09.导数计算-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:38:11

好同学们，行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个题呃，做完了没有？选几啊嗯，这有什么打问号的嘛，对吧？这个题之前过程当中啊，我们是这个睡前系列当中的一个题。好，那么接下来我们来看看这种事情，你像这种题啊，在我们的考研过程当中啊，很喜欢出。

对吧，他说了一个事情，给了一个分段函数，然后说这个分段函数啊，在这个点处是可导的，那分段函数在分段点处的可导，当然是用定义啊。所以说在这里面当中，我们就用定义就行，而且在这里面当中大于零和小于零不一样，因此需要分其实在这个点处啊，它的充要条件就是左导数和右导数。存在且相等。但是你发现一个事情，这一点当中只有一个等式。

而我要求两个未知量，所以说在这里面当中啊，就缺条件，因此像这种类型问题啊，比如说我们说一个函数在这点可导。然后让你去求解这里面当中的参数啊，先用连续性对吧，因为它在这个点处可导，首先第一件事情能推出这个函数怎么办？在这个点处是连续的。你先用一下连续性，连续性的话呃，一使用就是左极限和右极限存在，而且都等于函数值。那么，

先来看看左极限吧，零的时候左极限是一，然后再来看右极限吧，右极限是b该点函数值是几？该点函数值的话，你发现往这里没带，刚好就是b，所以说还是b，因此这里面当中结果b就等于一。那b=1的话，你发现这个结果不对啊，对吧？这个结果也不对啊，这个结果也不对啊，正确答案在AD当中选好，

那么接下来我们再来看看a1结果。那a结果的话，你就要在这里面当中写下右导数，而且还要写下左导数，这两个东西的导数定义，那么先来看第一个事情零帧。然后这个东西啊，就是零负。先来看零帧，那就是fs fs是多少as+b，再减去该点处的函数值，就是b比上s- 0。所以说这个时候的话，它就变成了s趋向零帧，然后这是as BS，

那这个结果就是a呀。那么，接下来我们再来看看零负零负的时候就比零小，比零小就是这个人，就是x方加上一。再减去该点处的函数值，比上s- 0，所以说这个时候的话，你发现一个事儿，这个b就等于几啊b是一，那这两项就约掉了。因此结果就是s方比s，它就是零两者一结合a等减a就等于零。所以说这个题就出来了，你发现b这个结果是1a，

这个结果是零，所以正确答案选几选a。那么，下去过程当中啊，你把这种题啊，你好好做一做。如果一个分段函数，它说在这个点处是可导的，然后让我们去返求参数，先用下连续性。能够进行去定出一个参数，那是一个参数，然后接下来过程当中啊，再用下导数定义就行，因为这个题是分段函数，

在分段点两侧不一样的时候，当然需要分。既然需要分，那这就是我的条件。好了，这个事情我们就讲到这过去了，可以吗？行吧，那么这个题啊，我们就说到这儿诶，这个题怎么粘到这儿来了？那就不用放在这吧，还用放在这吗？叫我看看啊。哎，

拉过来吧。放在这下面。行吧呃，下去过程当中啊，你还可以看看啊这个题。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看呃，你可以去看看公众号就行，对吧？有些同学不喜欢关注很多这种自媒体平台，你就去看公众号就行，我的公众号就是我的名儿啊，叫周扬欣。呃，

或者而言的话，你可以去那个B站上看一些，或者你去那个微博上看一些微博的话，呃，我把那个微博的题目填了，你可以去看那个公众号。可能会快点B站一起好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看今天的黄金重点内容，你们现在状态怎么样？现在状态怎么样？状态非常好吧，好了，那么接下来同学们请你拿出今天最好的这个状态，认认真真的听我们接下来部分内容。

啊，接下来过程内容绝对是黄金重点当中的黄金重点，那么接下来我们来看看下面一个问题推广题。那么，什么是推广利益呢？就是无论你是推广定义，计算性定义还是增量性定义，大家注意，无论你是哪种定义，你都是这个导数的定义。你都是导数定义，你都离不开一个事情，瞬时变化率。所以说在这里面当中，我们先来看看第一个问题点，

我们就来画一个二维的迪卡坐标，系好注意这个部分内容非常重要，这是y。这是零，然后这是x。然后在这里面当中啊，我们来拉条线，这是fs曲线，那么这里面当中啊，给了一个点，这个点是x0。然后接下来过程当中啊，有一个增量。好，那么接下来我们来看看这一点，

当中一定要注意啊，要求解这个点处的导函数，这个点一定是个定点。你要注意这个问题，这个点一定是个定点，必须是个定点。那么也就说我们怎么操作呢？我就从这个点有一个增量。那这个增量的话，以前过程当中可以用德尔塔s表示，也可以用s0 s-s零表示，当然在这里面当中有的时候呢，有的时候它是一个非常复杂的一个式子。所以在这种当中啊，你记住有的时候啊，

我们可以增加一坨。增加一个非常复杂的内容，反正就增加一坨，然后就得到了一个什么点，得到了一个动点。这个点处的导函数啊，一定是动点逼近于定点，那么所以说接下来过程当中，我们就来一起来写下该点处的导函数。那该点处的导函数就是这个点处的瞬时变化率好，我们一起来写。首先第一件事情，你也可以去写这个割线写率都行，无所谓啊，就是末点函数值。

再减去起点函数值，这个起点，这个函数值啊，它一定是个定点，所以说你发现这是个动点，然后这是个定点。对吧，动点减定点，然后说末点减起点，然后再比上谁呢，再比上这个增量是框。因为你发现一个事情，这个自变量增量是框，因变量增量比上自变量增量，其实你发现可以看作成这个割线的斜率。

什么时候得到切线斜率呢？就让这个框趋向零，所以在这里面当中啊，你只要能保证这个框趋向零就行。这就是我们通常意义上的这个导数定义的内容啊，这个内容就叫推广力。那么，这个推广定义啊，你发现很多参考书都是这样写的。参考书喜欢这样写，但是注意啊，学习的过程当中啊，我们可不要这样。你不要在乎这个什么，不要在乎这个limit下面是什么？

