06.数列极限的性质与计算-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:37:21

行，那么接下来我们就继续吧，做完了没有？这俩题做完了吗？呃，我觉得这两个题啊呃，你把函数极限处理的清楚啊，这两题不是特别难啊，好了，那么接下来我们就继续开始吧，我们来看看这里面当中的一点四九这个题。那么，首先第一件事情啊，还是拿到极限先定性。这个人呢？

他其实这个样子，他叫做多少呢？他叫做这个摊正题四分之派，然后再加上多少，再减去个n分之一。这个整体部分呢，它外面的N次方能理解我的意思吗？它应该是这个样子。所以说，当n趋向无穷大的时候，无穷大分之一是零。然后这是四分之派，它这四分之派是一一的无穷大，那你看诶七种未定式的样子，数列极限，

我也不想进去，就管一会儿要不要洛必达，要不要换元法？所以在这种当中怎么办？我统一换统一把它换成函数极限，所以就是s趋向多少正无穷，然后这就是tan，然后是四分之派。再减去x分之一，这个整体部分的x次方哎，就变成这样一的无穷大，那答案等于多少？答案就等于e的这个极限符号照抄。头顶照写，然后是d减一tan四分之派，

再减去s分之一，再来减一。好，我们继续定型，当s趋向无穷大的时候，你发现这个前面这个部分呢是无穷大。然后无穷大分之一是零，然后摊正的四分之派是一一减一又是零零乘无穷，大型的未定式。那既然是零乘无穷，大型未定式，怎么去处理啊？肯定是把一个人下放，你肯定把谁下放，把这人下放放下去，

但是你发现这个人放下去也挺麻烦的吧？我再观察了下这个部分的东西，不是s分之一吗？你这是s分之一，我也不喜欢我，所以说做一个什么，做一个倒代换，那倒代换一下，之后的话，你发现这个人就变成什么，就变成了一个t了。然后这个东西呢，它就自动下去了，两全其美啊，所以接下来过程当中我们就可以处理了，

我在这种当中啊，使用一下倒带宽。零s等于多少t分之一？那这个时候你发现一亿的这个人呢？如果s趋向正无穷t，就趋向零帧。然后这个人就自动下去变成t，然后是tan 4分之派，再减去个t，再减去一。好，我们继续进行，你发现下面这人极限，结果是零，上面这人极限，

结果呢，也是零零比零型的未定式，怎么处理啊？怎么操作？那这题等价用不了，泰勒也用不了，所以在这种当中只能使用一种方法，就是洛必达法则。所以在这种当中，你就上下同时洛必达就行。那同时求导的话，你发现这个人一求就变成了一，然后上面求导呢，上面求导摊正的求导就是second。second，

这个人的平方。然后中间变量还要再求导是负一。没问题吧，那么接下来我们就要求解这个值，把这个零带进去，零带进去就是second多少呢？second 4分之派。它的平方那second 4分之派的平方就是cos 4分之派分之一的平方，那也就多少。二分之根号二翻一下根号二根号二平方就是二，所以说这个结果等于e的负二次方。那既然这个函数极限是e的，负二次方，那这个数列极限呢？也是e的，

负二次方本题是不是结束了，所以一点四九这个题啊，你发现怎么处理的？能掌握清楚吧，好听明白了给我回复一啊。呃，你们一定要小心一下，这个事情怎么去处理？这种未定式呢，所以说这节课你发现核心重点还是在考一个问题。就还是考我们原来过程当中的函数极限计算问题，都不是这块的数列极限计算问题。你发现这个内容一连续化就变成函数极限，你原来极限学的好，你这块内容就处理的好好一点，

四九继续啊，再来看这个题。来看看这个题。嗯，这个人敲错啊，这是b啊，对吧？a大于0b大于零啊，这是b啊。能听懂吗？这敲错了，好继续看。当n趋向无穷大的时候，你发现给一个数开N次方的极限是一。给一个数开N次方的极限是一一+1，

再除个二，那就是一一的无穷大未定式。我们一看呢，七种未定式的样子，而且你发现我也不想管，一会儿过程当中要不要洛必达，要不要换元法，你就统一换成函数极限来做就行。所以首先第一件事情就把它换成函数极限s，趋向正无穷，然后这个人就是二分之a的x分之一次方。b的s分之一次方，然后这个整体部分呢？它的s次方一的无穷大吧？怎么处理答案就等于e的这个极限符号照抄，

然后是头顶部分照写，再来抵减一就是二分之a的s。加上b的s，然后哦，这是s分之一，然后再怎么办？再来减个一。那这个题就做成这样，一旦做成这样的话，这个结果就变成了limits，趋向于正无穷，然后这是s这是二分之多少a的s分之一。加上b的s分之一，然后再怎么办？减个二，

我看你水平点怎么样啊？思维方式怎么样？那么首先再来定型的话，你发现你看。这一项是无穷大，然后这是一+1-2，这块儿是零零乘无穷大未定式。凌晨无穷大未定式，肯定是把一个人下放。那么，同学们告诉我把谁下放，肯定是把他下放。把这个人下放的话，你发现你想让他下去吗？唉，

不想你看道得快啊，学会了啊，这个非常好，所以在这种当中我就赶紧怎么办？我就令x分之一等t这个时候，你发现它就自动下去了。当x趋向正无穷t九趋向零帧。那这个人呢？他就变成了2t了。然后这是a的题，加上b的题再来减根儿。那么，接下来做到这儿怎么处理都行，你再来第几呢？这题就变成了零比零型，

未定式很好，求导吧，既然非常好，求导你在这里面当中直接进行怎么办？哎洛克必答就行，一落的话，这是a的tl na，然后这是b的t lnb。唉，这是求导公式，所以接下来过程当中，我们就可以算了，这是e的，你看a的零是1b的零是一，所以说这个人是一个什么一定是啊。

因此，结果就等于lna加上个lnb好写成这样，那么写成这样了之后的话，你发现下面这个人来继续写。好，再往下走，那这就是二分之一lna，加上lnb就是ln AB，然后这个时候啊，它就变成了lne，然后上去看。开AB，所以说这个结果等于根号下AB，因为这个数列的极限，结果是它，

所以说函数极限，结果也是它。好，这题是不是出来了，所以基本问题点啊，你要想清楚。那么，像这种意义的无穷大的未定式啊，你是如何进行处理的啊？操作性思路啊，必须要把它学会的能掌握清楚吗？当然，在这个题当中啊，你来观察一下这一步。啊，

就这一步。那么，在这一步的过程当中啊，你还可以怎么处理呢？我当然还可以这样处理t，如果趋向零帧，然后这是2t。你发现这是a的t，我可以减个一，然后b的t我再减个一，为什么呢？我一观察一下，你发现这是个一节。然后这也是一解，这也是一解，

所以说这个时候你发现我就可以把它拆出去了，对吧？我就可以把它拆开。一拆开就变成了limit t趋向零正，然后这是二t分之a的t减一，再加上limit多少t趋向零正。然后这是二的t分之b的t减一，所以在这种当中啊，我们就可以等价了，因为两项之间现在是除法呀。那这人呢？等价无穷，小t倍的lna，然后在这种当中当t趋向零正的时候，你继续等价，

这是多少？这是t倍的lnb。所以说这结果等于二分之一倍的lna，加上二分之一倍的lnb。啊，这个结果也是一样，对吧？操作形式就是我们刚才过程当中啊，等价无效替换公式。好吧，掌握清楚给我回复一吧。呃，这个题啊，你在下去过程当中处理的时候稍微小心一点对吧？稍微注意一点，

