13.【加餐】导数微分学应用（C）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:40:02

那么，接下来我们就继续吧呃，我刚才啊，这个有个同学问这个问题，说这个二点三七这个题啊呃，为什么是割线，不是切线？对吧，为什么是割线，不是切线，你要注意一个问题啊，人家说过这个曲线上这两点的连线过曲线上的两点的连线，它就叫割线。切线是什么？你在这个点处的，

它这个切线斜率是该点处的导函数，这不一样的，要注意这个问题，所以说同学们注意啊，我把这个事情我讲讲。呃，另外一个点的话，二阶导数只要两侧异号fs连续对这这说的不就是内容吗？我把这个事情我们讲细致一点吧啊，我觉得这个我们三九六同学啊，这个时间在这个板块可以多花一点啊，因为这块内容还比较重要。那么，接下来过程当中，比如说我们举个例子。

呃，在这里面当中啊，我们取两个点，比如说这是x零点。然后这是s一点。那么，请同学们告诉我个事情，你发现你看连接这两点的之间的这个线，这叫什么线？这叫割线吧？你告诉我这个割线方程怎么写？怎么解直线方程吧，假设我们用点斜式过，这个点就是y等于这个点处的纵坐标。再加上斜率乘上x-x零没问题吧？

哎，过这个点的直线，那这个斜率怎么写呢？斜率的话，你发现两点之间的斜率公式fs1-fs零比上s1-s零。是不是这个问题啊？你看这就是两点之间的这样的一个直线方程会写了吗？没问题啊，好了，那么接下来我们继续，我们再来看看。如果是这个点处的切线，怎么写好继续？你发现这个人的切线，比如说我们用一用另外一条颜色这个人。

那么，切线方程怎么写呢？切线方程也是个点斜式，你看过这个点fx 0，然后再加上x-x零斜率，那这个斜率是多少？斜率是这个点处的导函数。所以说这个部分的东西啊，你刚才那个题你很明显那个斜率的话很明显是两点之间的斜率公式嘛。两点之间的斜率公式y2-y一比上s2-s一，所以说刚才那个东西你发现个事儿，它其实就是一个什么。你这个人的话，刚好就是两点割线嘛。能讲清楚吗？

好这个事情想明白给我回复个一啊。能能琢磨清楚吧啊，基本问题嘛，就是你把这个事儿想清楚就行，就是你看看那个斜率是什么就行。呃，好了，那么接下来我们就继续，我们再来看刚才的话，这个拐点的这个思维方式的东西有没有在脑子里面转两圈？能想清楚吧，有哪些内容凹凸性发生改变的点是拐点。能取得这个拐点的人有两种，要不然你二级导数为零，你要不然二级导数不存在。

只有这两种可能性，不然第三种人是绝对不能取拐点的，我举个例子啊。我们考题喜欢这样考。啊，这个数一数二数三同学从来不这样考，但我们喜欢这样考，比如说有一天过程当中我求得的一个点处的二阶导数。它等于三。我就说它在这个点处，一定不许拐点，请同学们告诉我对不对？我们的二阶导数等于三，我说一定不取拐点，对不对？

我看同学们学的怎么样？不要着急啊，不要着急，想清楚再说话。啊，为什么不对啊？我说二阶导数等于三，我说一定不取拐点，怎么不对啊？你好好想你，想清楚了再说话啊。啊，当然对呀。当然对呀。我们刚才说了，

能取拐点的人必须具备两种特质，你要不然是二级导数为零。你要不然是二阶导数不存在，只有这两种人怎么办？有资格呀。只有这两种人有资格成为拐点。但是同学们想想，不用去想逆否命题，大家就这样去想能够成为拐点，能够登基的人，要不然是二级导数为零，要不然二级导数不存在。没有第三种人。没有第三种人。你发现一个事情，

你二极导数是三，既不是为零的点，也不是不存在的点，你当然不取拐点啊。你这有什么疑问呢？那所以说这件事情当然正确，你看这个考题啊，考研就会会喜欢这样考。这我们出过的题，那比如说举个例子，我看看你的触类旁通的，你把这些东西给我记笔记上，如果一个点处的一阶导数等于三。请同学们告诉我，我说这个点处剥取极值，

对不对？对不对？他说如果这个点处的一阶导数等于三剥取机制，对不对啊？你看长经验了哦，长经验当然对。因为能成为极值的人，要不然是一二一阶导数为零，要不然一阶导数不存在没有第三种人。就没有第三种人。你又不是为零的点，你又不是不存在的点，你这两种人都不是你根本不可以，你连嫌疑人都不算，你成为什么的一个机制点？

所以说像这件事必须把它想清楚好，这是第二个问题，第三个问题判断这个人的方法呢，这个函数在这个点连续。重点是看二阶导数，在这个点两侧振幅性变化。还有一种方法是二阶导数等于零呢，三阶导数不为零，取得拐点。所以说这个方法必须掌握清楚，那么同学们想想我也会像这个上节课一样，我给你进行去总结一个东西，那就是。考研过程当中的拐点的判定方法。拐点的。

判定方法。那么，在考研过程当中，拐点有哪些判定方法呢？那么，接下来过程当中，我们再来看。对吧，怎么进行去判断怎么判断拐点呢？那请同学们告诉我第一步干嘛？啊，你告诉我个事情，这个东西就是迁移能力了，你第一步干嘛找可疑点呐？对吧，

找可疑点呢？找到这人可疑点有哪些可疑点呢？你发现一个事情，一个点是二阶导数。导数为零的点。对吧，或者是。二阶导数不存在点。大家注意啊，就这两种点，你要不然怎么办？你是二阶导数为顶的点，你要不然就是二阶导数不存在的点，就这两种。这两种点是可以。

你既不是二级导数为零，你也不是二级导数，不存在你不可以。这是我们在这里面当中啊，学习的这个第一步。等你把这个可疑点找到之后，同学们注意可疑点，只是嫌疑人吧。嫌疑人一定娶吗？那不一定。嫌疑人不一定去，所以说我们需要怎么办？我需要判定啊。哎，判定可以。

所以在这里面当中，我们就进行判定，我的判定方法有几个呢？那么这里面当中，我们先来看看方法一。第一个方法，那第一个方法什么定义法？定义法怎么办？看图像。图像上凹凸性发生。改变的点。对吧，我也有定义法呀，我进行看看你是不是图像上发生凹凸性发生改变的点，所以说好画图有这种方法。

这第一种方法，然后第二种方法。方法二还能怎么办？二级导，二级导数。看二阶导数怎么办序星。灵域。哎，去腥领域那么在这里面当中，我就进行看二阶导数，在去腥领域。两侧。正负性。变化，你看这个事情，

我就看看二阶导数去心零月亮侧正负性变化。如果你发现二阶导数在这个点，你要注意啊，是去心领域是这个点的两侧左边正右边负左边负右边正，那凹凸性发生改变了，当然是观点。那么，在这种当中，我们再来看看第三种方法。方法三。那第三种方法什么看三阶导？二极导数为零。三阶导数。导数不为零。如果你这个人的二级导数为零，

你的三级导数不为零，你当然去，所以你看今天过程当中，我把这些东西都已经敲成这个字儿了。哎，敲成字了，所以你的思维方式的话进行去想，如果一个题怎么办？如果一个题的话，你发现函数的图像好画，我就在图像上找凹凸性发生改变的点。如果在这里面当中，你发现二阶导数去心邻域两侧正负性发生改变。那就是拐点，然后第三个事情，

你二阶导数为零，三阶导数不为零，你当然去拐点前提二阶导数为零。三级导数不为零。你看这有同学吧，这个。你上课。你这个注意力一定要集中，你说的话我刚才都说过，对吧？我说如果二阶导数为零，三阶导数也为零，那不就失效了吗？我好像说这句话吧。一个事情是迁移的能力，

一个事情是上课注意力要集中啊，这事我们刚才都讲过，上课一定要注意力集中一点。如果二级导数等于零，三级导数也等于零，失效了嘛，跟我们刚才讲极值东西啊是一样的。好了，这个事情我们就讲到这好，这块内容都听明白了，请给我回复一啊。呃，所以说这块的内容啊，你下去过程当中啊，好好进行想想。

