19.定积分的性质（2）与计算（1）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:43:44

接下来我们就继续吧，我们再来看看这个下面一个问题，我们再来看看最后一个人叫做积分终值定理，在这个积分终值定理之前呢？哦，刚才看了一下这个。评论区当中有个同学问这个问题啊，在这里面当中啊，还有一条内容是这个第六条啊，我先说一下这个第六条呃，对我们的考题啊，往往在证明题当中用的比较多一点。我们用的稍微的会少一点，那这个事情啊，我觉得还是讲一下吧，

把这个内容啊，我们来补到这个呃。讲义上，然后下去过程当中啊，你可以稍微的看一看。那么，在这种当中，我们来看看这个事情。理解一下就行了，非常简单。那么，在这里面当中，我们先来看看第一个问题，他一个人是什么？给绝对值加了，

绝对值再积分，还有是什么积分再加绝对值？比如说举个例子，我来给你看看一幅图形，你来稍微进行去感受一下，你觉得这两人谁大？如果你发现一个事情，我的fs就是这样。听好了，你看这是a到b那a到b的这个定积分不就是这个面积吗？那这个面积加绝对值，不就是s1吗？然后接下来过程当中，你看你给这条线，就是你给这条线加上绝对值，

加上绝对值，还不是这条线吗？那还是这条线的话，你发现积分的结果呢？还是s1两者之间什么关系啊？相等关系是可以相等的吧？就说如果我确确实实大于零。你加了绝对值，再积分跟积分的再加绝对值是一样的，但是同学们，我们要了解一种特殊情况。对吧，这应该不是一特殊情况，应该是一般情况，那么在这里面当中，

比如说我们再来看幅图。如果是这个人呢？你看这里面当中，这是一，然后这是二。对吧，这是a，然后这是b。那么，如果第一件事情你发现我们先进行去求积分。我们求积分的话，这个结果应该是什么？应该是第一个面积减第二个面积吧？这没问题吧？好，

这是这个结果，然后同学们注意，如果你先加绝对值呢？你先加绝对值的话，这个人他就上去了，哎，就变成这样。那这个人的话就上去了，之后的话，你发现从a到b的积分呢，绝对值积分就是这个人吧，那就变成什么就变成了s1怎么了？瞎s2了。对吧，就变成你的面积加我的面积了，

如果是什么东西呢？原来的这个积分呢？是你的面积减我的面积，那谁大呢？那很明显是这个人大呀。对吧，那当然是变大了，所以同学们先加绝对值要大，那这个事情非常好理解，我先加绝对值，把所有的负的都变成正的，那这个人肯定大。能想清楚吧，先加绝对值啊，先下手为强。

先把它变成正的再积分。比你怎么办呢？积分完了之后再加绝对值啊，要大一点。好，这个事情我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们再来看看最后一条内容积分终值定理。呃，这个内容啊。今年过程当中，我是这样进行设置的，大家好好听一下，等我们把定积分这章学完了之后啊，然后紧接着我会跟同学们进行去。

稍微的进行去串联一下，这个就是中值定理的部分内容，能听懂我的意思吗？有一节中值定理的概念的串讲课程。那个部分内容我们就基本上把核心重点的概念串一下。因为我们不会考证明题，证明题不会考的。你像比如说这个积分终值定理，怎么证明呢？这这也不会考。对吧，积分终值定定理怎么进行去用于证明它也不会考，所以我们在这里面当中，你就看我的设置就行，你也不用进行天马行空的进行去看那些内容。

你听我来讲就行，那么只要在我们三九六同学出题，需要用的东西当中，我就重点讲能听懂我的意思吗？哎，会有这个部分。所以今天过程当中，我们就浅学。简单学一下就行，简单学学积分中值定理到底什么意思就行。那么，接下来过程当中啊，我们来看看。那么，对于积分中值定理这个人呢？

呃，核心重点，大家注意一个问题啊，中值定理。地理怎么去学啊？你怎么学定理啊？要想学好定理，就要学两个事情，第一事情什么条件啊？第二，事情什么结论呢？拥有了这个条件，就一定拥有这个结论。有些同学发现这个数学逻辑一直以来没有培养出来。每当的话，

你发现有这个条件，用这个定理，用这个定理就下这个条件，有同学说为什么？那这个东西不是你已经证明过吗？你证明过这个东西在考研过程当中就可以直接用啊，所以接下来过程当中我们来看看积分终止定理。七分钟之定理的要求是，这个函数必须在B区间连续。大家注意啊B区间连续。积分终值定理，它在闭区间连续，那么同学们，你还记得什么叫闭区间连续吗？B区间连续就是a点右连续b点左连续中间不断吧，

就是从a点出发到b点结束，还记得吗？对吧，假设这是a点。假设你发现这是b点。我就是怎么从a点出发到b点结束，你还记得吗？就这个人，这就叫必须间连续大家想想一个事情，如果这是个必须间连续，我想问你个问题，我现在画的这个人，大家好好看啊。我现在画的这个定积分，是不是面积啊？

