21.变限函数、作业讲解-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:44:17

那么，接下来我们就准备开始今天的课程吧，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的基础班部分的核心知识点，那么上次过程当中作业做完了没有？啊，上次作业比较难一点吧啊，就是这个定积分的计算难度系数啊，会稍微的会大一点，所以一会儿过程当中啊，

我们把这个今天的过程当中的内容讲完了之后啊。然后进行去把这个上次过程当中作业，还有这个之前部分当中啊，我们讲的这个啊，导数应用部分的作业我们都跟同学们去讲一下。没有关系，你很明显会发现今年过程当中，我们在三九六同学的这个基础班过程当中是加高这个难度系数的。不说别的，里面当中很多部分的题啊，都比你今年过程当中有可能继续去参加最后的一场考试，最后那个题啊，要稍微的难一点。所以说大家注意这800题啊呃，基础部分的话，

我们是500多道对吧？这个强化部分的话，我们还有这个。我想把它再增加一点啊，到时候我们再说也不一定总量的话是800刀啊，它肯定是什么大于等于800刀。好吧，同学们，一会儿过程当中，我们去讲一下，所以说这个习题集啊呃，做完了东西不是结束，你听懂我的意思吗？做完不是结束。希望同学们注意将来过程当中啊，

然后再进行二刷，然后再进行三刷，听懂我的意思吗？好，这个问题。好了，那么接下来我们就继续吧啊，没有啊。它这个光线的问题啊，呵呵呵啊，光线问题。好了呃，那么接下来我们就正式开始吧，然后这个复盘呢？呃，

是14号吧，对吧？行吧，过两天我们再说。呃，那么接下来过程当中，我们先来上一下这个今天的正课，把这个今天的正课讲完了之后，呃，然后再来进行去看今天的部分的这个作业好不好？好，我们先来看看这个上次过程当中啊，讲解的重点内容，那么上次过程当中所有的事情都围绕在一个事情上，就是定积分的计算。

那么，在定期分计算的过程当中，我们的核心重点有两个事情，一种方法叫直接法，一种方法叫技巧法。对吧，有直接法有绩效法，那么在直接法当中啊，我们的核心重点有三个事情，第一种情况凑微分。那么，同学们想想，如果是凑一分，会改变上下限的所属关系吗？不会的。

凑微分是不会改变上下限的缩数关系的。你这个东西凑下去，我这个东西永远都属于这个积分变量字母的好，这是第一个事情，然后接下来过程当中再进行第二类换元法。第二类换元法跟我们不定积分的，第二类换元法思维方式是一样的，但是在这里面当中有一点不同。那么，原来做错不定积分的时候，我们是做完了之后再把它怎么办换回去，但是现在呢？我们是换元就要。三换对吧？三换我们要进行去换上下限，

我们要进行去换背景换书，我们要进行去换这个积分变量。所以说同学们只要换了之后，最后算完这个结果就行了，好，这是这个事情，然后最后一个事情叫分布积分法。那分步积分法跟原来过程当中有唯一一点的区别是什么？就是两项相乘要带值。两项调换位置也得进行代持，对吧？这个事情。好了，那么这个内容我们就讲到这，那么接下来过程当中，

我们再来复习一下技巧法，那么技巧法首先第一个事情这个内容。考研重点吧。对吧，所以说对于定积分而言，我可以进行去求面积。哎，可以求面积求解这个曲边梯形的面积，当然我们都知道是绝对面积好，这第一个事情，第二个事情奇偶性吧。奇偶性有个特征，必须是什么对称区间？如果在考研过程当中，你发现我碰到一个对称区间的考题呢？

那首先第一件事情，我可以想奇偶性，除了这个奇偶性之外的话，你发现还有个事情。就是这个东西可以等于零到a，然后是fs+f负sds。是不是这个事情还有这种操作？那如果这两种操作都做不了呢？你就硬着钢塔就行，对吧？把它给我算出来。好，这是这个问题，然后紧接着我们发现一个事情，还有一个重点内容叫周期性，

昨天晚上的睡前系列做了吗？昨天晚上那个题，昨天晚上那个题特别经典，对吧？我们出的是零到n派根号下。一减三一这个题。哦，这个题呃，这个题非常经典啊，所以说我建议同学们下去的过程当中啊，我们把它看一看好这个人呃，这个周期性过程当中啊，有两个公式。第一公式就是零到n倍的周期，然后就等于n倍的一个周期内的积分。

好，这是第一个人，然后第二个事情的话就是a到a+t这个人与这个起点，这个a有没有关系啊？没有关系。对吧，没有关系。好了，这是我们在这本当中啊，介绍的这个经典的问题，那么绩效过程当中，我们再来看看第四个点区间在线公式。那区间在线公式的话也非常重要，那其实你发现就是a到bfs ds它的结果就等于多少就？就等于a到b，

然后是上限加下限减去这个人ds。对吧，这个部分内容，然后接下来过程当中，我们再看点火公式，点火公式的话，重点的内容呢是零到二分之派上。s in的N次方的这个人，它等于零到二分之派上coss的N次方这个人对吧？这是这个结果。然后最后一个事情是一个经验型公式，零到二分之派上三一和cosine具有轮换对称性，另外事情是零到派上s乘上三一的函数。然后这个s就不要了，补上二分之派。

好像这些基本内容我刚才谈到的事情，有没有都在脑子里面？有没有好刚才谈的这些事情都在大脑当中的同学，请给我回复个一。都还能记得吗？这是最起码的，对吧？这是个最基础的内容。好，那么接下来过程当中，我们还要进行去补充一个知识点。因为我们上次过程当中就给你讲过啊，这个点火公式啊，是非常重要的。点火公式非常的重要。

所以接下来过程当中，我们再来看看第二事情啊，我们再来讲一个叫做点火公式一家人。哎，点火工是一家人。这个点火工是一家人呐，在这个考研过程当中啊，我觉得是用的比较多的。会用的同学，你发现做题的这个速度啊，会提高一点，那么将来过程当中，我们会学习定积分应用的。定期分应用当中的话，你发现一个事情，