哎，方法二不用。我再强调一遍。怎么去学数学，你就要尊重这个规则。你不要在那里面天马行空的想我让你进行去判第一，充分条件说这个函数在这个点处怎么了连续。我真的是头疼了，对吧？你上节课怎么不问这些问题呢？人家的定定理的内容就说，如果二阶导数等于零了。我三阶导数不为零了，我就取了拐点。学了半天的过程当中又来了，

说这个凹凸性怎么怎么样？然后说这个人的话，你发现这个人在这个点连续二极导数两侧正负性发生改变就行了。好，我给你证明一下啊，我给你证明一下。嗯，你这样的学习思维方式，我觉得。非常不好啊。哎，证明一下。证明拐点的第二。充分条件。对吧嗯，

在这里面当中啊，这个。思维方式吧，真的是一点都没有切进去，你一直在那想别的东西。我觉得你不是在学定理，你一直在想怎么推翻这个定理，你想想半天是不是我都说这个东西是个定理？前人已经证明过我们就进行去用它就行，你偏在那里面，当初你硬生生的想推翻这个定义啊。好了，那么接下来我们继续，我们再来看。好了呃，

那么接下来我们继续，我们来看看怎么进行去证明？第二，充分条件，我们来看一个事情好吧？比如说这个点处的二阶导数等于零。且三阶导数。假设大于零行不行，小于零也行嘛，我就证明大于零行不行，好这件事情听明白了，给我回复一，我们就说。它在这个点处去拐点。那这件事情怎么证明呢？

那么这个事情其实你发现证明起来难度系数也不大。我们在这种当中啊，写出三阶导数的定义。三阶导数等于多少呢？三阶导数的导数定义是这样写，是二阶导数再减去二阶导数，在离s0处置比上s-s零。然后接下来过程当中啊，你发现一个事情，因为上面这人等于零，就是二阶导数x-x零。好了吧，那么现在这个人什么零啊？大于零。接下来过程当中，

我们来看一个事情，我们都知道拐点可以用二阶导数的正负性来判吧。对吧，用二阶导数的，在这个点两侧的正负心来盘。那同学们想想一个事情，我就非常想知道这个点。去心邻域两侧的正负性变化，我用什么性啊？我是不是想把这个帽子给脱掉，脱帽保护心就在这个范围内脱掉他的帽子？二阶导数比上x-s零大于零。那这个时候你发现你看在这个范围s比s0大，所以说它的这个之比大于零，下面大于零，

它就大于零。然后这个范围x比x0小之比大于零，下面小于零，上面小于零。那么，同学们想想这个问题点是不是出来了？那么，请问二阶导数在这个点去心邻域两侧正负性发生改变？而且该点可导，该点肯定连续在这个点处，是连续二阶导数在两侧正负性发生改变，是不是拐点？当然是规定，我证明完了吗？你还去想那么多吗？

不用想了吧，你将来过程当中，只要这个点处二阶导数等于零三阶导数不为零，它就是拐点。你还去想什么？先凹后凸，先凸后凹啊，不要把这个事情想麻烦了，那我就很想知道一个事情，你上节课学极值，咋不这样想呢？你极值的时候，你发现你就把它接受了，我学拐点的时候，你发现迁移你迁移过来就行了呀。

啊，不要天马行空的，想好了，那么接下来我们来看题吧，先来看第一个题。二点三八gt。呃，这个题啊，他说了一个事情，他说这个点是这个人的拐点。同学们，想想啊，你看这个人已经登机了。已经成为了拐点。同学们注意啊，

他已经成为了那你想想一个事情，你在成为拐点之前，你只能是两种人。你要不然是这个点处的二阶导数等于零，你要不然是在这个点处的二阶导数不存在。你已经成为了最后的拐点了。在成为拐点之前，你只有两种身份。你能成为你只有两种身份，你要不然二级导数为零，你要不然二级导数不存在，你没有第三种身份，那么在这种当中，我们就求一下呗，我求一下这二级导。

3 ax方加上2 bx。然后接下来过程当中再来求一下6 ax+2 b同学们告诉我，它在一处等于几，它一处就等于6 a+2 b。诶，存在的呀，你看我二阶导数是什么存在的呀？我现在是存在不可能是不存在，你只能是v0的点。所以同学们注意，我只能说你的二阶导数必须等于零，同学们听懂了吗？这个思维方式非常简单，就是能登机的人就有两种，你要不然是二级导数为零，

要不然二级导数不存在，你都登了机了，你就这两种人呗。而你发现二级导数存在你二级导数只能为零。但同学们注意啊诶，两个方程解两个未知数啊，你现在只有一个方程，怎么解啊？你缺方程啊？你缺方程怎么办？再来看拐点，一定在曲线上吧，所带进去带进去是多少呢？把它带进去就是a+b=3。两个方程解两个未知数，

一解就出来了，好不解了？好吧呃，不会解的话，下课来找我好吧啊，不会解，下课来找我啊，我也不会给你解的，你就把这个b=3-a带上去就行，有的说老师我这利用。非非次线性方程组高次算法哎，不要装逼啊，好这个题啊，我们就讲到这过去了，可以吗？

哎，基本问题。那么，接下来我们继续，我们再来看看二点三九这个题，你看这个题。呃，那么这个题啊，你发现一个事情，它给了一个什么情况？它给了一个这个函数。然后接下来给我判断一下，在这个零呐，它是不是极值点？是不是个拐点？

哎，是不是极值点？是不是拐点？那么同学们想想一个问题，你发现这个东西的判断性的方法。它应该有三种，那么首先第一件事情。你看到这个绝对值，应该看到这个分段函数吧？是不是分段函数？我看到这个绝对值，这个人肯定是个分段函数。一个分段函数。分段点外好像好求导。对吧，

分段点外是好求的。分段点外好求导，分段点外的正负性是不是好判？诶，那这个时候我想清楚一个事情，我可以用第一充分条件。第一，充分你思考一下是不是？为什么呢？因为第一，充分它的极值点的判断就是看一阶导数，在这个点两侧的正负性变化跟这个点没有关系。那拐点的话，这个人只看二级导数，在这个点两侧的正负性变化，

跟这个点没有关系。哎，那如果具用了这个思维方式，我就明白了，那么接下来你不就让我判断这个零这个点吗？我就进行去看什么？看这个点，两侧的正负性变化分段点外，直接求二阶导数呢，两侧正负性变化。好，先把这个函数写上。那这个函数啊。你发现它图形是这样。如果是s倍的一减s，

它图形是这样，但是我只用判断这个点。哎，我只用判断这个点，那这个点的话，你发现不用很远处，我只用知道这个点两侧，你看第一个事情，我只要知道你小于零。我只要知道你大于零小于一，这个点我都不管。那这时候的话，你发现一个事，当然它在这个点处是有定义的啊，你挂上那这时候你发现这半边是正的，

正的就是本身。那就本身的话，就是x-x^2。然后这一段的话就是负的，那就是x方再减去x。好，这个事儿它就出来了，等你把这个事情出来之后的话，那么接下来我们看你发现我要判断分段点y小于零和大于零小于一。分段点外直接求分段点外直接求。大家琢磨一下，我要看这个点的什么两侧。哎哦，写反了。好这个人，

所以说在这里面当中啊，你发现个事情。我只用看一个什么事情呢？我只用看这个一阶导数，在这个点的什么两侧不要看这个点啊，就看它点两侧。那么，它的点两侧是去心领域，应该是挨得非常接近，那你想一个事情小于零的时候，第一项接近于零，第二项接近于负一它。它是负的那么大于零的时候，第二项接近于零，第二项接近于一，

你发现一个事情是正的，所以说一阶导数在两侧是不是正负性发生改变？先减后增极小值。跟得上吗？那么接下来过程当中，我们就继续我们再来看，我只看分段点y分段点y，直接求分段点y直接求，这是负二。那这个时候你发现一个事情呃，我知道直接画图，你就要注意啊，我讲的方法你都要会，你再打基础，不要这样啊。

