12.导数微分学应用（B）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:39:35

那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个第二个人呃，有没有证出来就把刚才的思维方式稍微复习一下就行了，对吧？好，那么接下来我们来看看这个事情。好看看第二人。你发现还是让我们进行去验证一下这个啊，不等式的问题，那么在证明这个不等式啊，我们的核心重点第一件事情一向设函数吧。先移过去，移过去了之后的话，你发现函数就设出来定义域是s大于负一。

然后第二件事情，我们就求导，然后看单调，那么求导一下的话，你发现就是一减去多少s加一分之一，然后这个结果等于多少s加一分之s？x这个人。那同学们想想这个人的征服性，看出来没？能看出来吧，因为下面这类呢，永远都是正的。那所以说上面大于零，它就大于零，上面小于零，

它就小于零，所以在这种当中结果就可以写了，第一事情如果s大于零。那这个导函数呢？导函数它就大于零。然后第二事情如果s小于零呢，这个导函数它就小于零。好，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们再来看看，如果你发现这个大于零，那我就说明这个人单调递增，如果小于零，我就说明这个人单调递减，

但注意啊。小于零，它是有个范围的，它是负一到这个点，哎，这是你要注意的。那么所以说接下来过程当中啊，你就进行思考一下这个人图像对吧？思考一下，那就说我先进行减到零。又从零增上去，你想想一个事情，你要不要知道这个零处的值啊？我当然要知道啊，我肯定要知道零初值零代进去是几就是零。

所以你发现零处，结果就是零，也就说我要减到零，我要怎么办？增上去那你发现看这是负一啊。那说明这个函数图像就永远位于s轴上方，所以在这种当中马上出来这个函数就等于多少等于is-ln多少。一+s这个结果是大于等于零。只有等于零的时候，你发现取个等号，哎，只有在这个点处取个等号。那么，接下来过程当中，我想说一下。

这俩题的证明过程都不重要。啊，就这两个题的话，你发现证明过程都不重要。因为今天过程当中，我想把这个结论给你，但是当然得证明一下这两个结论不重要，对于我们三九六同学不重要。数一数二数三同学贼重要，因为他们可能会考这种大题，但是对我们而言不会出，因为我们只有这种小题。所以在这种当中，理解思路是重点，听懂我的意思吗？

怎么进行去判断单调性的，不等式的问题是怎么进行研究的，掌握住思路是重点，听清楚我的意思吗？好，这个事儿我就讲到这儿，掌握住思路才是我们这节课的一个重点，哎，这是一个重点内容。所以说对于我们三九六同学要有侧重点，那我们要的是什么呢？我要的是这两个结论，这俩结论呢，你必须给我背过。这俩不等式将来过程当中会有重点考察。

那么，二一年考，二二年考，哎，你发现到了这个今年过程当中，我们依然是重点，那么所以说接下来过程当中，我们把这两个人呢？我们来一起来背一下。怎么去记呢？我给你教一个方法。有些同学可能说，那我用泰勒公式的方法也能记住。但注意啊，你听话哎，

你听我来讲，我让你怎么去记你就怎么记，因为将来过程当中还会有重要的用途，听懂我的意思吗？哎，注意啊，那么接下来过程当中，我们来看看这个图像。这个图像一定要把它记住。那么，在这种当中，我们来看看第一个事情，这是y，然后这是零，然后这是x。

那么，在这种当中啊，其实有三个人，第一人的话，你发现你注意将来过程当中啊，我们有自己单独的用途，我让你记住东西，你一定要。哎，你要前期过程当中不太清楚这个考点，你稍不听话啊，那你发现这是s，然后这里面当中出现条线，这是多少？这是es。

然后这是谁啊？这是louie。哎，这是ls。那么很明显，这些人之间呢，是关于y=s对称的啊，当然是对称的，那么接下来过程当中，我们来看看。那么，这个部分的话，你看这个点是几啊？这是一吧？对吧，

这个一如果往下一移呢？就移到零，所以在这种当中，我就往下移一下，移一下了之后的话，你看。这个点的话，刚好是这样。哎，画的有点丑。你看刚好到这，刚好到这了之后的话，你看上去，所以说这条线就是es- 1。啊es- 1，

你从图像上都能看出来这个es- 1啊，这块儿没有焦点啊，我把这个东西稍微的往上挪一点。哎，没有交点，也就是说什么情况呢？它只有在这个点处相交，这是它唯一的交点，所以我从图像上就可以看出来。es- 1这个人永远位于s的线的上方，只有什么情况只有s=0的时候取等号。哎，注意只有这个点处取等号能记住吗？同学们，这幅图必须背哦。

必须背二一年，还出了一道难题呢。好多同学不会做那个题，一会过程当中我们来讲好第一个事情，记住了吧？来再来看。那么lin的话，你看这个点肯定是一。这个一的话，你发现我可以往左移动一个单位啊，如果往左移动一个单位的话，你发现图像就变成了这样。那左加右减的话，刚好是加一。那所以说你发现它刚好就在这块有个交点。

对吧，所有人的话，你发现焦点就在这。只有在这个点处有交点，那么因此从图像上看呢？我们来看看，那说明什么情况s？这个人就大于等于多少ln 1+s？只有什么时候取等号，只有等于零的时候取等号。诶，重点内容，所以说这两幅图必须给我背过。没有任何商量余地。这两幅图必须记住，

对于我们三九六同学不是重点黄金重点，你让我怎么进行去强调这个重要性呢？打星号嘛。打星号嘛，我愿一直打下去啊，我愿一直打下去，我要一直打下去，黄金重点不行，我必须把它敲出来。不然引不起很多同学的这个注意力，你是不知道这两个不等式的重要性，大家注意黄金重点内容。黄金重点不等式。所以在这种当中，一定要把这两不等式啊，

给我记住，它太重要了。包括这个人的图像哎，包括这个图像一定要把它记住，就说你发现一个事情挥之不去，盘旋不已，对吧啊，就有这种感觉。好，这俩事儿我们就说到这儿俩不等式。能记得住吧，对你说对了。y=s就是这个函数在这个点处的公切线，你可以求解的。你可以求的这多简单呀。