其实这两题啊有一定的拔高的感觉。啊，也是给很多同学这个函数极限的计算呢呃，到底学到一个什么水平，我们也是在这里面当中啊，拔高了一下啊，也是做了一个检测。好了，这个问题点我们就讲到这儿过去了，可以吗？好，那么接下来我们继续，我们再来看一个极限题。好了，同学们，

不要看讲义啊。不要看讲义，直接看这个题能听懂吧？不要看讲义好，那么接下来直接看屏幕。来，我们来看看这题。那这个题啊，拿到极限也要先定型好，我们来定一下型有没有发现一个事情，这是无穷大，这是一。所以说这个人的极限结果是几零。无穷大分之二，这人极限结果是几零？

那这个部分是二次，上面是一次这个极限，结果是几是不是这样？所以你就会发现一个事情，每一项的极限结果都是零零，存不存在啊？磷是不是存在的？零当然存在啊，每一项的极限结果都是存在的，那这个时候你发现我根据这四则运算法则是不是就可以拆开？就拆成零+0+0+0，所以说结果等于零啊。是不是啊？对不对？你告诉我个事情，

这个结果做的对不对？唉，那这就废了。这就错误了。那有同学说老师好像没有问题啊，原来过程当中不就是这样讲的吗？原来过程当中讲，你发现这个极限是零，不是存在吗？这个极限是零，不是存在吗？这个极限结果是零，不是也存在吗？都存在就可以拆啊。没有问题啊，

大家知道跟数列极限没有关系，数列极限也可以使用四则运算法则的。原因点在何处啊？好，那么接下来我们看看这个问题，因为有些同学做这个题啊，就胡做了好，我们来看看，请问同学们这是不是第一项啊？这是不是第二项？这是不是第n项啊n往哪跑n往无穷大跑吧。所以说这个题是个有现象，还是个无现象的问题啊？啊，同学们告诉我是有现象还是无现象？

有限还是无限？大家注意，它是个无限项，把这件事情标到笔记旁边，无限多项不可使用。四则运算法则。要注意了。无限多项不可使用四则运算法则。因为这个东西它不是有限项，它是无限多项。它是无限多项，这个题一会儿算它的结果不是零的。哎，它的结果不是零好，记完了给我回复一啊。

无限多项不可使用四则运算法则，绝对不能用的，你要是有现象就可以用了，无现象不能用。这个题的结果一会儿过程当中，我们会算的，它不会等于零。那么，接下来我们再来看这里面当中啊，还有一个知识点。那请同学们告诉我，如果一个人的极限结果是零，他是不是叫无穷小啊？这人是不是叫吴穷小？这人是不是叫无穷小啊？

极限结果是零就叫无穷小。这个极限一会儿不为零啊，我们就得到了。无限多个无穷小相加，是不是无穷小？不是的，那有限个无穷小相加呢，有限个零相加的话就可以使用四则运算法则，我就可以拆开了，那当然是零，那就是无穷小。所以说这条内容啊，你把它给我记住。叫做有限格。无穷小。

相加是无穷小。对吧，这个没问题。就是如果在这里面当中，你发现一个事情，它是什么？它是有限个无穷小，有限个无穷小相加，当然是无穷小。但是同学们注意啊，无限可能。好，我们看第二个事情无限个。无穷小相加呢，未必是无穷小。

哎，注意啊，未必是无穷小，你要是有限个无穷小相加它的结果，当然是无穷小，但是无限个无穷小相加呢，它未必是无穷小。你注意这个问题，因为什么呢？因为有限个每个人都是零就可以使用四则运算法则了，零+0+0+0有限个零相加不就是零吗？但是无限个零想家呢，他好像类比于凌晨无穷大了。对吧，无穷大个零零乘无穷大了，

是未定式的，所以要注意这个事情。跟得上我的意思吗？下去要注意这种信息点，那这种题怎么做呢？我很有预感，今年很有可能会考这种题。加倍准则的题，我很有预感，你去年过程当中考那个定积分定义就考的还比较狠了，这个加倍准则的这种题啊，难度系数不是说特别大。尤其是像这种题，这种简单的一定要会处理好了，那么接下来我们来看看，

那这种题怎么做？我们就要看看下面一种问题了，叫做加逼准则的方法。加倍准则。呃，这个方法论是每个同学都要会的啊，加倍准则。什么叫加逼准则呢？它有两个事情，一个是一加再1b。啊先加注，然后再逼近啊一+1b啊加b准则。那么，在这种当中，我们来看看内容。

好注意了，我们看内容。他内容首先第一个事情，你先夹住他，就这个SN这个人呐，他要被两个人夹住。被这个数列和这个数列夹住。对吧，就这个人。这个人被这个人和这个人夹住啊，被两人夹住。那么，同学们想起一个事情，你被这个人夹住，怎么夹？

在不在意？重不重要？重要还是不重要？你这个人被这两个人进行加注，你是用大于号加注还是大于等于号加注重不重要不重要？无所谓的，那么在这个当中，你发现你就这样加也可以。你是这样讲也可以，你是这样讲也可以，无所谓，大家注意哦，怎么进行去加注无所谓的？只要你把这个东西给夹住就行好，这是我们讲的这个第一个事情，

先加它，把它夹住。夹住了之后啊，然后他说了这样一件事情。他说，两边极限存在，且相等，大家注意啊，我还是写下来。它的要求是非常简单，说的是yn这个极限存在，然后你发现zn这个极限呢也存在。都是a，然后这个时候你发现我就可以说，而且。

那这个时候我就可以立即推出来n趋向无穷大xn这个人的极限就是a。大家注意啊，两边极限存在，且相等推出中间极限就是多少？我再强调一遍，这个事情是两边的极限存在，且相等，也就说加比准则在干点什么事儿呢？嘉宾准则在干这件事情啊，这叫甩手掌柜。他就是这个意思，我在这里面当中怎么办？我把你进行放松了。我把你放缩了，我放缩成谁放缩成这俩人。

唉，放缩成这样人，我就求这俩人极限，你的极限是a，你的极限是a，两边极限存在，且相等推出中间极限塔。两边都是a存在，且相等推中间极限两边。能掌握清楚吧，这就是加倍准则内容，这很好理解，你这边边往a跑，这边往a跑，中间这个人极限肯定是a。

这个没有任何问题。但是这里面当中啊，很多同学学的不好啊，学的不是说特别好，那么在这里面当中啊，我们来看一个注意点，你看我给你写个例题啊。你好好瞅瞅。如果这里我们当初啊，他是这样说。如果这个SN这个数列。他被yn和zn这个人夹住。好注意到他被夹住，然后又说了这样一个事情。他说n趋向无穷，

大yn-zn的极限，结果是零。请告诉我能不能推出中间的极限是存在的。能不能能推出来吗？你就好好看看第一事情，你被夹住了，第二事情说两边做差的极限是零，能不能推出中间极限是存在的？学东西不要学的太浅的吧，一定要学的深入一点，能不能？那么就要看看了。那么，刚才过程当中啊，我们首先分析一下。

哎，我们来分析一下。嘉宾准则当中的第一句话没有任何问题都具备。那关注点的一个事情就是你这里面当中的第二句话，跟我刚才说的第二句话一样吗？我刚才的第二句话说什么？我说的是两边极限存在且相等。这是我说的。唉，这是我说的，而你说的是什么呢？你说的是两边做差的极限是零。那同学们告诉我，这俩东西一样不一样。一样还是不一样？

