16.不定积分的计算（C）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:42:23

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一啊呃，刚才我看了一下这个评论区啊，等会我再来说一下这个问题啊，我们先保证一下这个正常网速环境，还有这个。画面都没有问题，我们就准备开始了呃，那么今天我们就继续开始我们的三九六精综数学的这个基础班部分内容，那么今天啊，是我们不定积分学习的第三天内容。

呃，刚才我看了一下这个评论区，对吧？然后有些同学你发现说上次过程当中这个作业这个题对吧？这个题你发现把这个下面两个东西啊，用一下二倍角。然后变成这个s in二x，然后是二分之一倍的，然后把它翻一下就变成了cosin t，那cosin t积分表里面不是有吗？诶，所以说在这里面当中啊，你就会发现出现了一些问题点。啊，你这个积分表你又没有背。

你在下面过程当中，你发现你刚才还在问cos in的积分是多少？哎，这可不行啊，好了，这个事情我们就讲到这儿啊。呃，那么首先第一个事情，我们先来把上节课部分的知识点呢，我们先做一下这个回顾和复习，因为在上节课过程当中啊，我们其实讲了第一种方法叫做凑微分法。那这个方法还是比较重要的，那么在这里面当中啊，我们先讲的第一个事情凑一分的过程就是积分的过程。

对吧，在这里面当中，比如说举个例子，我出现了这个人，我把他往后面凑，往后面凑，就是往后面挤。对吧，往后面凑就是往后面挤，如果这里面当中出现了一个甲，然后这是乙，你想把他凑成丙，其实你就会发现一个事情。这个甲对乙的积分结果是多少？这个丙就是多少？

能理解吧，凑微分的过程一定是积分的过程。所以我们经常讲念念不忘，必有回响，你之前经常告诉自己凑微分的过程就是积分过程，把它往后面凑。就是把它往后面挤好，这是这个事情，又讲了一些常见的错误分析式，你比如说在这里面当中，我们首先看第一个事情，你发现你在这里面当中补个系数。我就乘上系数分之一，然后接下来过程当中，我们再来看你在这里面当中补一个系数，

我就乘上系数分之一，你补个常数，我是不变的。好，这是我们讲的第二事情，那么接下来过程当中，我们再来看还有二倍的根号s分之一ds这个东西啊，可以凑出根号s。然后紧接着x方分之负一凑出x分之一。那么，在这里面当中啊，还讲了一些重点，你发现这两个东西考的非常多，对吧？用的非常多，

然后就是es es可以凑出es。因为es这个人的积分结果是es，然后在这里面当中一次方可以凑二次方二次方可以凑三次方依次类推，把他积分结果写到后面去。所以下次过程当中啊，把这些部分问题啊，好好进行处理一下，然后紧接着你发现有讲了几种啊，这个里面当中几种重点的题型。比如说这里面当中，你发现下面是二次，上面是常数，下面是二次，上面是一次，还有这里面当中我们遇到s in的N次方和cos in的N次方这种题型。

啊，都是非常重要，所以下去过程当中啊，好好复习一下。呃，上次过夜作业的话，需要说吗？需要讲一下吗？我觉得没有多少题吧。你发现一个有些同学的话，这个下去学习吧，你就没有把上课的东西啊，消化到位，你消化到位就没有那么多的问题啊。有哪个题需要讲？

第几个题啊？谁让我讲35题呢？35题都不会做嗯。31和32。好，我来说一下。呃，首先一个题啊，我来说一下这个29吧。你说35题，你怎么好意思？啊，我先来说下29题吧。我把29题讲一下。呃，

你这下去过程当中啊，你得好好进行，我还是那件事情，先把上课的内容整理清楚再去做题。对吧呃，别的题叫我看看啊。14题。14题。12题。啊，行吧。19题。好，行吧，我们来看看。

呃，别别的题我就不讲了，我看着讲啊，我看着讲，你咋不让我把它全部讲一遍呢？那今天晚上的课也不用上了啊，全讲这个题了。你下去过程当中啊，先把上课的内容掌握清楚，再去做题好，那么接下来我们看看这个题。那这个题的话，你发现诶，我在这里面当中看到了tangent t，我想清楚一个问题。

这一类目当中出现了一个tangent题，还有second题，这个人的积分结果是多少？那这个人的积分结果当然就是second题啊。所以在这里面当中啊，我就把这个东西啊，往后面凑，那这个时候你发现还剩下了一个tangent方，然后这就是second。tangent ds把这个东西往后面凑一凑到这个结果的话，你发现后面的结果就是second。那既然后面结果是second题，前面这个东西肯定要second题，所以把它写成second方减一本题结束了呀，那因此你发现第一个人积分呢？

三分之一second的三次方第二积分呢，就是second加上c啊这个题啊，丝毫没有什么难度。所以还是考量一个什么事情，你的三角函数公式。积分表里面的公式敏感程度怎么样？当你看到这个人，你就要反映出来这个人积分是多少？你在那里面当中还要慢慢想啊，是谁的导函数是它？早都这个题就过去了，人家别的同学都做了十几个题呢，而且对我们三九六同学，我一直给你讲，你们不光要掌握住这个内容，

而且你们的速度的要求比数一数二数三，同学要求还要高。好，这个事情我们就说到这来，我们继续吧，我们再来看。31题我们来说一下啊，看一下31题。呃，31题这个题啊，我觉得倒还可以，对吧？这个题还可以，那么这个题我们来讲讲这个事情，你发现个事儿。

我们在上节课过程当中啊，讲过这种题型，就是下面这个东西是二次。上面这个东西是一字。对吧，我们讲过这个事情，我们的做题思维方式啊，就是把上面这个东西写成下面的导函数形式。但是其实你发现个事儿，如果这个下面东西是根号下二四。然后上面是一次两者的做题方法是一样的，仍然是什么情况？把上面这个东西写成这个根号里面的导函数形式。两种东西的做题思维方式一模一样，所以接下来过程当中我们来看看这个题，

你发现一个事，下面这人导函数多少？下面这人导函数刚好，其实就是负8x。对吧，下面这个人的导函数，你发现这里面当中啊，这是九减去四倍的x方，它的导函数刚好是负八x。所以上面过程当中啊，我们就需要这个人，因此在这里面当中啊，马上出来，那你发现这是根号下九减去四倍的s方，然后点s。

那么上面就需要负八，所以说我在这种当中把它写成八减八s，然后是八分之一，那因此这个题就结束了，你发现是八分之一乘上八。八分之一乘上八不管了，直接把针打开，根号下九减四x方，然后分之一dx。然后第二个事情呢，你发现这个结果就是八s，然后这是九减四s方，然后ds，但是我们需要负的把它写成这样。那因此这个结果就出来了，

那马上这个题啊，立即结束，所以接下来过程当中，我们来看看这个事情。我再给你讲通法，你就不要在那发挥了，我要如果接下来过程当中给你改个多少，比如说4x方加上5x加上几。对吧，然后上面过程当中我再写一个，你怎么去操作？我跟你讲通法，你就把它接受了，你会了这个题，这个题拆开，

因为这题简单啊。你下面就是一个二次和一个常数，这个拆开很简单，那我改个麻烦一点的。啊，听话好吧好了，这是这个事情，所以接下来过程当中啊，你发现第一个事情，这不就是在拆开吗？对吧，不就是拆开嘛，所以接下来过程当中啊，我们接下来继续再来看第20题。那么然后这个类型问题啊，

接下来就可以继续处理，你看第一个分是多少？那第一个分不就是积分表里面的分吗？那这人是根号下，然后是三的平方。减去多少二s平方分之一，然后d那么接下来过程当中啊，你就在这补个二前面来个二分之一。所以接下来过程当中啊，考的这个部分内容就考什么呢？就考这个事情就考啥根号下a方，减去x方分之一的积分。它的结果就等于a分之一没有了，然后就直接是阿克塞因a分之x加上c，所以说这个问题点立即出来了。

那么，接下来过程当中，我们再来看第二十题，你发现这是八分之一，而上面这个东西啊，刚好就是九减去四x方，它的导函数，然后是根号下九减四x方，然后dx。本题是不是结束了，所以接下来过程当中啊，马上出来。又怎么了？啊，好了，

这是这个事情，那么接下来过程当中，我们就可以操作了，那这个时候你发现第一个人呢，他就出来了，他就等于多少？都等于arcs in a分之x，然后这个结果，然后再加上八分之一，你发现这个人就是九减去四倍的x方，然后d多少？九减去四倍的x方是不是这个结果？那么接下来过程当中，你发现我可以这补个二，然后前面把它变成四分之一本题就结束了。

所以说这是二分之一阿克塞因多少a分之x，然后是这个结果，那这个结果呢？二倍的根号一东西分之一。积分结果就是根号，它本题结束。呃，所以说这个题啊，我觉得考两个事情，第一事情其实就是还是我们的积分表里面当中啊，像这个积分的内容。对吧，这是这个事情，然后另外一个事情呢，你我再强调呗，

