14.不定积分的定义、计算（A）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:41:35

行，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看这个三点七这个题啊好，我们稍微呃，看看这个题目你们选多少？这题选多少？好，我们来看看这个题啊。选几啊嗯，可以可以可以啊哎呀，非常可以啊，非常可以非常可以好，那么接下来我们来看看这个题吧。哎，答案选c对吧好，

首先我们先来看看这里面当中的第一个选项。你发现这个选项就不好看嘛？对吧，这个选项如果不好看的话，你发现正方向不好看，你就反着看，那反着看的话，这个事情也非常容易。我们先看a，那你就去看看这个人对s进行求导是不是他？对吧，这是我们的主旨，所以在这种当中啊，你就发现一个事情，这就是fas+b，

然后这人的导函数，这导函数应该是。先对中间变量求导，中间变量再导。那很明显一个事情，你这里面当中啊，就是这个板块当中少了一个a你不对。好，这是我们讲的这个a选项，那么再来看b选项b选项非常简单，你这两个东西咔的一约留下这个人。那留下这个人的话，积分号在前加上c，但是你发现个事儿，这东西不对呀，

你留的不对呀。好，我们再来看看d选项d选项的话，你发现这两东西预约预约的话，应该留下这个人，而且这个微分号在前不加c，但是你发现你留的多了一个a呀。所以你不对，那这个题当中的abd是非常简单的，我们再来看看c选项，那c选项怎么做呢？你把这个东西你就可以这样写，这是f多少as+b？然后ds然后再比上ds，那接下来怎么操作？

你稍微看看你发现看这两个东西是不是约掉了？我立即约掉了，我约掉了之后的话，你发现不用加c就留下这个人，那这两个人的话，你发现又约掉了，约掉之后啊，就留下了fas+b这个人答案选几？选c，我相信你下次过程当中，你再见到这种题，你发现非常有心得。难度系数不大，如果让你直接进行去判断一个积分是否正确，你就反着进行求导，

如果让你进去去看看这个微分和这个积分之间的关系，你就直接按照我们刚才讲的这个方法。两件事情一做出来了，好这个题啊，我们就讲到这。掌握清楚了，没听明白的给我回复一啊，这个题目。d在积分。你这上课听课的效率一定要注意啊，这个效率不是特别高啊啊。刚才过程当中啊，这个d在这个积分号的前后当然不一样。你积分号在前的主旨是在积分，你后面要加上c啊。

不定积分是一定要加c的。然后第二事情，如果微分号在前，主旨是进行微分，就是求导啊，你求导后面不加c啊。啊，这不一样啊，这个事儿你稍微小心一点。好，那么这个问题啊，我们就介绍到这，那么接下来我们就继续，我们可以看出这节课过程当中啊的中心部分问题了，我们来重点来讲，

讲不定积分的。计算性问题。那么，首先第一件事情，我们先来跟同学们去讲一下积分表，哎，这张表是每一个同学都必须要把它背过的。哎，积分表这张表也就是我们在讲义过程当中啊呃，你翻到这个讲义的第。就是我们讲义的这个第诶，这是多少页？等会啊，我们讲义当中的这一页啊，我这上面没有标页码，

就是讲义当中的考点五这个。这张表是一定要把它背过，没有任何商量余地，你可以怎么办？把这个东西啊贴到你的床头，天天看一看。每天要看看这个东西啊，你发现要反反复复看一遍不够的，而且同学们注意最重要而言呢，不是说你这个东西慢慢吞吞的把它想出来。我要速度，我要这个东西非常快的速度，要背的像哪个人一样呢？背的像这个人一样，背的像es一样。

我见到es的积分，它就是es。你看就背的这样es积分多少esi，记住这个速度cos 3积分多少s in速度一定要非常快好了，那么接下来我们在这里面当中啊，给同学们进行去分类的进行去整理一下。哎，我们来分类整理一下，那么首先我们先来看看第一个问题。好，先来看第一个点呃，我觉得速度的东西啊，大家不要着急，对吧？速度问题啊，

都可以通过慢慢的进行去训练，把这个东西锻炼上来，那么接下来过程当中，我们先看第一组，第一组幂函数组。哎幂函数组那么，所以说在这里面当中啊，我们把它进行去分类，这个有点大哦。好，我们先来看看第一组幂函数组。就这样吧，那么在幂函数组当中，我们首先看看有哪些人呢？那么首先第一个事儿当然是我们最经典的幂函数啊，

首先第一个事儿你发现。x的阿尔法次方的积分。那这个积分。那这个积分是多少呢？大家注意啊，不光要会要速度。谁进行求导，是阿尔法次方，那当然都知道一定是阿尔法的加一次方，我加一次方求导，刚好是你。但是阿尔法加一次方求导一下，会出来一个阿尔法加一，所以前面过程当中啊，有个这个东西翻一下，

再加上c。不定积分呢，是一定要加c的，同学们能记清楚吗？所以像这类这个东西啊，我希望同学们做的非常快，你发现看，比如说p。平方的积分，那积分呢？升一个次幂翻译一下，比如说这是二分之三次方，那怎么办？伸一个次密二分之五，翻一下五分之二，

一定要做的非常快啊，这个速度一定要快。那么，在这个积分当中啊，有两个非常常见，一个人是谁呢？一个人是这个人。二倍的根号s分之一。谁的积分是二倍，根号s四分之一呢？你就去想谁的导函数是二倍，根号s四分之一啊，当然是根号s。根号s导函数是它吗？你看有些同学反应的非常快，

证明这导数那块学的非常好，有些人反应的这个速度没提上来。你最起码我说别的，我不是说你所有的话，这个有些东西理解的东西啊，我们可以慢慢进行理解，但是记忆的东西一定要把它给我记死。好，这个问题来继续看s方分之负一。那这个积分是多少呢？谁对s求导是x方分之负一啊？其实就是x分之一。把这个事要记清楚。对吧，你去求这个人的积分就去想谁对s求导数，

好像这两个人必须要记清楚。那么，接下来过程当中，我们再来看幂函数当中还有第二个人，就是x分之一。当然，同学们，你稍微进行去注意一下，就这里面当中的话，像这个人。对吧，它是多少对吧？这个正常数，后面你稍微注意一下就行呃，我在这里面当中，

我就不写了啊，那么接下来我们再来看看s分之一。那谁对s求导是s分之一呢？s分之一积分，那当然是ln啊，但是注意lns的什么绝对值。lo es绝对值都是你好，这是我们讲的第一组幂函数组，那幂函数是我们在考试过程当中的一大核心。对吧，这个东西非常重要，幂函数组我们就讲到这来，再来看看第二组。第二组指数组啊，指数函数组。

