05.函数极限计算（4）、数列极限定义-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:36:40

那我们就继续回来吧，能听清楚我的意思吧，哎，刚才我们讲的这个点，你要理解清楚，就说如果将来过程当中，我们看到什么已知极限，求解其中待定参数的问题，你放心吧，它就是个求极限的问题。那么，求极限的问题，你要注意它的本质啊，就是先定型后定法，如果它是未定式，

你就按未定式来做它。不是啊，它一定是未定式。你掌握清楚这个事情就行好了，同学们听明白了给我回复一啊啊这个内容。呃，这个资料的话，很快就能收到啊，第一张呢，就在那个APP里面啊，好了，那么接下来我们就继续吧，这是这个题，那么接下来我们再来看看。一点四二这个题好抽一下这个题。

看看这个题怎么样？那么，接下来我们来继续看，拿到极限是不是先定型啊？好，我们来定一下型，你定一下当s，如果趋向无穷大的时候，你来告诉我个事情，这个第一个部分的极限是多少？你看看第一个部分就这个人的极限。你现在x是趋向多少趋向无穷大的？你告诉我这个第一个部分极限多少？我可以抓大头吧，我一抓的话，

你看第一个人抓这个人。第二的话，你看第一个人抓这个人，第二人抓这个人。那这个时候一比的话，你发现这个结果是无穷大吧，因为上面这个人比下面这人大得多。所以说这个时候你发现一定的话，这是无穷大a倍的，无穷大是无穷大，那这个b呢b的极限结果就是b。哎，同学们告诉我这一点当中的第一件事情怎么办？我加减法当中，只要见到存在，

是不是可以拆出去？所以首先第一个事情，我立即把这个b拆出去，因此结果就是I趋向无穷大。然后是x方加上一比上x+1，然后再减去ax，把这个b啊拆出去。那这个b这个极限。啊卡了没有？哦，还好吧，这个怎么今天上课各种？啊，好了，那么接下来我们继续啊，

我们再看，既然这个人是存在的，我们就把他拆出去，那b的极限是多少？b的极限就是b。所以说把它拆出去就减去b，这人等于零。那既然你发现一个事情，那减去b等于李娜这个极限，结果就等于b。哎，大家注意，这里面当中啊，这件事情是个高手。你把这个人拆出去，

是做这个题当中的第一步，对吧？把它拆出去，所以接下来过程当中，我们就可以操作了，当s趋向无穷大，你注意啊。如果你没有把这个人拆出去啊，水平功力可能稍微的会差一点点，你做的时候的话就变得非常非常麻烦，一定要把它给我拆出去。那么，接下来我们就可以整理了，一整理这是s+1，然后这是s方加一，

再减去as方，我再减去as。然后这个部分的东西啊，它就变成无穷大减无穷大就通分呗，然后它就变成了s加一，然后是一减去a倍的x方减去as加上一。好好做成这样，那么接下来我们再来重，你来观察一下这个人。我把这个人呢单独拿出来，你就来跟我看看这个人。好同学们，你告诉我个事情，这个题是不是一个无穷大比无穷大的未定式啊？当然是吧，

无穷大比无穷大为零时，我就来问你一个事情，这一项敢不敢不为零啊？如果这一项不为零的话，第一项的这个人就抓的是他。下面这个人抓的是他。平方比这个人远远大，那这个结果应该是无穷大呀。所以同学们注意这一项结果，它一定得等于零。它绝对得等于零，所以在这里面当中，回来一个事情，这个a啊，就一定要等于零。

哎，这个a减一一定要一减a一定要等于零，所以说这个a呀，就一定等于。好，这是第一个事情，如果在这个当中，你发现你看这个部分等于零的时候，我们接下来再操作上面这个东西就可以抓成负a。下面这人抓成他，所以说这个极限结果是多少？极限结果就等于负a。好，这是这个问题，所以在这种当中，

你一定要稍微注意一下这个事情，它的极限结果就等于负a。而这个负a这个结果等于多少呢？负a这个结果等于b。所以说这个b等于多少b就等于负a就等于负一好，这是负一，这是一跟上我的意思吗啊，所以说理解上一定要掌握清楚。你看吧，像这种考题难度系数不大，你将来过程当中，你碰到一个已知极限，求解其中待定参数的题，你还怕不怕？就别怕它了，

你做题的时候你发现拿到极限就先定型，管它是什么求极限的题，还是已知极限，求解其中待定参数的题，核心本质求其间。第一件事情先定型。如果它是未定式，就按未定式来做，不是未定式，它一定是未定式。好，这个事情讲到这儿可以吧？来那么接下来我们继续，我们再来看看下面一个题一点四三啊，再来瞅一下这个题。

你看这个题怎么做？好，我们继续处理。那么这个题啊，给了一个极限等于二，然后问我们这个a是多少b是多少？那这个题还是一个已知极限，求解其中待定参数问题吧，好回答我已知极限，求解其中待定参数的问题的核心本质是什么？求极限，所以说这种类型问题的核心本质还是求极限，那既然是求极限，那么接下来我们来看看。拿到极限是不是先定型啊？

