18.定积分的定义与性质-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:43:19

好，那么接下来我就继续回来了啊。呃，刚才那节课的声音，哼，我之前跟你们说过，对吧？你自己稍微注意一下，就是我刚才上课的那个声音，跟以前的声音怎么样？现在的声音跟刚才的声音有区别吗？没有区别吧，刚才那节课呢？啊，你们上课的时候稍微注意一下对吧啊，

因为有的时候他我也不太清楚这个，他自己就切换了，我这边有一个外接的，这个有一个麦。呃，然后的话，这个还有一个是他自己的，这个电脑上带的啊，好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个题好，我再重新说一遍。那么，如果在这个考试过程当中啊，你要注意一个问题，

如果它是数列机型，而且它具备求和形式，大家注意，首先想什么？首先第一件事情想定积分提议。哎，你先继续去想定几分之一。那定积分定义的话，核心重点就三步，第一步一合二提三照相，所以首先第一件事情，我们先把这个东西啊写成求和形式。你注意啊，就像这样的一个题，它都有可能考成我们今年的考研真题。

好，我们先写求和那么写求和的话，你发现一个事情，第一事情它是n加一分之一n加二分之一n加三分之一，你就写成n加k分之一。然后k从几呢k从一加到n好，这是第一件事情，一和和完了之后的话，第二件事情干嘛来凑三剑客？那这个人有了提出一个n分之一三剑客，是不是就有了？那这个提出了n分之一了之后的话，你发现后面这个人呢？来看看。提出n分之一的这个人变成一，

这人是n分之k，然后分之一，那么请告诉我个事情，后面这个人是不是n分之k的函数啊？它是的，后面是n分之k的函数，我就能找到x啊，这个fx一加s分之一，把它扔到零到一的积分当中。我能不能稍微讲一点，定几分呢？你就算没有学过也没关系，你先知道这样算下节课，我会重点讲的，我能不能讲一点这个人的原函数怎么办？

原函数是ln 1+s对吧？的绝对值。因为x是零到一，这个人是正的，你就加括号就行，把零和一带进去可以吧？哎，稍微讲这一点就是。把这个分析出来，然后把零和一带去，因为是零到一是正的，不用加绝对值了好，我们现在把一带进去是love 2。把零带进去是ln 1 ln 1是零，那这是ln 2，

所以说这个极限结果就是ln 2。你看这个极限，结果它就是lone 2，这个结果对吧？这是第一个事情来，我们再来看看第二个事情，继续吧，你看这个人是一个数列极限吧。而且它具备求和形式，首先先想什么，先想定积分，第1n趋向无穷，大把这个n的p+1次方写到这儿。因为你发现这个求和其实是在这儿进行求和的。那么，

在这儿进行求和的话，你发现看一的p次方二的p次方三的p次方，你就写k的p次方。然后k从减k从一加到n。跟得上吗？一的p2的p3的p4的pn的p从一加到n啊，这个非常简单啊，好了，这个事情的话做完了之后，那么接下来过程当中，我们继续来。凑三剑客，极限有能。求和也有了。但是这个N多了哎，

你发现我只要n分之一那多的怎么办？多的塞进去那塞进去就n的PK的p。是不是这个事情，然后接下来过程当中，你发现你看这前面是三剑客n分之一，然后这是k从一到n这后面这个部分呢，那这个后面这个部分不就是n分之k的函数吗？是的吧，是n分之k的函数的话，那么接下来过程当中，我们看把这个n分之k改成ss的p次方ds。我讲一点点啊，来记出来它幂函数积分就是升一级再翻一下。期初，一个原函数把零和一带去。

然后接下来过程当中只p加一分之一，公有的把一带进去是一零带去零，所以说结果等于p加一分之一跟得上吗？我没有讲什么，就是如果这个定级分，你实在是接受不了，你不想知道这样算，你不知道为什么这样算，你先放到这儿，我下节课还会讲的。能接受吗？啊，就这个定积分，所以它的核心重点是在这儿，那么接下来过程当中，

我们再来看。同学们，我们原来过程当中讲过数列极限吧。数列极限，还记得吗？我来问一下大家，我原来过程当中讲数列极限的这个计算，我讲了几种操作。我们有连续化处理归结原理的方法，还记得吗？把n换成x。归结原理的方法，而且我还讲了一种方法加逼准则的方法，是不是这个事情我还讲过加逼准则？诶，

那这个时候的话，同学们，我把这个题给你往前翻。好，我们来看看前面。把你的讲义翻到这个例一点五一这个题好，那么接下来过程当中我们再来看看这个题一点五一这个题。你还记得这个题吗？那有些同学就纠结了老师，那这个人也是数列基金啊。那这个呢，也是求和形式啊，那为什么使用了加b准则呢？好，那么接下来过程当中，

我给同学们形成一个完整的体系。将来过程当中啊，不要再纠结这个事情，这件事情在我们三九六同学简直就是达到了巅峰，不会再有其他的情况。所以接下来过程当中，你好好听就行，这一年过程当中就玩这个体系好，我们一起来看，首先第一件事情你发现。是不是数列极限？是数列极限没问题，第二事情有没有求和状态，有求和状态没问题，数列极限求。

求和形式都具备了，那既然都具备了之后的话，首先第一件事情，我们先想什么告诉个事情，先想什么？先想定几分定义来吧，同学们，我们一起来写定几分定义。那首先第一件事儿，先把它写成求和形式来，我们走那这人是多少是n的平方，加上n。加上一分之一加二分之二加三分之三，你加多少加k分之k？变动的这个结果就是一二k这个人那么，

然后这个k从几呢k从这个一加到n。是不是这个结果，所以接下来过程当中，你发现一个事情，这是第一步，第二步来凑三剑客，三剑客把n分之一提出去。提出去了之后的话，你发现一个事情来，我们提一下。提出去了之后，我们来看看这个颜色。好，我们提了一提的话，你发现这里是n，

然后这里是一，然后这里是n分之k，这是k，那么请同学们告诉我个事情，请问这是n分之k的函数吗？啊，是不是啊？我们一和二题第三步要找相，你先告诉我事情是n分之k的函数吗？也就说那上下同时除个n不就是了吗？你同时除了个n你这块n分之一这块多了个n。它就不是n分之k的函数了，大家注意，如果它不是n分之k的函数，那告诉我个事情说明的是什么问题？

说明了定积分定义怎么了，是不是就失效了？啊，是不是就失效了？如果这个定积分失效，你请记住立即选用加b准则。你发现个事情，这不就是我们想要的套路吗？这不就叫套路吗？那所以说将来过程当中，这就是你的体系。所以将来不要进行去啊，可能你看到一些书籍说啊，这种样子加倍准则，那种样不需要。

不需要，只要考察数列机械，只要它具备求和形式，我先想定积分定义，只要定积分定义能做，那就做完了。如果定期分地做不了，立即选用加倍准则，这两套哎体系你发现一个事情，把我们三九六同学我们就推上了个巅峰。你将来过程当中不可能做不出来这种题，你绝对都能做完好这个事情，我就讲到这。好了，这件事情我们就说到这吧，

所以下去过程当中一定要进行去思考清楚这个问题，因为你发现啊，对吧？这个方法的这个选。选取都很重要。不一定是n分之I，它也可以是n分之k减一，也可以是二n分之二k减一的函数，还记得吗？它不光是右端点，也有可能是左端点，也有可能是终点，那么接下来过程当中啊，我来给你讲一个问题，大家好好听啊。