那么，在指数函数组当中啊，我们再来看看指数函数的问题，那指数函数当中啊，不就两个人吗？一个人是多少a的s？一个人是谁呀？一个人是e的s？所以说在这里面当中，我们先看第一个人，那如果是a的s呢？刚才我们都知道a的s求导是你，但是你a的s求导之后会出来一个lna，所以说在这里面当中配个lna分之一。加上c不定积分呢，

一定要加c，因为不定积分求的是全体原函数，你加个c进行去求导仍然是它。好注意这个问题，那么接下来我们再来看第二个事情，你发现最喜欢的是谁啊？当然是这个人了，那es积分是多少？es积分当然是es。那谁对s求导es啊？es对s求导就是es好，这个事情我们就说到这指数函数组。能理解吧，好两大波了啊，那么接下来过程当中啊，

我们再来看看这里面当中最难记的也是东西最多的一组，那就是我们在这里面当中的第三组。三角函数组。啊三角。那么，三角函数组里面当中有些人呢？你可能在现在过程当中，你想不出来谁的导函数是它，但是同学们今天过程当中能不能把它背过？你就把它给我记住，那么到后面过程当中，我们学到这个错位分法的时候，我再给你进行去证明好不好，同学们？所以今天过程当中，

你就硬着记啊。哎，这个内容很多啊，首先我先说一下第一事情，单枪匹马的都是可以记的。像什么s in呢？像什么c？像什么呢？第三个事情像什么tan整体了？对吧，还有第四个事情像什么quantum data哎，单枪匹马的，还有在这里面当中的second。还有最后一个事情，就是call second呢。

哎，注意这个人。单枪匹马的事情，他都是能记住的，所以说我们只要在考研过程当中，你发现只要是三角函数这个人呢，一个人出现的时候。你发现都是能级，所以说在这里面当中，我们说的是只要你是一个人，是单枪匹马一个人的事情，都是能级哎，单枪匹马一个人。一个人都是能记的好，我们先来看看单枪匹马的事情，

在这种当中，你要把求导想清楚啊。求导一下，求的是儿子。积分一下，求的是爹，你能听得懂我的意思吗？站到你的位置是求他的儿子还是求他爹？哎，注意一下这个问题。那么，接下来看积分，谁对s求导是他cos，但是cos求导得加个负号。那么再来看第二个事情，

谁对s求导是cos，那很明显是s in。但是同学们，那这几个人就难背了。这四个人呢？叫遗忘四人组啊哈，这四个人呢？遗忘遗忘。四人组听懂我的意思吧，遗忘四人组，那这几个人的话，你发现非常容易忘，就说我们在。现在为止，我们讲的这几个分对吧？

讲了这几个分，你发现呃容易忘的，就这几个人，这几个人非常容易忘好，我们来看看这一忘四人组啊。好，我们先来看看这个第一个人，第一个人直接背你发现啊tan是塞比括对吧？塞比括的话，这个人是多少呢？这是负的ln cosine的绝对值加c。然后这个quant tent呢？是call BC那这里是ln sin的绝对值加c。啊，然后second呢，

更难背是second t+tangent t，然后加上c，然后最后一个人呢是lin call second t-qt。然后加上c。呃，这几个人呐，一定要记住南北吧，稍微的恶心一点点，你都能感受出来，对吧？就像这个tangent啦。什么quant TED seconded call seconded这几个字难背的同学们想清楚啊，你在想的是。谁对s求导是你，你不要去想它的导数是谁啊？

你像tangent里的导函数是second地方。quartet导函数是负的，quartet给你放，你看有些同学脑子有点不够用了，原因点在何处呢？就是你原来的导数表的技术。这个东西啊，都可以下去，过程当中啊，通过勤加的练习，把它补上来的，所以你上课过程当中先把这个核心思想听清楚。如果你转不过来，你很明显一个事情，你原来的导数表你转的不够快。

你记得不够熟，你下去过程当中啊，该记的东西一定要把它记清楚啊，很多人一直觉得说这个数学你怎么老跟我谈记忆？该记的东西一定要记，这是脑子里面当中的底气啊，好了，这是我们讲的第一事情，好再来看第二事情。不是单枪匹马，俩人的事情，俩人的事情都是你不喜欢的那些人好记，比如说second的方，你不喜欢吧？然后是多少call second的方，

你不喜欢吧，还有在这里面当中的第九个人，什么second tane nt你不喜欢吧？还有最后第十个人，那就是多少call second t quantum t。那么，在三角函数当中啊呃，积分表里面如果是你发现俩人的事情，俩人的事情都是你不喜欢的那个人。你不喜欢的就是什么si cnt的那些东西啊，像什么s in的cos in的那些东西没有啊，积分表里面不光要背过每一个积分，你还要知道积分表里面当中哪些人你是知道的。那么，在这种当中，

我们看看第一个人。谁对s求导是你这个太简单tangent。谁的s求导是你quantum，但是quantum求导是负的，所以加个符号。谁求导是你second？谁求到是你call second，但call second求到是负的，加个负号。好在这里面当中能转出来吗？你看啊，今天晚上的课程呢，我觉得有些同学啊，我觉得就是出现两种问题的，你前面的东西记得熟。

你掌握的熟练，你这节课过程当中，你发现会有个质的提高，但是有些同学的话，你发现反应速度在这上面有点限制了。好，这里面当中难背的是这几个。啊，难背的是这几个。好了，这就是我们讲的这个三角函数组对吧？三角函数组这已经几个了？这四个了，然后这是十个，这是多少14个积分了？

那么，接下来过程当中啊，还有六个人，这六个人呢？更难背，那我们来看看最后六个人。但是我觉得这个最后六个人的难背程度也不如这个遗忘四人组，所以说我后面过程当中我也没讲什么遗忘四人组的问题，那么接下来过程当中我们再来看看。分式类哎，最后一个分式组。那么，这个分式组里面当中啊，总共有六个人，我们接下来过程当中把这六个人呢？

我们稍微进行去重点看看，那么首先我们先看看第一个人。那第一个人是多少呢？是x方加上a方分之一。然后有加就有减，减就是x方减a方分之一，为了进行去把这个东西啊，我们进行不做区分了，因为x方减a方a方减x方是一样，所以我们就写五个人就行。能听懂我的意思吗？好，第三个人再来那么根号下多少a方减s方那根号下的话，你发现有减就有加。那么，

在这里面当中s方加上a方分之一，还有最后一个人就是s方减去a方分之一，你看有那样减就有这个减。好，我们再来看看，最后这几个人有些同学就有点脑壳疼了，好，我们来看看这几个人当中，你觉得你最喜欢谁呀？我觉得我最喜欢的就是这个人，为什么？因为我知道s方加一分之一这个人。这类积分是arctangent题。对吧？阿尔克探针体对s求导是你，

