13.【加餐】导数微分学应用（C）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:39:49

行，那么接下来我们就继续开始我们今天的课程吧，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六精宗数学的这个基础班部分的课程，那么在上次过程当中啊，其实我们已经进入到第二章最最后一个部分内容叫做导数的微分学应用。呃，这个板块内容有些同学反映说哎，

老师这个东西难度系数有点大，对吧？在这里面当中，我先说一下，我们在上节课过程当中的要求啊。远远不输于这个数学三，所以我们在今年过程当中，尤其是三九六同学呃，一直我跟全程班同学们去讲。你不用进行去跟着这个数学三同学的课程来走，因为我们今年过程当中的基础班的要求就达到了，这个基础部分的巅峰。所以下去过程当中好好消化一下呃，我觉得一个问题点吧。声音小是吗？

好，现在声音小吗？好，现在生意怎么样了？好，现在怎么样了？可以了是吧呃，所以说同学们注意啊，没有关系啊，你才第一个阶段着啥急对吧，第一个阶段先把东西啊打的扎扎实实的。呃，所以说我在这里面当中，我再强调几个事情啊，再大一点。

你们稍微等一下可以吗？哎，我先问一下，我这个声音跟以前的声音。有区别没？哎，我这个声音跟以前的声音有区别没？有没有因为有的时候是这个话筒的声音，有的时候是那个电脑的声音啊？嗯，没有是吧？好，那么接下来我们就继续吧，好吧？哎，

那我们接下来就继续开始。呃，在这里面当中，我简单再提示一下，哎，大家注意啊，不要着急啊，不要着急，这是第一个阶段。哎，这是第一个阶段的课程，所以同学们注意第一个阶段呢，我们的核心重点一定要注意一个事情，就是基础内容。大纲考点。

哎，考点。全面哎，学习这是我觉得非常重要的事情，所以说你发现一个事情经验过程当中，我们的基础班的第一遍。其实有些同学都会感觉到啊，在这里面当中很多部分的内容跟以前过程当中有些冲刺的要求都很像。有人说啊，老师，你怎么现在过程当中就有冲刺的这种感觉？不是这样子的，因为去年过程当中啊，我们确实这个考研三九六同学的难度系数上涨了。所以今年过程当中，

我们在这里面当中啊，要求也是更高一点，所以今年你完完全全跟着这个全程班的课程呢，继续去学习就行。但是同学们注意，我们也不是一下子把这个东西啊，难度系数拉到最大，我们也是从基础零基础基础慢慢的来。不要着急啊，现在才是第一个阶段课程，我们今年暑假过程当中还有强化班呢，那么在后续过程当中还有这个啊冲刺班呢。还有我们遵义今年过程当中的模考卷啊，这个今天过程当中啊，我刚好去了一下高等教育出版社。

呃，这边的话已经敲定了啊，然后今年过程当中，我会在这边呃出版的这个模拟卷，今年过程当中啊，应该是预计会出现出这个十套卷子。所以我相信今年过程当中，对于我们三九六同学，我觉得知识点的东西啊，资料的东西啊，是完全足矣的，所以下去过程当中好好来。不要着急啊，不要着急，切记不要着急，

所以说下去过程当中，我觉得还是这个事情，你要注意上课一定要进行听课。哎，听课这个听课完了之后一定要进行去整理，大家注意啊，一定要进行整理，不要不整理就进行做作业。整理完了再去做作业。如果作业当中出现了问题，注意如果作业当中的内容出现了问题，你再进行去回看，哎，这个上课听课部分的内容，有些东西是不是没有把它消化到位？

所以同学们注意啊，这个作业的核心主要的目的呢，一个事情是进行训练，一个事是检验，我们上课过程当中的一些部分的问题啊，有没有把它学清楚？我觉得这些事非常非常重要呃，所以说希望同学们好好来啊呃，按理说了这个。呃，这个基本上也是敲定了啊，然后的话最近我也在正在准备，就开始写了今年暑期的这个强化讲义啊，我们也是在这个会在高等教育出版社出版的，这个正式的图书。