你看这道题，刚才我给你讲过，这是二零二一年的真题。那么，数一数二数三同学是一九八七年。一九八七年是第一次考研，那么第一次考研的话，你发现它一直到了二零二零年之前。它全部考察的都是n分之k这个右端点，你记住这个历史啊。从一九八七年到二零二零年，30多年的时间，它基本上都考的是右端点，也就到了二零二一年的时候它。他稍微的过渡了一点点，

我觉得这个事情很正常，你看从八七年的时候到二零二零年考了30多年的右断点。我今年过程当中过渡了一下终点，不过分吧。你觉得过分吗？不过分呐，因为这个定期分题实在是考的没法再考了。对吧，你发现右端点，右端点，右端点，而且这种题出的贼多不是多特别的多。这个定积分定义的考题是考研中的黄金重点内容。那么，紧接着过渡一年不过分吧？

但是你发现我们呢？来，我们来看看我们的真题。这是我们去年过程当中啊，二零二三年我们的考研真题。我们怎么办？我们只需要一年啊，我们只需要一年，也就说从来没有出过这种题。二零年之前的真题，我特别不想谈，就是二零年之前，二零年之前真题，我从来不想谈，因为我觉得没有意思。

对吧，我觉得没有意思，二一年之之后的真题，我觉得还有意思。你看他把这个东西啊。他只需要用了一年就考到了终点。你能看出来这人是重点吗？因为是二n分之多少二k减一嘛，你看二n分之二k减一嘛，这明显就想考重点。对吧，这个东西不就想考重点吗？所以接下来过程当中，我们来看看这个题，你今天过程当中啊，

你肯定会做，你看这是limit n趋向无穷大。对吧n趋向无穷大。数列极限求和形式，先想定积分定义，先想定积分定义的话，那在这里面当中，你发现你得补一个。你补一个了之后的话，你发现一个事情，你得在这儿再来一个。对吧，来一个，然后接下来过程当中，你发现你看这是二n分之二k减一再乘上派。

那么，同学们想想一个事情，你看这个人是个常数吧？那是常数啊，对k求和你是常数，而且我都知道，如果n趋向无穷大的时候，这个人极限是几真极限是二分之一，非零因子。哦，嫖出去，你看后面是二n分之二k减一的函数，那这里是非零因子，那这个非零因子我就可以淡化了呀。我一旦画的话，

你发现变成了二分之一，然后接下来过程当中n趋向无穷，大n分之一，然后这是k从一到n。然后这是多少s in二n分之二k减一派，那么同学们告诉我事情，请问这后面这个人？是不是我刚才说的那三种函数啊？是不是啊？如果你是n分之k减n分之k的函数，可以你是n分之k减一的函数也可以。你是n分之多少呢？这是二n分之二k减一的函数也可以，你是的吧？你是谁的函数？

你是？二n分之二k减一的函数，你考的是中点，所以同学们我们就可以解了它的结果就等于二分之一。零到一把这人换成x，那就是s in派xd x。老头子不讲武德，我们只需要了一年。然后就考到了终点。所以说我觉得这个题是去年所有真题当中最不讲武德的一个题。这是最不讲武德的题，为什么呢？如果去年过程当中考了一个右端点，我觉得我能接受。我觉得可以接受。

因为我们从来没有出过，而且定积分定义又非常的重要，出一个右端点没有关系。但是你发现他不光没有考右端点，他直接给你怼到了终点。你说如果去年考右端点，我觉得哎，这个题出的普普通通一般般呗，对吧？哎，考个右端点就行了。但是你发现一个事情，你看在这里面当中一步就给你怼到终点。他都没有过渡，你说我去年过渡一下，

对吧？去年考个右端点，然后今年我们二零二四年考个重点，我觉得都可以，没有关系的。你稍微过渡一下嘛，然后去年过程当中一下都没过度，直接怼到终点。而你发现数一数二数三同学，他用了30多年的时间进行过渡。太狠了，这是去年比较狠的一道题，所以刚才过程当中我就说这个事情，我就说这个题啊，你发现是具有什么？

三九六金宗数学具有划时代意义的一道真题。哎，这是这道真题。所以接下来过程当中，我们把这个算完吧，来算出这个原函数，那原函数在后面补个多少，在后面补个派，然后前面乘上派分之一。然后接下来过程当中这个积分呢，是cos派s配一个符号。然后把零和一带进去，因此前面这个结果刚好是二派分之它好，先看第一个事情。cos派是多少？

cos派是负一。cosine 0是多少？cosine 0是一。那所以说这个结果应该等于多少等于派分之二，所以说这题的正确答案哎，你发现选择b选项。刚才那个答案是不是敲错了，对吧啊？这个题答案选a，这是派分之一啊，选a选项。派分之一，所以说在这里面当中啊，你发现一个事情这个题啊。有点狠啊，

有点狠，所以刚才过程当中，我为什么才开始给你讲课的时候，我就一直跟你说这个问题，我说同学们。在这里面当中，我有一段很想讲的一段历史。你只有了解了这个历史啊，你才会觉得这个去年的考研真题啊啊，去年的考研是有多么的啊，不容易啊，确实不容易。啊，确实不容易，还好的一个事情的话，

我觉得这个去年呢？我记得那个我记得去年讲那个冲刺啊，三九六的那个冲刺。冲刺班的时候。那个冲刺班的时候，我记得当时而言的话，我给你看看。冲刺。经济类的冲刺冲刺。这是冲刺大串讲。我记得一个事情，当时过程当中啊嗯。猜了一下啊，讲了一下，还好讲了一下，

有些同学把它记住了。讲了一下下诶，哪去了？行吧，下课我再找吧。所以在那里面当中，你发现一个事情，这个这个题出的有点狠啊，但是我觉得今天啊，我们把这个定积分定义啊，基本上讲完了。啊，也就讲到了这个东西的巅峰。所以希望同学们下去过程当中，你好好进行去把这个东西啊，

好好串一串，你看今天东西啊讲的比较满了。对吧，这个定积分定义，无论是将来我们上到这个强化，还是上到这个冲刺，我相信这一波内容都非常非常的关键。所以今年过程当中，你像我们这个开的这个三九六全程班呢，我相信大家最后的成绩啊，一定能取得非常非常好成绩的。啊，我们从这个基础班过程当中就把这个东西啊，严格的要求下来，你看这个点。

对吧，这是去年过程当中很多同学冲刺，最后都没达到的一个水平啊，今年过程当中啊，我们把它进行去操作清楚。好了，这个问题啊，我们就讲到这儿，那么接下来过程当中，我们继续吧，刚才过程当中，我们讲了第一个问题，讲了定积分的定义的由来。我们想到定积分定义有一个背景，它的背景是什么？

它的背景叫做曲边梯形的面积。哎，曲边梯形的面积，那么同学们，我们接下来看看第二事情诶，定积分真的就是面积吗？那么同学们，你思考一下这个问题，就说我们将来过程当中，你一定要听清楚，那定积分就一定是面积吗？你再是这个问题啊，你注意一下这个事情，定积分一定是面积吗？这件事情其实我们必须要把它捋清楚啊，

定积分一定是面积吗？因为你发现一个事情，很多同学这块内容学的不是特别好。啊，比如说举个例子吧，我们定积分算出来等于负三。我定积分算出等于负三，有同学觉得说面积等于负三。你还不如不学高等数学。你学高等数学，把自己给学傻了。你见过哪个面积等于负三？你还有将来过程当中，我们去求弧长，有些同学求求一个线的长度能求出负四。

