10.导数几何意义、微分定义与计算-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:38:42

接下来我们就继续回来吧，这个题做出来没？不是说特别难啊，这个题呃，这个题啊，但是你发现如果你直接进行操作，稍微的恶心一点，你看这个题啊，它是x的y次方。这是y的x次方，然后你发现一个事情，由方程确定的函数肯定是隐函数。所以说对于这个题而言，你到底怎么操作呢？你首先第一件事情，

你可以给这个人呢？两边同时取个对数。你取一个对数了之后的话，你发现这是ln x的y，然后这是ln多少y的s？你取了一个对数了之后的话，这个结果就变成多少y倍的ln x，然后是x倍的lny，那这个时候啊，就稍微的会简单一点了。当然，在这里面当中啊，你也可以进行幂值转换，这是一样的，幂值转换就是s倍的e的多少y倍的lns等于e倍的s倍的lny，

然后这两个当当中啊，你发现这个e就可以去掉了。好了，这是这个事情，都一样啊，两边都一样，那么接下来过程当中，我们就可以操作了，怎么去求啊？方程两边同时对x求导就行，那求呗。s函数s函数那前导后面不导，然后再加上前面不导，后面来导变成它s函数s函数。前倒十一，

后面不倒，然后加上前面不倒，后面来倒，后面来倒就是y分之一y在倒。把这你就算出来，那算完了之后的话，你看这个题，它就让我们进行去计算出来一级导数。他就想让我们解，但既然让我们解，我们就把它解出来，你看这是一级导，这是一级导，所以在这里面当中啊，你就把这个人解出来就行。

那怎么办呢？移过来呗，那这个一阶导数它就等于多少？它就等于x分之y，然后再减去lny。就是把这个人减过去，然后把那个人的减减过来，那就是多少y分之s再减去多少lns，然后接下来过程当中怎么办？上下同时乘上个多少呃，这个东西可以上下同时乘上xy。同时乘上xy的话，你发现这个就是y的方，然后再减去xy倍的lny，然后这个东西啊，

再乘上一个xy的话就是x方，再减去xy倍的。lns上面可以提个y，下面可以提个s，两个事情一下就出来了。好，这个题啊，我们就讲到这儿能掌握清楚吧，都做对了吧？好做对的同学给我回复一吧啊，这个题不是说特别难的呃，第一件事情的转换非常重要。嗯，还可以啊，还可以。

呃，不用管，不用管。我知道有些同学非常的纠结。啊，你纠结这个事情，人家这个人的话，让你去求导人家，让你求的是导函数有定义的结果啊的内容。导数有定义的结果，你在高中的时候怎么不顾虑这些事呢？那我其实发现了一个事情，就是呃，很多同学就上了这个大学过程，当中学微积分呐，

还不如高中呢。你高中算导数的话，你发现它说来算出导函数，导数咔算出来了。然后这个上了大学过程当中算导函数，哎，这个为不为零呐？到底怎么怎么样哎？他就想让你算出来。符合这个什么哎，它的定域范围内的这个人，你就直接把它算出来就行好了，这个事情我们就讲到这啊，这是个基本问题。继续吧，

同学们好，这是我们考点三再来看看考点四的问题。呃，这个问题点难度系数不高啊，参数方程的求导问题难度系数不高，这个内容啊，最重要问题而言的话就是你要知道怎么去求导就行。把这个人的一级导数和二级导数的东西啊，掌握清楚就行，其实我们零基础提前学讲的东西啊，已经足够了，那么接下来过程当中不是进行去讲解，是进行复习。好，那么接下来我们一起来复习一下这个内容，

那么请同学们告诉我什么东西叫参数方程呢？参数方程。参数方程的意思就是这个意思x是跟t之间有关系。然后y跟t之间有关系。对吧，这个t啊，其实就像个枢纽，你x跟我有关系，你y也跟我有关系，那这个时候通过我这个人的中间人，这个人其实就像。中间人。只不过在这里面当中，我们把它叫做了什么叫做参数？它就像一个中间人，

把这个s和y啊紧紧的联系到了一起，所以说接下来过程当中，我们就确定了一个什么函数，确定了一个y跟s之间的函数。哎，对她就像个媒婆。啊，但是但是这个媒婆的话就是呃，在之前的话，这双方你发现还没有怎么办？不知道他们到底什么关系之前。我觉得像这个样子对吧啊，就是这个做媒啊，但是还没有成功之前。应该还没有建立联系，

