03.函数极限计算专题突破（2）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:35:32

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测试下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。呃，那么今天啊，我们就继续开始，我们三九六精宗数学的这个基础班部分内容，那么在上次过程当中啊，我们刚好其实。讲了这里面当中的第一节和这里面当中的第二节，

那么在第一节过程当中啊，我们的核心重点在讲这个函数极限的这个定义。还有这里面当中的性质，那么然后在这个第二节当中啊，我们重点讲了这个无穷小的问题，那么当然在这里面当中啊，还剩下一个知识点。那么所以说我们首先第一个事情先把上节课部分的东西啊呃，先消化一下，把这个东西啊，再复习一下，然后我们就继续开始，我们今天部分内容。好了吧，同学们，

那么接下来我们继续开始那么在上节课过程当中啊，其实讲了两个问题，一个事情叫无穷小问题，一个事情是态度公式。那么，在这里面当中，我们先看第一个问题，什么叫无穷小？对吧，学习无穷小，必须要知道什么叫无穷小，所以在这种当中你要区分开两量，一个人叫无穷小量，还有一个东西叫无穷大量。那同学们告诉我怎么进行区分的非常简单，

我们看不看这个过程呢？我们不看，我们不看这个过程，我的核心重点看什么？我只看这个结果。只要你的极限结果是零，你就是在这个趋向下的无穷小，如果你这个人的极限结果是无穷大，你就是这个趋向下的无穷大。大家注意啊，我们不看这个过程，我们只看这个人的结果好，这是第一个问题，然后第二个事情针对于无穷小这个东西啊，有一个比阶的内容。

怎么比较呢？就把这两个无穷小放在同一个极限下做比。那么，在这种当中啊，作弊会有几种情况呢？有四种情况，第一种情况就是零。对吧，如果是零上面是下面的高阶无穷小，如果是无穷大上面是下面的低阶无穷小，如果是一等价无穷小，如果不为零的数叫同阶无穷小。呃，这件事情啊，我在上课过程当中啊，

重点讲过，你发现一个高阶无穷小比上低阶无穷小是存在的吧？对吧，如果是等价的是存在的，同阶的是存在的，但是你发现一个低阶比上高阶的无穷小呢，是不存在的。所以大家注意，只有这种情况不存在，记住这种问题，第一节。比上这个高阶，这个人的极限，结果是不存在的，所以我们在考试过程当中啊，

经常会用到它把这个内容给记住。那么，接下来我们再来看第三事情等价无穷小，当然在等价无穷小公式当中啊，第一事情你必须要背过呀！对吧，你背过这个公式是做所有问题的一个基础，而且在我们的考研过程当中啊，这个内容比较重要。所以首先第一个事情，你就必须要记住哪八个等价无穷小公式，那哪八个人呢？稍微复习一下可以吧？我把这个。等一下，

我们选好公式啊，统一复习一下好了，在这里面当中注意一下。第一个事情就是那常见的八个点。那么什么情况呢？只有当s趋向零的时候，那么六第一事情s这个人呢？你发现sins这个人。等价无穷小于多少x，然后这是阿克塞因这个人等价无穷小S，然后是tan这个人。等价无穷，阿克探知这个人等价es- 1等价ln多少，一+s都是等价无穷s。好，

这几个人，然后接下来过程当中，你发现是一减cosine这个人等价无穷多少二分之一x方好继续看。那么，在接下来过程当中啊，考的最多就是一+s阿尔法次方减一等价无穷多少阿尔法s？但这个人呢？你发现一个问题啊，就这个阿尔法。如果在考研过程当中考，他最喜欢考什么？他最喜欢考分式，也就说这个东西啊，我最喜欢考考这种根号的形式，所以你经常会发现这种情况什么一+s的阿尔法次方。

或者是开N次方，我再怎么办？减个一是不是就等价多少n分之一x？那么，在这种当中同理啊，如果是一减s，这个人呢？减个一等价无穷多少负的n分之一s好？这几个问题。所以你下去过程当中啊，好好把这个东西啊思考一下，好接下来继续再来看第二步。那么，除了这几个人之外啊，我们还有下面一个问题，

还有六个人，这六个人呢？是由这个泰勒公式推出的等价无穷小。所以在这种当中，我们来复习一下，如果s趋向零第一个人s减去s in呢，这人等价无穷，六分之s三次方。然后紧接着继续再减去t an ENT呢，等价无穷负的三分之s三次方，还有呢s减去ln。嗯，是二分之s方，所以这三个人，你把这三个人记住了之后，

然后接下来过程。arcsine这个人，他就等价无穷负的六分之x三次方，然后就是s减去多少arc这个tangent。对吧，这个阿克tangent这个人等价无穷，多少三分之s三次方，还有一个东西呢es减一减s等价无穷，二分之s次方。好，这些人一定要把它记住，这是我们最基础的一个内容，这八个人要被攻，这六个人也要被攻。对吧，

这是我们的基础，当然在这里面当中啊，还有更多你，比如说还有一些小细节问题，比如说我们来看看下面一个事情。如果在这里面当中，你看看这里面当中的第一个人，如果s趋向零，你看这个人，你像a的s- 1这个人等价多少？x倍的lna吧。好，接下来继续，还有这里面当中的lin cosine等价多少呢？它就等价无穷，

小于这个函数减一，然后就等价无穷，小负的二分之x方，还有这里面当中的第三个人。就是一减cos in，它是等价无穷二分之s方，但是如果给你开个N次方就等价多少n分之一倍的二分之s方。这几个人的水平点呢，就会更高一点好了，刚才这些知识点呢，都在脑子里面，请给我回复个一啊。我看同学们的消化情况，这些知识点有没有都记到脑子里面，这是个最基础内容，

就是你学习这个问题啊，首先第一件事儿。我先不谈，你会不会用？我先说的一个问题点就是你有没有把这个知识点给记住？这是你的复习态度问题好，这是第一个点，继续了再来看下面的问题，但是你光记住你就会做题吗？那未必，这里面当中啊，有重点的原则，第一事情乘除法可用。对吧，我们在乘除法当中肯定是可以使用等价无效代换的，

但是加减法呢？加减法是慎用。必须要保证前后之比的极限，不是负一。只有保证前后之比的极限不是负一，它才能用。所以说这个要求非常的重要，凡是你使用这个东西啊，你就进行去检验就行好了，那么接下来再看第三个点，它可以推广使用。那么最后一个事情接的问题。那么，请同学们告诉我，无穷小的阶是怎么定义的？

你可以这样判定，如果在趋向零的时候，这个函数等价无穷，小为a倍的sk次方请你告诉我这人是几节？这是k解啊。k减我记得前段时间的话，我这个有一个这个睡前系列的课程，对吧？很多同学去听说老师这个不对呀。比如说有一个题的话，你发现它等价是二分之一x方，你告诉我是二解还是二分之一解？哪个减当然是二减，我看的是次方数，不是看的系数。

你不要盯着那个系数看，我要看的是次方数，这个东西很重要。好了，那么接下来我们继续看，如果是不同阶相加减，不同阶之间的相加减，我可以考什么和取低阶原则？哎，何去理解我记得上节课的这个作业题当中啊，有几个题我可以把这个题啊给你进行去重点讲一下，然后我们开始新的内容啊。把这个作业题啊。我刚才在上课之前呢，我看有些同学说这个上次课程的这个作业。

觉得难，是不是？啊，这个题还好吧，对吧，也不说难到什么程度啊？好了，我们来看看这里面当中啊，第一个事情。第几个题啊？第五题什么？好了，那么接下来我们来看看这里面当中啊，前面这几个人啊，前面几个题啊，

非常的重要呃，函数部分的话，我觉得这个第一题倒还好。对吧，第一个题。呃，后面的过程当中啊，我们三九六同学一开始我可以把这个作业给你们讲讲啊，这个没有任何问题，因为我们的时间是够的。你要是放到这个数一数二数三呢？呃，这就没有时间讲了，只能放到这个督学班讲，因为他们那个课时量比较大一点啊，

