22.反常积分与定积分应用（1）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:44:58

我们再来看一个题啊呃，这个题啊，是一个同济七版教材上面的题来我们来看看这个题，如果今年考上这样的一个类似的类型问题，我们怎么把它秒了？你看他写的过程呢，非常的繁琐，那么在这种当中，我们其实只需要一行就出来了。那么，在这种当中啊，我们稍微的进行去看一下，你看这个积分结果等于多少？零到正无穷te的多少负的PT，那么根据刚才过程当中，

我们讲了一个事情，你看零到正无穷。然后你发现这是x，然后这个东西是e的负x，这个结果呢？是一的阶乘是不是一啊？是不是这个情况，它的结果是一那你想想我把这个东西能不能往上面凑一下，那怎么去凑呢？这是零到正无穷。我发现了一个事情，这是e的负的多少？你马上会发现一个事儿，它的第一个部分，它这个部分写的是PT。

你既然这个部分写的是PT，我进行去怎么办？我把这个东西啊模仿一下，你看这是PT，那前面就是PT。所以我就在这儿补一个PT。那补一个PT了之后的话，你看你补一个p前面是不是要乘上p分之一啊？能理解吗？那这个时候你看这个部分不就是x吗？这个部分不就是x吗？如果你做个换元的话，就是零到正无穷x1的负x。所以说这是一次方直接秒了p分之一一的阶乘，就等于p分之一。

诶哦，这个后面还没补，等会儿。这后面还没补，所以说你发现你看这是零到正无穷，这是多少呢？这是xe的负sds。所以同学们注意啊，这是零到正无穷，你发现这是一个t，你补一个p吧，然后这是e的多少负PT，你是不是要在这儿还要补一个？补一个p啊，所以说前面有个p方哎，

能理解我的意思吗？所以你看这个时候其实就凑上去了，这个整体是不是x？这个整体是不x，这个整体是不x，你让往上一套一套的话，这个人其实就出来了，就等于一的阶乘p方分之一。哎，能理解我的意思吗？大家注意啊，你看这种题啊，将来过程当中我们就做的非常快了，这种东西就是去凑这个伽马函数的这个推论。哎，

能理解我的意思吗？哎，注意一下这个事儿。还想赚必胜套装啊，这因为后面还有一个d，我没有写dpt，然后再来一个平方。来个平方，来个平方好，这个事情能跟上吧，所以像这种题啊，你发现一个事情操作起来就非常快了。对吧，就进行去凑这个伽马函数的推论。好了，

那么这个事情我们就讲到这儿，然后今天下去过程当中啊，你把这个呃反常积分部分的这个作业啊，你好好做一下。你像这里面当中的这个题，就是在凑这个人的结论啊，然后这里面当中的这个题呢，我觉得还好，这题不是特别难。这个题如果你不会做，你可以进去去看一下我的那个睡前系列，睡前系列的那个数一数二数三同学，睡前系列有一天晚上更新了这个题。你去看一下好了，这是这个部分内容吧，

我们就讲到这儿，然后另外一个事情啊，这个题你要做的快一点。你直接去套那个行列式的那个公式吧，就把它出来了。好，那么这个题我们就说到这，那么接下来过程当中，我们来看看新的部分内容。那么，接下来过程当中，我们正式的进入到新的板块，内容叫做定积分的应用啊，定积分应用这个板块内容我们核心重点是非常重要的。考研过程当中，

黄金重点内容定积分的应用，那么接下来过程当中，我来说一下我们三九六同学的考纲要求啊，那么在这里面当中。你要注意这个问题，我们来说一下三九六考纲要求。那么，在这里面当中，我们的考研过程当中会学习多少部分的问题呢？那么，在这里面当中啊，有以下几个内容，那么首先第一个事情叫做求面积。第二，事情求旋转体体积。

啊体积，然后第三个事情叫做求弧长，第三个事情呃，最后一个事情叫做求旋转表面积。这就是我们大纲要求的过程当中啊，这四个事情你要会进行求面积，你要会进行求旋转体体积，我来说一下这个事情。很多同学按照数学三同学复习，这就是个bug。数学三同学只要求前两个内容。你能听得懂我的意思吗？数学三同学只要求前两个内容。它们是不要求求弧长和求旋转表面积，但是同学们注意，

我们是有对这两个东西的要求的。这两个内容啊，是数学一和数学二同学大纲，有数学三同学没有，但是我们三九六同学也要求二零二一年的考研真题就考了，求弧长。所以在这里面当中啊，你要稍微进行去注意一下这个问题，不是说我们啊，这个按照这个数学三不是说我们的这个大纲的内容，有些部分的要求比他们还多一点。你要注意一下这个事情好了，那么接下来过程当中啊，我们直接开始。呃，

在学习这章部分的内容啊，之前大家注意啊，你必须要学会微元法。对吧，必须要学会微元法，那么这个微元法呢？我们考研过程当中不会考物理应用，所以这件事情你大可放心。因为我们学的是经济学。我们将来过程当中，有经济学应用，比如说什么东西呢？这个弹性。对吧，什么叫弹性，

什么叫边际，什么叫成本函数，什么叫收益函数，什么叫利润函数，像这种东西我们会考。但是同学们，我们不会考物理应用。你发现一个事情，它就算考题再离谱，你再离谱的话，他也不会忘了我们是学经济学的。那所以说在这里面当中，核心重点的话，如果把这个内容出一个物理应用，这就又太离谱了，

