22.反常积分与定积分应用（1）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:44:46

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音而去，画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的三九六精宗数学的这个基础班部分内容，那么在上次过程当中啊，我们的核心重点其实重点讲了一个事情。啊，就是讲的变形函数，所以在这里面当中啊，首先第一个事情，

我们先来把这个部分的知识点先做一个重点的回顾，然后回顾完了之后啊，呃，上次过程当中讲这个作业还没有讲完，对吧？还剩下一些部分呃，所以说一会儿过程当中，我们先讲新的部分的内容，然后一会儿过程当中，如果有时间，我们再把这个作业啊，然后再来进行去讲一下。好了，那么接下来过程当中，我们就一起来看看你数学蒙啊。

你数学怎么可能会蒙呢？对吧？啊，多进行去好好操作，操作好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看上次过程当中的核心内容，那么首先第一个事情，我们先来看看变现函数是什么？什么是变现函数？变线函数的话，你发现一个事情，首先第一个点，它是个函数嘛？对吧，

它是个函数，而且这个人的话，你发现一个事情，他的自变量在哪？它的自变量在上下限当中，所以说变的是线，所以说叫做变线函数。那么，在这种当中，比如说我们举个例子，你看我们在这里面写，如果这是is函数，这是is函数，哎，你发现变现函数吧。

然后接下来过程当中，你会发现这是ftd t，那么同学们你要注意一个问题j里面当中的这个x什么变量？是自变量，那这个t什么变量t是积分变量？要注意这个问题啊x是自变量t是积分变量，好好听课好吧？啊啊，好好听课。好了，这是这个事情，你在干嘛？难道这块数学这个课程不重要了吗？好了，这是这个问题，

所以说同学们注意一个事情，一定要想清楚，这个s是个自变量，这个t是什么t是积分变量？所以说接下来过程当中，我们接下来继续，我们再来看看第二事情变线函数的求导，那么这个变线函数求导的话，你发现一个事情，它对s进行求导就是。上限移进去上限球。然后你会发现一个事儿，再来再减去下限，移进去下限球。对吧，

上线一进去上线球，再进去下线，一进去下线球，那么这一面当中你要注意一个问题，如果想这样进行去求导，有两个重点的要求。第一要求什么？第一要求被积分函数必须连续的，然后第二要求被积分函数当中必须没有自变量，它必须是个标准型。只有这个东西是个标准型，我们才能这么办，上线一进去上线球下线，一进去下线球，所以同学们上次过程当中，

我们还讲了一些事情。对吧，非标准型的处理。啊，声音。没问题是吧，有点吗？好，现在可以了吗啊？呃。现在好了吗？啊，好了，就是这个啊。好，

那么接下来我们就继续，所以说这里面当中的这个基本点呢，你必须把它想清楚，所以同学们注意变现函数求导是我们今年过程当中一定会出题的点。100%会出题的点，所以说像这些内容一定要把它给我掌握清楚，那么接下来过程当中啊，我们就来开始看一下今天的重点问题。那么，从今天开始的话，我们进行啊，这个一元函数积分学当中的最后两个知识点，一个知识点叫做反常积分。还有一个知识点呢，就是定积分应用，

那么在这种当中啊，我稍微进行去强调一下，这两个部分内容的重要性，那么首先第一个事情。反常积分根据往年的一些情况，我们三九六同学考反常积分呢，基本上考的不多。哎，考的不多，应该是最近几年过程当中啊，就没有出过题，所以说在这里面当中，今年呢，你好好进去去看一下。因为这两年过程当中出题你都知道，

稍微的有点不讲武德了，所以在这种当中啊，反常积分一定要把它学好，然后第二事情大家注意。下节课过程当中啊，我们会讲这个定积分应用，大家注意这一节过程当中的内容是一定会出题的，100%会出题的。所以说同学们注意这个部分的内容相当的重要。那么，在今年过程当中，定积分应用肯定是有题，有可能会出一道题，有可能会出两道题，反正就是一个事情，

就这一章部分的内容。最后这两个信息点刚才说的反常积分是这么多年过程当中没有怎么出题，所以说今年过程当中啊，作为一个预测点。但是定积分应用这个事情是每年过程当中必出题，而且你会发现这一节部分的内容不能按照数学三同学来复习。对吧，一会儿过程当中，我们就会讲你看数学三同学，只要求求面积，求旋转体体积就结束了，但是你会发现我们曾经过程当中还求过烤弧肠的问题。对吧，在二零二一年的考研真题当中，出现过烤弧肠的问题，

那件事情是数一和数二同学的内容，所以同学们你要注意一个问题啊。我们在这里面当中的大纲跟数学三同学的大纲是不一样的，所以说这两个信息点非常的关键，那么首先我们先来看看第一个问题吧，我们先来讲讲。返程积分。那么，首先第一件事情，我们还是来讲一讲这个反常积分的这个定义。什么叫反常积分？那么在讲反常积分之前呢？首先，我们先来看看。什么叫做正常的积分呢？

那正常的积分是什么样子？那正常的积分的话，你发现它是什么情况？这是y这是零这是s那正常积分不就是这样吗？这是正常积分吧，我们学了这么久的话，你发现这个定积分就是正常的积分。就是从a记到b，然后对这个有界函数进行积分，哎，这就是我们常说的正常的积分。那么，同学们想想那什么叫反常的积分呢？你注意啊，这节课是特别不适合自学的，

你一定要好好看，一定要好好听。那讲义你也有，你会发现一个事情，讲义这一堆东西，你想看吗？比如说你来看看这一页。你想看吗？反正我估计很多同学都不想看。那这个部分已经是今天的，如果你去看教材呢？教材这个部分内容更恶心。反常积分啊，教材这个部分内容，它会更恶心一点，

那么在这里面当中，我稍微给你找一下。你会发现一个问题，这个返程积分呢？他就这个情况。好，你可以看看。反常积分啊，这一节。那么，在这里面当中，你就会发现一个事儿，你看你看这些问题，你看这些点。你就算看教材，

有些同学都不想看。所以说这块儿的内容啊，特别不适合自学，你上课过程当中啊，好好听。有些同学是把这个东西啊，好像看懂了，但是你发现仍然不会做题，那也不行，所以接下来过程当中啊，我们就正式开始。那么，首先第一件事情，我们先来讲讲一个问题，什么叫反常积分就是不正常？

不正常的积分那么怎么样才能不正常呢？那么接下来过程当中，我们先来看看第一种不正常的情况。那么，在这种当中，我们来画一个二维迪卡坐标系，然后这是y，然后这是零，然后这个部分它是x。那么，在这里面当中，你就会发现，我还是给你个起点a。对吧，原来是起点a，

我现在也是起点a，那么在这里面当中，你发现原来过程当中，我是从a记到b吧，现在不是了，我要一直记下去。同学们，正不正常？你发现现在对应的这个部分的面积，它正常吗？它不正常。刚才我们是从a记到b，但是你发现一个事情，现在你要从a一直记下去，它不正常，

这就是第一种反常积分。那这种第一种反常积分是什么情况呢？第一种反常积分呢？你发现它的积分区间段呢？是无限长，所以说叫做无穷区间的反常积分。所以这是我们在这里面当中啊，学习的第一种情况，无穷区间的反常积分，哎，注意一下这个问题叫做无穷。区间的反常进程。那么，这种反常积分的话，你发现突出性的特点就是它的积分区间段呢？

无限的长啊，积分区间段无限的长。稍微等我一下，我把这个换个字体。好，这是第一种。无穷区间的反常积分就是积分区间段的话，你发现这个人我是从谁积到谁呢？我是从a积到正无穷，所以同学们注意这第一种情况非常好人。a7到正无穷，然后是fsd x。对吧，这是第一种情况，当然的话，

你发现他还有一些兄弟姐妹，那些兄弟姐妹的话，你发现比如说负无穷到b算不算？也是个如果是从负无穷到正无穷，算不算也算吧，哎，你发现这是他的一些兄弟姐妹，这兄弟姐妹的话，你发现他。它的这个积分区间段都是无限的长，我从a积到正无穷，我从负无穷积到b，我从负无穷积到正无穷，它都算的。所以这是第一种情况，

