09.导数计算-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:38:00

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天晚上我们就继续开始，我们三九六精综数学的这个基础班部分内容，那么在上次课程当中啊，我们其实核心重点讲了三个事情。那么，接下来我们把这个部分的内容啊，

我们先做一个串联。作业都做完了吧？呃，上次作业啊，可能会稍微的会多一点点，你下去过程当中啊，好好进行去完成一下，然后下节课过程当中啊，我们针对于大家有问题的点，我们再来给把这个作业啊呃的部分的东西啊，我们再来讲讲。好了，那么接下来我们先来回顾一下，在上节课过程当中啊，所讲解的几个事情，

第一事情连续的问题，那么同学们告诉我，如果将来过程当中只要见到连续立即想到什么事情。如果见到连续立即进行影响极限，就等于函数值，所以说就是趋向于这个点处的极限，立即等于这个点处的函数值情况。那么，在这里面当中啊，其实有几个隐含的信息点。如果这个函数在这个点处是连续的，该点处的函数值是存在的，而且在去心领域范围内的函数值也存在。所以说，在邻域范围内的函数值都存在，

同学们能理解我的意思吗？所以说这件事情我觉得还是需要进行去重点说一下这个事儿，因为你发现我们的考题特点。他就喜欢这样出。就说如果在这个点处连续它在这个点处呢，一定有定义。百分之百有定义，所以说如果这个函数在这个点处连续就能推出，在这个点处有定义，但是如果在这个点处有定义，能推出在这个点处连续吗？那不行。然后另外一个事情，因为这个极限是存在，所以说能保证在这个趋向于这个点的过程当中也存在。

所以说综合起来的话，你发现不就是淋浴当中都存在吗？好，这是第一事情，那如果这里面当中你发现需要分左右呢？需要分左右也非常简单，那其实就是右极限，然后你发现是左极限，它们都存在，且相等都等于这个点处的函数值。所以说这就是我们在这里面当中啊，连续性的判定性方法啊，也就说我们将来过程当中，只要见到说这个函数，在这个点连续立即给我反应。

极限等于函数值。只有连续的时候，极限等函数值，如果你发现一个事情，它不连续呢？连续啊，这个不连续极限未必等函数值。好，这个内容点非常非常关键，好了，那么接下来我们再来看看间断点，你像这个间断点，我们经常喜欢出一个两分题。对吧，我们喜欢出一道题，

那么在这个间断点当中啊，核心重点其实就有分类间断点的形式，分成第一类间断点和第二类间断点，那么首先我们先来看看第一类间断点当中的可去间断点。就是这个点处的极限存在，但是不等于这个点函数值，然后是跳跃性的点左右极限都存在，但不相等。然后是无穷间断点，单侧极限，结果是无穷大就行，单侧极限，结果只要你是不唯一，你就是个震荡间断点。所以在这里面当中啊，

我觉得这个间断点的分类情况也是非常重要的，那么接下来我们再来看看下面事情倒数第一。那么，上节课过程当中啊，讲到黄金重点内容就是这个导数定义，那么接下来把这个导数定义啊，我们先做一个重点的串联。那么，首先第一件事情我们讲了这个导数定义的，这个引入对吧？我讲了两个例子，第一事情它代表了这个点处的瞬时变化率。如果从这个点处有个因变量，增量比上它的自变量增量，这叫平均变化率，

如果这里面当中的德尔塔s趋向零，就表示了这个点处的顺时变化率。就叫做这个点出导函数，你看这个点是可以的，如果从这个点进行去引入，然后有个德尔塔y比上德尔塔x。这个东西啊，应该表示的是割线斜率，如果割线斜率的话，你发现德尔塔s趋向零的时候，割线斜率就非常的逼近于切线斜率，那就是该点。的导函数，所以你看两种引入方法都是非常重要。所以将来过程当中，

我们就看到这个事情的时候，你就自然想到这个点处的导函数是什么意思呢？就是这个点处的瞬时变化率。然后另外一个事情，它具有什么几何意义呢？就是该点处的切线斜率，能理解我的意思吗？好了，那么接下来我们一起来写计算性定义，黄金重点内容。好，我们一起来写。那这是y，然后这个这个点是x，然后的话，

你发现我们来了条线哎，画条线，然后从这个点开始出发。这一点出发了之后的话，你发现跑到另外一个点，注意啊，导数定义讲究一定移动或者叫一定移动。什么叫做一定移动呢？这个点是定点。我们通常意义上研究的是定点处的导函数，哎，这是个定点，然后这个点是个动点，用动点逼近定点。哎，

它是这样的一个情况，所以说接下来过程当中，我们来看看这个事导数定义怎么写，那其实就是s处函数值再减去fs零处函数值。比上s减去s零，其实你发现这就是这条割线斜率。割线斜率之后的话，你发现用这个动点逼近于这个定点，动点逼近于这个定点，其实就是s趋向s零。那这个时候你发现它就是这个点处的导函数。所以你会发现一个事儿，导数是用什么定义的？导数就是用极限定义的。这个极限是存在这个点，

导数是存在这个节极限，不存在这个点导函数就不存在，所以同学们注意啊，我们就是用极限来定义了这个点处的导函数。好，这个事情非常关键，好了，那么接下来我们再来看看第三个点，连续和可导之间的一个关系性问题。这个内容下去过程当中有没有串一下？就这个内容。我上节课写了一堆，有没有下去串一下？到了今天过程当中，这些事情是不是应该是捋清楚了这个事儿？

不要下去，过程当中还犯问题了。那么，在这里面当中，我们来看看这个事情说法有两种，对吧？说法有两种，比如说举个例子，他说这个fx在什么x零处可导？对吧，这种说法。这种说法就是谁可导谁连续，所以说这件事情我就能推出fx怎么办？然后在x零处是连续的。所以难度系数也不大，

慢慢来就行了啊，这个事情当然在这种当中还有一种说法就是在这个点处的什么导函数是存在的。如果用这种存在性的说法，这一节存在上一节连续。对吧，这一阶存在上阶连续，如果我们说二阶导数存在呢，一阶导数连续fs连续。所以它不能推出二阶导数连续的，所以大家注意这两种说法，哎，这两种说法非常的关键好了，那么接下来我们继续，我们再来看看下面事情。上节课是不是还讲过抽象函数的极限问题啊？

如果在一个极限当中。你发现这里面当中啊，有一个谁呢？有一个抽象函数。那抽象函数的极限，首先第一件事情，我可以想到洛必达法则。对吧，可以想到洛必达法则落到哪些呢？落到连续那些，所以你做题非常非常简单。你先眼睛去瞅哪阶是连续的，如果这个人他说到哪阶连续我就能落到哪阶，等你落不动的时候怎么办？再来凑倒数第一。

你就把这个事情记死，这件事情在我们考研过程当中啊，一定会出题的。对吧，百分之百会出题的，你先去看看诶，这一节过程当中哪些是连续啊？哪些连续就落到哪落不动的时候，就凑倒数第一。所以我们在上节课过程当中啊，讲那几个题啊，还是非常非常经典的，你下去过程当中有没有再做一下？呃，我讲了一下，

这个去年过程当中，二零二三年的考研真题，我们又讲了两道真题，那两道真题啊，可能第二道真题的难度系数会大一点。所以下去过程当中好好去想想好了，那么接下来我们还是来再来出两个题，稍微进行看看好，那么接下来我们继续啊。好，来看看第一。呃，比如说在这里面当中啊，我们说一个事情。说已知这个fs怎么办？

它在这个x等于五处是连续的。好在这个点处连续，而且你发现一个事情，我们接下来再来看，而且这里面当中啊，又告诉这个事情s趋向五。然后这是fs比上x减五这个东西啊，它等于比说等于五。那么，接下来告诉我个事情。某点连续。某点邻域内连续就能代表该点连续吗？那当然。啊，当然注意啊，

领域是什么意思啊？领域是包括这个点及其复习，你要注意，有的时候它不包括它就会说什么，它就会说去新领域。哎，去新领域。如果说的是邻域内连续就是这一段上都连续。如果说的是去新领域内连续，就说不包括这个点，所以说这件事情你稍微进行看看题就行呃，我觉得你既然说到这件事，我把这个事情啊，我多说两嘴。大家注意啊，

一个点连续可推不出来，邻域内连续一个点处可导可推不出来，邻域内可导。呃，这件事情啊，如果大家有兴趣，你可以去看看这个函数，当然的话，你没有兴趣也没关系，我强化班都会讲，你可以去看看这个函数。这个函数叫狄利克雷函数，如果s属于有理数。它是一如果s属于无理数。大家注意，

