02.函数极限计算专题突破（1）-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:35:07

那么，接下来我们就继续开始吧呃，这个同学呃，你问的那个问题啊，你看我写的，我没有在前面写负号嘛？能听懂我的意思吗？我就只写了这个部分嘛，这个部分等价它如果你在前面写个负号，它就负负得正了嘛。能理解我的意思吗？我就只找了这个部分等价，不是说找这个部分等价啊，没有问题的好了，那么接下来我们来看看这个事情。

呃，刚才有些同学这个说这个图像的问题，我给你大致的瞅瞅，你看这个图像非常的有艺术感啊。稍等一下，我把这个放大一点。你看这个图像，它非常具有艺术感，来看看这个x倍的这个s in这个人图像，你看我放大一点。他最后图像就是这样，然后如果你去看看这个细节部分呢，他每次过程当中怎么办？他都打到这个s哎，你发现看。

它就是这样，所以在这里面当中，如果你把这个东西你发现，你看我把它给你撵过来，有没有发现一个事情，这个上面这条线不就在哪儿？是不是在这条线？第一股是不是等于负s？哎，他就是这个样子，所以说这个人的图形走向他就是这样，每次过人打到上面，哎，你看。当我们进行去看这个极限，

最后往哪跑的时候，你要顺着这个箭头再走。对吧，你要顺着这个线走，你看这个人，你就顺着这条线，你看它是这样这样哎。对吧，就是呃，上下来回摆，等你趋向无穷，大摆的更开好，我们再来看看第二幅图，第二幅图就是这个人。这是s分之一，

才乘上s in分之一。有同学说这个是什么鬼，这没有办法，我给你放放大一点，它就这样。因为实在是什么情况，这个这个幅度啊有点大，因为你发现你看如果放小，你就看不清了。因为什么情况，它这条线将会在负无穷到正无穷当中，因为这条线摆不开了呗。你这个计算机只能算到这儿，因为它要摆的越来越开，越来越开，

然后如果给你放大一点，你瞅一下。就这种情况，就是你如果你去相邻的话，你发现摆的越来越快，越来越快，越来越快。它摆的越来越快，停不下来的，它不是停到顶，它是一直在走走动，它就是永远打到上面，打到下面，打到上面，打到下面，

打到上面，打到下面，就是来回的摆动。听得懂我的意思吗？哎，我相信你这个水平点一定是变强的。唉，这个水平点一定变高，你将来过过程当中，只要见到那种题，立即把它秒杀。因为我眼睛一漂，这个东西就出来了，好那么接下来我们就继续来再来看。呃，

学会了吗？同学们应该没有问题哦，来再来看下面的试题，看看一点九这个题这个题啊，非常容易。首先第一件事情，我们一看这是一阶，这是个二阶，这是个三阶，根据个何取第一阶，那这人呢？就等价无穷，小S这是个一阶无穷小。好，再看下面这个人，

那这个人呢？想看这个人的接触就去找他等价。我没有做这个题啊，我其实就干嘛，我就看看。对吧，没开始做，我就看看这人等价，它这是二阶无穷小这个人呢？三阶无穷小。根据一个事情，合取第一节原则就等价无穷这个人，然后等价无穷s方。所以这个人是个二阶选最高阶，赶紧把这个人排除。

这个人就不选了，然后再看这个人l一个函数趋向于一，立即等价无效，这个函数减一等价无效负的二分之x方，这个人是个二减。如果这个人是二姐b和c都不选了。为什么呢？选最高阶单选题选b呢？证明二阶最高阶c也得选选c呢？证明二阶最高阶b选项也得选，所以这个人就不选了。再来看看下面这个人，你发现你看这人等价呢cos in 0是一非零因子淡化就等价成这个人。因此这人等价无穷s，这人是几节一节？

那既然是一阶，我这个二阶呢？很明显把这人给排掉，这人排掉正确答案只能选d。你看这个排除法多好做，对吧？虽然这个东西很明显，一个事情也不麻烦，但这里面当中啊，很快就把这个答案选出来了。好了，我们来看看这个里面当中的d选项。跟得上，我们同学们来看d选项两e做差怎么办？提出后者提一下，