无穷区间的翻唱积分。那么，接下来过程当中，我们再来看看第二种反超积分。大家好好听第二种，稍微的要更加的重要一点。那么，在这种当中，我们来看一个事件。以前过程当中，你不就是从a击到什么击到b吗？现在过程当中啊，我也是从a击到b。大家注意，我也从a接到b，

但是你发现这个函数呢？这个函数是无限的，接近于b的。那你很明显会发现这个函数是个什么函数？这个函数是个无界函数吧？没有界限，以前是从a点击到b点，但是现在呢？你击不到b点，你要一直往上进行叠加。所以说大家注意这种情况算不算一种反常积分呢？它也算对吧？也算一种反常积分，那么这种反常积分是什么呢？叫做无界函数的反常积分。

就这个函数是没有界限的，哎，这是我们讲的这个第二种无界函数的反常积分。无界。函数的范畴基本。所以说对于我们反常积分呢，总共有两种，一种情况叫做什么无穷区间的反常积分，它的上下限当中含有正无穷或负无穷。还有一种情况呢，就是无界函数的反常计算。那么，同学们想想一个事情，你发现一个问题啊诶，这种情况它为什么是反常积分呢？

都因为是谁呀？都因为有这个b这个点。对吧，因为有这个b的，这个点的话，你发现无限的往b进行去累加。你看这个人，这个人是一直往y轴进行去累加这个东西是一直往x轴进行累加。都是因为这个b点，这个点叫什么点呢？这个点叫狭点。哎，有瑕疵的点，所以说叫瑕点或者也叫什么东西呢？也叫这个点，

那这个点叫什么字儿？嗯，这怎么读的？什么点是基点还是起点？大家注意啊，读起点啊，读起点不是读基点啊，起点。那么，在数学当中啊，只有这个奇函数读奇，别人都读齐。我们可能不会考那么多，你比如说举个例子，这个格林公式不满足的点高斯公式不满足的点就是我们学习那个第二型曲线积分。

第二型曲面积分我们不谈这个事情呃，你们看过那个三体没？三体里面就有这个东西啊，起点不读基点。你没看过那个，你看过一个剧吧，叫做欢乐颂看过吗？啊，看过没？欢乐颂里面当当中啊，有个第一部第一部当中啊，有一个男主人公，他的那个网名叫什么呢？那个网名叫起点。不读基点啊，

人家叫起点。啊，所以说你发现一个事儿，这个东西你可以去百度一下，这个起点这个词儿还是很有意思的，所以很多同学听完了这节课程啊，为了稍微的进行去装个逼。然后就把他的网名换成了起点啊，那也是可以的，好了，这是这个事情，能听懂我的意思吗？所以说你发现一个事情叫做无限函数的反常积分或者是什么情况？这种积分呢，我们也把它叫做什么叫做狭积分？

小几分。不是瞎积分，是狭积分啊，有狭点，那么接下来过程当中啊，有一个重点的问题，你看这个部分的这个东西怎么去写呢？你看这个狭积分怎么写？这个人的写法其实就是a到b。fx dx.那么同学们，你想想一个问题，这个第一种好人还是第二种好人呢？这两种反常积分，你觉得谁好人那很明显，

一个事情无穷其捐的好人呢？只要你的上下限当中有正负无穷。那么，这个人的话，他肯定反超积分，但是你有没有发现一个事情，这个东西长得就像个奸细。为什么它看起来就像定积分？不是看起来像定积分，它就是个定积分的样子，不能说就是定积分是吧？你看这长得就像定积分呐。但是你发现它是一个反常积分，为什么是反常积分呢？因为在这里面当中啊，

有这个b这个点对吧？有b这个点b这个点是什么点呢？b这个点是个狭点。所以说接下来过程当中非常重要的问题，那就是什么是家电？对吧，这个狭点的判定是非常重要的，只有你会判断狭点，你才会判断这个狭几分，所以说在这种当中啊，我们来看看一个重点内容。什么叫狭点？什么是狭点？狭点是什么？狭点是没有定义的点。

是不是啊？没有定义的点就叫狭点嘛。很多同学你会发现一个事情，大学过程当中学的不好啊，认为没有定义的点就是假点。什么是响力？同学们，大家注意啊，你发现没这个狭点，它不光没有定义，你还得让这个函数趋向它是无穷大吧？是吧，趋向它是无穷。大同学们给我类比一下，它特别像我们曾经学过的什么点对非常好无穷间断点。

无穷间断点，所以同学们注意啊，什么叫狭点呢？你不光要在这个点没有定义另外一个事情，你在这个点出的这个极限，结果还得是无穷大。它才可以，所以同学们注意啊，两个事情，这个狭点其实就是被积分函数的无穷间断点，所以在这种当中啊，你发现一个事情，比如说我们写一个。这是fs ds。对吧，

你想进行去判断这个b点是不是狭点，首先第一件事情，你先看看这个b在这个点处有没有定义，这第一个事情。然后第二事情你还得看什么，你还得看x趋向BB什么b负吧。你取不到b嘛，你只能是b负，你还要看看这个人的极限，结果是不是无穷大？所以说两个事情，第一事情你得没有，第一第二事情往这个点跑的这个极限，结果必须是无穷大。那这样的点，

它才叫假点。所以在这种当中啊，我们简单讲一个事情，你来给我看一个问题哦。你发现这样一个题啊，就可以看出很多同学的这个水平，告诉我个事情。对于这个题而言，是一个定积分还是一个反常积分呢？定积分还是反常积分？我就让你进去去判断一下，它是个定积分还是个反常积分？如果是反常积分，不可能是第一种反常积分。只能是狭细分。

定积分还是反超积分？返程积分。反常点在何处。反常点在何处。反常点是不是零啊？你认为零就是反常点吧，零是狭点嘛，那么同学们，我们来看看这个事情，你发现啊？很多同学不会学习。这刚讲的内容，你发现一个事情都能出错啊，那么接下来过程当中我们说过。如果你是狭点，

得满足两个事情，第一事情你在这个点处没有定义哎，零确实在这个点处没有定义。零没有定义吧，没有定义，但是你发现一个事情，我们再来看，当s趋向零帧的时候，你发现这个人的极限呢？它只能去向零，这取不到嘛，这个极限是几是一，它是无穷大吗？它不是的，所以说你会发现一个事情，

这x=0啊它。它不是下跌。它就不是狭点，那既然不是狭点，它就没有狭点，没有狭点什么细分啊，其实你发现个事情就是个定积分。啊，那不能再爱你一次了，对吧？你都这样了。啊。你你别这样啊，对吧？这是这是到了今天的这样的一个水平吗啊。

你你发现一个事情，这是到了今天的一个水平吗？你跟我说了一个事情，你说这个人是个正当阶段点啊。你别这样啊，别这样。好了，这是这个问题。啊，你这是这是个震荡间断点，你别这样啊。好吧，这是这个事情。所以说在这里面当中啊，你要注意这个点它的极限，

结果是一它不是无穷大，你发现一个事情，这个人呢，他不是狭点。那不是狭点，它什么积分？它是个定积分，我来给你看看这个东西是个什么样子？它大致应该是这个情况。那么，在这种当中，我们来大致画一下，你注意啊，我画的是草图，我也不管我画的呃，

这个准不准确？你发现你看我这个被求极限函数趋向零的时候是一。但是你会发现不会取的，然后最后一个人的话，你发现它就是这个样子。那你告诉我个事情，这幅图是个定积分还是一个反常积分呢？是定几分还是反常积分？很明显是定几分呐？你要注意啊，反常积分有两种特征，要不然就是一直往正无穷进行去叠加，要不然一直往y轴的正无穷进行叠加。你很明显会发现，不就是一条线，

把一个点给挖掉吗？一个点挖掉会影响这个部分面积吗？不会影响它是个定积分。所以说要小心一点。呃，这就是我们在这种当中啊，学习的第一个问题，你要注意啊，判断反常积分，反常积分有两种，第一种反常积分。上下限当中有无穷大第二种反常积分叫狭积分。那狭积分就要判断狭点怎么判断狭点呢？第一步先找被积分函数的无地点，第二步再求无地点处的极限。

看它是不是无穷大，只有它是无穷大，它才是无穷间断点，它才是个狭点，听懂我的意思吗？非常简单啊，就是。看一下被积分函数的无定义点在哪儿，然后第二步还要求无定义点处的极限，它得是无穷大。所以说这个狭点的这个判定呢，是一个比较重要的问题，当然同学们，你想想一个事情，狭点是不是也可以在a处啊？