我问了你好理解，现在这个定积分是面积吧，因为你发现现在位于x轴上方，这个定积分就等于这个面积啊。上方嘛，就等于面积。那么，同学们思考一个问题诶，这个面积我能不能在中间找到一个点？可赛啊，有人说啊，老师这个可赛怎么写？我就这样扭一下，你听懂我的意思吗？哎，

扭一下就行了，有人说老师你这个我还是不太会写，不太会写。你去百度啊，就是这个希腊字母。手写。你看在这里面，哎呀，这个。这百度好用啊。啊，这个希腊字母有一个很好的表。我给你找找。哪去了哎，这个表。

你看。噢，这个表。然后这个表的话，你看你想写啊诶，这咋回事儿？好，我们来看看啊，你要想写啊，你就这样。你看它这里面当中啊，它还有笔画呢啊，你就像学那个什么汉语拼音一样，对吧？你看人家还有笔画呢啊？

对吧，人家还有笔画呢，你想写的那个东西在哪呢？在这儿不都可惜啊，有的都可惜可赛啊，都一样，你看这个拼的呢，可赛啊。那么，在这里面当中啊，你发现一个事情，你你自己去扭一下呗啊，扭一下扭一下，扭一下就出来啊，你自己去扭。

然后它这后面的过程不会读啊，它这很你看缪啊。row.好家伙好了吧？这个事儿我们就说到这儿啊，这不重要，你自己下去看看就行。好了，这是我们讲的这个定积分，所以说你发现一个事情，这个定积分呢，对应这个面积，所以接下来过程当中，我们先来看看这个事情，你看。

肯定有一个点可塞。然后同学们，你发现一个事情，我以这个可塞。这个点的函数值作为高。然后的话，你发现一个事情，我就想问你个事儿。它会得到了一个矩形的面积嘛。就这个面积，你看就得到这个矩形的面积，我想问你个事情，会不会有这样的一个点的存在啊？当然会啊，我找的就就是啊，

你看这个阴影部分可以胳膊一下胳膊到这儿。是不是可以啊，所以大家注意啊，它中间会有一个点，会有一个点什么情况呢？他说至少。会存在啊，算我写字儿吧。至少会存在有个可塞。属于a到b的B区间。使得什么情况呢？使得这个a到b的这个定积分。它会等于这个矩形面积，矩形面积是多少？矩形面积是f克三，

大家注意啊，就是f克三。再乘上b-a底，乘高嘛底是b-a高是f可赛底，乘高能听懂我的意思吗？所以大家注意一个事情就是这样的一个定理。这个可赛啊，它可以是B区间，它可以推广到开区间。哎，推广之可再属于。开区间，所以对我们的考研题啊，你发现个事情全是选择题就直接用就行，用开区间啊。

开区间简单。所以大家注意，原定理是B区间可以推广的开区间。怎么去学呢？今天我们要学什么呢？我们三九六同学在这一年过程当中需要学什么呢啊？我先提前说一下，后面的过程当中啊，像中值定理。让你去构造原函数啊，需要用到微分方程的方法，我们不学微分方程，所以像那款东西啊，我们都不会讲，然后这种证明的题啊，

我们也不会讲。有人说啊，老师，我很有兴趣，你有兴趣你去看看那个数一数二数三那个板块的课程能听懂吧，我相信大部分同学应该是没有什么兴趣的。我们的方向性很简单，考研过程当中拿高分，你不要今天过程当中过，过程当中过来，我是为了增加自己的数学素养。你不要这样，我都不信啊。所以在这里面当中，我们需要学哪些东西，

那么在这里面当中，你就跟上就行了，我们三九六同学的要求到哪个点，你就跟着我进去，学到哪就行。所以在这里面当中啊，像这个积分终值定理，我们学一下它的要求是什么？要求是在这个B区间上是连续的。对吧B区间上是连续的，那这个时候你发现这个定积分，它就会等于中间有一个点的函数值乘以b-a。大家想想这种方法有个什么样的好处啊？它可以干嘛呢？大家注意，

这种好处是可以去掉积分先。哎，它可以去记分线。呃，这是一种非常非常好的一些方法，它可以去掉积分线。那所以将来过程当中，我们做这种题的时候，你发现它可以去掉积分线。那这个方向非常好，如果我在做一道极限题的时候，如果里面有积分，我可以去掉积分线，我可以想到积分终值定理。当然不一定说一定。

我可以想到对吧？我可以想到这个事情好了呃，这个类型问题啊，我们就讲到这儿能想清楚吧，掌握清楚给我回复一，你就记住它的条件是必须先连续。中间一定会有个点属于a到b，使得这个定积分等于f可塞乘上b-a。好，这个人我们就讲到这，所以说呃，在这个基础班过程当中，我们的定积分的性质，我总共讲了12条内容。我可能有些人觉得多，

因为我在这里面当中啊，扣的比较细一点了。对吧，只要是能抠出来的信纸，我全给你写到这上面，所以说这才叫基础班的学习，当然如果到了强化班过程当中，你发现哪些是重点呢？第一，事情定积分是个数比较重要。积分与变量字母的选取无关比较重要。奇偶性比较重要，周期性比较重要，比较定理积分终值定理能想清楚吧，所以说到时候我们再抽出重点，