不要在乎我，从来不在乎这个limit下面是多少，我在乎的是什么，我在乎的是这个部分趋向零就行。你注意，我只在乎这个部分趋向零。那你想一个事情，这个东西是瞬时变化率，给你一个人加上帽子，那这个时候就变成了瞬时变化率，对吧啊？这是平均变化率。给你一个人加上帽子就变成了瞬时变化率就变成了这个点处的导函数。所以在这里面当中做题的时候，我们往往是怎么操作的呢？

两个事情呃，有一点区别，因为增量定义的话，你发现增加的是德尔塔s。我这个部分有可能增加的是一堆式子，你别管有多么复杂。所以在你的脑子里面就不用进行去记增量利益了。你的脑子里面只用记两个人，要不是计算型题，要不然就是推广题，听懂我的意思吗？呃，这样的话就能处理所有的题。就两个事情，要不然是计算性利益，

要不然就是推广利益。好，这就是我们在这里面当中的问题，点好注意几个事情，第一事一定是一静加一动。或者是一定加移动。呃，这个事我把这个内容我给你写到旁边，你一定要注意这个事情，一个是一定，然后是移动。一个是定点，一个是动点，用动点逼近于定点，这个事很重要，

好，这是第一个问题。然后接下来过程当中，我们的操作形式呢？怎么去处理呢？是给这一个人加帽子，听懂吗？是这一坨的极限，就只有它的极限，给这一个什么平均变化率加帽子，就是该点导函数。那所以说我们的做题思维方式是什么？就是两个事情一凑结构二看零，还记得吗？一凑结构二看零。

所以你做题的时候非常非常简单，你只用掌握清楚一个事情就行，就是一凑结构二看零。我们的做题方式的话，其实就非常容易，我们怎么处理呢？你拿到一个题的时候，比如说我让你进行去求该点处的导函数。你就来进行给我凑这个结构来跟我一起背啊，你就往这个结构上凑就行，来走就是x0+1个框。我再减去个fs 0，比上这个框，把这个结构先写出来。把这个结构写出来之后，

然后再来看看这个部分的极限是不是零，就看在这个limit条件下，这个极限是不是零，所以叫一凑结构。二看零那如果在这里面当中，你发现一个事情诶，这个东西确实是零。但是这个部分东西只能是临阵。只能是临阵，什么意思呢？也就说这个增量只能往右边增。你只能往右边增，那你也就说你只能从这半边趋向零，那这个时候代表的什么是右边的切线斜率吧？所以说大家注意，

这个时候导函数代表的是诱导数。那如果说你发现一个事，这个东西只能趋向零负呢？只能趋向零负的话，你发现只能从反方向往过走，那是不是这边切线斜率，所以它叫做左导数？一定要注意啊，先写结构，把这个结构给我背过，你做题的时候就往这个结构上凑is 0，加上它再减去fs 0比上它。然后再来看看这个部分需不需要零，如果这个部分的极限是零正右导数零负是导啊，这个左导数。

只有什么情况下是倒数呢？只有这个人呢？既能是邻阵，也能是邻负的时候，才能叫倒数。所以说这件事情一定要注意哦，如果你只能趋向一边，这个东西叫单侧导数。哎，单侧导数，如果你能趋向两边这个东西啊，才能叫双侧导数，所以做题思维方式就非常简单，一凑结构二看零。一凑结构二看零，

把这个事情给我想清楚，什么东西都没有问题，能想清楚吧？好，这个事我们就说到这跟得上吗？来做几个题啊，我们来看看。呃，这里面当中啊，我来出几个题，稍微进行抽象。比如说这里面当中，我们来看看第一个事件。好，先看第一个题。

如果这里面当中我们写的是x趋向零。然后这里面当中写的是五+6x。然后再减去f5比上s好，同学们告诉我这个结果等于多少好，这是第一个事情，那么接下来我们继续，我们再来看第二个事情。如果这是limits趋向零，你慢慢听啊，一会儿稍微的会难一点，然后这里面当中这是fs方。减去f0比上一个多少x方，那这个结果是多少？我再强调一遍，你的脑子里面只用记两个定义，

一个是计算性定义，一个是推广定义。只要这个f的括号里面不是一个x，它就是推广题。你就记死就行。除非这个括号里面是一个x，我再凑计算型d，剩下的东西都一律凑推广型d，没有任何问题。那么，接下来我们再来看看第三个事情，如果这里面当中我们继续看当x趋向零。然后你发现这是多少呢？这是。e的s，

然后再减去f1，然后比上多少呢？比上一个这个里面当中啊，我们写一个这个是。比上一个x好同学们，我们看看这个结果多少？先来看第一个人吧。先看第一个人慢慢做。那么，请同学们告诉我第一个极限凑的是什么定义啊？是计算型定义还是推广力？我一看这个f的括号里面不是一个s，我就一律凑推广力。所以接下来过程当中，我们就来凑了。

凑推广定义的话，第一件事情跟我一起来背背结构啊，走是x0加上个框。好，所以说同学们注意，这就是框。然后再减去fs 0。比上这个框，所以你就需要一个六补一个六了之后，前面来个六好变成这样，同学们告诉我结构出来了吗？结构出来了，结构出来了，再看0s趋向零六s，是不是零六s就是零？

而且你既能零正也能零负，因此这个结果。它就等于六倍的五处的导函数好，这是第一个事情，跟得上吧，好，那么接下来我们继续，我们再看第二事情。请告诉我，这是推广定义。还是计算机里？推广还是计算？当然是推广定义，那既然是推广定义的话，首先第一件事情我们先来看看，

这是li mates趋向零。这个定点是谁呀？定点是零的定点，那既然是定点是零的定点的话，它就变成了零，加上x方。你看x 0+x^2，所以说这件事情的话马上出来，那就说明我再说一遍啊，有同学说老师我可以把这个x方做换元。听话，一定要听话，不要在这换原，我再强调一遍，只要在这里面当中，

