20.定积分计算（2）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:43:56

接下来我们就准备开始我们今天的课程吧，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，今天下午啊，我们稍微把这个课程往后面调了一个小时，因为刚才还有一节课哦，刚才是两点到四点。我上到了两点啊，这个3点59分，然后就切到我们直播间，

我们是四点到六点，然后晚上还有一节课，这个七点到九点，所以说这个今天的课程比较密啊，所以说往后我们稍微的调了这个。一个点呃，但不影响我们今天课程的重要性好了，那么接下来过程当中啊，我们就直接开始，我们首先第一个事情，我们先来复习一下，上次过程内容。那么上次过程呃，这个中间的历史比较稍微的有四五天的时间，我不知道同学们有没有把我布置的这个任务啊？

好好进行去完成一下。那么，接下来过程当中，我先来进行复盘，然后一会儿过程当中啊，我再来说一下那个不定积分的事情。那么，首先第一件事情，我们上节课过程当中啊，已经讲到了定积分。不是不定积分，是定积分呢，那么在这里面当中讲了几个内容呢？首先第一个事情是定积分的这个定义。定义重不重要，

当然重要定义有两个事情，第一个事情可以求极限。这第一个事情。我可以利用定期分丁去求数列极限一和二题三找项，像那个事情非常非常关键，我相信对我们啊。啊，今年备考的同学，那这个部分内容肯定是黄金重点。然后第二个事情就是我可以利用定积分定义求定积分。可不可以因为定积分对应的一个曲边梯形的什么绝对面积？那么，在这里面当中，比如说我举个例子，我去算什么？

比如说这个零到a根号下多少a方减去x方的定积分？比如说这里面当中的零到a根号下as-s^2的定积分。对吧，这些内容我都可以去算好，这是我们的一个重点内容，然后接下来过程当中啊，我们再看性质，性质讲的比较多。但是我罗列的这几条呢，是众多性质当中啊，精华的点，那么他如果说你去看看前面的性质非常多。首先第一个事情上下限相等，等于零调换上下限加符号有系数。提出去加减法，

拆开具有可加性。那么，包括对一积分就是上线减下线，那这一块内容比较多，但是核心重点呢？是这几条。那么，这几条当中啊，你发现啊，这个可以单独出题，这个可以单独出题，这个可以单独出题。这个可以单独出题，所以说这几条内容都是潜在的可疑点，包括这个人也可以单独出题，

这个人也可以单独出题。所以你可以看出来，这个页面上有我们多少嫌疑点啊？就是我们看的非常清楚，那么首先第一个事情比较定理，比较定理怎么说的呢？他这样说。如果我这个人比你这个人小。对吧，我就可以立即说明a到b这个人，我的积分就比你的积分小，是不是？同学们告诉我，我写的对不对？我写的不对。

一个事情是不对，另外事情是未必精确。第一事情你必须要保证，这是一个正的积分线。只有这个下限比上限小，这是个正的积分线，我比你大两边同取正的积分线，我就比你大。对吧，这是一个内容，第二事情，这个等号未必成立的。你取等号，我就一定取等号吗？那这个也未必。

就上节课，我们讲过这个事情，你发现你比我高，但是我有一个部分绝对比你大，我最后的围的面积就比你大。那这个东西是未必的，要想清楚啊，好第一个信息点，第二个事情奇偶性，如果在一个对称区间下。前提条件下，你必须是对称区间。如果在一个对称曲线下，我一个奇函数被奇函数为奇函数等于零，偶函数是二倍，

所以说我们有个定时思维能力。只要我见到对称区间，首先想到奇偶性。对吧，这是一个事情，第二事情我们又讲了周期性，那么周期性在这里面当中啊，讲了两个重点公式，一个事情是零到nt倍的周期啊，这个积分等于n倍的一个周期的积分。好，这第一个人。然后第二事情就是a到a+t的这个人。注意啊，它跟起点没有关系，

跟这个a是没有关系的，它可以从任何点出发，它都是一样的。好，这是这个人，然后紧接着讲了定积分是个数，定积分与积分变量字母的选取无关，包括我们又讲了积分终值定理。那么，同学们复习一下吧，那么积分终值定理讲的是你这个定积分。中间就一定会存在一个点处的函数值，然后再乘上多少b- 1。那这个可赛呢？这个可赛可以介于这个B区间，

也可以推广至这个人的开区间，而对于我们的考题，我们就规定死吧。你就用开区间就行。开区间简单。大家如果可以推广的开区间，开区间简单。但是这条定理有一个非常重要的前提条件，什么条件？什么时候我们才可以用这个积分终值定点，什么时候这个人的定积分才会等于中间有个函数值乘上底端长度啊。什么时候被积分函数在这个区间上是连续的？被积分函数在这个区间上是连续的，我才有这个条件，这是要注意的问题，

好了，那么接下来过程当中，我们继续，我们再来看上节课内容。那么，上节课的重点我们又讲了一个事情，又讲了一个东西，叫做牛来公式。牛来公式在这里面当中啊，是重点内容。a到b的定积分。我想进行计算，这个定积分我可以怎么算呢？我可以这样算，我去算一下这个人的不定积分。

哎，算一下不定积分，这个不定积分的话，你发现我去计算这个人，他的不定积分。不定积分的话，你发现找到一个原函数就行。然后接下来把下限和上限带进去，上限带进去再减去，把下限带进去好这个人。这就是著名的牛奶公式，就把定积分的计算转到了不定积分计算。那么，上节课我们有讲那不定积分有几种计算方法，定积分是不是有几种计算方法？