一提就变成了e得多少呢？tant再减去个3e。然后再来减个一。好看看第一个事情，那第一个人的话，你发现这个问题点一的零是一吧非零，而且又是因子非零。非零因子可以淡化，然后再来看看这个部分，这个部分就是零啊一的框减一，立即等价无效框，你告诉我个事情，这个答案等于多少？这人不就是二分之一x三次方吗？你做了好几遍了，

你就把它记住，这人是几节三节，当然是最高节。好，这是一点九这个题过去了，可以吗？来继续再看下面一个题。一点一零。那这个题怎么处理呢？首先我们先瞅一下，当s趋向零的时候，很明显会发现一个事情。这个部分的东西就是零，就是框罗印一加框呢，立即等价无穷框，

然后在这里面当中，我们再看上面这个人。当x趋向零，那你发现这个s in倍的sin x。当s趋向零，这个部分是不是零？零就是框s in框零一级等价无穷框，然后这个部分等价无穷x。好，这是这个部分，再来看上面这个tangent x倍的cos in。然后这个是0 cosine 0是一两者一乘就是零，既然是零就是框，那么在这种当中tan的框立即等价无效框。而且这个cosine 0是几啊？

cosine 0是一非零，因此可以淡化，因此在这个题当中马上出来了。原式就等于当x趋向零的时候，你发现下面这人等价乘它上面两者之间是乘法x×s，这就是一。是不是出来了？非常简单，你考试过程当中出现这种问题啊，立即把它给我灭掉好，这是一点一零。我们再来看看一点一这个题。这个题刚才过程当中，我们是不是完成过我们速战速决可以吗？当x现在过程当中是趋向多少趋向无穷大。

如果趋向无穷大，你看看这个部分。我只看这个部分，当我看这个部分的时候，我就可以抓到头，这个人比这个人大的多吧，所以说这个结果是几？这就是零，那既然是零的话，你发现就是框阿克克这里框呢，立即等价无穷，小框等价无穷，小框就是2 x+1。然后这是3x方加上二，所以说这个结果就变成了limits趋向无穷大，

然后这是3x方加上二，然后这部分是二倍的x方加x。抓大头一抓是多少？三分之二，你看这个题又结束了一点一这个题。继续可以吗？再看下面的题。好，来看看这个题。这个题啊，我觉得对于咱班同学而言，这个题应该非常的简单，为什么呢？因为我们已经知道结论了。你只要碰到这个题，

你就直接灭就行了，来我们看看当s趋向零的时候。然后下面这个部分下面这个部分呢次方数里面可以先等价，就是二分之一x方的n减一次方。好，先看第一个人，这是乘法吧？这人等价多少？二分之一倍的二分之x方跟得上吗？再看第二问，前面开几次方三三分之一倍的二分之x方，然后一直乘到后面去，这多少n？n分之一倍的二分之x方就做成这样了，一旦做成这样，

接下来我们看看有多少个。这是二，这是一第一项，然后这是三从二到n是多少n减一项n减一项，刚好n减一个n减一个就约掉了，留下多少留下二分之一。三分之一乘到n分之一，不就是n的阶乘分之一吗？你看这个题，我出成一道选择题，怎么了？也非常好，这是这个题好了，这是一点一二这个题不难吧？非常简单，

只要你掌握住了这个东西的等价，只要你能掌握清楚这个东西，直接把这个题啊，就可以秒杀掉了，好，这是一点一二这个题来继续再来看看，一点一三这个题。操作一下这个题。你看这个题怎么做好，继续看，拿到极限先定型吧，好我们定一下，当s趋向零的时候，一的零是一。s in 0是零，

那这是1 ln 1呢？ln 1是零，下面也是零零比零型的未定式。那这题怎么做比较好做的？当然是分母啊，当x趋向零的时候，下面这人呢？不就是三分之一倍的二分之x次方吗？关键是上面上面怎么做，只要ln一个函数是零，里面肯定是一只有ln 1是零嘛。所以我敢睹定这里面这个部分肯定是一。绝对是一不可能有别的人，因为这个结果是零那l1一个函数趋向于一零一级等价无穷，小于什么情况等价无穷，

小于这个函数再减一。好，这是这个部分，那么在这个当中稍微把它整理一下，当x趋向零，然后这是六分之一x方。然后这是一的x方减一，加上多少s in倍的x三次方好继续操作，那么这个题当中啊，你就有两种方式了。我们来看阶，这是几阶二阶，这是几阶二阶，同阶之比是存在，这是几阶三阶高阶比低阶也是存在。