这个板块的内容。就有个重要的体现，所以接下来过程当中，我们来看看点火公式一家人。有哪一家人呢？那么首先我们先来看看基础的，你的基础公式是谁？基础公式是零到二分之派。三的N次方。这个人呢？等于零到二分之派cos in的N次方ds。呃，这两个东西啊，你发现一个事情是相等的，对吧？

这是相等的，这个基础公式，那基础公式的话，就是跟着这个N次方数，然后分。如果是偶数次方点点点到二分之一补二分之派。如果是奇数次方点点点到三分之二好，这是我们讲的这个第一个事情，那么再来看。还有没有别人呢？有的那么在这种当中，那如果是林道派呢？注意啊，林道派这个人就不相等了。那林道派是个什么情况？

在这里面当中，我不希望你背别背哦，背就傻了。希望同学们脑子一转就出来了。对吧，你大脑稍微的一转，这东西就出来了，好那么在这里面当中，我先问你个事情，你会不会画sins的N次方的图像啊？啊，会画吗？会画这个sins的N次方的图像吗？会不画会画吗？如果这个人不会画，

那这个人的图像会画吗？啊，这不会画就这这这可以结束了啊，你要这个东西不会画这个问题点相当的大了啊。这个会画吧，这个太会了，所以说接下来过程当中，我们来看看这两者之间的一个关系，那这个部分的话，你发现这是sins的N次方。好，我们一起来看看这个事情。那么，大家进行去琢磨一下，你看这个人的图像的特征是什么？

它这个东西是对称的。对吧，这两个东西是对称的，那这个东西关于谁对称呢？关于二分之派对称。对吧，关于这个人对称，那么关于这个人对称了之后的话，我们来看看一个事情对吧，比较基础的一个内容，那你想想这个事情。这俩点都等于零吧。那这俩点都等于零，我N次方一下呢，我N次方一下不还是零吗？

所以说在这里面当中，你发现这两点都是零。然后再来看这个巅峰值是几巅峰值是一吧，你巅峰值是一的话，你发现N次方以下是不是还是一？所以说这个巅峰值是不变的。对吧，制高点，它是不会变的。但是你发现一个事情有一样东西在改变。我们来看看一个事情，我取两个对称点。看清楚吗？哎，这两个点是对称的，

就说这两个点的话，你发现关于二分之派对称。大家想想一个事情对称的话，这俩点的函数值是不是相等？相不相等？那当然相等了，如果你是四分之三，我也是四分之三。那同学们想，如果我两者相等，我N次方以下相不相等？那N次方不下，不也是相等吗？所以说你发现一个事情，这两个位置的话，

你看N次方一下还是相等的。但是注意一个问题啊。他这个人的高度应该比上面这个人的红色的高度要矮一点，还是高一点？高一点还是矮一点？相当的简单。矮一点，为什么小于一嘛，然后次方数越大，你发现一个事情矮一点。但是我不在乎这个人。我在乎这个东西干嘛？我不在乎。对吧，我不在乎这个人，

我在乎的是什么？我在乎的是对称性，那同学们想想你再取一个对称点。那下面这个东西是不是还是对称的，你再取一个对称点是不是还是对称的？我明白了，反正的话，你发现一个事情，这两个图像它是对称的。就是你发现个事情，它关于这个人对称。对吧，它是对称的，只不过是什么？我一直讲一个事情，

我说这两幅图没有样子上的区别。只有胖和瘦的区别。对吧，没有样子上的区别，只有胖和瘦的区别，就什么情况呢？旁边这个人呢？他要矮一点啊，就这个情况。所以同学们，你进去去想想一个事情，如果要进行去基于零到派它这个东西的两边面积对称吧，它这个结果呢，就立即等于二倍的零到二分之派。同学们，

你接受这个事情了吗？哎，非常简单吧，脑子一转就出来了，我要背它干嘛？不要背谁背谁就傻了。你要背你就对不起我，刚才过程当中讲了这么久，你不能对不起我，对吧？所以说在这里面当中一定要把它记住啊，能听懂吧，要记住它。好了，那么接下来过程当中，

我们继续，我们再来看零到派cos这个人。那么，领导派这个人corson这个人呢？那么接下来过程当中，我们再来讲讲好吧，那么接下来我们去讲一下corson corson这个人呢？也有意思。那我想问你个事情cosine的N次方的图像，你会画吗？会画吗？同学们，会不会换呀？虽然不会画N次方的图像，但是我至少会画cos in的图像吧。

对吧，我不会画N次方，我会画cos呀，所以接下来过程当中，我们对比一下。好把这个东西对照过来。那么，在这里面当中，你发现看cosine图像是这样。好，这是二分之派。那么，如果给它一个N次方的之后，你发现二分之派这个点是不是还是零？大家想想一个事情，

这里面当中啊，就不同了，有点儿不一样了，不一样的点在何处呢？你看我取两个对称点。这两个对称点的话，你发现假设一个人是二分之一，一个人是负二分之一。那如果给你二次方偶数次方偶数次方的话，你发现一个事情，俩人都变成四分之一。是不是两人都变成四分之一？所以说如果是偶数次方的话，它的这个图形大致应该是这样子，你别管。

我们说了它的样子上是没有区别的。是不是这个情况，只有胖和瘦的区别，你别管这个胖和瘦好，这是这个情况，但是这是偶数次方。但是如果是奇数次方呢？比如说上面是二分之一，我三次方上面是八分之一，下面是负的八分之一，两者之间是不是仍然关于这个人对称呐？是吧，两者仍然关于对称，就是奇数次方的话，你发现我不改变你的正负性，

那还差不多，那么所以说同学们，你发现个事情。如果是这幅图进行去积分等于几啊？两边面积是一样，但是上面的这个积分是正的面积，下面的积分是面积的，相反数，所以说这个结果等几等于零。那么这是零，但是你发现上面这个人呢？上面这个人应该是二倍的。二倍的一半，所以在这里面当中，我们的东西就出来了，

