20.定积分计算（2）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:44:07

我们继续吧，我们再来看看这两题，这两题做完了没有？呃，这两题啊，就很有我们的这种考研题的这种感觉哦，非常有这种感觉，那么接下来过程当中，我们先来看第一个题。那么第一题啊，它让我们进行求解，什么求解这两个的最大值？那这量最大值的话，你发现它的范围是从负二到二，那么首先第一个事情，

我们先来把这个人呢画个图形。对吧，看看这个最大值，那这是y这是零，然后这是s，然后这个部分是多少呢？这是y=s^2。那么，然后接下来过程当中，我们再来看看y=x呢？是这个人。那这个时候我们就可以看出来哎，这样的一个问题，那么现在的话，这个部分是负二哎，

你发现这个焦点是几呢？我这画的有点小啊。啊，没关系吧，我把这个往回拖一点啊，这个那么在这里面当中，你发现这个点那这个点是多少？这是负二。然后这个焦点是几焦点是一，然后后面这个部分呢，它是二，那么同学们会发现一个事情，你在这三段的过程当中啊，最大值是不同的。如果这个人的话，

你发现看你如果是负二到零这个人打。零到一这个人打一到二是这个人打。你能听懂我的意思吗？所以说这个题就一定要分成几段，你就要分成三段，那么这个时候的话就利用了积分的什么性？可加性一段是负二到零。最大的值的积分一段是零到一，最大的值的积分一段是一到二，最大的值的积分。对吧，只不过是什么情况，在负二到零的时候最大值是谁？最大值是x方。只不过在零到一的时候，

最大值是谁？是x。只不过在一到二的时候，最大值是谁？最大值是x方。是不是这个情况，所以说你会发现，只不过是在每一段的过程当中最大值不同罢了。我最大值是不同的。所以说你发现有这三段，那么接下来记一下呗。第一个人积分是比较容易出错的，我们来看看第一个人是高频易错点，你不要小看他。三分之一s三次方，

我把这个人给你算慢一点。第二是二分之一x方把这个零和一带进去的话，其实就是一，第二是三分之s三次方把一和二带进去。注意第一个人，第一个人的话，你发现是三分之一。把这个零带进去，那这人是零。减去把负二代进去呢，请注意，这是负八，听懂了吗？所以说这个第一项这个结果是三分之八，这是二分之一，

这是三分之一，这是八减一。哎，你发现一个事情，这个结果，所以说这个人的话只是二分之一，然后再加上三分之七好这个人。你自己看看吧，那最后结果的话是三分之，这是五五，加上这个人的话，其实就是二分之十一答案选一。就这里面当中啊，比较容易出错的点，比较容易出错的，

这是一个啊，这是你要注意的好三幺二，这个题我就讲到这儿，你下去过程当中再看看。然后接下来过程当中，我们再来看看这个题，这个题啊，我觉得非常具有考的可能性，你看这个题。那么，这个题当中啊，给了一个什么情况，给了一个分段函数。然后让我们去求解一到三，然后是这个复合函数，

它的一个定积分，你怎么做？你怎么处理啊？首先第一件事情通过这个人把x- 2找出来。然后接下来再进球，大家注意啊，这思维方式就太直了。太值了，那做的有点傻了。这样做这题就不好玩了。这题应该是一分钟多多钟的时间去把它处理掉的。那么这个题的话，我们来看看。你琢磨一个事情。你喜欢。

积的是fs还是喜欢积fs- 2？你喜欢g谁？我当然喜欢gfs，我知道的是fs，我肯定喜欢gfs。不喜欢s- 2。那么他想想想一个事情，对于定积分，我可以换元啊。那定积分可以换元的话，我就直接把这个换成什么换成t不就行了。那所以说在这里面当中就出来了，那首先第一个事情我就不会让你进行，怎么办？你这里面当中s- 2，

我觉得太恶心。赶紧换个圆。换成一个人。这其实就是我们定积分的这个手法，它可以换元，然后接下来过程当中，你发现看换倍积分函数。然后x=t+2 ds就等于多少dt？换源要换线。当你x这个人是一的时候，这人是负一，当你x是三的时候，这是一。然后再来一句话，积分与变量字母的选取无关，

再换回x，大家注意一个事情啊，你听好了。请问这些式子里面的x和这个式子里面的x一样不一样？不一样不一样，换在上面就行了，不是换元就换回我，没有换回我这个东西，利用了积分与变量字母的选取无关。好，做成这样，那做成这样了之后的话，我们再来看看这个函数。拉条线看看。那么，

这个函数的话，你发现这是零，然后比零小的时候是一+x次方比零大的时候是一+-s，你现在要从负一七到一。那负一积到一的话，负一积到零对它几？然后紧接着的话是零到一就对它记。那这种我就要分呐，所以说就是负一到零，然后再加上零到一的积分。负一到零对一+s^2进行积分。零到一对一的负s进行积分。好，这个人跟得上吗？同学们要想清楚哦，

来继续看第一个人。对一积分就是上线减下限，这是一第二呢，是三分之一s三次方，你要注意，这又是个易错点，尤其是这个奇函数的时候啊，奇数的时候你要注意这个问题。好了，然后这个积分是负的一的负s。零和一那么首先我们先来看看这个事来继续往里面带，这是一三分之一零就是零。减去负，一是负一。然后接下来你看你看这个人又是易错点。

啊，这里面当中两个易错点，这是e的负一次方e的零是一，所以做题稍微小心一点，你看这个人。这是一个三分之一，然后这是一一加一，这是二那二的话，只是三分之几三分之七再减去一的负一次方。好，这题是不是出来了？所以说在这里面当中啊，三分之七减去e的负一次方正确答案选几选零。好，这两个题非常的好，

我希望同学们下去过程当中，你好好看看这两道题啊，非常的精辟。典型题，经典题，一个事情是它的操作性的方式，一个事情是它的基础的运算。大家注意啊，你要保证的话，这个足够的，这个就是做题足够的精准。不光要快，而且要准做的这个东西啊，一定要狠一点哎，所以希望同学们下去你好好看看这个事情，

