05.函数极限计算（4）、数列极限定义-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:36:52

接下来我们就继续吧啊，这个能听到声音吗啊，可以听到声音给我回复个一，我们就继续开始。好，那么接下来我们再来看看这个第四节数列机械啊，在这个前些天过程当中啊，就是这些课程当中啊，我们都是在讲这个函数机械。那么，今天过程当中，我们进入到一个新的板块，叫数联机械。那么，对于这个数理极限呢？

我简单跟同学们进行去聊一下，对于我们三九六同学的一个基本要求。那这个部分的东西啊，其实你发现在我们历年的真题当中考的是非常方式非常少的，基本上就没怎么出题。但是在去年过程当中啊，也出了一个定积分定义的题。所以你发现今年过程当中，像这个定积分定义等等一系列的基本知识点，都必须要把它拿下来。那么所以说接下来过程当中啊，我来聊一下，在三九六同学，我们的数列极限当中的一个重点要求。有两个事情，

第一事情就是它的定义和性质。哎，定义和性质的题。那数列极限的定义，数列极限的性质，你像这种类型问题啊，你得迈过去啊，比如说我可以出一道题啊。你出一道题，你立即把它给我绝杀掉好，这是第一个事儿，第二事情就是基本计算。大家注意啊，这个计算题啊，不会说特别难叫，

基本计算，所以像这里面当中，比如说什么加b准则的方法。单调有界必有极限的方法，像这种尤其是单调有界必有极限，它是没法出题的，了解一下它的内容就行。呃，像单调有些必有极限，一会儿过程当中，我只会重点来讲讲，哎，这个部分的内容是什么就可以了，那么加倍准则呢，要掌握住它的内容。

它的核心知识点，它就可以了，所以这块内容对于数一数二数三同学的要求是非常高的。但是对于我们而言呢，这个部分的要求没有说想象的那么难，所以一会儿处理起来相对而言还是比较简单的。好了，那么接下来我们来看看下面一个问题，我们就来看看第一个事情数列极限，那么首先在讲之前呢？当然要讲一下数列极限的这个定义啊。但是在讲数列极限的定义之前呢，我还是希望同学们注意我们来引一下。我觉得非常有必要把这个数列讲讲。根据以前啊，

这个学习的一些情况，大家的话，在这个学习过程当中，你发现数列这个东西啊，永远是很多同学的痛点。为什么痛呢？就是因为最起码的数列的基本知识都没过关。那么，所以说首先第一件事，我们先来看看什么叫数列？我们先看看数列这个东西的定义是什么呀？我先来问你个事情，数列是一个数还是一组数啊？一个数还是一组数？一组数是一堆人，

他不是一个人，那么首先我们先看看这个人的定义，他说是以正整数集为定义域的。一系列有顺序的数啊，有序的数，那么在这种当中，比如说我举个例子。你这样听的话，没有什么意思，我们来看看，比如说举几个例子。我写个数列这个。这是个数列吧，哎，注意一下，

这是个括号啊。这就是个数列。哎呀，这括号怎么写的那么丑呢？好，这是个数列。那么，同学们注意这个数列代表了多少呢？这是个正整数点，所以说它里面当中啊，你发现有二的一次方。二的二次方，二的三次方，二的四次方，然后一直到二的N次方等等下去。

它里面当中应该有无限多个人。就说这里面当中n是可以发生改变的n可以取一取二取三取四，所以说我要用一个括号把它括起来。括号括起来表示了这一组数，所以说你要注意一个事情，这个人和这个后面这两个东西是一样的。能跟上我的意思吗？那比如说我们举个例子，我们再来看，如果这个东西，比如说我们写个这是二分之一的N次方。那这个数列呢n是不是可以取一取一的时候是第一项取二的时候是第二项取三的时候是第三项？一直取取n的时候是第n项，一直下去。那么，

在这个当中，我们来看看像这个二的N次方和二分之一的N次方叫什么？叫做这个数列的通项公式。听得懂我的意思吧，通项公式那往往过程当中一个数列是不这样写的。所以将来过程当中，我们碰到的一些数列数列都是这样写的。它有第一项，它有第二项，它有第三项，它有第n项，因此将来过程当中，你告诉我个事情。这个人和这个人一样不一样。一样不一样，

