21.变限函数、作业讲解-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:44:31

做完了没有？题目做完了吗？好，我们一起来看看这两个题啊，我觉得第一个题啊，你发现一个事情，这就叫创新性，对吧？啊，其实也没有说特别难，但是稍微的会有一点创新性，你比如说看一下这个里面当中的第一个题。它让我们去干嘛呢？它让我们去求解这个f的导函数。那你做呗，

那么首先第一个事情，你就把这个js移进去，那js移进去的话就是根号下。一一上头，你首先你发现看这里面当中是没有x的标准型，一进去的话其实就是gs的这个人的三次方。移进去移进去了之后，是不是上限还要求导？对吧，一进去上限求导，所以说接下来过程当中，我们再来看，那这人就是根号下一加上多少ges这个人的三次方分之一。那真人求导呢？真人求导又变成它了。

那这个人的话，你发现又是个变现函数，那变现函数的话，你发现这里面当中有没有s没有s？没有s又是标准型，那标准型怎么办？那我们继续来移进去，一加上多少s in，然后这是。coss的平方对吧？移进去上线，移进去上线求导，同学们能转过来吗？非常清楚吧呃，这个事情应该是没有问题，

就是第一个人是上线，一进去上线球，那上线以后就就这个人球。对吧，做成这样，然后接下来过程当中，我们把二分之派带进去。那二分之派带进去的话，首先我们先看第一个事情，那你得知道g2分之派是多少，那g2分之派是多少呢？你往这带。二分之派s代成，二分之派cosine，二分之派这是零，

所以说你中间这个人就不写了，那就是零。所以这是零的话，你发现第一人就是一，然后接下来过程当中继续那cos 2分之派是零，那这里面当中呢？那只是零。然后接下来过程当中是s in对吧？s in 2分之派s in 2分之派是一，那就是负一，所以说这个整体的结果它就等于负一。答案选，几啊选d？好，这就是我们在这里当中啊，

介绍的这个题不难吧？但这个题的话，你发现就比刚才的题有意思，对吧？那就比它有意思，就是我们需要转几个弯儿。就是转两个弯嘛，也不难好，那么接下来过程当中，我们来看看我们写的这个题，这个题啊，特别的重要。就这个题呃，这个题我觉得具有一点预测题的这个价值。这个题我觉得非常的重要，

要注意了。那么，首先我们先来看看这个题目来解。那么，在这个题当中啊，你发现一个事情，我要进行求导，很明显一个事情，这一题是个非标准型。没问题吧，非标准的为什么？因为里面当中有x方。因为这里面当中有这个s方，它就是个非标准的。那同学们想，

我如果直接换呢？我直接就把x方减去t方换成u呢。注意啊，这个换元的话是把t的积分换成u。那你想想你换了之后的话，这个t是不是变成了正负根号下x方减去u你要开方？你要开方的话，这个人我就非常不喜欢。实在是不喜欢那同学们就进行去琢磨一个事情，你发现你在换元的过程当中，你喜欢t还是喜欢t方啊？喜欢谁啊？你在换元的过程当中是喜欢这个t方还是t？t方所以说，首先第一个事情，

你发现第一个点。既然喜欢t方，有没有发现这前面不就有个t吗？那我就可以凑到后面去了。所以凑微分的过程是积分过程，刚好是x方减去t方，然后是dt方配个二分之一。我是不是凑到后面去了？那这件事情多完美啊。相当的完美哎，我再来问你个事儿。这个上下限是谁的范围啊？你今天就知道我们原来过程当中讲的每一个细节都很重要。谁的范围是t的范围还是t的方范围？大家注意是t的范围，

所以接下来过程当中我们就换。零什么情况？0x方减去t方等于u。哎，注意啊，你在还原的过程当中啊，使x方减去t方等于u。把谁换成谁呢？一定是把这个t换成u。把t换成u在换元的过程当中x充当常数。那么，首先我们先来看第一个事情，你这个人的下线是零啊。你的上限是多少？你的上限是x。

所以如果这个t是s的时候，这人就是0t是零的时候就是s方。你要认为x方是x这题就废了，你要认为it方是x的话t方是x方的话，这个x的话u就等于x方减s。那就做错了。所以说这件事情我们就直接来，它就二分之一零到多少x变成了这是x方到零。然后这是fu那这个dt方呢？就等于x方减去u。那么，同学们告诉我事情，现在换元是谁跟谁换？是t跟u换吧，把t的积分换成u的积分x充当什么数充当这个常数那常数这个人就没了。

所以在这里面当中负的理由。然后接下来过程当中，负号用来变换上下限，那这个结果就变成这样。那既然变成这样了，那这题就结束了。同学们告诉我标准些还是非标准？标准因为我的被积分函数当中啊，就没有s标准型，那标准型的话就来上限移进去。上限球结束，所以说这个题啊，就等于x倍的fx等这个题啊，非常好。这题非常的好。

极其具有操作性，这是往年的话，这个数一数二数三同学的真题考过的。我们也考过。我们也考过，所以说这个题的话，你发现对我们今年的这个复习啊，就非常的重要。非常重要啊。好了，这是这个事情吧，我们就讲到这儿，所以你下去过程当中啊，把这个事情好好进行去操作一下，看清看清楚了吗？

好，这个点我们就过去了。行吧，那么接下来过程当中，我们就继续再来看看四点一九这个题。再来看这个题。让我们继续去求解这个函数极限。对吧，让我们去求这个极限。求解这个函数极限的话，你发现一个事情，首先拿到极限先干嘛，先定型，一定的话，你发现这是零。

一定的话cosine 0是一上下限相等，这是零。零比零型未定式，那么同学们告诉我这题怎么做？零比零型未定式变现函数的极限，我想求导怎么办？洛必达。那洛比达你得保证这是标准型，没有s标准型，标准型就直接做呗，那等它干嘛？所以在这种当中啊，直接录。落下的话，你一到这是2s。

然后上面这人求导呢，你发现下线移进去。下限去求导。添个符号。好了，这个事情就立即出来了，然后接下来过程当中，你发现这人立即等价无穷，小S立即等价无穷，小S了之后的话，你发现一个事情，这是二。然后这是e的负的coss方。是不是做成这样了？那么，

做成这样的之后的话，你发现一个事情，这个结果等于多少？一定是。出来了，一定是你发现一的cos 0是一，那就是负一次方。因为你发现一个事情，这是一定是。结束了，卡了一下呃，不怪你们是这个电脑的原因。啊，这个电脑的原因，我发现这个事情我写了之后的话，

这个电脑停了啊，这个电脑停了，不影响吧？实在是。这里面东西有点多，对吧啊这个？有的时候是。清除吧，这东西挺多的。啊，这个哦，你看不懂分子为什么是零啊？我再强调一遍啊，你上课听课的时候，我说的话你注意力集中一点。

不要选择性的听我的话，好不好？我刚刚讲了嘛cosine 0不是一嘛？你上下限相等不就是零吗？我刚才说不说这句话。所以你听课的时候你你不要呃这个嗯里面当中啊，你忽略性的进行听课，你这样怎么行？你就会发现，学数学就是这样。你中间错了一个坎儿。你下去过程当中做题的时候，你发现就可以跳坑。就是你中间断了一个档，你总感觉你做题的话，

你发现不顺畅，所以基础班非常重要，要保证这个知识点的完整性。好，这个人过去了可以吗？四点一九这个题好这一题啊，非常基础，那么接下来过程当中我们来看看。下面一个题，四点二零。这个题我为什么把这个题放过来呢？因为非常简单，我希望同学们稍微的进行提高一下。但是你发现一个事情，就算这里面当中提高的这个十分的题，

