23.定积分应用（2）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:46:09

那我们继续吧，我们再来看看这个旋转体体积部分呃，这个部分内容啊，非常的重要，所以说希望拿出这个最好的状态，然后来听这个部分。你们现在状态怎么样？还可以是吧？好，拿出你最好的状态，听这个板块内容这个事情，今年考研肯定会有出题的，那么接下来过程当中啊，我们一起来看看旋转体体积。那么，

在这种当中啊，我们简单讲讲什么东西叫旋转梯体积呢？那么，在这种当中，有两种情况，一种情况是x轴，一种情况是y轴。所以说，首先我们第一个事情，我们先来看看x轴旋转这个事情。你要注意一个问题啊。我觉得学习这个东西的第一遍是非常重要的。你有可能今天过程当中，你感觉很困，对吧？

你有可能感觉你状态不是特别好，然后你接接下来的话，你发现这个内容你学的不太好。然后接下来会导致一个什么事情呢？就是每当你进去去学习这个板块内容的时候，复盘到这个板块内容的时候。你总会有一种错觉，我这个内容学的不好。哎，我这个东西学的不是特别好。你发现是不是会有这种感觉？就是你发现你学习一个东西的第一遍的时候，那个那个感觉很重要。就有些同学，比如说我们学习这个呃定积分的这一章，

你学习第一遍的时候的话，你发现哎，很简单。我觉得还可以，那么将来过程当中啊，很多同学这种感觉就非常喜欢做这块的题，那么将来就会导致这个板块的内容学的非常好。但是你发现一个事情，你这个板块如果第一次过程当中，你学的不好。你将来过程当中，你老是感觉说哎呀，这里面当中出现问题，就算你复盘了好些遍，然后你还是在复习到这个板块的时候，

你总感觉会有些问题。所以同学们注意啊，好好来这个板块内容特别重要，认真听这个部分内容啊，非常的简单，不是说那么难。那么，接下来过程当中，我们一起来看看第一个事情，绕x轴旋转一周的旋转体体积怎么操作？那么，首先第一件事情，我们先来画一个二维的迪卡坐标系。好，我们先来看看这个人。

那么，这个东西是什么情况呢？那么，在这本当中，我们来瞅一下这个事情，比如说我画条线。好，这是a点，然后这个东西是b点。那么，这条线呢？fs曲线。我们说这个东西啊，绕着x轴旋转，一周的旋转体体积。

他会转出个什么情报？你发现一个事情，它是不是应该转出来这个情况？对吧，就赚出了这个东西。你想想吧，哎，这条线旋转一周啊。对吧，绕这个东西转一周啊，转出这个东西，那这个体积怎么算？啊，我怎么去算这个体积啊？那这个体积你你发现一个事情，

这个边呢，它是弯弯曲曲的。用初等数学的方法是没法算的，你算不了的。那这件事情怎么办？没关系，我有微元法，我有高等数学的操作。那么，这件事情大家好好听啊，我来给你讲讲原理。那虽然这个东西不会做，但是我可以怎么办？我可以把这个东西切切切。你看我切成很多份。

我切成很多份的话，同学们，我先让第一个人。转一周可以吧？我再让第二个人转一周，我再让第三个人转一周，第四个人转一周，第五个人转一周，每个人都转一周，每个人都转一周，每个人都转一周。加起来是不是总的体积？哎，你想想一个事情，不就是这个情况吗？

每个人都转一周，每个人都转一周，加起来不就是总的体积吗？只要你分的足够的多，这个东西就足够的精确。是不是这个事情当你分的无限的大，那这个东西就是的了。所以接下来过程当中，我们怎么办？我就在这里面当中取出一个具有代表性的人。那这个代表性的这个人叫什么呢？这个代表性的这个人呢？就叫做一个微员。哎，它就叫做一个微元，

所以在这种当中还记得微元法吗？我们在什么在x处？取一个什么东西啊，取一个长度为des的这个端诶，这一段就叫做v圆。好，这是这个事情。呃，你如果还有这种想法，我觉得这个定积分呐，听了这么久跟没有听是一样啊。无限的这个误差累加不会是无穷大吗？啊，好了，这是这个事情吧，

我们就说到这，所以说你就会发现一个事，它就是这样的一个情况，对吧？我越分越分，越分越多。同学们，想想一个事情，大家所梦想这个底端长度非常的小。我能不能把上面这个边近似看成平的呀？能不能如果分的足够的大，那这个时候的话，你发现底端长度足够的小，能不能把上面看成平的？可以的，

那我就让这个平的这个东西旋转一周。对吧，旋转一周，我们让这个东西进行旋转一周的话，你发现会转出一个什么情况呢？它会转出来一个这个情况。哎，转出了这个人。是不是这个人这个东西是什么？这是个圆饼。哎，大家注意啊，我们就会转出来一个模型，这个模型叫做圆饼模型。啊，

圆饼模型就转出来一个圆饼啊，就是一个饼。我为什么说是饼，不说是台呢？因为很简单，因为你发现一个事情，这个厚度呢，非常的薄。这个厚度是多少呢？这个厚度是ds非常非常的小。然后接下来过程当中，我们再来看看这个底边半径。这个半径是多少呢？我们再来抽这个半径不就是x处的函数值吗？所以在这种当中的话，

你就发现这就是fx。大家说我画的是立体的。那你告诉我个事情，这个微原体的体积是多少？哎d为微原体的体积是多少？非常简单啊，就是底面积。乘以个好，这就是这个微原体的体积，然后接下来过程当中，大家想我们这里面当中有多少个有一个有两个有三个有四个有五个有六个有七个。要把他所有人累加起来，无现象累加是什么？无现象累加就是积分，就从a累加到b。

