14.不定积分的定义、计算（A）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:41:23

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下正常网速环境啊，我们先保证一下这个声音，还有这个画面都没有问题，我们就继续开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六轻松数学的这个基础班部分课程，那么在上节课过程当中啊，

其实我们已经把这个。啊，声音小吗？声音小吗？好声音还可以吧啊，那么接下来我们就继续开始了，那么在上节课过程当中啊，其实我们已经把这个第一章和第二章全部讲完了，那么在第一章过程当中啊，我们重点讲的是函数极限与连续。然后到了这个第二章部分内容啊，我们核心重点讲的是一元函数的微分学，那么在一元函数微分学当中啊，我们讲的内容比较多一点。对吧，

在这里面当中有导数的定义，有导数计算，还有在这里面当中啊，导数的几何应用，包括在后面过程当中，我们又讲了微分，还有这个一元函数微分学的啊。啊，这个应用问题，包括我们的单调性极值，最值凹凸性拐点和渐近线距离那块东西啊，稍微的比较多一点。所以希望同学们下去过程当中啊，多进行把知识点好好进行复盘一下，那么今天开始啊，

我们将会进入到一章新的章节，叫不定积分。大家注意，这一章非常的重要，那么在我们考研过程当中啊，你发现一个事情，对于这一章部分的内容，在我们三九六金综数学当中啊，考的是非常多。因为你发现这个不定积分的计算，还有后面过程当中的定积分计算啊，这两个部分的内容是非常非常关键，为什么呢？因为对于我们而言呢，我们考到这个定积分呢，

就结束了。那么，这是我们积分学的巅峰，所以说在上册过程当中啊，你发现我们学习极限，学习一元微分学一元积分学当中的不定积分和定积分。然后紧接着我们就进入到高等数学下册，我们学习多元微分学，那么至于多元积分学，我们基本不学，所以说在这里面当中啊，你发现不定积分。还有定积分是我们在学习过程当中的积分学的巅峰，所以这块内容一定是必考的。绝对考察，

有的时候你发现一个事情，它在这个定义当中出一个题，计算当中出好几个题都有可能性，所以同学们注意啊，这一章是我们在学习过程当中的重点章节。那么，首先在正式上课之前呢？我们先来唠一下，那么在这章过程当中，我们到底有多少内容需要进行去学习呢？核心重点。其实你发现有三个事情。但是你综合起来讲，其实就两个事情，第一事情我们将会学习不定积分的定义，

大家注意啊，这个定义必出题。啊，对于我们三九六同学，你发现定义必出题不定积分的定义，定积分定义都是重点，然后第二事情就是性质。那这个性质啊呃，在这个前几年过程当中啊，我们出题出的稍微的少一点，那么核心重点定义是个重点啊，这个内容啊是跟我们数一数二数三同学有区分度一点。那么，数一数二数三同学这个不定啊，这个不定积分定义啊，

出的稍微的少一点，但是对于我们而言的真题而言，你发现基本上每年一到。哎，这是要注意的，然后第三个事情其实就是不定积分的计算，那这块内容相当的重要，就算不定积分的计算不直接除。那么，在定积分的计算当中，也需要使用，所以说在这个每年过程当中啊呃，无论是数一数二数三，还是我们三九六同学，我都会组织这个不定积分的百题代刷。

所以今天过程当中啊，可能有很多同学是试听的同学，所以今天过程当中啊，我会这个。稍微的会控制一下，对吧啊？因为的话，你发现很多同学在这里面呃，少聊天好吧，同学们少聊天，我稍微的话进行去控制一下。因为在今天过程当中，我们是不定积分的第一次课程，我来讲一下，最近几天我们的课程的安排。

那么，在这里面当中，我们是这样。首先，第一天还有第二天，还有第三天，这三天啊，是我们的正课内容，哎，这是我们正课内容，然后紧接着过程当中啊，就是我们的五六天。五六天当中的话，你发现就是第四天，第五天，

第六天，第七天，第八天，还有最后的第九天，这几天过程当中啊，我们进行不定积分的刷题训练。那这个刷题训练呢呃，我们在今年过程当中啊，尤其是三九六，我们从今年呃这个板块内容当中啊，给同学们进行更改。呃，每天过程当中，我们都会有一定的不定积分的训练的题，有的时候一天过程当中可能是十道，

有些天的话过程当中有可能是20道。所以同学们，你听安排啊，听我们的这个不定积分的刷题的安排，因为我会根据不同的难度系数把它拆分成很多天。然后每天晚上的九点半，然后到十点钟我再进行直播，把这个部分的题啊，给同学们进行去讲一下，所以说我相信同学们注意这个部分内容呃，对你们而言。今年一定会把这个不定积分的训练做的非常到位，所以我觉得这个呃三九六同学，我们的第一期的这个不定积分的百题代刷，我希望同学们好好跟一下。

好了，同学们，那么接下来不多说了，我们就直入主题，先来看看不定期分的训练。呃，一会儿过程当中啊，我再说这个打卡的问题，哎，不要着急啊，我一会儿再说这个打卡问题好了，那么接下来我们就继续开始，我们来看看不定积分的这个。啊，内容那么在这里面当中，

首先第一件事情，我们先来继续学习不定积分的这个定义和性质，哎，这是我们在这里面当中啊，学习的第一个板块问题。不定积分的定义，那么在这种当中啊，首先第一件事情我们就面临一个问题，什么叫不定积分呢？对吧，不定积分是什么呢？那么所以说首先我们先来看看第一个点，我们先来讲讲第一个概念，叫做原函数。那么，

要想进行讲解，这个不定积分的定义啊，首先第一件事情我们就得从原函数开始讲起。那什么叫原函数呢？那么在这里面当中啊，我们先给出定义，他说如果你在一个区间上，在这个区间上什么情况呢？如果在这个区间上，你的导函数等于它。哎，我们来观察一下这个观念，他说什么情况，说你这个人对s求导就是他。你求导是他，

然后我就说什么情况，我就说这样的事情，我就说这个人呐，哎，就是发现这个人就是他的上级，我们就说。这个人为什么情况为小fs的一个原函数，大家注意一个事情，原函数的概念。那原函数什么概念呢？原函数要高一级。所以希望同学们注意，我们在考研过程当中，只要见到原函数，原函数就是高级，

原函数就是低的感觉。所以在这里面当中啊，我们来看几个事情，好好进行理解一下，比如说这里面当中啊，我们先来看看第一个例题。那么，在这里面当中，比如说我们写如果这个s in进行求导，就是cos，那这时候我就可以怎么说，我就可以这样说，我就说s in。这个东西就是cos in的什么一个原函数，你先听啊，

一会儿过程当中我再来解释这个事情，一个原函数。你看吧，你的导函数是它，你就是它的一个原函数，那么在这里面当中，比如说我们再来看，那么对于这个second的导函数它。它刚好是second，然后是tangent，那这时候我们怎么去说呢？我们就说这个second啊，就是什么情况就是。就是second题，然后再乘上tangent题的一个什么原函数。