当然不一样，这个东西指的是数列，指的是一堆人，指的是一二三四五六七八九十一堆人。但是这个人呢，指的是他的第n项，只是一个人啊，这两个东西不一样，一定要把这个东西啊区分开。所以接下来过程当中啊，我就要讲第二事情，我来讲讲子数列的问题，你注意啊，这个东西一会儿过程当中我们会用。哎子树林，

那我来问你个事儿，你来告诉我个事情，这个人和这个人谁是谁的子树林？你要凭着感觉走的话，你发现一个事情，你就会认为什么上面是下面的子数列，但是我想问你个事儿，这两个人到底谁是谁的子数列？什么叫子树林儿子嘛？谁是谁的子主页？不要说哎呀，这里面当中有2n项啊，这里面当中有n项肤浅太肤浅了。我们来看看这个人。你发现一个事情数列是什么意思？

数列是一堆人，不是一个人，就说我这个括号里面只要这样一写，这就是一堆人。这一堆人是什么n？立即从一排到无穷大去。对吧，排到无穷大去，所以说接下来过程当中，我们来看看第一个数列，第一个数列什么意思啊？第一个数列有s1。s2，s3，s4，

s5，s6一直下去。但是你发现没有更少这个这个数数比较不出来，谁更多那么接下来我们再来看看第二个人，那第二人呢？你发现n取一的数是多少？是s2取二的数是s4取三的数是s6哎，这样下去。有没有发现一个问题，你发现第二个人只是第一个人当中的偶数部分吧？对吧，是它的偶数部分，它没有这里面当中的奇数项，所以你发现这个人是不是上面这个人的儿子啊？所以说它叫做子数点。

而且你发现只有偶数部分，所以叫做偶子数列。能听懂吗？那么接下来我们继续继续继续看，如果这里面当中我们写的是2 n+1。或者写个2 n- 1都一样，你发现取一的时候是多少x1取二的时候是I3？然后是s5，然后是s7，一直下去，那你告诉我个事儿，这个人是不是上面的奇数部分，所以说这个人叫做。基子数列。哎，

所以说将来过程当中学这个内容可不要凭感觉认识啊，有人说哎呀，这人是2n个，这人是2 n- 1个，你才是n个，你比我少，你是我的子助理，不是的。这个人的话，你发现一个数列，它这个角标一定是从一进行去变化的。当然，也可以从零开始变化。所以这两个东西啊，一定要把它给我梳理清楚。

好了，同学们，我给你铺垫了一下，那么接下来我们来看看第三个事情，我们来看看数列极限的趋向形式。哎，数列极限的取消形式。那么，一个数列极限在这里面当中啊，你发现是什么样的一个趋向形式呢？我们继续看。比如说在这里面当中啊，我来给你写个数列，大家来给我瞅一下，你看看这个数列二分之一的N次方这个数列。

我这是一个这个括号啊啊，能听懂我的意思吗？哎，这样的括号我不知道为啥我画这版边儿画的不好，哈哈。好，这个这个数列那么大家注意一个事情，这个数列的话，你发现它的第一项是多少二分之一？第二项是多少二分之一的平方？第三项呢？你可以写成这样，你可以写成二的平方分之一，然后是二的三次方分之一。然后是二的四次方分之一，

逐渐的变到二的N次方分之一，是不是逐渐下去？对吧，逐渐下去，那么同学们想象一个事情，随着这个n逐渐的变大，这个数列逐渐的趋向于多少？是不是逐渐的趋向于零呢？那么，在这种当中，如果我用坐标系来表示，我们来稍微瞅一下，那这个数列的话，你发现这是y这是零这是x。那么，

如果在这种当中，你发现n=1的时候，在这儿n=2的时候，在这儿n=3的时候，在这儿，然后一直跑一直跑一直跑一直跑一直跑一直跑一直跑，最后缺陷一零。同学们，你看到趋向状态了吗？你见到趋向状态了吗？有没有见到？是n往哪跑？随着n逐渐的变大数列的通项，将会趋向于零。什么样的去向，

也就说随着这个n逐渐的变大，这个二分之一N次方，它逐渐的接近于零。逐渐的接近于零，所以同学们，你告诉我个事情，数列只有几种去向。这个东西如果写成极限的话，你发现就是n趋向无穷大。然后二分之一N次方的极限是零。所以同学们有没有发现一个事情，它的趋向形式就是只有n逐渐的变大，最后它接近于零。那我问你个事儿，恩，