然后再来看。好了，那么今天我们继续，我们再来看看下面几个问题，我们今天过程当中啊，还需要重点来讲第二节问题，定积分的计算性问题。哎，定积分的计算，你想想一个事情呃，在这个上个周啊，我们进行了长达十天的这个不定积分的训练。那么，今天过程当中啊，我们进入到定积分啊，

定积分的计算有些部分可能难度系数也不小。所以接下来过程当中啊，我们来看看定积分计算。那么，在定积分计算当中啊，首先第一件事情就不得不进行去讲一个人。就是牛来公式。牛顿莱布尼茨公式。大家注意这个公式啊，具有划时代的意义。具有划时代的意义。有些同学你发现大学过程当中学的东东西啊，比如说举个例子说零积到二，这个人怎么积？那算出原来函数不定积分，

再把零和二带进去三分之八做完了。大学过程当后来过程当中，以为定积分和不定积分一样的。所以忽略掉了这个公式的重要性，这公式太牛了。它的出现为的这个微积分的学的发展呐，推动了一大步，这简直就是划时代的意义的一个公式问题。所以说你看这个。每当我们进行去，比如说你去看一些书啊，封面当中，如果是微积分里面当中选一个公式，我就会选它。如果有些同学看了一下那个，

比如说你看到我的那个。诶，这个定期分。这个公式。在哪呢？我选了一个拉格朗日，对吧？选了一个，这个什么定积分的定义啊，这个由来公式这个公式啊，非常的重要。后来他把把我给我去了下了三九六的封面，我一定要把它加上啊，加上这个。所以它具有划时代的意义，

那么接下来过程当中，我有一段想讲，我需要把这个事情我们跟同学们去讲讲，大家好好听一下。那么，在这里面当中，我们来看一个事情，比如说啊，我讲个简单问题。大家好好听，你看这是y轴。零然后这是x轴。那么，在这里面当中啊，哎呀，

你好好听课行吗？你怎么喜欢嘲笑我呢？对吧啊？好了，我们一起来看看这个事情，你看。那么，在这里面当中，我举个简单例子。比如说这条线是y=x^2。是吧y=s^2我画的突出一点。我讲个简单例子，比如说我们在这个牛来公式出现之前，我想让你进行去计算。这个人在零到二所围成的面积，

你怎么算？啊，我要计算这个面积怎么算？你发现你算不了。很多人说那算这个面积，我会算算这个面积，我算定几分？对吧，我算这个定积分，我就算面积，这是我们定积分的几何意义嘛？那么，这个东西的面积，它对应的这个定积分，这没问题啊，

但是你发现定积分怎么算？当你会计算了这个定积分。你就会计算这个面积一些，初等数学无法计算的面积我都会算了。我初等数学，只会算矩形，梯形圆等等一系列，那你像这些东西我都可以算。那怎么算呢？后来你发现牛来公式出现了。那么你发现我虽然不会算这个分，但是大家注意一个事情，你会不会算这个分呢？啊，同学们，

你会不会算这个人？这个人我会算吧，这人叫什么分呢？这叫不定期分。不定积分在干嘛？不定积分在找d我在找谁？对s求导是我呀哎，你发现三分之a三次方加上c。这个人求导说哎，这个人我会算哎，你发现一个事情，后来牛顿和莱布尼茨这俩人。它构建了什么？把这两个人之间的关系构建出来了，他说什么情况？

我进行去计算，这个定积分。其实，核心重点算绝对面积，我算这个定积分，你只需要计算出来一个原函数。然后再把上下限带进去就行，你发现上限带进去是八下限带进零等于三分之八哦，它解决了这个问题。因为不定积分的话，这个东西顺理成章，我们学极限学导数学了，导数再学不定积分a对b求导是CC对b积分是a，这是不定积分。但是你发现他把这两者构建起来了，

他说这个定积分怎么算呢？他就是算出一个原函数，再把上下限带进去。哦，计算出来定积分。那么，在计算出来定积分，我也就计算出来这个面积，那么在这里面当中啊，一些很多这种一些特殊图形的面积，或者后面过程当中学的体积，一系列的问题啊，我们都可以算。这是非常具有实际意义的。你想想是不是这非常具有实际意义，

所以接下来过程当中，我们来看看这个事，所以大家注意啊，这个公式你要好好进行感受。它真的是具有划时代的意义。原本你求你的绝对面积。我求他的敌人。你求你的爹，你求你的绝对面积，这两个八竿子打不着的两件事情，结果你发现哦，这两者之间确实有关系的构建出来，这个关系。然后不光会算了定积分，会算了定积分就会算了面积，

或者将来体积等等一系列问题，这是非常具有推动作用的。所以接下来过程当中啊，我们来看看浏览公式。那牛栏公式讲了件什么事情呢？他讲了这个内容好，我们一起来看看。他说这个问题，他说这个人请注意啊。这个人是这个人在这个区间上的什么？一个原函数。大家注意一个原函数。它不需要所有原函数，是一个原函数，同学们想想原函数是什么意思？

原函数就是不定积分吧？对吧，我就计算出来一个原函数。我不需要算出全体，你算出一个原函数，比如说我这样写，这叫一个原函数，再加上c。那么，在这种当中，我们就可以看到一个定积分。它的结果等于多少呢？就可以算出不定积分。算不定积分，然后再算出一个圆环，