那么接下来同学们注意啊，你要注意一个事情，这个y和x之间的直接性关系能建立起来吗？建立不起来。建立不起来，有的说老师我能解，你看我通过这个式子把这个x解把这个t解出来，把这个t解出来之后带到下面y跟x之间的具体关系不就确定了吗？一般不这样做。参数方程，喜欢干的事情就是找中间人，我就喜欢用中间人联系，不喜欢直接联系，所以这是。参数方程的一大特点。

参数方程的特点是什么呢？x之间指向对t之间有关系，y指向跟t之间有关系，但是你现在y跟s强行的有关系，这个人呢？只能通过中间人来走。大家能理解我的意思吗？所以说接下来过程当中啊，我们一起来看看第一个事情来求导。你想想这个求导，这是因变量吧，然后这是自变量吧？一个函数要想进行求导，永远都是因变量对自变量求导，没有任何问题。

永远都是因变量对自变量。但是同学们想想一个事情，你这个y能直接对s求导吗？能不能你这个y到底能还是不能直接对s求导呢？你这件事情好像不能。你没办法直接求导你的y，只能对t求导x，只能对t求导，所以在这里面当中通过链式法则，我可以怎么办？我给它的上下同时除一个dt。哎，我给这个人的上下同时除一个dt，我同时除一个dt了之后的话，你发现这个结果其实就变成了y对t球导，

然后比上s对t球导。是不是这个事情，你看这个一阶导数就会算了，所以说大家注意参数方程的一阶导数计算是y对t比上x对t。好，那么接下来我们继续，我们再来看二级导数。那二阶导数的话，你发现是y对自变量求两极吧。所以这个二阶导数的计算应该是一阶导数，再对谁求导，再对自变量x求导。这是时时刻刻要注意的问题。是一阶导数，在对自变量x求导，

它对x求导，但是你要注意一个问题，你看这个一阶导数是谁的函数？谁的函数那很明显，这个一阶导数是t的函数啊？对吧，这个东西你发现它是个t的函数。一阶导数是t的函数。那你既然是个t的函数，你怎么能对s求导呢？那很明显一个事情，这个东西就不行。对吧，你不能对s求导，你不能对s求导怎么办呢？

非常简单，我给它怎么办？补一个dt再乘以个dt分之一。那这两个东西你发现就约掉了。所以二阶导数的计算是什么？二阶导数计算是一阶导数对t。然后一定要在这里面当中，我原来过程当中就是这样写的，要补一个这个人要补一个s对t求导分之一。这是一定要注意的，不要把这个漏了，一漏就错。所以记住一个事情，参数方程的二阶导数计算，一阶导数是y对t比上s对t二阶导数呢？

是一阶导数对t补上一个s对t就。收到分之一。好了么？同学们掌握清楚给我回复一。呃，像这个公式啊，我建议同学们把它记住。对吧，当然会推很好，但是在考试过程当中还要讲究速度，所以说你把这个东西啊，能够记住，那我讲就觉得这个事情当然更好了。好了，那么接下来我们就继续吧，

我们来看看二点一五这个题啊。来看看这个题。呃，那么接下来就直接上吧呃，非常快啊，速度非常非常快来直接操作来紧。首先第一件事情，这个参数方程的一阶导数怎么算？赶紧来就是y对t比上x对t跟得上吗？诶，非常快，然后接下来你发现y对t是多少来这个人求导，那就是三再加上三t方。然后再比上sct sct t求导是多少？也就是一加t方分之一。

所以说这个结果就是三倍的一加t方，再来一个就是平方好，这是这个结果，然后紧接着我们再来看看二阶导数。啊二阶导数，二阶导数怎么算的？二阶导数有两项，第一项是一阶导数对t补上个x对t求导分之一。你要注意啊，它有两项，首先我们先看第一项一阶导数对t，一阶导数对t就是六倍的。然后是一加t方，它的一次方。对吧，

先对中间变量求导就是六倍的，然后中间变量再求导呢，这是二t。好，这是一阶导数对t，然后再补上什么补上x对t，求导分之一x对t求导是多少x对t求导是一加上t方分之一？然后再分之一。好，这个时候就出来了，因此这个结果的话，你发现它就等于十二倍的t，然后是一加t方，后面又来一个平方，那么接下来过程当中，

你把一带进去就十二乘上一，然后这是多少？这是四，因此结果等于四。四十八你看这个题非常容易啊。就是我们能达到这个要求就行啊，这是个基本要求，就是考验过程当中，我们如果考这个参数方程，也就考一个参数方程的二级导数计算了不得了。或者而言，就考一阶导数的导数计算，那都有可能性，所以像这个参数方程，求导难度系数不是说特别大。