能往一跑吗？能不能往一跑？跑个鬼，我数列在第一个人当中就等于二分之一，跑啥跑？数列能不能往一跑？数列能不能往二跑？数列能不能往三跑？跑啥呀？我第三项都有人，我第四项都有人，我第五项都有人。它的趋向形式应该是随着n的逐渐的变大，最后它趋向零。所以在这种当中，

一定要听清楚一个事情，我们在这种当中注到笔记上。能听懂我的意思吗？注意这个问题诶，注册笔记上。数列极限。仅仅只有。仅只有一种趋向方式。哎，大家注意，它只有一种取向方式，但是你告诉我函数极限有几种取向方式啊？函数极限。函数极限有几种。数列极限只有一种趋向方式，

函数极限有几种？函数极限有六种去向方式。它可以趋向于一个点。它可以趋向这个点的正，它可以趋向这个点的负，它可以趋向无穷，大正无穷负无穷，但是数列极限只能往哪跑？它只有一种趋向方式，那就是如果对于一个数列而言。它只有一种趋向方式，就是这个n趋向无穷大，这个人的极限结果等于a。它只有一种取消方式。所以同学们注意一个问题啊，

它仅仅只有一种。而同学们想一个问题，你只有一种无穷大，这种无穷大指的是什么无穷？正无穷，所以说只要将来我写的这个人是无穷大，因为他只有一种方式，你只要写无穷大，那这个人肯定是正无穷。所以需要画蛇添足吗？不需要，但是你发现一个事情函数干嘛函数不行，函数的时候这个无穷大有可能是正无穷。也有可能是负无穷，为了表明清楚，

必须要写清楚是正无穷还是负无穷。但是数列极限呢？数列极限只有一种趋向方式，就是趋向于正无穷。所以只有正无穷这一种，只要我写无穷大，当然是正无穷，我还需要信息写正好了，不用了，不要画蛇添足，所以前两天过程当中，我们可能出现了一个题。那个题是个数列极限。很多同学就问说哎，老师怎么只讨论正无穷，

不讨论负无穷啊，因为只要写n趋向无穷，大都是数列极限，注意啊，考纲规定啊。只要写n趋向无穷，大都是数列极限，只要是数列极限的趋向，都指的是正无穷没，有负无穷。能理解吗？将来要知道数列极限只有一种趋向方式，然后在这种当中，我们给这个极限做一个规定。你听好了，

如果在这种当中，你发现我来求一下这个人的极限。你都知道一个事儿，哎，这是第一个问题。然后接下来我们再看第二个问题，你都知道一个事情，一个数列极限极限的结果有两种，一种结果叫存在。一种极限结果叫不存在，是个数就叫存在吧，如果你发现它的极限结果是个数，我就说什么，我就说这个数列是。收敛的，

或者叫收敛于a。如果你发现这人是不存在的，我就说什么情况，我就说这个数点是发散的，你看这个人有啥意思啊？就是为了装逼，又起了一个名，我可以这样说吗？他不就是这个意思吗？你发现就说什么叫发散数列，发散数列发散就是通向的极限存在啊，不存在。如果是收敛，就是通向极限存在。存在就是收敛，

发散就是不存在。就在这里面当中啊，然后故弄玄虚，然后在这里面当中啊，增加了一个词儿，好像听起来哇，收敛发散好牛逼。其实就是你们经常说的存在和不存在。哎，这是这个人，所以你看如果是a，你可以写这个收敛于a。能理解我的意思吗？哎，所以说注意啊，

数列极限仅只有一种取向方式，只有一种啊，只有这种取向方式。然后这个人的话，你发现他的极限是a对吧？只能是这个n趋向无穷大，只有正无穷一种好了，这是这种情况。所以刚才我讲的这些内容，就把我们数列极限的一些基本知识啊，铺垫完了啊，你就了解清楚了这些事情，接下来的工作就贼简单了。好，那么接下来我们正式来看看数列极限的定义，

那么接下来我们来看看这个事，我在这里面当中啊，写一个数列。诶数列是这个人，那么请同学们告诉我，你看。如果这15列极限应该写的是n趋向无穷大，然后这个人的极限是a。对吧，从图形表象上应该是怎么说的？从图像表象上应该是这样。哎，应该是这样，这是y这是零，然后这是x那么然后的话，

你发现我画一条线，这条线是谁？这条线是a。对吧，这条线a，然后你看一下这个事情n=1的时候等于二的时候等于三=4一直跑一直跑一直跑哎，你发现。一直跑一直跑，最后接近于a一直跑一直跑n逐渐的增大，接近于a它的极限就是a。对吧，随着n逐渐的增大，然后接近于a它的极限就是a。我a一直变大，一直变大，