所以在这种当中的第一种方法，你就把这个东西给我拆开就行x趋向零，然后这是一的x方减一六分之x方。然后接下来过程当中就是limit x趋向零，然后这是多少sins三次方比上六分之一s平方。好，继续看看第一个人，那这个时候你看上面这人等价无穷s方吧，那s方一除这是六。然后下面这个人呢，直接看高比低呢，高比低是零本题，结果是零。你就这样瞅一瞅就出来了，高阶比低阶是零，

同阶之比是存在哎，这是这个题，当然这个题还有第二种方法。你再来抽一下，如果当x趋向零的时候，我们稍微进行漂，这个前面是二阶，后面是三阶两个不同阶无穷小相加减合取递阶就是e的x方，然后这个部分呢？再来减一，然后这是六分之s方上面等价平方，这是六这个事情是不是也行，所以说走两个方向线，这些都能出来。这是两个意识。

虽然很明显，第二种方法更简单一点，但是第一种方法，这是一种意识，把它学会了。好，这个题啊，我们就讲到这可以吗？来继续再来看看下面这个题怎么做？一点一四。呃，这个题啊，非常非常的好啊，就这个题。极其巧妙，

非常的棒，我们看这个题怎么处理？那么，在这种当中，我们先看第一个事情，当s趋向零拿到极限先定型，这是零八。然后这个里面是一吧，所以这是1ln1是零，下面这个人也是零比零型的，什么是未定式？那零比零型未定式，我们怎么操作呢？这里面当中我们来处理一下，答案是趋向零。

啊，有些同学来了，说老师，你看这是零这是一录一个函数趋向一立即等价无穷，小于这个函数减一。再减x，立即等价无效。这个函数减一，再减x。那么，同学们告诉我这件事情做的对不对？对还是不对？大家注意这件事情，当然不对呀。那有些同学就来说老师不对呀，

你刚才不就这样做的吗？刚才那样做的原因是什么？刚才做的原因是两者之间是除法关系。乘除法当然可以等价，但是你发现一个问题，现在这个部分跟后面部分还有个什么加减法呀？乘除法才行，加减法要慎用，不要在那乱来啊，不信你去尝试一下，你把这个部分和这个部分做比，你去试一下。绝对是负一。哎，绝对是负一，

所以将来过程当中是这样，如果是加减法好减烟，我就减烟了。不好检验就不要用。听懂我的意思吗？哎，不好检验就不要用，所以说这个题怎么做来看看？那如何处理呢？你看我减个x，这很讨厌啊。啊，怎么处理哎？我立即会想到对数函数的优良特性。那么，

在对数函数当中啊，你发现如果是两个对数做差，这个东西就是除法。如果是对数函数做和这东西就是加法。所以我非常的喜欢对数函数，那么在这里面当中怎么办呢？我在这里面当中进行一步操作，我把这里面当中这是sins的平方。然后再加上e的s，我把这个部分变成lne的s。然后下面这个部分变成了多少？这是is方加上e到2s，我把它写成lne到2s，极其的漂亮。这一步相当的精彩，

你能想到这一步，这是这个题当中啊，能做出来的一个主要部分。那么再来看，那如果你做成这样了，接下来我就可以怎么办？我把可以操作一下了，那这就是limits趋向零。然后这个人呢，就变成了这个人的除法sins方加上e的s÷s。然后在这种当中就是ln，然后这是x方，加上e到2s比上e到2s。你看做成这样，你如果做成这样了之后，

那么接下来我们就可以处理当x趋向零，继续把这东西除下去。如果你除下去了之后啊，这个后面一除这是一，然后前面这个部分变成了sins方，再乘上e的负s。然后后面这个东西一除呢，来一除这是一，然后就是x方再乘上e的负2s。可以处理的嘛。当s趋向零，这是零。一的零是一这个部分的结果就是零啊。那这是0e的，零是一这个部分又是零就是框，

所以ln 1加框立即等价无序小于框那一等价呢，只是sin x方再乘上e的负x。这个呢，是x方再乘上e的负2x。那么上面这个部分又可以等价无穷，小于x方，这个人等价无穷x方约掉一约呢，这样东西再约。同底数幂相除，指数相减，变成这个人一的零十一出来了。所以在这个题当中，我觉得最重要的一个问题点呢，其实是这个题当中的第一步。如果你能想清楚这个问题，

