23.定积分应用（2）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:45:57

我们就准备开始今天的课程啊，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，进入回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的三九六精宗数学的睡前系列课程。我在讲什么啊？我们的全程班课程。呃，刚才过程当中啊，我录了实在是太多了啊，录的这个大脑都不知道在讲什么了，

好了，那么接下来过程当中啊，我们就直接开始啊，那么首先第一个事情，我们先来进行去回顾一下，这个上次过程当中的核心重点内容。呃，在上次过程当中啊，其实我们重点讲了两个问题，对吧？第一事情我们讲了这个反常积分，对吧？这是一个重点内容。然后第二事情呢，我们又进行去讲解了这个呃定积分的应用部分内容啊，

今天部分的东西啊，相当的重要。我可以明确讲一个问题，今天过程当中的东西啊，一定会在今年的考研过程当中会出题的嗯，所以说今天过程当中啊，一定要拿出最好的状态，然后来听。好了，那么接下来过程当中，我们就直接开始吧，我们先来看看反常积分啊，那么首先我们先来看看这个第一个问题。反常积分呢，首先第一件事儿，

它分成两种情况，第一种情况叫做无穷区间的反常积分，那么无穷区间反常积分非常简单。就是你来看看这个上下限当中到底有没有无穷大？对吧，你在这里面当中，只要你的上下限当中有无穷大，你像这几种情况，它都算第一类反常积分。什么负无穷到正无穷fs ds，这都算。但是除此之外，还有第二种，还有一种叫什么叫狭积分，那么狭积分最重要问题啊，

那么这个东西啊，你要进行判断狭裂。有可能这个人的狭积分就这样写，对吧？这就叫狭积分。但是你要注意一个事情，这个东西长的样子就跟定积分是一样的。对吧，长的样子是一样，但是你要会进行去判断狭点，所以在这种当中狭点有可能在a处狭点，有可能在b处狭点，有可能在中间。所以说，如何进行判断狭点呢？

非常重要，那么这里面当中啊，分成两步，第一步哎，我来写一下。fs ds那么在这里面当中的第一步先进行去确定被积分函数的无定义点。对吧，无定点那么除此之外的话，还要满足第二事情，那么就一定要进行去趋向这个点处的极限，必须是无穷大。所以我们经常讲什么叫狭点呢？狭点就是被积分函数的无穷间断点，哎，被积分函数的无穷间断点。

找到这个人的无定点，然后第二件事情再求极限，这个极限结果必须是无穷大能，想清楚吧，好注意下两件事情。不光是没有定义第二件事情，这个点出的极限结果还得是无穷大好，这是一个问题，那么接下来过程当中，我们再来看看第三个事情最重要的问题。那么，上节课过程当中，我们讲解的一个核心重点就在这。那么，第一个问题，

反常积分如何进行计算呢？那这里面当中的第一步，先看中间有没有狭点？注意啊，端点处有狭点，我不在乎，我只在乎中间有没狭点，如果你中间是有狭点，我就立即把你拆开了。对吧，中间有狭点，我就要拆开了，如果中间没有狭点，我就直接算，所以在这种当中第一件事情，

我在乎的是中间有没有狭点？有狭点分开，没有狭点，没有狭点的话，你发现一个事情，你就按照定积分计算就行。只不过代入这个反常点，相当于去求反常点处的极限，哎，注意啊，这一当中的问题啊，有两种。一种是正负无穷点，还有一种是狭点的问题。就说你在这个点处进行去代值的时候，

其实就是求解这个点处的极限。哎，这是你要注意的，所以说我们在这章学习过程当中啊，其实有两个问题，一个事情，你要会积分，一个事情，你要会求极限。啊，就这两个事情，但是啊，这一点当中的这个极限呢，难度一旦一般都不大，核心重点还是来进行去积分。

把这个积分呢，记好就行好，这是我们讲的这个第一个事情过去了，可以吗？来再来看看第二个问题，那么这里面当中还有一件重点中的重点的事情，就这个人。你不要看这个知识点，我们从来没有进行出过题，但是我觉得这是今年过程当中一个潜在的核心考点。那么，在这种当中，如果是一个反常积分，对吧？在这里面当中，

比如说举个例子，我们这样一写，你发现就是一个反常积分。但是这个反常积分如果不能进行去拆开计算怎么办？我们都知道，都存在才能拆，如果不能拆开怎么办？不能拆开非常简单，我就进行怎么办？求解这个整体的原函数。我就算什么，我就算这个整体的不定积分，算这个整体的原函数，然后再统一代值。统一代值就统一进行求极限。

所以说这个问题点就出来了，你发现核心重点就不难了，所以大家注意一个事情，如果不能够进行拆开，我就按照整体，然后进行去求出这个人元函数。然后再统一代值就可以了。好，这个问题点过去了，可以吗？基本点哦，反常积分，然后接下来过程当中，我们再来看看上节课过程当中讲解的第二事情就是定积分，可以求面积。

对吧，我们讲了定积分应用当中有几个事情呢？定积分可以求面积，定积分可以求旋转体体积。定积分可以进行求弧长旋转表面积，那么这就是我们在这张过程当中最最后的一个核心重点问题。那么，接下来过程当中，我们先看第一个事情，求面积。呃，在这里面当中，我还是简单的跟同学们去聊一下微元法吧，对吧？简单聊一下。

因为这个微元法呀，也是一个核心重点的考点，我们今天过程当中，我们要用这个事情，所以说我们通过进行这个简单的问题啊，我们来讲讲。什么东西叫微元法？好，我们来讲讲这个微元法。大家听一下就行了，这个东西啊呃，对我们而言就是个了解好，那么接下来过程当中我们来看看这个部分问题。比如说这里面当中啊，我们来画一个二维的迪卡坐标系，

然后这里面当中有一条曲线，那么这个点是个a点。然后这个点是个b点诶，这里面当中这是fs。我想让你进行求出这个部分所对应的面积，你怎么求解啊？我就可以使用微元法，有同学说那a到b的积分不就出来了吗？我来讲讲位元法，你先听一下。怎么做的呢？就是非常简单，你发现啊，如果在初等数学当中，我是不会求这个面积的。

但是进入到高等数学当中啊，我就可以采用微元法来求，怎么做呢？我就把这个a到b啊，切切切。切成很多份。好，大家注意啊，我把这个人切成很多份。哎，切成很多份七七七。切成很多份了，之后的话，你发现个事情，你好好听吧。

啊，微元法。好了，那么接下来过程当中，我们来看，我就把这个东西啊，切切切。切成很多份。切成很多份，同学们想想每一份是不是非常的微小啊？每一份非常的微小，这每一份就叫做一个微圆。大家注意，这每一份就叫做一个微元，那么所以说在这种当中，

我们怎么进行去取微元的呢？非常简单。我们就是在x处取一个长度为ds的段段，这一段就叫微圆。大家注意这个事情啊，非常的简单，就什么情况呢？我把这个a到b切切切成很多段，然后怎么办呢？在这个x处取一个长度为ds的段，这个ds啊，大家都知道非常的小。对吧ds ds啊，它其实就是德尔塔s非常非常的小。那你想一个事情，