所以我们过程当中啊，不用进行去重重点进行去学什么内容呢？不用重点进行去学，我们刚才过程当中，我所说的这个位元法好，那么接下来过程当中，我们就直接开始，我们先来看看第一个部分问题。求面积，那么在求面积的过程当中啊，我们核心重点有三个事情，第一事情是直角坐标系下求面积这个东西啊，太简单了。这个内容太简单了。那么，

在这里面当中，我们来看看这个事情吧，那么这里面当中有两种情况，第一种图形叫x形图。那第二幅图叫什么？第二幅图叫y形图，你能分析清楚吗？什么叫s形图？什么叫y形图？如果你要真的说定义的话，就这样说，做一条垂直于s轴的线，顶多有两个交点。做一条垂直于y轴的线，顶多有两个交点。

你看你这个人做垂直x轴的线，就有多个交点，那就不好了。s型和y型，但是你发现一个事情，就这个部分的定义，你说这个定义干嘛呢？t1的话，你发现还不如不说，只可意会不可言传，你能看出来这是s型图吗？你能看出来这是y形图吗？x型图就喜欢往x轴上投影。y形头就喜欢往y轴上进行投影。你要注意啊，

咱俩学的是一个概率论吗？我怎么没有在概率论里面当中见过这个人呢？咳咳，你可说的是那个二维随机变量是吧？二维随机变量概率密度函数的有效区域画一下吧，但是跟这个东西啊不一样啊，不要乱来。我知道你说的那个内容，那学的什么东西呢？二维连啊，这个连续型随机变量给了联合概率密度函数，我们去画这个人的有效区域。哎，你发现就是画图，你不要看到图就是这个东西啊，

不一样好了，那么接下来过程当中，我们先来看第一个事情，这个面积怎么求？那么，首先你看看这个事儿，这个人的面积怎么算呀？这个面积就是从a到by 1s的积分吧。那么，同学们再来看这个大的面积呢？就是a到by 2s的积分。所以说这个中间部分的面积呢？中间部分的面积就是用y1啊y2-y一的积分。所以你看这是y2对s的积分，减去y1对s的积分。

好，这个非常简单，那么接下来过程当中，我们再来看看第二个人啊，再看这个人。这个人呢？就不适合往x轴上投影了，他适合什么往y轴上投影？往y轴上投影的话，同学们想想那这个面积怎么算呀？这个面积就是c到d，然后是x1y对y的积分吧，同学们注意啊，一定要把这条线写成y的函数。y的函数了之后啊，

对y进行积分c到dx 1y对y积分。那么，同学们再来看看这幅图。那这个面积呢？这个面积就是c到dx 2y对y积分非常简单吧？那么同学们想想中间这个部分面积呢？中间这个部分面积就是这个人减这个人。那这个很简单啊，就是对y积分要把这条线把它的x解出来，写成y的函数。简不简单？相当的简单啊，非常的简单。那么，在接下来的过程当中啊，

我们来看一个事情，但是啊，我觉得这个问题啊，我必须得说。那么在啊不不不要提反函数就提远了。你说反函数就说麻烦了。你谈简单一点，对吧？大道至简。一个非常繁杂的东西，你发现能用很通俗的话进行去描述它，这就是个水平大道至简，不用把这个东西往繁杂上面进行说。好了，我们来看看一个事情，

比如说这里面当中，我们先来看一个题吧。先讲下面这个题，然后再看上面这个题，先看这个人。看一下这个题，他说了一个事情，他说由这个人y=lns。还有这条直线，还有y=0。所围成的这个图形的面积，我想问你个事情，这是几何体吧？做几何体的素养是什么呀？啊，

做几何体啊？你做几何体的素养不就是画图吗？所以在这里面当中啊，我们首先第一件事情先来画个图。对吧，一定要进行画图，那么画图的话，你发现一个事情，首先看第一个事儿，那这个部分就是多少，这人就是lns。对吧，这是这个部分，然后接下来过程当中再看这条直线，那这个人是一啊。

对吧，这人是一，然后你会发现一个事情，一+1这个人呢，他就往下来。哎，往下来那这个斜率的话，你发现啊，刚好是负一截距是一+1，刚好是这个人，那么同学们告诉我。这个y=0是什么呢？y=0。所以说y=0，不就是y轴吗？

胡来y=0是x轴。所以说我们对应的这个部分应该是这块面积。啊，是这块面积，所以说接下来过程当中，我们来看看你得算一下吧，首先第一件事情是不是得把焦点求出来，那焦点的话，你发现不就是l。它等于多少？它等于一+1-x。把这人求出来，那这人求出来之后的话，我们怎么看呢？你看。

这个人的话，马上进行一解，这个s不就等于一吗？所以说这里面当中的这个焦点就出来了，等于一这是一。那么，接下来过程当中，我们来看看这个部分的面积怎么算呀？怎么去算这个面积？那么，首先我们来看看第一种方法，那方法一你当然可以怎么办？你可以用歪线来做。所以在这里面当中。那要y=0干嘛？

啊，好吧，你自己再想想啊，那么在这种当中，我们可以按照第一种方式，第一种方式啊，你可以把它当做成y线来做。y型来做的话，这个面积怎么算那么首先第一个事情，你把它往下来，那这个部分就是零到一哎，直接来零到一。零到一的话，你发现第一件事情我就是用这条线。再减去这条线的积分。

那么，同学们告诉我个事情，对y积分，你要把它写成y的函数吧，那这个s等于多少s=1+1-y？然后接下来过程当中再看这个人，那这个s等于多少x就等于一的y是不是这个人，所以说这里面当中就出来了，就是一+1-y。然后再减去e的y它的积分。好了，这就是我们在这里当中确定的第一个人。同学们告诉我，这个分会记吗？这个会记吧，

