11.导数微分学应用（A）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:38:58

那么，接下来我们就准备开始今天的课程吧，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就继续开始了。那么今天我们就继续开始，我们三九六精宗数学的税前系列的这个啊，不是税前系列，我最近录课录多了，对吧？我们三九六精宗数学的这个基础班部分内容。那么，

在今天过程当中，我们就继续跟着上节课部分的内容，我们就继续开始。那么，在这个今天过程当中啊，我们来看看上次过程当中啊，我们核心重点讲了几个事情。啊，这个最近真的是录课，真的是录多了啊，有的时候这个话就到嘴里面随手就说啊，这个随口就说出来了啊。好，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看上节课过程当中所讲解的核心知识点，

那么在上节课过程当中啊，其实你发现核心重点讲了三个部分的核心重点内容。那么当然，在这个三个重点内容之前呢？有几个事情我想重点说一下，那么那个东西的导数表有没有记住啊？哎，这是第一个事情，导数表有没有记住啊？这个非常重要，导数表是必须要把它给我背过的，没有任何的商量余地，里面当中每个部分的导函数是多少，你必须要把它记得非常的清楚。然后第二事情就是它的四则运算法则，

哎，四则运算那么四则运算法则，无论是加减法乘法，还有这个除法，每个东西的四则运算法则的内容。必须要记清楚好了，像这两个东西啊，都是我们的基础，那么接下来我们来看看上节课过程当中啊，所讲解的核心重点吧，那么第一事情我们讲了复合函数求导。那么，在复合函数求导当中啊，我们的核心重点要讲了几个事件，第一事情，

它的求导法则就是先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导。这个东西啊，就叫链式法则，你比如说这个y要对s求导，我可以怎么办？我就可以引入一个中间变量，先对u求导，然后是u对s求导。对吧，先对中间变量求导，中间变量再对次变量求导啊，这是他的方法，但是这里面当中啊，你要注意几个问题。

那么今天我再来问一下你，比如说这里面当中，我写这个东西对吧？我这样写，如果这里面当中我写了一个fx三次方，然后打一片儿，什么意思啊？还有这个头顶上打一片，什么意思啊？那么，请同学们告诉我，第一个人什么意思？如果是这个整体打一撇，整体打一撇的意思，其实就是这个复合函数，

然后要对谁啊，就要对自变量求导。对吧，这是这个事情，如果是肩膀上打一刀呢，其实就是这个复合函数，然后对中间变量求导结果，所以同学们把这两个事情一定要分析清楚。你看，对于自变量，求导其实就等于先对中间变量，中间变量，再对自变量求导好，这是一个基本问题，那另外一个事情我们再还想讲。

那么，请同学们告诉我f1撇儿三次方和这个f1撇儿s之间什么关系啊？哎，这两者什么关系非常简单，我们说过了，如果看这两个什么关系，你就把这个f1撇当做成一个对应法则之一，你就进行去看看这两者什么关系。对吧，这两者这两者之间啊，就是个复合函数关系，我就用这个三次方替换了s里面的s就会得到这个零。那同理呢？我用x三次方替换了x里面的，这个x就会得到它啊，

就是这个事情非常简单，复合函数。好了，那么接下来我们继续，我们再来看第二事情，隐函数求导，那么隐函数求导的核心重点呢？首先第一个事情，什么是隐函数？由方程确定的函数。所以它的主体是方程，你要注意啊，这个内容我们在呃，每年过程当中都是重点，就是我们三九六同学贼喜欢考，

隐含数学导分。分段函数求导，所以说由方程确定的函数叫隐函数，那怎么求导呢？方程的两边同时对自变量求导。一定要注意一个事情，注意y中有x。对吧，这是你要注意的问题，另外事情我们通常喜欢进行，求一阶导数在一个定点值啊，二阶导数在定点值啊，比如说我们要去求二阶导方。方程两边同时求一下得到一级导数，然后方程两边再同时求下得到二级导数，

但是注意一个问题，不要解出来。对吧，不要紧，等你做完了之后，你再把这个人带回去，然后就出来了，所以同学们他喜欢以方程为主题。对吧，这是这个东西啊，它的核心思想好了，那么接下来我们再来看看参数方程，求导那参数方程，求导核心重点两个事情。一阶导数就是y对t比上s对t2阶导数呢？

是一阶导数对t补上s对t求导分之一。还记得吗？好，这个求导法则必须要记清楚，那么接下来我们再来看看第三个事情，那就是分段函数的求导怎么操作呢？分段点y直接求。分段点上用定义对吧？我分段点外我就直接算分段点上，我就用定义那么在这种当中是不是给了一个思考题啊？那么，上节课过程当中，我让你去思考过这个问题，我说什么事情呢？我说如果这是limits趋向于s0。

导函数的极限，你告诉我事情这个东西一定会等于该点处的导函数值吗？那么，如果在这里面当中，你发现如果是limits趋向s0，正诱导数的极限，就一定会等于诱导数的值吗？那么同理而言，我们继续看，如果是limit x趋向x0负导函数的左极限，一定会等于左导数值吗？哎，这三个问题，那么同学们注意这件事情，当然不一定。

那么，如果说的宽泛一点，就是导函数连续的时候一定相等。对吧，如果导函数是连续，它肯定相等，但是能不能把这个条件怎么办？稍微的退化一点，也让这个事情可以呢？哎，是可以。怎么让它退化呢？我再来写一下第一种情况，导函数连续的时候一定可以。怎么让这个条件稍微的退化一点也行呢？

我们可以退化成这样，第一事情就是要求导的这个函数。在这个点处是连续的。这个条件保证了这个导数定义后面那个极限是个零比零型未定式，第二事情也就说这个极限要不是个数或者是无穷大。要不是个数，要不然是或者是无穷大，要不是个数，或者是无穷大，你能听懂我的意思吗？就说这个导函数这个极限，结果它要不是个数，要不是无穷大。呃，这个内容我最好是这样写，

不然的话，你发现这个东西啊，你容易看混，我把这个内容这样写啊，你要注意就说这三个极限，你这个极限要是个数或者无穷大就行。你这是个数，或者是无穷大就行，你这是个数，或者无穷大就行，能听懂吧？哎，注意啊，因为它是洛必达法则推出来的。所以说你得满足洛必达法则的要求，

洛必达法则落完了之后的这个导函数之比的极限，切记不能是不唯一情况。所以同学们一定要听清楚啊，就说要求导这个函数在这个点处连续。对吧，连续，然后第二事情你这个导函数的这个极限结果是一个数或者无穷大好，非常好满足这两个条件了之后啊，你发现这个导函数极限就能求该点导函数。导函数右极限就能求该点处的诱导数，导函数的左极限就能求出该点的左导数，能理解我的意思吗？哎，下去过程当中好好想想。呃，

其实啊，这也是导数计算的第二种方法。对吧，导数计算的第二种方法，但是我不喜欢给三九六同学我们进行去，在这个上面增加压力。如果是数一数二同学的话，因为他们有这个大题，有这种大题的话，然后在做有些题的过程当中，用这个方法会非常简单。但是我们三九六同学，你最重要问题，你要知道这两者东西，它不一样就行。

哎，不一样就行，另外事情如果要想进行求该点处的导函数，我们就怎么办？我们就用定义就行，你要注意啊，不要在这里面当中呃，把思维方式啊，弄得太差。啊，好了，这个事情我们就讲到这儿呃，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看上节课过程当中留了一个思考题，我不知道你想了没想？

啊，就这个题。好，我们来看看这个思考题。哎，这上节课过程当中啊，留了一个题，那么接下来过程当中啊，我们把这个题啊，我们来做一下呃，这个东西啊，难度系数也不大，但是非常符合我们呃，这个三九六同学，我们的做题套路。

好了，那么接下来我们一起来看看这个事情，首先第一件事我们先求第一问。那么给了一个分段函数，然后让我们去求分段函数的导函数怎么算？非常简单，分段点y直接求来吧。分段点y直接求。第二，事情分段点y直接求，所以说你发现这个部分的导函数等于多少就等于es。然后这个部分导函数等于多少？就等于cos x哎，分段点y直接求，然后第二事情分段点上用定义。

那么，用第一的话，你发现我们先来看看这个人诱导数，诱导数右啊，这个是右极限，左导数，左极限好，我们先用一下导数第一。limits趋向零正，然后这是limits趋向零负好，我们写定义，那就是fs。比零大的时候是es- 1。这个题只有几个f0。它只有一个f0，