因为这一段的话非常的小，我们来看看对应上去。诶，因为底端长度非常的小，我是不近似可以把这个东西看成一个什么，看成一个长方条啊。好，这个东西那这个长方条的面积怎么算？那长方条的面积非常很简单，长方条的面积有高高是多少x处的函数值多高？底端长度是dx，那这个东西呢？这个东西就叫做这个微圆的面积，大家注意，这就是这个微圆的面积。

v圆的面积啊，我把它叫做ds。好，这个部分那么接下来过程当中，我们总的面积怎么求呢？总的面积的话，你发现就从a一直累加到b。同学们，想想原来过程当中我们讲过什么东西叫无现象，求和呀，无现象求和不就是积分吗？从a累加到b，不就是积分吗？这就是面积。所以你看这个东西的方法就叫微元法。

哎，这就叫微元法，所以像这种方法的话，你可以干很多事情，我比如举个简单例子。我来给你讲讲这个微积分啊，非常有意思。举说举个例子，你看。我这里面当中有一个对吧？有一张纸哎，有张纸我想干嘛呢？我想求出这张纸的面积，你怎么去求啊？你发现这个边是弯弯曲曲的，

不好求，那我怎么做哎？非常简单，你看我就把这张纸我一直撕。对吧，我一直死，我一直死，我使劲的死啊，你注意把这张纸啊，你撕成末。啊，你注意一下这个事情，思辰非常非常的小，非常非常的小同学们，注意你看这个东西是不是很小？

很小就叫什么，很小就叫威远。中文之华美啊。你看我一直撕，我一直撕，你发现一个事情就撕成末这个东西，就叫什么微圆。为什么叫微圆微小的圆吗？微圆这是这个人的面积，然后同学们注意一个事情，我把我手上的这些东西的面积加起来。你告诉我是不是原来的面积？是不是啊？我把这个面积加起来，不就叫原来的面积吗？

所以同学们注意一个事情，分成的很小的部分，就叫微元。然后累加过来就叫积分，你看那么首先第一个事情把这个张纸啊，你发现切切切成了很多份。那么，这里面当中每一个非常小的部分，就叫一个微元。然后再累加过来就叫积分的过程，微分积分。啊，所以说你发现一个事情，这个微积分呢，它是具有哲学色彩的。

啊，这是具有哲学色彩的，你发现切分的过程，然后是重组的过程，所以叫做切分和重组。重组呃，我记得前年过程当中啊，应该是前年，那么前年的过程当中，我们就这个。开年的第一课我就讲了一个事情啊，从微积分学当中啊，获得的人生当中的一些啊，这个学习的一些方法啊，我当时我还讲过这个事情。

等大家。呃，如果的话，你们这个啊，考完研啊，你觉得自己啊，这个有空啊，你可以去读一下这个书，有本书叫做微积分的力量。哎，这本书写的还挺好。里面当中啊，就讲了一些很有趣很有趣的一些事情啊。好了，这个部分内容我们就讲到这过程呢啊，

基本的点呢，你了解清楚就行，这个方法就叫什么叫微元法？所以同学们注意一个事情，怎么操作呢？就是在x导x+ds当中取出的这个什么ds这一段就叫做一个v元。啊，注意啊，在x导x+ds的这一段取得这个部分就叫v元好，这个事情你要想清楚。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看下面事情，那么上节课过程当中啊，我们讲过这两个幅图的面积，

还记得怎么求吗？那么，首先第一件事情，这幅图叫做x形图。这幅图叫做y形图，还记得吗？一个图叫做x型图，一幅图叫y型图。那真的有趣啊，我骗你干嘛？呵呵。你说这个这么多年的这些人的智慧的结晶，你正在学习，多么幸福的一件事情啊，好了，

那么接下来过程当中，我们来看看怎么去求啊？首先第一件事情，这个人的面积呢？那这个人的面积的话，你发现一个事情，其实就是这条线的积分，然后再来看看这个部分的积分呢，是大的面积。所以在这种当中，它就是多少a到b用谁啊？请你注意一个事情。它永远都是什么？它永远都是大的减小的。能听懂我的意思吗？

哎，大的减小的那大的减小的话，你发现你看你要往下投，就看谁在上面谁大。你看这个人很明显大，这个人要小，所以说就用这个y2x减去多少y1x好这个人？那么，接下来过程当中，我们再来看看第二事情，你再来求一下这个人面积。那这个面积的话，你发现适合往啥上上面投啊，很明显适合往y轴上投。往y轴上投的话，

我们就适合对谁积分，我们适合对y进行积分，所以在这种当中非常适合对y积分。那对y积分的话，同学们想想这里面当中啊，还是一个事情大的减小的。那大的减小的话，你发现你看我往这个什么y轴上投，我就要看谁的x大。谁的s档？都是往正方向跑的，越多就越大。往这样越跑的越多越大，往这样跑那高度越大，那所以说你发现很明显是这个大这个人小，

因此就是x2y。然后再减去多少x1y这个结果。能想清楚吧，好基本点。好了，这就是我们在上节课过程当中啊，讲的一个非常非常简单的问题，叫做直角坐标系下的面积，求解这个很简单吧。相当的简单，那么接下来过程当中啊，我们就来看看今天的重点问题，我们首先第一件事情，我们先来看看极坐标系下。求面积，

那么求面积当中啊，有三个事情，一个事情是直角坐标，求面积，一个事情是极坐标系下，求面积，一个事情是参数方程条件下，求面积。那么，接下来过程当中，我们来看看极坐标系条件下求面积。那么，首先第一个事情需要我进行去复习记坐标吗？啊，这个第一个人呢？

还记得极坐标系吗？呃，我来讲讲吧，对吧？我把这个东西啊，我们来讲讲极坐标系，把这个部分的内容啊，跟同学去串一下。注意啊，这个内容非常的重要。不是说考研过程当中不重要，是特别的重要，那么接下来过程当中我们来讲讲极坐标系。极坐标这个东西啊，那么大家注意一个问题，

这个谁发明的？这是牛顿发明的啊，这个极坐标。而我们经常讲的那个直角坐标是笛卡尔坐标系，那是个笛卡尔啊，这个发明的啊。你高中没有学过吗？这是初高中知识点啊，好了，那么接下来过程当中，我们来看看极坐标，什么叫做坐标系呢？大家注意。坐标系是能把一个点唯一的确定。对吧，

把一个点唯一的确定啊，就确定一个点。所以接下来过程当中，比如说我们经常讲你看这个直角坐标系，它就能确定一个点了，比如说这里面当中有一个点。对吧，这有个点的话，你发现你看我知道这个坐标，比如说是a，我知道这个坐标是b，那么同学们想想这个点是不是唯一的确定啊？大家注意啊，坐标系的东西啊，就是来进行去确定点的坐标的。

我就能把这个坐标的点唯一的确定。那么，接下来过程当中，除了这种直角坐标的，这种确定方法之外，还有没有别的方法可以确定呢？有极坐标。它怎么去确定呢？极坐标系非常的简洁，极坐标系啊，它只长这样子。诶，你发现看一个点叫极点，一个轴叫极轴。这个坐标系，

这就是个坐标系，我说啊，老师这个人怎么是坐标系，这就是个坐标系啊，你发现一个事情，比如说这是一个什么？这是个表盘。这是一个表的那个中心，然后这个指针指针指在三点钟方向哎，这条线就是一个极坐标系。哎，这就是个极坐标，那么接下来过程当中，我们来看看，如果极坐标系上有一个点。

