15.不定积分的计算（B）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:42:06

某接下来我们继续吧，这题做完了没？有没有做完呢啊？这个第二题呃，其实对我们三九六同学啊，其实这个不定积分加c啊，我在上课提的稍微的少一点。我上次过程当中还给你们讲过，你们的所有的题啊，都是这个选择题，对吧？其实你稍微有点意识就行了，其实有些同学为什么忘了加呢？你比如说微分忘了进行加这个ds不定积分，忘了这个进行加加c。

啊，通常出现在这个填空题当中，但是我们选择题的话，你发现眼神稍微的漂一下诶，有加c的没有加c的肯定不对了。好了，那么接下来我们继续，我们来看一下这个题，你发现这个题啊，就不好做。对吧，首先第一件事情，你说把谁凑到后面去呢？不好来，对吧？

看不出来把谁凑到后面去，所以说你发现穷途末路了，那如果穷途末路怎么办？我来找出其中特殊部分来上一刀，我找谁呢？我就找这个人。这个人到底成不成立呢？我也是做一种尝试，对吧？那么接下来过程当中，我们来倒下，他其实就变成了摊正的分之一。然后tant再求导是second的方，你看这里面当中啊，大家注意啊，

这个求导积分这个基本公式啊，你一定要记清楚。然后接下来再看第一个人塞比扣变成扣比塞。然后这个人呢，其实是cosine分之一，然后它的平方。那么，这个结果的话，你发现一约诶，这个结果不就是sin cos分之一，这不巧了吗？所以说这里面当中的第一个人。只是lu in tangent，而后面这个人就是lu in tangent，这个人的导函数啊。

对吧，导函数我就把这个导函数我立即凑到后面去了。我一凑的话，这个结果就出来了，变成多少，然后接下来过程当中啊，你发现它对它的积分就是二分之一。这个人的平方，这个整体的平方我就写到这，然后加上c。好注意下这个问题，你看这个题是不是结束了？穷途末路来一刀。哎，这种类型问题的方法通常适合于凑一分。

实在是不知道怎么凑了，我在这里面当中怎么办？穷途末路来一刀，能掌握清楚吗？基本问题啊好，这是我们讲的这个方法。那么，接下来过程当中啊，我们再来看几个事情，那么在上节课过程当中啊，我们还讲了几个分，哎，我们在这里面当中啊，把这个东西讲一下。你是否还记得这个分呢？

就这个人呐，我说这个人很难记啊，不不就是很难记，不是很难记，很难记遗忘四人组。嗯，我再强调一遍，你不要着急，这个事情你凑不动的时候，它就是一种方法，你有的时候把一个数学硬生生的，你让我给你总结成什么规模？一定是这样，哪有那种100%的。对吧，

有的时候你发现这个不定积分，你实在是做不懂了，你可以怎么办哎，你可以进行找到特殊部分上一道嘛，我们下面还有几种方法，还有第二类换元法。还有分布积分法还没讲呢，你不要着急，等我把所有方法讲完了之后，我再给你讲哪种方法通常适用于什么？我们就可以有一种定式思维能力往那上面想，不要着急，好了，我们来看看这个事情来解。那这题怎么操作？

我一讲将来你就忘不了了，那这个人的话，你发现一个事情，他不就这个人吗？他不就是塞比坡吗？那既然是塞比空的话，同学们想这个塞进行凑分。s in往后面凑，就是往后面积。那所以说同学们，你想一个事情s in往后面凑，就是往后面吸s in进行积分是多少积分是负的cos in？那所以说这个人的话就立即变成了一个d cos负的，然后这个结果就变成了lncoss绝对值加上c。所以我给你教一下，

我是怎么记的？通常而言，我从来不会把这个东西给遗忘，哎，通常不会遗忘。就这一类目当中，你发现一个事情，就是我一看是tangent，我就知道c比call那c比call c往后面凑为负的，那负的ln cosine绝对值。所以在这里面当中，你发现一个事情，我就永远不会忘这个公式。对吧，我永远不会忘这个公式，

就是我脑子一转的话，这个s in往后面凑嗯，往后面凑是cos in哦，它的分布是cosin login cos in绝对值。你看这个事情是吧，所以在这里面当中通常而言的话，你比如说再看第二个人，你第二个人，你再来看quantity。这人更不会忘。所以在这里面当中啊，你发现一个事情来解，那这个quantity是多少？它其实是括比塞。哎，

括BC就看这个分母是多少，那么在这里面当中，我们来看看这个事情。那么，这个cosine往后面凑呢？cosine往后面凑一凑就是积分，积分就是s in。然后这个部分又是s in，你看s in分之一的积分呢，那这人就是ln sin的绝对值。你能听懂吧，所以我们通常而言进行去记这个东西啊，就非常的简单，很好记啊，贼好记，

看正题分母是cosine ln cosine绝对值前面一个符号。然后是扩散体分，母是s in，那就是ln sin的绝对值啊，一下就记清楚了。好了吧，同学们哎，这是这个事，能记得住吗？哎，这是一个问题。好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看有还有几类问题，

接下来这几类问题啊，可能会比较重要一点，我讲几个题型。那么，首先，我们接下来过程当中啊，我们先看看第一个题型啊，先看第一个。好，我们先来看看类型一。或者叫提醒音。那么，在这里面当中啊，我们先看一个类型，它叫做es类类型啊es类的固定基本的计算问题。

依然是零。不定积分呃，这种东西啊，考研特别喜欢考es类。那么es类的不定积分，同学们想想。如果这里面当中出现了es。你是不特别希望那个d的后面出现es，我这个想法没问题吧？对吧，我就希望后面是es。我希望后面是es的话，同学们想想你后面是es。你后面怎么样才能是es？你后面要想是es的话，

当然是es ds是es。所以它的做题的套路，它有一种万能套路。它的万能套路就是我永远让这个ds的身边有es。我永远让这个人的身边有es，这样我在后面就会有es。这种题就不好呃，就好做了，所以接下来过程当中啊，我们来看一个题啊，我们先来看看这里面当中的第一个题。来接一下第一个人。那么这个题的话，你发现es类不定积分。那es类的不定积分的话，

你发现一个事情，我特别希望这个身边有es。而这是一的负s，简直完美，那太完美了，我就怎么办？我就上下同时乘上es，这是es的平方。然后加上1 ds。那这好办了呀，你发现一个事情，你看des身边有es往后面积e积分是es就des。那这太漂亮了，所以说接下来结果就出来了，它就变成多少，

它就变成了1s的平方，加上一，然后1s。ds啊，这个des所以说你发现我往后面一凑，这个结果就出来了，然后接下来再看。框的平方加一分之一是谁啊？不就是阿克克真体框吗？那这个积分结果立即出来，不定积分一定要加上c能学会吧，好基本问题，你发现我的做题套路非常明显，我就要让什么东西呢？让这个ds的身边有es。