把这东西一击，它就出来了。能说不清楚吗？你看这个事情，你将来这个公式啊，你挥之不去。很多说老师，我将来过程当中，我总是遗忘这个公式，不可能。你要是上课过程当中认真听了，你把这个东西啊，这个公式就忘不了，那这个公式非常简单，那多少呢呃派？

这个平方底面积再乘上厚度，因为我脑子里面有个丙。对吧，脑子里面是有个丙的。你画一下，你在脑子画一个饼，你画个饼的话，你看派它的平方底面积乘上高，然后再从a到b一个累加就出来了。好这个人哎，基本点啊，第一个事情。然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，绕着y轴旋转一周，

你好好听啊，第二个人更重要，特别的重要。哎，第二个人。那么，在这个当中，我们继续画一个二维的迪卡坐标，系我们再来乘。好，继续来看。这是y，这是零，这是s。然后在这里面当中啊，

它是这样的情况。好，这里面当中有条线，这个点是a点，然后这里面当中这个点是个b点。然后在这种当中啊，这是个fs。我们接下来干嘛呢？我就让这个人。绕着谁呀？绕着y轴旋转一周。啊，注意啊，我要绕着y轴旋转一周。让y轴旋转一周怎么做呢？

你发现一个事情，这个东西应该转出个什么情况？它应该转出了这个情况。哎，你发现一个事情，它大致的话，它就转出来一个这个情况。啊啊，就这个啊，能理解吧，你看。这一转的话就转出了这个情况。那这个体系怎么做？大的剪小的。对吧，

大的把小的一减，但是你发现一个事情，你大的减小的这个大的怎么算呀？你说这个里面这个东西你会算，那这个大的怎么算？你里面这个东西是弯弯曲曲的呀，你怎么算？倒点水。你有点秀对吧？你倒点水试出来了，你别乱来啊，所以说这个时候初等数学的方法又做不了了。那么所以说在这里面当中，我们就得换高等数学的方式，然后来处理了，

那么这件事情特别有意思，你好好听哦。极其有意思，这个比刚才那个东西啊，有意思多了，那么在这种当中，我们来继续看。虽说这个东西不会做，但是我可以怎么办？我就把这个东西切。哎，五九七。切切切成无数多分。切成无数多份同学们，想想那么我让第一个人。

转一周，我让第二个人。转一周，我让第三个人转一周对吧？我让每个人都转，我跟你讲一个事情啊，你不要说这个抽象，这还抽象啊。这丝毫不需要空间想象能力。啊，我都把刚才那个部分的例题都给你画出来了，我就害怕你想不到我都把例题给你画出来了。它不需要你拥有一点这个空降想象能力，不要乱来啊。那么，

在这种当中，你看第一个人转一周。哎，能听懂我的意思吗？你看第一个人就是你在这里面当中，比如说举个例子，你找一个这个条，你转一周对吧？第二人转一周。第三个人转一轴，第四个人转一轴，你让每个人都转一轴。这个东西像什么呢？这个人转一周像什么呃，他像卷纸。

大家注意啊，它像全职，我搜一下。卷尺。哎，特别形象。它就像这个卷纸，你听好了，你看其实你要注意一个事情。这个厚度，这个每一个厚度啊，它跟一张纸的厚度是差不多的。你能听懂我的意思吗？就是你不要小看这个厚度，很多人说啊，

那这个厚度有啊，大家注意就是这个东西的厚度，它跟一张纸的厚度是一样的。哎，它跟一张纸的厚度是差不多的。就非常非常薄，有可能比纸的这个厚度还要薄。职业有厚度啊，你再薄的职业有厚度，非常非常薄，来你走一圈，你走一圈，走一圈，走一圈，走一圈，

最后是不是这个体积？特别简单，能想清楚吧，它非常有意思，你看你走一圈，你走一圈，走一圈，走一圈，走一圈，走一圈，你最后的话，你发现不就是这个体积吗？所以这个方法也叫助可法啊，你不用管了，理解清楚就行，

所以在这种当中我们怎么办？我就取一个v元。来一起来一下，取一个v元。我就在这个x处取一个，什么情况呢？取一个这个。哎，我就在这个x处。取一个厚度为ds的v圆。啊，娶个这个人。所以在这种当中啊，你就会发现一个事情啊，我取个这个v圆，

我取个这个v圆，因为底端长度非常的小，近似可以把上面这个边看成平的。然后就取出了这样的一个条。对吧，取出这个人，所以你看取出这个条了之后的话，你让这个人旋转一周，你会做吗？这个人旋转一周会转出个什么情况，我来给你看一下，这非常简单，他转一周你好好听啊，就这个人。它旋转一周。

好让这个人。旋转一周。旋转一周。是不是就转出了这个情况？你发现他不就是这个人吗？哎，你看这个东西的话，旋转一周，这个东西就出来了。所以说在这里面当中啊，马上这个东西就出来哎，就这个结果。就这个点，所以你会发现一个事情，这就是上面那个红色的条。

对吧，这就是那个红色的条。红色条就是这个人。哎，这个红色条的话，你发现旋转一周就是这个情况，对吧？我转一周就是这个人。能理解吧哎，就这个条，你转一周不就是这个人吗？所以接下来过程当中，我们一起来看看上面的一些已知量，那么首先第一个事情，你看从这个点那这个点移植到这个点之间的距离是多少？

到这个点之间的距离。单位项那到这个点之间的距离啊，刚好是x。对吧，到这个人的之间距离就是s，然后接下来过程当中，你再来看看这个，这个长度呢，那这个长度刚好是ds。然后接下来过程当中，看这个高度呢，这高度刚好是fx。对吧，就是这个情况，但是这里面当中啊，

