12.导数微分学应用（B）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:39:24

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题啊，我们就直接开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六精宗数学的基础班课程，那么在上次过程当中啊，其实你发现重点内容啊，讲的比较多一点啊，下去过程当中啊，

可能作业比较多一点。那么，首先第一件事情，我们还是来回顾一下上次过程当中核心知识点。那么，在上节课过程当中啊，其实核心重点讲了三个事情，第一事情导数计算的后半部分内容，第二事情就是导数的几何意义，第三个事情就是微分的问题。那么，首先我们先来看看第一个问题，分段函数求导，那分段函数的求导性的方法分成两个事情，一个事情是分段点y，

一个事情分段点商。如果是分段点y，我就直接求，如果是分段点商，那么在这里面当中啊，我们是用第一，但是在这里面当中啊，有一个注意点，你要注意一下这个事情。那么，请问同学们当s趋向s0，你发现一个事情，这个fs的极限一定会等于该点处的导函数值吗？你要注意一下这个事情一定等于吗？哎，

这件事情未必相等的，所以在这里面当中，你发现有两个要求。当然，如果导函数是连续的，这件事情一定会成立，但是这件事情条件可以弱化点，条件可以弱化成什么呢？第一个事情，这个函数连续哎，要求到的这个函数在这个点连续。这个函数在这点延续，然后第二事情这个导函数的极限，结果要不是个数，要不然是无穷大，

所以说在这里面当中啊，你一定要稍微注意一下这个事情，就说这个函数是连续。导函数极限是个数或者无穷大，那么这两者之间它也会相等，所以说这在我们上课过程当中啊，是重点精讲的事情。还能记得吗？好，这个事情我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们再来看看下一个问题，反函数渠道。那反函数求导核心重点呢？第一事情就是反函数求导的公式吧？

好，我们先来看第一事情反函数的一阶导。其实就等于原来函数求导分之一，反函数的二阶导，那么接下来我们再来看它就等于多少负的原来函数求导的一阶导数的。三次方分之二阶段。所以说在这里面当中，核心重点第一个事情就是公式，但是第二个事情呢，一定要做自变量的切换，你发现这件事情的左半边。其实就是反函数导数反函数导数，但是你发现一个事情，这边右半边右半边是原来函数求导。所以说一定要把反函数的导函啊，

这个自变量数的值换成原来函数的自变量的值啊，这个事情非常重要，一定要做自变量的切换。哎，核心重点好了，那么接下来我们再来看第三个事情，高阶导数。那么，在高级导数当中啊，核心重点两个事情，第一，事情公式法。公式有没记住啊？你比如说在这里面当中，第一个人as加b分之一的吧，

如果你掌握住了这个人，你就掌握住了这个人。哎，这两个人还有一个是e的as a的s。当然还有s的阿尔法次方，还有a×b的n阶导数公式。那a×b的n极导数公式啊，其实就是牛顿啊，这个没有牛顿是莱布尼茨公式，那这个莱布尼茨公式啊，是考试当中的一个重点内容。好了，那么接下来我们再来看递归法，什么叫递归法呢？如果你发现一个事情，

这个东西不好做，那我怎么办？我就求一下，我再求两下，我再求三下，我再把它总结归纳出来。这叫递归法好，这就是我们在上节课过程当中讲解的核心知识点，那这里面当中其实作业题当中有一个题啊，我稍微说一下啊。啊，作业题当中有一个题。好，我来说一下。就是上次过程当中，

作业当中的这个题啊，这里面当中啊，这个题。其实上面这个题还好了，你上面这个题的话，你发现你在这里面当中，你因式分解一下就行，那这个部分的话就变成了is- 2，然后is- 1。那这个东西啊，一列就行了，对吧？把它裂开，裂开了之后的话，你发现直接套公式，

但这里面当中啊，幺二四这个题啊，我觉得比较经典一点。好，这个题啊，我稍微的重点来说一下这个题目的操作，你看这个里面当中幺二四这个题。呃，这个题啊，你要稍微注意一下它是怎么进行去处理这种问题的？好，我们来看看这个题。那么，其实在上课过程当中，我们是讲过这个人对吧？

讲过几个人呢？讲过一个事情是as加b分之一这个人。还有一个人是多少呢？是loin as+b这个人。对吧，讲过这两个我们喜欢这个l里面当中啊，是一次项式，不是二次项式，你像这个二次项式啊，稍微的麻烦一点。那么所以说在这里面当中有没有一种方法可以进行处理呢？有些同学是这样，先求一减，然后再求n- 1减。哎，

稍微的麻烦一点，那么在这种当中，我们来看看这里面这个人。这个东西是不是可以因式分解啊？你看这个人，如果这是3s，这是s两者一乘，刚好3s方。如果你发现这人是二，然后这人是负一哎，刚刚好这一交叉是不是就行了，所以在这种当中，首先第一件事情你利用一下十字交叉相乘法。然后把这里面东西啊，变成多少变成3 x- 1，

然后是多少x+2，然后再根据对数函数的优良特性。然后把这个乘法变成什么情况变成这个人加法好，变成这个情况。那这个人呢？立即变成这样，然后变成这样了，之后的话，你发现这个n阶导数呢？大家都知道加法的求导就等于鸽子导。所以说在这里当中就变成什么，就变成了第一个人的n阶段，然后再怎么办，再加上第二个人的n阶段。对吧，

这个人的n级导，那么接下来的事情是不是都跟我们上课讲的东西是一模一样的，那么接下来过程当中你就可以求一下，然后再求n- 1下了。不讲了，信不信好这个题啊？你下去过程当中稍微注意一下。如果这里面当中是二次项式，我可以因式分解一下，然后变成两个一次项式啊，这个事情非常重要。好了，这是这个题吧，我们就讲到这。哪个哪个是奇函数？

啊，你告诉我哪个是奇函数？你说这个人是奇函数。这怕有点不太好了吧啊，真是奇函数吗？你扔一个负s进去，它不动它多一个负号，这是奇函数吗？你就注意一下这个，这这简直这太基础的内容，你不要在这上面犯问题啊，好了，这个点我们就讲到这儿。好，这是我们在上节课过程当中啊，

讲解的基本知识点，你下去过程当中好好复习一下好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题考点四。考练四当中啊，第一件事情讲了导数的几何意义，导数的几何意义是什么？其实就是这个点处的切线的斜率。那这个点处的切线斜率其实就是这个点处的导函数，然后接下来过程当中，我们再来看下面一个事情就是切线方程和法线方程。那么，如果过上一个点处的切线，怎么写呢？其实就是fs 0，

然后再加上多少f撇s0s减去多少x0？如果这东西法线方程呢？其实就ifs 0，然后再加上多少加上这个导函数分之负一，然后是is-s零。好注意一下这个事情，切线方程法线方程好，那么接下来我们再来看看下面事情微分这个内容。微分这个内容在我们的考研过程当中考的是相当重要的。黄金重点不是重点，相当的重要黄金重点，那么首先我们先来看看微分的定义。那微分的定义在这里面当中是怎么说的呢？他这样说的，他说如果你在这个点处的，

因变量增量，我把这个事情多讲一会儿。好，我们一起来看看这个事，我在这里当中拉条线，你发现你看这个点是s零八，然后跑到了x0加到德尔塔s处。他说什么情况？如果你这个点处的因变量增量等于自变量增量的线性关系，然后再加上自变量增量的高切无穷小。在自变量增量趋向零的生产力，我就说在这个点处是可悲的。那么，接下来过程当中，我把这个式子啊，

我们写一下，那么请问同学们告诉我，这个德尔塔y怎么写？这个德尔塔y其实就是x0，加上德尔塔x。然后再减去fs 0，你赞同吧。哦，这个事情你发现一个事儿，其实就是x0处的增量，那x0处的增量，然后你告诉我个事情，这个人是不是微分呐？微分的a就是多少呢？a其实你发现一个事儿a其实就是这个点处的导函数。

谁出的增量，然后这个板块儿就写谁出的导函数，然后这个部分有一个德尔塔s，再加上德尔塔s的高阶无穷小。就说如果你在s0处可为啊，我一定可以写出这个式子。哎，这个式子是一定成立的，那同学们想想一个事情，如果你在x点处可v呢，那x点处可v的话，就是x点处的增量，也就是is加上德尔塔s再减fs。那这个结果是变成了x处的导函数，再乘上德尔塔s，