绝对不一样，这个东西应该跟这个东西一样。是吧，你的极限减我的极限是零这个东西啊，跟原定理是一样，那么接下来我们来看看这俩东西一样不一样。绝对不一样，我们都知道加减法的极限跟极限的加减法是不一样的，这两个东西啊，中间存在一个什么东西啊？存在一个四则运算的拆开的问题，绝对不行。只有都存在，才能拆两项做差是零存在减存在可以是零不存在减不存在，也有可能是零。

所以这件事情就不能拆，因此你要注意啊，你写两边做差极限是零跟我说的两边极限存在且相等绝对不一样。他推不出来的。绝对推不出来，我可以在这里面当中啊，给你举个几个例子。好，我们来看看第一个人。我们来看看这个事情，我首先第一件事儿，我可以给你举个存在的好吧，先举个存在的，如果这是n分之一。你发现这个人肯定怎么办？

他就小于等于这个什么n方加一分之一。对吧，我多一个人，然后这个人肯定大于等于多少呢，这是n方分之一啊，这个人再减一下。好，我们来验一下这个SN这个人介于两者之间，而且你发现这个人。减这个人，这人减这个人是n方分之二吧？极限是几是零没有问题，两边做差极限是零，但是同学们告诉我中间极限存不存在？中间这个人的极限很明显是存在的n分之一，

这个结果是零没有问题，好了，同学们，我们再举。如果我出一个n，我写个n加n分之一，它肯定比它小，然后是n减n分之一呢，你肯定比它大。好，我们一起看第一件事，这个人介于两者之间。然后第二件事情两边做个差呢，是n分之二这个极限，结果是零吧。

第一件事情被夹住，第二件事情两边做差极限，结果是零，那么请同学们告诉我，中间极限存在不存在。当然不存在这个极限，结果是无穷大的。你可以看出来，符合你第一个式子，符合你第二个式子，这个极限结果有可能存在，也有可能不存在。它都有可能的，所以稍微的注意一下这个信息点，我们的要求非常的严谨，

说的是两边极限存在且相等。不是要两边错差极限，它是零这两个东西不一样。能掌握清楚吧，好听明白了给我回复一啊。好了，那么这个内容点我们就讲到这儿，你下去过程当中啊，好好去想想。那么，接下来我们继续回到加密准则。那么，加比准则的核心思想到底什么呢？就是第一件事情，你这个人被两个人夹住。

被两个人夹住了之后，就可以甩手掌柜了，就去求两边的极限，两边的极限存在，且相等中间的极限就是它。所以这个时候我只用管两边的极限就行。所以在这里面当中的核心重点应该会涉及放缩的问题。对吧，你想想加逼准则的核心当然是在于放松啊。我要把这个SN放大一点，求出它的极限，把这个SN缩小一点，求出它的极限。而且你还得保证两个极限是什么存在，且相等的这个事情的难度系数其实挺大的。

你想想是不是我放大一点？极限是多少？缩小一点极限还得是多少？这时候才可以，所以这个放缩方法就非常的重要。那么，因此在这里面当中，我们来看看第一个事情。我们先来看看一点五一这个题对吧？我们先来看看第一个点一点五一。那么这个题呃，这里面当中我们可以总结一些常见的放松方法，对我们三九六同学啊啊绰绰有余啊。好了，那么接下来我们看看一点五一这个题。

首先第一件事情像这种题啊，在你们的真题当中啊，从来没有出现过。而且在大纲的要求范围内，难度系数也不是说特别大，好了，那么接下来我们看看这个题。首先先分析一下，他是这个人加这个人加这个人。而且同学们，我们观察下这个分母是几次？分母很明显，分母是个二次。对吧，我的分母是二次。

那这一点当中，我们再来看看分子。如果这个分子能相加，是几次？分子能相加就是一加二加三，一直加到n是几次，它就是二分之首项，加上末项乘以项数除以二二分之一n方加二分之n。是不是也是24诶？我观察出来了。如果分母是二次分子相加，也能是二次，这种情况往往可加b，我没有说一定啊，我说的是往往你注意这种词儿。

所以在这种当中，我们稍微观察一下，只要下面是二次，上面相加是二次，那这种情况往往可加b。那么，像这种常见的，这种放缩方法，第一种最常见的就是放缩分母，让分子可以相加。啊，这种情况太呃太基础了，应该大学过程当中啊，你学的最简单的加倍准则就是这种情况了，所以我们首先看看第一种。

放缩分母。使得分子可以相加。这种情况其实是一种非常非常简单的一种放松方法，就是你把分母进行放松一下，然后使得这个分子啊，可以进行相加就行。好了，我们来看看这个事情。来操作一下这个题吧。刚才我们已经检验过，因为分母这个东西是个二次分子相加是二次，二次比二次，当然是存在啊。然后这里面当中首先第一件事情，我把这个人记作成UN行不行？

行不行当然可以啊，我把它叫做UN。那么，请同学们告诉我，首先第一件事儿，他们这个东西不一样的点在哪儿？不一样的点不就在这儿吗？不一样点在这儿吗？不一样，点在这儿嘛，一二到n我怎么把它变大一点，我只要把这个东西的下面都变小一点，我都把它变成n方加n再加一。这个时候下面变小一点，结果是变大一点，

然后这个人就写成这样了。没问题吧？那这个时候我们再来走一下，这人其实就是n方，加上n再加上一上面这人就是二分之一n方加上二分之n，刚才写过了吧？那么，同学们告诉我，当n趋向无穷大，它的极限是多少？二分之一。你抓个大头就是二分之一，然后接下来过程当中，我们再来缩小。那怎么才能缩小呢？

把下面变大一点，结果就变小了，我都把它变成n那这个时候你发现它的结果就是一+2+3，一直加到n。那这时候的结果就变成了n方，加上n，再加上n，然后这是二分之一n方，加上二分之n，那么同学们告诉我这。这个题啊，继续抓大头，我一抓是几也是二分之一，你看吧，放大的极限是二分之一，

缩小的极限是二分之一，它的极限结果是不是二分之一？它就是二分之一。你看这题是不是出来了？所以说这个题的难度系数啊，不是说特别大，因为非常简单的这种放缩方法就是来放缩这个分母。让这个分词可以相加。但这个题啊，我觉得讲到这儿不够，我觉得再深入一点啊，再深入一些呃，将来过程当中学到定积分定义啊，这个东西才形成了一个完整的体系。今天啊，

我们再来讲点。大家注意。刚才我们说过一个事情。你分母是个二次，你分子相加是二次，这种情况是往往可以相加啊，往往可以加b。我没有说一定。那什么时候才一定呢？我们稍微进行琢磨一下，你看刚才你放缩的这个位置是不是在这儿？唉，你放松的位置在这儿，也就说你放松的位置在这儿。也就是你放缩的位置在这儿。

而同学们，想想你这个位置的东西啊，你在求极限的过程当中怎么了？求极限过程当中是不是被约掉了？被抓掉了，也就说什么意思呢？你这个位置的东西的放缩不会影响我极限，结果的大小。我把这个位置变大一点，你最后极限结果是它，你把这个位置的东西变小一点，它的极限结果也是它，那这种情况就一定可以放松，我把这种位置东西啊。叫做次要性。

哎，叫做次要项。所以什么时候一定能放松呢？是这样，如果眼睛一瞅发现分母是二四。然后眼睛一瞅，发现分子相加是二次，而且放缩的位置在次要项上，一定可以相比。100%的。那么，接下来我来问你，我看你学会了没有？刚才过程当中放大。下面变小就变大，

我能不能把这个下面的这两项都不要了？行不行？可不可以就是我在放大的过程当中，像这两项我都不要了，行不行？行不行？下面也变小了，结果也变大了呀，行不行？行为什么呢？因为这两个位置的东西啊，对极限的结果都没有影响。所以刚才在放松的过程当中，你发现这两个位置的东西都可以放，但是我想问你个事情，