有一个事情我先讲讲，大家好好听一下。诶，你把这个底边那这个体积应该是底边面积。再乘上高度。对吧，底边面积乘上高度。哎呀，这对应下来你都看不出来吗？你发现小幼儿园都不这样教，对吧啊？啊，你这都你这都对不下来吗？我都没有给你画到这儿。我是给你画到这儿。

啊，你能对得过来吗？来你看看。好了，这是这个事情，所以接下来过程当中，我们再来看看，来瞅一下这个底面。那这个底边的话，你发现一个事情，那个底边是一个什么是个圆环吧？那底边这个圆环的话，同学们，我把这个圆环画出来，好注意一下底边圆环底边的圆环的话，

你看这有一个圆。然后接下来过程当中，我们再来一下，你看又来了个圆。好同学们，你注意一下这个事情，这个内容。就是这个部分。噢，这个部分就这个底面积部分就这个部分。这个部分呢？其实你发现就这个部分哎，能对应过来吧，就这个人那么接下来告诉我一个事情，请问。

这个人的半径是多少？这人的半径是x吧。哎，这个半径是x。然后接下来过程当中，我们再来看这个厚度是多少，这个厚度是ds。那大家想想一个事情，这个厚度小不小？小啊，太小了，这个厚度是趋向于零的。这厚度太小了。基本上就没有互动。所以同学们注意这个事情，

这个东西叫什么？这叫薄壁的空心，你要注意这个词，它是薄壁的。哎，必须是薄壁的空心图。哎，保密。这个壁是非常非常的薄，相当的薄。对吧，非常薄，那大家想想一个事情，你好好琢磨一个问题啊。你这个东西的厚度非常非常的小。

那同学们想想里面这个东西的环是不跟外面这个环挨得非常的近呐？你想想是不是里面这个人的长度跟外面这个人长度是不是基本上挨到一起了？你挨到一起，如果同学们你想想你在这里面当中用个剪刀，你咔嚓的一剪。一减的话，你发现一个事情，这个东西是不是可以拉长了？对吧，因为你太薄了，你太薄了的话，你发现一个事情，你就可以把这个东西拉长了。哎，你一减的话，

你发现一拉就长了。你拉长了之后的话，你发现你看这个部分的这个面积不就是你上面这面积吗？为什么呢？因为它太薄了。这厚度是ds，就说外面那个长度跟里面长度基本上是一样的，那同学们想这个长度是多少？这长度是二派x。对吧，所以接下来过程当中，我们就可以算了，请问这个微原体的体积是多少？就这个体积啊，这个体积的底面积是多少？

底面积是周长乘上厚度。然后再乘上这个高度，就是这个体积啊，这是微圆体的体积，那么总的体积呢？总的体积一定要从a点。积到b点上，所以说这个vy啊，就是从a到b，然后这是二派s啊，这个东西啊，交换一下就行，把这个积分变量写到后面就行。好，这个内容立即出来了，

跟得上我的意思吗？所以说你发现这种算法的话，就不要用大圆减小圆，不信你试一下。大圆钱，小圆不好算的。不要用大圆减小圆就是一周的，这个周长再乘上这个厚度，那就二派s再乘上厚度，那就是底面积底面积再乘上高就出来了。好了，这就是我们在这里当中啊，介绍的两种模型。对吧，两种模型就出来了，

所以我相信同学们注意今年过程当中啊，你在考研当中这种题啊，你把它做错了，有点对不起人。因为它非常非常的简单。啊，相当的简单，我相信这里面当中啊，你应该是听懂了。那么，接下来过程当中，我来问你一个事情，那请问同学们这两个公式要不要记呀？要不要背啊？啊，

要不要背？当然要背了。哎，要被一个。那么所以说在嗯。啊，行吧，你要没听懂的话，你下去再看看吧，我觉得已经没法再细致了，这两个公式要不要记啊？要记因为我们考研过程当中啊，基本上都是这个公式。但是同学们注意啊，这两个公式啊，

脑子一转就出来了。啊，一转就出来了。为什么？因为在这种当中啊，你的大脑当中啊，要有模型。一定要有这两种模型，一会儿过程当中我会讲的非常简单，那么在这种当中我们先看第一件事情。如果绕着x轴转，你发现一个事情就是这个东西。对吧哎，就这个东西，所以在这种当中的话，

你发现一个事情就是那个丙那个丙的话，你发现非常简单，就是派fx方。再乘上这个厚度ds，再从a积到b好这个人。然后接下来过程当中，我们再继续哦，再来看诶，然后接下来看看那个薄壁的空心筒。那个空心筒的底面积怎么算呢？底面积的话就是二派s是周长。然后再乘上这个厚度，就是它的底面积，底面积再乘上高，从a积到b就是这个人的体积非常的简单哦。

这个内容能掌握清楚吗？基本信息点哎，这个东西的话，你发现一转就出来了。能学会吗？好注意，如果x轴转a有个丙派倍的fx方ds，如果的话y轴转的话，你发现有个空心筒二派s是周长乘上厚度，再乘上高度。就出来了啊，非常简单哦，这个内容。然后另外事情，你像我们的考题，

所以对于三九六同学一定要注意一个事情，你将来过程当中，你还会见到形形色色求这种类型问题的方法。呃，求这种东西的方法，比如说古瓦尔经定理。比如说二重积分的方法，但是同学们你都不用看，为什么我们就不考二重积分？你一看的话哦，还有方法二重积分，那是数一数二数三同学学的。我们都不考二重积分，难道你为了这个东西去学一下二重积分吗？那也行。

所以说在这里面当中啊，大家注意这两种模型，脑子一转就出来了，都不需要掌握住那些方法哎，所以说你要注意我们的大纲。好，这个基本点过去了，来那么接下来我们来看几个题吧，先来看看这个题目。好，先来看看这个题。那么，在这个题目当中啊，我们一起来看看这个事。你专业课考二重积分。