对我们而言都可以直接出。可能出不了这么的难，但是你发现这个思维方式也会出，所以我觉得这个题啊，非常的重要。不是重要，非常重要，为什么我在这里面当中把这个标题给你放在这儿，我希望同学们注意啊，有一定的拔高，但是对这个题的结合是非常好的。你可以复习很好的知识点，那么接下来我们继续吧，我们来看这个题来走。拿到期限先干嘛？

先定型，那么下面这个人是零吗？如果这个s是零的话，上下线相等是零，那这就是零零比零型未定式。那零比零型未定式，同学们想想那这个题变现函数吧。对吧，零比零型位定式变现函数，我想什么？我想求导。我想诺必达呀。那想诺比达你这个人求导，前提得是标准型吧？但是你看这里面当中有个x，

它是非标准型。你不能直接落的。它是非标准型，所以同学们首先第一件事情把非标准型化成标准型，再洛必达吧。那我想问你个事情。我在画标准型的时候，跟这个极限里面的别的人有没有关系啊？没有关系吧。那么，这个东西的话，你发现画标准型是恒等边形，是我这个积分在做自己的事情，没有关系的。是我自己的事情。

那么，在这种当中，我们来看看。那么，咱来操作一下呗。它没有关系的。那这个非标准型的话，你发现这个s在哪儿呢？s在这儿。能提出去吗？提不出去。提不出去干嘛呢？提不出去就换出去，你发现这都是套路啊，所以这节课的话不是说特别难。

提出去就提出去了，提不出去就换出去。那怎么换啊？我问你个事情。你在这个换元的时候，你选择了根号，这个人等于u。还是直接是这个人等游？你想谁选谁啊？你要选根号的话，你发现一个事情这块就要平方，这多恶心啊。我当然不要根号，我要根号干嘛？所以大家注意啊，

不会要更好。要根号的话就非常麻烦，你可以试一下，如果要根号的话诶，这里面当中一会儿就有平方。这非常恶心。所以大家注意，我就直接换。直接换的话，是把谁换成谁呢？把t的积分换成u的积分。把t的积分换成u的积分。所以在这里面当中啊，我们就来看看。原来这个人的t是谁？

t这个人的下限是零。那换成u就是s。t的上限是xu就是零。所以说这人就变成了x到零。然后这是根号UE的t是多少x-udt是多少dt是ds-u？s充当常数，不要了，负号出去。负号用来变换上下限。同学们告诉我，能看懂吗？我跳了一步啊，做了好几个了，稍微的跳了一步，有没有问题？

没问题吧，负号出去调换上下限好这个题。那这个题就做成这样了。诶，但是有个问题啊。你这是标准型吗？是标准型吗？你还是非标准型，你这里面当中你发现个事情，你还有s啊。那这怎么办？继续令x-u=t，是不是啊？那疯了再回来了。那这干嘛呢？

哦，做的回去u0 s-t=u回去过来回去过来干嘛呢？注意下这个事情不是这样，哎，不是这样。所以在这种当中，我们来看看这个题啊，其实你发现很有意思。这里面当中是x-u，那我们经典的指数函数哎两这个同底数幂相乘指数相加呀。所以在这里面当中，你发现一个事情，它不就是根号有e的s×e的负udu。那么，同学们想想这东西不就是个常数抛出去了吗？

漂亮，所以说这题立即出来了。标准的吧。你看这多完美。所以我说为什么这个题好，你看我都给你精挑细选的题。为什么这个题好？因为这个题的话，你发现把换元法。把这里面当中的这个提出的这两种题型，是不是都揉到一个题了？是不是啊？你能想清楚吗？所以我就觉得我说大家可能说我们的考研最后的这个题目的难度，没有说这么的高。

但是你发现一个事情做这个题的思维方式是不是学习的时候是不是非常的顺畅？所以大家注意啊，这种的话你发现就能提高自己的能力。好，这是这个事。那么，接下来过程当中，我们就继续，所以接下来你看那么这个里面当中就是x趋向零帧。然后接下来过程当中，求解这个极限，那这个极限的话就是二分之三次方。好这个人，然后上面这个人呢es 0到s根号UE的负u。好，

继续来看，那么再来啊，看这个人。那么，接下来我们就继续，我们再来看怎么做？上限是根号x，哪是根号s？在在干嘛呢啊？好了，我们就继续，我们再看这个题，那接下来呢？拿到极限是不是先定性啊？第一项一定下面是零。

上下限相等势力零比零型背离式。那零比零型vd是怎么做？那么，在这里面当中，当s趋向零的时候啊，有的人洛必达洛前导是es，后面不导，然后后面怎么样？然后发现还有变写函数，就继续来再来来下面落前导，后面不导，然后继续。还有变现函数继续继续继续继续整场考试，你发现你都算不完。哎，

咱们班同学非常好。咱班同学真非常好，真可以啊，真可以。你要能看得到啊，真的是水平点相当的好。就在这里面当中，你发现这么大的一个什么？非零因子吧你s趋向零的时候es是趋向一啊，不为零的。乘除法中的非零因子，这是你发现非常经典的。有的估计把非零因子给忘了。乘除法中的非零项，所以这个东西就直接淡化了，

你淡化完了之后，你发现一个事情，这多开心啊。哪还有那么多的事儿啊？是吧，所以说在这种当中你就会发现一个事情，当s趋向零正的时候，你发现我求导我下面就可以直接求导。二分之三二分之一。然后上面这一求导呢，变上线移上线移上线上线求导就是一。那这题出来了，所以说这个结果是三分之二limits趋向零帧e的负se的零是一。三分之二好这题啊，立即出来了。

所以说这个题我觉得非常的好，对吧？我觉得对大家进行去学习，变现函数是有非常大的帮助的，因为这里面当中你发现哎好。好几个知识点都融到一起了。除此之外，还复习了极限部分的内容，何乐而不为呢？所以我觉得这个题啊，大家适合进行去做一做。对吧，很好的一个体验。好了，这是我们在这里当中啊，

介绍的这个基本的点能掌握清楚吧？好，我们就说到这儿行吧，那么这个变现函数啊，我们就讲到这儿。你咋这样呢啊？你见过换人那样换的吗？啊，你有这个问题啊？你都可以自己再去做一遍了。你想想是不是？你有问题的话，你自己都可以再做一下了，你说为什么不这样换，你试一下不就行了吗？

这个就是这个拿来主义的这个思维呀，它这个。这这这不太好，对吧？你要是就觉得就说这个东西。你发现如果我直接换成u方，那你试一下呗。对吧，你可以去试一下呀。你试一下了之后的话，你碰碰钉子你就知道了哦，这个很麻烦哦，所以说那样换简单，那不就可以了吗？我觉得你你不能说你抛出一个东西的话，

你发现啊，我今天有这个想法，为什么这个东西不行？对吧，你如果觉得这个东西为什么不行，你试一下呗，你做一下不就行了吗？你写一下，你写一下，你就知道哦，这个太麻烦了。所以说我选那种方法不更简单一点，这不就叫学习吗？所以我有的时候碰到一些。同学问问题都是这样。

上来就说这个题，为什么不能这样做？当然，你要写出来的话，我可以给你看看错误。但有些同学，比如说我这个题，我们这个题等价无效做代换就做完了。他上来就问我这个题为什么不能落必达？我这个题这样做简单呀。得试一下，对吧？所以我觉得有时候那个做数学题啊，你多碰碰钉子还挺好的。多碰一碰，

没关系的。哪怕在这个基础班过程当中，你发现碰到头破血流也没关系。我觉得没关系。基础班吧，你做错了，又不是你纪念过程当中最后一套试卷，你着啥急啊？你要最后套试卷的话，你你再着急，但是你发现这个基础班呢，你多错一错，你只要保证一个事情，下次过程当中记住你这些错误点就行。多尝试尝试。

不要有一个idea的话，你就进行就是说啊，这个东西怎么不能这样呢？你试一下，你先自己动手试一下，你实在不会的话，你可以来问。好了，那么接下来过程当中啊，我们来讲评一下这个作业吧。呃，这个作业啊，最近的话，这个作业可能啊。我们来讲评一下这个作业，

