15.不定积分的计算（B）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:41:46

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的不定积分的这个训练的问题，那么在上次过程当中啊，其实我们讲的这个不定积分的内容当中的第一个板块。那么其实在这里面当中啊，我们上次过程当中讲的东西啊，

不是说特别多对吧，都是一些基本问题，那么下去过程当中啊，把这个相对应的东西啊，好好进行复盘一下。那么，接下来过程当中啊，我来把这些东西啊，带着同学们进行去回顾一遍。那么，首先第一件事情我们讲了这个东西的不定积分的定义。那么，在不定积分定义当中啊，首先第一个事情讲了一个内容，叫做原函数，

那同学们想想什么叫原函数啊？原函数非常简单，如果在一个区间上。你的导函数等于它，我就称什么情况，我就称这个人为这个人的什么一个原函数。大家注意啊，一个原函数，所以说你发现一旦谈到原函数的事情，就要比这个人呢高级好，这是这个问题，然后第二事情大家注意，那什么叫全体原函数呢？你思考一下这个事情，如果这个人的导函数是小fs，

那我进行加个常数呢？我加个常数的导函数当然也是你。所以说我把这个东西叫什么叫全体原函数好，这是我们讲的第一个问题，然后紧接着我们讲了不定积分定义。那么，在不定积分定义当中是这样说，如果这个人他对x进行求导，是小fx，那么接下来过程当中啊，我就反着写。反正怎么写呢？那就是小fs这个人等于s积分就是大fs不定积分，加上c好了，这是我们在这种当中啊介绍的第二问题。

那么，接下来我们再来看看第三个点呃，这个不定期分呢？至高理解上节课讲过。说如果一个不定积分，你不会看，但是你可以反着看，反着看就看求导，所以在这里面当中啊，其实有几个位置呢，这三个位置。这个位置，这个位置还有这个位置。这三个位置啊，是具有一定关系的，

如果在这里面当中，你发现你填一下，这是甲，然后这是乙，这是丙，盯住这三个位置。那这个时候你发现一个事情，他的这样的一个反过程就是丙这个人对乙进行求导就是这样，所以说这个过程的内容非常关键，哎，同学们注意啊，这个考题啊。对我们三九六同学，你发现必出题，贼喜欢出就是这个不定积分定义的题，

一定非常喜欢。所以一定要把它拿下来好了，那么接下来我们再来看看下面一个问题，就是我们的两类常考题型，那两类常考题型哪两类呢？就这两个人。如果在一个题当中，你发现我知道的是谁呀？我知道是这个人导函数，知道这个人立即就可以求出它。那么，对s进行求导，对s进行积分。好了，这是我们讲的第一个事情，

如果在一个题当中，你发现我知道的是f撇框呢，我知道f撇框我立即可以求出f框。那这个时候你发现你是对框进行求导，我就对框进行计分好了，这是我们在这上节课过程当中啊，讲的第一步问题。都在脑子里面吧。诶，这些知识点都应该在脑子里面，就是我提示一下诶，立即反应出来。啊，这个能力啊，才可以好了，

那么接下来我们就继续，我们再来看第二个事情，不定积分的存在性怎么讲呢？不定积分的存在性其实就是原函数的存在性。哎，上节课讲过，如果被积分函数连续原函数一定存在。但是注意一个事情，一个初等函数的原函数啊，不一定是初等函数。那么，在这里面当中，比如说举个例子，你看这个人。这个原函数存不存在？

其实是存在的，对吧？这个人的原函数其实存在，因为被积分函数连续原函数一定存在。但是有一个问题，初等函数的原函数却不一定是初等函数。虽然它是存在的，但是却表示不出来，我认为这个东西怎么办？不存在，其实它是个假的，不存在你像这个人的话，有这个人。还有这个人对吧？还有这里面当中的s分之sine，

还有这什么s分之cosine，还有s分之tangent，包括这里面当中lns分之一。哎，这几个人五大个人对吧？所以下去过程当中，你要注意下这几个事情，你下去把这个内容点，你一定要梳理清楚。呃，上次过程当中啊，我还给了你这个题，有些同学就特别坏，对吧？啊，

赶紧发给了他的室友，然后让他的室友在那狠狠的激了一波啊，你真坏啊，好了，这是这个事情，我们就讲到这儿。那么，上节课过程当中，这是我们讲的第二个问题。那么，接下来过程当中啊，我们再来看看上节课过程当中啊，讲的第三个问题，不定积分的什么？性质那么，

首先第一件事情，有线性，运算性质，那就是如果有个系数呢？有系数我就可以提出去，第二事情如果遇到加减法呢？加减法我一定把它拆开好了，这两个问题啊。好了，那么接下来我们再来看看第二事情，我们又讲了一个东西，叫做不定积分和微分，两者之间是不是互为逆运算呢？哎，逆运算如果在这里面当中碰到这俩符号，

这俩符号。对吧，像这些符号的话，你发现都可以约掉，但是注意啊，如果积分号在前，是要加c的，如果你发现微分号在前，是求导不用加c。哎，掌握清楚这个事情就行好，这是我们讲的第三个点，那么接下来我们再来看看上节课过程当中又讲的第四个问题，我们回复完了之后啊，我们就来看今天的正式内容了。

我们再来看看第四个点积分表。呃，这个积分表有没有记住啊？下去过程当中有没有记啊？积分表，导数表，这两张表的话，你发现你必须要掌握熟练呃，非常清楚。这个人的积分是多少，对吧？其实就是看他他爹是多少，那这个邱道是多少，看他儿子是多少，这两个东西啊，

一定要把它给我记得非常清楚。能听懂吧哎，下去过程当中啊，好好记一记，但是除此之外，你还要知道积分表里面当中啊，有哪些人是知道的？就是除了你进行去掌握住，哎，这个每个人积分是多少？而且这20斤你这个人的话，哪些人的积分是知道的，这些事情也得想清楚。比如说我们来看看第一波。对吧，

幂函数幂函数像这个人的积分肯定知道还有这个人积分肯定知道。当然，在这里面当中，你发现我让你进行去记两个，一个是这个分对吧？还有一个是这个人。我一直给你强调一个事情，大家注意，你们是要进行去考试的。一会儿过程当中，你就能明白我在这里面当中为什么这块儿要求的这么严格，你一会儿就知道了，有的说那老师我转一转，脑子不也出来了吗？那我需要背它干嘛？

你一会儿就清楚了。你在那里面当中转了半天，你眼神瞅的不准，你看的不快，你一会儿过程当中有些东西你就想不到就很麻烦了。好注意一下这两个事情，那么接下来过程当中，我们再来看第二个事情，一个是a的s，还有e的s，对吧？这个积分，然后接下来过程当中，我们再来看第三个事情。啊，

这个没有关系，如果是这个积分的话，就是x分之一加c嘛。好了，这是这个部分内容哎，掌握清楚，那么接下来我们继续，我们再来看看第三个人那三角函数，三角函数很多啊，单枪匹马的sine cosine tangent。quantum t还有这里面当中谁second t call，second t都是可以记的，然后是两项，两项是你不喜欢的这个人。对吧，