再加上多少，再加上高阶无穷小，所以同学们注意啊，你研究的是哪个点处的增量？然后这个部分就写哪个点处的导函数能理解我的意思吗？好变成这样。所以将来过程当中，题目就可以设计了，对吧？你看发现一个事情题目就可以设计，你比如说我们的这个试题当中是不是有这种题啊？你比如在这里面当中，我写一个题啊，写一个题，然后他这样说。

他说，已知什么情况呢？他说，已知fs哎，我就说一个事情，他说他可为。而且你发现一个事儿，他说在这个x处，再加上德尔塔x，然后再减去多少，再减去fx。那么，这个结果就等于多少？就等于2x倍的德尔塔x，然后再加上德尔塔x的高阶无穷小，

然后德尔塔s趋向零的时候成立。那么，请同学们告诉我，然后说请问f3-f一等于多少？呃，这个题啊，其实就是二零二一年的一道考研真题，你看我现编的啊，我现编的一下这个题啊，就是我们的一道考研真题。这就可以作为我们的最最后的一道真题。那么，首先我们先来看第一个事情，当然这里面当中啊，有两种方法，

先看方法一。方法一啊，你就直接秒对吧？哎，你发现一个事情，你就直接套公式，你就秒了，那么同学们想想一个事情，这是x加上德尔塔s。然后你发现减去fs，这是不是x处的德尔塔y呀？s处的德尔塔y的话，你发现这是2s倍的德尔塔s，然后再加上德尔塔s的高阶无穷小，在德尔塔s的时候趋向零成立。

那么同学们，你告诉我个事情，这一项就是这样。那这一项的东西是不就是s处的导函数啊？没问题吧，根据我们的定义就知道德尔塔y等于自变量增量的线性关系，那自变量增量线性关系不就是这个点出导函数谁出的增量s出增量？s处导函数，然后这个结果就写成这样，那么所以说在这种当中我就立即可以写了，那你看则这个部分的导函数就等于多少就等于2s。那你告诉我个事情fs等于多少？谁的导函数等于2x啊？x方的导函数是2x，其实你发现加个常数导函数仍然是你，

其实这个内容就是不定积分。但没有关系啊，我们先不引入不定积分，你就这样做就行，谁的偶函数是你s方加上个常数也是你那这个时候你发现f3再减去f1呢？那其实你发现就是九+c，然后再减去多少一+c，所以结果等于几等于八，你看我这样一出啊，就是一道非常好的一道考研真题了。对吧，我用第一种方法，我直接秒了，我根据这个微分的定义，我就出来了好了，

那么接下来我们继续，我们再来看第二种，你学会了吗？好注意啊，我再强调一遍。这个题啊，可能对于数一数二数三同学考的稍微的会简单一点，但是对于我们而言呢，极其的重要。相当的重点，绝对的黄金重点内容，我可以不可否认的一个事情是吧？就这个题啊，你都能作为今年的考研真题。哎，

没有任何问题，所以你发现模拟卷当中去出题啊，出成这样，那就可以啊。好了，那么接下来我们继续，我们再来看那这个题还有没有方法呢？其实也有，你当然可以在这种当中啊，稍微的推一下也行。你看这里面当中，你看这是x加上多少德尔塔s，然后再减去多少fs，你可以把这个德尔塔s除过来。你除过来之后的话就是2s，

然后再加上德尔塔s的高阶无穷小比上德尔塔s，然后接下过程当中怎么办？我就给两边同。同取德尔塔s趋向零的极限，我取个极限的话，你发现你看s加上德尔塔s，然后再减去fs比上德尔塔s，那么同学们告诉我事情。你看这个人，这个人的极限是多少？你对谁求极限啊？你对德尔塔求极限，你对德尔塔求极限s就是个常数，你求导的这个啊求极限，结果就是它。

然后是高阶比上低阶极限，结果是零。所以说这个人就做成这样了，那么再来看这个人这个极限什么意思啊？这个极限不就是s处的导数定义吗？所以你发现s处的导函数就等于这个人，你看也出来了。当然，这两种方法你发现很明显，第一种方法更快啊，我眼睛漂一下，我都知道，对吧？这是德尔塔y，只是自变量增量线性关系，

再加上高级无穷小，一眼瞅出这是微分。一眼瞅出这是导函数，谁出增量谁出导函数。跟得上我的意思吗？哎，这就是个重点题，你下去过程当中好好想想这个事。好，这是我们介绍的第一个问题，那么接下来过程当中，我们再来看第二式，那么这里面当中你发现这个微分是怎么算的？微分其实就是导函数，再补上一个什么德尔塔s。

而我们都知道，如果你是自变量，德尔塔什么就是d什么好，这个内容立即出来。嗯，吵不吵这个？今天外面的风贼大啊，这不是大，那是太大了，呵呵，好了，那么接下来我们继续，我们再来看最后一个事情几何意义？微分的几何意义？微分的几何意义是什么？

注意啊，微分的几何意义是该点处切线的总量。切线增量原曲线增量叫德尔塔y。切线增量叫dy哎，注意这个问题啊，切线增量叫dy好，这就是我们在上节课过程当中讲解的知识点。但这里面当中啊，还有一个信息点，同学们告诉我微分页叫什么呀？啊，微分也叫什么呀？微分它还有个名。叫什么叫线性主步哎，你要注意啊，

微分还有一个名儿叫线性主步。所以在微商是导数胡来啊，别胡来微方微分啊，那个微分是微分。微商是导书，所以接下来过程当中，我们就继续来看啊，再往下来。好，继续，我们来看看一道这个微分的这个题。班主任。啊，这个没有，你下个APP就行了，

对吧啊？所有的话，这个服务的东西都在那个APP上好，那么接下来我们再来看一个题。我们来看看一道考题，比如说我们这里面当中啊，我们找一个题，我们来讲讲，你看这个题。哎，就这个题。好，我们来操作一下。哎，这个题。

呃，这个题就是一道非常好的一个考题啊，好，我们来看看这个事情，他说一个事情，他说这个函数是可导的。对吧，然后y等于这个人当自变量等于负一时。取得增量是德尔塔s，然后说谁呢？你要注意啊，这个人是y。然后说德尔塔y的线性主步为零点一。那么，同学们想想线性主播什么意思啊？

线性主播就是微分，也就说你这个人的微分就等于零点一。那么，接下来过程当中，我们就来求一下这个人微分呗，那这人微分怎么求dy？这个人其实就等于这个函数求导吧。就等于这个函数对x求导，然后再点s。是不是这个事情，所以接下来过程当中这个微分就可以算了，来求导呗，那求导就是先对中间变量求导。中间变量再对次变量求导，然后是ds。

然后接下来过程当中，我们来看看这里面当中s是多少负一，然后这个增量是多少负的零点一。然后这里面当中，你发现还有个事情，就是这里面当中线性主，步线性主步就是哎，零点一。好，这是这个事情，而我们都知道，德尔塔y就等等于dy，那么接下来带进去带进去的话，你发现这是零点一，然后这人是负一带进去的话，

这是f撇一。然后这是二倍的多少负一，然后这个结果呢？这个结果是负的零点一，所以说在这里面当中啊，你立即就可以把这个导函数算出来了。所以说这个题的核心重点就是一个事情线性主播，当你注意到这个东西的线性主播，线性主播是什么？线性主步就是这个人的微分哎，掌握清楚这个事情，什么东西都出来了，所以最核心的问题你就要掌握清楚什么叫做线性主步啊。信心主播就是这个人的威风。好，

这个事我们就介绍到这过去了，可以吗？呃，所以说在上节课过程当中啊，讲的这个部分的知识点呢，比较多一点也比较丰富一点，你下去过程当中好好进行处理。那么，接下来我们就继续开始看我们这节课部分的核心重点内容导数的微分学应用。呃，这张部分的东西啊，就是这一节，如果你去看看同济七版教材，就这一节就是一章，所以说第五节部分的东西啊，

可能会更加的丰富一些。也是我们考研中的重中之重的内容，当然有些部分它可以出一些稍微会比较难一点的题，所以说这个导数的微分学应用，你得好好学。那么，接下来我们来看看，在这节过程当中，我们要学哪些东西呢？那么，在这种当中，我们重点会学以下几个问题，第一个事情，我们将会学习的一个内容，它的名字叫单调性。

哎，单调性，然后第二事情我们将会学习到极值。然后是最值。好，这三个问题。这三件事情跟我们高中学的东西啊，非常类似，你看你高中也学单调性啊，你高中也学极值啊，你高中也学最值啊。好了，那么接下来我们再来看有些东西的话，就是你高中没有学到，还有什么情况，