那这个时候你发现一个事儿诶，这一里面当中我要看这个点的两侧。那这个点两侧的时候，你发现小于零的时候呢，是正的大于零的时候呢，是负的哦，二阶导数在这个点两侧的正负性发生改变，是不是拐点？是拐点，你看我都用的什么第一充分条件，所以你看这个题啊，我用这种方法是没有任何问题的。跟得上我的意思吗？所以说将来我进行去判断的时候，第一充分条件是看这个导函数，

在这个点两侧。那如果我们遇到这个分段函数，又不用考虑分段点。分段函数求导的难点在于分段点处的求导，分段点外求导是很简单的，所以说我们不妨用第一充分条件来做。所以这个时候啊，你发现正确答案选几啊选c。呃，这个方法当然就出来了。所以在这种当中，我们有第一充分条件，第二充分条件，还有这个定义法，那么同学们注意啊，

这个题我绝对不会选，第二充分条件。因为第二充分条件的话，你发现要求分段点处的导函数非常恶心。其实同学们这个题而言呢，怎么做是最简单的呀？当然是定义法。定义法这个方法才是最简单的，所以同学们你要记住一个事情，如果将来看到一个函数怎么办？好画图。哎，我只要看到这个函数图像好画，定义法永远是首先取得，那你看看这个事情，

这个函数图像好不好画呀？当然好画，那你要想画这个函数图像，你先去画这个函数图像。这个函数图像会画吗？你发现一个事情经过零一个事情经过一。这个人就是一个倒扣的抛物线。哎，倒扣的抛物线。然后接下来过程当中啊，你给它加个绝对值，你加个绝对值了之后的话，这个人就变成这样，哎，你发现看翻上去了。

然后接下来过程当中啊，你再翻过来，你再翻过来，所以说这人的图像就变成这样。诶，这个人的图像好画了之后，我们接下来看看这个点是不是极值点，横看成岭侧成峰啊？山谷都是极小只。然后第二个事情再来看是不是拐点左边是凹的，右边是凸的，凹凸性发生改变的点当然是拐点，所以答案选几选c。你看这个题啊，如果你能想到用图像的方式来做这题就没有了。

哎，这题非常简单，答案选几选c相较比而言，哪种方法更好呢？当然是第二种方法更好。如果能画图画出这人的图像，做起来当然简单，对吧？一画就出来了，非常非常容易。好同学们，听懂我的意思吗？所以下去过程当中，你要注意这两种思维方式，两种方法都得会哦。

不要说这个方法简单，我就只学这种方法，因为基础班的学习嘛，我只要讲的东西啊，你都把它练练好，这是我们讲的二点三九这个题。过去了，可以吗？哎，这个人。呃，如果不会画图去学。对吧，不会画图去学绝对值的图像非常简单，就画里面的图像，

然后一翻就行了，你不要说我不会画图怎么办？不回头去学。你去学。啊，你这个说明的话，你如果不会画这个图形没有达标啊，不要给自己找借口，这个图像非常简单嘛。里面是一个二次函数嘛。对吧，然后加个绝对值，这是个初中图像啊，不难的话。好了，

这个事情我们就讲到这，那么接下来我们就继续哎，你就一个一个的补就行了，不用进行去大致的全部补。你比如说今天过程当中啊，你二次函数图像忘了，你把它学一下就行，好这个事情我们就讲到这来继续啊，我们再来看二点四零这个题。来继续做，他说这个函数的图像在负无穷到正无穷是连续的。然后给了二阶导数的图形，则这个人的拐点，同学们告诉我用什么方法判断？什么方法啊？

不要着急，我们时间非常早。什么方法？你想到一个事情，给了二阶导数判断拐点，我就看的什么用第一充分条件。注意脑子里面要有货啊，第一充分条件告诉我们说，第一充分条件说诶，在一阶导数在这个点。两侧的正负性发生改变，这能想到定义法。谁说定义法。这第一发我疯了啊，不要乱来啊。

那么，在这个题当中，你发现一个事情给了二级导数，那二级导数两侧的正负性发生改变，我不就是拐点吗？所以在这里面当中啊，我们来看看这个事情啊，打错了是吧？行，没关系啊，好，我们继续看，你发现就要看看两侧正负性变化。那么，在这种当中，

你看这是二阶导数为零的点。可疑点，二级导数不存在的点，可疑点，二级导数为零的点，可疑点，三个可疑点，现在检验是不是？这个左边是正，右边是正，哎，你发现不取。然后再看第二人，左边是正，右边是负h，

第三个人，左边是负，右边是正h，看这个点的两侧注意啊。不要看那个点，听懂吧？看二阶导数在这个点的两侧正负性发生改变。所以说这题的正确答案选几选c。这非常简单吧，如果今年过程当中出这种题，你一定要会做。你必须要做出来，没有任何商量余地好，我们再来看看这种图像题的巅峰啊，看二点四一这个题。

呃，这个题啊，我们继续看，他说这个函数在负无穷到正无穷上是连续的。导函数的图形，同学们注意起导函数起指的是谁啊？起指的是前面那个fs代词嘛？呵呵，是吧，就前面这个人，那他导函数呢？一阶导数图像。哎，一阶导数不是二阶导数，人家说的很精确的，

人家说起导函数指的是这个人导函数。你不要跟我说二阶导数，也是导函数，不要这样，人家说的很准确，一阶导数那么同学们告诉我一阶导数图像知道判断极值简不简单。一阶导数判断极值是最容易的。对吧，一阶导数判断极值是非常容易的，我就想问你个事情，这个极值怎么判断？好，你先坐下吧，这个人有几个极致点。啊，

你先跟我说一下这个图像上有几个极值点？我不让你做拐点，你先告诉我极值点有几个？那么，请同学们告诉我一阶导数判断极值是不是用第一充分条件？就是看一阶导数，在这个点两侧正负性发生改变嘛。一阶导数在这个点两侧正负性发生改变吗？好一阶导数为零的点太子，一阶导数不存在点网页。为零的点，为零的点。所以你看这种情况都说可疑点，我们一个个判断，先看第一个人，

左边正右边负，先增后减，其大值是的。第二人两边都是负的，这不取。然后再看第三个人，左边负右边正h的，然后再看最后一个人，两边都是正的不取的，所以取几个两个。哎，你发现只能在AB当中去。你这个事情做错了，我觉得这个上节课的内容是不是没有复习啊？这件事情跟上节课讲的东西是不是一样的？

跟上节课讲的东西非常相近啊。这东西可不能出错，你看这是极值的问题。哎，极值，所以说一阶导数判断极值，就是看一阶导导数两侧正负性发生改变就行。那么，这里面当中啊，难一点的是拐点。那拐点怎么判断？你把这个事情想清楚，我觉得你的水平点极其的过关了。同学们，想想哎，

我进行判断拐点，我最少都得用几阶导。我最少都得用二阶导数判定呢。对吧哎，大家注意啊，我再说一遍，你上课过程当中，如果思维方式跟我们呃，这个核心要求的，这个思维方式没有想清楚啊，你就好好听。啊，不用进行看写率啊，好好听。那么，

在这里面当中，你发现我判断这个拐点，我最少都得用二级导数。最少都得用二阶导数，二阶导数怎么说呢？二阶导数说你只要在这个点两侧。正负性发生改变就行。哎，那这个题给的是一阶导数，那没关系，构建一下两者之间的关系呗。你发现二阶导数如果是正，我不就增吗？二阶导数负我不就减吗？你是负我不就减吗？

你是正我不就增哦？漂亮，非常简单。思维方式就有了，你想让我们去判断二阶导数，在这个点两侧的正负性发生改变，我就进行去判断一阶导数，在这个点两侧的单调性发生改变。多简单就看看在哪个点两侧单调性发生改变，只要你的单调性发生改变，我这个人就出来了。所以说接下来过程当中，我们来找找呗，两侧啊，不要看那个点，

我只看这个点的两侧的单调性改变。你看这个点，它左边是单调递减，右边是单调递增是的，再看这个点，左边是单调递增，右边是单调递减是的。再看这个点，左边是单调递减，右边是单调递增。是的，所以说有三个人答案选几选b。你看这个人不用去看，写旅游。你看这个斜率的话，