我们一定的话，你就发现这人是零，然后这个部分呢？也是零零比零型未定式。那人家就是未定式啊，就是未定式就按未定式来做呗。那这题怎么处理啊？那么，首先我们先看第一个事儿，你发现这个题是limits趋向零，然后这是s方，这是ln多少呢？一+s-as-bs^2。好，我们来看看这个事情，

你怎么处理啊？你看这个人是零比零型，被定式怎么处理？首先第一件事情，我想问你个事儿，这一项的东西敢不敢先等价？敢不敢大家注意一个事情，这一项东西啊，不敢等价，为什么这个部分的东西跟后面这个部分的东西啊，因为a和b不确定。所以在这里面当中啊，你发现就没法等价。这是我们在这里面当中的第一个事情，绝对没办法等价。

哎，等价不了诶，那这个人的话，你发现等价不了怎么办？等价不了，我们可以用第一种方法，我可以怎么办？我可以使用泰勒展开。是吧，你等价不了，我就可以泰勒展开啊，那么首先看第一种事情，我来展。那展的时候的话，你发现我展到哪儿了？

我就展到平方向，因为下面是平方，上面展到平方，我们一起来展，那就是is减去二分之s方。再加上平方的高阶无穷小，然后再减去as再减去BS方。那么所以说接下来过程当中，我们就可以稍微的整理一下了，然后这个题就变成多少变成s方一定是一减去a倍的s，加上负二分之一减去b倍的s方。加上平方的高阶无穷小，是不是这个事情，然后这个极限结果等于几等于二？那这个等于二这个题就出来了。

好，我们一起来分析一下，这个人稍微进行瞅瞅，我把这个人呢，我们再拉出来。单独的看。你来看看这个人。那么，接下来同学们告诉我事情，这个极限是不是等于二现在是无穷大问题还是无穷小问题？无穷小问题吧。这人是一阶，这人是二阶，这人比二阶高。那么，

下面是二阶，我就想问你个事，这一项的系数敢不敢不为零？敢不敢？如果这项系数不为零，一阶二阶比二阶高和取第一阶取一阶。一阶比上二阶，低阶比高阶是无穷大不可能，所以说这一项的极限结果它一定是零。啊，这项结果一定是零，不是极限结果，所以我们首先第一件事儿，这个人就没了。对吧，

这一项就没了，我们再来看这个人，那二阶比上二阶比它高的，所以说等价的结果就是这个人。对吧，就这个人，两者一除是多少，一除是负二分之一，减b就等于二b就等于多少b就等于负二分之一减二，这个东西出来了。能理解我的意思吗？你看这个事情是不出来。所以在这里面当中，我们来看看这种情况。就是比这个人低一阶的系数，

它一定要等于零。这种结构你一定要掌握清楚，比这个人低阶的系数一定要等于零，跟他同阶的东西之比的结果。他是这个人，那所以说这个a就等于多少一，然后是负二分之一减b就等于二，所以说a就等于一。b就等于多少负的二分之五。好了，这个事情掌握清楚，给我回复一啊，不难啊，这个题。如果这个低阶的这个系数不为零，

一阶二阶比二阶高，合取低阶就跑到一阶了，低阶比高阶，这是无穷大，那不可能。所以这个题是不是出来了？好，这是我们讲的第一种方法。你看还可以吧，哎，第一种方法，那么同学们想想这个题还有没有方法呀？我们再来看看方法二。好，继续再来看看方法二。

哎，瞅瞅还有没有方法？这人极限，结果它等于二啊。这个题怎么不让分子呢？人家分子本来就是零，有什么让分子等于零的？loing 1不就是零，那这人也是零，这人也是零分子，本来就是零，你让它有什么等于零的？它本来就是零比零啊，不要胡来啊，这个你学一个东西，

你一定要定型的时候，你稍微定一下啊，不要懒好，那么接下来我们再来看。还有没有方法？我觉得还有你接下来过程当中，我们在这种当中，它是不是一个零比零型被定式啊？那既然是零比零型被定式，我这题是不是可以进行洛必达法则啊？所以在这种当中，我们来看看这个事情，我就可以使用洛必达。我一落的话，下面求导是二s，

然后上面求导呢是一加s分之一，再减去a再减去二bx。这人是不是等于二好了？那么接下来我们就继续拿到极限先定型，一定的话，你发现你看下面这个人极限，结果是零。然后上面这个部分是不是一？一减去a，然后减去零，所以同学们想一个事情，上面这个结果是不是应该也是零马上推出来a一定会等于一？我们说过了，比值极限存在下面极限是零，上面极限一定是0a是出来了。

哎，然后这个时候的话，你发现我还可以怎么办？我再落b打一次，我再求个导，我再落一次的话，这人就是负的多少一+s平方分之一，再减去2b。是不是这个人，然后这个极限就可以直接做了，它就等于多少二分之往里面带零往里面带，第一人是负一。负一减去二b，这人等于二，所以说这个b是不是又解出来了哎？

你看这个方法也还行，我是不是可以使用洛必达法则的方式啊？我落下下面极限是零，上面是零，我再落下，然后这个人出来了，出来了。是不是还可以好？这是我们讲的第二种方法，大家还可以吧，那么接下来我们再来看还有没有方法呀？我觉得这个题还有我们再来看看方法三。再来看看第三种方法，哎，继续啊，