狭点是不是也有可能在中间？那都有可能你比如说举个例子，你看我这条线是这样。是吧，狭点有可能在a处啊。刚才狭点在b处，那么当然的话，你发现一个事情，狭点也有可能在哪？狭点也有可能在中间。有没有可能也有可能，所以有三种情况，狭点在下限当中，狭点在。右端啊，

这个什么就是上限当中狭点在哪在中间啊？这三种情况，所以跟这个东西啊是一样的，就跟前面的话，这个无穷区间的反常积分。它无穷大，可以在上限，也可以在下限，也可以在中间啊，这个什么也可以上下限，都有不能在中间啊，好了，这是这个问题，能想清楚吗？哎，

要注意有两类反常积分，那么接下来过程当中我们就来谈谈反常积分的计算，那么同学们，我首先先说第一个事情。你们先听就行了，好吧，你们先听我来讲。首先我先说一个第一个问题，我接下来过程当中做的东西都是对的，你听懂我的意思吗？不会说一会儿做着做着，我给你打个叉。都是对的，你好好听，那么接下来过程当中，

我们先来看看第一个题。那么，在这里面当中，比如说我们去进行去计算一下这个人。来看一下这个人。那这个人是不是反常积分呢？当然是他就是反常积分，他的上限当中啊，有个无穷大，那是不是狭积分呢？它不是被积分函数的，没有定义的点是在零处，从一到正无穷当中啊，连无定义点都没有，它就不是一个狭狭积分。

它没有狭点，所以说接下来过程当中我们怎么算，我就直接算，你看我怎么做的，我就把这个东西算出来。然后接下来过程当中，你就会发现正无穷代进去是零，然后一代进去是一=1，我做完了。哎，同学们，有没有发现一个事情，这个东西的做题方式怎么跟我原来过程当中学习这个定积分好像好像哎？像不像非常的像那么在这个当中，我们再来看一个，

比如说例二。如果这是一到正无穷s分之一ds。那么，这个人的话，你发现他有没有这个狭计分呢？有没有狭点呢？他没有狭点。对吧，没有狭点，因为你发现没有定义的点在零处，一到正无穷当中是没有无定义点的，没有狭点我直接算。我一算这是多少lns把一和正无穷带进去，ln正无穷是正无穷，ln 1是零，

那这个结果又出来了。哎，同学们，你想想一个事情，这个东西跟我们原来算定积分像不像？非常的像，你要注意啊，我怎么给你讲的，你就怎么去学就行了。不要像这个教材一样，怎么去学呢？那么在这种当中，你可能会看到一些教材当中啊，他都这样写，我给你找找。

呃，估计你大学过程当中啊，都是这样做的，对吧？把这个反常积分就把这个东西写成了a到什么东西呢？a到这个t在前面加了一个t趋向于正无穷。没有必要，大家注意啊，没有必要这个内容。所以同学们注意，这就是教材上的东西的一些写法，你就稳稳当当去计算就行了，大家想想一个事情，刚才我们在做这几个题当中啊。你发现跟原来的定积分的区别点在何处啊？

区别点，区别点就是一个人，就是你发现这个正无穷，带进去是带进去吗？不是带进去。这个正无穷带进去的意思，其实就是求了正无穷它的一个极限。注意啊，这个代进去不是代进去，是求了这个东西的极限。你要掌握清楚这样的一个问题点就行了，好了，这就是我们在这种当中啊，介绍的第一个问题，能想清楚吧，

代入反常点。相当于去求反常点处的极限就行，所以就正常的算，然后最后一个事情代入反常点，相当于求极限就行。那么，接下来过程当中，我们再来看大家有没有发现一个事情？我们原来学习定积分，我们都知道定积分是个数吧？定积分是个数哎，你看这有可能是个数，也有可能是无穷大那无穷大就不存在了，这是反常积分的特征。如果这个人的极限结果是个数，

我就说这个反常积分是什么？是收敛的，如果这个极限结果是无穷大，我就说这个反常积分是什么？返程积分是发散的。大家注意，我们就说这个反常积分是发散的，那同学们想想这个性质跟我们曾经学习过哪个知识点的性质非常像。是不是极限啊？跟极限的性质非常的像，所以什么叫反常积分呢？巅峰理解就是它是定积分。还有这个极限双重作用的结果。一个反常积分是定积分和极限双重作用结果。它里面当中既具备定积分的啊，

这个一个样子，或者它的性质，然后在这里面当中，而且还具备什么，而且还具备极限的性质。具备极限的特性，你要注意啊，当你看到反常积分不仅仅是看到了一个积分，而且还看到一个什么东西啊，而且还看到了极限。所以你想想第一章的极限重不重要？太重要了。非常重要，它是打开微积分学习的一个大门啊，好了，

那么接下来过程当中，我们就正式来看，那么就来谈谈第二问题。反常积分的计算问题。那么，刚才过程当中，我们已经做了两个反常积分了。那两个反常积分的话，你发现一个事情，我们都是怎么做的？我做反常积分是不是跟定积分是一样的？只不过代入反常点的时候，要进行需求反常点处的极限嘛。那只有这点区别吗？不仅仅是大家注意啊，

不仅仅只有这点区别，那么在这种当中，我们还要重点。再来看两个问题，第一个事情。先来看看第一种啊，特殊性问题，那么在这种当中，为了保证你一眼看过去，它就是反常积分，我就这样写行不行？这样一看都是反常气氛吧。非常明显。那么，在这种当中，

我们来看一个事情，请问同学们，这个东西能不能直接拆开啊？能不能原来过程当中学定积分肯定可以直接拆开定积分的时候，你看你咔的一下就拆开了，但是你发现个事情。现在过程当中，我们做这个反常积分能不能一定拆开呢？这个时候你就要思考了，能不能？原来做定积分的时候肯定可以。到定期分肯定可以。但是你发现现在反常气氛可不可以啊？大家一定要注意一个视角，我刚才讲过事儿，

你看到这个反常积分，而且还相当于看到了极限吧。那就要去想想我们第一章过程当中学习的极限。那么，在第一章过程当中，学极限的时候，我们都知道都存在才能拆吧？是吧，都存在才能拆，所以同学们一定要注意这个问题呃，大家有些东西不知道的时候不要在那瞎来啊。跟这个起点没关系。所以在这种当中，一定要注意。看到反常积分，

不光看到了积分，而且还相当于看到了极限，所以必须要保证一个事情，你这个人的极限是存在的。你这个人的极限是存在的，你这个反常积分是存在的，你这个反常积分是存在的，我才能拆，所以说大家注意这个东西就是我们原来学的四则运算法则的拆开吧。跟四则运算法则拆开是一样的。所以在这里面当中啊，你要注意这个事情，四则运算的拆开。啊，拆开跟我们原来过程当中啊，

学习的极限四则运算是一样。那很多说那为什么定几份就可以呢？那是因为定积分是个数。对吧，树加树不就是树吗？你是二，我是三，我肯定可以拆啊。你是三，我是四，我肯定可以拆啊，所以这个东西啊，一定要想清楚，四则运算的拆开，当然这个四则运算指的是加减法，

没有乘除法。哎，加减法。好了，这就是我们在这种当中啊，介绍的这个第一个问题，能想清楚吧，注意一下它。好了，这是我们讲的这个第一个点，那么接下来过程当中，我们再来看看第二点继续来。再来看一个事件，那还有一个问题点，那么如果接下来过程当中，

我来给你画一下这样的一幅图。大家来给我瞅一下，那么在这种当中，这是y这是零这是x那么在这种当中，我们一起来看看这个事情。这是c，然后接下来过程当中，这是a，然后接下来过程当中，这是b好了，同学们，我们一起来看看这个问题。哎，这是一种反常气氛吧。对吧，

它就是一种反常积分。那这是一种反常积分的话，大家想想一个问题，那么有些同学在计算的过程当中，我在计算a到b的这个反常积分。他就直接算了，他直接算的话，你发现一个事情就求出这个原函数，把a和b带进去，你把a带进去的话，你发现是个数。你把b带进去的话，你发现还是一个数。对吧，你这两个东西带进去都是个数诶，