它这个人的f0永远都等于多少把这个零带进去的话，你发现永远都等于零哎，就这个函数的f0只有一个结果。永远都是零好了，这是这个情况，减去f0比上s- 0好继续，如果趋向零负，你看比它小。比它小，其实就是s in-f零比上s- 0，你看这个结果是一是一说明什么情况，说明该点导函数结果就是。就等于一，所以说在这里面当中，马上这个人问题啊，

就非常简单了，那这个结果就是多少fs导函数？分段点y直接求，那结果就是es分段点y直接求，那就是cos in，然后在该点处的导函数结果等于一。你看挂上面行不行e的零是一挂下面行不行？可以扩散零是一，所以说这件事情你挂上面挂下面。都是可以的，对吧？挂上挂下都是可以的。好，那么接下来我们继续，我们再来看他，

让我们进行去判断一下这个导函数的右极限等不等于该点处的诱导数呢？导函数的左极限等不等于该点处的左导数呢？我们去求一下就行，好，我们来看看第二个。那么，接下来过程当中，我们干嘛呢？我们要进行去求出导函数的右极限。要注意啊，趋向于零，还没有到零，而且比零大，所以说这个时候的话，你发现对谁求极限比他大，

对这个人求极限是不是一样？好了，那么接下来我们就继续，我们再来看，如果这个人的话，你发现是导函数的左极限，左极限就是比它小，比它小，对谁求极限，比它小，对cosine求极限也是一。那这个时候你发现一个事儿，哎，这个结果它不就等于该点处的诱导数吗？这个结果它不就等于该点处的左导数吗？

哦。我发现了一个事情原则，两者东西啊，他是相等的。你看吧，它是相等的，其实你发现这个内容完全符合我们上节课讲的内容，你看这个题就帮助我们把知识点回顾了。那么，接下来我们进行去看看他这个东西，判断两个人相等我们上节课讲的那个经验性的方法到底成不成立好？好先检验啊，首先第一件事情先看要求导的函数连不连续好，我们检验一下，请问同学们注意它的右极限是几啊？

零左极限是几零该点处的函数值是几是零，所以说你发现这个函数在这个点处连续。在这个点处时连续好，这是第一个条件。咳咳。这个函数在这个点处连续，然后第二事情导函数这个极限，结果是个数吧，导函数极限结果是个数吧，两个条件都满足。所以说同学们，你发现这两个内容是不相等的。所以将来过程当中，我们就知道，如果导函数的左右极限，

它是个数或者是无穷大，然后另外一个事情要求导的这个函数啊，它在这个点处是连续的。那么这个时候你发现两者东西才会相等。想清楚，我们同学们。抠着内容走。我一直跟你讲这个数学学习其实非常好学，你只需要做一个事情就行，学会规则。规则怎么说呢？你就严格着扣着规则走，对吧？你就扣着这个规则走就行，好这个知识点，

我们就讲到这听明白了吧？要求导的函数是连续的。然后导函数的这个极限结果是个数或者是无穷大，那这个时候你发现两者之间就相等了，所以说在这里面当中，你看就相等了。好了，这是这个事情吧？如果单个做定型。为啥不听话呢？对吧？你就抠着这个问题走，你就记住它是连续就行啊，当然的话左连续右连续其实也可以再推一下啊，但是不要这样，

你就记住这个问题。连续的时候才可以啊，不要往下来了，好了，这个事情我们就讲到这儿，那么接下来同学们，我们就继续吧，我们再来看看这节课的内容，大家听懂了吗？所以将来过程当中啊，你要注意导函数的右极限，跟该点处的诱导数相等吗？导函数的左极限，跟该点处的诱导数相等吗？如果导函数连续当然相等，

但是如果把这个条件稍微的弱化一点，有没有可能相等呢？也有可能就是我刚才讲的这个问题。好，那么接下来我们就继续开始我们今天的重点内容，大家注意啊，你好好听你们现在状态怎么样？现在状态怎么样？非常好吧，拿出你最好的状态，然后来听今天部分内容，你注意啊，一开始这个东西啊，有点难。哎，

有点难，有点绕，然后同学们注意，如果你一会儿把这个部分内容你听完了之后，你觉得不是说特别难哇，那就太棒了。因为这个东西的难度系数其实挺大的，一会儿如果你消化的还挺好，那证明我们这节课我觉得还是挺成功的好了，那么接下来我们先来看看第一事情，我们先来讲讲。反函数求导，首先我先说一下第一个事情，这个内容在我们的考研真题当中没有出现过。你要注意啊，

没有出现过，所以说他是可以继续去出题的，反函数驱动。那么，首先在讲反函数求导之前呢？我觉得还是非常有必要继续去介绍一些反函数的基本知识。对吧，我们先介绍一些反函数的基本知识，然后再进行讲反函数导数计算，因为没有这个，一会你发现你做题啊，真的是寸步难行。好了，那么接下来我们首先看看第一个事情，我觉得我去讲反函数，

不想讲的那么的抽象，我们就以一个例子为为例来讲。就是这个人。这是经典的具有反函数的人吧，那么接下来我们来讲讲这个人的反函数的情况，首先第一件事情我们可以把这个人的函数图像画出来。你发现它的因变量是y自变量是x，所以说这个人的函数图像就是这样哎，这是个指数函数曲线。那我想问你个事情，我怎么进行去求解它的反函数啊？反函数大家都知道，反函数的这个什么？我把这个画一下，那什么是反函数呢？

反函数非常简单，反函数跟原函数的函数图像关于y=x对称。这个事情你知道吧，对吧，他两个人的函数图像关于y=s对称，那么接下来同学们告诉我，我们怎么去求反函数呢？我能不能把这里面当中的x解出来啊？你看我一解就解成这样了。那我就想问你个事情，这个东西是不是它的反函数呢？就这个人呢？这个人是不是原来的这个函数的反函数呢？是不是你先告诉我这个事情，我看看大家的消化水平。

是不是它是不是这个人的反函数？是不是是的，大家注意啊，是它的反函数，有人说老师不对啊，我记得我高中不是这样学的，我记得是解出来之后还要调换一下，大家注意，这就是它的反函数。这个反函数叫第一类反函数。哎，第一类。有的说，老师凭什么是反函数？大家注意听我来分析，

而且啊，你发现考研就喜欢考这个反函数。喜欢考这个人。那么，在这个当中，为什么这个人是他的反函数？有人说，这俩不是一个人吗？一定要注意一个事情，这个x啊，现在已经不是曾经的x。现在它作为音变量了。现在的y你发现已经不是曾经的y，现在做自变量了。虽然同学们都知道这个方程跟这个方程其实是一样的。

这俩玩意是一个人，但是注意它的地位发生改变了，所以现在而言的话，你发现我进行去画这个函数图像的时候，这里面当中的纵坐标轴是谁呀？是x了横坐标轴，是谁是y了？所以说你发现这个人的函数曲线就变成这样子了。哎，就变成这样了，所以同学们告诉我这两个函数曲线关不关于y=s对称呢？当然关于。所以这个人也是它的反函数，这叫第一类反函数。但是同学们琢磨一个事情，

我们喜欢这种研究吗？不喜欢，为什么我们喜欢研究两条曲线？我喜欢放在同一个坐标系下研究。我们经常喜欢的纵横坐标轴是x我们。我们喜欢的纵坐标轴失败。对吧，我喜欢的横坐标轴是x不是y，我喜欢的纵坐标轴是y不是x。所以同学们注意，我们接下来怎么办？我就变成你喜欢的，我就在这里面当中调换两个字母。对吧，我进行去调换这个x和y的字母，

我一调换，你发现这个函数就变成了这样。那么，同学们告诉我，这个人是不是他的反函数啊？这个人当然是这就是你非常喜欢的那个反函数，这叫什么？这叫第二类反函数。哎，注意啊，这叫第二类反函数，这是你最喜欢的吧，因为这个函数图像的话，你发现就可以画到这个坐标系下，然后关于什么y=s对称了。

所以说这就是我们所讲的第一类反函数和第二类反函数。但是这里面当中，我想讲几个细节性问题。同学们想，如果它是第一类反函数，我怎么进行辨认呢？如果它是第二类反函数，我又怎么辨认呢？非常简单。如果是第一类反函数，谁是因变量？x是因变量。如果它是第二类反函数y，仍然是因变量。对吧，

你就进去去看看因变量是谁，如果因变量变成了x这个人了哦，这是第一类反函数，如果因变量这个人还是y，他就是第二类反函数。所以同学们告诉我个事情，如果是第一类反函数，应该是谁对谁求导。谁对谁？我们要求求导，往往都是因变量对自变量求导，应该是谁对谁是x=y求导。而你发现第二类反函数呢，仍然是y对x求导，哎，