所以像这个概念，我们考研过程当中啊，也是个重点，尤其是我们三九六同学，一定要在这些概念当中好好去学，原函数是什么？原函数就要高一些。对吧，你的导函数是它，你就是它的一个原函数，那么同学们，你再来进行去思考一下，我在这种当中注意条内容。那你琢磨一个问题，如果这个人的话，

你发现他的导函数是小fs。对吧，你的导函数是小fs，你这个人就是他的一个原函数，那么同学们琢磨一个问题，我加个c呢。我加个c的导函数是不是也是你呀？你看我加个常数c，我这个求导结果也是你啊，所以在这里面当中，我们就说这样的一个事情，我们就说如果这个人再加上个c。这个c是什么？c是一个常数，那这个东西呢？

就是为这个人的全体原函数。哎，全体原函数。所以同学们，你想想一个问题。原函数就在找什么事件，原函数就是跌的概念。对吧，跌的概念比它高一级，所以说找原函数就是找跌，谁对s求导是你啊，这是一个重点问题。然后第二事情你发现那全体原函数呢，就是全体的点，大家注意啊，

你没有什么话，你就不要进行去敲这个字儿好吧，好好听课。所以在这里面当中注意一个事情，原函数是什么？原函数就是da的概念，比它高一级好，这个事情我们就想清楚了。那么，接下来过程当中，我们就来看看呃，在这里面当中啊，我们先看个例题，先来看看三点一这个例题，你来看看这个题。

那这个题啊，他让我们去证明，那证明什么事情呢？证明这个人是这个人的一个原函数，那么同学们想想你证明这个人是他的原函数，就证明他是他爹呗。那么所以说同学们注意我们先来看第一个事情，你就会发现这个人是这个人的原函数，我们的核心重点就是来看。这个人的导函数是不是他吧？那么同学们告诉我事情，这个人的导函数刚好是谁啊？这函数的三大性质奇函数趋向零的时候，等价无穷s这个人的导函数就是后面分之一吧。如果你发现一个事情，

这个人的导函数是他，我们就可以说这个人是什么，就是这个人的一个原函数。那如果在这里面当中加个c呢，就是它的全体原函数能掌握清楚吧？好，这是我们讲的第一个事情，再来看第二个问题。那要想证明这个人是这个人的一个原函数，怎么去证明呢？来证明方法也非常简单，就证明这个人的导函数就是x分之一。那这个人求导的话，其实非常基础了，我们在第二章重点讲过这个人的导函数就是他。

如果这个人的导函数是它，那这个人就是这个人的一个原函数，哎，一个原函数，所以在这里面当中，如果把这个东西加个c呢？这个加个c就是这个人的什么加上这个c就是这个人的全体原函数。全体原函数就是它全体的老爹，能掌握清楚吗？好，这就是我们讲的这个第一个问题，所以将来只要在题目当中啊，你听清楚。他只要说这个人是这个人的原函数，我就立即反应这个人对s求导就是你。

那么，在这里面当中，我们介绍了原函数的概念，那什么叫不定积分呢？大家注意，不定积分是这个意思，我们把求解一个全。全体原函数的故事就叫做不定积分。哎，求解一个函数，全体原函数的事情就叫做不定积分，所以接下来过程当中啊，这一波内容好好听了。那么，首先我们先来看看第一个事情，

那么这里面当中我们是这样说的，我们说如果呀，这个大fs求导。是小fs。你听好了。大fs求导是小fs，这个过程是什么呢？这个过程是大fs对s进行求导。是小fx。没问题吧，大fs对s求导是小fs，那么接下来过程当中，我们就把这个过程呢？反着写，那怎么写呢？

那这个过程就是小fs对s进行积分就是大fs。那么，接下来过程当中，我们来写一下这个事情，它的操作就是这样。小fs对s积分，那这人结果就是大fs。当然，同学们都知道，如果给这个人进行加个c，你加个c进行求导也是他，所以说不定积分一定要加上个c。好了，那么接下来我们把这里面当中的过程呢？好好看看，

大家注意啊，那你也会发现通过这个过程你就理解了，这个不定积分到底在干嘛？其实就是个求导的反向过程，那么在这里面当中啊，我把几个事情我们跟同学们去注意一下，你看这里面当中啊，这个人叫什么呢？这人叫积分仙。好注意啊，叫积分线啊，有些同学的话写成这个线不对啊，不是线条的线是限制的，限是limit的意思。好，

这是这个事情积分线，然后接下来过程当中，我们再来看那这个小fs呢？这人叫被积分函数。啊，被积分函数好，这是我们讲的第二事情，然后接下来过程当中，我们再来看这个x这个x叫什么呢？s叫积分变量。哎，积分变量，然后这里面当中的大fs叫什么叫做原函数？原函数所以在这里面当中啊，你就掌握清楚这个过程了啊，

这个过程非常的重要，所以同学们你要听清楚这个事儿。其实你学东西啊，你要学到深刻一点，其实你只需要注意一号位置，二号位置。三号位置，三者之间的关系就行。你只要掌握清楚这三个位置之间的关系，什么事都出来了，那你想吧，你看。大fs。对s求导是小fs，小fs对s积分就是大fs，

所以同学们注意我们接下来过程当中啊，我们就来填空。你发现你想把这个基本问题啊，掌握清楚，就是这个两分题，有可能是四分题，我们有可能考一道选择题，有可能考两道选择题，你想把这个选择题掌握清楚，你就看这一页。非常简单，那么同学们其实就是这三个位置。哎，就这三个位置。这三个位置啊，

你把它掌握清楚就行，那么接下来过程当中啊，我们来填一下你，比如说举个例子，我们先来看第一个事儿。啊，我们先看第一个问题，那如果在这里面当中，你发现s in如果进行去求导，我就是cos吧。那所以说这个过程就是s in我对x求导，就是cos是不是这个事情，所以同学们注意我把这个过程反着填怎么填？就是cos对s积分，其实就是s in不定积分怎么办？

加上c。你要注意这三个位置之间的关系好了，同学们继续，我们再来看我们刚才过程当中的lns绝对值，它的导函数是多少是？是s分之一，我们先来想lns绝对值对s求导是x分之一，来反着写反着写就是。x分之一对s积分其实就是ln x绝对值加上c。能掌握清楚吗？它其实就是一个这样的过程，那么这三个位置啊，它其实就是一个逆运算的过程，哎，就是逆运算过程。

所以希望同学们一定要掌握清楚，你发现你看到的是小fs对s积分是大fs。我又看到是什么情况？我看到的是大fs=s求导是小fs。所以同学们嗯，没有话就好好听课，对吧？好好听课，那至于这个课表上的时间呢，你自己都能看得到哎，好好听课。好，这是我们在这里面当中啊，介绍的这个问题能想清楚吗？所以说这三个位置之间的关系啊，

你一定要把它想清楚。对吧，这三个位置，所以同学们想清楚一个问题，这三个位置到底是什么关系呢？就是这个关系就是。这个人对d后面的导函数是他，那这个人对d后面的进行积分就是他。能想清楚吗？不定积分，所以同学们注意啊，这个不定积分呢，其实就是这个导数的反向过程。哎，就是这个导数的反向过程问题，