你敢动这个人一下吗？你敢不敢？我绝对不敢，我要动你了，我就相当动你了，动你了之后的话，你发现这个极限就变了。有些同学比较疯狂，他用加分准则是这样放大极限是三缩小极限是二，他说极限是不存在什么叫不存在，这是你没有加注，你别乱来啊。你能听懂我的意思吗？你比方说放大极限是三缩小极限是二极限，不存在不是的，

这是你没有加注它。你做错了，你得重做。稍微小心一点好，这是一点五一这个题。过去了，可以吗？来我们继续啊，我们再看下面一个题呃，这个题值得我们多做。哎，值得多做一点，五一这个题难也不难，基本题好，再来看看下面一题一点五二。

呃，我先说一下，一点五二这个题。无论接下来过程当中我讲的过程，你有没有听得懂？但是这个题它的结果一定要把它给我背过。这个考研真题当中啊，可以出的，我完完全全可以出一个题，有些同学会啊，速战速决，一会儿就出来了。那么，接下来我们来看看这个事情。啊，

就这个题目。拿到极限，我们先来观观察一下，你发现这个题的形式定不出来的。这型不好定的，你看这个a。a如果大于1a的正无穷的话是正无穷，如果是大于零小于1a的正无穷是接近于零的，所以你发现这个题形都定不出来。你说是七种未定式的样子啊，形都定不出来，所以说这件事情就不能像我们刚才一样处理问题进去做了。你不能说换成函数极限来做，你换成函数极限来做，你发现这个形还是定不出来。

所以接下来我们得换方法了。如果在这种当中，你发现常规方法处理不了，我们接下来再试呗，我们再来试一下加倍准则。在这个嘉宾准则当中，你发现这个人当中是不是有三个人呐？有a的n有b的n有c的n，我最简单的放松是什么？你想一个事情，这是a的NB的nc的n吧？它其实就是s的N次方，而且n是大于零的。那大于零的话，你发现幂函数如果大于零，

这个是大于一=1大于零小于一都是单调递增的吧？都是单调递增的，所以说底越大x的N次方越大，这个没有问题吧？好了，听明白了给我回复一。我再强调一遍，这个底越大，这个N次方就越大，因为它是个幂函数，你发现往上跑的。所以接下来过程当中，我们来瞅一下这个事情。你来稍微琢磨一下，那这时候最简单的放松方法当然是这样，

我就取什么情况，我把这个大m记作成。这三个人之间的最大值。我把小m记作成这三个人之间的最小值。是吧，那么接下来怎么办？把所有人都变大小于三倍的，最大值的N次方把所有人都变小小于三倍的，最小值的N次方。啊，这个是这个是三次啊，这个N次方。是不是这个情况，所以在这种当中啊。什么意思？

哪个东西啊？好了啊，这个你上课听课注意力一点啊，注意力集中一点好了，那么接下来我们来看看这个事情，所以你发现我把所有人都变大。把这个底变大。底越大它就越大，它就小于等于三倍的最大值的N次方，把所有的底都变小，它就大于等于三倍的最小值的N次方。这没问题吧啊，这是最简单的，然后的话，你发现开一个N次方，

那这人就变成了三开N次方，然后大m。然后这时候你发现是三开N次方，这是小m。然后同学们，你看这个极限结果是多少？这个极限结果不就是大大m吗？这个极限结果是多少？这不小m吗？因为给一个数开N次方的极限是一呀。那同学们告诉我，这个极限结果什么情况？我们都知道，在通常情况下，最大值和最小值都不会相等的。

你见过多少最大值和最小值相等的很少，最大值和最小值往往都不相等。所以说这种情况下，你发现你夹住了，还是没有夹住啊？你没有加注。你做不出来，根本架不住，所以同学们注意这第一种放松方法，它就失效了。它不行，那么接下来我们改一下，如果在这里面当中是a的N次方b的N次方c的N次方，我怎么办？把所有人都变小。

其实，通过刚才第一个人，我就得到了一个情况，大家注意，只要什么情况呢？只要这个人最大的是多少？最小值也是多少？什么意思呢？就说你放大是多少？缩小也得是多少？你这样才能架住。你放大跟大m有关，你缩小肯定要跟大m有关，最后才有可能夹住。你缩小跟小m有关，

你放大就要跟小m有关。那么，接下来我们看看怎么放大呀？怎么去放大呀？你可以把这人缩小，把每个人都变小，他就变小了。但是我就想知道一个事情怎么用最小值把它变大呀？你怎么操作？好像变不大吧，你看这个第二种方法又失效了。又来不了。然后这地方当中，我们再来思考一下，如果这个人把所有人变大呢？

能不能用最大值把它变小？那么，这里面当中，我们先达成一件事情的共识，我就想问你个事儿，请问ABC当中的最大值？哎，三个人中间的最大值在不在？他们三个人中间啊？在不在三个人中间的最大值？在不在中间？三个人中间的最大值，当然在中间。一个同学考了130，一个同学考了140，

一个同学考了150，说最大值是150，150在不在中间？当然在啊，那同学们假设你发现假设是这个人行不行？我假设最大的人是他，那你发现这就是最大的，我把另外两个人不要了，是不是就缩小了？你能听懂我的意思吗？你最大值就在中间，而且剩下两个人是大于零，那剩下两个大于零，不要了呗，它不就变小了哦，

这种情况好像可以哎。然后这个时候你发现你琢磨了一下这个事情，你在这种当中，你开个N次方，你一开的话，你发现就给塞开N次方大m。然后这是dam这个极限，是dam这个极限呢，也是dam 1加哎，可以。所以说这种情况就是一种非常非常重要的一种加逼性的方法，放缩性的方法。那这种方法操作性非常的强，那么这里面当中啊，我把它进行去整理一下这种情况。

第二种情况。如果在这里面当中，你发现你遇到了什么情况，每个人都是大于零。唉，每个人都大于零，什么一啦二啦三啦，这些人都是大于零。如果每个人都大于零，那么遇到这里面当中的a 1+a二+a三，一直加到an，我怎么去放锁？有一种非常经典的放松方法，那就说把所有人都变成最大值。而它们之间的最大值肯定在中间。

最大值在中间，假设最大值是你剩下人大给不要了，然后就留下一个最大值啊，这是一种非常经典的放松方法。把所有人都变大，留下一个最大。我再说一遍，当遇到很多人相加，而且是大于零的时候，我们可以有一种放松方法，把所有人都变大，留下一个最大小。这是一种非常经典的放松方法。啊，非常经典，

所以接下来过程当中，我们就来看看一点五二这个题。啊，来出一下这个题。来看看这个人啊，这个题的结论呢，是同学们一定要把它给我背过的来操作一下来解。首先第一件事情，我们怎么办？我就来设想设这个大m。为什么情况呢？为这三个数之间的最大值。就是这三个人的最大值。三个人的最大值的话，你发现这是a的NB的n。

c的n因为那个n是大于零的，大于零的话，你发现幂函数的话，图像都是单调递增的，然后这个底越大它就越大，所以。所以说把所有人的底都变大，它就小于三倍的m的最大值，对吧？最大值的N次方没问题吧？把每个人都变大，它就变大，然后再来看呢，最大值肯定在中间留下一个最大的。那留下了之后的话，

我们再来开一个N次方给n的N次方b的N次方c的N次方开个N次方，它就怎么办？它就小于等于给三开N次方大m。然后这个人呢打。那么，接下来过程当中，我们再求极限这个数的极限呢？就是这个数。给三开N次方求极限呢，它是一还是大m，所以说一+b中间极限就是大m。那这题就出现了，所以将来过程当中啊，我们是有可能会涉及这个结论，所涉及的题就是这个证明方法，

