07.函数的连续与间断

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:37:34

那么，接下来我们就准备开始今天的课程了。首先，我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，提供回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六精综数学的这个基础班部分内容，那么在上节课过程当中啊，我们其实核心重点已经把这个数列极限计算部分内容全部讲完了。那么，

首先我们第一个事件，我们还是来回顾一下我们在上节课过程当中啊，所讲解的核心知识点，因为在上节课过程当中啊，所讲解的内容难度系数稍微的大一点。你看在上课过程当中啊，很多人觉得稍微的难一点，但是你发现下去过程当中啊，你再复习一下这个东西啊，也就过去了。好了，那么接下来我带着同学们进行去复盘一下上节课过程当中的核心内容，那么首先第一个事情我们学习了这个数列极限的定义。那么，在数列极限定义当中啊，

其实你发现核心重点第一个事情，我们先来看基本定义。我们先来看基本定义，那么这个内容的话，它是这样说的，如果一个数列的极限是a，那这个定义怎么说？他先说第一件事情。无论他有多么的小，然后最后一件事情，他就说我和你之间的距离比他还小。是不是这个问题？那么什么时候你和我之间的距离比它还小呢？那么这个东西啊，一定是当n趋向无穷大的时候。

哎，注意这个事情，那什么叫做n趋向无穷大呢？他这样说存在了一个很大的数，我怎么办？我比你还大。哎，存在了一个很大的正整数，我比你还大，这个范围就叫做n趋向无穷大。所以我只用保证这个范围内的所有的数列结果都接近于a我的数列极限，结果就是a所以在这种当中我们有个至高理解。就说如果n趋向无穷大，你SN的极限结果是a呀，这个东西的一个充要条件是什么？

好，我们来看看这个东西的至高理解，我们就来画条数轴线。那么，在这种当中，我们来看看。如果你的数列极限结果是a，那么它保证的一个意思是这个意思就是从一个大n之后，这后面所有的数列结果都接近a。对吧，所有人都接近a，每一个人都有第一个人接近a，第二个接近a，第三个接近a，第四个，

第五个，第六个，后面所有人都接近a。只要从一个人开始之后的所有人都接近a我的极限，结果就是a。啊，这个东西就是他的至高理解，那么请同学们告诉我这个东西跟前面这有现象有关系吗？没有关系，跟这些人没有关系，我真正有关系的是从一个人开始之后的所有人。哎，这是我把握住的重点，所以同学们一定要理解清楚，把这个事情想透了，

什么东西都处理清楚了好了，那么接下来我们再看子助列。那子数列什么意思呢？如果在这里面当中，你发现n趋向无穷大，如果这个人的数列结果是a。对吧，你这个人的极限，结果谁那就说明从大n开始之后的所有人都接近零。你所有人都接近a，你随便挑一些子数列，接不接近当然接近，所以说这个人的充要条件就是所有的子数列。注意是所有子数列均怎么办？收敛原因啊？

收敛原因。好了，这个内容是非常非常重点的啊，一定要注意啊，每节课上课之前啊，我们的上节课的内容点还是非常重要，你不是不会复盘吗？我就带着你复盘。如果你不知道上节课讲了多少内容，就在这个页面上，你跟着我把这个东西梳理清楚，如果每个知识点都梳理到位了，证明你上节课的知识点应该是过关了。如果你发现这里面当中还有自己陌生的，我提到这些知识点，

你根本就不知道这个东西是什么的，证明你上节课过程当中要不是听课出现问题，要不是消化出现问题。一定要填啊，这个调整好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来我们再来看第二事情，数列极限的性质，第一事情唯一性极限存在b唯一，这个很简单。好了，第二个事情我们再看有界性，你注意啊，不是局部有界性，是有界性，

因为在这里面当中，我们说了两个事情。如果n趋向无穷大，你SN的极限结果是a。对吧，你这根极限，结果谁那就说明从大n开始之后，所有人都接近零。所有人接近于a，肯定能被a- 1 a+1进行加注啊。没有任何问题。所以说我们就得到了n趋向无穷大的时候有界，但是我们又知道前面这些人呢是有现象，本来就有界，所以说在这里面当中我们推出的不是局部有界。

直接是这个数列怎么办？右键哎，注意哦，这件事情跟我们函数极限是不一样的。函数极限要管两头数，列极限管一边儿，哎，这是它的一个好处，好了，那么接下来我们再看下面事情，如果当n趋向无穷大SN，这个人极限结果是无穷大呢？哎，我就可以立即说明这个数列结果，它是没有解的。

好，这个问题点把它想清楚好了，那么接下来我们再来看看第三个事情，它叫什么？它叫局部饱和性。也叫脱帽，保护性那么在这里面当中，我们来看看，如果n趋向无穷大SN的极限，结果是大于零。那这个时候我就立即可以说明什么事情，说明n趋向无穷，大的时候大于零，对吧？脱掉这个帽子n趋向无穷，

大大于零。所以说这件事情就是存在一个大n大于零，当什么情况当n大于大n的时候，这些人怎么办？才大于零，如果这个极限小于零呢，存在一个大n大于零，当n大于大n的时候，它小于零，同学们能想清楚吧？你极限如果是大于零，是后面那些人都大于零，你极限结果小于零，后面那些人小于零。你极限大于a后面那些人大于a你极限小于a后面那些人小于a跟后面那些人有关系，

跟前面这些人呢没有关系。好了，这些问题啊，必须要把它想清楚好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看数列极限的计算，首先第一种问题，它跟函数极限计算类似。对吧，同函数极限计算函数极限怎么做我就怎么做函数极限要定型，我要定型函数极限要定法，我要定法。好是差不多的，包括在这里面当中还能利用到什么数列的化简。对吧，

数列极限的化简啊，一会过程当中啊，我们再来看个题。我把这题讲一下吧，对吧？直接来讲一下，那么在这里面当中，我们来看看这个题。那么，上节课过程当中啊，讲义上是有这个题啊，习题集当中啊，应该是练了这个题，他说什么n趋向无穷大，然后这是一+s。

然后这是一+s^2，一+s四次方，然后咔咔咔一直乘到一+s的二的N次方。然后这里面当中的s啊，你发现它的结果呢是大于零小于一好，这个题怎么做？好，我们来瞅一下这题。这个题你要注意一个事情，第一件事儿那么大家注意我是对谁求其情？我是对n求极限吧。所以大家注意这件事情的主角是谁？主角是n。对吧，我的主角是n，

我对n求极限，那么所以说在求极限的过程当中，你要试这个s为什么受长处理？是这个东西啊，为常数处理。哎，这件事情一定要注意。我是对n求极限。把这个s当做成常数处理。那这题怎么操作？哎，你看。这个东西虽然是常数常数常数，但是这后面的话趋向无穷大了呀。那这个怎么操作？

那我观察一下，这是一+s，这是一+s^2，这是一+s四次方，然后整个都是平方。那如果在这种当中，你发现我给它的上下同时乘上一减s，是不是形成了一系列的连锁反应啊？所以说在这里面当中，你发现我就赶紧处理，我就给它的上下怎么办？同时乘上个一减s。只要我同时乘上一减s，那这个时候你发现你看这是一减s一加s。然后这是一+s^2，

一+s四次方，然后一直乘到多少，一+s的二的N次方，注意啊，这个题第一遍没有想出来，没有关系。将来会做就行，你看这个人首先第一件事情，我用一下平方差公式。对吧，用一下了之后就变成了一减s方。一减s方和一加s方又用一下平方差公式一减s四次方。一减s四次方再用一下，一减s八次方一直用到最后一个人，所以说在这里面当中啊，

你发现直到用到最后一个人为止，那因此这个结果就是一减s。那最后一个人呢？就是一减去，然后是s的二的N次方，它的平方。那么所以说这个结果的话，就立即变成了limit n趋向无穷大，然后是一减s一减去多少s的二的N次方。你再乘个二。你再乘个二同底数，幂相乘指数相加，变成这个人。好，我再问一遍，

同学们注意啊，这个题是对谁求极限啊？对谁求我是对n求极限吧x当做成什么处理常数处理？一定要注意啊，我是对n求极限，你不要对这个s有太多的固执。你是对n求极限，你要看n在变化，你要把s当做成常数处理，那同学们告诉我事情，如果下面是常数。上面是变量，那同学们告诉我类比于什么函数？注意了，我问的是下面是常数，

上面是变量什么函数？什么函数哎，指数函数。下面是个常数，上面是个变量类，比于指数函数不是幂函数，有的同学看到这个是幂函数，不是幂数函幂函数。这是指数函数那同学们想想一个事情，一个指数函数，如果这个底是大于零小于一，那这人图像是什么样子情况？那这个图像的话，你发现非常的简单，它不就是这个情况吗？

