03.函数极限计算专题突破（2）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:35:45

出去吧，行，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看这个下一个考点内容啊啊，叫做极限的四则运算呃，这也是我们在这个基础班过程当中啊，学习的这个函数极限计算当中的最后一种方法。当然，在后面过程当中，我们还会有两种，一种是这种导数定义进行求极限，那么还有一种呢？其实就是拉格朗日中值定理进行求解极限问题。那么，首先我们先来看看第一个事儿，

极限四则运算的内容，大家注意啊，这个部分的东西啊，可太重要了。绝对是黄金重点内容，那么首先我们先看看第一个事情，四则运算的内容是什么？它的最重要问题啊，其实就体现出了一个字儿拆的问题。你能不能拆开呀？能拆开算还是不能拆开算？这就是它的核心重点，那么所以说首先第一个事情我们掌握住的内容，它的内容是什么呢？叫做都存在。

才能拆开算对吧？两者之间都存在了，我才可以拆开算，首先在这里面当中，我们先看加减法。如果这是fs，你加减上js。一定要注意一个问题，就是这个极限，它和谁呢？它和这个极限它是不一样的。这两种极限绝对不一样。你两项加减法的极限跟我极限的加减法，这两者之间不一样。什么时候中间才能画等号呢？

一定得保证一个事情，你的这个极限是存在你这个极限存在。只有这两个极限都存在，这中间才能画等号，就相当于把它拆开计算了，没有问题吧？好，这是第一个事情，然后第二个事情同理而言。如果你发现在一个极限当中，两者之间是什么法？两者之间是乘法，那乘法的极限跟极限的乘法一样不要呢？就等于你这个极限。再乘上什么情况？

再乘以我这个极限吗？那也不一样。这两者之间什么时候才能相等，一定得保证一个事情，你存在我也存在的时候。只有两项之间都存在的时候，我们乘法的极限才会等于极限乘法，当然在这种当中还有第三个事情，那就是除法。那除法也是这样，如果两者相除的极限，它什么时候等于极限的除法呢？在这里面当中啊，你得保证一个情况，必须得保证都存在。

如果在这种当中，你发现第一个人存在是a，第二个人存在是b，这个时候你发现我才能拆开计算。而且这个时候得要求一个事情，这个b得不为0b，千万不能为零，你这个b为零，这个人就废了，所以记住一个点。加减法的极限跟极限的加减法不一样。乘法的极限跟这个什么这个极限的乘法不一样。除法的极限跟极限的除法不一样。所以这就是我们在这种当中啊，四则运算的内容，

你要想把它拆开计算，必须得保证这两个极限都是存在的。呃，这是第一个基础问题，所以记住它要想拆开，必须保证都存在才能拆。哎，都存在才能拆开算。所以在这里面当中啊，我们来看几个题啊，比如说这里面当中啊，我们看看第一个题。那么，这里面当中，我们首先看down is趋向零。

如果这里面当中我们写了一个，这是什么一减coss？然后这是loring courses。然后再加上多少呢？再加上e的x方减一。好，我们来稍微瞅一下，你看这个题拿到极限线干嘛？拿到极限先定型。cosine 0是一。l1是零。一的零是一，那这个人是零，所以说这个题是个零比零型未定式，大家注意啊。

什么叫零比零啊？零比零其实是无穷小比无穷小问题。能听懂吗？不是你从小到大学的那个零不是那个零÷0不是的，它是一个无穷小，除上无穷小问题。如果在看到无穷小的问题当中，你最重要问题啊，要有接的感觉。呃，这个接的感觉是非常重要。所以首先第一个事情，我们来看看这个事儿，你来观察一下，我一看这个人是几阶无穷小，

这是个二阶无穷小。这也是个二阶无穷小，那同学们想这个人是不是也是二阶无穷小？女生在那愣神儿了啊啊，这里面当中没有问题吧，因为这个人等价无穷s方真等价无穷，二分之s方。这人呢，等价无效cosine减一负的二分之x次方，这个没有问题，所以说这个时候你发现一个问题，你看。这个人既然是二阶比上二阶这个极限存在还是不存在呀？存在吧哎，这个极限存在那么同学们想这个极限存不存在啊？

这个极限是不是也存在，所以在这种当中啊，马上这个事情就出来了，你既然这两者都存在都存在这个东西，是不是可以拆开了？就变成了cosines比上一减cosines，然后再加上limit多少x趋向零，然后是e的x方减一比上一减cosine。这个没有问题吧，那么接下来告诉我个事情，这两者之间能不能等价？可不可以现在两者之间是不是除法关系？这两者之间，除法关系啊，不是加减法，

有同学说这后面还有加法，那是在一个帽子下，是乘除法。你这是两个帽子了，我只看我的帽子下，两者之间是乘除法，所以等价无穷，二分之x方。那这个时候你看l一个函数趋向于一，立即等价无穷小什么，这个函数减一。然后这个部分的话，我们就继续当s趋向零，这是二分之s方一的框减一等价无穷框，这是负的二分之s方。

所以说这就是负一，然后再加上二本题等于一。是不是出来了啊？基本点。我觉得我们考研过程当中啊，出一个这样的题也非常的好，对吧？这是一个事情，当然第二个事情你在这里面当中啊，使用加减法的等价，但是你得预判。所以没有这样做，直接一点这样做，观察起来简单一些嘛，你像如果用加减法的话，

这个加减法的等价你还得进行判断一下，这个人和这个人之比的极限是不是负一？对吧，你得判断一下，如果是负一，你就用不了了，不是负一你才能用，但是我们现在这样观察多简单，这是二阶，这是二阶存在这二阶，这二阶存在哎，那都存在就可以拆了。所以这个东西当中啊，这个预判工作很重要。很多同学在这里面当中就说我这个题，

看答案看会了，但是注意啊，为什么敢拆？为什么能拆？你得去想，这才是你要培养的。好，这个题啊，我们就讲到这儿，一定注意啊，都存在才能拆，那么接下来过程当中，我们再来看看第二步极限的运算性质。诶，极限的运算性质。