你还不如不学微积分。有了这个内容之后的话，把自己真是学傻了。所以大家注意，接下来过程当中，我们来看看这个事情，我们来画两个图形。那么，在这种当中啊，我们给同学们两个二维的迪卡坐标系。好，那么接下来我们一起来看看这个事情啊，任婷，我来画两个二维的迪卡坐标系。那么，

首先我们先来看看第一个事情。你等我一下，我有点难受。我这强迫症来了，它这怎么超过了我讲课的界面呢？好诶。哎呀，行，就这样吧啊。好了，那么接下来我们就来一起来看看这个事情，你好好听，那么在这种当中啊，如果我给你一条曲线，你看这个ifs。

那这个fs如果在这个x轴的上方。你看好了，如果在x轴的上方，那这是a这是b，那么请同学们告诉我个事情，这一块的面积是多少？这一块的面积，我把它叫做s1，这是我们刚才讲过的吧，我们刚才就讲过那这个定积分。就等于这个面积，这没有任何问题的，为什么呢？因为刚才过程当中我推过呀，你看我刚才的推导。

有没有发现我画的那条线都在x轴的什么方上方都在这个人的上方，都在这个人的上方的话，你发现一个事情，我最后得到的这个什么定积分就是面积。没有问题，但是你发现个事情，万一有一天这条曲线，你看这条曲线，这条曲线跑到这个x轴的下方之后呢？那请告诉我个事情，这个定积分还会等于这个面积吗？我把这个面积记作成s2。那么，接下来过程当中啊，我来跟同学们去推一下，

贼简单，你能学的贼清楚好，大家好好听。你只要刚才把我们那一波定义学清楚啊，那这一块内容相当简单，大家好好听，你刚才过程当中做了几步工作？第一步切分。分。切分完了之后，在其中取出一份。取出其中的一份。那么，同学们想想这个底端长度是德尔塔xi。然后用一个点的函数值做高。

那么，原来我们写这个面积是怎么写？我们是f可塞乘上德尔塔si。那同学们想想你告诉我事情。这个人是朕的吧？那这人当然是真的，因为这个长度是真的嘛，底端长度是真的，但是我想问你个事情。这个点的函数值。这个点的函数值是高吗？这个点的函数值是负的吧？你这个函数值是负的呀。你这量东西一沉，这是面积吗？

这不是面积，这个东西是这个阴影部分面积的相反数。你不是面积你比如说这个高度是负三，你负三这一层是面积吗？不是的，是面积相反数，然后接下来你求个和呢，求个和就是所有面积的相反数。取个极限呢，就是这个曲边梯形面积的相反数。我讲清楚了吗？所以将来一定要把这个东西啊，学的清清楚楚，如果位于这个东西的下方，那这个时候的这个定几分？

可不是面积这个定积分是什么？这定积分是面积的相反数。位于x轴上方的积分是面积，但是位于x轴下方的积分呢？是面积的相反数。你下方的积分是面积的，相反数你这件事情一定要把它想清楚，跟得上我的意思吗？所以同学们一定要把这个事儿想清楚。比如说我们来出个例题。好，我们一起来看，那么在这里面当中，我来给同学们进行去画个图啊，我先编一下我编的这个题的话，

我觉得对我们三九六同学啊，是可以进行去出考研真题的啊。那么，在这里面当中，我们来画一个圆。好，这个。这个长度是一。然后接下来过程当中，我们再来看。这是二好注意啊，这是圆长圆的长度，那么接下来过程当中，我们来算几个人？第一个人请跟我算出啊，

这是负一哦。请给我算出一个事情，第一事情负一到零这个函数的定积分等于多少？啊，这第一个人，第二人请给我算出零到二的定积分，它等于多少？哎，这第二人，然后第三个人，你再给我算一下，从负一到二，它的定积分等于多少？那么，接下来过程当中，

我们一起来看哎，首先看第一个事情。你发现我把这个部分呢，叫做面积叫s1呃，或者不叫s1就叫一一吧。这块小姨。那你想想一个事情，你从负一到零的积分，你负一到零的时候，这个人在x轴的什么方？它在s轴的上方。你在x轴的上方的时候的话，你发现这个定积分，它就会等于什么情况，就等于这个人的面积。

你定积分就等于面积，这个面积等于多少？这面积等于二分之一派半径是二分之一，它的平方所以等于八分之一派。所以说在这种当中啊，马上出来了，对吧？这个定积分，它就等于这个面积。注意啊，这个人半径是半径是二分之一，不是一样小心一点啊，稍微小心一点好，这是这个事情，然后接下来过程当中我们再来看。

他又让我们进行去算什么？算零到二。那零到二的话，你发现一个事情，我把这个人看成第二个部分。对吧，那这个时候你看这个部分的面积是多少？你不要在那瞎整啊，面积面积不是负的面积是多少？来我们一起看第二事情。那这个面积呢？这个面积是二分之一派一的平方，二分之派。面积永远都是真的。对吧，

面积永远正的，但是你发现位于下方的积分呢，它是面积的相反数，所以等于负的二分之派。注意一下这个事情面积永远是真的啊，其实非常简单，就说我面积是多少，我面积永远都是真的，你上方积分就是我面积，你下方积分是我面积的相反数嘛。这有什么好不能理解的呢？非常简单，所以大家注意啊，这个定积分，它可不是面积。

这绝对不对。所以将来你脑海里面当中啊，还是留下这个定积分就是面积，这其绝对错误，好了，我们再来看看第三个事情，那第三个事情的话，它让我们从哪呢？它让我们从零直接记到二。那同学们想想一个事情，你要从多少呢？从负一积到二。你从负一积到二，这个整体的这个面积，你可不可以从从这什么你从负一先积到零？

然后再从零记到二同学们告诉我行不行？没问题吧，这个东西我先讲了，这个东西叫可加性。然后这个部分的定积分呢，它就等于面积。然后这个部分的积分呢，它等于面积的相反数，所以说等于负的八分之三倍，这个东西是抵消的。所以定积分不一定是面积，对吧？不一定是面积上方积分是面积下方面积是相反数，既有上也有下，它会抵消的。

嗯，所以说这个题啊，应该是帮助同学们理解清楚了这个问题。能掌握清楚吗？好注意一下这块内容，我们考研的重点内容。二一年二二年分别都有一道题你，所以说你要注意一下这种事情，像这种定积分的，这种理解性的题。好，这个事我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们来看看考研，特别喜欢考什么呢？

那么，首先我们先来看看我们来出一个题。比如说我们再来看例二。那么，这个例二的话，你发现个事情，我们在讲例二之前呢？我们把这个定积分呢？这个几何意义？我们全部可以写出来。那么，同学们告诉我什么是定积分呢？定积分是面积吗？把这个内容标到笔记上。一个a到bfs的定积分表示的是什么呢？

它表示的应该是这个人y等于被积分函数。与什么情况呢？与x=ax=b这个东西所围成的什么东西啊？大家注意，所围成的绝对面积。不是面积，是绝对面积，什么叫绝对面积呢？上方的积分就是面积，下方的积分是面积的，相反数。如果既有上也有下，他们是相互会抵消的，所以在这里面当中注意这个词儿不是面积，是绝对面积，

你要稍微小心一点。能听懂吧，好好注意一下这节课，我觉得同学们你的收获点呢会比较高一点。好了，那么接下来过程当中，我们来看看一个事情，来看看这个分你怎么做。你看这个人怎么做？那么有人说啊，用莱布尼茨公式对吧？把它写成负一到零零到二，注意啊，莱布尼茨公式还没诞生呢。我们要站到前任的这个发展史当中去，