它是零就这个函数啊，它能进行去判断出来，在零处是连续，但是零的附近不连续。好，所以说同学们注意啊，这些信息点一定要想清楚，不要凭自己的感官认识去理解我再说一遍。这个点连续推不出来，邻域那边去。这个点处可导推不出来，淋浴内可导，这是一些很多同学经常容易犯问题的点。好了，那么接下来我们再来看则这个题啊，

让我们进行去求出这个五处的导函数等于多少？呃，像这种题啊，那么接下来我们来看看这个事，你发现这就是一个抽象函数的极限吧？对吧，抽象函数极限已知极限，求导数已知导数求极限，当然考察导数定义啊，但是这里面当中我想讲一个事情。请问同学们，这个人能不能使用洛必达法则来做？绝对不能使用诺贝达法则来做，因为这个人的话，你发现他告诉的是哪阶连续啊fs连续？

那fs连续只能落到fs。你一落的话就会出现一阶倒数，它是不行的，所以说这个题啊，只能凑倒数零。但是凑导数定义，我们来看看这个事，我是不是要先进行求出五处函数值啊，所以这里面当中有第一件事情记准了。定型求该点哎，求该点的话，求定型下面的极限是零，但上面的极限就是零。屈向武这个人的极限实力。而又告诉我们什么事情呢？

又告诉这个函数在这个点处连续，所以说我们接下来再来看就是趋向于这个点处的极限。就等于这个点处的函数值，两者一拼哎，你发现一个事情，五处函数值就是零。那么，既然五处函数值是零，那么接下来我们就可以写导数定义了，来吧，凑一下导数定义，那就是limits趋向五。然后这是fs减去f五，然后再比上s减五，那这个时候的话，

你发现当x趋向五。然后这个结果是fsf五是零嘛，比上这个结果，那因此你发现这个结果等于几就等于五，所以本题结束了。呃，不要小看这种题，这种题在我们考研过程当中啊，非常非常喜欢考，那么在这里面当中啊，我觉得还是把这个上节课过程当中啊，一道作业题啊，我们再来讲讲。然后这个有个同学估计问了我这个题。啊，

问了我这个题，我只不过看到了，但是我就想着说这个今天晚上过程当中啊，上课的时候我们再来说一下。好，来看看这个题。呃，这里面当中啊，我们多看几道吧，对吧？把这个事情我们想清楚，你比如说举个例子。我们来看看这个人。看一下这个题。这个题他说什么事情，

他说在这个点处是连续的，然后告诉这个极限，请问同学们告诉我该点值怎么求？定型求出该点吧。下面的极限是零，上面极限就是零，那上面极限因为连续极限等于函数值减六等于零，所以说f零就等于零。然后接下来你发现f零等于六把这个换成f零就可以促导数定义了。但是这里面当中，我想重点说一个事情，请问这个题能不能使用洛必达法则？能不能绝对不能因为我们都知道落到哪一节呢？落到连续那一节，它只告诉了fx连续你不能落到。

哎，绝对不行的，所以说这件事情要稍微小心一点，那同理而言，下面这些题啊，也都是这样情况，你自己下去过程当中啊，你再来操作一下。呃，我来说一下这个题吧。这个题的话，你发现其实我们在这个。零基础提前学是不是讲过这个题啊？就这个题啊，我给忘了。

呃，那么接下来我们来看看这个题啊，就这个题目的操作，你要注意啊，今年过程当中这个八百题啊，你好好去抓。对吧，你好好去耍，那么这两天过程当中，我前段时间我碰到一个。呃，我看到了一个小红书上的一个。一个帖子吧啊，一个同学说问了一个这个事情，说什么问题呢，

说这个二零二三的这个学长学姐们。这本书到底有没有必要进行去刷？我当时一看的话，不就是我们的八百题嘛，然后下面过程当中啊，你发现不是风就是雨的。你会发现一个事儿，他都没有看到这一页，他拍的就是这一页，大家注意这一页上面就有二零二三年的考研真题啊。这上面就有二零二三年考研真题，你就会发现这些同学多么的无知。对吧，你就会发现他就根本不了解这个考研的一个情况，到底是一个什么样情况？

这上面就是二零二三年的考研真题啊。他觉得说啊，这个题太简单，它不符合，现在你发现这上面有好几道，就是去年的考研真题，你说去年难，我上面过程当中就放了去年的考研真题。无语啊，行吧，那么接下来我们就继续，我们再来看看，哎，这个九十三题这个题来一起来看看吧，来解。

那么这个题的话，我们接下来看看这个事，他说了一个事情，他说这个函数在x等于零处啊，是可导的。好，我们一起来看看这个事情。他说这个人在x等于零处是可导，请同学们告诉我用可导的这种话来说。那可导的这种话来说的话，你发现他可导就能推出什么情况，他连续他这个人在这个点处啊。就是连续的。谁可导谁连续嘛，所以说它只能进行去推出fs值连续，

但是你发现一个事情能推出导函数连续吗？绝对不能推出导函数连续，因为它只能推出谁，它只能推出x等于零处连续，这是你要注意再注意的。能理解吧，绝对不能推出导函数连续。所以这件事情两种说法，一种说法是用存在的这种说法来说，存在的话，这一节存在上一节连续。如果用可导的这句说法，就是谁可导谁点去，所以同学们能理解吧，哎，

我觉得这个内容你串上一遍两遍早都过去了，不难啊。然后说f零等于零f导零等于b，然后说什么情况，这个函数在零处是连续的。那既然是连续的话，极限不就等于函数值吗？所以在这里面当中，当x趋向零，然后这个人的极限，这个人的极限是多少？当x趋向零的极限，其实就是我们进行求出这个人的极限。对吧，求这个极限，

然后等于函数值呢，函数值就是a。所以说这个a等于多少呢？a就等于这个极限，那么就像我们求这个极限就行，那这个极限的话，你发现非常的简单。首先第一件事情立即把它拆开，有这个眼力吧，我相信你的水平点绝对是够的，眼睛一瞅就能拆开。不要在那里面当中啊，半天所以说这件事情就变成了is分之fs，然后再加上a倍的limits趋向零。sin BS因为加减法当中啊，

只要见到存在就拆开。好了，这个事情这个极限是一嘛。那么，接下来我们再来看看第一个人。那第一个人极限等于怎么做呢？那么首先我们先看第一个问题，你看下面的极限，结果是零吧？上面这个函数是连续连续极限等于函数值连到函数值就是零。所以说这个题就是个零比零型未定式，但是同学们想想你敢进行洛必达吗？你敢不敢绝对不能落必达，因为我们刚才说了，只能落到连续那一节，

它这个题只告诉了fs连续。没有告诉导函数连续。所以说这个题的话，你发现你一落就出现了导函数了，因此这个题啊，只能进行去凑导数定义听得懂吧？哎，我在那个答案当中啊，我还写了一个下这个东西啊，很多同学容易出错。所以同学们注意啊，这个f零是零，你再来补一下就行，然后这个部分s减零，再加上a倍的这个极限呢，

这个极限就是一。那因此你发现这就是零处的导函数，然后再加上a零处导函数等于几等于b，这就是b加a。因此，这个结果出来了，答案选a。好了，这个题啊，我们就讲到这呃，因此一定要把我们这个经验性结论记住，对吧？抽象函数极限能落到哪呢？落到连续那节。哎，

落到连续那节哪节连续落到哪节就行好，这是我们在这里面当中啊，讲解的这个事情能听得明白吗？好注意了呃，但是我们讲的这个经验你肯定会碰到有一两个反例。哎，有一两个返利，但是我上课过程当中，我先把这话说了。有些人说诶，哪些连续落到哪些，但是你总会碰到有一个或者两个题。它不是这个情况，落到连续那节它出不来，哎，

注意啊，但是那个题啊，考的深度就很高了，它基本上我们三九六同学很难考到那个深度。你就好好记住这个事情就行，然后到了强化班呢，我会给你进行去把那个题说一下啊，虽然说一下，但是它也不影响我们的体系。能理解吧，好这个事我就说到这，你就记死就行，你只要在考研过程当中啊，见到抽象函数极限，你就记死。

哪些连续落到哪些？你就记死这个点，所以将来过程当中，你就按照这种思维信息去做啊，去做就行，好，这个点我们就讲到这。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看今天部分的核心重点内容啊，这是上节课部分的黄金重点。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看今天的重点内容。呃，