我ds身边有es，我后面就有es，我后面有es，我就好办了。好，这是这个事情，过去了可以吗？同学们，我们讲的第一个人来，再来看看第二个人。继续啊，再看第二个。那第二题怎么做呢？大家注意，这是个经典题。

啊，经典题相当的经典，贼喜欢考这个人。那这个题的话，你发现还是es类的不定积分，那既然是es类的不定积分，同学们琢磨一个事情，我可以怎么办？那我就给他上下同时乘上es嘛。为什么我就让这个ds身边有es就行？如果这样的话，有的话，你发现一个事情，它其实就变成什么，我就可以把它凑到后面去了，

就变成了这个人。诶，做成这个。那么，接下来这个分怎么做呢？这个分如果你看不出来的话，同学们，你可以把这个东西换成t它，其实就是t倍的一加t分之一dt。是不可以列项，所以接下来过程当中，我们就列项。我一列的话，你发现刚好就是t分之一。再减去t加一分之一，

然后这个人呢？在dx。是不是这个事情，所以接下来过程当中，你发现第一个人es分之一des，然后再减去多少es加e分之一des，那就不喜欢了。我喜欢的是加个一。对吧，我喜欢加个一，所以接下来过程当中，你发现第一个分，第一个分就是lnes，然后第二分呢是ln 1+es，这是是正的，

不用加绝对值。然后加上c而ln这个人的话，你发现ln 1s不就是x吗？那两个东西约掉了，所以说这个结果做成这样。跟得上吗？所以下去过程当中，你要想清楚，对吧？这是我们讲的这个第一种方法，那我觉得这个方法很好啊。对吧，这个方法呃，不用特别动脑，对吧？

就非常直，我希望这个旁边有es我上下通称。好，这是一种方法，那么同学们看看还有没有方法？啊，还有没有呢？我们再来做一下。哪个人呢？哪手写了？啊，你是上课听课注意力第二行哦，这是es不好意思啊。哦，我误会你了。

要不这样吧，你去领个必胜套装吧，欲买桂花同在酒，哎呀。好有诗意的名字啊。好，下去领个必胜套装啊，你去私信一下这个今天啊，你中奖了啊。好了，这是这个事情啊，你去私信一下考研，一笑而过。你也可以选那个错呃，错题本就是这个。

诶，今天没有没有那个图片吗？你也可以去要那个错题本也都行啊，好了，那么接下来我们再来看那这个题还有什么方法吗？来继续看那这个题的话，你发现是这个情况诶，其实还有一种方法非常好。大家琢磨一下。你这人是一+1x吧？对吧，一+es好好听课哦，认真听课，那这里面当中，你看这是一。

我们都知道一个事情，只要这个头顶有es就非常好了。那头顶es就非常好的话，你发现个事情，我在这里面当中啊，我就加个es。我然后再怎么办？我减个es。这人就变成这样。是不是这个事情哎，你看我就把它变成这样哎，我加一个减一个，有个什么好处呢？我朝着分母进行加我第一个咔的一下除下来了。把这样东西作为整体出下来。

然后接下来过程当中，这个题就变成了一加es分之es ds漂亮。那么，接下来过程当中啊，我们一起来看敌人积分是x吧？然后接下来过程当中，我们看第二个事情，同学们，我接下来能跳两步吗？可以吧，这个人跑到后面去是es。加个一框分之一的积分，是不是ln框能跟得上吗？哎，你越做越快啊，

可以跳一下。好了，这种方法我觉得也还可以，对吧？这是我们在这里当中啊，介绍的第一个事情，你看这种方法很明显，一个事情我觉得比上面那个方法还好。操作性很强啊，我加一个减一个。我是朝着这个东西方向向走。好，我们接下来继续，我们再来看同学们再琢磨。你发现刚才过程当中，

我们说es ds可以凑出es。对吧，那这个时候你发现e的框对框进行凑分，是不是d的e的框啊？那大家想一个问题，什么时候非常好补框啊？一次项式，一次项式特别好补框。你要在这里面当中，你发现你碰到这是as+b，我想在这里面当中补一个as+b，太简单了。所以同学们注意，你一定要注意一个事情，你要把e的s的做题方式和e的as+b的做题方式统一起来。

因为这个人补起来就非常简单，你这是as+b，我在后面补个a，前面乘个系数，然后补个常数，太简单了。所以一亿的s怎么去做题？一亿的as+b我就有这个特点。那你想一个事情，这个题你不就是非常想要多少呢？想要e的x的东西吗？我不光可以上下同乘。我还可以上下同处。我一除的话，这人是一的负s加个一，

然后这是一的负sds。这更漂亮，但是我觉得方法二是最好的啊，当然这个方法也很好，方法二和方法三啊，我觉得都差不多。我觉得也行，那么接下来过程当中啊，你发现个事情往后面凑。但是你要注意一个事情e的负sds凑分必须是e的负SD负s在后面补个负号。所以说这个东西进行去凑分的时候，这是e的负s+1 d多少呢？e的负s前面必须来个负号。然后再怎么办？加上个一。

那这个时候在这里面当中，马上这个事情就出来了，就变成ln多少lne的负s+1。是吧，哎，这个事情就出来了，所以说你发现个事儿，这个类型问题的基本方法，我觉得这三个方法都还行。对吧，第一种方法，你上下同乘，第二种方法，加一个减一个，第三种方法，

上下同，除大家注意啊，这一题是个经典题。这个题是个绝对的经典题啊，经典题中的经典题呃，这个同学一直在说那个列项，你昨天的课题呃，上次课程听了吗？我上次课程就讲过那个人。我说这个你像如果说这个列项你都看不懂，这就有点麻烦哦，你在这补一下就行啊，补一下。当然，我觉得有两种同学，

第一种同学。凭经验，眼睛一丑s分之一减去s加一分之一。看一下这边是x+1，这边是x1减，刚好没了。下面小的是大的，下面大的是小的，就这样写。当然，有些同学说啊，老师，我觉得我看的很恶心，我看起来太难受了，那我怎么办呢？

你就在上面加个x减个x。你加个s减个s往下一除s分之一，然后是多少s加一分之一？但是我觉得同学们注意一个事情，我觉得如果在这里面当中还是这个基础水平，这不太好吧。我觉得到大家而言的话，你发现你是一个大学生，考研你最起码而言一下就应该看出来吧。好，不讲了，这个太基础了啊，下去补一下好这个问题啊，我们就说到这。哪个答案跟他不一样，

你能告诉我吗？啊，你能告诉我哪个答案跟前面不一样吗？啊，哪个呀？不会化简吗？啊，一点都不会化简吗？好，我给你化一下，我就写成这样就行了。你得整理一下呀，你这这这是不不要太懒了啊，这是多少是一的x分之一，加上一加上c。