所以在这里面当中，你比如说举个例子，你看这是es- 1，我想求出这个点处的切线方程吧，那就求导呗。求导了一下的话，你发现导函数就是es在零处，刚好是一，所以你发现我们写这个切线方程，切线方程怎么写y就等于零，再加上什么一再乘上s- 0。不就是y=s吗？你说对了y=s其实就是在这个点处的公切线。那么，原来过程当中，

我还让你背过一个不等式的图像，你还记得吗？那个图像不知道同学们还记得吗？当时有同学说右手用泰勒公式也能记住，我说让你背图像，你们还能不能记得住啊？第一个事情是这个tangent。tangent这个人。诶，怎么就画不到这个上面这个点呢？哎，tangent。你可以求解一下啊，这个点的话是二分之派。你可以求一下这个切线来tangent，

在这个导函数就是second方，它在零处是多少？cosine零是一分之一就是一。所以你看看这个点处的切线方程呢y就等于零+1倍的x- 0，所以说就是x。哎，就是I，所以没有问题，那么接下来过程当中，我们再来看。然后这个部分的话是sign。你可以求一下s in在零处的啊，这个导函数s in求导就是cos在零处是一，你看这点处的切线斜率是一来继续写切线零，加上斜率是1 s- 1，

又是y=s。所以y=s这个人呢，其实就是s in和tangent在这两个点处的一个切线的情况。注意啊，我让你背这个图。把这个图背过，然后接下来过程当中，你看这一段比你大，将来就拦不住了，我将来就会都比你大。你看延伸出来，我都比你大，所以说零到二分之派的时候是t an ENT比s大，比s in大。但是只要s大于0x，

都会比s in大。但是贪政体不行，贪政体这一段，然后他堕落了，对吧啊？他就不行了。好，这个事儿一定要听清楚好，不要跟我牵扯这个东西，太的公式啊。哎呀，这怎么又用这个图形备胎了公式呢？怎么就会有这种奇思妙想呢？不要在这想对吧？你想到这个切线，

我觉得非常好，备注这个图形非常好，泰勒公式你就记泰勒公式就行。我知道用t的公式能记住这个不等式，但是用图像备注这个不等式是考研当中的第二大核心考点呢。所以说把这个图像一背波等式记住了，第二个核心考点又掌握清楚，何乐而不为呢？哎，所以说同学们注意啊，我一直给你讲这个事儿，不是说这个不等式，我们还要进行去处理别的类型问题呢。等下下下节课，等我们的不定积分训练完，

你什么东西都知道了，我今天不讲了，好这个事儿过去了。能记得住吗？一定可以好了，这个问题点我们就说到这，所以说刚才过程当中的证明不重要。真正比较重要的是这两个图啊，这个不等式必须把它记住好，那么接下来我们就继续，我们再来看看今天的黄金重点内容。下面的事情机制问题。好，再来看这个点机制。那么，

在这种当中啊，首先我们先看第一个事情极值怎么处理呢？极值不陌生吧，高中就学过的内容。高中就学过机制，但是你不信，你问一问自己。什么是机制？啊，什么是记者？什么叫其大值？什么叫极小值？你不信你问问自己，你根本就不知道。这高中学习的一个巨大问题，

你发现我也会求我求出导函数之后画表，然后的这个基础出来了。但是你发现什么叫机制呢？好有同学说导数为零的点就是极值，好请注意这件事情，这是大错特错的点啊，你先记住了。局部当中的最值这句话说的也不精确。局部的最值也不进去。什么叫极值呢？那么今天我们就重点讲这个事情，高中其实很忽略这个问题的，大家注意它是个什么概念？淋浴概念。哎，

领域概念。区域也不对，说区域也不对领域。它其实是个淋浴概念，什么叫淋浴啊？同学们，我问你个事情，一个东西有淋浴，它必须是个什么情况？比如说这个点的淋浴必须是什么情况？既要有左边，也要有右边。不是说限定很小的范围，抱抱好大家不要发挥了好，你好听吧，

听我来讲吧啊，不用发挥了，大家注意啊，淋浴。什么叫淋浴呢？这个点既要有左边，也要有右边，两边都得有。两边必须都得有你，只有一边不行，你只要要只有一边的话，你这叫领域吗？这不叫哎，注意啊，领域是。

既有左边也有右边，挨得又很近，那么在这里面当中，我们来看看第一个事情，我们来讲讲什么叫做极大值呢？在淋浴当中最大，你就是个极大值。什么意思呢？比如说这个点。哎，这个点，然后你发现一个事情，这是零。对吧，这就是我的领域哦，

这是领域。这个邻域的话，你发现一个事情，你看你这个点处的函数值。好，这个点处函数值，这个点处函数值在邻域当中是最大的。就领域当中最大的话，你就极大值，比如说你看你这个点函数值比左边大，比右边大，你就是个极大值好，这个点就是个极大值点。哎，极大值。

所以同学们想想一个事情，如果你是个极大值，你需要比所有人都大吗？你只需要怎么办？你只需要比你旁边的这个人大。比你旁边这个人大就行，你听得懂我的意思吗？你必须是比你左右两边都大。同理而言，如果你是个什么值，如果你是个极小值。哎，注意一下，你这个点是个极小值，你只需要怎么办？

比你左边这个人小，比你右边这个人小就行。能听懂我的意思吗？哎，这种情况它是个极小值。极小值，所以你是个极大值，比你左右两边都大就行，你是个极小值，比你左右两边都小就行。但是我觉得这样说啊，有些同学可能呃还引不起注意力，我以前过程当中每年讲这个什么呃，以前一九年之前我还讲这个呃，线下课程，

现在基本上都不怎么讲线下课程。那么，在这里面当中啊呃，讲这个面授课程的时候啊。我都会举这个例子，比如说你看这是你班的座位表。好吧啊，座位表，然后你发现个事情，假设这有三排座位哎，三排座位，三排座位啊，三排座位，然后这是过道。过道了之后的话，