想你现在定积分，刚定义刚出来。那这人怎么做？这人的话，你接下来过程当中，我们看非常简单。哎，这个人表示的是什么？你先不要分段定积分定义还没出来啊，这个莱布尼茨公式还没出来呢。那这人表示的是y等于绝对值嘛。y等于绝对值是谁呢？y等于绝对值就是这个v。那这个绝对值跟谁呢？这个绝对值跟这个负一。

还有这个二他们所围成的什么情况？围成的这个绝对面积同学们告诉我，它是不是都位于x轴上方？既然都位于x轴上方，那你告诉我个事情，原式这个东西是不是等于面积加和那二分之一一乘以？然后再加上二分之一二×2，所以说这个结果立即出来。跟得上吗？因为位于s轴上方，所以说它的结果就等于面积，那这个时候就出来了，那么在考研过程当中考这个事情特别喜欢考谁呢？喜欢考以下两个人。大家注意把它给我标重点，

我们三九六同学的黄金重点不行，我得敲出来。哎，黄金重点。你要注意我们的考题形式啊，这个东西太喜欢考了，他不是喜欢考，他贼喜欢考黄金重点，那么接下来过程当中我们看两个人。特别喜欢考的，首先我们先看第一个人。第一个人是这个人。从谁呢？从零到a根号下a方减x方的分。哎，

看这个人。那这个人怎么做呢？那么，在这里面当中，我们来看看这个事情，你就会发现一个事情，我们先分析一下，你看我们说这个东西表示的是y等于被积分函数。的这条曲线，那这个曲线不就是x方加上y方等于a方吗？这啥呀？哦，这是个圆，而且这个东西是大于等于零，所以同学们告诉我这是个什么圆呐？

这是个圆心，在原点处半径为多少，半径为a的上半圆。所以说这个内容，它代表了一个上半圆。哎，上半年。那么，现在而言的话，你发现这条曲线的话，就是y等于根号下a方减s方，那么现在我从谁积到谁呢？我要从零积到a。那所以说它其实有对应的，这个圆的面积，

那这圆面积多少？四分之一派平方？是不是这个事情，所以同学们，我一直强调一个事。像这种题啊，不是会不会是你看到这个东西能不能想到？大家想一个事情，如果你在做不定积分的时候，你做这个分怎么做？不定期分的时候遇到这个分，是不是会三角代换0 s=a倍的sint吧？所以下节课我们就会去讲定积分计算，定积分计算也有三角带宽。所以有些同学的话，

你发现这个题他不是说不会做，他是什么情况呢？他看到这个的时候的话诶，他没有想到定积分定义。他反而想到三角代换，他用三角代换的方式把它做出来了。你要注意一个事情，虽然你也做对了，但是你相差的是时间。这件事情对于我们三九六同学非常重要，我一直跟你讲，不是会不会是你有没有想到你用这个三角代换这种方式也做出来了？但是我眼神一漂就出来了，结果你发现一个事情，你考完之后你一对答案，

哎呦我操，这个题怎么了？他怎么用画图的形式来做的呢？太简单了吧，浪费了时间哎，所以说你要注意这个问题，你听懂我的意思吗？所以说要看到这个东西就要想到。哎，看到它就要想到。所以像这个类型问题啊，不是说你会不会就是你一眼瞅过去，你就知道这个题。他要话筒能听懂我的意思吗？好，

这是第一个人。然后接下来过程当中啊，他还有一个兄弟。还有一个谁呢？还有一个这个人。零到a根号下as-s^2 ds，还有一个这个点。哎，还有个这个兄弟，那么接下来过程当中啊，我们再来看看这个兄弟怎么做？好继续啊，再来看。啊，怎么了？

啊，我说什么了？好好听课对吧？来看这个人，这椭圆呐，我刚想说这句话。我刚想说这句话。每个班同学都能认真椭圆。这两年离谱的话就离谱到椭圆。前些年还有双曲线的呢。你这是在这里面当中，你发现你真的是学了一个啥，就是蹦出了一个东西，就往里面塞呀。你可不要这样啊，

好，我们来看看这个人，你发现这个人表示了y等于这个人。y等于这个人的话，你发现一个事情，那这个结果就变成多少，它就变成了x方，加上y方等于ax。是吧，这个结果那这是什么呀？有人说这是椭圆椭个鬼呀，这椭圆吗？椭圆长这样子啊。那些年你学过的这个什么圆锥曲线？这叫双曲线。

啊，然后这人叫做抛物线。你还不记得了吗？那些年你玩过的那些圆锥曲线呢啊？好，这个人注意哦，这个东西是圆哦，不要乱来。那这个圆的话，你发现怎么画呢？那这里面当中有些同学来了，说配方哎，配一下s减去二分之a的平方。加上y方等于二分之a的平方。大家注意太慢了。

太low了，像这个圆呢，考研过程当中是常考的。非常喜欢考哎，你发现一个事情非常喜欢考，如果在这里面当中，你是这样画这个图啊，我觉得太慢了。你很明显你不了解考试。考试的话，不光要会，而且要速战速决，那么接下来过程当中，我来讲一下圆。这个圆不会有问题吧？

有问题下课来找我找我，我也不会理你啊，然后接下来过程当中我们再来看看这个圆。我们来讲讲这个。那这个圆怎么画呢？大家好好听，这里面当中我们速战速决。首先第一件事情你先听。请告诉我事情，这个圆它经过零零点，你赞同吗？你赞不赞同？你把零零点带进去呗，他当然经过这个点。第二事情，

它经过a零点，你赞同吗？你把它带进去，你看a方0a方也没有问题，它带着这个点。哦，它经过这两个点。它经过这两个点，大家有没有发现一个事情？如果这个内容我给你进行去配方的时候，大家好好听哦。我给你配的时候是不是只有x这个部分在配，然后你发现y的这个部分配了没？有没有配y这个部分没有配y这个部分没有配，说明它的圆心坐标应该是一个东西零。

一个东西零，我敢保证一个事情，它的圆心应该在x轴上。同学们，想想你的圆心在x轴上，那这两个点叫什么劲呢？啊，你圆心在x轴上过圆心的这条线叫什么径叫直径，所以说在这里面当中我一转就出来了。听得懂我的意思吗？哎，就是过零零点过a零点一转就出来了。但是你要注意一个事情啊，有些同学特别可怕，我提前先说了，

你下课不要来找我。往年过程当中，我见过这种稀奇古怪的同学，有同学这样来说，今天周老师非常厉害，他讲了一个画圆的方法，找到两个点，一转就出来了。你注意啊，我可没讲你别跟我瞎来啊，你不是我教的啊，你别跟我来。你别往我头上了啊塞哦，这可不是我讲的，你别在那胡来，

我刚才讲的这个事情的话是什么？我说这俩点。圆心在这儿，这是直径，它转出来了，你别在那瞎来啊，我可没有讲啊。所以在这里面当中啊，你发现一个事情有三个人，一个是x方，加上y方等于r方，一个是x方，加上y方等于as。这个圆呢，是个偏心圆。

偏的这个a就是它的结局，然后这个东西转出来就是这个圆，哎呀，没转好。哎，就这个圆哎，大致看看还有一个人就是ix方，加上y方等于by。那这个圆呢？你发现这个b这也是截距截距在哪呢？截距在b1转就出来了。好了，这两种圆都叫偏心圆。哎，都叫偏心圆，