好把这个事儿你要想清楚，只要你把这个事情想清楚，接下来过程当中啊，我们就可以做题了。好，我们来看看三点二这个题。来看一下这个题。那么这个题啊，你发现一个事情，我们现在还不会做不定积分。对吧，不会做不定积分，他说让我们去判断一下这个不定积分是否正确，我们现在还不会做，但是没有关系，

我也会判断。你要注意一个事情，积分的反向过程就是求导我们先看第一个人，那第一个人到底对不对呢？对不对？你就看。这个一号。对，这个二号进行求导，是不是这个人？对吧，所以说同学们注意一个事情，我们会求导，你就反着看，你就看看这个方向，

它到底对不对？好，我们先看第一个事情。你就来看看这个二分之一，然后是sin x方，然后对谁呢？对x求导是不是这个人？那么接下来求一下。那这个求导的话，你发现非常简单吧，先对中间变量求导，中间变量再求导是cos，所以说这个结果立即变成这样。你看这个事情非常简单，那这个人对is求导就是他，

那就对了呀，好，这是第一个人，那么接下来过程当中，我们再来看第二个人。那第二人对不对呢？我们还是反向看，我就看什么，我就看这个人对s进行求导，是不是他那么所以说在这里面当中我们来看？那这个x加上多少？加上个根号下x方加上一，那这个人呢？你这个人对x进行求导，就刚好是根号下x方加上一。

哎，这个人你发现也对。没问题吧？好，这是我们讲的第二人，那么接下来我们再来看第三个人，虽然这个题我不会做，但是这件事情的话，你发现你可以反着看。你就看这个人对s求导，是不是他好，我们一起来看，那这个部分就是fas这个人那求导呗。那怎么办呢？先对中间变量求导，

中间变量再求导，很明显一个事情，你漏了一个a，你在这里面当中啊，少了一个a，这就不对，因为这里面当中啊，应该是a倍的a。f撇as。能掌握清楚吗？所以啊，你如果今天过程当中具备了这个能力，我相信就非常好了，所以将来过程当中啊，你要注意。

如果这个积分是否成立，你不知道，你就看什么，你就看这个部分，这个部分，这个部分。三者之间的关系，把这个关系啊，想清楚你就继续去看，这里面当中的一的部分，对二的部分。求导是不是？你就看这个事情就行，如果你看不出来三对二的积分是不是一，你就看一对二的求导是不是三？

那求导总会吧，求导是个非常基础的内容好，这个事情我们就讲到这儿能听明白吧，掌握清楚给我回复一啊。这是我们讲的第一个问题，那么接下来过程当中啊，我们再来看看下面一个题。来再来瞅一下这个题。好，再来看这个题。那么他说了一个事情，他说什么？他说这个人的积分结果是他。对吧，积分结果是它结果，

让我们进行去求解，这个被积分函数。那怎么去求呢？你发现你对s积分是我那在这个题当中是不是就显然了？我只要能掌握住这个结构，我做这个题就非常非常容易，所以接下来过程当中啊，你就直接处理。怎么操作？直接来这个小fs，这个人其实就等于这个人对谁，这人对x求导就是你。所以接下来过程当中啊，直接写就是多少呢？一亿的sins这个人对谁求导，

对s求导，那么就求呗。先对中间变量求导，不变中间变量再求导是它，所以说本题就结束，你发现这个结果就等于多少一亿的三。然后是cos in。你看这个题啊，我们就立即处理了。所以希望同学们注意啊，如果一对二进行积分是三三对二，求导就是一，所以说在那个积分当中啊，看出三个人的位置之间的一个关系太正确了。只要你看到这个积分，

我就立即知道这三个位置之间的关系，我在操作的过程当中啊，就会变得非常的简单，好这个事情我们就讲到这儿。那么，接下来过程当中啊，我们就继续，我们再来看看下面一个题。那么同学们，你就去思考一下这个不定积分的计算到底是在干什么呀？我们已经掌握住了三个位置之间的关系啊，那么如果一个题的话，你发现我给你一个什么，我就给你了一个fs，我让你进行计算，

你告诉我个事情，这件事情到底在干什么呀？我在干这件事情，我在找什么？我在找谁？对s求导是我。是吧，我就在找谁对s求导数，那谁对s求导数这件事情不就是它的全体什么？原函数吗？是不是全体面函数？所以同学们注意一个事情，求解不定积分呢，就是来求解它的全体原函数的，我就在干这件事情，

哎呀谁？对s求导是你呢？就是大fs+c。是不是这个事情，所以说不定积分呢，一定要加c，其实我觉得这件事情数一数二数三，同学需要注意一点，我是三九六同学，你发现一个事你都不需要进行注意这个问题。为什么呢？因为我们考的题都是选择题，比如说有一天过程当中出了一道选择题，选择题当中你发现这有abcde。对吧？

cde五个选项。我一看选项哦，有c对吧？就提示了你哦，这个不定积分要加c，然后马上就想到哎，周老师上课讲过不定积分是一定要加c的。你看这个事情，所以同学们注意啊，这个事你得想清楚，因此啊，我在这里面当中，我再强调一遍，不定积分到底在干嘛呢？就在干这件事情，

找一个函数对s求导就是我。对s求导就是我，所以接下来过程当中啊，我们来做一些题啊，我们来看几个题，你来看看这些题啊，如何进行处理呢？我们来填一下表。来一起来填填。好，我们先来看看这里面当中的第一个人。要想进行计算，这个不定积分，大家注意啊，动脑去想，

你要思考这个事情，对吧？多动脑去想想。你看让我们进行计算，这个不定积分，我就在思考一个事情，哎，谁对s求导是你啊，那么在这里面当中啊，马上就出来了。哎，就是四分之一x四次方，然后加上c。是不是这个事情，所以说就在找谁对s求导数就是它的全体什么原函数好，

我们再来看第二事情哎，你发现这个积分是多少？那谁对s求导是你不是lns是lns的什么绝对值？哎，我们都知道lns绝对值的导函数就是你。好，我们再看下面这个人，这个补丁积分等于多少呢？谁的s收到是他a的s？但是a的s求导的时候，你发现是a的s love na，所以说这个love na我要把它干掉，那就乘上love na分之一。所以接下来过程当中啊，不定积分加c。

能想清楚吗？好，我们再来看下面这个人，哎，这个人的积分就是谁对s求导是你呢？es求导刚好是你。不定积分加上c好，再看下面这个人三的不定积分是多少呢？谁对s求导是三呀？我们知道。cos求导是s in，但是cos求导是负s in，所以说这块要加个符号。那么，接下来我们再来看第六个人，

那么求解cos的积分就是like求解谁对s求导是cos啊？很明显，一个事情就是s in。不定积分加上c，你看这个事情理解了吗？所以首先第一件事情，你要知道一个事儿，这个不定积分计算到底在干嘛呀，我再找一个函数，谁对s求导说？就是来找它的全体原函数。你看这个事情，所以希望同学们注意啊，多动脑筋去想你，多想一想这个东西啊，

速度就会上来了，好这个事情我们就讲到这儿，那么接下来我们再来看看下面几个题。好，再来看看下面几个问题。那么再来看第七个人。要想求解这个人的不定积分，其实就在干这件事情，谁对s求导是你啊？哎，我们都知道一个事情，这人结果就是tangent不定积分，加上c。是不是这个事儿好？这是我们讲的第七个人，

