18.定积分的定义与性质-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:43:08

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，提供回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就正式继续开始我们的三九六精综数学的这个基础班部分内容啊，今天啊，稍微的话你可能会觉得说这个怎么换了一个这个界面对吧？大家注意，今天这个片段非常的重要，所以说在这里面当中啊，

我有个PPT。呃，可以这样讲吧，我在我这个经验过程当中的所有阶段的课程当中，我只有这一个PPT，而今天过程当中东西啊，会非常非常的重要。所以希望同学们好好听，因为在这个去年过程当中啊，我们其实出现了一道划时代意义的真题啊，所以说一会儿过程当中啊，我们来讲一下这个事情。所以说这个片段的部分东西啊，我需要有一些动画的呈现，所以说在这里面当中，

希望同学们好好把它拿下来。所以接下来过程当中啊，我们首先来看看啊，从今天开始啊，我们进入到第四章啊，叫做定积分。那么，在第三章过程当中，我们学习的那个内容啊，叫做不定积分，对吧？叫不定积分，那同学们回忆一下这个不定积分在干嘛呀？不定积分再找原函数，再找一个函数，

谁对s求导数额是不是这个事情？所以今天过程当中，我们要学习一个新的内容，叫定积分。那么，在这里面当中，它长什么样子呢？我提前先讲一下，大家可以带着这个问题啊，一会儿过程当中思考一下，那么在原来过程当中，我们学习这个东西啊，这叫不定积分。那这个叫什么呢？这叫定积分，

很多同学大学过程当中啊，根本就没有学透，他认为什么情况呢？他认为这个东西其实就是什么情况？哎，就是这个不定积分呢，加上了上下限，哎，定积分就是不定积分，加上了上下限，大家注意啊，这个问题你先带着你去思考一下，真的是这样吗？所以今天过程当中，我们将会重点来学习第四章，

那这个板块的内容在我们考研过程当中的配比是相当高的，那么首先第一件事情我们先来看看这个部分的核心考点内容。那么，首先在这里面当中啊，总共有六块考点东西，每一块东西啊都非常关键。首先第一件事情就是定积分的定义。那这个内容重不重要呢？非常重要，相当的重要，你看去年哎，一会儿过程当中，我讲完了之后啊，你什么都清楚了，我现在讲估计有些同学听不明白。

所以说今天过程当中啊，一会儿我们再来说，首先第一个事情定积分定义，我敢这样说，那么在今年过程当中啊，定积分定义肯定还是仍然是重点考察内容。好，这是第一个问题，然后接下来过程当中，我们再看第二事情，那就是定积分的性质。对吧，定义讲完了之后，我们再去讲性质，那性质重不重要？

唉，你发现一个事情也是非常重要，然后第三件事情我们再来讲讲一个内容，叫做定积分的计算。那计算重不重要呢？那肯定很重要，那每年过程当中都有个题，那包括今年过程当中一个题可以，两个题也行。所以这是我们讲的第二事情，然后再来看看第三个事情，那第三个事情就是变现函数。哎，变现函数。这个内容啊，

基本上是考研必考内容变现函数啊，如果有一天过程当中，你发现你拿到这套试卷，你发现里面没有变现函数。你肯定拿错卷子了，你是不是拿错幺九九的卷子了啊？你要注意一个事情，如果是考察这个微积分的内容，里面当中肯定会出现变现函数的。所以说这个考点一定会出现，那么接下来我们再看看第五个点，第五点这个内容啊，可能对我们三九六同学可能是一个冷门性考点。但是我觉得这个今年过程当中基础班呢，你还是好好学一下它内容叫什么呢？

叫反常积分。但是对于三九六同学，你发现这个现在的出题人呐，不太讲武德唉，不太讲武德。你看去年过程当中，就像那个定积分定义一样。那这接近的话，这么多年从来没有出现过的题，你去年过程当中啊，一下子上到巅峰。那所以说像这个反常计分呢，我们在考研过程当中啊，也会重点进行出，所以说今年过程当中啊，

好好学一下，那么再来看看最后一个事情，那必考内容不就是定积分的应用吗？诶，这个内容一定会出题。所以在这里面当中啊，我们总共有这六块核心考点，那这六块核心考点在我们的考研过程当中的高等数学，也就是微积分当中考多少内容呢？它有可能会出两个题，有可能会出三个题，也有可能会出四个题，你要注意一个事情，为什么这一章部分当中那么的重要呢？因为这是我们三九六同学积分篇的巅峰啊。

对吧，积分篇的巅峰啊，我们学习内容叫什么叫微积分？我们学习微积分的话，你发现个事情，这个微积分的核心重点原来过程当中，我们学习第二章叫做一元函数微分。当当你发现学到下册，我们还会进行去学习，一个叫做多元函数积分，所以你发现个事情，这个微分篇我们会学习一元函数微分。一元函数积分对吧？但是你发现个事情啊，一元函数微分多元函数微分都会考，

但是你发现个事情这个积分偏呢？积分篇的话，学到定积分就结束了，什么二重积分呢？什么三重积分呢？什么曲线积分呢？曲面积分我们通通不考。所以这是我们什么情况？这是我们积分学的巅峰啊。所以这章部分内容一定会在考研过程当中出现的比例是非常高的，所以这一章你把它丢失掉了，我觉得对于我们三九六同学。你想冲一个60分啊，我觉得这个难度系数都比较大了，所以大家注意这一块的东西啊，

是非常非常关键的。所以今天过程当中啊，我们先来进行学习，第一个问题叫做定积分的什么定义？我们先来看看一道划时代意义的啊，考研真题啊，就是去年的真题，那么去年我们三九六同学，你发现出现了一道为什么叫做划时代意义的真题呢？一会儿我讲完了这块片段呢，所有内容讲完你什么东西都清楚了，你现在看这个题啊，你发现你没什么感觉。你觉得这个题不就普普通通吗？没什么感觉，

但是一会儿过程当中，我讲一下这个东西的历史背景，你什么东西都清楚了。所以大家注意啊，这个部分的内容是相当关键的，所以说今天过程当中，我们会重点来进行去讲解定积分定义。这个定积分的定义啊。今天一定要拿下来，不要说我们将来过程当中有强化班，我们有这个冲刺班，我们有这个模考，大家注意个事情，今天的基础班就是巅峰。我们今年过程当中，

这个基础班把这个定义讲完了之后，这就是你这一年的巅峰。唉，这一年过程当中学习的这个定义就结束了，所以接下来过程当中我们一起来看看这个事情，那么今天我们来重点来看看，唉，我们要学习定几分？它来源于一个什么样的一个背景呢？这件事情啊，叫做求解个这个东西，叫做求解这个东西面积的背景。来源于过这样的一个问题，就是定积分的诞生啊，它来源于这个背景叫做什么情况，

求解这个面积。那这个面积是什么呢？好好听哦，贼简单，你好好听就行了，贼简单。你害怕啥呀，这不是有我呢，对吧，又不是让你自己去学，你好好听，那么在这里面当中啊，来源于这个背景。叫做求解这个面积，那这个面积叫什么呢？