不要把这带错了。一亿的零是一亿，还有这块是零，减去负一零，减去负一是负负得正两个小细节。好了，这是我们在这个当中啊，介绍的一个基本问题，所以大家注意将来过程当中只要见到这种题，先把它给我换成题，不要再给我想别的了。把这个思维方式练透，考题都是这样出的。好，这是我们讲的这个三幺三这个题过去了，

可以吗？基本点那么接下来过程当中，我们就来看几个比较重点的事情了。大家好好听啊，我们来看几个证明的东西。好，来看看这个题。那有的说老师，我们三九六同学不考证明题啊？那你在这证明啥呀？大家注意啊，我知道我们不考真命题。这个结论要记得吗？听得懂我的意思吗？这是个结论，

要会。就是这个结论是我们一定要会用的。所以说我把它出成了这样的题。你能知道我的意思吧，好，那么接下来过程当中，我们来证明一下这个事情，我们也拓宽一下自己的学习方法，你好好听啊。我觉得这个证明的过程会引出一个非常重点的内容，好好听接下来这个板块一直到下课之前非常的高能。也是重点内容好，我们先来看看这个内容证明。怎么证呢？那么这里面当中这是零到二分之派，

然后这是不要写？我先说下，不要。g啊，不要写。听就行啊，大家注意啊，不要写你不要一会儿我擦掉了之后，你又觉得说啊，老师，你怎么啊？这个我都写的笔记不要写。不要写啊，听就行。然后这有个s in这个cos，

然后ds。大家注意，我们思考一下原来过程，我看了一下，上下限是二分之派，我记得原来过程当中我们学过一个东西，叫诱导公式，还记得吗？还记不记得？哎，有一个东西叫诱导，诱导公式。那个诱导公式是这样子，就这个s in这个人呢，他是等于cos 2分之减二分之派减s的。

你像cos这个人呐，他是等于s in 2分之派减s的，你还记得吗？还有一个诱导公式。这样的话就可以把两者诱导一下，是cos 2分之派减s。然后这是s in多少二分之派减x？然后这个人是吧？有个诱导公式。畸变我不变，这是畸嘛，然后当做成第一象限，哎，它就是正号，哎，

把它诱导一下，诱导了之后变成这样，然后接下来干嘛呢？我来换个圆。零二分之派减s就等于t。那这一换的时候的话，你发现这个结果就变成了cost，这个结果就变成了s in tds呢ds=-t。I负的dt。然后接下来过程当中要注意换圆角换线，请听好x是零。那这个人是多少？这是二分之派。x是二分之派，这是几这是零同学们接下来过程当中玩两步操作，

第一步负号用来变上下限。第二个操作积分跟这个变量字母的选取没有关系，好出来了。好了，这个题我是不是震完了？你看就挣完了呀，那就这样挣的，你去看看同济七版教材了，或者你大学过程当中学的教材了，或者你看的一些参考书啊，都是这样写的。哎，出来了呀。有些同学看参考书的时候看哦，这步哦这步哦，

我会诱导公式嘛哎，换元哦三换我会我会我会会。你会个鬼。你会吗？我就问你一个问题。同学们，这一步你能想到吗？而且另外一个事情，你怎么知道这样换？这是致命性的问题，这就是这么多年很多同学学数学。我就问这两个事情。你能想到吗？啊，你能想你想不到那考试有啥用啊？

你也就只能欣赏别人的操作。但是你独立自主完成不了，哎。怎么想到的？我怎么知道把它诱导出这儿我，然后我怎么知道把这个东西换回呢？这是个重点内容，你只能去欣赏别人操作。所以这是很多同学这么多年学数学的一个普遍问题。你经常看一些书籍的话，你发现哦，每部会会会对吧？对对对哦对对对，150我们是70。最后一考考烂了。

不是这样。考研考试这个东西不是说在答案当中做批注不是这样。考试又不是给你一份答案，让你去批注一下。不是这样，所以说接下来过程当中，我们一起来看这个地方当中啊，有一个非常背后的逻辑。而这个背后的逻辑是非常非常非常重要的。呃，有逗号是二元函数证明的话，这个函数里面有s in也有cos不是s in和cos相乘是二元函数的意思。所以在这里面当中啊，有一个非常重要的内容，黄金重点在哪好？

这是这节课当中的第一个黄金重点。重要炸了哎，相当重要，非常非常的重要，它叫什么？叫做区间在线换元法。由区间在线换元法得到了一个公式，叫做区间在线公式。这个公式啊，我们可以直接用，有的时候做题非常的方便。我们来讲讲什么叫做区间在线换元法呢？区间在我先不讲这个区间在线公式啊，那什么叫区间在线换元法呢？这个区间在线换元法就是。

上限。加上下限减去积分变量等于t的换元法。就这种换元法，就叫区间在线换元法，我们来品一下，好好品一品它，它有多么的秀。好，这是一个定积分。这个定积分的话，那么接下来过程当中怎么办呢？来我们来拎。上去。加下限减去积分变量等于t的换元法换了吧，好换成这样了之后的话，

你发现一个事情，然后这个人的话就变成了。上限加下限减去t。然后接下来过程当中，你告诉我个事情ds等于多少？因为这里面当中的s就等于上限减下限减去t那ds应该等于负的第几，所以说这块有个负号。好，接下来继续换圆角换线，如果这个s是多少呢？如果这个s是a代进去就是b，如果s是b代进去就是a。然后最后来一件。负号用来调换上下限。积分与变量字母的选取无关，

换成s好做完了。那这件事情你发现一个事儿，我立即把它做到这儿了。是不是做到这儿好？接下来我们来看一下。你发现通过这么牛的一个换元方法，我会得到一个什么情况呢？我观察了下，换元前后这个积分的上下限没有发生改变，反倒是它的被积分函数。发生了改变，被积分函数变成了上限加下限，减去这个积分变量。我这个方法有没有发现一个事情，它具有非常强的特征，

换元前后上下限没有发生改变。这个上下限又一次的显现了出来，所以说叫做区间在线还原法嘛。区间再一次显现了出来，所以大家注意啊，这个化学方法有非常大的能力。它的还原方法的能力是什么呢？通过这种还原性方法。我的上下限怎么办？我这个人的上下限保持不变形。对吧，换完了之后上下限保持不变，所以说我们就得到了区间在线公式。区间在线公式就是一起来啊fxds。这个定积分等于多少呢？