你看这是座位，这是座位啊，你看你好好听啊，我来说一下这个事情，那么然后的话，同学们注意，那边我就不画了。哎，那边我就不画了。我经常讲一个事情，什么叫极致概念呢？它叫小组第一。他不是全班的第一，他小组第一，比如说举个例子，

你看这位同学a同学。a同学要想成为极大值，你就干掉你旁边的两位同学就行了。你听懂我的意思吗？你只要比你左右两边的这个同学优秀一点，你就是个极大值。你需要比你全班同学都优秀吗？不用。你想成为极大值，你就比你旁边的两个人优秀就行。同理而言，如果这位同学想成为极小值，你只需要比你旁边的两个同学菜一点就行。能理解吧哎，所以说同学们注意啊，

就是这样的一个简单问题，就说你想成为极值，你只需要比你两边的这个人大一点，两边这个人小一点就行。你需要很远处吗？不需要，你需要比这个同学，这个同学怎么样吗？不需要跟他不用比，所以我叫做小组第一。那我想问你个事情，同学们琢磨一下这位同学能不能成为极智啊？有没有资格？没有，他没有资格，

为什么他只有这个左边，他没有右边啊？他没有右边，他没有领域，所以说他没有资格，因此你发现一个事情，我又讲这个事怎么进行去判断机制呢？我们可以从图形走向上进行判断机制的问题。好了，那么接下来我们就继续看，你发现我给你画一个函数的图像。然后这里面当中，这是a点，然后这是b点，然后大家都给我看看这个事情。

这样画吧，好同学们，你来告诉我个事情。请问这幅图当中有几个极大值？有几个极小值？啊，有几个极大值？有几个极小值？那么，在这种当中，我们来看看吧，非常简单，你看这个点。这个点就比左右两边都大，比左边大一点，

比右边大一点，它是个极大值，注意啊，是极大值，不是最大值。然后你看这位同学，这位同学比左边大一点，比右边大一点，哎，这是个极大值。然后你再看这位同学，他比左边小一点，比右边小一点，他就是个极小值，这位同学比左边小一点，

比右边小一点，他就是极小值。所以每当我讲这个事情的时候，我都想讲一句话，这句话就叫横看成林侧成峰啊。对吧，只要你是山峰，只要你是山峰，你就是极大值，只要你这个人是山谷，你都是极小值。山峰都是极大值，山谷都是极小值。对吧，山峰都是极大值，

山谷都是极小值。所以说只要你看到的是山包，哎，这是都极大值，只要你看的是深股，这都是极小值，那么同学们告诉我这俩点有没有资格成为极值？没有，你看这个点虽然比左边优秀，但是没有右边，它成为不了，比如说你看这个点，虽然你发现它比右边呢差一点，但是左边没有。所以记住啊，

第一件事情端点值，没有办法成为极值，因为极值是个邻域概念。从图像上看，山峰都是极大值，山谷都是极小值。哎，山峰都是极大值，山谷都是极小值，那我想问你个事情，我说极大值一定比极小值大吗？对不对？对不对？那就错完了。你要说极大值都比极小值大，

那这不一定，比如说你在现实生活当中，你见到的山峰都是极大值。见过的这个啊，这个低谷都是一个极小值。哎，都是极小值，所以同学们注意一个问题，你发现一个事，你看比如说我来用画一幅图，你看这是一个山峰。哎，你看这是个极小值吧？这是个极大值吧。哎，

你发现个事儿，我这个极小值比你极大值还大呢。所以它不一定是这样，就在你人生当中，你发现每当经历这种一个低谷，它应该是个极小值低谷极小值。它不是最小值，每当你经历过辉煌的时刻，它应该是个极大值，它不是最大值。对吧，当你进行所有人进行比较的时候，你能比较出最大和最小能理解我的意思吗？好，这个事儿我们就讲到这儿。

所以说这就是我们在这本当中啊，介绍的第一个问题，你要知道什么叫极致啊，极致这个事儿非常重要，那么接下来我们再来看看第二事情，哎。极值的可疑点。极值的可疑点。我讲的是什么？我讲的是可疑点。嫌疑人。嫌疑人一定就是最后的话，娶的那个人吗？那未必。大家注意，

能取得极值的人有两种。嫌疑人有两种，一种点叫做导数为零的点也叫驻点。诶，也叫注点，什么叫注点呢？注点就是导数为零的点。所以说一个题的话，让你检验这个人是不是注点，你就检验导数为不为零，只要导数为零，就是注点，注点就是导数为零的点。然后第二事情就是一阶导数不存在的点。也就说，

驻点和不可导点嫌疑人就这两种。如果说你发现能成为的嫌疑人能成为最后的极值的人，只有这两种。要不是导数为零的点。要么是导数不存在的点有嫌疑。啊，比如说这个去年和前年你像这种新冠的时候，我就会讲这个例子。比如说你是一个什么？比如说你是密接，你有嫌疑，比如你发烧了，你有嫌疑，但是你密接的就一定去嘛，那不一定。

你发烧了就一定去嘛，不一定叫嫌疑人。那么，现在而言的话，今年过程当中，我又改了一下，因为这个这个我我已已已经不想再进行去回忆那个什么，这个疫情期间了，对吧？所以在这里面当中，我们再换一种哎，你发现我就说什么呢？我把这个人叫太子。我把这人叫王爷。哎，

注意啊。你发现一个事情能够登机的人就有两种。哎，就说你发现能够登基的人只有两种，哎，成为最后能上位的人只有两种，要不然是太子，要不是王爷，注意啊，没有别人了啊，没有别人，没有第三种人了。听懂我的意思吗？哎，就这两种。

只有太子和王爷，要不然是导数为零的点，要不是导数不存在的点。所以说同学们一定要想清楚，只有这两种人。但是你发现呃，刚才有同学说什么叫极值点导数为零的点就是极值点嘛，那不对。你要说导数为零的点就是极值点，那这废了。那么，在这里面当中，我们来看一个事情，你看我说一个事儿，如果说这个函数。