因为这个今年的过程当中啊，这个基础篇呢，我是加高了这个难度系数的。所以我相信很多同学有些。呃，做的自己做的不是不是特别好的一些题啊，那么接下来过程当中。哦，还有个题没讲是吧？来把它灭了。那这题等于多少？直接来啊。标准型。直接来上线，移进去。

上限球。减去下限，移进去下限球结束了。好了，这是这个题行吧呃，这个题其实我讲了。你有没有发现我讲过的这个题？这是哪个题啊？这不是那个sita那个题吗？是不是那个sita那个题啊？是不讲过的题目。你发现一点印象都没有啊。好，这是这个事情，那么接下来过程当中，

我们就继续看吧，我们来看看这个作业的一些题。呃，先讲定积分行不行？可以吗？啊，先讲定积分，因为我觉得这个定积分呢，可能大家做的。这个难度系数可能会稍微的会大一点啊。好，我们来看看这个定积分。先来看看考点14吧。先看考点14。考点14呃，

我把这个二七五这个题讲一下。好吧呃，你们敲慢一点的啊，这个二九九。好，二七五是吧啊？我讲一下。你能问二七五的同学，我觉得。嗯，不太听话对吧？我上次过程当中啊，说了一个事情。我说这个题睡前系列讲过，我说让你去看看呢嗯，

好了，那么接下来我们看看这个题吧。啊，操作起来这个题啊，非常的好啊，非常好。好题那么接下来过程当中，我们来看看这个事情，你发现对于这个题啊，是求解数列极限。它是乘法多。四方速度。那么，对于对数函数的话有优良特性的，你次方数就变成了系数。

你这乘法就变成了加法。对吧，乘法就变成了加法。所以在这里面当中，你就会发现一个事情，它就变成这样子。那么，因此在这里面当中，我们就会发现一个事情来操作一下。原是这个人等于多少？它就是limit n趋向无穷大。好，你来看，那么这里面当中我可以这样写吧？我写成什么东西呢？

我写成一加n分之一。乘以一加n分之二。一直乘上一加n分之n，行不行？然后这个东西的话，你发现开个N次方不就是n分之一次方吗？然后统一到二次方抽出去，这步没问题吧？啊，这初高中内容。然后接下来过程当中再来看第二事情，这是limit n趋向无穷，大把n分之二抛出去，抛出去之后的话，你发现这里面。

抛出去就变成系数，然后里面是乘法，乘法变成什么，乘法变成加法。哎，变成加法。就变成这个人了。所以接下来过程当中啊，就变成我们啊，这个操作范围内的题了。那这个题很明显，数列极限求和形式，先想定积分定义，先想定积分定义的话，你发现一个事情先求和。

那求和的话，你发现一个事情是ln多少一加n分之一n分之二n分之三写n分之kk从一到n。跟得上吗？这步没问题吧？所以说接下来过程当中，你就会发现一个事情，那这个结果就等于二倍的零到一。因为这个人的话，你发现一个事情是n分之k的函数，所以说就把它写成多少ln一，加上xds。我相信这一步谁都会写。应该都会写，但是你发现一个事情，它没有答案。

对吧，没有答案你看。这东西不对呀。它的上下限不对啊。然后在这里面当中，如果你把这个改写，我先说一下。这个东西可以写成什么？它可以写成ln 1，加上x这个二上去应该上去在这儿。你听得懂我的意思吗？这个二上去上去在这儿，所以你在这里面当中，你要区分开一个内容，我就问你个事情，

你lo es的屏风。跟lns平方一样。这个人的意思是lns这个人平方，这个人的意思是平方再去ln这个二可以抽出去的。这两个东西不一样，这是一个初衷内容吧。所以在这里面当中，你要注意这个事情。要想清楚，所以这个二次方上去啊，应该变成这样，那么接下来看诶没有答案。没有答案的话，你发现上下限都是一到二。而且你发现变成l一个人了，

你怎么想？我就想把这个换成一个人。就直接换个圆就行，这叫什么？这叫第二类换元法。还平移呢，有啥平移的？那学第二类换元法在那干嘛呢？不要这样啊，不要这样，所以在这种当中你就会发现一个事情这个东西啊，就换元。那我为什么要学第二类换元法呢？所以在这里面当中，它的基本点立即出来换元，

要三换low in tds等于多少dt- 1 dt。换元叫换仙，然后这个时候你发现一个事情，如果s是0t是1s是1t是二。好了，这是这个问题，能想清楚吗？一般公式什么一般公式？所以我再强调一遍一个事情，那么现在第二类换元法已经学会了，请你不要把你的思维方式离开这个范围内。不要在那胡想好不好？好了，那么再看最后一句话，一个函数的结果跟自变量字母的选取无关。

好，这个人那么这个人可以怎么写呢？你要注意一个事情，这个二应该是在这儿。不是这个整体的平方。所以在这种当中啊，你发现一个事情，敌人就不对，不是整体的平方。是不是这个事情是这个x的平方，然后这个结果的话，应该选多少是二倍的，一到2 lns，所以选一。好，

这个题呃，这个题啊，值得二刷对吧？值得二刷。所以说，希望同学们下去过程当中啊，值得二刷的一个题啊，非常好的一个题，就是给了这个对数函数。然后在这里面当中，你会发现一个事情，我就把它变成什么，它可以把次方数变成系数，它可以把乘法变成什么情况把。把这个乘法，

然后就把它变成了一个加减法啊。这又怎么了？怎么就有那么稀奇古怪的想法呢？啊，好了，这是这个事情，我再强调一遍，我们做就做到这儿好，你们少看点评论区好不好啊？少看点。我再强调一遍，你就走这条路线，不要把思维方式再偏了。偏到哪儿去了？我们在考量过程当中，

你没有那么多的想法的。所以我觉得这个速战速决，对吧？把这个核心部分的内容学透彻，这不就是我们三九六同学的一个基本素养吗？好，这个题我们就讲到这来，继续吧，再来看还有哪个题啊？还有哪个题呃？像这个题啊，上次过程当中我们讲的这个分布及分法，你可以再看看啊。哦，284题好，

我们来看看这个题。多么优秀的一个题啊。这是你们的真题。啊，这道题是我们这两年过程当中的真题。就这两点呢。那么，接下来我们来看看这个题吧。他说。零到一的cos in就这个题啊，二刷三刷都行。啊，就这个题。那么，在这里当中啊，

说零到一的cos。零到一的x分之三。然后接下来过程当中是louie这个人。那么，在这种当中，我们来看看这个事情，那首先第一件事，那么对于这个积分线相同啊，被积分函数不同，我知道考什么？考比较定理，考比较定理的话，你发现一个事情，我只需要比较这三个人在这个区间范围内的大小。对吧，

就比较这三个人在这个范围内的大小。但是大家注意个事情。这个题不适合直接比。直接比不好比。那它应该怎么比呢？我觉得应该是间接比。对吧，借几笔？所以在这里面当中，你会发现一个事情，你看谁好比啊，我就觉得这两个人好比就这两个人。哦，这两个是好比的，为什么因为它的这个分子是相同的？

分母不一样，所以在这里面当中，我们都知道，只要s大于零。x都会比ln大，同学们，你能记得吗？你这个公式不知道的话，证明的话，你不复盘哦。你这不复盘的话，你发现这后面的问题都很大。啊，是吧，都记得这个人，

所以在这当中三又是正的，那我比大的这个人肯定小于什么情况？小于这个人比这个什么比小的这个人呐？那所以说这个时候你发现一下就出来了，谁大很明显k大于j。好，这个人那么接下来过程当中，我们再来看看第一个人。第一个人的话，你发现这是cos。然后那个人是sin BS，大家想想一个事情，这两者进行去比较。你可以走第一个方向性注意啊，不是第一个方法，