这个会记吧，不会记下课来找我，听懂我的意思吗？哎，一定要来找我啊，好了，这是第一种，当然同学们这个题还可以当做成x来做。那x型怎么做呢？你就把它分成两个部分就行，这是第一个部分面积，然后第二部分是三角形面积好，我们先看第一个部分。那第一个部分是多少呢？就是一到e1到e对上面这条线，

你要对s积分就直接写x的积分就行了。然后接下来过程当中，再加上这个三角形面积，三角形面积就二分之一底是几以高是几一算出来。好，这个题你发现一下出来了。所以说这就是我们在这个考研过程当中啊，比较常规的题，我让你去求解一下这个东西所围成的这个面积。对吧，这个围城的这个面积是多少？围城的这个面积把这个区域画出来，然后求解一下就行，非常简单啊。能掌握清楚吗？

第一个信息点，那么接下来过程当中，我们再来看一个题啊，比如说我们看看例二这个题。呃，我给你几个人，比如说这个是y等于负的s分之一。y=2。y=-x。他们所围成的面积好，我们来求解一下这个人。那这个部分面积怎么进行求呢？那么在接下来过程当中，我们再来画一下这个图形。对吧，

画一下图形，那么在这种当中，你发现这是y，然后这是零，这是x，然后接下来过程当中，我们先看第一个事情。你看这条线是y等于多少负x？然后接下来过程当中，这是y等于多少负的x分之一，那大家都知道一个事情，这个人焦点肯定是负一这个点嘛。然后是y=2 y=2的话，你看就是这个部分，所以说这人是二，

然后这人是一，他们之间焦点的这个部分的部分的内容是不是在这儿？相交部分内容是不是在这儿？所以说我们就要进行去求出这个部分面积，那么同学们想想一个事情，这个部分面积怎么求呢？也可以当做成x形，做那x形做的话就是这个部分，然后再加上这个部分面积，但同学们注意啊，这个东西怎么做比较直接一点？当然是单纯y型来做嘛。投到这个y轴上，做更加的直接一点，但是我有一个问题啊，

同学们想在这里面当中的积分线非常简单。积分线就是一到二。然后最后一个事情是对谁积分肯定是对y积分没有问题。但是同学们，你告诉我事情，我是用这个红色线。减去这个绿色线还是绿色线，减去红色线。哎，你是用红色减去绿色还是绿色减去红色？这是一个问题点。怎么做红减绿还是绿减红？大家注意一个事情啊，面积永远都是正的。面积永远都是正的，

很多说那用绿减红，大家注意哦，绿减红就做错了。别跟我说什么上减下这个什么右减左，不用跟我说这个事情，大家注意永远记住一句话，永远都是大的减小的。只有大的减小的这个部分才是正的，那这个部分是正的，这个面积才是正的，你要算出一个面积是负的，那这个东西就废了。那么，同学们告诉我谁大一点？哪个大一点大家都知道，

往这个x正方向跑，越跑越大吧，往y轴正方向跑，越跑越大吧，那很明显一个事情谁大一点？很明显，红色大一点。这个要大一点，这个要小一点。红的大。所以在这里面当中，我们就可以写了，把第一个先对吧，把这个的x解出来x就等于多少就等于y分之负一。然后接下过程当中，

我们再减第二事情，绿色线呢？绿色线是这个线一解出来是多少是负y，所以这个人呢？一算就出来了。对吧，永远都是什么情况？永远都都是大的减小的，往x正方向跑，越跑越大，往y的正方向跑，越跑越大。我知道有些同学可能是会这样想说，老师那我管他呢？对吧，

我不管了，我将来过程当中算完了之后加个绝对值不就行了。对吧，就跟什么情况呢？比如说我们去画一个图。这是一条线，然后另外一条线是这样。对吧，上面这条线是红，这个红色线下面是这个线，然后进行去积分的时候a-b，我说我们从a到b，我管你谁大呢？我就在这里面当中加个绝对值，然后写这个fs-gs那不就行了吗？

是啊，写公式的时候很简单呀。写式子的时候非常简单啊，但是你没有想清楚一个事情，你把这个式子列完了之后呢？列完了之后你是不是要进行去计算呢？列完了，是不是要进行计算？那同学们想想你要计算的时候，是不是又要进行去去这个绝对值啊？你想想是不是啊？虽然列式子简单，但是你列完式子了之后，你要计算你又要进行去绝对值，你去绝对值的话，

你发现你还要进行看什么，你看谁大？你回到最后的话，你发现你还不如直接把它判断出来。所以在这里面当中啊，你就会发现一个事情啊，这个问题点把它想清楚。好了，这是这个事情，我再强调一遍，这是个很简单的问题，大家就不要进行去这个啊，想别的这些事情了，这是非常简单内容。你考研过程当中能考一个直角坐标，

系下求面积啊，你非常的开心。永远都是大的减小的。这大的减小的。可能说这个这个大小你都判断不出来。注意一个问题哦。我是看横方向，谁大听得懂我的意思吗？不是看纵方向，谁大我是看横方向，那你告诉我个事情，比如说这是负二，这是负一，谁大？那肯定负一大呀，

难道是负二大吗？你这个人对应下来，比如说这个人是负的零点五，你这人对应一下就是负二，那谁大呀？你这能看懂吧，这是个小学内容啊，这个基本点，所以说这个部分的东西啊，一定要注意往正方向跑。跑的越多越大，往真方向跑越跑越大。好了，这是一个基本问题，然后接下来过程当中啊，