因为你发现这个底啊，它是大于零小于一的。对吧，其实就是a的这个人多少次方这个人大于零小于一就这样，然后这个时候你发现这个头顶上呢，它是按照数列趋向无穷大。一直跑一直跑一直跑，告诉我个事情，最后这个人的极限结果是多少？非常简单，当n趋向无穷大的时候，这个人的极限结果是零，因为这个东西指的是正无穷。所以说这个人的极限结果就是零哎，你发现这个人的极限结果是零，

那么剩下这个东西呢？剩下这个东西是个常数。所以说这个结果就等于一减s分之一能掌握清楚吧，好这个题啊，立即结束。所以说这个题你发现呃，很多同学可能没有思路，第一遍做没有做出来，没有做出来都没有关系，你将来过程当中会处理就行。能听懂吧？好了，这里面当住啊，我再给同学们一个。简单的任务，

你们可以去看看。这个前段时间的话，这个。哎，这个题你们可以去看看，然后在这个里面当中啊，这个。数一数二数三同学。睡前系列的第13天的那个习题，你也可以去看看。啊，大家注意啊，我再来布置个任务是数一数二数三同学的睡前系列的第13天那个题，你去瞅一下。跟这个题非常类似，

你看这个题啊，那么那个题的话是什么感觉呢？你看看这个题。那这个题是cosine这个人。对吧cos这个人，然后在这里面当中啊，你就继续呃这个同学啊，你爱数学冲冲冲呃，下去再看看。那么这个时候你发现看你这个人，你要注意啊，这个人是先对n求极限听懂吧，先对n求极限。然后再对s求极限，你对n求极限的时候s当做成常数处理，

你看这个人二倍一下跑到前面。二倍一下跑到前面，二倍一下跑到前面，二倍一下跑到前面，跟刚才这个东西像不像非常相近？那我怎么办呢？我就给他乘上个s in这个人。然后用一下二倍角公式，二倍角公式是不是二倍角跑到前面，然后二倍角公式一下再跑到前面？再跑到前面，再跑到前面，一直跑到第一个人，跟刚才这个题像不像？非常的相近，

哎，极其的相近，所以说这件事情啊，你下去过程当中好好看一看这两个题啊，非常的类似。好了，这个题啊，我们就讲到这儿。呃，你能告诉我，刚才你为什么觉得是零吗？对吧，你为啥觉得你说为啥不是零？我就问你个事情，你为啥觉得是零呢？

为什么？为啥是零？那讲了半天的话，你发现你根本就没有切进去，我还在这里面当中啊啰嗦了这几句啊。对n求极限s当做成常数处理，这是个常数对吧？你发现这个人的极限是零。上面是一，下面是常数，一定是极限啊，就等于一减s分之一。好了，这个题啊，我们就讲到这好了，

这是我们在上节课过程当中啊，讲的第一件事情就是同函数极限计算，函数极限怎么算我就怎么算。函数极限怎么做，我就怎么做好，这是第一件事情，但是同学们，你注意啊，函数极限的话啊，数列极限啊，这个函数极限怎么做，我就怎么做。但是数列极限呢，它不能洛必达。而且数列极限呢，

你发现不能换元法。因为你一换元变成其他去向，我只有一种去向，我只能往正无穷跑，你一换元跑到别的去向，那就不行。我只能怎么办？我就按照这个连续化处理，把它连续化为函数极限来做。根据归结原理，函数极限是多少？那这个时候你发现数列极限就是多少？对吧，这就是归结原理的这种方式好了，但是这种情况的话，

你发现第一种和第二种是不是可以合并一下？如果将来我们过程当中处理一道考题，你发现它就是七种未定式的样子，我一看它是七种未定式的样子，我就按照什么情况，我就按照连续化处理的方式来做，行不行？当然是可以的。好，这是讲的这个知识点，那么接下来我们再来看看下面的内容加倍准则，那么加倍准则首先第一个事情讲了几个内容。第一件事你必须要加注。对吧，先要把它加重，

然后第二件事情什么第二件事情就是两边极限存在且相等。注意啊，是两边极限存在，且相等推出中间极限就是谁？我要的是两边极限存在，且相等，那么同学们想，如果一个题当中告诉你什么？它告诉的是两边做差的极限是零，那么同学们告诉我行不行？当然不行，这个条件是不行的，我必须是两边存在，且相等，我不要你两边做差极限是零。

好，这是这个内容，然后讲到放缩方法，一般情况下放缩分母让分子可加我一看，分母是二次，我一看分子相加是二次，而且放缩位置在次要项上。我就选加倍准则的方式。而且在上节课过程当中啊，还讲了一道重点中的重点题，你还记得吗？n趋向无穷大，然后是a的n。b的nc的N次方开上N次方求极限，这个结果呢？

这个结果等于三者之间的max。哎max，然后这里面当中必须要保证什么情况a大于0b大于0c大于零。好，这是一个重点内容啊，你下去过程当中啊，得把这些知识点都装到脑子里面。你记不记得清楚这些内容，应该是你下去过程当中进行复盘的一种态度。对吧，跟上课这个东西听懂了之后啊，但是很多同学你发现长时间不复盘，不回顾这东西就给忘了这重点内容啊。那么，在这种当中，

我再强调一遍，你做事情只有一个主角。你在求极限的时候，你要看看极限帽子下的是谁？人家是n趋向无穷大，你就要把s当做成什么处理常数处理。哎，这个非常重要，你下去过程当中啊，好好想想，然后最后一个事情单调有些准则。两件事情，第一件事情单调递增，有上界，第二件事情单调递减，

有下界单调递增，有上界极限是存在的。单调递减有下减极限，结果也是存在的。好了，这就是我们在这里面当中花费了两节课，我们讲的这个。数列极限的问题。那这个数理极限还是非常关键的啊，这两年过程当中的这个真题啊，已经体现出来了，这个部分内容是对我们有要求的。你下去过程当中好好看看。好了，这些知识点呢，

我们就讲到这儿可以了吗？同学们，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看这节课的黄金重点内容。呃，一会儿过程当中是这样，我把今天的正课内容讲完，然后再针对于之前部分呢，你们所做作业当中啊，有些自己有问题的题啊，我再讲讲。好吧，同学们好了，那么接下来我们先看正课内容，我们再来看看第一章当中的最后一节连续和间断。

大家注意连续和间断，我们在考研过程当中啊，也喜欢出如果进行去出啊，就是一道两分题。啊，就出一道两分题，但是这两分题我一直给你讲，你不要小看这两分题。对吧，它又是后面的基础，又可以拿到考试当中的一道题目。我一直给你们讲，你们的目标不是说我能不能考到80%到90%的分，我们要求的是近似于满分。所以希望同学们好好加油啊，

那么接下来我们先看看第一个事情连续和间断。首先第一件事儿，我先说清楚一个问题，连续和间断是针对于函数来说，还是针对于数列来说？针对于函数还是数列？函数还是数列，大家注意啊，当然是函数。数列本来就是离散的，数列就是一些离散的点呐，数列本来就是离散的，所以大家注意啊，这个东西所针对的对象它。它是函数针，

对于函数来说的。函数才有连续性，函数才有间断性，所以首先这里面当中，我们先来看看第一件事情，先来讲连续可以吧？根据你的中文能力，连续和间断是一对反义词儿吧，我一直给你讲一句话，你还记得吗？中文之华美，英文之土鳖啊，我上次没有发笔记吗？哎，我最近脑子不太好啊，

这个原谅我，我应该是我应该是倒了笔记的。你叫我看看啊。我上次没有发吗？哦，上次没有发，哎呀，不好意思啊，不好意思，不好意思。行吧，不好意思，不好意思呃，那个今天过程当中啊，我我会记得以后的话，

这个下课我就给你发过去啊，反正的话我又给忘掉了。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看你，发现连续和间对间断呢，就是一对反义词。对吧，连续了就不间断，你间断了就不连续。所以说大家注意，这就是一对反义词。哎，这是一对反义词，那么首先第一件事情，

我们先来看第一个问题，连续的问题啊，我们先讲讲连续那么首先第一件事情，我们先来看看连续当中是怎么定义的？人家定义怎么说的啊？我们不像这个零基础提前学一样讲，我们今天过程当中先梳理，然后再来理解，然后在零基础提前学当中，我们是先切进去，然后再来进行去定义。啊，两个思维方式，那么到今天啊，我相信已经理解清楚了。

那什么叫做连续呢？人家这样说的，说如果一个函数啊，你发现它在这个点处满足你趋向于这个点处的极限。等于这个点处的函数值。大家注意啊，它的要求是趋向于这个点处的极限，等于这个点处的函数值，那么这个时候我就可以说这个函数怎么办？它就在这个点处是连续的。哎，它就在这个点处连续。只要你趋向于这个点处，极限等于这个点处的函数值，那这个时候我就说这个函数在这个点连续。

所以这就是它的一个非常重要的一种判定性的方法，怎么判断连续呢？就是来看极限等不等于函数值。好同学们，你在屏幕前给我默念三遍，你将来不要给我忘了什么叫连续，连续就是极限等于函数值。连续就是极限等于函数值，连续就是极限等于函数值，那么同学们，我们思考一下，原来我们在学习第一节的时候。我们想过一个事情，极限极限跟这个点处的函数函数值有没有关系啊？应该是没有关系的。