那么，这个极限的运算性质当中啊，有几条呢？我们来看看这个事情。那么，这里面当中的核心重点就是这样。我知道fs的极限。而且我还知道多少呢gs极限，那这里面当中我们去看谁呢，我就进行去看看，这两者之间。加减法的极限的存在性。加减法，这是我们原来零基础时候讲的。那么，

这里面的内容是什么呢？如果你发现这个极限存在这个极限存在加减之后的极限呢？也是存在。那如果这个极限存在这个极限不存在加减之后的极限呢，它就不存在。但是第三个事情，如果这个不存在。这些人也不存在呢。那加减之后呢？加减之后的这个极限是未知的。什么叫未知呢？就是这个极限可以存在，也可以不存在，所以这是我原来零基础提前学讲的内容。好，

这是第一个事情，就是加减法啊，这个内容没有问题啊，如果这个知识点有问题，我建议同学们进行去看看那个零基础，提前学这个部分内容的讲的东西。好了，这个部分我们补充到这，这是加减法。机械性质问题。哎，这是加减法，如果这两者之间的加减法，它就满足了这样的一个极限性质问题。啊，

这是这里面当中的第一个知识点。那么，接下来我们再来看看第二部内容，那还有啊？那如果是乘法呢？哎，乘法除法的话，基本上的话而言的话，就把它写成分之一，对吧？乘法写成这个分之一就是除法。好，我们再来看看这个乘法的性质。乘法当中啊，非常非常关键。

我们来观察一下，如果这里面当中是fs，它的极限，如果这里面当中是gs极限。我就想看一个事情，那请问这个fs乘以这个js极限会是什么情况呢？我们来观察一下好，先看第一个事情，如果这个极限是存在的。这个极限也是存在的，那这个极限当然存在，那这个太简单了。为什么你是一我是二都存在就可以拆开，就变成你的极限，乘我的极限一×2就是二。

对吧，就可以拆开。所以接下来我们再来看这种当中的重点，如果这是存在，这是不存在，它的结果是什么？存在乘以不存在，这什么情况？非常好举例子，我举什么呢？如果是零，是不是存在？我举了个例子嘛。零就是存在的。无穷大是不是不存在？

算不算我举个例子对吧？零是存在吗？无穷大是不存在，但这两者相乘呢？两者相乘是未定式，可以存在也可以不存在。所以同学们，这个结果就是未知。一个存在的东西，乘上一个不存在的东西，就是未知的。我比如说在这种当中，可以给你举例子。我可以给你举一个存在乘以不存在是存在的例子，贼好举。

你看流氓举法，流氓举法怎么举呢？就这样举。你看我举的对不对？又简单又说明问题了。首先第一个事情，这个极限是无穷大的。这个极限是零吧？这个极限是不存在吧？这个极限是存在吧，但是两者相乘呢，两者相乘的极限结果是一呀。不存在乘以存在呢，是存在了好，这是第一个事情，

那么接下来我们再看我，比如说继续。如果在这里面当中，我再来把这个人写成平方，这是s分之一，好，我们继续看这个极限是无穷大吧？这是零吧，那这人是不是不存在这人是不是存在，但是这两者相乘之后是xx的极限，结果是什么x极限，结果是无穷大。所以说存在乘以不存在是不存在。你看就不行了。所以存在乘以不存在，

可以存在存在乘以不存在，也可以不存在。所以说它是未知的，它有这种情况，也有这种情况。好，我们再来看看第三个人。那如果是不存在乘以不存在是什么情况？有的说那无穷大乘无穷，大不就是无穷大。注意啊，不存在有两种情况，有无穷大这种情况，还有一种情况不唯一呢，你不要仅仅用无穷大举例子。

什么情况？不知道，比如说这里面当中，我给你举两个例子。先看第一个。我可以给你举一个不存在乘以不存在是不存在的例子。比如说这是x这是x那这个时候你看无穷大是不存在的。无穷大是不存在吧。但是这两位乘是平方，这人是不是还是多少无穷，大那无穷大呢？这个结果是不存在呀。所以我很容易进行举出，不存在乘以不存在时不存在的例子。但是你能不能给我举一个不存在乘以不存在是存在的例子啊？

这就很有水平了。好，这里面当中啊，我给你举一个好好好瞅瞅。如果这里面当中啊，我出一个这个人。什么情况呢？这是一这是负一大于零是它。小于零是它。那我想问你个事情，当x趋向零的时候，这个极限存不存在？存不存在很明显啊，左极限是负一吧，右极限是一呀。

所以说这个极限就怎么办？就不存在。好了，那么接下来我们继续啊，你再来看，那如果在这里面当中，我反一下。你看我切一下。你或者怎么讲呢？你举一个零也行。零也是不存在的，你怎么举都行，你举负一也行，然后接下来过程当中，你看我对照一下。

这个部分的大于零。我怎么办？我就配零。这个部分的小于零，我就配一。那这个时候你再来看limits趋向0 js的极限，结果也是不存在。这没问题吧，你右极限是零，左极限是一嘛，也不存在，但是同学们告诉我个事情，如果这两者相乘呢？大于零的时候就是一×0，小于零的时候是零×1，

永远等于零，当s不为零的时候，那么但是你发现这个时候当s趋向零。两者相乘呢，趋向于零，又不为零，就是对谁求极限，就是对零求极限。零的极限是几零零？存不存在存？存在啊，你看你的极限，不存在你的极限，不存在，但是两者相乘的极限呢，

却是存在的，我举出这种例子了。所以一个极限是不存在，另外一个极限是不存在两者相乘的极限呢？有可能是存在，也有可能是不存在。都有可能性，记住这两种问题。对吧，一种是加减法，一种是乘法，好来复习一下，在屏幕前跟着我一起来喊啊，不不不，用喊你喊的话这个。

图书馆被轰出去了啊，好，我们来看看第一个事情加减法存在加减存在是存在。在屏幕前跟着我一起来默来。存在乘上不存在这个人是不存在。不存在加减，不存在是未知，对吧？不存在加减，不存在是未知，好再看下面一个事情。然后你看存在乘以存在是存在。存在乘以不存在是未知一个存在的，一个不存在的结果有可能是存在也有可能不存在。不存在乘上不存在呢，