所以我喜欢这个人，但是同学们注意，现在这块是一的平方，这是a方，如果是a方呢，前面就多了个a分之一。arctangent a分之x加c你看组合着记就记住了。啊，这个每年过程当中讲的这个事儿，我其实就想清楚一个问题，我以前非常不理解一个事情啊，就是。这个英语单词儿为什么还有单词课，后来过程当中，我去呃，

我从一五年去了新东方了，之后的话我发现怎么那么多单词课呢？对吧，有好多单词课，我后来就理解了啊，你发现有些创新性的方法确实背的会快一点好了，那么接下来我们继续，我们再来看。那这类目当中，你还喜欢谁呀？还有谁？我喜欢第三个人，那第三个人的话，你发现这就是根号下多少一减x方，然后dx。

你是不是会喜欢这个人？这个人我也很喜欢。所以上位过程当中啊，你发现这个人我喜欢这个人，我也喜欢，为什么因为这个人的话，你发现跟阿克塞因有关。对吧arcsine有关，但是同学们注意这个开个方开个方，前面就没有a分之一了，直接是arcsine a分之x加c。好，这个人那么同学们接下来过程当中再来看你还喜欢谁呀？我觉得我还喜欢最后两个人，最后两个人刚才在进行求导的反向看的过程当中，

是把它背过了。谁的求导是你？那就是s加上根号下s方加上a方。好这个人，那还有谁呢？就这个人，谁求到是你is加上根号下is方减a方。注意一个事情，因为这个东西有可能是负的，加上绝对值。那么，只剩下最后一个人了，那最后一个人呢？怎么去记呢？你看这个人。

其实可以写成s- 1。s加一分之一，然后这个部分的东西你就可以切拆开了，所以说最后这个结果的话，你得好好背一下，这个东西也容易忘。lin多少呢？s-as+a绝对值加c这个东西我一会会推的。我一会儿会给你推一下这个人。好，这个事情都能记住吗？那么这是五个，所以说在前面过程当中啊，总共是19个分，这19个积分呢。

是我们在学习过程当中的一个基础。必须要把它记清楚，能记住吗？好，这个事儿啊，一定要掌握清楚。所以在这里面当中啊，是我们每个同学都需要过的关。啊，大家注意啊，不要着急，不定积分，慢慢来，你发现最近一段时间啊呃，我觉得最近一段时间的话，

我们。总共是有三天的这个课程，然后再加上六天的训练。哎，六天的训练，而且每天过程当中啊，我一会过程当中会给你说一下这个打卡的事情啊，打卡的事情。然后这个每天晚上过程当中，我还在给你进行去开直播进行讲这个题，所以我觉得同学们注意不要着急，稳稳当当的慢慢来。不就是一些记忆的东西吗？理解着背，但是数学不要纯背，

你每天早上拿出一个什么s in进行曲积分就是负cosine cosine积分是sine，那我就疯了。不要这样哎，不要这样，这个事情好，这个内容我们就说到这下去，过程当中啊，慢慢进行去记一记，这里面当中啊，总共有四组公式啊。呃，你放心吧，每一个往年过程当中啊，无论是我们三九六同学能考到这个满分的同学。还是这个数一数二数三同学能考到这个接近于130+140加的同学，

他们也走过这样一段路程。就是在学习这个东西之前，你发现呃很多东西的话，这个东西啊，不知道，然后需要进行去记忆，也需要走过这样的一个过程，只是每个同学都需要走过程。所以接下来过程当中啊，我们进行的这个不定积分的这个刷题训练的时候，你去看看那个题啊。那么，在这个题当中啊，你发现这个题目的量也非常的大啊，这个复这个题目你发现从这儿163题，

这全都是我们要做的，这个不定积分的训练题。全都是我们要做的不定积分训练题，所以说在这里面当中啊，你下去过程当中把这个内容一定要在基础的东西好好把它记住。我们应该怎么背好背？那我在这刚才干嘛？我在玩耍吗？我在自己在这里面当中把它分组了，然后一个一个讲给自己玩儿吗？我刚才在干嘛？我说实话，你发现一个事情，我其实都不用讲这个内容。啊，

我都不用讲这个内容。你去看看数一数二数三同学的这个课程，我就直接怎么办？我就直接把这张图片儿，我就给你粘过来了。我就直接粘过来了，粘过来之后的话，我就在这种当中跟你说哪个部分的东西稍微的难背一点，我就说这几个人难背一点别的东西，你把这东西你记一下。那我在刚才这个过程当中是在干嘛？哎，不要这样，不要这样。好了，

这个事情我们就讲到这儿，所以下去过程当中啊，一定要注意这个问题，那么接下来我们来看看三点八这个题。看一下这个题，接下来过程当中，我们就来利用这个积分表，然后来做这个不定积分。哎，求解不定积分，所以说首先第一件事情利用积分表去求不定积分呐，这是个基础，那么首先我们来看看吧呃，所以说一会儿过程当中啊，跟着我好好进行去想。

好，先来看看这里面当中的第一个题。你发现让我们去求解这个不定积分，那这个不定积分的话，你发现加法就可以拆开你的不定积分。你都不定积分，然后系数就可以提出去，那这题是不是秒了，所以直接出来看第一个人？那这样积分呢？幂函数积分次方数升高，然后分之一，然后es积分es。谁的求导是s in呢？哎，

这个s in的积分的结果的话就是负的3倍的cos不定积分加上c。好，这个题啊，就出来了，能掌握清楚吧，记住这个问题好，这是我们讲的这个第一个题目，那么接下来过程当中啊，我们再来看看第二题。三点九这个题。呃，这个第二题啊，有些同学可能做的好一点啊，有的觉得这个题非常恶心，我们稍微进行去观察一下，

你来看看这个人。那这个人其实你发现幂函数乘幂函数幂函数幂函数在开方不还是幂函数吗？所以在这里面当中考了一个什么事情呢？考了幂函数的运算性质同底数幂相乘指数相加。同底数幂相除指数相减。然后在这里面当中，我们继续看，还有一个如果是a的次方，再来b次方就是x的AB次方。所以说在这里面当中啊，我们先来分析一下，你来看看这里面当中的第一个人。那第一个人怎么做？不就是这个人吗？那就是is再乘上根号s就是is的二分之一次方。

然后这个整体外面的开方不就再来个二分之一次方吗？所以说这就是二分之几二分之三再来二分之一。所以说s多少四分之三次方，你看这个事情一旦做成这样，那这题就简单了，那么接下来过程当中我们就写一减x方分之一。然后是s多少四分之三次方ds？那这个题做成这样，那么接下来我们就可以拆开了，那拆开之后的话就变成第一个人是四分之三次方他的积分，然后再减去多少？那么，这个同底数幂相除指数相减。你用四分之三减去四分之八，负的四分之几四分之五，