那这个点我怎么把这个点唯一的确定呢？非常的简单，那么需要两个事情，第一个事情把这个坐标轴，你看它现在只在三点钟方向，让它逆时针旋转。逆时针旋转来走，你转转到什么情况呢？就转到这了。我们首先第一个事情对应那个夹角，这个夹角叫西塔。这个夹角就出来了，那么同学们告诉我事情，我想问你个事情。这条虚线上面的所有的点。

它的这个夹角是不是都是c塔呀？是吧，比如说举个例子，我说西塔等于45度。但是你发现你看这条线上的每个点的这个夹角都是45度啊。你发现你无法进行去确定这个点的。那么，接下来还需要第二个事情，我怎么去确定这个点呢？非常的简单。那么，在这种当中啊，再来看看这个点到这个点的距离就行。你比如说举个例子，这块有个小红人。

我就需要再怎么办？我看看这个小红人站到这上面走，你看走多远？跑到这儿。因为什么情况呢？你这上面的每个点它的夹角都是c塔，我走到这儿，你看这是一个人走到这儿，这是一个人走到这儿，是一个人走到这儿，是一个人。所以说你发现就可以把一个点唯一的确定了。因此，你会发现这个点的坐标就是r西塔。或者的话，

你发现一个事情，你写西塔r也行啊，这个是。好了，这就是个极坐标系，极坐标系的话，你发现就有两个坐标，一个坐标是theta，一个坐标是r。所以同学们想想一个事情，一个什么情况，这个平面上的任何一个点我都能进行去确定，这个人我建立一个几点？我然后的话，这是基金。

对吧，我确定了一个极坐标系，比如说举个例子，这有个点，我怎么去确定呢？让这个东西进行一逆时针旋转好转到这儿。转到这儿，知道了第一个事情，知道了夹角，然后第二个事情让这个人从这儿走，走到这儿，你发现一个事情r和c塔就能确定一个点。所以同学们通过这种方法，就能把一个点的坐标唯一的确定。哎，

这是这个事情，所以说极坐标系有两个事情，一个点叫极点。一个轴叫极轴。哎，一个点叫极点，一个轴叫极轴。而它的坐标啊，需要两个人，一个人呢，是这个r一个人是theta这个theta什么意思呢？这个theta是于极轴之间的夹角。哎，极轴之间的夹角，然后这个r呢，

是与极点之间的距离。啊，这两个东西啊，我就能把这个坐标系上的任何一个点，唯一的确定那非常简单。那么，接下来过程当中，大家跟我思考一下，请问这个c塔夹角的范围是多少？它可以转多久？你就把它想象一个表盘，那这个表盘的话，你发现你看这是这个人。我可以把它转到这儿，我可以转到这儿，

我可以转到这儿，我可以转到这儿，我转到这儿，转到这儿可以转360度。大家注意啊，不是180度，是360度，它可以转一圈的。啊，非常简单啊，这是第一个事情，那么接下来过程当中啊，我们再来讲一个重点内容，它的名字叫做极值转换。呃，

这件事情啊，是我们每个同学必须要会的极值转换。极值转换。啊，极值。转换。在这个极值转换什么意思呢？极值转换的意思就是极坐标系和直角坐标系之间的转换啊，就是极坐标。和什么东西呢？和直角坐标。啊，直角坐标之间的一个转换，所以说这个东西啊，就叫极值转换，

你看我们经常谈到这个极值转换的意思是什么？极坐标系和直角坐标系下的坐标的一个转换。曲线的一个状况，这是个非常重要的内容，黄金考点内容。那么，接下来过程当中，但是它不会直接出题。只要涉及这块的题啊，肯定要用它。那么，在这种当中啊，很多同学都知道说什么，那这个is不就等于rcos西塔嘛？y=rs in西塔嘛？

同学们，这样进行去转换的一个前提条件是什么？有什么前提条件？这是有前提条件的。那么，在这种当中，我们来一起来看看这个事情。在这种当中啊，我建立一个直角坐标系，你看这人是y轴，然后这是零，然后这是x。那么，在这里面当中，我们来看看第一个事情，

把这个极坐标系的极点跟坐标系的原点重合。注意啊，把直角坐标的原点和极坐标系的极点重合，然后它的正半轴隔这个极近，然后进行重合。跟这个集中重合，而这件事情的话条件下，那么接下来过程当中，我们就来看一个点。你看这个点在直角坐标系下的坐标是多少呢？是x，然后是y没问题吧？然后在极坐标系下的坐标呢，一个事情的话，连接起来的夹角哎，

跟极轴之间的夹角，然后的话，你发现一个事情跟这个。极点之间的距离是r，所以这两点坐标就确定这个人，所以同学们根据这个图啊，马上可以看出来s就等于多少rcostheta。y就等于多少rs in西塔，你看基本点是不出来了，但是同学们注意一个事情，利用这种转换公式啊，它的前提条件是什么？前提条件是坐标系的原点，跟这个极坐标系的极点是重合的。哎，

这个前提条件你要掌握清楚，必须是直角坐标系的原点跟极坐标系的极点重合，这时候才可以。那么，同学们想想能不能不重合呀？能不能我多讲一点，我们不会考后面的这个人的。能不能不重合呀？当然可以啊，哎。比如说我随便的找一个点。你看我随便的找一个点。我找这个点的话，你发现一个事情，我也可以怎么办？

建立这个极坐标，我说这个点是极点。这个轴是其轴。那然后在这上面的话，随便的取一个点，这个点的话，你发现一个事情在直角坐标系下的坐标就是x和y。然后接下来过程当中，你看与这个什么极轴之间的夹角，叫西塔与极点之间的距离叫r。那这个时候的话，你发现一个事情转换公式是什么x就等于x 0+rcos西塔y就等于多少y就等于这个高度y0。再加上多少rs in西塔。你看这个时候的转换公式就不一样了，当这个x0和y0取作零零的时候就变成了刚才的转换公式了。

啊，这件事情我们不会考到这儿。我们就基本上掌握清楚一个事情，就是只要直角坐标系的原点跟极坐标系的极点重合，它们之间的转换公式就是这样。那么，同学们想，将来我采用这种转换公式，我就说直角坐标系跟极坐标系啊，画图的时候不做区别行不行？可不可以？为什么我已经默认了直角坐标系的原点，跟这个极坐标系的极点是重合的，我默认了行不行？行不行可以吧？

好注意一下这个事情，我们达成这件事情的共识，所以一会儿过程当中啊，虽说是极坐标，但是我画了直角坐标，你不要意外。好，这个问题。好了，这是我们在这本当中啊，介绍的这个第一个问题啊，极值转换，那么接下来过程当中，我们来写几个吧，来练习一下。

比如说这里面当中。写几个人，你们来坐下。第一个人x方加上y方等于2x写成极坐标。s方加上y方等于四写成极坐标，然后第三个事情s方加上y方。它的平方等于多少呢？x方减去y方写成极坐标，第四个事情r=3倍的cos塞塔写成直角坐标。好，一起来看吧。那么，像这种类型问题啊，就是极坐标系和直角坐标系的一个转换，你就利用转换公式来做就行了。