把这个东西啊，你记住就行，你其实也非常好记，脑子一转就出来，不用刻意记，对吧？哎，不用刻意记，不刻意。好了，这是这个事情，那么接下来过程当中啊，我们来看看这个题。那么，在这里面当中，

你发现这个YY是大于等于零。那这个既然大于等于零的话，那在这里面当中，我们一起来看看这个事情，来画一下这个图。那这个图形的话，你发现这里是y，然后这是零，然后这是x，那这个人呢？一个事情是经过零零点。一个事情是经过a零点，我一转就是这个圆那么，所以说这个y是大于等于零，它就等于多少as-x^2。

大于等于零，那么接下来过程当中啊，它让我们进行积多少？它让我们积零到a的这个分零到a的这个分的话，你发现一个事情，那不就等于这个圆的面积吗？等于二分之一派二分之a的平方啊。呃，所以下去过程当中啊，你好好想想这两个人，我们三九六同学非常喜欢考啊，非常喜欢考，因为他特别适合进行，就出一道两分的那种选择题。非常非常适合。

你像这个人，当然他会跟别人一起去考，至于那个人是谁呢？我们这是下节课内容啊，你不用着急。所以像这两人，你知道了吧，所以将来是怎么做的呢？我说一下步骤。第一步，把被积分函数令成y，我就能看出曲线。然后这个曲线与这个上下限之间所围成的一个面积，能想清楚吧，好了，

那么接下来过程当中啊，我们来看两个题。我再强调一下。这两个面积，这两题不是说会不会的问题，是你一眼就能抄到。哎，一眼就要瞅到第一步，把这人当做成y脑子转一转y的话，就是x方加上y方等于九。x方加上y方等于九，我知道这个圆呢圆心在原点处半径为几，半径为。为这个三的一个圆为三的，这个圆的话，

你发现个事情，它是个上半圆，所以说它就是这个情况。而这个题让我们从负三七到三。那现在是负三积到三就是二分之一派，然后是三的平方就等于二分之九派。能想清楚吧，好这第一个人，然后再来看第二人，把被积分函数定成y。另成买脑子去转一下诶，那这个平方项不就是is方加上y方等于2s吗？哦，是这个人。那所以说在这里面当中，

你就会发现一个事情，马上这个内容它就出来了。不要乱来，你都看不出来这个东西为什么是半个吗？那刚才这我旁边写的这么大字儿，这是给谁看的呀？y是大于等于零开方，哎大于等于0y大于等于零不是上方吗？这不是个初中内容吗啊。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，所以说在这里面当中，你发现这是y，然后这是零，

然后这是x，那这个y是大于等于零，它就是这个圆。然后这个圆是个偏心圆，偏到二，然后接下来过程当中，它让我们记的是零到一的这个部分的面积。上方的这个积分就是面积，那这个面积等于多少等于四分之一派一的平方，四分之派？跟上了吧？好了，这个基本内容一定要想清楚。好了么？同学们哎，

掌握清楚。这个同学问了，假设在第三象限定积分是不是还是正的？哎呀，这有些同学真。你不要乱想好不好？可不可以啊？别乱想行不行？可不可以你看？我们是往往下投，我刚才说的是位于x轴的上方和下方。对吧你你你在这儿，你跟在这儿有啥区别？x轴的上方，我只看上下方。

我又不看左右方，你以为往这儿投一下，还要再往这儿投一下，负负得正呢，往这儿投一下，正的往这儿投一下，正的正正得正的，没有这种说法。我只看往下投。那所以说在这里面当中，你看这种情况就叫x轴的上方。上方的积分是面积，你这种情况就叫下方，你下方就叫面积的，相反数听得懂吧，

不要不要拓展。不要乱来啊。就跟原来过程当中，我还记得有一节课过程当中，我讲有界性，我说有界性，就是被两条横线给夹住。两条横线夹住，然后接下来过程当中，我讲了个例子，我说x分之一这个人，我说他没有接，因为他只有被下面夹住，被上面没有线夹住。然后有些同学就来了，

说那老师你看你可以这样夹住啊。好家伙，不要创新，信不信不要乱来啊，你这是。哎呀，真的脑洞有点大，对吧？不要别别别乱来啊，我说的是被两条横线夹住，不要别别发散啊。好了，这个事情我们就讲到这。那这就是我们在这个考研过程当中会重点进行去出题的一个定积分的几何意义的这种问题啊，定积分的几何意义？

所以下去过程当中好好想想，尤其是这两个题，特别特别喜欢的考哎，所以说希望同学们把它掌握清楚。那么，接下来过程当中啊，我们再来看看下面一个问题，我们来讲讲定积分的性质，那么今天过程当中我讲几条性质？然后下节课过程当中会有一些更加重要的一些性质好了，那么接下来在这种当中我会有拓展，所以说不拘泥于讲义上那些条。好不好？同学们好，我们先来看看第一个事情。

我来敲出来吧。第一个事，那么请同学们告诉我个事情，定积分是一个什么呀？啊，定几分呐？是一个什么呀？不定积分肯定是个函数。不定积分是一个原函数。对吧，你不定积分是函数是原函数。找一个is的函数对s，求导数。那我是什么？我是绝对面积，

那面积是什么呀？面积是数啊，所以我是个数。你要注意定积分就是个数。那么我定积分是个数，比如说我举个例子啊，我们在这里面当中，我们写一个人。你看我们写一个，如果写这个ifs=is四次方。再加上零到1 ftd t。好，这个人那么接下来过程当中，我们来进行求个导你求导等于多少你求导，这就是4I三次方，

然后这里求导呢，这是数求导是零。你看这个结果定积分是个数。所以说你要想清楚定积分，它是个数。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看第二事情。那么，这里面当中，这是我们讲的这个第一条内容，哎，定积分是个数，不定积分是个函数，是个原函数。

好，我们再来看看第二条，那么同学们进行去琢磨一个问题。如果在这里面当中，我对谁进行积分呢？我如果对一进行积分，你告诉我个事情，这个结果等于多少？我对一级分。哎，我对一积分的话，回到刚才的几何意义，不就是y=1跟这个什么情况，跟这个x=ax=b所围成的面积吗？那这个面积等于多少面积就等于底端长度再乘上高？

所以说这个结果就等于b-a。能理解我的意思吗？哎，就等于b-a，所以说定积分呢，对一进行积分就是上限减下限，哎，对一积分就是上限减下限。好，这是我们讲的这个重点内容，那么接下来过程当中，我们再来看一条内容，大家好好瞅。那么，在这里面当中，

我来画一个二维的迪卡坐标系。好，我们来瞅一下。在这个二维的迪卡坐标系当中啊，那这个人轴是y轴，然后这人是零，然后这块当中啊，有一条曲线，这个曲线的话，你发现这个点是a点。然后这个点是b点，然后这是一个f一个什么？然后这个轴那如果这个轴线的话，你发现一个事情，这个轴线是x轴。

那这就是fx没问题吧？那么请同学们告诉我这个部分的面积是多少？我现在画的是x轴上方啊。那么请告诉我这个部分的面积是不是应该写的是a到bfs ds？是不是啊？a到bfs ds没有任何问题，对吧？就是这个人a到bfs ds。没问题吧，因为上方的积分就是面积嘛，然后接下来过程当中，我们再来看。如果有一天过程当中，我把这个坐标轴用t轴进行表示，那这是ft嘛？