有些东西不理解我在说什么？我这还不是再拆成两个吗？你说的话直接把一减s拆成两格，这不是一样的吗？啊，做题思维方式一样的。那么，在这里面当中，有些同学说，我这一拆这个题可以出来，然后第二一拆的话，这是一次错二次可以，这不一样的吗？这俩东西一模一样，你自己想想吧，

你做题的思维方式不就是这个方法吗？怎么一直在那就转不出来呢啊？我不就补了一个八，然后拆开吗？你说直接拆开吗？有什么区别呢？我在说将来过程当中啊，无论你出现什么样的这种类型问题，我都可以这样做。啊，希望你在理解上跟我在同一个场，这一样的，你把它拆开了之后，你在这补个八。跟你在这里面补个八再拆开不是一样的吗？

这有啥区别啊？好，这是这个问题，那么接下来我们继续，我们再来看一个事情。再来看这里面当中啊，这个33题。好，32题来继续啊，我们再看这个题。看一下这个题目。呃，其实这个题啊，你发现。哪个带上根号行不？

哦，我我我实在不理解这个哪这个又又有啥问题啊？好，我们继续啊，我们再来看看下面一个问题，32题来继续吧。呃，对于这个题而言呢，首先我们先观察一下，你发现j里面当中的内容，它出现了二次方。然后里面当中又出现了三次方。我我是说的话，大家听不懂还是怎么样呢？我再给你讲一种通法操作。

你想在这里面当中把这个根号带上去，把这个先凑到后面去，然后再去凑分可以。你想把这个东西直接往后面凑，不好做。我说我发现我说的话，你一直在那里面当中纠结那个事情。有些同学就是直接把这人拆成了这个人分之一，然后分之x。然后有些我说我在这里面补一下，然后把这个东西拆开，这不一样的嘛，有啥区别好了，这是这个事情来，我们继续啊，

我们再来看看这个事儿。啊任题啊，我们今天还有正课内容呢，我不能把所有时间放到这个作业上了好了，那么接下来我们继续，我们再来看这个事情。你看这里面当中出现三次方诶，这个三次方可以写成平方再乘上x。是不这个事情，然后这个x啊，你发现就可以凑分了诶，我知道这个x就可以凑成二次。把这个东西啊，一凑就凑成二次，剩下所有人都是二次，

那非常完美啊，所以接下来过程当中啊，我的思维方式就打通了。那么这个题就话你发现变成平方，然后是九+x^2把一个x送到这，然后接下来把这个x凑到后面去。操到后面去，就变成了二分之一，然后是x方，加上九分之x方dx方。好了，那么这一接下来过程当中啊，这个题就变成什么题呢？这个题的话，如果你接下来整它，

其实就是t加九分之t，然后dt这个分。哎，注意啊t加九分之t，这等积分，那么接下来过程当中，我先讲一会儿，过程当中我会给你讲这种类型问题啊，我也是万能的。对吧，我我思维方式非常准，怎么处理呢？上面加个九减个九就行，所以接下来过程当中这个人呢，其实就变成了x方加上九。

然后给这个人加个九，再减个9 ds方，所以接下来过程当中啊咔的一下除下去除下去就是1 ds方。然后再减去二分之九，然后是x方，加上九分之一dx方，我怎么办？补个九。那这个事情就立即出来了，然后接下来这是二分之一x方，然后再减去二分之九ln多少一加上啊，这个是九加上多少x方？这个结果吧，加上c听懂我的意思吗？好，

这个题我们又讲到这儿跟得上吗？所以大家注意啊，这个稍微有点操作性的题啊，你要尽行去把它延展出来。好，这个题啊，我们就讲到这掌握清楚了没？我再强调一遍，刚才那个题你自己下去想想啊，我说的是任何题都能这样处理啊，怎么做都行。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面事情还有哪个题啊？需要讲吗？

还有没有？我讲了一下这个，这俩题这俩题。对吧，还有哪个型？19题，你不觉得19题没做出来，有点不好意思吗？啊，这19题跟我们上次过程当中讲那个题有什么区别？而且看答案也看不懂吗？那这可不太好吧。我觉得无论怎么做都能做出来。啊，证明这你上节课过程当中啊，

你那个讲义上的题你就没做清楚。那么接下来我把这个题讲完，我们就上正课可以吧？那么首先第一个事情，你这是摊正题根号下一+x^2。先把这个x凑到后面去，凑到后面去就变成了dx方，然后补上二根号下x方，加上一分之一。然后同学们注意，我就可以在这补个一二倍的根号s分之一，那这个结果呢？这个结果的话，你发现就是根号它。对吧，

它这里积分呢？它这里积分的话，你发现是负的ln根号下x方加一这个结果加上c。呃，好，这个题啊，我们就讲到这儿。潘正题的积分对吧？你要记清楚，所以我觉得还是一个事情，有些同学的这个学习方法影响了你的学习效率。我一直给你讲，如果上课过程当中啊，你听的那个东西，你觉得听懂了，

但是你自己想的慢，我觉得你应该把例题独立自主的再做一遍，然后再进行处理。啊，好了吧，这个事情我们就不讲了，那么接下来我们就正式开始，今天部分内容啊，今天我们就继续。呃，上次过程当中我们讲的这个凑微分的方法，哎，是非常简啊，这个是lower in ing。那么，

在上次过程当中，我们讲的这个方法是非常基础的啊，上次过程当中，我们讲的这个凑微分法是我们接下来过程当中所有问题方法的一个基础。诶，它是个基础方法，那么接下来过程当中啊，我们来看看下面一种形式，第二类换元法，那么首先我们先来看一个问题。大家好好听啊啊，接下来你先听，我们来引一下这个事情。那么，请同学们告诉我个事情，

比如说一个题是这个题，同学们告诉我这个分好记吗？好不好记？啊，这个分好记吗？呃，不要再说16题了，16题你求导肯定求错了呗，你中间变量没有求到底啊。好了，这是这个这个好不好记？非常好记。诶，非常好记，它就是arcs in，

那如果在这里面当中，我补个s好不好记呢？也好记一次方凑二次方，然后剩下是二次方也好记，但是同学们，你琢磨一个事情。如果这个人来个十次方还好记吗？诶，这就有点麻烦了。是不就有点不好记了，那不好记的原因在何处呢？我觉得这个不好记的原因是因为它有个根号。你想想是不是啊？有个根号，那既然有个根号的话，

同学们导致的这个题非常恶心，我怎么讲？我就想去根号。这个理论非常简单吧，这个数学当中就是这样。你们比如说我们第一章过程当中做极限也是这样，有根号，我想去根号，我怎么去根号呢？那么接下来过程当中，我就想想能不能换个圆？就说我能不能把x换成一个t的东西，然后一减去这个人的平方，还能变成平方，还能开方。

有没有方法呀？我思来想去，我觉得有方法，如果我令x=sint。五零s等于sint一减s in方就变成了cos方。一减s in方变成cos方，那cos方就可以开方了呀。而且同学们，我也可以进行去练cos in体。一减cos方，一减cos方，它就变成多少变成s in方诶也可以看呀，非常巧妙。就说我在这里面当中换个圆，我把x的东西变成t的东西，

那这样是不是可以处理了，因为二者都行，二者选其一就行，你选这种方法。进行处理就行。对吧，所以说我们接下来看看什么叫做第二类换元法呢？第二类换元法其实是这个意思，大家听就行了，你不用记啊，听就行。那么，在题目当中啊，给了这样的一个积分。你发现没？

给了一个s积分，但是你发现这个x积分有个特点，它怎么办？它不好记。它不好记你这个s积分，对s积分不好记，那不好记怎么办呢？我就把这个x换成t。你听懂我的意思吗？把这s换成t，如果你发现一换诶，这人就变成了p hit，然后dp hit呢？dp hit就是求导。fi对t的导函数dt，

所以说接下来过程当中啊，就变成了谁的积分，变成t的积分哦，变成t的积分。他好积分好积分怎么办？我就把他积出来。吸出来之后，你再把这个t换成s不就出来了吗？所以同学们，你发现这个理论是非常简单的。这个理论非常简单，就跟我们原来求这个什么极极限一样，你想对这个人进行求极限不好做，我就换个圆。变成这个人的极限，

把他做出来是不是一样的，所以他的思维方式的体系是非常简单，就是什么情况把。把这个x换成t的积分，然后来处理。那么，在这里面当中啊，我们经常会碰到什么？我们经常会碰到以下两种情况，第一种情况叫做三角贷款。就说你的代换方式是利用三角函数的换元，我们把它称之为什么三角代换啊？这个东西啊，有非常强的标志。所以我觉得这节课非常好学，

认真听就行了，没有那么难，比如说在一个题目当中啊，你发现一个事情，一个题目当中含有a方减去x方。不好记哎，就说我一个题目当中有这个人。有这个人导师不好记我的目的干嘛？我的目的就是想开方。你想想是不是因为有这个根号不好计分？那我就想办法把这个s换成t，然后怎么办？把这个方给我开了，那同学们想想你有什么方法呀？那么，