是第一个方向性，有些同学是这样走的。那我知道，我就要比较这个人与x这个什么东西呢？x分之s in这个人大小。对吧，就要比较这两人大小，但是比较这两人大小的话，你发现一个事情，我不如进行去把s乘过来，把cosine除过来比较，这两人大小。那就是比较这个x和tan的大小。是不是有些同学就能转到这儿，能转到这儿，

就是有些东西思维方式是这样想的，非常好。很好，就说你的想法的话是这样想的，我觉得非常好，不就是比较这两个人吗？而我们都知道一个事情，在零到二分之派的区间段内。写哪去呢？靠点。对吧，当什么情况呢？哎呀，又卡住了，好那么在这种当中当什么情况？

当这个人在零到二分之派的范围内。谁大呢？tangent大大于s大于c，我给你强调了好多遍了。我说这个公式，这个不等式是一定要背过的，你背不过的话，你下去得自驱一点。所以这个时候你发现一个事情，我马上知道谁大呀，很明显tan这里大。对吧，tangent。它这里大的话，你发现个事情马上出来，

那这个人的话，你发现就是s in比上cos大于它。那这时候我们再来看，那这个人就可以除过来，因为都是正的嘛，你正的就除过来就行了，它比它大。所以这个时候你发现一个事情，谁大一点呢？很明显是j大一点，那j大一点的话，你发现j大于a。所以说就是k大于JJ大于I就结束了。好，这是我们在这里当中啊，

讲解这个事情，所以说是k ji答案选a。好，这是这个题。这在我们考研真题当中啊，是考过的题。这是我们的考研真题啊。要注意这个事情，当然到了今年的这个强化班的过程当中，我们会有这个东西的专门的训练。啊，会有这个训练，那没有关系好，继续吧，再来看一个事情，

那这是一个方向性，那有的说那老师我还有没有别的方向性，我觉得也有。那么，刚才过程当中，我们都知道比较这两个东西啊，太简单。控制变量法，保证一个人相同，一个人不同，非常好办。但是你发现一个事情，你看这两人呢？这两人就没有一个东西相同的。没有一个相同的，

所以在这种当中，我去操作一下诶。这是s in。如果说你上下同时来个x，这个人不好比了，但是你发现你看我把这人写个c，我下面来个c。然后就可以把那个cos怎么这是cos cos就可以写下去了？cos写下去，这人不就变成tan了吗？所以说这是这个人，这是这个人。那我们都知道零到一的时候摊这里大摊，这里越大它越小，所以说你大。

也出来了呃，这个水平点可能会更高。所以这就是你做题的感觉了，像这个题啊，我觉得同学们你可以进行二刷。你注意了，这个800题，这800题没有那么简单的。呃，这800题真没那么简单。你很多部分的话，你发现题目的难度系数还挺大的。好，这个事情过去了。行吧，

继续吧，再来看下面一题。谁问的二八零啊？呃，你呀，你下去把我前段时间讲的这个题啊，你给我抄个十遍好不好？下去把这个题抄个十遍啊。可以吗啊，这个题你上课不听课啊，你不听话，一点都不听话。或者是过滤型的，听我的话啊。好，

这个人你这个没有听懂吗？方向一你看回放去啊，对吧？不要来来回回的，我相信应该是能听明白。好，那么接下来我们继续再来看。二八一。二八七。好，二八一。二八一很简单嘛。二八一呀，二八一这个题的话，你发现一个事情。

这题贼简单。就什么情况呢？我写的恶心一点。就我在这里面当中写的东西，恶心一点。那你发现对称区间，这是个偶函数吧？一个负s进去s in负s是负的，它但是平方加偶函数，这是个奇函数吧？他说啊，怎么是奇函数？我又想让你抄了啊。这知道吧，所以说这一项等于零。

奇函数乘偶函数奇函数等于零，然后这项呢偶函数，所以说在这里面当中你会发现一个事情，它就等于多少？二倍的零到派根号下派方减去x方dx。啊，就这个人，然后接下来过程当中考什么呢？这东西不就是面积吗？这没有难度系数啊。所以在这种当中，你会发现一个事情，它考的不就是根号下派方减去s方不就是s方加上派方呃y方等于派方吗？圆心在原点处半径为派的这个圆嘛，所以说你发现考的是什么四分之一圆，

因此你发现二倍。四分之一派r的平方。好，这是这个题呃，如果这个题做的不好，得反思一下。啊，得反思一下，你很明显一个事情啊，这个人。好，继续再来看。好，我们来看看这个二七八这个题。看一下这个题。

好，再来看。那么，接下来我们来看看这个题目对吧？它让我们去求解的定积分。那这个题的话，你是否拥有定时思维能力啊？拥没拥有。含有抽象函数的导函数。立即把这个东西凑到后面去，然后再使用分布积分法，同学们培养出来了吗？立即错，所以说两项相乘。要带值。

两项调换位置。再积分那么首先看第一个事情，第一个事情就是a倍的fa。再减去零到a fs ds。那么，首先我们先看第一个事情，你看这里面当中的这个高度，这是fa吧？然后这是a吧。那a×fa不就是这个正方形的面积吗？然后再来看这个零到a是谁呢？零到a的话，你发现一个事情不就是这样的一个曲边梯形的面积吗？是不就这个面积？为什么位于s轴上方上方的话，

你发现这个定积分就是面积，所以同学们两个一减呢，两个一减不就是a cd吗？但不是a cd的。三角形不对。是a cd的曲边三角形答案选c。它不是三角形，它是曲边三角形，所以说这题正确答案选c，我跟你讲这个题考给我们的题没有任何的问题。一下这个点要做得好好，继续再来看。下面继续还有哪个题啊？我们再来看看。还有哪个题？

谁问的二八二啊？二二八二也不会送吗？这个二八二不会做。这个问题点有点大哦，对吧？二八二。好，这个题。那么这个题的话，你发现个事情，你看。在这里面当中啊呃，这个积分线相同。被积分函数不同，那么在这种当中你会发现一个事情肯定考比较定理。

那考比较定理的话，你发现一个事情，我就只需要比较这三个人。是吧，当什么情况？当这个零到一范围内，这三个人大小。那么，这三个人大小的话，你发现arctan ENT是一个增函数，大家注意啊，这个题你没做出来啊，得好好反思一下对吧？啊，把这个部分内容好好整理一下。

那么，在这里面当中，你就会发现一个事情，那我就进行先比较这三个人大小。好这个那么这三个人大小的话，你发现不就是一个基本的幂函数的图像吗？那幂函数图像的话，你发现一个事情，这是零，这是s，这是一。然后这里面当中，你看这是根号s。然后这是x方。但是你开的这个次方数越小，

反而在零到一当中越大，所以说这里面当中啊，是开三次方大于开二次方。大于这个平方，所以说阿尔克塔定理也是这样，因为阿尔塔内增函数，所以说这个人j这个人就大于什么I这个人。大于这个k这个圆。好，这个题一下去看看对吧？就是。基本的幂函数图像啊，这个人就出来了，来再来看吧，还有哪个题啊？

二八三也要讲吗？呃，说实话，你要是二八三这个题也不会啊，你上课都没听这上课讲的原题啊。啊，你二八三要不会做的话，这问题很大啊，这上课讲的原模原样题。这不是讲没讲过，这是上课讲的例题。我在进行去讲这个呃，比较定理的时候，我就选择这个东西作为代表性的东西去讲的。立体怎么能再次碰到不会做呢啊？

不要这样啊，好那么接下来我们就继续，我们再来看看二八七。你有的时候的话，你发现你你不要老是的话，有些题的话，过程当中，你把它没做出来，你都原谅自己了，你可不能一直原原谅自己哦。来，我们接下来过程当中，我们再看这个题。好，再看这个人。