所以说你今年暑期过程当中啊呃，我相信比这个数一数二数三同学还要好的一个点，就今年的模拟卷，还有今年的话，这个暑期的强化讲义。啊，这两本我们基本上今年过程当中啊，我会做大量的这个修改，因为毕竟是这个正式出版物，所以后续过程当中啊呃，你们都不用管，都会给你们进行邮寄。而而且的话，另外一个事情的话就是呃，大家都知道这个教高等教育出版社是这个教育部直属的，

这个出版社。那么，今年过程当中，这个三九六精宗数学我们都知道，配合大纲有一本大纲解析啊，这个今年过程当中啊，这本大纲解析今天刚好去谈了一下这个事。那今年过程当中，这个大纲解析也有可能在在我这边，刚好去写这个事情，所以希望同学们下去过程当中啊，你好好来。至少我觉得这个三九六过程当中的这个命题的趋势啊，你好好跟着这个课程啊，完完整整的。

好了，同学们不多说了，那么接下来过程当中啊呃，希望同学们下去过程当中把这个相对应的这个事情好好做啊。好了，这个问题啊，我们就说到这，那么接下来过程当中啊，我还是来把上节课部分的知识点先做好一个复习。哦，我先说一下。你下去过程当中有没有把这个东西好好整理一下？好整理完的同学给我回复个一呢。有没有整理啊？呃，

就上节课过程当中啊的东西，你会发现一个特点，就是这个部分的东西稍微的会散一点。对吧，东西会散了一点点。就是你明显会发现一个事情，这个东西呃，比我们高中学的这个东西内容多，我们高中过程当中就学习一个基本问题，就是什么情况呢？就说。呃，拿到导函数进行去判断，单调性导函数大于零，单调递增导函数小于零，

单调递减，但是你明显会发现一个事情进入到这个考研数学的这个复习啊。在这里面当中的知识点，它的切片化的东西啊，稍微的会多一点啊，没有关系啊，这个作业题是这样，如果这个题你没有做出来，没有关系，你下去过程当中啊，你再把这个知识点，你就算对照着答案，把这个东西改正过来。下次过程当中会处理就行，没有任何问题好了，

那么接下来我们把这个单调性稍微复习一下，明显可以看出来比高中内容学这个东西啊，学的更加的深入一点。那么，首先我们先来看看第一个问题，点单调性，其实你发现最难的就是在这儿。呃，这个板块内容其实你发现难度系数稍微的会大一点，但是同学们注意啊，今年考研过程当中的最推货也就这些核心知识点。你把这几条内容好好进行串联一下，基本没有问题了，好，我们先来看看第一个事情单调性，

我们进行去利用一阶导数判断这个函数的单调性。啊，一阶导数判断这个函数的单调性，那么在这种当中利用一阶啊，这个导数进行判断单调性怎么说的呢？他这样说。如果这个x是属于一个什么区间？那么，在这个区间上的导函数，如果它是大于零，我就说什么情况，我就说这个函数在什么情况，在这个区间内它。它是单调递增。大家注意啊，

必须是区间。那这个区间可以是B区间，也可以是开区间，可以是无穷区间，也可以是有限区间，但是你要注意一个问题，它必须是区间。在这个区间上，导函数大于零，它单调递增区间上导函数小于零，单调递减，但同学们注意一个事情，如果在一个区间上导函数大于等于零的。你能一定说这个人其实就叫单调不减吗？其实也不能这样说，

因为在这个题目当中的话，我上课过程当中给你画了两幅图，你还记得吗？对吧，我画了两幅图，那么在这种当中，我把这个事情啊，再重点说明一下，你来看这个人，我们先看第一个人，这是y。0x。那么，接下来过程当中，我们看这两个事情。