刚才过程当中，我们都知道，如果是一减x方，我可以令x等于sint。可以0 s=cosine t也行，但同学们，你想一个事情，那这个换元有两种方法，用一种方法就行吧？二者选其一就行了，选一种就行，假设我们就选这种，因为我们喜欢正弦，我们喜欢正切，我们喜欢正格，

对吧？我们就选这种。那么选这种的话，你发现如果这是一的平方，前面系数是一，那如果是a的平方呢，我就领s=a倍的sint。大家能理解我的意思吗？你注意啊，我为什么要做第二类换元法？目的性非常简单，就说如果这个题凑微分法能做，我就结束了。但是接下来过程当中，我看错误运算法不好做，

不好做的原因在何处呢？因为有这个根号，我想开这个根号，我就这样还原。注意你的目的啊，你的目的非常单纯，就是利用了这件事情，我就可以把这个根号给去掉。所以接下来过程当中啊，我们先用一个题啊，我们先来讲讲，先来看看三点二六这个题，大家这样行不行？这个题认真听，行不行？

你好好听，你先不用写了，你下去过程当中再整理好，那么接下来我们来看看这个题来操作一下，再见。首先，我们先看一下这个第一个问题，那么请同学们告诉我这个题凑微分法好做吗？就是利用我们上节课讲的东西好不好做？不好做吧，你利用上节课的东西怎么做？有人说老师我背过这个分，我不让你背，你别乱来哦。这个东西啊，

利用上节课的内容不好做。那不好做，同学们想想不好做的原因在何处啊？不好做的原因是不是因为有根号啊？那有这个根号，我就想去根号，我怎么去根号呢？那非常简单，我可以令什么？我可以令x=a倍的sint。对吧，我这样的话就可以把这个根号去掉，那么接下来过程当中我们就怎么办？我就令x=a倍的sint。是不是这个事情那么接下来过程当中，

我们来做慢一点啊，因为有可能是很多同学我们做的第一个题，那这样就是a方，然后是a方sint方。同学们，想想这个东西换不换啊？也得换每个位置的东西都要换，所以同学们注意这个东西也要换ds就等于多少da倍的sint。那d它就是什么d？它就是微分，微分就是求导a倍的cost，补个dt就行。好，这是这个事情，大家能看懂吧？

好，这是我们在这节课过程当中学习的第一个问题，哎，这就是我们这节课过程当中。遇到这个人，我做这样的一个带宽，可以把这个根号给去掉，所以同学们你记住这种情况就行，它只有三种情况，一会我们再看。那么，接下来过程当中啊，我们就可以处理了，慢慢做，那这里面当中你发现这是a方一减s in方是不cos方a倍的cost dt？

那么，接下来过程当中啊，我们就可以开一下了，我一开的话，这个人就变成多少就变成a方cost方dt了。那接下来就变成了t的积分，那么同学们想想这个t的积分好不好记啊？那好记啊，这不就变成了我们的手里面的内容吗？不就变成了上节课的内容吗？你会记吧，你肯定会记啊，如果遇到cos的偶数次方怎么办？偶数次方我利用降幂的方式，那就是一+cos 2t，

你要一点都想不起来，你证明上节课不听话啊。你当天消化当天的内容，你着急啥？做那么多题，接下来的六天当中啊，我们就是重点做题的，你先把内容消化到位。好了，这是dt，那么接下来过程当中，我们再来看，这是二分之一a方，然后dt你再加上二分之一a方，然后是cos二t，

然后dt。那么，接下来过程当中啊，我们就来看分式不出来了，来一积就出来了二分之一a方t，然后补个二，然后来个二分之一。四分之一a方s in多少二tdt啊？加上c。呃，同学们，想想这个事情是不出来了，我们一级就出来了。你看这就是这节课内容，所以我们这节课学了什么，

其实它的核心重点第一件事情，我们这节课只学习了。什么情况？怎么换？这是这节课内容。然后你发现一个事情中心主旨的积分内容是上节课内容吧。这不是这节课内容啊，这上节课内容，你这节课只需要学习一种事情，学习什么情况什么换就行了。你就学习了这个内容，而这里面当中的中心主旨是上节课内容。你看看是不是啊，所以两节课部分东西啊，你搭配一下，

但是同学们注意做完了没有？没有做完。只有一个x的函数，对x求导才是s函数，所以接下来过程当中啊，我们怎么办？把这个s再换回来。所以接下来过程当中啊，我们再来看最后一个事情，一定要注意啊，换元做完了之后啊，一定要换回去，那么接下来过程当中，我们怎么换回去呢？接下来我们看看。

那这个面当中，它的x等于多少？x=a倍的sint，所以说这个sint就等于x比a。然后有些同学在这里面当中啊，他说这个t就等于多少阿克塞因a分之x没问题吧，然后接下来过程当中把这个人换了一下。把称换一下，请告诉我这件事情行不行？行不行？可以不可以？没有问题，你做对了。但是同学们给不给分，绝对不给分，

为什么呢？大家想一个事情，你这个s in 2倍的阿克塞，因这个东西你会化简吗？你不会化简。所以同学们，你想想一个事情，虽然你回带回去这个东西是可以的，但是这个东西你会化解吗？你没有画到最简，而且我们考的选择题啊，它肯定是给你出这种最简的。因此你做成这样，他绝对不会给你分的那么，所以说在这里面当中啊，

我们要学会换回去的方法。这个方法非常简单，你照着做就行，我们在这里面当中画一个三角形。哎，三角代换的，换回就是画个三角形，画一个三角形，然后把这个对角命成t。哎，注意一下这个事情，把对角命成t，因为这个sint=s比a就等于对边比上斜边，邻边就是a方减x方。那同学们想想在这个三角形当中什么sine啦？

cosine啦tangent啦quant t所有内容都知道。是吧，那这件事情我就可以写了，但是你要注意，我只知道是单倍角，我不知道二倍角，先把这个二倍角先写成单倍角再说。那因此变成了二分之一a方sint cost，加上c，那么接下来过程当中啊，就可以换回去了。因为这是个t，只有一个t，你就写成阿克塞因a分之s，这是最简形式，

那么接下来我们跟过程当中，我们再来看看塞因。c是什么？c是对比斜吧？没问题啊cos是什么？cos是零比斜八好了，这个内容，然后不定积分，再加上c。你看这个题啊，我们立即出来了。所以在这个题当中，我们最后一做最后的结果就是这个，你看这是第三段论。所以像这种类型问题的做题啊，

就是三段论，第一段论怎么换，第二段论怎么积？第三段论换回去三段论，但是你发现没发现这一节课你只学了一个非常简单的内容，你就学。我怎么换呢？我怎么换回去啊？但是它的中心主旨怎么击的是上节课内容，它不是这节课内容。所以说像这种类型问题学的不好，不是这节课的问题，是上节课的问题。所以上节课我给你画了那么多凑微分的题。讲义上讲了那么多的错位分的题，

你下去过程当中没有记，没有练，然后这个讲义上的题不会做，你发现一个事情，你这节课听起来就吃力了。所以每个部分内容环环相扣的。好了，掌握清楚了没？哎，非常简单，所以将来过程当中，我们就知道诶，如果做一个三角带换，碰到这个人，我们就这样换。

换完了之后怎么办？最后再换回去怎么换回去呢？就画一个三角形，把对角命成t就行。然后最后把它换回去，就这么简单，你发现这节课容不容易？相当的容易啊，这是个极其简单的问题。呃，但是在这里面当中啊，接下来我有一个非常重要的事情，我想讲一下，我今天既然讲我一定要把这个事情给你讲清楚。我给你讲透彻一点，

不然将来过程当中肯定有些同学，你发现在这里面当中看到一些别的书籍会有点纠结的问题。好同学们，我们一起来看看一个事情。哎，我觉得这里面当中有一个问题啊。我觉得你做的有点不对呀。你想想一个事情，刚才我们从这一步是不到这一步，一定可以吗？我原来过程当中学习过一个事情。根号一个人的平方不应该等于这个人的绝对值吗？你说是不是啊？根号这个人的平方，他不是这个人呐，

他不是应该是一个人的绝对值吗？你怎么就直接给我开了呀？但同学们注意，你看我写的这么工整，说明就不用改，肯定是做对的啊，那么今天过程当中，我把这个事情给你讲清楚。好好听啊，认真听。呃，这件事情的找取的原因呢？好了，你不要再发挥了，好好听课对吧？

你不知道的时候不用发挥那么接下来过程当中啊，我们来听这个事情。接下来过程当中啊，我来给你讲讲这个事情的原因，非常简单。这件事情都可以从这件事情当中找到原因。你想想一个问题，这是我原来过程当中要做的换元吧。最后是不是把这个t积出来了？这个t积出来之后，是不是要把这个t换成x？这个t换成x之后，是不要把这个t解出来，解出反函数啊。所以同学们注意一个事情，