它在x0处取极值。你听好了。如果它在这个点处取极值，我就说什么情况，我就说这个点处的导函数一定等于零，对不对？对不对？它在这个点处取极值，它的导数一定为零吗？那不一定啊，能够登基的，除了导数为零的人，还有导数不存在的人呢？不光导数为零，还有可能导数不存在，

比如说我给你举个例子，我给你画一个图。那么，在这里面当中，你发现一个事情，我来给你看看这个函数。这个函数是绝对值。看到这个人了吗？请问同学们，这个点是不是极值点？是不是啊？山谷啊？山谷就是极小值点。它就是取极小值啊，但是你发现一个事情s=0呢，

导数不存在。它导数是不存在的。我取极值了呀，但是我导数不存在啊，你不是说取极值导数一定为零吗？那不一定啊，所以同学们，而且导数为零的点一定是极值点吗？那也不一定啊，我再给你举个例子。这是I三次方法。你在这个点处，是不是导数为零？但这个点是极值点吗？不是山峰，

也不是山谷，不是极值点。你导数不为零的呀。所以同学们注意一个事情，你听清楚了。导数为零的点和导数不存在的点是极值的嫌疑人。可疑点最后能上位的只有这两种。你现在说取了极值，就是一定是导数为零吗？那不一定，还有可能是导数不存在，那同学们想想，我如果就想让这个人上位，你怎么办？如果就想让这个人上位，

你就干掉这个人。你怎么干掉这个人？你加个条件，你怎么加一个条件就干掉他了？你就加一个且导数是存在的。导数就为零哎，你发现这样就可以了。如果我取即止，我导数是存在，我导数存在就不可能是这种王爷，那太子一定上位。所以同学们注意这个东西叫什么，这个内容叫做极值的必要条件。哎，极致的必要条件，

它的名字也叫费马引礼。废马引力。然后我们的同学啊，有些同学也把它叫做太子定理啊。啊，就这个意思啊，算了，这个。这是开玩笑的啊，但前面两个是真正的啊。对吧，极值的必要条件，废马引领。就很明显一个事情能取，你说你取极值了。

要不是太子，要不是王爷，对吧？你发现一个事情，你要上一定是他，你就说导数存在就行，你就干掉他，哎，所以说这件事情你想清楚就行。能琢磨清楚吧。那么所以说接下来过程当中，我就问你个问题哎，你听清楚啊，请告诉我。导数为零的点。

叫注点听啊，理解你看到一些书籍当中啊，他喜欢在那里面注，然后加深了很多东西，然后在里面写注点，不一定是极值点，极值点不一定是注点是注点。也未必是啊，不用不用去背那些脑子要转，我问你个事情。请问如果你是注点，一定是极值点吗？一定吗？注点一定是极致点吗？不一定，

你只是有嫌疑，不一定。极值点一定是重点吗？那也不一定取极值的人，也有可能是王爷上位导数不存在的人上位，那也不一定。所以你发现这两者之间啊，其实没有什么关系，如果硬生生说有关系有关系，就说你是我的嫌疑人。你是我的可疑点。哎，记住这个事情，所以说今天过程当中啊，结束了之后就不要再跟别人说注点啊，

这个极值点就是导数为零的点，这大错特错啊。这就根本就把这个东西的话，你发现一点都没学清楚。那说明以前过程当中这块东西呃，绝对都是非常混乱的啊，根本没有理解清楚，但今天我相信你要理解清楚。能跟上吗？能取极值的人有两种，要不是导数为零的点，要不是导数不存在的点。所以接下来过程当中，我们再来看看第三个事情。那你想那如果说我找到了这个可疑人。

对吧，我找到导数为零的点，导数不存在的点，这是嫌疑人，你到底这个人取不取呢？我还需要判定啊，我怎么判定呢？我的判定方法就是。第一，充分条件和第二，充分条件。好，先来看第一充分条件。第一，充分条件怎么说呢？

他这样说的，他说我要进行去判断一阶导数，在这个点。请注意了，我要判断的是一阶导数。在这个点。去心领域两侧。哎，去心领域两侧。跟这个点没有关系，我要看这个点区域，新领域两侧。把这个新药去掉。跟这个点没关系，我要看这个点两侧。

我就看看这个点的两侧的。这个什么正负性变化？如果你发现一阶导数左边是正，右边是负，我就是先增后减，极大值左边是负，右边正先减后增，极小值。哎，这不高中内容吗？但是请记住一个事情，一定是什么领域，一定是区域新领域。你得把这个心给去掉，所以在这里面当中，

你发现图像上也非常好看。到图像上非常好看，你发现这是y这是零，然后这是s，然后这是多少s0？你看左半边是正导函数大于零，单调递增，右边是负导函数小于零，单调递减。所以说它的图像是不是就这样？你就说这个点是极大值吗？我想问你个事情，我现在写的这个条件对不对？我就说一阶导数在这个点两侧的单调性变化，对不对？

左边是正的单调递增，右边是负的单调递减，我就说这个点是个极大值，对不对？当然不对呀，那万一如果这个点它在这儿呢？你不就疯了吗？你在这个领域当中，这个点有可能还比两边都小呢。你不疯了吗？所以大家注意，你得加个条件。你得加一个什么条件呢？你得加一个，这个点就在这儿的条件，

这叫什么连续你要注意啊若。fx就这个函数啊，它在这个点处是连续的。如果这个函数在这个点处连续左边增到我这个点，右边减到我这个点，那这个时候你发现我就是个极大值。这才可以，所以因此要注意一个事情函数，在这个点处是连续的。一阶导数在这个点两侧正负性变化，不要看那个点是两侧正负性变化，我就取一极值。左边真，右边负，先增后减，

即大值。左边负，右边真，先减后增，即小值。跟得上吗？同学们。好，这是我们讲的这个第一充分条件啊，第一个内容。过去了，可以吗？能想清楚吧啊，要注意啊，判断方法函数，