那这个人是不是单调不减？最重要问题啊，不是说有没有等于零的点，而是什么情况？有没有一段恒为零？所以在这里面当中，你比如说举个简单例子，你看我画一个三次方，它在这个点处的导函数也等于零。但是我仍然是严格的单调递增，所以说是不是单调不减，不是说有没有等离，是有没有一段？横为零，你要注意这个事情，

有没有一段横为零？所以这里面当中的这两个信息点，一定要把它梳理清楚有没有一段，所以说如果有一段恒为零，那这个时候怎么办？我就说这个函数在这个区间上。单调怎么办？不解。哎，单调不减。那么，同学们注意一个事情，如果是光进行去研究一个函数的图形走向，你在乎这个事情吗？我不在乎。

为什么呢？无论是严格的单调递增，还是单调不减，图形走向都往上跑。但是，在具体研究这个东西的事情上，我又比较在意这个事情，能理解我的意思吗？就说我在研究图像上无所谓。反正一直往上跑，反正就是往上跑，管他呢，但是在具体研究这种问题的时候，出这种题的时候，你还是要稍微小心一点。

所以在这种当中啊，我们经常有一个易错点，什么样的易错点呢？我把这个事情我们再做重点的，说明什么样一个事情就这样的事情。如果对于任意的x属于一个区间，我导函数是大于零，我当然可以推出什么，我推出这个函数在这个区间内。严格的单调递增。但是同学们注意一个事情，你在这个区间内严格的单调递增，你能推出来大位顶吗？当然不行。因为如果你严格的单调递增，

你发现这幅图也是严格的单调递增啊，应该是能推出大于等于零啊，这个考点内容你发现看。这就是一大核心考点好了，注意，这是第一大核心考点内容。好过去了吧，今天一梳理就过去了，将来知道这件事情就可以了，好过去了，那么接下来我们再来看看这一块考题过程当中还会考第二个考点。叫做什么情况？如果只知道一个点导数的正负性，能不能决定邻域内的单调性啊？当然不行。

我说这个点处的导函数大于零，你说这个领域当中就单调递增不对，除非什么除非导函数在这个点处是连续。哎，一定要注意这个事情，所以同学们注意一个问题啊，你把这个事儿想清楚哎，想清楚就行，除非导函数在这个点处是连续的。所以下去过程当中好好想想。这个事情啊，有些同学又容易想到什么事情呢？又容易进行去想到，哎，我们之前过程当中讲过。

如果函数在这个点连续导函数的极限，也能等于该点导函数值啊，大家注意一个问题啊，我们原来讲过这个事情。请问这个点处的导函数能够跟该点处的导函数结果极限相等的前提条件是什么？前提条件什么？前提条件有两个，第一个条件是这个函数在这个点连续吗？这是第一个条件。但是同学们注意，还有第二个条件呢，你不要忘了第二条件是这个极限是个数或者无穷大，只有这种情况下，它们才两者相等。所以说上次过程当中啊，

有个同学问这个问题，说老师上节课过程当中的这个题好像有点问题。对吧，他就想到这个事情。他想什么问题呢？他说哎，老师，你看函数连续那导函数的极限，不就等于该点导函数值吗？注意。还有一个导函数的极限是数或者无穷大呢。千万不能是震荡的。所以这两个条件都要满足，不要就学一个条件，所以有的时候你发现能不往上面想，

你就不要往上面想。呃，既然谈到这个题啊，我又想到了一个事情，这个前两天过程当中啊，可能有些同学看到的，对吧啊，也是我们这个今年过程当中的睡前系列。受到了很多同学呃，这个不是同学，是同行的这个关注啊，我觉得也挺有意思，就这个题。应该是一道数学，一数学，

二数学，三同学的题，但是如果是你去看我们三九六同学的这个税前系列，应该看的是41题。哎，就这个题，你去看看那个数学一数学二数学三是之前讲的一个题，那么当时过程当中啊，我讲这个题的过程当中啊，是这样讲的。我先把这个事情我先说一下，你好好听啊，不要影响我们班的同学就行。那么，当时过程当中，