还有凹凸镜。对吧，还有在这里面当中的拐点，然后还要学习一个内容，它的名字叫做渐进线。好，最后一个事情，我们还要学习一个东西，叫做曲率。那学的内容是什么呢？学的内容的话，首先第一个事情，你发现我们将会学习一条先。哎，注意啊，

一条线，然后你发现我们将会学习两个性，一个是单调性，一个是凹凸性。然后接下来过程当中，我们会去学三个点，一个是极值点，一个是最值点，一个是拐点啊，再加上一个曲率，这是我们学习的所有内容。一条线。两个性三个点哎，就是我们的一个线就是渐近渐近线，然后在这里面当中啊，

两个性单调性和凹凸性。然后三个点啊，三个点就是极值点，最值点啊，这个拐点，然后再外加一个曲率，这个曲率部分呢是数学三同学不要求。但是也在我们三九六同学大纲里面，所以这个内容你还得知道。所以你看导数的微分学的核心重点，我们就要学习这些内容，那么大家来看看这些内容的核心，重点是在干嘛呀？啊，这些内容你发现单调性是增还是减极值？

是不是极值啊？是不是最值啊？是凹的还是凸的？是不是拐点呢？渐近线是什么？然后曲率是什么？那么同学们想想这些东西都在描述什么？都是在描述一个图形的最基本的性态的问题。对吧，研究这个图形的性态，研究完这个图形的性态，你发现一个事情也就研究完了，这个人的图形走向。对吧，研究清楚了这个图形走向，

当你研究清楚了这个图形走向，那么接下来我就会处理几种问题，第一种问题。方程根的问题。哎，方程的根的问题，函数的什么问题，零点问题。其实你高中学习过程当中，你都知道这个零点呐，还有这个方程的根呐，这两件事情不用区分对吧？两件事情本来就是一件事儿。研究的问题点都是一样，研究方程根的问题，

核心重点就是研究函数的顶点，什么叫函数零点？函数的零点就是函数与x轴的交点。对吧，就是与x轴交点你，比如说这是y这是零，然后这是s你在这里面当中，比如说它是这个情况，那我就跟x轴有三个交点。我跟函数有三个交点，我就有三个顶点。那么，这个内容非常重要。而且是我们三九六同学当中的黄金重点内容，对吧？

非常重要。黄金重点内容。你看看在这个去年的考题，前年的考题，去年考题考这个东西啊，考的稍微的难一点了，哎，注意啊，零点的问题。高中也学习过，但它仍然很重要，然后第三个事情不等式。有的说老师那个不等式怎么考考零点可以出成选择题啊，说有几个零点那不等式怎么出也能出？对吧，

比如说我们去出一个什么派分之三和三的派，这谁大？到这个情况，你就看看这俩谁大那a选项说你比他大b选项，他比你大c选项说大于等，然后d选项小于等，然后说什么东西无法判断。这不都行吗？所以一定要注意这个事情，你看基本问题点。所以核心重点最后我们进行去处理三个问题，一个是方程根的问题，一个是零点的问题，一个是不等式的问题。其实同学们注意啊，

这三个问题呢，核心重点其实用这个单调性研究就可以了。哎，用这个单调性进行研究，那就可以了，所以今天下午的课程呢，非常重要。所以希望同学们注意啊，注意力稍微的集中一点，一定要拿出最好的状态，然后听这个部分内容，那么接下来我们一起来先来看看。第一个部分问题单调性，不要因为高中学过，然后在这里面当中啊飘了，

我讲完第一个知识点你就知道。高中学的东西啊，真的很皮毛哎，真的很皮毛，因为这个东西啊，你根本就没有切进去，那么接下来过程当中，我们先来看第一个问题。函数的单调性。那么，在函数单调性当中，首先我们先来看看第一个事情，单调性的判定方法。那么，同学们注意，

你还记得单调性的定义吗？啊，你还记得吗？单调性的定义是怎么说的？单调性定义在零基础提前学的第一次课程讲说，如果这个x1比s2小。你的fs 1比fs 2小，我就说你是严格的单调递增的吧？还记得吗？哎，是这个情况，如果说你比我小，你的函数值比我大，我就说你是严格的单调递减的，还记得吧，

这叫定义。但是同学们注意这个定义重不重要不重要。包括你在高中过程当中学习，你发现这个定义你用到过吗？其实你都没有用到过。你高中学习三年，你做多少题用到了这个人呐，都基本上不用怎么进行判断，单调性直接上导数就行。哎，直接上导数，所以接下来过程当中啊，我们先来看看判定型方法，首先我们先来看第一波内容。那么，

第一波内容的话，核心重点我们先看，如果在一个区间上，你要注意啊，如果这个x。属于一个区间。对吧，属于一个区间，要注意啊，这是个区间，那这个区间呢，可以是开区间。也可以是B区间。是无穷区间也行，是一个什么有限区间也行。

没有关系，所以同学们注意啊，它必须是一个区间。哎，我在一个区间上，我在一个区间上怎么了？如果这个导函数你要注意，如果导函数一定大于零。那我想问你个事情，马上推出什么，我就可以推出来这个函数，在这个区间内怎么了？在这个I内，它就是严格的单调递增。哎，

这个没有任何问题，就说你发现你导函数大于零，我就说你严格的单调递增，如果在这里面当中，你导函数什么零？小于零，我就说你什么，我就说你在这个区间上严格的单调递减。严格的单调递减。大家不要小看这块儿啊，一会儿就上难度了，你好好听啊，你一会儿你就会发现高中根本就没切进去。大学过程当中学习啊，有可能都没切进去啊，

这里面当中是重中之重内容，我再强调一遍，如果在一个区间上导函数大于零它。它在这个区间上就单调递增。如果在一个区间上导函数小一点，我就在这个区间上单调递减，所以说在这里面当中啊，我来画两条曲线。你看第一个事情y0x。如果这个人的话，你发现我是第一个人，哎，你发现看严格导函数大于零嘛，严格的单调递增就这条线。如果你发现这个是这条线导函数小于零，

严格的单调递减，哎，你发现有可能就是这条线能理解我的意思吗？单调递增，单调递减。但是这些里面当中啊，你发现还有一种情况，还有一种什么情况呢？那么接下来我们来看看第二种问题。对于任意的s，如果属于一个区间，你发现如果它的导函数大于等于零的。大于等于零，那同学们想想，如果你是大于等于零，

是不是中间会存在导函数等于零的段？导函数等于零的时候，你发现是什么情况？导函数等于零，是不是平缓的？所以在这种当中，你发现一个问题，好好听哦，认真听。那这个时候你发现一个事儿诶，如果你导函数等于零的时候，是不是中间会出现平缓段？你平缓断的时候的话，你发现是不是会有这种情况？对吧，

就这种情况，就说中间有导函数等于零的部分。你中间有导函数等于零的部分的话，你发现导函数等于零是停着。你说这个人的话一直往上增呢，他这段没有增，你说不增呢，就是往上增，所以说这条线的名字叫什么叫单调不减。哎，注意啊，这条线的名字叫做单调不减，哎，单调不减。但是你要注意一个事情，

如果我说导函数大于等于零，就一定是单调递啊，单调不减吗？啊，同学们，你要注意这个事情，我就一定可以说这个函数在这个区间内。单调不减吗？思考对不对？就说我一定在这个区间内单调不减吗？大家注意，未必比如说我再举个例子，你来看看这条线。如果这里面当中你发现是这条线。哎，

你看这个人这条线的话，你发现是x三次方。那x三次方的话，你发现一个事情，它这个人在这个点处导函数也等于零，不信我们来试一下三次方这个人的导函数，他是三倍的x次方。然后你发现两端的时候，导函数都是大于零。两端的时候导函数都是大于零，但是你发现在这个点处导函数什么在这个点导函数等于零。那这个时候你发现仍然是导函数大于等于零，但是你发现这条线呢，我一直往上跑的。我仍然是严格的单调递增，

所以同学们注意啊，它到底是严格的单调递增还是单调不减？在这里面当中取决于什么情况？取决于不是说有没有等于零的，是有没有什么情况，有没有一段恒等于零。你能听懂我的意思吗？如果只有一个点等于零，那是没有用的，你比如说举个例子，你看我往上跑a也等于零了。再往上跑，哎，等于零了。再往上跑，