极限的存在性跟这个点处的函数值有没有相不相等，没有任何关系，但是你发现一个事。今天过程当中，我们讲如果你这个极限能够等于这个函数值呢？那这个时候你发现一个事情，我就说它是连续的。怎么去理解呢？那么接下来我们来看看第二件事情，我们来讲讲连续的图像的理解。那么，首先我们先来看看第一个问题，我在这里面当中啊，我来画个二维的d卡坐标系好，我们来看看。

好，这是y轴。然后这是零，然后这是x轴。那么，这个部分的话，你发现是x0。好，我们先看第一个事情，那么请问同学们，我来画一幅图形。好，告诉我个事情，这是fs，然后这个结果是a，

请问同学们，你告诉我limits趋向s0。这个ifs极限存不存在啊？这幅图啊，当然存在，我们讲过极限跟这个点处的函数值没有任何关系。你这个点处函数值有没有对我极限的存在性没有关系，你发现这个极限存在性就是左边往这跑。顺着这跑到a右边往这跑，顺着这跑到a，所以说左右极限，结果都是a，那这个人的极限，结果就是a呀。对吧，

极限结果就是a啊。那么，接下来我们再来看看第二件事情，我们如果说连续极限就要等于函数值吧。那既然极限要等于函数值，那是说明一个事情，这个点处的函数值就要等于a呀，那就说明这个点处的函数值就要等于a。是不是应该在这儿啊？对吧，它就应该在这儿，所以说把这个点是不是补住了？就把这条线给连上了，所以你看左边往这儿跑，右边往这儿跑，

原本空了一个洞。现在该点函数值补住了，这个东那你告诉我个事情，如果一个小绿人儿，他在这里面当中走，你从这儿走走走，你能不能走过去？你当然能走过去，你发现一个事情，这个点是不断的呀，没有断呐，它就在这个点处，没有断，它当然是连续的。所以同学们注意啊，

它在这个点处，它就没有断，它不用跳过去，连续着过去的，所以说是连续。所以你要注意一个事情，什么叫连续呢？连续就是不断。研究这个点处的话，你发现连不连续就是断不断？你没有断，就是连续你断了，就是不连续能理解我的意思吗啊，非常简单，那么所以说在这里面当中啊，

比如说我们讲了个例子。你看这个人。这个人这个人在这个点处啊，连不连续啊？当然连续啊，你发现你看你顺着这个人走走走哎，你看走过去了。当然，连续连续就是不断。所以它在这个点处就是连续好，这是我们讲的这个问题，那么接下来我们再看第三件事，我们来讲讲连续的信息解读。我们经常在考试题当中啊，会出现这件事情。

出现件什么事情呢？题目当中会这样说，他说如果什么情况呢？说fs这个人。它在这个点处是连续的。对吧，往往题目当中会说这件事情。当一旦说到连续这件事情，立即给我蹦出来极限等于函数值，既然极限等于函数值，我首先第一件事儿我就突出第一个问题。这个人的极限结果是不存在的。当然存在，对吧？你极限等于函数值极限得是存在的。

第二，事情函数值对是存在的。对吧，函数值也要存在。极限，你看你想想刚才的图形极限存在吧。函数值也得存在第三件事情，它们得相等。他们三者啊，两者之间啊，必须相等极限，必须等于函数值，所以同学们想一个事情，如果一个题当中说了一个事情。它在这个点处是连续的。

它在这个点处有没有定义啊？有定义就是有没有？不，不要把这个词儿想的想的过于的高尚，对吧？就是研究这个人有没有？有没有当然有啊，你发现你在这个点处，你不断，你当然得有啊。所以如果在这个点处啊，你发现是连续的，已经凸显出来了，这个函数在这个点处是有定义的。好，

那么接下来我们再来看。根据我们在第一节过程当中学习的一个事情，同学们还记得吗？如果趋向于一个点处的极限存在，那么在趋向过程当中，这个函数是不是处处有定义啊？还记得吗？还记得吗？如果极限是存在。那就说明在趋向过程当中，必须要处处有定义。如果有个别没有定义的点这个极限，结果应该是不存在的，我当时还讲了一道非常经典的题，还记得吗？

要记到，如果这个极限是存在，那么在趋向过程当中就是区域性领域内。就是去心领域内注意啊，是去心领域内这个人当然得有定义，当然得存在，而你发现这一条当中又说明在这个点处存在。所以说最终我得到了一个结果，它在这个什么在这个领域内都是存在的。你能听懂我的意思吗？所以同学们一定要想清楚，如果这个点处是连续的第一件事情，极限存在。极限存在说明在这个点的去心领域内是存在。而该点函数值也存在，

那说明邻域当中都存在，就不是去心了，心也得包括。所以这个领域当中啊，都是存在，所以将来过程当中一定要听清楚这个事情，一旦说这个函数在这个点处连续。其实就默认了这个函数怎么了？在这个x=x零的什么领域？注意啊，不是去心领域领域内啊它。它都怎么办？它都有定义。好注意啊。不光这个点有定义领域，

当中都有定义。极限存在保证的去心领域内有利。而该点函数只存在保证了该点有定义，那就是邻域当中有定义。大家要想清楚啊，一个点处连续不光是这个点有定义邻域附近啊，都有定义。我这个知识点还挺重要。好了，那么接下来我们来磨一个知识点。好好听啊，认真听，因为这个部分内容你将来过程当中很多人绕不清楚，你基础班绕不清楚，你到今天你必须给我绕清楚。

好了，同学们，我们来思考一个问题。如果一个函数。它在这个点处。是连续的。你要注意啊，他在这个点处有点啊，是连续的，那请告诉我个事情，这个函数在这个点处有定义。能不能推出来？能不能这条线对不对？当然对呀。你在这个点处是连续的。

我就说明在这个领域当中都有定义，那该点处肯定有定义，没有问题，但是同学们能推回去吗？这是自己和自己的事情。我连续我有定义。我有定义，一定连续吗？大家注意这件事情，未必你比如说举个例子，我来画一个事情，你这个点处有定义，假设在这儿。那你告诉我个事情，它图像是这样。

连续吗？不连续吗？哎，你发现它这个点处有定义，但是在这个点处不连续啊，所以同学们不对。所以说什么叫做有定义呢？有定义就是有没有？什么叫做连续呢？连续是断不断。你能听得懂我的意思吗？连不连续断不断。你比如说这个事情，你有你就能说明不断吗？那不能。

但是我不断，我一定是有的。你能听懂我的意思吗？把这个事情要想清楚哎，这件事儿把它给我理解透彻，所以将来过程当中一定要听清楚。有定义跟连续不一样。有定义跟连续不一样，去年的考研真题啊。对吧，去年的考研真题就考了这个事情，他就贼喜欢考这个人，那么在这里面当中，我稍微给你看看。很多同学去年的考研真题啊，

那道题做的非常非常不好。啊，做的很不好，我来找找。咳咳。那么，接下来我们来看看这个事情。噢，这个题。呃，去年的考研真题，二零二三年的考研真题就这个题。给了四个人所正确的个数是。你看这个人，他说这个函数在这个区间内有定义。

同学们告诉我有定义，跟连续一样吗？跟连续不一样吧，很多同学做这个题啊，把第一个人选了，第一个一选我就疯了，他说分母的极限是零。比值极限存在分母极限是零。分子极限是零。然后又说极限等于函数值，所以说函数值就等于零，同学们对不对？对还是不对？什么时候极限等于函数值啊，连续的时候极限才会等于函数值，

你现在连续吗？你未必连续啊？极限等于零跟函，数值等于零可不一样，极限要想等于函数值得连续啊，你未知连续性，所以第一个人不对呀。你看这个题，这是去年的考题，所以它抠的非常的细。所以经验过程当中啊，你学这些内容，你必须要把它给我学好，跟得上我的意思吗？好，

那个题等会再说，学会了吗？听懂老投资怎么出题的吗？有定义。跟连续不一样。如果连续了极限，才会等函数值。不知道连续性极限未必等于函数值，注意啊，一个极限跟函数值要想相等，前提条件是连续。能听懂我的意思吗？如果不知道连续性极限，未必等函数值，你把这个事情给我想通好这个问题点，

我们就过去了。好了，所以说这条内容非常关键，连续的信息解读连续当中凸显出了几个事情，把这个事儿想清楚。好了，那么接下来我们继续看。那么，同学们想一个事情，用极限定义了连续性吧。用极限定义的连续啊。连续你发现极限有左极限和右极限，连续有没有左连续右连续啊？当然是有，所以说接下来过程当中，

我们再来看看第二事情。单侧连续性。哎，单侧连续性一侧。我没有说这个人是两侧连续，我说的是单侧连续性，那么所以说这里面当中我们先看看第一个事情，我们先来讲讲。做连续。什么叫左连续啊？左连续其实就是左极限等于函数值。哎，注意啊，左极限是存在它等于函数值，所以说这里面当中你发现从图像上怎么去理解的呢？