然后ds那么吉祥物七这个分来头顶深次幂四分之七。翻一下七分之四再来。头顶伸一下，你发现加个一，这是负的四分之一，再翻一下负四，那就变成多少加上四倍不定积分加c。所以说这个部分内容立即出来了，注意啊，这是第一遍部分内容呃，作业当中啊，没有问题呃，后面过程当中那个一元函数微分学的那个应用的题啊，可能稍微的难一点。那么，

这两次过程当中啊，你的重心你就放到不定积分上呃，等我们把这段时间的这个课程讲完之后啊，我可以抽出一点时间去把那个呃。呃，一元微分学的题啊，有些题我们做一个重点的精讲啊，不要着急，这个事好了，那么接下来我们继续，我们再来看这题没问题了吧？其实你发现都是在做幂函数的运算好，再来看看三点一零这个题。呃，再来看看这个题，

那么这个题怎么做呢？你不要着急，这个事儿就是我们那个800题当中的那些题啊啊，今年过程当中你明显会发现里面当中有些题的难度系数也不小。所以刷一遍是不够的。有的时候你发现一个题需要刷两遍。两遍，有的时候你发现这个题还没做出来，你就刷第三遍，我今天下午过程当中啊呃，我看过一个同学给我发了一个私信。我说实话，有感而发。这个同学。呃，

下午6点13分给我发了，他说。四刷不定积分的错题终于做对了。啊，太开心了，特别是某些题错了三次之后还是错，真的觉得这个自己，然后今天终于站起来了。诶，我觉得我其实觉得啊，这个里面当中啊，你就会发现你找到这个学习的门路了。所以有些部分的这个部分的内容啊，一遍不行，你核心，

但是你要注意每一遍都要做扎实。每遍做扎实，不复盘呢，数学不复盘等于白学啊，等于白学，所以同学们注意到了这个。今天是3月18号，我们四月份的时候，我会组织同学们我们进行去这个复盘打卡，哎，所以说希望同学们注意啊，把这个部分的内容多进行看看。好了，那么接下来我们就继续呃，那个同学的话是数一数二数三的，

里面当中不定积分，有些题比较难一点，我们呢，得控制在合理的这个范围内。好，那么接下来我们再来看看三点一零这个题来继续吧，操作一下来解。好来看这个题。那么，在这个题当中怎么做呢？有些同学可能在这个后面过程当中学到了这个无立根式换元，会把这个根号s换成t注意啊，没有必要你看这个题。上面这个人是幂函数吧？上面是幂函数，

下面是幂函数，那幂函数除幂函数也是幂函数啊，这不一减二x加上多少加上x方比上根号x嘛？所以在这里面当中，你就除下去，你看第一个人dn除下去是根号s积分，第二是多少二倍根号s积分？然后第三个人呢，就是s的二分之三次方积分好，我们来看看这几个题啊，慢慢来，那么同学们注意啊，你要稍微小心一个事情。你要好好继续去想。积分是谁？

求导是它，你看这人的积分是谁呀？这个人的积分是谁？求导是他根号s+c。能听懂吧，谁求导是你，然后接下来过程当中，你再看根号s积分呢，根号s求导是二倍，根号s分之一，谁积分是你？这是二分之一二分之一来长个儿，然后再来翻译一下，加上c。对吧，

所以说这个内容你把这两都不要背啊，不要硬背理解，但是这个东西要记住。二倍根号s分之一的积分是根号s二倍根号s分之一的积分是根号s，所以啊，我就在这补肝补肝，因此是二倍的根号s。然后这个人二分之一升一个二二分之三翻一下三分之二，然后这个部分升个个二分之五翻一下五分之二不定积分加c。好，这个内容立即出来了。好了，这是我们讲的这个三点一零这个题不难吧？你发现在这里面当中，它的核心思想就在干嘛呢？

它的核心重点都是在这里面当中。其实做了一些幂函数的运算问题啊，基础内容啊，好，我们继续，你要注意这些问题啊，我们三九六同学都有可能会出这种题。我直接给你个积分，我说积分，结果是多少都有可能会出好这个内容来，继续吧，再来看看下面的题。好，再看这个题。那这个题啊，

很明显就是指数函数呗，那指数函数的话，在这里面当中，我们就首先第一件事，我们先把它打开。那么打开了之后的话，你发现就是第一个人的平方。然后再减去二倍的2s3s，再加上3s这个人的平方dx。好同学们，我们先看第一个人。那第一个人的话，你发现我写慢一点，那2x的话不是二到2x嘛，那不是二的平方x嘛，

所以说就是四的x。跟得上吗啊，这太小学内容了，所以说首先第一个事情，这是四的s不定积分，然后再减去二倍的，关键是二的s。三的sds，然后第三个人呢？其实是九的s不定积分。那么，在这种当中，我们先来看第一个人，第一个人就出来了，等会我们再写吧。

四打s不定积分，我关注点一个问题，中间这人怎么办？那这个人怎么操作呢？你发现二的s3的s。那根据这个幂函数运算性质，它不就二×3的x吗？是不是就可以做了，所以同学们注意这个事情啊，会发现这个问题啊，就是六倍的s。好了，那么接下来过程当中，你发现全部都变成什么？都变成了a大S不定积分，

积分就是a大S前面乘上lna分之一。好，这个人那么所以说首先第一个事情就是ln多少四分之一四的x，然后接下来你发现是ln六分之一六的x。然后接下来加上多少ln九分之一九的s不定积分加c。你看这个题不难吧，所以说都是基本操作。它的核心重点就是什么情况？这一题就考了一个指数函数的不定积分。对吧，一个指数函数我是怎么记的？把这个事儿一定要想清楚，过去了可以吗？好了么？同学们哎，

我们就讲到这，那么接下来过程当中啊，再来看下面一个题。好，再看这个题。那么这个题啊，我们就要去想想了，那么同学们琢磨一下这个事情，这个人在积分表里面有没有？有没有单枪匹马？这是两人事情，我们都说了，两个人喜欢那个恶心的。所以说积分表里面就没有它。积分表里面有的是谁？

积分表里面有的是它。这是积分表里面有的，所以同学们注意构建一下这两种关系吧，它不就是等于一+tangent的方法。对吧，这个事情就出来了，所以说在这里面当中啊，你发现第一个人，那这个人呢，他就变成了second方减去一。那这个积分就变成了这个积分，它积分很简单，积分表里没有吧？谁对s求导是你tangent，然后谁对s求导是它x不定积分加c？