等于零了。再往上跑，等于零。你仍然是严格单调递增，你发现你这一路上都往上走。你就没有说中间的话，停一段没有，要想停，必须在中间要停歇一段时间。对吧，要有一段恒为零，你不能说导函数大于等于零，你就单调不减，所以有些同学可能比较轴一点说哎，老师你看你讲义上这样印呐。

注意我讲义上印的那个东西啊，说的就是第一种情况，有一段很美丽。所以在这里面当中一定要注意一个事情，就说如果你导函数大于等于零，且什么通过情况，有一段恒为零。对吧，有一区间段在。区啊，在一区间内。你把这个东西给我注上去，在于区间内。导函数。等于零哎，

恒等于零。你写三横的意思就是横等于零哎，就说你发现一个事情，有一段横为零哎，这个时候我停缓了，对吧？我停缓了，我叫单调不减。同学们，想清楚没？所以区分开这个单调递增和单调不减。不是在乎你，是大于零还是大于等于零？你真正比较在乎的是那个等于零有没有在一个区间段上发生？哪怕这个区间段很小，

但是只要有一段上发生不是一个点，哎，不是一个点就行。同理而言的话，同学们注意你继续看。那么，在这种当中，如果改成小于等于零呢？你小于等于零的话，你发现这个人呢？其实叫单调不增。跟上吧，同学们，所以下去过程当中啊，一定要好好想想这个事情，

能想通吧？所以就看你是单调递增还是单调不减，你就看一个事情，你是有一段恒为零，还是你发现只有个别点恒为零？哎，这件事情非常重要，所以下去过程当中好好思考一下这个问题。好，这是我们在这本当中啊，介绍的第一个问题，能学会吗？哎，基本信息点啊，你发现如果在一个区间上导函数大于零。

当然是单调递增导函数小于零，当然是单调递减导函数大于等于零。有一段恒为零，你发现一个事情叫单调不减。有一段横位点叫做单调不增，能想清楚吧？好，我来看一个事情，请同学们注意啊，第一大注意点。呃，这个点考研过程当中啊，考的非常重要。好好听啊，有点反常识，

那么在这种当中，我们做一个判断好，我们先来看看几个判断题。那么，这里面当中，我们说这样的事情，我们说如果在一个区间上，我导函数一定是大于零。我请问同学们，能不能推出这个函数在这个区间内单调递增？啊，同学们告诉我，单调递增能不能推出来？好，这是我们介绍的第一个问题，

就是什么情况呢？如果导函数大于零，能不能推出在这个区间上单调递增？能不能当然能这没有问题，这不就是我们写的东西吗？但是你要注意的事情能回来吗？能不能回来就说什么情况呢？我这个函数在这个区间上是单调递增的。你能不能推出它，一定是大于零。能不能比如说举个例子，刚才举的例子y=x三次方，这个人就是严格的单调离子。我一直都是单调递增，但是你发现一个事情，

这个人虽然说严格的单调递增，但是你发现它的导函数呢，有等于零的部分。对吧，也有可能是等于零。所以说这件事情一定推不出来，因此注意啊，如果这件事情你发现你改一下，如果什么情况，如果这个函数。它如果说在一个区间内。严格的单调递增，你这时候推的是什么？你推的是在这个区间上导函数什么点大于等于零？哎，

这是你要注意的。必须有等于定期工作。它不光说有可能是大于零，它也有可能等于零，对吧？因为你发现我往上增哎，这个点等于零再往上增，这个点等于零再往上增，等于零没有关系。就说你发现有个别点是等于零，这没有任何关系。所以大家注意啊，这个第二条内容就是黄金重点。所以将来过程当中进行判断，这个问题的时候一定要稍微小心一点好，

我们来做一个题吧，比如说我们来看看这个二点三零这个题。不要小看，这是九五年的题。这题啊，放到今天过程当中仍然经典中的经典题。它不是经典题，它是经典题当中的经典题，那么接下来过程当中，我们先来看看这个事情。他说一个问题。他说这个函数在负无穷到正无穷内是可导的。哎，注意啊，柯导，

然后对于任意这个人，我比你大都有他比我大，什么意思啊？请同学们告诉我这个题目条件说什么意思？他想说的意思啊，就说这个函数怎么了？在什么情况？在这个负无穷到正无穷内。什么情况？你比我大，永远有函数值，比我大，不就说明这个函数在这个区间内严格的单调递增吗？是不是这个事情严格的单调底层？所以接下来过程当中，

我们继续。嗯，我们能不能达成这件事情的共识啊？啊，我说的就是在这个任区间当中的任何情况，能不能达成这件事情的共识？嗯呃，不要在那泛舟啊，对吧啊？好了，那么接下来我们就继续，你发现它就在这个区间上严格的单调递增，那么接下来我们就继续，我们来看看a选项对不对？如果你是单调递增，

应该在这个区间内的函数是什么情况？导函数什么情况？大于等于零哎，注意啊，所以说这件事情a选项不对。你看吧a选项就不对了。所以说立即把a选项排除，然后紧接着过程当中，我们再来看，那这个人是什么情况？那这个人是什么情况？所以接下来过程当中，我得把这波知识点给你做一个重点精讲。好了，那么接下来我们来看看几组函数之间的一个关系，

那么今天我们就把它讲完了。好吧，我们一起把这个东西啊，总结到这。几组函数图像之间的关系。好了，那么接下来我们来一起来把这个东西啊，我们顺手进行去总结一下呃，这里面当中对内容有些同学，你发现之前其实理解是有偏差的。但是啊，他也把它记住了，那也行吧，好那么今天过程当中，我希望同学们能理解的深刻一点，

好，我们先来看看第一组。啊，先看第一组。第一种y=fs。请同学们告诉我，跟y=f负s之间什么关系啊？有的说哎，这个函数是偶函数，大家注意啊，偶函数指的是一个函数。这是两个函数。对吧哎，你发现一个事情，你说这两个东西是个偶函数，

关于y轴对称好，你把它记住了。记住了，没有问题，但是偶函数是一个函数，这是两个函数之间关系。怎么进行去理解呢？请同学们注意啊，动脑不要背脑子，一转就出来了，好跟着我一起动脑，好好听啊。那么，请问同学们，你想想，

如果给这个x带上一。它就是f1，那这个时候你发现给这个s带上负一，它俩就相等了，有没有发现？也就说什么意思呢？你在一处的值是f1，你在负一处值是f1，那这个时候你发现哦，这两者值是相等。同理，你是二，我是负二，你是三，我是负三，

那么同学们想想一个事情，这两个关于什么对称，当然是关于y轴对称的。没问题吧？哎，关于y轴对称。所以在这种当中，我立即就想清楚了，原来这个人呢，是关于y轴对称这俩函数之间，关于y轴对称。当然，你可以把它当做成偶函数，把它记住也行啊，好，

那么接下来我们再来看第二事情，如果这是y=fs。余什么情况呢？余y等于负的f负x。那么，请问同学们告诉我，它们什么关系啊？好，我们再来看函数图像。那么，这一类目当中，你发现如果我给你带上一，你就是f1。如果你带上负一，它是负的f1，

也就是说什么意思呢？你带一的时候跟我带负一的时候是相反的。你带二的时候跟我带负二的时候相反的。你带三的时候跟我负三时候相反的，那这个时候你发现你在这个时候的话，我是不是这个时候，所以说这两者关于什么关于原点对称？能想清楚吧，好，这是我们讲的第二事情，哎，重点内容啊，这个内容啊，我觉得这个今年过程当中出题还挺有可能性的。好了，

那么接下来我们再来看第三个事情如何继续？如果这是fs与y等于负的fs之间是什么情况？好再听，认真理解啊，不要背啊，谁背谁就傻了。如果这里面当中你发现我带上一我带上一的时候，你就是f1。如果你这个人带上一呢，我就是负的f1。你带一的时候，我就是f1，你带一的时候就是负的f1，所以说你发现一个事情，你在上面，

我就在下面，两者之间关系什么对线？两者之间，关于x轴对称完美啊。那这两者之间，它就关于什么东西啊？它就关于x轴对称，你学会了吗？同学们。我相信没有问题了，好这个事情我就讲到这。所以说这几个人呢之间的一个情况，你把它给我记住，当然在这种当中再补一个吧啊，第四个人如果这是y=fs。

与y等于多少f负s反函数呢？它两者之间就关于y=s对称，所以将来过程当中啊，只要见到这些事情，立即把它破题了。好，这个事儿我就讲到这儿，能想清楚吗？脑子一转就出来了，多动动脑啊。哎，非常好，想好那么接下来我们来看看上面这个题，这题经典题啊。所以说刚才过程当中，

