02.函数极限计算专题突破（1）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:34:54

屏幕前，各位同学们大家好，我是你们考研数学老师主王鑫好，我们就准备开始了，那么今天我们就继续开始，我们三九六精综数学的全真班的课程。那么今天啊，我们来看看基础班部分内容好，大家能听到声音吗？可以听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。可以听到声音吗？

好，那么接下来我们就继续呃，上次课程当中啊，我们其实是我们这个三九六精综数学的这个基础班的第一次课程，那么今天啊，我们就是第二次部分内容。那么，在上节课过程当中啊，其实我们重点把这个函数极限的这个定义，还有这个函数极限的这个性质啊，我们做了一个重点的精讲。那么今天我们就继续吧，我们再来往下面看呃，首先第一个事情我们还是来回顾一下上节课部分的内容的知识点好，那么接下来我们来看看上节课部分内容。

那么，在上节课过程当中啊，其实你发现重点就讲了两条内容，第一事情就是函数极限的定义，第二事情就是函数极限的性质。好，我们先来看看这个定义部分内容，那么在这里面当中讲了几种定义啊，我们总共讲了六种定义，那么在这里面当中，如果我不做区分，我就写s趋向一下。然后这个人的极限结果是a吧，但是你要注意一个事情，在这里面当中的这个趋向，

包括了六种情况，一种情况的话，有可能是趋向于一个点。也有可能是趋向于一个点的针。稍等我一下啊。这个笔不好写啊。好，那么接下来看，可以趋向于这个点，可以趋向这个点阵，也可以趋向这个点负，然后再趋向正无穷，还有负无穷，还有无穷大，总共有六种情况。

如果在这里面当中啊，不做区分，我就统一的写s趋向于框，那么在这里面当中，我们来看看这个定义，你发现这个定义当中的第一句话和最后一句话永远都不变吧。第一句话怎么写？无论你这个人有多小，然后怎么办？我fs和a之间的距离都比你还小。只不过在这里面当中，你发现变化的是中间这句话，那么所以说对我们而言的话，这个基础班部分内容你必须要知道几个事情。第一，

事情趋向于这个点，什么意思啊？就是这个点处的去心领域没有到这个点，又跟这个点非常接近，就是这个点的去心领域。然后第二事情趋向这个电阵呢，那叫右曲线领域零负呢，左曲线领域正无穷负无穷无穷大。所以这一类目当中提到的无穷大，它既包括正无穷，也包括负无穷，包括这两种情况，所以像这些事情你必须要想清楚。那么，接下来我们再看第二事情，

一个极限的存在性跟该点的函数值有没有关系啊？没有关系，你比如说在这里面当中，我们来看，如果是I趋向s0。这个极限等于a，你告诉个事情，能推出该点处的函数值是多少吗？那么请同学们告诉我，知不知道？不知道该点函数值有可能等于a，也有可能不等于a，也有可能不存在，所以这件事情根本不知道。然后接下来过程当中，

我们再来看第三件事情，极限存在的必要条件什么，比如说举个例子，我们说这个极限存在。如果我在这里面当中说这个极限是a，那你想一个问题，它的必要条件是什么？就是在这个趋向过程当中，这个函数要处处有定义。也就说在这个去心领域内，它处处有定义，如果这个东西你发现有没有定义的点，那这个极限就是不存在的呀，要掌握清楚嘛。那么，

接下来我们再看第二事情，那就是极限的性质。那么，在极限性质当中啊，我们讲了三个人第一事情，唯一性没什么用。第二，事情局部有界限，那局部有界限，我们在这里当中怎么说的？如果在这里当中，你发现我趋向下这个极限是什么？存在的，我就说在这个趋向下，它是有界的，

比如说趋向于这个点，就是这个点的去心领域内，它是有界的。如果在这里面当中，我们再看，如果是往这个点跑，你发现这个极限结果是无穷大，我就说什么，我就说在这个去心领域内是没有界的。要掌握清楚啊，那么在上节课过程当中啊，我还讲了一个事情，如何进行去找一个初等函数的有界区间呢？怎么找的第一件事情干？这件事情先找这个函数的无定义点吧，

比如说你看我给你一个函数第一件事情，先把这个函数的无定义点找到。无定义，无定义，无定义，找到无定点，就把这个函数划分成了若干个连续的区间，若干个连续的区间。然后这里面当中若干个连续的区间，然后怎么办？就进行去求这个点处的单侧极限。到用扯面定理呗，单侧极限，你这侧极限存在你这侧极限存在诶，有界你这侧极限存在这侧极限存在，