再看下面一个事件。还能怎么做？我在上节课过程当中啊，就给你讲过一个经验，我说加减法当中，只要见到存在就可以拆开。然后我稍微的瞅了一下，你会发现这个人就是个二姐。对吧，这个人是个二姐，然后这是个loring，我就想问你个事情loring的人能不能创造二姐？能不能当然可以啊，录音的人我就立即会想到二阶，我就会想到这个人当x趋向零的时候。

ln这个人，你发现减个s不就等价无穷小负的二分之s方就是二阶吗？所以说这个时候你发现我可以怎么办？我可以这样处理，我可以利用补项法，哎，这个水平点就相当的高了。就是我眼神稍微的瞅了一下，这人是二姐，然后我就在这里面当中，怎么办？减个x我再加个x。我减个s了之后的话，你发现就是二阶比二阶这个人是不是存在？二阶比二阶不就存在吗？

所以说这个时候就变成这样，然后减去as-bs^2，你看这人等于二。那么所以说这个极限结果就立即变成什么当s趋向零，然后是ln 1+x-s比上平方，然后再加上limits趋向零。然后是多少一减a倍的s减b倍的s方比上平方等于二。是不是做成这样？那做成这样了之后的话，我们接下来继续，我们再来看这个极限，你发现第一个极限呢？这个人的话，现在是除法关系就可以等价无穷负的二分之x方。它就变成了负二分之一，

然后后面这个题就变成了x趋向零，然后是x方一减a倍的，这个x减bx方等于二。是不是做成这样了？你一旦做成这样了，之后的话，我们来看，那就说明x趋向零，然后这是平方，那就是一减a倍的x减去bx方，这结果等于几？等于二分之五。是不是做成这样了？好了，那么接下来我们就继续看，

稍微瞅一下，你看这是个一阶，这是个二阶一阶的系数，敢不敢不为零？如果不为零，何取低阶。低阶比高阶，这应该是无穷大。所以说我敢陡定这个系数，一定等于零。因此a1定是一。如果a这个这个系数等于零，这两种一除呢？那b这个结果就等于负的二分之五。你看这个方法是不是也可以？

所以说这令当中我采用了这种方法，这种方法叫补项法。哎，这是高收缩体啊。补项法对吧？我在这里面当中补个项。因为我看到了下面是二阶，我又看到ln我减个s就是二阶。对吧，我看到这人是二阶，我减个s就是二阶，二阶比二阶是存在的，抛出去。因为我们讲过这个经验，在加减法当中啊，

只要见到存在就能拆。对吧，加减法当中只要见到存在就能拆，我这人存在拆出去，拆出去越拆越简单，越拆越简单，好这个题。是不这个事儿好，这是这个事情，那么同学们想你还有没有方法呀？好，那么接下来我们再来看第四种方法。哎，那么接下来我们再来讲。这种方法有可能就会速战速决了。

我觉得对于我们三九六同学，最后一种方法可能是最好的。那么，接下来我们就继续，我们再来看。嗯呃，等会再说啊，那么接下来我们再来看看最后一种方法。最后一种方法最快对于三九六同学，我们做题啊，可能水平点是最高的。那么，大家有没有发现一个事情？你稍微一瞅，这是一阶，

这是一阶，这两个一阶到底是什么情况？我是不知道的。两个一阶，因为a是不确定的，最后的结果是什么我不知道的，所以说没办法何去理解一解一解，但是我见到什么？这是二姐，这是二姐，同学们想这个人存不存在？当然存在啊，既然是存在，是不是就可以拆出去？所以说这里面当中就变成了s趋向零，

然后是平方，只是一+s-as。那你想这个极限，结果等于b，那我就减去个b，那这个结果是不是等于二+b？我就把它拆出去了，变成你的极限，你的极限是b拆过去了，哎，做成这样，那么同学们想一个问题，我们稍微进行一看啊。你看这个部分下面是二阶，上面呢？

上面如果不是二阶，这个结果不可能是二+b的。所以同学们想这个人是二阶，我就去猜一下上面这个人应该也是二阶。上面这人是二姐，而我们都知道只有什么情况，只有ln 1+s-x这个人才是二姐，所以说我敢睹定这个a1定等于一。如果这个a一定等于一的话，你发现上面这人的话，就会等价无穷，小负的二分之x方，那所以说这个结果就等于多少？这个结果就等于负二分之一，就等于二加b毕业出来本题结束。

这才是高手。这个水平点可能最高。为什么呢？因为你看我下面是二阶，我上面肯定是二阶，我结果是存在嘛，肯定是同阶之比。所以说这个里面当中的罗音响成为二阶，它必须是减个sa，肯定是一。而这个水平点可能会更加的高一点。所以对于我们三九六同学，你做这个题啊，你用这种方式可能的话，速战速决水平点相当的高。

好了，这个题啊，我觉得应该是讲的，应该是没有什么可讲的啊，每一种类型问题的方法我都给你讲了。对吧，你在这里面当中第一件事情，你可以泰勒展开，等价不了，你可以泰勒展开。或者而言，你可以洛必达。或者而言，你在这里面当中可以怎么办？你可以利用补项法，