我们说这个人是单调递增的，应该推出什么情况应该推出在这个区间内导函数什么情况？导函数是大于等于零哎，这个区间内导函数是大于等于零，我不写区间内的行不行？我们上课嘛，你能听懂我说啥意思就行。好，这是这个问题，那么接下来我们就继续，我们再来看。那你想想一个事情c对不对？啊c，对不对？如果你这个人是单调递增，

那负s是什么情况呢？我们来看看这个事。我就画一半，行不行？我就画一半，虽然你是负无穷到正无穷，我画一半，那如果这个人是什么情况，你单调递增诶，那如果这个人对称过来呢？你对称过来的话，你发现f负s应该什么情况？它在负无穷到正无穷内。应该是什么？应该是单调递减。

对吧，它应该是单调递减c不对。那么，接下来我们再来看看下面事情，我再来画一个图。哎，再来看下面这个图。比如说我们画到这儿吧。哎，这是单调递减，那么请同学们告诉我，我们再来看看下面一个事情。好，那么这是y这是零，然后这是x。

那么，接下来过程当中，我们再来看负的f负s，它什么情况呢？你发现一个事情，你看你这是fs或者而言的话，你发现你把这个人画到这儿。你看这是fs那这边呢？这边就是这样呃呃，这边应该是这样。是不是这个情况哎，所以说这两者之间关于什么东西啊，原点对称仍然是单调递增，所以在这里面当中。负的f负s，

然后在什么呀？在这个负无穷到正无穷内应该是还是单独递增？跟得上我的意思吗？虽然我们要画负无穷，到正无穷，我就画一半行不行？能理解吗？哎，我就画一半儿，你们能理解吧，你不要下课过程当中犯轴，说这条线不应该是负无穷到正无穷吗？意思一下就行了。你意思一下，你知道这两者之间关系就行了啊，

问题点不大。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看那b选项为啥不对呢？你这个人单调递减，不就是能推出什么情况，不就能推出这个人小于等于零吗？那b选项对着呢呀？那b选项为啥不对呀？嗨，大家注意啊，出错点在哪？你要注意，你这个人是单调递减。应该是你这个人的导函数小于等于零。

有等号啊，有等号应该是你这个整体的导函数小于等于零，我们说过了，如果在一个区间内是单调递增的。大于等于零单调递减的，小于等于零有等号，必须有等号，没有等号的话，你发现a选项为啥不对？好，这是这个事情，所以你看真人导函数应该是先对中间变量求导，中间变量再求导，然后这个人怎么办？这人小于等于零，

那既然这个人小于等于零，你在这个东西啊，取个相反数呢，它就大于等于零，所以说同学们注意方向反了。答案选d不错吧。极其好的一道题。呃，这个题的出题点呢？非常巧妙啊，绝对是黄金重点题，你别小看的话，这个九五年题。可以吧，高手题啊，

绝对非常好，考过我们三九六同学，你发现非常恰当。好，这个题我们就讲到这。所以几个事情呢？第一事情图形之间的关系。第二，事情单调性跟这个什么导函数之间的关系，一定要把这个东西切进去。如果大于零导函数大于零，当然单调递增，但是你发现单调递增应该推出的是大于等于零，这是你要注意的。同理，

单调递减应该推出的是小于等于零。能掌握清楚吧，好听明白的给我回复一啊，这个题。二战三年过去了，可以吗？好，这是我们介绍的第一个问题。那么，接下来我们继续吧，我们再来看第二问题。那么，接下来我们就继续回到我们刚才这个判定性方法上啊，那么接下来我来问你个事儿啊。我说这一页的过程当中，

还有一个黄金重点。你觉得这个黄金重点在哪？是大于零还是大于等于零吗？同学们，想想一个事情，大于零就严格着往上走。大于等于零，如果有一段平缓段还是这样往上增，如果从研究图形走向的趋势上，你发现没有什么区别。反正都往上跑呗，对吧？平缓着跑也是往上跑，研究清楚图形走向了吗？研究清楚了。

大家注意，这里面当中啊，还有一个黄金重点在哪儿？在这儿。哎，在这儿。必须是个区间。只有在一个区间上，导函数大于零，则在这个区间上单调递增。你在一个区间上导函数小于零，你在这个区间上单调递减，但是注意啊，必须是区间。我一定是个区间，

我是有长度的，我无论是无穷区间还是有限区间，无论是B区间还是开区间还是一个淋浴的非常小的区间，无所谓。只要你是区间，什么叫区间呢？有长度。只要你在一个区间上导函数大于零，你才单调递增，必须是区间，所以说接下来过程当中问题点就来了。好，我们来看几个例题。诶，上面没有写立体吧？

好，我们来看看第一个人。呃，那么这里面当中啊，我们说这样的一个事情，你好好判断，我说一个什么问题呢，我说一个点导函数大于零。请告诉我能不能说明一个事情，说这个函数在这个s0的什么邻域内？单调递增呢。哎，单调递增呢，好同学们，你给我判断这个问题。

它的意思点非常明显，他说如果这个点导函数大于零，能不能推出邻域内单调递增？他说的是一个点导函数大于零，能不能推出邻域单调递增？我估计有些同学的话，感觉说那肯定可以啊。这个点大于零附近不就大于零吗？那不就单调递增吗？所以同学们注意啊，那么接下来这个类型问题啊，当然不对。那么，这里面当中，我们刚才讲了一个点导函数的正负性，

是无法决定什么东西呢？这个单调性的。那这件事情我可以给你举一个非常非常经典反例，当然去想的话也很好想对吧？你这个点导函数大于零，那如果在附近呢？你你就能决定附近一定是大于零吗？除非连续的时候可以。啊，连续收可以，那么接下来我们来看看这个事啊，有些我我先不讲这么多，讲这么多啊，有些有些同学有点绕了。好，

我们先就针对这个问题，然后再慢慢的加行不行？好，先看这个问题。呃，那么接下来我就给你举个例子，我就举出一个什么呢？我就举出一个点处的导函数是大于零的例子。但是我让你看到它在它的附近啊，它不是单调递增的。好同学们，你好好看啊，这个例子你可以不会举。你可以不会举，没有任何问题，

但是这个例子啊，非常的经典，可以说明这个问题，你把这个结论记住就行。好，我来写一个人。呃，那这个人是x方再乘上sin x分之一，我再加上二分之一sx不为零x等于零的时候是零。好同学们，我们一起来算。那么，首先第一件事情我们来算，这个人导函数。哎，

算这人导函数分段点y，怎么求分段点y直接求前导是2s，后面这个人不导。加上前面不导，后面来导coss分之一s，方分之负一，所以说这个结果就变成了coss方分之一。没问题吧，然后再加上二分之一，跟得上吗？同学们，分段点y直接求。好，那么这个时候你发现分段点外直接求就出来了，那么接下来过程当中我们再来看看分段点上。

那分段点上是不是得用定义啊？那用定义的话，我们用一下吧f撇零这个人limits趋向零。然后是fx。然后再减去f0比上s- 0好这个人呢，他就没了。那么，接下来过程当中，我就可以把这个东西啊，除下去除下去了之后的话，就是is倍的sins分之一，再加上二分之一。无穷小乘有界是，无穷小无穷小极限是零，你发现这个结果是不是二分之一？

好，这些事情都能听得明白，请给我回复个一注意啊，这个例子啊，你不用背，你只要知道一会儿这个结论就行。好听明白了，给我回复一。这没问题吧？没有干啥呀，给了一个分段函数去求个导呗，那么接下来我们来研究一下这个人好，我们来看看图形。呃，我这里面当中啊，

拉条数轴线。那么，这里面当中这个点是零。那么，请问同学们，你发现没发现零处的导函数结果是二分之一不就大于零吗？这个点导函数大于等于八。这一点导函数就大于零。零处的导函数就是大于零，那么接下来过程当中，我们再来看一个事情，我们就来看看这个人的父亲。哎，注意啊，我来看看这个附近是单调递增还是单调递减？

那你想一想，一个事情附近是不是一个区间啊？那这是个区间啊，一个区间上想判断单调性，不就是用导函数吗？所以接下来过程当中我就来看看这个区间内。导函数的正负性。它导函数是多少？不为零的时候的导函数是这个人。再减去cos x分之一。然后再加上多少二分之一。好，我们继续看。有没有发现一个事情，你看这一里面当中的第一项无穷小成有间，