你发现括号里面不是一个s。就凑推广定义就行，听懂吧，好注意一下这个事啊，你看零加上这个人，然后再减去多少，再减去个fs 0。比上这个框。那结构出来了没？结构出来了，结构出来再看零，但是你发现平方永远比零大呀，所以它只能零正。既然这人只能是临阵，你告诉我一个事情，

这个人叫什么，他就叫做临处的诱导数。这个人就是零处的右导手好了，那么接下来我们再来看看下面的事情，好继续做，再来看最后一个人。听得懂吧，好再看最后一个人。那最后一个人的话，你发现是计算性定义还是推广定义啊？当然是记啊，这个推广性定义，因为只要括号里面不是一个s，它就是推广定义。那推广定义两个事情，

一凑结构，二看零很明显，定点是一啊。定点是一的话，你发现我就可以凑了来解。来给我背解构。怎么去写呢？你就发现一个事情就写成x0，加上这个人，你看你加个一就要减个一。s0加上它，然后再减去fs 0。你是不是就要比上他？比上它了之后的话，你发现原本就没有没有你除一个它就要乘一个它就变成这样。

所以说这题就变成这样。然后接下来过程当中，你给我看看这个事情，请问同学们这个极限是不是一？非零因子吧，非零因子，它的极限是一。好出去了，然后这个题就变成这样，那么接下来我们再来看结构出来了，再看零你就来看看这个部分的极限，结果是不是零？是不是零呐？是零还是不是零？是零正还是零负？

还是既能零正也能零负啊？你稍微讨论一下就行，你看这是es- 1。或者你就来画es，你画出es的话，你发现这个图像是这样。对吧哎，这个情况那么在这里面当中啊，我们就来看看这个事情。你就会发现，如果是从正方向趋向零，你比一大。比一大，这就是临阵。如果从反方向去向零的时候，

你发现就比一小比一小的话，这就是零负。既能零正，也能零负，那这个结果呢？其实就是一除导函数。所以说这个结果立即出来了。你看这个结构。所以说像这种类型问题啊，你只需要怎么做呢？就是在可以可以可以把分母等价啊可以。那么，在这里面当中，你只要记住一个事情，就是我的操作性形态，

就是一去凑结构，二去看零。对吧，把结构写出来之后，我再来看零。结构一，写s0，加上框减fs 0，比上框好，结构出来，然后再来看看，在这个极限下，它是不是零？那就可以了，好这个基本问题啊，

我们就说到这，那么接下来我们来看一个题吧，看看这个题怎么做，二点八这个题。来看一下这个题。那么，首先第一件事情，我们先来操作一下。他说这个函数在零处是连续的。好告诉我们连续性，然后比值极限存在吧。它让我们去求解一下f0，那么同学们想比值极限存在，怎么去求该点处的函数值啊？用定型的方式。

分母的极限是零。分子的极限就是零。对吧，分子的极限就是这个。而又因为什么情况呢？又因为这个函数在这个点处是连续的。你看它是连续连续的话，同学们想想极限是不等于函数值啊？而且你发现这是复合函数的连续性吧？连续复合，连续是连续。那所以说就连续连续的话，极限就等于函数值，把这个函数值直接带进去。所以说两者一结合呢f0就是零。

能听懂吧，既然f0是零，马上把BD排除。BD排除了之后啊，我们再来看看AC选项，那这个人是不是凑倒数定义啊？那既然凑导数定义的话，你发现一个事情，我们凑谁的导数定义？那这是fx方，然后再比上x方，你觉得凑谁倒数第一？你就看看那个括号的增量是谁？增量是零处增量吧，所以说在这种当中定点当然选零啊。

所以接接下来过程当中就写来零，加上平方减去f0f0是零随便减。然后再比上平方好写成这样，那么同学们告诉我结构出来了吗？结构出来了，结构出来再看零。那么你发现一个事情，这个人只能去向林什么，他只能去向林真，因此这个部分的东西应该叫什么，应该叫做林处的诱导数。也就说这个人等于一的意思就是右导数等于一，不是导数等于一，所以说这个结果正确，答案应该选c。

好了，这个题是不是出来了？所以说问题点不大，两件事情一凑，结构二看零。哎，一凑结构二看零你就进行去操作一下就行，对吧？我先进行去凑出这个结构，然后再来看零。好同学们，你们今天状态怎么样？好，现在状态怎么样？现在状态怎么样？

非常好是吧？好同学们拿出你最好的这个状态，然后认认真真的跟我听下面部分内容，好好听啊。接下来可是黄金重点，我不说别的，接下来这个题你如果能听得懂。把每个部分的东西都消化到位，不要说我们三九六同学的题数一数二数三，同学历年的考研真题你都可以去做。没有任何问题，导数定义的题毫不夸张，这个题啊，我认为是在考研史当中，导数定义当中出的最牛逼的一个题，

没有之一。因为这里面当中的每一个选项都极其的精彩，好认真听啊，我们一个个来，我们先看第一个人。那么他说一个事情。它说f0=0。他说fs在零处可导的充要条件。大家注意啊，人家说的是什么条件充要条件？你能推我，我能推你。对吧，谁能推出零处的导数是存在的fs，在零处可导的意思就是在零处的导数是存在的。

谁能推呢？那么接下来我们一个一个看，我们先来看看这每个极限的庐山真面目就行。那么也就说给了这个极限，要把这个极限往谁的导数定义上靠啊，往零的导数定义上靠。所以说接下来过程当中，我们来看，请问同学们这是计算型定义还是推广定义？只要括号里面不是一个s。它就是推广题，所以接下来过程当中你就做就行，一律凑推广题跟我一起背啊。赶紧一起来，那就是f0+1-cosh就是零加上框。