不用加c啊，因为你都知道一个事情，比如说你这是fs+c，你把这个a和b带去。你把b带去的时候是FB+c，你把a带去是fa+c，这俩c是约掉的。啊c是约掉没有关系的，所以同学们注意我找一个原函数就行，不用诶。他怎么来了？所以在这里面当中啊，不用进行干嘛？不用把这个啊，全体原函数都写在这，

所以我只需要算出一个原函数。再把a和b带进去，那带进去的话，你发现b的值再减a的值就行。能听懂我的意思吗？所以将来过程当中啊，我就会计算了。我就会计算这个人了，比如说举个例子，我们来出一个题。你看里。这是零到一，然后这是es 1，加上es ds怎么做？我就可以找到这个原函数，

那这个原函数等于多少？那这个原函数不定积分呗，不定积分会算啊，那积分结果就是ln多少一+1s。es往后面凑，然后补个1 lone它，然后接下来过程当中把零和一带进去，把一带进去的话就是lone多少lone 1+1。把零带进去多少ln 1+1，这是二，所以这个结果就是这个人。你看清楚了好了，那么接下来我们再来看看第二事情，比如说我们再除一个，比如这是零到一，

然后这是s 1+s^2 ds。那这个题呢？我算出它的原函数，然后我就怎么办？往后面凑二分之一l多少一加上x方，这是正的把零和一带进去就行。那带进去，结果的话，你发现这是二分之一公有的把一带进去呢，一带进去是ln二把零带进去呢，零带进去ln一ln一是零，所以说二分之一倍的ln二。所以同学们这个事情的出现，它就为我们的这个定积分的计算提供了非常大的方便，就非常非常简单了。

那你想想，你只要会算不定积分，你就会算这个定积分，对吧？只不过是多了一步代指呗。是不是这个事情，所以接下来过程当中啊，大家进行思考一下，好好进行，想一个问题，那不定积分定积分，通过牛奶公式的转换。其实就转到了不定积分的计算，那不定积分有几种运算性的方法，定积分是不是有几种？

那当然是这样，不定积分有几种计算型的方法，定积分就有几种计算方法，那么在这里面当中，不定积分有几种呢？我有凑微分。我有第二类换元法，我有分步积分法，那同理定积分也有啊，那么首先我们先看看第一种，我们也有凑微分法呀。对吧，定积分也有啊，也有错位分，比如说这里面当中啊，

我们来看一个题，先来看看离。呃，我这里面当中出了一个事情，比如说这是。零一到一到二，然后是x三次方，然后这是x平方ds。好，一起来看看这个人。那么，同学们告诉我个事情，你看这个题你怎么做？这个题怎么做，你就去想，

原来不定积分怎么做，所以原来不定积分的能力非常的关键。考研喜欢考定几分，那么接下来过程当中怎么办？我就立即想，哎，把这个平方凑到后面去。这个平方凑到后面去就变成多少凑微分过程是积分过程三分之一I三次方，所以接下来过程当中啊，这是三分之一，然后是e的I三次方。d三次方，所以说接下来结果就变成了一的I三次方一和二。那这个时候的话，它就变成了三分之一，

然后是e的多少八次方再减去e的一次方好，这个结果就做完了。大家学会了吗？所以你看原来不定积分，我怎么做？我定积分，现在怎么做？我还是凑一分，你凑一分，我凑分，只不过最后怎么办？我只需要找到一个原函数在带值就行。但是这里面当中我有一个问题，大家好好听啊，有一个问题。

我想问你个事情，请问在这一步的时候，这个上下限谁的范围啊？啊，谁的范围？就在这一步的时候的话，你发现这个上下限谁的范围？谁的啊？是s的还是谁的s没有问题？那么，接下来过程当中，我们再看这一步，请告诉我个事情，这个上下限谁的范围啊？你要注意，

重点来了请告诉我，从这一行开始看，那这个人上下限谁的范围啊？谁的啊？谁的？三次方。是三次方的范围吗？是吗？这就错完了。大家注意啊，这就大错特错了。你就会发现一个事情，这是很多同学原来大学学的没有学的特别好的点。大家进行琢磨一个事情，你听好了。

我在第一步的过程当中，我是不是仅仅是把这一步怎么办？你看我就把这一步凑到后面去了。请同学们告诉我个事情，这是不是个恒等边形？啊，这是恒等变形吧？对吧，就说我把is方凑到后面去了之后，这是到了下一步是恒等变形。那恒等变形的话，你发现上下限范围应该不变啊，照你这样说的话，这是三次方，你解一下这个s范围，

跟上面s范围不一样了。大家想一个事情，那么在做题的过程当中，虽说这个题我肯定是会把什么会把这个平方凑到后面去，但是同学们想想，我就凑一个s行还是不行？假设我就凑了一个s，我就变成这样，难道这个时候的上下限又变成平方的了？那我凑，这个什么我凑四个s行不行？难道后面变成五次方的了？那我我想凑谁就凑谁，你都知道一个事情，我从这个积分的过程当中我。