那你永远都存在啊。你发现没？无论这个反常积分，它是收敛还是发散的，你永远都把它做成收敛的了。为什么影响这个人连散性的人在哪在c处，但是呢，你发现你算了一个头，算了一个尾，中间不管了。那肯定不行，你任何一个反常积分照你这样算，它都是收敛的。为什么b点不会影响连伞型？a点不会影响连伞型？

对吧，这两个点都不会影响零散性，真正影响零散性的在哪？在c点中，但是你发现你说你不管不顾了，那肯定不行。所以像这种问题啊，如果中间有狭点，一定要从中间把它拆开。一定要按照这个狭点把它拆开，这个事情非常重要，中间有狭点，一定要把它分开，把这个狭点给我暴露出来。把这个狭点暴露出来之后的话，

你发现你看暴露出来，那你想第一个人如果算出原函数，你把a和c带进去，这个处是不是相当于求极限啊？是不是这个事情，然后在这种当中，你算出这个原函数的之后，然后这是c和b，你把它带进去，是不是这个问题？所以说一定要注意。那学了半天，那我刚才在讲什么呀？你怎么知道有没有c那刚才我没有讲过怎么判断起狭点吗？判断狭点的方法，

你你没有听吗？啊，好了，这是这个问题。所以同学们注意啊，中间有狭点，我就把这个东西怎么办拆开？大家注意啊，如果中间是有狭点，一定要按照狭点把它拆开。所以这就是我在这里面当中特殊强调的两个问题点，那么接下来过程当中我们一起来总结一下反常积分的计算性内容。那如果将来过程当中拿到一道反常积分，我怎么算呢？首先第一件事情，

第一步大家注意我们进行去看。中间有没有下跌？你要注意啊，我看的是什么？我看的是中间有无狭点？那你想想一个事情，如果是端点处有狭点，你管不管？我不管对吧，你端点处有狭点没有关系，我算出原函数了之后，你要带值，你带值就要求极限，那个没有关系。但是你发现如果中间有狭点呢，

中间有狭点哎，你要是有我就立即按照这个狭点把你拆开。那就拆成多少a到CC到多少c到b哎，我就把你拆开，然后接下来过程当中，我们再来看第二事情。那如果这个东西它没有加电呢？如果这个东西没有加点，请注意，我们就按照定积分算定积分，怎么算我就怎么算，但是要注意代入这个反常点的时候。相当于去求反常点处的极限，那么像这个反常点有几个人呢？反常点有两个人，

一个是正负无穷点，一个点是什么？一个点是个狭点。哎，有这两种，所以同学们一定要想清楚，我首先第一步，我先看中间有没有假点？这第一个是我看一下哎，你有没有狭点啊？中间有有就拆开，没有怎么办？没有原来怎么算？我现在就怎么算？但是把狭点带进去和正负无穷点带进去，

就相当于去求极限就行啊，就这么简单。好吧，我们试一个吧。行吧，试两个题了之后我们再来看看好先来看看这里面当中的第一个题。操作一下第一个题。首先，一眼瞅过去，你发现一个事情，这个题肯定是个反常积分。对吧，绝对是反常积分，因为你发现一个事情上下限当中啊，有无穷大肯定是反常积分第一步干嘛？

先看中间有没有狭点，怎么找狭点两步走，先看被积分函数有没有无定点？没有无定义点。没有无定点，肯定没有狭点好了，那这个人呢？他就没有狭点，如果中间没有狭点怎么办？中间没有狭点就直接算。那原来怎么算我就怎么算，那你告诉我个事情，原来过程当中你会怎么算？两类不同函数相碰，必考分布及分法吧，

所以在这里面当中啊，我就把这个人凑到后面去补一个负号，凑到后面去。然后接下来过程当中，我们就可以做了，然后我们看那就是两项相乘，把它带进去，然后再简便成加两项调换位置。然后再来进行计分。对吧，原来怎么做我就怎么做，但是注意一个问题啊，现在看你把这个正无穷带进去，是带进去吗？不是的。

把这个正无穷带进去，就相当于去求正无穷处的极限来吧，同学们带进去相当于求极限。求极限就是x倍的e的负x极限。那首先第一个人是无穷大，然后接下来看第二事情e的负无穷是零零乘无穷大的未定式。那这个零乘无穷，大未定式怎么做？非常简单，你可以把这个e的负s写成es分之它。那这个时候就变成什么变成了无穷比无穷。那无穷比无穷的话，你发现一个事情，这个极限等于多少非常简单，因为指数函数远远大于幂函数等于几等于零。

漂亮，所以说你看你一代是零，然后接下来过程当中，这不是狭点，直接带进去，那就是零。所以说这个结果呢，一算是一到负s把零和正无穷带进去，继续来看，先看第一个情一的负无穷是几零一的零是几一。本题结果出来了，就等于一。好做吗？哎，非常好做。

啊，非常好做。你发现原来过程当中啊，很多同学原来学习都是这样。出一个这个积分题是不定积分会不会做呢？汇总。改成定积分会不会做呢？也会做。但是改成反常气氛呢，做题你会发现一个事情，你就有点慌了，哎呀，总感觉说我这个东西做的对不对？你今天过程当中一定把这个东西学清楚。你就看看我给你做的总结就行了。

你想想这些内容也不需要你总结怎么进行去处理啊，怎么样的一个步骤啊，我都给你总结好了，你去用就行。中间有狭点拆开，中间没有狭点，直接算带入反常点，相当于需求反常点就极限就行。如果你拆开了之后的话，你发现这个狭点已经暴露在端点处了，你再直接算不就行了吗？好了，这个类型问题啊，难度系数不大，能学清楚吗？

所以你会发现极限重不重要？太重要了。极限非常重要，好，这是我们在这里当中介绍的第一个事情，再来算两个可以吗？来再来做一下第二题。继续了再看第二题。那么，首先一眼瞅过去，你发现上下限当中有无穷大，肯定是个反常积分。那么，首先第一件事情先看中间有没有狭点，先来找被积分函数的无定义点，

它的无定义点是谁呀？零和一。无定义点，但是你发现我是从谁呢？我是从一集到正无穷。一亿积到正无穷的话，你发现你是零和一，那中间有没有狭点没有的？中间连无定义点都没有，我在这一路上都无定义点都没有。连无丁一点都没有，肯定没有下跌。所以同学们注意啊，中间没有狭点，中间没有狭点怎么办？

中间没有狭点就直接算。那职业算怎么算啊？只是意义到正无穷，直接算怎么算？我一旦看到ling，我就把这个s分之一是不是凑到后面去啊？我一凑的话，你发现一个事情就是lings。然后这个东西的积分结果就是负的lns分之一，然后把这个e和正无穷就带进去。所以说你会发现ln无穷大是无穷大无穷，大分之一是0 ln 1是ln 1是一，所以说这个结果是一。你看是不是做完了，所以说这个反常积分呢，

是一反常积分是收敛的。能学清楚吗？基本点。呃，这个操作性啊，我觉得也不难，所以你看只要你掌握住了套路，它都很简单。啊，最重要问题就是套路，把这个套路啊学清楚好，这是我们在这本当中介绍的这个四点二一这个题来吧，同学们继续，我们再来看看四点二二这个题。看一下这题呃，

首先看第一个事情，先看看这个人是个定积分还是反常积分呢？我估计很多同学也做对了，对吧？但是你发现把它当成了定积分来做，那么首先看这个被积分函数的无定点是谁？零和一吧。是不零和一？这个人的五丁一点是零和一。那么，同学们想想，如果它的无定义点是零和一，我还管不管这个题我不会管了？为什么？因为你发现一个事情，

你看零和一都在端点上嘛。就算这个人是一个反常积分，我也不管了。因为刚才过程当中，我们说了，我们说我们只看中间有没有下跌。对吧，你在旁边我不会管的。就算你这个人是个个点，我也不会管的，所以同学们注意一个事情啊，它不会影响我们的，那么所以说在这里面当中怎么办？你就直接算就行了。原来怎么算我就怎么算。

你怎么算呀？你首先看这个分子不算，我一眼瞅过去的话，你发现一个事情，我瞅到了根号，那这是多少？这是arcs in根号。然后这里面当中是根号下一减s，那这里面当中是不是碰到根号碰到根号的话，你发现补杆儿来杆儿，这是不是一错啊？一凑的话，你发现这是二倍的零到一，然后这是多少d根号s？那d根号s的话，