你你不用着急这个事情啊，你不用着急这些问题啊，我都有课程的设计，你可能看的是同济七版教材。连续讲完了之后，后面有一节叫做闭区间连续函数的四个性质。然后后面过程当中啊，有些什么中间有零点定理有界定理最值定理这些，然后到了这个后面过程当中啊，我们还有罗尔定理，拉格朗日，你不要着急。我后面有专门的意见去讲那个事情，你就跟着这个体系走就行了啊，你放心吧，

只有这个部分内容呃，我们该讲到的，我们全部都会讲到。所以说这个部分内容你大可放心这个事情。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看下一个问题。那么，同学们想导数是用什么定义的？导数是用极限定义的，对吧？导数是用极限定义的诶，还有个提示吧。我把那个题讲一下，讲完了再看看这个今天部分的内容啊，

还有一个题二点一。来吧，看一下这个题啊。好，我们来做一下这个题。呃，这个题啊，说实话非常好啊，非常好。那么，首先我们先来看看吧，他说了一个事情，他说小fs这个函数啊，是可导的。可倒闭连续只能推出它连续，

但是推不出来一阶导数连续。然后又告诉我们这样的一个函数，它说什么情况，说如果这个函数。在这个点处是可导的。那则什么？那我想问你个事情，这句话的充要条件是什么呀？如果你在这个点处可导，而你很明显会发现这有绝对值。那么，这有绝对值，绝对值的话，你发现零处刚好是零。那绝对值里面刚好等于零，

相当于分段函数在分段点，那必须要用定义啊，所以说这件事情的充要条件。其实就是零处的导数定义的极限必须存在。要注意这个事情，就是这个定义的极限必须存在。这个极限存在就代表了你在这个点处可导，你在这点处可导就代表了这个极限是存在能理解吧。所以说接下来过程当中，我们就可以操作了，直接来赶紧来上下导数定义，其实你求的就是limits趋向零。然后是多少使大fs再减去大f零比上s减零？哎，我们要求这个极限，

这个极限是存在的，那这个极限是存在的话，我们就把它带进去，当x趋向零的时候，你发现第一个人。那第一人是多少呢？是小fs进行乘上一加上什么sins的绝对值？然后接下来过程当中啊，我们再来减一下这个f零，把这个零减下。把这个零带进去，我再来强调一遍。有些同学觉得说一个事情，老师把零带进去，这是零，

这是一万一，这是无穷大呢。万一这种东西啊，你发现是无穷大怎么办？我再来强调一遍，同学们注意什么情况下才会遇到未定式啊。啊，比如说举个例子，我们在这里面当中写一个函数，它是s倍的fx，然后s大于等于零，我想问你个事情f零等于多少？很多同学都是这样，大学过程当中明显学得更好了。但是还不如原来我们的这个啊，

高中的学习呢。什么时候才会出现位离式？求极限的时候。求极限的时候才会有未定式，也就说你在这里面当中，你发现一个事情，我在求极限。这个极限往零跑，这个极限往无穷大跑。最后形成了一种未定式。只有你在做求极限的这种场景下，才会有未定式。但是同学们，你现在在干嘛？你现在在带纸哎，

带进去不就行了，带进去了之后的话，你发现第一项不就是零吗？所以说这个结果就是零啊。一定要注意这个事情，不要老是在这里面当中啊，学了一个未定式了之后就走火入魔了。要区分开这种场景，你如果在带值，你就带进去就行，是什么就是什么。对吧，如果你在进行求极限的时候，才会出现有未定式的情况，一定要注意这个事啊，

好了，那么接下来我们来看看。你告诉我f零等于多少？等于多少？直接带吧。不要管那么多，就直接带你发现，你看这就是f零，然后后面的结果就是一，所以说这个结果的话就立即再来减去多少f零。然后比上s。那么，接下来过程当中啊，我们来看看这个极限怎么做？这个极限就非常简单，

这是limits趋向零，有没有发现个事情？这是fs吧，然后刚好能减去f零比上s。然后再加上fs要乘上sins的绝对值。是不是做成这样了？好，立即写成这样。写成这样了，之后的话，你发现一个事，这一项的极限存不存在啊？这个人的极限就是导数。这个人的极限是谁的导数？这个极限是它的导数。

你是可导导数是存在导数是存在这个极限就存在，因为这个极限就是导数，所以在这种当中啊，加减法当中只有。只要见到存在就拆开，所以因此这个题啊，就立即变成了这个情况。然后这个题目就变成了limits趋向零，然后是fs，然后是sins的绝对值比上s。好，那么这个题啊，就变成这样，然后前面这个人的话，你就发现刚好就是零处导函数，

然后后面这个人呢，就变成了x趋向零。然后这是小fs，然后是x倍的啊，这个是s in的绝对值。怎么处理啊？那接下来怎么做？刚才过程当中，我们说了，如果它可导的充要条件就是这个极限是存在的。哎，那这个极限的话，你发现要不要分呢？那当然要分呐，也就说这个极限是存在的。

那这个极限的话，你发现绝对值里面往零跑，这个题是不是要分？所以说它的充要条件就是左极限好，我们来看，接下来我们来写一下这个人的左极限和右极限，先写右极限吧。左右极限存在且相等。所以说这个极限存在的充要条件就是这两个东西啊，存在且相等好，这人就变成了这个样子。是吧，因为你发现这个极限需要分极限存在的充要条件就是左极限和右极限存在且相等。好，我们来看看这个极限。

先来抽一下吧。在这里面当中，我们来画一下这个s in的这个人的图形，这人图形是这样，你发现这是y等于sins。然后这是s它的图形是这样。那如果你发现一个事情，它是这样趋向零，它是不这样进行趋向零。这样趋向零的时候，它就是什么？它就是正的。那是真的的话，你就发现绝对值等于本身。好，

再来看下面这个人，如果你是这样进行趋向零，它就这样趋向零，它就是负的哎，它是负的的话，你发现这个人就要等于相反数。前面变成富豪。跟得上吗？所以说这个极限结果就等于f零，然后这个极限存不存在？可导必连续啊，连续极限等于函数值f零后面是一，然后这是f撇零。连续极限等于函数值啊，减去f零。

那因此，这个极限存在的充要条件是什么？左右极限存在且相等。那因此，这个结果的话，立即推f零等于负的f零。那所以说这个结果f零的结果等于几就等于零。所以说这件事情你发现它的这个要求是什么？就是f零等于零。你看这题是不是结束了，所以说这个题目的操作性还是很强的。那么，首先第一个点，你得进行去观察出来，你发现看这个绝对值等于零的点就是我的分段点，

零就是分段点。分段函数在分段点处求导，当然用定义那用定义的话，你发现这个函数在这个点处可导，其实就是导数定义的极限存在。那么就用这个极限呗，用这个定义的话，你发现做到这极限存在的充要条件需要分左右极限存在。且相等是不是就出来了？好了，听明白了给我回复一啊。好听明白了，给我回复一这个题啊呃，我觉得还是一道比较经典的题。无论是操作性啊，

水平点还是都还挺高的。好，这是我们在这里面当中啊，讲解的第一个事情，但是注意啊，一会儿我会给你讲这个题，你像我做这个题啊，我基本上眼睛漂一下都出来了。好了，那么接下来我们再来看这个题啊，我再来讲讲方法二。好，再来看方法二。那这个题你发现一个事情，我还能不能更快一点呢？

能不能更进一步呢？我觉得这件事情可以，你发现一个事儿，这个人可以怎么写？这个人其实等于小fs这个人加上。小fs再乘上s in的绝对值。我们在原来过程当中啊，我们讲过这个事情，我们说无论是在这里面当中啊，你发现学的这个极限还是连续性，就哪三个人呢？第一人是极限。第二是谁呢？第二是连续。第三人是谁呢？

第三人是导数。好，这三个人，这三个人的话，你发现核心是谁？核心就是极限。极限是核心，极限定义了谁呀？极限定义了连续性。连续是有极限定义的。然后你发现这个可导性呢，导数也是由我来定义的。极限还定义了导数，所以说这里面当中啊，这几个人的核心呢？

其实你发现是极限。哎，极限是核心，而我们极限拥有什么性质，那这个连续和导数是不是就具有什么性质啊？我们来稍微复习一下。你比如说我们在这个极限当中存在加减，存在是存在。存在加减不存在是不存在。没问题吧，然后不存在加减，不存在它是未知。哦，这个极限结果是未知的。那么，

