04.函数极限计算专题突破（3）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:36:13

好，接下来我们就继续回来啊呃，另外一个事情啊，我还想说一下这个作业的问题啊，就这个作业啊，你做错了都没有关系，但是最重要问题啊，你要通过这个作业啊，有所提高。你得把上课的部分当中啊，一些呃没有掌握住的知识点，你得进行复盘，另外事情做错的题啊，一定要进行去二刷，我说了好几遍了啊，

大家下去一定要做到。好了，那么接下来我们再来看看下面几种未定式啊，另外一种零乘无穷大型未定式，还有最后两种就是无穷大的零和零的零。啊，最后这几种比较简单一点好，我们先来看看这里面当中的第一个人，零乘无穷大。那如果是凌晨无穷大，首先第一件事，我觉得这个题怎么做都不如它是一种不一定是来的重要。就是你必须要知道一个事儿，如果在一个题当中。你这个人的话，

比如说我们经常的话，提到这个事情，其实现在已经不是个难点了，比如说我们经常说这个人的极限是存在这个人的极限是不存在那这两个相乘是什么情况？这种相乘就是未知，比如说零就是存在，比如说无穷大就是不存在零乘无穷大就是未知式，什么结果都有可能发生。对吧，像这种东西啊，你必须要想清楚，那么接下来我们来看看零乘无穷大的未定式到底如何处理呢？那么，首先看第一个问题，你发现这两个东西是相乘的，

如果在这里面当中，第一件事你把这个零这个东西除下来。能理解我的意思吗？就是说它现在是f乘上g嘛？这个部分的极限结果是零，把它除下去，那这个时候你发现它不就变成什么，不就变成了无穷大比无穷大型被定式吗？好，这第一种，然后接下来我们再来看，如果你发现你把这个无穷大除下去，它不就变成了零比零型微定式吗？是吧，就变成这种情况，

所以在这种题目的操作过程当中啊，你发现你很显然的就把一个人下放下，放下来就变成无穷比无穷。下放下来就变成零比零。当然，在做这种题的时候，有的时候也稍微的注意一点，你看这块是零吧？零是什么？零是无穷小，我只要见到无穷小，我还能想等价无穷小啊。所以要不仅仅要掌握住这种基本方法，像这种里面的量，你得会看你，

比如说我们经常做的对吧，比如说s趋向于多少呢？无穷大只是s再乘上sin x分之一。你发现这个人，你看这人就是无穷大了。然后这个s分之一是零s in零就是零，那这个就是未定式啊，但是这个部分是零的话，你发现就是框，那既然是框的话，我就可以等下了。三个框立即等价无穷框，这就是一啊。所以一定注意，如果这个人能等价，

你就等价好，那么接下来我们看看这个重点题，一点三六呃，这个题啊，我建议同学们记住它。我们来看看这个题怎么做？首先拿到极限要先定型，你先定一下型的话，你发现这个人的极限结果是几零？然后这个部分的东西也是0l零是多少？如果你发现这是个对数函数l，这个人往零跑，他就往下跑，往哪跑往无穷大跑，所以说这个题就是一个零乘无穷大型的未定式。

那既然是个零乘无穷大型的未定式，那这题怎么去处理啊？如何操作当s趋向零的时候。你就可以把一个人下放了，这题需不需要分呐？可能很多同学觉得说这个题要分这个题，其实不用分，你能想到分证明你的水平点还可以啊，但是可以更好。那么，在这里面当中，我就把一个人下放，把谁下放，把这人下放。把这任下放，

他就变成了无穷大比无穷大未定式。怎么做抓大头头都在这儿呢？所以说这个题的话，你发现我可以落笔答案，我一落的话，这里面当中就牵扯了一个知识点，什么知识点考了这个内容。就是一个lns的绝对值，导函数是多少？这人就是s分之一，注意啊，这个绝对值的导函数就是s分之一。你不要是绝对值分之一，你像这个知识点很好，证明如果s大于零，

那lns绝对值就是lns求导是不是s分之一啊？如果x小于零，那这人就是ln负s，那这人求导呢？先对中间变量求导，是它中间变量，再求导又来个负一。负负得正，那就是它。所以说这个时候你发现一个问题，上面求到s分之一，下面求到是负的s方分之一，所以说这个结果就变成s趋向零。负s结果是零。你看这个题立即出来了，

凌晨无穷，大型的未定式。对吧，这样的话，操作它就比较经典了，但是这个结论呢，我建议同学们记住考的相当的多。考研过程当中啊，贼喜欢考这个人。谁呢？就是这个limits趋向0s乘上lns绝对值的极限，它就是零。当然，如果这里面当中是x趋向零正。零正的话就比零大比零大，

绝对值等于本身，这就是零，当然这个东西可以推广，如果s趋向零。就算x打上p次方这个人打成q次方，只要这个p和q都是大于零，这个结果照样等于零。把这个东西啊，给我记住它这三个人是常考的。我们贼喜欢考这个人。相当的喜欢考，能记得住吗？同学们。能记住吧，好比如说我出一个题啊，

你看。随手一出，就是一道非常好的题，比如说这是limits趋向零。然后的话，这是零帧。那这是lns。然后这是sx次方减一，你看这个题怎么做？你看这个题。怎么处理啊？拿到极限先定型吧，拿到极限先定型的话，你发现罗音灵这是无穷大，上面别定了，