如果在这点连续一阶导数在两侧正负性变化。他就去移植好，这是这个人，那么当然在这里面当中还有第二充分条件。那第二，充分条件怎么说的呢？他这样说。如果这个函数在这个点处，一阶导数等于零。而且你发现二阶导数，如果它是不为零的，我就说什么情况，我就说你一定在这个点处取极值。一阶导数等于零，二阶导数不为零，

我就在这个点处取极值。你要注意啊，一阶导数是等于零的，二阶导数是不为零的，我就在这个点出取极值。所以说你发现一阶导数等于零二阶导数不为零，我就在这点去极值，那如果是大于零呢？大于零是极小值。小于零，是其大值。所以说这样的话，你发现我的判断性的体系就学完了，你看考研过程当中的极值，就学这几条。

学第一学可疑点，学第一充分条件，学第二充分条件。啊学定义可疑点第一，充分第二，充分。能掌握清楚吧，所以说每个部分的内容必须把它装到脑子里面，哎呀，第一是什么？有哪些人是嫌疑人对吧？判断方法是什么？第一，充分条件怎么说？第二，

充分条件怎么说好了？同学们，你在大脑当中给我进行回复一下，哎，回顾一下。然后接下来过程当中，我给你30秒的时间，你去把刚才的想象诶第一怎么说的？可疑点有哪几个？然后在这里面当中，第一，充分条件怎么判断的？第二，充分条件怎么判断的？好想清楚，

想清楚同学请给我回复个一，慢慢想啊，我给你30秒时间，你去想想。那么，接下来我们来总结题型。好，你把这个事情好好想想，那么接下来我们可以总结了。好了没有？可以了是吧？好，那么接下来我们来看看这个事情。我们先来看看考研中。极值的判定思路。

哎，判定思路，那么在考研过程当中啊，你发现如果拿到一个极致的判定，你发现一个事情，你第一步会干嘛？啊，如果让你去判断这个极值第一步干嘛？当然，去找嫌疑人呐，你不觉得是吗？我想进行去看看这个人的极职有哪些人，我当然先找极职的嫌疑人呐。所以说第一件事情找可疑点。先把这个人的嫌疑人找到，

哎，注意啊，只是嫌疑人到底取不取呢？我不知道，反正有嫌疑，我先进行取这个什么？找到这个人嫌疑人，然后接下来过程当中，我们再看第二事情。对吧，先找可疑点，然后接下来过程当中，我们再判定。你有嫌疑一定取吗？那未必，

你只是有嫌疑，所以接下来过程当中，我们判定那么首先第一件事情，我们先看看第一种方法。你有什么方法呀？那第一种方法我当然可以用定义法呀。定义法行不行？行啊，定义法当然行啊。定义法第一个事情，如果你能把图像画出来，那就可以啊。或者你知道淋浴当中我是不是最大？对吧，你发现个事情，

你把这两件事情确定下来，他不就可以吗？你要不然把图画出来，我横看成岭侧成峰山峰极大直山谷极小直。或者你看领域，我这个点就在领域当中，我是老大，我老大的话，你发现我就极大值。啊，这个如果是最小的，你就是极小值。那么，接下来过程当中，除了这种方法之后，

我们来看看还有第二种方法没？当然有啊。那除了这个第一种方法的定义法，我们还是有第一充分条件吧。对吧，第一，充分条件，除了这个，第一，充分条件，这种方法我们是不是还有第二，充分条件？所以你看，这就是我们在考研过程当中处理这种问题当中的一大核心重点体现。首先第一件事情先找到可疑点，

你找谁呢？你就进行去找，哎，这里面当中第一个事情找到，这里面当中。啊第12找到一阶导数为零的点，它叫注点，第二事情找到一阶导数不存在的点，哎，它叫不可导点。好，这第一个事情，然后第二个事情再判定一个事情的话，把图像画出来，用定义法把这个领域，

我知道这个人在领域当中最大极大值。领域当中最小极小值好，这是第一法，然后再来看看第一充分条件，那第一充分条件看什么就看一阶导数。一阶导数在这个点两侧，不要看这个点是去心领域，两侧正负性变化对吧？两侧正负性变化。如果是第二充分条件呢，一阶导数等于零，看二阶导数为不为零？那这就是我的方法体系啊，所以将来过程当中你发现考研当中如果让我们进行去判断极值的问题，我的核心思路就这样。

对吧，这就是我的思路。那么，第一件事情干嘛？第二件事情干嘛？有哪些部分的操作性方法？我就掌握清楚了呀。好了么？同学们好，听明白了给我回复。呃，这就是我们在考研过程当中判断机制的核心思路。哎，核心判断这个极值的类型问题，我就这样处理的。

好，这个事儿我们就讲到这儿，那么接下来我们来通过几个习题啊，我们来训练一下，我们先来看看这里面当中的二点三二这个题。你先看这个题。慢慢来啊，不要着急。他说这个函数是连续的哦，这个函数是不断的。哎，不会断，然后说什么导函数的图形，那导函数图形，它的导函数谁？

它的导函数不就一级导数吗？好一阶导数图形，那同学们想想一阶导数判极值用什么方法呀？你得选方法呀。一阶导数判几值。什么方法？当然是第一充分条件。因为第一充分条件就是用一阶导数来判极值的，对吧？我就选第一充分条件，那第一充分条件，我的思路是什么呢？我就要看这个点两侧导函数的正负性变化。左边阵，右边负，

先增后减，极大值。左边负，右边阵，先减后增，极小值。所以同学们注意，我就怎么办？判断一阶导数在哪个点两侧正负性变化。好先找可疑点。导数为零的点可以导数为零的点可以导数为零的点可以没有了吗？还有导数这个点不存在。导数不存在的点也是可以好，这四个人都是可以的。找到嫌疑人了之后请注意，

我只看这人两侧，不看那个点啊，这是我的判断方法嘛。你高中不是这样做的吗？你高中画表的时候，你发现这x这是y导，这是y，比如说你画表的时候，你看负一到一，一一到二，如果这是正，这是负增，这是减，这是零，这是极大值。