大家发现这个东西是梯形吗？它不是梯形，那这个东西是什么？它这个边是弯弯曲曲的。弯弯曲曲的，所以同学们注意它有个名叫做曲边梯形。大家注意啊，我们要求解这个曲边梯形的面积。那求解这个面积怎么求呢？比如说定几分从a到b的，定几分注意啊，定几分还没生出来呢，还没诞生呢，你就定几分。所以接下来过程当中，

我们去思考一下前任200年前啊，这些人的话，你发现创建这个时候，他是怎么去想的？那么，接下来过程当中，我们思考一下诶，这个东西是一个标准的梯形吗？我可以上底加上下底乘高除以二吗？好像不行，是个矩形吗？是个三角形吗？都不是它是个曲边梯形。所以你会发现个事情，这个初等数学的方法都算不了了。

那算不了，怎么办？不算呢？不算的话，你发现一个事情，你怎么推动这个微积分学的发展？当然你不算了，人家微积分学的发展照样在发展。好了，那么接下来我们来看看，然后前任过程当中怎么想的呢？人家这样想。那如果我在这上面过程当中取一个点，我用这个点的函数值做个高，然后接下来过程当中我就会得到一个矩形条。

那么，同学们告诉我事情，这个矩形条的面积会算吗？这个你会算吗？那这个面积不就是底乘高吗？只要我知道这个点的坐标，这个点的坐标知道了它的高就知道了，往这一带高就出来了。底层高就是面积。但是同学们，你琢磨一个问题，我用这个阴影部分的面积去替代这个曲边梯形的面积，你觉得合理吗？你要进行计算，这个曲边梯形面积，

我说这个阴影部分面积就跟你相等，你觉得合理吗？非常的不合理，为什么？因为这里面当中有显而易见的误差呀。对吧，你眼睛漂一下，你都知道这个东西是有误差的，那么接下来同学们，那我就去想，唉，那我取两个点呢？我取三个点呢，我取四个点呢，我取n个点呢，

等我进行取n个点的时候的话，你发现我就得到了n个条一个两个三个。到n个对吧？这n个条那么记下来过程当中，你发现这每个条的面积你会算第一个条，第二条一直到第n个条，这个面积会算。那然后把这个条的面积加起来，那么接下来告诉我个事情，我用这些条的面积的加和去替代这个曲边梯形面积，你觉得合不合理啊？合不合理？啊，我把这个阴影部分的面积加起来，我说它的面积就等于这个曲边梯形的面积，

你觉得合不合理？合理个鬼，肯定肯定不合理啊，很明显不合理，你看这是误差呀，同学们。当然不可以。还是不合理，所以你发现这件事情还是不行，但同学们有没有一件比较欣喜的事情呢？我觉得有。我发现了一个问题，随着我的n的这个分数的分大，那这个时候你发现个事情，这个误差在逐渐的怎么办？

在缩小。是吧，我分的越大，这个误差才逐渐的缩小，我分的越大，这个误差才缩小，我们现在会极限了呀，那同学们琢磨一个事情，什么时候这个误差就趋向零。等我这个n趋向无穷大的时候，这个误差是不是就趋向零啊？漂亮，当你的误差趋向零的时候，我就说这个曲边梯形的面积就等于这些所有矩形条的面积的加和你赞同吗？唉，

这个东西叫求和符号，你赞不赞同？这个时候没问题吧？一旦这个误差趋向于零的时候没有误差了，没有误差，这些所有条的面积不就等于这个曲边梯形面积吗？那这个事情非常的简单了，所以说接下来过程当中，我思考清楚了，我知道怎么做了，也就说我把这所有条的面积进行求出来。然后在这里面当中，再怎么办？再让这个n趋向无穷大，那就是曲边梯形面积，

能听懂我的意思吗？所以接下来过程当中啊，我们就可以开始了，那么首先第一件事情我们来求下这个所有条的面积，哎，那这个所有条的面积怎么求啊？这个人这个人这个人这个人怎么求啊？当然很简单，取一个标志的，取一个具有代表性的，所以在这里面当中啊，我取一块儿，假设这个东西啊是di分。对吧df假设这个df呢？底端长度是deltaic。

行不行？这个底端长度是德尔塔si第一份的底端长度，是德尔塔s1第二份的底端长度，是德尔塔s2。df的底端长度是德尔塔xn。能听懂我的意思吗？这个底端长度那么同学们想想这个条的面积怎么算呀？这个条的面积不就是底乘高吗？现在这个底的长度已经知道了，现在就差的是高，那就差高的话，你发现一个事情我们来琢磨一下，这个问题大家思考一下。请问这个底端长度小不小？非常小，

非常非常小，因为你把这个东西切成了无数多份。非常小，那既然非常的小，那你告诉我这每个点的坐标值相不相等啊？相不相等，是不是就近似相等了，我就可以把上面这个边看成什么边看成平的边？因为你发现个事情，因为这个底端长度实在太小了。那我就基本上认为每个点的函数值是一样的呗。那所以在这里面当中，我可以怎么办？我取个点，我随便取个点，

叫做可再生点。注意啊，随便取我随便取一个点，我用这个点的函数值做高行不行？可不可以？那可以啊，那么请同学们告诉我们写一下这个面积怎么写这个点处的函数值，这就是高。然后再乘上底端长度，这是底底乘高就是这个面积噢，那这个时候你发现我把这个面积就求出来了。这是黄色条的面积吧，那么同学们想想一个事情，我总共有多少个条？我有第一个条，

我有第二个条，我有第三个条，我有第n个条。你是不是需要把这第一个条，第二个条，第三个条一直加到第个条，一直加到第个条，是不是要把这所有条的面积加起来？那这所有条的面积加起来怎么加呢？我可以写成求和符号，那这个求和符号怎么写sigma？对吧，叫sigma sigma的话，你发现取出一个代表性的叫I，那这个时候你发现这个I从几啊，

从一加到多少加到n？是不是这样写就行，所以接下来过程当中，我就取个和那就是让这个I从一加到n那这个东西代表什么，这是黄色条的面积。然后接下来过程当中再求个和求个和就是所有条的面积。是吧，就是所有条面积，那这是我所有条面积，但同学们刚才告诉我个事情，所有条的面积就等于这个曲边梯形面积吗？不是的。一定要保证一个事情，你得分的无限的大，这个误差才会逐渐的缩小，

所以在这里面当中啊，你发现我就得保证一个事情n趋向无穷大。是吧n分的无限的大，但是通常而言的话，我们不喜欢这样写，我们喜欢怎么写呢？大家琢磨下，如果这个n无限的大。底端长度就无限的什么无限的小。对吧，底端长度就无限的小，我取出底端最长的长度叫lambda，大家听好了底端最长的长度叫lambda。如果这个拉姆达趋向于零。最长的都趋向零是保证了底端长度，

所有人都趋向零，所有人都趋向零，你是不是保证了这个人趋向无穷大呀？能理解我的意思吗？你要注意这个事情，为什么这样定义呢？这个定义其实非常有意思，你想想你分的无限的大，你就能保证底端长度无限小吗？它不行的。对吧，它是不行的，我就给你举个简单例子，你比如说在这里面当中，我来给你画一个点。

你看这个人。那在这里面当中，我就我一直切我一直切我一直切。我是不是切了无数多分，但是你能保证这个底端长度无限的小吗？它不行的，所以说它用了这种手法进行定义。底端最长的长度都趋向零代表了底端每个部分的长度都趋向零。每个部分的去向零证明着你分的无限的大，那么同学们，你告诉我事情，现在这个人是不是曲边梯形的面积了？唉，就是这个底边啊，这个曲边梯形的面积了，