当然，在这个转换公式当中啊，也有个非常简单的，你发现没？x方加上这个y方不就是斜边的平方吗？所以x方加上y方就等于r方好，一起来看看，第一时间来做吧。x方加上y方就等于r方。然后这是rcos西塔，所以说所得到的极坐标方程呢，就等于二倍的cos西塔。会了吧，非常简单，你不要跟我再说高中没有学了，

高中没有学，现在学也学会了。啊，现在学也学会了，就是差不多十来分钟的时间，这个极坐标系啊，就搞定了。也不需要说什么一节课两节课学好久好久都不需要了啊，好再来看那这个x方加上y方就等于r方，然后这是四。所以说这个r等于多少r=2。不要给我来个r=- 2。这个r是大于零的r，这个东西啊，是距离听懂我的意思吗？

好，继续再来看。那x方加上y方就是r方，这是四次方，然后这就是r方cos西塔，然后减去r方s in西塔。所以在这里当中啊，约掉这个r方cos塞塔，然后r值平方。然后是co sc塔方减去3 AC塔方就是cos 2c塔是吧？这个东西就出来了啊，基本点啊，就是利用一下这个极坐标和直角坐标的一个转换公式套下就行了。好，再来看看最后一个人。

把这个极坐标画成直角坐标，怎么画呀？好，我们先来看看。你发现一个事情在这个极坐标当中啊，我们喜欢的是r方还是r？我们当然喜欢阿尔方啊。而且你发现不喜欢cos，也不喜欢s in，我喜欢的是rco srs in。所以在这种当中，我就给它两边同时乘上r就等于三倍的rcos西塔，那这人不就是x方加上y方吗？那这个东西呢，不就变成x了？

所以说这个时候啊，你发现一个事情，这个坐标啊，就出来了。那这时候我还知道诶，这个东西的坐标不就是个圆吗？同学们，还记得吗？这个东西是个什么？这个东西是个偏心的圆。所以在这种当中啊，我可以把这个圆呢画出来。偏心的圆好这个人。那这个时候我就知道了一个事情，在一个平面坐标系下对吧？

在一个平面上的一条曲线。它既可以写成x和y的方程关系。也可以写成什么？也可以写成r和c，它的方程关系。一个r和西塔的方程关系就是一个平面上的一条曲线，能理解我的意思吗？就是它的一条曲线。当然，在这里面当中啊，你可以稍微看看呃，但是我接下来讲的这个东西啊，我其实不太想讲，你听一下就行了，行不行？

好听一下，那么在这个当中啊，取个点。那取一个点的话，你发现一个事情我们都知道，一个事情这个东西的夹角是theta。然后这个人之间的距离是r。大家都知道这是直径吧，直径所对应的圆周角是直角。没问题吧，所以说你会发现那个r是不是刚好等于三倍的cos西塔？没问题吧，刚刚好，你看这个斜边就是三，然后就乘上cos theta，

刚好是二。啊，这个东西就出来了，但是同学们，我不喜欢讲这个问题，哎，我不喜欢讲这个点，我希望同学们注意走转换公式，你就能拿下考研的分。啊，不需要走这个东西，有的时候你发现把这个问题啊，想复杂了。好，接下来继续，

我们再回来。好，再来看这个圆的这个周边呐，圆的这个边的这个方程就是r和c它的关系。它们之间是怎么对应的呢？直角坐标是这样对应的，大家听好了。当我给你一个x了之后。代进去。我就能输出一个y这个y啊，就知道了这个坐标。能理解吧，它们之间是这样的一个对应关系，但是你会发现极坐标是什么对应关系呢？极坐标是这样。

那么，在这种当中，我们连一下。当我给你一个theta。把这个东西带进去，就能得到r这个r就得到什么呢？r就得到了，在这个点一直走到这个点之间的。距离能理解吧，哎，你发现一个事情，它们是这样对应的，它不是垂直的对应的，它是给你一个夹角了之后。你带进去求出这个r就知道了，

这个极点和这个边界点之间的一个距离。它们两者之间呢，是这样进行对应的。所以接下来过程当中啊，我们必须要进行去学习一些常见的极坐标系条件下的一些重点的曲线。啊，这个重点曲线啊，非常的重要，那么首先我们先来看看第一个人笛卡尔新型线。这考研会考的。笛卡尔心形线，你学这些曲线就跟你学这个什么抛物线啦，学这个什么双扭线啊，这个什么这个双曲线啦。啊双扭线，

一会我们再讲，比如说还有学那个什么你高中当中的什么塞音曲线呐，扩散曲线一样的，那么接下来过程当中我们先看第一种。心形线笛卡尔心形线那这个笛卡尔心形线的话，你发现它有四个朝向好，那么接下来过程当中啊，我们一起来看。它有四个朝向。有人说，哎，老师，你不是讲极坐标吗？你怎么在这里面当中画直角坐标啊？那么，

同学们能理解我的意思吗？别人理解不了你可理解的了哦，你不要说你也搞不懂，知道为什么吗？极坐标系的极点跟这个直角坐标系的原点是重合的吧？好，那么接下来过程当中，我们一起来看看这四条曲线。这四条曲线不要背啊，不要背，听我来理解。那么，首先我们先来看看第一个人。第一个线的话，你发现是r=a倍的一+cos塞塔a是大于零。

好，先看这个线。那这个线的话，你发现一个事情，我来问你个事情theta等于多少的时候r最长啊？西塔多少度很明显啊？西塔等于0度的时候，这个r是最大的，它刚好等于2a。对吧c它等于派度的时候的话，你发现r是最小的等于零。那也就说我知道了，我沿着正方向跑，我能跑到最远跑到2a。我反方向跑，

我能跑到最短，我就跑到零，其实就在这对吧，它就在这，所以说你发现你看这是最远的。最后，他留下的这个线呢？它长成这样子。这就是这条线笛，卡尔新型线能听懂吧啊？就这条线要会画啊，它基本上就是个朝向。对吧，往正方向跑的话，你发现跑的是最远啊，

就是2a距离反方向跑，跑的距离是最短啊，就是零的距离。所以说最后得到的曲线就这根线啊，叫做笛卡尔心形线。其实你发现啊，真正的这个迪卡尔信息线要比我这个东西啊，长得要胖一点，你能听懂我的意思吗？我们这个画的好看一点。啊，但是实际上要更胖一点，更远古一点，你想看看吗？我给你找找。

好，我来给你进行去看一下啊，实际上长的这个东西啊，它有点胖啊。你看它在这。西行线。好，就这条线。你看这个人，这个人长得有点胖，你看这个外边线，外边线的话，这个线呢，它就是个心形线。是吧？

好，这是这个事情，那么接下来过程当中，我们继续回来，我们再来看，那如果这里面当中，我继续写r等于a倍的一减cos二c塔呢？啊cos theta呢？那这个时候的话，你发现个事情，它往哪边炒？这个时候什么时候最长呢？那很明显，如果这个西塔取派度的时候，它是负一，

所以说这个东西啊，往回跑。对吧，往回跑往回跑的话，你发现一个事情，那这个人呢？他就跑到这儿来了。所以说往回跑，这是负2a，然后如果这个西塔是0度的时候的话，你会发现刚好是零，所以说最终的话，这条曲线呢，它就这样。哎，