那么这个题考什么？这题考定积分是个数吗？你看fs这个人等于s方减去s乘上一个定积分，加上一个二乘上一个定积分。那这题考什么就考了定积分是个数嘛，这不上课讲过的嘛。那只不过这个题的话，稍微拓展一下，考了两个数嘛，你就把零到2 fs ds这个定积分设成第一个数。你把零到一这个fs定积分设成第二个数。是吧，那么所以说在这里面当中，你就会发现一个事情，那这个fs这个人呢？

他就等于x方，然后再减去as。加上2b。那么，接下来过程当中，我们怎么办？两边再积分呗，那么首先第一个事情，两边同取二的积分。同取二的积分的话，就是这个人的积分。然后再减去a倍的零到二的积分，然后再加上零到二二b的积分。是不是这个事情好？这是一个式子。

然后接下来过程当中，我们就继续再来看两边，再同取一的积分。两边同取一的积分的话，这是零到一的积分。再减去a倍的零到一的积分套路是不是一样的？零到一的积分2 bds。跟得上吗？同学们，所以说接下来过程当中你就会发现一个事情，马上来诶，这是谁呢？这不是a吗？然后这个人积分呢是四这个什么，这是三分之一，

这个人的三次方上面三次方是八，下面三次方是零，跟得上吗？然后这是积分是二分之一，它的平方这是四，然后再加上二b，然后再乘上几，再乘上二。好这个人，然后接下来过程当中，我们再看这个人，那这个人呢？他的定期分是b，然后这个人呢？是三分之一这个结果。

然后这人呢？这是二分之一，这个结果，然后再加上二b提出去上限减下限一。所以说这个时候你发现不就是解两个方程吗？两个方程解两个未知数会解吧，你把那个a带进来，这个就出来了。不要懒对吧？整理一下，整理一下这题就出来了。好，这是我们讲的这个二八七这个题过去了，可以吗？所以说这题考什么定积分是个数。

啊，这是我们上课讲的类似的吧，只不过这个题你发现一个事情拓展的点，考了两个数好，这是这个题继续吧。再来看考点失误。你们别急啊，慢慢来。三零一是吧？三零一我肯定会讲的啊。三零三。三零三的同学肯定没做，昨天晚上的题吧啊。二九四。三零四。

二二九零。越来越离谱了啊。三百二九八。二九九好家伙越来越离谱了。二九三。三零五。三零七。谁问的三零七？叫我看看谁问的三零七逗号。谁问的三零七？三零七的同学呢？你你这这有问题啊？三零八。二九七谁问的二九七？好，

这里面当中啊，你发现一个事情，这就有有些同学说实话，你这个学习相当的离谱，对吧？你这这问题很大啊。啊，问题非常大。你能问你能问这个题的话，你发现上课我讲的原题啊。好了，我们继续看二九零。呃，二九零这个题的话，你看答案也能看懂吧？

你这答案也看不懂的话，我觉得把不定积分再刷一下啊，这这这我就不讲了，然后我们来看看这个二九三这个题吧。好，先看二九三呃，我觉得吧，这个。每次讲这个习题啊。都会出现跟那个不定积分一样的那种感觉。怎么都是这种学习态度呢？对吧？你下你曾经做过的题，我上课当成例题进行去讲的题，一下子碰到跟一个新题一样，

根本从来没有见过这个题一样。你这咋行啊？你们是我全程带的班级啊。每次我碰到这种事情。我都能难难难受半天，对吧啊？好了，那么接下来我们就继续，我们再来看来解。好，继续看，那这个人呢？对称区间那对称区间的话，你发现一个事情定几分？那首先想记五行呗，

那平方想。然后这是二s，然后再乘上多少一减s方，再加上什么情况，这个人的平方。然后你发现一个事情，你看这个人。扔一个负号进去的话，奇函数偶函数，这是奇函数。它等于零。然后这两个东西约掉了，所以说这个结果等于几等于二。你说这题，你说这题能不能做不出来啊？

那在做的时候在想什么呢？你就算没有做出来去看答案，看完答案还是不会做。那看完答案还是不会做，那我就觉得应该停止做题。去把上课的部分的内容再看一看。这这这问这问题点很大啊。好，我们继续吧，再来看。哎，这个再来看看下面这个题。好，再看这个题。看一下这个题，

那么这个题的话，你发现个事情。这个题就是有点骗子的感觉啊。其实你发现它也不难啊，就就有点骗子的感觉，我就写了个x呗。你要注意一个事情，你的积分对象是谁？你的积分对象是t呀？你这这就被骗了，这是我刚才给你讲的积分变量，难道一定是这个s吗？我积分变量是t啊。你就把这个人当成常数，这不就b吗？

就是这样子啊，所以说接下来过程当中这个题怎么做？这个题的积分让我一下子就想到了这个人。好同学们，我讲讲这部分。那么，这种分的话，同学们想想一个事情，你琢磨一下。这个函数特别喜欢干嘛？就这个函数，一个函数是ln x，加上x方加a方。一个是ln x，加上根号下x方减a方，

他喜欢干嘛？对他喜欢求导。他喜欢求导我们来理解一下积分结构。积分结构是这样。放在这个位置的东西，喜欢积分。放在这个位置的东西，喜欢求导。你那么喜欢求导。你那么喜欢求导，你应该在这儿啊。你怎么在这儿呢？我想到后面去，我怎么到后面去分布积分法？有人说我凑后面去凑不后面去，

你都把它积出来了，你在那做什么？所以这个题啊，我会想到分布积分法，所以两项这个人是相乘。然后再减去两项调换位置，跑后去求导，求导就是这个人分之一，接下来不讲了好吧。哎，秒懂。这个题如果还不会做。我觉得先停止这个板块内容的学习。去把不定积分重学一遍，一定是重学一遍，

不是说什么题，再二刷一下了，怎么怎么样，不是二刷一下。是重学。一定要出血，因为你你这问题大了，对吧？这不是一点问题。所以把这个s往后面一凑，这平方，然后再加上a方，然后这块补个二。好了，这是这个问题，

能听懂我的意思吗？这积分会吸吧，我相信应该没问题了。稳一点时间都来得及。要坐稳一点好再来看这个题，那么这个题的话，你发现一个事情，它就是个骗子。我是对t进行积分。我对t积分的话，你发现一个事情，这里面当中的x这a和x都是个常数，所以说你就直接分布积分法呗。我就很喜欢这个题，我觉得这个题出的很好。

为什么障眼法？我换换字母怎么办？要注意你抓住的一个东西的是问题的本质。不是看看在这个东西的一个表面。我的积分变量是t一会儿带入t里面，然后这个时候的话，你发现调换一下，就是a到ST是跑前。这人跑后求导时，刚好是这个结果。所以大家注意啊，要转变一个观念，你的积分的这个对象是t。所以一会儿过程当中，把这个x和a啊带到这个t里面就行，

不想了，信不信？好，这题就过去了，来我们继续再来看。呃，中间这些题还可以吧，你像这个题。问题点应该不大，对吧啊，把那个一+s凑到后面去，你都知道是纯分布积分法。然后接下来过程当中，我们再来看看二九八这个题。那二九八这个题的话。

来看看二九八这个题的话，你发现一个事情，我觉得这个。操作性啊，它其实也不是说特别难。两个方向吧，第一个方向。方法一。你就直接怎么办？你就令这个tangents=t。对吧？tans等于t，那这个时候你发现一个事情，因为都是tant，你换元就要换仙，

那这个时候就是一减t。一+t，那这个时候你发现s是多少s是arctangent t？是吧s是arctangent，所以说ds呢，就是一+t^2分之1 dt。好，这是这种做法。然后这里面当中换元就要换仙，那么同学们想想我们都讲过这个事情，你发现如果做这种代换。你选取的x范围是多少？我选取的是。这一段是吧？选取这一段就是负的二分之派到二分之派，