你不喜欢的这个人，你不喜欢的这个人，然后他的tangent题还有能理解吧，唉，这是这个事情。然后最后一步啊，那其实就是我们那个什么x方加a方分之1x方减a方分之一根号下a方减x方分之一。根号下x方加一方x方减一方那五个人。所以同学们注意啊，哪些东西是知道的，你也必须要把它掌握清楚，好吧，同学们诶，我默认了啊。我默认你已经把这些东西掌握熟练了，

积分表的里面的内容你已经掌握非常熟练了，那么接下来过程当中啊，我们就来看看不定积分的运算性方法。那么，在这里面当中，我们将会讲哪些方法呢？那么，在上节课过程当中啊，我们只是讲了一些简单的。就是利用积分表里面的积分，你把它做一下，这个难度系数不是说特别难，那么接下来过程当中啊，我们来看看，但是有的时候你会碰到一些非常恶心的积分。

啊，非常恶心，积分，你想想一个事情，你会出积分题吗？啊，你会不会出？怎么进行去出题呢？出题贼简单，我给你讲讲这个七分题啊，是最好出的。啊，最好出的来，同学们来，我们来一起来写个函数啊，

来我们写一个人，比如说写个恶心点的，再来一个一的s够恶心了吧哦，快恶心死我对吧？哎，你发现一个事情会求导吗？会求导吧，好一求导就求出这个人，假设他是甲会求导吧，你肯定会求导，那么出的时候怎么办？来把甲放到这儿。好，这就是一个题。你能理解我的意思吗？

那么最后的话，这个人的积分结果是多少呢？他积分结果不就这个人吗？对吧，谁对s求导是这个假呢？那就是这个人呢，所以很好出你像如果去出什么东西呢？如果去出乘法求导的类型问题啊。往往可以出循环相消的问题。如果出复合函数啊，我就能出什么呢？我就能出这个凑微分的问题，所以你发现出题这个点呢，倒挺简单。但是同学们想想一个事情往过倒简单，

你往回来是不是有点不好来呢？所以同学们注意，你往回来这个事情其实挺有难度的，所以不定期分的啊，这个计算呢能力是一定要过关的。那么，接下来过程当中，我们来看看有人说啊，那上节课我记得很简单，那是简单的。那如果碰到一些难的怎么办呢？我得学习一系列的积分性的方法，那么在这里面当中啊，我们需要同学们掌握住。四种方法，

第一种方法就是凑微分法。呃，错位分法是我们在这里面当中的基础中的基础。诶，这是基础中的基础，你听好了，如果这个方法垮掉了，后面三种方法就不要学了。你放心吧，你绝对学不通，如果凑微分法，你都凑不来，那证明这个不定积分的入门，你还没入进去。所以一会儿过程当中啊，

我们先讲的第一个事情是非常重要，那么接下来过程当中，我们再看第二个事情，那就是第二类还原法。那有些同学讲了一个事情，说老师你这个人叫第二类换元法，什么叫做第一类换元法呢？凑微分法就是第一类换元法。然后第三件事情，我们又讲分布积分法，哎，分布积分法，那最后一个事情叫做尤里分式积分。大家注意一个事情，这个尤里分式积分重不重要？

对于我们而言非常重要，去看看去年的二零二三年的考研真题吧。你发现去年过程当中那个题给很多同学当头一棒。怎么讲呢？就那个题的话，你发现他也知道这个人是尤里分尸。他以为平时过程当中不要求呢，结果你发现去年过程当中考了这个事情。就是我们三九六同学的考题，所以很多同学你发现他不会拆，其实不难，但是他做不来，所以大家注意啊，这个有理分式积分对我们今年一定要好好复习。所以接下来过程当中，

我们将会介绍这四种方法，那这四种方法我再强调一遍，谁是基础啊？这个人是基础。呃，这个人呐，是最重要的基础，一定要把这个东西学好，学好了之后啊，后面几种方法就很简单了。说实话就很简单了，好了，那么接下来不多说了，我们先来看看这里面当中的第一种问题的方法叫什么东西呢？叫凑微分法。

那么，首先第一件事情，我们先来讲讲我为什么要凑微分呢？什么叫凑微分呢？对吧，你经常说凑位分，什么是凑位分？为什么要凑位分？好，我先来讲清楚这个事情，但是讲这个事情我很想讲，通过例题来讲。比如说这里面当中啊，我们看例一。哎，

我们看个例题。那么，在这里面当中，大家思考一下，比如说我写个cos。那这个人积分等于多少？积分是多少？肯定会啊，这个积分结果等于三亿，没有任何问题吧？好这个事情。那如果在这里面当中，你发现我改一下。我把这个部分改成平方，然后也把这个部分改成平方，

那么同学们告诉我事情，结果等于多少？那你去思考一下，我们先不看两个人啊，进行去替换，我们先思考一下。谁对平方进行求导，是cos平方，那很明显一个事情不就是s in平方吗？sin x方对x方进行求导，不就是你吗？对吧s in平方求对，平方求导就是你啊，这个没有任何问题，那么接下来过程当中我们再来看，

如果我把这人改成e的s。这是e的s，那么请同学们告诉我这个结果等于多少？那谁对es求导是coses呢？我很明显都知道，很明显就是s in 1的s。sines对es求导不就是coses吗？哦，是这个情况，那同学们想想我能不能把这件事情？推广一下。那推广之后的话，你发现不就变成了cos框对框进行积分，不就是s in框吗？是不是这个问题，

我就把它推广了，我理解清楚了一个事情，就说如果这是框的话，我这也想要框，然后这个事情就推广了。所以同学们，你发现个事情，我们其实就可以把积分表里面的每个积分都进行去推广。对吧，都进行推广，但是同学们，你思考一个问题。如果是一道考研出的题，你觉得后面过程当中给的是ds还是ds方还是d这个还是d这个？如果是你要做的一个题，

比如说你考试过程当中要去做一个题，你觉得他会给什么？它会给你平方吗？他会给你es吗？他会给你框吗？不可能给你这个题就结束了，所以同学们你去看看这些题。比如说下面这些题，你看所有的人，后面都是x所有人的，后面都是x，但是同学们注意，虽然只给了x，你想要谁呀？你想要筐，

而这个筐是哪来的呢？筐就是你凑出来的。所以大家一定要注意，你就想要这个框，这框哪来的？就是你进行去凑出来的。我们就明白了，我为什么要进行错位分，就比如说以第二个题为例，你如果这是cos方，我就希望后面是x方。我就希望把它凑成x方，哎，这就是我要进行去处理的问题，那么接下来过程当中我就要讲清楚那啥叫凑尾分呢？

对吧，什么叫错位分呢？你说你希望后面过程当中有框，那什么叫错位分，我还不知道错位分呢，那么接下来过程当中我来介绍一下这个情况。啊，非常简单，大家注意一个事情，你发现dfs这个人。这叫什么？这叫微分吧，那d这个人的话，你发现一个事情不就是这个人的导函数，然后再dx吗？

没问题吧？哎，注意下这个事情，请同学们告诉我这个过程叫什么？这个过程叫微分。对吧，微出来微分的过程，其实叫什么微分的过程，其实是求导的过程。你要想进行微分的过程，其实就是个求导的过程。对吧，就是出去出去就是求导的过程，那么同学们，你想想出去叫微分回来叫什么，

回来就叫操。厚味粉。哎，回来就要凑一份，我再讲的更简单一点，比如说如果这是d框，那你想想这个结果变成多少？是不是框的导函数在dx？那么，如果是这样的一个过来，这叫微分，但是同学们注意这个过程呢？这个过程就叫凑微分。你看你想要这个框吧，我就凑出了框，