你发现一个事情，你在这里面当中啊，思维方式还没有进行想清楚，最简单的就是这种思维方式，你不就要看二阶导数在两侧的正负性变化吗？我就看一阶导数在两个点的点的两侧的单调性改变，你看这个思维方式非常非常顺，对吧？我们要把东西学的非常的清楚好。好，这个题是正确答案，选几选b？能听懂吧，不要再去想多了。哎，

不用去想多了。好了呃，这是我们在这里当中讲的事情。那么，接下来过程当中，我再来说一个问题。同学们，你告诉我个事情。起止点跟拐点有关系吗？啊，有关系吗？有没有关系？有关系。你告诉我这两者有关系吗？啊，

有没有？有些同学说，如果是极值点。就一定不是拐点。曾经有同学这样说，如果是极值点，就一定不是拐点。他还说的振振有词，说老师，你看如果扇风的话，他怎么可能是拐点？你要是拐点的话，你发现一个事情，你肯定不是山峰啊。大家注意，

其实你发现你在这胡说八道呢。你在刚才就学过了一个非常好的例子。你还记得吗？对吧，你刚才就做过一个题。你刚才做那个题的话，你发现就是一个非常非常好的例子。你刚才做那个c选项，还记得吗？这个图像是这样。这个图像是这样。你刚才这个题的话，你发现这人就是极值点，而且这个点又是拐点。你就会发现你刚做的一个东西就是你你所说的这个事情的反例。

人家这个点又是极值点呢，我又是拐点，所以同学们注意啊，有的时候不要发挥。你如果说做一些非常好的内容的发挥，那是非常好的呀，我觉得这是创新性，但是你发现个事情，你就算是天马行空的去想。哎呀，极值点跟拐点什么关系啊？拐点是不是极值点极值点？你想这东西干嘛？这两个核心问题不要在这里面当中打岔。就跟还有一个问题，

你发现我们上节课讲的还有一个什么叫注点？极值点。这两者有没有关系啊？如果说有关系注点是极致的可疑点。就这点关系。你在这里面当中，你发现什么叫触点导数为零的点，什么叫极值点，有三种判断方法。注点一定是极致点，你只是可疑极致点，一定是注点，那也不一定，我有可能是导数不存在的点，我不一定是太子，

我有可能是王爷。你看这些事情，所以同学们有的时候迁移一点是好的。对吧，有时候迁移是好的，但是你发现你过多的在那里面当中，天马行空，想你就会把自己搞得非常的乱。你学东西就非常乱，所以我就觉得一个事情我一直给你讲一件什么事儿，我数学很好学，就在学规则。你就学规则，你发现一个事情拐点是什么？拐点就是凹凸性发生改变的点什么极值点，

极值点是淋浴当中的最大或最小值点。然后判断方法，人家第一充分条件要求什么，第二充分条件要求什么，你把这东西给我抠死。你说怎么可能学不好？就害怕你已有的东西还没学好，你就在那使劲的发挥。天马行空的去想啊，这不好这不好。好了呃，那么这个问题我们就讲到这吧，你下去过程当中好好进行去处理，所以说这块类型问题的东西啊，稍微还是具有非常强的操作性的。

再讲一会儿好吧，哎，把这张呃我们结束掉，然后这个周六的晚上我们就开始不定积分了。啊，进入一章新的章节，不定积分的嗯，应该是很多同学觉得不好学的哦，慢慢来吧，对吧，等我们学完了之后的话，你发现诶也挺好学的。所以呃，大家注意啊，不要对这种未知的东西啊，

充满这么大的恐惧，你要有自信一点，做一个有自信的人。一定要有自信一点。不是说这个东西学不好，是你没有掌握住正确的方法好了，那么接下来我们继续，我们再来看第三个事情间接性。那么，在渐近线当中啊，我们核心重点我们学是什么呢？首先第一个事情，我先讲讲什么叫渐近线。渐近线是直线。渐近线叫直线，

是直线什么是渐近线呢？无限逼近的线。那么，同学们告诉我，你能举出一个。你曾经学过它具有非常标志的渐近线的例子吗？有没有？有没有？你比如说arctangent，你看这就是间接线。你发现它无限的逼近于这条直线。es也行，你看你无限的逼近于这条线间接线。tangent也行。我问你个事情。

s in是不是？啊，同学们告诉我s in是不是？请告诉我y=1这个人是不是s in这个人的间接线啊？是不是啊？有同学觉得是是不是它的间接性？你发现一个事情有无限逼近的感觉吗？他没有你发现一个事情，你看他碰了一下，走了，他碰了一下，走了，他碰了一下，走了，他没有那种无限逼近的感觉，

我要的是这种无限逼近的感觉。你碰一下就走了，碰一下就走了，你发现一个事情，这个东西就跟跟个渣男一样，对吧？碰一下就走了，碰一下就走了，你发现人家要的是无限逼近的这种感觉。哎，大家注意一个事情啊，这人不是能想清楚吧？注意啊，他不是。所以说在这里面当中的内容点呢，

你要想清楚什么是一个间接线，那么所以说接下来过程当中啊，我们要学习三种间接线。啊，学习三种间接线，先来看第一种垂直间接线。好，现在看第一种垂直。那什么是垂直渐近线呢？根据渐近线的位置的摆放不同，我们把渐近线分成三种。这个无限逼近的线，有可能是垂直的，叫垂直渐近线，这条无限逼近的线，

有条水平的，叫水平渐近线。这条无限逼近的线，有可能是倾斜的，我把它叫斜近线，所以说线近线有三种情况。呃，这种知识点呢？我觉得今年非常有几率考啊，非常非常有几率考好，我们先看第一种垂直渐近线。垂直渐近线长什么样子呢？我们先来看看第一种情况。你看这个人是y，然后这是零，

然后这是x。好，我们来拉条垂直渐近线。这个无限逼近的线呢，你发现一个事情是一条铅垂线。哎，无限逼近的线呢，它是一条铅垂线，那么在这种当中，我们看看这条垂直渐近线，如果在这里面当中，我们来画一个点。好，这是fx。我想问你个事情。

这个虚线是不是它的一条垂直渐近线？是不是啊？那当然是啊，你发现就有无限逼近的感觉。当然是那么在建筑当中，我们再画一下，如果这个时候我这样画，你告诉我个事情，这个人还是不是他的一条垂直渐近线啊？还是不是那这条线是不是我曾经无限逼近过的呀？仍然是注意啊，渐进过就行。哎，是的是的，只要渐进过就行。

不需要两边都渐进，只要渐进过就行。只要你其中有一条线渐进过这个人，他就行，不需要两个人都是好了吧？听懂我的意思吗？呵呵。来，我们来看看这个人。呃，大家有没有发现一个事情？你看这个渐近线的找取，它特别像我们曾经找取谁呀？哎，同学们，

注意你发现这个渐近线就特别像我们曾经在找取这个函数的什么点呢？无穷间断点。哎，无穷间断点非常的小，所以说找垂直渐近线，其实就是在找无穷间断点。所以在这里面当中，我们曾经过程当中找无穷间断点，怎么做第一步？找这个函数的无定点。求fs无定义点。哎，求物定理。求出无定点了之后，然后第二件事情我们再去求什么，

求这个点处的极限。注意啊，这个点处单侧极限就行。两侧更好。哎，注意这个问题，只要有一侧是无穷大。就行了，只要有一侧，结果是无穷大，你就是一个无穷间断点，你也是一条垂直渐近线，这条渐近线的方程是s=s零。好，这个事情能学清楚吧，

非常简单啊，非常好理解好，这是垂直渐近线，那么接下来过程当中，我们再来看水平渐近线。那么，请同学们告诉我，你曾经过程当中啊，学习过哪个函数具有突出的水平渐近线？非常突出，有谁啊？就是我们刚才所画的arctangent。呃，这个人应该是最突出的就是阿克tangent这个人，我们来看看这个人，