赶紧可以写写成两个人。第一个人的话，你发现如果n为什么数n为偶数？偶数次方的话，立即变成多少二倍的零到二分之派cosine的N次方的积分，如果这个n为什么数n为这个奇数？那奇数的话，你发现一个事情，这个结果就是零。对吧，利息出来了。所以说你发现一个事情，这个东西非常简单，再来看第三个人。那第三个人的话，

你想想一个事情，如果是cos或者是s in好，我们再来看零到二派。还有零到二派cos。同学们去思考一下，这个东西是什么情况？它这个人的图像的话，你发现是这个样子。对吧，是这样子。如果这个人是奇数次方。奇数次方这个人是等于零。如果这人是奇数次方图像还是这样，是不等于零？奇数次方等于零，

那如果是偶数次方呢？偶数次方这个人就翻上去，这人就翻上去，它应该等于四倍的第一象限。那同学们想想这两个玩意儿，它在第一象限相不相等？相等啊，根据我们的基本公式，我们的基本公式说零到二分之派上，它们是相等的，所以同学们这两者东西，它就是相等的。它就相等的。那么，相等最后的结果是多少呢？

你发现一个事情非常的简单，如果这个n为什么数n为偶数？如果这个东西n为偶数就等于四倍的第一象限，然后这是sin x的N次方dx。如果这个n为什么东西呢？为这个奇数。对吧，为这个基数为这个基数，这个结果就等于零。所以你可以看出来这个东西的这个操作性，立即就出来了。是吧，所以说你要注意这样的一个问题的点，对吧？偶数次方和奇数次方。

如果这个东西是偶数次方，我就等于四倍的第一象限。奇数次方就等于零，很简单吧。这多简单，你看点火公式，一家人就来了。所以不需要硬着背，如果你硬生生去背啊，我觉得这个东西就没有意思了。对吧，要灵活一点，要不然我做两个题吧。好，我们来看看这个800题当中啊，

有几个题我们来做一下，就刚好是这两题。把这个东西啊，我们来做一下。那就非常简单了，你学了这公式就直接用公式，这这种事情呃，应该是数学当中最基础的能力了。好，我们先来看看第一个人。对吧，第一个人。如果在这里面当中，你发现一个第一个事情零到二分之派，然后coss的十次方同学们告诉我，

结果等于多少？直接来十九八七六五四三二一。二分之派是不是出来了？好了，那么接下来过程呢？我们再看第二人零到派零到派coss几次方十次方。那偶数次方翻上去，就等于二倍的零到二分之派。那零到二分之派跟上面一样，自己点可以吧？就等于二倍的这个什么19算我写吧，八七六五。四三二一二分之派。好，这是这个人，

然后接下来过程当中，我们再来看零到二派cos x几次方十次方同学们，想想这个东西是偶数次方翻上去应该是四倍的第一象限吧？那第一象限的结果是多少呢？第一象限的结果就是这个人，所以说我们就直接点对吧？一点就出来了。好了，这是我们在这里面当中啊，介绍的这个第一个人，然后接下来过程当中，我们再看第二个人。那第二任就更简单了。你发现第一个人的话，你发现他是零到二分之派cos x三次方ds直接点三二。

是不是这事情，然后这个奇数次方呢等于零，然后这个奇数次方呢等于零？跟得上吗？同学们，你知道我在干嘛吗？你说老师你在干嘛？复习去啊，好好复习去。好了，这是我们在这本当中啊，讲的这个309题，那么接下来过程当中，我们再来看看310题这个题。来继续再看这个题。

要不这个题我不讲了吧啊，这个题留给你们下去过程当中啊，自己发挥去。对吧，这个非常简单，自己去点去就行，一点就出来了。好了呃，这就是我们在这节课过程当中啊，我们介绍的这个第一个问题对吧？点火公式的一家人。好，那么这个内容我们就讲到这，那么接下来过程当中我们就来看看今天过程当中非常非常重点的内容，叫做变现函数。

大家注意啊，你们现在状态怎么样？状态怎么样？非常好吧，拿出你今天最好的状态来听这个部分内容，考研必出题啊。这个内容在考研过程当中一定会出题来吧，同学们，我先不讲这个内容。我就给你看看这个人的名字。因为我一直觉得一个事情啊，你发现呃中文之华美。我一直跟你讲中文之华美，英文之土鳖，对吧？

你发现华美在哪呢？通过这个人的名字就能看出很多人的意思来。不然它不会随便取名字了，它叫什么？变现。函数。大家注意啊，变现函数同学们告诉我它是什么？它是一种函数。什么叫函数有因变量有自变量有对应法则？我们以前过程当中学的幂函数是函数。三角函数是函数指数，函数是函数对吧？学的对数函数是函数，那么今天只不过是又学习了一种新的什么？

函数那大家想象一个事情，它既然是函数函数能干嘛？函授能干嘛？函数能干微积分里面的所有的事情。函数能求极限啊。函数能求导数啊，函数能求积分呢，你发现个事情，这不就是微积分所学习的所有的内容吗？他都能干，所以同学们注意我们今天学习了一个东西，叫函数，有些同学不理解这个事情，说老师。这有问题啊。

这个东西从定积分推来，定积分不是个数吗？你怎么现在又变成函数了呢？所以说在这里面当中，我不喜欢很多同学一下子就进行学变现函数求导，我知道你能学的会。但是你发现一个事情，你永远在认识上漏了一点点。我觉得首先第一个问题应该搞清楚一个点，什么叫变现函数？变现函数是什么呀？对吧？这个事情比较关键，所以接下来过程当中我们就来看看什么叫做变现函数。大家好好听哦，