你理解清楚我的意思吗？所以说这就是我们的过程。那你想微分出来是求导的过程，那凑微分的过程什么过程呢？凑微分的过程是积分的过程。凑微分的过程就是积分的过程。那你想一个事情，把这个导函数往里面凑。往里面凑，其实就是往里面积。往里面凑，就是往里面记，其实有些同学听懂了，有些同学估计没有听懂，我给你讲两个。

非常简单，来吧，同学们，我们一起来看看。在这里面当中啊，我出几个题，比如说例一，你看第一个事情。如果这个部分写了个cosine dx。哎，大家注意啊，直接做啊，不要进去想哎呀d谁等于它啊，这有点慢。那么，

接下来过程当中，我们来操作一下，直接往里面挤啊。不要进行去想哎，谁的d谁等于它好，那么接下来看这个结果等于多少？呃，我给你教一种方法，如果你看的准一点的话，其实就是把这个人往里面积，但是有些同学看不懂，你看你可以这样做。先给两边假想一个积分线，大家注意要假想一个。你就在这里面当中假想个积分线，

同学们告诉我这个积个分等于多少，就等于s in。我想进行去掉这个积分线，怎么办呢？我就两边再加个d加个d，这人就没了，所以同学们注意这个结果就等于。地塞因。你学会了吗？能掌握清楚吗？啊，就这个过程，所以这个人往后面凑，其实就是往后面挤，往后面凑的过程就是往后面积的过程。

就这么简单哎，就这么简单好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，如果这是es ds呢，你就在前面过程当中。假想个积分先，你假想下这个积分就是es，然后加个d就行好，这是这个事情，那么接下来过程当中我们再来写一个，比如说这是second的方dx。你告诉我凑出多少？只要你看到这个人是凑位分的，你就去想积分的过程。

对吧，你就去想积分过程，当然你也可以去想d谁等于它。谁的导函数等于它，但是我尽可能的话，你往积分上想会比较快一点，好了，往后面凑，往后面积，它的积分结果多少tangent t加个d。好，这是这个事情，那么接下来过程当中，我们再来看，如果这是second tangent呢ds呢？

在前面过程当中啊，假想和积分线积分的结果是多少？second题配个d能学会吗？好比如说我们举个例子，我们再来一个。如果这是一+x^2分之一，你就去想谁的导函数是一+x^2分之一啊arctangent，或者直接积。积分结果是多少？阿克探正题两边取个d。你看这个事儿非常简单，所以同学们学了半天，你要听清楚这个事情，凑微分的过程就是积分过程。你想把这个东西往后面凑，

你其实就把这个东西往后面挤凑，微分的过程就是积分的过程，想清楚啊，念念不忘，必有回响啊。天天过程当中啊，告诉自己哦，往后面凑就是往后面积，往后面凑，往后面积凑微分的过程就是积分过程凑微分的过程就是积分过程。能掌握清楚吧诶，注意凑微分的过程就是积分过程，那比如说举个例子，接下来过程当中啊，我就可以出几个题了。

比如说我们来看看这人当中的利益。如果这是cos esesds，这题怎么做？这是个最基础的题，那么接下来我们来瞅一下，你发现一个事情诶，这已经是cosines。框就是es。框就是es，我后面肯定想要es，而我们都知道一个事情，这俩东西一凑就是es。为什么你往后面凑，就是往后面积es积分es诶，这个时候我就会想什么，

我就会想到哦，这是des。那des这个分就出来了呀，那cos in对它的积分呢？就是s in塔把这个积分表广义化就得到这个结果。很简单吧，非常非常简单，所以你稍微进行想想就行，就是把这个人往后面凑就行。就是往后面积，你就在前面假想个积分线积分就是es嘛。对吧，就这个结果，所以积分表必须要熟练，要记得非常熟，

往后面凑的过程是往后面积的过程。往出递的过程就是往出求导的过程，往里来积分往出走求导两个反向过程，一定要掌握清楚。好，这是这个事情，那么同学们琢磨一个事情。凑微分的过程是积分的过程。那我们有多少种积分的情况？是不是有无数多种啊？那积分太多了，你往里面凑的过程就是积分的过程。我积分太多了呀，那就证明凑一分也非常多。所以我们是总结不完的，

但是同学们注意根据考题的情况，我可以总结一些常见的，我可以总结一些大概率事件都会出现的。所以接下来过程当中，我们可以进行去总结一些常见的错位分，而这些常见错位分呢，是我们经常过程当中做题啊，会遇到的。所以接下来过程当中啊，我们来看看这个事情。呃，我们来讲讲一些常见的错位分的解释。但是注意一个事情啊，凑微分的过程是积分过程呃，这个同学你想想差了。

你想的这东西是分步积分法，把把东西学混了啊。好了，那么接下来我们来看看凑微分的过程是积分过程，那么接下来我们来看看这个事情。在这里面当中啊，我们假设。假设f框对框可击，行不行？行不行诶？我假设f框对框可及，就是如果这个f这块是框。我后面就想要狂。我就要去想谁的积分是这个框。对吧，

你就要去想谁的积分是这个框。或者是这个框的导函数是谁啊？这两个思维方式是一样的，所以接下来过程当中，我们先看看最常见的一个第一个人。第一个人用的最多。诶，它用的最多，你比如说举个例子，这是ax。那么，请同学们告诉我事情，你发现这个括号里面是as吧？也就说这个框就是as。你这个框是as你是不在后面就需要as？

那当当然呢，我就要在这里面当中，需要as。但是大家都知道DAS求导就是a倍的ds。a倍的ds的话，你发现前面是不来个a分之一，所以记住第一句话，补系数乘以系数分之一。诶，注意啊，补上系数，前面乘上系数分之一，补系数乘以系数分之一。那么，接下来过程当中，

我们再看第二个人好，继续看。那么，如果你发现一个事情，这是f然后这个括号里面是ax+b呢？那这个时候你发现它的框是多少？它的框就变成了as+d。对吧，框就变成as+b，我的后面就需要as+b。那后面怎么需要as+b呢？一步一步来，大家琢磨一个事情，那首先第一件事，我先补一个系数。

补系数乘以系数分之一没有问题，接下来再看第二事情，加个常数变不变？变变第一个常数就是求导，其实没有关系啊，没有任何关系，所以同学们补一个常数，它是不变的。好，记住这个问题，我再来一遍啊。补上系数乘以系数分之一。补上常数，这个结果不变。补系数乘以系数分之一补偿数，

这个结果不变，能记清楚吗？好，这是这个问题啊，那么接下来过程当中，我们就可以做一个题。你比如说看我们先做一个简单的。比如说零我让你继续去积2 s+3的分。你怎么做？那首先第一个事情，大家注意这个人的框就是2 x+3，那这个框是2 x+3，我就需要在后面补上2 x+3。那我怎么办呢？首先第一件事情补系数。

补系数乘以系数分之一，然后第二件事情补常数，补常数不变。补系数乘以系数分之一补常数，这个结果不变，所以说这个结果立即变成多少cos in的积分就是s in。s in多少2 x+3再加c。能听懂吗？好，这是个基本问题啊，所以我觉得做题啊，做的速战速决一点好，那么接下来我们再来看个题，你比如说来做一下这两个题。好看一下这两题。