在这里面当中，我们还可以继续远程。存在臣存在是存在。存在乘以不存在，这个人是不存在。啊，这个人是未知。然后接下来过程当中啊，你发现不存在乘上不存在也是未知。这是我们原来过程当中讲的性质吗？那么，接下来把这个推演。推演到前面，就是连续加减连续。试点区。

连续加减不连续。是不连续。还记得吗？同学们不连续加减，不连续是未知。连续成连续是连续。然后连续乘上不连续位置，不连续乘上不连续位置，那同学们想想导数一样不一样也一样啊，那这个时候你发现。可导加减可导。那就是可导。然后是可导加减不可导。然后这个结果就是不可导。是不是这个事情，

然后不可导加减，不可导那就是未知，所以说后面的这些性质是不是也一样？哎，这些性质也一样，那么将来过程当中，我们来再来看看这个题，你来琢磨一下你现在过程当中我们要怎么办？这个人已经怎么了？这人已经磕到了。就这个人已经可导了，那么现在要想让这个大fs可导他的这个东西，你发现一个事情核心重点是谁啊？是不后面这个人。如果后面可导可导加可导可导，

如果后面不可导可导加不可导不可导，所以说同学们注意。你这个人在临处可导的充要条件，其实就是这个函数可导。所以在这种当中，你马上把这个东西拎一下，我的核心重点只需要这个函数，它怎么了？它在这个x等于零处。可导矩形哎，我只需要保证这个人。只要这个函数在零处可导，它就可以了，而你发现这个人在零处可导的充要条件是什么？就是在零处的导数定义的极限。

就是存在的，所以说在这里面当中，你发现就是gs减去g零比上s减去零这个极限是存在同学们能听得懂吗？呃，非常简单，你看你要可导你的充要条件就是导数定义的极限存在。那么，接下来我们来写一下这个导数定义，那这个导数定义的话，你发现不就是limits趋向零？然后这个时候的话，你发现gs就是fs再乘上s in的绝对值，告诉我一个事情g零是多少？g零是多少？不要再给我零乘无穷，

大时未定式了g零就是零比上s这个极限存在。是吧，它就是这个极限存在。而你发现一个事情，这个极限呢？需不需要分呢？需要分这个极限，需要分成左右极限，为什么呢？绝对值里面往零跑，需要分成左右极限。既然需要分成左右极限，它的充要条件是什么？充要条件就是左右极限存在且相等。哎，

左右极限存在，且相等先来看看这里面当中的右极限，这是fs刚才做过了右极限的时候，这个人是s in。然后这个时候呢，你发现一个事情，这是fs哎，这个绝对值里面当中啊，是负的是负的sine。跟得上吗？同学们好，再来看你，发现连续吧。连续的话，左右极限都存在，

都等于函数值极限等于函数值，然后后面这个结果是一，然后接下来过程当中，你发现这是f零。然后这是负一它俩东西是不是要相等啊？既然这俩东西相等，你发现就是二倍的f零就是零，那f零就是零啊。因此，这个人的充要条件就是f零等于零，正确答案选几选a。思维方式顺清楚了吧啊，非常简单，就说这个函数在临处要想可导。其实就是导数定义的极限存在，

就是这个极限存在这个极限需要分，那就是左右极限存在，且相等左右极限存在，且相等得到f零等于零本题结束。那你想这样进行操作，就比刚才这种操作性的方式啊，要更加的快一点。思维方式呢，水平点呢，操作性都要强一点，好，这个事情我们就讲到这。呃，你发现一个问题啊，这个呃。

脑子好痒吗啊，这个部分内容你下去过程当中好好串一下，我觉得这样的话，你发现这个水平点就提高了。其实我觉得这个题啊，对于我们三九六同学而言，也算一道拔高题啊，算一道拔高题好，这个题目我们就讲到这吧，过去了可以吗？啊，下去过程当中啊，好好把这个题啊整理一下，多做几遍对吧？多练几遍他就可以了，

好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个。下面这种考题。那么，同学们想想一个问题啊。咳咳。什么意呢？一你觉得对吗？我的要求是f零等于零。这俩东西相乘等于零。这两东西相乘等于零，能推出f零等于零吗？两个人相乘等于零，有可能是第一个人等于零。

也有可能是第二人等离。对吧，你发现两个人相乘等于零f零，未必等于零我f零，假设是二我f撇零是零行不行？所以说这个时候你发现你根本就没有得到这个情况。我要的是f零等于零。跟上我的意思吧，好这个事情我们就讲到这。过去了，好那么接下来我们就继续再来看看今天的重点内容。呃，在刚才过程当中啊，我们其实就讲过。那这个导数啊，

是用极限来定义的。导数有左导数，右导数呃，对吧？极限有左极限，右极限导数是不是有左导数，右导数？连续是用极限来定义的，极限有左极限，右极限连续是不是有左连续和右连续啊？所以接下来过程当中啊，我们就来看看下面一个问题，单侧导数。那在导数这个的部分当中啊，它其实也会分成两种，

一种是左导数，一种是右导数。对吧，左右导数左导和右导呃，这里面当中这个符号你倒会写。对吧，这个东西叫诱导书，我把这个事情写下了。哎，稍等一下，这个。春天来了，有点鼻炎啊。呃，好，

那么接下来我们来讲几个重点的符号的问题，大家好好进行去辩证一下，我觉得我们的这个出题点呢，有的时候出的不难。但是你发现死舰活箭呢？比如说这里面当中，我们来写一个人，你看我写了个x零，我在这块加个零，这什么意思啊？你比如说考题点的话，它这样出这什么意思啊？你注意啊，这个人的意思啊，他就表示了，

在这个点处的右极限。哎，这叫右极限。然后在这里面当中，你发现看我这个括号里面当中减个零啊。这个东西就表示了，在这个点处的左极限。所以说在这里面当中啊，它表示的是左右极限。那么，接下来我们再来看看下面这个事情，你看这个东西叫做该点导函数吧。这东西叫该点导函数吧。那么，在这里面当中，

你发现一个事情，我在这里面当中打个加号，这个东西叫什么？这叫诱导数。如果在这里面当中打个负号，这叫什么？这叫左导数。所以说这几个符号你稍微进进行去分清楚啊，对你说对了，就是在概率论与数理统计当中，很喜欢用这个符号。对吧，就这样写表示的右极限，这样写表示的左极限，右导数，

左导数，其实你发现就是在导数符号当中啊。变成一个正负。对吧，变成个正数好了，那么接下来我们先来看看第一个事情，左导数和右导数。那你想吧，这个导数的话，用极限定义那么在这种当中，你只需要把这个极限改成什么极限，右极限就是诱导数。改成左极限就是左导数，但是你要注意啊，我不喜欢用这个人。

这两人是曾料理，对吧？不喜欢用这个人，我们喜欢用的是谁啊？我们喜欢用的是这个人。哎，喜欢用这个人。右极限代表右导数，左极限代表左导数。右极限代表右导数，左极限代表左导数，所以说在这里面当中啊，我们喜欢的是这个人。那大家想象一个问题，我们刚才就讲过一点导数可导。

啊一点导数存在这个函数在这个点处可导充要条件是什么？充要条件就是导数定义的极限存在。a导数定义的极限存在，就是这个极限存在极限存在的充要条件是什么？左右极限存在且相等。极限存在，那不就说明导数存在吗？因此在这里面当中啊，马上得到了一个重点。如果在一个点处。导函数等于a它的充要条件是什么？充要条件就是诱导数等于什么？所导数都要等于。左右导数都存在，都等原因，

那这个时候你发现它的充要条件就是该点导函数等原因。所以在这里面当中啊，你发现一个点导函数等于a的充要条件是什么？左右导数存在且相等就行。左导数存在，右导数存在，你们两者之间相等就行，那这样的话，我们就能推出这个情况，好这个问题点听懂了吧？掌握清楚给我回复一啊，这是个基本信息点，那么接下来我们来看看下面一个题，做下这个二点四这个题。来看一下这个题。

那么这个题的话，你发现首先第一件事情一个分段函数在分段点处求导，是不是得用定义啊？所以说这件事情你必须要用导数定义。对吧，必须要用定义，而你发现大于零和小于零不一样。大于零和小于零不一样，那这个题怎么办？你必须得怎么？你必须在这里面当中啊，得分成左右倒数来做。你注意啊，两边不一样，就是左右开工法的形式，