最后接近于a它的极限就是a。能理解我的意思吗？这就是这个数列极限，结果是a，你看我们怎么去叙述这个定义？你今天过程当中再看这个定义贼简单。啊，大家理解啊，要理解我觉得这些东西啊，都没有你的理解重要，因为怎么把这个东西变成考题，这才是最重要的。那么，接下来看这个极限定义，我们怎么去理解？

他就这样说，原来怎么说我的极限是你说，无论你有多么的小。我和你之间的距离比它还小。我和你之间无限的逼近。别管你多么的小，我和你之间的距离比他还小，我跟你无限的逼近。那就说明什么事情就说明SN的极限是a嘛？什么时候SN的极限是a呢？请注意当什么情况？当n趋向无穷大的时候，你的极限是a。好了，同学们，

这个数列极限的定义你会写，请给我回复个一，我相信每个同学都会啊。都讲到这儿了，你还不会不可能。无论你多小，我和你之间距离比它还小，就说明我的极限是你嘛。什么时候你的极限是我当n趋向无穷大的时候，你的极限是我。能写出来吗？好了，那么接下来我们来看看这个事情，那请问什么叫做n趋向无穷大呀？那么，

接下来我们就来看看这个事情的至高理解，我把这个东西敲到旁边吧。你就把这个点。至高理解。或者叫巅峰理解，你要达到这个水平呢，我觉得你做任何题都没有问题，注意我把它变成红色。我还得把它变成我喜欢的绿色，你稍微等我一下，因为它太重要了。那么，接下来我们来看看巅峰理解。什么意思呢？无论你多小，

我和他之间距离比你还小，我都要和你无限的逼近，对吧？我和你无限逼近。什么时候都无限逼近呢？当n趋向无穷大的时候。那我想问你个事情，同学们，你听一下。你的极限是a，就说明你最后都接近于a，那是不是每个人都接近于a呢？你来看。第一项接近吗？第二项接近吗？

第三项接近吗？第四项接近吗？这都不接近你这个前面哪接近它应该是什么？他应该是后面这些人都接近。对吧，它应该是n趋向无穷，大的时候接近什么叫n趋向无穷大呢？存在了一个很大的数。我比你还大。什么叫n趋向无穷大存在了一个很大的数，我比你还大。所以说什么叫做SN的极限是a呢？就是存在了n之后，这后面的这些人都无限逼近就行。是不是这个意思啊？

就是从一个大n开始，这后面的所有人就叫n趋向无穷大，而这些人只要跟a无限b近。我的极限就是a同学们听得懂我的意思吗？能跟上我的意思吗？它不就这样的意思吗？他说，当n趋向无穷大的时候，你要跟我很逼近，什么叫n趋向无穷大存在了一个很大的数，我比你还大。所以同学们注意一个事情，巅峰理解是什么？巅峰理解就是这样。如果在这里面当中，

我写了一个事情，你n趋向无穷，大xn的极限是a你的巅峰，理解是什么呀？巅峰理解是这样。就是什么情况，不需要所有人都要跟a无限逼近，应该是什么？从一个大n开始。哎，存在了一个大n比你还大，后叫后面就叫正无穷，从一个人开始之后的所有的数列结果。都要跟a无限逼近你，比如说xn+1了xn+2了，

这后面所有人都要跟a无限逼近。只要能保证这后面什么后面这些所有人。哎，所有人都跟a无限逼近，我的极限就是零。就这么简单，你的极限是不是a就看从一个人开始之后，所有人是不是都接近？但同学们想从哪儿开始，你在意吗？从一开始行不行？从二开始行不行？从三开始行不行？从五开始行不行？从一个亿开始行不行无所谓。

我在意的是什么？我在意的是从一个人开始注意，可以啊，可以没有任何问题，绝对是可以的。就是我只要从一个人开始之后的所有人都接近于a我的极限就是零。就是从一个人开始之后，所有人都接近于a我的极限，就是a你下去好好品品，你把这个事情理解透彻。好，大家都能理解清楚，给我回复个一。他不就这样说吗？无论多小，

我和你都非常接近，什么时候呢？当n趋向无穷大的时候，就n很大的时候，什么叫n很大呢？存在一个很大的数，我比你还大。从一个人开始之后。啊，所以同学们一定要注意，只要从一个人开始之后，所有人都跟你接近，你的极限就是他。好，那么接下来我们看题，