跟着我来听。我接下来过程当中啊，来画一个二维的迪卡坐标系，请注意把你所有的注意力放到这上面。然后接下来过程当中，我来给你一条曲线，同学们想想一个事情。以前过程当中，我们是从这个a点。对吧，触发击到b点，然后上面这个函数写成了f什么？大家琢磨一个问题啊，我能不能把这个东西用t轴进行表示？行不行？

这个轴线我用t表示嘛？我爱用什么表示？用什么表示？我想用什么表示就用什么表示，那没有任何问题啊，那这就是ft。对吧ft。以前过程当中，我们的积分的这个什么下限是b啊的，这个上限是b，那么现在我这个积分的这个线能不能用成s表示？可不可以诶？我在这里面当中用x表示行不行？可以啊，所以同学们，

你告诉我个事情，我接下来我画在x轴的什么方上方？上方就是对应这个面积，请告诉我事情，这个面积怎么写？跟我一起写a到x。ftd t是不是上述部分的面积啊？诶，上面这个东西的面积就是这个人。那么，这是个面积那么大家想想一个事情。你会发现一个问题，我把这个x。我在这个轴线上平移。哎，

我让你动起来，大家想想一个事情，我让这个x动起来，这个面积有没有发生改变？有没有改编？有改变啊。当然有改变，这就是这个面积。当然有改变，你s进行平移的话，动的时候的话肯定有改变，所以同学们我就知道了，它会随着什么东西啊？随x的改编。而改变同学们告诉我这是什么？

我这个字儿写的潦草一点，我给你读一下，这是改，这是变而改。边这是的听懂吧啊，你们能听懂就行。那么，大家注意，这是什么？我们在初一的时候就学过这个事情。初一的时候你们老师给你讲函数的时候就给你讲过。一个东西随着一个东西的改变而改变，就叫函数。哦，明白了，

这就是函数，它随着谁的改变而改变，随着x的改变而改变，所以说我就知道了。这应该是一个谁的函数，这个整体是一个x的函数。诶，你就会发现一个事情，这个东西啊，就是个x的函数。哦，明白了，原来这个东西啊，是一个x的函数。对吧，

它就是一个s函数，那么同学们注意这个x在哪呢？这个自变量变的在哪呢？变在上下限当中，现在变在上限当中，我就把它叫做变。什么上什么线？上线函数。好注意啊，这个事情就说我变的是谁呢？变的是线，我自变量变的是谁呢？变的是积分线，所以我把它叫做变线函数，你看。

中文之华美吧。对吧，你赞同我这句话吧。中文之华美啊，为什么叫变现函数？就是因为这个事情，因为我变的是积分线。变的是积分线，所以说在这里面当中，你要注意一个问题，就说这里面当中有两个人，请告诉我这个x是什么？是什么啊？这个x就是这个函数的什么变量自变量？哦，

它是这个函数的自变量，那这个t呢？t是这个积分的积分变量。所以说你要明白一个事情，这个x是管函数的。这个t是管积分的。他们两者之间是不一样的。是不是这个事情，所以说你要了解清楚这个事儿，但是我想问你个事情，如果这个函数去求导，是函数对什么求导？函数肯定是对自变量求导航。这个东西毋庸置疑。函数肯定是对不不不能对t求导，

怎么能对t求导呢？肯定是对自变量求导。函数对自变量求导。哎，这是你要注意的问题。所以这里面当中的两个点，必须把它梳理清楚。好了，这就是我们在这种当中啊，基本的这个信息点，你函数肯定是对自变量求导。积分是对积分变量。函数是对自变量求导，一定要注意这个问题。好，

这是这个事儿，所以如果是上限在变，我们就把它叫做变上限函数，那么再来看。如果你发现个事情，现在这个人自变量是谁x注意啊，变现函数的自变量在上下限当中。啊，在上下限当中找自变量，如果你发现一个事情，它是这样子的。它就叫做变下限函数，对吧？因为谁在变？因为是在下限变变下限函数。

好，那么接下来我们再来写。如果你发现看。下限有s，函数上限也有s函数，对吧？就是下限有s上限也有s。那这上下限同时变，那你就把它叫什么叫变现函数？其实你发现变上线函数变下线函数都能叫变线函数。好，这个问题，所以你就会发现一个事情，这里面当中得出了半天变现函数的自变量，必须在上下限当中。

后面那个东西叫积分变量，我再强调一遍。变现函数自变量必须在上下限当中。必须在上下限当中。我问你个事情。好同学们告诉我，这是谁的函数？告诉我谁的函数？如果这个东西是个函数，谁的函数？我提前先说，你不要说s啊，你说s我就疯了啊。啊，没有s吧？

啊，非常好，没有s啊啊，一近为止还没有一个s好好好，非常好。证明你发现理解了，对吧？这个自变量在哪？在上下限当中。这个东西叫什么？叫积分变量。你看我为什么这样写？你知道我为什么这样写吗？也有我在改变有些同学的一些固有的认知。有些同学都是这样，

你自变量必须是i so，你换成t我就不好使了。对吧，你这个因变量必须是y啊，你有一天过程当中，你换成t我也不好使了。你必须是s，你要敢换我就敢不敢做对吧？我就敢不会做。那有一天过程当中x要充当因变量，我更疯了，什么反函数你x怎么能做因变量呢？我做因变量的东西不是y吗？我学了这么多年，因变量都是y啊，

你自变量这个东西就是x啊，你怎么敢变？你敢变我就敢不会做。不要这样，它仅仅是一个符号。它就仅仅是一个符号。你管他用什么呢？我因变量字母，我就一定要用y吗？我用u表示t表示w表示我想怎么就行，所以大家注意这个事情一定要想清楚。听得懂我的意思吗？改变一下自己的固有认知。就是这个自变量和这个因变量，它就是一个什么，

它就是个字母。我想用什么就用什么啊，这是这个事情好，这是这个点。那么，接下来过程当中啊，我们就来看重点，大家想想一个事情，你看这是个变现函数吧？那这个变现函数的话，你发现一个事情，它已经积了一次分。你觉得对于变现函数而言，最重要的问题是什么呀？函数嘛，