当中的第一步，那这题非常简单，但是关注点就是这一步，所以将来过程当中啊，大家见到这个对数函数一定要形成强烈的反应。对吧，如果这个人是单向能等价l应一个函数趋向于一，立即等价无穷小，这个函数减一。如果这个东西对数函数碰到加减法呢？要想到变成乘除法这个水平点相当的高啊。好这个题啊，听明白了给我回复一啊，基本操作。好了，

这是这个事情。呃，我相信啊，这个这个阶段的零基础提前学啊。和这个阶段的这个基础班呢，就上个阶段零基础提前学和这个阶段的基础班，你肯定是有非常大的提高的。很多人说啊，这个内容点不是很相似，你看这里面当中增加了多少东西在帮助着同学们形成一个完整的体系。等你今天过程当中下去，你就会去想了，唉，我在这一节过程当中学了这个什么等价无穷小公式有哪些啊？第二，

事情代换方法有哪些啊？常考的题型有哪些啊？把这个东西啊好好进行去处理一下。那么，接下来我们就继续了，再来看看下面一个部分内容叫做高阶无穷小的运算法则。呃，原来过程当中啊，我看了这个零基础提前学啊，我们讲这个事情的时候，很多同学问过这个问题。他说，这个加减法跟前面的合取第一阶有什么区别吗？其实你会发现没有什么区别。啊，

没有什么区别，把这东西啊呃，你就当成两个问题，把它去学就行。前面那个东西学的是无穷小之间的问题，这个东西学的是高阶无穷小之间的问题，能理解吧？好，我们先看看几个原则，如果是高阶无穷小，首先看第一个事情加减呢，取第一节一个m阶的高阶无穷小。加减上一个n阶的这个结果是mn的最小值。哎，就取这上下的两个人的最小值，

如果是乘法呢？乘法是叠加，这是个m解，这是个n解，这是m+n解。如果这是m解，这是个n啊，这个是m次方n解一乘是m+n解这个事情，我们讲了好多了。当然，在这里面当中啊，还有一个事情，你可以把这个内容记住。如果这是m阶的高阶无穷小除，以一个N次方呢，

这个东西就立即变成了什么，变成了m-n阶高阶无穷小。那除法也行，我除一个次方数完全的可以。能理解吧，我除以一个次方数完全的可以，但是这里面当中我问你个事儿，如果这是m的高阶无穷小。这是一个n的高阶无穷小，两者一除是m-n的高阶无穷小吗？来看看这个人。是不是你告诉我个事情，这个东西对不对？我除一个次方数是没有问题的。但是高阶无穷，

小比高阶无穷小呢，不一定。我比上次方数是没问题的，但是我比上高阶无穷小，这个问题大吗？比如说我举个例子，你好好看，比如说我s是趋向零的。我趋向零了你，比如说举个简单问题，我这个是二次方的高阶，比上一次方的高阶。这个结果等于多少呢？我能出上无数个答案。比如说举个例子，

请问三次方算不算二次方的高阶？三次方算不算一次方的高阶？这两者作比还是一呢？我就不是无穷小了，这个时候你发现它不是无穷小了。谈什么高阶无穷小。然后接下继续，如果这里面当中你看三次方是不是大高阶？十次方算不算这个人的高级，然后这个时候你发现这个极限，结果还是无穷大呢。这个作比的结果是多少？这是七次方分之一，这个东西的结果你发现趋向于无穷大，不是无穷小的。

那如果在这种当中，你发现十次方，然后这是三次方呢？也算吧，那这个人是七次方七次方，当然是这两个东西一除的，这个一减的结果的高结无穷小。所以大家注意一个高阶比上高阶这个东西说不清楚。大家听明白了吗？说不清楚。除非是这个东西比上次方数是可以的。你比次方数可以，你比高阶无穷小不行，两个高阶无穷小作比，这就说不清楚了，

你可以比上次方数，你绝对不能比上高阶无穷小。把这个事情想清楚啊，这个这个非常容易理解，然后最后一个事情，一个高阶无穷小碰到一个数，这个数啊，可有可无。这个树也是一个废物。在高洁无穷小的世界里面，就是系数是可有可无的，想有就有，想无就无，随便加随便添，都不会影响结果。