你看我就先讲题了，我们先讲一点四五这个题。只要你从这开始。呃，为什么从这个我就举个简单例子吧？我就举个简单例子。你比如说举个例子。你想一个事儿，你的这个极限结果是a，你是不是看后面这些人呐？只要后面这些人都接近于a，你就接近那你想一个事情，比如说我从100开始，我都接近我的极限是a。那如果你这个人已经从一开始就是这样，

一开始就是这样，那我问你行不行？行不行行啊？一开始这样跟我从100之后这样1000之后这样，我在意的是后面都接近就行。因为你发现一个事情，一个数列极限，到底是不是a我在意的是后面这些人都接不接近a跟你前面有半毛钱关系啊？没有关系，只要从一个人开始之后，后面所有人都接近就行，我在意的是这件事情。我在意的是，从一个人开始之后的所有。你注意这个问题啊，

这是极限，你想嘛n趋向无穷，大很大的时候，只要你接近就行。理解屠城。好了，那么接下来我们来看看。二零一五年考题。这题我觉得考的很经典。大家来看你把这题会做，我觉得水平点就可以了，好，我们先来看看这里面当中的第一个事情来请。先看a选项。他说什么情况？

他说这个人的极限是a同学们告诉我，他的极限是a什么意思啊？回答我一个事情，它的极限是a什么意思？它的极限是a的意思，就是从一个人开始之后，后面所有人都要接近于a。后面所有人都接近于a我的极限，就是a。对吧，我就从一个人开始，之后所有人都接近我的极限就是零。那么，接下来我来问你个事情，你看看这个人的极限是不是a呢？

是不是呢？那你告诉我这个人是啥呀？这个人是他的奇数项吧，他是他的奇数列，那我举个例子，比如说第一个人就是奇数列，跨一个是奇数，跨一个是奇数，跨一个是奇数，跨一个是奇数。从一个人开始之后，所有的奇数都接近于a奇数列的极限，是不是a？你从一个人开始之后，你所有人都接近a你的极限不就是a吗？

好，我们再来看看第二事情，你看这个人呢？你旁边的人不就是偶数吗？你旁边的人不是偶数偶数偶数从一个人开始之后，所有的偶数人都接近a偶数列的极限，是不是a？漂亮，这个事情当然正确。能听懂我的意思吗？好，我们再来看b选项。如果你发现偶数列的极限是a奇数列的极限，也是a，那大家想一个事情，

从一个人开始之后。所有的偶数都接近于a所有的奇数都接近于a，是不是能说明所有人都接近于a没有问题？所有人都接近于a你的极限，不就是a你也没有问题。大家听懂了吗？所以你看这个AB选项非常好理解啊，理解我不希望你背，你背就傻了。好了，这是这个事情，简单吧。你掌握住了这个至高理解，你发现水平点就相当的高，我保证的一件事情就是我不在乎前面。

你前面爱咋样咋样，我在意的是从一个人开始之后的这些人，这是我在意的事情。好了，那么接下来我们再看c选项。那么c选项有一个3n和3 n+1。这个东西什么意思呢？你看一个数轴上的这个点，它可以分成偶数和奇数就分成2n和2 n+1。那如果按照3n分呢？就是3n3n加一三n+2。是吧，如果按照4n分呢？4n4n加一四n+2。你想一个事情，

比如说x三下就是x6x9对吧？跨两个人，所以接下来我们再来看看c选项。好，继续看。那么，这个人的话，你就发现你看第一个事情。如果它的极限是a什么意思啊？就是从一个人开始之后，后面的所有人都怎么办？接近于a注意啊，后面所有人都接近，所有人都接近，所有人都接近，

所有人都接近的话，你发现比如说。第一个人就是三恩典。跨两个是3n点，跨两个是3n点，跨两个是3n点，我想问你后面是不是所有的3n的人都接近于零？所有的三个人都能接近a3n的极限，不就是a吗？你看多简单。然后接下来我们再看旁边的人不就是3 n+1吗？旁边的人不是3 n+1吗？也就说，从一个人开始之后，所有的3 n+1的数列结果都接近于a3 n+1的数列的极限，