把这个基本信息点掌握清楚就行，能听懂吧？哎，参数方程确定的函数求导哎，把这个事情想清楚。好了呃，那么这个问题啊，我们就说到这吧，过去了可以吗？好考点四我们就说到这，那么接下来我们来看看这节课的一个重点内容。分段函数取导。啊，黄金重点来了。那这个部分内容可是重中之重的考点分段函数，

因为考研过程当中贼喜欢考分段函数。那么，接下来过程当中，我把这块内容的东西我们多讲一点啊，我们多讲一些，那么首先我们先来看看第一个问题点。那分段函数到底怎么去求导呢？对它的做题方式非常简单，叫做分段点y直接求导。对吧，直接求导。这就是我们在这里面当中的第一件事情，分段点y直接求，这是第一句话，然后接下来过程当中，

我们再来看第二件事情。分段点上哎，注意用定义。也就是导数集。所以在这里面当中，他的做题方式其实分成两个事情。一个事情是分段点的，外面我怎么办？我直接求导，一个是分段点的，上面我就用导数定义。这就是我们在对于我们三九六同学，我们去做我们的分段函数，求导掌握住的核心就掌握到这就行了。分段点y直接求分段点上用零。

分段点外直接求分段点商用零，那么接下来过程当中啊，我们来看看这节课的重点，我们先来做几个题吧，然后再来进行去眼神。好，先来看看讲义下面的几个题，先来看看二点一六这个题。好，先看这个题。呃，那么这个题啊，我们就直接做呗，它让我们干嘛？它让我们去求解这个分段函数求导。

你把这个题能掌握清楚，证明你的基础的运算能力啊，应该是非常好的好，我们来看看这个事情，直接求第一段。当这个什么情况？当x如果大于零的时候。你发现这个人求导是谁？求这个分段点外直接求就是s倍的，一到二s求导诶，就这个人求导。那这个人求导的话，你发现一个事情，你就可以把这个人怎么办来进行一个幂值转换，就变成了这个人，

他去求导。对吧，分段点y直接求那这个人直接求导的话，接下来怎么做呢？先对这个中间变量求导。对吧，我就先对这个中间变量求导，然后就是这个中间变量再求导。这个中间变量再求导的话，你发现可以把这个二提出来，然后前导是一，后面不导，前面不导，后面来导是这个人。所以说这个结果就等于二倍的e到二s倍的lns，

然后是lns加上一同学们能学会吗？这个事情不难，其实就是一个幂值函数求导。见到幂值函数求导幂值转换好，这是第一段，然后再看第二段。如果这s是小于零。那么小于零的时候，这个人导函数计算怎么算呢？我们再来看这一段，那这一段的话就是x倍的es，加上一进行求导，那这人求导呢？一求导没了前导是es，后面不导，

前面不导，后面来导是它。所以说这个结果也出来了，那么现在最重要的问题点其实就是分段点上，那么同学们告诉我分段点上得怎么办？分段点上是不是得用定义啊？我就得用导数定义来做。分段点上的话，如果用导数定义，你就会发现一个事情，这个人大于零和小于零不一样。大于零和小于零不一样，我是不可以分开呀。所以在这种当中啊，你就可以分左右，

对吧？必须要分左右，那么首先我们先来计算一下，诱导数我们一起来写导数定义可以吧？那就是limits趋向零帧，然后是fs，然后再减去f零。比上s减零，我来问你个事情，这个题当中的f零只有几个人呢？这个题的f零等于几？这个题的f零只有一个，就是带到这儿，它只能等于一。你注意啊，

它只能等于一。它不能带到上面去，所以说这个结果的话就是比它大的时候就是s的一到二s减个一比上s。好，做成这样了，哎呀，这个题我们上课可重点讲过，告诉个事情，接下来这个极限怎么做？在极限当中，先定型后定法，定法之前先四化，只要见到幂值函数，立即幂值转换化，不用去想，

赶紧变成这样。对吧，这个操作性非常简单，赶紧把它进行幂值转换，然后接下来过程当中你见到什么？你见到e的框减一了。你见到意义的框减一，你是不是就要进行去检验一下这个极限到底为不为零？而同学们，你发现一个事情，这个极限曾经我们做没做过？我不光做过，我是不是还让你背过？这个极限还记得吗？这个极限虽然它是零，

这是无穷大，虽然是零乘无穷，大未定式，但这个人是零，我让你记过吧。我说这个极限的话，你发现打个p次方q次方仍然是零，还记得吗？那既然是零，就是框一的框减一就立即等价无穷小于框，所以说这个上面这人就等价无穷二s倍的lns比上它。所以说这个结果就变成了x趋向零正，然后是二倍的它。那louie零是多少？louie零这个结果就是无穷大呀。