要不求导，要不积分嘛。你觉得最重要的是求导还是积分呢？我已经积了一次分了。我肯定想再倒下呀。所以它的核心重点我就更加喜欢什么。这个番茄不是西红柿同学嗯。你今晚上有点可爱啊。啊，注意，我们喜欢求导对吧？我们喜欢求导。所以说在这种当中，接下来过程当中，我们就来看看今天最重要的事情，

变现函数的求导计算。啊，变现函数的求导计算。大家注意啊，这个内容是一定会出题的。考研一定会考的。你放心，我说一句话。如果你今年过程当中拿到你的试卷，里面居然没有变现函数的问题，你肯定是拿错试卷了。你听懂吧，你肯定拿到幺九九的试卷了，你拿的不是三九六的试卷，你肯定拿错了。

那考微积分怎么能考不考变现函数呢？它一定是这样，必须考。那么，对我们三九六同学，我先说一下。对于你们而言，就直接知道怎么去求导就行。那么，至于这个东西为什么是这样？一会我们看吧，你要有兴趣，我来讲，我给你证明。你要没有兴趣就算了，

好那么接下来过程当中，我们来看看这个事情，注意啊，变现函数的求导法则。首先第一个事情，我们先给你个变现函数。给你了一个变现函数。这个人那么在这里面当中，你会发现个事情，我们就直接求导了，你先别记啊。好吧，先不要急。你你怎么这样呢？对吧？

那我还一定要。我我我连这一点我讲课的这个发挥性都没有了吗？我是个机器人吗？嗯，我讲课我都不敢发挥了。那我有一天过程呢，我写个考点，我写个破题方法行不行？你要一定要我讲的这个东西跟讲义上是一模一样吗？我又不是个机器人。啊，好了，我们继续，我们来看看这个人进行去求导。啊，

这个求导，那这个求导的话，你发现你看怎么去求呢？就是变上限听好了，你看这是个上限。首先第一件事情的话，你发现我把这个上限移进去。上限移进去，移到这里面，然后是上限再求导。再减去把这个下限移到积分变量里面。下限再求导。注意啊，把下限移到积分变量里面。下限在车道。

这就是我们那么多年的过程当中，学习的变现函数的求导法则就是上限移到积分变量里面上限求导。减去下限，移到积分变量里面下限求导。大学过程当中是这样学的吧。但注意一个问题。你要是今天啊，还只是这样选，我觉得远远不够。注要远远不够。你要比大学过程当中啊，学得好。啊，学的好，这样直接写，

这是错的，这不对。你要注意一个问题，这是有要求的。有重点要求的，所以说今天过程当中，你去考研，你要注意这个数学知识是非常严谨的。那么，在这种当中，第一大要求。说如果被积分函数连续。大家记住这句话。被积分函数连续变现，函数一定可导。

被积分函数连续变现，函数一定可导。只有被积分函数是连续的时候，变线函数才能上限，移进去上限求下限，移进去下限求。你放心吧，这条内容我们会有用处。但是不会直接进行去出这种证明题，所以说你们可以学的轻松一点，对吧？被积分函数必须连续才能这样求。好，这是这个事情，但是除此之外，

这里面当中还有一个重要信息点，等会我们再来讲好，那么接下来过程当中，我们来做几个题。先来进行感受一下，比如说这里面当中，我们先来看看第一个题。好，先来看第一个人。在这里面当中啊，如果这是x方，这是x四次方，然后这里面当中有个s in tdt。那么，同学们告诉我一个事情，

这个变现函数能直接求吗？可以的吧，被积分函数是连续的呀。所以说求导的话，你就发现就是上限移进去。上限球。直接来下线移进去。下线球好，上线移进去，上线球下线移进去，下线球，你注意啊。你像二一年之前呢，你们做的有些真题的考研就是这道题。就这个题就说给你这个变现函数来，

你给我求一下导，就这种破题这都出啊。哦，很简单的，所以说呃，二一年之前呢，就是尤其二零年二一九年一八年之前的我们三九六的真题啊。这个参考性价值真的不大。如果今年到了这个九月份。你发现对于三九六同学，我们还有这个真题班，那是真没有意思。这很明显，一个事情你就发现它不随着这个新大纲的要求在走。还进行去出这种真题班。

对吧，你发现一个事情去出那些什么真题套卷了？你去买那个三九六同学的话，这个真题套卷，如果买只有三套试卷有作用。二一年的二二年的二三年的，你说剩下的试卷有什么作用？就没什么作用，你再进去去买那个真题，你不要像数一数二数三同学一样，我们还要进行去，怎么办呢？还要进行去买一本儿，这个历年的真题有个鬼的用。你要进行去买历年真题，

我觉得你的历年真题只有三套卷子，就是二一年，二二年，二三年。你去把那个二零年之前的话，那些真题你使劲刷，你发现刷完都都没什么用。所以在这你们不用着急，你们全真班同学，你着啥急啊啊，后面我们会有这个啊，这个到时候的话，这个冲刺的这个部分的题的啊，不要着急。好了，

这是这个事情，真有那么简单吗？来我给你找一个。你发现个事情不光是这么简单，比这个还简单。二一年。叫我来看看啊。定积分。好，我给你找找。在这里面当中啊，这是以前的真题。你看我这里面文档，你比如这是二一年的，这一二年的这些啊。

变线函数去求导，变线函数求导，变线函数求导来看一下这个题。好了，这个二零二零年过程当中，出了一个这样的题。对吧，我们来看看二零年，二零二零年出了个这个题。然后在这种当中给了一个变线函数，说连续的FC塔，这叫变化吗？我积分变量，我用t表示用西塔表示，那怎么了？

所以说接下来过程当中，你发现去求导怎么求来上线，移进去上线去求导。减去下限，移进去下限，求导本题结束。好，这还是二零年的同学们，你睁大眼睛看看。这还是二零年的。二零年代。这都不还不是二一年的。所以说你如果真的进行去做这些题的话，你发现你连我们的这样的一个基础部分的这个难度系数都没达到。所以你可以看出来，