零加上框了之后再减去f0，因为f0是零随便减，那就需要再比上一个框。但是你发现原本我的下面是h方案，所以你在这里面当中，你除一个这个人，你就要乘以这个人。然后比上这个人。好同学们，没有问题吧？那么接下来告诉我个事情，请问这个极限结果等于几？这个极限结果等于二分之一，所以说这人是非离子抛出去。那么，

这个人其实就把他抛出去，然后就变成了这个人。哎，就变成这样，所以说a选项的存在就代表这个极限存在。那么然后再来看，这是谁呀？结构出来了吧？结构出来了再看零那再看零的话，你发现我就看这个人。那么再看这个人。而大家都知道一个事情，你发现我在这里面当中啊，画出这个cos in的图像。cos图像是什么情况呢？

你比如说这是cosh，这是零，然后这是h。cosine这个人头像的话，他其实是这样。对吧，这个人的话，他永远都要比乙小。他永远超不过乙。既然永远都比一小的话，你发现这个人的结果只能是什么？只能是临阵。对吧，只能是零阵，你只能从阵方向趋向零。

那只能是正方向趋向零的话，你发现这个结果其实就代表了什么，就代表了二分之一零处的什么导数。诱导数，所以说接下来过程当中我就知道了a的存在。a选项存在就代表了二分之一诱导数存在，那么同学们想想诱导数存在，能推导数存在吗？能不能诱导数存在？能推导数存在吗？当然不行，你光诱导数存在，导数就存在吗？当然不行，但是能回来吗？

可以导数存在了之后，左右导数都存在，且相等，所以同学们注意不能过去不充分。但能回来是必要，因此a选项应该叫做必要非充分，条件好，学会了没？好，这是a选项，我觉得这种事情呃，已经讲了好多遍了。啊，这个问题点难度系数不大，但这里面当中有一个问题点，

我先提前说了，不然一会同学绝对有同学问。有些同学这样说说，老师，我把里面这个一减cosine一式，等价无穷，小于二分之一h方行不行？绝对不行，你知道这f是什么吗？你咋敢在这里面当中瞎等价呀，不要乱来好，这是这样的事情。那么，接下来我们再来看看第二个。好，

继续做，再来看看b选项。那这个b选项的话，我们接下来继续走。你发现我就要看看b选项的庐山真面目吧，我就要把b选项往倒数第一上凑。既然往导数定义上凑的话，那么接下来我们一起来看。往零的导数定义上凑吧，那其实就是零+1-1的h。零加上个框，然后再减去f0，我跟你讲这块内容，你你发现我讲的现在如果你发现。你还是搞不明白。

那我就觉得这个有点懒啊，就是刚才那个事情的话，你把它背过就往上靠就行。照猫画虎的做就往上靠，然后再来减去f0f0是零嘛？那你告诉我个事情，现在这个人的框是不是他呀？我加上这个框，我就要除以这个框，我就要除以一减一的h。但是原本就没有啊，你除一个就要乘一个，那这人就变成他h趋向零。那么，接下来我们来看看这个事，

告诉我这个极限是多少？这个极限结果是不是负一啊？这个极限结果既然是负一，你发现我就在前面变成负号非零因子嘛。那么，接下来同学们告诉我，结构出来了吗？结构出来了，结构出来再看零那么请同学们告诉我是零正呢还是零负还是既能零正也能零负啊？当然是既能临阵也能临负，因为这件事情我们刚才讲过。你发现它的曲线是这样。那么，现在而言的话，如果你发现看你从正方向趋向它，

它比一大。比一大的话，这个人就比零小。如果从这个方向跑呢，比一小比一小就比零大，既能零正也能零负，它就是负的零处的导函数。所以说b选项的存在，说的其实就是负的零处的导数存在。哎，注意啊b选项的存在，就说的是负的零处导数存在，那你想吧，负的零处的导数存在不就能推出导数存在吗？所以说能推过去，

因为这个极限这个极限是谁呢？这个极限就是负的f到零。然而，这个导数存在能不能推回来呢？也能回来，因此这个题的正确答案选几选b，这是个充要条件。好，这是b选项，没问题吧？我觉得前两个选项都挺简单。虽然这样的话，我们就把正确答案选出来了，但是这里面当中的这个b选项远远没有我们这里面当中c选项和d选项来的精彩。c选项和d选项简直太精彩了，

好好听啊，那么接下来我们再来看看c选项c选项没有d选项重要。好，再来看看c选项。注意力集中点哦。你们现在状态怎么样？拿出最好的状态听啊，认认真真来，你不要一块绕进去了。好，那么接下来我们继续看看一下c选项来解。我就要把这个人往导数定义上进行凑，那就是limit，然后接下来继续照猫画虎的写。那就是零+h-sinh。

零加上它，然后再减去f0是零，所以说这个时候的话，你发现它的框是谁啊？框就是这个部分。好，这就是框，那么你想一个事情，我既然在这里面当中加上它，我就要除以它。哎，除以它，但是注意一个问题，我下面是平方，哎，

你除一个就要乘一个就变成了这样。对吧，所以说这件事情就变成了这样，那这个题啊，立即就变成这样。那么也就说，这里面当中有一个问题点。什么问题点呢？它说的c选项存在，它说的应该是什么呀？它说的应该是这两个东西相乘的极限存在，你赞同吗？对吧c选项的存在说的是两个人相乘的极限存在。两人相乘的极限存在，那么这里面当中，

我就想问你一个问题，请同学们告诉我，这个人的极限叫不叫导数？注意下这个事情，我问的是这个人的极限，叫不叫导数？不是说这个人叫不叫导数，是这个人的极限叫不叫导数，就是一定要给这个人加上这个极限帽子。你叫不叫导数？我就看这个部分，你先别管那个人，我就问这个事情叫不叫？当然交，因为你发现结构出来了，