那所以说你发现一侧的极限，结果不存在。一侧的导函数不存在，那就说明导函数不存在了，所以说这个题啊，你发现这个点处的导函数啊，就不存在。如果你想进行去写出这个导函数，非常简单。上面这一段就是二倍的e的二s倍的lns，然后这就是lns加上一。然后下面这一段的话就是es倍的s加一。然后接下来过程当中，这是s大于零，然后这是s小于零，

然后你再写写什么东西啊f撇零。不存在好了，这个事情我们就讲完了，你看这是第一件事，就是分段点y，直接算直接算，就是刚才的导数计算。分段点上用定义就是上上节课，还有上节课我们讲的导数题，你看这个事情不就联系起来了，所以说为什么喜欢考这个内容呢？喜欢考察这个内容的原因也非常简单，就是在这个题目当中啊，你发现考的东西啊，更多一点。

对吧，考的东西更多一点，你下去过程当中啊，好好想想好了，那么接下来我们再来看看二点一七这个题。好，再看这个题。诶，这个题老朋友了吧？好，我首先问你个事情，第一件事情这个函数等于多少？啊，这个函数。这个函数写不出来，

这题也废了。你应该是会做到。你发现这个结果是多少limit in趋向无穷，大对n求极限，然后这里面当中开个N次方。然后你的N次方，你的平方的N次方，你的三次方的N次方是不这个人？诶，这个结果的话，核心重点不就考察了这个内容吗？limit n趋向无穷大开N次方a的N次方b的N次方c的N次方这个结论我让你背过吧。证明方法有可能忘了，但是这个结论一定要记住，等于三者之间的max吧，

必须保证a大于零b大于零c大于零。对吧，也就说你看这就是a，然后这就是b，然后这就是c。好，这个问题，所以说在这里面当中立即就做出来了，那这个时候得到结果的话，内容就变成了泥泥。那这三者之间的max这个内容就出来了。好了，这个基本点呢，我们就讲到这。所以说这就是我们在这里面当中的第一个信息点，

你能把这个函数确定，你就做出来这个题当中的一大半了。那么，接下来干嘛呢？我们就把这个函数具体化，那你告诉我个事情，这个函数怎么具体化呀？好，我们来看看这个人。那这个人也非常简单，你发现看这是y这是零这是x，然后这是。这是多少呢？这是一吧，然后这是x，

然后你发现这是平方三次方这矮一点，然后再高一点。所以说这个部分的交点就是一，然后这三个人之间的最大值的话，这一段是x，然后下一段是多少？下一段是x三次方？所以说这个时候的这个结果就写出来了，它的结果等于多少，它要不是x要不是三次方，如果是零到一的时候是它。如果大于一的时候它。等于一呢，无所谓，等于一挂你挂我都行，

好这人出来了，那么接下来过程当中就可以求导了呀，来走吧。分段点y直接求你看点y。点y直接求直接求分段点y直接求，然后紧接着就是分段点上。分段点上得用定义。所以接下来过程当中啊，你发现这个一处的导函数是不是得分成左右啊？哎，得分成左右也就说你要进行求诱导数。也得进行求这个人左导数好了，这是这个事情，那么接下来我们来算一下移正和移负。那么，

接下来过程当中啊，我们来稍微看看。那这是ifs减去f一比上s减一，然后这也是ifs减去f一比上s减一。你来看看这个人当s趋向一帧。一正的时候是不是比一大呀？比一大的时候的话，你发现应该是这个人。然后紧接着你发现f一等于多少呢？就是一。比上s减一。是不是这个情况，然后接下来我们再看第二点？趋向衣服。一夫的话，

你就比一小。比一小的话就是s，然后再减去该点值，然后比上s减一，所以说这个时候你发现这半边就是一。然后这半边呢，零比零型未定式吧。那既然是零比零怎么办？零比零型未定式我就可以洛必达呀，趋向一正一落的话就是三x方就是三。那既然这两者不相等的话，你发现这f撇儿一存不存在？不存在你就写一下f撇儿一不存在就行。好，这个题啊，

我们就做完了。但其实你发现啊，这个速度啊，稍微的会慢一点。哎，速度会慢一点。你想想这个事情，我们有没有一种更快速的方式呢？我觉得还是有。我在之前过程当中给你教过这个事情，你看这个点。你可以怎么办？看看他冒不冒尖儿。我怎么看一个点处冒不冒尖呢？你就稍微进行看看这半边。

这半边的倾斜斜率是一。倾斜斜率是一在它的左半边的导函数就是一，所以说左导数就是一。然后紧接着我们再来看看第二个部分。哎，就这半边。这半边其实就是三次方。三次方的导函数就是三x方。三次方的话，你发现在这个点处的倾斜斜率是减三，你看这半边儿导函数就是三。我就可以看出来哦，这个点处冒尖儿了，冒尖儿就不可能对吧？这个东西啊，