你发现一个事儿，它就变成什么？我喜欢的根号的样子，你既然喜欢根号，你就把这个s写成多少写成根号s的平方，那么同学们想想这东西是不是又可以凑了？根号下一减去一个东西的平方，不就是阿克塞因吗？所以在这种当中，这是零到一只是阿克塞因根号s，然后d多少阿克塞因根号s？是不是做成这样了？等你做成这样了之后的话，你发现这个积分结果是多少？这是arcsine根号s的平方，

把零和一带进去。是不是这个结果有没有发现这题曾经做过一样？原来过程当中，我们做的是arctangent。现在只不过是做arcs in，不要给我打点啊这个题。这个题不要打点啊。你要是遗忘了，证明这个过程当中啊，你就没有复盘，这是我们做过的题啊，赶紧给我取消了。好，那么绩效过程当中，我们就继续再来看。

把这个一带进去s in多少等于1s in 2分之派等于一。所以说是二分之派的平方s in 0=0，所以说这个结果等于四分之派方正确答案选几啊选a啊？好了，这是我们在这本当中啊，介绍的这个四点二这个题能听懂吧，所以说首先第一个事情先看看这个人是不是反常积分？对吧，在操作的过程当中啊，是怎么做的？一定要注意，我再强调一遍，我这节课不在乎你的题做的对不对？我在乎的是你这个部分的呃，这个方法论你的思维方式有没有训练到位？

所以将来过程当中，你见到一个反常积分，你不要怕它，对吧？一看反常积分，反常积分怎么了也没关系，第一步先看中间有没有狭点。有狭点我就拆开，没有狭点我就直接算，只不过代入反常点我就相当于去求反常点就是极限，其实你发现非常简单。好了，那么接下来过程当中啊，我们继续，我们再来看个题，

看一下四点二三这个题，你看这个题怎么做？呃，这个题啊，我选取了一下，不要看是这个数学二同学的题，这个题非常适合考给我们太好的题了。那么，首先我们先来看看第一个事情来做吧，他说让我们去判断这个人是收敛还是发散，你就算就行了，你算出来收敛就收敛，你算出来发散就发散。好了，这个结果那么同学们告诉我第一步干嘛？

先看中间有没有狭点吧。所以说首先第一个事情，你发现你看这个人的无定义点在几处，无定义点在零处。同学们告诉我管不管？管还是不管？不会管的，为什么呢？你发现你看这个无定义点的话，在端点处。就算你是反常积分，你是反常点。就算你是个狭点，我也不会管的，我只看一个事情，

我就看中间有没有狭点，所以同学们不会管，那不管的话，你发现我怎么做？这个分会算吗？当然会做啊，你发现看这是负无穷到零非常好做，首先第一件事情是不是凑微分啊？你在这补个负号，往后面一凑就是x分之一，佩服的。那这个时候的话，它的结果就出来了，它就等于负的x分之一把什么情况，把这个负无穷和零带进去。

好，就这个结果。好了，那么接下来我们继续，我们再来看那，然后接下来过程当中啊，你就要把它带值了，但是这里面当中啊，你要注意一个问题，你觉得这两个值哪个带值稍微的恶心一点？不是无穷大。无穷大分之一是零。e的零是一，它的代值是很简单的。谁带之恶心啊？

对，非常好，零带之恶心。零带进去的话，你发现零分之一是无穷大e的无穷大那e的无穷大，这个东西是不是要分呐？所以同学们要注意一个问题，我们接下来看看这个事。你想我现在这个人的话，你发现他是什么情况？这是零我从夫无穷。对吧，我从负无穷积到零零，取不到零，取不到的话，

你告诉我个事情，这是零正还是零负啊？你从负无穷积到零，那这是零正还是零负啊？当然是零负啊。所以在这里面当中，如果进行去求极限的时候，应该是趋向于零负的极限。是吧，零负五分之一的话是负无穷一亿的，负无穷是几一亿的，负无穷是零，所以说这件事情就出来了，你看第一个人是零。然后无穷大分之一是零一的零是一，

所以说这个结果算出来是一收敛还是发散，当然是收敛。简不简单？好简单啊。你就会发现一个事情，这种类型问题的题目就是极限能力和积分能力的综合呗。对吧，先基出这个分，然后再代入进行，求个极限就行了啊，非常简单哦。你要注意一下它不难的啊，好了，那么接下来我们继续，我们再来看零到正无穷。

首先，我们先看第一步，先看中间有没有狭点。那么，同学们想它的无定义点是零不在中间，不用管那不用管的话，你发现就直接算那直接算的话，首先第一件事情跟上面一样。把这东西凑到后面去s分之一配负号，那么然后在这里面当中你就会发现继续来这个人的积分，结果就是负的e的s分之一。把零和正无穷带进去。那么，在这里面当中啊，你就会发现一个事情，

把这个无穷大带进去不是难点，无穷大分之一是0e的，零是一非常简单。那这里面当中比较痛苦的是谁呢？把零带进去。那你发现一个事情，我从零级到正无穷。我零接到正无穷的话，你发现零取不到，这是零什么？这是零正吧？所以在这种当中，我们先来看看第一个事情，你看。第一个人，

他就是什么情况limits趋向多少正无穷。那正无穷分之一是零一的零是一这个极限，然后接下来过程当中，我们再来看趋向零正，零正的话，你发现零正分之一是正无穷。一的正无穷，是正无穷。你用一进行减个正无穷呢，那肯定是无穷大那无穷大的话，你发现我最后写无穷大行不行？你不要管正无穷还是负无穷。你不用管这个事情了，你着啥急是正无穷还是负无穷，不用管这个事情，

只要它是无穷大，它就是发散的。所以说这个题的正确答案选几啊选b。好了，这是这个题，所以你看，只要你掌握住了刚才过程当中，我对你们呃要求的那个反常积分的计算的流程。把那个流程吃透了之后啊，你发现这个部分问题啊，就非常简单了。能学会吗？哎，基本点了。好了，

这是我们讲到这个四点二三这个题来继续吧，我们再来看看四点二四这个题，所以做这种题啊，你稍微慢一点啊，把这个事情啊，想清楚就行。好，再来看看这个题。那么，接下来过程当中，他又说让我们继续去判断这两个积分。他的联赛性。对吧，判断这个积分的零散性，那么在这种当中啊，

我们就算就行了呗。对吧，把这个人计算一下，算出来收敛就收敛，算出来发散就发散，你好好听这个题啊，这题特别重要，这是is倍的s加一分之一ds。那么，首先我们先看第一件事情，先看中间有没有狭点，你发现它的无定义点是零，无定义点是负一。你在一击到正无穷的时候，是没有这个无定义点连无定义点都没有，

肯定没有狭点，中间没有狭点怎么办？没有狭点就直接算。那么，同学们想想这个题是怎么算呀？你以前定几分怎么算？你以前定积分怎么算？我们现在怎么算定积分怎么算？我是不是拆开啊？列项吧，所以在这种当中就变成了x分之一，再减去多少x加一分之一列项列成这样。把这个东西就裂开了。裂开了之后的话，你发现一个事情，

我们就可以怎么做，然后这个题是不是就可以做x分之一的反常积分，然后再减去多少呢x加一分之一的反常积分？那么，在这种当中，它的结果是多少？lons把正无穷带进去吧，然后这人积分，结果呢，是lons+1，不用加绝对值，把一和正无穷带进去。那么，在这种当中，我们会发现ln正无穷，

正正无穷吧。ln 1是零，然后你会发现ln正无穷，正无穷。ln 1但却是ln 2，所以说这里面当中你会发现一个事情，这个结果就是ln 2对不对？对不对？是不是啊？你要是这个水平呐，我就封完了啊。那么，同学们告诉我事情这个页面当中啊，出错误的点有多少项？啊，

出错误的点有几项？我先不说别的，你在这里面当中，如果时至今日，你还敢在这里面当中说无穷大减无穷大是零。你还能发出这样的话，我就觉得你的极限根本就没有入门。你要注意啊，如果在这里面当中，你发现看无穷大减无穷大，你在这里面当中过程当中，你还能得到零。你的极限连入门都没入。无穷大减无穷大，什么是啊，