再看零那这人是不是零呢？那这人当然是零。因为你发现h趋向零的时候，你发现这里就是零。那是不是零正也能零负呢？这里面当中考了一个重要的不等式，我把这个内容讲一下，把它给我记到笔记上，我忘了之前过程当中啊，我们有没有讲过这个知识点？有一个重点的不等式考研当中会考的。我们三九六同学的黄金重点不等式。这样的一个内容当x大于零，小于二分之派的时候。一定会拥有tangent比s，

大比s in大。好，这个不等式啊，我们最近几年真题啊，出了好几次。你要稍微小心一点。请同学们注意，这个不等式，记得吗？零到二分之派的时候，这个tan是比s大，比s in大，这个公式应该是我们在初中学习的公式吧？初中老师怎么证明的？初中老师是这样证明的，

说老师呃，这个在这里面当中，你发现我来画了一个单位圆。画了一个单位圆的话，你发现半径其实是几半径其实是一。然后在这里当中拉了条线，说这个人的倾角是x。那倾角是s的话，然后你发现你看这个高度是多少？这就是三音。然后再来看看这条线呢，这条线是l弧长的l=c塔r。西塔是xr是一，所以说这条诶圆弧线就是s。然后接下来过程当中，

我们再看另外一条线，另外一条线就是这个人。那这个是谁呢？那这个人就是tangent，所以说在零到二分之派的时候，这个tangent比s大。比s in大好，注意下这个问题。那么，这件事情的话，一定要把它想清楚，就说什么情况呢？就说我们在这个零到二分之派的时候，这个摊正题。比s大，

比s in大。但是这里面当中啊，我不喜欢你记这个图。如果你是一名考研的同学，我建议同学们不要背这个人，你应该背住这幅图。接下来，这幅图啊，将来在定级分当中还会重点考察。哎，所以说同学们注意啊，不要进行去背什么泰勒公式走那个东西，我还有别的用途呢。对吧，我还有别的用途。

什么叫带进去也行啊？好，别乱来，那么接下来过程当中，我们再来看，那还有一件事情，那么在这种当中，还有一个不等式的话，你发现这个不等式，我们还能进行。比如说你看这是x这条线。然后你自己可以进行去求一下。这个摊正题啊。参正体，它在这个零处的切线方程刚好就是x。

它在这个点处的导函数是一。cosine呢？cosine在这个点处的导函数也是一。所以说x这个人呢，是摊正体和这个三音在零处的切线方程。你要稍微注意一下，你记住这幅图，后面我有重点的用途啊，我跟大家强调了这个事情，后面过程当中啊，一定会有重点的用途，一定要注意这个事儿。而且你发现tangent这个人是接近于他。那有的人说老师为什么后面就不行了呢？后面当然不行了，

后面摊着你跑到这儿来了。当然不行。但是注意一个问题。如果你发现一个事情，前面有这个特征x和s in之间呢，就拦不住了。你发现这个问题，我们再来画。那么刚才我们说了这个事情，这是y这是零，然后这是x。哎，这个x这个人呐，是这个s in在这个点处的切线，你发现看你这一段比我高，

接下来就拦不住了，接下来过程当中，你看走你。你是不是就一直比我大，所以说x大于零的时候x都会比这个s in大？好注意这个问题，我再强调一遍，不要在那给我太多公式了，我说过一个事情，我后面有重点的用途，咋就不听话呢？哦，这个这个一直不听话，一会儿过程当中我再给你讲啊，你不要着急，

这个事情好了，那么接下来我们就继续，我们再来看下面的事情，你看。这半边是这样。然后你发现一个事情，这半边是什么情况呢？来同学们再走，你发现了这个图形，如果延长的话，你看。小于零的时候，这个人被逆袭了。所以说小于零的时候啊，这个s in就比这个s大。

它就被逆袭了，因此在这里面当中，你要注意这个问题，他这个人情况下，如果小于0s，就比s in进行去逆袭了。我来说一个事情，你什么都懂了。如果有些同学的话，老是说这个这个太我也知道那个东西能背，我让你掌握的更多一点，你将来过程当中，你看这种题你就会做了。你看这是x吧。然后这是三音吧。

那么，如果你是二战同学的话，你肯定特别能理解我，接下来要说什么？然后这个s in在一处是不是等于一？那么同学们，你把这条线连起来。连起来之后的这条线的方程是多少y等于多少派，这个是多少派分之2s？那么，因此在这种当中x大于零，小于二分之派的时候，不光有这个，还有x比上这个三大于多少派分之2s？黄金重点内容。

那么，去年同学们的话，你发现考研真题当中，我们没有涉及，但是数一数二数三同学是涉及过这个内容。而在二零二一年的考研真题当中，我们也涉及过这个问题。所以你要注意这个事情，不要在那里面当众啊，有的时候让你记的东西，你好好记下来。是吧，不要不要在这里面当中说的这个问题啊，听话对吧？那么，

接下来我们就来看看这个问题来走吧，好，接下来再来说。请问同学们，这个人的极限是不是倒数？这个人的极限是不是倒数结构出来了？再看零，请问同学们注意这个人是不是零？如果这个h趋向零正。h比sinh大，它就是零帧。如果h趋向零负小于0h比sinh小，这就是零负。所以说这个人的极限就叫导数，请注意啊，

是这个人的极限叫导数。那这个人的极限存在导数存不存在？当然，存在这一坨的极限，存在导数就存在，为什么呢？因为这一坨的极限。他就是临出的岛数。只有给这个人自己加上帽子，他才叫倒数，所以接下来过程当中，我们来看看c选项为什么出错，你好好听啊。这重点内容。那么，

这里面当中，如果我把这个部分框到这。注意一下这个问题，我再说一遍，请问一的极限存在叫不叫导数存在？这个极限存在叫不叫导数存在？当然有，但是这个题告诉的是什么呢？它告诉的是俩人相乘时存在。对吧，两个人相乘时存在。而且你会清晰的会发现一个事情，后面这个人的极限结果是几？后面这人极限，结果上面等价无穷，