无论怎么样？你还是学一下吧，这个证明方法，无论你会不会，但是这个结论呢，比这个证明方法还更重要，那么接下来我们来看看黄金考点内容。哎，就这个结论，大家一定要会啊。那也就说n趋向无穷大，然后这里面当中这是开N次方，对吧？开N次方，然后这是a的N次方。

b的N次方c的N次方开上N次方这个结果等于多少？这个结果就等于三个人之间的最大值。当然得保证这个a大于0b大于0c大于零。一定得保证这三个人呢，都是大于零，注意啊，这个结论非常非常关键。考研真题当中啊，出过非常弱智的题。就考的什么呢？比如说我举个例子，你看有一年考题，这样考这limit n趋向无穷大，然后这个人呢？这是N次方啊二的N次方三的N次方，

然后这是五的N次方，那么同学们告诉我这个结果等于几啊？a的NB的nc的n都大于零，这个结果等于几啊等于五。啊，就等于五。有一年过程当中出的稍微的话，你发现还稍微的动一点脑子。对吧，稍微的动了一点点，那年过程当中，他这样出，他就出了一个什么二的负N次方，三的负N次方。加上四的负N次方，

你告诉我结果等于几啊？你把我不会了啊，这个东西就像一+1，我又考成了一+2，你怎么处理啊？啊，非常简单，其实你发现不就是n趋向无穷，大开了N次方，第一个人就写成了二分之一的多少N次方？三分之一的N次方，然后这是四分之一的N次方，那不是取最大值吗？你最大值多少？不就是这个二分之一吗？

问题解说。所以我一直跟你讲，对我们三九六同学而言，这个结论是什么样子？有可能比这个东西的做题啊，还更重要。这个结论比这个做题更加的重要，所以下去过程当中啊，一定要会做这个事情，能学清楚吗？好，这是这个点，一定要想清楚你，比如说在这里当中，我出一个题。

来我出一个题。如果在这里面当中啊呃，往年考过这种题啊，只不过我改一下，我一改的话就是我们三九六同学比较好的一个题了。如果这个fs啊，它等于n趋向无穷大开上个N次方，然后一加上多少呢？一加上这种当中的x的N次方，而且你发现这个x是大于零。我想问你个事情，则这个fs有几个不可导点？哎，有几个不可导点，你怎么做？

好，我们就可以继续处理了，如果你不会啊，这个题做的非常非常恶心，如果你会的话，这个题眼睛漂就能出来，那么在这种当中n趋向无穷大。然后这是不是开N次方，这是a的N次方，这是b的N次方，而且a和b都大于零。所以说这个结果就等于多少？这个结果就等于一和s之间的最大值。就是这两者之间的最大值。那这两者之间的最大值可以画个图啊。

你来画一下，这是y这是零这是s，然后这里面当中，你看这是s这条线，这是一这条线。是不这个情况，所以在这种当中，你发现一个事情，这个最大值不就是这个情况吗？对吧，这就是最大值，我想问你个事情，这个函数有几个不可导点？有几个？很明显一个事情，

这一段的导函数都是存在的。这一段的导函数值都是存在，唯独只有这个点。这个点呢，左半边儿的话，导函数等于几倾斜斜率是零，这半边儿的倾斜斜率是一左右导数存在，但不相等，很明显不可导，因此有几个有一个。你看这个题目是不是很好？首先第一件事情，气势上吓过很多同学吧。肯定从气势上就碾压了很多同学。但是你发现你掌握住这个结论之后，

这个题的处理非常非常简单。这就很好的一个体验。而且在我们考研过程当中，具有区分度啊，会做同学一分钟都出来了。不会做同学放在这五六分钟，七八分钟，十几分钟都做不出来。所以很适合我们现在的三九六同学的考情。所以注意这个事情呃，我再强调一遍，不要碰到一个东西就难，你学进去就还好了啊，学进去就还好好。好，

这个题过去可以吗？好，我再给你看看。呃，下面有个题，这个题啊，是一九九五年莫斯科那个时候还叫前苏联对吧？什么叫为什么是一的N次方？哎呀。一的N次方是不是等于一啊？啊啊，是不是一的N次方是不是一呀？不要学麻了，有人说老师不对呀，这不一到无穷大吗？

你要注意一个事情，一的无穷大是什么？一的无穷大是下面一个函数趋向于一。上面一个函数趋向无穷大，这个一是什么？这个一是你从小到大学的那个一怎么就扭不过来呢？你比如说举个例子吧，我们当s趋向于无穷大的时候。然后这是零乘上s这个结果等于几？你又跟我来啊，这个人是凌晨无穷大，不是这样子的。零乘无穷大是一个人趋向于零，一个人趋向无穷大，这个零是什么？

这个零是你从小到大学的那个零哎。那这个极限只能写就是零。你在那纠结什么？如果s趋向无穷大，这是一的s。有人说啊，老师，这不是一一的无穷大费电视吗？不是的，这个一呢一的无穷大未定式是一个人趋向于一，这个一呢这个一就是你从小到大学的那个一一的任何数都是一，这里就等于一，那就是一啊。所以注意一些这种信息点，不能学着学着大学东西会了微积分，

会了小学内容不会了。那我觉得这个这个这学习过去怎么去学的呀？哎，注意一下这个问题。还有另外一个事情。还有不可导点分成几种情况呢？你零基础提前学听过吧，什么叫不可导点？就是导函数不存在的点啊。好了，这个点呢，我们就讲到这儿，你下去过程当中好好看看啊。好了，那么接下来我们继续，

我们再来看看一点五三这个题。呃，这个题啊，前苏联的考题吧。一九七五年，莫斯科经济学院考的竞赛题，你看这个题，而且当时我给你讲过，你可以用手摸吧，光滑的就是可导的，扎手就是不可导，那多简单的事情。好了，看看这个人。那么，

在这种当中，这个题啊，其实就非常简单了，对于咱们班同学啊，你发现这题就秒了。唉，直接就秒了，那你发现你看这是fs，然后这个人的话，其实就是limit n趋向无穷大，然后这个时候呢，你开N次方。对吧，这是一的N次方，然后这时候是b的N次方，

对吧，然后这个部分哦，这改一下，这是二啊。不好意思啊，这个敲错了，这是二改过来。然后第三个事情的话，你发现这是二分之一x方，它的N次方。那这时候你发现不就是a的N次方b的N次方c的N次方吗？对吧a的N次方好，你放弃你就加油好吧啊。如果这个题讲到现在，你还能放弃，

我真不知道你是怎么听课的，对吧？这套公式的题考给你，如果你把它做错了，你说这个怎么去学啊？好了，那么接下来我们继续，你发现你看a的N次方b的N次方c的N次方，所以说这里面当中你发现就直接套这个公式。a的N次方b的N次方c的N次方，这个结果多少？这个结果不就是最大值吗？所以说本题就结束了呀。好，我们继续啊，

我们再来看，所以它的结果就等于这三个人之间的最大值啊，不要这样啊，你这这样复习下去。这这这干嘛呢？对吧？内容点给了你，你就套个公式，你都套不出来吗？好，那么接下来我们继续，我们再来看，不就等于这三个人最大值三人最大值怎么办？三个人的最大值就画个图就行了。所以在这种当中啊，