那么所以说接下来过程当中，这个面积怎么写呢？这个面积又写成了a到bfttt。哎，写成这样还是这个面积，那如果有一天过程当中，我把这个人用u表示呢？u表示的时候的话，你发现那这人又变成了a到bfudu。如果接下来过程当中，我用v表示呢a到bfvdv，大家有没有发现一个事情，你这个三个定积分。它这个定积分的，这个结果受到这个积分变量，

用什么字母的影响吗？不影响你这个积分变量，无论你用什么字母。我最后得到的这个结果，这个数是一样的。这三个数是一样的，不定积分干这种干嘛？不定积分当然不干，不定积分的话s就ST就是t啊，所以。所以大家注意一个事情，那么接下来过程当中，我们来看看第三条内容。最后一个事情。那么，

这个内容叫什么呢？叫做定积分的结果与积分变量字母的选取无关。定积分。哎，注意一下定积分。的结果与积分变量。字母的选取无关。就是你随便选，你想选什么字母就选什么字母，你喜欢什么字母就用什么字母，比如说举个例子，我们来一个过分的事情。比如说这里面当中，我们来看看我们的这个题目啊，我找一下。

比如说我随便找一道这个800题当中的题。好，我们来看看。嗯，我随便找一个，这个找一个，这个定积分的计算的题，你好，我随便找一个。比如找一个长一点的吧，好这个题。嗯，这个题换一个吧。比如说这个题哎，这个题不行。

就是我们在上面找一个。怎么这么快好这个题？比如说这个题的话，你发现个事情，比如说290题，这个题你先别做啊，我们来看看这个题。比如说我怎么做呢？你看它让我们进行去计算这个定积分。对吧，定积分。诶，我做到这一步的时候的话，你发现看我做题了，我做到这个题的时候，

我又把它换成了t。行不行？然后接下来做到下一步的过程当中，我又把它换成了u。行不行？我再做下一步的时候，我又把它换成s。我在做的下一步过程当中，我把它换成v。哎，做到这一步的时候，我就觉得一个事情，哎呀，还是x好，我又把它换到了x。

行不行？同学们告诉我，行还是不行？行，但是无聊无趣，那你要注意一个事情，但是这件事情是可以的。我们不靠大气。你要考大题的时候的话，你发现你这样写是绝对可以的，对吧？写大题肯定这样可以，但是你注意一个事情，你可以是可以，你不要挑衅人家。

对吧，你不要挑衅人家。无聊对吧？虽然在这里面当中啊，你发现啊没有关系，别的处扣你一分啊，看你怎么样？好，这个事情我们就讲到这，但是我想说明什么问题呢？我想通过刚才这个例子，想跟同学们进行去讲清楚一个问题，这个定积分的结果跟这个积分变量用什么字母表示没有任何关系？没有什么关系。你想用什么字母就用什么字母，

所以说有些同学大学过程当中他没有学过这个，没有学会这个人。比如说这个fs这个人对吧？等你进行塞到这个，比如说这是a到s哎，怎么又把它改成ft了呢？你想清楚就说这个内容就叫什么呢？就叫定积分的，结果跟变量字母的选取没有任何关系，你想选什么字母就选什么字母。能听懂我的意思吗？好，这是这个事儿，要想清楚这个问题，那么接下来过程当中啊，

我们再来看几个事情好，这是第三条内容。再来看看这里面当中的第四条。第四条就很简单了，那么同学们想，如果是a到a的积分呢？这个中间是没有面积吧，它就等于零上下限相等等于零，那如果上下限调换一下呢？你从一期到二跟二期到一呢，两者之间肯定差一个什么相反数。所以说注意啊。调换上下限加符号。上下限相等等于零，然后接下来过程当中，

我们再看第六条，第六条的话，你发现如果有一个系数呢？有系数你就提出去啊，这个太简单了，这几条内容的话，你发现虽然写了，但是写不写你都发现你都会。然后接下来过程当中，如果继续，如果遇到加减法呢？加减法我就拆开对吧？我加减法我就把它拆开，你这跟原来不定积分不是一样的吗？哎，

这人是羊。但是这个东西有乘法吗？没有，它只有线性，运算性质，就说我有系数，我提出去加减法拆开，你看这几条多简单，上下限相等等于零调换上下限加符号。有系数提出去加减法拆开，你就在讲义上画一画就行了，听懂我的意思吗？就在你的讲义上画，讲义上都有。你直接画一下就行，

这太简单了。这叫基础中的基础中的基础。能听懂吧？好了，我们再来看看第八条内容好，继续再来看。那么，接下来过程当中，我们在这种当中啊，给同学们进行去看一下这个内容，所以在这里面当中啊，我基础班讲的比较详细一点啊。所以写的东西比较多一点啊，基本上的话，这块内容啊啊，

我们所有的内容我们基本上都跟同学们讲到了，所以接下来过程当中我们来看一个事情，比如说我们来画一个图形。那么，在这里面当中啊，我们来看一个事情哎，大家想一个事情，你这个a到b的这个定积分。如果从右图上角度上而言。它是不是就表示了这个东西的面积啊？没问题吧，我从右图看清楚，因为我画的s轴的上方。你如果下方就绝对面积没关系的，是不是面积那同学们想想，

我要想算这个面积，我能不能这样做？我在中间找一个点c。我找一个点c，我怎么办呢？我先算这个部分。然后接下来过程当中，我再算这个部分行不行？可不可以？那有什么关系呢？这没有任何关系啊，我做题的思路就是我先从a机到它。然后再从它积到什么积到这个b。对吧，所以在这里面当中就是我先从a机到CC机到e。

你要注意这个事情，就说a击到这个人，这个人击到b那这两个东西就可以消掉了。消掉了之后，就等于它这个东西叫什么？这叫积分的可加性。哎，积分的可加性。就是在这里面当中，我如果从a接到b，我中间可以找一个点，我找一个点怎么办？我可以从a先接到CC，再接到b。啊，

这就叫积分的可加性能，想清楚吧，我觉得这节课呃，大家好好听啊，可能对别的同学难一点，但是我觉得对你们而言。我相信这一篇讲下来，应该还是比较轻松的。比这个之前过程当中学这个不定积分，我觉得呃，某些部分要稍微的会轻松一点。好了，这是这个事情，那么这节课我们讲的东西啊，我们就讲到这，

那么接下来在下课之前呢？我们来道例题。这道例题啊，我觉得是预测题，那么接下来过程当中，我们看一个题。讲完这个题啊，我们下课啊，那么接下来过程当中，我们来看一下，我们说已知。已知什么情况呢？已知这个fs啊，你就编一下。我得编一道，

我们这节课能做的题。这个fs等于。九减x方。然后再加上零到3 fx dx。请求出这个fx。那么，接下来过程当中，我们看看这个题啊，我先问一下这个事情，我这个题有没有敲错呀？啊，我这个题有没有写错呀？有些同学下去过程当中啊呃，这个学的东西学的不精啊，说老师你这个有点敲错了呀。

他说你看我给这个人带医的时候。那这个人是一。那这是一一进行d一下求导，不是零了吗？诶，那你带二的时候的话，你发现这是二，然后这是二，那二进行d一下不就是零了吗？大家注意一个问题啊。你要学你就学清楚一点，我想问你个事情，这个里面这个x跟外面这个x一样不一样？你告诉我个事情，你要学清楚，