仍然是这样，所以说这就是一个细节性问题。对吧，你要知道谁对谁求导好，那么接下来我们就继续，我再来出个题。好好听啊，那么请问同学们，如果一个函数让你进行求导。它指的是这个函数求导，应该告诉你在自变量处的值吧？能理解我的意思吗？比如说我就想让你去求在自变量处的是谁谁谁的时候的导函数值。对吧，我就很想告诉你自变量的，

值不会告诉你因变量，那我就想问你个事情，大家好好听，请问。这个y=1。好好听啊，这个人的y=1是原来函数中的谁等于一？原来函数中的谁等于这个事情非常重要，必须给我停回。如果这个值等于一是原来函数中的谁等于一？完了完了完了，哎呀，没有听懂啊，同学们，那你想想一个事情，

你看我这个y=1。我把x解出来之后，这个值变了吗？地位变了，但值没有变，仍然是什么？仍然是y=1。不要绕啊，这个特特别简单，一点都不绕。哎，跟得上吗？好了，那么接下来我们继续，如果这个人的x=1。

你听好了，如果这个人的x=1。是原来函数中的谁等于一？谁等于一？哎，非常简单，你看你这个x其实就是这个y这个y就是这个y，所以说就是原来的y等于。哎，这个事情能听懂吧，你看你就转清楚了。只要你能把这个事情转清楚，所有事情都非常简单。大家听懂了吗？好掌握清楚给我回复一。

注意啊，这是一个啊，初高中的一个基本内容对吧？反函数第一类反函数只是把s解出来x作为因变量，但是大小没变。但是第二类反函数的要把s做切换这个东西啊，应该做对应的调换好这个事情，我们就讲到这，那么接下来我们来看看。求导法则问题。呃，这个求导法则其实就是我们讲义当中的二点一八这个例题，但是我想把这个东西啊，我们做重点讲一下，好好听啊。

那么，如果在这里面当中，你发现我给一个事情，我说这个反函数啊，这个函数其什么东西呢？其反函数为。为多少呢？为x=f负y。告诉我个事情，这是第几类访函数啊？这是第一类反函数。为什么呢？因为这个x作为了什么变量？因变量这是个新的对应法则，这是第一类反函数吧？

那么，接下来过程当中，如果这是第一类反函数，求导你告诉是谁对谁求导。这个反函数要想求导是谁对谁求导。谁对谁。啊，哪个字母对哪个字母非常好？x对y求导。如果进行二级导数计算呢？那应该是x对y求一下，再对y求一下，应该是x对y求两项。这个事情能跟上吗？所以说你要注意啊，

这个反函数求导是它的因变量对自变量求导好，那么接下来我们继续。那有的人说老师这个太简单了。这多好做。那如果说什么情况呢？说这个y等于根号s你，比如说你看这个人的反函数不是x=y^2吗？你x对y求导不就2y吗？如果x对y再求一下。那不就二吗？这太简单了呀。大家注意啊，太想当然了。你简直太想当然了。你想想一个事情，

如果你是个出题人，你出一个函数，他说他的反函数，你会让他能解得出来吗？你会让他能解出来一个显函数吗？你不会的。你绝对不会让他能解出来的。你让他能解出来，你发现就是你出题的失误。我比如说我举个简单例子，你看我写一个人，我说y等于多少呢？只是x加上多少ln 1+e的x。对吧，比如说平方。

那你告诉我个事情，我说他的反函数，你能给我解的出来。记得出来吗？解不出来，你无法解出来的，所以同学们注意，如果考研过程当中啊，给你一个原来函数。求出它的反函数，这个反函数是解不出来的。反函数的具体表达式啊，你发现一个事情，这个东西是解不出来的。所以在这里面当中啊，

我们就要注意反函数求导的思想是什么？思想是什么？思想是这个表达式，你是解不出来的。但是这个表达式你是知道的。也就说，反函数的导数计算我是不会的。但是原来函数导数计算，你会不会我当然会呀？说一个人的反函数，你连这个人是谁都不知道，那他反函数是谁呀？所以说这个人是知道的，所以反函数的求导思想就是。把反函数的导数计算转成原来函数导数的计算，

或者是我们来看看，我把这个事儿敲出来，因为这样的话，你理解的更深刻一点。注意。反函数求导思想。构建。反函数与原来函数。导数之间的关系就行哎，这就是我们要做的事情，就是说反函数导数计算你会吗？你不会。但是原来函数导数计算你会吗？我会因为这是一个已知条件，所以我怎么办？

我就来构建一下反函数导数计算和原来函数导数，你们之间到底具有什么样的一个关系呀？我把这个关系找到，我就可以处理了。你能理解我的意思吗？所以接下来过程当中，我们就来看看这个事情的操作，好听我来推导吧。好好听，认真听，也就说把这个东西要转到前面去。那么，首先第一件事，我们先来看看第一个人。我先来问一下，

第一类反函数中的x跟这个x的大小一样不一样？一样的吧，这个反函数当中的这个y跟原来函数中的y一样不一样也是一样的吧，它们两者之间的大小是一样的。所以同学们注意，你就把这个xy当成原来函数的xy，那这时候怎么办？我就把这个xy除下去。哎，除下去。那除下去了之后的话，你发现不就是y对s求导吗？其实你发现就等于原来函数导数分之一。所以记住这个点反函数的一阶导，就等于原来函数求导分之一好，

这是我们讲的第一个事儿。过去了，可以吗？这个公式要记住啊，反函数的一阶导等于原来函数求导分之一，那么接下来我们再来看看二阶导。那这个二阶导数怎么算的呢？哎，大家都知道二阶导数应该是一阶导数对谁求导好，我们走一下是这个一阶导数对谁？应该是一阶导数对y吧，因为这个函数要想求导，就是因变量对自变量求一下，因变量对自变量求两下，应该是对y求导。

但是你想想一个事情，你看你这个一阶导数应该是等于f撇s分之一啊。你这个人喜欢对y求导吗？不喜欢我喜欢的是对x求导，所以说在这里面当中怎么办？我补一个ds我就怎么办？我再乘一个ds分之一。哎，是变成这样，你看你要对y求导，但是你这个函数应该是擅长于对谁求导x求导，然后你去补一下这个东西出来了。好，那么接下来我们就继续，我们再来看。

那么，同学们想，如果我在这种当中另一个函数，这个函数等于f一撇x分之一，你告诉我这个导数怎么算？怎么算？不要跟我说不会做啊，一个人分之一，求导先对中间变量求导负的这个人的什么？平方分之一中间变量再求导两撇儿跟得上吗？所以说这个结果就等于负的一阶导数的平方。哎，然后分之一，然后是两撇儿好这个人。跟得上吧，

然后接下来过程当中，你再来看这个人，那y对s求导是不是这个y对s求导y对s求导就等于f1撇分之一？所以说在这种当中，我们就得到了这个著名的公式，就是等于原来函数求导一阶导数的三次方分之。二级导数。你看这个事情是不立即出来了？所以我们将来过程当中怎么操作呢？你不是要求反函数导数吗？我不会做，但是我会做谁？我会做原来函数导数计算。反函数的一阶导就等于原来函数求导分之一，反函数二阶导就等于负的原来函数求导的三次方分之二阶导我出来了。

你会了吗？同学们。所以我们在考研过程当中的核心啊，就是为了大家掌握住这个公式就行。只要你能掌握住这个公式，这个东西就没了。能听懂吧，大家注意啊，这个公式要记啊，一定要把它记住。哎，必须记住。所以说我再来一遍。反函数的一级导就等于原来函数求导分之一。反函数的二阶导就等于负的，

原来函数求导的三次方分之二阶导，同学们注意，你只用背这个公式就行。其实这个类型问题啊，就是我们讲的二点一八这个题，你想是不是啊？你看这个反函数的一阶导，就等于原来函数求导分之几一反函数的二阶导等于负的什么东西呢？原来函数求导的三次方分之二阶导。能听懂我的意思吗？哎，所以说大家注意啊，这个事情非常简单。为什么很多同学都觉得反函数求导难呢？是因为你没有知道他到底在干嘛？

你不了解他的思想。它的思想就是构建反函数和原来函数求导之间的关系。好，我们来试一个可以吗？来试一个，我们来操作一个题。比如说这里面当中，我们来出一个这样题。我们说已知。y=3倍的s方加上es。其反函数。反函数为多少呢？反函数为x=f负y。第几类很明显，这个东西就是一个第几类，

第一类反函数，我让你去求什么呢？我让你去求因变量对自变量求导。然后在它的自变量三+e处的值。好同学们注意啊，你看这个反函数求导应该告诉在自变量数值，那肯定的嘛。好，那么接下来我们来看看这个事情怎么做啊？来解首先我们眼睛一瞅，我们都知道这个反函数要求导这个反函数求导，你发现一个事情我不太会，但是我会原来的呀。原来函数求导是多少？原来函数的一阶导等于6 s+1 s。