我看到这是二阶，我就进行去想个补一个二阶，把这个东西啊，越变越简单。所以补项法也是个很好的方法，一补这个极限简单简单，越简单越好。好，这个题过去了可以吗？掌握清楚就行，那么接下来我们再来看看下面一个问题，再来看看考点六。再来看下面一个事情啊，下去过程当中好好整理整理可以吧？我觉得这个基础班的时候啊，

我们多讲一些方法，大家可以拓展一下自己的思维方式。拓展一下自己的做题的这种方法，我觉得还是非常好的，好了，那么接下来我们再来看看考点六。它叫做已知一个极限，求另外一个极限。那就说我给你这个极限，我让你去求那个极限，或者给那个极限，让你去求这个极限，这种类型问题啊，都叫已知一个极限，求另外一个极限。

那么，这里面当中，首先同学们，你思考一下。给了一个极限去求另外一个极限，那首先第一件事儿你会想到的方法是什么？对吧，我给你一个极限，然后让你去求另外一个极限，第一件事情你会想到方法是什么？我当然第一件事情，我会想到找两者之间的关系了。之间的关系。这没有问题吧，我知道这个人我去找啊，

求那个人我肯定找两者之间的关系啊。所以在这种当中，我们先来看看一点四四这个题，我通过这个例题来讲。好吧，我们通过这个题。那么，在这里面当中，你发现一个事情，我就给了一个极限。哎，我给你这个极限，我去求这个极限。那我给这个极限求这个极限怎么做呢？那么首先我们先观察一下，

你发现看。平方变成了一次方。然后是2x倍的，它变成了这个人。诶，你发现二次方变成了一次方。然后这个人约掉了一个x。那这个时候你会去想什么，我就会想上下同除个s。你想想是不是，所以在这种当中，我们看看第一件事情，那这个时候怎么办？因为你发现刚好少了一个x，我就给它怎么办？

上下同除个s变成这个人，然后这一项不就变成了x分之这个人吗？这没问题吧，你就是你做题是有思维方式的，我知道这个极限求这个极限，我这两个极限之间的故障。对不对？这就错了啊。很多同学都是这样做。哎，这件事情就错完了。啊，也就废完了。这是这个题。有些同学，

你发现这个题做的好像是不是做的过于的简单？我如果是你，我都不敢写这个一。我说实话都不敢写这个一，这不是非零因子的问题啊，不是非零因子。我都不敢写这个一，你很明显一个事情，你是不是给这个人等价了？那说这不是除法。同学们注意。在一个帽子下，这个人是除法吗？你下面是除法，这后面还有加减法呢？

而且这个函数是谁你都不知道。这函数是谁？你都不知道。你怎么可能敢把这个东西先等价，绝对不行，因此这个点呢，它就错完了。能理解吧，注意这种错误啊，很多同学在这种当中犯错误。不能这样办。啊，这是这个事情，那这个题到底怎么办？我先问你个事情，

我刚才这种思想方法有没有问题？就是我的想法有没有问题？我想法没有问题啊，因为你发现一个事情，我先找两者之间的关系，我上下同除个s绝对没有问题，我想法没有问题的。那我接下来怎么办？我上下同出，肯定没有问题，那接下来怎么办？大家注意一个事情。考研当中让你去求这个极限，你觉得这个极限存不存在？一般是存在吧，

所以同学们怎么去处理题呢？就是要想求这个人，你要什么我给你什么，所以这里面当中最好的方式就是这样。在这里面当中s趋向零。你不就是二倍的fs，需要加个一吗？我给你加个一，我给你加个一了之后的话，你发现一个事情，我再减个一。你觉得我做的怎么样？还可以吧，你要什么我给你什么，你想要什么我给你什么，

所以说这个时候的话，你发现一个问题，我就把他变成两个人了。第一个人把它除下去，除下去就是s方ln 1，加上s-s，第二呢，就是这个部分。哎，就变成了这个部分。所以说这个时候我就做成这样了。你要什么我给你什么，你想要什么我给你什么，因为我知道一个事情，我往你这个方向上凑，

我肯定是能做出来。那这个时候我们接下来看，请告诉我个事情，第一项的极限存不存在？告诉我用j判断存在性。上面这个人是二阶，下面是二阶，二阶比二阶，当然是存在啊，所以说这一项是存在的，存在就可以拆出去。因此就变成了s方ln一，加上s减s，然后再加上limits趋向零x分之二倍的fs加上一。那这个时候我们接下来就继续处理当x趋向零的时候，

你发现这是x方。上面这人呢？等价无效负的二分之x方，然后这是x趋向零，那这是x分之二倍的fx加上一。那这时候结果出来了，就等于这人是多少，这人是负二分之一。它的结果是多少？它的结果是一。所以说你发现这个结果肯定是二分之三。是不出来了，所以这个思维方式我觉得很好。就是你想要什么，我就给你什么，

我先观察一下两者之间的关系，我发现你想要的是二倍的fs，加个一我就给你加个一。我加个一，我再减个一，非常的顺手，所以说这种操作性的方式啊，是可以的好，这是第一种方法。那么，接下来我们再看还有没有方法？还有没有方法？可能有些同学在这里面当中落笔打浪。我先问你个事情，这个题洛必达行不行？