基本上一年下来得三。300多个小时课程其实非常量非常大了好了，那么接下来我们看看这个题。你比如说这里面当中的第一个题还好吧？第一个题啊。你首先你要得到这个复合函数，把这人解出来就行，这个人定义域就出来了啊，这个不难，然后第二题的话，我在零基础提前学过程当中是不是讲过这个题啊？没有问题的，那么接下来过程当中啊，我来给你讲一下这个第三题，第三题要掌握住经验，

你只要有经验了，这题什么都好说。好了，那么接下来我们来看看这个题。那么，这个题当中啊，首先第一个事情。他说这两东西相乘是一个什么函数？然后这个人的接触是什么？那这里面当中核心考点考了几个事情呢？我把这个内容我给你做一个重点的复习。那么，首先看看第一个人，这是什么函数？这个函数非常经典啊，

就是在这种当中，我们来看看一个事情，我们原来重点讲过，如果是一个函数。再加上一个f负s，这个人其实就是个偶函数。对吧，如果你发现一个事情是一个fs，再减去一个f负s呢，这个人其实是个奇函数。所以这是这个问题，因此你看一个函数减去一个负s，这是个奇函数，哎，这个人是个奇函数。

第二事情又考了一个核心知识点。考了一个谁呢？就考了一个这个函数fs等于多少ln，然后是一加啊，这个s加上。根号下一+x^2我零基础提前学讲过这个题吧？对吧，我讲过这个人，我说这个人在考研过程当中啊，特别喜欢考，而且这个人具有三个非常优良的特性。那么，首先看第一个事情，你发现这个函数是一个经典的奇函数，大家注意啊，

如果你忘了，你就进行去看零基础提前学。然后第一节课第一节课讲的第一个例题，你自己去看啊，如果这个东西忘了，这很可怕啊，这门叫以前过程当中啊，很多知识点你都给忘了。好，这是第一个事情，第二个事情，这人导函数是谁啊？导函数就是这个人分之一。第三个事情，如果s趋向零的时候，

这个人就是个无穷小，你思考一下，你看这个人是不是无穷小？这是一+s^2。你看这个人这是零，这就是1 ln 1就是零，就是个无穷小。那么，怎么操作？这人等价多少呢？来分析一下。这里面当中，这是ln x加上多少根号下一+x^2。当s如果趋向零的时候，这人是一。

l一个函数趋向于一，回答我是不是立即等价无穷，小于这个函数再减一呀？好，这是这个事情，那么同学们告诉我，这是几阶无穷小一阶吧，这个人是几阶无穷小，这个人就等价无穷小于二分之s方。虽然不能等价，但是我稍微的等价下看一下接。那这个时候你发现它就等价，这个人是二阶，那么一阶和二阶何取d阶呢？取一阶，

所以等价乘s。把这要记住。所以说这个函数具有三个优良特性，第一个优良特性是个奇函数，第二优良特性是这个人导函数等于这个人分之一。第三个事情趋向于零的时候，它是等价无穷，小于s的。所以说这个题就结束了，你再来看看后面这个人。哎，如果这个题当中，我们再来看看e的s-e的负s呢？两e做差就可以提出，后者把后面提出来。

然后就变成了1e到2s再减一好，我们来看看第一个事情1e的零是一非零因子可淡化，然后这人等价无穷2s。所以就是它。那这人就出来了，首先我们看第一个事情，第一任是奇函数，这人是奇函数，奇函数乘上奇函数是什么函数，偶函数a和c不选。然后接下来再看第二事情，这个第一个人等价无穷，2s第二个人等价无穷s，这是二倍的s方，所以说你发现跟这个s方什么无穷小。

是同阶无穷小，所以说这题正确答案选几选d？其实这个题。你要水平点高一点吧，一分钟就结束了。就一分钟就结束了，首先第一个事情演一丑奇函数，奇函数，奇函数，乘奇函数，偶函数。第二事情，这个人提出，后者找到等价，这个人直接等价无穷。

小S记住的，所以说这个题就结束了。难度系数不大吧哎，所以说这个还是一些基本功的问题啊，你把这个东西啊，好好整理整理，但是我觉得平时的作业吧。都没有关系，平时的作业的主要目的啊，就是提高你的。你只要有提高就行好了，那么接下来我们再来看看下面这个题。诶，你再盯着这个题看。这个题啊，

在我们往年真题当中啊，是出现过其中的一个部分的。好了，我们先来看看第一个事情，如果在这里面当中，你把这个函数记作成x-x三次方。然后你把下面一个函数记作成hs，它等于多少呢？它是ln1-s比上个一+s的话。好，我们先看第一个人，第一人是什么函数？这是个奇函数吧，这是个奇函数吧，奇函数减奇函数是不是奇函数？

当然，如果你看不出来的时候，你就t一个负s，那就是负s加上个x三次方，那就等于多少？负的gs。所以说这里面当中的第一个人呢，他就是个奇函数。没有问题吧，哎，把第一个人清除了，这个人是个奇函数。好，再看第二事件，那这个人什么函数呢？

这个函数你可以写成这样，它就写成了ln1-s。再减去ln多少呢？一+s。是不是写成这样写成这样了之后，你发现如果这是fs的话，这就是f负s。一个fs和f负s相减，那这人呢？也是个奇函数。那所以说两个奇函数相乘呢，两个奇函数相乘就是偶函数，所以在这种当中a选项和c选项都不选。对吧，这个人也不选好，

这是这个问题，那么接下来我们继续，你再来看当s趋向零的时候，你明显会发现这是一阶，这是三阶和。河曲DJ是它。没问题吧？何取缔结，然后我们再来看看这个人能不能等价先等价先等价试一下？对吧，虽然是加减法，但是先等价试一下，第一个等价是负s，第二个等价是s，请问同学们？

中间用加法，两者之比的极限是负一吗？不是的，不是负一就可以等价，等价乘它。大家注意啊，满足要求的。能理解吧，满足要求，所以在这种当中，你发现前后之比的极限不是负一就可以等价。所以在这个题当中，你发现第一人等价s，第二人等价负2s，所以说就是负2s方几阶无穷小。

两阶无穷小，所以说跟平方是什么？同阶无穷小答案选d。所以你看这个题考给我们怎么样？如果你熟练的话，熟练的掌握住了奇偶性。熟练的掌握住了这里面当中的这个等价无穷小带宽，你做这个题啊，不说三分钟了，两分钟就出来了，有可能一分钟就出来了。好，这是这个题。呃，那么接下来我们再来看看下面一个题，

这个题啊嗯。我看了一下，一个同学问的这个事儿。可能这个题啊嗯，我在出的时候有一个信息点没有出好，你就不要管了，可以吗？哎，你就不要管了。你把这个题做出来就行，因为这里面当中说这个人是什么单调递增的奇函数，这个人什么单调递减的偶函数。有些同学就问了。单调递减的偶函数长什么样子啊？我一直单调递减，

我怎么关于y轴对称好，你就不要管这个事儿了，可以吧？哎，不要管这个事了，你把这个题做出来就行。理解这个知识点就行好了，那么接下来我们先来看看这里面当中的第一个问题。哎，先看奇偶性。可以吧。先看奇偶性那么，首先第一个事情，我们来看看这个人是什么函数？对吧，

这个人是奇函数还是偶函数非常简单。哎，非常简单，要看这个人是奇函数还是偶函数，你就给他塞一个符号进去。我讲过这事情吧，只要判断奇偶性，就是塞一个符号进去。塞一个负号进去，你发现这个人是个偶函数，偶函数雷打不动就是不变，所以说这个人是个偶函数。听懂了吗？好，我们再看第二事情，

那再来看看gfx什么函数，那么在这种当中，你继续扔一个负s进去。这个人是个奇函数。奇函数的话，你会发现它就等于负的fs。那负的fs，但是j是什么函数？j是个偶函数，那个负号又没有了，所以说整体就没有负号，就是个偶函数。那都是偶函数，所以说这个人就错了，对吧？