跟着我一起写，我把这个整个页面所有的聚光灯打到这个公式上好一起看啊。这人等于多少呢？就等于上下没没有边，但是你发现变成了上加下减去这个人的积分。这个公式就是我们著名的区间在线公式。有的时候去做一些定积分，做不出来，你可以用一下区间在线公式。区间在线公式啊，非常的重要。好，这是我们在这本当中的重点内容，能听清楚吧？调换了之后，

哎，这人不变。哎，调换了之后，它这种不变。好，这是这个问题，听得懂吗？要想清楚。所以接下来过程当中，我们再一次看到这个题的时候，你就会发现他就非常的菜了。简直就是我们在我们的处理手法范围内。相当的菜。那这个时候你发现一个事儿，

我们接下来证明呗。这还不好吃。对吧，现在看那么这个证明的话，你发现等式的前后上下限变了没？没有变上下限，没有变化被积分函数变了，所以说大家注意一个事情，这个东西我就可以怎么办？立即使用区间在线还原法。co ssds.所以首先第一件事情你就可以写lin这个lin字，写的非常的坦然。写的非常的潇洒，写的非常的自信，

写的非常的开心，然后接下来过程呢，加上个零，然后进行去减去这个人等t。就写出来了，后面。渣渣啊，后面流水账占满了。所以你发现一个事情，这整个题的证明的精华点在哪？就怎么换呢？你咋知道这样换呢？别人问你说你怎么知道，我真想告诉他，显然。

就这样换后面的内容，你发现看我带着你写流水账来一起看。首先第一件事情换倍积分函数，二分之派减t换倍积分函数，二分之派减t。然后d2分之派减t。然后接下来过程当中换元叫换线。零带进去是二分之派，二分之派带进去是零，那这个人的话你就直接变成负的dt呗。然后负号用来变换上下限再走，那么用一下诱导公式变成cost，用一下诱导公式变成sint。最后一个事情，积分与变量字母的选取无关，

再换成coss sin sds同学们，你告诉我。后面谁不会啊？只要稍微学一点就会了。这是一个初级，不能再初级的水平三换嘛？但是你发现核心在哪？核心在这，你为啥这样换？但我你怎么知道这个话？显然，所以我们就得到了这样的一个非常非常重要的内容。非常非常重要的一个结果，当然同学们，你可以玩的更秀一点，

当然我们不考证明题，我们就不需要玩那么秀了，我把它证明算了吧，玩一下吧。啊，你就可以直接用什么东西呢？我一看。诶，上下限保持不变，上下限保持不变，我用一下区间在线公式。直接用区间在线公式。区间在线公式告诉我们，我们上下线普遍。我们的被积分函数反而变成了上加下减就二分之派减你。

上加下减二分之派减一。所以说接下来过程当中就一下子就变成了f多少coss ssds问题结束。是吧，那这个东西就出来了，我就直接利用区间在线公式就出来了，你们不会问考试这样写会不会扣分吧？数一数二数三的同学问一下，我就忍了，因为他们有大题，我们不会问吧？我们都是选择题哎。你问这个东西干嘛？你会用就行了。对吧，你能不能把它用出来？

就是在这里面当中，我就直接用这个区间在线公式。我就出来了，所以说这个问题就结束了，但是同学们，我们一起来看看这个事。我觉得呃，对我们而言，你要知道我们去学习，我我觉得两个事情。第一个事情区间在线公式很重要。第二，事情区间在线换元法很重要。第三个事情，大家注意。

就这个题目，我觉得比较关键的是这个结论要背过。你看吧，一个只有s in和cos的函数。对吧，在零到二分之派的积分，这是要注意的。注意上下限在零到二分之派当中。只有s in和cos的。备齐风险处。那这个时候把sine换成cosine cosine变成sine，这个结果是不变的。这个结果不变，你sine变成cosine cosine变成sine，这不变。

也就说它们具有什么性，它们具有轮换对称性。就在零到二分之派上。s in和cos具有轮换对称性，也就是说，零到二分之派上你一个s in这个人的积分。你在这个积分上，你把s in变成cos变成s in它不变。这就具有轮换对称性，这不叫等价，这叫轮换对称性。具有对称性。这俩东西相等的。好，这个人那么接下来过程当中，

我们就来看看怎么用呢？怎么用我们来写一个题？比如说我们来看看这个题。零到二分之派。然后这是c。只是s in+cos。好，我们先来看。原来过程当中，我们学不定积分的时候，我们这个题会不会做？会不会会做？咋不会告诉我怎么做？万能带宽。怎么做把分子？

写成a倍的分母，加上b倍的分母导，你要注意，你要你要不会的话反思。得反思啊，得反思模型啊。把分子写成a倍的分母，加上b倍的分母到，然后最后把它带进去。这我们讲过的啊，这这这个题你必须要会好这个人。所以说这件事情的话，你发现我们是会做的。但我觉得那个事情我把分子写成那个东西线性关系，我觉得很麻烦啊。

那还有没有更简单的方法呢？那么今天过程当中，我们再来看看。我观察了一下，它是个定积分呢。这是个什么？这是个零到二分之派项。sine和cosine的一个。积分吧，而我刚才都知道一个事情，我在零到二分之派下s in变成cos。s in变成cos cos变成s in是不是不变？他说那那你这一都记不了，你变成二咋能记啊？那还不是记不了吗？

你一都记不了，二肯定记不了，哎，但没关系啊，我可以怎么办？你这个人是I。积分我这个人也是a，那我就怎么办呢？哎，我把它加起来。我两个一加的话，你发现同一个上下限相加里面一加是几？哎，想象不到吧，是一二分之派，

妙不可言啊，四分之派。所以像这个题的话，你发现操作性就极强，适不适合我们考很适合？很适合我们考，我们出一个我们的这样的题，那非常的潇洒呀。所以在这里面当中，你就会发现一个事情，你调了一下，哎，它不变，不变了之后的话，我把两个一加两个加一除，

这就出来了。所以像这个题也就说我们在这里面当中讲的这个第二个题对吧？就是这里面当中的第二个题。能学会吧哎，就用一下这个结论去做就行。好，这是这个事情。所以将来过程当中啊，你要进行去处理这个问题啊，就变得非常简单。要会做对吧？要会做这个事情。那么，接下来过程当中，我们再来看一个事情，