那么接下来过程当中啊，我们做一个定义，大家好好听啊，认真听。我们原来过程当中都学过一个东西，我们说过德尔塔什么，如果是自变量，是不是就写成d什么？所以说德尔塔什么就写成d什么？然后这个f写成什么f就写成fx，然后接下来过程当中看看这个人。那这个人什么意思呢？这个人叫无现象，求和请注意啊，是无现象，

求和那么大家都知道求和，如果在英文当中的它的这个英文单词叫什么？英文单词是不是叫some？如果这是sum的话，取上首字母ss这个人拉长是不是积分线？所以说我终于知道了，原来这就是积分线。就是从这个a点，然后到b点无限项叠加，从a点到b点的无限项叠加，我就把它叫做了定积分。所以说你终于理解清楚了，什么叫做定积分？那这个积积分线到底什么意思啊？这个积分线就是无限项求和的意思啊，

就是无限项求和。所以将来如果我们看到这个人，哎，什么叫定积分呢？定积分就是无限项求和，所以今天过程当中啊，我们可以解决一个问题。你思考一下这个事情，那么今天学完了之后，你还认为这个不定积分和这个定积分是一样的吗？大家注意有千啊，这个什么非常大的一个区别。那么，对于一个不定积分而言的话，你发现长这样对于一个定积分而言，

你长这样，那么请同学们告诉我，不定积分在干嘛？不定积分在找爹啊。而定积分在干嘛？它对应的一个曲边梯形的面积啊，你找你的爹，我求我的面积，两者之间有没有关系？没有什么关系。两者之间，它根本就没有关系，那这两者为什么大学学习过程当中很多同学都觉得有关系呢？都怪两个人。一个人叫牛顿，

一个人叫莱布尼茨，因为有一个公式叫牛顿，莱布尼茨公式，所以说导致了很多同学觉得哦，这个定积分不就是加了上下限的不定积分吗？你看大学过程当中就这样学的，比如说举个例子，一个人的话，你发现是一到2 xds大学过程当中怎么做呢？唉，这个东西你发现你好好听课就行了。这个土豆马铃薯同学，你根本就不理解我，我们两个就是每节课都站不到同一个场。永远都是这样，

你先听就行了，你着啥急啊，对吧？你一定要这样啊，好了，这是这个问题，所以说接下来过程当中啊，你发现这个事情。那大学过程当中啊，很多同学我们去算这个定积分怎么算？那么就在这里面当中，你发现唉，就算成这样了，对吧？就把这个东西算成这样了。

算成这样了，之后的话，你发现一个事情，我就把这个带进去四一，然后最后算出来是二分之三。你想想大学过程当中是不是这样算的？大学过程当中就这样算的，就是把这个定积分，然后算出来算出来这个原函数，然后再把这两个东西啊带值进去。代值进去了之后啊，我们就算出来了。是不是这个问题啊？但是你要注意一个事情啊，今天你一定要进行去区分开这两个人，

这两个东西啊，不一样。对于不定积分是什么？不定积分是找原函数定积分呢？对应了这个东西的面积问题。好了，这是这个问题，我们就讲到这。你现在依然认为是这样。人家本来就这样算的，什么叫做依然认为这样算的，你你就没有理解我在说什么吗？好了，这是这个事情，所以啊，

这块内容我们完全的讲清楚了，什么叫定积分？定积分来源一个背景叫做曲边梯形的面积，对吧？曲边梯形的面积把这个事情了解清楚。而这个定义啊，被我们称之为的叫做精确定义。二定积分的精确定义。那么，大家过程当中啊，我们来思考一下这个事情，你来思考一下，你觉得这个定义会考吗？啊，你觉得这个定义会不会考啊？

就是我们现在所写的这个定义啊，你觉得会考吗？会不会考不会考啊？绝对不会考。为什么呢？为啥不会考呢？原因点非常简单，大家想一个事情，这个长度是多少你知道吗？我咔咔咔把这个东西分成了n份。每一份的底端长度是多少，你知道吗？我不知道。那这个东西我不知道。然后第二事情我们再来看这个可塞点，

你知道吗？我也不知道，我刚才在这里面当中，你发现随便的取了一个点。我随便取了一个点，我随便取了一个点的话，你发现这个点在哪你知道吗？不知道那，所以说你发现这个公式就考不了。但是同学们，你发现个事情，我刚才就讲过，这是积分学的巅峰啊，它重不重要？它非常重要。

想不想考？非常想考，但是现在这个人不能考，因为底端长度不知道是多长。取得这个点的坐标，不知道是多少？那么，接下来同学们如果还想考，我就消除这种差异性，我怎么消除啊？我就想知道每一份的底端长度是多少？那同学们想象一个事情，如果这个东西是个曲边梯形。对吧，曲边梯形我怎么进行区分？

我能知道每一分的底端长度。怎么分？非常简单，等分割哎，我就把这个东西怎么办？等分，所以说将来过程当中，如果考，我们就不会随便分。我就会把这个东西怎么办？平均的分等分隔，所以接下来过程当中，我们来看看这节课的黄金重点。大家现在状态怎么样？非常好吧？

唉，我们再把刚才那个事情再走一遍啊，再走一遍就是今天的黄金重点了。好了，那么接下来我们一起来看看这个事情，一起来。那首先我们先看第一个问题，那同学们想我把这个a到b分成了n份，每一份的底端长度是多少？啊，是多少？总的长度是b减a分成了n份，那每一份的底端长度不就是n分之b减a吗？啊，这个事情非常简单。

啊，这个东西啊，非常简单，那么接下来过程当中啊，我们来看看刚才的事情，我们要干嘛呀？我们要把所有条的面积求出来。那么，在这种当中，我就取出一个代表性的，这个代表性的叫做di分，那么请同学们告诉我，这个di分哪些点的坐标值你是知道的。啊，同学们告诉我哪一个点你的坐标值是知道这个事情非常重要，

这是这个板块内容的核心。那么，接下来我们来看看这个事情，你看这是a点，这是b点，我们来做一道小学题。从a点到b点，那么请同学们告诉我，我把你分成了多少份？分成了n份。分成了n份。那每一份的底端长度是n分之b减a，我就很想问你个事情，在这里面当中啊，这个点的坐标是多少？

啊，这是多少？这非常简单吧，你这个点坐标是a嘛？你跨度是n分之b减a不就是a加上n分之b减a吗？然后接下来过程当中，我们再来看这个点坐标是多少？你的跨度就是两个n分之b减a，所以说就是a加上两个n分之b减a，那这一点坐标是多少三个？然后同学们，你发现一个事情，这是第几份呢？这是第I份，那这是第I份，

这个点坐标是多少呢？这个点坐标非常简单，这点坐标就是a加上。a个n分之b减a，这能学会吗？小学题啊，这绝对小学题，那小学的话，你发现一个事情，这个点坐标是一这长度零点五，这是一点五。这长度零点五，这是二点零对吧？这个事情你肯定能听懂，所以同学们你发现一个事情哪些点坐标我知道呢？