也是未知把这个内容记清楚。听懂我的意思吗？好，这是这个事情，那么接下来我们来看几个题啊？呃，这里面当中啊，我来出一个题吧。行不行哎？我来出一个题，我通过这个题啊，我把这里面当中所有的内容都给你讲一遍啊。假设你看这是s趋向于多少呢？x0。假设这个人的极限结果。

这个人的极限结果是存在。啊，然后这是什么情况呢？当s趋向多少呢？s0这个js这个人极限结果。是不存在。或者而言的话，这样吧。如果这个人的极限结果是零。如果这个人的极限结果是不存在。然后第三个事情就是limits趋向这，这个人这是h这个人的极限了。也是不存在。好了，那么接下来我们来看看这个下面一个问题，

来看a选项。a选项说，limits乘上这个人fs，乘上gs这个极限，结果。呃，或者把这个改一下吧，假设这个人是无穷大的。那这个时候你发现我在这里面当中得到第一个人，他就是v0对不对？b选项limits趋向于多少s0，然后fs乘上hs这个极限是零对不对？然后c选项limits趋向s0，然后这是多少gs乘上hs？这人是什么？

这人是。呃，无穷大对不对？还有这个d选项。我们再来看，如果这是limits趋向s0。这个。嗯x+1。倍的gs这个极限结果是无穷大对不对？好了，这是e选项limits趋向无穷大啊！趋向s0。gs×hs这个极限是不存在，同学们告诉我哪个对啊？好，

我们先看看第一个人，第一人对不对？第一人当然不对，因为你看你是零，我是无穷大。凌晨无穷大是什么时啊？不一定是这人，当然不对。对吧a不对。好惨嗯哦，这是未知。啊，位置d也不对，别别别在那乱来啊。d也不对好，

第一个不对，再来看第二个人。如果这个人是零。然后这人是不存在。一个存在的乘上不存在的这个东西呢，也是未知的。哎，这人也不对。好，再看c选项，这个js呢是无穷大值，是不存在的。然后这个人也是不存在的，两个不存在相乘的，其实不知道这里面当中，

你要注意一个问题啊。就是我们考研过程当中，如果是这样，你是无穷大乘无穷大的无穷大乘无穷大，肯定是无穷大。你听懂我的意思吗？不存在有两种这种东西未必是无穷大。不存在有两种，你未必是无穷大，所以说这个时候呢，它也是未知的，同学们能听懂我的意思吗？你是无穷大，除非你也是无穷大。两个无穷大相乘是无穷大。

但是你是无穷大，这是不存在，有可能是不唯一，这两者相乘就不知道了。听懂吗？哎，把这个事情想清楚，你再来看d选项d选项对不对？其实你很好举例子的，你是无穷大，我是不存在这个人未必是无穷大，你可以举这个例子。当s趋向零s分之一，再乘上sins分之一，这个人是什么？

这人是震荡的吧？同学们，还记得吗？这是我上节课讲的，你看你这个人是无穷大，这个人是不存在吧，是正当的，不存在两者相乘呢，是正当的，不是无穷大。哎，是这个例子吧？所以记住它无穷大乘无穷大，当然是无穷大。但是无穷大乘上不存在那个不存在，

未必是无穷大，它有可能是不唯一的，那这时候就说不清楚了。好了，再来看看d选项。d选项的话，这个极限结果是什么？你看如果在这里面当中，第一个人是什么敌人的话，他是x0+1。第二人，这是无穷大，那万1x零这个人是负一呢？负一的话，这就是零零乘无穷大就变成未定式了。

所以说这点当中s0不知道那就不行。好，再看e选项。e选项当中的话，这个人是什么无穷大？这个人呢？是不存在。那这你就不知道。哎，这种情况就不知道。因为你发现这个结果是未知的这种情况。所以说这题正确答案选几选一。好了，这是这个题目呃，掌握清楚给我回复一吧啊，

这是例一这个题。啊，其实我觉得像这种类型问题的分析就是你把刚才那个部分的内容掌握清楚就行，我觉得到了这个今天啊，我不相信同学们。还不了解这个事情，就是一个极限的存在性。哎，一个极限的存在性。它是包括两种的，一种是存在的。这个极限是存在的，只要你是个数，就是存在，还有一种情况就是不存在，

不存在里面包括两种。如果你的极限结果是无穷大小不存在，还有一种情况呢，就是你的极限结果是不唯一或者叫震荡的，也算不存在。震荡也算不唯一啊。它又包括这两种，所以不要仅仅说不存在，就是无穷大无穷大就不不这不对。无穷大是不存在对，但不存在也有可能是不唯一。注意一下这个点啊，就题目当中出现不存在，你要稍微小心一点来做一下这个题。这个题非常好。

好了，我们先来看看a选项，你看这题选几啊？他说两者相加是存在，则两者之间都存在，对不对？那未必，因为我们都知道存在加存在可以存在。不存在加不存在也能存在。所以说这个a选项不对呀。我们刚才说了，存在加减，存在是存在，存在加不存在，不存在，

不存在，加不存在也能存在。所以当我们在考试过程当中见到两项相加是存在的时候。你能得到两个人都存在吗？也有可能两个人都不存在，这条内容非常重要，将来会用到的。好，再来复习一下，如果只知道两人相加存在。这两人可以都存在，也有可能都不存在，非常简单。好，再看b选项，

那b选项在这里面当中说，如果这是limit。两者相加的结果是什么？存在。两者相加存在，然后这个人的极限结果也存在，那这个人是什么？这人绝对不能不存在，如果你是不存在，不存在加存在，那应该不存在，这是不对，它只能是存在。存在加存在是存在绕的清楚吗？哎，

不绕啊，这个这个非常清楚，好再来看c选项，两人相乘，存在则都存在吗？存在纯存在，可以存在。存在乘上不存在时，未知也有可能存在。不存在成不存在是未知，也有可能存在，所以说在这种当中啊，你发现这个东西啊，说不清楚什么情况都有可能发生。再看d选项。