六分之一h三次方这人极限结果是零。也就说一个事情，这个题说的是什么？俩人相乘是存在。那能不能说这个一这个部分极限是存在？能不能那你想一个问题呗，现在告诉的是什么呢？现在告诉的是一这个人。乘上了一个东西，它是存在。而这个部分是趋向零，你能不能说明一的极限存在？当然不行，举个例子，凌晨无穷大还能存在呢。

零乘无穷大是不是能存在？比如说我举个例子，当x如果趋向零，这是x乘上x分之一，你看存在吗？这一人的极限是零×1个东西是存在，但是你发现这个人是无穷大不存在。所以在这里面当中的问题点就来了。一个零乘上一个东西存在。你可不能说明这个人存在这个东西，有没有可能是存在的，有可能有没有可能是不存在的，也有可能。所以说在这个题目当中的这个事情就是这样，就说。

c选项告诉了我们俩人相乘式存在，我根本推不出来一的极限式存在。而一的极限就是导数，我无法得知该点导函数值是否存在，所以说这条方向性退不了。我不知道你听懂了没有，我这个事情啊，我觉得讲了已经没什么可讲的了。什么意思呢？一它的极限叫导数。对吧，极限叫导数，而这个题告诉的是一个部分是零一个部分，乘上一个东西存在，你能不能说明这个部分存在你不能说？

你不能说明它存在，而它的极限就是导数，你无法得知导数是存在。所以说这件事情根本推不出来。但是我想问你个事情，能不能回来呀？能回来吗？能回来，为什么能回来呢？如果该点是可导的。你可导就说明该点导数是存在。而一的极限就叫导数。一的极限叫导数，你导数存在说明一的极限存在存在乘上零存在乘存在是存在没有问题，可以回来。

好，这个事情我就立即讲完了。所以说这个c选项你下去过程当中好好想想，对吧？呃，这个问题点其实是一道非常经典的问题，你下去过程当中一定注意，不是充分非必要，是必要非充分。你要注意，这是条件。那是结论。推不过去，不充分能够回来是必要，所以说是必要非充分条件啊。

好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来我们就继续啊，你们现在状态怎么样？我觉得刚才讲的那些东西啊，都没有最后一波啊，讲的东西重要。所以说接下来过程当中啊，你好好进行去听下面部分内容，接下来的内容黄金重点。我觉得今天过程当中上课最重要的一波内容，就在今天最后一个提到。好好听啊，认真听。那么，

接下来我们来看看d选项。那么，在d选项当中啊，他给了这个事情，他说这个极限存在，能不能推导数存在呢？有些同学就这样，他说在这里面当中，这是limit h趋向零，那当然可以啊，这不是rf 2 h-fh吗？然后比上这个2 h-h嘛。那当然可以啊，然后他在这里面当中，他就说了这个事情，

他说那在这里面当中，你发现当limit多少h趋向零。上面不就是德尔塔y吗？然后下面不是德尔塔s吗？然后这里面当中德尔塔s不是趋向零吗？他就说这个导数存在这个极限存在，不就说这不就是零处导数吗？那不就是零处导数存在那可以啊。那d选项就是导数啊。所以说就做完了，你不要小看这个事情，很多同学大学过程当中都是这样学的。包括高中都是这样做题的。很多同学都是这样，那我想问你个事情，

这种东西的做法对不对？当然不对。你想想一个事情，我刚才就讲过这个问题。如果是零处的导函数。应该是一个动点，再减去零处的函数值吧。你还记得吗？就说如果你考察的是零处的导函数，应该是一个动点，然后再减去这个定点。而你现在而言是什么情况？你是用2 h-h。那同学们想想你研究的是谁出的增量，你研究的是h数增量吧？

所以说这人是谁说的，倒还说。谁说的都不是。你不要说是h处导函数啊，这也不是。导数定义当中有两个事情，一个是动点，一个是定点移动，一定用动点逼近于定点。而你发现一个事情，你现在这个人什么这是动点吧，因为h要趋向零在动，这人呢？也是动是双动点的问题。那双动点的话，

这人就不行啊，这就不是倒数第一，不要瞎来啊。能跟上吗？所以说在这里面当中，第一个人是动点。第二页是动点，这就不是倒数第一。它不是零初导数定义，所以说在这里面当中，这个题到底应该怎么进行处理呢？如果将来碰到双动点。俩动点俩动点怎么办？第一个洞。第二栋那就非常简单，

移动减一进移动减一进凑两个倒数零。那就凑两个呗，所以接下来过程当中，我们再来看看d选项。那么d选项的话，就是h趋向零。所以第一个事情呃，这两个东西啊，你都进行去凑推广定义就行好吧哎，都凑推广定义那定义是多少零+2h是？是不是要减f0？好了，这个时候你发现这就是移动。减一定。没问题，

然后接下来过程当中，你除下去，你除下去h，然后再减去你后面这个人也可以写成零，加上h再减去f0。b上h好了，我除下去了。对吧，我就除下去了，因为这个题的f0是零，我想问你个事情，现在平衡了没？平不平衡啊，同学们？你告诉我现在平衡不平衡。

平衡了吧，这人处一下，这人处一下嘛，当然平衡好了，那么接下来我们去凑结构。啊，平衡啊。我说的是平不平衡？不是说导数定义凑没凑清楚？平衡的上面跟下面是恒等面积，因为我只是除下去，我啥事都没干，然后接下来过程当中，我们再来看。你看这个人要加上2h。

你加上2h的话，你发现这个框是2h，你是不是要补个二，然后这块来个二？然后第二人的话的增量是h，下面是h，没有问题，那么接下来我们就来看看这里面当中的问题点。请同学们告诉我d选项存在。说的是不是俩人相减时存在啊？对吧d选项存在说的就是两项相减时存在，也就说这一项。减去这一项的极限存在，你注意了这个问题啊，你减我的极限存在，