所以说我就可以写了，则反函数的一阶导就等于原来函数求导分之一。是不是这个事情？那就这么简单，然后把这个三+1带进去就行了是吧？是不是啊？然后把这个三+1带进去就行了，是不是啊？是不是啊？注意不是的啊哈，注意一下，这就是一个问题，你只要注意这个细节，什么东西都出来了。大家要注意一个问题，

你看你这半边是什么？这是反的，这边是谁的圆的？你想一个事情，你这个题给的是什么？你给的是反函数的自变量y=3+1。而我这个函数要带入的是我的自变量x啊。对吧，我要带入的是x啊，那么接下来过程当中啊，就要借助我们刚才所讲的知识点了。请同学们告诉我，这个y=3+1。其实就是第一类反函数当中的谁等于三+1。谁告诉我这件事情，

我刚才讲过第一类反函数中的y就是原来函数中的谁？哎，就是原来函数中的y，所以说原来函数中的y就是三+1就等于3x，方加上1x我就能解出它的自变量。它的自变量就是一。对吧，你要对照一下这个自变量就是一，所以大家注意一个事情啊，也就说给的是反函数自变量，你要解出原来函数自变量。反函数中的给的y你就要解出我的自变量x，只要注意这件事情就行，本题结果等于多少等于六加一分之一好了，同学们达到这个水平啊，

今年考研肯定没问题啊。因为这个知识点，我们从来没考过，难也不难啊，极其简单，就是你注意两个问题就行，反函数的一阶导就等于原来函数求导分之一。然后在这里面当中，只要注意一个细节，给的是反函数的自变量，我带的是原来函数自变量，所以说你就构建一下这两者之间的关系就行。啊，看起来，但是同学们注意这个知识点，

特别不适合自学。说实话，特别不适合咨询，为什么呢？你发现你去看一些这个书籍啊，参考书你好像也把这个公式给推过了，对吧？也把这个东西推导过了。但是你发现一个事情，你反正做题的时候总感觉有点奇怪。对吧，就感觉那边奇怪，就是这里面当中为什么要这样，其实你发现原因点在何处啊，就是因为同学们缺了这波知识点。

我说一下这个事情啊，缺了这波知识点，这波知识点是什么知识点呢？大学老师。认为高中老师讲过。其实高中老师没讲。对吧，高中老师认为大学老师才讲，结果你发现大学老师也没讲，所以说这就是一个中间的初高中知识点的盲区。你不是说微积分出现的问题，你是微积分这个知识点的前半部分出现的问题，就这一点点基础出现的问题，你都不知道什么叫第一类反函数。什么叫第二类反函数？

这个自变量到底什么关系？就是这样的一个问题。所以说很多同学你发现这个知识点。对吧哎，结果你发现这个知识点学不通，原因点就在这。你理解我是什么意思了吗？哎，所以说像这种类型问题的考题啊，你必须要会。好了，这个知识点我们就讲到这能听懂吗？其实你发现就是这样的一个问题啊呃，那么接下来我把这个题改一下。啊，

我改一下，我再改一个，然后的话，你发现这个今年考研啊，我觉得就圆满了啊，来再来一个。如果说已知。y等于。三倍的x方加上1s。其反函数。哎，这个人的反函数这个反函数为多少呢？这个反函数为这个人为y=f负x。好这个人，然后让我们去求什么呢？

哎，让我们去求这个人y对x求导，然后在x=3+1处的值。好看，这个人我看你能不能绕进去了？你是不是被绕进去了？好告诉我个事情，这是第几类反函数？第几类很明显一个事情，这是第二类反函数，那么既然是第二类反函数的话，你发现哎，注意啊，无论是第一类还是第二类，求导法则是不变的。

别管是第一类，第二类求导法则不变，告诉我反函数会求导吗？答不会不会的话，但是你发现一个事情，原来函数会求吗？原来函数当然会，原来函数求导多简单啊，你发现原来函数求导是6 s+es。原来会去画那么这个时候你发现一个事情则反函数第二类反函数的因变量是y。自变量是x，因变量是y，自变量是x，然后这里面当中因变量对自变量求导，就等于原来函数求导分之一。

是不是这个事情，然后接下来过程当中把这个三+1带去就行了是吧？是不是？你看现在就是三+1啊，带进去就行了是吧？大家注意，不是的，你一定要注意把它给我分开。这半边是反的，这半边是什么圆的？对吧，你给的是什么？你给的是这个人等于三+1。而我要带的是原来函数中的x。你想想是不是啊？

你给的是什么？你给的是x的反函数等于三+1。我要带入的是什么？我带入的是原函数的自变量等于多少？而我们刚才讲过，如果第二类反函数中的x=3+1是原来函数中的谁等于三+1？切了一次，所以说肯定是这个y=3+1。那么，既然这个y=3+1的话，你发现也就是三+1=3倍的x方，加上1s代到原来函数这种方程，解出原来函数的s。还是带除一，所以说本题结果等于六加一分之一，

你学会了吗？同学们。好，就这么简单。对吧，非常简单。所以同学们注意一个事情，就是这一块的学习，我觉得有两步，第一步套公式，第二步做自变量的切换就行。你想是不是啊？简不简单说实话，贼简单学会了这个知识点就贼简单，你考试一出题啊，

你能贼开心好了，那么接下来我们看看破题方法。好解题方法。就是两步第一步。哎，套公式。第二个。哎，第二。然后做自变量的切换。切换就行。所以同学们注意一个事情，这个部分的类型问题的难度系数啊，不是特别大，就第一个事情，

你进行套公式就行，你把公式给我套好，然后第二件事情呢，你就好好的做这个自变量的切换就行。你把自变量给我切过去，比如说给的是什么呢？给的是这个。呃，比如说我们第一类反函数的自变量哎，那对应的原来函数自变量等于多少？对吧，给的第二类反函数自变量，那原来函数的自变量是多少？所以同学们注意就是两件事情，第一步怎么办？

你把公式套一下。第二，事情做自变量的切换，而自变量怎么切换呢？就是我原来给你补的这个初高中知识点，对吧？这个s等于多少？原来等于多少？这个y等于多少，原来等于多少。学会了吗？同学们就这么简单。其实这个东西啊，难度系数是有啊，说实话是有因为。

这个知识点叫什么呢？就是一次学就挂你自己感同身受一下吧，你不用我去说你自己感同身受一下，你如果是自己进行去学习这个知识点。你做题的时候肯定会跳坑。啊，确实是稍微的会绕一点点啊，但是你把这个内容啊，你学会了之后难度系数就不大了，好，那么接下来我们再来做一个题吧。我们来找一个题目进行去完成一下。好，我们来看一个题。呃，

这里面当中，我们来看看。这个题吧好，我们来找一个难一点的好，比如说看这个题。上面那个题我就还好了，哎呀，其实这俩题都简单。你不要将来过程当中见到这个题啊，你发懵啊，这题也贼简单，我打的是四颗星，我害怕这个题把你吓住了。其实这个题的话，你发现一分钟就做完了。

好，我们一起来看。他说什么情况，一起来看看。如果给的是第一类反函数，最后让求dy比ds，你觉得可能吗？啊，你觉得可能吗？求导的时候都是因变量对自变量求导。你别胡来的嘛。好了，那么接下来我们再来看看幺幺八这个题，你不要再。你别胡来啊，

你这都不叫创新，你叫。你像有点。那就有点想多了，好了，我们看看幺幺八这个题。那么这个题的话，你发现一个事情马上来，他说什么？他说这个函数二阶可导切，这个人好不管了，然后说什么？这个函数。这是原来函数吧？哎，

给了一个原来函数。这个原来函数的话，你发现然后问我们这个结果是什么意思？同学们告诉我，你看这个x对y求导，其实就是什么第几类反函数？第一类反函数。它的两阶段。是不是啊？哎，就是第一类反函数的两阶导数啊，就是二阶导数，所以说在这里面当中，我们就直接做吧。反函数的二阶导数会做吗？

不会原来函数会。原来函数首先第一件事情，原来函数求一阶，就是先对中间变量求导，中间变量再求导。然后原来函数求二阶导数呢，你发现这个人呢，你可以做除法求导，也可以按照乘法求导，按乘法吧。前导先对中间变量，中间变量再求导，然后后面不导，然后再加上前面不导。后面来导x方分之负一。