你专业课考二重积分，也不需要学。啊，也不用学那么在这种当中，你掌握住这个方法就行，如果你专业课需要掌握那种方法，你去学一下啊，好了，那么接下来过程当中啊，我们一起来看看四点二九这个题。那么，在这种当中啊，首先第一件事情先画出这个人图吧，好先来看看这个人的躯，一起来操作一下。

那这人是y轴，然后这是零这是s。那么，在这种当中啊，你会发现一个事情，它说y=a倍的s in a是大于零，那就是这条线，然后是零到二分之派，那就是这个区域啊。好这个人，所以在这种当中啊，区域就出来了。就这个区，然后接下来你发现哎y=0是x轴嘛s=2分之派是这条线嘛，围成的平面区。

所以说这里面当中说了一长串就是画了这个图。对吧，把图形画出来，然后接下来过程当中马上来了，他说v1和v2分别表示这个地区。好注意啊，这个地区绕着什么轴，绕着x轴和y轴，大家注意绕着x轴和y轴。旋转一周，看到这两个字儿，马上给我笑，听懂我的意思吗？马上先笑一会儿，非常的简单。

因为绕着x轴和绕着y轴转，那这个东西啊，就是套公式了。所以接下来过程当中，我们就可以操作了，赶紧来接。v1那v1这个东西的话，你发现绕着s轴转，脑子里面是不是有块饼啊？来一起走。派倍的y方dx，然后是从零积到二分之派，跟得上吗？好，这个情况，

然后再来看看v2，它是绕着这个y轴转，赶紧给我继续来二派xds。然后再乘上这个y从谁积到谁呢？从零积到二分之y。这结束了，所以说接下来过程当中，你会发现一个事情马上走零到二分之派派，然后把这个代进去a倍的这个s in。ds，然后接下来过程当中继续零到二分之派二派xa倍的s in。ds所以接下来过程当中干嘛呢？你就把这两个分算一下，然后让它相等a是不是出来了？那非常简单了呀，

所以接下来过程当中先看第一个分。那么，这里面当中的话哦，这是平方，不好意思，好先看第一个分，那第一个分的话，你发现一个事情，那这里面当中就是派。a方那你告诉我一个事情，这个人怎么算点火公式点一把吧，一把火就点了二一二分之派。所以说这个结果的话就是四分之派方a方。好，这个结果，

然后接下来过程当中，我们继续，我们再看这个人来继续操作。那么，这个人的话，你发现他就变成了多少变成了二派a0到二分之派x乘上s in的这个人的积分？可能有些同学就会想到一个事情，说老师我可以把s抽出去，变成二分之派，你注意用错公式了，人家那个人是零到派的区间。不要乱来，直接分布积分法，那是二派a0到二分之派，然后这是s cos负的。

所以接下来是负的二派a，然后是s乘上cos 0和二分之派带去，然后再加上二派a1定是零到二分之派。然后这是cosine ds积分好，先看第一个人零带进去零二分之派带进去零，然后最后一个人呢是二派a，我们都知道这个分等于多少？cosine这个人的话，你发现这个拱的面积是多少？这是一吧，直接算出来二派a。好，这个结果。所以说这两个东西啊，算完了之后的话，

你看你就直接让这两个东西相等四分之派方a方，然后就等于多少就等于二派a，有人说老师。你为什么让这个东西相等？不是说我说的人家题目说的。这跟我没关系，对吧？人家题目说相等，那你就相等呗，所以接下来过程当中解一下这个AA解一下，然后这东西过去是八派分之八结束了。好不好做好做吧，你猜一下，你觉得这个题价值量是多少分？你注意哦，

我为什么把这个题设置到这？我就想让你去看看这一当中啊，操作性把它操作难了之后怎么做这题十分啊？这题是往年的数一数二数三同学的真题，这是一道12分的题。啊，十分的题，这道题十分下面掉到12分，这样一道十分的题，你看放到这这难度系数也不高啊。但是你发现往年过程当中有同学拿不到，那么接下来过程当中我们再来看看，继续往下走，你再来看看这个题怎么做？好，

这一看就是我们的题了。那么这个题的话，你就发现我们继续处理，他说什么情况？他说。平面有界区，由这条线和x轴和x=a所围成。然后这个d啊，绕着x轴旋转一周的体积，你要注意啊，你见到这种词儿，你就跟我笑就行了，对吧？你绕着s轴转，这多简单，

然后它的体积等于多少？它等于四分之派，那么首先第一件事情，我们先来画一下这根图。好，这个图形。那这个图形你会画吗？很多图形不会画啊，那就。不太好玩了，对吧？这个图很简单啊，首先第一个事情当s，如果大于零的时候就是s乘上根号s。对吧，

它不就是这个情况吗？是吧，然后另外一个事情的话，它是个奇函数，所以图形是这样的。这就是这个图形。啊，不会画呀。啊，那这个问题点呢？你要注意一下这个事情，你如果大于零的话，后面不是根号s吗？然后乘上s二分之三次方嘛，你往上增嘛，

然后奇函数嘛。你这是个偶函数，这是奇函数吗？啊，如果你不会画画草图也行，一会过程当中我再来讲好这个人。然后说什么情况呢？他说。呃，这条线x轴和x=a所围成。那么现在就有个问题了，你这个a在哪啊？对不对？同学们，你这个a在哪啊？

你这个a是大于零还是小于零啊？有没有可能一个事情，你这个a在这啊？其实这个题对我们考题啊，你发现有同学说在这，那么在这的话，你发现一个事情，我们就做了。那这个时候的话，马上来看看这个vv就等于多少来走派倍的零到a，然后这个人的平方就是y的平方ds。那这个y的平方就是这个人平方就是x方。然后是什么呢？就这个人平方是绝对值，然后ds因为现在这个a是什么情况？