然后这个结果不就是负的多少一的x+1+1 x+c。然后在这里面当中，你发现一个事情，它不就是多少一+es，然后就再加上嘛。le的s+c。这不一样的嘛，哎，注意个事情啊，这是一样的，不要太懒。你这所有东西我都给你整理到最后，你这也不行啊，你这基本的这个初中能力啊，这个初高中能力啊，

这个事情。好，这个事我们就讲到这过去了，可以吗？诶，基本问题。呃，另外是想哦，刚好谈到这个事，我也多讲讲对吧？我也多讲一下，那么在上节课过程当中啊，我们这里面当中还有两个题，你还记得吗？我记得上次过程当中，

我出了两个题诶，在这儿。那么，在上次过程当中，我们来在这里面当中啊，你发现我们出了这样的题。还记得这个题吗？这个题的话，你发现个事情，这是三方好好听课。这s in方，这cos方，我可以把上面这个一写成s in方怎么办？加cos方诶，那这里面当中我觉得还有一种方法呀。

那在这里面当中，你发现个事情，还有什么方法呢？我除了把上面进行去写开，我也可以把下面合起来呀。我下面合起来的话，你发现一个事情，你像sine乘上cosine，它就变成多少二分之一sine二x。那然后这个东西平方下就是四分之一s in二s的平方分之一。对吧，这样也行，而同学们都知道一个事情，你发现。s in平方分之一其实就是cosine哎，

cosine t的s方。cos in的x方是可以积的漂亮，所以说这个结果就变成了四倍的cosin t。2s平方dx。是不是这个事情好，同学们要想清楚啊，那么接下来过程当中你就可以错了，那cosine t这是2x的平方，我得补个2x。补个二乘上二分之一，这是二。因此，这个结果就出来了，你发现这个人积分是多少？就是quantity 2s配负号加上c。

诶，这个方法也行啊。除了把上面这个东西打开之外，我还可以把下面合一下，我下面合一下了之后的话，你发现我就变成这个人。因为我们知道s in一个人的平方分之一是可以记的，因为就是cos方，对吧？这个事情立即出来。跟得上吗？同学们，所以要小心一下，这个事情能听得懂吗？跟上我的意思啊，

这是这个事情。好了吧，下去过程当中啊，把这个事情好好想想怎么了？哪儿啊？你们在说什么呀？什么二分之一啊？啊，没问题啊，这s in乘上cosine是二分之一s in的。打平方不是四分之一吗啊？然后翻一下。好了，这个事情我们就讲到这啊，你说前面乘上二分之一是吧啊？

好，那么接下来过程当中，我们就继续再往下走。好，继续看啊，继续看，那么这里面当中啊，我来说一个事情。那么，在这里面当中啊，你发现一个问题。你注意你给这个打个平方嘛，四分之一好了，那么接下来我们就继续，我们再来看一个事情，

你发现没？这俩答案是不是不一样啊？对吧，你发现看这俩答案不一样，而且同学们，你发现一个事情，你把这个东西进行整理，你好像也未必能整理成这个样子。对吧，你能整理成这样子吗？你也未必能整理成这样子。你整理吧，你把这个括号2s，你给我画，你未必能画出来。

所以有些题的话，你发现一个事情这个东西啊，它画不出来。对吧，这个东西画不出来。所以在这里面当中，我就想说一个事情，大家注意啊，有的时候啊，不定积分的答案，不唯一的。答案不唯一的。就是你按照你的正常的做题方法，做到这个答案，你按照你正常的做题方法，

做到这个答案，大家注意这两个结果，有可能都对。哎，有可能结果是都对的。那人说老师为什么是这样呢？因为同学们因为后面c的原因。这俩c有可能不一样。这俩c之间有可能是相差一个常数。你发现一个问题，你应该是叫c1，我叫c2，我两个人加的c1有可能不一样，就这两个东西，你发现它加的这个结果有可能不一样。

哎，加的结果不一样，能听得懂我的意思吗？但是同学们注意啊，这件事情非常可怕，相当的可怕，然后有些同学就来了，哎呀，我做做做，其实做错了。然后他就想哦，周老师上课讲过不定积分，做出不同的答案，我也对你别这样啊，你这样的话，

我还不如不说。所以同学们注意不要这样啊，不要这样。所以在这里面当中，你要听清楚什么时候会遇到这种情况呢？比如说遇到一些三角函数。遇到一些反三角函数，它会出现这种情况。你比如说举个例子，人家前面的过程当中，人家就是x你算出平方，你能对你咋样做都对不了。所以大家注意一个事情，这件事情是对不了的。那么，

接下来过程当中，我又要讲一个事情，大家琢磨一下。那我能不能有一种方法进行去检验，我做的对不对呢？其实是可以的，你看这是你的题目。对吧，然后这是你做题的这个结果，你可以这样做，你就可以通过这个人对x求导向，你看看是不是这个人？对吧，这是一种检验方法。就说什么情况呢？

你把这个人怎么了？倒下，你看看是不是题目这个结果？你倒下看看是不是这个题目结果，但是注意这个方法也不万能。我一般情况下，我不鼓励这种方法，为什么不信你去试几个，有些是可以的，不信你去试几个，你虽然把这个人倒了一下。但你导完了之后，你却整理不出来它。不是说不好导好导导出来之后，你发现你化简化简你化不出来它。

所以在这里面当中，那问题又回到这了。那问题点，那我怎么办呢？是所以说你就得保证你的每一步的做题有理有据，稳扎稳打。所以通常而言的话，我们在这个做题过程当中啊，你就得保证你的每一步做题，你非常稳啊，非常稳，所以下去过程当把这个基础得打好。好了，那么接下来我们继续，我们再来看，

再来看这个题，比如说这个第二题来继续看。你放心吧，你先不要去猜啊，你不要去猜，如果是选择题啊，你们更加喜欢出定积分。啊，更加喜欢出定积分，所以你不要着急，这个事情不定积分，像这种直接出啊，但是不定积分又是这个定积分，用牛来公式的一个基础。你想想一个事情，

比如说让你进去去改一个东西，我喜欢改一个式子，我还是喜欢改一个数啊，我当然喜欢改一个数嘛，所以你不要着急。好了，我们继续，我们再来看看第二种方法来，再来看这个事情。那么，上节课过程当中啊，我们来看看这个事儿，我们是不是遇到过这个事情？你看上面是二倍角，你下面是单有同学说啊，

老师，你现在考定几分呢？我们在这练啥？这是个基础哎，这是个基础，好好听啊。那么，在这里面当中，我们来看看这个事情。带数字更好验了。你这是学了个计摩呢？你怎么跟这个跟我原来碰的一些我都我都不想讲啊，我先讲一点点吧。就如果这个人大于零。这个大于零，