就非常迅速，我眼睛一瞅都知道哦，冒尖儿了。冒尖就不可能。哎，冒尖就不可能。好，这个事情我们就讲到这过去了，可以吗？要掌握清楚这个事情，那么接下来我还是有一个题需要讲。呃，前两天过程当中，睡前系列有道非常经典的一道题，对吧啊？

我把这个题稍微的找一下。稍等一下啊。嗯，这个题。我要通过这个题啊v引子，我要讲一波内容。来看看这个事情。来看一下这个题。那么这个题的话，我们稍微进行去瞅一下，来看看这个问题。你注意啊，最后一波内容好好听啊，打起精神听你现在状态怎么样？非常好吧，

哎，状态非常好，打起精神体。那么，接下来我们就继续，我们再来看。你看这个题目的话，你发现一个事情。它给了一个分段函数。他说，下列结论当中不正确的是。那么，首先第一件事情，我们要进行去分析一下。对吧，

我们要分析一下这里面当中的每一个人。那么，首先第一个事情，这叫什么？这叫诱导数。这叫左导数。这叫什么右极限？这叫导函数的左右极限。诶，我想问你个事情，导函数的左右极限。趋向于这个点，到这个点了吗？没有，所以同学们注意你求得的这个人的话，

只是分段点外的函数。对吧，分段点外的函数，你趋向这个点还是没有到这个点导函数的左右极限，只需要去求出分段点外的函数再进行求。求这个极限就行，所以首先第一件事情，你觉得这几个人当中哪个人是最简单的呀？哪个人当然是在这里面当中，你发现右极限是最简单的呀。右极限当然最简单。对吧，这个d选项最简单，那d选项的话，你发现就是limits趋向零正，

对这个人求右极限，那么limits趋向零正，从正方向往它跑。对谁求一减cos。cosine零是一一，减一是零，所以说完全正确。它最简单，然后紧接着你觉得谁最简单？当然是你发现零处的导函数。这个也很简单。零初的导函数的话，你发现就可以怎么办？我就可以用定义了，那么所以说接下来过程当中，

我们来看看。这里面当中的用定义，然后这里面当中用定义。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事情趋向零正。诶，趋向零正，那么趋向零正的话，你发现我们就可以用，这是ifs减去f零。比上一个s减零，然后这是limits趋向零负fs减去f零，比上s减零。我来问你个事情，

这个题当中只有几个f零。只有一个吧f零永远在这儿，所以说这个f零永远是一。哎，永远是一，所以接下来过程当中，我们就来看看雷姆达趋向零正比，零大比零大，就是一减cos in。f零是几一，你要注意啊，它是一，然后接下来过程当中就是limit x趋向零负比它小，比它小的话就是一加x方f零还是一？跟得上吗？

同学们，所以说这个部分的极限结果就变成了name的x趋向零正x分之扩负cos，这个结果是多少？下面是零，上面是负一，结果是无穷大，所以你可以看出来这里面当中的诱导数是不存在的，答案就选a。所以在当年过程当中，这个题目我觉得如果选答案是最简单的。选答案不费不费一点啊，这个力气你就很容易就进行把这个东西选出来。然后这个人的话，你发现两个鱼高阶比低阶是零。那这个人没问题。

但是接下来过程当中，我们再来把这个题啊，再做一做，我们再来看看导函数的极限。导数极限。我再来问一下，你看你求的这个人呢？他是趋向于零，是不是不为零的时候的导函数啊？趋向零不为零的时候的导函数。所以说我只用进行求什么，我只用去求分段点y的导函数就行。那这个时候的话，你发现第一个事情，我只要去求分段点y分段点y需要求分段点上吗？

不用那分段点y这人求导一求导是二s。然后这个分段点外一求导是多少？一求导是这是s in。然后紧接着你发现limits趋向零负导函数的极限呢，对谁求？那就是limits趋向零负，比它小的这个人求二s求，那就是零啊。然后紧接着呢，你发现一个事情趋向林阵呢，林阵就比他大，比他大队谁球比他大队三一球，那三一这个结果呢也是零啊。所以你可以看出来，这两个人的导函数都是零，

没有问题。没有问题，一点都没问题。但是这个题的话，你发现在当年过程当中啊呃，得分率不是特别好。也可以凸显出来，这是我们二零二一年的考研真题。也是从这个二零年呢，这个二一年做了一次，第一次三九六的大纲更改。以前过程当中的真题啊，说实话非常非常简单，等你到时候做真题的时候你再说。你就会发现，