这就是高阶无穷小的三个运算。高阶无穷小之间的相加减，高阶无穷小之间的相乘。高阶无穷小和数，进去相乘积。这几个事没有问题吧？这不是我们在这个零基础提前学过程当中重点讲过的事情吗？来，我们再来看看下面一个问题，叫做等价无穷小的充要条件。哎，等价无穷，小的充要条件，两者之间互为等价无穷小，那这里面当中你的充要条件是什么呢？

我们来稍微瞅瞅。如果我两者等价，它就等于我加上我的高阶，那当然呀，我加上我的高阶不就等价无穷小于五吗？何取低阶原则啊，我碰上我的高阶，高阶是废物啊。对吧，我等于你加上一个高阶就是废物，废物不要就是等价。所以说这件事情是非常好理解的，因此如果两者之间等价，我就会等于你，加上你的高阶，

把这东西一定要记住。那么，在这里面当中，比如说我们举个例子。如果在这里面当中s趋向零的时候，你sins平方肯定等价无穷s方啊，那这时候我们怎么写？你这个人等价于它，你能说你跟它相等吗？不能你在后面要跟一个废物。你要跟一个高阶，我就都会等于他，加上他的高阶，我跟上这个废物，废物不要两者等价，

这事情多简单呀。所以这就是河曲低阶部分的内容，我加上我的高阶等价无穷，小的是我呀，这个问题点希望同学们想清楚。那么，接下来我们就继续我们来看看下面一个题，一点一五这个题。哎，看看这个题目。做下一点一五。呃，这个题啊，我觉得考给我们也是一道非常好的考题。对吧，

作为我们三九六同学的考题啊，我觉得出成这样的一个题非常非常的好。那你来看看吧，这题答案选几啊？先来看第一个人告诉我第一条对不对？第一条，第一条错了就白讲了。我刚刚讲了半天，你俩等下你的平方也等下，这没有问题，这不是我刚讲的内容吗？我讲的这个定理就是这样讲的呀。在一个大于零的次方数里面可以等价。没有问题的，你两个等价，

你的平方肯定等价三次方，四次方都等价。但同学们想回来还行吗？回来行不行？大家永远注意一个事情，就是这种偶数次方平方呢？这种东西你要稍微小心一点。你发现。平方这个人等价，你能说里面等价吗？平方如果是正的，平方是正的，如果是负的，平方也是负的，你比如说我举个简单例子。

你告诉我个事情s in跟负s等价吗？等不等价？不等价，这两者等等价什么呀？但这两者当然不等价，我等价的是x，但是你发现一个事儿，一旦给你打个平方呢？哎，这个时候你发现负号就变成正号，它就等价了。所以这两个东西虽然等价，但是里面等价吗？里面不一定等价，所以二不对，

那这个题而言的话，你发现二不对，那这个人不选。二不对证人不选。所以接下来过程当中，我们再看一是对的，那还得再看啊，你再来看第三条，第三条对不对？第三条这我刚讲的啊，你把这个东西移过去，这个阿尔法s，然后再怎么办？减去一个高阶无穷小。然后就等于贝塔。

是不是这个人，所以在这里面当中，我们来看一个事情，你发现一个高阶无穷小，前面乘上一个什么乘上一个系数不影响结果。所以就写成这样了，那么因此你发现我等于你加上一个废物，我两者之间是不是等价，而且这是充要条件，如果等价肯定是这样。如果是这样，肯定等价没有问题，因为刚才过程当中我就讲过这是什么条件，这充要条件。你过去可以回来可以，

所以说这题正确答案选几一三四正确答案选c。是不是这个问题？你看这个题考什么就考察了，你的基本知识点的理解程度。你的基本知识点理解程度足够高，你做这个题非常非常的简单啊，这个题。好了，那么这个部分问题啊，我们就讲到这啊，下去过程当中啊，好好进行，把这个问题点呢梳理一下。好了么？同学们一定注意这个问题，

那么接下来我们再来看下面一部分问题，再来看看考点二部分内容。带有匹亚诺余项的派的公式问题。那为什么我们在经验过程当中啊，零基础提前学，我就讲了泰勒公式。那是因为今年过程当中，我希望同学们的这个体系更加的完整一点。那么，在今年，我们把这个三九六同学，我们在讲泰勒公式的时候，我把这个东西也重点讲了。那么，接下来我们来看看下面一个问题，