我把谁凑到后面去是非常坦然的。我想凑谁就凑谁，难道说你发现你凑谁这个上下限就不一样了，你凑谁上下限就不一样了吗？不是这样子的。所以同学们，你记清楚一个事情，凑微分不会改变上下限的所属关系。上下限永远属于那个积分变量那个字母的。听清楚了吧，它仍然是x。这是个盲点。因为这个内容会帮助我们一块学第二类换元法啊，所以说你要学清楚，记住了，

凑微分不会改变上下限的所处关系。你把它凑到后面去，这个上下限所属关系永远属于那个最简单的那个积分变量字母的。听懂我的意思吗？这是这个问题，那么接下来过程当中，我们再来做一个题，看一下四点九这个题。好来看一下这个题，你看这个题怎么做？那这个题说零到二分之派，然后是cosines五次方，然后这里面当中又来了个三，那这题怎么做？非常简单吧？

那么，首先第一个事情，你发现这里面当中的这个s in就可以凑出cos啊？所以说把这个s in凑到后面去就变成cosine配符号。对吧，然后接下来过程当中就是负的六分之一coss的六次方把零和二分之派带进去。这负六分之派是公有这个代值，要注意啊。cosine 2分之派是零，cosine 0是一零，减一是负的，负负得正。那么，接下来过程当中再告诉我个事情，你看这一行x是零到二分之派没问题，

但是你告诉我个事情，现在这一行是谁到零到二分之派？你不要说不会啊，谁还是x？你把它凑到后面去，不会改变上下限的所属关系，凑未分不改变上下限的所属关系，这个非常重要，一定要想清楚。好，这个题啊，我们就说到这。能说不清楚吗？第一个问题。呃，

我再来找几个题目再做一下吧，对吧？再做几个？呃，稍等一下，我找几个题，我们再练一下。呃，我来写一个题吧，比如说我们来看看这个题。零那这个题是零到二分之派。然后是sin x三次方。coss的平方ds好看这个题。呃，这个题啊，

请用两种方法来做。这是一个，然后接下来过程当中，我们再来一个。然后是零到派根号下。sins再减去sins三次方ds好，我们来看看这两题。呃，第一个题的话，你发现一个事情就非常简单了，我说了用两种方法来做。好，我们先看看第一种方法。那这个题的话，你发现一个事情是零到二分之派区间段保证，

然后第二事情的话，你发现一个问题，哎，我又看出来是s in和cos。我就把这个cos写成多少？我就把这个c写成了一减三方。那这个时候一做的话，这个题我就可以使用点火公式了，那就是sins的三次方再减去sins的五次方。是不是这个事情？点火那一点的话，你发现这个人是多少？三二结束，这是多少？五四三二结束。

已做出来呃，这是这个题当中的第一种方法。那还有没有方法呀？好，我们再看方法二。还有没有方法？那这个题的话，你发现一个事情，我在这里面当中稍微瞅一下。你这是多少？你这是sins的多少四次方？啊这这这个三次方，然后这是coss方，还有没有方法？对，

我可以把cosine凑一下。对吧，我抽一个cos in到后面去，所以说这是零到二分之派，然后这是sins方coss方，我抽一个到后面去就变成多少变成cos in。然后配个负号。是不是这个事情哎？不不不，别用二倍角，你再用二倍角就做不出来了。你要用二倍角这个题就做不出来了。所以接下来过程当中，你发现一个事情，现在这个积分变量已经变成了cos in。

我就非常喜欢cosen吧。我喜欢cos in，那在这里面当中，你就可以怎么办？你把这个人就写成一减cos in的方。然后是coss方d cos诶，这题不就可以处理了吗？那如果你把cos in看成t，那就是一减t方再乘上t方dt。所以说就变成了零到二分之派cos方d cos，然后是负负得正零到二分之派。cosine四次方d cosine。是不是这个事情？所以凑了一下了之后，剩下的人都变成cos in，

那接下来过程当中，你看这个人积分是多少负的三分之一cos in的三次方？零和二分之派代进去。然后再加上五分之一coss的五次方零和二分之派代进去。那这个时候一代的话，你发现一个事情，这是负三分之一把二分之派是零零代去一，然后这是五分之一二分之派一代零零代一就出来了。你看这个方法，这个方法也可以。我觉得也挺好，也是使用凑微分的方法来处理。当然，第一种方法更快呗，你点火公式肯定更快呀，

我们作为考研的学生的话，你发现第一种方法肯定要会。你如果第一种方法都不会，这考研没达标啊，这是第一个问题。过去了，可以吗？哎，第一个点。呃，如果你用二倍角的话就不行，为什么因为这个后面变成了cos in？你用二倍角其实就变成了。它2x那这个积分变量字母的话就不好用了。好了吗？

同学们来，我们再来看个题，你看看例三这个题这个题啊，非常好的一个题。好，那么接下来我们再来看看这个题。啊，这个题啊，很有意思。接下来过程当中，我们来看看。首先第一件事情，这是领导派。那么，这一点当中看起来其实非常简单，