我讲这个事情，你可以去听一下41题，我们讲的这个题。那么，当时过程当中，我们来看看这个题目，它的操作来，我们来看看这个题。那么这个题的话，你发现一个事情，他说什么情况？他说这个函数在这个点的邻域内可导。同学们，想想这个函数可导是不是推出的是这个函数连续啊？没问题吧？

哎，你发现一个事情，这个函数可导推出的是这个函数连续能不能推出导函数连续啊？能不能当然不行？如果仅凭这句话的话说，谁可导谁连续那fs可导，怎么能推出导函数连续呢？当然不行。那么，接下来过程当中，我们看看这个极限，那么这个极限的话，你发现有个同学是这样做的，他说分母的极限是零。因此，

在这里面当中啊，我们就立即推出了分子的极限结果实例。对吧，没有问题吧，然后这个同学说哎，导函数的极限，结果等于该点处的导函数结果。然后接下来你发现一个事，他就在这里推了，说s趋向s0，那这个点处的导函数结果等于零，然后这个时候你发现往后面一凑就得到了二阶导数的结果。它大于零，那么同学们告诉我这件事情行不行？行不行你看吧，

在这里面当中是不是有点问题，原因点在何处呢？导函数的极限，结果等于该点处的导函数结果吗？不相等吧，所以说当时我录制这个视频的时候，我就专门说了这个问题，我说有个同学出错的点在何处呢？他认为导函数是连续。所以说在这里面当中，我打了个叉。然后有人就把这个东西啊给我截了个图啊，截了个图说哎，你看你这个题说错了吧，你这个题有问题啊。

大家注意，其实这个题是可以的，但是你要注意一个事情，我上课所说的这样的一个重点问题，我说什么，我说有一个同学，他认为。函数可导推出了导函数，连续得到这个结果，我打了一个叉，你可以去看看原视频，原视频上面都有。那么其实这个题的话，你发现是可以的，那这不就是我们上课讲的内容吗？

你发现看这个函数可导这个函数连不连续？这个函数是连续的，而且分母极限是零分子的极限，也是零分子的极限是个数。就是导函数的极限，结果是个数函数是连续这两者相不相等相等。如果你走这条路线，它当然相等啊，但是你注意一个事情，我打叉的原因说的就不是这个事儿。哎，所以说你发现这个只要不干扰我们班的同学，我觉得什么事情都行啊，我一直觉得就是你站到你自己的，我觉得在反正从我角度上而言，

站到自己的一方天地里面。啊，跟我们的同学的话进行去想清楚就行了，好这个事能理解我的意思吗？哎，这个问题。好吧，继续回来。能听懂吗？我相信你是能理解我什么意思的啊？这个点呢，一定掌握清楚就行，好这个事儿我们就继续回来。所以同学们一定要听清楚啊，是什么问题呢？

说这个函数连续导函数的极限，结果是个数或者无穷大。那么，在这种当中，你发现一个事情，它是可以的，好，这个事儿我们就说到这儿，所以同学们记清楚一点，导数的正负心。波决定邻域内的单调性，除非导函数在这个点处是连续的好，那么接下来我们再来看看第三个事情。单调性的处理思路是什么？上节课讲过吧，

如果一个题让你去判断单调性，拿出这个函数去求导。如果一级导数的正负性出来，单调性就出来了，如果一级导数的正负性没出来，那么接下来我们就进行去求二阶导。能理解吧，直到谁的正负性出来为止，我们顶多到二级导数就可以了，我们的考题到二级导数就可以了。一般情况下，一级导数就出来了，所以说如果这个正负性出来怎么办？再去找上一级为零的点。哎，

再去找上一级为零的点，这就是思路，那么上节课过程当中，我们还讲了函数不等式的证明吧，注意一个事情，这个内容不重要。哎，这个内容不重要，我们只需要理解思路就行，因为我们的考研过程当中不会考察证明题，所以同学们注意不会考证明。因此，我们只需要了解思路是什么样子。它的做题是什么移项？设个函数求导怎么办？