好再看方法二。能不能洛必达呀？很多比值极限存在下面，极限是零，上面极限不也是零吗？零比零啊。能不能录？绝对不能落这题，一落就飞。为什么你知道这个函数可不可导吗？当然不行，所以说绝对不能落必达。哎，这是一个重点内容。那么，

接下来我们来看看这个事情，我们到底应该怎么处理？反正刚才我们说了这一项不能使用，等价无穷小。那同学们想你如果不能使用等价无穷小泰勒公式是不可以？所以接下来过程当中，我是不是可以给这个人进行泰勒展开呀？我占到多少占到平方项is减去二分之s方，然后就直接加上个平方的高阶无穷小。你觉得可以吗？我不能等价，但是我可以泰勒呀，然后这个结果就变成了limits趋向零，然后这个部分呢，我就可以约掉个s。

我一约的话，你发现这是s，然后是一减二分之一s，然后再加上x的高级无穷小，然后再加上二倍的fx。然后这个时候你看就把你想要的这个东西啊，你整理到一起就是一加上二倍的fs比s放到一起，然后这个呢是负二分之s，加上高阶无穷小比s。放到一起好了，这个人就做成这样。你看这个极限，结果一下就做成这样，要什么给什么，然后这人等于一。

来吧，同学们，我们稍微观察一下这个极限，结果是负二分之一吧，所以说这个极限结果肯定是二分之三。因为你是负二分之一就可以拆出去，拆出去是负二分之一，加上我的极限等于一，我往我移二分之三，所以本题出来了。所以这是方法二。是不是还可以？你这种方法也还行。但同学们注意啊，我觉得这种方法还不够好。

当然，这种方法已经很好了，但是我觉得还能更好，接下来过程当中，我们再来抄。你还有没有方法？多进行去啊，这个提炼自己的功力哎，这个同学非常好，非常好，你看长经验了呀。刚才我就给你讲一个事情，我们在做极限的过程当中，化繁为简的能力是非常重要的。我一看，

这是二阶。然后这个ln是不是可以创造二阶？创造一个二阶，二阶比二阶存在拆出去，所以说这种方法叫补项法非常好啊，你看。j里面当中这个事情当s趋向零，我们继续看，这是平方，那么这是ln 1+s，我给你怎么办？减个s，加个s。然后再加上2s倍的fs，我相信这个方法对我们三九六同学的提高可能会更大。

那这个时候你发现眼睛稍微的瞅一下，二阶比二阶这人是不是存在？存在就可以抛出去，因此这个极限就变成了x趋向零，你看补项法嘛？对吧，看到存在就可以拆出去，然后这个结果就剩下的这个人约掉个s，就是一+2倍的fs。真等于一那，然后你发现上面这人等价无穷负的二分之x方，因为现在两者是除法。所以说这是负二分之一，因此这人等于多少二分之三呢？你看又出来了，

方法三。你看这个方法是不是也很好？所以我觉得很棒啊，你看这个方法。能理解吧，掌握清楚这种方法。好，这是我们讲的这个方法三。但是这里面当中，我还想再讲同学们再给我说一下，回复给我，我看同学们学到了没这个方法的名字叫什么？这个方法的名字叫做补项法，当我瞅到下面是二次方二阶，如果能创造出来跟它同解的。

创造出来比它高级的就可以拆出去。同阶之比是存在高阶，比低阶是存在，大家注意一个事情，这个部分的内容叫什么哎？叫补项法啊。不香吗？这还不香啊？呵，我知道你啥意思啊，补象法啊。好了，那么接下来我们再来看看下面事情，我觉得这个题吧，其实我还有方法。

我觉得对我们三九六同学，你发现呃平时过程当中，今年过程当中，我会额外的在这些方面给你们进行训练。所以我觉得大家听了这么久的，这个三九六的这个今年的全程班了，我相信你已经体会到了，我在对你们的要求过程当中啊，其实你发现。这个要求前期的要求一点都不低。所以你放心大胆的跟着这个部分内容走，而且平时过程当中我们得多进行去训练一些做选择题的，做题思维方式。那么，同学们想这个题啊，

考研过程当中肯定出一个选择题，哪怕是填空题，我也能这样做，大家思考一下。如果这个极限是一，你听好了，如果这个极限是一，证明着任何一个符合这个式子的抽象函数代进去，它的极限结果都应该是一，对不对？如果这个极限结果是二，任何一个符合这个式子的抽象函数代进去，它都应该是二，对不对？你能理解我的意思吗？

就说你这个极限，结果是多少任何一个符合前面的式子的，结果它应该都是这个人。所以接下来过程当中，我们来看看这个事情，我们再来看看方法四。你看高手，我可以怎么办？我可以偷奸取巧做，可以举例子。对吧，你任何一个情况下都行，我就可以举特例了。我举出一个特例，符合这个式子，

它肯定是这样，所以接下来我就来找你，能不能找到一个函数，能让这个式子的结果等于一啊？我觉得我应该可以，你看我们来试一下。s趋向零同学们，想一个事情，你稍稍微进行操作一下。那这里面当中，这是x方，然后这是ln 1+x。那这里面当中，我给这个2s取多少，我能让这个人等于呢，