那么这里面当中我们画一个二维的迪卡坐标系啊。稍微去理解一下，你看这是s，然后这是s0。咳咳咳。什么叫左极限呢？左极限这个事情你发现看就是从左边往这跑。好，现在告诉我左极限等于几左极限等于a吧。你从这半边往它跑，跑到a左极限是a左极限，要等于函数值说明函数值也要等于a是不是就是这个情况？所以要注意啊，左连续就是这幅图。哎，

这叫左连续，那么接下来我们再来看看第二事情，再来看看右连续。那什么叫右连续啊？右连续它是这样，它就从这边往它跑。你现在看又极限等级。右极限也等于零。右边往它跑，跑到a右极限是a，那么这个时候你发现右连续的话就是右极限等于函数值，函数值等于a。所以你看这幅图表示的是右连续。哎，注意啊，

右极限等函数值。如果是左极限等于函数值，就是左连续右极限等于函数值，就是右连续。从左半边往这跑，跑的函数值是左连续从右边往这跑，跑的函数值叫右连续。那么，同学们告诉我，连续的充要条件是什么呀？连续啊，那你要想连续的话，你发现左边得跑到函数值右边也得跑到函数值嘛。所以说就是既做连续，而且又连续。

哎，既左连续，而且右连续哎，把这个事情啊，想清楚。左连续表示了左极限等函数值。右连续表示了右极限等函数值。所以说就是左边跑的函数值，右边跑的函数值就是左右都往函数值跑，就是连续。好了，这个事情非常简单，把这个事儿想清楚。什么叫左连续？什么叫右连续？

什么叫连续？把这个事儿一定要抓清楚。那么所以说接下来过程当中，我们再来看下面一个事情。哎，我在这里面当中啊，我都注意几条。你还在想一个事情，我们在第一节课过程当中啊，讲过这个内容，我们说一个函数在B区间连续什么意思啊？还记得吗？什么叫b虚线连续啊？必须要连续什么意思啊？必须间连续啊，

你发现凸显出了三个事情。第一事情，那就是开区间内连续。开区间内连续啊，其实就是开区间内不断。没有断，根本没有断，然后第二事情就是在a点处怎么了？a点处右连续。然后第二个事情be点处做连续。哎b点处做连续。所以说这件事情的话，你发现你看我们来画一幅图形啊，这幅图形啊，非常的简单。

首先第一件事情的话，这是y轴，这是零，然后这是s轴，这是a点，这是b点。什么叫右连续啊，右边往它跑，跑到函数值。什么叫左连续啊，左边往它跑，跑的函数值，然后中间不断，中间不断的话，你发现怎么样的都来回来？

那么，所以说什么叫做B区间连续呢？就是从a点出发到b点结束。对吧，你从这半边儿跑到a点，你从这半边儿跑到b点，中间是不断的。就是从a点出发到b点结束，中间不断。所以在这里面当中，我们就知道，既然从a点出发到b点结束，你一定会经历过人生的巅峰到低谷再回来。所以一定会拥有最大值，一定会拥有最小值，

所以你看最值定理就来了。在必须间连续一定拥有最大值和最小值，既然拥有最大值和最小值这个人呢？一定有劲。好，这个问题点我们就讲清楚了，B区间连续一定是有界的。那如果是开区间连续呢？开区间连续得保证单侧的极限是存在。他就有劲哎，把那个知识点掌握清楚，非常简单，那种好了，这个知识点呢，我们就讲到这儿，

所以说今天你发现我又一次把连续的东西啊。学清楚了，那么接下来的问题点我们就来了。如何判断连续性呢？好了，我们来看看第一件事情。咳咳咳。那么，接下来我们来看看黄金重点内容。哎，黄金重点如何判断函数连续性？哎，怎么判断连续性呢？那么，在这里面当中啊，

首先我们先看看第一种方法。啊，先来看方法一。方法一啊，这个东西啊，叫做看图像。对吧，你可以看图像啊。看图像怎么看？只要在这个点处不断，你就在这个点处连续。我就看你断不断，只要你在这个点处是没有断的，我就在这个点处连续的，对吧？

这是一种方法。然后接下来我们看看方法二用定义。用定义大家注意啊，这是第一定时思维能力。所以说在考研过程当中啊，只要你判到连续性，我只要见到连续性，我首先第一件事情我就想到用第一。但是用定义的话，你发现不就是极限等于函数值吗？对吧，极限等于函数值，所以在这种当中啊，就有两种情况，一种情况是不需要分左右。

到部分左右还有一种情况呢，就是分左右。对吧，一种情况不需要分左右，一种情况需要分左右。如果在这个题当中，你发现不需要分左右呢？连续怎么判定不需要分左右就是极限？等不等于函数值？所以你的判断方法非常简单，你就求趋向于这个点处的极限，你看看等不等于该点函数值？如果这个题你发现需要分左右呢？需要分左右就是这个点处的左极限。和右极限。

存在且相等，都要等于函数值。好，这就是它的判定思路。所以交流过程当中，你发现你的核心思想连续是用谁来定义的？连续就是用极限来定义的。对吧，就是用极限定义的核心，重点就是看极限等不等于函数值，如果需要分左右就是左极限，右极限都等于函数值。好，这个问题点就出来了，你把这个事情想清楚啊，

就非常简单了好了，那么接下来我们来看几个题吧哦，那么接下来我们先看第一个人。先看一点五四这个题。操作一下这个人吧。咳咳。哎，不好意思啊，这个。我感觉去年那个扬了之后还是挺。挺厉害的，我后来的话，有的时候偶尔的话，这个。咳嗽啊，

它不是它不是连续的，就是它是间断的，你看这个今天还挺应景，有的时候这个。呃，偶尔的话就会还会可想啊。好了，我们就继续吧，我们再来看看这个人。所以说在这个题当中啊，你发现有的时候分作用，有的时候不分作用，对吧？有时候分，有时候不分。

那么，同学们想想什么时候要分？什么时候不要分呢？对吧，什么时候要分，什么时候不要分呢？所以同学们注意这件事情，你就去想想左右开工法的情况就行。对吧，这里面当中我们讲了好多事情，比如说一亿的头顶往无穷大跑arctan，后面往无穷大跑。绝对值，这里面当中怎么办？往零跑，

这都是常见的分段函数，在分段点两边儿不一样的是要分。所以接下来过程当中，我们来看看这个题。那么这个题的话，你发现他让我们进行讨论什么，他让我们去讨论，在这个点处，这个函数怎么样？在这个点处啊，极限存不存在连不连续左连续还是右连续，所以说这个题的话，你发现首先来看。无论是极限存在性还是连续性问题，你都要进行求出。

这个点出极限。那求这个极限的话，我们来求呗，那这人是多少一减e的s分之一二加上e的s分之一，然后再加上多少s绝对值，然后分之c。那么，同学们想想这题要不要分呢？要不要分我们检验一下呗，首先第一件事情绝对值里面往零跑要分。一亿到头顶，往无穷大跑要分，所以说这个题啊，一定得分成左右极限，你注意啊，

这个数学学习啊，前后这个部分东西啊，是非常衔接的。所以这里面当中，你发现就右极限和左极限，那么我们来分享，那么先来看看第一个人limits趋向零帧。如果趋向零正呢，你发现这个绝对值呢？这个绝对值就要等于本身，所以这个人呢，立即就等于他。零正是大于零嘛，绝对值等于本身，然后再来看这个人的极限，

结果是不是存在的？既然这个人极限结果是存在，我就把这个人拆开，立即就变成了这个人。哎，变成它，然后再加上limits趋向零正s分之三。加减法当中，只要见到存在就拆开。好，我们先看看前面。那么，这个人的话，你发现s这个人是趋向零正s分之一，这个人就趋向正无穷一亿的，

这个正无穷呢？一亿的正无穷是正无穷。好，所以说马上明白了，这个东西是正无穷正无穷，加二无穷，大正无穷呢，被一减无穷大。所以说这个题啊，它就是个无穷大比无穷大未定式，那就可以抓大头啊，抓它抓它，所以说第一个人极限，结果是多少？敌人是负一，

敌人是多少？敌人是一，所以结果是零啊。你看这个人这半边的极限，结果是零好，我们再来看看这半边极限limits趋向多少零负？趋向零负的话，你发现这人比零小，绝对值要等于相反数，所以变成这样。这人变成负s，然后紧接着你再看，你看这个人的极限，结果是负一，那加减法过程当中啊，

只要看到存在就拆开，立即就变成了这个人。然后这个人就变成了他，那么接下来再加上limits趋向多少零负，然后是负s分之s in这个人。好，继续看那么这个题的话，你发现s这个人是趋向多少零负s分之一，这个人就趋向多少负无穷。然后这个人是e的，负穷就趋向多少e的负穷趋向零。所以说这个题的话，你看这是零，这是零，上面极限，