我们来看看这个事情，你发现这是y这是零这是x。所以接下来过程当中啊，我们就来操作一下，你看真是一吧。然后这人是x吧。然后这人是二分之一s方吧，就是这个人。所以说这个时候你发现一个事情，最大值不就是这一段。这一段还有这一段吗？然后这个时候你求一下这个人的焦点，这个焦点是几一，这焦点是多少，它不就是二分之一s方和s的交点不就是二吗？

所以说这个结果就出来了，它等于多少第一段的时候是一，然后s大于零小于一的时候是它第二段时候是s。大于等于一，小于等于二时候，是它第三段就是二分之s方，然后是大于二就是它，你说这个题你发现个事儿。你说这种题怎么能做出做的做的有问题呢？你故意的，我也觉得没有什么意思啊，你像这种题就不能出错。给你一个公式，让你去套一+1等于多少，你套不出来。

我其实很担心你的复习啊，说实话，这个倒也没有必要，对吧啊？好了，这是这个点，我们就讲到这儿。掌握清楚了吗？听明白了给我回复一啊啊这个题。所以像这个类型问题点呢，你发现它其实核心重点就是你在对n求极限的时候，把这个s当做成常数处理嘛。你是对n求极限呢，你这个s不就是常数吗？所以一操作就出来了。

那这个题你发现它将来过程当中就可以出好多类型的题，大家想想可以出什么题啊？我是不可以出一下这个分段函数的求导的问题。是吧，我可以出一个这个人的话，他有几个不可导点的问题。等等，一系列技术就出来了，所以大家注意求出这个函数是不是处理这种问题当中的第一步啊？它是这种问题的第一步。你把它操作清楚就行，它完全就套了，刚才这个公式a的NB的nc的n开上N次方，它的结果就等于最大值。你看这里面当中每个题都可以出，

你像这个题这题考研真题是考过的考过的，然后接下来过程当中你发现这个题啊，我把它改简单了。因为原来过程当中是数一数二数三考的，我觉得考不到那个难度系数，我把它改简单了，就改成了这个样子，这个样子就可以考给我们了。所以你看这个题可以出，这绝对是非常好的模拟题，然后第三个事情我可以出个这个函数，然后说这个函数有几个不可导点啊？这个函数是个分段函数，那你想想分段函数是不是会怎么样？分段函数会求导吧，

分段函数会求导的话，你发现分段点y直接求分段。分段点上用定义，你看又是一道很好的题。所以希望同学们注意，像这种类型问题的点，你必须要会，这是一个高等数学当中啊，比较重点，而且基本的公式。啊，一定要想清楚。呃，不要碰到这个东西啊，说啊，

我们怎么可能会考，你看去年过程当中，我前段时间给你们上那个呃，讲了些那个备考规划的课程。我专门说那个问题，你看去年过程当中还考了什么事情，考了一个定积分的终点。我们还没讲到那儿，然后我们的时间的话，应该是到了三月份的中旬，我们就会讲到那个问题，到时候你去看看。那个定积分定义当中的那个终点是有多么的恶心。那么，数学三同学数一数二数三同学，

他花费了30多年，考到了重点。以前过程当中都考的右端点，而我们只需要一年，我们一年就考到重点，所以这两年过程当中一些基本的考点必须要把它拿下来。所以我一直给你讲，我只要基础讲义上出现的题，你不要在那里面当中说这个东西难怎么怎么样，把它消化到位，听懂我的意思吗？唉，一定要把它消化到位。无论它难不难，你都要以一个很高的一个目标把它给我啊，

把它搞定下去，好这题啊，我们就讲到这儿。可以了吗？同学们，那么最后啊，我们再讲一个知识点啊。加比准则对函数极限也能用。哎，注意啊。加倍准则函数极限也可以用。函数极限也可以用加倍准则。你放心吧，大部分的题不会特别难，我觉得如果你三九六的同学，

你想我的目标就想考个50多分呢，你稍微的话，你稳稳当当的去听，考个50多分。一点问题都没有。但是我一直给你讲，我说你的目标可能会更高一点，对吧？就错上一个错上两个，不要错太多，所以希望同学们基础班好好打基础。那么，接下来我们看看下面一个事情，加b准则函数极限也能用。函数极限也能用加b。

那么，在这种当中，就是尤其而言的话，你比如说我们写个事情，你看这个函数。我这个函数怎么办？这个函数你发现被两个函数进行加注。唉，我夹住夹住了之后啊，然后说这样的事情，说如果s一个趋向下，你发现这个js极限。还有在这个趋向下，你发现这个hs极限，它们存在且相等，

都是a，我就可以立即推出什么，我就可以立即推出来。在这个趋向过程当中。fs极限也是a。能听懂我的意思吗？两边极限存在，且相等我推出中间极限也是它。所以加b准则函数极限也是可以用的，我函数极限也可以用加b呃，这里面当中啊，我出一道稍微的拔高的题。大家好好听一下呃，这个题啊，你可以稍微做一做。

比较基本，但是啊，也是比较有水平的。当s趋向零正s，乘上这个人。它的极限是多少？大家注意这人呢？他表示。不超过。s分之一的最大整数。唉s分之一的最大整数，你看这题怎么做？我今年在讲三九六的这个全程班，你们的基础班的要求啊，我觉得应该是达到了我们三九六的这个至高的一个要求。

所以我希望同学们还是对自己的要求要高一点，基础我们是有基础拔高，我们是有拔高，然后每个核心知识点，你必须要把它吃透好。好了，我们看看这个题。你看这个题怎么做？来吧，函数极限吧，拿到极限先定型，你定一下型的话，你发现你看第一人极限是零。然后第二极限呢？然后第二极限的话，

你发现零分之一是无穷。大同学们告诉我，这个东西叫什么呀？这叫什么？这叫取整函数吧。曲诊，你这个人都是无穷大。你无穷大旁边那个整数点还不是无穷大吗？所以同学们想，这其实就是个零乘无穷大的未定式。零乘无穷大未定式，那这题怎么做？如果在这种当中把这个人放下去，然后怎么操作这这正函数呀？你求导，

我也不知道等价，我也不知道什么东西都处理不了。这个题啊，其实考了一个取整函数的，一个重要不等式。考了这个内容，但是我不希望你们背啊，不要背脑子，一转就出来了。那么，在建筑当中，你就画条竖轴线。画条数轴线点几个整数点。哎，点几个整数点。

然后在这里面当中，如果这个x在这儿。对吧，你在这儿，我取整一下跑哪儿，我取整一下就跑这儿。然后s- 1呢s- 1其实是这么长度。这没问题吧，因为那个是整数点嘛，你取整的话，你发现减个一的长度肯定比它长。好了，那么接下来我们继续看，如果这个s往后跑一点呢？曲阵不会动的，

但是s分之一也得往后面跑一点。如果这个s跑到这儿了呢，你发现取整也不动，但是s分之一呢？s分之一跑到这个点能理解吧？所以说这里面当中啊，你发现就得到了一个重点不等式。也就说说证这个人呐，永远是小于s大于s- 1的。而如果这个取整的话，你发现里面比如说就是一那s也是一就是二，这也是二，这两个东西啊，可以相等。如果这个s就是一个整数点的话，

它们可以相等，所以接下来过程当中啊，我们就可以用了。你看你用一下。如果s是趋向零正。你这个x分之一，你看这个取整你套下套下这个人就小于等于x分之一，而大于多少x分之一减一？跟得上我的意思吗？啊，就说这个部分的东西是小于等于它，而大于它减一。然后接下来过程当中，你就可以给它两边同时乘上s。因为这个s是趋向零，