那就有界。所以这里面当中啊，第一件事情先找函数的无定义点，把这个函数划分成若干个区间，然后再来求单侧极限就行。你发现这个题啊，难度系数不是说特别大，好了，那么接下来我们再来看下面事情，局部保号性这个保号性啊，相当的重要。它也叫什么？也叫脱帽，饱和性。那么在这种当中，

比如说我们说一个事情，如果说在这个趋向下，你发现这个极限大于零。那我能说这个函数就大于零吗？不能，你只能在这个家里面脱掉这个帽子吧，也就说只能在这个范围内脱掉这个帽子，所以在这个当中我们说什么？就在这个人的什么去心领域内，大家注意一定是去心领域内，去心领域内他大于零。然后在这里面当中，如果这个极限小于零呢，在这个区域性领域内，这个人小于零，

是不是这个事情？如果这个人大于a呢，在这个区域性领域内，他大于a。如果这个人小于a呢？在去心领域内小于a，那如果大于一个人极限呢？在去心领域内大于这个极限，如果小于一个极限呢？在去心领域内小于一个极限。所以同学们注意啊，在这里面当中啊，脱掉这个帽子，一定要在这个范围内，我一看是这个范围内，

我就把这个帽子给脱掉了，然后就得到这个结果。能理解吧，但是一定要注意一个事情，这里面当中没有等号，我们叫做保证好保负号，但是怎么办？不保等于零。等于零这个事情保不住的，如果你的极限结果等于零，你能知道这两边的过程当中它的正负性吗？根本不知道，所以说叫做保正好保负号。不保留好了，刚才我所提到的这些知识点呢，

都能装到脑子里面，请给我回复个一啊。呃，上节课部分的东西啊，其实你发现是第一章当中啊，最恶心的一部分，那么接下来过程当中，我们学习的东西啊，大家估计就比较喜欢了。好了，那么接下来我们就正式开始看今天部分内容，那么今天我们来看看第二节叫做无穷小量的比阶性的内容。那么，在这里面当中啊，我想强调几个事情，

注意下第一个问题，这里面当中所讲解的一些知识点呢，可能跟我们零基础提前学所讲解的知识点有一定的重复。当然是这样，但是你发现我为什么分成了两个阶段的课程呢？因为它的要求不一样。上一个阶段的零基础，提前学打一个基础，这个阶段呢，一定要把这个东西啊，灵活的掌握，所以在这里面当中，一会儿有些知识点重复，你不要在那里面当中啊啊，就飘了，

不要这样。你就跟着我进行去回顾一下好了，那么接下来我们看看第二节无穷小量及其比肩，那么在这节部分当中啊，我重点讲两个事情。一个事情就是无穷小量。第一个事情介绍无穷小，第二个事情我们来重点来讲解泰勒公式的问题。所以对于我们三九六同学啊，经验过程当中，我已经把这个要求啊变高了，在这里面当中，泰勒部分东西啊，一定要把它掌握清楚。好了，

那么接下来我们先来看看第一个问题，无穷小量，那么在无穷小当中，我讲多少内容呢？首先第一个事情，我们先来看看无穷小的定义。那么，在这里面当中，我们首先看第一个问题，什么叫无穷小？你看原来过程当中，我在这个零基础提前学的时候讲了一个非常好的例子。我在这里面当中举了个这个例子。你看如果这个趋向下，它就是无穷小吗？

如果这个趋向下，它就是无穷大吗？哎，这都不一定，你比如说在这里面当中，我写一个同一个函数，你告诉我第一个人是什么？第一个人的极限结果是无穷大，所以说这人叫做无穷大量。而第二个人的极限结果是零，所以说这个人叫做无穷什么量无穷小量，因此在这里面当中，我们看的是什么？我看的是这个极限，结果是无穷大，

它就叫无穷大量极限，结果是零，它就叫无穷小量，我不在乎你的过程。管你什么过程呢，我只在乎这个极限，结果是无穷大还是无穷小，所以在这里面当中，你发现我的方向性非常简单。就是别管你什么趋向，只要你这个人的极限，结果是无穷大，我就称什么这个函数在这个趋向下是一个什么无穷大量。如果在这里面当中，你再来看，