为什么这一段的反函数才能写成arctangent？只有那一段的反函数才能写成arctangent，所以如果这个s是0 tangent 0是0 tangent 4分之派是一。好，就是只有这一段，你一换的话，你发现这个内容不难了吧？你接下来把它拆分一下就行啊，这个方法，但是我觉得这个方法笨一点。还有更好的方法啊，这个方法不好。那么，这里面当中还有没有更好的方法呢？我觉得有，

大家想想一个事情。这是零到四分之派吧。这个tangent是塞比空。那塞比call的话，上下同时乘上cos in。那这个结果的话，不就变成了我们非常喜欢的模型题吗？是不是模型题？而且你会发现一个事情，我要把上面这个东西写成下面的导函数，而你发现这个s in求导就是cos。cos求导就是负3a，你发现就是这么巧。一切就是这么的巧妙，把上面写成导函数，

而上面就是我的导函数，一切来的这么的巧妙。所以这个时候导函数括号没错，那这个时候你发现就是ln它。因此，这个结果就是lns+coss绝对值，然后把零和四分之派带进去。是吧，所以说这个题的话，你发现loin的话，这个人是二分之根号二那两个那就是根号2 loin这个一呢就是零。那这个人呢？二分之一次方可以写成二分之一变ln二。是吧，哎，

我觉得这样做你可能会更觉得更简单一点。好，这是二九八这个题来继续吧，再看。然后再来看看二九九这个题。啊，299题这个题。好，来看看这个题。操作项那这个题。很明显，两类不同函数相碰必考分步积分法。这是我的第一思维方式。那阿尔克探针体不好抽，我就会把它凑到后面去。

但是事情的发展不是想象那么简单。原本我想把它凑到后面去，如果你们这没有一个平方，这题就结束了。但是这里面当中就特别的恶心，这里面当中就是有个平方，咋那么恶心？所以说这个时候你发现第二类啊，这个什么分布积分法不好来了。那我再来想想这个题当中是不是还有一+x^2啊？那这个一+x^2，我可以令这个x等于多少？我就令x=tant这多爽啊。这个时候你会发现一个事情，上面这个人的话，

你发现变成了arctangent t，那这个东西你发现不就变成了t吗？一+tan^2是tan，这个是second方，那就是变成四次方。然后ds又变成多少second方dt？那这个结果的话，你发现它不就变成多少变成t？约掉一个。还是一下second方翻译一下，不就是cos方dt后面的会吗？啊，后面会了吗？但是换圆要换线啊，你这个s是零的话，

它这个零是零，然后你是一它这四分之派是一。零四分之派。注意啊呃，我们这节的习题啊。主打的就是一个难算。那么，注意一下，主打的就是个难算。你一定要每天告诉自己，你就是喜欢算。啊，你不要骗我。你就是喜欢酸，主打的就是个难酸。

你发现一个事情，你天天告诉自己，你就是喜欢算，你不是要降维打击吗？你降维打击就是要这样降维打击啊，你升高这个运算量，你最后遇到了这个东西，你看去年多少同学说我算不完。对吧，你算不完，你算不完怎么办？你平时过程当中，你练的东西，你发现个事儿，你就没有达到这个目标，

对吧？所以这块儿的内容，它这个运算量，它的运算量是比较大的。你如果这些题都会做了，你可以去刷三九六的话，市面当中的任何一版所涉及的这块的题绝对都没有任何问题。你可以去试一下，绝对没有问题。所以你一定要喜欢算啊。好了，那么接下来过程当中，我们就继续自己下去，过程当中再做，然后再来看看下面这个题。

300题。300题好看，这个题。呃，这个题有难度啊，有点难度。但是这个题的话，你发现这个方向性也很明显，对吧？明显的点在何处呢？就是如果这个题你直接做。对称区间想奇偶性好像也没有奇偶性。没有奇偶性。那如果直接做的话，你去进行去换元。

你利用这个s=tant，我觉得也很麻烦。那这里面当中是不是看到了开方啊根号啊？那根号怎么办？我游离化想。呃，请同学们注意啊，一定要继续去看今天晚上的睡前系列。我先说清楚了，一定要去看今天晚上的睡前系列，相当的精彩。也就跟这个题的思维方式的东西啊，是非常像的，一定要去看。所以接下来过程当中，

我们就有理化一下。那么，游离化下来之后的话，你发现个事情，那这个部分呢？它就变成了这个人的平方。s减去根号下一+s^2的平方。然后下面这个过程当中啊，你发现一个事情，它就变成什么，它就变成你的平方，减去这个平方，那就变成了一了。那这个题就变成了这个人，那变成了这个人的话，

你发现同学们熟不熟悉啊？怎么好像曾经见过一样呢？啊，我怎么感觉我曾经在哪里见过他呀？好像在某诶，这是负的。这是负的第一个平方，减下面这个平方啊，这是负一。我怎么感觉我在哪里面当中见过它一样换元法？有换元法，我就疯了。你看这个记忆力的停停留，还没有九秒钟。是吧，

把这个打开就可以用了。好像我在哪里见过他一样哎。哎，这300题。那么，接下来过程当中，我们就继续再来看下面的事情。301题啊，好好听哦，301题。301题是今天我觉得比较重点的题啊，301题把它给我标重点这题啊，操作性非常的强。啊，档次感非常非常的高，

重点题今天的重点题。那么这个题啊，我能讲好几种方法，那么首先我们先来看看第一种方法。先来看方法一。我再强调一遍，刚才这些题啊，你得至少做两遍。好，我们来看看这个题。呃，这个题啊，我稍微的话，如果有经验，我会这样想。

你原来过程当中。你会做这个分吗？会做吗？会不会？好不会停止去给我复习去啊，注意啊，会做吧，下面是二次，上面是一次。那么曾经。我们会做这个分的时候，我们就讲过，你就一定会做这个分。是不是我做题的思维方式是非常简单的，我也把上面这个东西写成根号里面的导函数。

那时至今日，他两者之间不再做除法了，而是变成了一种乘法的关系。那你会不会做呢？我把这个方向。迁移过来，我希望把这个东西写成里面这个二x，减去x方的导函数的形式就是二减二x的形式。我想把它写成这个人。那么，同学们要想出现负二s，你前面是不是来个负二分之一？它是不是就有负二s啊？同学们，平衡吗？

平衡啊，你乘一个这个来一个刚刚好，然后接下来过程当中，你希望加杆儿，那你就再减杆儿。那这个时候你发现事情的发展是如此的顺畅。所以说这个时候你发现一个事情，这是负二分之一零到二，我立即把这个东西我就打开了。我就打开了，打开了之后用这个负二进行乘，外面是一零到二根号下2 s-s^2 ds。哦，事情的发展如此的巧妙，然后接下来过程当中，

你发现这个人他不就是2 s-x^2的导函数吗？那后面这人是什么呢？如果后面这个东西不认识，给我复习去。哎，给我复习去，那么这是谁呀？把它看成y，不就是那个x方加上y方等于多少等于那个2x的那个圆吗？那这个东西的事情的发展不就变成了这样的一个圆吗？这不就是y=2 s-i次方吗？所以说这个时候你发现它从零到二的积分不就是二分之一派一的平方吗？然后第一个人的积分式是负二分之一，那这个时候你看我往后面凑二分之一，二分之三。

三分之二零到二，然后接下来过程当中是二分之一排。好，这是这个事情呃，我觉得这后面我会给你多增加几次习题课的，我觉得还是有必要的。让我大吃一惊啊，我觉得还是有必要。所以这个其实啊。按理说的话，你发现个事儿，这个部分的内容呃，其实我们还好，因为我们只有一个班级。啊，

你要是这个数一数二数三的话，那根本讲不讲不了这个啊，得放到多学班讲啊，我觉得我们呃后面过程当中，我会给你再加几次。啊，我觉得这个居然下去练习的这个题做成这个样子，做的很不好了啊。好了，那么接下来我们继续，我们再来看，把它带进去会带吗？零带进去，零二带进去，零那这个结果就是多少就是二分之派。