然后这个人也错了，都是偶函数，那么接下来我们再来看第二事情，它的单调性。单调性更简单，你来看看这个事情，你在这里面当中，我们先判断谁的单调性，我先判断这个人单调性可以吧？其实你发现你在呃高中就学过，这叫什么呢？这叫同增异减吧？哎，同增异减好了，这里面当中我们先看看吧。

好，我们来试一下这个事情。你发现如果在这里面当中，你取个x1比s2小。可以吧，那这个时候你发现j这个人是个减函数，那减函数的话，这个人就比他大。我比你大。然后接下来我们再看f这个是什么函数f函，这个函数是增函数，那增函数里面越大就越大，所以说这个时候你发现。这个结果就怎么办？这个结果就比这个人大。

那因此就得到情况，什么情况你比我小，但是你的函数比我大，所以说这个函数什么函数这个函数是个减函数正确答案，选择a选项这个结果。那这你就不对了。好了，那么在这里面当中，我们再来看，如果这是j fs呢？那gfs的话，你继续取，如果这是s1比s2小f，这个函数什么函数f这个函数是增函数。你比我小，

你的函数就比我小。你的函数比我小，这个时候你发现这个人又是个什么函数，又是个增函数。对吧哎，这个人是个减函数，你比我小，那你的函数值呢？函数值就比我大。所以在这里面当中，我就立即得到了这个情况。没问题吧？那这时候我们再来看你，发现你比我小，但是你的函数比我大，

单调递什么还是单调递减？真也不对。所以我们就可以把这种东西啊，稍微的进行去整理一下，非常非常简单，你看这是f这是js。如果这个人单调递增，这个人也单调递增，那这个函数是什么情况理解啊？你看如果s1比s2小。函数的这个这个方向有没有改变？没有改变，你又是单调递增的，没有改变，所以说我就单调递增。

那如果你是单调递增，我是单调递减的。那我们再来看，如果这个人比他大，他就切一下变小，然后这个是单调递增不切。切了一下吧，切了一下，它就变成碱了。如果你是负，你是负呢？你单调递减s1比s2大切一下，然后这个人又单调递再切一下就没有动，还是单调递增？我不知道同学们有没有理解，

所以你在高中的过程当中，你们老师有可能讲过。说什么情况呢？这是增，这是增增。这是增，这是减减。这是减，这是减，增叫做同增异减，但没有必要，你把这个事情不用背了，不用背了，不用背。不要背啊，

当然对于三九六同学，你可以把这个东西啊当做经验，记住就行。好，这题不难吧，我们就讲到这。所以你看呃，上次的这个作业啊。你要说它难，你说难在哪儿啊？还有哪个题难？还有哪个题需要我讲一下呢？没有的话，我就继续了，我不可能说把所有题讲一下，

如果你问的这个题非常没有水平，我就不讲了。好，14题是吧？12题12题比较简单，对吧？说实话，这个12题出的这个点呢，非常像我们的考研真题啊。有点像，来我们来看看这个题。看这个。那么，趋向零的时候，这个无穷小最低阶的是那么首先第一个事情，

你发现这个人等价多少？前面是二分之s方，这是s，这就是三阶无穷小。好了，我们继续，我们再来看第二个人，那第二个人的话，你发现这个b选项。b选项这个东西是根号下，然后一加上了，这是负x+x三次方开平方减一。那这就是框吧，一加上框的阿尔法次方减一等价无穷小于阿尔法框。没问题吧，

一阶和三阶合取，低阶取一阶，所以说这人是一阶无穷小。好，这是这个人，那么接下来我们再来看看c选项。那c选项这个人的话，我们再来瞅一下，你看这两者东西啊，是作比的。我们首先看第一个事情es- 1，这个人肯定等价无穷s。把后面这个东西怎么写呢？把后面这个东西写成这样。对吧，

写成这样，那么写成这样了之后，我也不知道能不能等价，能不能等价，你先等价试下，你第一个等价是它。d2等价是负s，所以说就是x+s。那同学们想中间用加法，两者作比的极限是负一吗？不是的，它就可以等价。所以这里面当中第一个人等价，它第二个人等价，它这就是2x方，

这是几阶，这是二阶跟得上吗？同学们。那么，接下来我们就继续，我们再来看第三个人。录音一个函数趋向一立即等价无效，这个函数减一等价无效负的二分之x方，所以说这人是个二减。那么，接下来我们再来看看最后一个人，那最后一个人就等价多少呢？上面是六分之s三次方，这是s平方就是六分之一s。所以说这人是几节一节。

嗯，这个题多敲了一个x，你把它改一下，这题多敲了s，这是s的一次方。把它改一下，这是s的一次方。如果这是一次方的话，你发现它这是s这就是六分之一s的平方，那最低阶谁最低阶就是b选项。好了，这个题啊，听明白了给我回复一啊，难度系数不大啊，就是基本的等价无穷小替换问题。

一定要把等价无穷小替换公式啊，把它给我记熟了。你发现这里面当中的这个b选项，它不就考了一个什么一加上s再减一等加不去二分之一s这个人吗？把这人要记清楚好了，我们再来看看最后一个人。说实话吧，第14题是非常简单的一个题，就这个题，你只不过被这个题给骗了。我在这里面当中写了个四星级。啊，其实这个题啊，说实话不难哦。啊13题我不讲了。

好了，那么接下来我们再来看看这个题。哎，把这题操作一下。13题要讲吗？你不能说我以后上这个正课的部分内容全讲作业了啊。那讲一下吧啊。你这个13题没做出来呀？我就觉得。啊，第一题不可能讲了啊，好了吧啊，我挑着讲就行。那么这个题啊。嗯，

我觉得你没做出来吧？你得稍微的反省一下。啊，你得反省一下，因为这个题你发现我在前面过程当中是不是有讲过一个题啊，我专门把11题讲了。我把11题这个题讲了之后的话，我就希望同学们能独立自主的把这个题做出来。那么，接下来我们来看看这个事情。嗯，好了，这是这个点有啥印刷错误呀？哦，好了，

那么接下来我们来看看这个事情来解吧。首先第一个点。你发现看这是s趋向一吧，你喜欢吗？我不喜欢，我不喜欢趋向一，我就在这里面当中，另什么情况x- 1=t？令这个s- 1=t的时候，你发现这里面当中的a选项，它就立即变成多少ln 1+t。然后这个b选项就变成多少，你再来看，这是开上个三次方。然后是一减去，

然后这是多少？这个部分是根号下，这是s就等于一+t。那么，接下来我们再来看看下面一个问题。啊，计时做题有点紧张吗？别别别这样啊，好了再来看看c选项c选项这个东西就变成了一亿倍的，这是多少？变成这个t+1，我再减去一，然后这个d选项就变成多少就变成了t+1。的t+1次方再来减一。好了，

我们再来看看最后一个点。诶e选项e选项这个东西啊，就变成什么？那这个人那我把他去掉。怎么怎么老老这样呢？怎么？这个就没有办法了，你说没有加这个东西，你又想加个十，你加个十，你又觉得做题紧张。好了，我们来再来看看最后一个人，那这人是多少呢？is+1，

然后再来x- 1。你就把这人当做成t，你看s就等于t+1，这就是t+2，然后这是t，所以它就变成了t+2，再乘上t。啊，就写成这样，那么接下来过程当中啊，我们就可以处理了，好先看看第一个人，第一人直接等价无穷小t，那这人是几级？理解好再看第二个人，

那第二个人的话，这个题稍微的你要稍微的注意一点点。你看这里面当中啊，我可以给这个人先等一下吧。对吧，给这个人先等价，所以在这里面当中，它就是负的多少根号，下一+t再减一。所以在这种当中就等价多少负的二分之一t。对吧，这是负的二分之一t，然后开上三次方，所以说其实就是负的二分之一t开三次方。开奇数次方里面可以是负的，