不一定是，所以同学们注意你这样做，它就错误完了。但是我想说一个事情，这个题的答案做对了。哎，注意一下这个题的答案做对了。答案确实是落婴儿，有同学说啊，你看老师我答案没有问题啊，你别乱来答案，对了，你也错了。你用了错误的方法做出正确答案，在复习过程当中就是错误的。

所以说这里面当中啊，绝对不对啊。那么，接下来过程当中，我们来分析一下，在这里面当中啊的问题点到底出错误在哪呢？那你告诉我出错误在哪？诶，刚才过程当中，我是不是讲过这个事情，你发现a到正无穷，如果有个f这个函数，有个g这个函数ds。那同学们想，如果你想把它拆成什么f这个人的积分，

再加上什么，再加上g这个人的积分。同学们，想想我刚才有要求吗？对吧？我有要求必须怎么办？都存在才能拆吧？是不是都存在才能拆这刚讲的呀？这个四则运算法则的拆开必须要保证都存在才能拆。但是你发现一个事情，第一个人的积分结果是谁？第一个人的积分结果是无穷大，不存在第二人的积分结果是什么？是无穷大，也不存在。

所以同学们注意啊，刚才这两项都不存在。那不存在啊，你不能拆的。所以说这个题当中啊，你发现一个事儿，这个错误点呢，从这一步就开始了。哎，这是绝对不对的，必须要保证一个事情都存在才能拆。诶，那问题来了。我们学这个东西啊，你发现这种题啊，

是考研喜欢考的。特别喜欢考那问题来了，如果四则运算法则。如果在这里面当中啊，你发现一个事情，如果四则运算。运算这个四则运算指的是加减。不能。拆开怎么办？呃，那怎么办呢？我们说都存在才能拆，但是你发现一个事情，现在问题点来了，如果在这里面当中，

你不能拆怎么办？啊，那不能拆怎么办呢？大家注意，不能拆我就不拆，那说你说的是什么话呢？那么接下来过程当中啊，我先讲这个题，我把这个题讲完，然后接下来过程当中，我们再来看。好，那么接下来过程当中，我们来看看这个题目，再一次回到这个题目。

那么，首先我们先来看看这里面当中啊，第一个事情那么在刚才过程当中，首先第一个信息点，刚才我们不是做这个一到正无穷吗？然后让我们去做这个分吗？那么做这个分的话，同学们想想第一个事情。把这个人变成这样，同学们告诉我有没有问题啊？有没有问题？不会有问题的，我把这个东西变成这一步，合情合理，中间没有夹点，

我就按照定级分算定。定级翻的过程当中，我把它拆开没有问题，那么接下来同学们，我们来思考一下诶，你这个部分的原函数是谁呢？你第一个人的话，你发现它的积分结果是lns啊。你第二任的积分结果是多少？ln x+1啊，那么同学们告诉我个事情，这个整体是不是它的原函数啊？啊，是不是啊？这个整体就是它的原函数啊，

你发现你看这个整体，我这个整体去求导不就是你吗？所以在这里面当中，我就整体进行去找到原函数。把这个人带进去。你看现在我不光没有拆开，我还把它合起来呢，我根据对数函数的这个减法，立即变成它的除法。你看我做成这样了，然后接下来过程当中，我们再看lu in正无穷呢lu in正无穷的话，你发现正无穷抓个大头，这是一呀。那这是一的话，

你发现ln一是几ln一是零啊，然后接下来过程当中是ln二分之一啊，那ln二分之一负负得正不就是ln二吗？你看我把它做完了。我不光没有拆，我还要把它合起来呢，有人说老师，你这偷奸取巧吧，这叫什么偷奸取巧，这叫策略。这就叫策略。所以你会发现一个事情，如果将来四则运算法则不能拆开怎么办？大家注意按照整体找到原函数统一代值求极限就行。所以方法论的东西啊，

非常的简单。所以说这就是我们在这种当中测定，注意啊，如果这个四则运算法则不能拆开怎么办？按照整体。求出原函数。求出原函数，就是求不定积分。对吧，按照这个整体求出原函数，然后再怎么办再统一？代值。求极限。所以你就会发现一个问题，哎，

我没有分开求极限啊，我是合起来求极限，那这时候你就明白了，合起来求极限跟分开求极限不一样吧。都存在才能拆嘛，所以说这就是我们在这里面当中啊，处理这种问题方法的一个非常重要的策略。如果将来过程当中，你发现诶，你是不存在，我是不存在，不能拆开时候怎么办？不能拆开，非常简单。把这个人的原函数求出来。

把这个整体原函数求出来，就是求解一下这个人的什么积分，不定积分，这个不定积分一算算出来这个人，然后再统一代值就行。这个方向性就非常的简单了，所以说像这个问题的方法，你必须要学会这考研考的特别多。能学会吗？我相信应该没问题啊，按照整体找到原函数再统一代值求极限就行。好，这是这个问题。呃，那么接下来过程当中，

我们再来看看下面的事情，那还有一个人呢，就是零到一啊x倍的多少，一加s分之一dx。那么，接下来过程当中，我们继续看啊，再来瞅一下，你看这个人。那么，请同学们告诉我，它是个定积分还是反常积分呢？它是个反常积分，它的无定义点是多少？无定义点是零，

无定义点是负一，但是零到一我不会管它。你看如果去求零处的极限的话，你看这一项部分是一，这一项部分是零零分之一是无穷大。这个人在临处的极限结果是无穷大，他就是一个狭点反常积分。但是同学们，你发现从计算角度上而言，你不会管的，为什么中间没有下跌？中间没有狭点，我就不会管，所以说接下来过程当中怎么办？你就按照呃求解这个定积分的方法来做就行，

首先第一件事情把这人给拆开。拆开这个人。你拆开了之后的话，同学们，你可以分析一下能不能进行去分开做不行，因为这个人的这个积分的结果是l。ln 1是零，ln 0是多。少ln 0是无穷大。那这个时候你发现第一项是发散的，它不能拆的。那既然不能拆，怎么办？我们刚才讲过，如果不能拆，

按照整体找到原函数，还记得吧？做整体的不定积分，第一个人的积分是它，第二个人的积分是多少？一+ss。算了，我们把这个绝对值加上吧。按照整体找到原函数，然后再统一啊，这个进行去代值求极限就行，所以在这里面当中啊，你就把这个原函数写过来。那就lns，然后再加上ln 1+s，

然后再整体进行去代之求极限，那这样就可以了。所以在这种当中，不光这样，我还把它进行去合起来，然后把零和一带去，那这个时候你来看看，那这里面当中的第一个人。它就是ln二分之一啊，然后再来看第二人，那第二人的话，你发现一个事情很明显一个问题，我就要求零阵的极限吧。零真的极限的话，你看看这个人，

那这人是多少？那这人很明显，这个结果就是零啊。对吧，就是零，因为下面是一，上面是零，这一除是零，那ln 0是多少？ln 0就是无穷大呀。很多说那老师应该是负无穷，你管他呢，我就写无穷大一个数减无穷大，反正是无穷大。你别管是正无穷负无穷，

我前段时间我应该看到一个同学啊，这个应该是这个。数一数二数三同学的班级同学对吧？他应该是听这个课程，他把这个截图过来啊，截完了之后的话，他说诶，这怎么不会管负无穷正无穷呢？你管我呢？我在乎它是正无穷负无穷吗？只要这个人是无穷大，他就是发散的，我管那么多干嘛？所以你用这个数进行去减去什么东西呢？你减去负穷，

我管它呢。反正他减不动，最后就是无穷大就行，所以你发现一个事情学习东西啊，一定要学透彻，对吧？好，这个问题。能学会吗？要注意啊，如果四则运算法则不能拆开的时候统一找到原函数统一代值，求极限就可以了。所以说这题的正确答案选几选c。好了，这就是我们在阵种当中啊的一个最起码的一个操作能力。

啊，像我们三九六同学能达到这样的一个基本水平就可以了。那么当然，在这个反常积分里面，还有一些难的，比如说考比较神联法那个东西啊，就有点啊，超过我们的这个要求的范围了。所以在这里面当中，我们只要会做稳扎稳打的这个反常积分的计算，那就可以了。好，我们再来做一个题吧。再来一道，我们练习一下。