上单调性那么在这种当中得到了两个重点的不等式，还记得吗？es- 1。大于等于ss，大于等于多少ln 1+s。这个事情还记得吗？只有在is=0的时候，你发现成立。只有在x=0的时候等号成立哎，等号成立。跟得上我的意思吗？下去过程当中啊，好好想想好了，这就是我们在上节课过程当中啊，讲的单调性，

我觉得就几个事情呢，三个事情第一个事情。你知道这个问题吗？好，第一个考点过去了，你知道这个问题吗？好，第二考点过去了，第三个事情怎么判断单调性就是拿到函数上导数就行。正负性出来就结束，出不来再求导，能理解吧好这三个事情达标了，我觉得三九六同学，我们今年去处理单调性的问题，没有任何问题。

当在上节课过程当中啊，还讲了一些函数的构造性的方法，还记得吗？遇到什么样子构造什么，遇到什么样子构造什么，讲了六种情况的构造方法，还记得吗？好，我想问一下，刚才这些知识点都在大脑当中，请给我回复个一。刚才这些问题啊，都在脑子里面，请给我回复个一，那么接下来过程当中，

我们再来看看机制。那么，在上节课过程当中啊，其实我们发现讲极致这个内容是非常非常关键的。极值非常关键，因为这个部分的问题是我们在考研中的黄金重点内容好，我们先看第一个问题。极值的定义。哎，极值的定义，那么同学们想想一个事情，极值是怎么定义的？极值是怎么定义？极值是一个邻域概念。我就比较这个函数值。

我就比较这个点处的函数值，跟邻域内的函数值之间的大小关系，所以同学们注意它应该是一个什么关系啊。它是个邻域概念。邻域当中的这个值和邻域当中的别的值之间的大小关系。如果这个点处的值比两边的值都要大，它就是个极大值，比两边的值都要小，它就是个极小值，非常轻松，同学们注意啊。你学数学先接受这个概念。对吧，你先接受它，人家就是这个定义的，

这个点比两边都大极大值，两边都小极小值邻域概念。所以说出题可以怎么出呢？出两种题，第一种题怎么出可以画图？把图像画出来之后，山峰都是极大值，山谷就是极小值。这第一种题，第二种题怎么办？设极限的题。你可以怎么办？求出这个点处的值，一般是零。加上保号信，

就能看出旁边是大于零还是小于零，你看这种题。所以说我们今天晚上的睡前系列的题就是这个题，你所以下去过程当中好好想想听得懂吧，哎，注意一下这个问题。然后第二是能取极值的人有几种啊？注意啊，这个人的可疑点有几种，我只说的是可疑人有几种，两种，一种点叫做导数为零的点。一种点叫做导数不存在的点。哎，导数为零的点和导数不存在的点，

导数为零的点叫注点，导数不存在的点一阶，导数不存在的点。这是两种可疑人，对吧？我说了，这是太子，这是王爷，只有这两种人才能登机，那么所以说同学们，我问你个事情。如果一个函数在这个点处取了极值，导数一定为零吗？不一定能取极值的人有两种，要不是导数为零的点，

要不是导数不存在的点。那怎么样才能一定是导数为零的点呢？加上一句话且可导，那就干掉了，不可导点，它必须是导数为零的点，同学们能听懂吧？好，那么接下来我们继续，我们再来看看第一充分条件，那第一充分条件怎么说呢？注意这里面当中是这样说的，说如果这个函数在这个点连续。注意，这是个前提。

这个函数在这个点处是连续，然后接下来过程当中啊，一定要听清楚啊，这个函数在这个点连续，然后看的是什么？看的是一阶导数，在这个点两侧的正负性变化，跟这个点没有关系。是这个点两侧的这幅性变化。左边是正，右边是负，先增后减，极大值左边是负，右边正先减后增，极小值左边正，