你发现看这个y这是零。这是x呃，我们在这种当中画，我们就不认为它是arctangent题了，对吧？哎，我就画了一个很像arctangent的人，行不行？可以吧？哎，很香，你看这有一条它无限逼近的线。假设这是a1 y=a一是一条，它的渐近线水平渐近线，那么同学们想想一个事情。

这个水平渐近线，是它哪个方向的水平渐近线啊？哪个方向上的？正无穷吧，我往正无穷跑的时候无限逼近，然后接下来过程当中再来看这条线，这条线是什么？这条线是它在负无穷方向上无限逼近的线。好y=a二。所以啊，这个人有几条水平渐近线，有两条。那怎么进行去看水平渐近线呢？核心方法论就是这样，就是is趋向无穷大，

你就看看这个极限结果是不是个数？如果是个数啊，这个数就是我的一条水平渐近线。但在这里面当中，一定要注意一个事情，我们讲的是该分则分。哎，包括了趋向于正无穷和趋向负无穷。不是说每个题都要分。你要是正负无穷的结果不一样。我就分了，如果你正负无穷的结果是一样。比如说举个例子。我无论是正无穷也好，负无穷也罢，

都是三同学们告诉我这条渐近线算一条还是两条。一条还是两条？对吧，就是正无穷和负无穷都是三你正无穷往三你负无穷往三，这算一条还是两条？呵呵，几条啊，这些事还挺重要，几条一条嘛，你数这条线的条数嘛，你数这几条这一条线嘛。一条哎，这算一条线，你这样数一条，这是两条，

这算两条线哎，注意这个问题啊。那么，接下来我们再来看看第三个事情斜渐近线。斜渐近线呃，这个内容啊，也是我们在这种当中啊，最重要的一个斜近线，什么是斜近线呢？我们再来看。就是你发现你无限逼近的线是一条倾斜的线。哎，就是你无限逼近的线，是一条倾斜的线，这条线就叫斜进线。

啊，这条线就叫斜渐近线y，等于as+b。你发现一个事情，我在这种当中啊，画一个函数。你看吧，这个函数哎，无限的逼近于这条倾斜的线，那这条斜斜的线呢，就叫条斜渐近线。对吧，就是一条斜径极限。你为什么要敲出振幅两个字？这跟这个东西有什么关系吗啊？

所以说在这里面当中啊，你发现这就是一条斜渐近线。你要想把这条线求出来，核心重点是不是要求出这个a呀？是不是要求出这个b啊？把这个AB求出来，这条斜渐近线是不出来了？所以说接下来过程当中啊，我的核心重点就是来进行去求这个a和b。怎么去求呢？因为我们今天是基础班，我把这个内容啊，我给你注到这。你可能在这个原来大学过程当中，你都学过，

这a怎么求的呢？a其实就是s趋向无穷大用fs比上s。b怎么求的呢？你就是在这里面当中is趋向无穷大用ifs减去多少as？你看你高中过程当中是这样求，如果这样的话，你发现求出了a和b就是y=as+b。但同学们注意，这个东西为什么是这样？今天我们要知道我们能学的非常的透彻。那么，首先第一件事情，我先问你个问题啊，你琢磨一下。这俩人。

哎，请注意，这俩人在无穷大方向上是不是无限的接近？非常的接近，那我就想问你一个事情，在我趋向于无穷大的时候，把这两者作比的极限是几啊？是这样，你趋向无穷大的时候，两者之间就非常非常的接近，不分彼此了。这个极限是几啊？当然是一样。那既然是一的话，你发现拿到极限可以定型，

你发现这是无穷大比无穷大吧？我是不是可以抓大头啊？你下面的是无穷大，上面不可能是一个数嘛，如果是一个数的话，无穷大分之数是零嘛？所以说我是不是可以抓大头啊，我这个人比你大的多，他变成这样诶，那这个时候你的a是不是可以乘过去啊？马上出来a这人怎么算？就是FSB s。看清楚吗a怎么算呢？就是用这个函数除以s求极限。好，

第一个出来了。那么，接下来我们就继续，我们再来看第二事情，我们继续看。如果s趋向无穷大。好，我们再来冲诶。这俩者东西在无穷大方向上非常的逼近。非常的接近，那么的接近，那这两者东西一减的极限，结果是几啊？是讲两者已经不分彼此了，一线是不是零？

所以说这也是我们去判断一个人是不是渐近线的一条方法，我剪这条直线的极限是零。那么，在这里面当中，你发现我把这个东西操作一下s趋向无穷大，然后这是fs-as-b=0。同学们告诉我，这是个数吧？这是个数加减法，当中数是存在的，只要见到存在就拆开，因此就变成了fx-as。再减去这个数等于零。那这个时候你发现一个事情，这个b就出来了，

因此在这里面当中马上知道哦，这个b怎么算呢？b不就是s趋向无穷大，然后用fs-as求极限。是不是这个事儿出来了，所以你看这就是我们求这个斜渐近线的方法。对吧，要进行去求a就是FSB s要求b就是fs-as。你学会了吗？同学们哎，注意啊，它就是这样推的。呃，至于这两个东西到底怎么来就是这样的原因。哎，

你把这个事情搞清楚了之后啊，什么东西都出来了，跟得上我的意思吗？所以啊，有三种渐近线，一种渐近线叫垂直渐近线。乙种间接线叫水平间接线，乙种间接线叫斜间接线。所以同学们注意，我们在考研过程当中判断渐近线的思路是什么？那同学们想想，如果在考研过程当中，我们来看考题。判定线进线的思路。对吧，

我们去判断这个渐近线的思路是什么，你告诉我事情，你第一件事情你先会判断什么渐近线。啊，你先会判断什么？我当然先会判断垂直渐近线。对吧，我先进行去判断垂直，那注意啊，我先判断垂直渐近线，因为垂直渐近线最简单。垂直渐近线就两步找到无定义点，求无定义点处的极限。看是不是无穷大就行好，这是我们讲的这个第一个事情，

然后接下来过程当中注意啊，一定要先求水平。水平渐近线。先求水平，再去求斜，为什么呢？因为有水平无斜。哎，注意啊，有水平渐近线，没有写渐近线啊，有同学说这个老老师不对吧，你说这句话不对吧？你看老师，你看我画一条线。

你看我这条线，我这条线。你看我是这样。我既有斜渐近线，我也有水平渐近线啊，你看老师你上课讲错了，这个东西有问题啊，你注意啊那一刻。我俩好像没有在同一个厂。哎，我们这个思维方式好像没有共振。大家注意啊，我们说的不是这个问题，我们说的是单一方向。我们说的是单一方向，

我们说的是同一个方向，你说的是两个方向，你说的是这个方向是斜渐近线，这个方向水平渐近线。我说的是同一个方向。比如说正无穷这个方向。水平渐近线会怎么办？水平渐近线会走平。你斜渐近线，会在这个方向走斜。你想想一个事情，一个图走平了，肯定不会走，斜走斜了，肯定不会走平，

这个事情是必然的。所以同学们注意啊，我们说的是单一方向。单一方向说的是一个方向，你说的是两个方向，你说那个方向是水平，那个方向写，这肯定可以啊。我们说的同一个方向，所以在这里面当中一定要注意的事情哎，做一个方向。如果这个人的话，你比如说正负无穷都有水平，正负无穷肯定都没有写。真无穷有水平真无穷，

不用求斜真无穷。如果没有水平真无穷，在求斜，所以说我们往往求斜近线之前先看看有没有水平。因为如果在那个方向上有水平了，那个方向上就不会有血了。听懂我的意思吗？所以做这个斜渐近线之前呢，先看看有没有水平？因为一旦有了水平渐近线的方向上，它一定不会有先进性。这是我们想重点说的，同学们思维方式想清楚了吧？注意啊，我们说的是单一方向。

不要在这里面当中啊，你发现一个事情说两个方向。所以接下来过程当中啊，我们来看看这个题，二点四二这个题。好看这个题。呃，那么这个题啊，你发现一个事情，它让我们去求什么斜渐近线？像水平啦，对吧？像垂直啦，根本就没有说，所以说我们只用进行去求斜就行。