好了，这个人的二阶导数就做出来了，所以说这个原来函数的一阶导数和二阶导数啊，都算完了，那这个时候你发现则这个反函数的二阶导数跟我一起套公式可以吧？来走一遍啊，反函数的二阶导数等于负的。负的什么原来函数一阶导数的三次方，也就是f一撇ln x乘上x分之一的三次方。分之多少，分之二级导数f撇撇lns，然后是平方分之一，再减去平方分之一，然后f1撇。所以接下来过程当中啊，

你发现我就给它上下同时乘上多少，同时乘上x三次方。同时，乘上三次方，它就变成了x倍的x倍的f撇儿撇儿lns，然后再减去f1撇儿lns。跟上了嘛，所以说这个题的结果了，你发现一个事情就选多少，我们一起来看啊，这没有带s的都不对，都不对，然后这里面当中啊，应该是f撇减撇撇。f撇减撇撇正确答案选几选c。

简单吧，就这么简单，你说有什么难的？这就反函数渠道就是第一步套公式，第二步做自变量切换，而且这种题不代值不代值更简单。不代值就跟送分题一样，就是你只要记住公式了，这个题就非常简单，你觉得难吗？不难了吧，学会了都不难了，什么知识点都是这样，你不会了啊，你发现怎么简单你都觉得难？

但是你发现会了之后的话，再怎么难的话，你也不觉得难啊。好，这个事情我们就讲到这。好了，这是我们在这里面当中啊，介绍的反函数，求导这个东西啊，是很多同学在复习过程当中啊，一点拦路虎啊，这个部分内容。好，那么这个点我们就介绍到这来继续吧，我们来看看最新部分内容，

那么接下来再来看看下面一个考点叫做高阶导数计算。那么，高级导数计算呢？在我们这个考研过程当中啊呃，核心重点我觉得有两个事情。那么，今年过程当中，我觉得考这个东西的几率还是挺大的，哎，考这个东西几率还是非常大的，那么所以说在这种当中啊，我们先介绍一下。介绍几个问题。第一个事情那么在这种当中，首先我们先看第一个点，

它有几种方法呢？核心重点应该有三种方法。三种方法分别是公式法泰勒展开法，还有这个里面当中的这个基啊，这个递归法，但是这个泰勒展开法呀。对我们而言，在这个知识点当中要求不高，我会在强化班过程当中讲，那么在基础班过程当中，你重点掌握住几种方法呢？第一种方法公式法。你注意啊，基础班呢，我们就把这些最重要的东西全部讲完了。

那么，在这种当中，首先第一个事情公式法，然后紧接着我们再来看看第二种方法。哎，第二种方法。第二种方法叫什么呢？叫做递归法。哎，递归法这个名儿听起来很牛逼嘛！递归法。哎，递归。其实在这里面当中啊，对于我们三九六的同学，

我觉得有一类题，估计啊，考的几率应该还挺大的，等一会儿我再给你谈啊，一会儿我再给你说。呃，这个事情一会我会补两个题，我们就作为一个预测点吧。万一这个今天过程当中，基础班我们就压中了，那就太完美了。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看这两件事情，我先来把这两件事情给同学们做一个重点的精讲。

那么，首先我们先来看看第一件事情公式法对吧？第二是递归法，我先说一下递归法吧，什么叫递归法呀？什么叫递归法？递归法是什么？递归法就是找规律嘛，就是在这里面当中，你发现给了你一个函数吧，它不是要求n阶导数吗？就求一阶导。然后再去求解，求两阶导，然后再求什么，

求三阶导哎，你发现有规律归纳出来。哎，就这么简单，求一下，求两下，求三下，求四下，哎，有规律归纳出来，这叫低归法，所以这种方法比较基础一点。好了，那么接下来我们来看看公式法。呃，

在这里面当中，我还是再讲一遍吧，这个符号的问题啊，这个符号的问题的话，我再说一遍，就是如果这个y=fs啊。这个高阶导数的符号，我简单说一下，你看如果这里面当中出现一阶导数都是这样写。一级导数，一级导数应该是因变量对自变量驱动。y对s求导，这叫一级导数，然后接下来过程当中，我们再看二级导，

二级导就是两撇。对吧，二级头。那什么是二阶导呢？二阶导数其实是一阶导数，再对谁再对s求导，然后滑下去两个d，然后滑下去两个s。好，这叫二阶导，那么同学们想三阶导数是不是这样写好？这叫三阶导数，然后你发现三阶导数就是y对x求三下，这来个三这来个三。那么，

同学们想，如果是四阶导数怎么写？四撇儿五期倒数怎么写？五撇儿100阶倒数啊，啪啪啪过来，然后的话你发现一百一百撇儿100阶倒数是不是啊？不是这个，大家注意，一般情况下超过了这个四啊三阶啊，超过三阶的话，我们就喜欢这样写。打个括号，写个四。如果直接写四叫四次方打个括号写个四，然后在这种当中，

你看如果你这样写叫四次方打个括号写个四。然后紧接着你发现看这是y对s求导，求四阶导就是这个。跟得上我的意思吗？哎，所以说写个括号，写个四没有括号叫四方数，有括号叫四阶倒，哎，这是个规定。好了吗？同学们好，这个事儿我们就讲到这儿。呃，那么接下来我们进行去讲一下公式法，

那公式法的核心呢？就是背公式呗。啊，公式法的核心就是背公式，把公式给我背背好，那么接下来我们来看看这里面当中的第一个公式。第一公式是谁呢啊？越重要我越往前写，就是as加b分之一，它的n阶导数。那这个结果等于多少呢？这个结果等于as+b的n+1次方a的N次方负一的N次方。n的阶乘。好，这是第一个公式，

对吧？as加b分之一，它的n阶导数公式就等于as加b的n加一次方a的N次方负一的N次方n的阶乘好不好解？好记吧，记住了没？啊，记住了吧，好这个公式啊，一定要把它记住，能记住吗？能记住啊，一定要能记住。如果数学的学习都能通过这个背诵记忆，把它学好的话，我相信啊，

这么多年的话，你发现啊，都能进行去考一个非常非常高的分数，哎，这两天。呃，刚好的话，这个。这才出这个国家线嘛，然后明天的下午我会做一下这个呃，国家线出来之后啊，这个新考情的这个数学的一个备考规划也在明天的这个下午的五点钟。啊，就在我们的平台，然后的话，

这个对我们。我觉得对我们考经管类同学吧，我觉得还是比较幸福的一件事情，我们今年的这个线346分对吧？啊，降了14分。也可以看得出来，这个去年的三九六啊啊，对这个线的影响还是非常大的。对吧，对这个线影响非常大，你看看这个事情，然后现在而言的话，这个工科线是273分一分每吨。哎，

一分没动，然后现在而言的话，你发现这个346分的话，这个我们的经管的线经管线346分。这个部分呢啊，降的很厉害，我给你分析一下，因为我们都学数学比较理性，对吧啊，我觉得还比较理性。那么，在这里面当中，有同学说，是不是因为这个数三变简单了？是不是因为去年的话，

这个都扬了，然后晚考虑不公，你想想一个事情。你在这里面当中，这是数一和数二的线。然后的话，你发现这是数三线和三九六好同学们，你想象一个事情，如果说是因为这个晚考率不行。晚考率不行的话，那数一数二同学的晚考率应该也不行啊，那按理说这个线应该也降啊。而且去年的数学三同学的难度系数跟往年的难度系数差不多。数一数二的这个难度系数跟网银也差不多。所以说你发现一个事情，

你看如果说是晚考率不行的话，那数三同学三九六同学晚考率不行，那按理说数一数二以晚考率也不行啊。那这个线应该往下降啊，你都降那么多，我按理说应该再降一点吧。你能听懂我的意思吗？分析嘛，对吧？我们凭数据分析嘛，所以说那按理说你应该也降一点，你都降了14分。全国大数据降14分，这历史当中都是惊人的。你想想14分呐，

全国数据降14分，每个人都要降14分。所以你觉得是因为这个数三同学的这个是因为完考率的问题，还是数三同学的这个卷子变难了，我觉得这个东西影响不大。其实你发现这个线呢啊，降低啊，真的都靠我们三九六了，对吧啊？所以说去年过程当中，有些同学的话，这个啊，这比如说考了呃，前段时间有些同学考了300，比如说58分。

有吧，我之前的话过程当中，晚上还开那个直播不是连麦吗？有个同学就考那么多啊，而且呃，大家的话应该。你们应该都认识啊啊，比较有名的吧，这个我们去年班级同学叫不刻意啊，有些同学估计是从数三班级转过来的，应该都认识对吧有些？这个不刻意，比我都有名啊，有些的话这个听过课程同学啊，把我名老叫周欣阳啊，

