注意不是dx是弧微分就行。

记住这个内容，只要掌握清楚这个事儿。那就可以了。所以接下来过程当中啊，我们一起来看。你要记住这个公式。但是你记住这个公式，你不如记住这个人。你记住这个人，你不如记住这幅图，所以同学们，你把所有都记住就行了啊。能听懂吧，脑子里面当中有这个图哦，我知道哎，

那是胡微分转一圈儿二派yds。二派yds。能记住啊诶二派yds。所以说这个东西啊，就是个胡微分，跟得上我的意思吗？哎，你记最后一个人，你不如记记那个图，你记那个图，你不如记前面，你把它都记住。好了，同学们来，我们一起来看看，

非常的简单，告诉我个事情，你在屏幕前跟我转一下那个东西的。表面积微元是多少？是二派yds。二派yds那同学们想想那这种类型问题是不是可以考直角坐标，所以第一件事情如果考了直角坐标，你放心吧，我们考到直角坐标了不起了。真了不起了，看我们一起来写对这个人积分吧，走直角坐标的y是fx。弧微分是多少？是一+f对x求导的这个人的平方，然后dx。

能听清楚吗？你就是把什么东西呢？把这人给打开就行，把胡微分写成一+y对s求导的平方ds。因为这是x，所以说你发现上下限写谁的范围就写x范围。简单吧，所以不要背这个公式。记住这个部分的这个弧微分就行了。能理解吧，就记住上面这个部分的内容就可以了。所以我再强调一遍啊，你要注意一个事情，你要记住那个最后那个是表面积，记住它是弧微分就行，

非常非常简单。那倘若今年过程当中考参数方程呢？这个几率不大。基本上是没有几率的。那么，在这里面当中，我们一起来看再走，比如二派YY就是多少yt，把这人打开，打开就是s对t求导的平方。然后是y对t求导的平方dt，那这是t上下线写t的范围，阿尔法到贝塔。我再来说一遍，这个东西是个冷门性考点。

考的几率是不是特别大？但是它在大纲范围内稍微的了解一下。诶，知道这个问题就行。能想清楚吧，记住这个人。那这个东西的话就是二派yds。二派yds。这个内容学完了，我们的积分学就结束了，所以我觉得大家应该是比较开心的，这是最后一个知识点。这是我们微分学当中的最后一个知识点，也就是说那题做不了嘛，你放心，

不会考。不会考，如果考顶多考个直角坐标了不得了。再狠一点，顶多考到这儿那了不得了。这两个东西就可以了。所以在这种当中，一定要听清楚这个事情。你看这有同学说积分太恶心了。我要是你，我从来不会这样想。因为我觉得难的东西啊，好多同学都会觉得难，因为这是共性。这是共性。

只有这个东西难了，它才会有差距。所以在这里面当中啊，你一定要把这个东西学好，我们的考点的内容不是说特别多。所以希望同学们下去过程当中啊，最近一段时间好好复盘一遍两遍三遍，我相信这个东西也不会是有问题的。所以我再强调一遍，你下去过程当中，你得把这些东西啊，一定要好好进行操作。能听懂吧，你下去过程当中，尤其是跟着这个最近一段时间好好进行复盘，

我们的第一期复盘呢，我们会进行到这个五月多份。所以在这种当中，你发现一个事情，你觉得这个东西我是给谁写的呢？这里面当中每天部分的这个内容，我还得进行给你敲出来。所以在这里面当中都是跟着我们的课程体系在走，所以我希望同学们注意啊，好好进行复盘。那么，接下来过程当中，我们一起来看看下面一个问题来操作一下，这个题我先说一下，这道题拔高题。

拔高体。呃，在这里面当中啊，或者叫综合题。我为什么让你们进行去做这个题呢？因为你要注意。本题可以拆分成好几道选择题。拆分成。最起码三道。高质量的。选择题。所以在这里面当中，你要注意一个事情，我为什么让你做这个题呢？因为这个题的话，

你发现你把它给我拆分一下，你一拆分你就能看到好多个选择题的这个思维方式。所以我让同学们注意啊，你把这个东西啊，你好好做一做。我给你放到这上面的题啊，你一会儿做一下你就知道了，哎，这个水平点呢，还挺高，先来看看第一个事情。那么，在这种当中，他说给了这个人。它等于它。