现在这个a是大于零，你大于零的话，你发现零到a这是正的。正的的话，你发现就直接去ds，所以说这个结果就等于多少等于四分之一派a的四次方。是不是这个结果好，你做成这样，然后做成这样了，之后的话，它等于多少，它等于四派，所以说这个a就等于多少a的四次方等于16。a是正的a就等于二。当年过程当中啊，

很多同学就这样做哎，做完了，但是你发现我们考题就相当的简单，你发现一个事情。这选项不就是来透露答案的吗？你有没有发现一个事情，这选项就是来露体的？这是泄题的，他好像感觉说哎呀，你要做错了，但是你发现当我们进行选答案的时候，我稍微进行一看诶，这里面当中怎么还有负的？还有a或者什么情况，那这时候我就想了一个事情，

马上这个事儿就想清楚了哦，不光有正的，而且还有可能有负的，你看这个人。所以我们的这个题啊。有的时候的话还是非常亲切的，对吧？相当亲切的，你这个a有可能在哪儿？有可能在这儿？是吧a，也有可能在这，那有可能在这的话，你发现围城的这个区域就在这。哎，

这个区域，然后接下来过程当中，我们继续来看，那这个区域围成的体积怎么办？来继续吧走。派倍的，然后继续y的平方y的平方ds从a积到零。然后这是派倍的a到零，然后接下来再看，那这人平方呢？这人平方就是x方，然后绝对值。ds，但是你发现一个事情，现在这个a是什么点小于零？

你这个人是小于零，你看这个人是小于零，这就是负的。那s就是负的，那负的话，你发现就是来一个负号。对吧，这个绝对值等于相反数嘛，来个负号，但是接下来过程当中，你这个负号用来干嘛？变换上下限。这个人所以说接下来过程当中就是四分之一派，然后是a的四次方。那这个结果照样等于多少等于四派，

然后最后的话，结果a的四次方等于16a是小于0a就等于负二。马上出来正确答案选c。是吧，这是这个情况。所以像这个题的话，你发现你做的正的这个部分，你既然做出来已经是什么？你做出来二你肯定的话，把这个排除。你已经做出了二，你肯定把这个排除已经做出二，你肯定把这个排除，所以说这个答案呢，肯定是在c或者d当中选。

对吧，这个题的话，你发现对于我们而言呢，其实不是说特别难哦。说实话，不难。那么，在这本当中的核心重点，其实你发现当年过程当中，很多同学马上就错了。哎，看到答案了，马上把这个调了，下一调的话，你发现哦负二也行啊。

好了呃，这是我们在正面当中啊介绍的这个事情，能理解吧，哎，四点三零。啊，这是我们近两年的真题啊，要注意。好，继续吧，我们再来一道可以吗？那这种题不难，对吧？你包括的话，你发现再给你来一道。

我再找几个题做一下，可以吗？再找几个题。呃，这里面当中我找一个对吧？可能是这个数一数二数三的，但是你别管了，因为我们这个真题的话，这个有些有些我给你链接到这个涉及我们的话，这个考点的部分内容。好，那么接下来过程当中，我们来看看。好比如说我们来看看这个题。来操作起来。

哦，你这个上课好好听课对吧？你课表的时间你没看都调过来了吗？你今天的课表的时间不就是定积分的应用吗？然后你再看后面的课表的时间，它不就在迁移吗？本来这个时间就在加上来了。那难道时间是瞬移的吗？那今天的过程当中，原本是多元函数的微分学的应用啊。啊，好好听课就行了，这事情不是你操心的事啊，来看一下这个题吧。他说了一个事情，

他说这个曲线。然后说什么呢？这个是s=2，然后是s轴，他们所围成的这个图形呢？绕着s轴旋转一周的图形哎，你发现绕着s轴转请给我消。那么所以说就做了呀，但是你发现很多同学纠结的点在何处啊？说老师这个图形是什么？这图形什么呀？哎，结果这个图形出来之后的话，你发现也笑不出来了，这图形什么？

这图形就是y方。等于x方减一就是x方减去y方等于一，这什么东西啊？这是圆。你不要乱来哦，这什么？这是圆呐啊。一减x方是圆，这是圆吗？这不是圆。这是这个内容a方分之s方，然后再怎么办？减去一个b方分之y方这个人。这什么东西啊，这双曲线。

啊，我们在考研过程当中啊，这个双曲线你只需要掌握到什么程度呢？你只需要知道这个图形怎么画就行。你不需要知道这个什么这个什么焦点啦。对吧，什么这个焦半径啦，那都不需要掌握这些内容，所以这个人的话，你发现他就是个耳朵。哎，就是个耳朵。y=0的时候的话，你发现这是负a，这是a。

对吧，就是这个图，你只要知道这个图形呐，那这个题也很简单。其实你不知道图形也能做。那么，在这里当中，我们一起来看看这个事情来走一下吧。好，这是一个y这是零这是x。那么，在这种当中，这个图形什么情况？当y=0的时候，这个s是一。

其实你发现看是这样，这条线。为什么呢？因为这个y是大于零。哎，我只要这个人的上半部分。其实你发现那边还有，但是没有关系，人家说x=2，这是1 x=2，还有这个x轴，所以说它围成的这个区域是这个部分。那就是这个人呐，来同学们赶紧走，非常简单啊，

就是派倍的，然后是从一到二。y的平方dx所以说这题是不是送分题啊？你觉得这个题考给我们怎么样？这不也行吗？你就说这个题适不适合考给我们？它是不是应该是一道两分的考题啊？计算丝毫没有难度。只要画出图形这个式子，一列这题出来了。那所以在这里面当中啊，一定要注意啊，像这个数一数二数三同学的这个真题啊，你们不用进行大量的练，我都会给你挑的，