肯定是无穷大，有同学说那未必吧？别定了就行。你别管了，你只要看这是无穷大，那大致瞅呗，不好看，你就认为它是无穷大，你先做着再说，那这个题的话，你发现当x趋向零正。然后这是l。告诉我个事情，这个题怎么办？怎么处理啊？

先定型。后定法，定法之前先四化，见到一个极限的局部有幂值函数，怎么办？对立即密之转换，不用去想，立即变成这个人。注意啊，幂值转换是幂值转换那个d- 1是d- 1，注意这两个事儿是不是做成这样了？那你看一什么减一，你会想到什么？你会想到这个等价无效公式e的，它减一等价无效x，

如果框趋向0e的框减一等价无效框，是不是会想到这个人？你想到这个人，你就得保证这个人是趋向于零，你得保证这个人是框啊，那么接下来过程当中，我们就要再来检验一下。检验一下这人极限到底是不是零，你看吧，直接就出来了，告诉我是不是零。是不是零刚让你记得啊，你把转头就往七秒钟记忆，这可不行啊，等于几这不就是零吗？

所以说你发现一亿的框减一不就等价无穷框，所以说这两个东西一除呢，一除这个结果就变成了s趋向零正，这是s极限是零。你看这样做是不是就顺畅了很多？其实你做出这个极限是零，你还需要怎么办？进行把一个人下放进行洛必达，但是这种常见的这个极限比较重要的东西，一定要把它记住。因为我们要去做题呀，他要讲究做题的速度啊，像常见的东西啊，一定要记住，如果你不知道，

你就把我上课的内容好好消化。你像这本讲义，你反反复复刷。这边讲义是需要二刷的，乃至对于有些同学需要三刷的。所以一定注意，像这边讲义反反复复做啊，这很重要的好，那么接下来我们就继续，我们再来看，再来做一个题，看看这个题。啊，一点三七这个题。拿到极限先干嘛？

拿到极限是不是先定型啊？好同学们，我们大致来定一下。哎，大致的瞅一瞅。你发现当x趋向正无穷的时候，这一项是不是正无穷？所以说前面这个人是无穷大。那后面这个人呢？你注意一个问题啊，大家一定要区分开一个事情，如果你是在定型，你大致的进行去瞅一瞅就行了。听得懂我的意思吗？但是你如果是具体的做题。

你要进行严格的按照要求去做。你能理解我的意思吗？我相信我们做了这么多的题了，大家应该是能理解的，就定型的时候你就大致的看一看就行。啊，大致看看你看当s趋向于正无穷的时候，这一项肯定比这人大的多，所以说这个部分呢是？是根号s方式，主角根号s方式，主角这人是正的，那这人就是正无穷，那这两个一减呢就是零。同学们，

能听得懂吧？所以说这题就是个零乘无穷大的未定式。就定型的时候大致的瞅一瞅同学们能看懂吗？因为x是趋向于正无穷根号x方是等于x的嘛。根号x方等于绝对值等于s这两个一减不是零吗？定型的时候就大致的瞅一瞅就行好了，那么接下来我们就具体做。那这题怎么完成啊？怎么处理啊？凌晨无穷大未定时，如果你把这个人进行去下方。把一个人下放。把这个人下放进行去，洛必达或者怎么操作好像很恶心。那我怎么处理？

那么接下来我们看看第一种方法，所以说学东西就要灵活一点了。有些部分的知识点，它只能运用那个其实呃，只是这个什么呢？比如说无穷小的问题才能等价。无穷小的问题才能太多，这是两个事情，还有一个事的话，比如说抓大头无穷，大比无穷，大才能抓大头。那剩下的东西都是恒等变形啊，你看这个人我会怎么处理？你不想下放吗？

下放的话，如果我怎么办？我倒代换一下，你是不是就下去了？所以说这里面当中，我会想到第一个事情，零s等于t分之一。如果令s等于t分之一，这个人就下去了，他就立即变成了t趋向零帧，然后这个人呢，自动下去变成t分之一。上面这人就变成了根号下t方加上一，然后再减去t分之一。是不是就变成这样了？

那变成这样了，之后的话，我们再来看你来看看这个部分，这个部分我写慢一点，那这个部分就是t方。然后是多少一+t^2开个方。那这个结果等于多少呢？等于根号下一+t^2理论上这个原因等于绝对值，但是这个t是趋向零正t是什么零？大于零，大家一定注意，因为这是根号t方，这里等于t的绝对值大于零，就等于t，因为t是什么零大于零。

所以说这个结果就变成这样。那这个题立即变成这样了，变成这样了，之后的话，我们就可以怎么办？我就给它上下同时乘上个题。上下同时乘上个t，这是t方，然后这个部分就变成了一+t^2，然后再减去个一。好回答我，这个等价能出来吧？当s趋向零，这个部分是零，就被我们第八个等价无穷小公式呗，

等价无穷多少k二次方就是二分之一，这是t方。所以说这极限结果等于多少二分之一好，这是第一种方法，非常好吧。非常非常棒的方法，所以你看我这样操作是可以的。那么，接下来我们继续还有没有方法？我觉得还有。那你觉得这个事情的话，你除了这个倒代换之外，我还该怎么办？你看这个东西啊，就是很大的东西减很大的东西。