你发现看这个人是这个人的反函数，因此要记住一个事情能做换元法的人。必须要具有反刊书。哎，它一定得具有反函数，只有具有反函数的这个人，你才能做还原，不是你随便换的，你不能随便换，只有具有反函数的人才能还原。那所以说接下来过程当中，我们再来看刚才过程当中你换的是不是x=a倍的sint啊？那这个人我在零基础提前学的第一次课程，我就讲过这个问题，我讲没讲过来，

我们来看看这个事情，同学们告诉我。什么样的函数才具有反函数？什么样的函数？单调且连续吧。单调的函数才具有反函数。所以同学们注意一个事情，你发现这个x跟t啊，这一段单不单调？这一段单调。对吧，单调。这一段单调，它有反函数，然后接下来过程当中，

你发现这一段单不单调？单调它有反函数，然后下一段呢？这一段单不单调，单调具有反函数。所以同学们，你想想一个事情，这个东西进行换元的时候是整个区间段吗？它不是的。这段有反函数，再拉长一点就没有反函数了。这段有反函数，再拉长一点就没有反函数了。是吧，它不是整个区间段，

它应该是有范围的，那同学们想想这里面当中的所有区间段，你最喜欢哪个区间段？你喜欢哪个？我当然喜欢这个区间段，所以说我选的就是这个区间段，我为什么喜欢这个区间段？因为这一段的反函数是。是阿克塞因。是吧，因为这一段的反函数，它是arcs in。所以刚才过程当中，我才能进行反解成阿克塞因。所以一般情况下，

你所看到的参考书啊，它都在这里面当中啊，写了这样的一个事情，写这个t啊。它是从负二分之派到二分之派的。是不是这个事件，所以你见到很多参考书是不是这样写，它在后面过程当中写了一个范围，就是这个原因。因为这个范围的时候，你在这个题当中进行解的时候，你看你能解出arcs in。你要别的段的话，你就解不出rx a，只有在这一段的时候解的反函数才是rx a好了，

那么接下来我们就继续看，你再来抽一下这个事情。诶，现在过程当中，我们是不是遇到了cosine t的平方啊？而你都知道一个事情，在负二分之派到二分之派的时候。这个cos是不是这样情况？是不是这样？那既然是这样的话，你发现一个事情，这个人是什么？真是正的呀，那这人是正的的话，你发现虽然是cosine t的绝对值，

它是正的，不就是cosine t吗？所以说我就没有加绝对值，你学清楚了吗？你要注意一个事情，你要学就学的贼清楚。你要不然这个事情你不要老是在这里面当中遇到问题，今天看了一次参参考书的不是风就是雨的，明天看到这个东西，你发现又这个出现了一个问题。所以必须要把它学透彻。掌握清楚了吗？所以很多时候你发现你会发现这个换元法的，后面它写了一个范围。诶，

它写了一个范围，所以接下来过程当中啊，我要总结一下。那我们需不需要写这个范围呢？哎，那么接下来过程当中啊，我把这个事情要讲透彻。你原来在大学学习过程当中，你老师肯定写了这个范围。但是我们今天考研的过程当中，我们需不需要写这个范围啊？我们不用写，记住这个事情，你只需要记住这个结论就行。在这里面当中，

三交贷款。不定积分。开封直接开，大家注意啊，你就记住这个事情就行，如果将来我们遇到三角代换。不定积分的题，遇到这个根号直接给我开出来。不用在这里面当中管它绝对值的问题，因为这个事情我已经给你讲清楚了，你将来过程当中就记住这个结论就行。你只要碰到这种问题，你就直接开就行了，不要管这个事情，不要管这个里面当中哎，

根号这个东西不是应该绝对值吗？不用管，直接开就行。记住这个事情了吗？哎，非常重要，另外一个事情你需要在还原的过程当中写这个范围吗？不用写。不用写，你直接写这个换元，然后开方的时候直接开你做的非常的坦荡。能学清楚吗？好了，这个事情我给你总结了，你将来过程当中不要再出现问题了。

好，这个事情我们就讲到这儿，所以说这节课的难度系数啊，不是说特别大，你重点而言还是上节课的内容。第一事情你知道什么情况下怎么欢？第二事情你知道这个人怎么激，最后一个事情你知道画一个三角形把他带回去就行。好，这个事情我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们再来做一个题吧，看一下这个三点二七这个题。来，继续吧。

好，我们来看看这个题。那首先看一下这个题当中的第一件事情。这个题利用上节课的方法好不好做？好做还是不好做？当然不好做，这太恶心了，这怎么做？上节课的方式啊，不好做，那这个题不好做的原因在何处呢？不好做的原因就是因为有这个这样的一个项目。有这个根号下a方减x方。为什么不好做呢？因为有根号。

因为有这个根号，你发现一个事情，这个题不好做，所以说你就会怎么想，我就想去根号。我就想把这个根号给去掉，那么在这里面当中，你发现一个事情，我怎么去掉这个根号呢？非常简单，在这里面当中啊，直接令这个x等于多少？x=a倍的sint，你再听不懂，我觉得就没办法了。

刚才那个题跟这个题是不是一样的，你做一道不会两道三道四道呢？好，这是这个事情，我们就换进去。换进去了之后的话，那么接下来我们来写，然后这个部分就是a方，然后再减去a方倍的sint的方。它的二分之三次方分之一。那么，接下来过程当中啊，注意一个事情，这个人换不换？一定要换d它d，

它就是微分，就是求导a倍的cost dt，是不是这个事情，所以做成这样了？那么，接下来过程当中啊，我们一步到位，好直接写。把这个a方提出来，就是一减sine方，就是cosine方。那a方cosin t方开方呢？直接开直接开就是a倍的cosin t，然后再来个三次方，来个三次方，

然后这个结果就是a倍的cos I nt dt。是不这个事情，那么接下来过程当中，我们就可以约一下了a方，然后是cosine t的方，然后dt。那么，接下来过程当中，这个分好不好做非常简单？如果遇到平方，我更加喜欢second cos，然后这个人呢？就是second t的平方dt。然后这个人的积分结果是多少积分？结果就是tangent t+c能学会吗？

你看这个事情。第一段论怎么换？第二段论怎么积？第三段论呢？换回去怎么换回去？画一个三角形。把这个对角命成t，因为你在这个题当中的sint=x比a，我们都知道s in是对边比斜边。邻边就是a方减去x方，所以说最后一个事情，我们就把它带回去了，你发现tangent是多少？tangent是对比零。所以就是s比上根号下a方减去s方加上c。

是不是出来了？你看这个题难不难呀？这有什么难的呢？第一件事情怎么换？第二件事情开方的问题，我已经给你解决了，你将来过程当中做的非常坦荡。也不用进行去写，这个范围就是怎么换开的，直接开范围不用写积出来，它换回去。所以这节课部分内容啊，你发现它没有理论上的难点。如果说中间部分的积分的这个难点都是上节课的事情，我们都解决过了，

好掌握清楚给我回复一吧。呃，这是我们讲的这个第一个问题点，所以说记住啊，遇到这个东西不好记的时候我就可以用第二类换元法当中的三角代换。你看这个事情过去了，可以吗？来继续啊，我们再来看。呃，其实你发现这个三角代换还有一些兄弟姐妹，对吧？他还有几个兄弟姐妹，我把这几个兄弟姐妹啊，我一块儿讲了。

那么，还有在这里当中的第二个人，那就是如果遇到a方，加上x方怎么办？然后第三个事情，如果遇到x方减a方怎么办？大家注意啊，这个内容啊，又考了那个三角函数公式，那么三角函数公式的平方和公式就是s in方，加上cos方等于一。然后就是tan方加上多少加上一=second t的方。然后就是quantity的方加上一=cosine的方，你下去不认真呐啊，这个事情很麻烦啊。

好了，那么接下来我们看看第二个人。如果一个题当中有这个人，他不好记怎么办？我们先讲这个人吧。我们先讲讲一+s^2。如果一个题当中有这个人不好记，我想把这个根号给开掉，同学们想想，我立即令s等于多少？非常简单的一+tan立方不就是平方吗？所以说我可以令成tan立体。当然，也可以列成cost t。二者选其一就行，

我就选这个人。这能跟上吗？所以你发现我就会令tan 1+tan^2式se qing方。那你想一个事情，这是一的平方系数是一，那这是a方呢？我就直接定s等于多少a倍的t and t？好，这是这个事情，那么接下来过程当中，你告诉我一个事情，这个范围是多少？我们大致讲讲，其实不重要。这个tangent是不是取这一段？

因为这一段的反函数是arctangent题嘛，你一翻就是arctangent题，所以它选的这个范围啊，是t大于负二分之派。小于多少二分之派？好，这是这个事情，能跟上吗？好，那么接下来我们就继续，我们再来看下面的问题再来看。那如果遇到这个人呢？你发现一个题当中含有x方减一，你怎么办？我想开掉这个方，