你把这个东西一算就出来了，然后接下来这个人呢，他就变成了一到二，然后这是负的y分之一。加上这个y，然后进行积分就是这个。好了，这就是我们在这本当中啊，介绍的这个例二这个题过去了可以吗？所以同学们注意啊，这个面积这个部分呢，永远都是大的减小的。哎，大的减，小的往x轴上投，

就是看谁谁在上方谁大。往这个歪轴上投，谁在右方谁打。啊，这个基本点不要背啊，去理解一下就行好，这就是我们在这种当中啊，介绍的这个第一个问题，直角坐标系下求面积。好，再来看一个题吧，再看看这个题。啊，这个题啊，是我们最近的话，

这个考研真题来看一下这个题。那么这个题的话，你发现一个事情，他给了一个什么，他说平面当中有一个有界区，然后说由这条线。和这个人和x轴进行围成，我知道有些同学就疯了，说老师这个图形怎么画呀？你这个图形怎么画呀？大家注意一个事情，你需要每个题你都把它的详细图形画出来吗？不需要你，只需要画出这个人的草图就行了。所以大家注意一个事情，

你学东西的时候你要注意一个问题，你的主要使命是什么？所以在这本当中，不需要画出它的详细图形，画草图就行，那么在这本当中，我们大致看一下你发现没？诶，这个人x大于一大于一的时候，这人是正的，这人是正的，都是正的吧，所以说你发现个事情，这是一。反正它都是正的，

正的的话，我随便画一下就行。你看我这样一画不就行了吗？我只需要知道它是在上方还是下方就行，我大致画一下，有人说你怎么能这样画你管我呢？我这样画也行。对吧，我怎么画都行，所以说在这里面当中啊，一下就画出来了。那么画完了之后的话，那么接下来过程当中，我们就继续我们再来看这个部分的东西啊，对应下来就是一。

那么所以说在这里面当中呃，我们把这块内容讲完吧，今天把这个部分讲完，我们这个部分内容我们就结束，行不行？然后下节课我们多讲一点，这个旁边老是吵，对吧啊？影响这个上课的心情好吧，把这个内容讲完呃，下节课过程当中，我会把这一章部分内容全部结束掉。好了，那么接下来过程当中，我们继续，

我们再来看看这个部分。所以说在这里面当中啊，你就会发现一个事情，你画一个草图就行，大家注意啊，这是一个草图。草图就行了。听懂我的意思吗？哎，注意草图就行，为什么呢？大家一定要注意一个事情，你看你是这种情况和这种情况。和这种情况它是不一样的。我为什么让你画图啊？

有的人说那我直接积分不就行了吗？你要注意一个问题，比如说举个例子，你如果一个人的图像是这样子呢？你如果一个人的图像是这样子，那你告诉我a到b的积分是面积吗？这就不是面积，这a到b的积分怎么可能是面积啊？你发现这一段的积分是面积，但是这一段的积分呢？它是面积的，相反数有抵消的。所以说这个时候的这个面积应该是什么a到c的积分减去c到b的积分，所以说大家一定要注意这个问题。哎，

能听懂吧啊，这未必是零。啊，未必是零，如果让你去算面积的时候，这个部分的积分是面积，这个部分的积分的相反数是面积。所以说大家一定要注意啊，所以说要画草图，必须要画，如果在上方的话，你就直接积分，你下方积分了之后加相反数。如果基有上有下，你要注意这个问题啊，

它有抵消的，所以算这个面积的时候要稍微注意一下，那么接下来过程当中这个草图画出来了吧？人家都在上方，那都在上方的话，你发现这个面积就等于多少，直接来就是一到一直接对这个部分内容进行积分就行了。好，这个事情能理解吧，直接对这个部分内容进行积分，那么这个东西进行积分怎么做呢？这个题出的非常的好，这是你们的题。哎，这是我们最近两年过程当中的考研真题，

你怎么做两类不同函数相碰必考分布积分法对数函数相当的稳定？所以在这种当中啊，只能分布积分法一下，把这个东西啊凑到后面去配个二分之一，那么接下来过程当中这个人就变成多少就变成了两项相乘。把一和一带去，再减去两项调换位置，调换位置了之后，平方跑了进来。平方跑到前，这人是跑后啊，他跑到后面就要进行求导，求导是两倍的lowing，然后这人再分之一。是吧哎，

求导了之后分之一，那这个时候你看这个结果可以算一下。把e带进去的话lne是一那，所以说这是一。一方，然后把一带进去呢，这个结果是零，所以说接下来过程当中啊，这个部分一乘它就没了，然后是一到e。然后在这里当中是lns再乘以sds。那然后怎么办？你再来分布积分法一下，这个题就结束了，所以在这种当中继续往后面凑一下，

这是lns。d多少呢？x方配二分之一，所以接下来过程当中这个人呢？就变成了两项相乘。把一和一带去，然后减去变成加上两项调换位置，平方跑前平方跑到前，这人跑后跑后就求导dx。同学们，你没发现一个事情，学到时至今日。什么能力非常重要。你的运算能力吧，你的不定积分的运算能力。

然后进而的话就是你的定积分的运算能力。那定积分计算能力，然后最后而言的话是反常积分的运算能力，你这个运算能力特别重要。那所以说大家怎么进行去提高呢？如果像这些分都不会算，一定要注意啊，讲义上的例题要保证一个事情自己能独立自主的把它做出来。这是个基本要求，就是讲义上的例题要多进行去刷一刷好了，那么接下来过程当中我们来看就是二分之一一方。把这个东西带去，这是一，然后这是一的平方，一带去就没了，