再来看看下面这个人。再来给我证明一下这个人。好，我还是那个事情，这个结论要背要记。一定要记。注意啊，又又给我记死了。好了，那么接下来我们来看看这个题目。我觉得证明不重要，你就算咱们班同学不会证明这个东西又怎么样？那没关系啊，不会证就不会证呗。但是我们要会用，

你还是看一下怎么证明吧，好观察一下。两者一看的话，你发现这个积分线。不变积分线不变。那积分线不变的话，我知道它中间肯定用了区间在线换元法。或者是用的区间在线公式，所以首先第一件事情告诉我用什么东西呢？你这区间不变啊。用了区间在线公式吧。不要换元法了，直接用公式来走，上下线不变，每个s变成上加下，

减去它每个人变成多少s变成上加下。减去它，然后这个每个人变成上加下减去它诶，这个这不变背景函数变就行。把被求函数变成上加下，减去这个人，那这个时候的话，你发现个事情，它就是零到派，然后这是派减s。告诉我，这是多少？你发现有些同学的这个三角函数遇到了危机了呀。这是奇还是偶偶不变？把这个s当做成锐角，

第二象限是正的，它就变成了这个人。他说老师，你这这这记不了啊。你那个都记不了，这个人肯定记不了，但没关系，我拆开。我一拆开的话，你发现这个派出去了，然后就变成了你的积分。再减去零到派x乘上这个人的积分。是吧，变成了这个人的份。那变成了这个人的分的话，

同学们，我们稍微琢磨一下有没有发现个事情，虽然我知道我记不动了。但是你有没有发现这个人，我怎么那么的熟悉呀？对吧，我怎么那么的熟悉，这不就是我们要进行鸡的这个人吗？熟悉的不能再熟悉了，这也忒熟悉了，那这个人的话，你发现临到派我就怎么办？我就把这个人加过去，但是注意这块没有c的，因为他是个数移过去是两倍的数除过去。

二分之派零到派fs in sds。那么这个结论呢？我们就证明完了。是不是这个证明完了，区间在线公式，但同学们，我觉得对于我们三九六同学而言。证明这个公式没有去用这个公式重要。用这个公式才是这件事情当中最重要的问题，要会用。一定要会用好了，同学们，我带着你进行去背一遍，我相信每个同学都能记住我们来记一下这个公式。首先第一个事情，

你的注意的点就是这个人的积分线。积分线这人的积分线是零到派，这是你要注意的。零到派要注意啊，是从零基到派。上下限是零到派你换零到二分之派就不行了。然后使一个x这个东西乘上一个谁s in这个函数。一个x去乘上一个s in这个函数。对吧，一个s×1个s in的函数。结果等于多少呢？等于这个x没了，前面留下了个二分之派这个积分。那这个当然当然简单啊，你s乘上我的积分，

哪有我直接进行积分简单啊？就是这样的一个问题。所以如果我们做一个简单的。做一个简单的零到派x乘上s in来，同学们需要分步积分法吗？不需要。速战速学零到派s乘上s没有了，前面补上二分之派。然后就变成了零到派，再乘上c。然后接下来过程当中，我们讲一下一般水平的同学，一般水平的同学怎么记这个人呢？他就把他给我记出来了，把零和派带进去。

然后是cos派是负1 cos 0是一，这个结果是二，然后它做完了，它是二。哎，这叫低手，低手那么绩效过程当中，我们讲一下高手，高手怎么做题呢？高手的眼睛里面，他当然对这个s in函数无比的熟悉。因为你发现这个s in的这个函数的话，你看这个半公的面积就是一，这是一记住这些特征，这些特征会帮着你去做题的。

记住它这个一半是一，一半是一，所以说从零积到派我漂一下，我都知道这人肯定是二。加速做题对吧？对你做题一定要进行去加速。你就可以提高你做题的速度了，不要小看这一点一点点的小细节，一个五秒钟，一个五秒钟，多个五秒钟就是几分钟。多个几分钟就是几十分钟。这非常重要，注意一下啊，做题啊，

你发现顺畅了很多，所以它的结果是多少是拍？好了，这是我们在这里当中讲的，那当然，同学们注意你发现cosine一样不一样，那cosine的话在这里面当中零到二分之派积分，这不是也是一吗？注意下，这个人会用了吧？就说一个s去乘以一个s in的函数。一个s去乘上一个三一的函数，那这个s就不要了，前面补上二分之派。那这个分当然简单了。

好会做了吗？要注意一下这个事情的基本功啊。好，那么接下来过程当中，我们再来看看第二题。那么，同学们，我们来看看第二题，我很喜欢第二题。我很喜欢就第二题的话，这就是我经常讲的，我们先来看看吧，先来品一下。大家注意这个题，如果你拿到了，

你会怎么做？就没有这个结论，你拿到了，你会怎么做？告诉我你的第一想法啊。就是你见到这个题的话，你的第一想法是什么？你第一想法没有第一想法有啊，我第一想法把s in凑到后面去啊。啊，是不是？把声音操到后面去。因为这里面当中非常简单，你再错到后面去cos。然后这里面当中的话，

你发现一个事情。这是一加上他的平方，一加上平方凑到后面去，你看啊，又体现了出来了，大部分同学的这个什么东西呢？就是这个积分能力下面降不了密了。一+cos in再讲明白，这是一+cos in方学混了啊哎是吧？调整一下啊，没没关系啊，你这次记住就行。好了，这个题就变成这样。能想到吗？

好都能想到这一步，请给我回复个一。让我看到大家的话，这个错误分能力是过关的。这基本呢，你三一凑一加它的平方，一凑是这个人，然后有同学就会想到说那我分布及分法。那分布积分法就是两项相乘arccos in。把零和派内取，再加上两项调换位置arctangent t coss，然后点s。诶，但是关注点一个问题，前面没有问题，

我就很想知道。怎么办？这咋记啊？不会记这个人就模仿一下阿rct an ENT怎么记arctan ENT就是把你当a把你当b继续分步积分。是不是就这样做，就说把你当a，把后面当b，我直接分不积分，但是同学们如果这样一做，那做了半天都在干嘛？回去了。你在干嘛呢？一坐坐坐在这儿坐坐，回去了再坐在这儿，回去了干嘛呢？