不一定是无穷大减，无穷大才能，这个什么才能进行提毛发？其实这个题也是无穷大比，无减无穷大，你把这两个东西一乘设出无穷大。这个东西和后面这一层是无穷大，所以也是无穷大减无穷大，你可以这样做对吧？能倒代换，你也能怎么办？提毛发。你能理解我的意思吗？这两个东西一乘是无穷大，这两个乘以也是无穷大，

所以我还可以怎么提毛发？就是在这里面当中，把这里面当中最大的锚给我提出来。但是我想提慢一点哎，大家注意看看这个第一个人最大的锚，这是平方提出来，这就是一+x^2分之一。然后再减x。那么，紧接着我们就继续，我们再来看当s，如果趋向于正无穷的时候，你发现这是x。那这个时候这个开方呢？这个开方就直接开了，

开出来就是它，然后这是一+s^2分之一再来减s。所以说这里面当中啊，你就可以怎么办？当x趋向正无穷，把这个平方提出来，这是多少根号？下一+x^2分之一，再减一。来继续看当s趋向无穷大这个部分的东西就趋向几趋向零就是框了。所以说这个部分就等价k二二次方二分之一，这个人因此这俩东西一乘是不二分之一。跟得上我的意思吗？我们一定要看框趋向无穷大这个分之一就是零嘛，一加上框的开多少？

这个开二次方就二分之一次方减一，等下它。那这个人也出来了。好，这是我们讲的第二种方法，有没有问题啊？哎，肯定没问题啊，那么接下来我们再来看看第三种方法。还有没有方法呢？哎，我觉得还有我再瞅一下，这是limits趋向正无穷，然后这个部分是s，这是根号下s方加上一。

然后你再看你看这个部分是x吧，因为对于这个题而言的话，你发现x是趋向于正无穷。x是大于零根号x方，是不是等于x？所以说我就立即把x方写成x，我就写成这样两根号做差，我就立即怎么办？有理化。所以我就怎么办呢？我给它的上下同时乘上根号s方加一加根号s方。然后上面就是你的平方，减你的平方是一，还留了个x。现在这个人呢？

这人就是无穷大比无穷大，不一定是我就可以怎么办？我就可以抓大头了，我一抓的话，你发现这是s。根号s方根号s方，所以说这个结果等于几二分之一。你看这种操作性方式是不是也行，所以每一种方法都可以。那么，对于这个题而言的话，很多说那凌晨无穷大，原来也能倒带换，也能提毛发，其实你发现一个事情很多种，

这种未定式啊，它是可以来回切换的。它其实呢，可以切换的，你看这个题虽然是零乘无穷大，你这一乘的话，这就是无穷大，你这一乘也是无穷大，那这也是无穷大减无穷大呀。对吧，它就是一种无穷大减无穷大，你那样看是零乘无穷大，你这样看是无穷大减无穷大，所以把这种方法的东西啊，一定要稍微的灵活一点点。

能理解吧，这个题很重要，把它给我标出来，但是你发现啊，如果像刚才那个题啊，我给同学们个思考题，我下节课讲。给你一个思考题，下去过程当中做一下。那这里面当中，大家去思考一下这个人。我下节课一开始来讲。哎，一开始讲。你这样看不就是无穷大减无穷大吗？

能通分就通分，通不了分倒带换嘛，或者你想把这个东西放下去，对吧？不要学的太硬。学数学灵活一点点啊。好了，那么接下来我们继续，我们再来看。好，来个思考题。稍微的就比刚才那个题啊，要难一点点了。我趋向于负无穷，然后来个x，

这是根号下x方加上二。然后再加上一个x好这个。下去过程当中啊，做一下这个题，你看看这个题的结果等于多少？这个题的难度系数啊，就要比刚才那个题难，但是我觉得对咱班同学而言，如果你第一件事情想到的是什么，我一看到负无穷，我不喜欢，我赶紧倒带幻想就变得跟刚才题一样了。你水平点就相当的好了。那就说明你这节课你是真的学会了。我如果见到这个题，

我赶紧倒代换，变成正无穷，就像刚才一样。做的时候绝对不会出错。但是如果你不换的时候怎么处理呢？你自己去练练啊，这个题啊，方法就比较多了。好了，这件事情听明白了，给我回复一吧，刚才这个题稍微的简单一点，因为s是趋向正无穷啊，自己注意啊，而且这个题的形也会定。

慢慢来，不要着急啊，慢慢做，像这个题的难度系数就有点拔高的感觉了啊。好，那么接下来我们再来看看最后两种为理式啊，还有一种叫做零的零和无穷大的零。呃，对于很多同学而言的话，这个七种不一定是一定要记在心里面有哪七种一定要进行进行啊，这个记清楚好了，我们来看看这个人。你发现这种微定式啊。它也是u的v吧。对吧，

都是u的位。如果下面一个函数往无穷大跑，它是这样，上面函数往零跑是这样，下面函数往零跑，上面函数往零跑，都是这样。它跟一的无穷大未定式的极限形式是不一样的。结构形式是一样，都是什么情况？这种形式。都是一个帽子，后面跟的一个幂值函数。是一样的。但是两种做题思路不一样。