当然，同学们注意啊。会不会存在两条斜线进行啊？会有，比如说你看。这个图像它就有两条斜近线，但是同学们注意啊，只有正负无穷，不一样的是要分。正负无穷一样就不要分，因此我经常讲该分则分，所以不要纠结这个事情什么时候该分，你求出两个方向，不一样的时候分。左右开弓法。

所以接下来过程当中，我们来看看这个事。呃，你先来看看水平渐近线，如果趋向无穷大，那这项是无穷大。趋向无穷，大分之一，这是0e的，零是一，这是一。所以啊，当s趋向无穷大的时候，这两者一乘是无穷大没有水平。没有水平渐近线，

没有水平渐近线怎么办？我只用去求斜。对吧，我去求写，我先去求a，大家注意啊，我也不知道分不分，先别分。先不要分，就是这个函数除以s好告诉我这个极限等级。这极限要不要分？这极限不用分。有人说，老师出现一的s分之一叫分啊，不还不分吗？

不用分，我一直跟你讲，不要知其其心，要知其本质。你发现这个头顶上往哪跑？头顶上望，这是无穷大分之一，这是领跑。一亿的头顶往无穷大炮才分，所以同学们注意这个人是一亿。非零因子淡化乘除法中的非零项，淡化2 x- 1比上它结果是解抓个大头事儿。你看这个结果，所以接下来过程当中再做b，你看这个题啊，

我们做起来贼顺啊。非常顺，然后用这个函数。再减去ax。那么，在这种当中，我们稍微把它打开一下，拿到极限第一步干嘛？你看看我们的思维方式啊，你这都是真题啊，来拿到极限先定型来定一下。一定这是无穷大。无穷大分之一是0e的，零是一好，这是一。

然后一乘无穷大无穷，大加减法当中见到存在的东西给我抛出去，赶紧把它抛出去，也就说在这里面当中，你把这个e的s分之一抛出去。剩下的两个人可以把2s提出来再整理。做成这样，然后接下来过程当中，请问两者之间是不是乘法关系？乘法关系了之后的话，这一项是零就是框一的框减一是不是等价无效框？是变成这样了，然后接下来过程当中，你看第一个极限是二，第二个极限是一是一，

所以这个题啊，你发现两个方向都是这个结果，所以间接线就是y=2 x+1。你看这个题，我们做的这个题当中，你发现思维方式贼顺啊，每一步都非常顺。相当的顺利。我觉得我们考研的真题啊，如果能考到这个难度啊，已经是巅峰了。就是对于我们而言，考渐近线的题，考的这种水平已经是相当而言呢，比较难的一种题了。

因为这个题啊，你发现两分钟做出来绝对是水平。啊，这就是水平点，能想清楚吧，好，二点四二九题。过去了，可以吗？好，掌握清楚给我回复一。那么，接下来我们继续，我们再来看看下面一题二点四三这个题。好，

再来看这个题。继续啊，再看这个题。呃，那么这个题的话，你发现它让我们去求什么？他们去求解这个人的渐近线条数啊，这个题你发现人家只让你进去去求有几条渐近线？这题啊，会做的同学贼快。不会做的同学，你发现做半天都做不出来。这个题拔拔高起。哎，这题八个问题。

所以接下来过程当中，我们来看看呃，这对我们三九六同学绝对的拔高题。你要清楚认识清楚一个问题，这个题干嘛呢？他让我们进行去判定，他让你去求解的嘛。啊，同学们，你思考一下这个题是判定还是求解这两个不一样？它只让你进行去判定吧。人家没有让你求解，不像刚才那个题，你得把那个a给我求出来b给我求出来，谁现在让你求啊，

不让你求。你判定它是不是就行，所以像这种题的话，你发现要比刚才的东西要简单一点，你只要判定就行。你只要判定它是还是不是，所以首先第一件事情，我们先来看看垂直经济性。的垂直。那垂直渐近线，首先第一个问题，我们先看无定义点。无定义点有几个？首先第一件事情分母为零的点。分母为零的点，

分母为零的点好，三个没有定义点。那么，就像我们一个一个看吧，我们先看第一个人，我们先看这里面当中的limit x趋向多少零？e的方分之1 arctangent，然后是多少x方，加上x+1，下面是x方。减x- 2。好了呃，我们来看看这个人，那么这个人的话，你发现一个事情，

你要注意啊，这题要不要分呢？不用分为什么呢？因为你发现无论你是零正零负平方，一定是零正。零正分之一是正无穷一的正无穷，这是正无穷。对吧，这是正无穷。然后再来看这个人，当趋向零的时候，这项是负二分之一。对吧，这样负二分之一，那么同学们想想一个事情，

对于arctangent这个人是这样，那负二分之一应该在这儿。它是一个数啊，它是一个不为零的数，反正它是一个不为零的数，你想想两者一乘是什么？无穷大因为我们知道一个不为零的数乘上无穷大肯定无穷大零乘无穷大是未定式。是不是这个事儿，两者一乘，肯定是无穷大直接出来了，好，这是这个题当中的第一个事情，再认真听精华点来了。哇，第二个事情你发现就看看你会不会了？

你发现一个事情，如果你是个高手，这件事儿立即出来，比如说平方加上s+1，因为这个下面是零，你就不要把它打开了啊，无所谓啊，打不打都行。好，我们再来看这个。我的核心重点就是我要检验你这个极限到底是不是无穷大？你要注意你的使命，你的使命只有一个，你的使命就是看这个极限是不是无穷大？你这个极限如果是无穷大。

你就是一条垂直剪辑线，这是你的使命。所以接下来过程当中，我们来看看这个事。那这题怎么办？你先来筹备。你发现这个人的极限是e的四分之一。这是一个非零因子，抛出去了。我们再看第二人。那么这个时候你发现下面是淋巴。上面是几？上面是七吧，零分之七是无穷大吗？arctan的后面是无穷大，

要不要分？要不要分？你发现一个事情，你看这里面当中，这是零吧？对吧，这零零分之七是无穷大，你告诉我事情要不要分？应该要分阿尔克贪之类，后面是无穷大跑，当然要分。对吧，因为你发现一个事情，你这一项极限结果是无穷大呀。那按理说我应该当然要分。

但同学们不要分。为什么你琢磨一下？因为你发现一个事情，如果是正无穷，我就是二分之派。如果是负无穷，我就负二分之派。同学们，琢磨一下这个事情，你无论是我乘上二分之派，还是乘上负二分之派，同学们告诉我，你是不是都不是无穷大？我得到这个结果就行，我管你是什么呢？

我分它干嘛呀？我当然不用分，为什么？因为这个极限结果要不是二分之派负二分之派肯定不是无穷大，我当然不分了。我只需要判定我管你是多少呢，你爱是多少是多少，其实同学们这个速度已经非常好了。但是你还可以更好。你想想一个事情，这个人是不是有界变量？是不是有界的？有界它的图形就是负二分之派到二分之派。所以你的极限结果应该是负二分之派到二分之派内的数。你无论是这中间的哪个数跟这个数相乘，

你都不会是无穷大的，所以说你不是。结束对吧？你是这个范围内的一个数，你的极限肯定是这个范围内的数。无论是哪个数，你乘上这个一的四分之一，你永远不是无穷大，所以说我眼睛一瞅就出来了。我把他灭了，这才是真正的高手。当然，这两件事情都行，你发现有些同学做这个题做的贼慢。他在这里面当中啊，

哎呀，分成这边二分之派一乘是多少？哎呀，负二分之派一乘是多少分？分析分析分析分析了半天，把它做出来，你要注意，你做的太慢了。你做的太慢了，你虽然把这个题做出来，但是你发现你真的把这个题变成求解的题，你做的太慢了。那这可不行，好，我们继续，

我们再看，我们来看看同学们到底练会了没？如果趋向负一。告诉我一个事情，这个结果是不是？来看看这个题。是还是不是？所以在这种当中，你看看这个结果是还是不是？那这个时候的话，你发现眼睛一漂，这是e的一次方。那这是一个范围内的数，两者一乘，永远都不是无穷大，