先来看看第一个题，那第一个题的话，你很明显会发现一个事情，现在这个人的框是谁呀？框就是2s。既然这个框是2x的话，你发现一个事情，我后面就需要2x补一个系数，乘以系数分之一。没问题吧，然后接下来告诉我一个事情s in积分是多少s in积分是负的cos？这个题结果出来了。诶负的cos in这题结果出来。跟得上我的意思吗？所以说这个事情是一样的。

能想清楚吗？基本问题。然后接下来过程当中，我们再来看看第二个人。好，继续走。那么，在这里面当中啊，我们看看第一个事情啊，你再看这个人。这个人是义。这是一个框吧，所以说这个时候你发现一个事情，这个框是多少呢？这个框我很明显会发现，

它不就是它吗？那我就在后面补上5 s+7，所以首先第一个事情的话，你发现这是一的5s啊，这个减七。首先第一件事情补上系数，乘以系数分之一。补上这个常数，它不变。所以说这个结果就变成这样，那么同学们告诉我e的积分是多少e的积分就是e的结果。是不是这个事情，所以说这个题啊，立即出来了，跟得上吗？

同学们好，这个事儿我们就讲到这了，那么接下来过程当中啊，我们再来看个题。哎，我们再看个题，我们来证明一个东西，那么在这里面当中，我们原来过程当中啊，都学过这个x方减a方分之一的分。这个分还记得吗？这积分表里没有啊，那么接下来过程当中啊，我们来推一遍，把这个东西啊，

我们硬生生的把它记住。那么，在这里面当中非常简单，你发现我们首先求解。那下面这个人呢？他其实就变成了x减a，然后是x加a分之一ds。跟得上吗？诶，是这个情况，所以接下来过程当中啊，我就可以把这个人拆开了。列项呢？会列吧，列项的话，

你发现下面小的反而大。下面大的反而小好，我们一起看。这个时候你一列的时候，你发现看这是x加a，这是x减a，俩人一减是多少是二a，所以前面过程当中啊，必须来个二a分之一。好，这个题啊，做成这样了。那么做成这样了之后的话，你发现一个事情只是二a分之一，我就变成什么，

我就变成了第一个积分，然后再减去什么？第二个积分。哎，就做成这样。做成这样了，之后的话，你发现我们就继续看，那这是二a分之一，同学们琢磨一下。既然你发现个事情，你这是一个人分之一。这个整体一个人分之一，那我就怎么办呢？我就在这里面补一个a。

哎，没有没有办呃，这个东西啊，我觉得是相等的，没有关系的，那么在这里面当中is+1，继续把这个人看成整体，一个人分之一，我就在后面需要。来给。是不是这个事情，所以同学们，你必须要保证这个情况，它是个什么情况？就是s分之一的积分是lns绝对值加c嘛？

那么这个时候你发现框分之一对框的积分呢？就是ln框的绝对值，然后加上c诶就变成这个样子。那么这个时候你发现一个事情，它就可以写了，那就二a分之一，前面是多少ln这个框的绝对值？减去lin多少这个框的绝对值。不定积分加上c是不这个事情，所以说接下来这个结果就出来了，因此你发现这个结果变成多少减法变除法，立即变成它。本题结束。所以说我觉得这个推了一遍呢，你将来过程当中就能背的非常的顺。

我知道这个东西是列项出来的，前面有个二a分之一，然后这个第一个人是loring，第二个人是loring，然后写成除法。所以将来过程当中啊，挥之不去吧诶，我相信你一定是能把它记住的。能掌握清楚吗？好，这是我们讲的第一个类型问题，你下去过程当中把它好好记记好，这是我们先说的第一个类型问题。过去了，可以吗？

诶，你发现这个凑微分形式啊，非常重要，第一个凑微分。补系数乘以系数分之一第二事情补偿数，这个结果不变。好了没好，这是第一个事情，那么接下来我们继续，我们再来看看第三个人。呃，第三个人呢？说实话，考的非常多。诶，

考的非常多，那么在考研过程当中啊，很喜欢考这个人。根号s那么这个框是根号s，我后面就需要根号s。我后面需要根号s谁的积分是根号s？这就是个重点，所以同学们注意二倍的根号s分之一积分才是根号s，所以同学们注意你一定要把这个事情记清楚。对吧，这两个人进行去积分，它的结果是多少？它的结果是根号x。所以同学们一定要记清楚二倍的根号s分之一，凑根号s二倍，

根号s分之一，积根号s。哎，你要注意一个事情，这个东西啊，有人说那我慢慢想也能想到你在这慢吧，我早都做十几个题了，做题速度一定要提炼上来。好了，这是我们讲的这个第三个人再来看第四个人。还有一个人就是这个人。你看就是我给你经常写的那个幂函数那两个人。这人也喜欢考哎，非常喜欢考那同学们想想你这是s分之一，我后面就需要s分之一。

谁的积分是x分之一呢？我们都知道是x方分之负一这个结果。x方分之负一。它的积分是s分之一，所以在这里面当中啊，我立即就把它凑成这样。诶，就变成这样。所以在这里面当中啊，一定要想清楚，对吧？二倍的根号s分之一凑根号s。x方分之负一凑，x分之一念念不忘，必有回响啊，

我讲一个，我给你练一个，我讲一个，给你练一个，我就不信今天晚上这个东西你记不住。其实不光是要记忆，核心重点是理解你，只要理解的话，你就知道往哪上面想，这个做题速度很快就上来了。好，这是这个事情，那么接下来我们来练两个啊，练两个，因为这个人特别喜欢考，

你看这个人。你看这俩。首先我一看诶，你发现这是sin x分之一。我都知道x方分之负一凑x分之一。所以一般情况下，如果分母有平方。分母有平方的话，它就是这个情况。我就可以给你一个负一，这个时候立即凑出这个人分之一。这没问题吧，因为你可以在这假想个积分线嘛，你再把它递掉。负的x方分之一，

错s分之一，所以说在这里面当中的第一个题，你马上就出来了。因为你发现你这个框是多少？你这个框是x分之一啊，你就想要x分之一，而x方分之负一。就能凑出s分之一某个符号。那因此啊，这俩人就可以凑一下。那这两人就进行一个恒等变形呗，那就sins分之一，这多少就是ds分之一。没问题吧，我们就一下变成这样。

那这个东西出来之后，那么接下来我们继续，你再来看那s in积分是多少？s in积分是负cos负负得正cos+c。好，这是我们讲的这个第一个人，所以希望同学们注意啊，把它理解清楚。对吧，你就在上面补个符号，前面来个符号。好，这是我们讲的第一个人，继续再来看。这个题的话，

你发现second方你会记吗？哎，我会记second方，我会记它的积分是摊点题，积分表还能记得吗？你看有些同学大脑疯狂的运转，对吧？哎。这个平方你会记，那我后面就需要s分之一，而我们都知道x方分之负一就能错s分之一，补个负号。所以这俩东西就可以凑一下分了，因此结果等于多少seconds分之一的平方ds分之一。那c跟t的积分是多少哎？

你发现刚好是tant tant x分之一加上c。好，这是这个事情，能想清楚吗？慢慢来，你别着急啊，以后有的是综合题啊，这个东西。好了，这是我们讲的这个题，那么接下来过程当中啊，我们再来看个题。好，再来看看三点一八这个题。再来看看这个题。