不就是a吗？你看这也对，所以说c选项是不是正确？听懂我的意思吗？那么接下来同学们，我们来看看能不能回来呢？如果3n的极限是n。3 n+1的极限也是a。这俩极限都是a，也就说从一个人开始之后，3n都接近3 n+1都接近你，能说明后面所有人都接近吗？不行，为什么？因为这里面当中还有3n加几？

3 n+2了，所以大家注意一个事情，他少了一个人，你必须在这种当中再加一个人，你加一个谁3 n+2？你缺了这个3 n+2这个点。3 n+2，这个点也接近你就接近了。大家听懂了吗？我觉得这道题已经没办法再通俗了，答案选d，我可以明确讲这题可以出给我们三九六的。这可以出成三九六的，因为这题可以秒的。速战速决啊。

好了，听懂了给我回复一吧，你下去好好品品数列极限的巅峰理解，我都给你总结成这个样子了，你还理解不了，我觉得没有办法了，对吧？你看上面看很恶心，你就去理解他，你要喜欢他就从一个人开始，之后所有人都接近，那么同学们，我们来看一个问题。我就来把这个事情给同学们进行重点讲一讲啊。收敛数列和子数列之间的关系。

哎，我就来给你讲讲这个问题，所以同学们注意啊，不要背定理，你要理解这个定理，把理解了之后非常简单。好，我们来看看，如果这个数列。收敛于a诶，就说这个数列的极限谁那我想问你个事儿，它的意思就是这个意思。如果你的数列极限是a，我的意思就是我从一个点开始。你后面的所有人你都要非常接近原因。

你后面所有人都非常接近a，你随便的挑他儿子，他儿子你随便挑，你随便挑，随便挑，你随便挑的，这些人接不接近？当然接近，因为这后面的所有人都接近，你随便挑他的儿子都是接近，所以说我们接下来看立即就可以推。退出什么？退出所有的。次数列均收敛于。大家注意哦，

这所有的子数列都是零。请你随便挑他儿子，这后面所有的儿子都是接近于a的，那他极限也是a，是不是这个世界？所有的子树林要理解，不要背啊，那么同学们想这个东西能不能回来？能不能回来？能回来只要你能保证所有就行。你是所有的子数列，只要你能占满这个数轴上的每个点。那这个时候你发现就可以回去了。就是注意这个事情，必须得保证是所有的字数列啊，

这个事儿很重要。行吧，这是我们讲的这个第一个问题，所以这个东西当中啊，有一个黄金考点，这个考点有可能对我们三九六同学出题啊，注意这个事情，可能会出题。那我想问你个事，如果n趋向无穷大xn的数列结果等于a的充要条件是什么？你数列的极限，结果如果是a你的充要条件就是n趋向无穷大x2n啊，就是偶数列。和奇数列极限，结果都得是a。

同学们，听懂我的意思吗？偶数奇数就占满了数轴上的所有人，偶数列和奇数列的极限都得是，这是个黄金考点。哎，黄金考点，所以同学们注意啊，如果数列收敛于a所有的子数列都收敛于a。那比如说我们举个例子，我们来看看这个题。我出个例题，那么请同学们告诉我limit n趋向无穷大负一的N次方的极限存不存在？看这个极限存在还是不存在？啊，

存不存在？你在这里面当中，你发现我们先看偶次数列。哎，那么你发现一个事情，如果是偶数项呢？偶数项就是负一的2N次方，因为你发现这是。s2N次方就负一到2N次方，那这人是一啊，它的极限是一。如果你发现这个人基字数列呢？基次数列就是x的2 n+1，那就是负一的2 n+1次方，那真是负一它的极限，

结果应该是负一啊。就说以偶数去向无穷，大是一以奇数去向无穷，大是负一。刚才我说了，如果数列极限，结果是a。偶数去向无穷大，和奇数去向无穷。大都得谁？所以你看这个极限，结果就是不存在的。大家听懂我的意思吗？把这个事情讲清楚，当然的话，

你发现很多这个书籍当中啊，写这个题的参考答案写的非常的怎么样？就是你发现一个点。啊，如果是。如果是3n就是3n，3 n+1，3 n+2，它的极限都谁啊？说的没有问题，这这个。你能问出来就说明不自信呢？你这刚才这么的明显呢，3n3n加一三n+2，这三个人如果都是a的话，

他肯定是a。自信一点，自信一点。上课的时候你发现听的时候认真一点好，我们来看看这个题。这个题啊，你发现很多参考书啊，写的极其的简陋。但是你发现他说的那个问题确实是这个意思，但是很多同学理解不了，你看接下来你们就能理解了，你们水平点已经够高了。你看你们就理解好他做这个题，他说如果一个数列的极限是a子数，列子数列都是a对着呢。