嗯，练两刀吧嗯。呃，我是上面给的这些题啊，有些题的难度系数比较大。啊，很多题的难度系数比较大，所以你稍微注意一下，比如说这里面当中啊，我们来做一下这个题啊，三四四这个题。你看这个题怎么做？那么，首先我们先来看看第一个事情，你看你看到了平方吧。

大家注意拿到反常积分的第一步，干嘛先看中间有没有狭点吧？那这个被积分函数有没有无定点？没有无定点连无定义点都没有，肯定没有狭点，没有狭点就直接算。那你告诉我事情，这个分怎么算？怎么算呀？非常简单吧，把x往后面一凑，那就是二分之一，然后这是多少一加上x方的平方d多少？d so.然后接下来过程当中再怎么办？

你再加个一就行了。是吧，再加个一那么加个一了之后的话，你看一个人的平方分之一的积分，其实你会发现就是这个人的负一。所以说把零和正无穷再带进去，那么接下来过程当中，我们来代值吧，那这个东西就是负二分之一。你把正无穷带进去，下面是无穷大无穷大分之一是零，你把零带进去，这个结果是一，所以说结果是二分之一。大家想想，

又回到了一个基本问题，什么能力非常重要。什么定积分计算呢？什么反常积分计算呢？又回到了最后一个事情，你的什么能力很重要，就是你的原来过程当中的不定积分的运算能力。又考了这个事情，所以同学们注意啊，掌握住了最基本的运算能力的方法，下面的过程当中东西啊，就是加内容就行。那么就加内容，所以你如果不会积分呢？这都完蛋。

下去过程当中好好练一下啊，好了，那么接下来过程当中我们再来看一个题，再来一道。比如说这里面当中，我们再来看看这个三四七这个题。来看一下这个题。好首先一眼看过去。那这个东西是个什么分呢？这个东西是个反常积分。对吧，它就是一个反常积分。那这个反常积分先看中间有没有狭点，它的无定义点，一个人是零，

一个人是一，一个人是负一。同学们告诉我个事情，我们管不管？不管为什么，就算是个一一在端点处，就算它是我也不会管，我要看中间有没有下点。所以不会管的，那不会管这个题，就立即变成了定积分的计算了。同学们，想想你原来过程当中做定积分，你是怎么算的？定义积分怎么做这个题啊？

怎么做这个积分非常恶心的点呢？非常恶心的点在于这个根号，我就想去掉这个根号。那去掉这个根号怎么去呢？非常简单，我就令x等于多少second t你要注意啊，如果这个板块内容你听不懂啊，你下去好好进行，把不定积分呢，你再来看看。那么所以说在这里面当中，我们就要进行去把它代值了，那一代的话，你发现这是second t。sine的方程，

一是tangent t，那就t tangent t。但是大家注意一个事情，这个ds换不换？这个也得换。de它就是求导，就是second dt tangent dt dt，但是要注意一个问题啊，换元要换线嘛？那换圆要换线的话，你看你现在是x=second dt。你找这两人之间的关系不好找，我就把这个人写成什么，我就把他写成cos分之一。行不行写成cosine分之一或者而言的话，

你把这个cosine t就写成x分之一。好，一起看，如果这个x是一，你x是一的话，这就是1 cosine多少等于1 cosine 0=1。然后再来看x是正无穷x是正无穷的话，这项就是0 cosine多少等于0 cosine 2分之派等于零。你看这个事情，所以约掉了，结果等于几结果等于这个人。所以结果等于多少二分之派？难不难？不是特别难吧？基本问题。

所以大家注意啊，掌握住的套路第一步干嘛？第二步干嘛？然后你掌握住这个套路，把它转成定积分计算，那就回到原来的能力了。好，基本信息点。好，继续再来看。你好意思说这个难吗？啊，如果这个题你觉得难呢？你原来的不定积分的运算能力肯定没有过关，因为这个这个积分呢，

是不定积分计算当中非常非常非常基础的分。那这个问题点就非常大。你原来的不定积分肯定没有过关的。你在这里面当中，你看不出来这个东西换元法。你要注意这个这个事情啊，这很有问题啊，这问题很大啊，好了，那么接下来我们继续，我们再来看一个题。比如说我们来看看这个题。来看一下这个题。那么，接下来过程当中，

我们再来看看这个题目怎么做？对吧，操作一下这个题。你看它是一到正无穷。反常积分那么同学们注意一个事情，首先第一件事情它的无定义点是谁啊？它的无定义点是零。对吧，它的没有定义的点是零。怎么了？为什为什么都在？哦，说tangent。好了，那么接下来过程当中，

我们来看看你发现这个部分的无定义点是几，无定义点是零。那无定点是零的话，你发现一到正无穷是没有无定义点，对吧？没有无定义点，那既然没有无定义点的话，你发现一个事情，这个题怎么办？我就照常算。对吧，照常做那对于这个题而言的话，我们觉得做题的方法比较多一点，对吧？首先先看看第一种方法。

第一种方法就是硬着拆。硬着拆，怎么拆呢？就把它拆成了x分之a，然后再加上x平方加一分之BS加d。这就是第一个事情，硬着拆。用着拆合一下，然后通过赋值法把abd进行找到，但是我觉得这个稍微的恶心一点。你喜欢吗？我觉得有点，你发现麻烦了，对吧？有点麻烦，

那么在这种当中还有没有方法呢？我觉得还有。你再来抽诶，对于这个题而言的话，你看这是x，然后这是一+x^2，这是一吧。我们再来看一个方法。那这个里面当中，你可以这样，我瞅着这个分母，我看了一下，非常的巧妙，那我给你加个平方，减个平方呢？

如果在这种当中加个平方减个平方，我就除下去了，然后接下来过程当中是不是一下子就裂开了？哦，这种裂开的方法其实就列出来的结果就是这个人，你去算吧，这个a就是一这个b就是多少b也是负一，然后d是几d是零。就说我在这里面当中，我加一个，我再减一个，这题是不是出来了？所以说这个操作性方法，我觉得更容易，所以接下来过程当中，

我们先来看看第二种方法。那么，在这种当中，首先第一件事情先按定积分计算，把这个东西啊就变成了这个人。那么，接下来过程当中，我们再来瞅一下。那么，请同学们告诉我，能不能拆开算呢？不能为什么这个人的积分结果是ln sln正无穷是正无穷，绝对不能拆开算。既然这个题不能拆开算，怎么办？

不能拆开算，我在这里面当中啊，我就整体做出原函数，还记得吗？整体求出这个人的原函数，这个人的积分结果是多少？第一人是lns绝对值，第二呢，配一个人到后面去ln多少？一+s平方加上c。按照整体找到这个人的原函数，那找到这个原函数的话，你发现我找到了，那就是lns绝对值，因为一到正无穷就不加了。

然后再减去二分之一ln一，加上x平方，然后再整体把它代入进去。那么，在这里面当中，你就会发现一个事情，那这两个东西啊，我看这个二分之一，我可以把这个二分之一怎么办？我提出去。提出去了之后的话，这是二倍的lns，然后这是ln多少一+s^2，那这里面当中你发现一个事儿，这是两个ln吧？

两个录音的话，你发现我可以怎么办？我可以把这个人二放上去啊，我一步都没给你跳，我放上去那放上去的过程当中的话，你就继续看。那么，在这里面当中，我是不是可以把这个东西怎么办？我把这个东西是不是就变成了这样？你看相当的精彩。我不光把这个东西我没有拆开，我又把它合起来了，然后这个题就变成了一到正无穷，所以接下来过程当中再来看。

lu in正无穷呢，你发现抓大头这是一吧lu in 1，这个结果就是零，然后把这个东西带进去，就是这个人。是不是做成这样？那么做成这样了之后的话，你发现一个问题，我们继续看那这个负一的话，你发现抛出去抛出去了之后就变成了二分之一倍的。好了，这是在这里面当中，我们的一个基本的一个信息点，能想清楚吧？要注意这个问题啊。

好了么？同学们要注意一下这个信息点，所以你在操作的过程当中一定要把这个基本问题啊，想清楚。好了没？不是看这个人的存在性，你要看那个原函数的存在性。我要看那个积分结果的存在性，比如说你第一章过程当中看极限存在性，是不是看看这个人的极限结果的存在性啊？你看这个积分的存在性，你就要看看这个积分积出来之后的存在性，不是看那个人存在性，不要乱来哦，你这个纯属想想多了。