啊，谁都s求导是他，所以下去过程当中啊，把这个人要知道，那当然同学们注意，如果这个题你知道了。你模仿一下，你发现quant tent的方式不是也知道了？啊，是不是为什么呢？因为积分表里面当中是有这个人。哎，这是积分表里面有的，那你想想一个事情，这个人跟这个人什么关系啊，

他不就是一+q tnt的方法，你这个三角函数的公式也要记。怎么这节课的话，你发现理解，其实你都能理解，因为我觉得同学们注意，你只要来听这个课程，你前期过程当中啊，稍微有点基础，你听这节课没有任何的问题。你再难的东西我都能让你去理解，但是有一个问题啊，就你之前你欠的那个东西要记忆的账，你能不能把它还了？对吧，

你能不能把它还了好，我们看看这个人，那这个人是多少呢？他是cos的方减去一，然后ds。对吧，这个事情其实你发现一般情况下去学习都是。公式都不是说最大的，关键的，因为我觉得每个同学都会，关键是什么呢？关键是你能不能理解，而这节课你发现反过来了。带着每每个部分内容都能理解，但是最后一个事情都是前面的公式出现了问题了。

你把一个非关键的东西变成关键的，你把一个关键的东西反而把它怎么办理解了，所以下去过程当中你要记的东西啊，你得记一记啊。啊，这个事情。好了，那么接下来我们就继续，我们再看你发现这个积分呢？谁对s求导是你？它积分是quantity，然后要配上负号再来看谁对s求导你s不定积分加c。好，这题出来了，下去过程当中啊，

把这个公式啊，给我好好缓哎，好好缓好这个问题，我们就说到这吧。这题能听懂吧？要知道哪些东西你是知道的，哪些人积分表里面是有的啊，这个事你要得说。书籍语行好，这是我们讲的三点一二来，继续吧，再来看看下面一个题。那么，在这里面当中，内容我们就来到了三角函数啊，

来到了三角函数，但是同学们注意，这个三角函数的一些基本公式啊。我说实话，我有点不太放心啊，我有点太不放心了，所以在这里面倒着我们来看看呃，复习吧。哎，说实话，有点不放心，那么在这里面当中有几个重点的公式，我只复习几个重点的，你要查阅的更全面的。都在我们第一讲当中，

初高中当中的核心知识点。就内解，你把内解部分的东西啊，你好好看看，我们来看看几个三角函数公式。公式。那么，在这一节过程当中啊，你就会清晰的会发现一个事情，你尤其有些同学说老师我不喜欢second。老师，我不喜欢call second题，注意一个事情，在积分学当中，你要喜欢second题call second胜过于tangent题和quantum题。

因为他在积分里面有可能会显得比那俩人还牛逼。所以这两个东西啊，你必须要记住，所以接下来过程当中啊，我们来看几个事情，首先第一步。第一步，平方和公式。那平方和公式不要小看这个人。哎，不要小看这个人。这个公式啊，你发现的事情有些同学用的好。很多人说老师这个故事我还不会吗？你把平方写成一有什么水平呢？

你把一写成平方，这就是水平了。这就相当厉害了。所以等会我们再说，对吧？你把一写成平方，这就牛逼了，然后第二事情tan的方加上一=second的方。然后接下来过程当中就是quant TED方，加上一等于多少quant TED方。好，这是第一个事情，第二个事情，那就是这个second。second，

你要注意一个事情，你要注意在什么时候呢？你看到过second，你比如说看到cosine分之一。你这个人的话，看到三又分之一，这样东西都能看到，比如说我们来看一个题，我来写一个题，你稍微看看。比如这里面当中啊，我让你进行去积这个分。好，我们来看看这个分怎么解？那这个分怎么进行聚集呢？

我们来琢磨一下，这是s in方，这是cos方。我们其实都知道一个事情在积分表里面当中是知道这个人的分。也就说，在积分表里面当中就知道了这个人的分没问题吧？这样东西是一样的。积分表里面有，前面那个分积分表，后面就有这个分积分表，里面当中有这个cos in的方分，其实就有。s in方分之一的分。跟得上吗？同学们。

就说你一定要听清楚，在这个积分表里面当中有哪些分？哪些分是知道的，把这个事情说清楚，那么接下来过程当中，我们先看第一种方法。诶，在这里面当中，你发现cos OS in方分之1s in方分之一可以，那我怎么办？我把上面的一写成s in方加cos in方。高手对吧？这是高手，然后这个东西的话，你发现一操作的话就是s in方cos方，

然后点s。那么，紧接着，它的除下来，除下来第一个人就是coss方分之一。然后第二除下去sins方分之一高手。然后接下来过程当中，我们继续看。你发现你看这个人呢，其实就是second平方。这里呢cos的平方积分表里面都有吧？那谁对s求导是你呢？tangent。谁对s求导是你呢？负的quantity。

加上c所以同学们注意，你要想清楚了一个问题，就是积分表里面哪些人是有？这些你要知道，然后在这里面当中的话，它的一个公式的一个简单的切换，你要知道。你发现一个事儿，我们呃考研过程当中考的那个三角函数的积分呐，那其实非其实数一数二数三考的非常难。难度系数非常大，但是我们考的不会说特别难，所以你们去做哪些题呢？那么今年过程当中，我都在那个积分表里面，

不是给你呃这个800题当中，不是给你筛选了吗？对吧，这里面当中筛选了，所以大家注意啊呃，最近一段时间我已经开始了。啊，我已经开始了，其实我这边的资料东西啊，其实非常多，我希望今年过程当中暑假你们能收到的那本啊，强化的那本，因为我们今年过程当中会出版的。啊，那本书籍啊，

到时候我们全程班同学都会收到，我希望到时候呢，你收到之后啊，这里面当中我又加工了很多东西。那么，在每一个核心专题的例题下面，我又给你加了一个举一反三。爱取一反三。所以我相信这里面当中的东西啊，就对你而言比较受用了。因为我觉得呃三九六同学，我们考的东西啊，有些东西不是说特别特别的顶难。但是你发现这个肌肉记忆。定式思维能力，

你必须要强。对吧，就是这样的一个类型问题的话，你见到这个东西怎么操作？见到这个东西怎么操作？你必须要熟练，你去看看吧，我们往年的题呃，虽然说去年过程当中加大了一定的难度。但是多少题就是你一眼飘过去，你是能看出考点的。你一眼飘过去，是能看出考点的，不像数一数二数三，他可能把多个知识点综合成这一道题，

你看过去的，你也不知道这个题到底考什么？对吧，你也不知道这题考什么？你只能做着做着哎，你发现哎考了这个哦，又考了那个哦，原来还考了这个，那综合情况。但是对于我们的题的话，你发现他考的呃知识点的综合度不会说特别的大，他就考单一个部分的知识点。但是你对这个单一部分知识点有可能运算量加大了，有可能是这个部分的操作性，看你熟不熟练，