两人相乘是存在，且这个人存在那个人呢？我们知道存在成存在可以存在。不存在称存在也能存在，所以说不清楚答案选b。好了，掌握清楚给我回复一哎，把这个存在的性质的类型问题啊，好好进行串一串，把这个事情要想清楚。跟上我的意思吗？听明白了给我回复一啊。呃，我觉得这个存在性的东西啊，还是可以考一下的啊？

好了，那么接下来我们看看这个一点二二这个题。把这题操作一下，看看这个题。呃，这个题啊，可能就需要同学们有一点逻辑感了啊，这个题。那么，这里面当中啊，我们来看看这个事情，他说这个f是u+v。g是这里面当中的u-v两个人的极限都不存在，则f怎么样？和j怎么样？

有些同学就在那直接做了，说不存在加不存在诶，不知道。不存在减不存哎，不知道那两个都不知道那这个人怎么做？那就做不清楚了。所以我经常讲一个事儿啊，尤其对我们三九六的同学，你这个数学对这个知识点的敏感程度一定要高。我们考研考的那个考点，它不像那个数一数二数三，有的考的稍微的非常麻烦的一些题。你一眼瞅过去，你也不知道这个题考的什么考点？但对我们的题而言。

就是在考研过程当中，眼睛一瞅就知道这个题什么考点。所以这里面当中我来讲讲数学思想。你可能在初中过程当中，你就听过数学思想，但那个时候你听数学思想的时候，你就感觉啊，那个东西交给我们干嘛？老师知道就行了。今天我还想聊聊。你在数学过程当中的做题思维方式啊，它无外乎正向思维或者逆向思维。如果你正着看，你没有想法了，你赶紧反着看。

只要这个正向思维和逆向思维的交界口永远是突破口，我们来看看这个题，你读一下选项来逆向一下正向，没有什么感觉，看逆向。考什么呀，他说f不存在j存在f不存在j不存在f存在j不存在f存在j存在。同学们，注意这个题考什么考的就是fx与js的关系。对吧，你两者之间的关系，你在这儿，我在这儿，我两者之间有什么关系呀，我两者是肯定没有啥关系。

所以就需要通过一个式子，把两者之间的关系找到两者之间的关系怎么找？你可以把那两个怎么办？加一下呀。我一加就等于二倍的uv。关系找到了，当然在这里面当然还可以减一下呀。两个一减。两个一减又等于多少二倍的VS？你看关系不就找到了吗？这两者之间关系找到，而我们都知道。这个部分的极限是什么？这个部分的极限是不存在的。那既然这个部分的极限不存在，

我就得到了f加减上js的极限是不存在的。好同学们给我分析。先看a选项，他说如果这个人不存在，大家想。存在加上不存在是不存在。不存在加不存在也可以不存在，所以说这个时候的这个j你能说清楚吗？你就说不清楚了。但是反观而言，这类目当中，如果说这个极限是存在。你存在加存在，那是存在不可能，你只有存在加不存在是不存在，

你只有这一种情况，所以说这题答案选几？你看这个题，那思维方式很重要，我其实觉得这个题啊呃，对我们而言的考研过程当中还是可以去好好进行想想。对吧，好好理解理解，其实你发现讲了半天呢，都讲了什么内容呢？不就讲了这一页吗？存在加上存在加减存在是存在存在加减不存在不存在不存在加减不存在为止。存在乘存在存在存在乘上不存在不存在哦，这是未知，然后不存在乘上不存在是未知，

这俩都是未知。那么，这个事情非常重要，好了，那么接下来我们就来看看下面一个重点了。原来过程当中啊，我们讲过这个事情，通过这个性质，我们得到两个黄金重点结论。哎，注意一下这个事情，口怜。这叫黄金重点意义。哎，黄金重点。

我们先来看看第一个黄金，重点也是我们在做题过程当中的经验。那么，在这里面当中啊，我们得到了一个非常重要的一个结论，说什么呢？叫加减法中。只要看到。存在性。就可拆开计算。对吧，这个事情我们讲过，就是如果在加减法里面。我只要看到什么呢？只要看到存在的项，

就这一项是存在的，我就可以怎么办？拆开计算，我立即把它抛出去。只要看到存在，就可以抛出去这个东西的原因在何处呢？原因也非常简单，我有两个思维方式，你看你可以理解是第一个思维方式。方向一。第一个点，我们考研过程当中考的这个极限都是什么？我们考研考的这个极限，结果一般都是存在的。你想想是不是啊？

你考研考的这个极限，结果一般都是存在的。你先听都是存在的，你去看看那么所有的题基本上都存在的，那你想如果将来我只要看到什么，我只要见到这个人是存在。那这个人呢？你想一个问题，这人是存在那这人必存在。为什么存在加不存在是不存在，所以说这一项绝对是存在的。你绝对存在那两项都存在，就可以拆开拆开对了呀，没有问题的，这第一个方向性，

第二个方向性呢？你可以这样理解。那么就是在这个极限当中啊，如果这是fs，我加上一个js。这个人如果这里面当中的第一项是存在的。那你看这个存在哎，两一家存在这人不存在，俩人一家是不存在。所以说这个极限结果的存在性完全依赖于后者还是前者后者。完全依赖于你，你存在我存在，你不存在我不存在，所以我拆开做的时候，如果是存在，

我做对了，如果是不存在，就得到，不存在没有问题啊。没有问题的，所以注意这个点，只要是在加减法当中，只要见到一项存在抛出去，只要见到存在抛出去，只要见到存在抛出去。能听懂吗？只要见到存在，我就立即把它抛出去。好，这是我们在这里当中啊的一些重要信息点，

而我们在考研过程当中很喜欢考的是什么无穷小的存在性问题。呃，这种当中啊，有一个经验性方法。注意在无穷小。小问题中利用机。判定存在性。是非常重要的一种思想。注意哦，这个事情非常重要。就是你在处理什么问题呢？无穷小问题。就是我在考研过程当中处理什么问题，我处理无穷小的问题的时候。我利用什么？