你得分成左右来做好，那么接下来我们一起来写诱导数和左导数。先写诱导书吧。诱导数这个人怎么写呢？跟着我一起来啊，这是I趋向零正，然后是fx减去f零。比上s减零。那么，接下来我们来进行求一下这个极限x趋向零正，然后这是x。那么，请同学们告诉我fs是谁？它大于零。趋向于零，

正是大于零，大于零，是谁呢？大于零，是这个人。好，这个结果而f零是谁呢？f零只有一个人，那就是零。那么，接下来这个结果的话，马上就可以出来，它就变成了limits趋向零帧，然后这个结果就是一加上一s分之二。好，

这个结果就出来了。那么首先看吧，一的零是一，一加一是一，然后这是二比二，一定是未定式，一定式就是一。出来了没啊？非常简单啊，这个题不难，然后接下来过程当中，我们再来看看左边左导数，左导数就是左极限啊。s趋向零正，然后一起写啊x趋向零fx减去f零，

求这个极限。那这时候你就代进去呗limits趋向零负。你说说这件事情到底学了啥？其实你发现把这个定义学会了之后，就把它往上套就行，求极限呗，好那么接下来看这是x。然后上面这人呢？趋向于零，什么趋向零负。如果是趋向零负，你就会发现一个事情，这个东西就比零小比零小的时候是谁呢？比零小的时候就是这个人。所以说就是s比上一加上e的s分之一，

再减f零，所以说这个结果就立即变成了limits趋向零负。然后是一加上e的s分之一分之一好看，这个人好继续走，你发现如果s趋向零负。x分之一就趋向负无穷，那e的这个负无穷就趋向解e的负无穷是零。那上面是一，下面是一，一定是未离式，一定是就是一，那所以说该点导函数结果等于几就等于一。你看这个人呢，就立即出来了。只要左右导数存在，

且相等，我就说明了该点导函数就是几。那这个水平点，我觉得难度系数也不高。对吧，他的思想非常简单，分段函数在分段点处求导就得用定义。然后左右两边不一样，那就符合左右开工法，符合左右开工法，我叫分只要分就是左导数和右导数。只要分那么前面就是左极限和右极限，你看这个思想跟我们原来的学习过程当中的内容是一脉相承的。好，那么接下来我们就来看看今天过程当中一大重点。

你现在过程当中会不会判断连续性？你会判断吗？你会不会判断可导性？你也会判断，所以说接下来过程当中，我们在考研过程当中必出题的一个点就是这个内容。哎，就这个内容。就是在考研过程当中，你发现连续性的判定。可导性的判定啊，你注意啊，上课来不及抄笔记下去再整理啊。连续性判定，可导性判定，

像这两个类型问题啊，我们经常就会放在一道题当中进行把它考察了。对吧，连续性怎么判定可导性怎么判定？通常用零。先来看看连续性，连续性，如果不分左右呢？不分左右就是极限，等于函数值，这就是你的判定思路。对吧，趋向于这个点处的极限，就等于这个点处的函数值诶，这就是判定思路。

好，那么接下来我们再来看，如果需要分左右呢？需要分左右的话，就是雷米塔s趋向s零对吧？它的右极限。然后等于这个limits趋向s零，它的左极限，左右极限都存在，都等于该点函数值。那这个思维方式啊，它就立即出来了，好，那么接下来我们再来看看可导性。那可导性，

如果不需要分左右。如果你发现一个事情，它不需要分左右，它说这个函数在这个x零处可导。它的充要条件是什么？那这个可导的话，你发现一个事情不就是该点处的导函数值是存在的吗？这个充要条件是什么？这个充要条件其实就是导数定义的这个极限存在就行。啊，就是这个极限导数定义的极限，这个极限就是该点导函数，只要这个极限存在该点的话，你发现就可导。那该点导函数就存在跟得上吗？

好，这个思维方式就是你不需要分左右。你只要说我在这一点可导，因为我导数定义的极限存在呗。因为该点导函数其实就是那一坨的极限。那一坨的极限存在该点导数就存在好，这是这个问题，那么接下来我们再来看，如果需要分左右呢？需要分左右的话，如果在这个点处导函数等于a它的充要条件是什么？就是左导数和右导数。都存在都等原因。这个题时候的话，你会发现一个事情，

你就需要进行求左导数，你也需要进行求右导数，这种情况就是需要进行去分类的情况。那有些同学就要问了老师，我怎么知道什么时候要分呢？我再讲一遍，就是前面过程当中啊，讲的左右开工法的解释。对吧，左右开工法那几种形式，尤其喜欢考哪几个人喜欢考三个人呃，其实有四个人。一个是一的头顶是无穷大。阿尔克塔内后面无穷大绝对值，里面往零跑。

然后最后一个事情，分段函数在分段点两侧不一样的是要分。所以思维方式就理解出来了。对吧，将来过程当中，我们就知道了诶，这个东西什么时候要分呢？就是原来过程当中学习的左右开工法那几种情况。只要有我就分跟得上吗？同学们哎，这个页面非常重要，所以将来过程当中啊，你进行处理问题的时候，你就要好好想。好，

那么接下来我们先来看看第一个事情，先来看看二点五这个题。好吧，来先来做一下这个题目啊，先做这个题目。这个题啊，你发现他就给了一个什么？它就给了我们一个分段函数，然后说这个js是有限函数，然后说这个函数在零，我先不讲这个题。我先不讲这个题，我就问你个事情f零等级。啊，告诉我f零等级。

我先不想讲这个题，我就想知道这个题的f零等级。这个题的f零就在这儿。就把零带进去就行，你还会在这想这是零，如果这是无穷大吗？你会不会想不会想了？只有在求极限的过程当中才有未定式，没有求极限就代入就行，初高中当中怎么做我就怎么做。不要再纠结这个问题了，好那么接下来继续我们来看看这个题。那这个题啊，你发现一个事情，他想让我们进行讨论什么，

他想让我们去讨论这个函数在零处。极限存不存在？然后是连不连续可不可导哎？极限存不存在连不连续可不可导？那么接下来就处理呗。那么，首先我们看第一个事情。连续性。那连续性做做一件什么事情不就去做这个极限吗？但是这个极限等不等于函数值需不需要分呢？要不要分哎？注意啊，连续性是求这个人的极限。可导性是求这一坨的极限，这可不一样，

要不要分？当然要分零处的极限，左右两边都不一样，本题当然要分，因此这个题的话，你发现就要趋向于零帧。就是它，然后接下来过程当中再来分享零负零负就是它好，这个题非常简单啊。如果你是个高手啊呃，当然你做慢一点也行，当s趋向零正，然后上面等价无穷二分之x方。然后这一除啊，就是二分之三次方是零。

可以，但这个速度有点慢，你作为一个高手怎么做？我眼睛一瞅，发现上面是二阶。我眼睛一瞅，下面是二分之一节高阶无穷小比上低阶无穷小极限，结果就是零眼睛一瞅就出来了。好，这是这个情况，那么接下来继续。那后面这个人呢？你发现前面的极限是零。对吧，无穷小无穷小，

乘以有界是无穷小无穷小的极限是零，所以说我们就推出来了，当x趋向零。这个人的极限结果就是零，而该点函数值呢？该点函数值也是零。所立即推出来这个函数，在这个点处是连续的。极限是存在的，而且是连续的。所以说这种题啊，你肯定得做到可导性。而且啊，如果我做这个题。对吧，

我做这个题啊，你发现你就去思考一下，老头子出题怎么出？如果极限存在性，连续性，可导性，你觉得哪个东西考的最多啊？当然是可导性，所以一般情况下的话，你发现都得做到这好继续啊，再来看下面一个问题。可导性可导性的话，你发现分段函数在分段点处的导数。当然得考导数定义啊。对吧，

分段函数在分段点处的导数当然得用第一。那用定义的话，你发现大于零和小于零不一样，那这题要不要分？当然要分就需要分成左导数和右导数。所以在这里面当中啊，我们先来看看第一个事情，我们先来进行求一下这个人的诱导数。诱导数先来写定义吧，趋向零正来跟我写fx减去f零比上s减零写出来是态度吧。好，那么接下来进行了过程当中，我们就代入。趋向于零正，这是x。

零正就比零大，比零大是谁呢？就是一减cos比上根号s，然后f零是零。这题能不能秒啊？当s趋向零正的时候，你发现这是一减coss等价无穷二分之x方，这是二分之三次方等于几啊？上面比下面高几把高比低，这个结果是零。然后接下来过程当中，我们再来看看左导数来继续写出定义，写出定义式态度来吧fs减去f零。比上s减零，所以说这件事情就变成了limits趋向零负，