右端点知道那左端点不也知道吗？左端点就少一个n分之b减a，当然还有一个点终点也知道。对吧，两个端点都知道，中点坐标肯定知道，所以说在这里面当中啊，我们来看看这个事情，应该是左右两个端点非常的重要。啊，终点我们一会儿再谈。所以我们先来看看这个右端点，右端点坐标是多少呢？是a加上a个n分之b减a。对吧，

是a加上a个n分之b减a那同学们想想，如果我用这个点的函数值做高。这个点的函数值做高，那这个时候的话，你发现这个黄色条的面积怎么写？黄色条的面积是不是f它再乘上底端长度啊？那这个非常简单啊，你看n分之b减a是底端长度。然后这个东西是这个点的坐标值，坐高底乘高是这个面积，当然同学们，你发现这里面当中啊，左端点的坐标我也知道。那左端点坐标的话，不就少一个n分之b减a吗？

那就是I减一个n分之b减a，你看这是I减一个。如果用这个点的函数值做高，我再来乘上底端长度是不是也行？这是底端长度，这是这个点的函数值做高是不还是黄色条的面积啊？那这两种算法都行，一种算法是用的什么端点，右端点一种算法是算的什么端点，左端点，但是同学们等你分的很大的时候，这两种算法是不是一样的？那当然一样，因为我们都知道这个左右两个端点的函数值的高，我基本上认为是一致的。

那所以说这两个东西是一样的，那么在这种当中选一个呗，我们就选右端点进行推公式。一会儿右端点推出的公式，把这个I改成i- 1，是不是左端点公式啊？非常简单吧，就是用右端点推公式，把这个I改成i- 1，就是左端点公式，那么同学们你再告诉我一下这个人是什么意思啊？什么意思？它的意思非常简单，就是黄色条的面积。哎，

黄色条面积，但是在这里面当中，我们有多少个条，一个两个三个四个n个条对吧？n个条的面积，我就需要把第一个条，第二个条，第三个条。一直加到多少第n个条，把这所有的条的面积加起来，那所有的条的面积加起来怎么加呢？非常简单，我就让这个式子啊，你发现。前面过程当中来一个求和。

那这是第I个条的面积，这是所有条的面积，对吧？这是所有黄色条的面积，刚才过程当中，我们就说了。我说这所有条的面积加起来就是曲边梯形面积吗？它不是的。必须得保证一个事情，你得分的无限的大。只有你分到无限的大，那这个东西啊，才会是这个面积，因为现在的话，用n表示你就直接写n趋向无穷大就行。

因为n趋向无穷，大底端长度就无限的小啊，这个没有问题，能理解吧，哎，就变成这样，那这个东西呢，就对应那个谁啊，对应的这个曲边梯形的面积。那这个曲边梯形的面积呢？我把它叫做什么叫做定积分？所以啊，这个页面才是我们在考研过程当中的黄金重点d积分的计算性定义太重要了。它可是黄金重点，所以像这部分内容啊，

在我们考研过程当中啊，考的是相当关键的。唉，非常非常关键的，那这就是计算型题，那这个式子我们会考，就说如果有了这个极限，它就等于这个定几分？这个会考的，你必须要会啊呃，今年过程当中啊，我对你们的这个基础班的要求是比较高的呃，今天过程当中，你去做今天的题目的时候你都知道。我在这里面当中啊，

要求的一些点呢，扣的是非常细的，今天的题目好了，这是这个事情，但是同学们，你发现这个公式考的多吗？不光是我们，我们考定积分就去年一年。但是数一数二数三同学考定积分定义，考了好多年了。考了这30多年了。30多年这个公式基本上都没考，这30多年当中啊，最喜欢考的是谁呢？他最喜欢考这个a啊，

不是任意的。他喜欢考零到一。你要注意啊，他喜欢考这个a是零，这个b是一。它喜欢考这个零到一的，这个曲面梯形面积，所以说你发现一个事情，它在这里面当中啊，黄金重点考一个事情，考零到一的区间上的定积分计算。所以同学们，这个页面非常重要，这就是我们今年的考题。今年的考题啊，

这个页面有道题，所以你好好听啊呃，今天的话，这个PPT是没有讲义的啊，你不要问我要啊。好了，那么接下来我们来看看呃，在这里面当中啊，我带着同学们进行去推一遍，所以说我希望同学们能跟上好吧，唉，跟上我的事情。我们来把这个零到一的这个区间上的这个定积分定义，我们一起来推一遍好，那么接下来我们一起来看，

在这里面当中啊，给了一个曲边梯形。这是x，这是零，这是y。这样的一个区别题型。那这个曲边梯形的话，首先我们来面临的第一个事情，那么刚才我们做的第一个工作是什么？第一个工作叫做分割。哎，先分割。那分割的话，你发现个事情，我就把这个零到一分成了n分，

那么接下来过程当中，我们就切对吧？我们就切我们把这个东西分成了n分。等分割成n份，第一步分割。等你进行去分割完了之后，同学们，你给我思考一个事情，唉，这个总长度是一分成了n份，每一份的底端长度是不是n分之一啊？那这个底端长度不就是n分之一吗？对吧？总长度是一分成n份n分之一好，那这个时候你发现我就知道了噢，

每一份的底端长度是n分之一。那么，在这里面当中怎么办呢？我取出其中的一个条，我比如说取这个条。这个条的话，你发现个事情假设是第几分？假设是第a分。那df的话，你发现因为底端长度非常的小，我就近似把上面看成平的，所以说接下来过程当中又做了第二个工作，第二个工作叫什么叫近似？对吧，近似那么接下来过程当中我们的核心重点是什么？

我就来求这个条的面积。那这个条的面积怎么求呢？那么同学们都知道底端长度是n分之一，那请告诉我个事情，有哪些点的坐标值你是知道的。哪些点当然右端点的坐标是知道的。左端点的坐标也是知道的，那么这个右端点的坐标是多少呢？告诉我这点坐标是多少，你发现你看你这个人是从零开始，然后这个人跨一个是n分之一跨两个n分之二，然后同学们告诉我事情，这是跨多少个跨a个？告诉我这个点坐标是多少，你们给我敲出来，

我看同学们学会了没啊？思考这点坐标是多少？多少哎，非常好n分之I。当然，这个点坐标知道你发现这个点坐标，你也知道这是n分之I减一。能理解吗？那么接下来告诉我个事情，这个黄色条的面积是多少？其实你发现用右端点呢，就是这个人。然后再乘上底端长度，哎，这叫右端点。

对吧，如果你用左端点呢，就是fn分之I减一，再乘上低端长度好，这是左端点，跟得上我的意思吗？那么，接下来过程当中，这是什么意思呢？这是黄色条的面积，我总共有多少条？一个两个三个四个，一直到n个，我就在这里面当中，让这个I从一。

加到n我就让这个I从一加到n，这什么意思呢？这是所有条面积哎，所有条面积就等于曲边梯形面积吗？不行，必须得保证这个n是趋向多少？无穷大。必须要保证n趋向无穷大，那这个时候你发现我做的操作呢？分割近似求和，然后最后一个事情呢？去极限。我进行了四步操作，分割近似求和取极限啊，可能我们只学到这个定积分。