那我想问你个第一个事情。请同学们告诉我，如果说第一个极限存在叫不叫导数存在？叫不叫它的极限存在？叫不叫导数存在？啊，叫不叫？我说单独的给他加帽子。你一个人加帽子，你非常自私，你一个人加帽子，平均变化率加帽子，顺时变化率叫不叫2a是当然趋向零啊。所以说这个人的极限。较零处的导函数。

注意啊，不是说你叫零初导函数是你的极限，叫零初导函数只有给你一个人进行单独加冕。加上帽子，你才能叫导函数，那么接下来我们再来看看第20题，那请问同学们这个人的极限叫不叫导数？你不叫导数，你加上极限才叫导数，你一个人加上极限才叫导数，它是不是叫导数？所以说同学们要知知道一个事情。第一个人的极限叫老鼠。第二任的极限教导书，所以说接下来过程当中的问题点就出来了。

你看你的极限就叫导数，你的极限叫导数。但是现在的问题点是两人相减的极限是存在的。你减去我的极限，存在我俩相减的极限，存在我们之前都讲过两人相减极限，存在我们都知道。存在减存在可以存在，不存在减不存在也能存在。所以说这个时候的话，你就会发现一和二它的极限有可能是存在的。也有可能是不存在的，那也就代表着导数，有可能是存在的导数，也有可能是不存在的。

所以说这个d选项能不能推过去？不行的。精彩吧，这是今天最重要的一个题。啊，这是今天最重要的题，双动点。双动点存在，能不能推出该点处可导，绝对不行。因为你发现你的极限叫导数，你的极限叫导数。两个相减的极限存在，可不能说明各自都存在。所以说这件事情绝对不行。

你要注意啊，我这个题我讲的应该是讲的慢了，你在这里面当中啊，一定是听懂了，但是这里面当中啊，我再来看。有同学又来了，他说老师不对吧？老师，我觉得不对呀。老师，你想一个事情，你看第一个人不就是二倍的f导力吗？第二人不就是f道理吗？所以说这个结果不就是两人一减，

不就f导零不就存在吗？那为啥不对啊？他不应该是这样吗？大家注意一个事情，请告诉我犯了什么问题？放的什么问题？这个东西犯的问题点非常清楚。就是你发现你只有给第一个人单独加个帽子，给第二个人单独加个帽子才能写成倒数。你是不是把这个帽子送给了每个人？把这个帽子送给了一，也送给了二，你就在这里面当中进行怎么拆开了呀？而我们刚才说了，两人有可能都存在，

俩人有可能都不存在，所以说这件事情能拆开吗？你根本就不能拆开。根本不能拆开，所以说这件事情问题的犯的点就是在哪，你把这东西拆开了。你这人拆开了之后，你才写成这样，但是这个题啊，它不能拆开。这是一个重点问题，你能听懂吧？所以说这件事情将来过程当中啊，千万不要犯问题。对吧，

一定不要犯问题，这是个非常经典的。好，那么接下来我再来问你。能回来吗？能不能回来呀？如果这个题告诉的是这个人在这个点处可导。它在这个点处可导。也就说明导数定义的极限是存在的。咳。啊，稍等哈。哎呀，实在不好意思啊，这个。

嗯，实在太难受了啊。来，我们继续吧。那么，接下来我们再来看能不能回来呢？回来这个事情可以，为什么呢？因为你看他在这个点处是可导。对吧，它在这点处可导，也就说导数是存在导数存在就说明一的极限是存在就说明二的极限是存在。那就说明你看第一个极限是存在第二个极限，也是存在存在减存在，当然存在。

所以说可以回来。那所以说同学们告诉我，你说d选项是这个结果的什么条件？d选项是条件吧，不能过去不充分，但能回来是必要，所以说d选项应该是个必要非充分条件。所以说这里面当中啊，最精彩的就是这个d选项。呃，我们今天这个部分的内容当中啊，你看这个题多精彩。就简直就把这么多年这里面当中啊，所有能设计的这个坑啊，它全考察到了，

这就是一个精彩的题。你看多经典啊，你下次过程当中啊，好好进行完成一下。行吧，同学们好了，这是这个d选项，有些同学可能好像听懂了，但是好像又感觉稍微的会差一点，你再听一个题。你把最后一个题听明白了，我觉得这个事情就过关了，就结束了，好，我们再来看看最后一个事情。

那么，接下来过程当中，我们再来看看这个题，你再听一道，不要着急，把这个题听完，所有东西都结束好再来看。那么这个题给的a处的导函数已知导数求极限，已知极限求导数肯定考导数定义啊。考导数定义的话，你发现h在动，这是个动点。h在动，这是个动点，双动点的问题，

双动点的问题的话，同学们注意，我们就怎么办？凑两个定义。所以说这件事情的话就变成了h趋向零，然后这个时候的话，你看我啥都不干，我就除下去。除下去，然后在这种当中，我啥都不干，我就除下去，除下去就是a+- 2h。好，我们就除下去，

除下去变成这样。但是接下来过程当中，我们得去凑定义，那凑定义怎么办？你减个fa，但是同学们咋敢减啊？这不敢剪的。我刚才咋敢减，因为刚才它是零嘛零的话，你随便减都行，但是现在不是零啊，但没有关系。你减一个，再加一个呗。平衡不你前面减一个，

后面减一个，两人都减一个的话不就没了吗？所以说现在是平衡的。唉，注意哦，现在完全平衡。就在这里面当中减个fa，然后在这里面当中减个fa，往下咔的一除平衡的。然后接下来我们去凑结构一凑结构就要进行补3h，这是三倍的。第二呢a加上的是负2h，增量是负2h，那就变成加二倍的。好了，

这个结果就做成这样了。那么，接下来我们再来看看第一个事情，同学们好好分析啊，你就给我看看这个部分。就只看第一个部分，我说的意思就是说你可以给这个人单独加帽子。给这一个人加帽子，我想问你个事，这叫不叫倒数？如果这个人我只看他的极限，我只看第一个人极限，第一人极限的话，你发现这人趋向零，他当然叫做a处的导函数。