那么接下来我们再来看看第八个人。那这个人的不定积分就是谁对s求导是你啊，我们都知道quantum t的求导是你。但是quantity这个人进行求导的时候是负的，所以说要加上一个负号负负得正刚刚好好，那么接下来我们再来看第九个人。这个人的不定积分就是谁对s求导是你啊，我们都知道second这个人求导是你不定积分加上c。好，我们再来看第十个人，那第十个人这个不定积分，谁对s求导是你啊，我们都知道cosine的d求导是它。但是cos in ct求导有个负号，因此这个人是负的。

cos in cts+c好，这是这几个人。能想清楚吗？哎，基本问题再来看下面几个题，再看第11个人。那第11个人的话，你发现求解这个不定定积分，我就要去想谁对s求导是你啊，哎，马上可以看出来这个东西是谁呢？不就是阿克塞因吗？不定积分加c。好，再看这个人谁对s求导是你啊，

我马上就会想到arctangent不定积分加c。好，再来看看最后两个人啊，最后两个人也非常简单，你像这个人呢，谁的x求导是你很明显就是x加上多少？根号下x方加上a方，我们讲过这人求导就是这个人分之一，加上c，然后再看最后一个人。那最后一个人的话，你发现谁求导是它就是is加上根号下s方减a方，然后加上c，但这地方当中你要注意一个问题啊。小心一个事情，

就是在这里面当中，这个结果是不是有可能是负的？为什么呢？因为你发现一个事情，这个结果是比前面小的。它是在x方的基础上少了一点点，所以说这个结果有可能比前面小，因此啊，这块加个绝对值。上面这个人永远是正的，为什么呢？因为你发现看这个人永远比他大，所以说无论怎么样，这个人加起来的结果都是正的。因此啊，

这块儿不用加绝对值。所以同学们想想一个事情，这张表就是刚才所做的这些计算题，你其实都在想一个事儿，你都在想件什么事情呢？就是我们要进行计算这个fs的不定积分。都在思考这样一件事情。谁对s求导数我呀？你在构建这样的一个原函数的事情，所以因此你发现你要学习这个不定积分呐，这个导数表是不是一个基础啊？你的导数表是个基础，你像刚才过程当中我们讲的这个事情就在我们讲义当中的，这张导数表你是不是要记住？所以以前过程当中啊，

我从来不担心说这个导数表记不过。但是有些同学仍然记不住，你如果导数表记不住，你发现一个事情在积分表里面当中好多东西啊，你就非常难想。所以首先第一件事情，这个导数表是不是一定要注意怎么办？熟记于心啊。哎，一定要记，所以下去过程当中啊，几张表呢，第一事情八+6个等价无穷小公式，第二事情八个泰勒公式。导数表积分表把它给我贴到你的床头，

对吧？贴到床头天天进行去看看，天天去想想这些事情都是你的基础运算能力。好，这个事情我们就讲到这过去了，可以吗？好，那么接下来我们再来看个题这个题啊，是我们的考研真题哦。呃，这个题是我们在最近两年的过程当中啊的考研真题，你来看看这个题怎么做？这题出的非常非常好。但是同学们难度系数不大。那么，

首先第一件事情，他说了一个事儿，他说这俩人都是他的原函数，那同学们想想一个事情都是你的原函数，这都是爹吧？对吧，这是跌一号，这是跌二号都是跌，所以说从题目条件信息当中，马上知道你的导函数等于小fs。你的导函数怎么办？也等于小fs。能想清楚吧，哎，你要注意一个事情，

都是它啊，这个导函数是它哎，导函数结果是它，所以这就是我们在这个题当中啊，得到的题目条件信息。那么，接下来过程当中，我们再来看看他说，下列当中不正确的是。那这个题啊，如果你正着不会看，你就反着看对吧？你就反着看，我们先来看看a选项。那a选项不就是看什么？

就是看这个人。对s求导，是不是小fs？所以在这里面当中啊，你就把这个东西啊进行求个导，三分之大fs加上两倍的这个gs。然后进行求导，那么这个系数是不是抛出去了三分之一，然后第一个人进行求导小fs，然后是两倍的求导小fs？那这人就是小fs哎a选项没有问题。能学会吗？好，这是这个事情，那么接下来过程当中，

我们再看b选项，b选项就简单了，那这个人对s求导就是你，所以说b选项正确。那么，接下来过程当中，我们再看c选项，那c选项就看什么呢？就看这个部分的东西，然后对x求导，是不是你？所以说接下来过程当中，我们就求一下，只是二分之小fs加上多少gs，然后接下来进行求导，

它的结果是多少？就是二分之这个求导是？小fs，然后这个人求导呢，又是小fs，刚刚好是小fs，没有问题c也对。所以说这个题当中啊，你发现AB啊c都是非常简单的，我们再来看看d选项，那d选项的过程当中不就是看。这个人怎么办？对is求导是不是你嘛？然后接下来过程当中，我们来看看d选项，

那其实就是这里面当中的大fs。然后再加上这里面当中的大js，然后进行求导，那这个求导呢，你发现诶，这个求导是小fs。这个求导是小fs，因此是什么两倍的小fs？但是这里面当中只有一倍的，它不对答案选b。能掌握清楚吗？你发现非常好做。就是你只要理解清楚这个不定积分的这个结构，这个至高理解，我相信接下来过程当中你处理这些问题啊，

难度系数都不大。所以希望同学们下去过程当中好好想想，那么在这里面当中啊，我们就把它总结一下什么是不定积分的至高理解呢？好，我们来看看最后一个事情。你学会了，当然不难。你要是没有这个至高理解，你再去做做，你就会马上的话，你发现当场就疯掉了。所以不要飘，对吧？我一直跟你讲，

你学会的东西，你就好好学。东西都是这样，会的东西都不会难的。不会的东西，你发现一个事情再简单，这个部分也很难。所以好好学啊，好了，那么接下来我们再来看看下面一个事情不定积分，这个至高理解哎，这个至高理解。什么是不定积分的至高理解呢？我们当拿到一道不定积分的时候，你要注意这三个位置。

哎，这三个位置。这三个位置啊，你发现它们之间是这个关系，就说如果在这里面当中，你发现甲对这个乙进行积分是丙。那么这个时候你发现你所看到的至高理解，其实就是这个丙，然后对什么对这个乙求导就是讲。要抓住这三个位置，就是你发现一个事儿，你把这个东西的位置关系，把它想清楚，就这三个位置，如果这是个假。

然后这是乙，这是丙甲对乙进行积分，是丙丙对乙进行求导，就是甲。哎，这个丙对乙进行求导就是这样，这个位置关系啊，一定要把它想清楚，所以在考试过程当中啊，就会出现两类考题。我们先来看看第一类考题。如果在考试过程当中，你发现我如果已知的是f撇儿，我能干嘛呀？大家注意，

我们想想这个东西怎么来的？这个东西是小fs对s进行求导是不来的。是不是这个东西那么这个时候你发现你对s积分是不是就是它，所以说我立即就可以求出小fs，我就让这个导函数。直接对s积分好，我先不加c了，一会儿等你进行去求完了之后再加。对吧，一会儿过程当中啊，等你把它激出来之后我再来讲，所以希望同学们注意啊，知道导函数。求它的原函数就直接让导函数对s进行积分就行。这个事情没问题吧？