当然是的。不定积分有几种，定积分就有几种，那不定积分有凑微分的方法，定积分也有凑微分的方法呀。也是有的。比如说这里面当中，我们再来看个题。你看例一这个题。好，我们继续看，我来出一个题。比如说零到一。那么，这里面当中我们写了一个是根号下x+2。

啊，然后这里面当中我又写了一个值是呃，或者写个什么写个x加上。4 ds，你看怎么算？我随便写的题啊。怎么处理那么稍微观察一下？这个题的话，你发现一个事情下面次方数，但它不是有理分式。你能想到无力根式换元也行。但有没有更好的方法呢？我稍微琢磨一下，你看这是二分之一次方，然后这人是一次方。

那我可以这样摆呢？我就在这里面当中的第一个事情，你看这是根号下s+2。我怎么办？我在上面加杆，我再加杆。行不行？那这个时候的话，你发现一个事情做成这样，然后零到一除下去，一除下去就变成了这个人ds。然后接下来过程当中变成了零到一，这是根号下x加二分之二，然后ds。是不是这个情况？

那这样就可以做了，首先我们先看第一个事情，这是零到一根号下x+2，然后怎么办？在后面补一下，你在后面补一个二。可危机了。一个人的二分之一次方。二分之一次方就可以积了。然后接下来过程当中，我们再看这个人，这是根号下s加二分之一，我再补一个加二。补一个加二，我在这补个二，

然后这变成四。那这个时候你发现一个事情，考了两个人。第一个人考了谁？第一人考了一个x的二分之一次方的积分，第二人考了一个二倍的根号s分之一的积分。考到这俩人，所以这第一个人的话，你发现就可以记那第一个人呢？二分之一，二分之三，三分之二。然后是x加二的二分之三次方零和一带进去，然后第二呢二倍的根号分之一积分就是根号它。把零和一带进去，

所以在这里面当中，我们先看第一个人，这是三分之二。把一先带进去。一先代进去的话，这人是几是三？三的三次方。三的三次方的话就三个三，再开个方，那就是多少三倍的根号三。把零带进去呢，零带进去是二。二的这个二分之三。二的三次方的话是八一开方是二倍的根号二好，这个结果。

然后接下来过程当中，你再看这个人，把这人带进去呢，根号三把这人带进去呢，根号二问题结束。你可以稍微整理一下，把这题稍微整理一下，然后把根号三整理一起根号二整理到一起，它就出来了。所以大家发现没这个东西就要凑备份。就原来过程当中，你做这个题的时候，你在后面补杆儿，你凑杆儿，我今天做这个题，

我也在后面凑杆儿。两件事情是一样的，你原来过程当中这样凑分，我今天这样，我也是这样凑分。你怎么抽我怎么抽？对吧，使用这种方法凑为分的方法。但是大家注意一个事情，比如说举个例子。如果这是二到四，这是e的I四次方di三次方ds。我往后面一凑，就变成了e的I四次方ds四次方配上四分之一。我问你个事情。

那这个上下限是s四次方的范围吗？是不是是它的范围吗？你注意这件事情，我们今天要用啊，是不是？是它的范围吗？不是的。注意，不是它的范围。这个上下限仍然是s的范围。凑微分不会改变上下限的所属关系啊，这个事情我们讲过啊，我觉得咱们班同学非常非常好。呃，今天是4月4号。

然后4月6号哎，4月6号我会这个呃，这个有一场直播跟同学们去讲一下怎么进行复盘？然后这个4月6号呃之后的话，那几天会有春季班，当然是数一数二数三的，他们的这个不定积分打卡训练。如果你想参加也可以啊，当然的话，但是里面当中后面的个别的题啊，可能会比我们的难度系数要大。当然，我觉得前面部分做那个不定积分也是可以做啊，你想做也可以做好了，这是这个事情能听懂吧？

好，我们继续，我们再来看看下一个。下面一个重点问题啊。呃，直播的话，那个微博和那个B站。还没有定好啊，要不然的话是两边我同时开吧啊，反正都行。好吧，那么接下来我们就继续。呃，这个题啊，稍微的恶心一点，

我等会再讲好吧，同学们，哎，这个题先放下，等一会我来讲这个题。这个题啊，是我们的一道拔高题，我们先来过程当中啊，先来看看这个部分，我先来问一下你们这两天过程当中啊，有没有去把那个不定积分的计算好好看一看？你今天上课一换就知道了。你一会儿就清楚了，你发现这节课大量体现的能力都是你原来的能力。这节课你学习的能力，

后半程是新内容。前半程只具备一个能力，就是待值。啊，就是代指，所以说你你要下去不听话，你去不练这些事情，你一会儿过程当中，你发现不是说这节课学的差？是原来过程当中出现的问题呢？好，我们一起来看看下面考点叫做定积分的分布积分法。那么，对于这个不定积分，有分布积分法，

那定积分有没有呢？定积分也有，定积分也有分布积分法。那么，原来讲这个分布积分是这样，那么叫什么叫做两项相乘？再减去两项调换位置。那么你调换位置了之后，它还不是个定积分，但是你注意这个不相等。为什么这是个数吧？这是个数吧。这是个函数吧，它不会相等的，所以大家注意一个事情，

这一块也得带值。我们讲的是什么情况？两项相乘要带值减去两项调换位置也要带值。两项相乘要带值两项调换位置也得带值，这就是它的区别，所以说你发现新的内容就是带值。你只要会带纸，你就可以了。这就是跟原来东西的一个区别，你说总体上有什么区别呢？没什么区别，看几个题吧。你稍微顺两个题，你来看看这个题。好看看它。