结果是二，下面极限，结果是一，一定是未定式。当然是已定式，既然是已定式，就是二后面这人呢？是负一本题，结果是一。那么，左右极限都存在，但不相等。很明显，一个事情极限是不存在的。那肯定也不连续啊，

如果要想连续左右极限存在要相等，所以说这里面当中啊，连续不对。那就看看左连续还是右连续，那该点函数值是多少？该点函数值是一很明显，这个人不会等于该点函数值不会是右连续右连续不选。然后再来看该点函数值确实是一，所以说这个人呢，是左连续正确答案选几啊选b。那这个题啊，我们就立即出来了哎，它是左连续，但不是右连续好，这是一点五四，

这个题还可以吧？我觉得这个题啊，第一件事情把基本知识点考了，第二件事情把左右开工法的内容考了啊，这个题还不错。好，这个题就过去了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下面这个题。啊，一点五五这个题来再看这个题。那么这个题啊，他说了一个事情，他说这个函数在零处是连续的，好了，

同学们只要见到连续，你能想到什么事情？我立即会想到极限等于函数值。那既然极限等于函数值的话，你发现你就要求零处的极限，需不需要分呢？要不要分不用分哎，这个题啊，不用分。因为这个零的话，你发现左右两边是一样的，那就不用分那么，首先第一件事情我们就来求极限，那就是limits趋向多少趋向零。然后这个部分是arctangent多少tangent 2s？

然后再加上一亿到2 as再减一。然后再比上根号下一+s再减一好了，那么接下来我们来看看，求一下这个极限当s趋向零。那这个人的话，你发现立即可以等价，等价无穷小二分之一s，然后这是arctangent二s，然后这是一到二as再来减一。那么，同学们，我们来稍微看看，你看这个人是一+2。那这人也是一阶啊，一阶比一阶当然是存在啊，

所以说这一项结果就是存在。好，再看这个人，你发现这人也是一阶一阶比一阶是存在，所以说在这种当中就可以拆开了吧，立即拆开。把阵拆开了之后的话，这个题就变成了雷mates趋向零，然后这是二分之s，然后这是阿克t an ENT。对吧，这是二s，然后再加上limits趋向零，这是二分之一s，这是一的二as，

再来减一。那么现在再看两项之间是除法，除法之间就可以等价了，所以上面的人等价多少？等价无穷2s。对吧，因为你发现趋向于零，这是框嘛？arctan框立即等价无效框，然后接下来过程当中，我们再来看当s趋向零的时候，你发现。这个整体是不是也是零？那一的框减一立即等价，无效框就变成了这个人，

所以说第一人就是四，然后第二人呢？第二人就是4a。好，这个极限出来了。极限如果是连续极限，要等于函数值，该点函数值是a呀，所以你要等于a，既然要等于AA，就等于多少呢移过去。负的多少？三分之四。所以说这个题的正确答案选几啊，就选一。

呃，你看这个题啊，核心重点考了一个事情连续的定义。函数极限的计算把这两个事情掌握清楚啊，这个东西就没问题啊，难度系数也不大，对吧？非常考量大家的这个基本功。把这个基本功啊，打扎实点就行，好这个题啊，我们就讲到这过去了，可以吗？好，这题就讲到这呃，

这里面当中啊，我们再做一个题。好，我们再来一个题。嗯，来看一下这个题。看一下这个人呃，给了一个分段函数，然后说了一个事情，他在这个零处怎么了？连续哎，他在这个点处是连续的，然后让我们看看下面，结果当中啊，哪个人是正确的？

怎么处理啊？那只要看到连续反映一个事情，极限等于函数值。那肯定要求零处极限大于零和小于零不一样。所以说这个题啊，你必须要分。对吧，一定要分，因此在这里面当中啊，首先第一件事情我们就来求解一下，在这个趋向零的时候的什么右极限？右极限其实就对这个人求极限啊，对它求，然后在这种当中当s趋向零正的时候，你发现上面的呢，

这是as这是不是框啊？一减cosine框立即等价无穷，二分之一米的平方s，这人就是二as啊二a分之一。然后接下来过程当中，我们再来看当s，如果趋向零负呢？零负这个人就对b求极限，结果就是b。那该点函数值呢？那该点函数值的话，你发现把零带进去就是b还是b？因此这个结果就是二a分之一等于b，那AB等于多少二分之一？正确答案选几？

选a呃，这个题啊，很适合作为我们的考研真题。非常适合就我们，你发现到了这个最最后一场考试啊，考的这个试题呢，很多题目的话，你发现难度系数跟这个东西很像。难也不难。简单呢，考量这个基本功，把这个东西啊，一定要打扎实。好了，这个题啊，

我们就讲到这儿好继续可以吗？哎，这是我们介绍的第一个重点问题。好了，那么接下来我们就继续开始，我们再来看看第二大核心重点。呃，接下来讲这个问题啊，我们可能在这个基础班过程当中啊呃，零基础提前学是没有讲的。那么这个东西啊，是重点放在基础班来讲好，我们先来看看第一个人啊，初等函数在定义区间内。b连续注意。

初等函数在定义区间内，必连续大家注意啊，这里面当中啊，有前提条件谁啊？初等函数。那么，在这种当中，我就要复习这个知识点了。什么叫初等函数？何为初等函数。初等函数，它是这样。它是有基本初等函数。进行有限次的什么加减乘除或者怎么办？或者复合而来的函数，

它就叫什么？它就叫初等函数。对吧，由基本初等函数经过有限次的加减乘除复合而来，用一个式子表达的。大家知道前提条件，一个式子表达的。它的函数叫初等函数。所以在这种当中，你看这个人是不是初等函数，你就看看这个东西是不是一个式子？是不是由我们经常所见到的那些函数之间的组装而成？什么叫基本初等函数啊？西本冲的函数有这些人。反对。

幂三值常值函数就是常数嘛。由这些人之间进行有限次的加减乘除，复合而来，用一个式子表达的函数，你看这个读起来特别的绕。你的核心重点只需要掌握一个事情，一个式子。只要这些人的话，你发现表达起来是一个式子。差不多都是初等函数。所以注意啊，如果是个初等函数，在定义区间内一定是连续的。所以对于一个初等函数而言，你看这个点连不连续，

你就看看这个点在不在定义区间内。什么叫定义区间啊？就是定义域内对吧？定义域内。啊，基本上这个定义区间讨论的只是开区间。能理解我的意思吗？哎，注意如果是端点的话，你发现就不能说连续了，端点只能说单侧连续嘛。所以说，定义区间一般指的是开区间，我相信你能理解我的，如果是B区间，

你怎么能说连续呢？你那个端点只能是单侧连续，只有左连续或者右连续嘛？那这个事情很好理解，所以接下来过程当中啊，我们来看几个事情，比如我们看第一。好看一个。呃，我来写一个事情吧，我们写个s in，然后x分之一你请你告诉我个事情，这个人在x等于二处连不连续啊？好，这第一个人，

请问同学们注意这个人在s=0处连不连续啊？连不连续。两种判断方法。你先来看第一个事情，你很明显就会发现一个事儿，这是不是一个初等函数？它就是一个初等函数，用这个s分之一信息去复合了sins里面的s初等函数。既然是初等函数，只要在这个点处有定义，它在这个点处就连续。那你告诉我，它在这个点处有没有定义啊？有定义就连续没有定义，肯定不连续。

因为要想连续前提得有定义，所以同学们注意这个东西啊，就不连续。能理解我的意思吗？哎，注意啊，不要跟我八问号，你自信一点，你这个东西你就跟将来过程当中自己做题一样，明显都做对了，哎呀，这个东西。怎么感觉有点不对吧？到底是不是这个答案呢？赶紧去看答案，

你这样的话，你发现很容易培养不出来这个做题能力。哎，注意啊，自信一点。好了，这个事儿我们就讲到这儿，所以你看对于一个初等函数而言，你在这个点处有定义，你就在这个点处连续。对吧，你在这个点处没有定义，你在这个点处肯定不连续，因为要想连续的条件必须得保证在这个点处有定义。要注意这个事情，

我知道有些同学就混淆了。很多说哎，老师，你既然说这个事情，你刚才说的那个东西不就有问题了吗？你看刚才这个题也说了，有定义啊。那有定义，你刚才不是说有定义就连续吗？你刚说的有定义不就连续吗？有定义连续啊。那你现在又说你有定义不连续，大家注意啊，我有个前提条件。你这个人得是个初等函数啊。

你这人是初等函数吗？你未必是初等函数。对吧，你这个东西我哪知道你什么函数？你有可能是分段函数，分段函数一般不是初等函数。那么我也不知道你是啥函数，所以同学们注意啊，这未必的。所以这个东西啊，有一个大前提条件是初等函数，初等函数在定义区间内都连续。所以接下来过程当中啊，问题点就来了。那么，