所以这里是几减，这里是三分之一减。我只看次方数，然后这个人的话，你发现可以提出个e变成了e的t- 1等价无穷小e乘上t。那所以在这种当中，你发现它是几阶一阶，因为现在这个t是趋向零的嘛。好，再来看看下面这个人，那么下面这个人呢？可能稍微的会难一点点，哎，要注意一点，那么在这里面当中，

你看我见到什么函数？幂指函数是不是立即幂值转换就变成了t+1 ln多少呢？一+t再来减一。好，继续等一下。当这个t趋向零的时候，这是1 ln 1，这个人是零，所以说这就是框，立即等价无穷，小多少立即等价无穷，小于这个人。好继续，这是一吧，所以说非磷因子淡化就是它，

因此这个人几届一届好，我们再来看最后一个人。那这人是几呢？这人是二非零因子，可以淡化，所以这人也是一级，那正确答案选几就选b。这个题你发现非常非常好。我就觉得你发现对于我们三九六同学操作这种问题啊，这非常好的一个题。你这个题当中把每个点基基本点不就都考了吗？好了，这13题我们再来看，14题14题啊，是一道非常简单的一个题。

你就是被他给吓住了。好，我们来看看这个题目来解。那么这个题说什么呢？他说，在趋向于一的时候，这两者之间互为等价无穷小。两者之间，互为等价无穷。小说明什么事情，说明在这个趋向下，把两者作比的极限结果事情。把这个人和这个人做个比呃，一+s。平方一直加到多少s的k- 1次方，

它等于减一。两者作比的极限是一啊，有些同学可能受到刚才那个题的影响，就说我令s- 1=t不好做。你一换的时候，这一坨就非常恶心了。所以接下来过程当中，我们稍微整理一下。在这里面当中是x趋向多少一把这个整理一下，这就是x- 1，然后是是一+x加上平方。一直加到s的k- 1次方。然后这个时候你发现就是一+s加上平方，一直加到多少sk- 1次方再来减k。好，

接下来继续啊，这题就非常像我们去年那种考题的那种样子啊，是很有那种感觉，就死箭活箭的。好了，看看这个题。那么这个时候你发现这是一这是一这是一这是一那这多少个一啊，这是k个一那k个一的话，这个人就是非零因子。非磷因子可以淡化。所以这个结果的话，就立即变成这个样子，就是一+s加上平方，然后咔咔咔一直加到sk- 1次方减k。比上s- 1。

好，做成这样了，那做成这样了之后，你告诉我个事情，这题怎么处理啊？怎么比较简单？这是零吧，上面是k-k，这是不是零零比零型未定式，而且非常好，求导你就在这里，那怎么办？落个bw就行。一落下面没了，然后上面呢？

上面这人就是邱导师，一+2s一直加到多少加到k- 1倍的s的k减。二次方那这个时候的话，它的结果就是k分之一，然后这个时候呢，代进去一。二一直加到多少加到k- 1。好，这个结果那么所以说这个题就出来了。对吧，前这个k- 1相和首项加末项是k乘以项数是k- 1÷2。首项加上末项乘以项数，除以二没有问题吧，它就等于二分之k减一，它就等于一，

所以说这个k等于几k就等于三。本题结束啊，你看这个题多好的一个题。难又不难。对吧，也不是说那么的容易，三两下把它做出来，所以我觉得对于三九六同学，你们在做题的过程当中一定要感觉出来这个事情。不是说每个题都一下两下就出来的，稳稳当当的做对吧？平时过程当中超时的是没有问题的，因为你才是第一个阶段嘛。后面还有第二个阶段，第三个阶段呢？

好这题啊，我就讲到这儿行吧，掌握清楚给我回复一吧。好了，这个点呢，我们就不重点讲了，那么接下来我们就正式开始看今天部分内容好，我们来看看今天的核心知识点。那么，在上节课过程当中啊，其实你发现我们重点复习到哪了？我们重点其实复习到了这里面当中的啊，这个泰勒公式那么在泰勒公式当中啊，第一个事情你得把八个泰勒公式记住。好同学们都记住的同学，

请给我回复二。记住了没有哎，每个阶段一定要铺垫好，对吧？这个公式是一定要把它记住的。然后第二事情，这是个等价无效公式，第三个事情展开原则的问题，展开原则有几个呢？有两个第一个事情叫相交不为零原则，第二事情叫上下同接原则啊，这个原则非常重要。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面的问题。

嗯，你问的这个问题吧，刚才我说过这句话啊。啊，上课听课的时候啊，注意力集中一点啊，你问的这个问题，我刚才说过这个事儿。说这个你就不要管这个问题了，你就把这个东西啊，好好做一做啊。可能这个这是我出题的一点一点问题啊。好吧啊，好了，那么接下来我们来看看一点一八这个题。

呃，这个题啊，算一道拔高题。哎，这个题啊，算一道拔高题，哎，有点拔高色彩，你好好听。可能这个题的难度系数啊，有点超过了我们考研过程当中的难度系数。但是为为什么我依然把这个题啊放在这儿呢？就是希望同学们进行去培养一下这个做题的感觉。如果你会了这种思维方式，也非常简单，

好了，我们首先看一看第一个事情，拿到极限先定型吧，你定一下呗。你发现这人是零，这也是零零ling也是零，所以说这个题就是个零比零型的未定式。那零比零型未定式，你发现这个人就等价无穷，小四次方。这个人就等价无穷，二分之一s方好了，同学们都能看明白吧？所以在这个题当中，第一件事情，

我们就把这个二分之一抛出去了，因此这个题的极限结果就变成了这样，下面是s平方。上面是x-ln多少呢？一+tangent x。我们就写成这样了。那么，在这里面当中，我们就继续看。直接操作呗，那然后怎么做呢？当s趋向零的时候，你发现继续s趋向零，这是平方。那这时候你琢磨一下，

因为趋向0t an ENT是不是等价无穷s啊？既然等价无穷s了之后的话，你发现就变成这样。所以说在这个题当中就变成了limits趋向零，那六个等价无效公式能记住吧？它就是二分之一s方，所以说等于四分之一，对不对？对不对？你注意，原本我应该把这题出成选择题。但是我为什么没有出呢？对不对？答案对了，过程错了。

大家注意啊，这个过程呢，就错完了。但是有一个好处呢，就什么情况呢？这个答案做对了。所以像这种题对我们三九六同学在考试过程当中啊，是非常幸运的，就是无论你做的好还是做的差。你最后都做对了，你这样的话，你发现一个事情怎么进行选拔，优秀的人才呀。所以我就很不喜欢这种。我以前过程当中，

我经常跟同学们讲，我从来不喜欢条条大路通罗马，什么a选项到b啊a到b。你这样可以过去，这样可以过去，这样可以过去，这样这样都可以过去，我不喜欢，我喜欢的是什么？我喜欢把所有路给我堵死，只能这条路通罗马。你不走这条路线，这个题一定做错，那么接下来我们来看看这个事情，这个题到底对不对呢？

这个过程呢？就错完了。原因点在何处呢？你是不是在这里面当中给这个人等价了？你这个人等价的话，你发现这两东西之间是加减法呀。你要想用等价，必须得保证前后之比的极限，不是负一吧，你来把这两个人进行去做个比，求个极限，你来试一下。就求这个极限，所以在这种当中当x趋向零的时候，上面是x，

这是负的。当x趋向零这个人t an ENT就是0 ln 1加框，立即等价无穷框，这就是负一。你看吧，前后之比的极限就是负一，既然前后之比的极限是负一，你这个人能等价吗？当然不行。绝对不行，一等价这个题就废了。所以说这个题啊，绝对不能这么办，那这个题到底怎么做呢？好，

我们继续来看。好这题啊，我们就继续来操作。好，我们再看，但是你发现一个事情，我在刚才过程当中啊，做的第一步有没有问题啊？第一步，当然没有问题啊，第一步是s趋向零，这是二分之一，然后你发现这是s方，然后是s减去多少了，ln一加上tangent。