它有点区别。那区别点是什么？第一件事情你们是不是都要进行幂值转换e的v倍的low引用？做e的极限只需要单独做头顶上的极限，所以说就变成了微倍的low引用。然后这个人呢，你发现也是limit微倍的low，其实都一样，但是这个一的无穷大未定式，有点特殊性。它的特殊性在何处呢？它下面这个人的极限是多少？它下面这个人的极限是一。录音一个函数趋向于一，他立即怎么办？

把这个函数等价无穷小于了这个函数减一。因为这两个人是乘法嘛，等价无穷小，这个函数减一，所以说这个题啊，它快一步。他比刚才那个人呢？你发现快了一步，没有这个对手了，但是上面这个人敢吗？他不敢为什么呢？因为他下面这个极限是无穷大。它下面这个极限是零，所以这个u这个部分呢，它是无穷大或零，

它可不能进行等价无穷小，这个函数简易。所以这两种类型问题的做题啊，一定要稍微的把它区分开，这是第一种，这第二种。那么，像e的无穷大的错题是答案等于e的极限符号照抄头顶照写d- 1。e的极限符号照抄头顶照写d- 1，但是无穷大的零和零的零呢？做题方式是e的极限符号照抄头顶照写落印底。对吧，就是幂值转换之后lind。所以将来过程当中，像这两种做题的手段，

你一定要把它给我掌握的非常熟练。对吧，它的操作的原理都是幂值转换。好，那么接下来我们看看这个题目，你看这个题怎么做？我们在这种当中拿到极限先定型，当x趋向零的时候，这是无穷大无穷大的零的位定式。回答我一个事情，这个题怎么处理？赶紧做答案，就等于多少e的极限符号照抄。头顶照写，然后怎么办low in d？

哎lnd，尤其这里面当中的lns分之一，其实就是lns的负一次方就等于负的lns。所以说这个结果就变成了limits趋向零正，然后是sin sln s负的。然后接下来过程当中看帽子，在这个帽子下，两者之间是乘法关系，它就可以等价无穷小于x告诉我个事情，这个极限等于几？考的多吧，刚背过啊，这个极限等于几零，它是一。你看这个题立即出来了。

所以讲到这儿，我们七种未定式的极限情况，我全部讲完了。所以将来过程当中啊，拿到极限的时候一定是先定型后定法，定法之前先四化。如果你见到零比零型未定式，你会想怎么做？如果是无穷大比无穷大未定式，你会怎么做？当然能等价都等价。如果零乘无穷大，怎么做无穷大减无穷大，怎么做一的无穷大无穷大的零零的零，怎么做？

见到每种不一定是啊，他有自己的处理性的方法，我肯定能学的非常的好的。其实这里面当中啊，有几个难点呢，我觉得这节课可能同学们觉得稍微的难一点的东西啊，就是在哪儿就是你发现还是在这儿？就这种题哎，就这个减一下对吧？两个根号，然后去向正无穷开方的问题。这是很多同学觉得难的，如果你觉得难呢，你就把一点三零一点三一，还有刚才过程当中讲的哪个题呢？

就是我们刚才讲的这个一点三七。还有我给的这个思考题，把这几个题啊整理到一起下去，过程当中好好想想这几个题是经典题。经典题得多练，练到什么程度？你见到这个题，你就知道怎么做了，你就见到这个题，你就知道手法怎么做了。好了，这个点我们就讲到这。哎呀，来上个电视吧，来来来。

上个电视。我真的很难想象你是跟着我学了这么久的同学啊。我我很难想象你学到今天而言的话，你发现你能问出这种问题，你让我觉得夸张啊。你这还比不上这个很多同学在这个零基础过程当中问的问题呢。你告诉我等于多少？啊零的无穷大。零的无穷大是一定是吗？来，我们来走一遍，把七中未定式写一下，零比零无穷比无穷，零乘无穷大无穷，大减无穷大。

啊，没关系啊，这个下去整理就行了，上课的话调节气氛无穷，大的零零的零，这七种叫未定式。那么，同学们想一个事，你看一的无穷大就未定式，那我想问你个事，如果是二的无穷大呢？定下型。这就是已定式了二的正无穷是正无穷，二的负无穷是零，这是已定式，

如果你发现一的零呢？一的零也是一定式，一的零的话，你发现它肯定是一啊。对吧，然后再来看，如果是你发现这是刚才说零的无穷大。无穷大的零叫未定式零的无穷大呢？零的无穷大就是无穷大个零相乘，那不就是零吗？你就按照你就是一旦跑到已定式，这个东西就可以按照你原来过程当中初高中当中学习的思维方式去定这个结果。初高中是什么结果？它是什么结果？能听懂我的意思吗？

哎，这是这个问题，所以下去要想清楚好了，这是我们讲的一点三七这个题。过去了，可以吗？啊，没关系啊，掌握清楚就行，来接下来继续再来看。再来看看考点四这个部分内容，左右开工法求极限。呃，在刚才这个部分内容当中啊，我们讲了七种未定式极限，

怎么处理？那么，接下来还有一个部分就是需要分成左右极限的情况，叫做左右开弓法求极限。那什么叫左右开弓法求极限呢？就是如果你发现趋向一个点。它的右极限。跟趋向这个点，它的左极限左右极限都存在，且等于a，我就可以立即推出，什么情况我就可以说明。这个点出的它的极限，结果就等于a。对吧，