这条曲线最终就变成了这样。好，这个信息线好，这个东西就是朝向，这个朝向的话刚好是多少这是负而已啊，这个点能掌握清楚吧，这两个人呢？然后接下来过程当中，我们就继续再来看那第三个人，那第三个人的话，还有这个r等于多少a倍的，一+s in西塔。还有这里面当中的r等于a倍的多少一减s in西塔。好，这两人那么这两人的话，

你发现我们继续看。好，再看第二人，那这个人的话，你发现那个尖朝哪？什么时候最长非常的简单c，它等于二分之派往上跑，那这个时候最长往上跑，最长2a往回跑，最短。所以说最后的话，你发现这个心呐，它就跑成这样。好这个心对吧？往上跑那么同理而言的话，

你会发现这个心呢？它就会往下跑。好注意下这个事情，这是负2a，记住这四幅图。所以在这种当中啊，你就记住一个事情就行哎，就是a1加减cos西塔，这是a1啊，这个什么一加减cos西塔，还有a1加减s in西塔。就是指的四个朝向，朝上朝下朝左和朝右这个新型线呢，叫做笛卡尔新型线。笛卡尔新型线。

啊，我相信很多同学听过这个故事，对吧？你去看那个有个广告对吧？就是那个百岁山那个广告那个老头啊，就叫笛卡尔啊，那个老头就叫笛卡尔啊，讲的是他跟一个这个。啊，公主之间的一个故事，对吧？最后的话，你发现不能相见，他就给他了一个公式啊，就这个人好，

这个新形线呢，我们就讲到这，这个新形线你必须要记住啊。万一考研过程当中，你发现一个事情，考过这个事情对吧？让你继续去求出这个部分的面积，你要注意到好，那么接下来过程当中，我们再来看看第二事情。第二种双扭弦。哎，双扭线。这个双扭线的这个方程呢？它的方程是这样叫做x方，

加上y方，然后它的平方等于a方倍的x方减去y方。好，这个人那这个人的话，你发现一个事情，现在看呢，极其的恶心。对吧，相当的恶心，但是你可以把它转一下x方，加上y方，这是r方，然后这里面当中的话，又是r方cos塞塔方。然后这是r方s in西塔方。

然后这里面当中的话，你稍微一转约一下，约一下了之后的话就变成了cos西塔方减去s in西塔方就是cos多少？二塞塔就变成了这个人，那这条线长什么样子呢？这条线呢，叫做伯努利双扭线，它长的是一个扭的一个疤。哎，我给你看看，就这个人。好，你掌握清楚这个人就行。注意啊，我没有讲的这些曲线，

你可以不用看，就这条线。那么，这条线的话，你发现非常简单，一个事情大家可以瞅。当这个y=0的时候，对吧？y=0的时候？y=0的时候x啊，你发现一个事情，它刚刚好是a。所以说在这里面当中，你要注意一个事情，看到这个系数了吗？

这个系数啊，其实决定了这个部分的长度。哎，这就是这个人，他就是个无穷大，扭了一个疤，但这里面当中要注意一些信息点，你看这个cosine theta大家都知道，比如说这个theta是从零到二分之派跑。它就能从最高哎，在这个第一象限当中，它就可以跑，但是你发现这里面当中是2c塔，所以说它只用跑到零到四分之派。只要你西塔跑到四分之派，

你就能让二西塔跑到二分之派，所以这里面当中啊，它有一条不是间接线啊，这是它迈不过的线。这条线它是迈不过的。然后接下来过程当中，这边它也迈不过。好这个人，所以在这里当中啊，它的最大的夹角是45度。啊，最大的夹角是45度，这是你要注意的，能想清楚吗？叫伯努利双流县笛卡尔的新斜线。

伯努利的双流县好，这两个人。这考研过程当中啊，喜欢考的先好了没？同学们掌握清楚吧，讲了半天啊，就讲了一个极坐标系。极坐标系是什么？极坐标系怎么转换？然后极坐标系下当中两条非常重要的曲线，我们就讲到这，然后剩下一些事情。别的东西你就不用看了什么的，这个对数螺线啦，什么这个什么阿基米德螺线啦，

还有这里面当中的什么这个。三页没贵线了，四页没贵线了，这都不用看了，你不用管这个事情，本来的话，考到这儿考到这儿已经了不起了。非常了不起了，对我们三九六同学的话，你发现已经非常的稳了，不用再看了，好了，这是我们在这里当中啊，讲的事情，但是大家注意啊。

真正的重点才刚刚开始，你要注意一个问题，我们所有的这个重点应该要干嘛呢？我们要进行去求面积。对吧，去求面积那极坐标系条件下怎么进行求面积呢？这是个重点。所以接下来过程当中啊，我来讲讲这个事情，我们来推一下可以吧？你有没有兴趣啊？啊，比如说举个例子，我们来看看。我来画一个极坐标系。

对吧，这个点。这个几种，然后在这种当中来了条曲线。好，这条曲线这条曲线的话，这个边呢是r和c塔之间的一个方程关系，然后接下来过程当中你会发现一个事情，它是这样子的。这个最大的夹角是阿尔法d。那怎么去求呢？有人说啊，那这个很简单啊，不就是从零到阿尔法阿尔塞塔对西塔积分吗？胡来。

注意啊，这个东西跟直角坐标还不一样。不要乱来，我怎么做呢？我可以采用微元法来做。啊v元法来做原来过程当中求值叫坐标。你可以把这个a到b切切切成很多份。那么，现在过程当中，你告诉我事情怎么去切？怎么去分割呢？你要是对这个推导没兴趣，你就记住那个公式考研，照样不影响你考满分。好，

那么接下来我们再来看，那你想这一类目当中是这个夹角，你怎么办呢？那我就把夹角。哎，注意啊，切成很多份。把这个夹角切成很多份，把这个夹角切成很多份，然后在西塔处。到c塔DC塔处取一个夹角，为DC塔的夹角。你能理解我什么意思吗？就把这个东西切成很多，切成很多呢，

然后在这里面当中，哎，你就发现一个事情，我们来看。也就说在c他处。这个夹角是c它处取一个长度呃，这个夹角为多少呢？夹角为DC它的夹角。注意这个夹角就非常小，同学们想想一个问题，这个夹角非常的小，我就近似把这个斜边。看成圆弧边行不行？你觉得怎么样？没问题吧，

因为你发现一个事情非常小。非常非常小，就这个夹角太小了，这个夹角是多少？这个夹角是DC的。因为你实在是太小了，我就近似把那个斜边看成圆弧边，那这个时候的话，你发现我把这个东西抽出来。抽出来抽出来不就是个扇形吗？那这个夹角是DC它。那同学们想想诶，这个半径是多少呢？我们刚才讲过一个事情，当你知道了这个夹角，

你就把这个东西带进去，你就知道了这个到这一块的之间的一个距离。所以说这个部分刚好是多少rt heta？所以接下来过程当中，我们去求一个扇形面积，扇形面积会求吗？比如说你会发现看这是个扇形。扇形面积怎么求？这是圆弧边吧，然后这是半径吧，这是theta吧l是不是等于the tar？然后这个面积等于多少？等于二分之一lr吧l等于多少l等于西塔r吧？就是西塔r方。这个掌握清楚吗？