右边正，左边负，右边负不取。哎，绝对不取你左边增右边增，不可能取的左边减右边减，不可能取的。所以同学们记清楚一阶导数，在这个点两侧的正负性变化，不要看这个点。你下去过程当中，把这个知识点装到脑子里面好，最后一条内容，他说什么？他说如果在这里面当中，

你听好了。一阶导数等于零。且二阶导，数不为零。我一定去移植。哎，我一定取你大于零极，小值小于零极大值。所以说做一个极值的题啊，我们的操作性方法应该有两步，第一步干嘛呢去找到可疑点，第二件事情进行判定。判定方法有三种，我要不然怎么办？我判断这个点处的值和邻域当中的函数值之间的大小关系。

哎，这第一种第二种什么情况呢？我可以判断一阶导数，在这个点去心邻域两侧的一个正负性变化。第三件事情求二阶导数，能想清楚吧，就看每个题他喜欢干嘛？我喜欢看一阶导数，两侧正负性，喜欢看一阶导数正负性，我就选第一，充分条件，我喜欢进行求二阶导数值，我就用第二，充分条件。

好了，同学们，那么接下来我又要讲两个重点了，好注意一个问题。一个注意点。哎，这个注意点很重要，那么接下来过程当中啊，我们来讲讲这个事情。先来看第一个问题，哎，一个注意点，这个注意点很重要。我来问你个事。刚才说第二充分条件，

说一阶导数等于零。二阶导数不为零。我一定取极值。那如果在一个点处的话，你发现二阶导数也等于零，你能不能说明剥取极值？你能不能说明这个函数在这个点处？剥取机制。能不能你思考？我一阶导数等于零，我二阶导数不为零，我当然去。那如果一级导数等于零二级导数也等于零，能不能说明不取呢？大家注意，

这件事情一定不行。一定不行。所以说我们经常讲的叫做第二充分条件。说如果一阶导数等于零呢？二阶导数不为零，这种条件发生了之后一定是取。我们不能说取这个什么极值点的一任，一定是这个人。哎，注意啊，不一定是这个人，所以同学们注意这种事情怎么办？失效了。这种情况下，第二，

充分条件失效了，记清楚了。它是一个什么失效了，那么在这种当中，我可以给你举两个例子，比如说同学们，我们先来看第一个例子。第一个例子的话，你发现比如说我们举个例子y=I三次方。你看这个人，他在这个零处呢，一阶导数等于零吧，他在零处的二阶导数呢，不也等于零吗？好了，

这是这个事情，好了，行行行，不要再说什么逻辑那个了，那么在这里面当中，马上可以看出来诶，这是y这是零，然后这是x。那这里面当中，你发现这个人的图像就是这样啊。看清楚了吗？我一阶导数等于零，我二阶导数也等于零，你发现这个函数在这个点数是不是极值？不是即时没有取吧，

有同学说啊，老师，你看你举这个例子对的呀，你看我再给你举一个。再举一个好，再看第二个人，如果这是y=s四次方，你在零处的一阶导数等于零吧。你在临处的二级导数识别等于零。但是你发现一个事情，现在这个函数图像什么情况好，我们再来看。这个时候的话，你发现你看这是y这是零，然后这是s这人的图像就是这样。

那你告诉我这个点取不取？诶，我又取了呀。所以说一阶导数等于零，二阶导数等于零的点有可能是取了机制，也有可能不取机制，那这种情况说不清楚的。所以同学们注意一个问题啊，如果一阶导数等于零二阶导数也等于零，此时第二充分条件是。失效请你换方法。你无法判断的，那这个点处有可能取，也有可能不取，你得换方法，

你得换一种方法，有可能得换到第一充分条件，有可能得换到什么定义法，得换条件。能掌握清楚吧，好这个事情掌握清楚给我回复一。记住这个问题啊，一阶导数等于零，二阶导数不为零，一定取，但是一阶导数等于零。二阶导数也等于零哎，你就注意你这个方法失效了。你此时失效了，好这个问题。