那么，将来过程当中啊呃，如果有些同学将来学到二重积分啊，当然我们三九六同学不考二重积分，你学到二重积分，三重积分或者是什么曲线积分，曲面积分，思维方式都一样都是。分割近似求和取极限。然后接下来过程当中，你发现这人不就是这个曲面梯形面积吗？就等于零到一上的这个定积分就等于零到一上的。这个定几分能听懂我的意思吗？注意啊，这个页面非常重要，

我们得到了两个黄金重点公式。唉，这个公式啊，考研当中是重点内容，能学清楚吗？好掌握清楚给我回复一。呃，下去过程当中再推一遍，对吧？把零到一当中我们切成n份，然后在这里面当中，你发现我们要算所有条的面积的加和。你怎么去算的？这事情非常重要，所以说接下来过程当中，

我们就得到了考研当中的黄金重点内容，就这个人。那么这个东西跟我们刚才这个东西有什么区别呢？大家进行去看看，区别点非常简单。就是你发现你看你这个人是对谁求和你是对I求和你对I求和这个人就是个常数，你常数怎么办？你把它抽出去。没有任何问题，你可以把这个东西抽出去，所以接下来过程当中啊，我们就得到了两个黄金重点形式。这两个形式啊，这个端点是右端点。这个端点是左端点，

一个右端点，一个左端点。那么额，我们只有一年的考题，就是去年的考题，所以说我先不说了，我们说一下这个考研史吧，那考研史的话，我就说一下这个数一数二数三的考研史。一会儿我们进行对照一下，你就知道我们去年过程当中，老头子对我们玩儿的都残酷了啊。那么，数一数二数三同学这30多年的考研史基本上都考了这个人。都考的是右端点黄金，

重点都是考的右端点，你注意啊，30多年基本上都是右端点，所以接下来过程当中这个公式要记啊。好，我们一起带着同学们来背一遍，你看有一个极限符号吧。那这个极限什么极限？这是一个数列极限。对吧，有个数列极限。第一个事情数列极限，然后它后面跟了一个谁n分之一，唉，注意它后面跟了一个n分之一。

然后第三件事情，这有一个求和符号。然后后面是一个n分之I的函数。只要它后面是个n分之I的函数，这个极限的结果就等于多少结果就等于零到一fs的定积分。有人说哦，为什么我推了那么半天，你给我来了个为什么？啊，你不要跟我问为什么这件事情，我刚才推过来的，所以这个数列极限可以怎么算呢？这个数列极限可以用定积分的方法来算。算出这个定积分，就算出了那个极限，

而算定积分呢，是比较容易的，所以接下来过程当中啊，我们一起来看看这个事情。这个8b幺幺同学，你也比较厉害，对吧啊？我已经。已经也关注过你好几次了，对吧？你发现你跟大家的这个思维方式啊，一直不一样，那我想半天在干嘛呢？你自己去看看，你看刚才这么多同学都回复n分之I。

学到这个后面的过程当中n分之I是什么？唉，你非常耽误的话，这个上课过程当中的进度对吧啊？好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看下面的事情。这都不是说啊，这个上课过程当中你有问题怎么办？你有问题我肯定会给你解答，但是你发现你问的这是什么问题啊，对吧？啊，好了，那么接下来我们来看看这个事情，

我们一起来把刚才的公式背一遍可以吧？好，我们一起来噢，你在屏幕前跟着我一起写。第一项有一个数列极限。哎，第一个事情有一个数列极限，然后第二个事情有一个n分之一。然后第三个事情有一个I从一到n的求和。大家注意啊，这就是我们讲的这个三剑客啊，三兄弟，这是一个三剑客。这三个人一定要保证，保证完了之后的话，

你发现一个事情，后面跟那个谁呢？后面如果跟的是n分之I的函数。这三剑客必须要保证数列极限n分之一求和，然后后面跟那个n分之I的函数，如果它后面就是n分之I的函数，恭喜你。这个结果就等于多少就等于零到一谁的积分呢？哎，这个人就是这个fx的积分。听懂我的意思吗？好，大家一定要注意这个事情，这个结构要背过这个公式，你要记住，

你听懂我的意思吗？所以接下来过程当中，我比如说举个例子，你看这是一个n分之一，然后这是这个人，然后这是I从一到n。你看这个结构有了这个结构有了，如果在这里面当中，你发现这是n分之I。那么，请同学们告诉我这个定积分等于多少？等于多少套公式，你不会套吗？结构三剑客都拥有了，如果后面是n分之I的函数，

那它就等于零到一。sin x的dx跟得上吧？那这个人的话，你发现fx不就等于sin x吗？s in到这里面的积分，那这个积分的话，同学们，你会算吧？你不会算也不行，因为下节课我会讲，我提前先讲一点点行不行？因为为了这节课，我讲一点点能不能我就讲一点点啊，那么同学们，你看这个积分就等于负的cos in。

这是上节课讲的，就是算出原来函数把零和一带进去。这个公式就叫牛顿莱布尼茨公式，你先学一点点，我下节课会讲到，就是算出这个人的原函数不定积分嘛，再把零和一带进去。零和一带去的话，把一带去就是cos 1，把零带去就是cos 0，那cos 1是多少呢？cos 1就是cos 1，有些同学在这里面当中说cos 1=0。你胡来。cosine零等于二分之派你胡来cosine一就是cosine一，

然后cosine零是几cosine零是一，这个结果所以说等于一减cosine一。你看在这里面当中啊，我们就想方设法的做出了一个事情，你看我就做出了这个数列极限，那这个数列极限结果等于多少？这个极限结果等于一减cos一。你看吧，这个极限结果就等于一减cos一，所以我的做题的核心思想就是转成定积分。然后这个定积分算出来，就算出来这个极限好不好学啊？非常好学，所以大家注意你的核心，重点是记这两个公式，

当然后面是n分之I，可以也可以是n分之I减一的函数也行。也是可以的哎，非常简单，我相信这节课你能听得贼明白。非常的明白。这个板块内容你在我觉得这节课的话，你要听不懂不可能啊。所以接下来过程当中，我们来看看怎么做题呢？我觉得这块做题啊，就是三步哎，就是三件事情，那么在这里面当中啊，首先第一件事情我们先看标志。

什么样的题，我们会这样学呢？两个事情，第一个事情你是个数列极限。大家注意啊，第一件事你是个数列机型。你必须是个数列极限，然后第二事情你具备求和形式。哎，这是两个要求。如果你是一个数列题型，你具备求和形式，我就首先先想到凑定积分定义。怎么凑呢？三件事情，

第一步先写求和把这个人给我写成求和表达式。先把这个人写成求和，然后第二件事情呢，刚才我们都知道这三剑客过程当中，你看少了谁？这三剑客少了谁？三剑客是不是少了n分之一，然后第二步提出一个n分之一来，从后面提一个n分之一，然后后面这个人。唉，提出这个人等你提出了之后的话，你发现这三剑客具备了吗？三剑客具备了，我就要看一个事情，

我就要看看这个人是。是不是n分之I的函数？如果这个人是n分之I的函数，我就找到了fx。我找到了fx这个题的结果就等于多少就等于零到1 fx的ds。所以说三步第一步一和第二步二提三找项，先写求和再提出n分之一，然后再来找是不是n分之I的函数？太简单了。一和二题三找项，一和二题三找项，如果今年过程当中考，我觉得这个东西的概率非常非常大。唉，概率非常的大，