假设大于零，你这个定积分是这个面积。你这个面积，你带一个值，你只能求出这个值，这有啥关系啊，那不是胡来嘛，对吧？不要凭自己的感想进行去做题好不好？不要觉得你觉得怎么样它就怎么样，它不是那样子的好，这个事儿我们不说了。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看第二事情来，

再来操作，那么在上节课过程当中啊，你发现一个事情诶，我可以把这个cos 2x。写成一个cos方，减去s in方，哎，可以，这是上节课内容，那么在这里面当中，你发现一个事情，我还有没有别的方法呢？你看我把二倍角变成了单倍角，那我现在而言的话，你发现我还有第二种方法。

我还可以，怎么办？我可以把这个什么下面这个人变成什么？变成二倍角。所以下面这人就变成了四分之一sine二s的平方ds。那这个时候你发现这个四就上去了。cosine除上sine，它是cosine t。对吧，括除以一个c，这是括号体，但是还有个个啊三分之一是括号二sds。那这个时候就可以做了呀，我就在这里面当中，怎么办？

我补一个二x，我前面乘上二分之一，这就是二倍的。那cosine tco si net那这个积分结果呢？这个积分结果是负的，然后是cosine t2s。加上四，你看这些人，尤其是这个三角函数的这几个积分呢，你一定要下去，过程当中把它好好记一记。对吧，所以说这两题你看这节课我们就会讲上节课讲不了，上节课的话，你发现就算这个最简单，

这种错位分我们没有讲，我都没有给你进行去出这个题。所以你看今天过程当中把它捋清楚。除了把那个二倍角变成单倍角，我也可以把这个单倍角变成二倍角，两种操作性的方法都非常重要，但是同学们又回到了一个起点上了。大家注意一个事情，你不觉得这节课什么东西很重要吗？当我把所有的内容都学清楚了之后，我的反应速度没有上来什么原因？背没有背熟。我不想说，应该叫基因没有基础。这个记忆应该是通过大脑进行去反应，

进行去记的，所以下去过程当中这个积分表太重要了，你终于能理解我上节课为什么这样说了吧？对吧，我一直给你强调一个事情，只要你不懒。该教的东西我们都能把你教会。这个事情是我们来做的事情，但是你要拦了我就拦不住了。我上节课下课之前我就给你讲过事情，我说你只要你积分表背的足够的熟练。对吧，积分表背的足够熟练，记忆的足够熟练，反应的足够的快，

我相信就算你是零基础，这节课你也听懂了。而且你还能做的很好啊，好了，这个事儿我们就讲到这儿，所以啊。呃，将来做一个记练一个，做一个练一个，你要忘掉一你，比如说通过练习嘛，通过做题，你发现这个题忘了，忘了你再把它捡回来就行。好，

这个事情我们就讲到这，那么接下来我们继续，我们再来看看下面一个题来再来走。好，继续来看。这是我们刚才过程当中啊，讲的第一个题型叫做什么叫做es类的不定积分，那么接下来过程当中我们再来看第二题型。这个题型特别重要。大家注意啊，下一个题型非常重要，但是这里面当中啊，我们有万能方法。这个题型叫什么呢？这个题型叫如果下面这个东西是个二次多项式。

上面这个东西是个常数，这种类型。这种模型怎么做啊？就说我什么情况呢？我下面这个东西是个二次多小时，上面这个东西是常数，大家注意啊，这种题特别重要。不是重要特别重要，你能理解我的意思吗？非常重要。这种题啊，有万能方法。你注意啊，它有万能方法，

它的万能方法就是你配方就行。哎，你配方就行。就是你永远都有个方法，就是配方，但是这里面当中啊，你得记住两个积分，一个是x方，加上a方分之一的积分。它是多少？它是a分之一阿克tangent a分之s。还有一个积分是多少？是x方减a方的分之一的积分，这刚才推过吧，二a分之一ln多少x减ax加a？

再加c哎，注意啊，如果速度慢呢，慢慢来啊，不要着急呃，无他但数数二对吧，我们接下来过程当中啊，还有好几天的训练呢。等我们这三天课程讲完了之后啊，接下来每天都要训练，每天都要训练，所以这一个周啊，你都是在跟不定积分打交道，所以我相信通过这么长时间的训练，你很快就把这些东西啊掌握的非常熟练了。

好，这个事情我们接下来看看，通过两个题啊，我们来训练一下。注意啊，我在说这个题是一个万能方法，你听清楚我的意思吗？万能的无论何时何地，你都能这样做。好，我们先来看看第一个。我一看下面这东西是二字，我一看上面这个东西啊。哎，我一看这个人是二字，

我一看上面这东西是什么，上面这东西是常数，我怎么做呢？我就来配方，大家注意啊，眼神盯准一点。我来配了，那么在这里面当中，我们首先看第一个事情，你看这个人肯定是加二的平方吧。对不对？肯定加二的平方，但是加二的平方后面应该是加几？加四对吧？加四所以说你加多了，

你多加了一个二把这个二给我写成根二的平方。写不写，然后接下来过程当中，在后面给我补个二本题结束，你看这个事情立即出来了，所以接下来过程当中就给我套x方加a方分之一的积分。直接写结果来走吧a分之一arctangent a分之x加上c。所以像这种题啊，非常简单啊，万能方法我知道很多同学非常喜欢你，这次怎么不可能不喜欢呢？你只要碰到这种题，立即把它灭了，好在这里面当中，我们继续写，

你再看第二个。那第二人的话，你发现这是x方加上4x。加上4s应该喜欢加四。那加四的话，你少加了，我就给你一个三，我给你一个三满足你，但是你是不是要减个三？减个三就给我写成根三的平方，然后这个d。能听懂吗？我给你一个三，我再减个三，然后后面过程当中给我补个二好，

那么这个积分呢，它就变成多少变成x方减a方分之一的积分？来直接套结果二a分之一ln多少来走x减a？x+a绝对值加c。你看这两题又又出来了，那像这种模型的话，我觉得在考试过程考的多，考的又多，考的又模式化，考的又简单，我非常喜欢。好像这种题啊，一定要掌握清楚，对吧？如果下面是二次，

上面是常数，这个东西怎么做？好，掌握清楚给我回复一吧，这个基本问题就说你永远都可以通过配方的方式来做。诶，永远都可以，当然在这里面当中，我再来出一个题，比如说我们再看一个。哎，我们再看一个。如果在这种当中，我们来随手写一个，比如说你看这是x方，

然后再加上二x减去三分之一的dx。那么这个题怎么做呢？我们接下来看看，比如说啊，老师，你看这个题诶，我可以因式分解啊。这什么情况呢？你发现一个事情，下面这东西是不是可以因式分解？你会因式分解吗？不会因式分解，下课跟我去百度好吧？百度个十几个给我疯狂的做一下这个，这个太基础了，