你首先第一个事情的话，你就把这个s in提出来呗。你三一提出来，这不就一减cos in吗？一减三方不就cosine方吗？这个点。那没问题啊，所以说接下来过程当中，这是领导派吧，这是根号下s in。然后这个一开始co是不是ds啊？然后接下来过程当中，这是零到派是吧？这是s in，然后cos in往后面凑是s in，

然后接下来过程当中就可以做什么呀？是不是啊？对不对？这题费完了啊？你如果是这样做，那么接下来过程当中确实可以记那二分之一的话，不就是这人都多少二分之三？然后是三分之二，你把零和派进去，你零和派带进去的话，你发现零和带零，那这也是零，那这是零。大家注意啊，这绝对不对。

这个题是一个非常大的好题。非常好的一个题目。相当好的题，大家有没有发现一个事情，我们来看看一个人。我来在这里面当中看看这个图形。哎，你发现那这里面当中，这是cosines，然后这是零，这是s。那么，在这里面当中的这个cosine图像是什么？cosine图像是这样。哎，

这是cosine图像，那cosine图像的话，在这个区间段内有正的也有负的吧？有正的也有负的的话，你发现这个coss方应该等于多少？我们原来在第一章就讲了根号s方不是s是s的什么绝对值？所以说这是coss的绝对值啊。那么，在零到二分之派的这一段，它是正的，它就是cos in。在二分之派到派的这一段，它是负的，应该等于负的cos in。所以说这个题啊，

你发现一个事情，我们真正应该怎么做好，那么接下来我们来看，那这个人就变成了分析。哎，这就是分析，所以这个题真正的求解应该怎么做？操作性很强，那么这个题的话，第一步是零到拍。然后这是多少是是s in，然后是coss的平方ds。对吧，就这个人那么接下来过程当中，我们就可以做了来解。

那么这个题的话，我们接下来过程当中看看怎么处理呢？第一件事情，你得把这个人写成什么零到派，然后是根号下这个s in。然后来一个cosine的绝对值dx。这没问题吧？但是同学们注意，我们都知道零到二分之派的时候是正的，然后二分之派到派的时候是负的。那我就利用区间的可加性可加性了之后的话，就变成了这个人。乘以cosine的绝对值ds。然后这个人乘以cosine的绝对值ds，我一步都没给你跳，

我希望你学的清楚一点。那这个时候的话，我们接下来看看这个第一个人，那第一个人的话就是零到二分之派，那这是s in那这个时候你发现cos是正的。对吧，这人是真的，那真的的话，你发现这个人就等于自己。然后接下来我们发现这是二分之派到派。那这是多少根号下s in那这个时候你发现这一段它是负的负的，反而等于相反数前面变成减号cosi nd x。所以说这个题应该这样做，那么接下来过程当中，你发现零到二分之派，

这是s in SD多少往后面凑是s in。然后这一段呢，是二分之派到派根号下这个sind多少s in是不是这个结果，因此这个人呢？那就是。s in这个人。它的二分之三次方三分之二把零和二分之派带去，然后再减去多少是三分之二，然后这是sins的二分之三次方。把这个什么二分之派和派代去。是吧，就带进去，带进去了之后的话，我们先来看看这里面当中第一个人三分之二。把二分之派带进去是一，

这是零，然后再减去三分之二。把这个派带进去呢，派带去是零把这个人带去呢，这个人带进去一，所以说这个结果等于三分之二加上三分之二。等于三分之四能听清楚吗？你看这个题好题呀，哎，非常好的一个题。所以在这种当中做题的时候小心一点，还是回到我们一开始讲课那个内容就是根号x方等于多少？对吧，一定要稍微小心一点，你这块出错了，

这个题就废了，我们在这种当中考的这个内容考的也不会说特别特别的顶难。但是这里面当中的细节性问题啊，你得想清楚。好了没啊？你可以想象出的一个事情，我们原来过程当中啊，学习的这个不定积分的运算能力重不重要？重要吧哎，你终于知道我原来过程当中为什么给你们进行长达那么多天练步定积分？虽然不定积分的直接性运算考的少。但是定级分考的多。它在这里面当中会使用啊，所以这是我们在这里面当中介绍的问题。好了，

这是我们在这里面当中啊，介绍的第一个信息点，那么接下来过程当中，我把这个上次作业。有两个题，大家注意啊，这个二七五这个题啊，下节课再做能听懂吧？哎，你下节课你再看看这个题就行。因为有些同学不会做这个，第二类换元法，因为第二类换元法要换元要换线啊，这个题我上次布置超了，对吧啊？

可能有些同学没做出来这个题，你先放了吧，下节课我再讲啊。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个题。这里面当中啊，有个这个题，我把这个题讲讲。噢，我把这个题说一下。来看看这个题。呃，你们先不用管这个事情，因为这里面当中啊，

这个里面当中有一个什么有一个换元法。还有个事情，这里面到就那个题有个细节，我问你个事情。这俩人一样不一样。这两个不一样。这个人的意思就是给这个人的平方取对数。这个人的意思是这个人的平方，你要注意啊，考试人家怎么写考试都是这样写的。它不一样，只有这个情况下才能把二给我抛出去，变成它。你听得懂我的意思吗？这个情况下，