那么这个题的话，首先我们先看第一个人。啊，先看第一个人，你发现没发现？这个人是根号。我后面就需要根号。能凑根号的话是谁呢？是二倍的根号x分之一凑它。同学们，我再给你一个思想。大家听好了。我这是根号，我后面就需要根号。如果你直接就知道谁的积分是根号呢？

二倍根号s分之一凑根号。如果你是走这条路线，非常的快。如果你觉得你的思维方式慢了一点，但是也可以这样想，你思考一下。后面是根号。谁能凑出根号s呢？给根号s倒下。它的求导就是二倍的根号s分之一，所以说二倍的根号s分之一能凑出根号。能想清楚吗？哎，这样方向也行，但是我觉得同学们我们练多了真的是非常直接。

啊，真的是非常直接，那么在这里面当中，我们来看看这个事情，那它一定凑出多少根号s？能想清楚吧，好，我再说一遍啊，你直接来二倍根号s分之一，凑根号没问题。或者你可以去想，后面是根号s。谁能凑根号s呢？求个导二倍的根号s分之一凑根号s。方向性是不是出来了？

所以首先我们先来看一看第一个事情，你注意啊，这个东西你得练成肌肉记忆啊，非常重要。这是一的根号s，然后这是根号sds。只要分母当中有根号，那后面就有根号，你补肝儿补肝儿，然后同学们注意这两项就可以凑分了嘛。来凑微分的过程是积分过程。二倍根号x分之一，然后积出根号，凑出根号。然后就变成了e的积分e的积分就是e的，

它加上c。好，这题是不出来了，基本问题哦。能想清楚吗？诶，琢磨一下这个事情好了，那么接下来你发现你看如果我有了刚才第一个人的经验。我接下来过程当中，我就可以处理第二个人了。大家想一个事情，你发现这是s in多少根号下2 s- 1吧。那么，这里面当中我就喜欢这个根号。我们都知道一个事情，

二倍的根号，一个东西的分之一。可以凑更好。而同学们想想一个事情，你这不就是那个根号吗？对吧，你这就是那个更好，但是同学们注意一个事情，它是这样直接凑分的吗？它不是的，你这个内容可以推广的。那二倍的根号框分之1d框，它是不是就可以凑出根号框了？是不是啊？所以同学们注意一个事情，

你首先第一件事，你这补个二，你前面得来个二。但是大家想一个事情，你这可凑不了，这是二倍的根号，一个东西分之一应该d它。你才能从所以在这里面当中啊，我又在这儿补杆儿。我再减个一，前面来个二分之一没有了。五个二前面乘二分之一嘛，所以说这件事情就变成什么变成二倍的根号框分之一d框。我就可以凑出什么凑出根号框哎，你发现连环凑一份呐。

哦，连环错。对吧，我就需要这个人，你往后面凑，就是往后面积你二倍的根号框分之一，必须是对框积分。所以接下来过程当中啊，这事情就出来了，然后这个东西往后面一凑一凑就变成多少变成根号这个人。然后s in积分是多少s？in积分是负的cos半体结束不定积分加上c。大家听清楚了吗？所以将来有一个意识。只要分母有根号，

后面就有根号。对吧，分母有根号，下面就有啊，后面就有根号，你只要补就行了，但是在这里面当中一定要注意一个事情，你得连环着补。对吧，连环这步，大家一定要想清楚哎，你要想清楚一个问题，凑微分的过程是积分过程。没有听明白。啊，

听不太懂吗？这好基础，一个内容啊。好了，那么接下来我再说一下，我再来说一遍。注意力集中一点，所以这个难度系数啊，不是说特别大啊。好，我再来强调一遍，你看你这个人的话，你发现一个事情，我把这个题我再说一下。你好好听啊，

其实一点都不难啊，好大家琢磨一下，你发现这是根号吧，我后面有根号。那我们都知道一个事情，二倍的根号x分之一，这个凑分其实就是积分，那积分就是根号x。二倍的根号s分之一对x进行积分是根号s。那同学们想想二倍的根号框对框积分才是根号框吧？是不是这个事情又推广一下嘛？所以那个d的后面不一定永远都是s。d的后面不一定永远是x。所以在这里面当中啊，你要进行去想想你现在而言的话，

你发现个事情，你现在这个结果是多少呢？你这个结果是根号下多少？2x加啊，减一。而你现在这个后面是多少呢？你后面这个人是x。这记不了。这积不了的，我们只有二倍的根号框分之一，对框积分，所以这两个东西是统一的。你这是二倍的这个人，那所以说后面也得有这个人，所以我怎么办呢？

我先在后面补个二。前面乘个二分之一，然后再减个一，这个人就不变好了。同学们，你来看吧，根号框分之一d框了吧？是吧，然后接下来过程当中，在这儿补个二，前面乘个二，这就约掉了。所以说接下来过程当中啊，你马上就会想清楚一个事情。来走一遍。

二倍的根号x分之一凑根号s二倍的根号框分之一d框凑根号框。所以说这个结果就写成这样了。那么，接下来过程当中啊，你发现这个s in的积分呢？s in的积分是负的cos+c。所以同学们，你发现啊，很多题啊，凑一下是不够的，我需要凑一下，我再凑一下对吧，我连环着凑。啊，你发现这个水平点就很高了，

所以大家一定要想清楚一个事情，你看这俩玩意儿是统一的吧？诶，是统一的。好了，这个题我们就讲到这儿，你下去过程当中多练练啊啊，我们很喜欢做的是这种题，那么接下来过程当中啊，我们再来看看这个题。好，再来看三点一七这个题继续啊，再看这个题。慢点来，别着急啊。

你后面过程当中，你见到这个题，你就直接写答案了。啊，直接写答案了，就是我一直跟同学们讲，就这块东西，你必须要啊，上课听懂内容点方法，学会下去，过程当中一定要做练习。必须要做的，比如说你经常有个同学问你对吧？有同学问你什么题呢？问你这个题。

说哎，这个题你怎么做那么x方凑后面去啊？好多人问你怎么知道凑后面去，我咋就看不出来呢？我真想回答他两个字。显然啊，真的是显然，你发现这个内容，它就出来好了，那么接下来我们再来看看这个题。继续那么在这个题当中啊，你发现是cos框。那后面就需要框，而我们都知道一个事情，这个人往后面凑，

就是往后面积es往后面凑，就是往后面积积分是多少？es.往后面凑，就是往后面挤，所以啊，这个结果就写了。coses ds cos的积分是多少？cos的积分是s in，所以是s in塔不定积分加c。好，这是这个事情，听得懂吗？同学们。所以啊呃，

很多同学上节课过程当中啊，是好好进行去把积分表积累的同学，你发现这节课你学起来就会相对容易一点。如果你上节课那个积分表，你还是记得不熟，你发现在这块儿你非非常痛苦。往后面继续往后面啊，这什么往后面凑，往后面积往后面凑，往后面积那这个人积分谁呀？对吧？你要注意一下，好了我们再看第二题。继续来看，那么这个题的话，

你发现它是ln诶，这是lns谁的积分？是ln诶，刚好是x积分就是ln。那么所以说在这里面当中，我就把这个x分之一往后面凑，往后面凑就是往后面积，你假想个积分线lns绝对值啊。d它对吧？绝对值啊，但是不用加。你都写了loe呢，证明这s大于零，所以说这个题就直接到后面来。往后面凑就往后面积，