然后这是x。那fs是谁呢？就是is方再乘上gs，然后再减去多少减去零跟得上吗？同学们好，那么接下来就需要零负。s倍的gs。那这个时候就出来了，无穷小，然后乘又接无穷小无穷小极限就是零啊。那既然左右导数都存在，且相等，那就说明该点导函数等于几就等于零，因此这题的正确答案选几？就选d你看这个题是不是一下就出来了，

核心重点的问题啊，把它把握清楚。好注意啊，我再强调一遍，今年过程当中啊呃，大家昨天晚上有些同学估计去听了，我们昨天晚上那个春季的备考规划课程。因为最近一段时间啊，我确实收到了啊，这个今年私信有点过于多了啊，这个春季阶段，但是你发现这个很多。很多同学以这个焦虑感为主。啊，很多同学非常的焦虑。

三月份就焦虑了，而且游戏过程当中啊，你发现就是对我们三九六同学。对吧，三九六同学。呃，这个回头啊，我让那个助教整理了一份文字版的啊，到时候我会发一下，你到时候去看一下就行好吧啊，到时候我会整理一份文字版的。好了，那么接下来我继续啊，我再来说一下这个事情。尤其是三九六同学。

你注意这个问题啊，我希望大家不要着急。你就跟着这个课程走就行，不要着急。六月份的话，我们基本上是六月，应该是三四号那个样子，我们的基础班会结束，很多人就会问，说老师我六月份才基础结束，我着不着急啊？是不会太慢了呀。你去看看数一数二数三。他们到了这个六月底基本上才结束每年过程当中，你发现他们的内容点比我们多多少多了那么多内容，

而且有些同学你发现一个事情。我不说别的，我们这一轮基础都抵得上别的同学，你发现进行强化了。你可以进去去看看。所以说在这里面当中，有些部分的内容，我希望大家注意把它扎扎实实复习，尤其是今年过程当中，我们这个呃，就是这个基础部分的这个讲义啊。啊，就这本讲义。呃，这边讲义啊，

我觉得一个问题点，你需要达到一个什么样的一个问题点呢？就是希望同学们注意这个讲义上的所有的知识点都装到脑子里面。这个讲义上的所有的例题，你下次过程当中见到这个题立即会处理，而且是速战速决。所以我觉得同学们注意多复盘呐，哎比你在这里面当中怎么做都重要多，而且我觉得今年过程当中啊。你们还好。对吧，你所有的这个部分的课程呢？你都是在这个听这个直播课程对吧？都是在跟这个直播课程，我觉得这个效果比较好的一个点，

每次过程当中我看到大家的一些情况，我都会跟同学们进行上课去说一下这个问题。你看看今年。呃，其实我觉得这个被市面的过程当中，你发现各种尤其是这种自媒体的平台啊，特别影响我们三九六同学的心态。其实我觉得数一数二数三同学都还好了，我觉得今年过程当中特别容易影响三九六同学的心态。就好多同学，你发现一个事情就在影响你们。你稍微今天看一个帖子，比如说哎呀，这个今天过程当中啊，这个今年得多做题，

因为去年难。然后下面过程当中有一天过程当中看哎呀，这个三九六的这个课程不能听，必须听数三。所以你发现每天过程当中，你都会受到一些帖子的影响，然后这个复习状态的话，摇摇摆摆的啊，不要这样。切记这样。而且今年过程当中，我已经给你讲过好多遍了，我在开设第一次第一节课程的时候就给你讲。为什么今年过程当中开设这个全程班，原因点很简单。

其实今年的话，你呃，有些同学这个一直听这个课程呢，你都能看到啊，今年过程当中我这边课程的这个强度。呃，所以说这个为什么开呢？因为去年往年过程当中，我也就上这个冲刺就明白。啊，冲刺救命班的这个课程，那冲刺救命班的课程的话，但是去年过程当中结束了之后，很多说老师这个呃基础部分。很多同学没有打牢，

所以今年过程当中，我们从这个基础就开始。而且的话，你发现这个基础部分东西多重要，我一直给你讲一个事情，不说别的吧，就我们这个基础的解触。就是我们今年这个基础班的结束，你都可以进行去做三九六同学的话，我们二零二三年之前的。基本上，90%以上的人体。你都可以去做，没有任何问题。所以今天过程当中啊，

你要注意啊，这个好好听课对吧，所以说这个三九六同学你不要着急这个事情。你随他几轮几轮什么这个强化怎么怎么样，你发现这一轮的基础打的是非常扎实的，你注意一个事情，只要你有空。你没事干了，你就进行去把之前部分的内容的例题再做一做知识点，再复习一下讲义上的这个习题上的例例题啊，然后再把它做一做。就说只要你你觉得这个部分的时间啊，你觉得非常够，你就进行去复盘，因为我特别呃害怕的一个点是什么？

我不害怕呃，很多同学后面的东西，因为后面的东西啊有我呢，但是我害怕的是什么？害怕的是你曾经学过的东西，你到时候给忘了。你想想是不是啊？这是是是不是大部分同学的情况？就是我从来不担心后面那种，你不要说什么线性代数啦，什么概率论啦，什么后面的过程当中还有这个积分学了，我都不担心这个事情。我担心的一个问题点就是你在前面过程当中的东西忘了。你后面过程当中，

就算再难，东西我都不担心，因为后面的过程当中啊呃，我们都会带着同学们进行完成，但是我觉得我担心的是什么？你一直复习，一直复习前面的东西，早都把它给忘完了，这是非常尴尬的，所以同学们要多复盘啊，什么是复盘呢？把之前部分的这个讲义上的例题。再看一看，把上面的过程当中的这个呃部分的知识点再去串串。啊，

就非常好，不要把这两个字想的太高大上，对吧？这个复盘这个东西什么叫复盘呢？复盘就是把曾经遗忘的东西再捡回来就叫复盘。可以这样说吧。温故而知新嘛啊，好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来我们继续吧，我们再来看看后面部分内容。呃，这里面当中啊，我们再来看一种题啊，再来看看这个题目。

二点六这个题。在讲这个题之前呢，我来带着同学们进行去串一些内容，好好听啊呃，接下来这个部分的问题啊，你是可以秒杀的。好，那么接下来我们一起来看看下面的一个问题题。在这里面当中啊，我们先来看看第一个问题点。那么，同学们想你还记得绝对值这个函数吗？你还记得吧？这个函数的图像，你会画。

它就是这样。稍等一会。哎呀，这个春天太难受了，但是又很喜欢春天啊。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看这个部分。那么，首先先看第一个点，那么同学们告诉我，你发现他在这个点上看到这个点吗？那么，请同学们告诉我。这个函数在这个点处啊，

你发现一个问题啊，什么lns绝对值为什么不用分哪个题啊？哪个题没有分好，那么接下来我们看看这个事情，那么请同学们告诉我这个函数在这个x=0处连不连续啊？连续的吧，为什么呢？你从上面进行走的话，你发现你是连续的过去的，没有断是连续的，但是你发现一个事情。这个函数在这个零处可不可导啊？当然不可导，为什么？因为你发现这就冒尖了。

很多说老师冒尖了，就一定不可导吗？你可以稍微看看你发现这半边的倾斜斜率是几一？这半边的倾斜斜率是几负一左右导数存在，但不相等，绝对在这个点处啊，不可能我之前还给你讲过一个问题，你怎么去判断呢？你用手进去去摸一下。诶，你就去摸一下诶，你发现像这种样子。对吧，像什么x方，你摸过去的话，

你发现非常的光滑。非常光滑，你像这种东西啊，就是可导的，然后在这里面当中，你进行去摸，你发现不光滑。对吧，有点咯手那像这种东西啊，它就不可导，我没跟你开玩笑。而且数学当中啊，就有这个词呃，当然我们不会考这个事情，有一年数学二同学的考研真题啊，

说了这样一件事情。它说fs为光滑曲线，什么意思啊？那这个内容能突出几个事情？那么，首先第一个事当然是连续。但是不够。光滑，你摸过去不扎手，这个东西应该对非常好，处处可导。哎，非常好，处处是可导的，所以在这种当中，

不光是连续的，而且是可导的。那么，接下来我们再来看看下面一个问题，那么同学们想那么在这里面当中，我们再来看看这样的一个问题。如果这里面当中，我们再来看个图形，你告诉我这个图形会画吗？好，这个图形。绘画吧，那这两个图形之间就是一个平移关系嘛，左加右减就相当于把这个图像怎么办？向右移动x零个单位。