一三得三吧，所以你发现这是s这是s，然后这是多少三这是负一。这刚刚好吧，所以说你发现就是x加上三x减去一分之一dx。是吧，那么这个东西我可以因式分解一下，我一旦因式分解了一下之后，我就可以怎么我就可以列项了？来吧，同学们，这两个东西可以列吧？走下面小的反而大。减去下面大的反而小。那么，

接下来过程当中，我们再来看系数。系数的话，你发现这个前面这个部分是x加三，后面是x减一，刚好是四多了个四，前面给我走你四分之一。所以这个题目的话，你发现一个事情，我就可以把它分开了，我分开成什么情况？第一人其实就是x- 1 ds补一个一。然后第二人的话，你发现这是x加三补一个解补一个三，所以说这个结果做成这样，

那么做成这样了之后的话，你发现这是四分之一，然后里面是多少？ln x- 1绝对值减去ln多少x+3绝对值，然后出现ln+lnc，因此你发现你只最后加完了之后你再加c都行。好，所以说这个结果值是多少？你把这个整理它不就是x- 1 x+3再加c吗？可以啊，就说只要我在这个题当中，我可以因式分解也行，因式分解你就列项了，但是同学们注意我是不是有一种万能方法呀？对吧，

我有万能方法，我怎么做呢？我一看下面是二字，上面是常数，我就在这里面当中，怎么办？我一看这就是加一的平方。那么，这是2s后面肯定加个一，我加个一的话，你发现个事情，我再减个一对吧？加个一，再减个一。减个一的话，

你发现我就减四减四就减二的平方分之一，然后ds你在这里面当中怎么办？你就补个一。是吧，所以说这个东西啊，我立即出来了，那么接下来过程当中，你看我这个人，结果就可以出来来走二a分之一ln。然后是x减ax，减a的话，你发现加一减二那就减一，然后在这个人再加a，那这个人加三，然后加上c。

那这个题就出来了呀，所以说你发现个事情，我这个题啊，我可以通过这个万能的方式，然后来处理。对吧？呃，在这里面当中哦，这是二啊。呃，在这里面当中啊，你少看点评论区的一些建议，这个建议不好，对吧？不要跟我反推裂项嘛，

这有啥这啥难的呀？你是这个列。这不高中学的吗？啊，这个列怎么列？那非常简单，不就列成了拟分之一，再减去拟分之一吗？对吧，你分之一再减你分之一嘛。那你分之一再减你分之一，然后通一下通一下的之后的话，这是x加b，这是x加a，上面多了一个b减a嘛，

多了一个b减a，前面过程当中乘上多少b减a分之一，这有啥难的呀？你下去好好想想啊，这个太基础了啊，自己补一下基本内容。所以你发现一个事情，这个题啊，无论是你进行去因式分解，然后再进行列项，你可以做。当然，在这个题当中，我们还可以，怎么我们有万能方法，

我一配我，然后这个图形就出来了。好吧，同学们诶，这个题我们就讲到这。那么，接下来过程当中啊，我们就继续，我们再来看看下面一个题型，下面这个题型呢，可能就会显得更加的重要一点。啊，很多同学，你发现有可能会看到去年真题的一种引子，但不是去年的真题。

哎，去年真题的话，你发现你就见过这种类似的了，那么接下来过程当中，我们再来看题型三。呃，这个题型三呢？应该是我们在这一块当中啊，我们讲的比较重要的一种好，继续看看这个第三种题型。那么，第三种题型是什么呢？这种啊，你发现也有模型。如果下面这个东西是个二字。

上面这个东西是一个什么？上面这个东西是is。你看我写的时候，我就没有写c，你看到没有？我就没写c，我写ax方加bx，加上d我就没写c，因为不定积分要加c，避免了混淆。好，我们来看看这种类型问题怎么做呢？这种类型问题啊，首先我们先看第一步。你给我琢磨一下，

请问大家这个分子是不是依次消失啊？是吧，然后你发现一个事情，这个分母是几次，这个分母是个二次项式。对吧，你分子是一次，我分母是二次。诶，这个时候同学们琢磨一个事情，这个分母进行求导呢。我求导一下，我又变成伊斯了。我问你个事情，我说两个一次项式之间永远可以通过补系数。

配常数，让它平衡，你赞同吗？就说两个一次项式，它们之间永远都可以通过补系数赔偿数，比如说你随便写，那我们随便写个3 x+7。7 s+6。那么，同学们告诉我，这两个配平怎么配？你要想前面是三这块配七分之三。你七分之三再乘上这个人，加上一个数，然后等于七就行，

永远都行，永远可以通过配系数补偿数让它平衡。这个事情是没有任何问题的啊，非常简单啊，好了，这是这个事情，当你把这一步做完了之后，本题就结束。所以这是核心，然后这个时候你发现这是分母。然后上面这个人呢，是m倍的分母导。加上常数dx。那么这个时候我们来看看这里面当中的第一项的积分。看到第一项了吗？

第一项怎么解？导函数。导函数凑到后面去。导函数凑到后面去，不就是这个人吗？所以导函数凑到后面去，就是这个人。那分母分之1d分母呢？罗伊分母，然后接下来过程当中，我们再来看看这个分怎么做。这个分不就变成了刚才的题型吗？下面是二次，上面是常数，不就出来了吗？

能学清楚吗？所以说你发现这个套路啊，你必须掌握清楚，过去了可以吗？来我们接下来继续啊，我们再来看看三点二四这个题。来操作一下它。呃，这个题型我觉得非常关键，大家下去过程当中好好练啊，来看这个题型。这种题型的做题方法就是永远把分子写成分，母导那么同学们告诉我，这个分母的导函数等于多少？它的导函数刚好是2 s- 5。

对吧诶，这个结果是2 s- 5，那既然是2 s- 5的话，同学们，你发现我要解s。我要2s。你这是es哎。那怎么办？你要二s，我先补二分之一，然后把这人写成二s加六，你告诉我平衡不？我没干嘛，我啥都没干哦，你发现把二分之一往里面乘，

这是s加三，我啥都没干。我先补一下系数，让这个系数先平，然后接下来过程当中呢，你在这里面看你就减个五加个五六+5就是11。所以说现在这个人呢，就刚刚好，然后接下来你发现一个事情，我就把这个东西拆两份，第一份就是2 s- 5。然后是x方减去五x，加上六ds，然后第二份就是二分之十一，然后这是x方减去五x，

加上六。分之1 ds。好，这个人做成这样。当你一旦做成这样了之后的话，你看看第一个人，那第一个人是谁？第一个人不就是ix方减去5x，加上六，它的导函数。然后这是x方减去5x，加上6 dx。然后再来看看第二人，二分之十一出来了吧？下面是二次，