那这个题怎么做？这个题你发现一个事情在不定积分那块见了N多次吧。就是我们那几天进行不定积分的打卡训练，你告诉我个事情，这个题怎么做？两类不同函数相碰。首先想到分布积分法。而对数函数极其的稳定，把这个人凑到后面去。见过吗？把这个剩下的部分凑到后面去，而且有没有一种感觉？虽然这个题有可能不是原题。但是这个题的样子，我们在原来过程当中的不定积分的训练当中做了好多好多好多遍。

有没有那种感觉？是这样子的吧，所以说接下来过程当中啊，我们就要进行凑分了，好来看看这个人。那么，在这里面当中，这个第一个部分是ln 1+s。然后看第二个部分。第二个部分我不太喜欢，二减s我喜欢x减二。那你告诉我，在平方里面调换两者影不影响？不影响你调换两者加个符号，平方下就没了。

所以说这个人呢，就跑到这儿。那这题考什么就考了这个凑分x方分之负一的凑分凑出x分之一。然后接下来过程当中啊，你发现继续那框的平方分之啊，一负一递框的积分。那这人凑分就是框分之一。所以首先第一个事情，你就在这补杆。补一个二之后的话，你发现一个事情，这个结果就出来了，这是ln 1+s。那这个一凑呢，就凑出了它分之一配个负号。

好，这个人那么接下来就可以处理了，它就等于两项相乘，你这个人乘以这个人。然后把它带进去，两项相乘，然后减去就变成加上两项调换位置，调换位置了之后x- 2跑前。lin跑后就求导是变成了这个人呐。你看这个题立即变成这个样子，变成这个样子之后的话，那么接下来我们再看前面这个人。那么前面这个人的话，你把一带进去，一带进去的话，

第二人是多少？第二人是负的负的ln 2。零代去呢，ln 1是零不写了，有没有发现一个事情，这节课跟原来过程当中很相近。做题套路都一样，但是区别点呢，你现在要带值把值带进去就行，好，我们再来看看后面这个人，那后面这个人怎么做？那这人可以列项吧？对吧，列个项就行了，

所以接下来过程当中你就会发现这是is- 2下面小的反而大。下面大的反而小啊，裂开把这东西裂开，裂开了之后上面都配一。配音了之后再看平衡。如果进行通的话，左半边来个s+1。右半边来了个s减二，中间一减十三，所以说前面要配三分之一。跟得上吗？好，这是这个事情，所以说第一个人的话，你发现积分结果就是l二，

然后这是三分之一。继续看这个人。那第一个积分是多少？第一个积分在后面补杆框分之一的积分就是ln它的绝对值。第二个后面补个1 low in它的绝对值。然后把零和一带进去，那么这个时候的话，你发现一个事情，这是ln 2。然后这是三分之一来代值啊。妈妈带的嘛，把一带进去的话，就是ln负一的绝对值ln 1那是零。把这个一带进去的话，就是负的ln 2好继续减把零带进去，

零带到第一个人当中是ln 2带到第二人当中是零。所以说这个结果等于多少？三分之一倍的ln二好，这题结束了。你要注意啊，我们的考研喜欢考这种情况。不太喜欢，考不定积分计算，喜欢考的是定积分计算。为什么呢？第一个事情。既考了不定积分的运算，又考察了你的代职的能力，考的更加综合。第二，

事情如果从出卷子角度上而言好出。你出一个数，总比出一段一长串式子好出啊。是不是这个事情哎，所以说你发现一个问题，这种题好，这是四点一一这个题。那么，接下来过程当中啊，我们再来看看这个题来继续吧，看这个题。这题跟我们原来学的那个东西像不像？这没啥出入，简直就是一样的，两类不同函数相碰必考分步积分法，

然后在这种当中反。把这个什么幂凑到后面去。你就凑呗，那原来过程当中怎么做？你现在怎么做呗？那原始这个人就等于。好，先凑一凑的话，凑微分的过程是积分过程arctangent，然后是ds方。好了没？能不能看懂？有没有同学看不懂？看不懂，去到不定积分回炉重造下，

听懂我的意思吗？注意我没跟你开玩笑，一定要注意去不定积分那块再学一下。这是最基本的凑v分能力了。你不要到了今天过程当中，为什么？显然真想告诉你一个显然好了，那么接下来过程当中我们来看分布几分，那就是两项相乘。要带值。然后接下来是二分之一啊，两项调换位置也要带值零到根号三。这时候调换位置的话，你发现平方跑到前。arc探针里跑到后面去，

跑到后面求导一求导是一，加上x方分之1 ds。好，做到这儿，那么接下来过程当中啊，看第一个事情要代值那代值的话，你发现这个arctangent根号三等于多少？去翻到零基础提前学过程当中，原来那张大表。那就有用了，我想一二三三二一三九二十七。是不是这个事情，所以这个人的话对应的是多少三分之派？这些基本功得有啊，这最起码的基本功，

所以这是三分之派，把这个三跟三带进去，这是三零带去零就不管了。好，这个人坐到这儿。那做到这儿，接下来怎么办？那么请同学们告诉我，这是什么分式啊？这就是个假分式。那既然是个假分式的话，你发现加个一减个一就变成这样，然后接下来你发现这是二分之派减去二分之一零到根三。然后这个东西啊，往下来。

往下来的话，你发现一个事情，第一个人一除，这是这个人，然后这是s方加一这个人。是不是它所以说接下来过程当中，你发现这是二分之派减去它好看第一个分。第一个分是多少？对于一级分就是上线减下线。然后第二分时arctangent体把零和多少根三代进去。是不是这个事情啊？好了，我们再来看，那这是二分之派减去二分之一倍的根号，三负负得正加上。