你高中不也让做的吗？你就看这个点的什么两侧看不看这个点不看这个点，比如说这个点不存在，那不还是增这减不是极大值吗？所以同学们注意这个事情，不要看那个点。就看这点，两侧先看第一个人，左边正右边负，先增后减即大值。左边负右边正先减后增几小时，左边负右边正先减后增几小时，好再来看看绿色。那绿色这个部分的话，你发现左边正右边负，

先增后减即大值。所以同学们注意，这个点也算，所以两个极大两个极小答案选c。很多同学容易把这个题啊，选到了b选项。哎b，选项绝对不对，不要漏掉了这个绿色这个点。不要看这个点不可导点，不是网页吗？导数为零的点不是太子吗？都是有嫌疑人的好，这个事情能学清楚吗？啊，

非常简单，就说脑子里面要有货，你脑子里面有东西进行做题的时候当然简单，脑子里面当中啊，要有货啊，把这个东西啊好好整理整理。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看下面的问题来，再来看下面的题，二点三三这个题来继续看这个题。来看这个题。那么这个题啊，给了一个题目，然后让我们去判断零处是极大值还是极小值，

二分之派是极大值还是极小值？那首先第一件事情，画图肯定不行啊，所以定义法不要用哎，定义法就不用了，那么所以说接下来过程当中我们选什么？别管选第一，充分条件还是第二，充分条件先找可疑点吧，找可疑点就是导数为零的点还是导数不存在的点，肯定要求导呗。所求导的话就是前导后不导前不导，后来导，然后再减去三，然后这个结果就等于is倍的cos。

你验一下吧，你看零处的话，导数为零二分之派，处导数为零，同学们告诉我导数为零的点是什么点？导数为零的点是注点吧。注点一定是极值点吗？不一定。注点是极值点的可疑点。有嫌疑未必去。那么所以说这个题的话，你发现这个题你用第一充分条件做还是第二充分条件做？那你就要观察一下了。你是喜欢看这个点两侧正负性变化，还是想进行求二极导数？

当然这个题啊，求二阶导数更直接，但是这里面当中把两种方法都讲讲吧。呃，我们先来看看第一充分条件啊，我们先来看第一个人来先看当s=0时。好，我们先看第一个点。如果在零的话，你就要进行去研究零的这个点的两侧的正负性变化。哎，零的两侧。零两侧的一阶导数整数型变化。那你想想。cosine 0是一吧？

cos 0是一的话，你发现零处是一，那身边的两个部分呢？那身边两个部分这块肯定是正的呀。那这个正的话，你发现那就用这个人，这边是负的，这边正的先减后增几小值没问题啊。能理解吧，好了，我们再来看第二事情，你还可以看二分之派啊。那二分之派的话，在这里面当中，我们继续看，

我继续拉条线。好，再看这个人，这二分之派。在二分之派这个点处的话，你发现是二分之派是正的。这个点是正的的话，你发现那这个点的附近一点点，你还不是正的吗？你还是正的。你还是正的话，你核心重点就看co sin，co sin是往下减的吧？对吧，往下减呢，

这边是正的，这边是负的。所以说就是先增后减即大值，因此这题选几啊就选b啊。你看就出来了。所以在这里面当中啊，第一件事情啊，你要想清楚哎，这个人是什么情况？这人什么情况好？这是我们讲的第一种方法，当然在这里面当中啊，第一种方法绝对没有，第二种方法好。因为这个题你只需要在球下导就行，

那么前导是一后面不导，前面不导，后面才导致是负三，你就直接把零带进去。零代取就是一大于零一阶，导数等于零二阶，导数大于零极，小值把二分之派带去。cosine 2分之派是零，这二分之派这是一负二分之派小于零，那小于零的话就是极大值。那所以说你看这个题就出来了，一阶导数等于零二阶导数的话，这个人的大于零小于零出来，那这人不就出来了吗？

所以答案选b。能掌握清楚吧，哎，基本问题，所以下去过程当中啊，你好好想想这个问题。那这就是我们在这里当中极致的判定问题。所以你要好好进行琢磨这个事，那么接下来过程当中，我们再来看个题，你下面还有一道，我们再来看看二点三四这个题，你看这个题怎么做？来继续看，那这里面当中啊，

它说了一个事情。他说这俩人都具有二级导数。而且这个人的二极导数小于零，好同学们，你听啊，他说这个人是这个人的极值。是不是已经登机了？啊，已经上位了吧？他已经成为极值了，那同学们想想能够成为极值的人只有两种，要不然是导数为零的点。要不然是导数不存在的点，不会有第三种人。哎，

你发现不会有第三种人。所以在这里面当中啊呃，你不要在这里面当中啊，王侯将相，宁有种乎对吧啊，不要这样，没有第三种人啊，就是要不是驻点，要不是不可导电。那你想想一个事情。这个点。取极值且可导，那说明这个导函数怎么办？导数一定为零啊，所以你发现一个事情在这个点处的导函数，

它必须是等于零。你想想是不是啊？为什么能够成为极值的点只有两种？你不是成为极值吗？你要不然是什么导数为零的点，你要不然是什么导数不存在的点？但是你发现一个事情，我已经可导了，你不可能是这个人，你只能是导数为零的点，能想清楚吗？取极值。且可导导数为零。取积值有可能导数为零，有可能导数不存在，

但是加上且可导干掉，不可导点，只能是什么导数为零的点？要想清楚啊，好了，那么接下来我们继续看。他说了这个事情，他说什么？他说这个函数你把这个函数我记下，记成多少y=fgs？那这个函数取什么东西呢？取极大值的一个充分条件时。同学们，想想它的充分条件是什么呀？而且这个题当中出现了几阶导数，

出现了两阶导数，你会想什么？那充分条件当然是一阶导数怎么办？在这个点处等于零二阶导数怎么办？二阶导数在这个点处。你发现只需要怎么办？小于零不就行。如果这个东西满足了之后的话，你发现一定取一大值，所以说一级导数等于零二级导数小于零就行，你检验一下吧，好先看一级导数。一阶导数就是先对中间变量求导，中间变量再求导。然后这个时候你发现个事儿，