然后接下来过程当中这是二分之一，你看这一层是x那是多少？二分之一，它的平方把一和一带去，所以说这个结果就是二分之一方减去二分之一方，然后再加上四分之一e的平方减去一。所以结果等于多少四分之一e的平方减去一。所以在这种当中啊，马上就出来了，四分之一一方减一这个人，那所以说正确答案选几选d？你看这个题基本点吧，我们要注重这种类型问题的操作。就是首先要知道这个东西要画草图。对吧，

一定要会画草图，然后接下来过程当中怎么去求这个面积？我记得原来过程当中啊呃，我再啰嗦一嘴啊，稍微等一下。我记得原来过程当中，我们好像做过这样的题。说这个y等于多少呢x比如说减一乘以多少x- 2？呃，比如说这个平方吧。然呃，就是x- 2吧，然后再来x- 3，我说这个东西啊，与x轴所围成的这个面积，

你还记得吗？这题做过吗？当时讲过啊，这个题考了一个穿针引线法嘛，就是求面积，那么在这种当中，这是这个情况。那么，这个人是一，这个人是二，这是三，那这个穿针的话，你发现如果s大于三，大于三是正的吧，我就穿过去。

穿过去穿过去，是不是这个情况？所以说同学们告诉我这个面积怎么写啊？这个面积能直接写积分吗？不能的，它这个面积一到二这个部分的积分。一到二，一到二，这个部分的积分就是面积，但是你发现二到三这个部分的积分是面积吗？二到三这个部分的积分。它是面积的相反数，所以说要配符号。要注意这个问题啊，不要到了今天过程当中还转不过来。

一定要注意一个事情，定积分不是面积这个部分的积分是面积这个部分的积分是面积的，相反数。积分有正有负，面积永远是正的，我们学了这么多年的这个数学，你发现这个面积永远都是正的。你不能说这个面积是负的，它不可能。好了，这是这个事情，能想清楚吧？哎，基本信息点。我觉得要不等一会儿吧，

我再讲一会儿。行不行？好了，这个部分内容我们就说到这。呃，我觉得这个下课有点儿时间过得有点儿奢侈，对吧？好，我再讲两道吧，再讲两道来。那么，在这个当中，我们来继续看看这个，我来把这个作业啊，上次过程当中作业我再来讲几道。

上次过程当中，我不是讲的这个定积分的计算吗？是吧，讲到定积分计算，那定积分的计算后面的一些题还有哪些题有问题啊？我们来把它讲讲。后面几个题。321。好，这个题我一会儿讲一下，还有哪个题啊？322题我也讲啊，这个题我也讲。还有没有这题？我们上课讲过的题啊。

这个题可以呃。也可以做这个题，不难。这题就是个骗子题吧。谁问的三二零，你看你看。哎呦哎呦，你看。我就说吧。你这能问得出口？这两位同学啊，一个是400同学。啊，还有同学是那个真命天雄同学。你下去过程当中，

你把讲义上那个题给我抄个十遍啊。这是讲义上的原题啊。你发现一个事情，你在上课讲过的原题，你下次过程当中见到这个题，你发现一个事情，你就跟新题一样。这问题点就非常大了。好了，那么然后是。三幺八都要问呐。啊行三幺八讲讲啊三幺八其实三幺八跟我们上课讲那个题很像三幺九。三幺五。三幺五没让你做，你上课不听课。

三幺五没让你没让你做啊，这个题。三幺七。还有前面题，还有那个题吗？嗯哎呀，这不是刘海儿上次上的班级的话，他是说。哈哈哈。有同学说剪了一个空气刘海儿啊，我听过这个词儿。没有，还好了，它主要这个摄像头摆的太近了啊，这个。

还有什么三幺？三幺九是吧？行，我们来讲讲啊。呃，这个题问题点应该不大吧？啊，这个题这个题的话，我们讲过这个题啊，你自己去操作一下，那么接下来过程当中啊，我们来看看这个。呃，先来看看这里面当中的三幺七这个题吧。三幺七这个题的话，

你发现个事情就这个题目。这个题的话，其实我们在这里面当中呃，先来说一下吧，这个题。先看看三幺七这个题。这个题啊，你不会做啊，说明你不定积分，又忘完了，给你个建议，一定要进行去回复复习，不然的话，将来过程当中问题点非常大。你学着忘着，

这忘的非常离谱啊，那么首先我们先来看看第一个事情，这个题跟那个不定积分那个题啊，基本上是一样的。那么，在这个当中，他说了一个事情，他说这人有个原函数，原函数说什么呀？说明这个人是爹，所以说在这种当中的fs。它就会等于多少，它就会等于这个人的导函数。那这人导函数等于多少呢？它是等于平方上面求导乘，

下面减去，下面求导乘，上面好这个人。那么，然后接下来过程当中就继续，然后是从二分之派导拍，然后你发现出现的抽象函数导函数吧，不用多想，赶紧怎么办？把这个东西凑到后面去，凑到后面去，然后进行一句分步积分法，那就是两项相乘，把这东西带进去，二分之派到派。

然后再来进行减去两项调换位置，调换位置了之后的话，你发现fs ds所以说第一个人的话，你看就是s去乘上这个fs是。s方coss乘上s再减去s in，那这个时候的话，你发现把这个二分之派带进去。那第二呢？这不求原函数吗？积分就是求原函数，原函数是多少？不就是s分之s嘛，你把这一带这题不就出来了。呃，这题不难。

这题真不难，这题的话，你发现考给我们，今年的话，这种模拟题啦什么，这是非常好的一题，自己带值啊，你不会带值啊，这个问题更大了。好，这个题我们就说到这继续吧。还有哪个题？三幺八这个题啊，如果你不会做，你说明一个事情，