二才能抛出去，你这个上面能抛吗？你上面你把二抛出去，你可太秀了，变成平方一个人的平方变成了二倍的它，你不是胡来吗？那纯属胡扯了啊。当然不行啊，你要注意一下，来看看这个题，这个题其实考了我们上节课过程当中啊呃，考的那个定义性问题。能听懂吧，哎，考的定义性问题，

那么接下来过程当中，我们来看看这个事情。考点考的是什么呢？同学们，我们来思考，那么当时过程当中，我们来看dnd k个条。就靠这个人。那么，首先你发现第k个条，第k个条的话，它这个部分它是这个人。对吧，用这个点的函数值做高，再乘上这个人。

对吧，这是高再乘上这个点，然后接下来过程当中，你再求个和去极限。你知道我为什么出这个题吗？星火比较害怕。老投资过程当中，去年你发现都能玩到那种程度，那么今年再给你玩一个特殊性的呢？一般性的呢？你也得会做。所以在这里面当中，我们来看看这个事情，那就多少n趋向无穷大，那个底是n分之b减a。

然后接下来过程当中有个求和是k从一到n。取的右端点是a加上n分之b减a有多少个k个？就这个人，他等于多少a到b，然后这个定积分，大家注意啊，这个题考了咱就赚大了嘛。哎，这种题考了真就赚大了。所以接下来过程当中，你发现这个题我们来操作一下来解。呃，这里面当中啊，很喜欢玩一个人喜欢玩这个对手。喜欢玩这个对数函数，

那这个对数函数我们讲慢一点，你看这是n趋向无穷大，然后这是sigma，这是I从一到n的求和。然后这里面当中有个对数，那对数是多少呢？是a加上n分之b减a，然后乘上a。那这个人的n分之一次方。那么，同学们注意给那个人的头顶上n分之一次方，他是可以抛出去的。抛出去可以抛到这儿，然后其实你可以抛到这儿，因为对于求和n是个常数嘛，

然后就变成了这个人。能听懂我的意思吗？就变成这个情况。变成这个情况了，之后的话，那么接下来我们继续，我们再来看。那么所以说哎，不是幂值转换的，不是幂值转换。直接就抛出去就行，那么在这一步的过程当中，利用了这样的一个特性。就是阿尔法贝塔。好，

这个人那么接下来过程当中，我们再来看我们刚才说了这个前面的过程当中不是要这个人，我要的是多少？n分之b减AI从一到n的求和。这三剑客具备了吧？第一个人，第二人，第三人，三剑客都具备了，这三剑客都具备的后面过程当中是不是这个人的函数？是的a加上多少n分之b减AI是它的函数吧，所以说在这里面当中，前面要来个b减a。那所以说这个结果就等于多少，就等于a到b，

你要注意啊，这个人他就是谁呢？就是a加上n分之b减a。再乘上I的函数，所以说fs是多少是ln sds？呃，这个积分会做吧，我们稍微做一下分布积分法就行，你看你这里面当中，你给这个lo e ns进行一个分布积分。那分布积分就是两项相乘，然后再减去两项调换位置。哦，这分之一。两项相乘，

然后再来两项调换位置。哎，调换位置，然后这是ds，然后结果就是is倍的lns再减去多少x+c，你可以把它代进去。啊，这就可以了。所以说在这种当中啊，你发现一个事情，你最后积这个分呢，大家注意一个事情，我们先说呃，这节课做。你就直接用牛来公式算出原函数，

再带值就行。其实下节课我们会去讲定积分的分布积分法。定积分的分布积分法就是两项相乘，要带值两项调换位置，要带上上下限啊，就这样的一个内容。同学们，能听懂我的意思吗？好，这是这个事情，所以最后一算就出来了。那这题考的什么就考了这样的一个一般性定义，这太重要了。呃，如果这个题考了，

我相信你就比有些同学甩了一大截。有些同学估计就被你甩开了，所以说这个东西的操作性还挺重要，好，这是我们在这里面当中啊，介绍的这个题。然后在上次过程当中，这个题你留一下。嗯，下次过程当中再做吧，下节课讲了分布积分法再做，所以上次这个作业啊。没有布置好，有点不好意思啊，这个275题啊，

你先放下，下节课讲完了再做。还有一个是多少呢？278题先放下，下节课讲完了再做好不好？同学们，然后这个题是昨天晚上的睡前系列的题，你还记得吗？就这个讲。这个题是昨天晚上的睡前系列的题。啊，也就说刚才那两个题你没有做出来啊，这个原谅自己好不好啊？原谅自己这个题是昨天晚上的睡前系列题。哦，

这是这个人。行吧，那么接下来我们来布置一下这个今天作业吧啊，我看一下啊，281。282好了，这两题啊，这两题的话，你发现一个事情啊，会操作了好了，那么接下来我们再来看283。哇，284题太好了。284题的话，你发现一个事情，

这个题的操作性非常好啊，非常非常的棒，那么在这里面当中啊，有个cos。有个s in比s，然后是s in比上这个人，你要注意一下这个题啊，284题好好想注意这个题是我们的考研类似的真题。这是我们的真题的原题，这是真题的原题，这题太好了。你好好想。然后是285题，286，287，