你就把这个x0带进去，而你倒知道gs 0就是零，那就是零，你看一阶导数等于零了。那么，接下来我们只需要进行去看二级导数，那二级导数就是前导先对中间变量求导，中间变量再求导。后面不等。那么，再加上什么情况，加上前面这个人不倒。后面来倒这一两瓶。那这人就求到这儿，那么所以说接下来过程当中，

你就把这个人带进去，把s0带进去，你都知道g撇s0就是零，那这是零。所以说就是f1撇gss 0。然后这是多少g撇撇s0？而你发现这人是谁呢？这人就是a，所以说就是f撇aj撇撇x0。它得小于零，你真是小于零的话，你发现这个二级导数又是负的，所以说你只能是正的，因此这题的正确结果选择什么选择b选项就行。如果你发现导函数大于零，

你就保证了二阶导数小于零，一阶导数等于零，二阶导数小于零，就是一个极值的充分条件。没有任何问题，你看这个题。所以说你发现这种类型问题，最重要的事情在干嘛？选方法对吧？选方法，选思路非常重要。好，这个事儿我们就讲到这儿，能听明白吧，掌握清楚给我回复一啊。

掌握清楚给我回复一。能听懂吗？好，这是这个事情。来再来一个题，我再讲完最后一个题啊，我们今天过程当中啊，我们就可以下课了，你下去过程当中，你再来训练一下。好了，那么接下来我们再来看下面一个题。哎，下面这题啊，比较重要点。

他说了一个事情，说如果这个函数。它在s=0处连续。哎，只说了连续，而且告诉我们什么情况，它告诉我们在趋向于零的时候。fs比上s方，它等于多少？它等于二零二四。好，这个人那么请问我就说则。a选项。a选项说什么？afs.

在is=0处。不可导b选项。fs在s=0处。可导但。导函数。不为零，然后c选项继续。然后说fs。在is=0处。取其大值。然后进去之后你发现再来写，然后这个人就在这个点处取极小值，你下次再整理吧，然后说什么呢？这个人在这个点处不取极值。

啊，就这几个人？取其大值。取极小值，然后这个点错不取极值。剥取机制。好，这是d选项，这是e选项。好了，那么接下来我们来看看这几个选项啊，我觉得这样一出啊就可以作为一道非常非常好，我们的考题对吧？我觉得这个题啊非常不错。那么，

首先我们先看第一个事情吧，你先来看a选项和b选项。a选项和b选项就说这个点处可不可导？已知极限求导数吧，已知极限求导数，已知导数求极限，是不是可以用导数定义啊？所以说这里面当中我们来解一下。那考导数定义啊。那考导数定义怎么办？首先第一件事情求该点值吧，定型求该点分母极限是零。则分子极限是零，这是第一步，你发现都非常简单定型求该点，

而且你发现这个函数在这点连续。连续就说明什么，说明这个极限等于函数值。马上就推出来函数值等比。哦，函数值等于。那函数值等于零的话，你发现一个事情，我们就来进行凑导数定义。那找导数定义的话，就是fs-f零是零。比上s- 0。对吧fs-f零是零比上s- 0，我就求这个人，那这个极限怎么求啊？

这个极限是不是用用已知条件？这个极限去凑这个极限，所以在这里当中你就补一下，当s趋向零的时候，你发现我喜欢的是平方。补一个s乘个s，那第一个极限是几？第一极限是二零二四，第二极限是零都存在可拆，那是零。所以你发现该点处的导函数是零，因此a选项和b选项都不选了。那AB选项都不对呀，那说明该点处的导函数值得是零。导函数是零，

说明什么？导函数值是零，说明这个点数是注点。哎，是重点。那注点是什么呢？注点是极值的可疑点。哎，注点是极值的可疑点。那取不去极值呢？取不去极值，我们来判断一下。那你想想一个事情，第一件事。这里面当中判断极值，

无外乎以下几个事情，你要不然是定义法。你要不然是第一充分。你要玩是第二重分。对吧哎，这几个人那么同学们想想一个事情，第一件事情只告诉了这个函数连续吧。只告诉了这个函数连续，你想想第一充分条件还能用吗？用不了了，因为第一充分条件用的是这个点两侧一级导数的正负性情况。是吧，这个点两侧一阶导数的正负性情况。不知道，因为你只知道在这个点连续附近连不连续，

不知道附近可不可导，不知道然后第二事情你再来看。第二，充分条件能用吗？也用不了，有人说啊，老师应该能用吧，用不了为什么你只知道这个点可导？附近可不可导？不知道二级导数更别学了，所以在这种当中啊，你发现这两种方法都用不了。只说了连续性。没有说这个附近的可导性。那一阶导数情况都不知道，

二阶导数情况怎么能知道？当然不知道，所以这两个方法都用不了。那既然这两个方法用不了，你还有一种什么方法，当然只剩下最后一种了，你只能用什么，你只能在这里面当中用定义法。哎，用定义法的话，你发现你就要比较零和什么情况零和这个邻域当中的函数的大小关系。哎，邻域的函数大小关系，而你都知道零处的情况是几零处是零哎，那零处是零的话，

你就要建信去看那。那在附近的过程当中，你是大于零还是小于零吧？那我想看附近的话是大于零还是小于零？对吧，我想看附近是大于零还是小于零，那在这里面当中怎么办？呃，不要凭感觉说话，你想凑定义，你去试一下就行了。你连一阶导数都出不来，你凑什么二阶导数定义啊，对吧？不要胡说话啊，

来我们继续看。那这个时候你发现一个事儿，那马上就知道哦，这个点处的结果等于零，我就想知道附近是大于零小于零，同学们告诉我用什么方法？保护性。对吧，用饱和性为什么呢？因为这个人是什么？这个整体是大于零的。这个极限大于零，那这个极限大于零，可以在什么情况在你家里面就是趋向零的过程当中，把帽子给去掉。