那arctan根号三呢？三分之派零呢？就是零那这题结果就是这样，然后你把它整理一下。这是六分之派，六分之三派呃，六分之一派。这是六分之派，这是六分之三派，六分之四，三分之二倍的派，然后再减去二分之一倍的根号三。好，这个题有没有发现这个题跟原来过程当中学习的内容有什么差别吗？差别点不大。

如果你硬生生有差别，那就是这节课再多了一步带值，你把这个值带进去就行。就我做完了之后，我再把值带进去，我带个值就行，你就这点差别，所以你现在明白我为什么原来过程当中让你们进行去把那个什么不定积分的东西好好再看看吧。考研过程当中，喜欢考定积分。喜欢考定几分，但是你的基础是什么？是不定几分？好，这是这个事情，

那么接下来过程当中啊，我们再来看个题。好，继续回到这个题。把这个题啊，我们再来看看。好，再来看看这个事情。所以有没有发现学到这个后面呃东西点都是环环相扣的？对吧，每一个东西扣的都非常的紧，你想想一个事情，有些同学，比如说从带职的那个部分卡住了。那就说明零基础提前学的第一次课程没有听好。

也就说从那个积分那块卡住了，那就说明你不定积分那块东西啊，不熟练。你要从球道那块卡住了，说明第二章的导数计算又不熟练。你有没有发现一个事情，这个微积分它是个非常完整的一个体系。所以我们需要用到那些东西，都是从我们的零基础提前学的，第一次课程一直讲到现在，你就算是零基础也能衔接。好，我们再来看看这个题吧，继续啊解。那么，

首先观察一下。这题是个数列极限，这题具备求和形式数列极限，求和形式先想定积分定义第一件事情，干嘛凑三剑客吧？有极限了，第二事情有n分之一了，第三个事情你发现一个事情又有求和了。这三件事情都有了，留下了谁呢？留下后面这个人，我们继续看，留下了n分之k，留下了ln多少一加n分之k，留下了这个人。

那这个时候的话，你发现后面是不是这个n分之k的函数是塞到零到一的积分线里面就变成了这个人？好，那么接下来过程当中啊，我们来计算一下这个定积分。把这个定积分算一下吧，好一起看两类不同函数相碰必考分布及分法，把谁凑到后面去。反和对都很稳定，把这个x凑到后面去，一凑是多少？一凑是x方。那这个时候你发现前面配个二分之一。就做成这样，那么做成这样了之后的话，

你发现一个事情分布及分法就是这个人。和这个人相乘，零和一带进去，然后再减去二分之一两项调换位置，平方跑前。lin跑后球求导，求导就变成了这个人。ds，然后接下来过程当中啊，这个人带个值。把一带进去的话，你发现这是录音二。把零带去是零，不带了好变成这样。再来看，

这是零到一。那这个人的假分式变成真分式啊，有两种方法，第一种方法减个一加个一就行。对吧，有些同学在这里面当中说，哎，我这个x方上面减个一，我再加个一，我就可以第一个人平方差下除下去了。可以或者怎么办？有些同学说我没观察出来有没有万能方法，有的有万能方法，我的万能方法是什么呢？那么，

这里面当中这是平方。那么，这个万能方法就是我提一个s。加个一再减个s，加个一再来。是不是这个事情，所以说这个人就除下去一除下去就是x，然后减去一加上个x+1。分之1 dx。是吧，所以说这个东西啊，我就下去了，把这个东西一下子就放下去。还短除法呢。半路杀出来的嗯。

短除法就是名字起下来的高端一点啊，其实你发现操作性呢。你学了这么久了，我冒了一个短除法啊。好呃，这个事情我们就讲到这，所以说在这里面当中啊，我们不光说什么情况。还记得吗？我原来讲过这个事情，你比如说这个人。你不要说这么一点，我再长的东西，我一下就能出来了，哎，

所以说这个操作性要拔高好，这是这个问题，那么接下来继续我们再看。只是二分之一倍的low音二。来，再来，继续。那么，接下来继续再来看这个第一个分好，这是二分之一。第一个分我快点积分，结果是二分之一s方把一代进去，一零代进去零就是二分之一。第二积分。上限减下限是一第三个人二分之一，

他的积分结果是ln一，加上s不要打绝对值。为什么？因为s是零到一，它是正的，所以说这是二分之一倍的ln二，然后减四分之一。加上二分之一减去二分之一倍的ln二零代去零嘛，好这个人就做成这样，所以说这个人一约最后结果等于四分之一。跟上了吧，这是当年数学一数学二数学三同学的十分题。当时我为什么讲这个题，我给你讲过一个事情是训练，另外事情我觉得这个东西有一定对我们的提高作用。

但也不难呐。好，这个题。能学会吗？基本点。但是同学们，我觉得这个做题速度好像有点慢呢。你还有没有更好的方法，然后进行去积这个分呢？这这算的有点慢了，我原来过程当中给你教过这种加快速度的方法。你刚才过程当中第一步把这人凑到后面去，我觉得没有问题。哎，还有没有方法呢？

你看有同学非常好，我讲过这个事情。你就在后面减个一。大家注意，你就在后面减个一。减个一有什么好处呢？哎，不是加个一是减个一，你加个一的话是约不掉的，因为这是平方。那我就减个一减个一的话，你发现一个事情就是两项相乘。要带值。再减去二分之一，两项相乘你跑前。

我跑后求导变成这样。诶，那这个事情就非常顺畅了，先看第一个人。把一带进去是一减一是零，不带了。把零带进去时，ln 1是零不带了，所以第一项就没了，第一项没了就留下，第二项零到一，那这是is- 1 s+1约掉s+1还留下s- 1。所以说这个题就变成这样了，好，我们先看第一个人，