二零年之前的真题啊，只有个别的题还稍微的好一点点，大部分的题啊，毫无操作性。难度系数都非常低。所以你发现从这个二一年更改了之后，但是这个题得分率非常差。差的点的原因在何处呢？你就会发现第一个事情很多同学符号都不认识。他就不理解你说这个东西，这这这啥玩意儿对吧？怎么都很像注意一点都不像。你要清楚的看清楚每个符号表示的不同，然后第二种错误。我来问你一个问题，

同学们去想想，请问limits趋向零正。导函数的极限一定会等于该点处的诱导数吗？然后接下来你发现当x趋向零负导函数的极限，一定会等于该点处的左导数吗？你要注意这件事情。这俩玩意儿一样不能。就是你一定要听清楚这个东西和这个东西一样不一样。还有什么情况呢？在这里面当中，这个东西和这个东西一样不一样。注意，他们是不一样的。不一样的，当然同学们，

我们凭我们现在已有的能力，我们都能看出来什么时候，这两者之间就相等了。同学们告诉我什么时候就相等了。导函数连续。导函数连续的时候，极限就会等于该点值。告诉我一个事情，谁连续再回答我？你给我说清楚，我希望同学们都能给我敲出来，谁连续？谁连续的时候才可以？导函数连续的时候可以。也就说什么意思呢？

当导函数连续的时候。一阶导函数。嗯，导数连续的时候。上。式子b乘以。对吧，必须成立。这没有任何问题。也就说这个一级导数连续的时候，上面这个式子没有任何问题，它绝对会成立。但是我想问你一个事情。这个条件的话加的很硬，这个条件下肯定是成立。

那么，同学们想想这个条件能不能稍微的弱一点点？我能让这个式子也成立呢。有没有可能性呢？有可能性。就是我让这个条件稍微的弱一点点，软一点点，条件稍微的再少一点，它其实这个式子也可以成立。所以说这就是我接下来过程当中啊，讲的重点内容，你要说二阶导数存在，它更硬了，条件更多了，我说这个条件能不能再少一点点？

对吧，这个条件再少一点，我也能让你成立呢，那么接下来我们来看看重点内容呃，我不要求同学们用这种方法进行去。求导数，其实这种事情这个方法应该是个大招方法。绝对的大招方法，但是我现在而言，我不喜欢咱们班同学用这个方法进行求，我希望你们知道的是分段点y直接求分段点上用低。接下来过程当中，我就想进行去建立一个事情，就是导函数的极限。跟该点导函数能不能相等连续的数当然相等。

但是这个条件弱化一点，能不能也相等呢？也可能。但是我不希望咱们三九六同学用这种方法求导数，因为有些同学越学越蒙，因为我们考的比较简单一点，那核心方法的话就是分段点外直接求分段点上用定义就可以了。但是在这里面当中，我害怕这个事件会出题，所以它算一个啊，我就不写大招方法了，我就写一个重点内容。诶，重点内容，那么接下来导函数极限。

与该点导函数。之间的关系。诶之间的关系就说导函数的极限。你跟该点导函数之间具有什么关系？我都说了一个事情，如果导函数连续导函数极限一定等于导该点导函数。那么接下来我想说的事情是。这个条件能不能稍微的弱一点，弱一点，让这个事情也成立呢？它是可以的，好那么接下来我们来写一个人。你看这个事情，我来写一下。也就说什么意思呢？

你看这个人，我就写成这是fx。然后s大于等于s零，然后这是jss小于s零。你看我怎么让这个原来的条件稍微的弱一点，我再回答一下刚才过程当中我们要求的是导函数连续吧。你看我现在把这个条件退化一下，我只需要要求这个事情就行，我只需要要求这个函数连续就行。你看我没有要求导函数连续，我要求的是函数连续，它其实就可以。我就能把这两个人之间的关系建立起来。你看我就让这个条件再退化，那这个时候的话，

你发现我们来进行求导，我们求导的时候你发现分。分段点y是直接求，然后的话，这一段是直接求。然后分段点y是直接求。对吧，那这个时候你发现我们再来看看分段点上分段点上，比如说我们要进行去求诱导数。诱导数怎么写呢？我们就来写诱导数的定义来提醒，那就是fs减去fs零。比上s减s零好，同学们，你告诉我个事情，

下面极限是零吧？我为什么要要让这个函数连续啊？函数连续的话，它的极限不就会等于函数值吗？那这个时候你发现一旦让这个绿色保证了，我不就保证这是零比零吗？我保证了零比零，那这件事情不就可以洛比达法则了吗？那这个时候就可以上下同时落必达了呀，我一落下面求导是一上面求导就是导函数。那这个时候你就会发现哦，原来导函数的右极限，此时此刻就会等于该点处的诱导数。你看这件事情，它就可以了，