你困了。这么重要的课，你要困了。下节课就要刷不定积分了。哦，精神病。好了，这个部分内容我们就讲到这，那么接下来过程当中啊，我们就继续，我们再来看看第二大核心重点，注意啊，我们考研过程当中喜欢考一种考题来再来看看。第二种考试黄金重点考点。哎，

黄金重点考点来，我们再来看看下面一种考点那叫什么东西，叫做求解函数的。单调区间。呃，这件事情在考研过程当中，我们贼喜欢考这个数一数二数三呐，不太喜欢考，但是我们贼喜欢考。你发现一个事情，这不就是你的青春吗？啊，你曾经高中三年过程当中，你发现你最擅长求这个事情了，求解这个函数的什么单调区间？

那么，求单调区间怎么办？那么，这里面当中我们来看看有两步，第一步我们先看第一步。第一步，干嘛找函数等。注点与不可导点。找这个函数的注点和这个人的不可导点，所以同学们注意啊，这种类型问题啊，太模式化。极其的模式化。就这个部分问题，你再怎么不会做题，

你也会做题。因为你发现一个事情不需要动脑，非常机械贼机械机械的干嘛呢？首先第一件事情你去给我找一下重点。然后去找到什么不可导点，就是一阶导数不存在的点。等你找到了之后的话，那么紧接着我们再来看看第二步。哎，你注意一下，这是第一步，你先把它找到，找到之后的话怎么办？第二步画表。画表判定单调区间。

语义机制。所以同学们注意一个问题，这种类型问题啊，难度系数一点都不大。非常的畸形。就找到这个人的驻点，找到这人的不可导点，为什么这两种点是极值的可疑点，也是单调区间的，有可能的分界点。你极值嘛，你极值的话，你发现一个事情，如果你取极值了之后的话，你看你是山峰，

你或者是山谷。你山峰的两侧单调性发生改变，山谷的两侧单调性发生改变，所以说这两种点是极值的可疑点，也是单调区间。发生改变的可疑点，你能理解我的意思吗？所以你就进行找注点，找不可导点，然后接下来过程当中怎么办画表，然后再来怎么办判断它？我给你看一下。这个以前年份的过程当中，你们三九六的这个金钟数学啊，我给你看看，

从二零一一年开始看。以前的话，你发现这个三九六金宗数学，我们是从21题开始的，以前过程当中有这个选择题，然后后面过程当中还有大题。你看这个时候每年过程当中啊，都有一道这个题，你看给了一个函数，然后怎么怎么样，求极值问题，我给你从后面看啊。然后到了这一年过程当中，你发现看给了一个函数过程当中，求这个人极值，

那个时候还有大题呢。本大题十啊十小刀，然后过程当中每题五分，总共50分，那时候题量还挺大的，但难度系数真不大。然后接下来过程当中，你再来看看这个二零一三年啊，这也是这样，但是你发现这些题啊，你看这个题。这个题跟刚才那个题就非常相近。啊，非常相近，然后紧接着到了二零一四年，

我们再来看这里面当中还是会有这样，如果这块没有出啊，它就是在前面，你看求单调性。求这个什么东西呢？求这个极值。然后在这里面当中就继续再往下看，还是会有这样，如果这一块不出啊，前面肯定会出啊，单调性和极值的问题。单调性和极值的问题，你看这种呃，求这个点处的导函数求解什么呢？这个人的导函数情况求解这个人的单调区间和极值问题。

呃，这是以前，但同学们注意啊。出啊，当然出啊。当然出啊，怎么可能会不出了呢？哎，我给你看看现在而言的话，它也会出的，同学们注意啊，你不要以为现在它不出了，它现在也会出的。我在这里面当中，我给你看看这个事情。

那么，在这种当中，比如说你来看看这个考题形式，你不要小看这种题啊，有的时候出的还挺难的呢。就这种题，有些同学最害怕这种题了。比如说我们看看这个去年过程，你看这个题。

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