上面是常数，我永远可以进行去，怎么配方那么同学们想想这个配方是多少x减去二分之五的平方吧。那二分之五的平方是四分之二十五。你这只有四分之二十四。那四分之二四二十四的话，你少一个四分之一，我加个四分之一，我减个四分之一，把四分之一写成二分之一的平方。ds减二分之五。那这题结束了。所以接下来过程当中，你看第一个事情第一人。那这个结果往后面一凑就是它，

所以说分母分之1d分母len分母吧，这个结果出来了。是吧，罗音这个分母。我知道有些同学你发现啊，说这里面当中那就加绝对值嘛，我们稍微看一看。大家在初中的过程当中都学过，里面是个二次函数吧。二次函数的开口朝哪朝上，德尔塔等于25-4ac，这人大于零，说明这个人跟这个人有两个交点。有两个焦点，有正有负，

请你加上绝对值。但是如果你发现一个事情，我这个开口朝上我德尔塔小于零，我德尔塔小于零，我永远都是正的。如果是这种情况呢，永远都是真的，你就不用讲了。听得懂我的意思吗？初中学的哎，初中内容。我知道呃，每当我讲完这个事情，总有同学来问一个事情，你先不要问我，

听懂我的意思吗？不要问我这个事情，他说那老师。你想一个事情，如果是真的，我加绝对值肯定没错呀。你是正是负我，我加了我也没错啊，那我验它干嘛？不要那么懒好不好？你学东西要足基础班，保证下自己的基本功打扎实不香吗？哎，不要问我这个事情，能听懂我的意思吗？

哎，不要在这件事情当中偷懒好，这是这个问题，那么接下来继续我们再来看下面这个。二分之十一。那么，这个结果就是x方减去a方那二倍的，这个人分之一呢，就是二乘二分之一，然后是ln。录音这个人的话，你发现我减你，我减你就是减三，我加你呢，我加你就是减二，

然后加上c。诶，本题结束了。会做了吗？我怎么很有预感今年过程当中就出一个这样的题呢？出一个这样的定积分的体能。哎，它会出的。所以说呃，在当年过程当中啊，我给你看一下这个数学二有一年。哎，数学二。数学二有一年过程当中啊，你发现就出了一个这样的题，

但是这个题的话，你发现一个事情，它是个定积分。你你在说什么？是我看错了吗？怎么又是你？啊，是我看错了吗？哪里有理化？你能告诉我个事情，什么叫游离化吗？啊，有理化是什么？啥叫有理化？啊你你别这样啊，

你别这样啊。那么，接下来过程当中啊，我们来看看这个第13题。啊，你看这个题，这个题当年过程当中啊，就考过这个事情。对吧，当年就考过这个事情，你发现下面这是二次，上面这人是一次，然后这个题啊，你发现考了个定积分。哎，

考定几分哎哎哎，大家这个都同班同学，我可以调侃你，我们主要是这个上课对吧啊，好好听课啊，都是同班同学对吧，互敬互爱啊。好了呃，那么这个题我们就说到这可以了吧？哎，这是三点二四这个题可以了吗？哎，下去过程当中好好进行处理。所以说像这个题啊，当然在这个题目当中你还可以怎么办？

你可以把下面这个东西因式分解一下，因式分解了之后把它裂开。也是可以的。好，这个题啊，我们就讲到这儿，怎么操作都行，下去过程当中这种题型会了吗？只要下面这个东西是二次，上面这个东西是一次，那一次这个东西可以写成二次的导函数形式。听懂我的意思吗？哎，这个内容。啊，

没关系的啊。我觉得有些同学呢，这个你比如说那个你们都知道的，不刻意对吧？对吧，你都知道不刻意不刻意，今年还挺好的吧，这个考了数学考了129吧，然后这两天在这个复试。呃，估计很多同学都知道啊，比我都有名，有些同学看那个网课的，我上次还说这个事情呢，我说有些这个听网课的人都知道不刻意。

啊，把我就叫做周欣阳啊，你发现一个事情，这好多人把我这个名敲成这个。呃，就是数一数二数三同学班级当中的一个一个同学啊，我觉得也挺好啊，上课过程当中我也经常调侃他。有的时候你发现一个事情，我稍微说一下了之后的话，你发现嗯，我至于而言的话，你的印象会极其的深刻。对吧，极其的深刻。

所以有的时候我稍微截个图了之后的话，你发现你相信你在这一年过程当中你都非常难忘哎，所以说这个事儿我们就说到这儿。好了，这个题目我们就讲到这儿，那么接下来过程当中啊，我们就继续哎，再来看看下面一个问题。来继续做吧，再来看看下面一个事情。那么，在这里面当中啊，刚才讲了个第三个题型，那么接下来过程当中，我们再来看看第四个题型啊。

呃，第四个题型非常重要。啊，第四个题型。第四个题型的话，你发现考的是什么呢？考的是这个sins N次方。或者是coss的N次方的考题。大家注意啊，有些同学在这点火公式，你不要乱来啊，定几分再点火，这是不定几分，那么在这里面当中，我们来看看s in的N次方和cosn次方，

那这件事情的话，你发现个事儿。诶，它的这个考点的内容是什么呀？考点内容操作性的方法跟这个n进行分。如果这个n这个东西啊，是一个奇数。你注意啊，这个n是个奇数，奇数怎么办呢？永远拿出一个人进行，凑到后面去，什么意思呢？比如说我这个人是三次方，我就会把它写成三方再乘上。

三音把这个送到后面去。拿出一个进行凑分，这是我做题的问题，所以说在这里面当中啊，我永远的核心重点是拿出一个进行凑分。但是如果你发现一个事情，这个人是个偶数怎么办呢？大家注意偶数的操作性方法，我就使用降幂公式或者叫降次公式。呃，在这里面当中复习一下，降幂公式吧诶，降幂公式，我们得复习一下。交梅公式还记得吗？

其实就是二倍角公式，二倍角公式反写呗，就这俩人。怎么去降啊？首先是这个，这个人他就等于二分之一加cos二s，你不要在那里面当中，又跟我来说啊，老师，我我考试过程当中写出来再慢慢做，你哪有那么多时间。一下就出来了。考验你的熟练程度，对吧？这是你考试的一个基本素养，

然后这个人呢？是二分之一减cos二x。好，这两个东西就是降幂公式，把这个次方数往下降二次就降到一次次方数往下降。啊，这个事情我们在第一节课过程当中讲过，你可以把二倍角公式啊反写就行，好那么接下来我们通过几个题的训练，我们来试一下。好，先看第一个题来操作一下。请同学们告诉我事情，第一个人这什么次方偶数次方吧，如果是偶数次方，