对吧？有些重点的部分的题适合我们考的，我会给你进行调，所以接下来过程当中，你看这个人。那这人就是三分之一，然后是上面的三次方，那这人一减十七，然后下面这人呢？他就是一一做出来了。好，这个题你看这个操作，所以这个基本的点的话，你发现绕着这个s轴转呢，相当相当的简单。

这个难度系数可不大。好，那么接下来过程当中，我们继续吧，我们再来看一个事情，接下来过程当中，我就需要来进行拔高了，你好好听啊。认真听，接下来是拔高问题。好，我们继续看。那么，其实同学们想想一个事情，你发现啊，

在这个问题点当中啊，我们刚才做的是什么？我们刚才做的是绕着这个s轴转，绕着这个y轴转，那同学们想想一个事情，有没有可能是绕着一般轴转啊？你比如说我举个例子，这是y这是零这是x那么在这种当中的话，这个点。比如说这里面有条曲线。对吧，你刚才过程当中说诶，你绕着x轴转。你绕着这个歪轴转。诶，

那这里面当中啊，不不不，y=s不可能了。你想多了。如果我们考虑到y=s的这种题啊，你发现一个事情，这简直了。那就不可，你就是考研过程当中，如果考到这种事情，你直接放弃。我明确讲为什么呢？连数一数二数三同学30多年都没考过。y=s是什么情况呢？这种题的话，

你发现是一道数学竞赛题。你要注意啊，你不要乱来啊。好，我给你看看。数学竞赛当中，他确实会出。这就已经是不可能是我们在考研的，这个我们三九六同学的题的，你不要乱来的吧，你拔高这这不叫这样不叫拔高了，对吧？好，你比如看这种题。诶，

你看这个题，这是大学生数学竞赛题啊。哎，这个东西可不是考研题，这是数学竞赛题，你看这个人绕着这个人转。那所以说这个东西的话就严重的啊，这个超纲了，超的不能再超了，它不可能说我们在两分钟的范围内做。因为十分钟都未必能做出来，所以接下来过程当中，我们继续看。它顶多考什么呢？它顶多去考垂直于s轴。

垂直于y轴的周期栓。能听懂我的意思吗？顶多考这个人，比如说举个例子，这种情况是有可能会考的，说你来跟我绕着这条线转。注意啊，这种东西啊，可能会考s=c。那么，这幅图绕着s=c旋转一周呢？这是会考的。对吧，垂直于s轴，垂直于y轴，

这种线可能会出。那怎么去处理啊？那么，在这种当中，我们都知道一个事情，刚才我们会做的是x轴和y轴吧。对吧x轴和y轴会走，那就说那我平移坐标系。把坐标系平移呃，我在这里面当中啊，不建议这个事情，你只需要掌握住一个点，记住如果是x轴和y轴。你就背公式就行，如果是这里面当中的一般轴一般轴啊，

你就会微微元法就行，你在考场过程当中啊，你迅速的在这里面当中取个条。上面看成平的就这一条。这个调出来之后的话，你发现这是ds，然后在这种当中，你画迅速一点非常快，然后这个时候的话，马上这个东西就对应那个什么情况。对那个薄壁的空心筒。哎，就是一个薄壁的空心筒。那这个时候的话，你只需要把这个上面的量一标，

这题就出来了，所以接下来过程当中啊，立即就得到了这个信息点。非常的简单啊，就这个卷。你看这个结果。你看这个结果。好，那么接下来过程当中，我问你个事情，请问同学们？这个点到这个点的距离。跟到这个点的之间的距离一样不一样。一样不一样，基本上是一样的，

为什么这个ds你不要认为它有厚度？不要认为有后躲。基本上是没有厚度，这就是c-s。然后这个厚度是ds，然后这个部分呢？高度呢？是s处的函数值，那么所以说同学们，你告诉我这个式子怎么列？非常简单吧，来走二派c-s是周长。那么，周长再乘上厚度。那周长乘上厚度就是底面积，

底面积再乘上高。然后在这种当中，再从a击到b这东西就出来了。所以在这种当中啊，你发现问题点非常简单。就是你取的这个条，你在哪取的？你就在哪叠加这个东西，只能从a叠加到b。在哪取得就在哪叠加，那这些题就出来了，所以你也不需要进行去平移坐标系，也就是说这个平移坐标系把同学搞得非常混。说这边是加还是这边减啊？上面加还是下面减？

有的时候怎么呢？这东西就是相反的呢？哎，这个事情你不用管这个事。你就记住一个点，如果考研是x轴和y轴，你就直接套公式，如果考研过程当中是一般轴，你就直接怎么办？画一个图就出来了。这个图其实画的非常快，你不要看我画，你不需要几十秒就画出来，脑子里面当中就有这个图量一标，这题就出来。

好能掌握清楚吧，基本的信息点啊，要注意它。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看一个拔高题，我们把这个题做一下呃，这个题啊。我觉得考研过程当中，如果两问都出，那不可能。啊，不可能，为什么把这个题我选到这儿呢？因为你会发现每一问都是一个题，

哎，每一问都是一个题。所以说你不要看是拔高题，我觉得能选进来啊，都是有它的用处的。你比如说第一问，我可以出一个题，第二问也可以出一个题，要注意这种题目的学习啊，好，那么接下来过程当中我们来看看这个题。那么，首先看第一个事情，他说过这个坐标原点，做这个人的切线好，

我们一起来看看这个事情拉啊，画一下这个图。那这是y，然后这是零，然后这是x那这里面当中，你发现这是罗音。好，那么接下来过程当中，我们来看看这个事情。他说过，坐标原点做这个人的期限，那么同学们你琢磨一下。过这个坐标原点就是这个点。然后接下来过程当中，你发现一个事情诶，