你学不清楚这件事情不行，这考研题就这样出的。考研就是这样出的。同学们告诉我是一个s吗？不是的，大家注意，这不是一个s，有人说那你写了一个s啊，写了一个s也不是一个s。这大家就不是一个人，为什么刚讲过这个定积分的这个结果跟它的积分变量用什么字母表示有没有关系？没有关系。我把这人换成t行不行？换成u行不行？换成v行不行？

都是可以的，我这个定积分，我爱用什么积分变量字母，我就用什么字母。我用x我是给你面子。对吧，我是给了你巨大的面子。你得接受这个面子。那所以说在这里面当中，你发现我爱用谁就用谁，我想用谁就用谁，这个s跟外面s不一样，能听懂我的意思吗？你要想清楚。那一般情况下，

如果你认不清楚，你把它换成t。你就把它给我换成t。换成t了之后你就知道哦，这两个东西不一样，你舒服了，但是注意一个事情，考研出题人可不给你换，考研出题人就这样出的。你要是把那个思维方式想到那件事情，这题就废了。所以说这件事情我们来看看这题考什么呢？他让我们去求什么，他让我们去求这个函数。诶，

我觉得这个函数有什么好求的，那这个函数不就等于根号下九减s方，再加上个什么，再加上个定几分吗？那这有什么好求，那这不出来了吗？没有出来，这个定积分是多少呢？定积分是个数，那这个数是多少呢？我还不知道。所以说要想把这个函数求出来，其实就是把这个定积分求出来。把这个定积分求出来，比如说这个定积分，

这个数是三，那这个函数就等于根号下九减s方加上三。所以我的核心方向就是来求这个定积分，而我们定积分是个数，我怎么办？我设出来，我设这个定积分。为一个数。a听清楚吧。把这个数给设出来，设这个数是它那这个时候的话，你就发现这个函数就等于多少就等于根号下九减x方，加上这个数。那不就这样吗？你把这个数设出来，

那这个函数就等于根号下九减x方，加上这个数。诶，那接下来怎么做呢？那接下来怎么做？很多人说求导再定几分。那求导在不定积分。你求导一下，这都没了，那不定积分的话，那个c是多少？不要胡来啊。你做不出来的，你放心吧你，你不用在那里面当中纠结这个事情，

做不出来的。你求导完了之后的话，你没有那个没有一个定值，那个c是确定不了的，你放心，做不了的。那么这个题怎么办呢？哎，我又观察了一下。那这个函数的积分不就是a吗？那我接下来怎么办呢？我可以这样办，那我接下来过程当中，我就给这个函数再取几分。我取积分的话，

就其实你发现就是对这一坨积分，那这坨积分是加法加法可以拆开哎，不就是这个人吗？哎，那这个时候我就知道一个事情哦，这不就是a吗？漂亮。非常好，因为这个零到三这个积分就是a啊，那非常简单，那这是九减s方ds哦，这个a可以抽出去，因为是个数。一个数抽出去，然后就变成了零到三对一积分，

对一积分就是上限减下限，所以说这个a就等于这个。然后这个人等于多少就等于三倍的a那你把a移过去，然后把这个人击出来不就行了吗？那我想问你个事情，我这个分。我怎么记啊？你看我出的这个题啊，你们这节课应该是画了一个完整的圆，我没有出一个你不会记的分，而且我还出了一个非常巧妙的分。这什么东西，这是圆。对吧哎，你发现一个事情，

我这个设置啊，我就把这个东西设置透了，所以在这种当中，我编的这个题的话，你发现这。这就是我们这节课两个核心知识点。那这个内容是什么呢？它不就是x方加上y方等于九吗？那就是半径为几，半径为三的圆，我从零积到三不就是这个圆吗？那这圆是多少？就是二分之一派r的平方，然后这个部分的东西啊，它是三a。

那所以说这个结果的话，它就立即出啊，这是四分之一，不好意思，四分之一啊，不是二分之一，四分之一圆，所以接下来过程当中，我就可以移过去，移过去了之后的话，你发现这是负二a。然后这是四分之九派，所以说这里面当中a就出来了，负的八分之九派哦，这个数出来了。

如果这个数出来之后，你把这个数送上去，那这个题是不是出来了？那么所以说这个函数的结果就等于多少函数的结果就等于根号下九减x方，加上这个数负的八分之九百。好了，这个题啊，我们就立即结束了。所以说像这个题的核心考点就考了一个事情，考了定积分，它是一个数。定积分，它是一个数，所以说将来过程当中啊，你碰到这种情况，

把这个人设成数，然后两边再积个分，那这个东西就出来了。好了，这个题啊，我觉得我们的考研是有可能会出题的。你要注意啊，有可能会涉及到那这个出题点还是非常重要。好了，这个事情我们就讲到这。好了么，同学们，所以下去过程当中一定要好好进行去看看这个世界好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿。

然后下节课我们有两个任务，第一个事情的话，我们会重点进行去把这个定积分的性质讲完。然后第二件事情呢，我们会进行去把这个呃，就是我们的定积分计算，我们重点讲一下好吧，同学们，那么接下来过程当中。呃，这个微博群在审核，你不用着急对吧？啊，这个人也挺多，别别着急，

这个到时候会把你。你去跟那个。只要你是天天进行去打的啊，哎呀。天天进行去打卡的同学啊，不用不用着急，这个事好了，那么接下来我们来布置一下这个作业。好布置下作业，然后这里面当中有几个题。274题。275题贼好。啊，这个题我们下节课讲讲275题。然后接下来是276题，

但是这个题我们讲过了，也非常好。然后接下来过程当中，277题贼好。哎，这俩题，所以说这几个题的话，你发现我标成红色部分，这俩题特别的好。就是它会帮着你进行去理解。定积分定义。真的是绝对深层次的信息去理解定级分离，尤其是277题这个题。因为这个277题，这个题啊，

它没有考过。啊，没有考过，你发现一个事情，这题考的是什么？考的是AB的那个定义？考的是哪个定义呢？考的是这个定义。考的是这个AB的，这个定义。哎，考这个题。能听懂吗？呃，书还没有到是吧？

哦，稍等我一下，那我把这个电子版打开。等我一下啊诶。哦，稍等啊。好，你截个图吧，可以吧啊，截个图。呃，这个页面，所以说在这里面当中啊，这个277题这个题。就这个题，

277题，这个题从来没有考过。啊，一次都没出现过，像这种a到b的这个定义啊，非常的关键好，同学们这是这个事情，然后接下来过程当中，我们就继续。你知道那个暗号也没用，暗号的话是输进去，然后的话那个管理员会进行审核的啊，你是嗯。不用不用不用啊。好了，

那么接下来我们继续，我们再来看。然后是279题。然后紧接着280题。啊，然后是279题，280题。这两个题，这两个题的话，你发现一个事情，首先这个279题我不知道同学们这种曲线会画吗？啊，这个曲线好，这个曲线我就不讲了。但是我能给你讲一个一般的，

我今天讲了280题贼好，哎呀，今天这个作业题都非常棒，这个280题这个题啊。呃，明天的那个睡前系列就是这个题啊，这个题非常棒啊，明天过程当中我可以讲讲，那么接下来过程当中我可以讲一下这个一般情况。叫什么东西呢？多项式函数的图形的画法哎，我讲讲这个问题。哎，叫多项式图形。多项式。

图形化。那么，在这里面当中有一种非常重点的方法叫什么呢？角数这个数轴穿根法。数轴穿根法。穿根法。对吧，或者叫穿针引线法。这是啥键盘呢啊？穿针引线法。哎，引线法这个内容。这个东西是我们在高中过程当中学的吧？你说你没有学，没有学就算了，