也就说如果要求导这个函数，它是连续的，我其实这件事情就可以建立导函数的右极限和该点诱导数之间的关系。它们就相等了，但是同学们注意，这里面当中还有个要求。还有个要求，同学们想想这件事情是怎么推出来的？是不是用洛必达法则方式推出来的？那洛必达法则有要求啊，洛必达法则有一个重点要求，不光是零比零，而且还要要求什么？导函数的这个极限怎么办？是个数或者无穷大千万，

不能是不唯一，大家注意，绝对不能是不唯一，我讲的稍微的深一点，绝对不能是这个。所以啊，这就是第二个要求。两个要求，第一个要求就是要求到的这个函数是连续的。不需要导函数连续，我只需要让这个函数是连续就行，然后你导函数的极限结果是个数或者无穷大，你看现在这两者情况，它就相等了。所以将来过程当中，

你发现一个导函数极限跟该点导函，同理啊，你发现左边也是一样。左边也是一样，然后的话，你发现这个时候就是s趋向s零负s减去s零，然后这是fs减去多少fs零？然后这时候变成多少它其实就是个零比零型未定式吧，它就可以变成了x趋向x零负上下，同时求导变成你的极限，你必须是个数或者无穷大。那这个时候我就建立了起来，非常清晰的意识了。也就说，导函数的极限跟该点导函数有没有关系，

能不能相等能相等。什么时候这两者之间就相等了来，同学们，我们来看看这个事儿，这是诱导数吧？这是导函数的右极限。这是左导数，这是导函数的左极限。这两者之间有没有一丝机会相等呢？有一丝机会，我条件用的非常的软。用的什么情况？只要保证要求导的这个函数在这个点处连续，而且刚才我们已经算过了这个极限是零，这个极限是零。

它确实是可以的，第二个条条件满足。导函数的极限是个数或者无穷大，第二事情要求导的这个函数在这个点处连续，只要建立这两者事情的联系，这两个东西啊，它就会相等。那么就是要检验一下呗。你看这个函数连续吗？它的左极限是几左极限一？它的右极限是几？右极限是零。它在该点处的这个函数，结果是几函数值也是一。那你告诉我个事情，

它连不连续？它不连续，所以说这两者之间它是不会相等。能理解吧，哎，注意一个问题呃，说第一节推。高阶连续的话，你就纯属胡说八道啊，你就跟这个八竿子打不着的两个事情，你在这胡乱挂钩呢，要不然的话就是你根本就不理解我在干什么？我建议下去过程当中好好整理啊，要不然的话你就是知道我在干什么，但是你在胡乱的把一些毫无关系的两个内容，

你在这里面当中进行挂钩。我说高阶能推低阶，低阶推不了高阶，不要在这胡来啊。好了，这是这个事情，大家能听懂我的意思吗？所以你发现我就有了一种第二种方法进行去求该点导函数。当要求导的这个函数是连续的时候，我就可以用导函数的极限进行去求该点导函数。你看这不也是一种很好的方式吗？就说如果要求到这个函数是连续的。我就可以怎么办？求出分段点外的导函数。我然后对这个导函数进行求极限，

我就能求出该点处的导函数。你看这个方法也是非常棒，所以同学们注意啊，那么接下来过程当中我给你个思考题，你下去过程当中好好进行思考。那么，接下来过程当中，我们来看看这个题。然后这是一s减一，然后这是三。s大于等于s小于零。那么这个题的话，首先我布置第一个任务对吧？第一个任务我让机器去求出该点导函数。哎，

让你去求出导函数，这是第一问，第二问题，我问你个事情，请问在这个题当中，这个趋向于零正导函数的右极限。它等不等于该点处的导函数诱导数？而你发现导函数的这个左极限。等不等于该点处的左导数呢？大家注意这个东西，其实就是加强了啊，这绝对加强版的这个操作性非常的强一点，你下去过程当中好好想想。能理解吗？好这个题啊，

我就说到这下去过程当中，把它当做成一道思考题，然后去想。然后接下来过程当中啊呃，我们把这个题目啊。翻到原来的零基础，提前学的这个讲义，我说一个题啊。对吧，我来说一个题。就这个题，还记得这个题吗？当时这个题啊，有些同学就这样做的。他怎么做呢？

他说老师，你看这个题，我分段点y直接求啊。它就变成了二倍的s方分段点y直接求啊，变成了二s。然后它就在这里面当中，它说诱导数，诱导数不就等于导函数的右极限吗？右极限是几右极限对你求它是二，然后说左导数就等于导函数的左极限，然后说这里面当中导函数左极限就对它求它说是二。所以说俩人都存在，他选了a同学们告诉我对还是不对呀？啊，对不对？