好，这是这个点，那么接下来过程当中啊，我们再来看看第二事情。啊，第二事情继续来。我对你们今年的话，呃，我的期望是很高的。说实话，今年过程当中啊，我对咱们班同学的这个期望是很高的。我从第一次课程过程当中就给你讲这个事情。我觉得在这里面当中，你会发现一个事情。

其实这个去年过程当中，我们只开了这个，最后的这个冲刺救命班的课程，那今年过程当中，我们从这个基础班呃开设这个第一个全程班，你大家很多同学，你可能看得出来。我这一年过程当中，这个课量还是很大的。相当大的，有的时候你发现基本上天天的话，有的是两两节课，三节课的话，这个点。所以我觉得希望同学们多进行去复盘，

复盘好不好？至少得保证自己这个学过的内容，得装到脑子里面。啊，这个事情非常的重要，好了，那么接下来我们继续，我们再来看。有些同学说这个东西用参数方程，你在那别在那胡来，我知道你用参数方程做出来的。我不信你在考场过程当中，你的第一定是思维能力，你会想到这个人。也就说我在这里面当中用了区间在线，

可以尝试可以尝试，但是我也不相信你在考场过程当中的第一定式思维能力，是想到这个事情。我再强调一遍。对于三九六同学，我们如果你去做一个题的话，你发现两三分钟都没有定时思维能力产出这东西，就叫花里胡哨。一点都不扎实，没有任何的用。你想想是不是啊？我们在考场过程当中，我们有35个题，我们的时间的紧迫感还是很强的。你在那里面当中，

有的时候这个方法你也不知道，当时过程当中昙花一现，你是怎么把这个事情想到的？等到过两天过程当中，你根本想不到这个方法，我就不信你考场过程当中，你能想到。所以在这里面当中啊，你不要玩这个花里胡哨的，你把这个通法啊，这个核心方法你得学清楚好了，那么接下来过程当中我们就继续，我们再来看。下面一个事情，再看方法二。

好，继续再来看。那么这个题的话，我觉得还有一种思维方式，继续看方法二。那这个题还有什么方式呢？诶，我看到这里面当中是二次多项式。我看到二次多项式的时候，我是不是会想到配方啊？那这个配方的话，你发现我把它提出来就是x方减2x。我加个一，我减个一，变成这个人，

所以说这个人是不是就变成这样子了？哎，变成这样。那么，接下来同学们，我先讲通法，我再讲眼力啊，我再讲眼力。那么，很多同学你发现一个事情，我们做到这儿的时候。对吧，做到这时候，那我就会想一个事情。诶，

原来过程当中我们做过这个人呢，我知道这x=sint。我的目的呢？我为什么这样换？我的目的是开放，那时至今日的话，如果是框的平方呢？那我能不能把这个框拎成s in 7，我也跟他进行怎么办？我把这个开方给看掉诶，好像行得通。为什么呢？因为你发现你的思维方式是顺通的，我令这个整体等于3 at，我令它等于3 at的时候，

我的目标其实非常的简单。就是把这个开方给开了，所以说x就等于sint+1。然后接下来继续一减s in方是cos方，等会再说好换元换先。你这个s是零。那这个人就是负一那s in负二分之派就是负一啊。然后二一减是一三一二分之派是一啊。在负二分之派到二分之派当中，你发现这个开方是不是直接是cosin t啊？听得懂吗？跟得上哦，然后接下来过程当中这个x你发现des就等于d。sint+1。d3 at呢，

又来个cost dt好了，同学们，这些事情你下去自己想三换嘛？把上下限换了，把被切换完成换了，把积分变量换了，所以说这个题就立即变成什么变成了对称区间上。这两个东西的积分。诶，在对称区间上的话，你就发现我立即想奇偶性。奇偶性，这是个偶函数，这是奇函数，奇乘偶是奇函数，

奇函数，这不就等于零吗？这是偶函数，偶函数不就等于二倍的零到二分之派，立即怎么办？想到点火公式，二一二分之派。本题结束好，那么这个题的话，你发现方法也非常好。对吧，这是第二种，其实我遇到这个东西的时候，我去想什么，我会想的配方，

你放心啊，这种纯预算的题啊。没有什么难的，多做一做这个水平点就上来了。那么，在这种当中，我们再来看第三种方法，我觉得也很巧妙。第三种那么第三种方法的话，你进行琢磨下，这就要看眼力了。我观察了下。这是s- 1。如果把这个x- 1换一下，你减一是负一，

你减是一哎，好像就立即变成了对称区间。漂亮，这个想法非常的好。就说一旦让我的x- 1。就换成了t的时候，当我进行三换的时候x是零负1x是二一哎，你发现个事情，这不就相当的巧妙。所以说这个时候的话，你发现立即变成了t加一根号，下一减t方，然后ds呢dt绝了。这就是看你的眼力，所以说这个眼力的话得非常强，

然后是负一到一，这是t倍的根号，下一减t方。然后接下来过程当中就继续，再加上个根号，下一减t方，然后dt那你发现奇函数偶函数奇函数等于零，第二偶函数二倍的零到一。同学们告诉我怎么做画圆吧出来了。所以在这里面当中啊，你发现这个第三种这个做题的这个手法，它是还很重要。对吧，这个手法的这个切换，我觉得相当的好。

所以还是非常巧妙的一个事情，所以下去过程当中好好想想。行吧，继续吧。呃，这个题啊。不会做的同学，你发现我讲讲吧。啊，我想想。来继续看看这个题。好，再来看看这个题。这题不会做。呃，

纯属是你想不到，你下次想到就行了。啊，一下子想到就行了。那我一年讲多少遍呢？那这个东西的话，你发现有的时候的话，我感觉这个上课啊，它不是费脑力的啊，是费体力啊。我原来过程当中呃，最近几年还好了，原来过程当中在这个新东方的时候，你发现这个一年这个基础班。就得上五六个班，

强化是最多的强化，每年从这个六月底的那个样子一直上到这个九月差不多教师节的那两天。得上这个七八个接近十个的话，你发现一个事儿，这个呃，这个强化班到后面的这个真题冲刺。马一年一年一年啊。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看这个三零三啊，再看这个题。就是你会发现个事情，这个题啊。如果你发现个事儿，这个题你一点想法都没有，

你肯定是没有好好听课。我们说过了，在这个人的里面当中啊。一和这个cos相相同。我就干掉这个e。一和这个cosine相乘，立即用二倍角公式干掉这个一。当我如果一和三相碰的时候，我们怎么办？把这个一写成平方和把这个3e写成二倍角，写成完全平方式，我讲了多少遍，我讲没讲过。我是讲过这个事情的。所以在这种当中，

你不要觉得说啊，这个操作好巧妙，好厉害，厉害个鬼，一点都不厉害，都在处理范围内。把这个人打成二这个二倍角二倍的sin cos。然后第一个人写成平方和s in二分之x方cos二分之x方写成这个人，所以说接下来过程当中你会发现零到这个人。它不就变成了s in二分之s，减去cos二分之s的平方ds吗？好变成这样。变成这样，有些同学做题就很离谱了，你要注意一个事情，

这个东西开啊，它是变成绝对值。它不是说把这个东西给我进行，怎么把它给我硬开完？我讲了好多遍了，根号s方不是s是s的绝对值。是不这个东西啊？所以这里面当中有个绝对值。那么接下来我就要讨论这两个人谁的。你喜欢讨论二分之s吗？我不喜欢。你喜欢讨论二分之s吗？我不喜欢你就把二分之s换成t呗。你换成t了之后的话，你发现一个事情，