我就令s等于多少你就转这三个公式啊。令它等于多少？令它等于second题。second，方减一就是tan的，方tan的方就可以开了。当然，你也可以利用cos in ct题二只有选其一就行，我们就选第二个人啊，选第一个人选second题，因为我们喜欢正弦正切正格。那如果这人是一的平方，系数是一，那如果是a方呢？那系数就是AA倍的second t。

好，这是这个人，那么接下来过程当中啊，这个second图像不知道你还记得吗？second图像的话，它是这个样子。要想单调，我们就选这一段就行，选这个单调的话，你发现我就选这个t啊，是大于零小于二分之派。呃，但是同学们注意啊，这个事情听一下就行了，你知道这个范围就行，

将来过程当中啊，考试的时候不用去写啊，不用写这个人。你就直接知道怎么换就行，所以说就三段论怎么换怎么积换回去换回去都是画出三角形，换回去就行。所以这个问题点难度系数不大啊，好，我们接下来继续，我们来看看一个题来继续做吧，我们来做一下这个题，三点二八这个题。来，继续看。首先，

我们先看第一个事情，你告诉我这个题，用我们上节课讲的凑微分法好不好做？不好凑吧，你凑微分法的话，你发现不好凑啊，我把谁凑到后面去。所以不好做，那不好做的原因在何处啊？不好做的原因都是因为有这个人。因为有这个根号，导致非常难做，所以同学们，你想一个事情，我就想干掉这个根号。

对吧，我就想干掉这个更好。诶，那怎么进行干掉这个根号？这刚讲的，你不要鱼的记忆啊，这刚讲的，赶紧来，我就另什么情况等于多少？0 s=2倍的second TT。哎，怎么换怎么换，然后之后怎么办？我们把它换进去，换进去了之后的话，

这里就是四倍的second t的平方。然后接下来过程当中啊，继续是四倍的second TT平方减去四，然后接下来过程当中你告诉我事情。这个人换不换呀？要换吧，这个人换进去了之后的话，你发现就是d两倍的second t那d出来是不是就是求导，所以你发现有些同学这个导数表积分表？求导那求导就是两倍的second dt tang dt dt。所以说接下来过程当中啊，就是两倍的second dt tangent dt，然后怎么办？最后再dt。那这个题就做成这样，

那做成这样了之后的话，我们把它整理一下就行了嘛，那上面是两倍的second题，然后是tangent题。那下面这个人呢？这是四倍的second t的平方好，我们一起看。提一个四出来，一开始二。second方减，一是tangent方，然后这一开始tangent t，然后dt是不是做成这样了？你做成这样了之后的话，这个结果我们就可以约一下了。

两倍的second t tangent，两倍的约一个，所以说就留下了四倍的second t分之一dt。是不这个情况好做成这样，做成这样了之后的话，你发现这是四分之一。second是cos in分之一一，翻就是cos in。第几，你看这个事情是不立即出来了？所以你看这个人的操作性啊，你要把他掌握清楚，那么接下来过程当中，我们就继续看那这人积分是多少，那这人积分是sint+c。

好，是不是出来了啊？非常简单啊，就是怎么换代进去把它化简一下积出来，然后最后一个事情呢，再换回去就行。好，那么接下来我们来画一个三角形。画一个三角形的话，你发现一个事情，有些同学在这里面当中换回一定要注意啊，你看这个second这个人是x比二。那所以说cosine这个人就是翻一下就是2 bx。把这人命成t，就是二比上s对边，

就是s方减四。那么所以说这个s in等于多少呢？这个s in这个结果就等于对比上这个斜让ix方减去个四，然后比上s不定积分加c。是不出来了，好掌握清楚给我回复一啊，基本问题啊，就说怎么换？怎么积换回去？啊，一直都在重复这个工作。你这节课的内容点的话，就是做一个事情，就是你知道怎么换就行。好，

这是这个问题，继续可以吗？来再往下走，所以同学们，你今天会发现一个事情，三角函数的公式重不重要？太重要了，我记得我第一节课过程当中，我让你去复习三个内容，导数表，积分表，三角函数的公式，我给你写到那儿了。我在第一节课过程当中，我还给你复习了一遍这三个公式，

可太这个三波公式可太重要了。你要是转的慢呢，都是那些问题了，好这个事情我们就讲到这儿诶过去了。呃，这是我们在这里面当中啊，介绍的这个第一个问题，那么接下来过程当中，我们再来看看第二种还原方法，无力根式的还原。好，我们再看看第二种。无力根式还原。那么，同学们想一个事情，

比如说我举个例子。我如果在一个题当中有一个x开十次方，你喜欢吗？不喜欢吗？你下面别管是多少？你喜不喜欢？我非常不喜欢，因为你发现个事情，你这人开十次方也忒恶心了。我非常不喜欢。那么，在这里面当中，我可以怎么办呢？诶，我把这个十次方直接定成t那x，

是不是就等于t的十次方了？那你是喜欢这个开十次方，你还是喜欢十次方呢？你喜欢谁呀？我当然是喜欢十次方。我喜欢十次方超过了开十次方。所以在这里面当中啊，如果在考研过程当中遇到了这些无力根式，你比如说举个例子，我们遇到什么情况？比如说遇到ax+b开N次方。或者遇到x开N次方，或者遇到什么情况as+b比上CS+d，这种情况开N次方我就一律怎么办？把它另成t。

我就直接把这例成题我做一个无力根式还原，因为这样一换就没有无力根式了，知道什么叫无力式吧？无理式就是涉及这个开方情况。就没有无理式了，都变成有理式了，所以接下来过程当中啊，我们来看一个题啊，一起来看。哎，你说你这样学咋行呢啊？你管我是多少，我想是多少是多少。你就没有理解到，本质上你这个学习东西太表面了，

我还给你规定一下n超过多少是换的n不超过多少是不换的。这个n的意思就是二三四五六，你就没有理解在干嘛？因为有这个人，他不好记，我就把他换成了t，然后就变成了尤里分式，我们来看一个题吧啊。嗯，不要这样学习，你这样学习的太机械了，你学的是数学。啊好了，我们一起来看看这个题吧，那么首先我们先看第一个事来解吧。

你知道你为什么要换吗？对呀，就是这个目的性，你要掌握清楚好，我们先来看看这个题，那么请同学们告诉我这个题用上节课的凑微分法好不好记啊？当然不好记，你去看看吧，上节课的凑微分法做这个题不好做。其实也能做你，然后怎么办呢？把这个人进行去补一下也能做，但是不好做。暴走那不好做的原因在何处啊？不好做的原因就是因为有这个无理根式。

是吧，就是因为这个无理根式，那我怎么办？我想干掉他，我怎么干掉他呢？我就直接在这里面当中，把这人人定成体。我直接练成t了，之后的话，你发现这个x就等于一减t方。那所以说这个时候你发现这个结果，我就可以带进去。一代的话，你发现第一个人。二减去这个x就是二减去它，

二减去它就是一+t^2。然后接下来过程当中，证人变成题。那ds呢，我们都知道一个事情，这个ds其实就是等于这个人求导，那求导就是负二。2 tdt所以说这个人还有个负2t，然后紧接着dt。那这时候我就可以约掉了，我一约的话，你发现这是负二倍的，然后这是一，然后是一+t^2分之d诶。完美漂亮，

那这个积分好记吧，这积分是多少？这不就arctangent t吗？然后加上c最后一件事情呢，再把它换回去就是arctangent t。t是多少t是根号下一减s加上c。同学们，能理解我的意思吗？这节课的话，你发现我到底在干嘛？就是我先看这个人的凑一分好不好做？如果这个凑微分好做，我就凑微分法做了，那么接下来过程当中，结果你发现这个凑微分法不好做。

那不好做的原因在何处呢？刚才那种问题是有根号下a方减s方a方加s方s方减a方，我就想开掉这个根号，我就做三角贷款。那么，现在这个东西有这个人不好做，我就干掉你，所以大家注意你的目的性。你把这个事情真的是学到骨髓里面了。你就不会再问你，你所问的那些问题了啊，好这个事情我们就讲到这。跟得上吗？哎，注意下。

那么，接下来我们就继续，我们再来看看三点三零这个题，你来看看这个题。来，继续吧。那么，首先我们观察一下，那么请同学们告诉我这个题，如果用原来的凑微分法做，你觉得好做吗？当然不好做。这也忒恶心了，这咋做？我丝毫没有找不到的方法，

也就是说穷途末路来一刀，你来一刀，你来两刀都做不出来。那同学们进行琢磨下这个题为什么不好做呢？不好做的原因就是因为这里面当中有根号。是不是有根号？因为有根号的话，那我就去想我怎么办呢？我把这个人直接定成t。你要注意你的目的啊，我把这个事情写下，我有点不放心哎，我发现有些同学这个思维方式要注意，我的目的是把这人开了。那如果练成这个人的话，