我利用这个人的接触，注意这个事情，你在处理无穷小问题，你要利用接判定这个人存在性，这是个非常重要的。这就回到我们刚才过程当中讲的一个事情，什么时候是存在的高比低是存在的。高比低存在。然后接下来是同阶式存在。等价式存在，只有低比高，不存在好了，那么接下来我们来看看这个题。操作下那么这个题的话，你发现当x趋向零趋向零的时候，

这个人就是零比零型未定式呗。稍微观察一下。这个人是个几节，这是二阶，这人是二阶。所以说这个二阶和这个二阶同阶之比是存在，我就立即把它抛出去了。这辆是同街哎，我拆出去了，剩下这人存不存在我不知道，不好看，不好看我就不管，反正我知道一个经验。只要在加减法过程当中，我只要见到这个人存在，

我就立即把它拆出去。当然，首先第一个事情，你可以先把它等价一下。等下了之后就是这个人分着他。然后再减去雷米塔s趋向零，然后这是平方x三次方sin x分之一。那这个时候你看看第一个人，因为现在两者之间是除法就可以等价无穷小于它，然后这个题就变成了s趋向零。x倍的sin x分之一。所以你看第一个极限是一无穷小成，有界无穷小无穷小极限是零，这是一你看这个题就出来了。所以这个东西啊，

你发现眼力非常重要。对吧，不要背眼睛，一漂就出来了。脑子一转就出来，你看趋向零无穷，小问题无穷，小问题的话，这里面当中这是二阶，这是二阶，同阶之彼时存在呀。通介知识笔试存在，我就可以拆出去了，好这个眼力非常重要。就是你看到这个东西，

你就想到把它拆出去，这非常关键。好了，同学们，我们再来看下面一个题。你再看这个题，除了刚才这种思维方式之外，我们继续看，你看这个题。那这个题啊，有些同学觉得说上面加个一减个一就可以等价啊，然后我判定了太慢了，麻烦这个思维方式，只有你判断了之后你才能说明你刚才做的思想是对的。万一判断出来，

前后之比是负一，那就尴尬了。我们来看看一种直接操作，绝对能把它处理出来的思想，怎么操作呢？当is趋向零的时候，继续。如果s趋向零，这是什么问题？你发现e的零是一一减一是零，这是一个零比零型未定式问题，这是无穷小问题。下面可以等价无穷，小S方请告诉我这是几节？这是个2g吧？

那这是个二阶，我看到了cos。corson跟二阶有没有关系？cos跟二阶当然有关系啊，减个一就等价无穷，小负的二分之x方就是二阶。诶，我知道了，这是二阶cosine减个一就是二阶，二阶比二阶不就存在咔的就拆出去了。剩下什么我不管，所以在这种当中啊，这个思想叫什么叫补项法，你看这是平方，我就立即怎么办？

我减个一。反正我不管这个事情，我只要减个一这一项就拆出去了。因为你发现个事情，什么叫数数学当中的做题思想化繁为简。我把这项拆出去之后，这个题就变简单了，我再拆出去又变简单了，我再拆出去又变简单了，这叫化简化繁为简的思维方式。所以说这个题就立即变成了多少一减去这个人。那所以就可以处理了，那就是limits趋向零，你把这个一整理就是coss- 1，只要看到存在就拆开就变成了这个情况。

这一题是不是就结束了？这思维方式非常快。就你利用这种思想进行去处理问题啊，那就贼简单了。好，这个人上面等价无穷，二分之x方比上这个人。那这个人等价多少哎？这不就是我们倍的公式吗？二分之x方开，二次方二分之一，所以说这个结果就等于多少？负二分之一加上四分之一，就等于多少负四分之一。好，

这题就出来了。所以你就盯着这个人走啊，今天这个作业题当中啊，有一道题。那道题你自己下去过程当中啊，你也得学会这处理你，比如说举个例子啊，这个作业题当中啊，有一道。也有一道题目。你比如说这里面当中的这个32题，这个题我相信这个题啊，你做起来绝对没有问题的。你不可能不会做，你一看这是二级。

这个人呢？跟二阶有关，减个一就是二阶抛出去本题结束。所以这个思维方式非常重要，要好好进行想想可以吧？同学们哎，下去过程当中把这个东西啊练习一下。好，这是一点二四这个题。能听懂吧，所以我们就把所有的这个方法论的东西啊，全部讲完了。那么，这就是我们在这里面当中啊，处理极限问题的所有的方法论，

可能有些同学感觉说那这节课讲的东西啊，跟我们零基础提前学的东西啊，重复度很大。大家注意啊，肯定会有延展的。你今天过程当中再听这个内容，绝对跟你零基础提前学的时候听这个阶段的过程当中啊，你自己的想法都不一样。你对这个知识点的熟悉程度都不一样，所以第一遍的过程当中学一个东西啊，你就会发现这就是学习啊，第一遍的时候学的吃力。过一段时间的话，你进行第二遍的时候是不是舒服多了？你再学习一遍的时候，

你就会越来越好。所以我们才开始嘛，对吧？第一个阶段就已经能达到非常高的水平，你再进行提高，那将来过程当中就非常非常好了。好了，那么接下来我们就继续开始，我们再来看考点三七种未定式的极限计算。那这个部分的内容啊，在我们的考研真题当中，有的时候会出两道题，有的时候会出三道题，但是年年一定会出题。所以这里面当中啊，

可能对我们有些同学觉得说这个分值得的也太少了吧，我学的这么辛苦。然后最后拿两分。或者拿四分儿，这是不是太辛苦了？我们总分才70诶。不要有这种想法，你有这种想法，一旦有这种想法，将来过程当中你就很难考高。你不要在那里面当初说我学了这么辛苦，学了这么多内容，结果你发现就考了两道两道考四分。不要这样啊，千万不要这样，

你要注意，不仅仅是这里面当中有关系，如果极限没有打开你的导数定义，没法学。导数的东西没有切开你的积分学又完了。所以这个事情非常的关键好了，那么接下来我们继续我们来看看七种未定式的极限计算问题，那么首先第一个点呢，你要知道一个事儿有哪七种未定式？对吧，第一件事情。七种未定式有哪些？哎，这是我们在这种当中啊，要说明的第一个问题，