但是他脑子里面就知道一个人叫不刻意啊，比我还有名。啊，然后这个不刻意啊，这个去年过程当中就考了什么呢？就考了358分啊，前段时间比较纠结，因为之前的线是360分。啊线是360分，你看错两分，非常纠结，你看这个线出来之后啊，还是比较开心。所以我觉得这个去年这个线的降低啊，还是我们三九六啊，

去年过程当中当头一棒啊，当头一棒，因为你发现这个去年三九六这个数学一下变难了。所以导致这个情况，但是我觉得这个今年过程当中啊，我相信大家会好一点，因为等你今年过程当中再拿到那套套卷的时候，你就不会像去年这种感觉了。因为平时练的简单。最后，身为打击是扛不住的。这对考试是摧残性的打击，但是平时过程当中你练得好，你最后进行降维打击，那我觉得还是更好一点。

所以我觉得这两年过程当中啊呃，三九六的这个难度系数的要求肯定是在升高，但是一定要注意尊重三九六我们的考题的这样的一个什么东西呢，这个背景。这是非常关键的，所以我觉得呃，大家尽可能按照我们三九六这个体系进行去完成，对吧？你有更多的时间把自己的逻辑，还有这个写作，你也要尽好做好自己的这个准备。能理解我的意思吗？哎，所以说这个问题点我觉得问题不大啊，今年的话，

你只要稳稳当当跟着这个课程走，基础强化真题冲刺我们最后的话，我相信效果完完全全没有任何问题啊。好了，这个事情我们就讲到这呃，另外一个事情。不要把每天的过程当中的时间都放在这种对未知啊，这种。好好像很不靠谱的，这种预测遐想上行不行？把更多的时间放在自己的这样的踏踏实实复习上。因为我们最后的这个成绩是靠实力说话的。不是靠你现在过程当中，你去在那遐想。啊，

幻想，然后进行去，最后的话，你发现这个这个结果是这个样子。所以接下来过程当中，我们就继续吧，我们再来看看第二事情来，再来看第二个问题。那么，这就是我们刚才讲的这个d公式d公式啊，一定要把它记住，那么接下来我们再来看哎，我们来看看下面两个题啊，我们来做一个题。2007年考研数学的考题，

你看这个题，这题简不简单？这个题就叫什么题，这个题就叫送分题，对吧？送的相当的温柔。你来看看这个事情的这个结果，你发现这个东西的话，直接让我们去求n阶导数吧，来直接套公式给我套一下。一套的话，这是2 x+3的n+1次方，然后是二的N次方负一的N次方n的阶乘。但是你不要小看这个事情，我们考这个东西的几率还挺大的。

那么，接下来过程当中，我们再把这个零代进去，一代的话，这个结果是多少？三的n+1次方二的N次方。负一的N次方n的阶乘。好，这个事情是不是立即出来了？好，这个点呢，马上想清楚，那么在这种当中，如果你想化简也没什么可画的，而且我们考的是选择题，

你直接塞进去就行。好，这是我们讲的第一个事情，那么接下来我们再来看看第二个题，你再看看这个题怎么做？这是我们讲的这个第一题来再看第二题。那第二题的话，你发现给了这个人，然后让我们去求n极导数，那我想问你个事情，这个人的求导公式你知道吗？哎，你知道吗？这人求导公式，我好像不知道啊。

你知道吗？我不知道诶，真人求导公式，我哪知道我不知道。但是你发现一个事情，这个倒一下呢，所以说在这里面当中，我把这个事情讲一下。你看如果这是l nas+b。这人的n阶道我不知道。但是同学们注意一个事情，我发现了一个事，当它倒一下了之后，就变成了as加b分之a吧。是不是导一下，

再求n- 1下这个东西是不是出来了？不不不别别别乱来，那这个是不是求到这儿了？不要找规律了，是不是导成这样了？哎，倒成这样了，之后的话，你发现这个公式不就来了吗？哎，现在可以套公式，那么接下来告诉我个事情，请问这个a出去变成多少次方？告诉我a出去变成多少次方？多少次方？

我这个a出去变成多少次方？n- 1次方完了，废了废了废了哎呀，废了废了废了废了啊废了同学们注意这个东西不叫做n- 1次方。它读作n- 1阶导数出去就是a。哎呀，废了废了废了啊，我给你讲一个事情吧，你想一个问题，比如说y=3倍的es。求一次导还是三倍es，求两次导三倍的es，求三次导三倍的es。他咋没求一次增加一次，求一次增加一次呢？

哎，你要注意，它是个系数，因为你发现一个事，我们在求导的过程当中，如果是系数是抛出去的。所以同学们注意，它是个系数，它不是n减一次方，它是n减一阶导a就直接出去，然后剩下a加b分之一的。n- 1阶段，你小心一点啊，能理解我的意思吗？它没有随着这个什么导一次系数增加导一次系数增加吧，

要注意啊，这个是这个事情，它是个系数求导的过程当中系数直接除去。好了，那么接下来我们继续，我们再来看。能听懂吗？好注意哦。那么，接下来我们就继续哎，你发现啊，你们能听得懂我的意思啊，如果我出这种题啊。你看我要出这种题，我肯定会在答案选项当中放一个a的n- 1次方的答案，

你能理解我的意思吗？啊，我就会放一个，我肯定会放一个，因为你发现我都能知道你在哪里面当中啊，你喜欢跳坑啊？好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。那么，接下来这个部分的n- 1阶导数呢？就在原来的这个导数计算当中，少一减来，我们一起来看就是ax+b，原来是n+1次方就是a的an次方。

原来是a的N次方就是n- 1次方，原来是n的阶乘就是n- 1的阶乘，原来是负一的N次方就是负一的n- 1次方。好，这个东西啊，立即出来了。你看吧，这个部分内容就是我们这个导数求导公式，但同学们注意不要背啊，不要背理解就行了。你知道这个东西可以这样算就行，好不好？同学们？那行吧，那么接下来我们看看这个题。

如果让我们进行去求什么东西呢？求这个n阶导数，我可以先进行求一阶导数，我再去求n- 1阶导数。好，先求一下，求一下就是先对中间变量求导，中间变量再求导，然后它的n- 1阶导数。没问题吧，那么接下来我们再调整一下，你调整一下就变成了2 x- 1分之几分之二，然后它的n- 1是导数。再告诉我这个二是不是直接出去了，然后变成了2 x- 1，

然后这个人分之一的多少次方啊，这不是次方，这是n- 1，知道不好意思啊。啊，不要读错了好，这是这个问题，那么接下来我们就可以套公式了，那么套这个公式的话，你发现这人是二。那这个结果呢？马上比原来的过程当中低一级吧。原来是ax+b的n+1次方变成N次方，原来是a的N次方变成n- 1次方，原来是n的阶乘变成n- 1的阶乘。

原来是负一的N次方变成负一的n- 1次方能清楚吗？就是把原来的公式降一阶就行好了，那么接下来我们继续，我们再来看。把这个零带进去。零带进去的，结果的话，你发现这是负一的N次方，然后这就是二的N次方n- 1的阶乘，然后是负一的n- 1次方。那么，同学们一想，这是二的N次方n- 1的阶乘，然后这个人呢？同底数幂相除指数相减，

变成这个人。那你告诉我负一的负一次方是多少？负一的负一次方就是负一的一次方分之一，那还是负一，所以说这个结果它就是负的。好，这就是这个人能想清楚吗啊，基本公式你把这个公式想清楚就行。就是核心重点，我们还是在这套这个公式，就是利用这个公式啊，进行求解的问题好基本问题吧，你看这个公式法还是非常好用的。对吧，很喜欢用这个公式法，

好掌握清楚了，没听明白了，给我回复一吧。你可想而知，这个公式是不是很重要？啊，这个第一公式啊，很重要。那么，接下来我们再来看看第二个公式，你再来看三。那么s in求一下导变成cosine，再求导变成负s in，我可以在这种当中怎么办？如果来来回回切，

我就可以用诱导公式进行切。我就在后面补上二分之n派就行。啊，这个东西直接背啊，如果在这种当中是cosine的n阶导数呢，它就变成多少，它就变成了cosine。s加上二分之n派。好，这个结果所以说s in和cos的n阶导数公式，你要记住。那么，接下来继续我们再来看看第三个人。好，再看第三个事情。

那么，第三个人的话，你发现就是a的s。真人求导呢？真人求导有个特点，就是每求一次a的sl o na，每求一次lo na，那求n次出来n个lo na。是不是这个事情，然后接下来过程当中，我们再来看e的as？它每一次对中间变量求导都不变。中间变量再求导出来个a，每次都是出来个a，每次出来个a出来n个a。