你发现这个x就是t的平方，你t的平方了之后，这个三次方开不进啊。对吧哎，你发现个事情你很尴尬的。你如果练成这个三这个这个三次方就开不进。那如果你在这里面当中令x开三次方等于t，你就会发现一个事情，这个x=t的三次方，你又尴尬了一个事情，你这个人又开不进，你的目的是什么？你的目的就是开方。那怎么办呢？我就重新选一下，

我选什么呢？我选这个二还有这个三，这叫最小什么？这叫最小公倍数，不叫最大公约数，这叫最小公倍数，所以接下来过程当中啊，我就知道了哦，漂亮我就直接来。0x开上六次方等体。那这个时候你发现这个is就等于t的六次方，俩人都能开了。俩人都能开了之后的话，你发现这个结果我就可以做了，那么下面这人呢？

六次方开个方是三次方，六次方开三次方是平方带进去。同学们，琢磨一下这一点，当中的ds是不是也要换ds就求导六倍的t的五次方dt？那所以说六倍的t的五次方，然后dt。好，做成这样了，一旦做成这样，你把它稍微整理一下，这是六，然后这是t+1，然后是t的三次方dt。好，

那么接下来注意力集中一点啊，你们现在状态怎么样？状态非常好吧，认真听我接下来讲的内容，大家注意，我把这个分式叫什么，这个分式叫假分式。哎，注意啊，这个东西叫假分式。那么，在这里面当中啊，我介绍一下尤里分式。你比如说在这里面当中，我们会分成两种，

一种分式叫真分式，还有一种分式叫假分式。什么叫真分式呢？比如说举个例子，像三次方加一二次方加一。我们下面这个人次方数比上面这个人次方数要大，就叫真分式。那如果遇到什么情况，你三次方加一，你这平方加一，你上面的人次方数大呢，你就要甲分式。那么，同理同学们，那如果上下次方数是一样的呢？

一样的，叫什么分式啊？一样的分式不也叫假分式吗？什么叫真分式？下面这个人的多项式的次方数要更大一点。下面这人的次方数大一点，他就叫真分式。所以同学们注意啊，这叫假分式，那么在考研过程当中，你要注意你喜欢做真分式还是假分式啊？我当然喜欢做真分式。只要碰到假分尸，立即变成真分尸。哎，

立即变。只要碰到假的，立即变成真的，所以同学们注意啊，接下来不要眨眼啊。有些同学可能去学了一些什么短除法啦，等等啊，一些非常low的方法，你看我们怎么做好？那么接下来注意力集中点，我们来看看这个事情。哎，注意力集中啊，这是三次方，这是t+1，

你告诉个事情，这是真分式还是假分式啊？这是个假分式吧，很明显是个假分式，这假的不得了，对吧？你发现一个事情上面是三次方假分式。那这个假分式我怎么进行去变成真分式呢？大家注意，我永远去凑分母除下去。我永远往这个分母上凑。这个分母是几次方一次方，你是三次方，我就把它写成什么，我就把它写成平方，

乘上一次方。你看吧，就说这个分母是一次方，我永远把它往分母上凑，我把它写成这个人，然后怎么办？我加个一，你看就不往下除了。我再减个一就减去t方。然后这个t方我又可以怎么减？我又看到分母，我又写成t×t，我再给你加个一，我再减个一，然后又变成加上t。

诶，那接下来我再看一下分母，我再加个一减个一好漂亮除下去。本题结束t方减t。加一，然后再减去t加一分之一，问题结束。能掌握清楚吧，所以说你发现你经常所看到的参考书啊，它都直接从这一步到这一步了。他一步就做到这了。你注意啊，它一步就做到这儿。所以有些同学比较迷茫，说啊，

这个东西怎么出来的？就是这样做的。我瞅着这个分母看我永远进行去补，这个分母我补一下，补一下，补一下就出来了，高手这是绝对的高手。你要学会这个高手做题。呃，往年很多同学的话，发现一个事情说哎，老师，我在这里面当中，我会什么啊？我会短除法哎，

你发现没有这个方法好。我速战速学很快，这个东西就出来了，这才是水平。好了，这个题我们就出来了。那么，接下来过程当中，你再记一下，非常简单，那这个第一个人呢？三分之一t的三次方，二分之一t的平方，加上t补一个一之后呢？罗引t加上一的绝对值加上c。

是不这个事情好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。诶，你发现一个事情，最后是不是要换回去？你换回去，你要注意一个事情，你这个t。对吧，你这个t是这个x的六分之一次方。你们能不能跟上这个节奏？你看这有同学说用这个什么三次方公式哎，可以你减个呃减加个一减个一。能跟上思路吗？

有人说我在这上面当中加个一减个一，往下一除也出来了，我再给你讲讲通法嘛，你一直老是这样啊。好了，这是这个事情，所以前面过程当中啊啊，这还有个六倍六倍的话，你发现这个人就变成几就变成了二，然后这个东西啊，它就变成几三。然后这是六六倍的塔。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，

把它换回去，换回去了之后的话，你发现这个t。t是这个x的六分之一次方六分之一次方的话，你发现六分之一在三次方二分之一次方是这个人。六分之一次方在这个人呢？三分之一次方，然后是六分之一呢？再开个方减去六倍的lns开六次方加个一这个人呢？不用加绝对值是。是正的，加上c。好，这个题啊，立即出来了。

所以说你发现一个事情，你看这个题，它的操作性形式啊，怎么去处理的非常重要，大家学会了吗？好，那么接下来我们就继续回去。我们再回到我们刚才讲的上节课的作业题，你来给我看看，那么同学们请告诉我事情将来过程当中，如果碰到这个题，你会怎么去想？这是个什么分式？这个东西就是个假分式，那这人既然是个假分式，

我就立即怎么办？我的通法告诉我，我就给你加个九减个九立即出来了。是不这个事情，所以同学们你发现一个事情，我这个思维方式是具备的。我不是说看答案，我会呢，我是真的碰到这种题，我立即就出来了，所以啊，我在这里面当中加个九。捡个酒，同学们学会了没？基本问题吧，

下去好好想想。好了，这个事情我们就讲到这儿，所以下去过程当中啊，把这个相对应的这个问题点好好处理一下，就是按照这个分母啊往下除。对吧，就是这个东西往下出。好了，这个事情我们就讲到这吧，所以说下去过程当中把这个基本问题点呢，好好处理处理好，这是我们讲的这个第二类换元法。那么，第二类换元法其实就是一个问题点，

如果用凑微分法，它不好做，那不好做的原因是什么呢？如果原因是因为这三个开方数，我就做相对应的三角代换。如果是因为这个无立根式不好做，我就直接定成t，能听懂我的意思吗？哎，就直接定成t。好，这个事情听明白的给我回复，一知道这两节课的联系吗？先看凑微分法好不好做，不好做我再来看看什么原因不好做呢？

因为这些原因不好做。我就干掉你。对吧哎，你发现我的方向性非常直。好，那么接下来我们再来看，再来出一个题，大家来给我瞅一下。呃，比如说这里面当中啊，我再来写一个题，你来看看这个题怎么做？如果这是根号下一减s，一加sds怎么做？来看一下这个题怎么处理啊？

首先第一件事情，上节课讲的凑微分法好不好做？啊，上节课讲的。你凑微分好凑吗？当然不好凑，这个怎么凑啊？我凑不出来，我凑不出来，我接下来过程当中我就想了。那凑不出来的原因是什么呢？原因是因为有这个根号。无力根式，所以说接下来过程当中我就非常直，我就直接把这个人怎么办？

另成题。我直接练成t了，之后的话，你发现一个事情，我们来操作一下，这就是一减s比上一加s等于t方。那么接下来我要把这个s解出来，就是一减s等于t方x倍的t方把s解出来s这个结果等于多少？一减t方，一加t方。是不这个事情，但是同学们，我觉得这样一做，我有点废了呀。我真的是有点废了，

你发现这人变成ts，这个人就变成了一减t方一加t方。我觉得有点难受啊，你把这个人递出来。递出来就是v出来，求导出来，我觉得非常恶心。所以我觉得这里面当中你发现非常的繁杂，很恶心。所以接下来过程当中啊，大家好好思考一下，你看这个题我还有没有方法做？我就不会这样想。那接下来过程当中，我再来看。

这个人是一减s。真是一+s有根号。我能不能给它上下同时乘上个根号，下一减s呢？如果这样一乘，你发现上面的根号没了，然后下面这个东西就变成了平方差公式一减s方诶漂亮。漂亮，这不叫游离化，这不叫游离化好吧诶，非常的漂亮，那这个时候你发现这个题目当中含有了一减x方，我会想什么哦？我赶紧令s=sint手法呀。你看这个题。

所以在这里面当中，我就赶紧怎么办？我就令x=sint。那这个时候你发现一个事情，立即出来了，就是一减sint。一键三方cosine方一开始cosine。然后是d它d它是求导求导是cost dt。那这个时候你发现一个事情，这个结果就变成了一减三一题，然后第题太简单了。然后接下来过程当中，你发现第一个人就是t第二人积分呢，加上cost+c。完美啊，