你要知道有哪七种微定式。换个颜色就黑色，对吧？哪七种我们来走一遍？第一个事情零比零。哎，零比零无穷比无穷。凌晨无穷大。无穷大减无穷大，一的无穷大无穷大的零。零得零哎，这七种这七种是我们在考研过程当中啊，考的这常见的七种不定式，那么接下来我们再来看看第二种。那么，

请问同学们注意处理这种七种未定式的做题套路是怎么来呢？好，我们来看看第20题七种未定式极限的处理套路。稍等会，我对齐一点。那么我们做做题思想是什么叫做先定性？你先进行确定一下，它是已定式还是未定式，你放心吧，考研直接出的题肯定是未定式，那是哪种未定式？所以说先定型后定法，对吧？后进行确定方法，然后在定法之前呢，

进行去化简一下四化。对吧，先化简先定型，后定法，定法之前先四化，那么请同学们告诉我，我们的定法有哪些方法可供选择？我可以等价无穷，小代换嘛。对吧，我也可以进行去泰勒展开呀，我也可以进行洛必达法则，我也可以进行四则运算法则。这就是我们在这种当中啊，计算的这个体系，

那么我们是怎么进行去处理这个类型问题的？我们先定型后定法。定法之前先四化有哪些方法可供选择好了，那么接下来我们继续，我们再看第三点。那么，在第三点当中，我们就得进行去复习一下，那这四化有哪些四化呢？对吧，有哪四种常见的化简方法？第一件事情。只要在什么呢？呃，当然我们遇到比较多的话，

就是第一个事情应该是非零因子吧，要淡化。你只要见到乘除法中的非零项，你就把它给我淡化了，把它给我先算这件事情非常重要。非零因子考的贼多，这第一个事情，然后第二个问题的话，我没有看，还有这种根式。游利化操作，你要有思想吧。你可以进行有理化，然后第三件事情我们继续，还有这里面当中我们常见的加减法中的存在箱和拆化。

加减法中存在项。可拆换。只要你在加减法当中，你只要见到存在的东西，我就可以立即把它拆出去，还有第四个人，最后一个事情，那就是幂值函数。密值转换化。哎，这是我们讲的最后一个人，所以说这四化在我们考研过程当中可能就会显得更加的重要一点。对吧，第一件事情你怎么办？非零因子怎么办？

根式怎么办？幂值函数怎么办？尤其是最后一条。那么，今天我们讲那个作业题是不是用到了？我见到那个人是幂值函数，我立即幂值转换，幂值转换一下就可以操作了。是不是这个问题？记住这件事儿，只要见到幂值函数，立即幂值状况化。好，这个题啊，我们就讲到这儿，

所以说这就是我们在这种当中啊，核心知识体系有哪七种背景是做题套路是什么，然后常见的化简方法有哪些？必须要把它熟悉好了，那么接下来我们先来看看第一种零比零型微定式，我们先讲一种。可以吧哎，我们先讲一种零比零型微定式。那么，在零比零型未定式当中，我们的破题方法有哪些？第一件事情我当然可以怎么办？我当然可以使用等价无穷小代换呐。为什么？因为只要看到零的问题，

它其实就是无穷小问题。无穷小问题，一定要有接的感觉。我可以等价呀，第二件事情，如果等价用不了泰勒公式，是不是可以首选？当然，在这种当中，你发现能不能使用洛必达法则？当然可以啊，还有最后一件事情，如果在这种当中，你还可以利用四则运算拆开来算。这就是我们常见的四种方法，

对吧？我有等价无穷小带宽，我有泰勒公式，我有洛必达法则，我有这里面当中拆开型的方法。当然，这里面当中啊，等价无穷，小和洛必达会显得比较重要一点，我们先来看看这里面当中的第一个题，你看吧，这个题。熟悉吗？去年考研真题的第一个题。你说你现在做这个题啊，

简直就秒了，好，我们先来看看第一个事情，你发现第一个人直接来吧。那这题就直接秒了，拿到这个极限先定型零比零行吧？当s趋向零的时候，这是框一的框减一，立即等价无效框。然后上面这个人呢？上面这人就考了这个人就是根号下，如果是一加上框。对吧，如果框趋向零。如果是一加上框开N次方呢，

就等价无穷n分之一框。如果这个框趋向零的时候，你发现是一减框开N次方呢，就等价无穷负的n分之一框。所以在这种当中，你很明显会发现，当s趋向零的时候，这就是零。因此上面这个呢，这是负的负的二分之一这个框。所以这个结果就立即出来，它就变成多少阿尔法分之负一，阿尔法分之负一，这个人等于贝塔，所以说阿尔法贝塔等于负一答案选几？

选b啊，这个题不难对吧啊，这题非常简单。其实这就是我们在去年考研真题当中的第一个题。难度系数不大吧？你要掌握住这个结论呢，你做这个题不用十秒钟。对吧，唯一等价这个人出来了，唯一等价这是二分之一。只要开二次方写二分之一，然后这是负的，我填负号，然后这是框就行了，好这个内容马上出来啊。

行吧，那么这就是我们在呃。那这就是我们在这里面当中啊，处理的这个基本问题点能想清楚吧，哎，这是。好，掌握清楚给我回复一吧。能听得明白吧，就是一加上框的开N次方减一就是n分之一框一减框的N次方开N次方再减一。负的n分之一框。好，这是我们讲的这个题，那么接下来我们再来看看一点二六这个题，你看这个题怎么做？

处理一下，那么这个题的核心考点也非常明显，拿到极限先定型吧，好，我们来定一下。当x趋向零的时候e的零是一一减一是零，那这也是零e的零是一一减一是零。所以说这个题啊，就是个零比零型未定式，那零比零型未定式，首先我们先看第一个事儿。下面这个人呢？当s趋向零平方就是零，那就是框一的框减一等价，无效框ln 1+s等价无效它。