所以说它不是。哎，你看这件事情不就学会了吗？你将来过程当中不就会了吗？我又没干嘛。同学们，想想一个事情，我刚才看到评论区当中有同学说，哎呀，我想不到这个深度，我怎么每节课都改变不了很多同学的学习观念呢？你这个学习思维，有的时候你非常决定最后的这个学习效果。无论何时何地，希望你能做一个自信的人。

无论现在是考研还是将来的话，你想进行去考别的一些试，或者你上了这个研究生了之后，你想去考些别的东西，对于一个未知的东西。或者稍微难一点东西，你要有自信一点。你下次过程当中能想到不就行了吗？你老是在那里面当中想不到，想不到你怎么进行去拔高这个事情，所以同学们注意啊，这是这个事情。所以你看刚才讲了半天，我都在讲什么，我都在讲一个极限的定型，

你想想是不是？定型就讲了这样的一个问题，你发现就是如果一个什么波为零的数乘上无穷大，它就是无穷大。然后零乘无穷大，这是未定式。哎，这个东西是个未定式，能听懂我的意思吗？好，这是这个事，我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们再来看水平渐近线。嗯。

诶。嗯诶。这咋回事？你们能听到我声音吗？能听到声音吗？可以听到声音是吧？哎呀，有点离谱了，对吧？不不不，是这个不是这个诶，出来了。嗯，简直离谱对吧啊？好了，

那么接下来我们就继续，我们再来看。那么再来看看第二事情，我没干嘛呀，对吧？这个怎么一下就没了好，再看水平渐强哦，九点半了。哼，不好意思啊，不好意思啊，不好意思，我再讲一会儿，我马上讲完，那么在这种当中，

我们再来看看无穷大。那这个人我也不知道分不分，我就先不分。哎，我就先不分，我就先不分平方减去x，然后再减二。好，我们继续看这个事情。那么，在这里面当中啊，你发现一个事，这个极限我也不知道分不分，我先不分，我们来看无穷大分之一是零。

e的临时一。然后接下来过程当中，你再看这个人，你抓一下呢，你抓一下了之后，这是一。tan多少等于四分之派。所以说这个极限结果永远都等于四分之派。所以啊，这算一条渐近线。正无穷，负无穷，都是它，那算一条正无穷，负无穷，

都有这一条，那你发现一个事情就没有斜，所以说条数是几条两条？对吧，一条这个垂直渐近线，一条水平渐近线，没有斜近线，所以说这个题啊，你发现非常好。对吧，这个二点四三这个题你下去过程当中看看啊，这个题是具有点拔高减呃感觉的。啊，下去过程当中好好进行去拔高一下好了，那么接下来我们继续，

我们再来看看这个题。好，再来看看这个题。那么这个题啊，你发现一个事情，它让我们进行求什么斜渐近线？那我先来看看有没有水平渐近线？水平渐近线的话，就是趋向无穷大。那么，趋向无穷大的话，你发现诶无穷大，无论是正无穷，负无穷，都是平方下正无穷，

正无穷加一正无穷，那这人永远是二分之派。然后趋向无穷大，这个人抓大头，上面抓三次方，下面抓平方。送你最后去哪无穷大。所以说这个时候你发现无穷大加这个数肯定没有。没用啊，这个极限结果是没用，那么因此在这种当中，我们只用去求什么求斜求斜的话，你发现就是is趋向无穷大。用你怎么办？除个x。

你除一个is了之后的话，你发现第一项除个is就变成了这个样。第二项除了个s就变成了s分之一arctangent一，加上x方这个结果好，本题结束了，你告诉我事情。第一项极限是多少？这是一吧。然后接下来你发现无穷大分之一，这结果是零无穷小，然后这个结果呢？是有机。无穷小乘有界是，无穷小无穷小极限是零，所以说这是一。

那么，接下来我们再来看看BB这个结果的话，就是I趋向无穷大，然后用这个y-ax。y是多少呢？我们抄一下x趋向无穷大y是x三次方x方加上一，然后再加上arctangent。一+x^2，然后再减去一倍的x。好，这个题我们稍微整理一下，你把这个第一项和第三项很明显整理一下吧，或者你直接看。你发现这一项是无穷大。然后三次方比这个人大无穷大。

无论是正无穷也好，负无穷也罢，这都是正无穷，正无穷加一正无穷。阿尔克贪着正无穷二分之派。所以说这个题的话，你发现见到存在的东西，我就拆出去，拆出去，拆出去了之后的话，你发现就求解这个极限。对吧，拆出去变成它。所以说接下来过程当中，你把第一个人整理一下s趋向无穷大平方，

加上一。然后这是三次方减去三次方减x。那所以说这个结果就是多少就是负x。然后加上这个人，这极限是二分之派，那你告诉我第一个极限多少？第一极限的话，你发现你抓一下，下面比上面远远大，这个结果是零，这是二分之派，因此结果是二分之派。所以说这个题你发现它就是y等于多少as+b本题结束。你看这个题啊，我们立即就做完了，

所以下去过程当中，你要想清楚，你看这个题啊，这题难度不大。大家有没有发现这个渐近线的题，核心重点都在干嘛？求极限。啊，这个渐近线的题的话，你发现核心重点就是求极限。嗯，你不要这样学习。我建议你把斜渐近线就斜渐近线水平，渐近线就水平渐近线，当然这条斜的渐近线的话，

你发现你把它翻一翻，翻成这样子就是水平了。你硬生生的一定要把它两个东西说谁包括谁，谁包括谁。啊，你不用这样去学。你就把这两个东西，你发现你就看看它是两个事情就行了，水平就水平，斜就斜就行了，你当然你要是硬生生这样说，这个斜接线，你把它扳平了，它就平了。好，

这是这个事情，过去了可以吗？下去好好想想。好了，这是我们讲的这个二点四四这个题过去了，可以吗？那么接下来我们就继续。嗯哦，这里面当中啊，你其实做到那个作业的那个题啊，你就知道了。你要是做了那个作业的一个题啊，你什么都知道了。呃，你可以不用判，

你就直接进去去求鞋也行啊，这只是一种给你们说的一种习惯，你要想这样做的话，你就按照这个习惯进行处理就行了。你比如说你去看看这个题。呃，这个题啊，它让你去求斜渐近线吧。当x趋向于负无穷的时候，这个人结果就是一。去向负无穷的时候e的负无穷是零零+1是1 ln 1是零哎，你发现没？负无穷方向就有水平了，所以说我求这个斜近线，只用去求正无穷方向。

你听得懂我的意思吗啊，就是一些习惯嘛，你这眼神稍微嫖一嫖就行了，不会浪费你时间的，对吧？你眼睛过程当中去看看。啊呃，不用分左右的话，两边就不用分了啊。你也可以直接上，直接上也行，没有关系的。直接去做也行，没有关系的，所以说我觉得基础班吧，

养成一个好的习惯，不影响啊，前期慢一点都没关系好了，那么接下来呃，我再讲五分钟可以吧？好，我再讲一下，五分钟好了，我们继续啊，我们再来看看最后一个内容。呃，如果你们那边这个图书馆关门了呃，大家呃，先回家好吧，你回头过程当中再补一下就行，

很快就没了啊。啊，这个今天挺不好意思的，拖了这么久趟好了，我们来看看这个最后一个问题曲率。这个内容是数学三同学不学的。啊，数学三同学不用学啊，数三同学不学，但是我们三九六同学在大纲里面，那么接下来过程当中，我们先来看看定义。啥叫曲率啊？曲率是什么东西啊？那么，

在这里面当中啊，我们来画两个二维的迪卡坐标，系你来稍微瞅一瞅。那么，在这里面当中，我们来看看这个问题。啊，我们来看看这个事情，你来看这个人。呃，我在这里面当中给两条线。给到这个点。我来问你个事情。我想说这两条线哪个人更弯呢？你眼睛一瞅都知道诶，

这个人更弯对吧？我一看就出来了，那么同学们告诉我个事情，我们再来看，请问这两条线谁更弯呢？你不要跟我说，你还能看出来哦。这两条弦谁谁更完呢？你觉得谁更班？是不是有点不好看了啊？是不是有点不好看了，所以同学们注意一个事情，你发现你看出来就看出来了。你要看不出来怎么办？你看不出来是不是要算出一个数据？