那这件事情非常的简单了，接下来过程当中啊我再来画一个三角形。画一个三角形，把这个对角命成t，因为我们知道这个sint是x，其实是x比一对边比上这个斜边。邻边就是一减x方，所以说这个t啊t就等于阿克塞因x cosine这个人等于零比上斜。加上c，你看这个操作，这绝对的手法，所以像这种类型问题啊，大家注意啊，有的时候能化简，你稍微化简一下，

这个做题方式可能会更加简单一点。不要太直啊，千万不要太直，你把这个东西学的太直啊，有的时候你积分的时候你选择的方法不同，你做题的时候难易程度肯定不一样。好了，这个题啊，我们就讲到这儿掌握清楚了吗？好听明白了，给我回复一啊，你下去过程当中啊，好好想想对吧，我们是怎么进行处理的？啊，

这是我们在这里当中啊，介绍的第一种方法，第二类换元法，加上上节课讲的方法，我们就学会了两种方法。那么，接下来我们再来看看今天课程最重要的一种方法，分步计分法。呃，这个方法是我们今天学习过程当中最重要的，没有之一，我首先先说第一个事情，三九六同学，我们必考。呃，

我们的考研过程当中啊，必考分布及分法一定会考的，你说我哪年过程当中不考分布及分法不可能？必考分布积分法，所以接下来过程当中啊，首先我们先来看看第一个事情，我们先来学学这个东西的内容是什么？对吧，你分布积分法到底啥意思啊？啥叫分布积分法呢？我们先来看看这个东西的内容。这个内容是这样子。它说，以d为分界线。把这个积分结构分成了两个部分。

d之前d之后有些参考书写的是u和v都一样哦，都一样无所谓，反正就说以d为分界线。d前面的那个人叫AD，后面这人叫b，这不就积分结构吗？那么，在这里面当中，它的一个积分结果等于多少呢？它等于这个人。它就等于这俩玩意儿相乘。然后再减去什么情况，再减去这俩玩意儿调换位置。好，我们先记一遍，

记一遍了之后我给你证明。那么这个东西做题就是以d为分界线d之前和d之后，它的积分是怎么做的呢？就等于两项相乘。再减去两项调换位置。我两下沉一下，我两下咔的一下调换位置。听懂我的意思吗？两项相乘，两项调换位置，以谁为分界线，以d为分界线。d之前d之后，两项相乘减去两项调换位置。两项相乘减去两项调换位置好了，

那么接下来过程当中啊，我来给你证明一下。这个事情贼简单啊。呃，这个东西啊，其实你发现理论基础一点都不难，大家想一个事情，如果这是a×b的导数怎么算？a×b的导数就等于前导后不导前不导，后来导没问题吧？那当然没问题啊，然后接下来过程当中给这个事情两边同取不定积分。两边同取积分a到bds再加多少AB到ds？两边积分了之后的话，你发现诶，

你看第一个积分谁对s求导是AB导，那不就是AB吗？然后接下来过程当中，我们把这个a倒凑到后面去凑，约分过程是积分过程，然后再把这个b倒凑到后面去，你发现就是b啊。因此，接下来过程当中，它让我们算谁？它让我们算这个n那算的，不就是a db吗？那a db就等于多少？就等于a×b再减去多少bda嘛？哎，

这个思想非常简单，这就是分步积分法，它怎么来的呢？就是乘法求导，乘法求导，两边同时积个分。啊，这个事情出来了，你听得懂吧？哎，就说我求导的话就是前导后不导前不导，后来导27000个分，就是这个哎，这是这个事情。所以，

分步积分法，它为什么是这样原理？就这么简单好，我们再来复习一遍，怎么操作的呢？以d为分界线。两项相乘减去两项调换位置。两项相乘减去两项调换位置，哎，注意一下这个问题啊，那么接下来过程当中啊，在这里面当中，我们有一个非常重要的一个经验。我讲讲这个经验。在分布积分法当中啊，

有一个重点的经验，什么时候我会非常喜欢用分布积分法呢？注意啊，我说什么时候我喜欢用，不代表他一定用。但是这个经验很重要。什么样的经验呢？如果遇到两类不同函数相碰。注意这个相碰指的是乘除法两类不同函数相碰哎，你发现个事情，我们呢怎么办？想分步计分法。分布计分法。所以大家注意一个事情，如果遇到两类不同函数相同，

我会想分步计分法。对吧，这个两种不同类型的函数相同。想碰我就会想分步计分法，那么在这里面当中啊，有个小经验，我不妨把第一个东西写成定式思维。定式思维，然后在这里面当中啊，我们把第二事情我再写成经验。有一个小经验。这个经验是什么呢？这个经验叫做反对幂三值。反对幂三指。呃，

有些的话，这个书籍讲讲的什么反对秘制三是一样的，无所谓吧啊，你要学反对秘三指，你就三指。你要学指三，你就指三，你要跟我学就三指，听懂我的意思吗？哎，反对逆三指。什么东西叫反对幂三酯呢？我们接下来看看。这个反呢，指的是反三角函数。

然后这人叫对数函数幂函数三角函数指数函数，大家注意啊，这个顺序这个顺序是什么情况呢？谁在前？谁就在前？谁在后，谁就在后。就这个顺序决定了谁是a，谁是BA在前，b在后嘛，谁在前，谁就在前。谁在后，谁就在后。那么，

在这里面当中啊，我们来给你看一个题，我们先来讲讲，比如说这里面当中啊，我们来看看这里面当中的第一个题。好好品一下。先来观察下，请问同学们是不是两种不同类型函数相同？两类不同函数相碰，对吧？一种是幂函数，一种是指数函数。两类不同函数相碰，我会想什么？我会想分步积分法。

那我想分步积分法的话，同学们，我们进行琢磨一下。跟我一起来一下顺序好吧，一起来编。反对幂好，恭喜你幂到了，幂到了话，你发现值就在后。纸在后就把纸凑到后面去，纸凑到后面去，大家都知道es ds就等于des你想想上节课的凑微分多重要啊？所以接下来过程当中，我就把它凑到后面去。凑到后面去之后的话，

你发现d之前是AD，之后是b，那做题思维方式就是以d为分界线，两项相乘呗，两项相乘就是s×es减去两项调换位置。es跑前s跑后，那这个时候你发现这个结果就是s倍的es，它积分多少？es+c这多简单呀。非常容易吧。两类不同函数相碰，我会想分步积分法。然后有一个小经验，这个经验告诉我们那么在这里面当中有一个基本顺序叫反对密三指。对吧，

这里面当中只在这儿，我把它凑到后面去，然后这个东西啊，分步计分法一下，听懂了吗？好基本的好做吧，非常简单啊，这个内容那么接下来过程当中我们再来看一个事情，比如说我们看看三点三二这个题。呃，注意啊，这个题当中的第二问，等会再做，不要着急，第二问，

等会再做好再看这个题。先来看看这里面当中的低温。继续做很明显两类不同函数相同吧，这个东西你发现是个幂函数。这个东西是个三角函数，两类不同函数相碰必考分步积分法。那么，经验告诉我们，反对密到了就把这个三凑到后面去，三凑到后面去，你发现。凑微分的过程是积分过程，那凑微分的过程既然是积分过程，那这人一击是多少d塞因？那么所以说这个结果就变成了x倍的ds in这个人，

然后接下来你发现这就是a，这就是b，然后就是两项相乘。然后再减去两项调换位置。那么，然后接下来过程当中就出来了，你发现is倍的s in这积分呢？积分是负的cos负负得正本题结束。是不出来了好，这是我们讲的这个第一个题。过去了，可以吗？非常简单啊，来再来练练一道，我就不信你这个东西啊，

你发现一道两道还练不出来。好，我们继续看，再来看这个事情，继续一发现两类不同函数相碰，会想分步及分法。我们有个基本顺序反对，对到了就要把这个幂凑到后面去，幂凑到后面去的话xds凑微分过程是积分过程。就是二分之s方这个积分写到d后面去，所以说接下来过程当中，我们就来凑一凑的话，这是ln。ds方前面有个二分之一。然后接下来过程当中啊，

你发现这是a这是b吧，所以接下来我们来写那就是两项相乘。再减去两项调换位置，请同学们告诉我二分之一是不是公有的公有俩人都有。对吧，是二分之一倍的两项相乘，两项调换位置就变成这样，那么接下来过程当中，我们就继续做，那这个人就变成了这个样子。好，再来看看二分之一这个人s方。那这个时候你发现是d这个人d这个人是什么意思啊？d这个人是v分v分就是求导在ds。所以说就是s分之一ds，

因此这个结果就是二分之一倍的lns乘上平方再减去多少？那这是is就是二分之一s方加上c。是不又出来了？好基本问题。其实将来过程当中啊，你越做越快，等你做的快的时候，你发现有系数两项相乘减去两项调换位置系数是公有的。第二事情，只要你跑到后面去，跑到后面就求导。你其实就可以把这个第二步啊，直接省略掉了一步做到位啊，但是慢一点先开始啊，我们先慢慢做好，