287是我们上节课讲那个题的加强版。哎，加强版好了，这是这个事情。呃，然后接下来过程当中，我们再来布置几个。288。289。290。好做下这几个题。就做这些题。呃，就是把我再说一下啊。280题。

280。到287。280到287，然后就是288，289，290。好了，那么接下来我有一个重点的任务，大家注意一个事情，那么在下节课过程当中，我们会有好多这个定积分的运算。大家来看看这些题，你瞅一下这些题，这些题你发现个事情，它最后的核心思想都考了什么？

其实都考了我们原来的不定积分。对吧，都考了不定积分，所以说大家注意一个事情，那么趁着这两天有时间去好好把自己的不定积分的错题。然后再看看。听得懂我的意思吗？所以大家注意啊，你不要到了下节课过程当中，你定积分刷不动了，你又再进行去想这个定积分，所以每节课程的这个课程呢，我是有设置的。你要稍微注意一下这个问题，你听懂我的意思吗？

所以这两天过程当中啊，把自己不定积分的那个错题，你再看一看。能听懂吧，如果这一块你做的足够好，你下节课过程当中啊，做这个定积分呢，你就做的非常的爽了。你看这些题对吧？你发现这些题这些题的话，这个定积分也有好多题。而我们考研过程当中，特别喜欢考定积分的题，一定要注意这个事情。呃，

那么今天课程呢？我们就讲到这儿，然后下节呃，下节课我们就继续呃，然后的话下去过程当中把这块内容好好做下，你们不要着急啊。你不要着急，你去看一下吧，差不多是。四月份。你看今天是三月底了。四月份的中旬，我们就开始概率论与数理统计了。差不多是五月初的那个样子，我们就开始线性代数了。

然后就差不多没了你的概率论与数理统计，只有三章内容。只有在这种当中的随机事件及其概率一为随机变量，还有在这种当中期望和方差只有三章内容。而你学习概率论与数理统计，你要注意一个事情，必须要拥有高等数学的基础，你好好听哦，你没有高等数学基础。你不要去学概率统计，你学不动的，那么在我们将来过程当中，你去看看这个讲义，我为什么在这种当中你会发现今年的课程当中啊，我们这个编排。

跟数一数二数三同学的编排不一样。哎，不一样，那么在这种当中，我们把这个高等数学学完了之后，然后就紧接着去学这个。哎，这个是概率统计评。噢，我们先继续去学概率统计题。所以大家注意一个事情，我给你看看概率统计。在概率统计当中啊，我们有好多这个东西啊，需要进行去积分的一些部分内容，

你看这里面当中有些涉及的这个积分的内容。你这个积分的部分的内容啊，你自己一定要好好进行，去把高等数学，尤其是定积分，这段时间你好好学学。因为将来过程当中还会有。那将来过程当中还得用还得用这个积分，那所以要注意一下这个事情。呃，这一块东西啊，慢一点是没有关系的，所以不定积分和定积分这两章你稍微的战线拉的长一点。把这个基础打的这个稍微的打的扎实一点，我觉得是非常好的。

能听懂我的意思吗？所以不要急。你你说你现在复习完了又怎么样呢？对吧，你现在复习完了，你比如说这个三月份复习完了，你发现复习的不扎实，你再来一遍，再来一遍，一定要做扎实一点，而且我们时间很多很多。啊，这时间还早的很呢。如果你觉得你这个数学我们已经学到这个位置，大家听好了，

我们已经学到这个位置，你已经学的足够好了。你去看看你的逻辑对吧啊，看看你的英语对吧，再进行去复复习一下你的英语。所以大家注意你的这个数学的这个进度，就跟着我的直播课程的进度走就行，你不要进心去着急，这个事情我讲到哪个部分？你就复习到哪个部分就行，后面的部分内容就算是零基础，从来没学过，那是我的事情，我会把你讲懂。但是注意一个事情，

学到这个位置，之前的那些部分东西你得多进行复盘。能听懂吧哎，如果你学到这块的话，你发现哎哎东西的话，我都做完了，那你下去过程当中两个事情，一个事情是把之前的部分内容你再进行复盘一下。另外，事情你还有别的课程呢？哎，不要着急，这个问题。好了，那么今天课程呢？

我们就讲到这哦，不不晚不晚。你着啥急不晚啊，稳稳当当来，如果你是这个最近才开始也来得及。对我们三九六同学也来得及，完完全全来得及，所以你下去过程当中把这个有些部分的东西啊，你自己再看看。前面补课的时候慢一点稳一点啊，慢一点好了，那么今天课程呢，我们就讲到这，你自己下去过程当中好好处理吧。然后的话那个。

呃，复盘那个直播课程呢？是在那个四月四五号吧，到时候我们通知吧，然后是我们下次课程的下。之后了，然后所以说下节课过程当中啊，我会给你们通知这个事情的好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，所以希望同学们下去过程当中两个事情。做好复盘啊，该复盘了，学的东西已经很多了，那你到极限还怎么样？

你的导数还怎么样？导数的这个微分学应用还能记得吗？然后到了后面过程当中，还有这个不定积分学的东西还挺多的，好好进行复盘好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，自己下去过程当中好好处理好吧。下节课见吧啊。

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19.定积分的性质（2）与计算（1）-2

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