给了这个人，他等于他，然后这个l等于这个曲线，那么同学们告诉我一个事情，第一件事情你不看别人。首先第一件事情，你能不能把这个fs给我求出来？能不能求出来？啊，同学们告诉我这个东西能不能把fs求出来？那当然可以呀。包装吗？诶，那这里面当中的内容就是什么甲对乙求导是丙丙对乙记分是甲，所以在这里面当中来严惩罚。

注意，这是本题的第一个片段。那么，在这种当中，这个部分就等于这个人对s求导的结果，所以说走这个东西，它就直接等于多少？它就等于三分之s，然后再减去个一。所以在这种当中直接出来了fs，这个人就等于多少三分之一，然后这一乘呢s的二分之三次方，然后再减去根号s。然后这个s呢，是大于等于四小于九。

好，这个结果。这是这个题当中的第一个片段，你想想一个事情，这个片段能不能出一个题啊？可以啊，所以我为什么放到这儿呢？那么第一件事情我们可以回顾一下不定积分的这个东西吧。能不能作为一个题？当然可以啊，我们原来做了好多不定积分的，这个定义的题不就涉及这个内容吗？就是甲对乙求导是丙丙对乙积分是甲，那这就是一个题啊。然后接下来过程当中，

我们再来看第二片段，你看这个曲线知道了吧？然后他说这条曲线的这个弧的长度是s。然后这个东西旋转一周的旋转侧表面积。旋转一周的表面积是a，让我们求这个人，那么同学们告诉我第二个片段就来了。求弧长。那么，在今年考研过程当中，我可以给你这个题啊，我怎么给呢？我在这里面当中，我说这个曲线是这个人。然后在这个条件，

我让去求这个长度，能不能作为一个题啊？这个题的话，你发现一个事情不就像这个题吗？能不能作为一个题啊？它不就是这样吗？你看我给你一个什么情况，我给你一个曲线，然后让我去求解这个人的长度，这不就是一个题吗？你看这又是一个题，所以大家注意啊，我们接下来继续来求一下这个弧长。怎么求啊？操作下。

弧长就等于。什么坐标系啊？直角坐标系吧，直角坐标系就是一+y对x进行求导的平方dx。好，这个部分。然后这里面当中s是从四到九。所以接下来过程当中，我们来看看这个四到九根号下一加上。那么，这里面当中，我们就直接代进去求导呗，一求导是多少？那这一约你看三分之一，这是二分之三，

然后二分之一。所以说这人一求导是多少？就是二分之一根号s，然后这人一求导呢二倍的根号x分之一平方ds。你要知道这个函数出题出的多么的好，多么的优秀啊，所以说你发现个事情，这题又考到了这个四分之一，同学们能不能想得到啊？啊，精彩吧，那这个题的话跟刚才那个题是不是很像？刚才是x加上x分之一，现在是根号x加上根号x分之一。所以接下来过程当中，

我们一起来看看这个事情走，你发现一个事情马上出来，那这人的话，这是一，然后这是四分之一。那这人平方呢？第一人平方是x，然后第二人平方呢？x分之一，第三人呢？减个二dx，所以说接下来过程当中，我们就继续来看你，就在这里面当中提一个多少？四分钟。

之一，然后就是x加上x分之一，你一提你看这是四二。那这个东西是不是又一次过程当中，你就写回去了？把第一个人写成根号x方，第二写成多少根号x分之一的平方，那就是根号x，加上根号x分之一的平方嘛。我相信你现在做这个题啊，应该不难。为什么呢？因为我们刚才做了一个题。要是没有做，刚才那个题啊，

我估计你听这个题的话，你会发现一种感觉怎么这么恶心，这也忒难了吧？这难度系数也太高了吧，但是你发现你现在的感觉怎么样？普普通通，为什么我有刚才那个题的铺垫？那刚才那个题我会做了，那这个题就会的。所以你看衔接度就上来了，所以说这里面当中这是四到九一开是二分之一，然后这人呢是根号s，加上这个人的分。不讲了行不行？然后这个积分会错吧？

这积分会错吧？一下就出来了。你看这个题。所以我觉得这个操作性的就关注点的一个问题，大家注意啊，就是第一遍的过程当中，我们学的这个东西的综合度高一点，我觉得是非常好的。然后到了第二遍的过程当中，我们再继续去学题型。所以你看这一问能不能出成一个题啊？能不能可以呀？这一问出成一个题，怎么了？所以在这里面当中，