它的积分是多少s分之一？对s积分就是路音。然后这个人的话就变成什么就变成这个积分了s对x积分是二分之一x的平方。框对框积分是二分之一，ln这人的平方加上c。好，这个题啊，立即出来了。呃，不难吧，基本问题，所以同学们下去过程当中要想想诶，我往后面凑，就是我往后面挤。对吧，

我往后面凑，就是我往后面记，所以今天过程当中啊，其实就是上节课没有积分线的形式。上节课的过程当中是这样的一个形式，是甲对乙的积分，它是多少？但是你发现一个事情，这节课是什么？这节课就是直接是这个人。诶，直接是这个人。你这个人往后面凑，就是你这个人对他积分积分是多少？写到这儿，

只要前面加个d就行。这就是这节课内容，所以两节课的东西啊，其实是贯通的。对吧，就贯通的你上节课前面有积分线嘛，我两边同取d不要了。啊，这个思想就出来了，好这个事儿，我们就想到这儿。所以核心重点还是一个事情，往后面凑就是往后面记好，这是我们讲的这个第四种情况。那么，

接下来我们就继续吧，我们再来看看第五种。哎，第五种，我刚才过程当中，我们其实也讲过，你发现这是es吧，那es的积分是es啊，所以说这个人能凑出。es这个人啊，其实这个人很简单。那么，接下来过程当中啊，我们再来看看第六个人。那第六个人的话，

你发现还有什么l？谁的积分是罗音s分之一的积分是罗音，所以说它凑微分的过程就是往后面积往后面积吧，乙级就是罗音。好，这是这个事情，那么接下来继续啊，我们再来看第七个人。那第七个人的话，大家琢磨一下，如果这个人的里面是平方。你想清楚，这人是平方。我后面是不是想要平房？我后面就想要平方谁的积分是平方呢？

谁的积分是平方，你就去想平方的导数是谁？平方导函数2x。2s的积分是平方。所以大家注意一个事情，我这个前面就喜欢一次方。一次方可以凑二次方。大家注意一个事情，你看你给我好好看看这个人慢一点啊，来一起走一遍。往后面凑，就是往后面积。x这个人往后面凑x对x积分是多少？长个盖儿翻译一下，写到d后面。

是不是这个事情啊？所以就是ds方，因此你发现一个事情前面来个二分之一ds方。把它的积分结果写到后面就行好，这是我们讲的第七个人，那么同理而言，有没有发现？一次方可以凑出二次方，二次方可以凑出三次方，三次方可以凑出四次方n- 1次方可以凑出N次方。依次类推。所以这就是我们一个非常重要的一个经验，这几种经验情况，我希望同学们一定要记住啊，一会儿我们再来做综合题。

你什么清楚都打通了，好一起来编。补系数乘以系数分之一补常数结果不变二倍的根号s分之一凑根号s。s方分之负一凑，s分之一es进行凑，ess分之一凑lns。然后是一次方凑二次方二次方凑三次方，以此类推，综合起来就一句话，凑微分的过程。就是积分过程。往后面凑，就是往后面积把积分结果写到后面就行。能听懂我的意思吗？所以这个事情我希望同学们下去过程当中多练练，

多想想哎，琢磨琢磨。好了呃，这个事情我们就谈到这吧，你下去过程当中把这个内容好好练一练啊，那么接下来我们再来做两个题。再来看看下面一题三点一九这个题。来看看这个题。那么这个题的话，你发现观察起来就非常简单了。我一看是一次方。我一看里面是二次方。对吧诶，你发现个事情这一次方。里面是二次方哦，

一次方可以凑二次方。所以在这里面当中啊，马上这个事情就出来，第一件事情。对吧，这个一次方就可以凑二次方。xds是多少？就往后面积呗，它积分是x方二分之一倍的x方啊，就这个结果。所以首先第一件事情，你先把它给我干到后面去就行。往后面凑是多少x方前面来个二分之一？那么，接下来我们继续，

我们再来看，但没有结束啊诶，我这个积分表里面如果把这个人看成优。根号u就是幂函数可以记吧，所以我希望的这个框是一减x方啊，没有关系，我们再来看再补一下就行。那这个时候你发现这是根号下一减x方，我就把它写什么，写个负号前面来个负号加个一不变。好了，所以说在这里面当中啊，你发现体积就来了，那这个题就考察什么根号x这个人的几分？那根号s积分是多少呢？

那就二分之一，二分之一，其实就是这个人的二分之三。然后再翻一下是三分之二不定积分加c。好，这是这个事情，能听得懂吧？我相信你一定可以的。这个内容一定要过关。基本内容好这个事，我们就说到这来，继续再来看看第二个人。那么第二点，你要注意，我们三九六的同学呢，

考到这个东西啊，没有说那顶难的那种。对吧，但是你一定要把这个训练能力给我练上来来，接下来继续再来看第二点。我又观察了下，我一看这人是一次方，我一看里面是二次方，哎，那不用想一次方错二次方来，赶紧来吧。那这里面当中，你发现这俩东西一凑是多少？往后面凑，就是往后面积，

往后面凑，就是往后面积就是二分之一dx方，然后这是多少根号下x方加上一。诶，那这个时候我又想到了一个分，我想到谁呢？我想到二倍的根号x分之一ds这个分。它的积分是根号s。对吧，这是这个，所以说在这里面当中，我就想清楚了一个事情，那我就凑一下呗，二倍的根号框。我就需要地框，

我就补个一。那这个时候你发现二倍的根号框分之一的积分不就是根号框吗？不定积分加c。能学会吗？所以大家发现没，我们讲了这节课呃方法论的东西教给你之后，你掌握清楚了什么叫凑微分之后。你掌握住，为什么要凑一分之后你掌握住凑一分的过程是积分过程当中之后，你想想有个事情，最后就落脚点在什么？是不是对积分表的熟悉程度？是不是啊？我这个人我往后面凑就往后面积，我积出来是谁？

谁的积分我是知道的。对吧，我往后面凑，就是往后面积往后面凑，就是往后面积这个积分，结果是多少？所以在这里面当中，你发现一个谁呃，这就脑袋炸了，这是最简单的。你不要老是这样啊。你下去过程当中啊，你要是上次过程当中，你下去没有好好把那些积分表好好看，你这些货可可能有点痛苦。

啊，可能有点痛苦。所以有些同学不听话，对吧？哎，上次过程当中啊，我讲完课程，有同学说老师我还需要背吗？我觉得我脑子转一转也出来，那你在这慢慢转。你想想一个事情，如果说上节课讲的积分表就这个内容，你想半天，哎呀，谁求导是他他的积分是谁？

你想半天，你只要在那里面当中啊，你发现你在那里边想半天，你做这个题就非常的不通顺。你想想是不是啊？你在这里面当中，你要去想哎呀，谁的导数是它谁导数是它，你想半天，你在这里面当中就非常慢。那么，在这里面当中，我们往后面凑，往后面记，往后面凑，

往后面记，我们得来来回回好几下，所以希望同学们注意啊，把这个内容好好看一看。好了，这是我们讲的这个三点一九这个题还可以吧，来那么接下来我们再来看看下面一个题。好好听啊，综合度要上来了。先把第一个题给灭了，第一题非常简单，马上我们就要上难度了，好，我们先来看看第一个人。呃，