你就要去琢磨了。对吧，你就要去想想了，那么首先我们来看看这个第一个事情，你可以在这里面配多少？你想这个ln 1+s，他肯定希望要多少，我想要减x，对不对？哎，你想象一个事情，你想要的是减s，我怎么样才能是减s？我就在这儿来配一个负二分之一。零点五负二分之一，

我配一个负二分之一了，之后的话，你发现一个事儿，这就是ln一加s减s这个极限之比是多少？这就是ln一加x再减去x这b之比的极限，结果是多少？这之比的极限结果就是负二分之一。对吧，这支笔的极限结果就是负二分之一，那负二分之一移过来，这人是二分之三诶，是二分之三，我怎么再凑呢？我就要再来凑一个，这个结果能是二分之三。

对吧，你二分之三你发现一个事情，那二s乘上多少比上x方等于二分之三呢？也就二s乘上多少比上x方能等于二分之三呢？我就去想诶，四分之三是不是可以？所以我就在这配四分之三x。这就绝了。这水平点就很高了。这个时候你试一下吧，你看这个结果。它是一个负二分之一。然后这样一结果一除，这是二分之三。负二分之一加二分之三二分之一诶，

我发现一个事情，我这个函数满足。我找到这个人满足，所以说我就在这里面取谁，我就取这个函数为。负二分之一加上四分之三。x然后这个时候我就把它送进去，我送进去了之后的话，你发现就是x趋向零，然后是一+2倍的。然后是负二分之一，加上四分之三x，所以说这个结果就变成了x趋向零，然后是二分之三x比上x。二分之三本题结束，

我这个水平点，我可能会觉得更高一点。就是你任何一个满足前面的式子，它如果等于一任何一个人满足这个情况，它应该都是这个结果。那我取出的一个特例代进去，它应该也是这个结果，你看这个水平点。所以这个第四种方法可能更加的是一种高手了。你下去得多进行去。练习一下对吧？多去想想啊，慢慢走嘛，我知道一开始不好想，但是这种意识是不是很重要？

同学们，你想想是不是这种意识很重要，就是你没有这种意识，你永远都不会往这上面想，我前两天过程当中啊，我有很多同学，你看去年的三九六金综数学。对吧，虽然说去年过程当中难，但是你发现到了最最后呢，仍然还有很多同学考了120+130加考的还是很好的一个成绩。你在去年过程当中考的120加的这个成绩啊，我相信啊，考的这样的一个，只要你别的这个科目不拉垮你最后一个事情的话，

你肯定能考到非常好的成绩。所以前两天过程当中有个呃，我去年在考前啊。我可以给你稍微的看看我在去年的考前。哎，就在去年的考前，我们就是考前叮嘱，包括我们今年过程当中到了最最后啊呃，我们也有个考前叮嘱，就最后的考前。我专门给同学们进行去讲一下，选这个选填题的解题意识就是选择题的解题意识。就像这里面当中有些碰到稍微的会难一点的东西，你到底应该怎么办？对吧，

选填题的做题意识，所以我觉得这种举例子的这种意识非常关键，平时的时候啊，哪怕不好想，但是有的时候你实在做不出来了。你要往上面想一想，你听懂我的意思吗？比如说去年好几道题，那有同学最近过程当中有同学给我报喜的，对吧啊？这个这两天成绩出来了。然后说呃，考试过去年过程当中啊，有几个事情呢？第一个事情，

比如说特别特别难的话，我把它跳过再做后面的题。最后的成绩考的还挺好，第二事情的话就是非常非常难，实在是没有思路，我可以举举例子啊，排除一下我做选择题，你发现水平点相当的高。所以希望同学们经验过程当中啊，你多增强一下这个意识，这是非常重要的，慢慢练啊，不要老是说哎呀，我这个东西不适合我这个东西，我想不到。

你永远是那种想法的话，你发现到后面你肯定想不到，慢慢练嘛，都是一个过程。你现在的这个水平跟你最后12月24号最后的水平难道是一样的吗？那肯定不一样，你要一直在提高，一直在提高。所以这个意识非常重要，下去好好练习一下，好掌握清楚给我回复一啊。还有这个同学说不做高手了哦，我不喜欢这种这种想法，对吧？我不要有这种意识。

碰到一个男的啊，也不是说特别特别难，你发现很多同学都能想到对吧？不不要这样，碰到一个东西的时候，哎呀，这个东西我肯定想不到。自信一点，做一个自信的人。那别人都能想到你，想不到慢慢练习，人家有些同学的话，你发现好这个，比如说学习意识比较强的，学习好的同学碰到这种东西，

哎呀，没有想到。他会想到一个事情，我慢慢进行去把这个东西学习一下，下次能想到就行，这才是好的学习方式，好了，这个点我们就讲到这儿，你看这个题啊，我又讲了四种方法。对吧，我又讲了四种方法，所以说这几种方法都非常好好，这是一种方法，那么接下来我们来看看，

哎，也就说你发现第一种方法找两者之间的关系进行凑。第二种事情的话，你就是按照那种极限的处理性的方法，然后再怎么办去化简啊，刚才中间都是这样，那么接下来我们再来看看。还有一种方法，我再来讲一种啊，不要着急，我再来给你讲讲万能方法。还有一种万能方法，哎，万能的就是利用脱帽啊，脱帽定理或者叫关系定理。