这就是一个两分题。这也是个两分体。这两分题，然后接下来过程当中，我们就继续，我们再来看看第三问。第三问等于就是个预测点。好，再来看第三问。求什么东西呢？求旋转。侧表面积。侧面积那这个侧面积还记得吗？那这个人的面积等于多少？走那就是二派，

还记得吗？转转一周二派YY是fs。然后这个部分呢，是一+f对s求导的这个平方dx。所以说接下来过程当中，这个积分的结果呢，是四到九，所以说四到九二派，这个人是三分之一x的二分之三次方。减去这个人。然后后面这个人呢？后面这个结果等于多少？这个行还用不用算？不用算了，这个东西刚才算过了，

你刚才算的就是这个人，你看你刚才不就算了这个人吗？对吧，这个人等于多少呢？这人不就等于这个人吗？所以说这个结果等于多少就等于二分之一根号s，加上根号s分之一ds好了，同学们，咱们做这个题啊，停止到这儿就行了。不要再做了，那么这个题啊，我们做到这就可以了，那么接下来过程当中怎么办呢？你就把这个东西跟这个东西相乘一下就行，

别做了。哎，别做了，我让你进去去感受这个知识点，你能列式子就行。那至于后面这个东西计算就比较繁杂了，你先别管了。我们三九六同学完成到这个位置考研，出题人呐，已经不太讲武德了。所以你能做到这儿就可以了。大家想想，那么在这里面当中三件事情，你告诉我这个题能不能出啊？我不说别的，

就算这样的一个积分我都可以出成一个题。所以说这个题啊，不说是三道题，那么这个东西的话，你发现都能拆成四道高质量的选择题。第一问当中出一个，第二个人当中出一个，然后接下来过程当中这个式子又可以出一个相当的好，这个题你发现所以。虽然对于我们而言呢，可能你发现没有这样的大题不会出这样的大题，但是你想想一个事情，这个题做给我们有没有问题？没问题啊，我一道题的话，

你发现我把三四种类型问题我们都出了。能听懂我的意思吗？虽然我们考的是选择题啊，这个人。想清楚了吗？同学们诶，基本问题点。好了，那么接下来过程当中，我们就继续，我们再来看看下面一个问题点。再来看看下面的事。再看最后一个题。呃，最后一个题啊，

还是一道拔高题？哎，这道题啊，拔高题。所以在这里当中，我们来看看这个事情吧，八高题。那么，在这种当中，我们来看看这样的个基本问题。首先，第一件事情。你先来操作一下这个星形线。这个星形线你你知道怎么画吧？你还记得吗？

你不要说不记得了，这个星形线先画圆吧。还记得吗？星形线先画圆，这我们上节课才讲的，先画出圆圆的话，你发现一个事情缩短就行，然后这个半径是多少a？负AA负a，然后你看你缩短就行，你缩短就行，然后你发现你看你缩短就行。缩短就行，好这个人。所以在这种当中啊，

这是y，然后这是x。就变成这个人。然后接下来过程当中啊，我们就继续看。我们再来看看下面一个事情。那么，对于这个部分的问题啊啊，这是y。那么，在这种当中，它旋转一周。我问你个事情啊。这个人旋转一周。其实你会发现，

只等价于这个人旋转一周有没有问题？是不是其实你发现一个事情只等价于这个人旋转一周？对不对？同学们能理解吗？为什么你上下旋转一周重合了呀？你上面这人转一周跟下面转一周重合了吗？就相当于这个人转一周。而且你发现一个事情，这个人赚一周，其实就是这个人赚一周的2倍。那么，在这种当中，我们就算什么，我们就算这个绿色的2倍。我就算这个人就行。

那么，在这种当中，我讲一下这个t这个t是什么意思？这个t就是夹角。那你回答我一个事情，这个绿色线的t的夹角是多少？这个t是夹角。与x轴正方向的夹角告诉我，这个t的夹角是多少？啊，多少零到多少二分之派？这个夹角就是零到二分之派。跟得上我的意思吗？因为在第一象限嘛，第一象限与x轴的夹角，

这是0度，然后这是多少四分之派？啊不不是四分之二二分之派。你错。你是不是学东西有点错位了，这不是双扭线。双扭线是扭了个八，这是八吗？啊这。这能是45度吗？你告诉我个事情，这这这东西能是45度。这这这，你都看不出来，你你不要去猜我会怎么想，