凑完了。这样做这题就错了。我刚才强烈的讲过这个事情，什么时候导函数的左右极限才会等于该点处的左右导数呢？你必须保证一个事情，你得保证这个函数在这个点处是连续，你发现它的右极限是多少？右极限三分之二，左极限是一。左右极限不相等，它肯定不连续，你不连续的时候，你发现求解该点处的诱导数能不能用导函数的右极限来做？不行的。这个时候绝对不行的，

所以你看这个事情我们就讲清楚。能听懂吗？同学们。我相信你是明白了，所以将来过程当中算导函数计算，你就是分段点y，直接求分段点商用定义就行。然后将来过程当中，如果他考察你什么，他说导函数的极限。跟该点处的导函数能不能相等呢？当然，导函数连续的时候肯定相等，那能不能把这个条件弱一点，让它也相等呢？

可以，只要能保证函数连续。而且导函数的极限是个数或者无穷大，不是唯不唯一的，它俩也能相等，因为我可以通过洛必达法则的方式把它推出来。我这个东西就非常强了。对吧，这个东西非常非常强。我不需要告诉导函数连续，我只需要函数连续。然后在这里面当中，你发现只要要求这个导函数的极限是个数或者无穷大，这个条件就非常重，有的说老师为什么？

呃，你最后来一句啊，如果原来也不是说没有见过，对吧？每年我也见过这种同学，我刚讲完哎，你发现这一波内容，我觉得我讲的。把这个东西应该是给同学们讲清楚了，然后为什么？你简直是把我给绝杀了，对吧？为什么呢？我刚才在这里面当中都推导过了。是不是用洛必达法则的方法进行推导的？

如果你想知道这个东西，为什么你就自己把它推一遍？哎，这两个条件，我把这个事情我应该是讲清楚了，好这个部分内容我们就说到这，自己下去过程当中好好进行去看一看。听懂我的意思吗啊？哎呀，你不要这样学习，你这样学习会走火入魔的同学。啊你你这样学习会走火入魔的啊。哎呀，你这样学习真会走火入魔的。你把这俩东西能不能当成两个内容进行去学啊？

函数可导，函数连续低阶，推不了高阶，不要这样，你这样你这样会学废的，在这里面啊。你一定要在这里面当中，我说高，我说低，不能推高，你说啊，这个题不是低能推高，这里面当中还有这个条件呢。你咋不把这个条件加上呢？还得保证这个导函数极限是个数或者什么无穷大，

不能是不唯一。不要这样学你这样学会把自己学废的。老师在这里面当中呃，如果你你是这样进行学习啊，我觉得你不要进行去加强这个内容。原本学的还挺好，一加强的话，一加就把自己给加垮了啊，这可不行，好这个事儿我们就讲到这儿可以吧，你下去过程当中好好串串。不要把这两东西绕绕到一块了啊，注意第一节就是不能推高阶好这个题目，我们就讲到这。行吧，

那么这个接下来把这个习题拿出来，我们来布置一下这个今天的这个作业啊。好来，我们来布置一下这个今天作业，然后就翻到这个考点九幺零五叫我看看啊。嗯，这也都做了。幺幺二幺幺三幺幺四幺幺五幺幺六。好幺幺六之前记住了没？幺幺六之前。然后紧接着继续幺幺九幺二零幺二一。好，这三个题。你就记住一个事情，只要让你算二阶导数，

先把一阶导数通通算出来。分段点y直接求分段点上用地通通算出来再算，它听懂我的意思吗？凡是求二级导先把一级导数算出来。分段点外直接求分段点上用力啊，这个事情行吧，那么今天部分内容我们就讲到这儿可以过去了。然后检验导函数连续性呢，就是导函数的左右极限跟该点处的导函数相不相等。好，这个问题啊，我们就说到这。呃，行吧，那么今天部分内容我们就讲到这儿下去，

过程当中好好串串，尤其是我下课之前讲的那部内容。讲的那个例题，那几个符号得想清楚，第二事情我讲的那波内容，你得好好进行，想就说如果加强到导函数连续，当然是成立的。但是如果把这个条件稍微的弱一点点，能不能让它也相等呢？哎，结果我们发现用洛必达法则的方式进行推了一下哦，它也相等。那非常好了好，这是这个事情吧，

行吧，那么今天部分内容我们就讲到这行，我去导啊，我去导吧。呃，导完了之后我去发给这个，这个注销啊行，我现在去导。好同学们，行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好下节课见吧啊。

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10.导数几何意义、微分定义与计算-2

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