哎，这一步当然没有问题。那同学们都养成了一个习惯，如果在做极限的过程当中等价无穷，小公式不好用，泰勒公式将是首选。所以在这里面当中，我可以怎么办？我就可以把这个东西进行展开。有没有问题？没问题吧？套哪个公式呢？套这个人s趋向0 ln 1+s。那这人人的公式就是is减去二分之s，方加上平方高阶无穷小，

因为展到二阶就行。所以把这个人进行推广，就是框趋向零ln一，加上框，它其实就等于框减去二分之一，这个框的平方。再加上框的平方的高级无穷小。是不是做成这样？所以在这里面当中，我们就可以处理了，那这是二分之一，那这是limits趋向零，你就直接展，这是平方x再减去多少？好处理一下，

那这人就可以写了，就可以写成tangent减去二分之一tangent的方，然后再加上。潘正体方的高阶无穷小。呃，这里面当中啊，有个小细节，我来问你个事情，就这一点当中写的这个tan方的高阶无穷，小跟平方的高阶无穷小一样不一样。大家思考一下，一样不一样。一样的，为什么一样呢？你想嘛，

因为这里面当中的这两项是不是在趋向于零的时候是等价的？两者之间是等价，什么意思？两者之间等价的意思就是我们俩往零跑的速度是一样的。我俩的快慢程度是一样的。你两个快慢程度是一样，我比你跑的快，是比你跑的快。那当然呐，你俩跑的一样快，比如说我跟苏炳添跑的一样快，结果有一天你比我跑的快，是不是比他跑的快？当然是这样啊，所以在这里面当中，

你要注意这两东西啊，如果里面是等价的高阶无穷，小的结果是一样的。所以在这种当中啊，你发现它的结果就是这样。哎，这俩东西是一样，那么因此在这种当中，我们就可以把它写开了，那就是is趋向零，然后这是平方is减去这个什么tangent。然后加上二分之一tan的平方再减高，这无穷小跟加一样不一样一样的。那么，接下来就可以操作了，

稍微延伸漂一下吧，你发现x-tangent是几阶无穷小啊？是三阶无穷小吧，这个人呢？如果等价是等价无穷小二分之s方是二阶，这个人呢？你发现他就是比二阶高。所以在这种当中的问题点就非常简单了。三阶，二阶比二阶高，何取d阶？取多少？何取d阶？取上二分之s方。所以说这个结果立即出来了，

你发现这个一比呢，二分之一就是四分之一。那么，同学们能看清楚吗？因为你发现这个东西可以继续等价吗？等价无穷，二分之x方一除就出来了。好，这就是我们在这里面当中操作的第一种方法。你怎么操作的？我们就在这里面当中啊，使用泰勒展开的方式来做。对吧，它来展开。好了，

那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题。哎，这是第一个点。那这个题还有没有方法？好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。继续看方法二。呃，好好听课对吧？不要你，你突然间想的一个东西，你就在那儿，我在讲这个题呢。

嗯，可以取对数，也可以取对数，做好了没有关系啊，就是你把这个事情掌握清楚就行。好了，那么接下来我们继续，我们再来看哦，你在说这个题是吧？哎呀，不好意思，我有点儿误解你了。要不这样，你下课的过程当中啊，去私信一下考研，

一笑而过，领一份必胜套装好吧好，这是这个。那么，接下来我们就继续，我们再来看哪个少打一个平方。哪里啊？好了，那么接下来我们就继续，我们再来看下面一个问题。你看这个点呢，刚才过程当中讲的第一个事情，如果这里面当中等价无穷，小能用吗？用不了等价无穷，

小用不了泰勒展开式首选。对吧，泰勒展开是首选啊，刚才有个同学说洛必达你试一下，你不要干，光说对吧，你试一下这个题，洛必达好不好做？好了，那么接下来我们来操作一下，下面一个问题怎么去处理呢？只是二分之一，然后这是x趋向零，你继续抽。大家都知道一个事情，

我看到这里面当中是l1加上框吧。对吧，我们立即会想到这样的一个等价无穷小公式，就是is减去ln一，加上s不就等价无穷二分之x方吗？那如果是框去向零的时候，这个框减去多少呢？ln一加框就等价无穷二分之一框的平方。所以在这里面当中，马上就会想到一个事情。如果是l 1+tangent t，你希望被谁减啊？就jdm当中是lone加上这个框，你希望被谁减？是不是被这个框减啊？

你希望被他减，你就加一个，然后在这里面当中减一个不就行了。好了，这个点呢，立即出来了，好，那么接下来我们就继续，请问同学们这个人的接触是多少？看一个人的接触，可以找等价吗？如果这个人等价就是二分之一，这个人的平方。二分之一这个人的平方其实就是二分之一s的平方。所以说这个人其实是个二姐。

然后这个部分是个几节呢？这个部分是三节。根据我们一个原则，合取第一节原则的时候，你发现这个结果就立即变成什么tangent，减去ln 1，加上tangent。b上平方是不是做成这样了？你做成这样了之后的话，这个事情就变成了二分之一tan的平方。因为框减去l一加框就是二分之一，它的平方，然后等价无穷，二分之x方，两者一除。

四分之一好，这题是不是出来了？你看这两种操作性的方式啊，都非常的精辟。水平点极高，但是这个题啊，对于我们三九六同学而言，我相信这是今年的一道拔高题，所以我在前面过程当中专门给你写了这个事情。它可能超过了我们在考研过程当中的一个要求，但是这些基本点的话，你发现听起来也不累。所以我就觉得同学们，你最好把这个能力啊拉到这儿，能听懂我的意思吗？

虽然你发现是道拔高题，但是我就觉得呃，在我们原有的这个基础上，听起来没有那么累，把它衔接上。好了，这个题啊，我们就讲到这儿，记住这种问题哎，这个经验还是非常重要的。对吧，有这个经验好了，这个题啊，我们就讲到这儿，那么接下来我们就继续吧，

我们再来看看下面一个重点问题。那么，接下来我们再来看看呃，考研当中啊，在这种当中会涉及的一个核心考点，我们来试一下。哎，一个核心考点。这个考点的内容的名字叫什么呢？就是无穷小并接的问题。那么，同学们想一个事情，我在上节课过程当中啊，就讲过这个问题，一个无穷小进行确定阶的问题，

它的核心是什么？核心就是找等价。哎，就是找等价无穷小问题。我在这里面当中的核心就是来进行确定这个人等价无穷小。那么，在这里面当中，我们来看看第一个事情。在我们进行去确定等价无穷小的时候，使用的第一种手段是什么？就是利用等价无穷小的替换公式。无穷小替换公式。这是我们在这种当中啊，要会使用的第一种，要会使用等价无穷小替换公式进行找等价。

那如果在一个考题过程当中，你发现等价无穷小替换公式用不了怎么办？立即使用派的公式。泰勒公式就是首选，所以说这两板斧啊，足以让我们进行去处理，考研当中的所有的涉及这种类型问题。那就非常简单了。这当然在这里面当中第一事情利用等价无效替换公式，第二件事情用不了就t的公式。当然在这里面当中还会存在一些问题化简。对吧，化简化简，有些东西出来了。好了，

那么接下来我们来看看下面的一些考题，先看这里面当中的第一个题目啊。先看一点一九这个题。呃，你们讲义都收到了吗？我刚才下午在这个，因为我这两天在长沙，然后我刚好今天下午在公司那边儿，我刚刚想着拿两本儿，刚好回来，晚上给你们看一下呢。结果就给忘了啊。收到了吧？我觉得这个a4的大小还是挺好的。呃，

后续过程当中啊，数学我们的所有的讲义啊，有可能都会设计成这种a4的，因为这样的话，你发现那个页面比较大一点。旁边的空也比较多一点，你记这个笔记的时候啊，我相信这个空间是足够大的啊，如果把它放到那个放成那个b5啊，就会小一点啊。好了呃，那么接下来我们就继续，我们再来看看一点一九这个题来操作一下吧。那这点当中，它说趋向于零的时候，