知道导函数求出原函数知道f撇s求出fs对s求导对s积分。把这个事情养成定时思维能力。那么，同学们注意，我们在考研过程当中啊，还会出这种题。那如果一个事情我知道的是f撇框呢？我们来看看这个人，我知道f撇儿框，那么接下来过程当中，我们去思考一下什么东西叫f撇儿框啊？f撇框是什么意思啊？f撇框非常简单，就是f框这个人对谁进行求导的结果。对框进行求导的结果。

你看吧，你对框进行求导是我，我对框进行积分是不是就是你？所以同学们注意知道f撇框，我就能求出f框，你对框进行求导，我就对框进行积分。能掌握清楚吧，把这个事情记死。知道f撇s，求出fs=s，求导等于s，积分知道f撇框，立即求出f框。对框进行求导，

对框进行积分掌握清楚，没注意啊，这两种考题啊，是考研当中啊，喜欢出的一类问题，所以下去过程当中好好想想。这就是不定积分的至高理解，就是你抓住这三个位置之间的关系。那接下来过程当中，处理问题就非常简单了，所以希望同学们下去过程当中啊，好好看一看哎，把这个事情想清楚你，比如说举个例子。就算我们刚才讲的这个非常非常简单的这个题，

比如说三点三这个题。你像我们进行去做的时候，我们就直接写，显然他是这个人。你可能看到一些书籍里面当中啊，他就说两边同时求导怎么样，看起来稍微的麻烦，只要你能掌握住这个东西的至高理解，你就掌握住了一种切入性的思维方式。将来做就非常简单了，大家知道这个东西绝对是最简单的。好，那么接下来我们就继续吧，我们再来看一种题，再来看看下面这个题，

三点六这个题。好，这个题啊，经典题。那么，首先第一件事情，我们先来分析一下，你看这个题怎么操作？这个题的话，你发现他给了一个什么情况，给了一个f撇框吧，然后我们去求解fs。那这个题目我怎么去处理呢？那么首先我们可以走第一个思路，我们先来看看方法一。

你想一个事情，这个东西是不是就是给了f撇框啊？当我知道f撇儿框的时候，我可以对谁啊？我可以立即对框进行积分，我对框进行积分就得到了f框。对吧，我知道f撇框，我就对框积分，我就得到这个人，那同学们想想一个事情，知道这个人。求解这个人怎么去求啊？那这个东西是不是这个东西的复合函数？知道复合函数求解，

原来函数您就做代换就行lin lo e ns=t。那这时候一代换就出来了，所以接下来过程当中啊，我们来看看这个题目来解吧。那么，首先第一件事情知道f撇框立即求出f框。那么，在这里面当中，我对框进行求导，我就立即对这个框进行积分，这个事情能听懂吗？好，那么接下来我们就继续，我们再来看。你就可以把这个东西给塞进来了，

这是一+s。然后接下来过程当中，你给我看看这一项，这是什么玩意儿？第一个函数是什么玩意儿？这什么东西啊？哎，这就是微分。微分是什么呢？微分就是导函数，再补上dx，所以说在这里面当中求导求导就是s分之一，在dx。那么所以说接下来过程当中，你就可以把它整理了，

就变成了s分之一加上一，然后ds。那所以说接下来过程当中啊，我们就来看看这个事情，你发现这个积分结果等于多少？那积分呗，谁对s求导是你啊？应该是lns绝对值吧？这刚做的，但是同学们都知道，只要写了loins s肯定大于零，不用加绝对值，直接是它谁的s求导是你啊x不定积分加上c。这个事情能想清楚吗？所以我们在做的过程当中啊，

就去想哎，谁对s求导是你啊，把这个事情想清楚。好，那么这个时候你发现我就得到了一个复合函数。我知道这个复合函数了之后怎么办？我就可以做代换了，对吧？我就知道这个复合函数我做代换，我连lns=t。那这个时候你发现s就等于多少e的t马上就可以写出来，那这里面当中的ft就等于多少就等于t+e的t+c。那么，最后再来一件事情，一个函数的结果跟自变量字母的选取没有任何关系。

本题结束。大家注意啊，这个最后这三行啊，这应该是个高中内容。知道复合函数，求出原来函数，我就做变量代换，我这个变量代换，你直接换一下，这东西就出来了。好了，同学们掌握清楚给我回复一吧，哎，这是个基本问题，我觉得不太难啊。

掌握清楚了吗？啊，思维方式得有哎，这是一个事情，但是同学们注意我还有没有思路呢？我觉得还有好，我们再来看一下这个事情。那么，在之前过程当中，我还讲过一个问题。同学们，想想一个事情，就是这个人。和这个人之间什么关系啊？这俩人什么关系啊？

我说过这个问题啊。那这两人的话，你发现个事儿，就这个部分的东西。对吧，就这个部分的东西，这俩东西其实是个对应法则，你如果把f撇这个东西看成这个j，那就是j ln。然后这是多少？它就是js。所以说这个结果的话，你发现两者之间啊，也是个复合函数关系，那么既然是复合函数关系的话，

那么接下来我还可以走第二条路线。什么路线呢？我就在这里面当中，你发现这是复合函数，知道复合函数我就在这里面当中做变量代换。我变量代换代完了之后的话，我就得到了f撇s。我知道导函数，我去求解出来，这个原函数求解出来，原函数的话，你发现直接对x进行积分就行。是不一样的，所以说两件事情就是一个是先机，再换一个是先换了再机，

两个事情的思维方式是一样的。好了，这个事我们就讲到这呃，刚才有个同学问为什么d是他，你可能之前的课是不是没有听呐啊？我刚才过程当中啊，讲的时候一定要注意好好听课。你不要过滤型的，听我的话，我都说了那个东西是个微分，你如果这个东西没掌握清楚，不是第二章没有学好啊，注意一下这个问题啊。好了，那么接下来我们继续，

我们再来看看这个题怎么操作好，可以处理了，当我们知道这个复合函数。我就可以做一个变量代换，则什么情况我就令令这里面当中的lns就等于t。那这个时候你发现一个事情s，是不是就等于e的t？这是高中内容啊，哎，高中内容，这是个复合函数。然后代进去就是f撇t，然后是一+1的t最后一个事情函数的结果跟。自变量字母的选取没有关系好，这个事情第一趴就做完了，

把这个导函数写出来，导函数知道了之后，你发现求原函数呢？原来函数的话，知道f撇s求出fs就对x进行积分，跟得上吗？我知道f撇s，我求出fs，那么在这里面当中直接就是对一+s对s积分，你去想谁对s求导是你s谁对s求导是你。es不定积分加上c。你看这个题啊，立即出来了，所以同学们注意这两种切入性思维方式啊，第一种第二种都是可以的。