哎，注意啊，我在研究领域。邻域就挨得非常近，那么在趋向过程当中，这是零无穷小乘有界这一项是不是往零跑？然后这一项呢？那么，请问cosines分之一在零处是什么情况？是不上下震荡？是上下震荡吧，既然是上下震荡，它应该是从负一摆到一。哎，就说从负一摆到一。

那既然是负100到一加个负号，还是负一到一？对吧，负一到一那负一到一加个二分之一呢？那我就知道负一到一加个二分之一，有些段是正的，有些段是负的。对吧，有些段上你是正的，有些段是负的，所以说有的时候你是正的，有的时候你是负的，有的正的你负的，有的正的负的，有的正的你负的。

有些段你是正的单调递增，有些段你是负的单调递减，所以说你这个函数应该在附近是什么？时增时减，时增时减的来回的震荡的。所以你看看这个事情，你发现没这一点，导函数大于零吧，但是它在附近怎么办？在附近当中，你发现一个事情是一会儿单调递增，一会儿单调递减。因此你发现这个命题是不是错误了？对吧，就不对了。

一点导函数大于零，能不能推出这个函数在邻域内单调递增啊？当然不行。一点导函数大于零。对吧，一点导函数大于零，无法推出领域内单调递增。那这就是个非常好的反应，把这个事情记到笔记上，所以这就是我们在上课过程当中重点讲的第一个问题。把它标在上面。叫做一点导数正负心。正负性。波决定。领域内的。

单调性哎，注意啊，一点导数正负性，不决定邻域内的单调性。你不要说一个点导函数正负性，你就说邻域内是什么样单调性，这可不对，一点导数正负性波决定邻域内的单调性。所以这是我们讲的第一件事情，但同学们想想有没有种可能性，它就决定了呢，有可能那么接下来我们再来看看第二个问题。好，过去了可以吗？来再来看第二点。

第二问题，那么在这里面当中，同理这样说，如果说什么情况，我还是说这个点导函数大于零。对吧，这个点导函数大于零，那如果说什么情况呢？而且你发现再加一个条件信息，如果这个导函数就。就在这个点处是什么？这个点处是连续的。那请问同学们能不能说明什么事情？说明这个函数在x0的零域内单调递增啊。同学们，

现在对不对？我加了一个条件，我加了一个什么情况，我加了一个导函数是连续的。那行不行呢？哎，接下来过程当中，我给你看两种手法，第一件事情，我们先来看看，分析一。只从图像上看，那么图像上看的话非常简单，我来给你画一个二维的迪卡坐标系，你发现这个人事化是多少呢？

这是fs。然后这是零，然后这是s注意画的是导函数图形。导函数图形导函数的图像的话，你发现这一点导函数是大于零。而又发现一个事情，导函数在这个点处怎么了？连续。连续的话，你发现这个点大于零。连续连续就要左边往你跑，右边往你跑。那在这个人的附近，你是不是都是大于零？没问题吧，

如果你这个点大于零导函数，又是连续左边往这跑，右边往这跑，附近不都大于零吗？那这时候我就知道在一个区间上。在一个区间上，导函数大于零，在这个区间上不就单调递增吗？所以你看这个事情，我们就说通了。刚才过程当中，不知道连续性，所以它有可能震荡了。那么现在呢？你发现这一点处的什么它大于零，

然后又连续那附近不就大于零好，这是第一件事情。当然，在这个题当中，你还能进行严格的证明好，那么接下来我们再来看看严格证明怎么整？那么，首先看第一个事情，导函数是不是连续啊？导函数连续我们写出定义就是导函数的极限。就等于这个点处的导函数的函数值有没有问题？极限等于函数值啊，连续就是极限等于函数值嘛，那么接下来过程当中我们再来看你，发现这个人是不是大于零？

对吧，这人大一点，那么接下来我们就来看看这个事情，已知极限正负性，想看里面的正负性，想去掉这个帽子吧。我就想把这个帽子给去掉，那所以说利用脱帽保护性去掉这个帽子，只能在什么只能在你家里面进行去掉，只能在什么情况只能在趋向于s0的时候去掉。只能在什么去新领域内去掉。那也就是说，推出了一个什么情况，推出了在这个去腥领域内。导函数什么情况大于零，

也就说你在这个附近，这个附近大于零，而我们在这种当中又知道这个点处，本来就导函数大于零。因此我就知道哦，在这一段导函数都是大于零。既然在这一段情况下，导函数大于零，它在这个区间段上不就单调递增吗？没有任何问题。跟得上吗？哎，你发现极限是正的，我想看里面的正负性去掉这个帽子在哪去掉呢？在这个趋向下去掉就是去心灵内去掉。

而这个点又是正的，那附近都是正的。所以你看这件事情，它就可以了。只要你能保证导函数在这个点处是连续就行，所以啊，我们在这里面当中把这个事情重点看看。叫做一点导数正负性，不决定邻域单调性，除非。导函数在该点处。连续哎，把这件事情记到笔上。一点导数正负性波决定邻域内的单调性，除非导函数在这个点处是连续的。

好，再强调一遍啊，一点导数正负性，不决定领域内的单调性，除非导函数在这个点处是连续的。你看这个知识点呃，在我们的往年的真题当中都没有达到过这个水准。所以我希望同学们今年过程当中这个基础班呢，内容点应该是非常丰富的，而且非常的全面，所以你把每个部分东西啊，一定要学到位的。好，这个内容我们就讲到这。一点导数正负心波决定领域内单调性。

除非什么？除非导函数在这个点连续一定要注意啊，除非导函数在这点连续，这是你要注意的。所以下去过程当中不是说函数连续是什么连续呢？是导函数连续这件事情，你要想清楚。好，这个问题啊，我们就说到这。好，这是我们讲的这个第二大注意点，能想清楚吧，一点导数正负性，不决定邻域单调性，

除非导函数在这点连续，那么接下来我们看一个题吧。看一下这个二点二九这个题。你来看这个题。来操作一下。呃，今天下去过程当中好好整理笔记啊，因为这个今天内容点呢呃，比较重点一点东西比较多一点好，先看第一个事情。他说这个函数啊，连续的。然后是这个点处的导函数大于零，请问同学们能不能说明我先说一下这个事情啊？德尔塔大于零零到德尔塔，

德尔塔到负德尔塔到零，这什么情况？这是不是就是灵域啊？那么大家注意啊，这就是邻域，所以你发现一个事情，这是邻把这点挖掉，邻到德尔塔是右曲线领域。然后是负德尔塔到零就是左曲线零好，这是零域，那么请问同学们这个AB选项对不对？对不对？来一遍呗，那你发现一点导函数正负性，该点导函数是正的，

能不能说明邻域内是单调递增的？根据刚才的话，一点导数正负性，不决定领域内的单调性，除非导函数连续你现在只知道这个函数，连续导函数未必连续。所以说你发现AB不对。对吧，我立即排除了，为什么呢？因为一点导数正负性是无法决定领域内单调性的，除非导函数连续。你可以想想我们刚才讲的那个例子。我就举了个例子，这点导函数是正的吧，

但是两侧呢，两侧是单啊，这个什么震荡的哎，它就没有什么情况。没有具有单调性好，这是a选项和b选项。那么，接下来核心重点，我们来看看c选项和d选项。他就想说什么事情，他想说在这个什么去心领域内fs和零之间的关系，大家想一个事情。如果在考研过程当中出现了导数，你立即会想到什么？我是不是会想到导数定义啊？

所以接下来过程当中我们就写一下导数定义。fs-f零比上一个s- 0，这个结果是不是大于零？大家想一个问题，现在而言是知道什么情况，知道这个极限是正的。对吧，知道这一坨极限是正的。想看里面的政府性，想看里面在这个去薪领域内的政府性怎么办？脱掉帽子吧。就在你家，你家是哪儿？你家就是去腥领域内，在去腥领域内脱掉帽子，

也就说在你家里面。这个fs-f零比上这个s都会什么情况大于零？跟得上吗？好，这是这个事情，然后紧接着你发现一个事儿，你再看这个人，这个is什么情况大于零知彼大于零，下面大于零呢，下面大于零，上面就大于零。上面大于零是这个，然后再看这一段的时候s什么零小于零之比大于零，下面小于零，上面小于0 fs小于f0。