玩耍不是吧？做了半天，做了个继母。所以说对于这个题啊，我就很喜欢这个题。我很喜欢。我一直给你讲一个事情啊，当然出我们的模拟题啊，它当然的话可以有多项思维，因为选择题嘛，有的时候不同的。做题的方法可以体现出来，大家学习知识点的灵活性，但是我去出这个数一数二数三同学的，有些模拟卷的时候。

我就经常喜欢这样。a到b这个方向，我不喜欢这种条条大路通罗马，不喜欢这种我都喜欢干嘛，我都喜欢把这条路给堵死。就这条路，可能过去。你必须跟我走这条路。你走不了这条路。做不出来，我很喜欢这个事情，那么像这个题啊，它就这样的感觉。那么，接下来我们来看看这个题。

那么，对于这个题而言，你还只能这样。那你如果像原来过程当中啊呃，慢慢去基因。那这题是记不出来的，你只能用我们的经验性结论，注意啊，这个经验结论考试过程当中可以直接用的。我来稍微瞅一下有没有发现一个事情，哎，这不就是零到派x乘上s in的函数吗？刘老师，不是啊，那不是cos方吗？

cos方不写成一减s in方不就行了？你写成一减三方不是s in的函数吗？那当然是啊，你把cos方你写成一减s in方，它不就是了吗？所以这个人的话，首先第一个事情。只要我能去掉这个什么情况，把这个二分之派去掉补上啊，这个x去掉补上二分之派那本题结束了呀。那坐到这儿，这谁不会做啊？这就一下子从一个什么东西呢？从一个考博体。变成了一个小升初的题。

你看这个，这是不是这种感觉，然后一下子就变成这样，然后往后面凑，这是负二分之派零到派这一+cosine的方分之1d cosine。然后这个题的话，你发现一个事情就变成了这个人，那这个时候你看这就是阿克tangent题，这不cos塞吗？零和派。继续代值。那带一个值的，之后的话，你发现cos派是负一。tangent多少等于负1 tangent负的四分之派，

你这些值啊，你要进行去复习。cosine 0是1 tan多少等于1 tan 4分之派等于一。所以说这个结果就等于四分之派方啊，这个题其实你发现一旦做到这一步，这就很水了。把一个有有些人能做十分钟的题，一下子降维到一分钟就出来了。只要你看到把这个抛出去，这题就结结束了。所以像这个经验性结论非常非常的重要。呃，这个操作性方式啊，是我们每个同学必须要会的，这个基本功必须要会。

那么你你只要把这个x给我抛到后面去抛出去，对吧？弄完了，然后这题就结束了。好吧，同学们掌握清楚给我回复一。呃，这就是我们在这里面当中啊的操作的这个灵活性。那么所以说你在这块做题的过程当中，要比我们原来过程当中啊，做这些题灵活度要高啊，这个题。呃，那么接下来过程当中，我们再来看一个事情。

我多讲一点吧，好不好？哎，多讲一点。因为将来过程当中，我们还会有。那么大家想想一个事情。比如说举个例子。呃，我把这个题就看看有一个题啊，这个题我稍微改一下。比如说我来出一个题。这是一+1的负s。这是coss的方dx。那么，

同学们，我们再来看看这个题，大家想想。这个题的话，你发现一个事情哎，我们来看看一个重点考点，大家想想这个题的是一个什么？那这是什么？这是一个对称区间下的定期分析算法。定期分析算。那么，同学们想想，如果是一个对称曲，线下的定积分计算，你会想什么？

啊，那么这里面当中，我们首先来看看第一种方法，方法一你不用想，我肯定是什么利用奇偶性。利用旧型。我先想救谁？但同学们给我琢磨一下这个事情诶，这个人有机有形吗？你扔一个负s进去，扔一个负s进去，这人不动。但是扔一个负s进去，这个人就变样了。这变样了。

他没有什么奇偶性。那没有接入线怎么办？好，我们再来看看方法二。那么，这个方法二叫什么东西呢？我们来看看，我先讲，我先扑，最后得到结论，大家用结论听得懂我的意思吗？三九六同学，我们呃，稍微的话在这里面当中停不得。这操作性一定要强，

必须要熟练用会用，这是我们的指标，我们不需要会证明。当然，我们上课过程当中啊，得学会这个证明。这人没有周期性，你告诉我周期性是多少？二派你扔派。好，这人周期是派你扔一个s加派进去，这人就变了。它不是周期性，所以我们都在于一个问题，就是用要灵活的用。

那么像这里面当中啊，还有一种问题的方法，那就什么情况呢？就是这里面当中不是负a到a吗？我在这里面当中就把它写到什么情况写成负a到零零到a行不行？你是从负a到a。你看这个事情。就在这里面当中，你不是从负a7到a，你不是关于原点对称吗？我就按照这个圆点咔的一下，把你给我拆开，拆成两段，那拆成两段了之后的话，我想合并一下。

大家琢磨一下这个事情，我怎么才能把这个负a到零换成零到a啊？怎么换哎？我然后把这个东西我再换了。你这个人应该是那个x的上下限吧？对把x换成负t就行。我换个圆，我一换圆的话，负负a就是a负负零，它就是零。我就换人，所以同学们，我的操作性方法非常简单。就怎么做呢？把这个人按照零进行拆开，

然后给父的那边采用父代换。这样的一个方式，然后来处理，我们来看看这种题能不能做好，我们先来看看来解。那么，这里面当中，我们来操作一下这个事情，首先第一件事情先写负二分之派到零。coss方一+e的负sds。然后再加上零到二分之派。那这人就是一+e的负s coss方点s。好，然后接下来过程当中，我们给第一个部分采用附带换。

0 x=-t。0 s=-t的话，你看负负得正，这是零换上下限，然后换被积分函数，这人变成一的t。cos负t就变成了cost的方ds呢，等于负的dt跟得上吗？同学们好，都能听明白，给我回复一。这一步很重要。都能听明白，给我回复一。能想清楚吧，