你无论是走哪条路线，你都能把这个东西啊求出来。呃，这也是一种非常经典的考题啊，所以我希望同学们下去过程当中，你好好想想对吧，这种题目我们在考研过程当中也会重点涉及的。好，这个第一个事情我们就讲到这。所以你发现学了半天呢，其实学了几个事情呢，第一事情我们学了什么叫原函数？第二事情我们讲了不定积分到底是怎么定义的，第三个事情我们学了不定积分的至高理解。我们就看到一个不定积分的时候，

别人只看到一个表面，你就看的是非常非常的深入。你就能掌握清楚，在这里面当中啊，三个东西位置之间的关系。对吧，这个东西你要想清楚。嗯，第二种跳过微分。微分是一个很难的东西嘛。跳过它也不是说把这个题就变简单了，微分是一个多简单的内容，微分就是导函数后面补上ds嘛。那第二章过程当中，我们讲了那么久，

我们讲微分的定义，微分的计算，微分的几何意义啊？下去过程当中好好看看。微分微分积分积分微积分的核心内容好，这个事情我们就讲到这儿，那么接下来过程当中啊，我们再来看一个问题。原函数的存在性啊。那么，接下来过程当中啊，我们就继续，我们再来看下一个问题。啊，原函数的存在性。

啊，原函数。那原函数的存在性是什么呢？原函数存在性啊，其实就是不定积分的存在性。不定积分的存在性，就说如果说这个人的原函数存不存在他说的是这个人的不定积分存不存在？你下去过程当中好好想想，你们觉得节奏快吗？我不是在控制这个节奏，你觉得这个东西快吗？它就几个问题，有些同学觉得这个东西学的是新内容啊。你得大脑的话，得疯狂运转起来。

对吧，疯狂运转起来好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。那么，求解这个人的原函数存在性，核心重点就是求解什么？求解这个不定积分的存在性，那么在接下来过程当中啊，我们来看看这个重点问题。好好听，那么在这里面当中啊，有一个定理内容，他这样说的，如果这个人的被积分函数连续。

那么，这个人的原函数啊，一定是存在的。哎，大家注意啊，被积分函数是连续的，原函数一定是存在的。这条内容我今天给不了证明啊，给不了，因为今天过程当中没法证明，但是同学们，你把这个问题点记到这儿。等我们讲到下一章变现函数的时候，这个东西啊，不攻自破，

我只需要点一下这个内容就出来了。所以同学们，你要清楚，只要这个被积分函数是连续的，那么这个人的原函数啊，就一定会是存在的。没问题吧？好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面的事情，那么同学们琢磨一下，哎，我们来分析一个例子。比如说你来看看这个人。那这个人的原函数存不存在？

你来看这个人。存不存在好，我们先看第一个事情，这个被积分函数是什么连续的吗？哎，被积分函数是连续的。它本来就连续的，因为这个初等函数在定义域范围内都连续应该叫定义区间内都连续那定义区间内都连续的话，你发现它定义区间是负无穷到正无穷。连续的因为被积分函数连续，大家注意啊，这个人的原函数就是他的不定积分，原函数一定是存在的。那一定是存在的，但是同学们这里面当中有一个问题点。

你看吧，这个人是初等函数吧？哎，初等函数，但是有一个问题点。一个初等函数。它的原函数却不一定是初等函数。就说你发现这个人的原函数存不存在存在，但是又一个问题，一个初等函数，它的原函数呢？这个人的原函数不一定是初等函数，他就是。它的原函数就不是初等函数，同学们想想一个问题。

你不是初等函数，如果它是一个表达式，你能写的出来吗？能不能写得出来？一般情况下，你不是初等函数，是不是写不出来了？那同学们想想一个事情，这个人是初等函数。而初等函数的原函数却不一定是初等函数，那这个时候你发现个事儿，这人就写不出来了。那写不出来，在我们的实际生活当中。或者是我们在这个考研的过程当中，

它就没有意义啊。你虽然有原函数，我也知道是有的，但是你写不出来，它没有这个解析解，它有可能只有数值解。啊，就是你发现输到matlab里面，你输进去一个，他可能给你一个输，但是你发现解析解写不出来。所以说jdm当中就会出现问题了，接下来过程当中啊，我们就来看看第二事情。一个被积分函数连续原函数一定会存在。

但是你发现一个初等函数的原函数呢，却不一定是初等函数呢。哎，一个初等函数的原函数却不一定是初等函数。你这个人的原函数不一定是初等函数写不出来，写不出来，我就当做成你是不存在的。同学们，能听懂我的意思吗？其实你发现这个原函数呢，因为写不出来。写不出来，我怎么办？我把你看作成。我就把这个人看作成什么，

看作成不存在哎，大家注意一个事情啊，你要想清楚这个问题。其实你发现原函数是存在的。但是原函数却不是初等函数的，写不出来，我看作成不存在，所以同学们注意啊，你要记清楚这两件事儿。第一件事情被积分函数是连续的，原函数一定存在，但是初等函数的原函数呢，却不一定是初等函数了。那么像这些人呢？考研当中有五个人贼喜欢考，

你记住这五个人，你将来过程当中啊，你见到这些人一定要注意五大恶人。第一人是它。它的原函数存不存在？它的原函数是存在的，但是呢，却不是初等函数表达不出来。呃，你无法判断，你判断不了。你没办法判断，所以同学们注意，你就记住几个常见的就行好，这是这个事情，

那么接下来过程当中啊，我们再来看。一的负x方，这个人也是。哎，这个人也是被积分函数连续原函数呢存在。原而存在，但是你发现原函数却不一定是初等函数的，你写不出来好，这是这个事情，然后紧接着你发现还有x分之三。还有x分之cos in。还有什么is分之tangent或者是lns分之一，记住这几个人哎，这几个人呢，

你发现一个事情是常见的，不可记的形式。哎，这几个人呢，是常见的不可及，所以说我相信同学们注意你今天过程当中啊，你再回到这个讲义上，这段话我相信你就理解清楚了。就说什么情况呢？你发现初等函数的原函数不一定是初等函数，请你记住这几个人。对吧，记住这几个人，这几个人的原函数应该是存在的，但是不能用初等函数表示，

所以说在考研当中啊，我们认为成这些积分呢是。是不能及的考研，贼喜欢考这个人。喜欢考这几个人呢，你要注意他是记不出来的。好，这个事儿掌握清楚，给我回复一。所以说两条内容被积分函数连续原函数一定存在。但是第二事情，一个初等函数，它的原函数呢，却不一定是初等函数。不一定是初等函数。

那么，尤其是这几个人呢？非常的重要，你要把它记住。好了，这个事情我们就讲到这儿哎，你要注意啊，这个机啊不可机，这是假的，不可机。啊，假的什么？不存在，它不是真的不存在，它是假的，

不存在好这个事儿，我们就掌握到了。哎呀，在这里面当中啊，你发现个事情。你就把这个东这个东西这个s分之tangent和x分之多少sin cos这俩东西不是一样的吗？这类似的，你把这个东西补上去不就行了吗？我刚才不是说了吗？s分之sines分之cosines分之tangent，再加上这个人。好了，这是这个事情，不要轴啊啊，千万不要轴。