你上课的内容肯定是没有消化到位。这个题呀。简直就是秒了的题。那这题考什么呀？这题考的非常简单吧，零到二分之派只有s in和cosine的函数考了什么情况？考了它们之间两者调换了之后不变吧？那所以说在这里面当中，你就把这个东西调换一下呗。那调换一下了之后的话，你看这人就变成了cos in，然后这人就变成了cos in，然后这人就变成了s in，你说这种东西这叫什么变通呢？这没有变通对吧？

那么所以说接下来过程当中，把这两个人怎么办？你看这个人是I啊，那这人也是I把这两者加起来，这就是2I。那2I的话，你看这是零到二分之派里面加下，里面加下来刚好是一嘛，那所以说这个结果就是二分之派。所以说这个I等于多少四分之I？这上课过程当中啊，讲的这个类似的原题啊，这个难度系数不大，如果这个题不会啊，你就把上课那个部分的内容啊，

你再看看。好，继续再来看。三一九这个题不难吧？三要求这个体量。这个题的话，你发现一个事情直接秒了，对吧？这个题。我们来看看一个事情，大家都知道cos in的最小正周期是多少，最小正周期是二拍cos in的最小正周期是二拍。大家想想一个事情，我扔一个x+2派进去。扔一个x+2派进去cos不动，

cos不动整体不动，那整体都不动，我就知道了这个人的一个什么？周期是二排，那而我们上课讲过a到a+t跟a没有关系，跟a没有关系，那这个结果就等于多少？就等于零到二派，零到二派，然后是cos in ln多少二+cos in，然后ds。那你发现一个事情，这个结果是什么？这是个定积分吧？定积分的结果是个数。

所以你会发现这个结果就是个数，那跟a有没有关系啊？没有关系，所以大家注意啊，这个东西啊，没有关系。那么，另外一个方面呢？接下来过程当中，我们再来看看这个人的正负性，对吧？他是有关的，肯定错了。对吧，有关的肯定错了。

那么，接下来我们再来看看第二事情，我们再来讨论一下这个人的征服性。那这任正负性的话，接下来我们来看看这个事情，首先第一个信息点。大家琢磨一下这个人。你看这个人，这个人的话，你发现一个问题，就是这个cos啊呃，这个题我让大家做早了，对吧？我记得上次过程当中。我应该是把它给划掉了，

对吧？第一件事情跟他没有关系，很简单，好，我们再看第二个，你看这个cos这个人呐，他最小是负一。对吧，最小是负一。你再小就是负一，因为你是负一到几负一到一嘛，那这两个一加的话，你发现一个事情就是一到三嘛。那大家想想一个事情，这个lin这个人在一到三是多少？

lo reen这个人呢？那这人的话，你发现这是ling。啊loring这个人的图像是这样，如果是一到三它都是正的，所以这个人呢？永远是正的。但是我们再来看看前面这个人呢？前面这个人的话，你发现他就有正有负了。对吧，它有正的也有负的，要不这个题你先放一下吧，好不好？你先放一下，

因为这个部分里面当中有一个部分的知识点没有讲，你先放一下。这个题啊，放到这个强化再做都行，这个题先放一下可以吗？不然有一堆的知识点啊，那么其实这个东西很好判。后面过程当中啊，还有这种题。啊，这个考的非常多，比如这种题，你下次过你不要担心这个事儿，下次过程当中这种题直接秒了。我眼睛漂着动作。

啊，眼睛漂着都能做，你不要着急，这个事情把这题先放下吧，好不好？哎，先放下，其实这个题眼睛可以看到。你可以把这个东西当做成振幅，然后怎么看呃这个事情你不要着急啊，我这个后面过程当中会重点讲这个题的。它是一类问题。好了，那么接下来过程当中，我们就继续，

我们再来看看下面一个问题啊，你不要着急，这个事情把这个题先放到这。那么，接下来过程当中，我们再来看看三二一这种题呃，那种题还挺难的啊。来再来看看这个题。好，继续。那么这个题怎么做呢？那么首先我们先来看看第一个事情，他说这个人的导函数等于他。对吧，这人导函数等于它。

哎，那这根导函数你你发现个事情，这题怎么做？那你想想我这个题给的导函数，我要不然的话，思维方式非常死。我怎么办呢？我第一件事情，我就把这个人的原函数算出来。对吧，我把原函数算出来。我们先说一下第一种。方法一那就非常死板，导函数你就直接进行去积分。把fs算出来，

把这个算出来之后，你把零到一塞进去。我相信这个事情的话，是可以出来的。你发现看我给了导函数嘛，我就直接积分。对于这个反三角函数积分就直接分步积分法，就能把这人积出来。积出来之后再塞进去，然后再积分，其实你发现非常的麻烦。这是一种手法，但这个想法的话，你发现太值了诶，那么接下来我再琢磨一下。

大家好好体会啊，接下来的事情非常的重要。你想想一个事情，你看你这个题当中是不是喜欢导函数？你是不是喜欢导函数？我非常喜欢导函数。但是你发现一个事儿，我让你做的这个积分里面是fx啊，没有导函数诶。那我怎么办呢？我琢磨一下这个事情，你看如果在这种当中，我就直接怎么办？我直接分布积分发一下。我直接分布积分法一下，