好，这是这样的一个基本点，能想清楚吧？当然，对于这个题而言呢，你还有第三种方法。你还可以，怎么办？你就令s=tangent t组。也可以，你下去过程当中试一下，把这东西啊，做一个换元法，换完元来之后啊，这题也能处理。

所以对于这个题而言呢，方法比较多一点，当然这个第二种方法我觉得是最简单的。好，过去了可以吗？基本信息点了。那么，接下来过程当中啊，我们再来跟同学们补一个题啊，接下来这个题啊，比较重要一点，希望同学们好好听啊。那么，接下来过程当中，我再来写个题零到正无穷。

不行，我必须要敲出来。不然的话，你发现引起不了很多同学的注意力，对吧啊？五星级黄金重点内容。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看下面一个问题太重要了，把它标成红色，再加上我喜欢的绿色。啊，太重要了。太重要了，那么接下来过程当中，

我们一起来看看这个事情，那么在这种当中啊，我写一个分。就不要例题了，我就直接写那这个结果是多少呢？是零到正无穷。然后在这种当中是x的N次方e的负s dx。那么，首先我们先来看看第一个事情，大家注意啊。那么，在这个结果，它是一个n的数列，有没有问题啊？就这个结果是个n的数列，

有没有问题？我原来过程当中讲过你，比如说你看零到一x的积分，它的结果是二分之一吧，对谁积分结果没有谁。对谁积分结果没有谁？对于s积分没有x留下了n是不是一个n的数列啊，所以在这里面当中我就把它叫做了in。没问题啊，把它叫做了in那么同学们告诉我，这个in等于多少呢？接下来过程当中，我们来分析一下这个事情。首先第一件事情，当然这个n呢，

它属于一个什么？它属于一个整数啊，这个什么呃，属于一个正数。正整数。属于正整数，应该是属于自然数，不叫正整数零也可以啊。能听懂吧，零也可以零一二三四五六都是可以的。那么，接下来过程当中，我们看看这个人的计算，首先第一件事情，他是个什么积分呢？

它是个反常积分吧，肯定是的，先看第一步，中间有没有狭点？有没有啊？先看这个被积分函数有没有无定义点，没有无定义点，没有狭点，没有狭点就直接算。同学们告诉我，这个人怎么算？怎么直接算啊？非常的简单，把这个e的负s扔到后面去，分布积分法吧，

那就是xn次方de。的负s配负号。那么，然后接下来过程当中，我们就看两项相乘。然后减去变成加上两项调换位置，移移到负s跑前，它跑后就求导变成了这个人。然后接下来过程当中，我们要注意这些东西，两项相乘了之后啊，你得把值带进去，先来看第一个事情。把正无穷带进去呢？把正无穷带进去，

相当于去求正无穷处的极限。那这个极限的话，你发现我可以把这个e的多少呢？e的s放下去，放下去就变成了这个人。所以说这个题的话，你看这个指数函数远远大于幂函数啊，这个结果就是零。没问题吧，所以说这里面当中的第一项是零把零带进去呢，第一项是零，第二项是一也是零。所以这个结果的话，它就变成了n倍的零到正无穷x的n- 1次方e的负xd x。是不是这个结果诶？

那么接下来过程当中，我们好好进行去分析一下，你看这个样子叫in。那这个样子叫什么呀？那这两个东西像不像两个东西长得非常的像吧？简直的话，你发现一个事情是非常相近的，但是这里面当中有一点点的小问题，你这个人是n，我这人是n- 1。你把这个人叫in我这个人叫什么？我这人肯定叫in- 1啊。对吧，我就叫in- 1了，这就是我们在这里面当中的第一个信息点，

那么所以说这个问题点我就得到什么，我就得到了递推公式了。我知道这个数列就等于n倍的in- 1的数列。这是递推吧，那么同学们想想那in- 1等于多少？in- 1不就等于n- 1倍的in- 2吗？所以说再往下推一下，就等于n- 1倍的in- 2，那如果这是n- 2呢？那就是n- 2倍的in- 3，继续往下写。那in- 3呢，就是n- 3倍的in- 4，然后一直写一直写，写到最后那就是二倍的I1。

是吧，一直推下去，那么同学们告诉我这个I1等于多少呢？这个I1不就是这个n为一的情况吗？这个n为一的情况刚才有没有做过呀？有做过我们做的第一道反常积分的题。你还记得这个题吗？四点二一的第一个题，那这个题的结果等于多少？结果等于一。你看这个结果是等于一，所以说同学们注意啊，这个结果就是一哦I1=1，所以说这个问题点就结束了，它就等于n。

n的阶乘。那么这个内容啊，是希望同学们一定要把它记住的，那这个结果等于多少就等于n的阶乘，请注意n。属于啊，这个自然数，这是一个非常重点的内容，这个内容的名字叫什么呢？这个内容的名字啊，叫做伽马函数的推论。它不叫伽马函数，它叫伽马函数的推论，你不用去学伽马函数，伽马函数没有这个推论重要。

所以说接下来过程当中啊，我把这个事情给你补到这儿，这公式一定要记啊。这个公式就叫伽马函数。啊，函数。推论伽马函数的推论，把这个东西啊，一定要记住。伽马函数的推论就是零到正无穷x的N次方一的负x的积分。这个积分的结果就等于n的阶乘听懂我的意思吗？就等于这个东西的n的阶乘，所以说将来过程当中我们在什么时候用的非常非常的多呢？那么将来过程当中我们会在概率论与数理统计当中用的非常多。比如说举个例子，

你发现有些高手的话，他做题啊，比如说零到正无穷一的负x等于多少呢？呃，我这边外面有点吵啊，我今天在这个在这边酒店这边。呃，吵不吵？好，那么接下来我们就继续，我们再来看零到正无穷的话，这是x一次方e的负sds，然后这是零到正无穷平方e的负sds。然后在这里面当中，零到正无穷三次方e的负s dx好这个人，

那么接下来过程当中，我们一起来看看。那么，在这里面当中啊，你就会速战速决，把这个东西给刷掉了。我们将来在概率论与数理统计，我们是学概率论，但我们也会考，你看第一个人等于多少？那第一人的话，你发现不就是s零次方吗？s零次方就是零的阶乘零的阶乘不就是一吗？然后这就是一的阶乘不就是一吗？然后这不是二的阶乘吗？

二的阶乘就是二，然后你发现这是三的阶乘不就是六吗？所以在这里面当中啊，你就会发现我们速战速决，把这东西就处理了。你看这多简单。所以同学们注意一个事情啊，你发现你能做的非常非常的好，能理解吧，哎，这个基本点。你不要在那里面当中啊，哎，这个第一下算一下，第二下算一下，

再分布积分法一下，哎，这个内容啊，就非常的简啊，这个麻烦了。所以说这个基本点一定要把它记清楚。好了呃，这就是我们在GEM当中操作的内容。不是零，是一零的阶乘是一，你不知道这个内容吗？这怎么每次过程都让我特别临德皆臣是一，你不知道吗？你稍稍微学一点，你都知道吧？

这这跟高中过程当中，你学文科学理科一点关系都没有。啊零的阶乘是一啊。好，这个内容好，这是这个部分的内容，我们就说到这儿，所以说下去过程当中啊，好好把这个内容啊，处理清楚。能听懂吧，零的阶乘是一啊。那今天记住就行了，好吧，你下次过程当中啊，

把它记清楚就行。好了，所以说在这里面当中啊，一定要注意这个问题，能听懂吧？你别管在哪讲了，你就把它给我记住就行了。你还要进去去找啊，原来过程你现在趁着这几秒钟时间把它把它记住了吗？好，这是这个部分问题，能想清楚吧，基本点。这是个常识啊。好了，

这是我们在这个当中啊，介绍的这个第一个信息问题，伽马函数的推论非常的关键，所以说下去过程当中好好看一看。好了，那么今天这个这个板块内容我们就讲到这儿好不好？同学们行吧，我们稍微的休息会儿，一会儿过程当中我们再来看看下面一个部分问题，叫做定积分的应用。好吧，同学们行吧，我们稍微休息会，一会我们继续啊。

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22.反常积分与定积分应用（1）-1

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