那这个东西不能积，怎么考？你后面再说啊，后面再说，所以同学们注意啊，这是贼喜欢考的，尤其是在定积分。定积分非常喜欢考，你发现我看到这个人积不出来，那积不出来先不要动，不要动的话，另外一个积分我再操作操作操作诶，这个人又出来了，两个人就约掉了。他可能会出这种题，

你要注意啊，这种人记不出来。所以你发现呃，有些同学啊，你碰到了一些这个。呃，碰到一些你的同学或者是你的一些研友，真的是非常坏啊，这些人真的非常坏，有一天过程当中啊，有同学还来坏我，对吧啊？我连这都看不出来，你说我怎么去讲这个事情？有的同学的话，

你发现出了一个这样的题。出了一个什么样的题呢？出了一个sines的积分，问你怎么积？啊哈，然后你发现他把这个题啊给了你。你想想一个事情，这个题啊，我现在看不出来，但是你发现我操作一下，我在这里面当中怎么办呢？这是sines吧，我给你上下同时乘上es。我同时乘上es了之后的话，你发现你看到这个部分吗？

大家都知道des就是微分，就是es ds。所以说你发现个事，这个结果其实就是sine ses des。如果你把这个es作为一个换元，它就变成了sint比上t，然后dt。你想想一个事情，你觉得这个分你能算出来吗？大家注意啊，你要是把这个分算出来，你就不要考研了。你就是微积分历史当中的第三人牛顿莱布尼斯，你哎，你要注意一下这个事情，

你就非常牛了。大家注意啊，这是记不出来的。不要说你手酸，你放到计算机里面当中，未必都能算出来。所以大家注意啊，你发现这人就非常骗人，你想想一个事情，我写成这个样子。我写成这样子，骗不了人呐，因为骗人写成这个样子，大家都能认出来，这就是五大恶人激不出来，

但是你发现一个事情，这人很贼他。他把它写成这样子，写成这样子了，之后的话，你发现你看不出来。对吧，你就没有看出来这个东西是五大恶人，所以在这里面当中不知道不知道，以为在这里面当中积呢，很多人说什么分步计分法换元法。第二类换元法等等一系列问题的话，你发现在那做做做哎，这个事情啊。哪有诺贝尔奖啊？

数学当中那个奖叫菲尔兹奖啊，别别别这样啊，常识啊，常识好了，这是这个事情啊，不要坏哦。啊，有些同学今天晚上听了课程了之后啊，把这个东西啊就扔给别的同学了，对吧？扔给到你的研友了啊，这个事儿我们就讲到这儿。好了，这个事情我们就说到这，能听懂我的意思吗？

哎，这是我们讲的一个基本问题。所以下去过程当中啊，你要注意这个事情，那么接下来过程当中啊，我们再来看看下面一个问题，再来讲，讲不定积分的性质性问题。好，再来看看考点四不定积分的性质。那不定积分有几个性质呢？我们在这里面当中啊，我们重点介绍两个性质，我们先来看看第一个性质，它的名字叫什么？

叫线性，运算性质。哎，线性运算那什么样意思呢？就说如果在这里面当中，你发现有个系数。有系数我就提出去。然后第二个事情呢，加减法我就拆开。线性运算有系数，我可以提出去加减法，我们就拆开，但同学们注意一个问题啊，请问有没有乘法呀？乘法的积分就等于积分的乘法有没有？

啊，同学们告诉我有没有这个人？大家注意啊，有了你就牛逼了，哎，注意啊，有了你就牛逼了，那你想想一个事情，如果有啊，你就在这个不定积分当中画上。具有历史性的当中的一笔，我们现在也不会学这个积分，我还进行这个接近十天的过程当中的不定积分训练呢，我都不用了。那么，

将来过程当中，比如说你出一个题来，恶心死我吧，来快点，那么这里面当中，比如说只是a的s，然后在这里面当中。那你想一个事情，如果有这个人呢？你发现你就这样一级这一级这一级这一级这一级这一级一×1除就出来了，那我在这里面当中学什么不定积分呢？对吧，我学什么分布积分法呀？你把分布积分法都灭掉了。就没有分步积分法了，

你想想我们算一个这个简单的东西，我们都还要怎么办？分步积分法放到后面去，分步积分那如果有这个东西，你就你一级你一级不就出来了吗？那在这里面当中，你发现我们还在这学什么呀？还十天呢，只需要半天半天不定积分就过去了，所以同学们注意啊，没有这个公式。你可以在这里面当中，你要注意一个事情，你可以进行去推的，怎么进行推呢？

你就看看这个后面这个人东西进行对s求导，是不是你？那很明显一个事情，这个东西不是注意哦，没有乘除法，只有加减法，因此人家在这里面当中讲的是什么？线性运算性质。加减法可以拆开，有系数可以提出去，如果是乘法，你要注意，你得选别的方法了，好这个事情我们就讲到这儿，这是我们讲的第一个问题。

过去了，可以吗？来那么接下来过程当中啊，我们再来思考。好继续思考。那么，刚才过程当中啊，我们讲过这样的一个问题。同学们，给我琢磨一下这个积分等于多少？哎，脑子活跃一点啊，就想到这个不定积分定义。这个结果等于多少？那你就要去想哎，

谁对s求导是你啊？谁啊？大fs。加c是不是这个事情？那就是大fs+c啊，谁都s求导是你啊，就是大fs+c。那么，在这里面当中，我们来看看这个事情诶，接下来过程当中，我们做一个恒等变形，有没有看到这个人呢？哎，我看到这个人。

那这个人的话，你发现一个事情，这个f导dx。你发现一个导数ds，它不就等于多少d fx吗？不就是这个人的微分吗？微分就是多少呢？微分就是导函数在ds哦，原来这两者东西是横相等的，那既然相等的话，你发现我就把这个东西进行变形一下。变形一下，是不是就变成了这样子啊？那这个式子还是成立的，有没有问题啊？

我没有干嘛啊，我就做了一个恒等变形。红灯变形，这俩东西啊，也是成立的。是不是成立的那么，所以说同学们注意我们来看看第二式子，研究一下它来把这东西啊，做重点研究。大家有没有发现一个事情，这个东西当中第一个符号叫什么？叫积分号。第二符号叫什么号？叫微分号积分微分积分微分微积分，这俩符号像不像就约掉了？

像不像你发现这俩符号碰起来约掉了，最后留下了一个它像不像？很像大家注意啊，这不是个偶然，这件事情是个必然。对这两个东西碰到一起，就像消消乐一样。所以同学们注意一个事情，将来过程当中，我们做这个题就贼简单了，你好好听我这波总结，将来你碰到这种题就是秒。很多同学特别不喜欢做这种题，你发现一个事情很不喜欢做这种概念性的题，你比如说这种题。

有些东西见到就疯了，你接下来过程当中好好听，像这种类型问题啊，非常非常的简单，贼容易好听总结。那么，在这里面当中，我们来看看上面这个事情。我们在这种当中，我们就学会了一个非常重要的内容，叫什么内容呢？就是不定积分和微分在某种程度上互为什么东西啊？互为逆运算的问题。哎，就说这个不定积分。