如果别管什么趋向，只要你这个人的极限结果是零，我就说你在这个趋向下为无穷什么量。无穷小量。所以同学们发现一个事情，一个无穷大和无穷小，他关注的点是什么？他关注的点是结果。我就看你这个极限的结果，看看你这个极限结果到底是不是零，所以说这个定义怎么说的，他这样说，如果在一个趋向下。别管什么趋向爱是什么趋向就是什么趋向，只要你这个人的极限结果是几，

只要你极限结果是零。但是同学们想一个事情，你能说这个人就是吴穷小吗？绝对不行，你绝对不能说一个函数是无穷小，你看这个函数一会儿无穷大，一会儿无穷小的，它怎么那么善变呢？它怎么一会儿无穷小，一会儿无穷大？不能这样说，你得说什么？你得说这个函数在这个趋向下为无穷小。哎，在这个趋向下，

为无穷小所以说谈到无穷小，必须要跟趋向挂钩。所以在这种当中，一定要谈到这个趋向，那么接下来我们出几个例题，好，我们先来看看第一个例题。那么，如果在这里面当中x趋向零的时候。你先给我判定一下，请告诉我这个人是不是无穷小啊？你看这个人。是不是无穷小，就看这个人的极限，结果是不是零？

是不是啊？你发现求这个极限一的零是一一减一是零，它当然是啊。如果在这里面当中，我们再看三元四次方是不是啊？也是因为你的这个极限，结果这是0s in 0就是零，没有问题，如果这是ln 1+s五次方是不是啊？唉，它也是你这是零，这是1 ln 1就是零，所以看它这个人是不是无穷小就要检验这个人的极限，结果是不是零？那么，

接下来我们再看，如果改成无穷大呢？好，我们再来看tans分之一是不是无穷小？你求下极限，如果求极限的话，你看无穷大分之一是0t an ENT，零呢也是零，然后在这里面当中，比如说我们写个阿克塞，因x平方分之一是不是啊？也是无穷大分之一，是0 xs in 0呢，它就是零你比如说在这里面当中，我们再看x平方加一是不是无穷小？

你看下面是无穷大无穷大分之一，这个人是零，他的结果就是无穷小。所以同学们一定要听清楚你是不是无穷小，我就看一个事情，我就看在这个趋向下，你的结果到底是不是零？只要你的极限结果是零，你就是个无穷小，听懂我的意思吗？那接下来我想问你一个事情，零算不算无穷小？零算不算？零是无穷小吗？零当然是无穷，

小零是一个最特殊的无穷小，你想我无论你是什么趋向，只要你这个极限结果是零，你看你的极限结果就是零。所以同学们，你看别管什么趋向零的极限就是零啊。只要你的极限结果是零，你就是在这个趋向下的无穷小。所以同学们学东西一定要学到骨髓里面。我不用天马行空的去想，你到底是不是无穷小，我就求你的极限，看你是不是零，只要你的极限结果是零，你当然是无穷小。

所以这是我们在这里面当中的判断依据，好了，那么接下来我们在这里面当中继续来看我们，来看两条性质，我在这里面当中先来注意下第一条。那么，首先第一个事情，我们刚才已经讲过，如果进行去谈无穷小或者无穷大，必须要跟趋向挂钩吧，所以说无穷小必须。与趋向挂钩。哎，必须与趋向关，你不能说一个人是无穷小，

你不能说一个人是无穷大，你必须要说这个人在哪个方向下是无穷小，哪个方向下是无穷大。你比如说这个x分之一x分之一在趋向于零的时候就是无穷大，在趋向无穷大的时候是零就是无穷小。所以一定要注意，必须要跟趋向进行挂钩好了，那么接下来我们再来看看第二事情重点的性质。我们在之前过程当中啊，就讲过这个问题，同学们想无穷小，如果在这里面当中乘一个有界变量。那这个结果是什么？当然是无穷小无穷小，乘以有界变量。

当然是无穷小，所以在这里面当中，我们经常会考的几个事情，等会我们再来串，然后接下来过程当中，我们再来看。下面一个问题，那无穷大呢，如果乘上有界变量，那么同学们告诉我这个结果是无穷大吗？大家告诉我是还是不是无穷小乘以有界变量是无穷小，但是无穷大乘以有界变量，这人是无穷大吗？大家注意这个东西啊，可不一定，