帽子去掉照样大于零。而平方永远大于零，平方永远大于零，那就说明这个人呢？这个人就大于零。哎，明白了，两边都是大于零，这个点处等于零，说明这个点处是什么？这一点处是极小值答案选d。所以在这里面当中啊，你要想清楚这个事情，这个题啊，如果你走了，

第一，充分条件和第二，充分条件，你说明在这里面当中啊，很多这个连续性和可导性之间的关系啊，你又没有把它串清楚。听清楚吗？注意第一，充分条件肯定用不了。第一，充分条件零处连续。那附近连不连续附近可不可导都不知道。你想凑二级导数定义，你前提知得知道一级导数啊，你这个人都导不到一级导数，

你怎么去凑一级导数定义啊？你凑不了的。根本凑不了的。好，这是这个事情，能听明白吗？哎，这个题非常重要，就说我知道了，这个点处等于零。那我想知道附近是大于零还是小于零，我就用保护性就行了。所以考研过程当中，喜欢这样考。给了一个极限，

用饱和性，然后过程当中就可以看出这个正负性好这个题。但同学们注意啊，我觉得没有讲完这个题啊，我觉得还得再讲讲。如果你这样做，我觉得做这个题速度就太慢了。哎，这速度就太慢了，如果我觉得咱班同学而言的话，基础阶段的话，肯定是需要把这个东西分析透彻的，因为我们在打基础。但是如果到了最后，我们做考研真题的时候，

如果用这种方法，速度太慢了。我就这个题的话，你发现你可以更快一点，那怎么操作呢？大家有没有发现一个事情？这个函数是个抽象函数选择题。我只要能取出一个符合在零处连续。取出一个这个极限等于二零二四的函数，我是不是就可以进行排除了？排除四个人最后留下的是不是正确答案？那么在这里面当中取非常好取啊，你就取多少，我直接就取这个函数为二零二四倍的x方。我就直接取，

我就取这个人的话，你发现我这咔的一笔二零二四，而且他在零处连续。那你在零处连续的话，你发现一个事情，这人的图像你都会画，那这人图像怎么画？这人图像就是这样。那这人是极什么值极小值，不是一个极大值啊，不对，不取极值也不对呀，而且你在这点处导函数呢，导函数等于0 AB也不对，正确答案只能选几选d。

你看这题结束了。所以如果你在考场过程当中，用这个方法，你做这个题啊，你只需要十来秒钟。有可能你发现十秒钟都用不到，就是你拿到这个题的时候，你发现直接咔嚓取取多少取二零二四倍的s方。五一取了之后的话，你发现这个函数在零处可导的呀AB都不对，导函数还是零呢，然后在这个点处，你发现横看成林侧成峰。山谷都是极小值，那不是极大值c不对。

剥取机制一不对，只能选择多少选一选项。你看这个题呃，但是同学们注意啊，我们是基础班的复习，这两种方法都得会听懂吧，哎，每一种方法都得会。无论是推演的方法，还是这里面当中举特例的方法，两种方法都得会因为打基础嘛。你不要过多的话，在这种当中技巧技巧技巧到最后还是需要一定基础的。有些题用不了技巧，怎么办？

你还得回到基础，所以学基础班的时候把基础的东西啊学到位，然后再进行去提升这个技巧性。好呃，那么今天这个部分内容我们就讲到这呃，注意一下那下节课我们有可能会把这个课程呢，往后面延一点。呃，下节课的话，你的课表当中啊，原本是这个不定积分的什么定义吧，我们可能把这个不定积分的这个课程往后面延一点。哎，所以说同学们注意下节课，我们继续来上，

后面部分内容，所以下下节课我们再进行这个不定积分。所以大家不用着急这个事儿呃，反正我们等于就是中间又给你加了一节课程。啊，中间又给你加了一节课程，因为这个微分学的应用在这里面当中啊，考点东西是比较丰富的哎，所以说希望同学们你不用着急啊。都是你的大纲当中要学的内容，你着什么急啊？哎，反正就是这个周我们就要进入到这个不定积分的训练了，所以你要稍微注意一下。好了，

那么今天课程呢？我们就讲到这儿，然后下去过程当中，然后再把作业做一下吧，就来看看作业啊。作业来布置几道。幺三六幺三七。幺三八。幺三九。幺四零。幺四一。幺哦幺四一就做到这吧。好，就做到这。做到幺四一一之前。

啊呃，剩下的题下节课做就行。啊，剩下的题目下节课做啊，东西可能就是比较多一点啊。啊，剩下的下节课再做吧啊。好了，这个事情我们就讲到这儿呃，下去过程当中好好进行去研究一下这个问题哎，你注意啊，我们三九六同学啊，这个基础班我在讲这个部分内容当中啊，我可能会多讲一点。那么下节课可能两个小时，

我肯定会拖堂的哦，我提前先讲一下这个事情，所以下节课呃提前。以一个最好的状态，然后来听这个课程嗯，下节课过程当中，我有可能会多讲一些内容，因为我们把这个部分讲完了之后啊，我还要进行讲。单调区间的求法，凹凸区间的求法，还有在这里面当中这个极值的这个什啊，这个什么，还有这个方程跟零点的求法的问题。也就是我们基础班过程当中，

你得达到这个能力啊，所以下去过程当中好好训练一下好，那么今天部分内容我们就说到这儿，你下去过程当中好好整理整理吧。好吧，同学们哎，今天内容可能是很多同学不喜欢学的，你要注意啊，一旦听到别的同学都不喜欢学，你就要好好学了。因为这些东西才是拉分点。你觉得好学的，人家觉得好学，你觉得简单的，人家也觉得简单，

只有你在别人的痛点上打打住，别人痛点你才会在最后过程当中，你会取得一些。比较优异的这种差异啊。好，这个事儿我们就讲到这儿，所以说像这个问题啊，你得好好进行学啊，尤其是单调性的问题，对吧？这个内容，然后第二事情机制的问题。好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿下去，

过程当中好好处理吧，行行行，我去导啊，呵呵。行，下课我就去找吧，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿好，下节课继续吧。

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12.导数微分学应用（B）-2

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