关系定理，或者你发现一个事情叫做脱帽定理。哎叫脱帽定理。叫关系定理，或者叫脱帽定理。那么，这件事情是怎么进行去处理的呢？它这个方向性很简单。就说你现在不就是给我一个极限吗？对吧，我给你个极限。那我想问你个事情，我的极限是a，你能说明这个函数就等于a吗？那这是错误的。

你的极限是a，应该说明这个函数非常接近于a。对吧，非常接近于a，你想把这个帽子给去掉。你怎么才能去掉呢？大家注意，我们在后面再加上一个无穷小就行。哎，加个无穷小。就说什么意思呢？就说我的极限是a。我这个人应该等于a，再加上个无穷小，因为这个量非常的小，

表示了两者之间非常接近，同学们一定要把它记住哦。这个东西跟原来的话，那个呃等价无穷小的充分必要条件不一样。这叫脱帽等式，我的极限等于a。就说明我这个人呢，就会等于a再加上一个无穷小量，哎，注意一下这个事情就在这个趋向下的无穷小量。能理解吧你，比如说在这里面当中，我们来看一个事情。你看如果在这种当中，我说limits趋向于4 fs的极限是五。

你告诉我个事情，怎么把这个帽子给脱了，非常简单，那这个人他就等于五，再加上一个趋向于四下的无穷小。能理解吧，注意啊，下去过程当中把这个东西跟等价无穷，小的充要条件区分开。等价无穷小的充要条件是我两者等价，我就等于你再加上一个废物，就是一个高阶。你加上一个废物，肯定等价无穷小于五。这两个东西能区分开吗？

好，我们再来捋一遍啊，不不要不要混了，我的极限是五，就说明我接近于五。我就等于五加上无穷小。两个人等价也是非常接近，我就等于你再加上个很小的。本来无穷小就非常小，我只能加高阶无穷小，听懂我的意思吗？好，我再说一遍啊，你极限是五，你应该等于五，

加上无穷小。两者等价也很接近我，就等于你再加上你的高级无穷小。好听明白了，给我回复一掌握清楚，给我回复一。能听明白我的意思吗？一定要听清楚一个事情，是把极限的帽子脱掉，一个事情是找等价。好，这是这个事儿，那么所以说接下来过程当中我给你再看这个题，你发现我还有方法做。我除了这种第四种方法，

如果今年在考研真题当中，你实在是没有方法了，你也有方法。我再没有方法，我也有方法来看看第五种方法。我怎么办？我用关系定理做，你发现jdm当中说什么情况？说你的极限不是一吗？我就把这个人解出来，我塞到那里面去。那这时候我怎么办？你看我来脱帽来用一下脱帽等式，也就说当x趋向于零的时候。那就说明你的极限，

结果等于一，你能说明这个人等于一吗？不能，你只能说明什么情况，你只能说明。这个人等于一+1个无穷小量。哎，注意啊，这个东西你发现一个事儿，它是在这里面当中趋向零下的无穷小。你知道就行，对吧？我写的多，你写的不必这么多。好，

这个时候的话，你看我就可以解了，那这个时候你看ln 1+x+2 x倍的fx。它就等于多少，它就等于x方，再加上x方乘上无穷小。然后接下来过程当中，你就可以把这个函数怎么办？把这个二倍的这个函数解出来了，它就等于x方这个人。加上x方再乘上阿尔法s，然后再减去个ln这个函数。我再除一个x，大家能听懂吗？就做成这样了，

然后你发现你看这个时候我是不是把这个趋向下的这个函数解出来了，来往里面塞一塞就出来了。这个水平点就很高了，就是它就是一种万能的做题方法，就是我实在不会做了，我也会做，我再不会做了，我也会做。这不是你就要求已知这个极限，求这个极限吗？我就把你解出来，我解出来再塞进去。然后这个时候你看我代进去，这个结果变成多少原式等于limits趋向零，然后这个时候这是x。

一加上什么？把这个塞进去，你看这是x分之x方，加上x方乘上无穷小，再减去ln一加x。你求这个极限就行。你就把这个极限求一下就行，所以说接下来过程当中，我们来看当s趋向零，你整理一下，那这就是x。然后加上x方，然后再加上x方，再乘上阿尔法x，然后再减去ln 1+x。

比上了x方。是不这个情况，然后在这种当中，你发现你把这两个位置稍微的调一下，哎，你看看调一下。也就说我把这个位置放到这儿。本题是不是结束了？然后同学们给我看啊，你发现二阶比二阶存在存在。二阶比二阶存在存在，然后你看这个东西约一下了之后留下阿尔法s，阿尔法s的极限是零。所以同学们看第一个事情。这个之比的极限是多少？

如果你你写开，我不写了行吧，写开单独求这个极限。单独求这个极限的时候，两者之间就是除法上面等价无穷负二分之s方，那就负二分之一。加上一再加上零，就等于多少诶，这是二分之一，不好意思是二分之一，加上一再加上零。二分之三本题结束。那么所以说你看如果单独求那个第一个极限，因为可以拆嘛，就变成第一个极限，

第二极限，第三个极限在第一个极限里面，两人是除法。上面就可以等价无穷，二分之x方一除是二分之一。衣领结束了。所以你看这题啊，我们又讲了最后一种方法。这个题我讲了五种方法。哎，五种方法，我希望你下去过程当中好好品。每一种方法都有它特妙之处。奇妙之处哎，这是这个事儿，