对吧，移动s0的单位，那这个时候我就知道了一个事情，像这个人呢，你发现他在s0处怎么？在x0处，当然是连续的。但是你发现个事情sines 0处呢，却不可能。所以说像这个类型问题点，你必须把它掌握清楚。对吧，它在这个点处依然是连续的，但是却在这个点处是不可导的。那么也就说，

我们就得到了一个非常重要的信息，好好听啊，认真听就行了，那么接下来这个例题啊，我来给你写。那么，请同学们告诉我个事情，现在而言的话，我知道这个函数。这个函数怎么办？这个函数在x0处不可导。对吧，它在s0处不可导。那接下来我来做一个手法，我做一个什么手法呢？

倘若我在这个事情前面乘上了一个函数。乘上了一个什么函数呢？乘上了一个在这个点处连续的函数。哎，乘上了一个这个点处连续的函数。那么接下来我就得到了一个新的函数。那这个新的函数有没有一丝机会让它可导呢？原来过程当中这个函数啊，就说原来这个函数是不可导的。但是现在我在前面乘上了一个在这个点处连续的函数，有没有一丝机会，我就让这个函数怎么了？变得壳道呢，它是有的。哎，

是可导呢，是有的，那如果在这点可导，需要满足一个什么样的一个要求呢？接下来过程当中，我们就来重点来看看。这样的个事情好同学们，我们一起来走来分析一下。分析啊，这个问题。那么，首先第一个事情，你想一个点。这个函数在x0处求导。那这个函数在x0处可导的充要条件是什么呀？

是什么呀？你这个人在s0处可导的充要条件。你在这个点处可导的充要条件不是导数定义的极限存在吗？而你要进行求s0处的极限，这里面当中往零跑，需不需要分呢？需要分它的要求就非常简单。就是这个点处的左导数。和诱导数存在且相等。对吧，那因为我们在这里面当中要进行求s0处极限。求is 0处极限，你发现其实is 0就是它的一个分段点。那就要分就是左右导数存在且相等，那么首先第一件事情，

我们先来求s0正。s0正的话，你发现其实就是fs。然后再减去fs 0。比上一个s-s零，那么接下来过程当中，我们就来进行求解，这样的一个极限。来看看这个人吧。那么，请同学们告诉我，这个大fs 0等于多少？等于几啊？王丽没带这个结果，是不是零啊？

所以说这个结果的话，它就变成了gs，然后是s-s零的绝对值，比上这个人。跟得上吗？然后这个时候的话，你发现当s趋向s0负，然后这个部分是大fs-fs零。你这个定义，你就自己写就行了，然后接下来过程当中，我们把它带进去x0负。好继续了，那大fs就是gss-s零的绝对值比上它。好，

那么接下来我来问一个问题，那么请同学们告诉我，现在的x是趋向x0正吧？是不突出了s比s0大呀？如果s比s0大，那这个绝对值就等于本身了。如果s是趋向于s0负。是不突出了s比s0小？如果你比它小，一减就是负的，那这个东西怎么办？这个东西应该变成相反数。所以在这种当中，这个东西就变成了它的相反数。好了，

那么接下来我们在这里面当中就把它约掉了，就是limits趋向s0正gs。然后这个时候就是负的limits趋向s0负gs。是不是这个情况？那么，这个时候的话，你发现一个问题，马上就出来了，因为这个函数在这个点处怎么了？连续注意啊，已经知道这个函数在这个点处连续。那连续的话就是左右极限都存在，都等于这个点函数值。都等于这个点函数值，那同学们想要这两个相等吧，

那这两个相等的话，这个结果是多少？不就是gs 0。等于零吗？哦，我终于明白了。原来如此的话，你发现我得到了一个什么信息点呢？就是原来这个函数在x0处不可导。对吧，不可导。但是现在我在前面乘上了一个在这个点处连续的函数。有没有一丝机会让这个函数变得可导呢？有机会那就什么情况，只要你在前面补的这个函数。

能够在这个点处的函数值等于零就行。只要你能拥有这样的一个信息点，那这个时候你发现我就一定可以知道它在这个点处可导。大家注意啊，这是个充要条件。所以你看看这样的一个事情就非常非常关键，把这个东西啊当做成定理，把它给我记住。哎，当做成定理，把它记住。那这件事情啊，其实也非常好理解。怎么进行去通过几何的这种意义进行去理解呢？大家好好再听一下。

你来看看刚才这个人。刚才这个人的话，他是这样子。什么情况呢？就说在这里面当中，原本这是什么？这是x-x零的曲线吧。你现在给它加上绝对值，加上绝对值的话，这边是正的，然后这半边翻上去，然后这个部分就变成多少？s0那这个时候的话，你发现这个函数在这个点处啊，它这边的倾斜斜率是这样。

这边倾斜斜率是这样，它当然不可导。那要想可导怎么办？你就在前面补一个函数。这个函数在这个点处啊，等于零。如果这个函数在这个点处等于零，它就可以把这个什么这个尖抹平了，大致就是这个感觉。能理解吧啊，就是这种情况，如果这个函数在这个点处不可导，你在前面配上了一个在这个点处连续的函数。那这个时候怎么办？哎，

你发现这个函数只要在这个点处等于零哎，它就光滑了，它就可导了。跟得上我的意思吗？注意这个经验，把这个经验把它给我记住。哎，把它给我记住。其实就是我们讲的这个二点六这个例题。我再来说一下，你看原本这个函数在x0处不可导。但是我在前面过程当中补上了一个什么。补上了一个在这个点处连续的函数。对吧，补上了一个在这个点处连续的函数。

现在这个函数有没有机会在这个点处可导呢？有机会只要能保证这个函数在这个点处等于零就行。我这个事情就非常非常重要。那这个时候你发现一个事情，我们在这种当中啊，赶紧来看一个题，马上把它给灭了，你来看看二点七这个题。呃，这个题是什么感觉呢？就是你会做，你会做的非常非常快，你要不会做这个题，你就要做半天。你看这个题，

我觉得这种题考给我们三九六的同学也没有任何问题。完全没有问题，所以说我把它放在这个讲义上，非常重要的题啊，来一起看看。那么，首先第一件事情我会给你写慢一点。你看这个函数的话，它变成多少它其实就是s减几会因式分解吗？十字交叉法会吧，你看这是s这是s，然后这是多少？其实我都懒得写算了，写一下吧，这负二这是一吧。

这两个相乘是它这两个相乘是它，然后对角线一加呢，一加刚好是负一，所以说这个时候就变成多少x- 2 x+1。好，这里面里面这个部分就变成多少变成x倍的x方减1x方减一就是x- 1 x+1。好变成这样，那变成这样的话，之后我们就把它写成这样。s+1这个人s绝对值s- 1绝对值s+1绝对值。他来问我们这个函数啊，有几个不可导点。对吧，有几个不可导点，那么同学们想想这个函数最多有几个不可导点。

最多有几个？你发现这是分段函数吧？分段点刚好是零。那分段点外一定是可导弹。那这个分段点y1定是可导的，那就说顶多在分段点，然后这个人的分段点是一。这个分段点在负一。所以说这个人呢，顶多有三个。一个是零，一个是负一，一个是一。所以说这个函数啊，你发现顶多只有三个不可导点。

顶多有三个，所以说这三个人才是我们要进行去检验的问题，而且你发现这个选项设计的也非常的呃，这个有有水平的啊，而且有技术。你看最多是三个人。如果这里面当中啊，像我们的出题的话，肯定会出到四个选项，四个选项，再出个四不可能四，赶紧排除。能理解吧，好了，我们顶多有这三个不可导点，

为什么有三个分段点，三个分段点，分段函数顶多在分段点处不可导？那么，接下来我们就来看那这个人的话，你发现你可以先判断第一个人啊。那第一个人非常简单，你先判断谁，你先判断零诶，原本这是x- 0。这个函数原本在零处可不可导不可导，但是我在前面怎么办？我在前面乘上了一个在这个点处连续的函数。连续的函数。对吧，

我现在在前面乘上了一个在这个点处连续的函数，那有没有一丝机会变得可导呢？有一丝机会就要看看在这个点处的函数值等不等于零？代进去你发现为零吗？你发现不为零诶，既然不为零，我就知道了一个事情，就说明这个函数在这点处呢。当然不可导，所以说这里面当中的第一个事情我就验证完了，那这人不行s=0啊不行。那么，接下来我们再来看看第二事件，我们再来看fs。那接下来过程当中，