好了，这是这个点。所以在这里面当中，我们就可以做到这儿。注意啊，要想把这个上下切片，你只能换圆。没有别的方法，负号用来变换上下限。然后这个时候你发现一个事情积分与变量字母的选取无关。然后就变成了这样。同学们告诉我，这一步都能看懂吗？你们可以先不记啊，你可以先不记啊，

好了，这个时候的话，你发现做成这样，那么同学们注意这俩上下限就一样了，上下限一样就可以合并了。合并把这个人抽出来。抽出来之后就是一加一s分之一，一加一的负s分之一ds。是吧，就做成这样了，那做成这样了之后的话，同学们，我们再来看。好，继续看。

那这个时候做到这儿，那就相当的巧妙了，你给我瞅一下这个部分。第一个部分是一加s分之一。第二个部分是谁呢？上下同时乘上es就变成了这样。然后接下来过程当中，它就变成了一+es，一+es诶，这不是一吗？漂亮，所以说这个题的话，立即就变成这样，不是奇偶性，我就立即把它变成漂亮了，

你发现看。一下变成一，然后就变成了这个哦点把火二一二分之派四分之派结束。所以你可以看出来，这个操作性它就非常强。非常的巧妙，就说我按照零点这个人把他打开，打开成两个，然后给一半区间，我怎么办？负贷款。我附带化了之后的话，把这个东西整理了。是吧，非常巧妙。

非常非常巧妙。其实同学们，我们其实就得到了一个非常重点的一个公式。这个公式啊，我可以给你进行去证明一下。什么样的公式呢？我们一起来写一下，你要的是这个结论，我接下来过程当中，我给你讲三种方法来进行证明这个东西。好吧，利用性质加负号。哪个姓氏有加富豪？你别胡来哦，对吧？

你别在那创限制好，我们来看看那这个东西什么呢？就这个人。负a到a。fs ds.那么，这里面当中我给你分析一下。好跟着我一起来走一遍，第一个事情把它写成负a到零。加上零到a好第一步。然后接下来过程当中请注意我做的附带换，只有第一个人进行附带换给第一个人进行附带换。然后附体。ds等于负的dt。负a变成a0就变成零，

然后变成了零到a fx点s。然后负号用来变换上下限积分与变量字母的选取无关，好变成了这个人。跟得上吗？同学们，所以说最后的结果就等于零到af负s。加上fx。ds，所以说这个结论呢，它就等于一半区间上。这个函数和这个函数的相反数。呃，对于我们三九六同学，我们的指标是什么？用这个结论就行。

注意啊，这个结论一定要急。必须要记住我证明了吧，我证明吧。怎么进行正呢？一半区间打开。一半儿区间打开了之后，然后给内半儿区间使用附带换处理。它最后的结果就等于一半区间上，然后fs和f负s相加，然后得积分结果。那么同学们，你注意一个事情，我再给你讲一种方法。我再来讲一种哎，

非常简单啊，你再来看一种。这是我们讲的这个第一种方法。那还有没有方法呢？我觉得还有。最简单的其实你接下来学这个，接下来这种就行，另外一种方法你就不用看了。我因为这种证明的东西的话，你脑子里面想清楚一个东西，你把它证明清楚就行。对我们三九六同学达到这个水平就可以了，接下来我给你看，再看一种方法，你觉得将来过程当中对这个公式你忘都忘不了。

同学们告诉我，我记得零基础提前学的过程当中，我讲过一个事情。我说任何一个函数。都可以把它拆成成奇偶相加的形式，这叫奇偶拆分。还记得吗？就说任何一个函数我都可以把你变成一个奇函数，加上偶函数的形式，那这个奇函数长什么样子呢？哎，这个偶函数长什么样子呢？长成这样子。那这个奇函数长什么样子呢？这个奇函数长成这个样子。

这个人是一个偶函数，真是个奇函数，同学们还记得吗？你还记得哦，你应该还记得那么同学们想那这个时候如果给这个人进行两边同取。对称区间下定几分？这个奇函数的这一项，它自己就变成了几了，这不就变成零了吗？那对称区间下奇函数不就是零吗？漂亮零。哦，这项变成零了。那这项是零第二第一项是什么？偶函数是二倍，

那二倍的话，你发现二倍的二分之一不就不要了，零到a直接是fx，加上f负x。就这个故事，这比有有些的话，这个区间在线的什么方法证明这简单多了，这才是高手。对吧哎。这叫奇偶拆分，我把一个函数永远可以拆成一个奇函数和偶函数，那这个对称区间的奇函数就没了，那偶函数二倍，那不就留下它？这才是最高的高手。

这速战速决，所以将来过程当中，同学们，这个结论你会忘掉吗？我相信不会的。你绝对能把它记住。这还要吗？这个证明方法。这个证明方法还要吗？算我给你留下吧。所以将来过程当中，你要把它给我记住。对吧，对称区间下的定积分计算，首先第一个事情，

你可以用奇偶性。那么用旧机。第二个事情，你可以怎么办？用这个公式。用这个公式。那有人说那两种方法我都用完了，还是做不出来呢，那就硬着干它。硬着击把这东西给我击出来，听懂我的意思吗？就没办法了。啊，能想清楚吧，就说我什么方法都没了。

机有些做不了这个做不了那那你就你就直接机呗，那还等着干嘛呢？就直接做啊好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。上下限调换加的是前面的符号。不是你不能上下线，调换了之后在这儿加个符号。别别别，胡来。啊，你负a到零，你把它调往这上下去再讲，不不别别别乱来啊，就是这个人。

好了，这是这个事情。好，那么这个问题啊，我们就说清楚，没有少啊，你自己好好看看。好了没啊？写清楚啊，写清楚这个问题过去了，可以吗？我们就讲到这儿来，将来我们再灭这个题，那就太简单了。这题就极其水了。

那么，接下来过程当中，我们来看看我们三九六同学。怎么速战速决灭这个题？首先第一个事情观察了下对称区间。一个对称区间下，首先想记录型。结果你发现没有奇偶性，没有奇偶性，我就先上结论，它就等于。一半儿去减少。这个函数。和这个函数的相反数。e的s cos负s还是这个人？