没有学就今天学好不好？哎，没有学就今天学，这里面当中掌握住了一个核心叫什么？叫鸡穿藕不穿。藕不穿。注意啊，这个的核心叫做饥穿偶不穿。这是这个事情。那么，在这里面当中，我们来看看这个事啊，我们一起来看看这个问题。这个东西是怎么画的呢？我来给你画一个图形，

你把这个图形画出来就行了，那么在这种当中，如果这是x- 1，比如说减二的一次方。减三的两次方。减四的三次方。好，我们来看看这个事情。那么，同学们想想这个奇和这个偶是什么意思啊？这个集合这个偶指的是这个根还是指的这个次方数啊，我们先来看看这个根，这个根的话，你发现有一个交点是二，有个交点是三，

有个交点是四。次方数还是这个什么还是这个系数啊？啊，还是还是这个根呐？四方数，你看我画的非常故意，如果这是二的话，我就来了一次方，如果这来了三的话，我就来二次方，如果这是四的话，我来了三次方。你看我非常故意啊。所以接下来过程当中，我们来画一下这个事情，

它讲的是这个次方数好，我们一起看。那么，这个次方数的话，首先我们来看这个四那你是这样穿还是这样穿呢？那怎么穿呢？你从上往下穿，还是从下往上穿呢？非常简单，其实你就是看大于四的时候，你是正的还是负的？对吧，那接下来看看呗，当大于四的时候，你是正的，

大于四的时候，你是正的，大于四的时候，你是正的，那就从上面看。哎，从大的往小的看，大的好看，对吧？从大的往小看，所以我们就是肯定从上往下传。然后接下来过程当中看看这个四四是奇数次方穿过去，然后到三三是偶数次方不穿过去。然后继续再来看这奇数次方穿过去好就是这样，所以说这就是击穿我不穿。

这叫浅学。对吧，西穿我不穿。呃，我们的考研还没有达到这个能力，但是我强化班还会讲啊，我还会讲这个事情。你只知道这个人，比如说我问你个事儿。那这里面当中的内容，你知道有多少拐点吗？啊，同学们，你知道多少拐点吗？这真叫浅学，

学的很浅。我问你个事情，你知道有多少拐点吗？啊，你在这里面当中，什么叫拐点凹凸性发生改变的点叫拐点，你这里面当哎，你要能穿过去哎，不穿你这你这哪知道什么拐点，你拐点在哪？你这穿不穿？那凹凸性发生改变的，那在哪啊？你发现个事，你不知道？

呃，如果你去看那个B站视频的话，我录了一个叫加强版的穿针引线法。有些同学看到第一秒的时候的话，就觉得哎呀，高中学过你高中会吗？你发现就是永远都有这种同学看第一秒，哎呀，我高中学过，你发现你学的话，这个东西你能看出这个拐点吗？你这穿穿穿哎，你告诉我拐点多少强化班，我再讲哎，强化班我会讲这个事情，

所以同学们不要着急这个事情。都行，你选一个方向，把它穿过去，你从右从左边往右穿也行，你选一个方向，把它穿过去就行，一样的。都一样，都一样。好了，这个事情因为从大望小，穿好穿嘛。所以接下来过程当中，有些同学在这个做这个题啊，

你发现毛躁了。这里面当中的话，你发现一个事情，你看第一个事情零这是一这是二啊，说这个直接穿了。但同学们注意一个事情，你要思考一下，你首先第一个事儿，我会穿的是这种吧？其实你二减s也行，但是我建议你先把它写成这种大于二的时候正的穿过去，穿过去穿过去，那他说那这是负的怎么办？负的你加个负号的话，你翻一下不就行了吗？

灵活一点啊，一定要灵活一点。所以说这个题就变成了这样。我知道有些同学说，那我选一个比二大的时候，它是负的，从下往上传不也行吗？也行啊，都行，你学会了就行。怎么样都行，就是我们一般喜欢的是x减什么x减什么x减什么就喜欢这种。那这种的话好画一点，好画一点呢，之后的话你发现，

然后如果添个符号，你再添个符号翻一下不就行了，灵活一些。好，这个题讲完了啊，你下去自己做吧啊。好了，这个事情你下去过程当中好好学一下这个事情啊，基础班我们就学到这个。学到这个段位啊，就可以了啊，就可以了，就基本上而言的话，我们一般的草图所对应的这种题，我们都会做。

哦，九点二十了好了，那么这个事儿我们就讲到这儿。嗯，你昨天晚上是不是没有听课呀？啊，你是不是昨天晚上没有听课？对吧你，你昨晚没听课吧？你缺课了，你千万不要缺课，你去看看课表，昨天晚上有一节课。啊呃，昨天晚上讲的，

你去看看吧，把昨天晚上那个课补一下，昨天晚上是正课内容。好不好哎？这是这个事情。好了，那么这个点呢，我们就讲到这啊。十年，呵呵。哦，你是看到那个？哦，有些人录的那个啥是吧啊？好，

这是这个事吧，我们就说到这，所以下去过程当中好好进行去，把相对应的这个问题啊，好好处理一下好不好，同学们？哎，这是今天内容。唱歌的话，那我没有准备啊，那你总不能让我把那个歌再唱一遍？啊呵呵。那我在那我就唱那个十年啊。啊，行吗？

哎，我手机呢？那行吧，可以啊啊。助助兴也行啊，然后的话，这个大家的这个学习啊，也比较辛苦的哈。好，我找找。好呃，那我就唱这首歌好吧，怎么感觉每个班我都唱这首歌？啊，其实是。

如果那辆。两个字没有颤抖，我不会发现，如果那两个。如果那两个字没有颤抖，我不会发现我难受。怎么说出口？也不过是分手。如果对于明天没有要求牵牵手，就像旅游。成千上万个门口。总有一个人要先走。怀抱既然不能逗留，何不在离开的时候。一边享受。

一遍泪流。十年之前我不认识你，你不属于我，我们还是一样。陪在一个陌生人左右。走过渐渐熟悉的街头，十年之后，我们是朋友，还可以问候。只是那种温柔，再也找不到拥抱的理由，情人最后难免沦为。朋友。怀抱既然不能逗留，何不在离开的时候。

一边享受。一遍泪流。十年之前我不认识你，你不属于我，我们还是一样。陪在一个陌生人左右。走过渐渐熟悉的街头，十年之后，我们是朋友，还可以问候，只是那种温柔。再也找不到拥抱的理由，情人最后难免沦为。朋友。直到和你做了多年朋友，

才明白我的眼泪不是为你而流。也为别人而流。好同学们，行吧，那么今天啊，我们就上到这儿啊，然后下去过程当中好好整理吧啊，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿。然后今天部分东西啊，还比较重要点，所以下去过程当中好好整理整理吧，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿那。明天是没有课程，

我们的下次课程的话，应该是后天还是大后天是吧啊，所以说大家下去过程当中啊，把这个今天的东西好好整理整理。整理完了之后再去把不定积分的东西啊，再好好进行再处理处理好，同学们行吧，那么今天课程呢，我们就讲到这儿，然后昨天晚上说那个三角有理式积分呢？呃，今天还没剪出来，我明天再这个再催一下，然后剪出来之后啊，我们就把这个东西啊发上去好，

那么今天课程呢，我们就讲到这好，下期再见吧啊。

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18.定积分的定义与性质-2

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