第一人分呢，二分之一x方一代是二分之一，第二人上限减下限四分之一。你看这个操作性，这个速度，它其实就是为两分两分体，两分钟内进行去破题的选手。继续去准备的。所以你们要进行去拔高自己，这些东西都得学学。这种技巧性又不是说特别特别难的技巧性，而这种小技巧性的话，你发现会对你的这个做题啊，提高这个水平。好，

这个题啊，四点一这个题。呃，这件事情我讲过，这个事情我原来给你讲过这个题。对吧，所以说你将来过程当中做这些事情的时候，稍微注意一点点，你这个做题速度就上去了。好，这个题我们就讲到这来，继续吧。再来看个题来看看上面这个题。好，来看看这个题。

呃，这个题啊，是有一点拔高题的感觉啊。综合题。难度系数有啊，就这个题。那么，接下来过程当中，我们来看看这道综合题。那这个题啊，会帮着你进行去学习，很多问题啊。好，那么接下来过程当中，我们先看第一个事情。

它给了一个树列。然后让我们去求解这个数列极限。我先问你个事情。你能看出来这个人是个数列吗？啊，就这个人呐。你能不能看出来这是个数列？能不能这是我现在想讲的一个事情，你能不能看出来它是个数列啊？非常简单。哎，非常简单，大家注意一个事情，我们在学这个问题之前呢，我们先看一个事儿。

比如说零到一对x积分，结果是二分之一吧。有没有发现一个事情？我当对哪个字母进行定积分的时候。它的结果是什么？它的结果是关于这个人的一个数。你赞同吗？我对哪个字母积分结果肯定没有这个字母，所以有些同学的话你发现，比如说我们算一个积分，我对s积分最后是什么什么x荒唐？胡闹啊，瞎做。纯属胡说八道，所以说你发现一个事情，

千万不能这样做，你对这个人积分结果不可能有他的。其实包括我们原来做极限一样，你举个例子吧，比如说x趋向一的极限，这个平方的极限就是一。你对一进行求对s，求极限，最后结果不能用s的。所以大家注意一个事情，一定要想清楚我对哪个字母进行定积分，结果肯定不会有这个字母。这件事情你赞同吗？你对哪个字母求极限，结果肯定也没有这个字母。

哎，能想清楚吗？好，那么接下来过程当中啊，我们就来看了。我对谁进行积分s积分？我对这个人积分n就是个常数，那这个积分的结果当中有没有s？没有s留下了谁留下了n那它是不是一个n的数列啊？它不就是的吗？所以在看待这个事情的时候，你一定要注意一个事情，这叫什么？这叫包装。这种题啊，

拷给我们就稍微的难了。但是有些部分的题目，我们也需要做。这就叫包装。我把这个数列给怎么办？包起来，我不直接给你，我包装一下，哎，这是要注意的，所以接下来过程当中我们会来。那来看看这个题。那这个题首先第一件事情，你得把这个数列求出来。你不然怎么去求极限？

所以首先第一件事儿，我们先来看怎么求这个人。哎，怎么求？这里面当中太简单了吧？你对s积分的话，你看这一项是N次方。你这项是n- 1次方，而我们都知道一个事情，你n- 1次方的积分就是N次方，我可以凑出多少N次方？但是这个人的积分结果前面还有个n分之一。是不是这个事情，我就把这个n分之一凑到后面去，所以在这里面当中的第一项nn减一次方凑到后面去。

第一项先凑一凑，是这个人。那前面这个部分呢，就来了个n分之一。好变成这个人，然后接下来过程当中再加个一。好写成这样，写成这样了，之后的话，这是二分之三n分之一，好继续看。一个人的二分之一次方二分之一二分之三。三分之二次方一加SN次方，它的二分之三次方。是不是这个事情，

然后再把零和n比n+1带进去？好，做成这样了。有没有发现一个事情题，出题人就是会出量身打造量身打造的就是这个人。是不是刚刚好？他前面写的这个数据就是为了我这个三分之二准备的两个干掉，那为什么进去去求n倍的它的极限呢？那这个n就是为了干掉这个人的。所以说在这里面当中n趋向无穷大n倍的这个人求极限呢？n倍求极限这个人就没了。所以我求极限核心，重点就是对后面求极限。那在后面求极限的话，你把它带进去呗，

第一个人一加上多少？这是n比n+1的。N次方。然后这个整体外面的多少二分之三次方？好带进去。把真人带进去了之后的话，再把零带进去，零带进去等于多少零带进去就是一。好，继续看，那么这个一的极限就是存在啊，加减法当中见到存在就拆开，所以说就是第一个极限。再来减一那第一个极限是多少？第一个人的话不就是一+n比n+1的N次方。

它的二分之三次方再来减一嘛。好这个人呃，这个题啊，做到这一步，有些同学做不动了。啊，有些都做不动了，其实非常简单，只不过是什么情况钻进去了？我想问你个事情，你琢磨一下。这个东西的二分之三次方。一个东西的二分之三次方我们讲过七种未定式是零比零无穷比无穷零乘无穷大无穷大减无穷大。一的无穷大无穷，大的零零的零。

一个人的二分之三次方，他是个已定式还是未定式啊？一定还是未定。已定还是未定？一定是那一定是就可以直接求极限啊。所以说大家注意一个事情，既然是已定时，我就直接求这个人的极限不就行了吗？我就对里面带有n的东西，求极限不就行，所以在这里面当中啊，我们再来看，这是limit多少n趋向无穷大。然后这是n比n+1的N次方，我对这个人求极限。