好，这第三个人能记住吗啊？非常简单啊，这三个人要记住。然后接下来过程当中，我们再来看第四个人，第四个人，我想说个事情，不要被咬。不要背谁背谁就傻了，第四个人我特别不希望你背，那么这人是什么幂函数？然后的n极导数。幂函数那么这个事情最好进行去理解你，比如说二次方二次方求一次是多少2s？

求两次是多少？求两次是二。求三次呢，求三次之后都是零。对吧，求三次之后都是零，所以说一个二次方只能经得过两次球。你求第三次就是零一个三次方，只能经过三次求求，第四次就是零。一个四次方只能经过四次，求求第五次就是零，你赞同这个事情吗？啊，这个非常简单，

所以同学们，你想一个事情，现在这是多少次方？现在这个人的话，刚好是N次方啊，这个是什么r次方？如果这人是阿尔法次方，他只能经过几次球啊。几次球，同学们想想你是阿尔法次方，只能经过几次球，阿尔法次如果这个n超过了阿尔法呢？它就是零，你只能经过阿尔法四角。你如果这个n超过阿尔法，

我就是零。那如果这个n怎么办？我小于等于阿尔法呢？我没有超过呢，没有超过没关系，那么接下来我们就算。对吧，你比如说这个十次方求一下十再加九就是第一下出去，阿尔法再来出上阿尔法减一，你看。这这不要背啊，这个公式我不喜欢你背啊，虽然写起来非常恶心，你看第一次是减零，第二次是减一，

第三次就是减二，第n次是减几？dn次是减n- 1。减n- 1就是减n+1。然后最后一个事情s阿尔法再减个n就行。这是不是非常恶心啊，所以我不希望你背，你就记住这个事情就行，你看比如说四次方，如果求五阶导，这是解。零禁不住，如果是十次方求四阶导呢？能禁住第一次出去时求。九八七，

然后是多少十减四？就这么简单，所以同学们注意你背这个人呐，太恶心，写几个例子进行感受一下，这个东西就行了。我是多少次方只经过多少次求。超过我这个次方，你都是零。对吧，超过这个人就是零，然后紧接着过程当中，如果你没有超过呢，我这个人怎么办？哎，

你发现求第一次出的多少？第二次出的多少？第三次。啊，这个东西好了没？哎，非常重要，那么接下来我们来看看，今天非常重要的一个内容，哎，第五个事情。莱布尼茨公式。哎，莱布尼茨公式。那么，

接下来我们来看看这个labinese啊，微积分的创立者。微积分的创立者莱布尼茨还有这个牛顿啊，注意啊，这个公式啊，没有带上牛顿，牛顿莱布尼茨公式，那是后面那个人。今天只是莱布尼茨公式这个东西啊，考研重点我觉得很有几率考。呃，这个知识点对我们而言还是很有几率考。那么，接下来过程当中，我来讲讲什么叫做莱布尼茨公式呢？

有一个a，有一个b，两者相乘。求n阶导数。哎，两者相乘，求n阶导数，这个东西就特别像什么呢？像a+b的N次方。二项式定理特别像你看。CN 0a去一下求n阶导b求零阶导零阶导就没有求导。零次方是一，这是你要注意的区别啊CN 1a求多少n- 1极导b求一极导。咔咔咔，一直加CNN，

然后a求多少a求零阶导就相当于没有求导b求n阶导。像不像？像不像这个二项式定理啊？太像了，你看这人是n个里面取零个，然后是a的N次方b的零次方。CN 1a的n- 1次，方b的一次方咔咔咔一直加CNN，然后a的多少零次，方b的N次方。像不像太像了？是说两人相乘的n阶导数计算，我们就可以用这个莱布尼茨公式把它给我记住。一定要注意这个事情，把这个事儿你想清楚。

好了，掌握清楚给我回复一吧，这个基本内容你下去过程当中好好琢磨一下这个事情，对吧？这个基本问题一定要把它想清楚。好了没？可以了吧？好，这是个基本问题，那么接下来我们来看看一个题目啊。我们来看一个题。我们来看看这个讲义当中的二点二一这个题啊，二点二一哪个掉了个零？哪啊CN 0。啊，

没有掉，没有掉。零阶导嘛，零阶导就是零啊，就是本身嘛。临街道。啊，你听得懂我的意思吗？零接导数就是没有求导的，没有求导就是本身啊，好好想想啊。好了，那么接下来我们来看看二点二一这题，你看这题怎么做？那么这个题的话，

你发现一个事情，你看这啊，这不是次方数啊，一定要好好进行去调整过来，这是求导的问题了。你看这个题，这一题考的我们就是什么y的n阶导数，其实就是你乘。乘以我的n极导数。两者相乘的n阶导数吧，两者相乘的n阶导数计算我可以选用莱布尼茨公式啊。然后在这里面当中，我们来看看这个人。这个人的话，你发现你能求一项。

你能求两项，但是三下之后都是零。那也说你的临街道有一街道有二街道有三街道之后就是零，那我想问你个事情，让他采取升序的状态还是降序啊？升序零阶导有一阶导，有二阶导，有三阶导，之后都是零，所以接下来过程当中我们来写。CN 0。你求零阶导，零阶导就是本身e的2s，这个人求n阶导。然后接下来继续CN 1，

你求一阶导是2x，然后就是e到2s求n- 1阶导。然后继续加CN 2，你求两极导是二，然后我就进行求多少求n- 2极导。那么，同学们告诉我，后面还有没有？CN 3你求三阶导数是0k乘是零。四阶倒数是零，五阶倒数是零，后面都是零，所以同学们注意你后面这些项都是零不写了。对吧，就这么结果，

所以接下来过程当中啊，我们把这东西算一下。CN 0是多少？原来我讲过吧，哎CN 0是一，这是I次方。这个人呢，每次对中间变量求导不变。中间变量再求导出来一个二，每次出来一个二二的N次方。然后再看这个人，这个人就是n，然后这是2s。这个人每次对中间变量求导都不变，每次中间变量再求导是二出来n- 1个二。

然后接下来过程当中，我们再看这个人，这是二分之n乘n减一吧。对吧，你要注意啊，这个c这个东西怎么算？我原来讲过这个事情，你下去看看啊，然后这是二每次对自己求导不变，每次出来一个二二的n- 2次方。能想清楚吗？好这个题。呃，当然，如果在我们的考研真题当中啊，

它可能会这样出出什么情况，出n阶导数在零处。如果在零处的话，你发现这一项是不是零在零处这一项是不是零？如果在零处的话，你发现这个结果就是n×n- 1。然后你看这两个约掉了没？然后e的零是几一，然后是二的n- 2次方出一个选择题，非常方法。你看我这样出一个选择题，非常非常好，所以我觉得这个知识点很适合我们今年过程当中出一个题。因为你发现最近些年就没有出过这种题，你稍微要注意一下这个事儿啊，

小心一点。好了，这是我们讲的这个二点二一这个题，我们就介绍到这，你下去过程当中好好进行去想想基本问题。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下面一个题啊，再来看看二点二二这个题。来操作一下这个题。来看这个题。那这个题啊，我们来观察一下。他说了一个事情，他说这个函数具有任意阶导数。

啊，就说任何接导数都存在，然后说什么呢？说一阶导数等于这个人的平方。然后说当n大于大于二的正整数的时候，它的n阶导数等于多少？那么，同学们想想一个事情，你发现这个人如果进行去求二级导数。三阶导数，四阶导数，你觉得这个人有公式吗？你觉得公式里面当中有谁是他呀？没有这题就没有公式，我要求这个人的n阶导数据化，

你发现题目条件信息就给了这样的一个抽象函数。你这个抽象函数是谁？我都不知道哪来的公式啊，公式就没有。我根本无法进行去走公式法。那如果这个东西没有公式法怎么办？不做了，不会的，我可以使用一下递归法。实在是没有办法，我求几阶找找规律呗，对吧？那么在这种当中，我们来看看一阶导数等于多少？一阶导数等于fx的平方。

那么，接下来过程当中，我们求一下二级导数，二级导数等于两倍的fs，然后fs再求导。哎，你发现这个一阶导数等于多少呢？一阶导数又等于fs的平方，那就是fs的三次方。那么，接下来过程当中，我们继续我们再来看看三阶导数，那三阶导数呢？你继续求，那就是怎么办？

三×2让不要算成六啊。有些同学在这写六，谁还不会算二×3=6？同学们，想想你在干嘛呀？你在找规律对吧？哎，注意你在找规律。如果你在找规律，请不要破坏规律。不要破坏规律，你不要在这里面写成六，你写成六以后规律就不好找了，然后这个东西呢，其实就是fx的平方。