我们切一下。对吧，我们去切一下。那我们切下的过程当中，你告诉我这边有切的吗？没有啊，有人说啊，这边有切的这条线是它的垂直渐近线，它要想切，它只能切在这边边。注意啊，它要切只能切这边一定要注意这个事情，假设切在这。你切到这儿的话，你发现你就把这个切点设一下。

好把这个切点设出来。那么，设出这个切点的话，马上来看来解。设切点为多少？切点为x0 lns 0。啊，这是一个高中题吧，或者是初中题啊。然后你来看看两条线，在一个点处相切得到什么信息啊？俩人在一个点处相切函数值相等导函数值相等吧，最重要是导函数值相等就斜率相同。那斜率相同的话，我们先来看看这个点，

那这个点处的这个ln的斜率呢，其实就是x零分之一求导嘛。然后再来看看这个直线的斜率呢。这个直线斜率的话，你会发现就这个点。和这个点之间的两点之间的斜率公式来一起看，那就是lns0y2-y一比上s2-x一。好，做成这样，所以说在这种当中马上出来，那这个结果的话，立即就做出来了lns 0就等于1s零就等于几s0=1。那这个时候的话，这个问题啊，马上出来，

它就结束了。哎，就这个人那么接下来过程当中，我们再来看看哪个区域呢？它说的是这条线。x轴哎，你看首先第一个事情是切线，这条线和x轴是哪个区域？就这个区。好注意，是这个区。这个区啊，就是我们这个啊，这个地区。哎，

就是我们要求的地区，那么所以说在这种当中，我们先来看看第一个事情。第一个事情让我们去求解这个区域的面积。那面积怎么求啊？那量这件事情。第一种方法。你可以用大的减小的，你看你算这个SD怎么算？那就用大的，大的话就是三角形二分之一e这个高是一对吧？底乘高，然后再减去空白。空白就是一到1 lns的积分，那这个分你肯定会做好再来看第二种方法。

第二种方法也可以投到这个y轴上做。那投到这个y轴上做的话，那么接下来我们继续看。你就写呗，那么在这个当中投到这个y轴上一起来看看这个事儿，你发现就是零到一，然后这个部分一定是对y进行积分。对吧，对y积分好，我们先来看看这里面当中的第一条线，就这条线，这条线是y=lns。x就等于e的y，所以说这个第一个人就要写e的y。然后再来看看这条线，

这条线是y=ks，那k是多少呢？它的高度是一，这个是一，然后就是一比1s。那s呢，就等于e的y好这个结果。你发现你看这个题啊呃，单出这个第一个题啊，是完全可以出成我们的题的，这个没有任何的问题，掌握清楚了吗？好听明白了，给我回复一啊，这个基本点。

呃，这就是我们在这里当中啊，处理的这个第一问。你要算这个人面积的话，你发现你就大的减小的，或者投到y轴上算也行，好，那么接下来过程当中啊，我们再来看看第二问。第二问说什么呢？说让我们去求解这个地区。绕着谁呢？绕着这个x=1旋转一周的体积。啊，注意绕着这个人转。

刚才有个同学啊，我看了一个事情，说s=1打了一个问号，你惊讶什么呀？你有什么好惊讶的，这不我刚讲的吗？那不就是这个图形吗？那刚讲的这个东西你都不会做，那可不行啊，好了，那么接下来过程当中，我们看看这个人怎么做？诶，我要让这个d旋转一周。这个非常恶心。

但是同学们想想你喜欢算这个空白呢，还是喜欢算这个地啊？我喜欢算空白。那这里面当中，我可以这样转，你可以这样来，你看我先算这个人。行不行哦？我先让这个大的这个人转，这个大的转出什么呢？这个大的你发现你看这是三角形。这个三角形不就转出了个圆锥吗？啊，圆锥啊。那圆锥这个人的话好做，

所以首先第一个事情我们先算一下微锥。围锥的话就是三分之一底面积派，这个长度是一。派e的平方乘上高好，这里出来了。所以说这个时候的话，你发现我先把这个大的算出来，对吧？大的算出来，然后接下来过程当中是干嘛呢？再把这里面这个东西啊给掏空。对吧，把里面这个东西掏下。把这个里面这条线的东西啊掏掉。掏掉的话之后一减不就是我外面的体积吗？

所以说接下来过程当中，我们就算这个人，那这个人怎么算呢？我们都知道绕着一般轴，你去取v元就行了。所以在这种当中啊，我们就取我们在x处取一个多少呢？哎，你发现一个事情长度为ds的端。那这个时候这个段呢，绕着这个e旋转一周就旋转出了一个什么情况就旋转出了这个东西。好，那么接下来你就发现就是这个点。那么，旋转出来这个人的话，

你发现我们接下来再来看，那这个时候的话，你看这个人这个长度是多少？这是e-s。然后接下来过程当中是ds啊，忘了是吧呃，你又敲这几个字的公式的话，这个公式又记住了啊，是不是啊？好了，这是这个事情，你发现看这个长度是一减s，然后这个厚度是ds，然后这个高度呢？这高度是lns。

对吧lns所以说这个时候的话，我们来看看这个DVD e哎，把这个区域叫de那这个时候啊，它旋转一周的体积是多少为圆体？那走二派一减s，再乘上ds，再乘上这个高度，所以说总的这个v de就是多少？就从一积到一二派多少一减sl ns，把ds放到后面，那这个分会积吧？自己去记啊，记一下就行，那这个积分的话，你看一个是二派e乘上ln积分，

一个是ln的积分，一个是s乘上ln积分。所以说最后一个事情，这个vd等于多少vd就等于v锥。再减去多少v de这个结果？所以在这节课过程当中啊，我觉得最重要的事情，你要会把这个模型建立出来。对吧，这个图形要绘画。这才是最重要问题，所以像这节课非常非常的关键。呃，可能后面过程当中啊，还有两种情况，