是吧，这是这里面当中比较重点的，你敢抓大头？你说我抓大头哇，那太疯狂了啊，哎呀，太疯狂了，抓大头里面是一一的任何次方数都等于一。太疯狂了啊。还有这样的吗？外面还有那么大的一个n呢，这不能抓来定型，里面可以抓是一一的无穷大。那一的无穷大的话，你发现一个事情答案等于多少一的极限符号照抄头顶照写，

然后这个时候你发现一减一。能理解吧哎，你可以定型，然后接下来过程当中就变成了一的limit n趋向无穷大，然后是n加一一减，这是负n。一抓一的负一次方。好，这是可以的。所以说这个题就做成这样，那你告诉我个事，这个题的答案等于多少，它等于一加上e的负一次方，它的二分之三次方再减一。结束了呃，

我觉得这个题当中啊，障眼法在哪呢？障眼法在这儿啊，其实障眼法在这儿。骗人的骗子，最大的骗子就在这儿。打了一一坨里面的二分之三次方，让人看见我操，怎么那么恶心？你想想嘛，一个人的二分之三次方肯定是一定是。那我就直接带呗，我们原来讲的一定是就直接带，你还纠结什么？都一定是了，

你就直接算呗，你把里面极限算出来就直接带，可能又纠结了，老师你不是说不能给局部先做极限，一定是哎。一定是就是直接求啊，那不就这样吗？好这个题，所以说正确答案等于多少？选这个b选项啊。好，这个题呃，这个题啊，难度系数有。稍微的具有操作性一点啊，

难度系数是有，所以下去过程当中啊，这个题多看一看，但是大家其实你发现也不是说特别难吧？也不说难到什么程度，为什么觉得恶心呢？是因为它长得恶心。所以有的时候你发现一个事儿，就是经常而言的话，一些同学的话，他不喜欢做什么题呢？他在学数学的时候，他不喜欢做文字题。对吧，你比如说有文字的题。

他比喜欢什么繁杂的体。对吧，他不喜欢什么东西呢？像这种有什么应用的问题不喜欢。但是其实你发现一个事情，有的题目长得越复杂越简单。越复杂越简单，但是反而那些长得非常的精简，非常的短小，但是你发现一个事情贼恶心。大家一定注意啊，要敢做别怕，要敢做。一定要敢算，敢做，

敢练，我觉得通过这个，如果你继续去，在这个课程当中进行学习啊，练就一个事情，遇到繁杂问题敢处理。遇到题目敢进行去算。遇到未知的东西，有信心，我觉得是这这门课程呢，我觉得不失为一个额外的一些收获嘛，因为这些东西。是除了你什么这个学习的这个基本的知识点之外的，其他的能力这些能力有可能的话，在你这个接下来过程当中，

无论面对很多事情当中，我觉得都是一个非常大的财富。好，这个事情不多说了。所以不要怕他，别怕对吧？那长得恶心怎么办？干他对吧？哎，你别怕他往后面凑，然后这个东西一下出来了。好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们就继续再往下走啊，

再来看看下面一个问题，这是考点三，我们再来看看考点四。我们再来看看第二类还原法。那么，在我们的这个不定积分当中啊，有第二类换元法，那么还记得第二类换元法在不定积分当中是怎么用的吗？还记不记得？第二类还原法当中不定积分是怎么做的？先换换完了，算算完了再换回去。这是不定积分。一定要注意，做完了之后一定要换回去，

不光是三角代换，不光是无理根式换元，就说我们原来做不定积分的时候，一定是把它算完了之后一定要再换回去。这是一个重点。那么今天呢？我们就继续看，我们再来看看第二类还原法，那这里面当中啊，我们跟同学们进行去看一下这个问题。呃，我觉得他写的稍微的繁杂啊，在这里面当中啊，我来带着同学们写吧。好，

大家好好听一下。什么叫做第二类换元法呢？就是我这一块当中啊，有一个积分。你看这有个积分。这个积分是对谁的积分呢？这个积分是对s的积分。但是你发现一个事情，我现在对s不好记，我就怎么办？我就令令这个s等于多少？令s=p hit。把这个s换成t，你换成t了之后的话，你发现一个事情，

我们继续看，那这个x就换成t。fit好，大家注意啊，第一换被积分函数又换了。第二事情，大家注意，这个x换不换？也得换这个s1换的话，你发现d它就变成了它的导函数在dt好了，注意一下，这是第二环。换被积分函数换积分变量，但是这里面当中有一个非常非常重要的东西，告诉我事情。

这个人的上下限属于谁啊？这个上下限属于那个积分变量字母x的。但是你发现一个事情，这个人的上下限属于谁呀？这个人的上下限属于他的积分变量字母t的。哎，这件事情就有问题了，你原来的上下限是s上下限，我现在上下限是t的上下限，所以同学们，你是不是要进行去还要换线啊？换圆要换线啊，你这里面当中s等于多少p hit？fit，那这个时候的话，

你发现你看我们现在来看看这个人的。上仙，然后再来看看它的下仙。下限那么这个人的上限是谁？是b下限是a，那这个时候你发现一个事情，你得把这个人对应的要求出来啊。那么，这人是对应阿尔法，对应贝塔，所以说你得把这人也换，这是重点。所以大家一定要注意这个问题。第二类换元法在定积分当中有三换。第一换是什么换被积分函数换积分变量，

但是最重要的问题是换上下限，就说把这个上下限一定要变成t的上下限。换上下限，换成这个人的上下限了之后，同学们注意一个问题，你看换成t的上下限。对吧，换成你的上下限，那同学们注意，最后还需要换回来吗？还用不用就我做完了之后我再换回去，还需要吗？不用了，为什么这定积分是个数？你算完了之后就是个数，