所以下去过程当中你都可以好好进行去品一品，我相信我刚才今天上课过程当中啊，讲的这几个题。你发现每个题我都能讲上三四种方法，这三四种方法大家在基础班的时候多进行去做一做，可以拓宽你的思路。把你的思维方式拉一拉。我相信水平点可能会更高一点，对吧？思维方式多拖一拖，多拉一拉。你下去过程当中好好想想可以吗？同学们，把这个问题点好好想想啊。哎，

这是这个事。但是其实我觉得对我们三九六同学而言，你看这里面当中哪些方法呢？我觉得都还挺好的。可能第一种方法稍微的笨一点，但是也还可以，第二种方法泰勒展开直接一点。然后在这里面当中，你看补项法其实挺快。举特例其实也挺快。举特例就是你能举出这个例子就相当的快。你举不出来这个例子啊，你发现做题就稍微的慢一点啊，我觉得这个事情非常非常好，多练练可以吧，

我知道有些同学会觉得烧脑对吧？烧脑没关系啊，我觉得平时的训练多烧烧脑，多训练一下，多碰碰钉子，我觉得是多好的事儿啊。它又不是你最后一张试卷，这个题平时过程当中丁字碰多了，最后拿到这道试卷过程当中处理起来就非常简单了。行吧，好这个题啊，我们就讲到这儿呃，要不然我们稍微休息会儿吧，可以吗？稍微休息会儿，

一会儿过程当中，我们再继续，大家注意一个事情啊呃，我再对咱们三九六班级同学，我再强调一遍。我一直在讲这个事情，你不要被这个市面当中有些这种啊，有些同学的话，这种焦虑感，各方面的东西啊，拖着跑。我再强调一遍，我们今年的基础班最重要的两个指标，第一个指标我上课讲的所有的知识点必须要在脑子里面。我上课讲的这些例题，

你必须都要独立自主的会做，我就只有这两个要求好的说啊，三九六需要多做题，刷出经验。我跟你讲一个问题，你没有方法的基础，你再多做题都没有用。你再多做题都没有用，你比如说去年过程当中，我们也说啊，大家都提到说什么这个基础运算能力很重要。然后今年过程当中，有些人就买一本儿那个计算书，然后狂刷计算书。狂刷计算数，

你去看看吧呃，这两天我逛我我经常去看看这个自媒体，因为有的时候我也刷一刷。也能看到很多同学的一些情况。你比如说你发现你做一个这个什么，比如说你去做一个这个做这种书籍的题，你连这种题都能做错。那你想想一个事情，你做那么多题有什么用啊？你说这种题都能做错。这比如说这种题，这种题，然后一页下去，这这是零，然后这是是一一页下去过程当中就是一整页，

比如说做做一道题，一整页下去没有几个题能做对的。还在那疯狂做题，你哪怕做1000道题，你水平电影还就那样。所以没有知识的基础，你做什么训练啊？我们经常讲刻意练习什么叫刻意练习，是站立在我拥有一定问题的处理基础上大啊，使劲的继续做。当然，现在过程当中，你发现我的函数极限对吧？我的函数极限的计算方法已经具备了。第一件事情，

每种方法都学好了，第二件事情，七种未定式的极限计算，每种方法都处理了好，我具备了体系，然后再去做题。这个效果是好的，所以大家一定注意啊呃，一会儿过程当中我会给你们去讲这个三九六的规划，所以大家有可能可以进去去听一听。我建议同学们可以去听一下啊，这个三九六的规划，因为我觉得这个对三九六同学我们而言的话，这个。也还是比较需要注意，

这个就是你的自己的复习意识的。我不希望同学们投入了大量的时间，你最后得到的效果不是特别好，我不希望行吧，一会儿过程当中，我们今天的课程呢，我今天课程比较密啊。对吧呃，比较密一点，一会儿这个部分的课程结束了之后啊，一会儿过程当中呃，我们还有这个部分的课程啊，一会儿八点半到九点半，我们还有一些规划课。呃，

这个不能。我知道你想用什么，你说我们讲过一减coss开上N次方等价无穷n分之一，然后这是二分之s次方，你把它类比。你注意啊，人家这上面是常数，你这上面是函数。你发现这个上课的思维方式得具备，我这两天看到一个事情，我一会儿对三九六同学，我们一会儿在规划课里面再说好不好啊？一会儿规划课我们重点去说一下这个经验性问题。复习方法上的问题，一会儿那会儿我多说一点啊。

做三九六的题，不要把方向想偏了。对吧，不要把方向想偏了，就是你们一定要听话，你就按照我上课讲的这些东西来。养成良好的定时思维能力。不要每碰一个题，把这个东西想的过于的多。常规性的方法掌握清楚，就非常非常好啊。行吧好吧，我们稍微的呃，休息会儿，一会儿我们继续吧，

一会儿过程当中这个部分东西啊，比较难一点啊，但是没有关系啊，这个再难的东西啊，由我来讲吧，你下去过程当中好好进行处理就行。好，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续吧啊。

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05.函数极限计算（4）、数列极限定义-2

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