我就降幂立即变成了二分之一减多少？一减cos二x本题结束了。所以说这个题的话，你发现第一个人就变成了二分之一的积分，第二人变成二分之一cos二s的积分。是不这个事情，所以接下来过程当中，你看第一个事情。谁对x求导是二分之一呢？那当然是二分之一x。呃，第二步啊，我就直接写答案了，我跳两步。我先在后面补个二，

我就在前面乘个二分之一就是四分之一，它的积分是s in二s，跟得上吗？上了一天的凑位分的体能，我相信你肯定能跟上，应该没有问题吧，立即把它凑出来好，这是第一个事情来，再来看第二事情。继续那么这个题的话，你发现还有第二个第二人的话，这是coss几次方三次方。偶数次方还是奇数次方奇数次方奇数次方就这样把一个人拿出来。拿出来之后你发现个事情进行凑分。对吧，

凑分那么大家都知道凑微分的过程是积分过程cos in积分是多少？cos in积分是s in，然后接下来你发现补一个d。对吧，补一个d，所以接下来过程当中，你发现一个事情，这个东西一补，然后就变成了3a。那这个东西变成s in了之后的话，那么接下来我们继续看，你看cos方。那cos方怎么办呢？你都是s in我把前面也写成s in，我是不是就写成一减s in方漂亮？

那么，接下来过程当中，我们看第一个事情，谁对s in进行求导时一样？第二，事情s in方的这个人积分是多少诶？我不给你跳步了，那么先来看第一个事情。那么，这个s in谁对s in求导是一呢？那当然是s in第二事情，那就是三分之一sin x几次方？三次方不定积分加c。能学会吗？你看这个事情套路嘛，

都是套路对吧？你有这个套路的话，你做题非常简单，就是我见到这个人，我会怎么处理怎么处理。好，这个事情立即结束。那么，接下来过程当中，我们就继续我们再来看看下面的事情来，再来看看今天课程的最后一个题啊，最后一个题讲完这个题啊，我们今天课程就结束了。好，再来看看第三个人。

呃，第三个人呢？也是这三个人当中啊，最难做的啊，我们来看看第三个人，请告诉我奇数次方还是偶数次方？奇数还是偶数？偶数偶数是不是降幂啊？我见过有些同学呃公式啊，学的非常的荒唐啊，然后这里面当中他就给我来了个降幂公式。他说老师，你cos x方啊，这个人的话，你发现是二分之一加cos二s，

那这个结果不就是cos二分之x方吗？对不对啊？对还是不对？肯定不对，这胡来的，你想想一个事情。cosine方是二分之一加cos二s四次方的意思就是给这个整体平方。你这两个东西肯定不对呀。所以你发现一个事情公式完全胡来呢，你告诉个事情，这玩意儿跟这个东西相等吗？肯定不相等，绝对不对等，所以在这里面当中不要不要不要别别乱来啊。那怎么进行降呢？

哎，这个降幂的话非常简单，我只会降平方的幂，所以我把它写成平方的平方。那么所以说我把里面这个幂给讲了，里面是二分之一加cos二x，然后这个整体平方。对吧，在这里面当中，你发现一个事情，我先降一下，降一下再降。然后接下来过程当中，四分之一出去，然后是一加上二倍的cos二s，

加上cos二s平方好。好，这个题变成这样。那变成这样之后啊，我们就可以拆开了。第一个是一的积分，第二是二分之一cos二s积分，然后第三个事情就是四分之一cos二s的这个平方ds。好，做成这样了。那么，接下来过程当中，我们就继续你看第一个分，第一个分是四分之一s没问题吧？第二个人，

我跳一步，先在后面补个二，前面来个二分之一，四分之一。cos in积分就是s in这个结果，然后同学们就做到这了。那做到这怎么办呢？接下来可以了，你发现看你coss方它等于二分之一加cos二s。那么这个时候你发现cosine框的平方，它不就等于二分之一加cosine二倍的框吗？所以这个人可以再降下二分之一，加上cosine多少四x。ds好，这人再降一下本题结束了。

所以说接下来过程当中啊，你把它写开这四分之一s，加上四分之一多少s in二s，然后再加上第一个人是八分之一ds。然后是八分之一cosine多少四sds，那么紧接着你发现一个事情，这是四分之一s。四分之一多少s in二s？那这个分呢？那这个分直接出来八分之一s。那最后一个人呢？补一个四前面乘上四分之一三十，二分之一sins跟得上吗？同学们。可以吧，

我跳了一波。稍微跳了一下，你看这题出来了。呃，所以说像这几个题啊，你下去过程当中再再完成一下啊，这节课讲的题量稍微的会比较多一点。对吧，所以说这每一个部分的东西啊，衔接度比较高，你看这个积分就是这样，一开始的话，稍微练简单一点，慢慢来，慢慢来，

把这东西啊，一下就练上来了。好了，这是这个事情呃，今天过程当中啊，我们有作业，但是同学们注意一个事情啊，那100道不定积分题啊，不要过冬。那100道不定积分题是我们后天过程当中进行训练的时候，我们还要开始的，所以说接下来过程当中我们来看看。呃，所以说今天过程当中是一定要进行去训练的，我们在这个同济七版教材的后面，

其实你发现有大量的这个非常丰富的不定积分的训练题。所以今天过程当中，我们来把这个。我来找一下。我还是那个事情，你要如果这个东西啊，不熟练的话，很很清楚的一个问题啊，就是这个公式，你下去再记一记好了，那么接下来我们再来看。我再找几个。呃，别的话，这个教材就不要用了，

听懂吧啊，这个教材别的不用用了，我用的时候你就你就稍微用一下就行了。我跟会给你讲啊，用哪些的？不要动那100道不定积分题啊，那么下去过程当中啊，我们再来看。没法早一点那个。是原本的话都没法讲啊，这个我下课都是我晚上都有课，我每天晚上都有课。所以我下课的时候是九点钟。我只能九点颁奖啊，所以说这个大家克服一下，

你要是实在没有时间听呢，你去听回放就行好了，那么接下来我们继续，我们再来看。呃，下去把这一页的题给我做了。哎，大家注意啊。你记一下页码吧，好同学们，记一下页码。我一会儿会把这个文档给你们传过去的，207页。的第一题到18题，你记一下页码啊，

记一下。哎，200你先记一下，我一会会给你发的。我知道你没有，你先记一下页码。啊，我一会会给你发电子版的，你下去过程当中用起来简单207。啊207，然后接下来过程当中我再来看啊，稍等一下。然后这里面当中把这些题再做了。哦，这些题。

然后接下来再把。这几个题做了。好勾一下。好了，这些题啊呃，能勾的下吧，我没有勾的，你先不做。没有勾的，你先不做19，22，一二二二三二四二五。二九，33，一三，

二三，三三，四三五，把它勾一下，这个页码是208页。208页。然后这个我会给你这个答案的啊，答案的文档，我一会也会给你。哎，不要着急，一会儿我也会给你文档。答案稍等一下啊，我找一下。嗯，