咱们能不能尊重科学行不行？有些同学学东西，他一直在猜。哎呀，周老师说这句话是什么意思？朱老师讲这个东西，他想说什么，你猜我干嘛呀？你要尊重科学，听懂吗？你这个东西的话，你发现你能是45度吗？你能不能尊重科学？你看着图说话，你不要看着我说话。

好，这是这个事情。所以在这里面当中啊，你发现一个事情来继续，我们再来看来解。走这个表面积继续来啊s就等于走是二派y。然后接下来过程当中就是多少x对t求导的平方y，对t求导的平方dt。是不是啊？这是这个人二派yds，然后这个t呢？零到二分之派我再说一遍。这个t为什么东西呢？与x轴正方向的夹角。正向的夹角。

那么这个东西啊，你就从小写到大就行，零到二分之派。那么，接下来过程当中，我们一起来看来走吧，零到二分之派把y带进去a倍的sint的三次方。然后接下来过程当中，我们再来看这个人这个题啊，你会发现一个事情非常非常棒。哪个夹角怎么画呀？你告诉我个事情，这个点的夹角是多少？这不是0度吗？这个这个这个这个。

啊，那上节课的话，学那个东西。学那个极坐标的话，你发现个事情。那不是在这里面当中，你发现白学了啊。我们再说一遍。你要看这个线的，这个夹角。不要看这个人，就看这个线的夹角。这个的话，你发现看0度吧，走走走二分之派嘛。

那个45度也讲讲，哪有45度啊？唉，迟早有一天过程当中啊，你会发现能气死在课堂上。哪有45度。好了，这是这个事情，来继续吧，再来看。所以在这里面当中啊，你发现一个事情，那这里面当中，其实你发现就是二倍。对吧，

二倍的这个第一象限那么，所以说在这种当中，我们一起来看看，把这个东西算一下，走向这东西的话，就是根号下。那根号下的话，你发现一个事情x对t求导来走吧x对t求导是多少三倍的a，然后是cosine t的平方。然后这人再求导是多少负的，这个sint跟得上吗？同学们不要嫌麻烦，慢慢算一下，然后接下来过程当中是。三倍的as int的平方cost dt。

这种大运算量的题啊，你得喜欢算好了，同学们看懂了给我回复一，我没有干嘛，我啥都没干，我就替进去，我把这个y替进去。你要对t进行求导，我求了一下，你要对t求导，求了一下，我什么都没干，能理解吧？好，这是这个事情，

接下来干嘛化简就行。走那这个东西的话，你发现是四派a0到二分之派，然后这是sint的三次方。然后接下来过程当中，我们来看看这个人。这人的话，你发现是九倍的a的平方，然后是cosine t的四次方si nine t的平方，然后接下来过程当中，你继续你发现。九倍的a方sint的四次方cost的平方dt能不能看懂？我啥都没干，我什么都没干。我把他提出去了，

我把这东西平方了下，我啥都没干啊，然后接下来过程当中继续四派a，然后是零到二分之派。sint的三次方，然后同学们，你想我在这里面当中提一个人，我把这个9a方，还有这里面当中的sint方。还有这个cost方提出来行不行？可不可以我没干，我啥都没干，我提出来了，我提出来之后的话，你发现留下了个cos方，

又加上了个sint的平方。是不这个事情，这是几呀？这不是一吗？那这相当的完美，它就是一啊，所以说这就是零到二分之派sint的三次方。那么所以说在这里面当中，你发现你看我开了个方，然后一开这是3a，然后是零到二分之派，我一开始这个结果。好同学们，我啥都没干。因为这个东西等于一，

我开了个方。能想清楚吧，好了，那么接下来过程当中移出去12派a的平方零到二分之派，然后是sint的四次方。cost dt.好，这是这个事情，能听到吧？我也没有干，我就把它移移出去，我把它整理了一下。那么，接下来过程当中怎么做？不是点火点不着，

没有火。你要注意一个事情，心里一把火。哎，没有火啊，把这东西一凑一凑的话，你就发现12派a的平方，一凑的话，你就发现五分之一三。sint的五次方零和二分之派带进去，所以说这个结果等于五分之十二派a方。二分之派带进去是一零带去零，所以说这个结果立即出来了。能听懂我的意思吗？所以说这个东西啊，