正是大于零，所以说这个时候的话，它就小于等于一，大于等于多少一减s。是不是这个结果那么接下来我们再来看你，发现趋向零的时候，这根极限是一这根极限呢，也是一，然后中间的极限一+b是解是一本题结束。你看这题多巧妙。所以相当经典的一个题。所以就是在这里面当中啊，把这个东西进行放松了一下，然后进行求这个极限，所以考察的核心知识点还是一个加逼准则的内容。

唉，这个题啊，我们就讲到这儿啊，讲解到这儿能听懂吧，函数极限也是可以使用加倍准则的。就这个加倍准则，你发现对于函数极限也能用。对吧，我们都能用，都是可以用，无论是函数极限，能用数列极限呢，也是可以用好这个知识点，但这个内容不要背啊。不要背脑子，

一转就出来了。你在考试过程当中，如果看取整，你想把这个取整进行放缩的时候，你就拉条数轴线去看看就行，对吧？拉条数轴线一看就出来了。好，这个题啊，我们就讲到这儿，听明白了吗？掌握清楚给我回复一吧。掌握清楚给我回复一。那么最后啊，我再讲一个知识点，

我们就可以下课了啊，我再讲一个，我们就下课了呃，我明确讲一个事情。今年这个基础班的知识点是非常全的。所以我觉得比这个去年过程当中，像这个冲刺救命班，到后续过程当中延展东西还要全。所以因此啊，这个基础班非常非常重要，一定要好好打基础，我再讲一个内容，我们就下课好吧，单调有阶必有极限。那么，

这个部分的东西啊，大家注意了解内容。哎，了解。知道内容就行。就知道内容就行，我就害怕涉及那种概念性的题。涉及概念性的题啊，你发现它有可能会出。但是这种题一般情况下考察都是证明题。都是证明的大题，如果像数一数二数三，同学们，他们就有可能会考压轴题。所以对于我们而言呢，

那这个东西就考的非常浅了。我们就只需要知道什么叫做单调，有界必有极限就可以了，你要知道这个内容是什么就行了。那么，具体而言，怎么进行去处处理这种东西的证明题，你就不用听了。所以这也是我一直跟你讲呃，有些同学可能去听数三的你，比如说你在听这个部分内容当中，你就把那所有的证明题学了，你发现啊，一个都不会考的。而且贼难。

而且难度系数，你发现还挺大。我来给你稍微的看看。你来看一下这个东西，你发现一个事情，它的处理的难度系数比较大，往往过程当中会涉及压轴题的考点，就像这种。这种题是单调，有借必有极限，他特别喜欢出的题，他给一个人怎么样，然后挣什么样，然后求什么样？他喜欢考这种题，

他贼喜欢出这种题啊，这是单调，有些必有极限会出的题目。但对于我们而言的话，你发现根本不会考察这种正命题。他就不会出这种真命题，所以对我们而言，最起码而言，只要了解这个部分内容就行，而这个内容非常的简单。好了，那么接下来我们先来看看第一个迪卡尔坐标系的曲线，你先看第一个人。这是y轴，然后这是零，

然后这是s轴好了，看看这个人。好，我们先看看这个人。那么，这个人的话，你发现他说单调递增有上进，大家想一个事情，如果我一直往上跑。但是你发现我永远迈不过这条线。我是不是永远逼近于这条线？我永远逼近于这条线，我的极限是不是这条线？是不是啊？你一直往上跑，

但是你迈不过这条线，你无限的逼近于这条线，你无限的逼近于这条线，你的极限不就这条线吗？所以说单调递增得有什么界，有上界就行。一直往上增，只要有上减就行，单调递增有上减好了，那么接下来我们再看第二事情单调递减。好，再看第二事情。那如果真是单调递减，一直往下跑，一直往下跑，

一直往下跑，但是你发现一个事情永远迈不过这条线，是不无限的逼近于这条线？无限的逼近于这条线，你发现你的极限是不是这条线，所以这个人呢，叫做单调递减有下减啊，这个不用打点啊，这这这太简单了。就是你单调递增的，你得有上限，你的极限就是存在你单调递减，你得有下限，你极限就是存在。同学们，

注意我这幅图画的对不对？其实不对，一定注意我们学习的是数列。所以说一定是这个线上的这些点。哎，一定是这条线上的点。然后这些点怎么办？这些点一定是单调递增，一直往上跑，单调递增有上解，单调递减有下减。一直往上跑，迈不过这条线，无限的逼近于这条线，极限就这条线，

一直往下跑，无限的逼近于这条线，那你发现极限就这条线。所以单调递增有上减，单调递减有下减就行。好像这个部分内容呃，能理解清楚就行，掌握清楚就行，这里面当中啊，有可能会涉及一种事情。你比如说举个例子啊，我来出一个我们三九六同学有可能会出的题行吧，比如说这里面到时候我给你出一个题，你把这个题会做了就行了。如果这里面当中我们写了一个xn+1这个人。

等于根号下三，加上SN。然后这个s1这个人。它是大于零。唉，大于零，且什么情况呢？且这个人的极限是存在的。贼简单啊。存在那么则这个极限等于多少？这就是如果是三九六同学，我们去出这个单调，有界必有极限的题，出到巅峰能力就出到这儿。其实你发现单调有界，

啥都没有考，就考了一个什么求极限内容来看看这个事情吧，它就是单调有界必有极限当中的一步。最简单的一步，有可能会考给我们来，我们看看这个点怎么处理啊？怎么处理这个东西叫递推公式吧？是吧，叫递推公式，那你想一个事情，我如果设这个什么n趋向无穷大xn的极限是a，我就想问你个事情。xn+1的极限是不是a？回答我同学们是不是？这我上节课讲的啊，

如果你的极限是a，你的极限是a，你的极限也是a。当然是a啊，因为两者东西啊，它是个子数列关系，或者是后面那些东西是一样的，对吧？这人是。如果这是诗的话，你发现马上可以处理。那这个时候我就可以给这个递推公式，这叫递推公式吧，知道第一项求第二项知道第二项求第三项我就可以给这个人两边怎么了？同曲极限了。

那么，同取极限的话，你发现这人其实就是SN的这个什么，这两这边求极限呢，它是a，然后一个人的二分之一次方求极限，一定是就是它。所以得到结果就是a方减a，然后再怎么办？减三这个结果等于零。对吧，这个结果等于咦，这个题。改成六吧，不然不好算改成六吧。

行吧，你给我改成六。改成六，这是我出的题啊，你随便随便出就行，好这个题。所以说这个时候你发现就变成这样，那变成这样的话，我们来十字交叉一下，也就是减三，然后再加上二这个结果等于。因此，这个a这个极限要不是三，要不是负二，那我就想问你个事情，

是每个人都行吗？是不每个结果都行，三也行，负二也行吗？是不是啊？当然不是，我们刚才讲的极限存在b为一。如果极限是存在的，它一定是唯一的结果。当然肯定有个人不行，我就想问你个事情，你能不能依然瞅出来这个人大于零啊？你能不能？你能不能一眼瞅出来，这个人大于零。

能还是不能？就是我眼睛漂一下，我都知道这人大了点。行还是不行？唉，非常简单，大家注意啊，你看。这个x1是大于零吧？塞进去。x1大于零的话，你发现你看这是SN+1，这个人等于根号下六+s nx 1，这个人大于零。把s1大于零塞进去。

大于零+6大于零，然后这个大于零，然后它就输出一个结果s2大于零。你听得懂我的意思吗？就是说从这儿输出一个s2大于零。然后再把x2大于零大于零代进去，你发现一个事情大于零+6大于零，然后又输出一个x-x三大于零。s3大于零再进行怎么办？这个输出的s3大于零继续输入进去。s3大于0s三大于零大于0s四大于0s四大于零大于零大于零。s5大于零大于零大于零，就是一直转一直转，所有人都大于零，这样递推下去，