一种情况是弧长，还有一种情况的话是我们的这个旋转表面积的问题，还有最后两个事情。那最后两个事情非常快，那差不多十来分钟就讲完了，那么这个时候你发现高等数学的上册的部分内容基本上就结束了。啊，这个部分的内容就基本上结束了，那这个部分的内容结束了之后，我们下册只有一章高数就结束了。所以速度会非常的快，所以一定要注意啊，把这节课的内容好好进行处理一下，我为什么会选这个题呢？因为这个题当中啊，

有两个问题。第一，问求面积可以单独出发。第二件事情，你发现这个旋转体体积啊，这件事情我们还没有考过呢。从来没有出过。所以像这件事情又不难，稍微的进行去迁移一下这个问题点就出来了，好基本问题。好了，像这个点呢，你们下去过程当中好好进行处理一下，然后这里面当中我来布置个作业，大家进行思考一下。

你下去思考。留一个思考题。那么，请同学们告诉我。这里面当中，我继续画一个图形。如果这里面当中是这个情况。这是y这是零，然后这是s好了，这里面当中有一幅图，这是a。这是b，然后这种当中是fs。那么，请同学们告诉我，

请问这幅图绕着这个区域外面的一条线，这条线是谁呢？这条线是c。那么你看这个时候它旋转一周的体积会是多少？对吧，这个旋转一周体积是多少？那么大家可以你发现一个事，你还是这样做呗，你就怎么办？你就在这个x处。取一个长度为多少ds厚度端，那这个东西啊哎，你发现就是这个人。那么，这个人的话，

你看我旋转一周。我旋转一周的话，应该是这个情况。第一个事儿，它应该是个大饼。哎，这是个大饼。能理解吧，哎，这是个大饼，但是你发现一个事情，这个大饼里面要掏掉一个部分。哎，里面有偷这个部分。所以说接下来过程当中，

你就会发现一个事情，那这个厚度是ds。然后这是丙的中心，这个丙的中心的话，你发现看这个大的这个半径是多少？大的半径的话，很明显就是这个点距离，这个的距离这是多少？这是c。然后再来看看这里面当中的这个小的，这个半径是多少？小的半径不就是c-fx吗？你大的半径就是c嘛，你小的半径呢是c-s，所以说这个时候你发现这个dev的话就等于多少？

它就是底面积派大的半径c方，然后再减去小的半径，那这个人就是c，然后再减去fx这个人的平方。对吧，大圆减小圆嘛，然后这个时候再乘上ds，你注意啊，这个东西可不能用周长乘厚度，这个不薄，对吧？不薄不能那样算，所以这是第一种模型，不是第二种模型，然后最后一个事情从a到b的一积分就行了，

那这个结果呢？用一下平方差，平方差了之后的话，这两个一减一减就是fs，然后再乘上两个一加两个，一加的话就是。2c，然后再减去fs，然后ds出来了吧？诶，好讲完了是吧啊？那那就这样吧啊好。呃，这是这个题，能听懂我的意思吗？

啊，有的时候最近脑子不太好啊。说实话，这个课讲多了，有时候。啊，没忍住这个题过去了吧？好，所以下去过程当中，想想就是这里面当中啊，你自己去看看，取个丙就行了。为什么不保？你自己看看为什么不保？你觉得为什么不包？

我原来过程当中那个厚度的话，厚度是ds。我厚度是ds，我非常薄，因为ds趋向零，你这个厚度是多少？你这个厚度是fs。你这个厚度是fs这薄吗？这不薄啊，你要注意什么时候是薄的，薄的话趋向零很薄。你才能有算好这个题啊，我们就讲到这儿吧，你自己下去过程当中好好处理一下，那这个今天部分的内容非常的重要。

对吧，相当的重要，你下去过程当中好好进行去处理一下。啊，今天里面当中啊，讲到极坐标，求面积重点。极坐标图形重点。旋转体体积重点，然后这里面当中啊，还有一些这个参数方程条件下求面积重点哎，这几个人都是重点，所以下去过程当中啊，好好看看。好了，

那么接下来过程当中，我来布置一下这个今天的作业。呃，来翻一下这个作业吧，我把这个作业布置一下。这个作业的话，上次做了这个三五五和三五六，这上次做过了吧啊？然后接下来的话。就把三五七。一直做到。三六一。好，这节课的。呃，

这里面当中啊，没有多少，然后下面还有一张的话是这个多元微分学的应用啊，很快的话，我们这个高等数学的啊。啊，这个部分内容就结束了，那所以说下去过程当中啊，一定要把这些问题啊，好好处理处理啊，今天的东西啊，值得多进行去想想。值得多进行去磨一下好了，那么这个问题啊，我们就讲到这呃，

之前变现函数啊。划掉的题，你可以先不做。划掉题可以先不做好吧，同学们好，那么今天课程呢，我们就讲到这呃，不多说了吧，因为一会这个九点半我那个部分呢，还有这个今天晚上是一个小时的课程。呃，所以说大家可以想呃另外一个事情。今天晚上。今天晚上是春季班的那个讲那个三角尤里士的积分，如果你想去听呢，

你可以去听一下。因为那个部分的东西是我们呃考的话，可能考的没有那么难，我上次过程当中，我说让你们过程当中啊进行去。看一下那个什么就去看一下我B站过程当中发的那个课程，你要想去听直播啊，你可以去听一下。三角有理式积分，因为难度系数比较大一点好，同学们好，那么今天课程呢，我们就讲到这呃，你可以在那个APP里面领那个课程对吧？啊，

就是那个百题代刷的那个课程，你去领一下就行好，那么今天课程呢，我们就讲到这，还是在我们平台啊？好吧，同学们行吧，下次课程见了啊。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册

23.定积分应用（2）-2

浏览过的版块