你操作一下，那这个第一个人的话就变成了sint-cost。这个ds等于多少呢？s就等于2t那，所以说ds就等于两倍的dt。然后这人是零，那这人就变成二分之派。那同学们想想这两个东西进行比较，在二分之派内的大小，这是非常自然，而且简单的。因为你发现一个事情，你在这里面当中，你发现看这是y这是零这是x你看这是s in。这是cos。

那么，两者之间的交点是四分之派。那所以说就变成了零到四分之派和四分之派到零。呃，四分之派到二分之派。那如果在这种当中，你就会发现，如果在之前呢，是cosine大，那就变成了cosine t-sint。二倍的dt。然后第二人的话，你发现一个事情变成了什么s in，那就是sint再减去cost，然后这是两倍的dt。

是不是出来了，所以你可以看得出来这个操作性，我觉得难度系数不高了啊，基本点。好了，这是这里面当中的操作性思路，少看点评论区啊啊。少看呢，有些同学的话，这个啊，这个一会儿这样做那样做的一些方法啊，你能学的更好一点啊。好了，这是这个三零三这个题能想到吧？下去过程当中，

要想清楚好这个题啊，我们就讲到这儿必须有这个想法。我再强调一遍，你没有把这个事情一下想到，这都是上课没有听好。这就是考点的内容，没有把握清楚，我希望你下次过程当中见到这个东西，你就要想清楚。对吧，见到它你就要想清楚，听得懂我的意思吗？就是你见到这个一+cosine知道干掉一。你见到这个东西，你知道把s in写成二倍角，

然后一写成平方和写成完全平方。第14位好吧，来那么接下来继续再来看。呃，那么这个题我觉得接下来过程当中啊，我觉得就不用讲了。为什么呢？大家想想，你看这个积分。这个积分是男。这积分不好做吧，同学们想想不好做的原因在何处啊？不好做的原因是不是因为有个这样的一个开方啊？所以我就想去掉这个开方，去掉这个开方，

我怎么去啊？我就可以把这个东西看成框，拎成这个人是不是相当的自然呐？为什么不好算？因为有根号，我想干掉根号，我怎么干？你当然可以把整体换成题，但有点恶心。但是我们在这种当中，我们刚才讲了，如果一+1减框的平方，可以把那个框给换了。好了，这个题啊，

难一点，这个题啊，难一点，这个题啊，难一点，所以说这个部分的题啊，没有简单的。我明确强就说这次的定积分的计算题啊，没有简单的。啊，没有简单的，这随便抽一个都可以独挡一面出成今年的这个类似于真题，包括最后的模拟题。它没有简单的，所以我觉得这个把这个强度列上来。

呃，这个题不会呀，三零七这个题不会呀，你一定不要原谅自己，听懂我的意思吗？啊，别的题你就可以原谅了。三零七这个题你没做出来，你没有想到，你不要原谅自己好不好？啊，千万不要原谅啊。对吧，怎么不要原谅呢？下去过程当中把那些内容再看一看，

好好复盘复盘，听懂我的意思吗？好，这个事情呵呵。那一莫论那以后我出一些简单的。你发现都是这样啊。简单了呢，你说啊，这题太简单了啊，要不要再做更多的难了的话，你就发现你就容易阴谋啊。好了，我们就继续吧，我们再来看看这个题，这个题啊，

特别简单。这个题你按照我们的方法去做，就特别简单，我讲完这个题啊，我们今天的课程呢，我们就讲到这儿剩下题啊，我下节课再讲啊。剩下题目我下节课再讲好再来看这个题。这个题的话，你发现。如果你真的进行去。循环两次分布积分法是不是特别感难受啊？你循环两次，特别的恶心。但是你发现我没有操作呀。

啊，我们有公式啊。是a负一的平方是一一平方是一，然后这里面当中有e的负s的导函数e的负s。s in这人导导函数，然后这是s in。是不是这个事情加上c？所以在这种当中就一步到位了，零到一一亿的负ss in sds。它就等于多少二分之一，然后这里面当中啊，这是负的一的负s乘上三一。然后再减去多少e的负s乘上cos，把零和一带进去。把这个东西你发现一个事情，

你就立即带进去，你带进去了之后的话，你发现你就可以算出来了。是吧，这个事情就出诶哦，不好意思啊，这是nx。对吧，这是nx。注意一下，所以在这种当中你就会发现它就立即出来了，自己去看看行不行啊，我们是有这个公式的。所以在这种当中啊，你就会发现我立即把这个人就做出来了。

啊，所以说这里面当中这个。这个公式呢？它是什么情况？它是零到一一的负s，然后是sinn sds它，这结果就是应该是一，然后的话，这是负一，然后是n方。然后这个人后来是听得懂我的意思吗？然后这是多少一的负s导函数一的负s。sin nx导函数sin nx。啊好，自己做行不行啊？

这个内容。呃，所以说我觉得这个部分的内容你下去过程当中好好看一看啊，听懂吧，把这个部分的内容好好做一做呃，没有关系啊，就是。第一遍嘛。你不要对自己就是有点这个要求的。有些同学的话，可能我今年过程当中啊，如果这样的话，你就让我觉得我今年的话，这个800题是不是都把这个题目的难度放太大了？那后面的过程当中，

我再把它消减一点。所以我觉得一个点的话，呃，是一个什么样的情况呢？因为我们是第一遍遗忘是很正常的。谁都会遗忘，你会遗忘别人，都会遗忘全班同学，没有一个同学不会遗忘，都会遗忘。然后第二事情的话就是这个很多部分的，你去做一些题，你遇到一些陌生的题，不会做也很正常，我觉得也很正常。

所以大家注意一个事情啊，就是有的时候你不要进心去说这个题做的不好说哎，我这个数学怎么学的那么差，怎么怎么怎么样？你注意一个事情，你只要下次过程当中会处理不就行了，这是我们的要求。好吧，同学们哎，这个点。行，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，所以说下去过程当中好好处理处理可以吗？然后剩下的题我们下次过程当中再讲。

呃，看来吧，这个习题课吧，还是有必要的啊，还是有必要，所以我觉得。下次我看看吧，我再设置几次啊？设置几次客栈。好，那么接下来我们来看看这个变现函数作业。变现函数作业的话，我提前先说一下啊。这个三二九这个题要好好理解。三三四。

三二九。三三四。慢慢做，不要着急。三三五很难。啊，有点难。其实也没有说那么的难，我觉得相对难啊。三三七先不做后面的题先不做。然后这里面当中我挑几个。啊，挑几个？你可以看看这个题。这个题啊，

明天晚上睡前系列我去讲啊。明天晚上，然后接下来。这题也可以做一下。好，就做这几个吧。三三六页做。三三六六做三三七，先不做。三三九先不做。三四一三四二，先不做。好不好？三四零。三三八。

三三六三三五，然后是三三四之前。三三四之前啊，从三二三三二三移植到三三四。三三五三三六三三八三四零后面几个题有点难啊。你做的不好没关系，对吧？做的不好的话，原谅自己啊。但是我给你们提一个指标。讲义上的知识点，讲义上的例题，必须都要会。这是我忍不了的啊，忍不了的。

你要说后面没有学的东西，你零基础，你再怎么基础，你负基础都行。我觉得都没有关系，但是我忍不了一件事情，就是上课我带着你进行去完成的一些题，你上课过程当中，你觉得说哇，好精彩。或者你拍案叫绝的题，你下次过程当中，你见到这个东西陌生人一样，这什么逻辑，你可不能这样啊。

好了，这是这个点行吧？那么今天课程呢？我们就讲到这儿呃，这个作业啊，有些部分的东西难度系数可能会稍微的会大一点点，大家慢慢做。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好吧，同学们行下节课见吧啊。呃，定期分析化的题的话，你可以做啊，你可以去做，

然后下节课过程当中我去讲一讲也行，好吧，好下一个见啊。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册

21.变限函数、作业讲解-2

浏览过的版块