这个人和这个人呢，是同阶无穷小。那么，同学们告诉我个事情，俩人是同街无穷小，什么意思啊？就说明这两人的接触是一样的。那这个人是几级啊？看第一个人，那这个人的阶数很明显是n阶，那就说明这个人是n阶呗，只要能确定这个人是n阶n就出来了。所以在这种当中，这个题其实敲错了，不是同阶无穷，

小是等价无穷小，如果是同阶无穷，小就不会说k，把它改一下。这人是等价无穷小。哎，不然的话就没必要进行去求这个k了。说这两者之间啊，是等价无穷小。然后这时候n出来了，这k就出来了，听懂我的意思吗？哎，是等价无穷小，把它给我改一下，

那这个时候你发现它。他跟这个人是等价无穷小，就是来确定这个人的等价无穷小，那在确定这个等价无穷小的时候，首先第一件事情先怎么办？先使用等价，无穷小替换公式呗，那这个结果就变成了这样。能不能等价先等价试一下，那这一人等价的话，第一人等价是s，第二人等价是负s嘛？这个没有问题吧，因为你思考一下嘛，当s趋向零的时候，

这个ln1+s是等价无穷s，那如果s趋向零的时候ln1-s呢？就用负s替换呗，就是它。好，这是这个人，那很明显前后之比的极限是什么？是负一，所以说等价无穷，小公式用不了。那既然等价物效公式用不了，谁是首选？泰勒展开是首选，那泰勒展开到底展到多少阶呢？我们有个原则，

叫做什么？叫做相交不为零原则，所以这里面当中啊，把这人写成一+-s。好，我们来展第一个事情的话，你发现这个人一展这人减一，再加上这个人展开。好，我们来写一写第一人展成一不行，继续写呗，写成x。那这样展开呢，就替换呗，它第一项是s就是负s。

哎，你发现这三个人约掉了吧？一约掉了s约掉了都约没了，然后我们就继续，再加上二分之一s方，那就减去。二分之一。负x平方还是x方，你看这两者一加又没了。那么，接下来我们就继续写这是三的阶乘，就是六分之s三次方。好，这个人那六分之一s三次方这个人出来之后，这个人继续写。

因为这个人的态度公式啊，我把这个写一下，慢一点基础班。只是ln一加s，它就是s减去二分之s，方减去这个是加上三分之s三次方继续下去。所以说接下来过程当中啊，它就是减去三分之一s三次方。那同学们想这人够没就够了，那够了的话，高阶无穷小写上。高阶无穷小写上，然后这里面当中的东西，我们就可以约一下，这里面当中第一个人e约掉了s约掉了，

然后这个东西呢，约掉了这两个一加呢。一加就是负六分之s，三次方高阶无穷，小加高阶无穷小，还是高阶无穷小，我加上我的高阶，立即等价无穷小于五。所以说这题就出来了，它等价的是这个人，所以说n是几三k是几负六分之一。你看这个题啊，我们就立即把它给结束掉。所以进行去确定一个人的等价无穷小，我是怎么操作的？

第一个事情能不能使用等价呀？能使用就用，用不了怎么办？泰勒展开式数学好，这是这个题。听明白了，给我回复一。啊，慢慢来，不要着急哦，对吧？好了，这是我们在这里面当中啊，介绍的第一个问题，那么接下来我们再来看看一点二二这个题。

呃，我很有感觉。像一点二这种题，完全可以促成我们今年的话当中的一道考题形式。没有任何问题，因为这个题如果改成选择题啊，就是一道非常非常漂亮的题。它在一分钟范围内就可以秒。但是不会做的同学，你发现把这个题就做的非常麻烦。好，我们来看看这个事情来解吧。那么，首先第一个点，那么在这种当中说s减去这个人呢？

和这个人是等价无穷小，所以说我们就在这里面当中啊，确定这个人的等价无穷小？很多同学是这样做的。说s-sincoss cos 2s等价多少呢？x-s in。啊，非常离谱啊，你看它说cos 0是1 cos 0是一，所以说就淡化成这样了。所以就等价无穷，小六分之x三次方同学们告诉我对不对？对还是不对？绝对不对啊。啊，

这就错完了，同学们想，虽然这个人是菲林cos in 0是一。虽然这个人是非0 cosine 0是一，你只是非零，但你不是因子啊。因此得是乘除法。有同学说，老师这是乘除法呀，这前面还有加减法呢。所以在这里面当中啊，一定不对，这里面当中就会涉及一个定式思维问题了。那你想一个事儿，如果在考研过程当中，

你见到s in和cos相相，你会立即想什么？你sine和cosine相碰，后面还是二倍角，我立即会想到二倍角公式吧，它就变成了sine二s，配上二分之一。所以说这个结果就变成了这样，这是cos二s，那么接下来我们就继续，你再看这个人，这个人又可以使用二倍角公式啊，就变成了四分之一。s in多少呢？s in 4s。

那然后在这里面当中就可以把四分之一提出去，就变成多少就变成四s减去多少呢s in四x。就写成这样了。而我们根据一个事情，如果s趋向零is减去这个s in等价无穷小六分之s三次方。如果这个框趋向零，那这个框减去这个s in框就立即等价无穷，小六分之一这个框的几次方。三次方所以在这种当中立即出来了六分之一，这个框的几次方三次方，所以这个结果啊，就变成多少？约一个六分之十六六分之十六就是三分之八，然后是x三次方，所以这里面当中的c就出来了三分之八k是几k是三？

能理解我的意思吗？所以我在考试过程当中，我就可以这样出，我说这两者之间是互为等价无穷，小的则咔咔咔出五个选项。c是多少？k是多少？c是多少？k是多少？五个选项。所以在这里面当中啊，这个题非常的重要啊，当然你不用进行去标，它非常重要。因为这本儿讲义上的每一个例题都非常重要。

对于我们三九六同学，你们要注意一个事情，我们这边儿讲义有可能比数一数二数三同学在这一年学习过程当中占有的地位更重要一点。他们可能学到最后啊，你发现这个基础讲义就会显得不是那么的重要，因为更加重要的是强化讲义。而对于我们而言，这个基础讲义就非常非常重要。因为这个基础讲义，它对我们三九六同学最终的考研试题的难度系数呢？核心考点全囊括。第二事情，它的难度系数只会比它高一点点，或者是持平，很少会遇到比我们今年考试题当中会简单的一些问题。

所以说这本儿讲义啊，你得好好进行抓。好了吧，同学们哎，这个事情我就讲到这儿，所以下去过程当中把这个核心考点好好练练。行吧，那么我们已经讲了两种方法了，那么在第一件事情当中，我们学习了无穷小量。第二件事情当中，我们学习了这个泰勒展开。那么，这两种类型问题都是帮助我们进行去处理，什么类型问题啊？

无穷大还是无穷小。处理什么问题啊？无穷大问题还是无穷小问题啊？同学们告诉我。无穷大问题还是无穷小问题？大家注意是无穷小问题。哎是无穷小，所以在学习一个内容之前呢，你必须要知道这个东西。所针对的对象吧。对吧，我的对象是无穷小问题，不是无穷大问题。好，这个点呢，

我们就讲到这，那么接下来我们再来看看下面一个非常非常重要的专题，叫做函数极限。计算的准题。很多人可能会学到一个事情呃，我上次课程当中啊，已经讲过了。我说这个部分的知识点呢，可能跟零基础提前学有一定的重合，但是我会在这件事情当中做一定的加强。所以好好听，那么接下来我们就继续，我们再来看看第三节函数极限计算。那么，在函数极限计算当中啊，

我的核心重点我就要学习一系列的函数极限计算的方法。那么，这里面当中的方法有哪些呢？首先，我们先看第一个事情，当然会有等价无穷小替换的方法呀。然后这里面当中还有第二种方法，我还有泰勒展开的方法。第三种方法，我在这里当中还有洛必达法则的方法。但是如果对比一下这三种方法，对于我们三九六同学而言，哪种方法最重要？应该是这种，还有这种。