对于初等函数进行去判断，连续性是不是太简单了？一个初等函数判断连续性，你在这个点处有定义，你就在这个点处连续，这太简单了，所以接下来过程当中啊，我们来看一个事情。考点啊，这也考过。这个数一数二数三从来不考。但是对我们而言呢，往年的真题是考过的，虽然是以前的真题，但这个东西啊，

也有所涉及如何？求初等函数。的连续区间。怎么求啊呃，我表述的非常清楚啊，求解的是谁呀？求解的是初等函数的连续区间。怎么求我要求解这个人的连续区间？根据一句话。初等函数在定义域区间内都连续。定义域外的东西啊，都不连续，当然没有定义，肯定不连续，所以说对于初等函数而言。

它的一个连续区间，其实就是它的一个定义区间，你能理解我的意思吗？所以它的核心重点非常简单，你到底这个东西连不连续？就是看看你有没有定义，有定义就连续没有定义就不连续。那所以说这个人的话，你发现求解他的连续区间不就是求解定义区间吗？那这个事情变得多么的简单呀。所以将来过程当中，你再碰到这个问题，点它的难度系数就不大了。对吧，求解什么连续区间问题不就是求解这个人的定义区间问题吗？

非常简单。所以接下来过程当中啊，我们来看一个题，比如我出一个。零，求解。呃y等于多少呢arcsine？二分之二s减一。它的一个连续区间。v多少好，你看这个题。所以同学们注意一个事情，我们首先看第一个点，那么同学们告诉我这个人是不是一个初等函数啊？对吧，

它就是初等函数，你既然是个初等函数。那你对于初等函数连续区间，在定义区间内都连续那核心重点，不就是看看它的定义区间吗？不就求定域吗？那就求定域啊，所以说接下来过程当中，我们就来看看这个定域，那这个定域是多少？我们都知道arcs in图像，还记得吗？你看有些同学这个初高中知识点又发现问题了。就是我们之前过程当中讲的那个第一次课程讲的对吧？负一到一，

所以这个人的话就是2 s- 1比上二就是。就这个整体部分。呃，这个人呢？他就在负一到一区间。哎，就这个范围，所以说接下来过程当中就可以解s这个人呢，大于等于多少，大于等于负的二分之三。然后小于等于多啊，这个是负的二分之一。对吧，负的二分之一，然后小于等于多少二分之三？

所以说这个人的范围就是这个人，但是同学们告诉我事情这个范围怎么填啊？连续区间怎么填？填开的还是填闭的？当然，填k的一定要填负二分之一到二分之三。不能填beat。绝对不能填b的。填b的这个东西就做错了，为什么因为端点的话是单侧连续性，不是连续？你想这一侧只能是右连续，这一侧只能是左连续，它不是连续，它没有那半边要想连续既左连续也右连续。

所以这个事情是非常关键的。一定要进行去填开区间。对吧，因为你发现这个端点处啊，只有单侧连续好这个事情一定要想清楚。呃，如果你不记得这个人的图像，你等我一下啊，你比如这个同学，你记得这个图像吗？你要遗忘了你下去过程当中给我抄几遍啊。对吧，最起码的话，这个反对幂三指这些函数的基本图像，你得掌握清楚到图像得记清楚。

好，这个问题点我们就掌握清楚了，求解这个初等函数的连续区间，其实就是求解这个人的定义区间。好，这个问题点我们接下来继续。呃，再来出一个题，比如说我们来看看李二这个人。比如说我们已知说一个事情，我们说已知。然后这里面当中啊，给了一个函数。我这样写。呃，

这个部分的话，写了一个sins。然后是一减cos根号s。然后再加上s in 2s。然后是s不为零，然后s=0=a。然后说什么情况，它在。负无穷到正无穷那边去。连续则a等于多少？好，你看这个题。呃，这个题你发现一个事情，它这个出题点就有点骗子。

对吧，这个题出题简直就是骗子，所以说将来过程当中，你再碰到这种题，你就不管了，你看这个题，他说的是负无穷到正无穷连续。那你负无穷，到正无穷得多少个点？有无数个点？每个点都要检验极限，等于函数值吗？那检验死了，根本做不出来，那么这个题是什么意思呢？

我们来看看这个事儿。大家想想一个事。请问这个东西是不是分段点外的？那么，在分段点外的时候，它是不是一个初等函数啊？是不是啊？这是分段点外吗？分段点外，它是个初等函数，它定义域多少？它定义域就是不为零。所以说我明白一个事情，也就是说在不为零的时候，它本来就连续了。

对吧，你不为零，我本来就连续了，那要想在负无穷到正无穷连续呢，你只需要保证什么，你只需要保证这个点连续就行。你能理解我的意思吗？注意啊，你只用保证这个点连续，所以将来过程当中啊，给你一个分段函数连续。他说这个分段函数在负无穷到正无穷，连续核心重点就是分段点处连续这个骗子，所以说这个题啊，你发现你把它稍微改一下。

你就直接写，你就说这个人怎么了？这个人在这个分段点处。它是连续的。那同学们想连续说明什么？连续就说明极限要等于函数值。那求极限呗，求解一下趋向零处的极限，趋向零处极限，这是sins，然后这是一减cos，哎呀，这个。出的不好呃，改成这个人吧，

不然的话，这个人只能大于零啊，这个出的不好啊。你抽成这个吧。哎，我出的题嘛，对吧？你做就行，好了，这个事情的话就变成了这样，那然后这是s in 2s。好，那么这个题怎么处理啊？我们先看第一种方法。你发现一个事情，

这是个一阶吧？然后这人是二阶吧？高阶比低阶是零存在的。对吧，高比低是存在拆开，然后接下来过程当中，同阶这个东西也是存在拆开。哦，稍等，我想我插个电。哎呀，这个。行吧哦，先上吧，我这。

我忘拿电源了。这个太尴尬了，行吧？好，我们先上吧啊，我们先上啊，把这个东西啊，这块儿先上完吧。啊，先上完吧啊。呃，好了，那么接下来我们就继续啊，我们再来看看，往后面看。

行吧，不着急，来来来，继续吧。那这时候你发现一个事情，你看。高阶比低阶，那这人是存在的。对吧，同阶这个部分也是存在的，那这些都是存在，我就可以拆开呀，所以说这个东西啊，我就立即把它拆开了。对吧，

我立即把它拆开了好了，这是我们讲的这个第一个事情，你就拆呗。那这时候你看拆成的第一个人的话，就变成了limits趋向零，然后这是一减cos in，然后这人等价无穷s比上它。然后这个时候的话，你发现当s趋向零，那这是s in 2s比上s那求这个人，那么所以说这个里面当中啊，你发现当s趋向零的时候。两者之间呢，你发现是作弊的情况，那这人等价多少二分之一s方比上s。

然后这里面当中当s趋向零的时候，你发现这等价多少2s比上它，所以说这个结果是零，那这个结果呢？这个结果是二，因此等于二。呃，其实这个题啊，你还能做的更快一点。对吧，你做这个东西啊，你还能做的更快一点。那这一点当中，你首先发现一个事情，你看这人是不是二姐？

这人是不是一级啊？所以一阶二阶和取低阶取一阶。因为一个无穷小，后面跟上了一个高阶，这个高阶是个废物啊。对吧，无穷小和镁跟高阶高阶无穷小是废物，所以等价是它，所以说这个结果立即等价2s本题结果也是。所以你看这个操作性的方法，有可能会更快一点。对吧，这个思维方式就出来了，那么接下来我们再看连续极限要等于函数值说明什么情况，这个函数值等于多少函数值等于a。

因此，你发现a等于它。哎，注意啊，这个东西等于AA就等于它。所以说这个题的话，你发现它就是个非常重点内容，对吧？下去过程当中啊，把它好好啃一啃。那如果将来过程当中，我们碰到一个题，他说在负无穷到正无穷连续。其实这个题啊，跟说在分段点处连续啊是一样的啊，

就是个骗子，把这个事情掌握清楚就行，过去了可以吗？好，我们再讲一个题，我把这个题讲一下啊，这个题更经典，把这题好好听啊，这题重点题。呃，那么接下来我们再来看看一点五六这个题好继续吧。他说这个人，他说这个人在负无穷到正无穷，连续则c是多少长经验了吗？负无穷到正无穷，

连续其实说的就是这个人怎么了？在分段点处连续，但是这个题不好分析啊。很多同学在这个题当中啊，你就发现就挂在这了。这题会做的同学非常快。如果不会做的同学，你发现就愣到这儿了。那么，这个题而言，拉条数轴线研究下。哎，拉条数轴线。那么，在这种当中，

我们来看一个事情，你发现看这是零这个点。绝对值这个人比他小，那就说明在负c到c中间。那么，在负c到c中间，那这个人其实是s方加上一。然后这个部分的话，你看这个人大于c的时候，他其实是绝对值分之二。而你都知道这一段呢，它是大于零大于零，就是s分之二这一段呢，这一段就是负的s分之二。好，