就是把这个人我直接跟他分布积分。我两项相乘，然后再减去两项调换位置，你发现一个事情导函fs跑到后面，跑到后面不就有导数了吗？诶，这个想法我觉得还挺好，所以说接下来过程当中啊，我就直接来，你看一下这个事情，那就是两项相乘。对吧，然后再来接下来过程当中继续再减去两项调换位置。等你进行调换位置了之后的话，你看这个s就跑钱了。

那f就跑后了，跑后就求导了，帧就出来了。是不是这个情况，所以说这是一个基本问题，然后接下来过程当中，我们继续看，你看这个人零代进去是零，然后这就是f1。你再减去多少零到1x倍的导函数的积分？是不是做成这样了？诶，你做成这样了之后的话，接下来这个事情怎么做？我们再来看那这个事情怎么处理哎？

你发现一个事儿，我觉得也不好。为什么这个题有点难度，系数就大了，我觉得也不好。不好的点在哪呢？你发现一个事情，这一块要求f1啊。你这让我去求f1这个事情就非常恶心了，所以同学们虽然这个思维方式很好，但是这件事情很差。那么，同学们，我们来看看啊，接下来手法这题难哦，

有点难度。接下来就是一个非常好的手段了，你看这个题。这个题刚才过程当中啊，你想你看我零带进去，我可以把这个东西就不算了。但是一代进去的话，你发现还得算一下对吧？还得算一下那同学们想想，如果一代进去，我也不算了，这个事情是不是非常棒？那我怎么办？这个人要是x- 1多好啊。这要是x- 1，

我就可以天然的把这个东西给干掉了，所以说我就在这儿补一个一。极其的巧妙，我补一个一了之后的话，你看这个fs乘上x- 1。把这个零和一带进去，零带进去的话，这是f0是零一带进去，这项是零，那这样的话，你发现第一项我就不算了。巧妙那么，然后接下来过程当中零到一再是零到一再递它递它就是导函数fx dx。你看非常的优手段吧，这是一种非常非常好的方式。

所以这一步的凑分的目的是什么呢？就是因为我接下来过程当中代值，我能让这个东西等于零。那就非常巧妙了，所以说接下来的过程当中就变成了for的这个人，然后这是x- 1，然后这个部分呢是arcs in。x- 1的这个平方ds，你再把x- 1换一下，这个分我就不讲了。呃，接下来事情我不讲了行不行？应该没有问题吧？那么在这种当中，你先把这个x- 1换成t，

你再把这个一次方凑到后面去，是二次方。再把这个二次方再换一下也行，这里面当中的最重要的一个手段是什么呢？最重要的这个手段其实就是这个问题啊。好了，这是我们在这里当中啊，讲解的这个事情啊，你要想清楚。这里面当中你问的这个问题啊，它不是个问题，你自己想想为什么里面不是我又没有换元？我没有换源。我不是说把这个东西给换元了，我没有换元。

人家积分就是对fs积分，又不是对fs- 1积分。那不是我说的事情，是人家题目说的事情啊，好了，这是这个题，我们就讲到这儿。这题区间在线。区间在线在线，完了之后也没有什么用啊，不是每个题都区间在线，那这个积分等于多少呢？一f一减s积分，然后之后呢？就没有用了呀。

啊好了，注意一下这个事情，不是说每个题区间在线都能做。这个题啊，手法非常的强。手法非常的强，就是这里面当中补了一个，一是这个题当中的点睛之笔，你下去好好想想。好，这个题啊，我们就说到这儿，然后接下来过程当中，我们再讲一个，我们来再来讲一下这个。

322题，这个题。好，再来讲一下这个题。刚才那个题有点难哦，算拔高题了，所以对我们这个基础班过程当中啊，做的时候难度系数是比较大的。好，那么接下来过程当中，我们就继续，我们再来看。那么，对于这个题而言的话，你看它是这个函数。

呃，区间在线的话，这这里面当中你只能等于f1-s嘛。一减s的话，它是x减一，你你得换一个圆，换个圆又回去了啊，这个题啊，最重要问题啊，就直接做对吧？你注意这个东西怎么补的这一步非常重要。好，我们继续，我们再来看看322题，这个题那这个题的话，

我觉得就非常简单了，你首先看第一个事情。零到派，然后这是fs，你可以把它乘开，乘以一个三。然后ds再加上多少零到派导导，然后这是s in sds看这个题。那么这个题的话，你看我题目当中给的这个人等于八，然后让我去求这个人，那这个题的核心重点就是求这个积分。这个题啊，我们有两种方法。第一种方法叫单向本符。

第二种方法叫双向奔赴。大家想想一个事情，你看。这是二阶道吧？这是临界岛吧？一个是二阶，一个是零阶，集合点是什么？集合点就是一阶导，那集合点是一阶导，我可以把这个人往一阶导上来。这人也往一级岛上来，那第一个人怎么往一级岛上来？那非常简单，你就把这个什么东西呢？

把这个s in凑到后面去。你把s in进行去凑到后面去，然后接下来分布积分法一下f就跑到后面去了，跑到后面去就变成求导了，哎，这是这个。然后接下来过程当中再看这个人，那这个人呢？你就直接来呗，二阶导数一凑分就变成一阶导好，那么这个时候我们就直接处理就是负的。fs乘上cosine，把零和派带去，然后再加上零到派cosine跑前，然后这人跑后就来求导ds。

然后再加上三再乘上什么再乘上这个人，把零和派带进去，然后再减去零到派导函数跑前三。三印跑后就求导变成这个内容。你看一下这个事情，你发现没？这两个东西约掉了。就是我们往这个一阶导数进行汇合。对吧，你往一阶倒跑，我往一阶倒跑，我们双向进行奔赴。所以说最后而言的话，你看这人把零带进去是零把派带进去也是零，那第一个人呢？