这是这个情况。但是你要注意一个问题啊。我还是那句话，人难我难，我不畏难，仁义我义，我不大义。啊，人难我难，我不畏难，人亦我亦我不大也。所以同学们注意，考的都是同一套试卷，难都难，简单都简单，

你能考那么高，他也能卷那么高，所以说分数线使劲的往上卷。你也有压力的。那所以说这个这没关系，你你们最喜欢什么？你最喜欢什么极限什么？好，你最喜欢极限的话，你来看看，比如说我给你找几个，你看这以前的过程当中破题，你看这题。你就直接用洛贝达法则做就行了。你把这个项目一替换，

你直接做，你看这个人。你看这就是以前的题啊，你看看。里面当中还稍微具有操作性的，像这些题这个题还可以，对吧？这题我们上课做过这题对吧？你就直接灭就行了。还有这个题啊。所以但是注意啊，有没有好一点的技能你比如说你看这个题好。为什么这个题我们还是有用的呢？因为这个题变现函数我觉得还是有用的。所以大家注意一个事情，

这个后续的过程当中啊，我会给你们进行去筛选。听得懂我的意思吗？你知道为什么过程当中那个题会有一点说哎，我觉得还可以吗？那是因为原来二零年之前的那个部分的那个三九六的真题啊。它不光有选择题，它还有大题呢。对吧，它会有大体的。所以这是这个事情好了，这是我们在这个当中啊，介绍的这个问题来继续吧，我们再来看。零来继续走。

然后在这种当中，比如说我们继续来除，如果这是三，然后到es，然后这里面当中啊是cost，然后dt。你看这个人怎么做？来继续吧，这怎么能听不懂呢？啊，这怎么可能呢啊？应该不会吧，你可能知识点衔接住了没有？啊，这个东西也很重要。

好来，我们继续吧呃，所以说同学们没关系啊，你基础班嘛，你慢慢来，你不要着急啊。好，我们继续，我们再来看这个人。那么，接下来过程当中，我们再看这个人求导，那就直接来呗，变线函数求导，那就是上限移进去。

上限球。然后是下限移进去下限球，有没有发现个事情？这个下限是个常数，求导是几零？所以说同学们注意下限就不一样了，这人叫什么变上限？变上限函数而言，我们只需要一上限。变上线，一上线就行，下线不用移了，所以说变上线，一上线上线再求导。然后接下来过程当中，

我们再来看看第三个人。那这个人的话，你就发现继续那么在这里当中，比如说我们写了个三，然后这是四，然后这里面当中是lint dt。那么，接下来过程当中，我们继续求导，你看这人求。诶，这个人叫什么呢？这人叫变下仙。对吧，因为下限在变。

你上限移进去上限求导，这是零啊。所以说你得减。减去把下限移进去。下限求导，所以说你要知道这个事情。变上限，移上限，上限求导，变下限，移下限，下限求导加符号。注意一下这个问题啊，变上限一上限上限，再求导变下限一下限，

然后再加符号啊，求导再加符号。所以说这个内容基本的信息点能学会吗？讲了半天。你发现一个事情，我都在干嘛？都是在这里面当中啊，希望同学们认认真真的把这个公式啊，掌握清楚就行。好了，这是这个问题，但是同学们，如果你仅有这个难度系数的能力啊。我觉得对于今年的考研肯定是不达标的。绝对不达标。

所以在这里面当中，我们需要加强，那么接下来过程当中，我们就继续看。再来看一个问题。betas那么刚才过程当中啊，我们发现一个事情，你看我把上限移进去，上限球。下限移进去下限球。那什么时候才能这样办？被积分函数连续，我知道。还有个事情，有没有发现一个问题，

你看看这个被积分函数。请告诉我个事情，这里面当中有没有t有没有自变量x啊？你不是要对s求导吗？有没有自变量？有没有就是你要求导的这个人有没有躲到这里面呢？有没有没有大家注意啊，这里面当中一定没有x。就说我们不能这个叫什么呢？呃，里面当中不能藏东西。我们正大光明，对吧？里面当中不能躲啊，是吧啊？

就里面当中没有没有s。千万不能有，有的话就不能，如果没有，我把这个东西叫什么叫标准型？只有标准型的时候，我们才能上限移进去上限球。先去下线，移进去下线球。它必须是什么标准型？就是这个被积分函数当中没有自变量。要注意一个事情啊，就是你要求导的那个人没有自变量，把这个东西啊称之为标准性，那同学们想想一个问题。

你觉得考研过程当中喜欢出标准型还是非标准型？啊，那你想想这个事情，你喜欢出标准型还是非标准的？那肯定是非标准。所以我觉得如果今年过程当中，我们去考一个题，那如果直接去求导，那肯定非标准啊。所以在这里面当中啊，我们来看几个事情，先看四点一七这个题可不可以？好，先看这个题。来看看这个人。

那么，请同学们告诉我个事情，这个函数的自变量是谁啊？这个函数要去求导，四变量不就是x吗？你看这个人那原则说啊，那我求导了来变上线，把上限移到积分变量t里面上限再求到2x做完了。你说玩个鬼。大家注意啊，这很明显就没学偷。都没有切进去。这问题点太大了。你有没有发现个事情，这里面当中有一个人怎么办哎？

你看他藏在这儿了。对吧，它藏在这儿。所以说这个人的话，你发现一个事情，他是标准型还是非标准型啊？它是标准型吗？它不是的，这是一种非标准型。哎，这是一种非标准型的情况，它不是标准型。对吧，它不是那我怎么办？那我怎么做呢？

大家注意一个事情，比如说我们来看一个事情。好，如果这是cosines ds，这是个t。你看我在对谁进行积分的时候。那这里面当中的积分的主角是他吧？剩下的这个东西是不是个常数啊？因为我们都学过一个事情，如果是k倍的fs ds，除了这个s之外，都是常数常数可以抛出去嘛？也就说，除了这个积分变量字母之外的人，在积分里面都是常数，