这是这个情况s分之二，负的s分之二。好了，那么接下来我们就继续看。你发现一个事情啊，你看这个人这个人在这个区间段内连不连续啊？连续吧初等函数在定义域范围内都连续它定义域是r，这段当然是连续。然后我们再看这个人，这个初等函数在这一段连不连续啊？连续初等函数在定义域范围内都连续。它的无定义点是零，当然连续，然后再看这个人呢，这个人在这一段也是连续，

所以说这个题啊。他说，负无穷到正无穷，连续其实你发现你的核心重点只需要研究这两个点处连续。只要你能研究出来，这个点两个点连续，那这题就出来了。而且这个题啊，你发现还能做的更快一点。怎么看？我不想研究两个点，大家有没有发现一个事情？这个函数是个偶函数嘛？有没有发现？两边是对称的吧？

两边是对称的吧？就是个偶函数，那既然是个偶函数的话，你发现一个问题。哎，偶函数。如果你在这个点处连续就在这个点处不断。那两边对称的话，你发现在这个点处是不是也不断？那当然是这样，你这一侧是不断的对称过来，这个点处当然也是不断的。所以说这个人就不断，因此啊，我们在这个题当中只用研究这个点处连续就行，

你看这是高手。对吧，把这个题剖析的已经非常非常简单了，所以在这个题当中的核心重点，我只需要研究一个事情。就是来研究这个函数怎么办？在x=c处，它是连续的。你只需要研究出来，这个人在c处连续，他就出来了。好，我们先看看第一个事情，你先看这半边儿。那这半边的话，

你发现它的左极限多少？它的左极限啊，左极限就是c方加一。对吧，左极限就是c方加一，然后右极限呢？右极限就是c分之二。然后该点处函数值呢？该点函数值还是c方加一。左极限，右极限。该点函数值三者相等。那所以说接下来过程当中，把这人解出来就行呗，那我们解一下吧，

那这人是多少？这c的三次方加上c再来减去二就等于零，你告诉我c等于几严惩罚？c=1本题结束。呃，所以说这个题啊，如果考给我们非常好，对吧？速战速决，你在这里面当中，我看一下多少电了？嗯，还可以。所以说对于这个题而言呢，你发现你就可以速战速决了。

啊，你在这里面当中速战速决，我知道有些同学心有余悸啊。他说老师这不对吧？这不三次方程吗？三次方程不应该有三个根吗？你这解出来一个人就行了吗？三次方程应该能解出三个人呢，你这解出来一个人未必正确吧？好同学们，我来给你讲讲，你们会不会解三次方程呢？啊。呃，接下来过程当中啊，

我给你教一种方法啊。哎，小知识。如何解三次方程？三次通知。大家注意哦，这个事情高树中屡试不爽。啊，在高数当中屡试不爽，但是这件事情呃，还好我们学线性代数的时候不学特征值。对吧，不学这个二次型，所以将来过程当中我们碰到这个这种几率啊，不是说特别大，

所以说你只要学会我这个方法，我们基本上而言就能处理我们考研当中的所有的问题。那么，接下来我们看看啊，这个三次方程。哎，不要再什么穿越法则了，你如果掌握一个事情就行，试根法。哎，试根法，你只要掌握住这个方法，它就可以了。那么，接下来过程当中，

我们先讲一下什么叫做三次方程呢？三次方程应该是这样s三次方a倍的s方b倍的s+c=0。那这个东西啊，你发现就是个三次方程，对吧？这是个三次方程。那这个三次方程我们都知道它的三个根，如果是s1s2s3的话，它一定可以怎么办？因式分解成这个样子。哎，一定可以。它永远可以因式分解成这样。我永远可以这个能理解吗？而这三个人就是我的三个根。

爱就是我的三根。那么，在这件事情我怎么去处理呢？你发现看我第一步。注意啊，第一步第一步非常重要，我眼睛瞅一个根。我没跟你开玩笑啊，这实打实做的对吧？进行尝试，我先瞅一个根，我把这个根呢瞅出来。等你把这个根瞅出来之后啊，那么接下来过程当中我们都知道，如果这是你的根，

那这一项就能被提出来。所以把这个东西作为整体。哎，永远作为整体打包。那这件事情永远都能做，把is-s一作为整体，剩下这个东西呢？剩下这个东西是个二次。然后等于零。那这个时候你发现就可以操作了，这人会解答，这人会解答，我没见过同学们不会因式分解二次多项式的。二次多项式啊，你信手缀来，

所以相信这个方法，你掌握清楚就行啊，这就是我们在高数当中啊，你进行解三次方程。掌握住这个方法就行，什么这个短除法啦等等一系列方法都不需要，那么接下来我们来练一下，那试一个可以吗？来来来，试一个试一个，把这人解一下。来分析。呃，这里面当中是c的三次方加上c，然后减去二=0好，

我们一起来看看这个事情。那么，首先这里面当中，我们先看第一个问题点。好，那么接下来我们就继续啊，我们再来看这个人，那么首先第一件事情，我们先瞅一个人吧，你先瞅一下，一瞅的话，你发现这个人是一。瞅的非常简单，把一瞅出来，把一瞅出来之后啊c- 1就是个整体，

所以我就不喜欢减二了，我就喜欢的是减一。把这个东西作为整体那多的部分呢？多的部分就给你。好，这个部分，然后这个人等于零。那么，接下来过程当中啊，前面这个东西呢，利用一下立方差公式，立方差公式就变成了c- 1。c方加c再加一，然后再加上c- 1，这个结果等于零，

你看这个c- 1是不是能提出来？绝对的不可能提不出来，绝对能提出来就是加二=0，你再看这个人德尔塔等于b平方。减去4 AC这个结果小于零，但是它小于零呢，那这个部分呢，它是没有解的，这个没有解的话，说明什么情况？说明它只有一个解。c=1，那就说明我们刚才做的是完全没有问题的，好这个知识点我讲完了吧，你看这个人立即把它求出来c。

c=1，我知道有些同学又有问题了，说老师你刚才提到了一个东西，叫做立方差公式，那是个什么鬼？好，那么今天过程当中啊，我来讲讲，我把这些知识点呢，我全给你讲一遍，好来复习一下这个初高中内容吧，来住到这儿。那么，首先我们先看看第一个问题，立方差公式。

a的三次方减b的三次方，它其实就是a-ba^2，加上AB+b^2。好，这个公式，然后接下来就是a的三次方加上b的三次方，这是a+b，然后是a方减AB+b^2。好这个呃，既然讲到这儿，我就想把这一堆东西全给你讲了好了，那么接下来我们再来看第二事情，我再来讲讲二项式定理。二项式定理。那什么叫二项式定理呢？

二项式定理它是这样，就是a+b的N次方。a+b的N次方，它的结果是这样说啊CN 0n个里面取零个。取零个a啊，取个n个a。零个b。然后再使n个里面取一个。n- 1个a一个b，然后一直咔咔咔加CNN CNN的话，你发现这个a取零个。b取n个。呃，这就是我们在高中过程当中啊，学习的著名的二项式定理，

我估计有些同学可能是这个。学文科同学学文科同学啊，这个东西没有学过。啊，没有学过这个东西，是理科同学学的，所以有些同学不用这个去想，哎，我没有学过你，有可能是文科生啊，这个部分内容。这个二项式定理。那么，既然谈到这样，我就把这个东西啊，

我们再讲讲，有些同学估计又要问了，说老师你在这里面当中讲的这个c这个东西是什么？对吧，这个c这个东西我们到底是什么意思？大家注意啊，我们将来过程当中会学习概率论。那么，学习概率论的时候，我再会给你重点的去讲c这个东西是用于什么样的运算？a这个东西用于什么样的运算？所以说今天过程当中啊，你只要会算就行，你听懂我的意思吗？好注意啊，

今天会算就行。你不用进行去掌握它的意义，等学到概率论与数理统计，我们不学数理统计学习概率论的时候，我会完完整整的再给你把这个东西啊串一遍。我再给你补这个基础，所以这个内容我们首先看第一个事情，它的名字叫排列数。还有一个东西叫做组合树。哎，组合数。什么叫排列数呢？排列数就是。在n个人里面取m个。它们是有顺序的。

什么叫组合数呢？n个里面取m个，它是没有顺序的。大家要注意啊，今天过程当中会算就行，比如说举个例子a九四怎么算？非常简单，从九开始乘四个数，九八七六就行。啊，就这么简单，如果在这种当中，你发现a12怎么算？从时开始乘两个数。好，

这个结果那么接下来我们再来看c。c这个东西啊，它怎么做呢？比如说c就是c就是这个人是从九开始乘四个数九八七六。下边帧从四开始乘四三二一。I四三二一。会算吧，好了，那么接下来我们再看，比如说c12呢，上面从十开始乘乘两个数19，下面从二×2×1。好，这个结果非常非常简单。那么，