这两种方法对我们而言呢，考试当中考的非常多。那么最后一个事情，还有四则运算。哎，四轴运转。所以像这四种方法是我们每个同学都需要把它重点掌握的。那么，首先我们先看看第一个事情，洛必达法则。那么，学习洛必达法则，一定要把这个东西啊，学精确一点。你要学好一些，

你看去年的真题就涉及了。去年那个真题啊，很多同学把它出错的原因就在这儿。啊，所以说这这里面当中第一个事情，把洛必达法则一定要学好。那么，首先我们来看看这个人的内容。那么，在洛必达法则当中啊，它的要求其实非常多。它有三个要求。第一个要求，比如说我就写s趋向s零行不行？当然可以是s趋向无穷大都行啊，

这无所谓啊，我就以这个人讲嘛。然后两者之间是做什么形式作弊的形式？好，我们来看看第一个事情，要求一这个人的第一个要求。哎，要求一。它的第一个要求就是前面这个人的极限必须是零比零或者无穷比无穷。你听懂我的意思吗？就说这个极限，它必须是零比零或者无穷比无穷，我就标到这儿。你要不然是零比零，你要不然是无穷比无穷。

只有这种情况下，我才能够使用洛必达法则来做，那么在这种当中，你落下一落的话，这个人其实就变成什么？就变成了导函数之比的极限。那么所以说学到今天啊，你要了解了。第二，要求什么？你这个函数得可导啊。你都把它导了，这个函数得可导了。这个函数当然得可导，那你回答我一个事情，

这个函数在哪一块得可导？在哪块可导，你就去想想这件事情在哪个范围内成立的？哪个范围内就是s趋向s零？什么叫做s趋向s零呢？就是往s零跑没跑到，但是又在它的附近，所以说就是去心领域对非常好。因此，在这里面当中啊，第二个要求。第二要求就是区域性，领域内的可导。对吧，你这个去心领域范围内，

你必须是可导的，就是你在这个范围内，你俩得可导，你不可导都不行。然后这里面当中的第三个事情。要想落完了之后就说导函数之比的极限必须是个数或者无穷大。你是个数，我们两者相等，你是个无穷大，我两者相等，但是同学们注意，如果这个东西是不唯一呢？这个不唯一就不行。所以说这是第三个要求。哎，

三个要求，第一要求就是零比零或者无穷比无穷，第二要求就是在这个趋向过程当中得可导。第三个要求就是落完了之后的极限是个数或者无穷大。对吧，落完了之后，这个极限结果必须是个数或者是无穷大，这才可以。好像这个点呢，我们就讲到这。呃，这里面当中啊，我可以给你讲一个例题，你可以大致的瞅一瞅啊，你可以大致看一下。

比如说这里面当中，我们来看看第一个例题。我就来出一个这个事情。你看这个极限等级。呃，你看看这个人。等于几这个极限非常简单。你发现这不就是无穷小臣有界之处无穷小同学们想，这是正确答案吗？哦，正确答案等于零，但是我们来分析一下这个事情，有一个同学来了。有一个同学，他说我这样做行不行？

它怎么处理呢？我给这个人上下同时乘个x有没有问题？啊，这个同学他这样做的，说我上下同时乘上s，然后这个时候你发现这人就是零比零。零比零型未定式吧，当然在这种当中是画蛇添足了。有人说老师这个那如果这样做不是缺心眼儿吗？那你看这都用了无穷小臣，有见识无穷小，那在这里面用一下不也行吗？好，你先别管，我就想问一个事情，

接下来这样做为什么错了？那么，在GEM当中，它怎么处理呢？我就可以给它上下同时求导洛必达了。如果一洛必达下面求导没了。上面求导呢，前导后不导。然后再加上前面不导，后面来导就是cosine分之一，中间变量再求导跟得上吗？同学们。应该没有问题啊，所以说这个结果就变成了s趋向零，然后是二s倍的sins分之一，

再减去coss分之一就变成这样。然后我们来试一下，你看这个机型。这是无穷小吧，这是有界吧无穷小陈，有界无穷小无穷小极限是零吧？那这没有问题。那么同学们，你告诉我这个极限是多少？cos在零处是什么？cos在零处是震荡的。震荡就是不唯一的。那这里面当中，你发现你是零，我是不唯一，

那这个结果就是不唯一啊，所以说我得到了这个题的结果是不唯一，对不对？大家告诉我对不对？我这个题的答案应该是零啊。怎么用了这种方法了之后这个题的结果是不唯一呢？啊，这个题跟连续和可导没有关系啊，绝对连续绝对可导，不要乱来啊。啊，为什么？因为违背了第三个条件。对吧，违背了第三个条件，

我们刚才过程当中说过这个事情，你落完了之后的这个极限必须是个数或者是什么？或者是无穷大，但是你落完了之后的这个极限是什么？不唯一说明什么情况，你洛比达法则用错了吗？没有满足这里面当中的第三个要求。你要不然是个数，你是个数哎，我成立了，你是无穷大哎，我成立了，但是你是不唯一那成立个鬼。那就不成立了，所以记住这三个事儿。

它第一个要求零比零或者无穷比无穷，它的第二要求在这个去心领域内得可导，第三个事情落完了之后的极限，结果要不是个数，要不是无穷大。必须只能满足这两个人。好，这件事儿我就讲到这儿。当然，对于洛必达法则而言，我们经常讲，如果一个考题好求导的时候用不用。当然有，这是一种很很好的方法。所以对于洛必达法则而言，

不要有偏见，对吧？可能我们在之前过程当中啊，做了很多的题。为什么不使用洛必达法则呢？就比如说举个例子，就像我们刚才做的这个一点一八这个题。那一点一八这个题为什么不使用洛必达法则？很简单，一个事情你落完了，这个事情多恶心啊，你求一下试一下你求。一落这个题就废了。所以在这里面当中，你发现一个事情，

这个人就不好求导。如果什么情况？如果函数好求导，这是首选方法。你想一下是不是？你这个函数好求导，你非常好求导，你非常好求导的话，你发现我一落这个题不就出来了。所以对这个事情不要有偏见，尤其是我们三九六同学，更不应该有偏见，我们三九六同学，而且还要很喜欢这种方法。你能听懂我的意思吗？

如果这个人好求导，这个东西就是个首选方法。我为啥不用呢？我一落多简单呀啊，这题非常容易了，就跟我们刚才讲的那个练习题这个题一样。大家想这个题做到这儿，它是个零比零型未定式。你在这里面要想什么？想等价无穷小。想开了公式，那哪有这个洛必达落下简单？一落一丘道就出来了。所以在这里面当中啊，第一事情一定要注意啊，

就是如果这个函数好求导，这就是个首选方法。我就首选它。我就不去想别的了，好这个问题点我们就讲到这儿，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面的问题，小课堂。呃，在这里面当中啊，我们原来在零基础提前学过程当中啊，讲了这个重点的一个经验性结论。这个经验性结论呢，我希望同学们一定要记住。就是如果x趋向无穷大的时候。

在x这个人呢？s这个人趋向于正无穷的时候。loring很大。幂函数很大。指数函数很大。而且x的x次方也很大。这几个人之间有一个更大的一个大小关系，就是这里面当中你发现对数函数远远比这个幂函数小。远远比这个指数函数小，远远比这个人小。听清楚我的问题了吧，对，这就是个阶层问题，但是一定要想清楚啊，这是个无穷小问题，

还是无穷大问题？无穷大问题，无穷大问题不是无穷小问题，无穷大。下面比上面大得多，那这个结果就是零。上面比下面大得多，这个结果就是无穷大。上面两个人大小差不多哎，那这个结果的话，你发现就是一个什么未定式了。所以在这种当中，我们来看看第一个事情，一定要记住，它就是当趋向于正无穷的时候，