这是你的小学公式吧，这应该是小学学的吧？啊，这个基本内容就说这个扇形面积怎么求啊？就是二分之一c塔r方。好，这个人来接下过程当中，我们继续回来，那所以说这个v圆的面积就出来了。那这个微圆的面积的话，你发现一个事情就等于多少呢？就等于二分之一，然后的话，你发现这个半径的平方，再乘上这个夹角。

好，这个事情是不是出来了？所以说接下来过程当中这个总的面积呢？那总的面积非常简单，就从起点起点的这个夹角是0度。中点的夹角是阿尔法度，然后是二分之一阿尔法d塞塔，是这样的一个基本公式。所以这是一个基本公式啊，这是一定要记得刚才的推导，我不管你掌不掌握清楚，但是你注意啊，这个公式一定要背。把这个公式啊，记清楚。

它的积分公式是多少？是二分之一r方DC塔就是这个斜边呢，这个斜边是r和rc塔的关系。r和theta的关系，然后把它写成二分之一r方d theta呃，这个东西就可以了。基本点掌握清楚了吗？好，那么接下来过程当中啊，我们来看看这个事情。怎么去求啊？非常简单了，来吧，走一下。首先，

我们先来看看这里面当中的第一个部分的面积，就这个面积。这个面积的话，你发现看第一个夹角是阿尔法多，第二夹角是贝塔多，所以说就是二分之一r方。从阿尔法到贝塔，它的积分。哎，就是你发现你看这个斜边。这个斜边是r和西塔的关系，就是二分之一这个r方d西塔从这个阿尔法度积到贝塔度。啊，就出来了。能掌握清楚吗？

好，这是我们讲的这个第一个事情呃，然后再来看呃，这个拖远了，这个其实就是这个边的方程能理解吧？好，那么接下来过程当中，我们先来看看这里面当中的第一个人。那这个面积呢？这个面积肯定是二分之一阿尔法到贝塔r一方d西塔。然后这个总的面积呢？这个总的面积是二分之一，阿尔法到贝塔r二方DC塔。所以在这里面当中啊，两个东西减一下就行了，

就是二分之一r二的方减r一的方，大家注意，这里面当中有一个问题点。有些同学容易写成这样，写成二分之一阿尔法到贝塔，他就写成了阿尔法二r二减r一的平方。同学们告诉我对不对。这当然不对呀，这俩东西不一样。你你减我的平方跟我的平方减你的平方，这是不一样的。它很明显，一个事情是第一个人的，这个对吧？这个人减去这个人。

你要注意这个事情是第一个人的平方，减第二人的平方，要注意一下这个事情，在这幅图当中呢，是r2的方减r1的方。要注意这个问题啊，是这个人偏方。浅这个人品吧，所以说像这幅图啊，这个部分的东西一定要记住。能照顾清楚吗？极坐标系下求面积就是二分之一，斜边的这个平方DC它就行。呃，非常简单，

记住公式就会做题，所以接下来过程当中啊，我们一起来看看这里面当中的第一个题来操作一下吧，看一下。看一下这题。看一下这题这个题啊，它给了一个事情，它说这个极坐标方程给了你。然后夹角给的，你说这个l所围成的这个平面图形的面积，你说这个题简不简单？他说老师这个图不知道，你管他呢，边到方程给的你夹角给的你，你就直接列式子呗。

所以说这个面积就等于多少就等于二分之一，然后是这个r方DC塔，然后这里面当中的话，刚好是从负六分之派。积到六分之派，然后接下来过程当中啊，把这个东西带进去就行，是负的六分之派到六分之派，然后是cos 3西塔平。平方DC的。那么这个题就一下做成这样，然后再来看对称区间下，先向奇偶性，那很明显这个cos这个人呢？是个偶函数。

偶函数这个东西啊，就二倍二倍一下就变成了零到六分之派cosine多少三西塔的平方d西塔。好，做成这样了。那么做成这样了之后，这个题怎么算？我们来看看怎么做？那么，首先我们先来看看第一种方法。那我们都知道偶数次方呢，你直接降b就行，所以说就是零到六分之派，直接是二分之多少一加上多少。cosine多少6c塔DC塔是不是可以啊？把这个东西怎么办？

降个咪。降幂公式一操作就行，所以在这里面当中的话，第一个事情就是零到六分之派二分之一d塞塔，然后是二分之一零到六分之派。cos 6c塔DC塔。那么，接下来过程当中，我们再来看那第一个人的话，你发现二分之一这个积分，结果六分之派，然后这个结果二分之一，你在后面补个六。前面乘个六分之一，这个结果就是s in六西塔把零和六分之派带进去。

所以说接下来过程当中啊，马上出来就12分之派，把这个零带进去，零把这个带进去啊，也是零，所以说这个结果就是12分之派。对吧，这是第一种方法。那么，接下来过程当中，我们再来看看还有没有别的方法呢？好，我们继续抽。哎，这个题我觉得非常特殊啊。

你看这是六分之派。这是三西塔。六分之派三西塔，如果把这个三西塔进个零，换个圆三倍的，这个人不就变成二分之派？我喜欢二分之派对吧？我非常喜欢二分之派，所以说这个时候的话，你发现我可以这样做。我就在这里面当中啊，首先第一个事情我直接来换个圆。我就在这种当中，令这个三西塔等于t。可以吧，

我一换的话，你发现换圆角换线零代去零。然后这个人就变成了二分之派cosine t的平方。然后这个时候啊，你发现一个事情，你看这个西塔等于多少呢？这个西塔刚好等于三分之一，然后t因此你发现是三分之一dt。所以说这个时候的话，你发现变成了三分之一零到二分之派cosine t的平方，然后dt我就可以怎么办？我就可以点火了呀，所以在这种当中立即点把火就出来了，二一二分之派。12分之派那么相对比而言的话，

你可能会发现这个第二种计算性方法要更加的强一点。对吧，操作性可能会更强一点，但是大家注意啊，像这样的一个题啊，你在两分钟范围内应该是能做完的吧？基本点呗，列一个式子，做一个计算难度系数一点都不大。所以说像这样的题啊，我们最近几年都没有考过。要注意啊，这最近几年都没有考过。所以我相信这种题啊，你放到经验过程当中去考研，

我们三九六同学非常适合考。两分钟范围内绰绰有余啊，这样的一个基本点。过去了，可以吗？来继续吧，我们再来看一个题。好，再来看看离。让我们去求解。星斜线。这个星行线的话，我们可以看一下这个是。我们来个难一点的那个啊，就一+cos西塔这个人。

它所围成的面积。好看看这个人怎么求？新形线所围成的面积。那么，首先第一件事情的话，我们可以看一下这个人的图形。这个人图形的话，你发现是这个心形线朝向哪个背啊？哪一半？那非常简单吧，你看这人什么时候最长，那这个时候最长，这是2a所以说的话，这个人的图形就是这样。哎，

这样的一个信息线，那么这个信息线的话，你发现你看上下是对称的，那上下是对称的话，同学们，我是不是只用做这个部分？对吧，我只用算这个部分，所以说s这个人呢，就等于二倍的s1。哎，二倍的我算一半，这个部分的话，我算成s1，那么接下来过程当中，