你们不需要知道这个公式是怎么来的？你听懂我的意思吗？你不需要知道。你不用知道这个公式怎么来的，你只需要会用这个公式就行。你们想想，不想知道它怎么来的，你想知道的话，我也可以讲讲啊。但是你们不用知道，就在这里面当中，你只要会用这个东西，你会去处理你的问题就行，所以对于我们的考研真题而言，它更多的方向是什么呢？

啊，更多的方向是在应用啊。啊，想听吗？哦，都不想你这个求知欲不够高啊啊。行吧啊，那我们就用就行啊。你能把这个东西啊，能用出来就行，那你就不要管什么叫皮阿诺了。带上这个高阶无穷小这个东西啊，就叫带有皮亚诺啊好了，那么接下来我们继续吧，我们就来看看这个部分内容啊。

啊，要不要说一下？你让我说一下吧，可以吗？我简单说一下，你想听你就听一点点啊。呃，在这里面当中啊，它是这样的一个问题。什么叫态的公式呢？泰勒公式是这样的一个玩意。就是我给你一个函数。对吧，我给你一个函数，在这里面当中，

我给了一个函数。就是泰勒的话，你发现这个泰勒公式最重要作用就是我给你一个函数，我就能给一个点我咔的一下，把它变成多项式。你发现我只要给你一个点这个函数就立即可以变成fs 0，加上f撇s0。s-s零，然后你发现后面这部分是二的阶乘分之撇撇s0 s-s零的平方。然后一直加加到多少n的阶乘分之n阶导数在s0 s-s零的N次方。好，大家注意这个问题，你看也就说什么问题，但是同学们注意啊，还没写完啊。

就是这个函数，我只要给你一个点，我就咔的一下，把你怎么办？把你写开了。就只要给你一个函数，只要给你一个点，我一下就可以把你写开了。哎，立即把你写开，写成了多项式，但是这两者东西是相等的吗？它不相等，它后面得加个余项。那么，

在这里面当中加个什么余项呢？如果你顺着这个东西进行加这个余项，顺着它加上一个高阶无穷小。这个语项被我们叫做了匹亚诺语项。皮亚诺鱼乡。哎皮亚鲁音响。所以说这个部分的公式就叫做在x0处展开的，带有匹亚诺余项的泰勒公式。诶，这就叫皮亚诺意象，然后在这个当中，我们就继续，我们再来看。这个众多点当中啊，你随便给点，

你可以给零给一给二给三给四给五给哪个点都行，但是你发现哪个点最特殊啊？当然是零。那么，在零处展开，如果把这个点呢，另做成零在零处展开，我们这个公式啊，就变成另外一个人发现的了。就叫做麦克劳林公式，这个人挺能占便宜，对吧啊？就是原来这个泰勒公式已经出来了，如果你把这个展开点选做成了零之后，得到这个公式啊叫什么？

这个东西就叫麦克劳林公式。二的阶乘撇儿撇儿0x平方，然后一直加n的阶乘分之n阶导数在零处xn次方，然后加上一个高阶无穷小。好同学们注意啊，这个公式就叫麦克劳林公式。那有些同学你发现一个事情，他在想一个事，那我如果在别的点处展开，能不能叫做我的公式呢？其实也行，对吧啊你比如说我在这里面当中，我们中国有13亿，13个亿个人，然后我们排列一下。

对吧，排列一下，你是选错，比如说第一一千个人。然后在1000这个点处进行展开，就叫做你的公式行不行？当然不行，因为你发现1000带进去，谁想算啊？你想算1000吗？我就不想了，你想算一个导数在1000处的值吗？你想算一个n阶导数在1000处值吗？我肯定不想零处简单嘛。所以同学们，

你跟着我读一遍这个公式叫什么？这个公式叫做带有匹亚诺余项的麦克劳林公式。哎，带有匹阿诺鱼像的麦克劳林故事，那么同学们，我们想一个问题来瞅一下。那么，如果在这里面当中啊，我给你一个点哎，比如说我给你一个函数。呃，举个例子吧，你想取哪个es最简单？比如说这是es。可以吧哦，