这就是我们的方向，一定要注意这个问题。好了，那么接下来我们继续，我们再来看。呃，这是一种方法，那么其实同学们注意还有第二种方法，大家注意啊，第二种方法下节课讲。因为这节课我们现在做不了。第二种方法是什么呢？你看到这个s in和cos in那s in和cos in是不是可以利用二倍角公式把它变成多少二分之一s in的平方是不是就变成了这个人？但是这里面当中考了一点凑微分的内容，我们下节课再讲好吧，

同学们。可以吗？我们保证这个知识体系的连贯的嘛好，这是我们讲的这个第一个事儿，所以又回到这个三角函数公式了。所以，三角函数的公式啊，你必须要切清楚。那么，接下来过程当中，我们再来看第三个事情。那第三个事情就是二倍角公式，那这个二倍角公式的话，你发现第一个事情s in 2s，它是等于两倍的，

这个s in然后是cos。然后剩下一个事情就是cos 2s这个人，那他等于多少cos方，然后再减去s in方。那么，第三个事情我们再来看，这个结果是二倍的，多少呢？cos方再减一吧。然后也等于一减二倍的s in扫码。所以在这里面当中，你发现一个事情呃，这个部分的内容一定要注意。呃，800题，

我每节课是布置作业的。每节课我都布置。嗯，你要跟着这个课程体系来，是第一次听课吗？嗯。好了，这是这个事儿，所以下去过程当中，你要好好想想，那么接下来过程当中，我们再来看个题。你看我们再来出一个你，比如说在这里面当中，我们再来看看，

这是例二。我如果把这个东西写成那个cos 2s，我把它写成了s in方cos方ds。那这个题怎么做呢？我进行观察一下。我看到这是二倍角，这是单倍角，我肯定会想化成同倍角诶，如果你想化成同倍角了之后的话，有两种画法。把单倍角合成二倍角，把二倍角合成单倍角，所以首先接下来过程当中，我们先来看第一种方法，你就把这个二倍角。

写成单倍角，那么同学们这个二倍角公式有三个人可选呢，你选谁呢？对，非常好，我见到这俩平方，我肯定会选这样，你还想啥？所以我立即换成这个人，那换成这个人了之后就除下去，你除下去是不是变成了这个人s in平方分之一，你看又来了。来继续cos平方分之一，你看又来了。那么，

接下来过程当中，这个人呢？是call second的平方ds，然后这人呢？是这个second的平方ds？那这个结果就变成这样，那这个结果变成这样了，之后的话，你发现这是负的quantity x。然后再减去多少呢？tangent tx+c。你看这俩东西是积分表里面有的积分，这个内容它就完全考到一个什么就是积分表的熟悉程度。你放心啊，今天过程当中下课，

我没有作业，我今天过程当中，我让你下去干嘛呢？你去把导数表好好给我记一记。把那个积分表好好给我记一记，然后再把这三角函数的公式好好熟练一下，这是今天的最重要的工作。你只要保证你这节课的积分表背的足够的好，你下节课过程当中，你就能学的足够好，我明确了这件事情，这个内容我今天给你说到这儿。所以下去过程当中，你好好来，今天下去能自驱一点吗？

啊，今天下去自取一点好了，这是一种方法，那第二种方法呢？我们再来看。第二种方法是把这个单倍角变成二倍角，把s in和cosine合起来，这个内容也是下节课讲，为什么？因为这里面当中会有一点凑微分的内容。啊，下节课再讲。好了，这是这个事情，我们就讲到这儿，

所以说这两个类型问题，你发现是触类旁通的。对吧，这个基本点，所以同学们注意在不定积分当中啊，我们有一个非常重要的一个小经验，这个小经验是什么呢？就是一旦你把一和cos相旁，一旦你把一和cos相方，一旦你把一和s in相方。一旦你把一和三一相同，你会想到哪些东西呢？那么，在这里面当中，我们看看第一个事情，

你把这个能力具备了，你将来过程，这绝对的经验。有些同学说，经常做题的时候说，哎呀，这怎么有人能想得到啊？这不应该能想到吧，绝对能想到那么，如果是cos和一相同二倍角干掉这个一，那你想把这里写成多少？写成二倍的cos二分之x方减一加一没了，那第二人呢？写成一加上。对吧，

一减去一减去的话，这个结果就是二倍的，这个s in二分之x次方。那么，如果是一跟三一相碰呢？你把这个经验给我背死啊，这太重要了，那如果是一和它相碰呢？我们是这样做的。把一写成完全平方，把三写成二倍角公式，这个人更精辟，所以将来过程当中，我们做定积分的时候，你发现简直顺手捏来。

那么，这人写成二倍角公式。这个人写成二倍角，把这人写成完全平方和公式。啊，不写成平方和公式，然后把这个东西就写成完全平方公式高手啊。绝对的高手。所以你发现一个事儿，这人就出来了，那这个结果呢？这个结果不就变成了塞，不要背啊，不要背理解它的套路。拼搏，

你看高手嘛？我cos和一相同，我干掉这个一，我利用二倍角公式干掉这个一，我三合一相同，我是。把一写成平方和把3e写成二倍角，这东西一拆就出来了，我给你看一个题，你就会发现这个事情极其的精彩。而且相当的重点。那么，接下来过程当中，我们现在可能做不动那个题，但是将来过程当中啊，

我们去做定积分的时候，我们肯定会碰到这个题，那么接下来过程当中，我们来给你看看这个事。三零三这个题这个题啊，其实你发现在考研过程当中啊，就算一个稍微还比较难度，系数稍微会有一点点的题。但是同学们想想我们今天见到他，他简直这个题你发现就可以秒了，我不知道你做后面，后面你做不动定积分还没学呢。我直接把他秒了，为什么？因为在这里面当中，

你发现一个事情，我清晰的会发现，我只要这里面当中面啥题啊，你不会的时候，你就先不要说话好不好？哎，不会的时候先别说话，那么在这里面当中，我们来看看这个事情。你想想，如果到了今天过程当中，我们进行去处理这个问题。嗯，那么在这里面当中，我们来看你就会发现这个东西是不是有开方啊？

那既然是开方，我就把它写成完全平方，那这个事情就非常简单了，这是零，你先别管前面了，你就给我看后面的操作，这多秀。他就写成了s in二分之s，减去cos二分之s，它的平方同学们想想这东西是不是可以开了？这就可以看这绝对的高手，你能想到这儿了不起。了不起。就关键的一个问题，就是有的人看到答案才能想到你，

看到答案能想到这有什么用啊？那不能说我今年考完了之后，你对答案哦，我会了你会了有什么鬼用？那都没有什么用，所以在这里面当中啊，他最重要问题就是你这个东西的这个经验，你得拥有。对吧，这个东西的这个经验你必须要拥有。所以同学们注意啊，将来过程当中，我们做这个定积分的时候，我们再来说。好了没？