大家都知道这个斜边的这个方程是知道。斜边是极坐标方程，所以接下来过程当中，我们就来练一下来，直接写二分之一夹角，那这个夹角从多少呢？这个夹角的话，你看这个点哎，这个起始点的话，刚好在这。然后让这个东西转转，转到什么时候转到这个时候的话，它出去了。你能听懂我的意思吗？就从这条线转转，

转到这个时候出去了，所以夹角应该是零到派。然后这个斜边呢，斜边平方是a方，一+cos塞塔的平方，然后d塞塔。是吧，求解这个人那么求解这个人的话，你就发现高手做题了。很多同学的话，你发现你会做会做的非常快，不会做这个题就做的非常慢了，那么首先第一个事情把a方提出去零到拍。然后这里面的呢，是一+2倍的cos theta，

加上cos theta的平方，同学们，我们掌握住了点火公式的一家人做这种题，是不是秒了？所以首先第一件事情，我们来看看那第一个人的积分呢？低音积分上限减下限，那第二人呢？那像cos这个人的积分图像是这样。那图像是这样的话，你发现上下面积是一样，但是一个是正，一个是负两个，一加是零，再来看这个人。

点火工是一家人吧？零到派，然后是偶数次方翻上去是二倍的。二倍的话就可以点火，二一二分之派本题结束。你看你要是做的快呀，你速度上来了，你看这个类型问题啊，非常的简单。那所以像我们进行做这种题啊，应该是在两分钟范围内做的绰绰有余的。啊，基本点好了么？同学们掌握清楚啊。你要看家教吗？

嗯，看不懂吗？你这不是歧视家教吗？你要看这个阴影部分的这个夹角。那刚才就白学了。嗯，怎么能是这样呢啊来？那我还复习了半天的这个习坐标系啊，那么接下来过程当中，我们继续看。我再来想想一下，我们只求这一半听懂吗？我们只求这一半听懂了吧。然后接下来过程当中，你来给我进行去瞅一下，

请问同学们注意这个东西的图形的起始点是在何处？它的起始点在这。我来想想这个极坐标是怎么动的？极坐标就像一个指针。呃，就像一个指针。这根针的话，你发现这个点是个固定的点。然后你看转转转。是不是这个事情，所以说你发现一个事情，马上这个东西出来了，你告诉我这个点。这是不是起始点？那这个起始点的夹角是多少度0度嘛？

然后你转你转呃呃。然后你看你转你转你转你转到这边的切线不刚好出去吗？这边是相切的。啊，你这还有转的转的转的，这时候相切出去了，那不领导派吗？好注意一下这个事情，它的中心点是固定的，然后这个夹角在动。能理解吧啊，基本点。好，那么这个题啊，我们就讲到这了，

来继续吧，再做一个。好看一下零。啊例二例二的话，那么接下来过程当中，我们让你去求什么，我让你去求这个。x方。加上y方，它的平方等于a方倍的x方减去y方所为面积。啊，怎么求那么接下来过程当中，我们再来看看这个人，那么请同学们告诉我这是什么线啊？这刚讲到，

你要如果这个东西不认识啊，几秒钟的记忆都没有，这第一个啊，这个什么伯努利双牛星。那双扭线的话，你发现我可以先把它写成极坐标，那就是r四次方，然后是a方，然后是r方cos西塔方。然后再减去r方s in西塔方，那么这里面当中的话刚好是r方a方倍的多少cos 2西塔。那么，接下来过程当中，我们来把这个双扭线我们拿过来。这就是这个双扭线，

这个双扭线的话，你发现一个事情很明显，它最长的话刚好是a，那我来问你个事情。求这个面积，你觉得是用直角坐标好求呢，还是用极坐标好求啊？直角坐标好求吗？直角坐标非常。恶心相当的恶心。那很明显，直角坐标的话，你看如果你是从零积到这个a，你要看看这个y，你能把这个y解出来吗？

y解不出来。所以用极坐标，那极坐标的话，你发现我只用算第一象限吧。那这里面当中的话，这个总的面积不就等于四倍的第一象限的面积吗？来回答我怎么操作等于二分之一。然后这里面当中啊，这个夹角告诉我夹角是多少？夹角是多少？我刚讲了啊，你这个边是0度线吧？你转到这儿是最大的。45度是最大的，所以在这里面当中就是0度到多少四分之派，

然后这里面当中刚好是r方。那r方是谁？这个斜边的平方，那这个斜边的话，你发现平方刚好是这个人a方cos 2c塔，有没有发现相当的巧啊？而且这个积分还非常好记，那这个积分的话，你看这刚好是多少？刚好是二倍的a方零到四分之派，然后就是cos 2c它的积分。而且你发现这个积分毫无压力。把这二补进去，补进去了之后的话就变成了s in 2c塔零到四分之派，所以说这个结果就等于a方。

巧妙吧，零带去零嘛，四分之派带去是三又二分之派，刚好是一，所以说这个结果立即算出来了。基本点相当的巧妙啊，这个人看清楚吗？这个人。好了，这个点呢，我们就讲到这，这叫伯努利的双流县，对吧？它所围成的这个面积，而且你发现你看这个积分难度系数一点都不大。

你只要能列出式子积这个分特别简单。那所以说到了今天过程当中，我觉得运算能力倒不是一个问题，你最重要问题，你得把这个式子列出来，哎，这是个基本信息点。所以我觉得这个经验过程当中考这个东西的几率，我觉得还是非常有感觉的。你很明显一个事情，这个东西显得很重要。好几年没考哎，注意下这个问题好，那么接下来过程当中我们再来看看下面的事情参数，方程所确定的曲线求面积。

好，再来看第三个事情。呃，这个内容是数学三同学不要求的，但是我们三九六同学还得学一下。三九六同学得学一下，那么接下来过程当中，我们来看看这个事情，来看看参数方程。那么，首先第一个事情，我们先来讲讲这个参数方程呢？所确定的曲线。这是个y，这是个零，

这是s。然后这里面当中有一条曲线。这条曲线是谁的？谁和谁的曲线呢？哦，瞌睡了吗？哦，那就睡啊，因为这块特别重要，你想想这么重要的东西，这就是拉分点呐，对吧啊？好了，那么接下来过程当中啊，我们就继续。

不要勉强啊，不要勉强。啊，千万不要勉强好了，那么接下来过程当中，我们就继续，我们再来看看下面一个问题来，这一类目当中的话，马上出来两个点。这个点是个a点，这个点是个b点。然后这里面当中啊，其实就是有两个点，然后有条曲线，大家注意一个事情，

这条曲线是怎么确定的呢？这条曲线是这样确定的x和t之间的关系，知道y啊和t之间的关系，知道。但是你要注意一个事情，然后它们最终确定了一个什么东西呢？y跟x之间的关系。对吧y跟s之间的关系，请注意一个事情，这个y跟x之间的关系你知道吗？你知不知道？不知道，我讲过这个事情。你发现这个东西就像什么样呢？就像是那种特工一样。

对吧，跟这种特务一样，地下情报组织一样。你发现一个事情，你看这个x。我只知道跟t的关系。这个y啊，跟个t关系，这个t就像个中间人。然后这里面当中的这个x和y永远都没有见过面。有可能在这一辈子里面当中，他们都没有见过面。从来没有见过面，他们只知道哎，我知道找到他，