那常数可以抛出去啊。所以在这里面当中，问题点就来了。你看我是对这个t积分，那这个s什么数s就是个常数，那这是个常数，当然可以抛出去啊。所以在这里面当中哎，积分里面常数的东西抛出去。在七分的时候，它是常数。所以接下来过程当中，我们就继续看你发现这个函数的话，你发现这是s函数。请告诉我，

这是谁的函数啊？谁的函数s函数？s的一个变上限函数。所以说这个时候的话，你发现就变成乘法求导了，那么前导是几前导是一后面不导？然后再加上前面不等。前面不导，后面再导。那后面来导的话，你发现后面这个人是标准型吗？标准里面当中没有s太标准了。那标准的话，你发现变上线移上线上线去求导结束。诶，

你看这个题是不是出来了？所以这就是我们在这里面当中啊，第一种非标准型的情况。对吧，第一种非标准型，就说我能提出去。除了我这个人之外的这个人就是个常数，我把它抛出去提出去提出去之后的话，你发现就变成了一个乘法求导。好，这是一种。那么，接下来过程当中啊，我们就继续再来看。呃，

这有些同学翻不过梁啊，对吧？你看他说s不是常数吗？那常数这个求导就是零了。大家注意啊，不同的场景下。对吧，不同的场景下。也就说我在做积分的时候，我是对t积分，你是个常数出去。接下来过程当中，我是对x进行求导的时候，你就变成自变量了。要注意注意它的场景啊，

注意下这个问题。好，这是一个基本问题，那么接下来过程当中啊，我们就继续再来看看下面的事情，四点一八这个题。再来看这个。呃，这个题啊，可能就会更重要，你们现在状态怎么样？同学们，现在状态怎么样？非常好吧。拿出你今天最好的状态，

听这个题。认真听啊，认真听。好，那么首先我们先来看看这个人，求导有人发现来了，说我求导便上线，把上限移到积分变量里面x-x。上限求导11，所以说是f0。是不是啊？对不对？这个鬼啊，你不觉得你这样写我都不敢写。我要是你，

我都不敢写，我都不敢动笔。我笔都不敢动。大家想想f0是个常数吧。如果一个人的导函数是常数，说明这个函数是个一次函数。但是你发现这是一次函数吗？这不是一次函数。它就不是个一次函数。所以说你在这里面当中啊，它不是这样子的。你看我要对谁求导，我对s求导你，这很明显一个事情的话，这里面当中出现s。

对吧，这里面当中出现了s。诶，出现了s证明这是什么情况？证明这这个东西是一个什么非标准型？是不是这个事情？所以在这里面当中，你发现一个事情，这里面当中就是一个非标准型的情况。哎，这就是个非标准型的情况。但是这种非标准型跟刚才那种非标准型又好像不一样。刚才这种非标准性的，我是能够把它提出去的。但是你发现一个事情，

这个题你能提出去吗？你是提不出去的。你完全提不出去，你能把这个s提出去吗？提不出去。所以刚才那种跟这种是不一样的。我们能提出去就提出去，那如果提不出去呢？大家记住换出去。就这两板斧，两板斧就可以了，就说我能提出就提出我提不出去就换成。记住这两个问题。我能提出就提出，我提不出去就换出。

所以在这里面当中啊，问题点就来了。那么，在这种当中，我就直接怎么办？我就直接把这个人换出去。对吧，我就把这个人。换出去换成u注意这块内容，你好好听。但是同学们，你要注意一个问题。我换圆换的是什么圆啊？我是在做积分，还是在做求导？

我现在在做积分吧。换的是什么元？换的是积分元。注意啊，我换的是积分源。所以在这里面当中，他换的是什么情况？应该是把这个t这个积分换成u的积分。应该是我两者之间在进行变换。那在这个变换的过程当中x充当什么数啊？常数是你们两者之间进行去对调，那这个s充当什么数就是常数，所以在这里面当中啊，我们一起来写一下。你看这个fx。

首先看第一个事情，你看。这个人的上下限很明显是t的上下限。如果t=0的时候u等于几t=0的时候u=s。t=s的时候u=0。是吧u=0。所以说在这里面当中，你会发现一个事情，这是fu然后这个dt等于多少ds-u？那么，同学们告诉我事情，我给你写慢一点，我一步都不给你跳。同学们，想想一个事情，

在换元的过程当中，这是个常数吧？常数还要不要？不要了。不要了的话，你发现d负u就是负的du负号再用来变换上下限就出来了。所以在这里面当中，你发现这个事情，它立即出来了。我就做成这样了。等我进行去做成这样了之后的话，你发现一个事情，现在而言这是个标准型吗？很明显，被积分函数当中是没有这个自变量标准型，

那标准型呢？变上线一上线。上限求导就是fx。是不是这个事情，所以这个操作性，它就立即出来了。对吧，所以说你发现一个事情，这个四点一八这个题。要注意这个东西是怎么做的，不要跟我说什么区间在线换元法了，不要提这个事情，你想歪了。想太偏了。啊，

哪怕这个题可以，但是你不敢保证别的题也可以。所以你把方向性走偏了，对于这个变现函数求导，如果是标准型就直接干，如果是非标准型两件事情。能提出去去提出去提不出去，换出去，记住这个人。把这个事情记死，将来过程当中无一例外。没有例外的，而且我们不会考二重积分，所以像二次积分的这个求导问题，我们也不会涉及，

所以说这个部分的东西就结束了。能听懂吧？哎，注意一下这个事情，换元换的是积分元。现在这个人是对t进行积分，把t的积分换成了u的积分，是不这个事情？所以说你要注意这个事情。呃，你想想一个事情，我们在这节课的上节课在干嘛？上节课在干嘛？在讲定积分的计算吧。定积分的计算是不是有第二类换元法呀？