我们再看一原本这个函数在一处可导吗？不可导，但是我在前面过程当中乘上了一个什么情况？在这个点处，连续的函数s绝对值，然后这是s+1这个值。哦，在这个点处连续的函数就这个人，那有没有一次机会变得可导呢？有那就看看这个函数在这个点处为不为零？为零吗？你发现带进去也不为零，不可导好两个不可导点了再来看第三个事情继续。那这个人是加一，你加一怎么减？

你加一得写成减负一。对吧，减负一那这个函数在负一处是不可导的，但是没有关系，我在前面过程当中配上了一个在这个点处连续的函数。对吧，配上那个连续函数，那这个时候你发现这个函数在这个点处有没有一次机会变得可导呢？有一次机会，那就看看这个函数，在这个点处为不为零，你把负一往这一带诶，这是零。所以同学们注意这个在负一处是可导的。因此，

总共的不可导点有几个，就是选择b选项这个结果。你看这个题啊，水平点相当的高。就说这个题的话，你发现有了这个技巧性，做这个题当然快。但是没有这个技巧性，做这个题你就得在这个三个点处同时用导数定义。先在零处用导数零。再在一处用倒数第一，再在这个负一处用倒数第一，你就得用三下倒数第一，这是非常恶心的。所以如果在我们三九六同学，

你发现考这种题啊，你就用这个经验型结论，立即把这题秒杀。就不要用这个导数定义那么，所以说我觉得这个题啊，有两个事情，第一个事情你要知道这个绝对值就是个分段函数。等于零的点，等于零的点，等于零的点就是分段点，有三个分段点，那它顶多只有三个不可导点。对吧，顶多有三个人，然后进行去检验就行，

好这个题啊，我们是不是就讲完了？好，掌握清楚给我回复一啊。呃，这个题啊，就是我们讲的这个二点七这个题。非常非常重要，对吧？而且极其具有操作性，水平点还挺高。好，这个事我们就介绍到这，那么同学们想想，如果你会了这个事情，

那如果你在这里面当中，再看前面的二点一这个题。你觉得这个题是不是可以秒杀了？好，那么接下来我们再来看看这个题。我们再来看看二点一这个题。那这个题啊，我们简直就可以秒了。那么，刚才过程当中啊，你发现这个函数，我把它进行去拆解，就拆解成了这个函数，再乘上这个函数。而且你发现这个函数已经可导。

对吧，本来就可导，那这个时候我就知道这个函数在零处可导的充要条件是什么，它充要条件其实就是。这个函数。在什么情况？就在零处可走。零处可导。那么，接下来我们来看看这个事情，只要能保证这个人在临处可逃，这就是他的充要条件。那么，接下来我们来试一下。那这个人的话，

我也可以画一下图啊，我们先来看看sins的绝对值。你先来画一下这个s in图像。好同学们跟上了来啊。s in的图像是这样。这是s in的图像。s in的图像的话，你发现一个事儿，这个东西原本这半边的倾斜斜率是多少？那你就看看s in求导。s in求导就是cos。那cosine在零处就是几就是一。原本的这个倾斜斜率是一，那么现在怎么办？现在我加上个绝对值，

我加上个绝对值就变成这样。哎，加个绝对值变成这样，然后这个时候你发现一个事情翻上去，这样变成几负一。那就说明。那就说明啊，这半边。哎呀，太难受了。稍等。呃，那么这个时候啊，我们再来看你就会发现这个函数在这半边，你发现一个事情倾斜斜率是一。

然后这半边呢，你发现倾斜斜率是负一。所以说你发现一个事情，这个函数现在在临处可不可导？也就说原本这个函数是可导的，但是加了个绝对值啊，然后这个人在零处啊，他就不可导。对吧，这个的时候你发现一个事情，它在这个点处啊，就不可导。哎，变得不可导。那么现在你想想一个事情，

有没有一丝机会让它在这点可导呢？我就在前面配上了一个在这个点处连续的函数。有没有一次机会？当然有一次机会就唱这个，前面配的这个函数在这个点处等于零就行。只要是这种题型啊，它都可以处理哎，只要这种题型都能做。你将来过程当中，无论碰到什么样的情况，都是可以这样处理的，那么什么样的一个模型结构呢？你看这个题啊，我立即就可以把这个a选项选满了。那么，

在这种当中啊，总结一下。什么样的题，我可以在这里面当中用这个情况呢？非常简单，就是原本这个函数，比如说举个例子，你看刚才这个人原本这个函数在这个点处是可导的，你看原本是可导的。但是一旦加上绝对值就冒尖了。加上绝对值就冒尖了，不可导那，然后在前面配上了一个在这个点处连续的函数，有没有一次几率变得可导呢？有只有。

只要配的这个函数在这个点处等于零就行好，那么接下来我们再看看第二种问题。原本这个s in在这个点处可不可导？原本这个s in在这个点处是可导的。原本是可导的，但是在这种当中，加上个绝对值。他就变得在这个点处冒尖了，就不可导了，那么在前面配上一个函数，有没有一次几率让这个函数可导呢？有就。就让前面配的这个函数在这个点处，结果等于零就行。你像这些事情，

你将来过程当中做就非常非常简单了。对吧，非常简单了。所以说将来你会自己进行去出好多题啊，都是可以的，那比如说举个例子，你看我来出一个题，我看你水平怎么样？那么，在这里面当中啊，如果我出了一个这样的人。对吧，这个人。es- 1。你看这个人。

那这个人是什么情况呢？来，我们接下来继续看。啊，默认连续啊。他说可导他的意思，就说在任何点处可导，能听懂吧？哎，他说可导在任何点处可导。好了，那么接下来我们在这里面当中啊，我们补一个，我们说这个人呢，在零处是连续的。

好，我们一起看啊，请问这个函数？它在这个零处可导的充要条件是什么？是什么呀？好，一起来看看。那么，在这种当中，我们就来看看它是不是这种问题？原本的过程当中啊，你发现一个事情，这是个y它等于es- 1。es- 1就是把es图像往下移动，一个单位变成这样。

那我想问你个事情，那这个函数在这个点处的导函数等于多少？它这人的导函数结果是es，然后es在零处等于一。所以说这个部分的倾斜斜率是一对吧？原本过程当中，你发现倾斜斜率是一。那么，原本这个函数在这点可导，但是现在这个人呢？我加上绝对值，我只要加上绝对值啊，那这半边还是这样。然后这半边呢，这半边就翻上去了。

那翻上去了之后的话，你发现这边倾斜斜率就变成负一。所以说这个函数就在这个点处，不可导了。那么现在我在前面配上了一个什么，在这个点处连续的函数有没有一丝几率能够让它在这个点处可导呢有？只要你配的这个函数在这个点处等于零就行，你看这个事情，你将来过程当中做这个题就非常简单了。对吧，原本这个函数在这点可导你咔的加了一个绝对值a不可导了。那这个函数有没有几率在这个点可导？有几率只要你配的这个连续函数啊，在这点处等于零。你看这个事情，

那你将来过程当中，我们做好几道题都可以秒杀。那你现在看看这种题还难吗？你像二点一这个题，一开始原模原样，稳稳当当的推，就这样做。然后紧接着过程当中，把这个东西进行精简一下，变成后面的可导性推导也是这样做。已经变得很简单，但是在这种当中，如果你掌握住了这种经验，你会变得更加的简单，好这个题啊，

我们就讲到这。呃，过去了可以吗？所以下去过程当中啊，好好去想想这个问题啊呃，这个题啊，我们就讲到这儿下去过程当中啊，再来整理吧。行吧，稍微休息会儿吧，休息会儿，一会儿过程当中我们再来继续好吧，同学们休息会儿，我们再来继续，然后这里面当中啊。

呃，我说一个题，你们把它做一下。下课过程当中坐下。好，下课过程当中啊，我们做一下这个题。把这个题啊，完成一下，就这个题截个图吧。呃，有些同学过去做过这个题，但是有些同学没有做过这个题，把这个题啊，截个图啊。

截个图，一会儿过程当中啊，我们来讲讲这个题。好了吗？同学们。行吧，那么这个题啊，我们就是。好，我们就说到这儿来，稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊。截完了给我回复一吧。啊，截完了给我回复一。

好了是吧？好休息会儿啊。

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09.导数计算-1

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