我就找到你，找到你就找到他。就这个情况t作为一个中间的枢纽，把你俩扭起来了，但你们俩之间的具体关系呢，我不知道。有可能这一辈子他们都没有见过哎，这个情况能理解吧，就这个意思，所以同学们你告诉我个事情。这个人的关系知道吗？知不知道哎？那你告诉我个事情y跟x之间的关系，知道还是不知道？当然不知道。

那如果知道的话，你发现一个事情，那这个面积就很简单了，那就y对x的积分就出来了。但是你发现这个y跟s这个表达式是写不出来的。所以说你没法记。那么，接下来过程当中，我们来看看那这种面积怎么做呢？哎，其实非常简单，两步走第一步。先写直角坐标求面积。直角坐标的话就是a到b，然后这个y，

然后对x积分。那么，在这种当中，马上出来了，就是这条线的这个y对s积分。但是同学们都知道一个事情。这个y我只知道跟谁的关系啊？我只知道跟t的关系，我不知道对s的关系。所以我对s积分是没法记的。你看看吧，参数方程永远都在干这个事情，我总结一下。我想对你求导，但我不能对你求导，

我要间接着对你求导，到了今天呢，我要对你积分。但我不能对你积分，我只能间接的对你积分，是不是这个事情他只能对谁积分，他只能对t积分，所以同学们。就把这个东西相当于换元法送进来。注意下这个事情，就把这个s跟t之间的关系相当于换元法送进来来吧，同学们换进来。一换哎，这人就可以写成t了，然后这是is对t的导函数dt。

那这个时候的话，你接下来你发现换元是不是要换线啊？换线的话，你发现就得换成阿尔法和贝塔。那这里面当中的话，你看s是有范围的。对吧，你得换成谁的范围？你得换成t的范围？然后这个时候的话，它就是阿尔法到贝塔。要注意啊，换元叫换线，所以他对他的积分第一步先写直角坐标，第二步干嘛把这个x啊相当于换元法塞进去就行？

相当的简单。先写直角坐标，然后再把这个东西相当于换元法送进来啊，这个。然后接下来过程当中啊，我们再来看看四点二八这个题来再来看看这个题。这个题啊，我记得去年过程当中这个三九六的模拟卷里面见了好多这种题。对吧，好几套模拟卷里面当中啊，就让你去求这个心形线所围成的面积啊，这是y。让求这个面积。这条线呢，我来讲讲新型线啊，

很有意思啊。那么，在这种当中，我们先来看一个人，那么同学们。这条线你知道吗？这个人认识吗？认识吧，认识了你，发现x方加上y方不就等于a方吗？那所以说在这里面当中，这幅图是什么？这幅图是个圆吧。哦，这幅图是个圆。

大家注意，这幅图是个圆。这个圆的话，你发现它的这个交点的话，刚好是AA。负a，负a。然后接下来过程当中，大家来瞅一下。诶，我给这个人打个三次帮。我打了一个三次方，同学们，你发现你看这个点的坐标变了吗？这不就是theta=0 t=0的时候嘛。

你t=0的时候的话，你发现cosine 0是一你三次方以下还不是一你还是a？你零的时候的话，这人还是零，他没有变。然后这个点变了吗？也没有变，如果这个t=2分之派的时候，它认识零，然后这是一一的三次方还是它？但是同学们注意，中间的变了吗？就这四个点，它是没有变，但是你告诉我中间变了吗？

中间变了。哎，中间是变了，为什么中间的话，你发现这个s in的话，它是范围是负一到一。负一到一的话，你发现次方数越大，反而变得小，所以中间呢，它是变的。它变小了。所以说最终的图形啊，它就长这样。哎，

就这幅图，这幅图叫什么叫星形线？啊，新型鞋。像个星星对吧啊，这个人。好，就是这幅图。所以将来过程当中，我相信你再也不会忘掉这条线了，那这条线非常简单，其实你发现先画出这个圆。然后打成三次方就变成了心形线。好了，那么接下来过程当中，

我们来看看这个面积怎么求来解吧。s求解这个面积的话，你发现一个事情，我就可以求解什么四倍的第一象限的面积。然后接下来过程当中，大家想。这是一个什么情况？这是个直角坐标吧，那么首先第一步干嘛先写直角坐标就是从零到a这条星形线的y对s积分？但是大家都知道这条心形线的y啊，它喜欢写成谁的函数？它喜欢写成t的函数。它跟x之间的关系啊，是不好找的。他喜欢写成t的函数，

所以我喜欢对t积分，那么怎么办呢？就把这个x相当于换元法。塞进来哎，把它塞进来，你就相当于换元呗，来我们一起来看啊，换元叫我换仙，等会再换，那这个时候的这个y就可以写成t的函数了。a倍的s in。啊a倍的sint的三次方对吧？就可以写成t的函数了。然后接下来过程当中，我们就继续看。

你看把这个y就写了。然后接下来把这个s塞进来，你塞进来算了吧，我们写慢一点，然后这就是a倍的cost的三次方。然后接下再看这个东西当中啊，比较重要的就是换元要换先，大家想想，如果这个x是零。t是多少？你是零的话，你发现cosine t就是零，那t是多少t？刚好是二分之派。如果这个s是a。

你是a的话，这个cosine t就是一。cosine t是一的话，它刚好是多少零？所以说它应该是从二分之派到零，好注意一下这个事情啊，从二分之派到零。然后接下来过程当中，你可以把它整一下，这是从二分之派到零，你该是什么就是什么，是什么样子就是什么样子。然后就求导，求导的话就是刚好是3 a cost的平方，然后这时再求导呢，

是负的s in tdt。中间变量还要再求导，所以说接下来过程当中把它移出去就12倍的a，然后它的平方，这是不是有个负号？负号用来变换上下限，然后这里面当中就变成了sint的四次方cost的平方，然后dt。哎，就求成这样了，那么求成这样了，之后的话，这个题怎么做？怎么处理啊？会做的同学非常快啊，

你要不会做的同学这个题就墨迹了，怎么做这十二分之a方，然后这是零到多少？二分之派，那么接下来过程当中，这个结果怎么做？对，非常好，把这个东西啊写成一减，那就是它的四次方。再减去它的多少六次方，接下来过程当中就可以使用点火公式了。一点四三二一二分之派。然后是六五四三二一二分之a。那么这个题啊，

立即出来了，所以像这个参数方程确定的第一件事情写直角坐标，第二件事情把这个s的关系啊，相当于换元法塞进来。一出来就行了。啊，基本考点。好了呃，那么这个题啊，我们就讲到这儿，你看新形线的问题对吧？下去过程当中要会做啊，这里面当中我讲了好多这个。新的一些曲线啊，这节课非常重要，

行吧，我们稍微休息会儿吧，因为你发现一会儿过程当中我讲的这个内容，这是必考内容。我明确跟你讲。这个部分内容是必考的好了吗？同学们，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续，你下课稍微休息会儿。一会儿过程当中拿出你最好的状态，然后来听这个部分内容这件事情啊，在我们今年考研过程当中一定会出题，你放心吧，100%的。

好，稍微休息会，一会继续。

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