然后中间变量再求导。能听懂吧，然后这个结果就是三×2，然后是fs呢，一阶导数等于多少，一阶导数等于平方，这是四次方。那这个东西写成这样，那如果我们再写个四阶导数呢？那四阶导数不要算啊，不要四×3乘二四六二十四不要这样。就是直接是四×3×2就行，然后这是fs几次方三次方中间变量，再求一下吧，那就是四。

乘三×2，然后是fs 1阶导数等于平方五次方。哎，这个题的规律不就出来了吗？你看规律出来了吧？那么这里面当中你发现你看如果这里面当中是四阶导。前面是四×3×2，是不是四的阶乘五次方？如果是三阶导的话，你发现三×2×1的四次方，然后是二阶导的话，你发现二乘一三次方。如果你是n阶导呢？n阶导就是n的阶乘，然后是fs的多少fs的n+1次方？

你看这个题，所以它这种方法就叫什么，这就叫递归法。什么叫递归法呢？就是你发现啊，这个求几阶总结归纳呗。对吧，我求几节，我总结归纳出来它的规律，这叫递归法。你看这个题。所以下去过程当中啊，一定要注意啊，这个基本问题它是怎么设计的，对吧？

基本性的考点，把这个事情掌握清楚，好听明白的给我回复一吧。呃，基本问题掌握清楚，给我回复一啊，这是一个核心重点内容。所以下去过程当中好好进行去把这个部分内容好好想想。过去了，可以吗？哎，非常好。呃，那么接下来我再给我们三九六同学，我们再深化两个题啊，

我们再深化两个题。那么，这里面当中我们来写两个题。好比如说我说这个题啊。我说已知。fs=1+s^2很适合拷给我们啊，那么这个时候你发现。那么这个里面当中的。二零二三年。它在零处，结果等于多少啊？二零二三年，我们就出了一个二零二三阶导数，在零处等于多少？你看这个题。

然后我们再来看已知fx=x的。然后这是二零。二四，然后再乘上三一。我让你进去去求什么东西呢？我让你去求，这是二零二四街道三零处等于多少？这题啊，口算题啊，就是你会了之后啊，就贼简单，你不会这个题啊，你发现你在那看半天的话，这个东西啊，也很尴尬。

好，我们来看看这个题。怎么做？这两个答案都对问题。有人想这个东西，我套公式我不？呃，说这个东西，我莱布尼茨不不不。那么，这里面当中我先介绍两个内容。注意啊，我现在讲的是单方向的，请不要跟我瞎回推回推这个东西未必成立，因为后面过程当中我都会讲的。

那么，在这里当中，我介绍两个问题。注意第一事情，如果在这里面当中，你发现fx为奇函数。奇函数那么这个时候你告诉我导函数为什么函数？哎，导函数这个人导函数是不是为偶函数啊？好，那么接下来我们看看这个第一个人。哎，对吧，你是个奇函数，导函数就是偶函数，

那么接下来我们看看这个东西啊，怎么证明？啊，能证吗？非常简单啊，证明方法非常容易，那么首先我们看看这个事情。如果在这里面当中，你发现你是个奇函数fx等于负的f负x嘛？那么，接下来就给它两边同时求导，那就是f撇它等于负的。我先对中间变量求导。然后中间变量再求导负负得正。如果你把这个导函数的话，

你进行写下，你看导函数在负x处的值跟导函数在x处值是不是一样的？所以同学们注意，它就是偶函数。同理而言，如果在这里面当中，你发现还有第二件事情。再来看第二题。那么第二点是什么情况呢？如果你这个人是偶函数。哎，你这人是偶函数，我导函数就是什么函数，我导函数就是奇函数。你是奇函数，

我导函数，偶函数，偶函数，我导函数是奇函数，所以接下来过程当中，我们来证明一下。那么，这是偶函数的话，你发现这是fx等于多少f负x嘛？那么接下来我们求一个导先对中间变量求导，那是f撇儿负x。中间被它再去导负的。哎，是不是啊？所以说f撇s等于负的f撇负s那导函数这个对应法则是不是奇函数啊？

所以同学们注意啊，偶函数，奇函数，哎奇函数，导函数是偶函数，偶函数，导函数是奇函数。那么，接下来同学们，我来问你第三个事情。哎，第三个事情，如果这个人为奇函数。若fs为奇函数。为奇函数，

那么请同学们告诉我个事情，则这个f零一定为零吗？大家告诉我，如果你是奇函数f零一定为零吗？你看看这个点一定吗？你是个奇函数f零一定为零吗？哎，注意不一定。我举个简单例子，你比如说你看x分之一这条线。它是不是个奇函数？对吧，它是奇函数，但是你发现一个事情，它奇函数，

它在这个零处呢，没有定义呀。所以如果你是奇函数在零处啊，有两种情况，要不然就是等于零。要不然就没有定义，所以在这里面当中学知识，一定要把它学好了，且f0存在。或者是fs在零处有零。有定义。哎，注意啊，你学东西啊，一定要把它学好了，

对吧？哎，学好了，不要在这里面当中啊，学到半边拉垮了也不行啊，这个人。就是一定是什么情况？你在这个点处，而且有定义哎，你f0=0。奇函数在零处有定义f0=0。能想清楚吗？当你具备了这些知识点，奇函数，导函数是偶函数，

偶函数导数是奇函数，奇函数。且fx在零处有定义f0=0，当你具备了这些信息点，那这个题就太简单了。好，我们一起来看看。那我想问你个事情，你发现这个函数什么函数就是fx这个人什么函数偶函数？那么，请问同学们注意，如果你进行求一阶导。一阶导是不是变成了奇函数，然后你发现两阶导呢？两阶导又是偶函数。

对吧，所以说我就明白了，如果你再求三阶导呢，三阶导又是奇函数。也就说什么意思啊，如果是奇数阶导，它都是一个什么奇函数，那你想一个事情，二零二三阶导是不是奇函数？二零二三节的导函数是奇函数，也就说什么意思啊？你咔咔咔下去，你这个二零二三节导数。它是个奇函数吧，而且零处有定义啊，

你都求f0了嘛，零处有定义，那这个零处等于几零嘛？你看看这个事情，所以接下来过程，你像这种题可以秒的。哎，注意啊，可以考。然后接下来过程当中，我们再来看这个人，你发现看这是fs哎，这是一个偶函数，这是个奇函数，所以说你是个奇函数。

当你进行求一阶导数的时候就是偶，所以你看奇数阶导数是偶，然后两阶导数呢，就变成了奇。然后紧接着你发现我明白了，如果你发现这个人求导的是什么？求导的是偶数阶导，哎，求的是偶数阶导，你这个函数肯定是个什么函数奇函数？那既然是奇函数，奇函数在零处有定义，奇函数零处等于零，你看这个题是不是出来了？所以说像这种考题啊，

我们在真题当中是有所涉及的啊，你将来过程当中见到这种题啊，你得会做。啊，你得会做。其实像这个题啊，我觉得出的最好，哎，想把它出的好，不要出二零二三。哎，不要出二零二三。你知道像这种题，如果出成考题，怎么出比较好吗？

我跟大家讲，你就出个三。你听懂我的意思吗？为什么第一种同学不会的同学不会的同学就在那傻的求求一阶求两阶？求三阶，为什么这叫诱敌深入？摆的太高了，他肯定不会求了。二零二三摆到这儿，他肯定不会求了，摆个三你发现他就会求了，这叫诱敌深入啊，你发现又导致他在这算算算，你发现。三九六同学，

我们就没有时间了。我们三九六同学，你要这样做了，根本没有时间了。你咔咔咔的在这里面当中，你发现一个事情，你算了三下，这个题就废了啊，这叫诱敌深入。如果会的同学呢，你发现我一看fs是奇偶函数。倒下是奇函数，再倒下是偶函数，对吧？再倒下就是奇函数好，

这是个奇函数。那奇函数呢？在零处有定义，零处结果等于零。你能听懂我的意思吗？这叫诱敌深入，为什么往年真题都是这样来的？对吧，往这来，你比如说举个例子。这个东西出成五阶倒，有些同学都不想算了。所以在这里面当中啊，初成三是最合适的，不能再高了，

再高就诱诱诱惑不过来了，对吧？出尘跟三的话，你发现还能诱导过来。如果这个东西你发现个事情，如果你再把这个东西再往下出一点，那就不行了。你能理解我的意思吗？哎，注意你再往上来，一点都不行了，五阶都不行，三阶刚刚好啊好了，这是这个事情，我们就讲到这儿。

你下去过程当中，把这些部分的问题啊，好好整理一下啊，呵呵。好，那么这个板块内容我们就讲到这儿好，稍微休息会儿吧，休息会儿过程当中，一会儿我们再来看看第三节的问题，好，稍微休息会儿，一会儿继续。

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11.导数微分学应用（A）-1

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