所以说马上出来。就在这个人的右曲线领域内fs比零大。然后在左曲线领域内fs比这个什么f0要小，所以说这个d选项它不对，正确答案选几啊，就选择c选项这个结果。重点吧，你看这个题，这题考得非常好。所以我们一定要养成习惯，知道极限正负性，想在你家看这个被求极限函数的正负性，你就脱帽饱和性就行，把帽子给我去掉。要想去掉这个帽子，

必须在你家里面才能摘掉这个帽子，也就在这个范围内才能摘掉这个帽子。好，这个事情我就讲到这，你发现反常是吧？非常反常识你像这个部分内容，你要是上课没有认真听，你下去过程当中自己进行去复习的时候又非常痛苦。很多同学都这样觉得，哎，这一点大于零，那附近不就大于零吗？那附近大于零，不就单调递增吗？我又没有很远，

我就在我附近呐，注意都不一定。一点导数正负性，不决定邻域单调性，除非导函数在这个点处是连续的。黄金重点。好了，这个内容我们就介绍到这儿，你下去过程当中，你再好好想想好了没？掌握清楚给我回复一。掌握清楚给我回复一。好，我们就说到这一点，导数正负性，

不决定领域内的单调性，除非导函数在这个点处是连续的。所以你今天你好好想想一个事情，你看大学过程当中学的。高中当中学的根本就没有把这个单调性学满。这个单调性，你发现有很多东西可啊，可供我们进行去选取，大家注意一个事情，基础班我们完成的这一轮。就是这个单调性当中的所有的核心知识点，你像这些问题啊，非常重要，等到了这个强化班，我们会做重点回顾。

但是，讲解性的东西啊，我在这都讲完了。好，这个问题啊，我们就说到这。好呃，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题啊，这是我们讲的这个第一个问题点。我们再来出一个题吧，再来看一个题。呃，接下来这个题啊，你稍微进行去看看，

我来给你说一下这道题目的来源啊。我给大家看一个题。是一道这个数学一同学两千一七年的考题。然后这个两千一七年考的这个题啊，紧接着三九六同学的我们。我们紧接着的话，你发现在一九年他又考了这个题，原模原样，所以以前过程当中你发现那个二一年之前的真题啊。就是二一年之前，我们三九六同学的真题，你发现一个事情很多的这个题目啊，都能在这个什么数一数二数三同学当中能找到原题。现在其实也是这样，所以在这里面当中啊，

要注重筛选，你们就不用做这个工作了，我都给你筛选好，你需要做哪些我都给你筛选出来。好了，那么接下来我们来看看这个题，来看一道考题。哎，看一道考题，你看这个题怎么做？这题啊，完全就是我们三九六同学的题。完全就是我们的题。他说一个事情，他说这个函数是可导的，

然后说俩人相乘大于零。则下列当中正确的是。那同学们告诉我选几啊？那么，首先第一件事情，我们先来问你个事儿，你在这个题目当中看到这个信息点，你能想到什么？俩人相乘大于零，你能想到什么？想到什么也就说，我能想到同好。导函数大于零，你就大于零，导函数小于零，

你就小于零，想到同号非常好。能想到这件事情，说明你的数学的这个就是基本的这个数学内容，你玩的很好，但注意啊，这个题还没有切进去。如果仅仅看到这儿说你没有掌握住考研的思维方式，那么接下来过程当中我们来看看这个题。如果在考研过程当中像你，如果遇到什么情况fs和导函数相碰，你立即会想到什么？我立即就会想到，二分之一平方的导函数。你想想平方导函数不是二倍的fs，

中间变量再求导不是它，所以在前面过程当中配个多少二分之一就行。你看我就立即能想到这儿。这就是高手。啊，这就高手，我知道有些同学在屏幕前估计就有点犯难了。说老老师，这怎么有人能想得到啊？这不会有人想得到吧？你放心吧，将来过程当中再见到这种问题啊，这都不算问题。那么接下来我把这个部分内容我们做一个重点精讲。常见的构造函数的形式。

构造函数的形式。像这些常见的构造函数的形式啊，这是我们一定要把它记住的，哎，这个没有任何商量余地，常见的构造函数形式，我说的是常见的。哎，把这些常见的你必须要记住呃，当然对我们三九六同学，因为我们不玩微分方程，所以有些东西啊，你发现如果再特殊一点的。对吧，再特殊一点的，

我们就不会考了，所以在这种当中，你只需要掌握住这一页就行，那么先来看第一个事情。如果在这种当中，你发现我碰到导函数和这个函数相碰，你会想到什么？我就会想到平方的导函数。就说导函数和fs相乘碰到一起了，我想的平方导函数，这个平方导函数你发现二出来一个二分之一干掉它。好，再看第20题。如果你发现一个事情，导函数和这个人相碰呢？

你会想到什么？想到什么，那什么时候变成分之一导函数？louie是不louie，我就会想到louie。那么，其实同学们，你想想我在这个low in这里面当中加个绝对值是不一样。啊，应该能想到ling绝对值，但是同学们想到ling就行了，不用管这个绝对值。就算有绝对值的话，你发现求导的时候仍然是这个里面分之一，中间变量再求导没有关系啊，

你不用管这个事儿，因为如果考研题进行去出啊。他肯定这里面当中啊，就直接出一个这人就行了。能考到这个水平就非常好了好了，那么接下来我们再看第三个事情，如果你碰到什么情况，你倒我不倒。加上你不倒，我来倒，你能想到什么？好，再看能想到什么。我当然能想到两人的乘法之间的导数。对吧，

然后接下来过程当中，我们再看第四个人，如果你碰到你倒我不倒，然后再减去什么，你不倒我来倒，那这个时候你发现你又能想到什么？这个时候我当然会又会想到什么，想到除法呀，你导我不导，然后再什么再减去，我不导你来导除法呀。你说老师这个除法不相等吧。除法下面不是还有一个平方吗？大家注意平方不影响正负性吧？你这人大于零，

不就是这个人大于零吗？平方又不会影响正负心好，这是这个事情，然后再看第五个人，如果你碰到了导函数加上fs，你会想到什么呀？这个人大家注意，这个时候你发现我就会想到es乘上fs导函数。你可以尽心去尝试一下，你看这个人前倒后不倒。前面不倒，后面来倒，然后这个时候的话，你发现你把这个求导的时候，你把这个提出来，

刚好是这个样。刚刚好es又不影响正负心，只要这个人大于零，那这个部分就大于零，这是一样的，所以说我立即会想到es乘上导函数，还有最后一个人。最后一个了，那就如果碰到什么情况，这两个东西相减呢？相减我就会想到e的负s乘以这人导函数。好，非常好，这四个人呢？一定要记住啊，

这六个人。那么就在这里面当中啊，遇到不同的样子，立即想到对应的构造函数。对吧，比如说这里面当中，你发现只要这里面当中，左边是大于零哦，右边这坨的导函数大于零，左边这个人小于零，右边啊，这个导函数就小于零。那这个时候你发现这个构造性的方法就非常简单了。所以将来过程当中是不会了，以前过程当中不会，

那都没有关系，你只要将来过程当中见到这件事情，你会了就行了。能行吧，你看今天过程当中啊，才讲一个单调性，这里面当中我就补充了好多内容啊，这是要注意的。能学会吗？好过去了啊，所以说接下来过程当中你就可以看了。如果这人导函数大于零，我就立即可以说什么，我就说这个函数单调递增。对吧，

你这导函数大于零，这个函数单调递增，那这个函数单调递增的话，你发现其实你立即可以突出来。自变量越大就越大吧，那自变量越大就越大，那这个时候你发现平方比它大，平方比它大，你能说这个人比它大吗？当然不行啊，应该说的是绝对值比你大。所以说，正确答案选c。好题吧呃，像这种题出给我们，

我们再觉得再出一点，我觉得也是非常非常好的题。所以这是一种重点中的重点题。一定要会进行构造，当我见到这件事情的时候，你立即想的什么？你想到这个知识点，这才最重要，你想不到这个知识点，你发现半天都做不出来。所以说这件事情对我们三九六同学就更重要了。你不能在那墨迹，你只要见到这个东西，立即反映出来，只要见到这个内容，

立即反映出来，我们需要考察这个东西的定式思维能力。所以啊，这一页的东西啊，与其说这个常见的构造形式，不妨就进行去说，它也是一种需要掌握住的定式思维能力，你觉得不是吗？所以你看这其实就是一种定式思维的能力。这是我们必须每个同学都要具备的，当你见到这个人，你就立即反应出来。对吧，只要你见到这个人，立即反应出来，