所以说cos和一相碰，我利用二倍角公式干掉一。我说我一和s in相跑，我先把一写成平方和我再把s in改成二倍角写成完全平方。水平点就相当的高了，好这个内容你下去过程当中好好想想。然后接下来过程当中什么呃两角和公式，我们现在就不复习了啊，后面我们再说那个东西啊，比较简单，然后什么。呃，积化和差和差化积，不要背将来过程当中，我也会讲啊，

你先按部就班的，把这些内容给我掌握清楚，这也非常重要。你自己要记不住，你给我截个图，你下的过程当中，你好好理解对吧？多用用五塔，但数数二对吧？多用几遍，这个东西没有什么难度，来我们来看这个题。再来看看三点一三这个题，你看这个事情，那么在这里面当中，

我们稍稍微进行观察一下诶，单倍角诶二倍角。单倍角，二倍角，不用想赶紧二倍角化成单倍角，又看到cos和一相同，赶紧怎么办？干掉这个一走，你立即变成多少变成二倍的cos方，减一减一加一就没了，然后这个结果变成了一加上cos方本题结束。经验告诉我们的。对吧，单倍角二倍角单倍角化成二倍角化成单倍角化成同倍角，然后cos和一相同干掉这个一，

然后接下来你发现除下去。本题结束，这是cos平方分之一ds，然后第二事情除下去是二分之一ds，再看这个人。那这个结果呢？这cos分之一就是second的平方，同学们想想你发现没？这节课我们去做题second的出现几率是不是很大？他比t an ENT都大，你想tan方的积分都要转成second方积分，谁牛逼second牛逼？所以一定要喜欢他，你要喜欢的不得了，你哪怕到了今年的12月24号11点31分，

你不喜欢他的都行。但是在这个考试之前，你必须要喜欢他，你每天告诉自己你是喜欢second和call second的。你也喜欢quotient，你胜过于sine cosine tangent，我太喜欢second econd second了，每天都要告诉自己你非常喜欢他。哎，对吧，你喜欢算你喜欢他好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来过程当中我们来记它，这是tangent，然后再加上二分之s加上c。

好了，这是我们讲的这个三点一三这个题，那在这里面当中，你发现一个事情，这个部分的内容就是二倍角化成同倍角一和cos相碰，干掉这个一。好了，这个是这个题目，那么接下来过程当中，我们再来看看下面这个题怎么做？来再来看这个题。好，我们继续看这个题。那么这个题怎么做呢？我们在这种当中观察了，

这是s方，这是一+s^2。同学们，想想一个事情，这个东西可以裂开吧？是可以裂开的，你发现高数的同学，他就直接把它拆成这样了，你问他为什么？你告诉他两个字，显然告诉他两个字经验。这高手我见到这个东西，我咔的一下拆开了。有人问，为什么你怎么能拆开呢？

我惊艳呢，对吧？你发现一个是对直觉。我一下就出来了，所以说多练练。当然，如果有些同学说老师，我就没看出来，那没有关系，你发现你这是x方，然后再乘上多少一+x^2？如果你慢一点，我再给你教一种方法，但是同学们，我建议你，

你就直接拆了，对吧？列项嘛，那么在这里面当中是一，你就加个s方，除个s方。咔的除下去除下去是平方，然后再减去一+s^2分之一也行。那么，在这里面当中啊，就是两个思路嘛，第一个思路怎么对？直觉我一下就出来了，我我看到它，我一下就拆开了。

但是有些同学可能稍微的慢一点诶，这怎么拆开，但是我觉得你如果慢了，你就去学，你不要慢了，给自己一个建议，哎呀，我这个东西我换一种。啊，不是这样的对吧？好，你可以这样走，所以说在这里面当中，我们就可以把它怎么办裂开裂成这个人，然后是一+s^2分之一。

那么，这个积分就变成多少变成x方分之一的积分，再减去一+x^2分之一的积分，就变成这两分。那第一个分呢？第一份我们都知道。负的x方分之一的积分，因为我们的积分表里面我们知道这个人负的x方分之一的积分，积分结果是x分之一。那所以说这个积分就是负的s分之一，然后这个人是多少呢？真是arctangent ts不定积分加c。你看这个内容，我立即出来了。哇，

今天呐，时间控制的完美啊。所以说你发现看这个事情立即出来了，那我就把它拆开了。对吧，我就立即把它拆开了，所以说今天部分的核心重点，你下去过程当中把它好好练习一下，好我们就练这几个。那你发现一个事情，这几个东西的练习啊，其实你发现都是在做刚才的这个积分表当中的训练。对吧，积分表的训练就是我们积分表里面当中这些人呐，你发现一个事情，

你就把这些东西啊，好好进行去练习一下就行。好，这个内容我们就说到这哎，刚刚好对吧？好了，那么这个部分内容我们就说到这，那么接下来我来通知几个事情啊，第一事情就是我们不定积分的。百题代刷。的训练的问题呃，每年过程当中啊，这个不定积分的百题代刷训练啊，如果你是试听的同学，我建议同学们参加，

当然有些同学不喜欢参加。但是如果你是全程班的同学，你必须参加。必须参加，因为我一直给你讲，你要一个人在那刷不定积分，贼痛苦。可能有些同学过程当中啊呃。可能有些同学在这个都之前过程当中看过寒假班啊，数一数二数三同学的寒假班的这个不定积分的百替代刷训练。啊，你可能都看到过，对吧？也是带着同学们进行去训练，为什么呢？

因为你发现首先第一件事情，我这个不定积分里面当中啊，总共接近有100道题。这100道题的话，你发现个事儿。这么多题，有些题难一点，有些题简单一点，对吧？有些题难一点，有些题简单，有的人控制不好。他控制不好他一天，他不知道做多少，所以说有简单一点，

我们多做一点，难一点我们就少做一点，所以同学们注意这个东西啊，由我来控制。而且有的时候你不信，你去试一下，你一天刷30个40个不定积分，你试一下你这刷吐了的心都有了。那都说一杯酒，一根烟，一道积分算呃算一天，那真是这样。你是现在还没有到这个感觉，但是每一个最后高分的选手都需要通过这样的一个训练。都需要这个阶段的过程，

所以说这个不定积分的百替代刷训练，对于这个呃全程班同学，你必须参加。我没有任何商量余地，你必须参加，你必须去练，那每年的过程当中啊，我这个活动啊，都会组织好几期呃，这个寒假班一起春季班一起，然后我们这个三九六精度数学的。啊，我们全程班一起，所以同学们注意啊，每次过程当中你珍惜这个事情，