一定要掌握清楚。能学会吗？要记住这个问题。所以对于这个题而言的话，你发现我们在这种当中啊，你发现就拔高了一下。你你你别这样啊。你这干嘛呢？呃，为什么是四不是八？你咋这样呢？我问你个事情。我这个圆绕着这个人转一周，它的表面积是多少？也就说上面转一圈，

面积是一倍，这人再转一圈也是一倍什么啊？是吗啊，不是的吧。别这样啊，你千万别这样，我是让你去求这个人转一周会有一个表面，我要算这个表面积，你这转一圈儿跟这个人转一圈儿有什么区别？能想清楚吧，别这样啊，千万别这样。好了，这是这个题啊，这个题是一道拔高题啊，

基础的拔高题。所以大家想想一个事情，其实你发现这个题难不难？它没有那么难。别看写了这么长。写了这么多，但是这个题的难度系数说实话不大，为什么呢？因为你会发现一个事情，它套的就是。二派y。然后是ds。二派yds把那个ds写成根号下x对t求导的平方y对t求导的平方dt。就是脑子里面当中有那幅图了。脑子里面当中有那个微圆，

有了那个微圆了之后，我就知道它是二派yds，我才不会背这两个公式呢。谁被这两个公式啊？谁就傻了？你不要给我背这两个公式，谁背谁就傻了，这么长，难道每天早上朗读啊哦，这个直角坐标是二派fs根号下一+f对s求导平方ds？然后这是阿尔法到贝塔阿二派这个yt根号下s对t求导平方y对t求导平方dt，你学的是数学吗？不要这样，所以你一般看到的参考书只有这个公式。只有这个公式，

但是同学们注意一个问题，这里面当中的核心重点是上面这个内容，一定要把它理解了。你理解了之后的话，这个东西就很简单，好了，这个板块儿我们就讲到这儿。行吧，同学们，那么基本问题过去了，可以吗？就是这个板块的基本内容了。好了，这是这个基本问题吧。呃，

这有同学说侧表面是直一侧吗？嗯，下去再想想好吧，好这个基本问题，我们就说到这。那么，优化过程当中。不是所有，请问这个参数方程的t为90？具体题具体看行不行？啊，你怎么怎么都这样了？你把这个语文不是你把这个数学学成了语文了？你怎么能这样呢啊？我再说一遍，

你看。这个是那个双扭线。你要具体提具体分析，你在这里面当中的话，你看你看这条线。这条线的话，你发现你去看看吧，你首先来看看这条线，这个点这一点连接起来，这是0度走走走，我们说不会超过这条线，这是y=s。所以说这最大是45度。你要具体提具体看，难道每个题的这个t都是90度吗？

不是这样啊，你看这同学又来了诶，我讲不了了，我讲不了了，行吧诶，你真得上去。好来让你上去。这上课都是怎么听课的，对吧？我一个问题，我讲了好多好多遍了，你又来了。好了，这是这个事情吧，我们不想讲了，

我刚才已经说了好多好多遍了。你这样理解怎么行呢啊？好了，这是这个问题啊，我们就说到这儿，那么这个基本问题啊，我们就讲到这儿好，这是一个基本点，那么一会儿过程当中，我们会来进行去讲一节课程。那么，这节课程呢？呃，大家好好进行去听就行了，那么这个板块的东西啊，

我没有放到讲义上。哎，没有放到讲义上，但是这个部分内容也在大纲的范围内，所以一会儿过程当中，我会重点来讲讲这个中值定理的问题。那么，在这个中职经理的这个讲解部分当中啊，我们来说一下我会怎么讲？你们要达到什么要求？所以接下来过程当中，我们一起来看看这样的一个基本问题。诶，就说。三九六本节。

的课程要求。哎，要求。那么，这块的要求啊，大家听好了，我在这个板块当中的精讲的部分内容。对于你们而言呢，等会儿这上面有一个中括号了，我就不要用中括号了，不然太丑了。稍等一下，我换一个。那么，在这个部分的内容，

我们来说一下这个事情。哪个我不是要讲吗？你是我在上课过程当中，我说话是说的不准确，还是我们永远的话，你发现个事情。没法在同一个场，我不是要讲吗？那我在这干嘛呀啊？哎呀，这个你说的这你不能这么可爱对吧啊？好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这里面当中的第一个事情。诶，