所以在这里面当中啊，你的核心思想一定要保证清楚，对吧？一和二题三照相。所以这是我们在这里面当中啊，讲解的问题，那么接下来过程当中啊，我们来看看考题。那么，在这种当中啊，因为我们三九六同学没有多少真题。对吧，没有多少这种东西的真题，那我们只能去看看这个数一数二数三同学的真题，考了30多年都是怎么考的？

所以在这种当中啊，我们以小见大，我们来看看数一数二数三同学，两千一七年的十分的大题，你看有多么的简单？相当的简单好了，我们一起来看看这个题目。第一件事情，请问是不是一个数列极限啊？是的，第二件事情有没有求和符号啊有？数列题先求和形式，首先第一件事情干嘛？唉，我们就去想定积分的定义。

你不要在那难找那么难找那么难找吗？啥东西都没学，永远对一个未知的东西充满无限的恐惧啊，好了，那么接下来我们来看看这个事情，首先第一件事情我们要干嘛一和？哎，恭喜你已经核过了，你看他给你核完了。太棒了，所以这年老头子相当的温柔啊，和完了和完了之后怎么办？提一个人提出n分之一。等你提出这个n分之一了之后的话，你发现后面这个东西留下了n分之k ln多少一加n分之k？

那所以说在这里面当中，你发现三剑客具备的嘛，有极限，有n分之一，有这个求和，那你告诉我个事情，后面是不是n分之k的函数？那当然是啊，这就是n分之k的函数，你告诉我这个fx等于多少fx等于x倍的ln一加s？漂亮，那所以说这个题的结果就出来了，它就等于零到1x倍的ln 1+sds，然后接下来过程当中。算出这个定积分十分呐。

这十分我两分钟就做完了。说实话，两分钟就做完了，然后接下来过程当中算这个定期分，我就不讲了额，如果不会算没关系，下节课你去看看课表。下节课的重点就是来计算定积分。下节课就是定积分的计算，所以说这节课列到定积分就行，下节课过程当中，我们算定积分，其实你都会两类不同函数相碰分步积分法呗。把这s往后面一凑，然后这个题就出来了。

对吧，然后分布一下不就出来了，练了这么多天，总得把这个功力给我拿过来吧。那这个东西能不能看出分布积分法，你比如说这个人？啊，会算吗？把这个s往后面凑，然后分布积分法下，唉，这个基础内容你看十分题，这十分题拿的爽吧？相当的爽，我觉得这个十分题什么十分题，

它的价值量顶多五分啊，顶多五分，所以接下来过程当中我们再来看看下面的事情，你再看这个题。你不要飘，对吧？学会了就是侮辱智商，不会的时候怎么老头子那么残暴？你你看看这种你咋反差那么大呢，对吧？呃，那这个呃，不会的时候的话，你发现哎呀，怎么出那么难？

啊，会了之后就是侮辱你的智商，那是你学会的，我跟你讲你啥东西学会了都不难。啊，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看噢，是你啊，我下节课我就不理你了啊，你发的弹幕我就不理你了。老是打扰这个班级的学习啊，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面的事情，

你再来看这个题啊，二零一二年数二同学的四分题。那么这个题的话，接下来过程当中，我们看看怎么做呢？好，我们继续看，请同学们告诉我是不是数列极限？数列极限。然后第二事情有没有求和形式啊？数列题型求和形式。然后问为什么是零到一的同学，你看这个五八二二了，还有那个什么什么b几几几的，你们三个同学简直我我我们班的大山呐啊。

三座大山为什么是零到一？你下去推一下你就知道了啊，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看满足我们这里面的条件。数列极限求和形式对吧？数列极限求和形式那首先第一件事情，我们先想什么？我们先想定积分定义。我想定积分定义的话，你发现一个事情第一步干嘛？第一步一和。那么一和怎么合呢？有些同学估计就挂在这儿了啊哈，挂在这儿了，

怎么去写求和写求和贼简单？你看看这事情，那这人是不是嗯呐？然后这人是第一项，第二项，第n项，你来看看，那这人是多少是一的平方+n^2分之一？二的平方+n^2分之一，三的平方+n^2分之一，你就写什么你就写通项写k的平方+n^2分之一。或者写I的平方+n^2分之一，你看谁变？谁变就把谁改了，然后接下来过程当中，

我们再来看那这个k从几开始呢？是一的平方，然后加到多少加到n的平方会写了吧？非常简单啊，就是谁变就把那个通项写到这儿，然后再来看看第一项从谁变的，然后最后一项从哪谁变的非常简单。好了，这是这个事情，先写求和，等你把这个和谐完了之后，第二步干嘛呢？提出三剑客得有啊。然后这个人当中啊，你发现一个事情来个n分之一。

唉，来个n分之一，这人就多了呀，多了怎么办？多了给我塞回来，塞回来就变成了这个人。对吧，多的这个东西啊，你就出来就是我永远在外面过程当中，我要的是n分之一，结果你发现一个事情N多了，把它给我塞回去。那么，接下来过程当中，看看这个人，

请告诉我是不是n分之k的函数啊？有些同学说不是，那不是这个东西可以转换一下，那在这个当中就是n趋向无穷，大n分之一求和这个人三剑客都有了吧？那这三件课都有了，之后的话，你发现个事情，我怎么去处理啊？那么，在这里面当中，你可以上下怎么办？同时，除上个n方就变成一，然后是n分之k的平方，

加上一。是变成这样了，等你变成这样了之后的话，同学们，你告诉我事情后面是不是n分之k的函数是就是零到一把它给我改成多少x平方加上一？分之1 ds。呃，其实这个题还挺好记的，你看这个积分就是arctangent题。对吧，它的原函数就是arctan ENT，再把零和一带去arctan ENT 1，你就去想唉t an ENT多少等于四分之派？摊正的零是零本题，结果等于多少四分之派，

你看这个数列极限，结果就等于四分之派。对吧，这个极限就等于四分之派。所以将来我们写出这个极限的时候，你就发现它的结构等于多少呢？就等于四分之派。你看这个事情，如果你平时不练呐，你在考场上根本想不到。所以说去年过程当中，为什么大家这个这套题做的不好呢？原因点很简单。平时过程当中啊，都不说这个人了，

大家都纠结的是数列极限考研考不考，你想想是不是啊？比如说你是二战同学，你思考一下。你回想一下去年过程当中，到了冲刺阶段，好多同学问，唉，老师数列极限考不考？你看看人家这个人，人家数列极限不光考。人家树立极限，还考到这个人。你要是这个东西，你平时没有学，

你觉得考场过程当中你会做吗？你可太厉害了，你在考场过程当中把别的34个题做完了。在一个半小时内把别的34个题做完了，做完了之后的话，你发现一个事情，你还把这个东西做完了，你还推出了定期分定义，你绝对比牛顿和莱布尼斯牛的太多了。为什么他们推了几十年？发展了100多年，你只需要一个半点，而且还做完了前面其余的34个题，你可太凶了。所以你可以看出来，

那么这个部分内容你在平时过程当中一定要学到位。对吧，一定要学到位。所以接下来过程当中啊，我们再来看个事情。那有些同学啊，你发现一个点呃，我在这里面当中，我只能去讲数一数二数三的历史，你们能赞同我吧？为什么我们只有去年的一年真题，我为了引那个真题啊，你看我讲了这么一大段好了，那么接下来我们继续看。呃，