在这。呃，我说一个事情，大家听好了，我说一个问题啊。这个答案只起到对照作用，听得懂吧？它不具有参考价值，它只具有对一下答案，我就看看我的答案对不对，你对一下答案就行，你比如说第一个题能不能秒了？第一题能秒吗？那么在这里面当中，你发现一个事情，

你在后面补一个五，前面来个五分之一也就五分之一倍的e的e的多少五s嘛？你是不这个东西就直接出来了，你看这个题，我在后面补个负二，在前面补个一，但是你发现它这个答案写的就有点恶心了。说令u=5 t换成它，然后再把它积出来再出来，我要有这个时间呢，我早都做了好多个题了。所以说这个答案只具有一个效果，只具有一个作用。它的作用就是你对一下这个答案就行了，听懂我的意思吗？

你就对照一下答案就行了，你看看这个答案对不对？能理解吧？不要进行去把这个东西啊，你怎么怎么进行换对一下答案就行了，因为这些内容你上课过程当中我们讲的东西啊，你都可以进行去练的。啊，这些题都可以做啊，没有任何问题，好了，这个事情我们就说到这，所以呃，它只具有针对对照效果。那么，

接下来过程当中啊，我提示一下，一定注意今天的这个部分内容，就是今天的东西，你下去一定要好好练。如果今天过程当中，我们的凑微分没有练好，你下节课过程当中啊，你就会学的非常吃力了，如果你的凑微分法过关了之后，你下节课过程当中啊，你进行去练习就会变得非常的简单了。所以接下来过程当中，我再来说一下。呃，

这个打卡呀，前三天。前三天的打卡是这样子的，首先第一个事情，当天的。笔记的打卡，我为什么让你打卡？当天的笔记呢？我想看看你到底有没有认真听课呢？有些同学听完了之后的话，那个讲义都是空白的，上课抱一个手对吧？嗯，对对对，那能不对吗？

那肯定是对的呀，所以在这里面当中当天的笔记，如果当天有作业。有作业的时候。还有作业。诶，如果有作业的时候，你再加上作业。听懂我的意思吗？诶，今天的话可以明天再打，没有问题。今天可以，明天再打，你今天肯定来不及啊，

好吧，明天再来，所以下去过程当中啊，一定注意啊，你这个。我看了一下，有些同学的笔记呃，有同学记得很好，对吧？记得很好，然后在这里面当中有些同学的话，你发现一个事。这个记得不好。啊，有的人那个讲义上太空白了，

所以下去过程当中一定注意一下这个事情啊，这前三天的问题，然后啊，那个100道不定积分的题，你先别动。很多说那老师我没有题，你不要着急，这个事情等我明天的课程讲完了之后，明天课讲完了之后，我会说这个事情的。然后呃，明天过程当中这个题目。是这样子的，就是。我再说一下，

我们统一一下吧。因为上次过程当中，因为之前的话，我们都是在微博打卡，然后上次的话，这个有建议说在那个小红书上打，然后我们就放到那个上面打，你就统一一下，你不要一会这个打那个打。住校统计起来也挺难的，你有的时候你发现打卡的呃多了，还得一个一个点，一个一个进行统计，还得统计你的ID，还挺麻烦的，

大家这个。嗯，当然的话，我觉得这个东西啊，你要自己做了，你也不用打也行，那都没有关系，所以我觉得这个事情大家统一下就行，好吧啊，这是这个事。呃，如果下次过程当中啊，你觉得。呃，这个麻烦我们再换一种这个打卡方式都行，

对吧？你就是就是统这次的话，我们规定下来就统一了，你不要来找我说老师，我在那边打了怎么怎么样？那这助教也不好统计啊，对吧？那互相谅解，本来这个事情应该是你自己的事情，你不觉得吗？你说当天的笔记要不要记？这不应该是你自己的事情吗？你这个作业做不做不应该是你自己的事情吗？然后还得进行监督一下，你做这个东西，

然后这个做的好的时候，我们还得鼓励一下，你不就也希望带动同学们，然后努力进行去学这个东西嘛。因为这个部分呃，你现在还没有感受到，等你做到第四天的题的时候，你就会发现了。做到第四天的题，你做到第四天的时候，你你真的就觉得你自己一个人做，有的时候你发现你真的觉得很难的时候，你做的怀疑人生。但是你去有时候你去看看你别的一些同学打卡的一些情况哦，原来都觉得难，

那我接下去过程当中自驱一点，等我做到第二遍的时候，这个东西不就过关了吗？就很好啊，这是这个事情。好了呃，那么这个问题啊，我们就说到这好吧，同学们呃，后面这个微博群吧，我们后面会有好多次活动，然后再组织同学们进。然后这次的话就是嗯，打卡的同学，我们才能进，

就是你坚持打卡，然后是这样。我应该是前天的课是吗？前天的话是19号的课是吧？哎，不对，18号那天的课吧，如果你打了19号的就可以了。然后我们今天是有课吧，你打了21号的就行了。然后我们下一节课是明天，你注意哦。我下节课是明天，那么下节课的话，你22号打就行了。

行吧，哎，就这样，就是前三天讲课的时候的这个笔记，第二天再打就行，好吧，明天再打就行啊。哎呀，没有关系，我不在乎那个。我又不是卡的那么死，有的时就感觉说那个老师我那上面好像弄弄错了一个字儿，怎么怎么，你不要在这上面小心翼翼，只要你做了就行了，

我就想看看你到底做没做？你不用在这上面纠结，就跟有些同学整理笔记一样，说老师我到底是用电子版整理笔记，我还是在这个纸质版上整理无所谓。我就想在乎的是，你到底有没有做？你有没有好好学这个内容？我在乎的是这个啊。好吧好，这是这个事情。呃，后面的话，只要你当天的话，过程当中打了，

你把这个三天课程的笔记打了，你把后天的六天的训练打了好就可以了。那刚才的作业也算哦，对吧？刚才的作业也算，你只要把这些东西都打了，我觉得也行啊，好吧，这个事情我们就说到这。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，你下去过程当中好好进行去，把今天的部分内容好好整理整理好吧，同学们。

行吧，那么今天课程我们就讲到这。呃，进群的话，到那个不定积分打卡结束吧，好吧？别着急，这个事情啊，这两天过程当中啊，都在重点做不定几分嘛，好那么今天课程呢，我们就讲到这一会，我会把笔记马上给你上传。有些同学想整理的话，你就整理啊，

如果今天比较累的话，明天再整理好吧，然后晚上睡觉的时候把那个不定积分再想想。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好，明天见吧。

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