我说一下，第一个要求大家注意，不需要。需要做证明题。那么，在这里面当中啊，大家注意一个事情，这里面当中的定理啊，不需要做证明题。第二，事情不需要证明定理。不需要证明定理。只需要知道定义。内容即可。听懂我的意思吗？

你在这里面当中啊，你只需要做到一个事情。第12不需要进行去做证明题。证明题不用做，我们不需要进行去做什么东西啊？这个构造函数我们也不可能做，因为这里面当中微分方，这个微分方程我们不学，没法构造。这是一个事情，所以对我们而言，你第一件事情你不需要会做证明的题。然后第二件事情，每个部分的这个定理啊，不需要证明。

你听懂我的意思吗？每个部分的这个定理不需要证明。不用证明你，比如说举个例子，我一会儿过程当中我讲什么b圈连续函数性质？或者讲七分中值定理。这个积分终值定理，为什么是这样？不需要证明不用证，你只要知道这个内容，你会用就行，所以我们在这里呢，不需要证明定理。只需要怎么办？会啊，

知道定理。知道定理内容即可，然后会用就行，这就是我们在这里面当中的基本要求点，所以我们啊，在这一节过程当中的要求是非常低的。为什么呢？因为我害怕考一种类型问题。你比如说举个例子，他这个他把定理当中的一个条件改了，他说下列当中正确的是。所以像那种题啊，往年当中啊，数一数二数三同学在九几年的这个真题当中是出过的，而这类真题呢，

我觉得是有可能出给我们的。所以这些部分内容学轻松一点，然后第三个事情。用定理。是重点。尤其是两个人，一个是积分充值。一个是拉格朗日。哎，注意啊，这两个定理那么像这两个定理呢，我们希望同学们要会用。几分钟之内你会用。对吧，我会用积分终止定理，

我会用拉格朗日终止定理，因为这个部分东西啊，进行去处理，有些题啊，非常非常简单。那么，在正式讲之前呢？我希望跟同学们去讲一下怎么去学定理。定理这个东西说明的是它已经被证明了。所以我们只需要学习定理的内容。学习地理什么内容呢？学习地理的条件和结论。当他拥有这个条件的时候，他一定会有拥拥有这个结论。说不要在那纠结，

比如说一会儿我们讲，我们说闭圈连续开圈，可导端点值相等，中间一定会有个导函数值等于零。有同学说，为什么？我们又不用证明，你只需要把这东西给记住就行。对吧，把这东西记住就行，你就知道当他满足这三个条内容的时候，他一定会拥有这个结论，能听懂我的意思吗？有些东西就不会学学这个定理。定理就是有了这个条件，

一定会拥有这个结论好，我有点啰嗦了，行吧，那么接下来过程当中，我们就正式开始吧。那么，在这种当中，我们来说一下，我们会学哪些部分的内容？好，那么接下来过程当中，我们来看看。考点内容。那么，在这个板块的考点内容当中啊。

考点内容。总共在这里面当中啊，有三个板块知识点。第一事情叫做B区间连续函数的四个性质。第一个事情B区间连续函数的性质。这是一个重点，然后第二事情我们还有一个问题。就是积分中之零。然后接下来过程当中，我们再看第三个事情，微分钟之定。啊，就这个内容，所以大家注意啊呃，这节部分的内容是很多，

这个数一数二数三同学。简直是。呃，你发现学这张部分那种简直非常害怕，学的非常痛苦。但是其实你发现数一数二数三同学听到这个板块，我们讲那些东西也能处理的很好，不就是一个构造方法吗？但是大家注意，对于我们而言是非常开心的。你们会学的非常非常轻松，所以一会儿过程当中，我们只需要把这些定点重点的内容我们进行过一遍就行。掌握住重点，一会儿哪块儿是重点，

我会重点提听懂我的意思吗？哪些东西需要进行去用，你把它进行去重点进行用就行，特别简单。所以在这里面当中，一会儿过程当中，我一会儿就讲完了。你轻松一点行吧，哎，开心一点，轻松一点好了，同学们行吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续吧。会用就行，

先了解一下这一章，部分内容对我们的考试的要求好，同学们稍微休息会儿，一会儿我们继续。

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24.中值定理基本内容通关-1

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