现在这个函数就是es那es在零处等于几1 es求导是es在零处是几一？然后你发现二阶导数在零处呢，一然后n阶导数呢，还是一，所以说最后你发现得到的这个泰勒公式是不是这样子啊？你告诉我，这是不是我们贝塔塔的公式啊？是不是啊？这不就是我背的泰勒公式吗？我们背的泰勒公式就是这样。比如说我们再来看，比如说三。假设这个函数是s in，那请告诉我s in在零处等于几s in在零处等于零。三求到是多少cosine？

cosine 0是一。然后继续，然后cosine再求导是负s in那在这个点处呢，又是零。负s in再求导是负cos，然后在这个点处呢是一，所以说是三的阶乘分之一三次方，假设我们就写到这儿，这是不是你背的这个泰勒公式啊？这不就是这个人吗？所以你可以看出来这个泰勒公式啊，非常非常好记哎，就是这个人，但是全来过程当中我见过。呃，

这个现在的话，你发现这个自媒体平台也比较发达，对吧？可能有些同学会去逛一些这个B站上，然后有些人说啊，就算你背不过他的公式。我们在考场过程当中也能记住好家伙讲的什么呢？就讲这个公式是怎么推的？我就想说一个事情，如果你复习一年，你连这个东西都没有记住，首先第一个事情，你的学习是不达标的。第二，事情如果在考场过程当中，

你还想去推你的水平点，肯定很次，因为你这个时间上就把控不好。我在考场过程当中，我早就做了好多题了，我还在那推一遍呢，很明显不熟练，我一直跟你讲考试这个东西吧。它不光是考，你会不会？他考你的东西就是不光是要会，而且在这里面当中一定要熟练。不光三九六，就算数一数二数三，同学在这里面当中也不能推，

一定要在这里面当中快速的把它应用。这是考试的问题。考试过程当中，他不是说你会不会这个题，我拿着这些哦，我会你做一个小时教会两个小时教会。但是你发现做三个小时也会，但我们考试过程当中有一个总时间。他考察你这个东西，不光会灵不灵活，水平点高不高哎？这是这个事情。所以在这里面当中，你确实这个同学你说的非常好。我们是要拿分的。

你要是当一个数学家的话，你在那里面三四天推一个公式也行，没有问题的，这是非常好的一个科研态度。没有问题啊。好了，那么这个点我们就回来了。所以接下来过程当中，我们把这个泰勒公式啊，稍微的进行复习一下，叫做带有匹亚诺余项的泰勒展开公式。那么，这里面当中，我们总共学几个？我们总共学八个人。

而且这八个人一定是趋向零才有这个公式，哎，趋向零两个没有规律性好，我们先看看第一个人。这个背法非常简单。你只要背过了这个三，你就背过了arcs in，你看这个人就是is减去多少？你们背到六分之一s三次方没有问题了。你就直接背x减去六分之s三次方结束哎，三九六同学，我们就背到这就行，但是同学们，其实你都知道。你知道什么情况呢？

这个东西是三的阶乘下项是五的阶乘分之一五次方。没问题吧，你知道下面项结果，但是你背到这就行，这是对我们的要求，然后第二事情，那就是arcs in。这个是减那这就是加。然后加上高近无穷小。你也别管这个东西有没有规律了，你就直接降上基，然后第三个事情就是tangent。这俩东西非常烦，你看s in这个东西是先减，然后rs in是，

然后再加它，那是反的。你是先加，然后再减。你发现最后一个事情，这个arctangent这个人呢？他就是什么？他就是减。所以说这两波部分问题啊，它刚好是反的，那这个东西记住啊，记住三音三音是最好背的，你只要背过三音。我知道是x减六分之一，那我就背过tane n tx加上三分之一，

因为你是减我是加，然后你是减我就是加。你是加我是减同学们听得懂我的意思吗？有同学觉得我在说顺口溜呢，我没有这样就说你这个是减六分之一，这就加六分之一。你是减我就先加，我加了之后这个部分是减能听懂我的意思吗？好，这是这个事儿，来继续啊，再来看第五个点。第五个点的e的se的s，我相信每个同学都能记住了。你刚才背那个es背的熟不熟练？