你算完了就是个数，那不用了。所以最后我再换回去就行。所以一般情况下，遇到一些什么东西呢？你不好记的，你可以把它换了，当然我们像原来过程当中，我们学过三角代换。我们学过无理根式的换元，这都算呀。对吧，有三角代换，有无立根式的换元？好，

那么接下来过程当中，我们来看个题，比如说一开始啊，我是不是写了一个题啊，我们再来看这个题。好来看一下这个题。你来看看这个题怎么处处理啊？那么，首先我们先来瞅一下，我觉得这个题目当中啊，你发现比较恶心的部分是谁呀？比较恶心的部分就是这个根号。那这里面当中，我可以采取一种方法，我做一下无理根式的换元啊，

换成t。那这个时候我换元了之后的话，你发现x就等于t方再减去二。好，我们一起来看走，那这个结果首先第一个事情，这人变成t。然后x变成了t方减二+4。这是换了倍积分函数第一换再看第二事情，这个人d他就是求导2t倍的dt哦，这是第二换。但是这里面当中比较重要的是换上下限，那换上下限的话，我们来看看它的关系的纽带是x+2开方等于t。那么，

如果x这个人是零往这一带，这就是根号二，如果这x是一往这一带就是根号三。所以它就会从根号二打到根号三。好，这个事情三换完成了吧？换倍积法函数换积分变量换上下限，换完了之后的话，那么接下来我们就继续，我们再来看这是根号二这是。这是根号三，那么这个时候你发现看这人就约掉了，然后二抛出去了，然后这人就变成了t方，加上2 dt，

这多简单呀。先看第一个人积分，第一个人积分是三分之一t的，三次方t的，三次方就是第一个人的，三次方三倍的根号三。减第2n三次方二倍的根号二，再加上二。第二积分呢，上限减下限，再减去它诶，这个人的话，你发现不就跟我们刚才做那个题，结果是一样的吗？两者相对比啊，

可能这种方法更直接一点。对吧，第二类换元法应用好。第二类换元法在定积分的学习过程当中，操作性非常强。啊，非常重要，换倍极反数。换积分变量，换上下限，千万要注意换元叫换现。换元要换线，把这句话死死的记住。只要你做第二类，换元法换元呢，

就要换线啊，这是定积分。好了，这是我们在这本当中介绍的这个第一个问题，那么接下来过程当中，我们再来看一个题，看一下四点一三这个题。看这个题，为什么把这个题我还放到这儿呢？两个作用，第一个事情学习这个知识点。第二，事情通过这个题呢，回顾一个非常好的内容，所以说这个题啊，

我一直就放在这，所以对我们三九六同学我也选取了这个题。你不要看这个题是个数二，很简单来告诉我事情，这个题第一件事情你会想到什么方法呀？什么方法？我先问你个事情，这个题做过你，你还能记得吗？啊，这题有没有做过呀？有些东西想到凑，对吧？我先把这人凑到后面去，阿克塞。

一凑的话，你发现一个事情，我们再凑。然后再去凑arcs in EX的平方。然后接下来过程当中，你发现个事情，我凑一个平方。然后接下来过程当中就是两项相乘arcs in EX平方，然后把这个零和一带去。然后再减去零到1 arcs in EX的平方。然后这能求到2 sds，大家注意，关键是这一步。就这一步的过程当中，怎么处理啊？

又是两类不同函数，又是两类不同函数相碰，你又得把这个东西凑到后面去，我刚过来的，我又凑回去，我咔的一下回来了。在干嘛？玩耍吗？做了半天的话，你发现做了一些无用功。你去你去看一下。我原来也是这样讲的。如果你把两个部分对照下，仿佛我说的是同一句话。我原来也跟你讲过这个事情。

所以为什么这个题放在这儿呢？我就想让很多同学清楚的认识到你这不定积分的这个功力到底做的扎不扎实？你做过的题。你发现没有任何的感觉，所以对于这个题而言，你能想到凑到后面去说明凑微分法过关了。但是这个题凑一分法绝对做不了。那只能怎么办？我再看一下。你发现了一个事情，你看这个部分是一减三。呃，一减x方那如果碰到什么情况，根号下一减x方我可以做三角代换这个人。我也可以做这个三角带环。

对吧，可以坐这两个人，但同学们注意你会选谁呀？你选第一个人还是选第二个人？要审时度势。对吧，要随机应变。你发现人家这个题是arcsine，那当然选sine啊。原来那个题是arc casing，我当然选casing啊。所以大家注意要要灵活一点。你去看看原来过程当中做的是arc quasi。所以说对于这个题而言，来解首先第一件事情0s等于多少sint？

那么，这就是我们在这里面当中的重点内容，对吧？我们做了个三角带宽，那么做三角带宽了之后的话，来走第一事情。先换换什么呢？先来换背景函数。一减sint的平方。第二事情，然后这个部分是sint的平方。然后这里是arcs in再s in，这是t。对吧，这是t，

然后接下来过程当中换第二个事情，再换这个人cost TT。啊，最重要问题还有一个换线。那换线的时候的话，你发现x=sint下限是零，它是多少？上限是一，它是多少？那么，下限是零，它是多少呢？s in多少等于零。啊s in多少等于零？零那s in多少等于一二分之派？

这好像不对吧。你发现一个事情，你看。我原来过程当中能让s in=0的人多了去了呀。这什么零派二派三派四派五派。这都行啊。啊，能让I这个是is=sint呗。消掉了，那纯属胡说八道嗯，你去算绝对不一样。绝对不一样。你写k派麻烦。你原来也没有那样写过。哎，