这个极限就是a那么在这种当中，我们再看，如果是无穷大呢，如果是真无穷的极限是a。负无穷的极限，也是a那这个时候你发现它的极限，结果呢，趋向于无穷大的极限，它就是a这个部分内容，我们原来过程当中做过精讲。哎，这是这个问题，所以拿到这个点的时候，你就发现你想这个事情非常容易，但是这里面当中存在的一个点就是分的问题吧。

对吧，是每个题都需要分成左右极限吗？拿到这个极限的时候，你发现每个题都是左极限，做一下右极限做一下嘛，不是的。所以每年过程当中，这一块的重点不是落脚点，说你拿到一个极限，是不是知道左极限等于右极限都等于函数值推出极限，是它不是的。这里面当中的核心在何处啊？你要掌握住哪些是需要分的，所以说常见的需要分。类的情况。

这种东西啊，你要把它掌握清楚。对吧，哪些东西是我们需要分成左右的，我们在考研过程当中啊，只需要掌握住五种。我们在零基础提前学，可能我们铺筑了四种，你把最后一种，一会我们一讲一整理就行了，好了，同学们，我再来强调一遍。但是我还是想把这句话给你敲出来，不要只知其行。

只知其行。不知其本质啊，注意这句话很重要。不要只知其形，只知道它的形式，不知其本质啊，这是个很尴尬的情况。所以有些同学见到说e的s角，分e的s分之一角分哦不不，这都不行。你不要光只知道一个形式，你要知道这个人的本质，我们先来看看第一种需要分的。就是e的头顶是无穷大。这种新药粉。

e的头顶上既能是正无穷，也能是负无穷有分，那你都知道它就是正无穷，那就不用分了。头顶是无穷大。这是它的本质，对吧？不要光记它的姓名，比如说我举个例子，那这里面当我出几个人？比如说I趋向零的时候e的s分之一分不分。分不分当然要分，因为零分之一是无穷大，这个时候它要分，这个时候你要分的话，

你发现看两个，如果是趋向零正。s分之一趋向正无穷。对吧，那e的正无穷呢，图像来走你趋向于正无穷，如果s趋向零负。s分之一就趋向于负无穷。那e的负穷呢？e的负穷就趋向零。所以这种情况我要分，那么接下来我们再看第二事情，如果s趋向无穷，大e的这个s要不要分？要不要分？

需要分不？需要分为什么你看e的头顶是无穷大，如果是正无穷e的正无穷是正无穷。如果趋向于负无穷一的负无穷，值是零。对吧，他也要分，你看吧呃，这是说不分的，你还是不知其这个，其本质一定注意，我不在乎他长什么样子。我在乎的是他在这个趋向下是什么样子？你能听得懂我的意思吗？就是我不在乎这个人，

就是在整个阶段是什么样子？我只在乎这个人在这种情况下什么样子？你应该能理解我的意思啊。那么，再看第三个点，如果s趋向，比如说趋向于零啊，比如说趋向无穷大，你发现这个e的s分之一分不分？看这个人要不要分？这就不分了，为什么呢？因为无穷大分之一是零，这是e的0e的零往一跑，这就不分了。

这部分呢？好注意一个事情，一定要注意它的一个什么，它的本质是什么？好，再来看第二种，那就是arctangent题。后面往无穷大跑行arc quantum题啊，基本不怎么考，如果考的话跟他是一样的好，我们来看看这个人。头顶后面必须要往无穷大跑，比如说我们来看看第一个事情，如果x趋向无穷大，请你告诉我阿克tan这个部分的话，

比如说这是x要不要分呢？那当然要分呐，因为后面就是无穷大，如果s趋向正无穷，那你发现arctangent这是多少？这个正无穷，那不就是二分之派吗？如果s趋向负无穷，那这时候你发现arctan的负无穷呢？就趋向于负二分之派。所以说这个时候它要分好了，那么接下来我们再看第二事情。如果这里面当中你发现s是趋向零，这是arctan ENT x分之一，要不要分？

分不分也分零分之一，是无穷大，它就需要分，所以如果趋向零正s分之一，就趋向正无穷。那然后arctangent这个正无穷，那这就是二分之派。然后再看，如果趋向零负x分之一就趋向负无穷，那这个时候你发现阿尔泰的负无穷呢，这就是负二分之派。所以说像这种情况，我就需要分对吧？我一定要把它分开。好，

这是我们讲的第二种情况，再看第三种绝对值。绝对值一定要注意一个事情，绝对值里面往零跑。哎，绝对值里面往零跑，为什么是零呢？如果是零正大于零，绝对值等于本身零负小于零，绝对值这个人等于相反数，我举个例子。比如说x趋向零有绝对值，分不分分？因为绝对值里面往零跑，如果是零正大于零大于零等于本身。

如果是零负零负小于零小于零等于相反数。那没问题啊，我比如我再改，如果s趋向于一绝对值里面是x- 1分不分？要不要分我当然分，为什么呢？这个时候你看如果趋向于一正。我就比一大。比一大减一的话，你发现就比零大比零大的话，你发现这个结果就等于本身如果趋向一负呢，比它小比它小就等于相反数一减x。好了，这是我们讲的这个第四种内容，听清楚我的意思吗？

哎，过去了啊，这种。那么，接下来我们再来看看第四种情况，唉，我再来讲一种函数，这种函数啊，大家稍微的进行去注意一下就行。它的函数叫什么呢？叫做取下整函数啊，注意一个问题，叫做取下整函数。取下整函数，或者有些这个书籍当中啊，