和这个什么东西呢？和这个微分在某种程度上互为什么逆运算反问题的问题，所以说接下来过程当中啊，我们来看看这个事情。看一个考点，那这个内容就是这样，如果将来这两者相碰，或者这两者相碰。积分微分微分积分，这两者东西都可以约掉，没有问题，但是同学们注意一个事情。如果是积分号在前，积分是不是要加c啊？所以说不定积分是一定要加c的。

但是d在前就是求导的主旨，微分嘛，微分的核心是求导，那求导一个常数，求导是零啊，所以同学们注意这个后面。不加c能掌握清楚吗？好，这样的一个基本问题，所以说这两件事情必须要想清楚。就是不定积分和微分在某种程度上互为什么逆运算？哎，这样的一个类型问题，所以下去过程当中啊，你要想清楚，

就是这个不定积分。和这个v分互为什么情况？逆运算问题。你把这个事情掌握清楚啊，将来过程当中啊，你做很多类型问题就非常简单了，哎，这两者东西啊，互为逆运算。其实同学们，你发现个事儿，我们都是从这个符号的这个角度进行去切入。他这个东西进行去定义这些内容啊，非常非常的有意思，我们来做几个题可以吗？

我来找几个题，我们来做做呃，虽然说话是这个数一数二数三同学真题，我说这几个题啊，对于数一数二数三同学，接下来过程当中啊，不会考的。但是你发现啊，有可能就会考给我们，就算考原题都有可能，大家注意啊，不用进行抄题，我们来灭几个人。好，我们来看看这几个题。

来做这几个题。看这几个人。这几个题啊，出成我们的原题都没有任何问题呃，我们一个个看吧，我们先看第一个人吧。第一人选几？看第一个人。他说什么情况？说这个。小fx。它的导函数是c。对吧，导函数13。哈哈，

完了完了，肺完了啊，肺完了好了，别做了，别做了，停停别做了，别做了，哎，你会发现你会疯掉的。那么，接下来过程当中啊，我们来看看这个事情。你发现这个人的导函数是他。对吧，这个人导函数是他那么同学们想想一个事情，

那这个人不就是他的原函数吗？那这个谁求导是它很明显是负的cos+c。那求导没有问题，有的人说哎呀，选d大家注意一个事情，人家不是这样问的，那这个人只是他的爹吧？人家问的是小fs，有一个原函数为人家问的是小fs的原函数是谁，人家问的是谁，问的是他爹。是他爹的爹，人家问的是这个人。问的是他爷。所以同学们注意一个事情啊，

不是让你去求爹，人家让你去求爷，那么这个爷等于多少呢？那么接下来我们来看看这个事儿。所以在这里面当中啊，你发现第一个事儿，我就把这个东西记成多少，我把这块儿写个c1，那你想一个事情，谁求到是它？负的s in求导刚好是它，然后是c1s求导是它，然后再加上c2。没问题吧，所以说在这里面当中，

你给c1和c2附上一个长值，就得到这个结果，但是无论怎么样，这个s in必须都是负s in。负c负c答案选。几选b？你看这个题骗子题啊，骗子题你就是发现一个事情，语文能力。对吧，语文能力你稍微进去去读一下，这个题不要草率啊，不要草率人家在这里面当中问的什么说他。它的导函数是它。对吧，

那他爹肯定是这个人。但是人家问的是什么他爹的爹，那应该是问他是他爷，人家问的是这个人有一个原函数是谁？好，这个内容一定要注意哦。那么，接下来我们再来看看下面一个问题，能想清楚吧？哎，下去过程当中好好进行处理一下，所以说这个部分问题难度不大啊。对吧，谁进行求导时是个sine呢？负cosine+c一。

那谁求到又是这个人呢？负三+CS加上他，人家问的是什么？问的是这个人的原函数就是他的点。好，这个题啊，我们就讲到这儿再来看下面一个题吧，九零年这个题好，再看下面这个题，这个题选几啊？看这个题秒了没？俩人直接约吧，直接约就留下他，哎，直接约留下他。

所以说你发现一个事情，这一题就出来了，不用加c，直接选b啊，好这个题啊，我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们再来看看。一九八九年这个题。好，再看下面这个题。上面这个很简单啊，来再看下面这个人，你注意啊，约的时候你要想清楚，

这俩东西一约留下的所有人不要选a了啊。好，再看下面这个题啊，你说下面这题选a是吗？好，再看这个题。那么，首先我们先看第一个问题，这种当中比较好选的应该是CD选项，你看这个人这俩东西约掉了，但是留下他要加c，没有加c不对。然后接下来再看d选项，这俩东西约留下这人ds它不对。然后再来看b。

b的话，你发现一个事情，他的这个人的原函数是谁呀？原函数是小fs+c吧？是小fs对它进行求导时它。哎，所以说在这里面当中啊，缺了一个这个人，那么接下来过程当中，我们来看看a选项，其实你发现a选项非常简单，他这个人其实就是你可以这样写。然后再ds大家有没有发现这俩东西约掉了，不用加c，然后这俩东西是不是又约掉了，

最后结果是多少？小fs答案选几啊选a。这是从符号角度上讲，那么接下来过程当中，我们再来看看从这个什么内容角度上讲，同学们想想请问。这玩意儿是谁呀？啊，这个玩意儿，谁这个玩意儿就是小fs的全体原函数，它所有的跌，所以同学们注意啊，这就是它跌的集何？全体原函数比它高一级的所有的人。那这个人的原函数的话，

再求导的原函数再求导不就是他吗？能想清楚吗？你发现这个人的不定积分就是大fs，加c就是他所有的原函数，那所有原函数再求个导呢，你再求个导不就是他吗？所以说理解一下这个东西也能转出来，对吧？两个方向性都行好，这个题掌握清楚了没？哎，我希望同学们过程当中啊，把这个理清楚，你看这就是我们讲的这个不定积分的定义问题。你要能掌握到这个水平呢，

我觉得我们今年过程当中，考研过程当中，那道不定积分的这种定义或者性质的题啊，你一定是能拿下来的。行吧，同学们好了，我们稍微休息会儿，我们在下课休息的过程当中啊，你去完成一下三点七这个题好同学们哎，这是这个事情。呃，积分加c就是你要积分了就加c不定积分加c嘛。因为积分了之后的话，就要求解它的全体原函数。你能理解我的意思吗？

比如说is方ds你积分呢？是三分之s三次方，但是你加个c进行求导也是它呀。对吧哎，你积分了之后的话是三分之s三次方，你积了一个分了之后的话，你发现这人就加c。要注意这个事情好，这个内容我们就讲到这儿呃，下去过程当中啊，好好进行梳理一下，这是我们讲的这个这个题目。下课过程当中做一下三点七可以吧？好，我们稍微休息会儿，

一会儿我们继续啊啊，所以我希望同学们今天晚上嗯。难度系数前面不大，我估计大部分同学啊听懂了，但是你发现今天有可能是很多同学第一次学固定积分。也有可能是很多同学这几年过程当中的第一次学不定积分，可能这个东西啊，时间稍微的长一点了，你接受一个新东西啊，它需要在你大脑当中进行去温存一段时间。然后这个内容啊，你可能会理解的更加的舒服一点，好这个事儿我们就讲到这儿行不？同学们好，我们稍微休息会儿，

一会儿我们继续啊。

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14.不定积分的定义、计算（A）-1

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