相加的形式。那这个时候就变成了这样，然后接下来继续再把这个coss方抽出来。然后这里面当中的第一项和第二项。第二项的话是这个人第一项上下同时乘上e这个人e的s，那这人就变成了e的s+1。ds这两个一+1加就是一，然后就是零到二分之派cosine方ds。然后结果二一二分之派结果等于四分之派。哦，就直接做到完。一步做到底是不是这个事情要学清楚？好了，这是我们在这种当中啊，讲解的这个问题，

所以下去过程当中再练练。啊，能想清楚吗？对称曲线下。如果在这里面当中有奇偶性，我用奇偶性。没有机武器呢？没有机武器我也弄走。没有激偶性，我怎么做？没有奇偶性，我就在这里面当中，怎么办？使用这个一半区间负带宽，或者直接用这个公式。

这就可以了，好这个内容。行吧，那么这个问题点我们就讲到这儿，所以说你下去过程当中啊，好好想想。当然，还有一种证明方法，你想看吗？我也可以给你讲讲。你看这负a到a这个函数。你看我怎么做？这个人的话，他等于多少呢？你还记得区间在线公式吗？

区间在线公式的话，上下限是不变的。然后这个里面这个东西就等于上限加下限是零。零减s是负sds，这两者相等的吧？那第一个人是I，第二个人是I，两人相等的，两人相等的话就等于二分之一的两人相加，除以二嘛？两人相加，除以二不就变成这样了。两人相加，除以二变成这样，然后这是个偶函数，

偶函数是二倍的，二倍的话，一半区间，然后这是fs+f负s。dx这不没了吗？是不是一样的？那也行啊，我第一步用的什么？第一步用的手法是区间在线还原法啊，这个区间在线公式。就是fs ds，然后等于a到b，这是什么情况呢？就等于fa+b-s，然后ds。

那么，在这里面当中啊，你要注意一个事情，就是我们的区间在线公式。对吧，就是区间在线公式就等于a+b再减sds。直接套进去。负a到a的定积分。就等于负a到a上。你的上限是多少呢？啊，哪部没看懂？好，我再来写吧。那我不跳了吧啊。

这部看不懂吗？一步都不敢跳吗来。上下限不变。然后是上限加下限。减去它ds，这能看懂吧？这看不懂的话，把刚才的东西忘了，这刚才讲的嘛。这两个东西相等，那这人不就等于负a到a这人等于多少负sds？好了没？这是这个人。啊，可以的吧啊，

这个相等，然后接下来你看。你是它，你是它，那这个结果就等于二分之一的什么负a到a你。和负a到a逆相加。然后这两个上下限一样就变成它，然后这个东西下来，这能看懂吧，一步都没跳哦，一步都没跳。就是第一下用一下区间在线公式。然后第二下两项相加除以二。合一下偶函数二倍。这是个偶函数，

知道吗？这偶函数忘了复习零基础，提前学。当然，同学们，你不需要掌握的是这么多。你需要掌握的最重要的东西，你不要注意啊，你不要舍本逐末了。你的主是什么？你的主是把这个公式给我记住。我把这个边框变成绿色。你的主是把这个公式给我记住。用这个公式，所以说这节课我讲了好几个，

第一个事情的话就是这个区定对称区间定积分计算。第二时期的话，你发现一个事情，还有零到二分之派上具有轮换对称性。零到派上的话，这个人的话就有这样的一个公式，还有区间在线公式。我这节课讲了好几个非常重点的公式，你要会用啊。就我们三九六同学，他能考到这儿，就说明他出的很狠了。但是我们也能干掉它。所以这几个内容，我希望同学们总结一下。

所以说讲到这儿，我们的定积分的计算，我们就讲完了。哎，定期分计算。所以说在这里面当中，你发现一个事情，这个定积分呢，计算我们就讲完了。那么，在考验过程当中，我们的定积分呢的计算，它其实包括有直接法的计算。它其实在这里面当中还有技巧法的计算。对吧，

有这两大体系。一种是直接法，一种是技巧法，有直接法的计算，也有技巧法计算，那直接法当中有多少内容呢？我们来看看。你可以核心是什么？核心是牛奶公式啊。牛来公式这核心，所以说第一种方法你可以凑一分。然后第二件事情，你可以第二类换元法。第三件事情，你可以分步计分法。

分布积分。所以在这里面当中，你发现你的核心思想就是牛来工，那同学说那尤里芬是积分呐，尤里芬是积分的话，就是还是核心就是不定积分，你算完了之后再带值就行。这是我们在这里面当中的内容，所以大家注意一个事情啊，这是我们想说的这个第一个信息点。那么，这是第一个问题。对吧，有直接法，然后接下来过程当中，

我觉得技巧法更多。技巧法才很多，那么首先第一个技巧法。你可以怎么办？求面积不对吗？你可以进行去求面积，通过求面积的方法去求这个人。你比如说在这里面当中，我们算一些常见的。比如说你看零到a。a方减去s方ds。零到a as-s^2 ds。就是临到拍。s in sds.零到二分之派sins-s。

这个东西啊，其实你发现个事情对，就是利用几何仪，那么除此之外，还有没有方法有啊，奇偶性是不是方法？是啊，我奇偶性可以用啊，我周期性可不可以？我也可以用。那周期性的话，只要它的上下限长度是周期的整数倍，我就把它变成了一个周期。然后再用这不也可以吗？第四个事情我还可以怎么办？

我还可以区间再迁。公式。对吧，区间在线公式还有第二事情点火公式。对吧，在这里面当中还有第六个人。除了这个区间在线公式，我还有这个点火公式，那么在这里面当中，我们还有刚才还讲到一个什么？哎，对称性公式。记个结论。重点斜论公式。这都可以用。

所以在这里面当中，还有我们刚才讲的这个对称区间。对吧，这里面当中这几个内容啊，其实你发现这个内容点还挺多。这不是不是两个了，我就先写三个吧。啊好，那么接下来我们把这个东西补到后面。那区间在线公式在屏幕前跟我写一下。a到bfs ds。他就等于a到b，这是多少上加下减他他的积分。点火公式就不写了，点火公式还没讲完。