它就直接说叫做什么叫取整函数。啊，就叫直接叫取整函数，或者叫取下整函数好了，那么接下来我们来重点来讲讲这个函数。这个函数表达什么意思呢？就这个。它这样写的啊，就这样写。这种东西啊，就叫取下整函数。然后在这个当中，它表示什么呢？注意它表示了。不超过。

x的最大整数。注意这个问题啊，就说我不超过这个人的最大整数。哎，不超过这个人，举个例子，比如在这种当中，我们看看，比如说这个里面当中出几个例题。请告诉我三点，一是多少？e取整呢？e取整是不是三？如果这是二点五亿矩阵是多少，那就二，

如果是派趋阵是多少？你三点一四嘛，你三点一四一取整，这是三。如果再来看负四点一取整是多少？看最后一个。如果是负四点一呢，往后面跑对吧？哎，注意一下这个事情，这是负五哎，不是负四不不不是负四，往后面跑不超过它啊。所以你发现这条东西，我拉条数轴线了之后的话，

你发不不不是负四啊。好了，那么接下来看，如果这是零，这是一，这是二，然后这是负一，这是负二。大家有没有发现一个事儿，如果你这个点在这儿一曲阵跑哪去跑到零，如果你在这儿一曲阵跑哪去跑到这儿。如果你在这儿哎，你可以一屈枕跑到这儿。对吧，永远往下跑，

那么如果这个点在这儿呢？哎，你看一曲整跑到这儿，那如果就在二呢？注意我就是二。不超过二，那就是二。所以它永远都是往下面跑，往下面跑，往下跑，顶多在这停着呢，所以叫取什么取下正函数啊这个人。那么，接下来我们就来看一个事情了，那么同学们思考一个问题，

如果说x趋向于零取整，要不要分呢？那要不要我们来在这里面当中啊？拉条数轴线研究一下。哎，研究下这个问题，这是零。我再来问一下，什么叫做趋向于零啊？什么叫趋向零？趋向零是什么意思？趋向于零的意思就是没有到这个点，又跟这个点非常接近。就是这个点的去心领域。大家注意去心领域。

而你发现那负一在哪？负一离得远的去了一在哪？离得远的去了。那么，所以我们接下来看，如果你发现趋向的是零阵。临阵，它就在这个范围。那在这个范围不超过这个零的话，你发现不就跑到零吗？一取整它就是零，这是等于零。如果你发现是趋向于零负呢？零负在哪？零负在这。

你这样的话，不超过这个咔的一下跑后面去了，所以说它就立即等于多少，它就立即等于负一。你看这个人，所以他就是这个情况，如果你发现比零大一点点，我跑到零比零小一点，咔跑到后面去了。所以说它就要分。因此，在这里面当中啊，你发现下面一个情况就是取整函数。且这个人呢，往整数点跑，

你看我写的是整数点。能理解我的意思吗？我写的是整数点，我比如说举个例子，只要是整数点，比如说is趋向多少100？那回答我一个事情，这个矩阵分不分就要分？为什么如果是趋向于100帧，它等于多少？比100大一点点，一趋整跑到后面100，如果这里面当中你发现趋向100负。比100小一点点，小一点点咔的往前跑99。

对吧，小一点点咔跑到前面去了，99所以这个时候就需要分取整函数，且这个人往整数点抛角分。好，这是这几种情况，在这里面当中，我想问你一个问题啊。你稍微琢磨琢磨。如果你在考试过程当中，我举个简单例子啊，比如说。啊，我们找一个题。啊，

比如说你举个例子啊，你在考试过程当中，你见到一个题里面当中啊，他写了个这个，你觉得是中括号呢还是取整呢？呵呵呵，啊，就我害怕学完了这个这个东西了之后的话，你发现有些人做题就疯了啊，你觉得是个中括号呢，还是个曲整呢？啊，它是个中括号，听懂我的意思吗？那有些同学就懵了，

说老师那我怎么知道它是取整还是中括号？一定要听清楚，如果它是取整，它会说。如果不说它都是中括号，听得懂我的意思吧，哎，注意一个事情，因为取整函数不是大纲要求的函数。它不是大纲要求的函数。包括这个人是什么，他都会在题目当中会说清楚的，你看比如说其中这个人表示s取下值。他会说。他一定会说的，

像这种东西在考试当中，它不是一个严格要求的函数，你比如说还有一些函数，比如说有些同学去听的话，比如说这个人。这叫什么函数？这叫符号函数大于零的时候是谁？一=0的时候谁？零小于零的时候谁负一啊？这叫符号函数。它是个符号函数。像这种函数在大纲都没有要求。包括数一数二数三，他们都没要求，如果在考研过程当中想考这些函数，

一定要在考试当中把这个函数说的是什么意思？要说清楚，所以你们大可放心。听懂我的意思吗？好，这是这个事来最后一种第五种。分段函数。哎，分段函数。然后再什么分段点。分段函数在分段点处的极限。它要分，但是是不是所有的分段函数在分段点处的极限都要分呢？不是的。什么时候要分呢？

是分段函数在分段点，你看看这个事情，比如说这是x0这个人，你大于这个点是他，你小于这个点是他。就这个分段点的两侧还不一样的是要分。注意一定得保证两边不一样，两边不一样的时候，你分了之后的话，你看如果趋的是x0正。比它大大的数是它如果趋的是x0负，比它小，比它小的是它，所以一定注意啊，分段函数在分段点两边不一样。