而且这个训练。我们是三天的课程。啊，然后加上六天的训练。而且每天六天的晚上，我还进行去啊，晚上我会给你进行直播讲这个题。哎，讲这个当天的习题，所以说同学们注意这个当天的习题，我们会在这里面当中啊，晚上给你直播讲。呃，上次的话，这个寒假班同学，

我们还是提前录呃，今天过程当中，我我觉得说呃，我也不想录了，对吧？我就在这里面当中，还不如直播着进行去讲，我觉得这样的话，面对面的效果会好一点。所以说这个部分内容我觉得大家好好进行练，因为刷不定积分，一个人刷是极其痛苦的。啊，是有点痛苦的，所以说你在这里面当中啊呃，

好几个同学一起去训练，全班同学一起训练，我相信效果好一点。但是你发现有些同学还是没有动力，没有动力的话，所以说每年过程当中啊，我们都会组织这个事情，你自己下去进行去打卡去啊。呃，然后这个打卡我先说一下，我们有严严格的要求呃，当然的话，这个打卡的话，我根据这个情况。呃，

如果的话，到时候的话，人数多了，比如说这个打的非常的好，我们就不拘泥50个人了。我们就可以抽上，比如说100个人也行，就看你们的状态了。啊，如果你答得好的话，后面过程当中我们就抽这个100个人，另外事情你自己做。对吧，你必须自己做有些同学的话，这个打卡的时候你发现也不好好打，

然后在里面当中啊，胡乱弄一张图片放上去，你不要这样。哎，不要这样，所以说呃，这个打卡你自己去打，如果的话，你想进行去打，那后面过程当中呃，我们会抽这个同学，然后送这个错题本儿，因为我刚才给你讲整理这个错题很重要。啊，这个错题本之前估计有些同学呃，

获得过获得过的话，这里面当中啊，这个错题本你自己去看看好，这是这个事情。嗯，里面当中可以签名啊，好吧，这个事儿我们。我想想吧，因为有点多啊，然后这个这个周刚好那个书页出来了呃，行吧，可以啊呃，我们就加上吧，然后这个错题本里面当中啊，

我会给你进行去签名的。好了，这是这个呃，这是我想说的，这个第一个事情对吧？这个第一个事情，所以同学们注意啊，这个打卡你自己去参加。我觉得这个每年过程的，按理说这个事儿是你应该自己做的，那么在这种当中啊呃，带着同学们去练，然后你继续去参加呃，我先说一下。如果是课程的时候，

就是当天的笔记。笔记，如果你那个笔记上面基本上没有东西啊，我们不做书啊，我就是督促你继续学习，然后后面的话六天训练是当天的习题。习题啊，这个。呃，这个习题的什么解答啊？你自己做。呃，所以说这个打卡的话，我希望同学们坚持啊。因为第一天，

第二天，第三天前几天的题简单一点，你还好一些，关键是后面几天。难度系数综合度上来的时候，你稍微会痛苦一点，我希望你把它熬过去，好，这是我们讲的这个事，然后这个呃。呃，打卡的话有这个错题本，然后另外一个事情我会单独。建立一个这个三九六。金棕树雪灯。

这个微博群，然后这个群呢？呃，我们这次过程当中啊，就是这个情况，就是这个三九六金钟数学的这个微博群呢？我们只能在这个，你是进行去打卡训练的同学，我们可以进行，你可以进入啊，不像这个原来的过程当中是那个数学不脱发那个群。那个群的话，里面可能基本上都是数一数二数三同学的，所以说这几次你都打下来，你可以进这个群啊，

这个群的话，后面过程当中我们可以。呃，引导同学们话在里面当中啊，可以呃做一些这个，比如说你的学学长学姐们可以在里面当中，我们多互动互动啊，我觉得也挺好。所以说就是从今天开始啊，这是这个部分问题，所以说这个部分内容呃，后面的话，如果是数一数二数三，我也会单独再建立一个这样的群。这个群呢？

我觉得就区分开这个数学不脱发，数学不脱发就是呃开放一点的啊，基本上都能参加，没有什么。限制我觉得呃，行吧，这个部分我觉得还是得有要求，没有要求的话，我觉得在这里面当中，你进去的话，你发现每个人的状态都比较松散。我觉得你进去了之后的话，每个人的这个状态都是好好进行，想着往进冲的，我觉得在一块可能会会有更多的这样的一个啊。

啊，复习的一些更好的一些情况好，这个事我们就说到这，所以同学们注意啊，这个呃，从今天的笔记就开始，然后到了这个当天的习题解答。然后你们进行去呃打卡的这个过程呢，你就看这个就行了，你截个图吧。是从18号到27号，然后是累计十次，你注意带这个话题，然后你就不要管了，你艾特一下我就行了，

然后我会有专门的助教进行去统计一下这个。好吧，同学们有专门的助教去统计，你就不要管别的事情了，你不用进心去担心的话，你打了之后怎么样呃，然后我们有专门的这个助教进行去统计，好吧，这个事儿我们就说到这不多唠了啊。好了呃，那么今天是我们的这个不定积分的训练的第一天，因为每年的话，这个不定积分训练是我们要求。应该是比较高的一次，所以希望同学们认认真真来，

今天是第一天啊，你拿出好你的态度，那么今天我们没有作业，然后今天的事情的话我来说一下这个事儿。呃，今天的话可以明天打，今天可以不算哦，明天开始第一天就是今天的东西可以明天打。啊，听得懂我的意思吗？就是今天的讲义可以明天打，但是你注意啊，后面习题习题是当天必须打。当天过了，我们就不算了。

哎，当天过了就不算了，因为我晚上至少是九点钟讲九点半讲这个题，你九点半讲这个题的话，你之前的话过程当中一定要把它做完呐。你不能我讲完了之后，你把它对一下，我觉得那就没有效果了，那你还不如不打，我觉得也没啥意思，你注意啊，最重要问题是把知识学会这个东西很重要。好了，这个内容我们就说到这。呃，

这是我们在这里面当中啊的东西，那么今天啊，没有作业，那么今天我们给几个任务，第一个事情导数表。第二，事情积分表。第三个事情，三角函数公式。这几个东西啊，你必须把它记住啊，三角函数公式，然后自己进去去整理一下，我们刚才过程当中讲的不定积分的这个定义和性质，然后接下来过程当中的这个导数表问题。

好同学们，行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿行，我现在去导这个笔记好不好？同学们啊，我现在去导你们自己好好整理啊，注意啊，这个阶段很重要。我可以明确讲你这个不定积分垮掉了，你下一阶段的定积分计算就没法学了。哦，说实话，没法学了，所以大家注意啊，

这个东西啊，牵一发而动全身好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿好，同学们好。下节课见吧。

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14.不定积分的定义、计算（A）-2

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