这里面当中啊，有些重点的性质，那么这里面当中我们看cnm。它会等于CNN减你，比如说我举个例子c九四就会等于c九五。c12就会等于c18。好，这个内容那么接下来我们就继续，我们再来看CN 0呢？CN 0就等于CNN这个东西规定是一哎，注意啊，这个东西是规定好这个内容，我们就讲到这。比高中老师讲的简单。我刚给你说的是，

我们先会算就行，我还没开始讲呢。这东西什么意思？什么样的一个内容的应用，那这个内容我会在这个我们概率论部分内容再讲，那么今天在高等数学当中啊，你重点而言，你只要会算就行。能听懂吧，你只要会算就行。啊，你只要会算就行好了，那么接下来我们在这里面当中啊，我们就继续，我们再来看。

哎，注意啊，把这个东西速战速决诶，这一点当中你发现这个二项式定理喜欢考谁呢？喜欢考三次方。你看这个内容就出来了，我们一起来啊，好三次方，首先第一个事情c三零。c三零是1a的三次方b的零次方。然后是c三一c三一是3a的平方b的一次方。c三二跟c三一是一样，是三三倍的AB方。然后接下来过程当中就继续c三三就是c三零，那就是b取三个a取零个，

你看这个公式出来了。然后这个部分的内容，你发现在的是a-b。那a-b就用负b去替换上面的BA的三次方，然后再减去a的3倍的a方b。然后再加上三倍的AB方，然后负b以替换就是这个人，很多同学以前过程当中这两个公式啊，估计是硬着背的。这叫完全立方公式啊，完全立方公式有些同学是硬背的，但同学们注意，如果你理解了呢？这个东西贼简单，你稍微脑子一转，

这个东西出来了。所以下去过程当中啊，把这个内容好好去想想对吧，这一波内容啊，你注意啊，我全给你复盘了。所以我我觉得这块儿内容啊，刚好串到这儿，对吧？刚好串到这儿，所有东西我都给你稍微的串了一遍。基本公式去记啊，对吧？这个东西没有什么挑战性，什么立方差立方和你记一下就行，

什么二项式定理公式啊，你记住就行。排列数和组合数在高等数学会算就行，然后这个公式啊，你把它记住。好了呃，那么这个问题点我们就讲到这儿吧，稍微休息一会儿可以吗？行吧，休息会儿吧，一会儿我们继续啊。还有9%的电啊。呵呵，还休息吗？啊，

不休息了吧？好吧，我们把它讲到没有电啊。啊，可以吗？哎，不休息了，不休息了，不休息了。我们继续讲吧。啊，怎么样？呵呵呵。好了，我们继续吧，

我们来看看啊，再往下来。呃，这就是我们刚才讲的这个部分内容，首先我先讲的第一波知识点，一个初等函数在定义区间内一定是连续的。所以下去过程当中啊，把这个东西啊，好好进行去消化一下好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个事情，再来往下走，我们来看看第二条。连续函数的四则运算法则的性质。哎，

连续函数的四则运算。这个事情其实非常简单。啊，非常简单，比如说连续函数。加减上连续函数。一定是连续函数。如果是一个连续函数。乘以连续函数。一定是连续函数。一个连续函数。除一个连续函数，一定是连续函数，但是注意一个事情啊，你得保证这个分母啊，

不一定。那这个事情是必须基础的。所以说在这里面当中啊，这个四则运算法的性质，它讲究的是什么呢？其实你发现这个内容跟我们原来讲的极限是非常像的。为什么呢？因为连续就是用极限定义的。对吧，我们用极限。定义了谁呢？定义了连续啊，定义了连续。用极限定义的连续极限拥有什么性质？连续就拥有什么性质？

那么在这种当中，我们比如说我们分析一下。哎，我们分析一下，比如说举个例子啊，我们说如果这个fs啊。它在is=is零处是点区。js，这个人。它在x=s零处。页连续。那我就想问你一个事情。这里面当中啊，我就想看。我就想看一个什么事情呢，

我就想看看这两东西相加。你在这个点处连续吗？怎么证明呃？非常简单，怎么证明呢？想证明一个函数在这个点处连续就要进行去证明，这个函数在这个点处的极限等不等于这个点处的函数值。所以说在这里面当中啊，你发现你的核心思想非常简单，你就是来求解这个函数的极限。对吧，你到底等不等于函数值好，我们来看看第一个事情，你发现看这个人连不连续啊？连续啊，

连续极限是存在的呀。这个人连不连续啊？连续啊极限是存在，所以说都存在都存在，可不可以拆都存在就可以拆，我就拆成。第一个极限，再加上第二个极限，注意哦，这是可以拆的。那么，接下来我们继续，我们再看。那这个时候你看你连续你连续极限不就等于函数值吗？你连续你的极限不就等于函数值吗？

我立即进行去求出来，这个问题你看。你的极限等于你的函数值，那不就说明这个函数在这个点处是连续的嘛，没有问题。所以大家注意啊，当你极限拥有什么样的一个性质，那这个连续它就拥有什么性质，那这个东西啊是一样的。一脉相承，那么接下来我们来看几个重点问题啊，你来思考了。原来学习这个极限的时候啊，我们是存在加减，存在是存在，

现在是连续加减，连续是连续。然后紧接着我们就继续原来学习存在加减，不存在是不存在，那连续加减不连续呢，一定不连续。没问题吧？好，我们再看第三个事情，那么原来过程当中我们学习什么？我们学习不连续。啊，这个存不存在加减？不存在是未知，那不连续呢？

加减不连续，这个人也是未知。什么叫未知呢？这个结果有可能是连续这个结果，也有可能是不连续，那这个东西是不一样好了，这是这个问题。所以说这是我们在这里面当中啊，讲的这个第一波问题，那么接下来我们继续，我们还有一波事情。那么，原来过程当中啊，讲过一些过这个事情，叫做存在乘以存在是存在，

那么现在呢，连续乘上连续呢？是不连续。我们原来过程当中讲解过，存在乘以不存在是未知。那连续乘以不连续是不是也是未知啊？连续乘上不连续意识位置，好好听课啊。那么，原来过程当中，我们还讲过不存在乘以不存在是未知，那么你现在发现不连续乘上不连续。它呢？它也是未知。哎，

它也是这样。所以同学们注意啊，这个性质是一脉相承的。那么，其实同学们这个东西啊，我们再来看。极限是不是还定义了导数啊？导数也是用极限定义的，所以说导数也拥有这些性质，我们再来串一遍了，你看它的性质跟这个极限性质一样。那就是可导加减，可导是可导。可导加减不可导是不可导。不可导加减，

不可导是未知。可导成可导是可导。可导乘上不可导，未知不可导乘以不可导，是未知你学会了吗？同学们。啊，就是这样，所以说他们这些性质啊，你发现基本上就是一脉相承的，那么在这种当中我们来看一个事情。前段时间我记得有一个题。啊，在哪儿呢？哦，

在这好了，同学们，你来把这个题供我选一下，你觉得选几啊？你看看这题。呃，这题是数一数二数三同学的话，这个睡前系列的题啊，你来看看这个题你就会做了。他的思维方式是一模一样的。那么他说什么？他说这三个人都在这个领域有利益，请注意啊，这俩人在这个点处是不可导。这个人在这个点处是可导好，

先看a选项。不可导加不可导，注意啊，这是未知的，不知道。不可导，再加上可导呢，一定不可导哎，正确。再来看c选项，然后这是不可导乘上不可导呢，是未知。再看d选项，不可导乘上可导呢，这个东西呢是未知不知道，

所以答案选几选不一样。你学会了吗？所以说你看这个题一分钟的题，两星级半星级啊，这破题会的同学就半星级。不会同学，你发现就愣到这了。对吧，简直就愣到这儿，所以说这一波知识点呢，你发现它是一脉相承的。所有的核心知识点，它就是一个完整的体系。就这个极限运用什么性质，连续就运用什么。

极限拥有什么性质？可导性就拥有什么？这几个事情他们是一脉相承，对吧？贯穿始终的好，这是这个问题点，我们就讲到这儿。那么，接下来我们继续，我们再来看看下面一个知识点。呃，注意啊，最后一个知识点，最后一个知识点，认真听我讲完这个知识点，

我们下课好吧，同学们好，我们就讲完这个事情。然后因为没有电了，然后这个回头我给你补一下。然后是这样呃，回头我们补一节课，然后大家听这个通知就行，好不好同学们？哎，稍微的变化，我们继续，我们再来看最后一个人，认真听啊，难度系数比较大。

这个知识点是我们今天过程当中啊，学习这个内容点难度系数最大的一个。好好听，为什么呢？我给你找一下同济七版教材这个东西，你稍微的看看。呃，你可能看到那个课表，我们中间是不是恰差了一节课，我还得给你补一节课，所以说你不用着急这个事儿。稍微等一下，我给你找一下同济版的教材。好，那么接下来我们就继续。

呃，这个类型问题啊，它的难度系数其实比较高。尤其是在这里面当中，我们来看看这个连续的它的一个情况。符合函数的连续性的问题。好，大家来看屏幕。呃，这个知识点，我就问你个事儿。

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