数列极限是a子数，列子数列都是a对着呢。然后这是偶数项奇数项，你发现占满了所有子数列对着呢啊，第一个是奇数项，偶数项占满所有人对着呢。然后这是3n3 n+1，还缺个3 n+2才能占满，所以它不对答案选d。所以说你应该理解什么意思了吧？你就像的话，这个有些他写这个答案，他怎么写他就这样写。因为数列收敛于a所有子，数列收敛于aac正确。

然后说因为BB选项是所有子数列则b正确，因为d选项不是所有子数列则d不正确答案选d。你理解了吗？其实你理解了，你为什么理解呢？那是因为我刚才过程当中铺垫了好久，我给你这样进行去精讲了。你理解了内涵了，你还掌握住了那个内容了，你当然理解，那你想想一个事情，我如果不这样讲一下，你能理解吗？所以那个答案跟没有写是一样。我要是刚才过程当中不铺垫这一堆，

你去想想刚才那个答案，你说这这写了个鬼呀，对吧？你你要我如果没有这样铺这铺这一堆，你自己去想想理解上根本就不好理解，然后下去过程当中就像背一样。硬生生的背过这个答案，就像背诵一样的话，进行去学数学，那这样效果就不好了。所以刚才铺的这一堆啊，还是挺重要。能理解吧，哎，刚才铺垫的这一块一定要好好进行整理。

好了，这就是我们的数列极限，大家注意啊，数列极限一定要掌握住巅峰理解。那么，接下来我们再来出一个题。那么，接下来我问你个事零。如果什么情况？若limit n趋向无穷，大。xn的极限是a。我就想问你个事情，则limit n趋向无穷，大xn+1的极限也是a对不对？

那这条内容对不对？对还是不对？那就看看呗，你发现看我有两种理解方式。你看你的方向一。你方向一的话，你就进行去看看这两个数列。哎，这两个数列。那这量数列的话，你看这人是x1，这是x2，这是I3，然后这是多少后面的，然后这是x2，

这是I3这后面的。同学们，去理解一下，我们先用第一种方向去理解。你发现一个事情就是这样。如果这个极限是a，应该是从一个人之后，后面所有人都接近a，你后面所有人都接近a，你后面所有人不也接近a吗？你后面这两人都所有人接近a，我看后面那这人不就是a吗？你听得懂我的意思吗？你把至高理解这个水平拉上来，我跟你讲今年过程当中就是这样。

你学到最后就这个难度系数学到今年的最最后，你就是这个水平，把这个水平拉出来，我觉得就可以了。你听得懂我的意思吗？就说他后面所有人都接近a，那你后面所有人不也接近a，那你极限就是a，那我再问一遍，一个数列极限。在意的是前面吗？在不在意前面有限，个人不在意数列极限，这个人在意的是后面这无限多个人。注意一个事情，

你发现一个事儿，我必须要把这句话写出来，好，我觉得这件事儿我觉得很重要。一个数列极限。真正起作用。真正在意的是后面。是从一向。开始。之后的所有。竖列值不要指，不要在乎前面有线图像。不用在意钱有现象。哎，钱有现象。

哎，卡了吗？叫我看看啊。卡了吗？现在卡了吗？好了，同学们啊，下课了卡了，真会跟我玩啊。啊，好了没？好了是吧？来我们继续可以吗？好，那我们就继续了，

好，我们继续啊，你注意一个数列。他真正在意的是什么？他真正的在意的是后面从一项开始的，后面当中的这些之后的所有数列值。他不会在意什么东西呢？前有现象，所以同学们注意这个点，你不用在意这前有现象。哎，这个点不用在意前有现象。所以你看看这个数列结果，如果你的极限是a后面所有人都接近a你后面所有人也接近a，那当然是可以的。

或者而言怎么办？或者而言的话，你发现一个事情，你也可以这样理解，怎么去理解理解？就是下面这个人。是上面这个人的什么东西，此数列。哎，下面这个人是上面这个人的次数列哎，注意一下这个事情，如果这个数列的极限是a。此数列的极限当然有谁，所以同学们注意啊，你这个东西啊，