第一个人也非常简单，我一看诶x分之一，我一看平方分之一，那我们都知道。平方分之负一，可以凑出x分之一吧。那平方分之一，不就凑出负的x分之一吗？所以在这里面当中，我立即怎么办？我立即把这个平方分之一凑到后面去。这一凑的话，你发现一个事情往后面凑就往后面积积出多少x分之负一？所以说这个e的这个积分呐，就是本身不定积分，

加上c。呃，其实这节课我都知道，大部分同学都学懂了，就是反应的慢，你反应慢的话，都是因为这些东西掌握的不熟练。如果你已经完完整整的记过一遍，你就通过题目的训练训练一个记一个训练一个记一个，你很快把这个东西就记住了啊。好，这个事情我们就讲到这，那么接下来我们来上难度，我们来看看第二个题。你好好听哦。

接下来，综合度有了好，我们来看看下面这个题。呃，来看看这里面当中的第二题吧，你看这个题怎么做？好，我们继续看。诶，这个题当中我一看。我有看到这个arcs in。对吧，我就看到r克c。我看到阿尔克塞因，我就会想一个事情，

阿尔克塞因的导函数刚好是根号下一减x方分之一。那这个时候我就发现一个事情诶，你这个人。你去积分不就是我吗？所以在这里面当中，你发现一个事情，你这个人积分。你凑往后面凑，就往后面积你积分的结果不就是a吗？哦，那这里面当中我就知道了，原来如此，这是ln多少arcs in？然后你发现这是arcs in分之一，那这人往后面凑不就是arcs in吗？

所以说这个结果变成这样。那变成这样了，之后的话，那么接下来我们再来看哦，变成这样了。我又知道一个框分之一对框进行积分，其实结果就是ln框的绝对值。是不是啊？积分是ln框，绝对值凑出它，所以在这里面当中，我就继续看那这里面当中，我再往后面一凑诶。不就是你吗？漂亮，

你看就变成了这个人。阿克塞因x绝对值哦，是你啊，那这个时候你发现这个题就变成什么？就变成了x对x积分就是二分之一x方，加上c了就是你对你进行积分。那这个结果就是多少就是二分之一，你这个人的平方阿克塞因x这个人的平方注意啊，这人的平方在这儿写。整体y的平方可以写到这个ln的这个头顶上，哎，这是你要注意的好，这个题是不是出来了，所以。他在干件什么事情呢？

他在连环着凑一分。原来后面这个人是x。我把这个人往后面凑，变成arcs in。诶阿尔克塞因分之一，然后再对这个人凑分呢，我又凑出l。我这个人对这个人积分呢，哎，一下出来了哎，所以你看我连环着凑五分啊，基本内容听得懂我的意思吗？哎，这个题跟刚才那个题就还很像。好，

这个事情我们就讲到这来，那么接下来我们继续，我们再来看个题呃，这个序号打错了，但是不影响你直接看题就行，我们来看第九题。好再来啊，再看第九题。那么，第九题的话，我们继续看。我眼睛一瞅，我发现了根号。下面有根号哦，下面有根号，

我刚才说过一句话，下面有根号，往后面一凑，后面就有根号。所以在这里面当中，你发现一个事情，那这是阿克斯tangent题。然后这里面当中是根号s，然后这是一加s分之一，这是根号。的根号那么在这里面当中啊，我想了一个事情，那我就在这儿补杆儿这儿来杆儿，因为这两个东西一凑凑出多少？它就可以凑出这个什么凑出根号。

哎，往后面凑就凑更好。二倍的根号s分之一，凑根号s往后面凑，往后面积嘛？然后接下来你想一个事情，现在已经喜欢根号s还是x啊根号吧，那所以说这里面当中的x我就不喜欢了，我就把你写成多少？写成根号x的平方。那这个时候的话，同学们，你再给我瞅一下这个人。那这个人的话，我又想清楚了，

一+s^2分之1 ds。它的积分是多少？它的积分不就是阿克tangent x吗？它是积分呢，你积分是rt an前面补个d就行了。诶，那这个时候你发现个事儿，我来进行把它推广一下，一加框分之1d框呢，就是阿克探针的框。哦，这个数我知道了，那所以说在这里面当中，我就继续把它往后面凑，阿克弹着的框。

一+1个人的平方分之1d，它呢，就是阿克探针的这个人。诶，那这个题就变成什么情况就变成了x对x积分不就是二分之一x方加c吗？那所以说你发现这是二二分之一阿克塔基体，这个整体的平方我就在这打个平方。加上。你看这个题。所以说我这样一操作，这题又出来了，我一直连环着凑啊，连环着凑，你始终记住一句话，我把它往后面凑。

我就是要看什么情况，我就是要看这个甲对这个乙的部分的积分结果是多少？你积分是多少，你就给我写到这儿。往后面凑，就是往后面挤好，这个事情你发现又出来了啊，操作性很强，所以你发现这里面当中的一些思维方式就很重要了。你看看吧，这里面当中有些部分的经验是不得有啊。对吧，不然的话，在这里面当中你就会发现一个事情，这个部分到底怎么去凑？

啊，问题点就出来了，好，这是我们讲的这个第九个点来，那么接下来我们继续，我们再来看看下面的事情，再看第十个点。来再来看这个题。呃，这个题我们就继续看吧，再来看我一观察。这里面都是平房。然后这个东西是什么？这东西是一次方。对吧，

你这个人是一次方，然后同学们想清楚一个事情，你看这个你上课注意力集中点啊。对吧，不要跑神儿了。你跑神儿的话，一会儿这个部分的内容就很麻烦，你不要跑神儿啊，千万不要跑神儿，每一步我都在给你讲的很慢，我一步都没给你跳。我已经讲了这么多题了，我一步都没给你挑，所以你稍微注意点，注意力集中一点啊，

那么接下来过程当中啊，我们再来看第十个人。我一看的话，这个事情你发现诶里面都是平房。然后正是一次方。那这里面当中我就知道哦，这个一次方可以凑二次方啊。那就往后面凑，往后面积呗s对s积分多少升一格？翻译一下就是它。所以在这里面当中的第一个事情，我就把那个x凑到后面去，这是cos根号下一+x^2。然后接下来过程当中啊，是多少是根号下x方加上一。

往后面一凑就变成了x方。变成x方前面还有一个二分之一，这波能看懂吧？我们又干嘛啊？我把这个x和这个人凑了一下。然后接下来过程当中啊，我又看清楚一个事情，哎，根号一个东西分之1d塔漂亮，我想清楚了。二倍的根号，一个东西递它，然后这人的积分是根号，它是不是凑出它？所以说这个时候你发现这个人的框是他，

我就在这儿补个一，我补个一了之后的话，你发现个事情，这个题目就变成了这个样子。变成这样子，变成这样子了之后的话，然后把这个二补到这来。对吧，布在这儿。二倍的根号，一个东西分之一，然后就凑出多少凑出根号它。所以说在这里面当中啊，立即凑出根号它。是不这个事情你看二倍的根号东西分之一凑根号它，

然后接下来过程当中诶变成cos in积分cos in积分就是s in。根号下一+x^2不定积分加c。哎，很漂亮，对吧？操作性很强，所以大家发现没有？我们刚才给你总结那几个就是那几个常见的，它是真的常见。不是说我觉得它常见它常见，根据到这么多年的考题，包括你同济七版教材课后的题。包括这么多年的真题，好多考这种东西，它确实常见，