哎，这个定式思维能力一定要具有。好，这个事儿我们就说到这儿。过去了，可以吗啊？基本问题。好，这个题目我们就说到这吧呃，所以说下去过程当中啊，好好进行去想想，把这个基本问题啊，你把它琢磨一下就行。好了，这是我们在这本当中啊，

介绍的这个第一个信息点问题，你看内容点就会稍微的会多一点点吧。啊，就会有啊，就会有一些好了呃，那么接下来我们继续，我们再来看看下面一种问题。啊，再来看看二点三一这个题呃，这个题为什么放在这呢？我先说一下，这两个不等式啊，你高考都不会考的。就说如果让你直接去证明这个人成立，这个人成立高考都懒得考。

那为什么现在我放到这呢？而且我们没有正命题啊，大家注意我让你写的这两个东西啊，这是将来要背过的。听懂吗？这俩不等式，一定要背过这俩不等式，在我们考研过程当中是黄金重点不等式。你如果是二战同学，我相信你能理解一战同学，估计不是说特别理解，那没关系，我说的你记住就行。这俩不等式黄金重点中的重点。必须记一会过程当中，

我教你怎么背？那么在背之前呢？我们先来把这个事情我们说明一下怎么去争？因为这件事情也是我们在考研过程当中啊，需要进行掌握清楚的。哎，也是需要掌握清楚的，所以接下来过程当中我来说一下这种不等式的证明方法。那有些同学顾及说，老师，你讲这个东西是不是讲多了？我们考研怎么可能会出证明题呢？我刚才已经讲过这个事情。对吧，我说过这个问题，

就是比如说我给的一个这个什么情况，我设置成选择题，所以接下来过程当中我来讲讲这个不等式的证明性的方法，理解一下行不行？你基础班吗？我就打打这个基础，不要在这里面当中说啊，这个不会考吧，你好好听对吧，帮着你进行去理解好，那么接下来我们来看看这个事情。那么，在这个不等式这个证明过程当中，那么首先我们先来看看第一个问题，对吧？

我需要进行解决第一个问题，如何检验？求函数的单调性。如何进行去求函数的单调性的问题哎？怎么进行去求函数的单调性问题？我们考的不会特别难。我们不会考，特别难哎，就说怎么进行去考函数单调性，就这样操作，就是拿到一个题了之后。你不是研究这个函数单调性吗？你研究这个函数单调性不就是研究这个函数的导函数正负性吗？所以说拿到这个函数求导就行。哎，

求导就行，如果说一阶导数的正负性在哪块是正的，哪块是是负的，你能判断的出来就结束。如果这个正负性没有出来，你就再求二级导图。听懂了吗？如果二阶导数的正负性出来，正负性出来就结束，然后再进行回推，找上一级为零的点。好，我们达到这个水平就行，我们考的不会特别难，因为这不是我们的考考研方向。

这不是我们的考研方向，就是怎么进行去检验一个函数的单调性呢？对吧，给你一个函数怎么进行去判断它的单调性呢？非常简单，给了这个函数，你就上导数就行。上了导数，如果正负性就出来，单调性就出来了，如果正负性没有出来呢，再去求二阶导。二阶导数的正负性出来呢，那就结束，然后再回推找上一级为零的点回推就行。

能理解我的意思吗？哎，大概就是这个方向，因为你发现你高中不就是这样学的吗？这不就是你整个高中当中的青春吗？高中就这样学啊，所以接下来过程当中，我们再来看第二事情。哎，再来看考点二。哎，扣零。那么，在考点二当中啊，你发现一个事情就是函数不等式的问题。

哎，函数不等式问题。一个函数不等式，我是怎么操作的呢？我们是这样操作的，叫做移项设函数。哎，一项设函数什么意思呢？就说我会把这个式子啊，一个项一个项了之后把这个函数设出来。哎，这叫移项式函数。然后接下来过程当中是求导用单调。什么叫求导用单调呢？就是求导，

然后判断这个函数单调性，如果这个函数的一级导数正负性出来就解出。出不来，在二级岛二级岛出来结束，出不来，在三级岛谁出来再进行去找上一级为零的点再回推。所以我们的考题啊，基本上在一阶导数或者二阶导数就结束了，不会考到三阶导的。能掌握清楚吗？哎，大致的方向就给了你。那么，接下来过程当中，我们来试一下吧，

对吧？我们来做一个啊，感受一下，感受一下我们曾经在高一过程当中做的这种题。那曾经过程当中，你可能没有什么方向，反正怎么办呢？你高中你发现做这种题特别机械，拿到函数进行求导，导了之后找导函数为零的点和导函数不存在的点。来画表。哎，画表表画出来之后的话，你发现说什么情况？这段正的这负的这正的这负的增减增减。

然后单调性出来了。这是不是高中啊？高中就不是这样吗？所以在这种当中，你发现这不就你整个青春吗？你高中当中做的最多的题就是这种题。这比你高中做的什么圆锥曲线的题呢？什么概率的题呢？数列的题啊，考的还要多，这你整个高中到了青春呐。所以到了今天过程当中，你还需要把这个东西啊，再完善一下，好，

我们一起来啊，来证明一下。我们考研不会考证明题，但是这件事情的做题会帮着我们进行去理解。好在这里面当中，我们再来说一遍，你看函数不等式吧。函数不等式。那函数不等式怎么做呢？来告诉我第一句话叫做一项设函数来一个项，把函数设出来。好移项式函数，然后第二步求导上单调来求导一求导就是es- 1。请问同学们，这个导函数的正负性出来了没？

出来了没？当然出来了呀。你这不就是一个es吗？你想想一个事情es跟e那es跟e的话，你发现一个事情，你什么时候大于一，什么时候小于一，当然知道出来了呀。所以接下来过程当中，我们就知道当s如果怎么办？小于零的时候，我小于一导函数是小于零。然后第二个事情，如果我大于零的时候，你发现这个导函数什么情况，

这个导函数就大于零。你不用着急，这个事情这块内容是我将来会有一个专门的专题进行讲这个事情。我有一个专门的专题进行去讲，怎么进行求方程根怎么进行去判断单调性对吧？怎么进行求单调区间？这一块涉及了我们高中当中的一些问题，我将来会有个专门的一个板块内容，我给你练那么今年强化过程当中，我使劲把这个东西练。我就不信这个东西啊，拿不下来啊，非常简单，就第一步干嘛，第二步干嘛，

你就把它给我做成一个肌肉记忆的东西啊，非常简单。好了，那么接下来看再来看，那这个人你发现个事儿诶，这个函数不就单调递减，然后这个函数不就单调递增吗？所以说这个时候我就知道。小于零的时候单调递减。然后大于零的时候单调递增减到零从零增，你想不想知道零处值啊？你想不想？你不想知道，不想知道算了啊。你肯定想知道啊。

你从负无穷减到零，然后你又从零增上去，我当然想知道零啊，那零处等于几零处不就是零吗？那你想我减到零，我又增上去，那说明什么情况？说明这个函数不就一定是大于等于零的吗？对吧，那不就说明es-1-s不就大于等于证明完了呀？所以你看像这种题啊，高考都不出。高考都懒得出。我们高考都很不喜欢出这种题。你想想是不是啊？

就这个问题。所以同学们注意啊，研究单调性的方法，其实就是我们将来进行去处理方程根的问题的方法，所以你慢慢搭建啊。啊，后面我们再说吧，我不多说对吧？不多说，然后不然的话，很多人在这个思维方式很混乱，你就记住单调性怎么判定？先上一级岛，一级岛正负性出来，结束出不来再二级岛。

出来之后再回推，然后函数不等式，怎么做一项是个函数求导，再怎么办？用个单调。一项先把函数设出来，然后再求导，然后再看单调，看看这个人的导函数的正负性。如果一阶导数正负性出来，结束出不来二阶导。哎，就这样进行处理，能理解我的意思吗？好基本问题啊，

你要想清楚好这个事儿，我们就介绍到这。呃，稍微休息会儿吧，可以吗？同学们？啊，休息会儿，休息会儿，然后一会儿过程当中啊，你做一下这个第二个题吧，你利用课间休息的过程当中，把第二题完成一下。好不好？同学们行吧？

好，我们稍微休息会，一会我们继续啊。做下第二题啊，把第二个题目完成一下，把刚才我的思路去想一遍，想一遍过程当中啊，我们再去处理好，我们稍后休息会儿，一会儿继续啊。

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12.导数微分学应用（B）-1

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