我就把它变成分析了。好了，这是这个事儿，听懂我的意思吧，哎，如果你是a你的子数列是谁？但是我觉得最好理解就是你后面所有人都接近你后面所有人也接近它是同步的。好，这是数列，你理解了没？你要是能把这个理解，它怎么出定义的题，我觉得都没有任何问题。哎，都没有问任何问题，

那我接下来我来问你个事儿，我看你水平怎么样？我看看你怎么样？我例一。那么，这里面当中的第一个事情。limit n趋向无穷大xn，它的极限是a，它的定义是这样写的。对于任意的一不送的大于零。存在一个大n大于零。当什么情况？当这个n比这个大n大的时候。xn和a之间的距离比你小，同学们告诉我，

这是不是它的定义？当然是啊，这是原定义，没有问题，那么接下来我们再来看看第二事情。你告诉我个事，我把这个定义改一下。听好了啊，我把这题给你改一下，你告诉我还对不对？刚才那是原定义啊，就是我们讲义上的定义就是这样定义的，我接下来就问你一个事情，你如果能把这个事儿想清楚，我觉得这节课绝对过关。

哎，所有问题都没有问题，绝对过关好了，我们来看看。那么请告诉我，我把这个人写成大于等于号，你告诉我对不对？对还是不对？能不能作为它的定义感受？我不希望你在那里面当中学的，特别不要死板啊感受。去给我感受它。对还是不对？大家都知道区别点在哪呢？你是大于号，

我是大于等于号。对不对？感受它。当然对嘛。它还不就是表示了，从一个人开始之后的所有人都接近于a吗？从一个人开始之后的所有人都接近于a，我的极限不就是a吗？所以你发现。我不喜欢那个八什么对八。对么？应该对吧，我我不喜欢这样，我一直跟你讲要做一个自信的人，我喜欢感叹号。

啊，就跟我我有个这个朋友啊，这个讲规划的一个一个老师啊，叫冯浩，他对他的学生就叫什么？把他学生叫做叫感叹号。对吧，就是稍微自信一点啊，对不对？对着呢？哎，当然对，这样就是从一个人开始之后的所有人，只要他有这种感觉就行。对吧，

你只要从一个人开始之后，所有人都接近他的极限，就是a没有任何问题的，想清楚这个事儿就行。好了，这个问题点我们就说到这儿吧，自己下去过程当中好好进行去处理它。呃，留一个作业题哎，把一点四六这个题啊，自己下去过程当中，你们可以进行去完成一下啊，一点四六。可以去作假。就这个题啊，

你们自己去可以去做做，然后下节课过程当中啊，我们就继续，然后今天我们就不多讲了，大家可以休息会儿啊，然后一会儿八点半我们还有这个规划课程呢。然后上次过程当中的作业呃，下次过程当中再说吧啊。然后你们去下节课啊，然后这节课作业。这里面当中的考点四。哎，考点四做一下，你发现你像这种题这种题，我们在往年真题当中经常出现。

对吧，比值极限存在，对吧，拿到极限这个什么已知极限，求其中待定参数还不是求极限嘛，先定型嘛，下面是零，上面是零，然后。然后再怎么一做就出来了啊，不是说特别难呢？好考点四。然后是考点五。哎，考点五。

那么，考点五当中啊，我想说一个事情，你像这个66题。还有这个61题啊呃，60题61题，还有这62题，我希望你们好好做一做啊，下节课一开始上课，我可以讲讲这个题倒不难。啊，这题不难，那我觉得这这几个题啊，尤其是你看这种题，很多同学见到这种题都颤抖，

有啥颤抖自信一点。只要功力学的足够好，把它做出来，没有做出来也没关系，多碰碰钉子，下次过程当中能出来就行。好吧，同学们行吧，那么这节课我们就讲到这儿，这两个部分的作业能做完吧？我相信没啥问题啊，你把这两节作业你好好做一做。好，我们稍微休呃，这个这个今天呃，

我们就不讲了，然后大家可以稍微的休息会儿，一会儿八点半的时候啊，我们还有个这个三九六的同学的这样的一个规划课程。啊，一会儿过程当中，我们再来啊，再继续吧，好那么今天课程呢，我们就讲到这啊，很长吗？这有啥长的？那你去看看你的那逻辑题怎么办呢？逻辑题都是那个那个鬼样子啊。不要这样，

那那读点文字体嘛，没啥问题的，好同学们行吧，那么我们这节课的部分内容我们就讲到这好，下节课见。

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05.函数极限计算（4）、数列极限定义-3

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