这个对数函数远远的比这个幂函数小。远远的比这个指数函数小，远远的比这个什么幂指函数小。能记清楚吧，哎，把这几个人给我记住。好，我相信这个知识点，因为是重复的，所以说我就过去了，如果你一点都不知道证明零基础提前学没有学，建议去把它补上。好了，我们先来看看这里面当中的第一个问题来直接秒当s趋向无穷大幂函数，这是无穷大。

对数函数，这也是无穷大。无穷大比无穷大的未定式，但是我们都知道这个幂函数远远的大于对数函数，所以说这个结果是零。好了，那么接下来我们再看下面一个事情，当s趋向正无穷的时候，幂函数非常大。指数函数呢，你都知道这个es啊，这个人在正无穷是正无穷，指数函数也非常大。你很大，我也很大，

但是我们都知道这个指数函数远远的比这个幂函数大，所以说这个结果是零。好，这是这个事情，再来看最后一个人，那最后一个人当s趋向于正无穷的时候，你发现这里面当中，我们可以用第一种方法。当s趋向正无穷的时候，这是正无穷罗音，正无穷，正无穷无穷，大比无穷，大不一定是你可以怎么办？你可以在这里面当中落个必答。

一落这个结果是多少？一落这个结果的话就是下面求导是一上面求导是这个人，所以说是这个。那么，接下来我们再来看看第二种方法。你看它的结果是零，你还有没有方法？有方法哎，有方法，那这个方法是怎么办呢？就是如果这是无穷大比无穷大的未定式。我就可以抓大头。而且对数函数里面是可以抓的。这个经验啊，没有这个经验，

你不敢用的。有这个经验，你再用没有这个经验，千万不敢用，我再说一遍无穷，大比无穷，大的未定式，能不能抓大头啊？能抓，而且我教给你一个经验，对数函数里面是可以抓大头的。你从今天之后啊，你就果断做，所以说这个题首先第一件事儿我就可以抓大头。我一抓的时候，

你发现这个人比这个人大的多，我就把这个人给抓掉了。现在下面这个人比上面大的多，这人结果是零。所以这件事情很重要哎，非常重要。看清楚这个事情了。所以如果你把这个事情会了之后，我们在这种当中给你出一个题，你确确实实可以秒了。哎，但是在之前过程当中啊，没有这些经验性结论的时候，你可千万不敢来。无穷大比无穷大，

可以抓大头。然后这个对数函数里面是可以抓的。那么，在这种当中，我们来看一个题，比如说，如果这是s趋向正无穷考过的，那这是ln多少呢？一加上es比上s。这个极限结果等级。你看考到这个东西啊，不是说特别难考，给我们三九六同学，这完全就是一个题。那么，

首先看第一个事情方法一。那方法一的话，我们先看当s趋向正无穷的时候e的正无穷是正无穷正无穷加一正无穷无穷大比无穷大的未定式。那现在是无穷大比无穷大的未定式，你可以怎么办？你可以洛必达呀。遗落的时候，下面求导没了。上位求导呢，先对中间变量求导，它分之一。中间变量再求导是多少es？这个时候我们就可以操作了，当is趋向多少呢？正无穷的时候，

这是无穷大比无穷大。那无穷大比无穷大的话，这个人比一大得多，所以说这个结果是零。这件事情能跟上吧？其实在这里面当中还有更好的方法。但是这个东西啊，你必须有了经验，你才敢这样做，这是s。无穷大比无穷大，可以抓大头。如果是对数函数一个人里面是可以抓的，指数函数比这个人大的多吧。你是无穷大，

我一抓就抓成它。所以在这种当中就变成了s趋向正无穷，只是s分之s，这就是一。哎，记住这个事情就是这个，如果是无穷大比无穷大，可以抓。然后对数函数一个人里面也可以转。所以将来过程当中，你比如说我再来写。哎例二，这是limits趋向多少正无穷。然后再看这是lns四次方加上s三次方加上二次二啊，这个什么s二次方，

然后再加上四。我写成这样，然后下面过程当中写了个x，你告诉我这个结果等于多少？你直接可以秒了你的水平点越来越高，当s趋向无穷大的时候，这是无穷大。这也是无穷大。无穷大比无穷大，可以抓大头，而在这里面当中，我们都知道一个事情，对于对数函数的理念是可以抓的。无穷大比无穷大，可以抓大头。

对数函数里面可以抓四次方比。这几个人都大，所以说就是lns的四次方。是不是这个结果哎，做成它了，然后这里面当中我们就继续看嗯。把这些改一下嘛，我改成这个改成这个就是一个非常好的题了，哎，改成这个了。因为改成s，那这个结果就是零了，所以这个结果的话，你发现当s趋向正无穷的时候，这是多少四倍的lns？

然后是ls，结果是解就是四。你看吧，将来过程当中见到这种题，你多坦荡啊。但是大家一定要进行去注意一个问题，你现在在学什么问题？你在学无穷大问题。不是无穷小问题，记住这个结论，远远大的关系，这是个趋向情况。我比你远远大，而且对数函数里面是可以抓的，这个经验很重要，

这个经验。就是说这个，我估计你原来大学过程当中啊，你肯定做过这种题。对吧，有些同学期末考试可能都考过什么s四次方加上s三次方，比如说加上一ln多少呢？二倍的s四次方加上三次方加上五。那这个结果等于多少？那这个结果的话，核心重点不就是变成多少就变成lns四次方比上ln二倍的s四次方吗？那这个结果等于几？那这个结果的话，不就变成这样，当s趋向正无穷，

这lns四次方，然后这是多少ln二加上lns四次方，你比这人大的多，不要了还是一？能理解吗？因为对数函数里面的乘法其实就是这个人的加法。哎，这个东西好，我们稍微的休息会儿啊。呃，这个同学。我怎么说你呢？嗯，你下去过程当中啊？把这个什么东西呢？

这个对数函数的特性，你给我抄上个五十遍。我跟你讲，这都不解气啊。这都不解析，这个对数函数的话，你发现只有这三个优良特性，第一个事情就是这个人的加法。它就变成了里面的乘法。我们讲嘛，如果这个人的话，你发现他的减法就变成这个人的除法。是不是这个事情，然后在这里面当中，你发现它的阿尔法次方，

这个阿尔法次方可以抽出去，这没有讲吗？啊，这是高中那种啊啊，这这你都看不明白？好了，这是这个事情，这这这个。行零基础吧，对吧？我们才开始，但是我觉得你这不是一个零基础的问题，这不是零基础的问题，这是这跟你大学过程当中学习也没有关系。这跟什么有关系呢？

这跟你这段时间的复习呀，我觉得没有可能没有投入过多的心思。你这件事儿，我们在零基础提前学是讲过的。嗯，这个人。好了，这是这个点吧好，我们稍微休息会儿可以吗？休息会儿，一会儿我们再继续呃，然后下去过程当中啊，把这个知识点上课要记的这个知识点一定要记。你不要小看那个初高中知识点，同学们想想我，

我看过以前过程当中有些同学这个听这个课程的，他一看第一节是初高中知识点衔接，他就不听了。他就觉得很简单，我就想问你个事情，今天我们就问直播间里面当中我们所有的同学，你觉得原来过程当中我的零基础提前学，如果你原来是。大学过程当中啊，零基础，就算你高中基础好，你觉得那个部分的东西真的在考研当中不重要吗？要不要听呢？当然要听。补充了好多东西。

你可千万不要把那个东西啊给漏过去了啊。好了，这是这个知识点，我们就讲到这儿行吧？好，我们稍微的休息会儿，一会儿我们再继续一会儿，下个部分内容我们来重点来讲讲极限的。四则运算法则。你可以在下课休息过程当中啊，把这个部分的内容稍微进行去回忆一下，一会儿我们就重点开始好不？同学们好，稍微休息会儿，一会儿继续吧。

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03.函数极限计算专题突破（2）-1

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