而你发现a处的导函数存不存在？存在这是这个题当中最重要的点睛之笔。人家告诉你是存在。如果告诉你存在，就说明这个极限就存在。对吧，导数存在一的极限就是导数，然后再来看第二事情，请问同学们这个人单独加极限叫不叫导数？你不要看前面。给你送个极限符号结构出来，再看零二h就趋向零，它也叫导数。一的极限叫导数，二的极限也叫导数，

而且导数是存在的，也就说明一存在二也存在。那同学们想都存在就可以，怎么办？就可以拆了。所以说这个时候的话，你发现我们就可以拆了来给第一个人进行加冕，他就是a说导函数。给第二人进行单独加帽子，就是a初导函数，所以说这题的结果等于五倍的a初导函数结束。同学们，你学懂了没？这就是在这里面当中啊，我觉得第二章当中啊，

比较难的一个点。哎，就这个问题。而且我们的考研真题啊，是没有考到这个水平点的，就是没有考到过二点九这个题的难度水平点的。所以如果在经验过程当中，我觉得还是很有几率啊。好了，那么这个题啊，我们就说到这能想清楚吗？所以下去过程当中一定要好好进行，想想它是两个方向啊。对吧，两个方向，

因为你的极限是导数，你导数存在你的极限是导数，导数存在。都存在咔的就可以拆开了，拆开了之后你的极限是导数，你的极限是导数好，这个题啊，就结束了。所以说这个题啊，我觉得应该是没有什么可讲的。呃，这个部分的类型问题地点，你下去过程当中啊，好好进行消化啊。呃，

实在不好意思，这个今天啊，我可能这个啊，确确实有点儿有点儿难受，然后耽搁了一会儿啊，这个影响了，可能有些影响了，有些同学的这个听课状态。啊，稍微不好意思啊，这个下去过程当中好好整理，那行吧，那么这个部分内容我们就说到这。我再强调一遍，你就两个事情，

第一个事情你要不然就是计算性定义。你要不然就是推广型题，你就这两个事情，如果那个括号里面是x，你就凑计算型题。如果它不是s，你就推促推广定义就行。好了，这是这个事。呃，我来说一下这个问题吧，来接下来继续吧。呃，我说我把这个东西补一下吧。你听好了。

你要知道谁是条件。谁是结论？听懂吧哎，谁是条件谁是结论哦，对你还学逻辑呢？对吧，你还学逻辑呢，谁是条件谁是结论。那么，在这里面当中，我们要注意一个事情。从条件推结论，如果a推b。a就叫b的充分性。a就叫做AA，

就叫做b的充分条件a叫b啊。如果你发现一个事情。a不能推，但是又b能推。由结论能推条件。这时候的这个条件就叫结论的什么必要条件。啊，所以说大家注意一个事情，把这个方向想想清楚就说，如果都是从条件推结论，如果a能推BA就叫做b的充分条件。如果a不能退b，但是b能退a呢？它就叫做必要条件，应该叫必要非充分。

能听清楚吧，所以说接下来过程当中啊，你把这个事情，比如说我们举个例子来，一起来看。jdm当中，你随便进行举个例子。你比如说你想看谁，比如说我们就看d吧。谁是条件？人家说这个人在这个点处的可导导。充要条件为那这是条件。对吧，这是条件，你推不过去就不充分。

但是能够回来是必要，所以说就叫必要非充分条件好了，这个事情我就说到这。嗯，这个事儿应该在你们逻辑里面不算啥，这个应该是个非常简单的逻辑啊，你下去过程当中好好看看。对吧，谁是条件谁是结论，这是你要注意的。那行吧，那么今天部分内容我们就讲到这呃，我现在就进行去倒笔记吧啊，这个。我发现今年过程当中，

大家对这个笔记的这个要求比较高一点，也是什么呢？啊，也就说尽快的想进行去整理啊，然后的话，这个我就把这个部分一块进行去导吧，因为这两天可能课多一点啊，然后都堆到一块了。呃，我来布置一下这个作业吧。来一起来看好做一下作业哦。今天这个作业啊啊，可能会稍微的会有有有作业啊。然后你我用红色笔勾一下。然后这个题目的话，

叫我看看啊，叫我看一下。96题。97题。99题。呃，99题你先做。然后下节课过程当中啊，我再给你教一种快速方法。啊，就这个题的话，你就先按照我们这节课的东西做，听懂吧？一看h趋向零动点。一看h趋向零动点双动点的问题，

双动点问题就变成移动减一定，移动减一定，那就拆成两个人呗。对吧，立即拆成两个，然后进行去看看，而且这个题告诉的是导数存在的，然后这个100题。呃，94题没做的话，你就做呗，来94题。然后接下来过程当中，你把它做完吧。这个题啊。

这一题你去好好想想啊，这个题我下节课可以讲一下，我觉得同学们注意啊，你要这节课听的好，这题非常简单。然后102题，我下节课必讲，好好思考。一定要注意这个问题啊，都做了都做了，然后100算了，我不点了啊，我不点了，你自己去想吧，你要注意一个事情。

你在做极限的时候，谁是变量？谁是定值这件事情，你要想清楚。好了，那么下去过程当中啊，你好好进行完成一下，然后这个今年过程当中这个题目啊，有些部分的难度系数是稍微会有一点的。那我觉得这个在平时过程当中训练嘛，因为这个考这个800题啊。我们的重点的使用时间应该是从我们这个三月份呐到八月份的时间。那八月份之后的话，我们就进行这个冲刺了，然后大家都在进行去做这个模考卷了，

所以我相信过程当中啊，这个问题点呃，前期过程当中这个。稍微的话，把这个东西的操作性练得好一点，你后面过程当中压力也会小一些，那行吧，那么今天课程我们就讲到这，自己下去过程当中好好处理一下吧。行吧，同学们好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿下去，过程当中好好整理笔记啊，好吧，

同学们好，后天见吧啊。

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09.导数计算-2

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