好，我们再来看看这个人怎么处理200000000做差吧，不要在那减个一加个一啊，这个题不好做，那在这里面当中200000000做差就提后面。那提出后面了之后的话，你发现就是一亿的什么情况，一亿的这个tangents再减去arc tangents。再来减一好做成这样，那么做成这样了之后的话，我们接下来继续当x趋向零下面这个部分是三次方。好看前面前面这个人呢？一亿的零是几啊？阿尔克tan 0是零吧？想那个图像。

那e的零是几啊？一当s趋向零的时候，这个部分是不是零？零就是框，那么你就发现一的框减一立即等价，无效框就做成这样了，那么做成这样了之后，我们接下来怎么处理呀？好，再来看怎么操作。那么，这个题其实你发现也非常简单。因为我们在考研过程当中，你都知道，如果把这个人等价，

这个人等价。两人都等价是x1减就是零。等价不了，这个泰勒公式是首选吧？所以在这种当中啊，我们可以使用泰勒公式，因此这是三次方。然后上面这个人呢？上面这人的话，一展这人一展这题就出来了。那么，这人长的第一项是s，这是s不行，然后这人就是三分之一s三次方，这人是减三分之一s三次方。

哎，可以了，所以说这个结果加上三次方的高阶无穷小，是不是展到这儿？那么，在这种当中就可以出来当s趋向零上面，这人是三分之二倍的s三次方，高阶无穷小减，高阶无穷小还是高阶？所以说这个结果就是三分之二。对吧，这是一种非常非常好的方法。但其实你发现这个题啊，还能更快一点。哎，

我看看这个评论区当中有些同学这个经验上来了，你看这个题还能更快一点。我怎么操作？我来稍微观察一下，我一看下面是三阶吧？tangent跟三阶有没有关系啊？有关系。tangent就可以创造出来三阶。你想一个事情，这个人是三星。我只要tan这个人减个x，它就等价无穷，小三分之一x三次方就是三阶诶，这是三阶减三阶啊，这个三阶比三阶不就存在吗？

我就可以把它拆出去。所以说这个时候就是s-arctangent。因此这个人呢？他就变成了x趋向零，然后是三次方是tangent-s，然后再加上x趋向零。然后这是三次方x-arctan ENT。你觉得怎么样？然后这个时候两者之间是除法，上面这人就等价无穷，小三分之s三次方比三次方，下面这个人呢，就变成了s趋向零。然后是负这个也是三分之一对吧？你一减还是三分之一SN次方？

那所以说就是三分之一加三分之一，三分之二。所以这种类型问题的方法也非常好，这个方法叫什么？这个方法叫补像法。五项法完全利用数学的一个什么思想呢？化繁为简的思想。我在这种当中，只要凑一个s，我一看三阶比三阶抛出去，我凑个s3阶比三阶抛出去，越抛越简单，越抛越简单。啊，当然了呃，

你能处理到这儿就行了。我们考研当中啊，对于我们三九六同学，你考研的这个巅峰水平点呢，我觉得在这里面当中考的这个难度系数就差不多了。他不会说更难，所以上课过程当中呃，像这些判定性问题啊，你来听我去讲。剩下的事情呢，只要出现在这把讲义上的东西啊，你就自己好好处理啊，好了，那么接下来我们就继续，我们再看。

嗯呃，你如果去想这个凑有什么条件吗？你可能就不知道我为什么要在这儿。对吧，我凑的这个思想是什么？我凑的思想是什么？因为在加减法的过程当中，只要见到存在，就可以拆出去。只要见到存在，就可以拆出去。对吧，所以在这种当中，你一定要注意，所以你就要对接的这个感觉要非常的熟悉。

你在无穷小当中用接近型判定存在性非常的重要。你要知道哪些东西是存在，我一看这是三节。t an ENT就能创造出三节，我就把它拆出去。啊，所以你要品对吧？你好好进行去品这个感觉。好，那么接下来我们再看看最后一个题啊，这个题。呃，这个题啊，看起来这个东西很恶心，但是这个题绝对是秒了。

那么，在这个题当中，首先我们看看第一个事儿，当s趋向零的时候，你发现这个人呢？把s抽出去，然后这就是ln 1+s-s。哎，这个题非常简单，只要见到两根号做差，立即进行有理化根号下一，加上探针题。然后再加上个根号下一加上这个s in。是不是这个事情，然后上面这个人呢？

就变成第一个平方减第二个平方就是tangent t- 3a。好了，同学们结束这个题吧。首先，我们先看第一个事情，当x趋向零的时候，这人等价多少不要说不会啊，直接来二分之一x三次方。提出一个tangent就出来了，然后再看这一项等价多少，这一项就是负二分之s方。好，这个人再来看这一项，请同学们告诉我一+1吧。一+1，

这就是二，这一项是非零的，而且跟别人都是乘除法，乘除法中的非零项叫非零因子。所以说这项就可以淡化，因此在这里面当中就直接处理，就是二分之一s三次方x乘上负二分之一s的平方。然后再乘上二本题，结果等于几负二分之一，你看这题。就等你这个经验，这个水平呢，越来越高的时候，你的做题速度简直就贼快。所以我让你进行去积累的那些东西啊，

你要好好进行积累。对吧，你这个等价的话，你发现你会的话非常快，你这个等价啊，你发现非常快，所以说有些东西常见的，我让你记的东西，你一定要记，听话好不好？哎，一定要听，就是能把它进行记住的时候，你再做题的速度就一下上来了，我没让你背的，

你可以不用背。但是这几个东西常见的，一定要把它记住。你比如说我们经常过程当中啊，在讲一些题的时候，我碰到s趋向零s减去ln一，加上s等价无穷多少二分之s次方，我就直接写了。但是你去比如说我有的时候去讲一些题，我发到这个B站上的时候。你发现在下面的话，这个评论说呃有有同学第一种同学就问为什么s减login一加s等价无穷二分之x方？这种同学很明显一个事情，他连零基础提前学的水平都不及我们。这是第一种，