相当的熟练，刚才背es，你想每个人那个系数都是一，你看我来一遍一。一倍的s2的阶乘分之一，平方三的阶乘分之一三次方是不是这个事情你能背到这儿差不多了？好，这是这个事情，第六个人罗音也好，背罗音怎么背呢？它就是x减二分之一，没有阶乘的，然后就是加一减一加一减一加一减一加。四分之一s三啊四次方，然后再加上高阶无穷小。

哎，第六个人，然后接下来过程当中，我们再看第七个人，那就是cosine。cosine是s in求导，是一减去。二者皆成。这是平方，然后加上四的阶乘四次方，加上高级无穷小背到这就行了，最后一个人。是一+x的阿尔法次方是一加上阿尔法x，然后加上二的阶乘阿尔法乘上阿尔法减一平方背到这就行了。所以对于我们三九六同学，

你放心啊，你只要能记得住到这儿考研，绝对没有任何问题。这是没有问题的。一定是可以的，绝对能把这个类型问题啊，处理清楚。好了么？同学们好，掌握清楚给我回复一。所以这个部分泰勒公式啊，我们最重要的问题是会用。你会用这个泰勒公式是这里面当中的第一大问题。能记得住吗？所以你可以看得出来，

这个市面的过程当中确实有些非常浮躁的嘛，我原来过程当中看到一个。看了一个小红书的帖子，那个帖子是什么情况呢？是这个发了一个如何进派派的公式？然后那个部分那个帖子居然有那么多那么多的，这个这个收藏量，所以我就觉得这个当时我就觉得非常好奇这个事情。你这个东西的话，你需要用那种啊？很多顺口溜的方式。口诀的方式或者画线性图的方式啊，哪有那个必要有那个事情啊，早就把这个东西背完了。你首先第一个事情，

前四个人是不记住了。第五个是不是记住了？第六个人记住一正一负就行了cos in好背这个人好背那出来了，你把这个东西多记记就行。该记的东西啊，一定要记啊，这个部分我们就讲到这。好了，那么接下来我们来看看这个部分的重点问题。在这个部分泰勒公式当中啊，我们的核心重点必须要掌握两个事情，那就是泰勒公式展开的这个原则。对吧，泰勒公式展开的原则，那我想问你个事情，

泰勒公式展开的原则有几个？展开原则有几个？这里面当中啊，总共有两大原则，哎，泰勒公式掌握的原则有两个，第一个人叫什么？叫做相消不为零，你展开我展开，我们展到哪？我们展到相消不为零的那一项。这就是我的原则，这第一个点，然后第二个事情，还有一个叫做经验性原则，

经验原则是什么叫做上下同阶原则？同阶同阶数，那么也就说上面这人是几节，我下面这人占几节，下面这人几节，我上面占几节，这东西啊，是个经验性的原则。所以在这个泰勒公式展开当中啊，首先第一个问题，你得知道这个东西的展开原则是什么？这是我们的一个基础吧。哎，把这个事情掌握清楚，那么接下来我们来看几个事情吧，

比如说我们看看这里面当中的第一个人。这是不是要背呀？当然要记啊，来我们走一遍吧，你刚才泰勒公式背过了吗？背过了吧，来走一遍啊，那这人进行展开。第一项是s没有了，第二项负六分之一负负得正。如果这个人是正的，那这人就是负的，等价就出来了。然后再看这个人第一项s没有了，留下第二项是正的，

那这人是负的。然后这是负的，这就是正的。然后接下来再看这个人，这第一项是谁ss一减没了，留下第二项负二分之一，负负得正二分之s次方。能记住吧，这几个人我不说别的，那么在考试过程当中，这个泰勒公式啊，这是我们的基础。但是这几个等价无穷，小公式极其的重要，相当的重点，

你在考试过程当中，这一定要会用把这个东西一定要下去记啊。你看在我们这个教学体系的过程当中，我经常用到一个词儿记，你不要看到这是数学对吧？比如说这数学，你让我背你简直侮辱数学，我没有。因为我们在考试过程当中要灵活的应用它，那么在这个当中我们还可以再补一个，你再看第六个人一的s-1-s。帧等价多少？那么，这人展开的话，你发现第一项没了。

第二项s没了，留下第三项就是二分之s方本题结束。你看这几个人，所以说这六个人呐，一定要把它给我记清楚。

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02.函数极限计算专题突破（1）-2

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