我们再来做一个题，再来看看下面一个。三点三四这个题来继续。那么，接下来过程当中，我们再看很明显，两类不同函数相同吧。两肋布，你不着急啊，我马上就要说这个事情啊，你别着急，你好好听课。两类不同函数相碰必考分步积分法。哎，一定会考分步计分法，

那么在这里面当中你会发现一个事情，这个反是不是在前呢？我就把这个三角函数啊，这个什么把这个幂函数凑到后面去。那幂函数凑到后面去，就是xds就是二分之一ds方。是吧，凑到后面去，所以说在这里面当中啊，我们就来凑，这是arctangent x。把这个东西往后面一凑，其实就是dx方，然后这人是二分之一。啊，

然后是二分之一，那么接下来过程当中啊，我们就来看到。那这人是a吧？这人是b吧？一起来写啊，二分之一是公有两项相乘，再减去二分之一是公有。两项调换位置，你跑前，然后是阿克潘内跑后。那么，接下来过程当中啊，这个事情就变成了二分之一倍的阿克塔阵体，乘上平方再减去二分之一，

那么。那么，同学们注意啊。跑到后面是不是要求导啊？微分嘛？微分求导求导是多少？一+x^2 dx。是不做成这样，那么做成这样了之后的话，同学们，你告诉我这个分怎么做，不要告诉我不会啊。我一看这两个东西，上下四方处一样甲分式，我就给你加个一，

我再减个一，你看这个做题思维方式非常清晰。所以就是二分之一arctangent x乘上平方再减去二分之一，除下去就是一减去一加x平方分之一再dx。是不这个人，然后接下来过程当中就是二分之一arctan x乘以平方再减去一的积分，谁一的积分就是x？负负得正二分之一公用。对吧，然后这个后面积分呢？就是阿克tans不定积分加上c。跟得上吗？你发现你每一步操作有理有据啊。对吧，做题思维方式非常顺，

两类不同函数相碰，我想分步计分法，把谁凑到后面去，然后一调换，对吧，两项相乘减去两项调换位置。接下来分呢，我又会处理了。好，这个事情我们就讲到这，听得懂我的意思吗？好，那么接下来我还有一个问题。那么，请同学们告诉我事情，

刚才过程当中，我是不是讲了个经验呐？我说两类不同函数相碰，我想分步积分法，那同学们想想，如果它不是两类不同函数相碰，我就不能使用分步积分法吗？能不能使用？我不是反对幂三值相乘，我能不能用分步计分法也能啊？那当然能啊，它是一种普世性的方法。我在这里面当中只是讲了一个小经验。这只是一个经验，我做了很多题，

过程当中把这个东西归纳出来，它确实是个情况，这是个经验，不代表。只有这种情况能用。所以当时你发现有些同学你发现这个学的过程当中啊，就非常死板了。我这个题也不是反对幂三值啊。我也不是两类不同函数相碰啊，那么在这里面当中啊，我也可以用的。所以接下来过程当中，我们再来看个题，你来看看三点三五这个题。那么这个题怎么去处理呢？

我们先来看看第一个人。你看一下这个事情，这个ln这个函数。如果直接进行计分呢？积分表里面是没有录音，只有谁的积分是录音？对吧，谁进行去求导式录音呢？那我不知道。所以你发现一个事情，你像这个人呢，凑微分不好做，换元法不好做，那怎么处理呢？接下来过程当中。

我们来看看这个事情，有同学说老师这个题不好做啊，它只有一个人，没关系，我把这个人看成a，这人看成b不就行吗？所以同学们注意一个事情，它的d的后面本来就是谁就是b啊，所以在这种当中我就可以来了，就直接是两项相乘。再减去两项调换位置s跑前lin跑后。那就直接来了，然后就是s倍的ln，然后再减去xd它呢d，它就是求导，

然后再这个点。所以说这个结果就直接就是is倍的ln x，这是一一的话，积分是x+c。那这就很完美了。所以你看看这个事情，我这样处理，如果遇到对数函数，大家注意啊，反这个人。对这个人就这俩人，他一个人进行出现的时候，我都会直接分步计分法。比如说我们再来看看第二人，继续啊。

那这个人怎么办呢？也是一个人没有关系，我就直接把你看成a1，我把这人看成b。所以说接下来过程当中啊，就直接来两项相乘。再减去两项调换位置，你发现这个东西啊，非常顺手。那么，这个时候的话就变成了x乘上arctan t，再减去x。跑到后面就求导吧，一求导是多少？一+x平方分之一，

那么同学们注意啊，我来跳两步行不行？我跳两步啊。一次凑二次，前面补上二分之一，后面变成平方，加个一一个人分之一的积分就是洛因塔。加上c好同学们能跟上吗？也不往上节课过程当中啊，我们讲完了之后，你练了那么多的题。对吧，你记忆了那么多内容，练了那么多题，这两天过程当中你就好好训练，

不零几分钟。可以的吧哎，越做越快，速度越来越上来。好了，这就是我们在这里面当中啊，介绍的一个问题，所以大家注意一个事情，两类不同函数相碰，我会想分步积分法，这是一种。想法这是种呃，就是我们的一个经验。反对命三纸也是一个经验，但不代表什么情况，

不代表我们在这个做题过程当中啊，一定是两类不同函数才分步及分法。一定注意这个问题啊，那么接下来过程当中我再来给你讲讲为什么是反对幂三值呢？其实你发现学到最后啊，学的就是这样的一个问题。其实你发现这是a，然后这是b，所以说这个里面当中写的这个结果应该是这个人。不一定说为什么是反对秘密三职这个经验呢？应该是谁好积分，谁凑到后面去？对吧，谁好积分谁凑到后面去，比如说这俩人。

大家告诉我，谁好几分？那当然s好积分呐，你lone多难积分凑微分的过程是积分过程，谁好积谁就好凑，我就把谁送到后面去。那相对比而言，当然是s号积分呐，你罗音积分刚才多恶心啊。是吧，那么接下来我们再来看，如果是x乘上arctangent t呢，这俩人谁耗积分呐？那当然是s好积分呐。对吧，

当然是s好积分呐，所以说我把s缩短过去，如果遇到s乘上cos这个人呢，谁好积分呢？很多人说两个人都一样，其实你发现。把真人积分到后面去更容易一点，调换了之后更简单。不信你去看，你要把这个人凑到后面去变成平方，然后再调换位置了之后啊，这个积分非常的恶心。大家能听得懂我的意思吗？所以说你发现我们一开始讲先给你讲个经验，叫做反对弥散值，

将来就直接用。但是不是说只有反对幂三者才能这样做？那这个经验的原理是什么呢？就是谁好积分谁就好凑分，谁好凑分谁就到后面去。听得懂我的意思吗？好，这是这个事情，你要注意这个问题，这俩东西啊，是非常不好积分的，所以它俩非常稳定。一般这两人碰到别人呢，都是别人到后面去。啊，

就说这俩人的话，你发现相当的问题。只要这个人碰到别人呢，都是别人到后面去啊，我不会到后面去的。好，这个事情我们就讲到这，那么接下来过程当中啊呃，我们下课休息会儿，然后下课休息的过程当中啊，大家就可以完成这几个题。这里面当中每个题是不是有个第二问没讲啊？三点三一的第二问。三点三二的第二问。三点三三的地方三点三三，

这是平方啊，把它给我改一下，这敲错了。三点三三这是平方，改一下。然后是三点三四的第二问，你把这几个题做一下。其实不难的，你发现多一个次方再分步积分法一下就行了嘛。所以在这里面当中啊，我想说一下那个表格法，你可能有些同学在这个试面过程当中啊，听过什么分布积分法，有表格法。啊，

其实你如果真的是有些同学二战同学了解。啊二蛋同学了解。其实你发现到了后面的冲刺阶段，很少有人用，就是基础班过程当中一学哇，好牛逼，怎么这么秀，原来还能这样做。结果你发现学到后面过程当中，你根本就用不上，所以一定要注意啊，这个基础班你就好好把这个基本方法练透就行。那个表格法的话，就是这个导一下，这个积一下，

然后这个对角线，我相信你在一些书籍当中，你看过这个事情，你就稳稳当当算就行了。这个基本能力啊，是非常重要的。能掌握清楚吗？哎，这是这个事吗？好，我们稍微休息会吧，一会我们再继续吧呃，下课休息过程当中把这个第二个你注意啊，简单一点的，这样做当然简单，

就是那个倒下这个记一下。啊，当然简单，但是你发现又碰到有些题的时候，你发现又做不了。然后又去讲这个方法是有bug的，我得进行去修正，什么时候做不了，我何必呢？对吧？没有必要那样，你就稳稳当当的把这些东西啊，算下去就行。不麻烦啊，认真算，

你要喜欢算，好好休息会吧，一会我们继续把这个三点三一后面这四个题啊的第二问都把它做一下。好，我们稍微休息会，一会我们继续啊。

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16.不定积分的计算（C）-1

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