因为它大于零，你极限结果怎么可能会小于零？它只能取散。所以说这题的结果就是三。呃，如果我们三九六同学可以去出这种题，我觉得可以这样出，但是我觉得这个很没有意思啊。按理说这个老头子啊，不会这样处。这样出就很没有意思，因为它仅仅是单调有界，必有极限，做题当中的一小步就非常简单的一步。你提前过程当中证明这个人极限存在，

这是一个有难度系数的。所以这里面当中这个题啊，我们就讲到这儿能听懂吧？好了，单调有借必有极限，我们就讲到这儿，你只需要掌握住单调，有借必有极限是什么内容就行。所以今年过程当中，无论他怎么出题，他都不会迈过这个难度系数。所以虽然说我们这是基础班，但我们的基础班相当的重要，好去来啊。好了，

那么这节课内容我们就讲到这儿呃，这节课部分的题目的难度系数啊，可能比较大。应该是比上节课要难一点的。尤其是在你们当中啊，首先第一个事情，我们学习了它的一些什么，它的性质的问题，性质的东西啊，要稍微的进行去理解一下。对吧，这是这个问题，然后接下来过程当中啊，还有一个事情，其实就是这个计算问题啊，

这个计算内内容当中啊，补充了好多东西，我建议你好好整理一下。对吧，这个东西啊，一定要做一个重点的整理，然后紧接着我们又讲了加倍准则，那加倍准则你的核心重点其实非常简单。学会它的内容，对吧？学会这个内容，然后第二事情注意这个东西的注意点，然后第三件事情知道这个东西的放缩方法就行。好了，这个内容我们就说到这啊。

呃，前两天啊，因为事情比较多一点啊，然后的话我就停更了两天，然后今天下午的话应该是把前几天的所有的税前系列应该是补完了。我今天上午我专门录完了，就前两天过程当中这个数一数二数三同学缺的，还有这个我们三九六同学缺的，我全部都补完了。然后的话，这个今天晚上你又可以进行去开始这个新一轮了，因为前两天过程当中这个呃新班还开了一个班，因为这两天春季的这个全程班还开班呢。所以这个数一数二数三同学的话，这个有两个班级，

还有一个都学班，还有我们班级啊，这个事情说实话比较多一点啊。好了，这个内容啊，我们就说到这儿，所以下去过程当中啊，一定要好好学呃，另外一个事情，我上课说的这个，比如说有时候说一些同学。我最重要问题啊，我针对的是你上课的这个学习的态度啊，不针对于你自己的个人，但是我觉得一个非常重点的问题就是。

就是这个学习态度非常重要，你说实话，让我有的时候真的是感觉非常没有脾气，对吧啊？所以下去啊，一定要好好进行复习，你得有信心一点，这第一轮。第一个阶段，第一个阶段都这样，那后面怎么样？那见到一个题，这也有人能做出来吗？但是你发现每年到最后而言的话，都有同学做出来。

每年过程当中，碰到一年考研试题比较难的，然后总是说这也有同学能做出来吗？你发现最后130，140的人很多。所以第一个阶段的部分呢，希望同学们扎扎实实去复习啊，一定要扎实一点，把这每个东西啊，得有魄力一点。我一直跟你讲，我说我喜欢感叹号，对吧？啊，就跟我有个朋友一样啊，

专门讲规划的，我就我有一觉得是这样，就是人要自信一点，你要自信心一点。就这个东西，你发现你还没有学呢，你还没有深入进去呢，哪怕第一个阶段我把这个作业做错了也没有关系，我有魄力一点，我下次见到这个题能处理就行。那这不就非常好了，所以希望同学们下去过程当中好好加油啊呃，之后啊，你们尽可能看课表，因为我三月份和四月份的课比较多一点。

我也不会把你们所有的课都放下午，但是有的时候的话，实在是调不开了，我只能放到下午，然后这个呃，就是几个班的课程的话，我会。稍微的协调一点，你们尽可能看一下那个时间，所以我觉得今天下午估计好多同学这个嗯，没有来听课对吧？这个今天下午人数少了好多。估计是以为是晚上上课，你下去过程当中一定要注意课表，对吧？

要注意这个课表。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿啊，作业的话，今天就不讲了啊。对吧，大家有问题的话，先去问助教，然后我一直给你讲这个事情，我说这个我们三九六这个班级啊，我可以讲一些作业，我不可能说把每个题都讲。能听懂我的意思吗？唉，

这是这个，所以下去过程当中啊呃，自己如果有问题先进行去问助教，然后上课过程当中啊，大家普遍比较难的题啊，我可以做一个重点的讲解。那么下节课我刚好讲这个连续和间断，我讲这个连续和间断的时候，我可以把那个上次过程当中的作业啊，有些题我可以给你讲讲。呃，至于这个课表。对吧，今天课表上面的话，可能是这个导数的定义，

你不用管这个事情，我后面可能会加一节课，至于加到哪一天呢，你不用管，你只用看这个课表就行。所以你的课程的这个时间啊，只会长一点啊，不会短一些。行吧，那么接下来我来布置一下这个今天的作业啊。好，那么接下来我们来看看这个，今天你们需要完成的这个作业去把这个作业当中的这个数列极限的计算，把它给我做完。哎，

数列极限的计算哦，有点儿多是吧啊？唉，把它做完，一直做到78题，然后这里面当中啊，我说一下里面当中有几个难一点的题。就是这个74题，这个题可能你做不出来也没关系，下节课我会讲四星级的题，然后还有一个75题这个题啊，你没有做出来也没有关系，这个题是五星级的题。啊，这两个题的难度系数比较大，

哎比较大一点，所以说这两题啊，我下节课过程当中会讲一下好吧，哎，这两题我会讲一下。然后另外一个事情，你下去过程当中啊，我布置个任务啊，你去复习一下什么叫做二项式定理。听懂了吧？哎，什么叫做二项式定理？你去看看那个公式。好了吧，这个题目自己去做吧，

我觉得前面这些题都还好。对吧，这个前面这些题都还好，你看这个一星级的题处理起来就比较容易了，然后这个可能后面过程当这个题稍微难一点。这个题稍微的难一点，但是我上课讲过这个题。啊，可能74题和75题啊，做起来压力比较大一些啊，剩下题都还好。对吧，别的题我们都可以处理，你像这个题。你如果今年过程当中考这个题，

你不哈哈大笑，笑出来了，那这题等于几啊，你这一秒选a，你还做啥呀？我给你两分钟，我是给面子，这题只需要多少？这题只需要20秒都不需要？这题只需要十秒不只需要五秒钟？就这个题，你看到这个题不就会了吗？所以你看到第一遍碰到这个知识点的时候难很正常，但你把它学过去，学过去再进行去训练的时候，

你发现不就简单了吗？所以你看这是还是往年的真题呢啊，这个题。能掌握清楚吧，所以希望同学们要有信心一点，第一遍学一个新内容，它都需要一个接受的过程，哪怕你学什么东西都是这样，它得在你脑子里面稍微温存一会儿。然后再同化一下，然后就可以处理清楚了，好这个题啊，我们就讲到这儿好了么？同学们行吧，那么今天课程呢，

我们就讲到这儿下去，过程当中好好进行去整理一下。另外，事情布置一个任务，在讲下节课之前请同学们一定要去把连续和间断稍微的复习一下。能听懂吧把连啊，这个什么基础班零基础提前学讲的这个连续和阶段复习一下好，那么今天课程我们讲到这儿好下节课讲啊。

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06.数列极限的性质与计算-2

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