那这个问题点是什么呢？哎，你看有同学学的非常好，非常非常好嗯，漂亮，学的非常好。反函数。非常好，有同学就学的非常好。我原来过程当中啊，讲过这个事情，哎，非常好。我讲过这个问题，我们来看看这个事儿。

原来过程当中啊，我们讲这个第二类换元法的时候，我们说了这个事情能做第二类换元法，它必须要有反函数。而我现在需要它的反函数是arcs in，我就选择了负的二分之派到二分之派这一端，漂亮非常好啊。你看这个学的东西就非常扎实了。学的非常好啊，这里面的话在这里面当中，你发现把这很多东西啊，哎，你看都能想起来了。所以在这里面当中一定要注意这个事情，就说我什么时候再取r13a，

我是这个部分。对吧，我取的是这个部分，所以说这个时候你看你是零，我是零，你是一，我是二分之派，两者是不是一一对应的，不会有混淆的。不要在那里面，到时候写k派，写k派就不对了。你也不想写。所以这人是多少？如果是零，

我是零一，我这是二分之派，是这个结果。学会了吗？同学们要注意啊，这个x=sint啊，他选的是那一段。选的是负二分之派到二分之派那段。那如果是x跟什么cos呢？cos就选这一段。那如果is跟tangent呢？选的就是这一段。是吧，就这个事情学清楚啊啊，把它给我学，

把那个学扎实一点。好了，那么接下来过程当中啊，我们就继续再来看那零到二分之派，那这个时候你发现这是sint的平方乘上t。一减s in方是cos方，cos方开方，这是cost，而且它正的你就直接开。变成这个结果，然后接下来过程当中啊，就变成了这个人。好，立即告诉我这个分怎么做？如果一眼考看不出来啊，

证明不定期分还没过关。怎么做两类不同函数相碰必考分步积分法？三角函数往后面凑就往后面积那二次方积分呢？立即进行降幂。所以变成了二分之一减cos二tdt。是吧，就进行分布那把呃，不不是不是分布就是把它拆分对吧？降密那么降密了之后的话，你发现就是零到二分之派。应该是二分之一tdt，然后再减去二分之一，这是零到二分之派t倍的cos二tdt。那么这个东西啊，就做成这样了，

你做成这样了，之后的话，你看这个人，他是四分之一t的平方，把零和二分之派带进去。那这个人呢？分步计分法。首先第一个事情，后面补个二，前面来个二分之一，变成它跟得上吗？然后接下来过程当中，往后面凑s in二t。然后第一个人的话，你发现他就可以做了四分之一，

然后是多少四分之派方？然后接下来过程当中再看这个人，那就四分之一t再乘上s in二t，把零和二分之派代进去。再加上四分之一零到二分之派两项调换位置dt。那么做到这儿就基本上快结束了，我们来看看这个事情，最后一个人，这是16分之派方。然后把零带进去是零把s in派也是零，那这项是零，然后最后一个呢，补个二再来个二分之一。负的cos二t零到二分之派，所以说是十六分之派，

方负的八分之一，看第一个点。cos派是多少？这个代值要小心一点啊cosine派是负一cosine零是一，所以说是十六分之派方加四分之一。好出来了。所以你看这个题。所以这个这个人的话，你发现操作性，你看这原来过程，当他们考九分题。我们肯定不会出这么狠。对吧，一道题的话，这个运算量这么大，

当然也有可能。就去年有些题比这个运算量，我觉得还充足。所以像这些东西都是基本功。你看第一个事情，你想到这个换元。第二，事情那么其实就凑一分降密，还有这个分布积分法，同学们，你想想我这节课已经。讲了55分钟了。在这55分钟范围内，你想想一个事情，你最重要的核心具备的这种基本能力。

能力是什么？就是前段时间我们进行的不定积分训练。你能理解吗？就是原来进行的不定积分训练，所以原来过程当中你就会发现把那个不定积分做好，那这个部分定积分就非常简单了。运算量大多了。你告诉我大在哪？大在多了一步带值，这叫大吗？你这说的有点夸张了啊。这多在哪儿啊？多的不就你把这题给我改成不定积分，你发现一个事情，你写的步骤是一样的。

你去试一下。这是s，然后这是arc多少呢？arcs in sds。你就是哎，这是平方。你去写啊，你再去看看你做这个不定积分，你发现你写的步骤是一模一样的。一模一样的。你这哪哪来的大多了呀？你就多了，不代值就是我把它乘出去了之后，我把它代一下，我乘出来之后，

我把它代一下。要把值往里面带你带值，你还不会带吗？如果让我们考研一直都在做在职题，我相信每个同学啊，这个数学都是70。对吧，都是满分。你说这这大在哪儿这？这太夸张了啊。好了，这是这个问题，所以他就是比我们在上节课过程当中啊，学的那个部分东西就再多了一步代指。一定要拥有良好的这个不定积分的基础。

所以你下去过程当中啊，像这个部分内容得好好练习一下。我们从上课过程当中一直讲到现在，核心最基本的能力就是你的不定积分的运算能力，得喜欢算得敢算得多算。把这个不定积分的这个运算一定要操作下来，好这个事情我们就讲到这儿。过去了，可以吗？好，掌握清楚给我回复一。行吧，那么我们稍微的休息会儿，然后我们在休息过程当中，我们再来看几个题。

啊，我们再来看几个题。我们来看看。这个题你下课休息过程当中，你做一下这个题。还有接下来当中的这个题。注意啊，把这两题你完成一下。好呃，我们稍微休息会，一会我们继续吧。签好了，昨天签了一天哦。好，行吧，

把这个东西啊，你好好整理一下，然后去看一下三幺二这个题，还有三幺三这个题好，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续吧啊。

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20.定积分计算（2）-1

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