因为你看比你大的时候对他求，比你小的时候对他求两边不一样，两边是一个人就不要分了。你两边是一个人，这边是是他那边也是他，你分他干嘛？你两边坐的都是他。所以跟着我一起来回顾一遍，听懂吧，不要只知其情，要知其本质，要判断那么看看这几种。第一种在屏幕前跟我啊，不用喊啊，不用喊e的无穷大阿克摊，

这里后面是无穷大绝对值里面往零跑。然后是取整里面往整数点跑分段函数在分段点，然后两侧不一样的使用分，这五种情况把它记住就行。记住这五种难度系数不大啊，来，我们来看看下面的考题，看看这里面当中的一点三九这个题。操作一下吧。那么，首先看看第一个事情，拿到这个极限需不需要分呢？有的说需要分，为什么？因为你刚讲了你配的题，

你肯定要分宝宝，我不需要你这样啊，不要这样。那考研的时候谁跟你说，你做题的时候我在你耳边说哎，这个题要分，你咋不分赶紧分，没人给你说。除非你咱俩报了差不多，对吧？你在我前面，或者我坐你后面，我坐你后面，我跟你说嗯，这个题落笔大啊，

落笔大赶紧。对吧？泰勒赶紧等驾，不不不，能这样做，赶紧等驾，你发现一个事情，你后面要有个人在那说，那肯定可以，那没有人啊，都是你自己。所以接下来我们来看看下面一个问题，分析一下。要不要分？当然要分。

因为你发现你看零分之一，这是无穷大。阿尔克，他这个无穷大，他是往这个什么这个有可能是二分之派，有可能负二分之派，需要分，所以说这里面当中啊，一定要分成零阵。还有分成零负，如果是零正分之一，这是正无穷，如果是零负分之一，这是负无穷，那这个时候你发现这是阿克，

它这里正无穷。阿摊镇正无穷，是二分之派，然后这是阿滩镇的负无穷。负无穷是负二分之派。好，这个人那么，然后是取整告诉我，如果零正是多少比零大一点点诶，这是零。然后比零小一点点，小一点往后跑负一。好，这些事呃，我另外再强调一遍，

其实你发现你去学这个内容啊呃，我觉得对大家而言的话，你只要好好进行，把这个课程呢跟完，肯定没有任何问题。另外一个事情，大家不要去小看那些初高中知识点，能听懂我的意思吗？因为我在那个零基础提前学的第一次课程的时候就跟你们去把那个初高中知识点好好的，完完整整给你复习了一遍。你像那里面的图像啊，那个函数在哪个点处？趋向于多少啊？一定要把它记得非常清楚，很多同学不是说不会也能听懂，

就是慢半拍。慢的原因在哪？结果你发现不是我们学的这个大学的微积分的内容，而是因为这种初高中知识点老是在脑子里面形成不了这个体系。下去过程当中，该记的东西要记好，那么接下来我们看来解。那这个题就要分，然后第一个事情就是limits趋向零帧，回答我一个事情，你看零帧的时候这个极限是多少？零帧的时候，这个极限是零。所以说你发现这个部分的极限是不是存在，存在就可以拆开，

立即就拆成了这个样子。再减去二倍的limits趋向零帧取整。好，那么接下来我们继续，我们再来看limits趋向零负。零负的时候，这个极限是多少？二乘负一是负二也是存在又存在加减法当中，只要见到存在就可以拆开又减去二倍的limits趋向零负这个取整。是不是这个人，所以说接下来过程当中就可以做了，你看这是派分之二，然后前面这个人呢？这是二分之派，再减去二×0。

然后这个人呢？这是派分之二，再乘上负的二分之派，再减去二乘上负一等于几啊？第一人等于一，第二呢也是等于一。所以说这个结果等于几等于一，我知道有些同学做这种题啊呃，会有些想法说老师，你看这个题肯定是一我做一半不就行。我做一半是一，然后另一半不做不就行了，你注意一个问题啊，你这很容易跳坑的。我如果考研，

我再出一个题的话，左边是一，右边是负一，我还是不存在呢，我们考研都是选择题。我a选项是1b选项负一，我c选项是零，我d选项是无穷大，我e选项说不存在，且不是无穷大。我看你怎么办？所以不要这样稳稳当当的打基础啊，好，这是这个题来接下来继续再来看一点四零这个题。来操作一下这个题，

那么同学们告诉我这一题需不需要分呢？要不要分赶紧看啊，趋向于零，要看帽子零分之一是无穷大一的头顶无穷大要分。绝对值里面往零跑要分，所以说这个题啊，一定要进行区分。所以首先看第一个事情，如果趋向零帧，如果趋向零负啊，我再给你写，你有的时候看的很快哦。如果零正分之一，这个人就是正无穷那一的正无穷呢？当然，

往正无穷跑，然后这个零负分之一是等会儿这个零写的好丑啊，对吧？然后这是负穷一的，负穷是几负穷是零。所以说这个人叫分，然后接下继续那绝对值呢？如果是零正大于零，这人是本身，如果是零负小于零，这人是相反数就写成这样。来操作吧，先来看第一个人来解。我们先来看看limits趋向零帧。那趋向零正的时候，