你得算出一个数据进行去评比一下，到底谁更慢？所以同学们注意什么叫曲率呢？他就是来干这个事的，但是你要注意啊，首先第一件事他没出来。我怎么进行去看看这个曲线有多弯呢？我们是这样做的，我们说诶，这个圆怎么这么丑啊？我们是这样做的，我们是过这个点做一个与之相切的一个圆哎，你看这个人。哎，注意啊，

我们做了一个与之相切的圆。哎，与之相切的圆。这个圆叫什么呢？这个圆叫曲绿圆。做了一个这样的圆。这个圆叫什么呢？这个圆叫做曲率圆。哎，这个线在这个点处的曲率。呃，这个事情啊呃，就是你你有没有小学的时候的话，或者你初中的时候你玩过那个小时候你玩过那个悠悠球，你玩过没？

玩过没？就这里面当中，你看。这有有一个圆。玩过吧，玩过那个悠悠球对吧？玩过吧。就这两条线，中间的话，那个就是它的一个曲力圆。啊，曲力源，你发现一个事情，当然的话，你高中过程当中，

你如果学学过物理啊，物理的话，你发现你学过那个叫什么？这叫呃轮，这个什么？这叫这叫滚轮，是不是啊？轮轴。啊，是不是这个事情哎？你发现就是这个没有？它其实就是这个情况，就是你一转的话，你发现这个圆哎旁边两条线滑轮哦，对叫滑轮啊，

这个发现啊，对叫滑轮。那这个滑轮的话，你发现你看旁边这两条线哎，它也叫这个程。所以你发现一个事情，我们可以这样评比，那这个圆的话，它就有半径，你看这个半径r1，你看这个半径r2。对吧，这个半径这个半径叫什么呢？这个半径叫曲率半径。对吧，

曲率半径r。但是大家有没有发现一个事情，你半径越大了，你这条曲线是不是？越缓呐。你这个半径越小了，你这个人是不是拐弯程度越急呀？你当然是这样，你发现你比如说地球，你站在这个地球面上进行去走的时候多平缓呐。就跟平地一样，所以半径越大越平缓，半径越小越急，但是你想象一个事情，数学当中我不喜欢这种。

你越大了，我反而越小。越小了，反而我越急，我不喜欢这样，我喜欢正相关，所以在这里面当中怎么办呢？我就在这里面当中取个倒数，我定义了一个东西叫曲率。我取了一个什么东西呢？你的半径分之一，我把它定义成了叫曲率，那这个时候你想象一个事情，当你曲率越大的时候。你的半径就越小诶，

你半径越小的时候，你这个拐弯的程度是不是越高？所以将来过程当中啊，比如说举个例子，我给你画两条线。说谁的曲率大，你更弯，你更大，谁更弯，谁更大。就是你这个线越弯越大，越弯越大，越平缓越小，你看这个时候是不是导致的它是个正相关好这样的一个问题点？所以说接下来过程当中，

我们在考研过程当中，我觉得三九六同学，我们只要掌握住这个内容就行，曲率怎么算这个公式啊？不用去推，你会计算就行。这个曲率计算就是y的两阶导，然后是一加上y的一阶导数的平方，它的二分之三次。但同学们注意，这个公式不对。你发现这个人是正的二阶导数，有正有负。你这个曲率是半径分之一，永远是正的吧，

所以说这中间有个绝对值关系。两者之间啊，有个绝对值关系。所以同学们注意啊，怎么去算呢？把这个公式给背过。公式给背过它就可以了，比如说我们来看看二点四五这个题。你看这个题给了一条曲线，然后让我们干嘛呢？让我们去计算这个曲率半径是不是计算曲率啊？那曲率的话，你发现就算出一级导数算出二级导数嘛。那么，同学们想想参数方程，

求导会求吧。参数方程会求导吗？你当然会呀，你看参数方程的一阶导，参数方程的一阶导就等于y对t比上s对t能跟上吗？然后接下来你发现y对t是多少二t加四s对t是多少二t，除下去就是一加上t分之二。然后这个取这个参数方程的两阶导就等于一阶导数对t负的t方分之二。然后再比上一个什么x对t求导分之一，我先问一下这个事情能看得懂吗？好看懂同学跟我回复个一，你要看不懂啊，你得好好反思一下了。你应该知道我在干嘛吧，这个二阶导数就是一阶导数对t补上一个x对t求导分之一。

那么，接下来过程当中，你发现这个结果就是负的t的三次方分之一代进去，把t=1代进去，这是三。把t代进去负一。好了，这个东西你发现一个事儿，我们就立即把它带完了，带完了之后的话，你发现这个曲率是多少呢？来我们带公式啊。来这个二阶导数的什么东西呢？这个二阶导数的绝对值来带进去，二阶导数绝对值，

这是一。然后是一加上一阶导数的平方，这是九它的二分之三次方，也就说多少十的二分之三次方。十的二分之三次方就是十的三次方再开方。那么，同学们想想三个13个十开出来，一个拍一个十，所以说这题答案选几啊？答案其实就是。100分之根号十，对不对？是不是就选b啊？是不是？啊，

这题就飞了。你注意啊，老头子非常讨厌。哎，老头子非常讨厌。人家这个题啊，没有让你求曲率，人家让你求的是曲率半径，你要注意这个半径等于曲率分之一。翻译一下十倍的根号十选c。哎，这老头子，你看清楚吗？多贱呐。所以在这里面当中，

你发现一个事情，他给你玩了一个花眼，他把这两个答案都放在这，结果你算着算着，你算嗨了，你算嗨a。100分之根号是all选b不选c。老头子真坏。好了呃，那么这个题我们就讲到这下去过程当中啊，好好进行去处理吧啊，好好进行去处理，把这个类型问题啊，好好进行去做一下，我把这个今天的作业我们来布置一下。

呃，然后这个下次过程当中，我可以把这节课的作业当中的几个题啊，我可以讲一讲好不好？同学们呃，今天你再把136题再重做一下。你今天就会做这个单调递增区间了，你就会做这个人了啊，137，138，这都是做过的，对吧？39。40，41。

四十二四十三。叫我看看啊。好，做到158题之前。哎，做到158题之前。呃，这里面当中有几个题是稍微难一点的，没有关系，有几个题稍微难一点，你比如说你像这个题对吧？啊，由于这个题，这俩题都稍微的难一点，然后你慢慢做，

我们比如说这个题。啊，这个题稍微的难一点呃，稍微的难一点呢，我们在这里面当中，我下节课过程当中啊，把这些题讲一下。然后这个题你就进行去看，昨天晚上的睡前系列就行，好吧，你去看昨天晚上的睡前系列。然后这个三九六的这个群呐呃，我们周六我再建，为什么呢？因为接下来过程当中不就有不定积分的百题代刷吗？

是吧，不定积分要刷题呢，所以说我们在这种当中啊，甄选一下，你如果能把这个不定积分，这几天你都坚持下去，然后我们在这种当中啊，我再把你拉进去。好不好呃？所以说我觉得也是一种督促作用嘛。对吧，我觉得是一种督促作用，你坚持六天，把这个不定积分的这个训练给我训练下去。因为这个不定积分的训练太重要了，

所以说接下来的这个周六你去看看课表对吧，接下来这几天我们就进行不定积分。所以说接下来过程当中啊，我们有三天的课程，紧接着接下来的六天时间内，每天过程当中都做不定积分的训练。所以我相信非常非常的好啊，所以希望同学们下去过程当中好好练习一下好，那么今天部分内容我们就说到这。呃，下去过程当中啊，把这个相对应问题啊，好好处理一下吧，好吧，同学们，

行吧，那么今天课程我们就讲到这儿，自己下去过程当中啊，把相对应问题啊，好好进行解决一下。好不好？同学们行吧，那么今天课程我们就说到这呃，马上进行去导笔记啊，今天不好意思呃，这个拖了50分钟时间。啊，讲了三个点了呃，也算把这章讲完了，注意啊，

后面没有布置的题先不做啊，没有布置的题先不做158题之前。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好吧，同学们行，周六见吧啊。

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13.【加餐】导数微分学应用（C）-2

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