我下节课要讲的第一个知识点就是点火，公司的一家人。你原来过程当中，你只学过零到二分之派，你s in的N次方。你只学过零到二分之派cosine的N次方。那林导派呢？那零到二派呢，一家人我们都要讲，这是个重点。哎，这是个重点，我下节课第一个知识点，我就讲这个内容。然后接下来过程当中又讲了三个重要结论，

第一事情零到二分之派上。你sine和cosine的这个函数，他两者之间具有轮换对称性，把sine变成cosine cosine变成sine。它不变第二事情零到派上，然后用x去乘上s in这个人。那这个x就不要了，抛上二分之派零到派s in的积分。第三个事情，负a到a上fs的对称区间积分，它就等于零到零。零到a多少呢？走那就是fx。f负s，然后ds。

所以在这里面当中啊，你要注意一个事情，这几个重点内容。它除了直接法的计算，它还有这些技巧法的计算，这是我们这节课讲的东西比较满的内容。东西很多。对吧，东西很多。但是你要注意一个问题呃，不要因为这些。很多的这种技巧性方法忽略了直接法，直接法是我们的根本。有了根本，然后再拓宽这件事情是非常好的哎，

所以说希望同学们注意啊，这个部分内容非常的丰富。东西是很丰富的，我们有直接法的计算。我们用技巧法来计算。我们的直接法这三大种核心方法。我们的技巧法有这里面当中的核心方法。所以你终于明白了一个事情，你觉得考研到底是喜欢考定积分还是不定积分啊？我当然喜欢考定积分呐。那么，我们三九六同学的话，你去看看往年的计算的题。积分计算题基本上都是定积分。那为什么喜欢出这个人呢？

考定几分就考了，不定几分。除了考了不定积分之外，我还能考技巧法。所以考的东西多，满知识点丰富，操作性灵活。这就是它的原因。所以但是你学这个部分内容，你的根本是什么？你的根本得把这个牛来公式，要想用你就得把不定积分做好。如果你的不定积分都没做好，那这个事情就非常完蛋。所以大家注意这个事情啊。

你们可能看到这个今天的课表是什么呢？今天课表是反常积分和定积分的应用是吧？啊，我这个中间可能会加两次课程，你就不要管加在哪，你就看课表就行了啊，按照课表顺延，我中间可能会加几次课程。我之前就跟你讲过这个数学吧。对吧，这个这个课程呢，基本上核心部分你不用着急这个事情。对吧，你不用着急，这个事情中间肯定还有两次课程。

一个部分呢，还有这个变现函数非常的重要。另外一个事情，还有一个什么部分呢？就是我们在后面过程当中还有一个这个。呃，除了这个变现函数部分，还有这个反常积分，反常积分的话，在这里面当中其实是一个呃，比较简单的一个问题啊，这个反常积分。这是一个我们考会比较简单的问题，但是学习起来的话，有些同学觉得比较难一点，

然后下下节课定积分的应用，考研必考。黄金重点。所以呃，这个部分内容你要想清楚，我接下来过程当中啊，我说一下我下节课的课程安排，大家听好了下节课。下节课的课程安排有几个事情呢？第一个事情我会在这种当中啊，把这个什么点火公式的一家人讲完。点火故事的一家人。然后接下来过程当中，我会给你讲一节习题课哦，我再讲完变现函数，

讲完变现函数，我会给你讲节习题课。那么，这个习题课的话，有几个事情呢？一个事情是定积分计算的，这个作业题。那还有一个部分的话，就是我们原来过程当中一元函数微分学后面那个极值和拐点，原来过程当中跟你们说我们要去讲那个部分的作业题，因为大家都觉得难。今天过程当中啊，我说了下节课过程当中我会讲，所以你们在这个。下节课之前呢，

提前先把这些东西完成到位好不好？同学们哎，提前先完成到位。所以两个事情，一个事情是一元函数微分学那个部分。一个事情就是我们这个定积分的，这个部分的作业啊。定积分没有代刷啊，不定积分的刷过去了，接下来过程当中就是多加一个代值啊，这个部分就自己做。好了，那么接下来过程当中，我来说一下今天的作业。今天作业啊，

有些题会比较难。所以大家稍微的注意一下啊，有些会比较难。那么，今天的作业我先说一下，除了哪几个题呢？除了这个题和这个题不做之外。还有这个题不做之外。还有这个题不做之外。其余都做了。呃，难没有关系，我下节课会讲的。我下节课会讲的。啊，

我说一下啊，我挨排说一下，这里面当中啊，有几个难的？我给你标出来。你要注意，这节课非常的重要。非常重要，因为它是你们学习微积分，我们经常说微积分，你们的积分学的巅峰啊，定积分就结束了。然后再学一张多元微分学，我们高数就结束了，很快的，

哎好，这里面当中的这个。这个题啊，这个题。然后接下来的话。这个题还好啊。这一题非常好。这个题很难。但这个题是个经典题。我下节课会重点讲啊，这个题。然后接下来过程当中这个题。你要有我原来给你过程当中给你讲的操作性方式，这个肯定想到还有这个题。还有这几个题，

你注意这几个题啊，这做起来稍微的难一点。三零一三零三三零四三零五慢慢做，不要着急啊。不要抢时间。你看这个不定积分的这个计算题，我为什么前面没有给你来时间？原因点很简单，就这些做计算题，稳扎稳打，你会越做越好。然后这个题。这题我已经讲完了，其实这个题很简单。这题我不知道，

你还能想起来吗？对吧？我们讲的那个结论。呃，这节课的作业啊。会比较难一点啊，你要稍微注意一下这节课作业，打好这个心理的话，这个呃，自己稍微的话注意一下就行。稍微会难一点，有一点操作性好，那么今天课程呢，我们就讲到这，所以下去过程当中把这个相对应的问题好好处理处理。

行不行？同学们好，那么今天课程呢？我们就讲到这吧，然后自己注意一下这个相对的这个问题的处理，这非常重要。呃，今天内容比较多，首先第一个事情要重点进行去整理自己的笔记，然后第二个事情那么就是呃，把这个作业好好完成一下。那么，今天的东西比较多，作业也比较难，那稍微的话继续去准备一下，

没有关系，只要我下次过程当中保证会处理就行。好，那么今天课程呢？我们就讲到这好吧，同学们好，下节课见吧。

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20.定积分计算（2）-2

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