你发现这人是x，我就想问你个事儿，这个极限存不存在？存在还不存在，那真是x啊，这两者作比的极限当然是存在，那既然是存在，我就可以拆开了，我立即把这人拆成什么？当x趋向零正，然后这是x分之s in。我是不是就拆开了？所以说加减法当中，只要见到存在就拆开，这是e的x分之四，

再加上一。好这个人，然后接下来我们再来看看limits趋向零负。趋向零负，这人是负s，两者作比的极限，结果是负一吧。如果单独给它加帽子的话，极限是不是负一也存在也存在又拆开？那就是limit x趋向零负，然后这是负s分之sine，然后这个部分呢？是e的s分之一加上二，然后是e的s分之四加上个一。好做成了这样来看这个题。

怎么处理啊？那么，首先看拿到极限先定型，我做这个简单的，我先做下面这个，下面简单一点。你发现一个事当x趋向于零负零负分之一负无穷e的负无穷是零。所以说这人是零。零负分之四，这人是负穷e的负穷，这是零，所以说前面这个结果是几二，然后后面这个结果是几负一，所以说是一。没问题吧，

那么接下来我们再看上面这个。后面这个极限没有问题，它是一那前面这个极限是多少呢？来再来看，趋向于零正。零正分之一正无穷，一的正无穷。正无穷，正无穷。你发现看正无穷，下面是正无穷无穷，大比无穷，大不一定是怎么做。抓到头吧，我一抓是它。

然后他说这是一，然后一这是二，所以说这人是不存在的，对不对？不对，你可能会想到是我们那个什么，想到我们原来过程当中啊，做的那个什么做的那个零基础的那个题不对的。大家一定注意，人家这个人是s趋向零，这是多少呢？这是e的x分之一，这是e的x分之四。然后加上一。我们零基础那个题是上面是一的x分之一，

下面也是一的x分之一，这不对的，那你告诉我这个结果等于多少，你看这有同学等于四啊。你别跟我瞎来哦啊，能听懂吗？你不要瞎来呃es分之一es分之四，这样一约就等于四分之一。你别胡来啊，你千万别胡来。等于多少？这个人的话，你发现可以这样写。它是e的s分之一。e的s分之一的四次方。

是不是这个事情啊？你说是四次方是吧啊啊？好了，那么这个时候你发现一个事情，他就变成了这个人。所以说这个部分是它，然后这个部分是它第一件事情，你可以用接的感觉去做。这是无穷大的四次方，这是无穷大，那我下面比上面大的多，那这个结果是零。当然，你也可以约一下，约一下了之后的话，

你可以这样做，同底数幂相除指数相减，用s分之四减s分之一是s分之三。所以说这个时候定型的话，你发现上面是一，然后无穷大无穷大分之一，这是零，所以说它是零+1，这个结果还是一？问题出来了。能跟上我的意思吗？所以要注意这件事情啊，它不是s分之一，它是s分之四，这是无穷大的四次方，

你是无穷大，我比你大的多。那这个结果就出来了，它就是零啊。好，掌握清楚给我回复一吧，哎，这个基本题啊，一定要把它想清楚好，这是这个事儿。行吧，掌握清楚给我回复一啊，听明白了给我回复一，我们就讲到这儿。嗯，

我们就说到这儿。行吧，那么今天我们就讲到这吧啊，然后下节课我们就继续后面过程当中啊，我们还。呃，吵不吵？我刚好在这外面，这个有点有点吵啊。好了吧，那么今天我们就讲到这儿啊，我们就说到这儿，然后我们来布置一下这个作业，你们下去过程当中要完成一下啊。呃，

这节课的作业啊，可能会稍微的会多一点点啊，会多一些，然后叫我看看。这个题哎呀，有点多呀啊。好，53题之前吧，把它全做完啊，把它全做完。这里面当中有几个题可能。稍微的会难一点点你比如说这个题啊，这个题会稍微的难一点，但这个题已经不难了。这题我讲过。

然后这里面当中。这个题希望呃，这个同学大家慢慢做一做啊，还有这个题，别的题都还好。对吧，别的题还好，有的人看了一分钟，我心里就是感觉那种非常激动，对吧？拿到这题一分钟哦，我一分钟要干掉。很着急，做稳一点，慢一点没关系。

这是我最终要求的时间，这是最终要求时间，不是你现在这个阶段要求时间，宁肯做慢一点，做稳一点。重点而言，通过练习把上课的知识点学会，这是我们基础班要做的事情。好吧，这是这个事行吧，那么今天部分内容我们就讲到这作业可能会稍微的多一点，53题之前。把它做完可以吧？同学们好，那么今天课程呢？

我们就讲到这儿，然后下节课我们就还剩下两个部分，一个事情是已知极限，求解其中待定参数。然后还有一个事情就是已知一个极限，求另外一个极限，那么最后我们就要进入到数列极限了，所以下节课过程当中啊呃，可能很多部分的东西啊，都是新内容。所以提前过程当中啊啊，打好最好的状态，然后来听课好了，那么今天课程呢，我们就讲到这吧，

好同学们好下去过程当中啊，第一件事情。整理笔记第二事情，把上课的例题啊，自己如果上课过程当中处理的不是特别好的题，再做一遍，然后再去做作业。好，那么今天课程呢？我们就讲到这好，下节课见吧啊。

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04.函数极限计算专题突破（3）-2

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