在这个之前过程当中啊，在二一年之前这个PPT啊，这个PPT我做的比较早了，是两千一七年做的。啊，然后的话，每年的话改一改，改一改，改一改。两千一七年做的，这是我原来在呃新东方的时候的全国的那个教师赛课做的一个PPT啊，就这个PPT，你发现我从来没有PPT，就这一个啊，这个还拿了这个全国的一等奖啊。

好了，我们继续，我们再来看。每年过程当中，我都讲这个片段，都讲这个事情。但是你发现以前过程当中啊，很多同学都问这个事情，说什么呢？说老师你在前面过程当中推那么多干嘛呢？你讲这么多干嘛呢？你讲了这么多的话，你发现不就是背这个公式吗？我把这个公式背过了不就行了吗？我直接背过这个公式，

我不就会做这些题了吗？我为什么需要推那么多呢？所以说你发现个事情，结果二一年出现了之后啊，有些同学就傻了眼了。那么，接下来过程当中，我们来看个题，看看这个题。那这个题出现了之后啊，你发现个事情，很多同学就傻了眼儿了。不会做了。啊，不会做了唉，

那这个题的话，你发现一个事情考什么呢？对吧，在这种当中给了一个ifs，在这个区间零到一上连续，然后让我们进行去看看这个定积分等于多少？你看吧，有些同学傻了眼了。那这题怎么办诶？我们经常背那个公式，好像这里面当中没有诶。我们经常背的那个东西，你发现里面当中没有啊？那怎么办呢？好了，

那么接下来我们一起来看看我们来看看这个题。那么，这件事情啊，其实你发现就考了什么内容呢？我把这个退出去，因为接下来过程当中啊，有些同学想要这个讲义。所以接下来过程当中啊，这个内容我都给你写到这儿好吧，同学们，我们一起都写到这儿，一起来看看这个问题。所以说这件事情啊，我又需要把刚才那个部分内容啊，再跟同学们进行推一遍，

好，我们一起来看看这个事情。在这里面当中啊，你发现一个问题，我来画一个二维的迪卡坐标系，然后接下来过程当中，这是y，然后这是零，然后这是x。然后接下来过程当中，我们要考的是什么？我们要求解的是零到一的这个曲边梯形的面积。对吧，我们要求解这个人。我们要进行去求解这个曲边梯形的面积，

我们怎么去求的呢？那么在这里面当中啊，你发现一个事情，我们这样做的第一步，我们先分割。对吧，我们先分割，我们就把这个东西分分分，然后一直分成多少份分成了n份。对吧，我们就分成了n份。所以这就是我们在刚才过程当中啊，所做问题当中的第一步叫做分割。分割完了之后怎么办？我们在其中过程当中啊，

取出一份那么在这种当中啊，我们取出这个人假设是dk份。行不行唉？假设是dk分，因为同学们，你想想因为你分的足够的小，那我就近似认为什么情况，我就近似认为这个上面这个边呢是平的。那这个时候你告诉我个事情，这个底端长度是多少？这个底端长度的话，你发现一个事情总长度是一，然后这是n分之一。那么，接下来过程当中，

我们就来看，我们就来进行去求下这个面积，这叫近似。那么近似了之后的话，我们来看看有哪些点的函数值，你是知道的呀，那很明显一个事情，这个点坐标我知道啊，这点坐标是多少n分之k？那这个点坐标我也知道，那是n分之多少k- 1那同学们想想还有一个点是谁啊？终点吧。那这个点你不是也知道吗？那这点坐标是多少？是二分之n分之k加上n分之k减一。

是不是这个人，所以说这个结果就等于多少就等于二n分之二k减一，是不是这个问题，所以接下来过程当中我们来写一下这个面积。这面积可以怎么写？你可以这样写，你可以用n分之k这个点的函数值做高乘上底端长度，你也可以用什么东西呢？用右端点的话，这个情况乘上底端长度。对吧，你也可以怎么办？用中点的函数值做高乘上底端长度。大家有没有发现一个事情，这里面当中进行去变化的是谁呢？

变化的只是那个点的坐标。因为我刚才说了，你分的无限的大，每个点的坐标的值应该是一样的。是不是这个情况？你变的是这个人，然后接下来过程当中，唉，依然是求和。那么，接下来过程当中，因为你近似的，你得把所有部分的面积进行加起来，那我进行求和，然后总共多少份呢？

k从一分到n。k从一分到n是不是这个情况那么，所以说最后一件事情呢，你再取个极限，你就取n趋向无穷大的极限。那这个时候它们都等于多少零到一的定积分？是吧，这三个人的话，你发现等于的结果都是一样，都等于这个人。那这三个人其实你发现唯一的差别是什么呢？这人用的右端点，这人用的左端点，这个人用的中点。哎，

就这个事情，所以同学们，你发现个事情这一里面当中啊，它的区别点非常的简单。区别点就是这个点的坐标，结果。是吧，就这个东西不一样。一个人用的右端点，一个人用的左端点，一个人用的中点，但是三步走没有没有问题。一和二题三找项，你找的话，你发现如果是右端点找的是n分之k的函数，

或者找n分之k减一的函数。或者找多少？二n分之二k减一的函数，所以同学们，你发现个事情，刚才我们说的三步第一步一和。二题。三爪香。这个东西当中啊，你发现唯一的差别是什么？导向你三剑客后面跟的是n分之k的函数，可以你跟的是n分之k减一的函数，可以你这个后面跟的是二n分之二k减一的函数都行。能听懂啊，你后面过程当中是n分之k的函数，

可以你后面跟的是n分之k减一的函数，可以你后面跟的是二n分之二k减一的函数，可以。都行，那么这三个人都是构建了fx，都能找到fx，都能找到fx。没问题吧，都能找到这个事情，所以最后一件事情的话，你发现我们就干嘛求极限？分割近似求和取极限。哎，这四步操作。所以在这里面当中，

你发现个事情，这个部分的内容一下就出来了。这怎么可能不会准备呢？你是不知道这个东西有多么的重要。你这个问题点的话说了跟没有说是一样啊，就是平时不准备的话，考场肯定没机会，那为什么没准备呢？这大纲要求的多么重要的内容啊。所以说在这里面当中啊，这个部分东西就出来了，那么接下来过程当中啊，我们就回来了，这个题对吧，我们就回到这个题上来，

我们把这个题啊，我们来重点看看。来操作一下这个题。那这个题的话，你发现一个事情，你就可以严惩法了呗，对吧？所以说你发现一个事情，我来给你看看第一个方法，你就可以怎么办？直接秒啊。对吧，就直接秒呗，选谁呀就选b呗。那为啥选b啊？

它不就是终点吗？考的这个事情就是b。那所以说你发现当年二一年考的这个题啊，你说实话会做的同学的话，眼睛漂一下就出来，这就是区分度，这就是水平点啊。你看这个事情一下出来了。那么，接下来过程当中，我们再看第20题。那有些同学觉得说那老师。那如果。这个题啊。我就是在考场上不会做，

怎么办？有人说，那我就是没有准备怎么办？你要注意啊，考场上当中就算没有准备，也不要放弃。当然，你如果没有准备，你没有达到考研的目标，这是你的问题，但是如果当年过程当中，你确实没有准备到位，但是我觉得不存在的好，我讲的是万一。万一你没有准备到这个题怎么办？