来带进去那就是f派cos派是负一。然后就是f0 cos 011是这个结果，所以说这个结果就是f派加上f0，那这个结果等于几啊？等于八。然后这个f0这个结果等于几三，所以说它的结果等于几等于五。好，这是一种方法，这叫双向本符。其实这个题而言的话，你看我还可以怎么办呢？我还可以单向分布。学东西学蒙了吧啊。这题为什么能拆开？

哎呀，你这是。这学习这咋办呢啊？你老是串场，你没发现吗？啊，你不能因为因为什么事情呢？因为那个反常积分学完之后。你反而没有原来过程当中这个东西学的更好了啊。哎呀，你别这样，别这样来，我们再来看。那么，接下来我们继续，

我们再来看，那这种题还能怎么做呢？接下来就继续看，那这是零到派，然后这是fss in sds。根据我们以前的经验，抽象函数碰到里面，立即凑到后面去分步积分法，这是常识吧？好，前面的过程当中啊，先别动。不动的话，你发现就是ifs乘上一个s in，然后ds那么接下来你发现一个事情，

两项相乘。对吧，零和派等区减去两项调换位置，然后这是s in跑到后面去求导。导函数跑到前面s in跑后面去求导，变成这样，那这个时候你看这项没了。因为零代进去是零派进去是零啊，这项没了那么，然后接下来过程当中，你继续待到这儿不通。别动，你看你已经是fs了，刚才我分布积分法一下二阶变成一阶，我再来一次。

碰到抽象函数的导函数立即凑到后面去，分步及分法，所以说这是零到派fs乘上s in sds。然后再减去多少coss×fs，然后把零和派进去，然后变成正的零到派。然后这是fs跑前cos跑后跑后就求到负的s in。那这个时候你发现一个事情，哎，我们约掉了。你看单向奔赴，单向奔赴成功，然后接下来过程当中，把这个东西带进去，带进去跟刚才这个东西是一样的，

你一算就出来了。对吧，就两件事情，一种事情的话，我这是临界岛，这是二级岛，你往一街道跑，我往一街道跑，双向奔赴。那或者而言怎么办呢？这个人就单向奔赴我二级岛走一城，跑到一阶再走一层，跑到fs啊，我们相约掉了。叫单向本次啊。

能理解我的意思吗？好这个题啊，我们就讲到这儿吧呃，那么今天的话，这个作业我们就说到这儿，然后今天下去过程当中，你们需要进行去完成的，这有些题比较难的啊。有些题比较难呃，上课过程当中啊，听指挥行不行啊？没有让你做的题啊，你自己可以先不要动。然后接下来过程当中啊，剩下的有些这个呃，

这个变现函数的题啊，你先放到这儿。剩下还有几道变现函数的题放在那儿好不好？好了，那么接下来过程当中啊，我们继续，我们再来看看下面一个问题啊。今天的作业把考点17做完。考点17做完。然后接下来过程当中，我们再来说几个。三五五。三五六好，加上这两题。哦，

行行行，那个今天晚上我让那个呃让那个教务把这个标题改一下好不好？哎，标题改一下，因为中间我还得加几次课程。你可能会发现今天这个课程呢，中间啊，还缺了两次课程哦，肯定还得加餐的，所以你们就不用进去去管那个呃课时了，你这听一年过程当中啊，你会发现我们那个课时量远远比那个课时量大。啊，经常的话，这个要进行加餐啊呃，

好了，那么接下来过程当中我来说一下几个事情。这个800题啊，因为今年过程当中这个800题呃可能没有进行去，当时的话过程当中啊，开的比较仓促了呃，可能没有进行校正。那个答案呢，当中有些个别的错误，你可以去那个APP里面当中下载一下那个答案的刊物，听懂我的意思吗？有个答案的刊物，把它给我下载一下。下载了之后啊，你把前面过程当中有些小的那个错误点，

你把它改正过来啊，基本上都是小问题。呃，明明年啊，明年的事情，那就明年再说，因为这个部分的东西啊，这个是今年我放到这个自己的，我们的内部的资料。啊，如果是放到那个出版社，基本上得三审三交，所以说相信里面当中啊，基本上都没什么错误啊，这里面当中你自己针对一下那个答案。

把它进行去更改一下就行，好不好？同学们？行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，自己下去过程当中好好处理吧。哦，这两天任务太多了。每天都是课啊，然后的话可能没有时间进去，去录那个部分内容，所以说这个明天吧，明天再开始。好了，

那么今天我们就讲解到这儿，所以说下去过程当中啊，好好把这个今天部分的问题啊，好好处理清楚行吧，好好整理一下。那么今天课程呢，我们就讲到这儿，另外一个事情我再来说一下呃，上课过程当中啊，我点名说的一些同学啊。你们自己下去过程当中一定要听进去，可能就是这个学习方法出现了一些问题，你要及时的进行调整。我还是那个事情啊，上课过程当中，

我怎么说我们都是对事儿不对人啊？啊，能理解吧，对事不对人下去啊，依然是我们的亲学生啊，所以但是上课过程当中，有的时候我说的那些问题你要听进去。你比如说你发现你做过的题，上课讲过的题，你下次过程当中见到这个事情，你都不记得这个问题点很大。你要一直都是这样下去的话，你到了这个九月份，十月份，那这个问题点就非常大了。

好了，那么今天的事情我们就讲到这儿，自己下去过程当中好好进行，把那些问题啊，好好更正过来，好，那么今天课程我们就讲到这儿好，下期再见啊。

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22.反常积分与定积分应用（1）-2

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