你会了之后的话，你就速战速决呗，对吧？哎，这样的话，你发现操作就很快了。好，这个题啊，我们就说到这。呃，可以了吗？同学们，那么接下来过程当中啊，我们再来看个题，看一下三点二一这个题。

来看看这个题。那这个题怎么做呢？那这个题的话，你发现他说这个人的二分之三。然后这里面当中有罗音一，加上这个人。这什么鬼啊。我这个题我看不出来了，你的你到底凑谁呀？你积分是谁呀？我看不出来了，好了，同学们，现在啊，你好好听。

注意力集中点听就行了，你先不要管我为什么这样做，我讲完这个题你就知道我为什么这么干了，一会儿我再给你总结。那么，在这个题当中，我实在不知道把谁凑到后面去。你这往后面凑，往后面七我实在不知道那怎么办呢？我来找一个特殊部分，我觉得你很特殊，我就给你来一刀。哎，我给你来一刀来一刀了，之后的话，

你发现是前倒后不倒前不倒，后来倒诶，你发现这一求导就是ln x+1诶。非常漂亮哦，这不就是我导函数吗？所以说这个时候你发现柳暗花明又一村呐，哎，这里面当中你发现就是这个人的导函数ds。而我们都知道一个事情，如果这是导函数在ds。导函数ds就是d塔。你可以去想，它是微分的情况，你也可以去想，往后面凑就往后面挤哦，

那这个我就清楚了，原来如此啊，原来这个结果就是x倍的ln x的二分之三次方。ds倍的lns。那这个时候你发现一个问题，就是一个人的二分之三次方。二分之三二分之五五分之二，然后这个结果结束了。本题出来了。你看这个步操作非常的巧妙。所以有的同学你发现哎，老师我怎么能想得到，所以接下来过程当中我就来给你总结一下。其实你发现这就是不定积分的核心。不定积分其实就是在干这个事情。

大家想想不定积分在干件什么事，好好听课，那这个时候你发现不定积分的凑微分。不就是要凑出这个情况吗？不定积分是不是要做成这个结构？对吧，当你拿到一道不定积分题的时候，这是你的目标吧，终极目标，但是注意老头子不会这样给你，老头子是这样给你的。这是老头子给你的。这是你要的。大家来思考一下。在做这种题的时候，

你觉得你的核心是什么呀？核心是什么？核心非常简单，我的核心就是找到这个框以及它的导函数，把它送到后面去。找到这个框，找到它的导函数送他到后面去，本题结束。是不是这个事情，所以大家注意一个事情，我的目标你发现你做这种题的目标不就是一直都在干嘛？找这个框吗？然后给它来一道a导函数，在这里面凑到后面去。所以这件事情你发现不是个偶然性，

它是个必然性，它不是偶然的，因此在这里面当中，我们总结了一种方法。叫做穷途末路来一刀。哎，注意一下这个事情。如果你在考场过程当中啊，你做不定积分，我们注到这儿。哎，你发现一个事情，如果你在做一道不定期分题的时候，你实在是没有办法了，你啥办法都没有了，

我啥都用了，但是你发现就是做不出来。那怎么办呢？哎，大家注意，如果你在考场过程当中，穷途末路。诶，穷途末路来一刀。大家注意。如果这个题你发现你实在做不出来了。穷途末路了，实在是哎呀，没有办法做了，那么怎么办？

找到其中特殊部分倒下。结果你发现倒了一下诶，柳暗花明又一村，它的倒函数就在里面凑到后面去结束。我知道有些同学啊，有一个问题。呃，他有可能学会了这个方法，他下去过程当中尝试。他尝试什么情况呢？他说老师我也找到了一个人，我咔的倒了一倒，倒了一倒了之后呢，发现诶，这人不在里面。

那不行吧，你找错了嘛？没做出来嘛？你导函数不在里面，你说明做错了呗，你再找诶，说明你找的不够好。啊，找的不够好，其实同学们注意你像刚才那些题啊，我们都可以这样做啊，我们都可以这样做。呃，比如说举个例子，我们来看看这几个题。

你看啊，这个题。所以啊，我来给你教一下啊，怎么用眼睛瞅啊？对吧？怎么用眼睛瞅？怎么做一个高手做题？你听好了。当我拿到这个题，我发现诶，我实在不好做，那我怎么办呢？找出其中特殊部分，你觉得第一个人的特殊部分是谁呀？

第一个人的特殊部分是不这个人。是不是啊？肯定的嘛，我肯定找他，你不会积分还不会求导吗？不会求导就疯了，来一加上这个人的平方哦，这是他。分之一中间变量再求导二倍的根号s分之一哦，巧了，那这里面当中根号s乘上一加s分之一二倍的原来就是这个人导函数啊。巧了，对吧？你发现哎巧了，这不是。

所以在这里面当中怎么办？我这就是阿克tangent t根号s。我就在下面补个二，前面来个二哦，这个人就是阿克潘正体，他的导函数啊，漂亮。那这个时候你发现往后面一凑就是arc tag on体，对吧？导函数往后面一凑arc tag on体本题结束。对吧诶，你发现这个是方法，我觉得也还可以啊，等我实在没做出来之后的话，你发现我就可以这样处理。

对吧，这是这个事情，那么接下来我们再来看，我再来看一个，比如说你来看看这个第十个。那第十个题的话，你觉得谁是这个？你实在没有办法的，你觉得哪个是特殊部分？有些同学觉得说，我觉得扩散是特殊部分，你看你就不动脑。cosine是特殊部分。cosine求导是负3a，你觉得这剩下有3a吗？

就没有三音，所以我觉得这个特殊部分呐，我觉得应该是里面这个人。里面不是cos啊，如果是cos求导，肯定有负s in，那里面没有s in呐。对吧，我觉得肯定是里面这个人里面这个人的话，你发现一求导就是二倍的根号下它分之一。中间变量再求导，这是2s诶根号下一+s^2分之I哎呦，漂亮这不是诶，你看。特殊部分导函数，

所以说这个题就是cos这个人，然后是根号下一+x^2这个人的导函数往后面凑，本题结束。你看这个题又一次结束了，所以这种类型问题的方式啊，它在于何处呢？你得去找。你得去试。对吧，你得去试，你就说老师，我就是找不到，找不到你得试啊。对吧，你得去试啊，

你在这里面当中找到这个特殊部分，你去试一试啊。你试又不想试。我一直跟你讲，你们的试错成本基本为零。没什么试错成本的。你就在这当中，就算这个题做错了，改正过来，下次会做不就行，你得试，你得去尝试着去练，你朝这个方向进行去找。好，这个事儿我们就说到这儿，

能听懂我的意思吗？诶，这个基本问题。不是说每个题都行，凑微分法的题可以，你不用着急啊，等到我们这个今天这个课结束。下次过程当中，我们还有一节课，等我们下次课程结束了之后，我会把这些东西给你总结成一个完整的体系，不要着急。好了，那么接下来呃，我们稍微休息会吧，

你下课休息的过程当中，你做一下这个题。好吧，下课休息过程当中完成一下，这里面当中的第二题好吧，我们稍微休息会一会，我们继续啊做一下这个题啊。好，稍微休息会吧。

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15.不定积分的计算（B）-1

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