也能做。也是可以做的，我来给你讲讲这个事情，接下来过程当中啊，我们再来看。那么，同学们想想一个事情，我们来思考一下刚才那个公式。哎，这个公式，但是你发现一个事情，这个公式你学过吧，然后这是k从一到nf n分之k。然后等于零到1 fs ds。那么，

接下来过程当中，我们思考一下，你告诉我个事情，这个人什么意思啊？那这个人的话，你发现是底端长度。对吧，底端长度每一份的底端长度。那这个n是什么意思呢？这个n这个n是它的分数，我把它分了多少分？对吧，分了多少分？那同学们想想这个每一份的底端长度，乘上你的份数，

一定会等于总的长度，你赞同吗？那当然了，每份的底端长度乘上总的份数不就是总的长度吗？那这个事情一定会等于这个长度一的。没问题吧？好，这件事情如果你抓住了之后，就算这个题我不会做，我也可以看看。我现在这个题的积分的长度是多少？积分的长度是零到一，长度是一，那么接下来过程当中，你看你这个份数是它你每一份的底端长度是它。

你这个n乘上二n分之一，这个人等于二分之一，你不对呀。那么再来看你这个人是二n份，每份的底端长度是这个人二n乘上n分之一，这人等于二他不对呀。好，我们再来看那这个人的话，你发现有二n份，每一份的底端长度是n分之二，这人等于四，他不对呀，所以说这个题你发现他只能选b。你看吧，我用眼神稍微的漂一漂，

那这个东西啊，立即也出来了。你看这个题是不是结束了，所以说我们在这个东西的做题过程当中，操作性就来了。是不这个事情，那么接下来过程当中，我们再来看。那有些同学又来了，说老师。那我就没有学过那个定积分定义怎么办呢？那我没有学过这个定积分定义，那这题也做不了了吗？那么接下来大家注意，我们再来看看方法三。

大家思考一下这个事情，这是个什么题啊？这是个选择题。而且它是个抽象的。它非常的抽象，那同学们想想一个事情，这个东西是个抽象的，你可以怎么办？我可以举例子，我可以在这里面当中啊，进行去赋值。那么，所以在这里面当中，我就带一个函数，那同学们想想你给这个函数取多少？

那么你就取一个特殊函数吧，你取多少？取个x。很多说我取x你不够狠，如果你非常狠，我就取一。咋了，不行吗？我可以这样取啊，那么请同学们告诉我一个事情，零到一的这个fs这个人是一。那同学们告诉我这个积分结果是多少？那这人积分结果的话，你发现一的积分是x把零和一带去，那这个结果不就是一吗？

呃，如果这一步听不懂的话，一会儿再说，但是你先把这个东西啊，你看过去，它不是一个重点问题。是不是一样好了，那么接下来我们来看看a选项，那a选项的话，这个人的话就变成了n趋向无穷大，然后这是k从一到n。然后接下来再看你发现这个部分是谁呀？这个部分是一，然后这个结果留下它。那么，

接下来过程当中，你告诉我个事情，这个后面这个结果等于多少？有人说啊，等于n分之一等于零，不要这样，大家告诉我个事情，这个结果它等于多少？你看有些同学这个东西不会。它这人的意思就是k=1的时候是你k=2的时候是你k=3的时候是你。k等于n的时候还是你那这个东西应该是多少？这个东西应该是二n分之一n个人的求和。所以说这个人极限结果等于多少二分之一，所以说你不对。你看这个人他不对，

所以我立即把这个a选项，我怎么办？我就排除了。那么，接下来过程当中，我们再来看c选项，那c选项的话，你发现这是n趋向无穷大，然后这是k从一到n的求和，那这个f函数永远是一，那看这个人。对吧，这是2n那么在这里面当中，这是limit n趋向无穷大。第一个是n分之一，

第二是n分之一，第三是n分之一，多少个二n个，所以说这个结果等于几等于二，你也不对。那么，接下来我们再来看看d选项，那这是limit n趋向无穷大，然后这是k从一到n，然后这个人呢？唉，这人是一，这是n分之二，这是二n。那这个时候我就知道了一个事情，

然后这是limit n趋向无穷大。第一个人是n分之二，第二是n分之二，第三是n分之二二，n个n分之二，这是四，你也不对正确答案，选几选b？你看吧，我立即又出来了。所以说当初而言的话，考的这个题我觉得同学们我们有好多种操作性方法都能做。对吧，我们有很多种方法，无论是在这里面当中啊，

你发现我是硬着做。还是用眼睛瞅，还是在这里面当中负特值，像这个题啊，我们基本上都能做出来，大家注意啊，你能完成到这儿啊。我们其实就完成了，我们今年在定积分过程当中的要求。我为什么讲这个题呢？一会儿过程当中啊，我们再谈我们这个题。能想清楚吗？所以大家注意个事情，这三件事儿你必须要想清楚，

你看这三个公式。那我们操作方法是什么？第一步求和第二步提出，第三步找箱找到人肯定可以是n分之k的函数。也可以是n分之k减一的函数，也可以是二n分之二k减一的函数，能听得懂吧？这三个事情都可以好了，这个点呢，我们就讲到这，那么接下来过程当中啊，我们就可以回来了。所以像这个类型问题啊，我们就把这个内容啊全部讲完了，我们其实讲了两个事情，

第一事情定积分的定义的几何背景。它的背景是什么呢？求解曲边梯形的面积。唉，求解这个曲边梯形的面积，第二件事情我们可以通过定期分定义去求数列极限。所以这就是我们在这里面当中的核心方法，通过定积分定义去求数列极限。唉，数列极限计算的第四种方法对吧？通过定积分定义去求数列极限。所以这样的话，我们发现我们所有的这个课程的体系啊，其实就完备了，所以今天过程当中，

我们继续回来。那么，这个操作性的方法就是这样对吧？三个事情一和二题三照相，你不要着急啊，我都会讲的。什么零到一零到二零到三零到十我都给你讲了，你不要着急，不要急，慢慢来啊。一步一步来，你放心吧，这个基础班呢，和这个强化班两个部分的课程是无缝衔接的。你好好来啊，

不要着急，这个事情，所以像这个类型问题啊，我们就讲清楚了，对吧？这是这样的一个操作性的问题。一和二题三照相，所以接下来过程当中啊，我们来稍微休息会儿，然后我们在呃休息过程当中啊，你去完成两个题。四点一这个题我们就不讲了，可以吧？这题刚才讲过哎，这题我们就不讲了，

然后接下来过程当中啊，我们直接来看看四点二这个题。好，我们稍微休息会吧，然后下课休息过程当中做两个事情。第一个事情，把这三个公式温习一下，自己把它写出来，对吧？前面都一样，三剑客都一样，然后重点是第四个人不一样，后面是n分之k了还是n分之k减一还是n分之k减一？还是n分之二k二，n分之二k减一那个不一样，

所以第一个事情。把公式写一遍。第二事情，然后在这里面当中把这两个题啊，把它做一下。能听懂我的意思吗？唉，把这个东西啊，把它做一下好，我们稍微休息会儿吧，一会儿过程当中啊，我们再继续啊。啊，下课过程当中把这两个题啊完成一下啊。

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18.定积分的定义与性质-1

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