然后第二种同学的话就在下面回复，哎，其实不用进行去，直接来其实就是慢慢进行展开就行。那你想一个问题，你在那里面当中展开了一下，我早都把这题做完了。常见的一定要把它记住。对吧，我们经常在题目当中用到的一些东西，不妨把它作为经验，记住我们做题速度就会非常快啊。好了呃，那么这种类型问题啊，我们就讲到这儿。

你你怎么好意思说你刚进直播呀？啊哦，你是这个在职的是吗？啊，你要在职的话，回头去补啊，然后今天的话，那个我刚好跟腿姐呢一起一起连麦那个同学的话，那个同学。呃，我觉得今天我还印象还挺深刻的。他就说说了一个一句话，我印象挺深刻，就是他无论是这个啊，刚下班儿是吧？

就是你只要当天过程当中啊，尽可能不要囤客。啊，尽可能不要囤课，如果明天过程当中能补一下，尽可能把它补一下好不好？呃，不要囤，就是因为这个课囤多了之后的话，你发现后面课就变得。多起来了，所以你自己复习下去，这个压力就会很大呃，下去过程当中把这东西再看看，我都讲了。

然后这个上节课的一些作业题我都讲了。所以回头过程当中啊，对于我们三九六同学，每次过程当中啊，我有时间把那个作业给你讲，我就给你及时给你讲。好吧，同学们行吧，那么这个点呢，我们就讲到这儿呃，今天部分内容我们就说到这儿，那么下次过程当中我就会把函数极限计算全部讲完。然后再进入到数列极限，那么数列极限是我们在零基础提前学没有讲过的内容，所以这个部分的内容先打好基础。

好了，这个点我们就讲到这儿，那么接下来我们把这个作业啊，稍微的布置一下啊。好了，把这个作业题打开。哎，考点三。啊，这前几个题啊，你会秒的非常爽的啊，但是以前过程当中对我们的核心考点，它难度系数基本就这样。好了，这是这个嗯，

你写作业，你今天来不及，你就明天写呗，我们是两天一次课。对吧，两天一次课程，然后中间的话，你看今天是周几啊？周二我们下次课是周四，你周三的过程当中可以整理笔记，做作业都行。啊，之前过程当中我都给你安排过啊呃，15题十六十七十八，然后叫我看看啊。

呃，做到这儿吧。我再勾几个。做到22。然后是24呃24题可以下节课再做啊。然后是26题，27题。28。29。30，31。三十二三十三。go loo my好，我再说一下22题之前。22题之前。

26题到33题。26到33。22题之前呃，我比如说举个例子啊，你看这个题能不能把它给我秒了？啊，这个题啊。就这个题。能秒掉吗？就是眼神稍微的漂一下，能秒掉吗？s趋向，正无穷吧。那么所以说这个题的话就是无穷大比无穷大的未定式。那无穷大比无穷，

大的位定是对于对数函数里面可以抓大头，所以说这个极限的话，你发现其实就是。ln 3的sln 2的s这个s抛到前面去，对吧？s抛到前面去s抛到前面去就没有了。所以说这题结果等于多少？嗯，等于几对等于e选项的这个结果ln 3比上ln 2。可以秒吧哎，像这种题啊，就非常简单了。好了，这个点呢，我们就讲到这儿呃，

这种题我们考试过程当中还会考。你如果在这里面当中，洛必达也可以，就是稍微的慢一点，你也可以抓大头呃，这个什么洛必达你洛一下这个东西也出来。好了吧，同学们，行吧，我就不重点讲了，因为一会儿九点半呢，我在那个微博还有一场那个直播，因为今天刚好是这个。二三的同学们的话，刚好出分啊，

可能今天过程当中啊，大家也都去看了，所以你你会发现一个普遍性的一个问题点。就无论那个考研考到这个最后啊，好多同学说难难难啊，其实今天啊。我从上午的这个九点钟就一直都在回消息，一直都在回消息，我今天回了好多消息，我觉得今天呃消息确实是多。所以你发现这个到了最后啊呃，很多高分的同学啊，他还是保持着一定的稳定性，所以我希望同学们这个下去过程当中啊。还是好好进行去努力，

对吧？你有的时候你去听到别人的一些这个焦虑感，听到一些别人的一些声音。但是你要注意一个问题，你的方向信息是永远跟150分比，你不是去跟他进行比，或者跟他进行去比。我觉得这个事儿还是很重要，所以无论你是复习哪门课程都是这样，你尽可能的能往更高的分界线去去比。你不用去听别人别人说啊，这个东西好难，你比如说我们经常到了最后做模拟卷也是这样。每次过程当中，你发现只要稍微难一点，

我也知道难一点，所以我在那里面当中，我就会安慰很多同学。我就说这个部分的稍微的难一点，大家再再接再厉下去，过程当中把一些问题好好整理整理，消化了就行，但是有些同学就是这个一碰到难的。然后就去各种群里面了，自媒体的一些平台上了就去问，哎呀，这个你是不是觉得今天也难哦，一听到别人说嗯，今天确实难，哎呀，

好像找到跟别人进行去共情了一样。哦，原来他也觉得难哦，原来我不是一个人，那然后呢？你还得往前面走，不是找到一个共情的人了，之后就共情了，就结束了，不是这样嗯。所以下去过程当中啊，遇到不会的点好好进行把它解决，这才是正途啊，好了，那么今天课程呢，

我们就讲到这儿下去，过程当中好好消化吧。这节课部分的东西啊呃，第一个事情把作业好好整理整理可以吧？呃，我上次过程当中跟你们说了一个事儿，我让你去买一个本儿，有没有买呀？呃，最好买一个本儿，然后这个作业做到旁边的话，这是这是写不下的。啊，买一个板儿，然后就专门进行去做作业。

能听懂吧，买什么板儿都都无所谓，你就买一个板儿，然后去写作业，第一个题，第二题，第三个题，你就安排往下写。呃，这次过程当中布置什么就布置什么。好了，那么这个点呢，我们就讲到这吧，好同学们行吧，下去过程当中好好进行整理，

好好复习好，那么这节课的人部分的东西啊，我们就说到这好，下节课见了啊。

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03.函数极限计算专题突破（2）-2

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