第二类换元法是不是把积分变量再换呢？所以想清楚。我再强调一遍，首先第一件事情，我们先做一下这个积分的还原。然后再进行去求解变形函数的求导，这是两个事情，把这个方向先想清楚。好，那么这个内容我们就讲到这。过去了，可以吗？想清楚，那么接下来过程当中问题就来了。在我们在考研过程当中啊，

你思考一下。如果考研过程当中给你一个变现函数。对吧，给你个便携函数。当我给你个变现函数的时候，你想想一个事情，这个东西的问题的核心是什么？就如果考研过程当中，我给你个变现函数，你觉得这件事情只要见到变现函数，我的定势思维能力是什么呀？我的核心是什么？对核心就是求导。记住这个事情。只要你见到变形函数，

你立即想求导，这就是一种定势思维能力，不要跟我想这样事情。只要见到便携函数，立即想求导，只要见到便携函数，立即想求导，那么所以说接下来你来发现一个事情。诶，它是个函数啊。它既然是个函数。诶，我可以进行求极限啊。我可以去求导说。我可以去求积分呐。

所以大家注意一个事情，如果在第一件事情当中，我进行去求极限的时候。你都知道我拿到一道函数极限题，我是先定型后定法，定法之前先四化。当我定完型了之后，假设它是零比零。你想想我又喜欢求导求极限的时候，哪种方法非常适合求导？洛必达所以在这种当中，你会发现一个事情，洛必达简直就是我们在这里当中非常青睐的方法。就你记住一个事情，只要涉及变现函数的这个极限题。

我变线函数，想求导我首选诺贝尔。那这个时候变成首选了。你看看这个事情。然后在这里面当中，如果是第二种。我们就进行去学习，求导的时候。对吧，第二种。导数和微分的时候。那你就直接求呗。然后第三件事情，你发现它既然是个函数。我能不能进行去研究它的什么情况，

研究它的导数应用的问题啊？比如说我去研究它的极值的问题。我去研究它的最值的问题，凹凸性问题，拐点的问题，渐近线的问题，行不行？可以啊，它是函数。同学们，一定要对这个东西加深印象，它是一种什么？它是一种函数。函数就有因变量，函数就有自变量，

函数就有对应法则，后面等。等等，一系列的事情。所以无论怎么样，你就记清楚一个事情，所谓变线函数，它的一系列的事情都是围绕着求导进行展开的。你一系列这个事情的这个过程都是以求导进行展开的。所以接下来过程当中，我们看看同学们的这个基本功怎么样？你看我来给你来一个题。好，我们来看一个题。比如说这里面当中，

我们来看看这个题。好，先看这个题。那么，对于这个题而言的话，你发现它说被积分函数是连续的。对吧，然后给了一个这个人啊，给了一个这个人。然后接下来过程当中，又给了一个phi 1=1 phi到一=5f1。同学们，想想这个题你怎么做？我是不是看到变现函数了？我看到变现函数了之后的话，

有导函数值，你想什么？啥都不用去想，立即去想，变线函数要求导了。所以在这种当中，你发现它是标准型还是非标准？标还是非标？当然是非标啊，因为有x立即把s给干出去，零到x方fttt。那这人既然是个非标准型的话，你发现一个事情，我就可以求导了。我一求导的话，

你发现前导是一后面这里不导。对吧，然后接下来过程当中再看前面这个人不倒，后面来倒，那后面来倒呢？你发现一个事情就是。上线移进去，上线求导，同学们听懂了吗？能听懂吗？然后接下来过程当中要求f1那同学们想想f在这儿。要想去求f1，你就直接令这个x等于几s=1。五零s=1的话，你发现这是phi撇一。

零到一。注意啊s是一零到1 ftd t，然后是二倍的f1。那么，这里面当中的话，你发现一个事情，你看这个结果，这个结果是几？这个结果是五，然后在这里面当中，唯一不知道是这个人。诶，这个人不知道，你看这个条件又过了。你这个人不知道，

如果这个人你知道，那这个f1就出来了。那这人等于几啊？零到一。有没有发现一个事情，你还有个条件没有用啊？是吧，那在这里面当中的话，你把这个一带进去的话，不就是零到一，然后这个x又是一不是一倍的ftd t。它等于一，那么这个时候你发现我立即就出来了哦，原来如此，你是等于几等于一呀，

所以说在这里面当中fs等于几？五减去这个一。五减去一是四，那这里是二，答案选b。所以大家会发现一个事情，只要你掌握住了一个真谛。就说只要遇到变现函数，你的核心重点是什么？去求导。我只要见到变线函数，我去想求导那这个事情的思维方式立即出来了。为什么呢？我没有别的东西，我只要见到变现函数，

我刚你对吧？我倒下要什么给你什么？这种思维方式是非常非常直接的。对吧，很顺啊，这种思维方式非常直接。好，那么这个内容我们就讲到这。要不这样吧嗯，我们稍微休息会儿，然后我们再。课间休息一下啊，你做一下这个题。好不好，同学们？

我看大家的创新性怎么样？举一反三的能力怎么样？你来看看这个题。好不好哎？我们休息会儿，你做一下三点二七这个题。做一下这个题啊，327题这个题下课休息过程当中啊，做一下这个题。如果这个题做完了。你请你接下来过程当中给我做一下这个题。那么，这里面当中的话是t。然后是fx方减去t方，然后dt，

然后这是零到x。那么，接下来过程当中，让我们去求什么？求f撇x。好，这两题这两题啊，有一定的拔高色彩。哎，有一定的拔高，所以说你下去过程当中，你把这两题做一下，一会儿上课过程当中我来讲一下好不好？好，稍微休息会吧，

一会我们继续啊。好记完了没？你截个图吧啊呃，记完了先给我回复一吧，不然我切过去了啊。记完了给我回复一下。好了没？可以了吧？好，我们稍微休息会儿，你在下课休息过程当中，你就别休息了，你好好做题好不好啊？

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21.变限函数、作业讲解-1

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