因此你要注意这个问题，那么在这里面当中啊，我们可以出一些非常经典的例子。你好好瞅啊，你看这里面当中，比如说我这里面当中出一下第一个题x趋向零的时候x这个人什么乘以sin EX分之一。那这个结果呢？同学们都知道一个事情，这个后面这个函数在零的这个方向上是震荡的吧？sin x分之一在零处是震荡的，但是你是个有界变量无穷，小乘有界是无穷小无穷，小的极限是零。你看我们很喜欢考，那么接下来我们再来看第二事情，

如果改成趋向无穷大。趋向无穷大的话，我们再来看，这是is乘上sins分之一，这个结果是多少？你看这个人。那这时候我们还可以看呢，你发现如果在这里面当中，我们就可以操作了，当x趋向无穷大的时候。你发现如果x趋向无穷，大x分之一就趋向零，那所以说这个部分就是框。s in框就立即等价无穷小框吧，因为这里面当中考了一个事情，

如果框趋向0s in框就立即等价无穷小框。所以你发现这东西就变成这样，它是不是一啊？对吧，这个极限结果是一，所以我们来看一个问题，你发现这里面当中的第一个人，第一个人就是什么无穷大吧。有界吧无穷大乘，有界如果是无穷大，这个极限结果应该是无穷大，但是我是一呀，所以你发现无穷大乘有界不一定是无穷大。好，这是我们在这里面当中啊，

介绍的几个事情，所以你发现一个问题点呢，这里面当中有好多东西啊，非常容易混。你比如说在这里面当中，我们来出一个例题。你刚才已经搞清楚了，谁呢？你已经搞清楚了这个人。这是每个同学都会的吧，然后第二事情不要混啊，我不希望你背，你背了就傻了，然后在这里面当中，我们还搞清楚了什么x趋向无穷大，

然后这个极限。这道题先会吧，那然后第三个事情你看我再改一下，如果在这里面当中x趋向无穷，大x分之一乘上这个人呢？然后最后一个事情，那就是limit x趋向零x分之一乘上这个人呐。好，我们来看看这几个题，那么首先我们先看看第一个题，你发现这几个人是不是容易混？我这一出就是一个非常好的题。大家注意，我只要这样一出就是非常精彩的题，你看第一个人无穷，

小城有界是无穷小。然后再看第二事情，如果趋向无穷大，这人就是零。就是无穷小无穷，小陈有介是无穷小，然后再看第二个人当s趋向无穷大的时候，这个部分是框吧？趋向无穷大，这人是零就是框塞一框，立即等价无穷小框，最后这个结果是一。但是你发现这一点当中啊，最难的就是这个人了。这个人是这个题目当中啊，

最难的一个人。难度系数比较大，我估计你下去过程当中啊，肯定做过这种题，对吧？你绝对做过这种题，你做过什么事情呢？我在这里面当中，大致跟同学们进行去找一下。你绝对做过这道题，其实是数一数二数三同学的这个部分的真题，但是是一道九几年的真题，对于我们现在而言，去做相当的好。但是同学们注意这个部分的答案呐，

看起来贼恶心，我给你找找。我给你找一下，你做过这种题吧？就是这道题。你肯定见过，但是我估计有些同学在这个零基础提前学阶段见到过这个题，但是你发现一个问题，答案都看不懂。就这种题，答案都看不懂，那么接下来过程当中，我来教你怎么去学贼简单，眼睛漂下这个东西就出来了。那么，

接下来过程当中啊，我要讲好多部分内容，希望同学们下去过程当中好好整理，你先好好听，那么在这里面当中，我们先来看看。第一个部分内容。我想问你个事，你会画这个函数的图像吗？你看这个人。会画吗？就这个函数图像会画吗？如果这个图像你不会画，那我想问你个事情，这个图像你会画吗？

来，我们来看看这个事情，你告诉我这个图形，这个图像不会画，那是不是等价于气考啊？你不要这样啊，这个东西叫什么？这个东西叫振幅。对吧a这个东西叫振幅，我是来回摆动巅峰，值达到你低谷达到负的，你这个东西肯定会吧？那么，同学们想一个事情，你这里面的x是不是就相当于我的正负啊？

你看我刚才讲的是y=a倍的这个s in，现在你写了一个y=x倍这个s in像不像？当然，像现在这个人的振幅是谁？振幅就是x，那么接下来我们来看看这幅图，这幅图啊，相当的精彩。你来看一下这个事情，这是y这是零，然后这是x那么这个时候你发现这个函数的振幅就是谁呢？振幅就是x，也就说我这个人呢，巅峰值会达到谁x，然后我这个人呢，

低谷就会达到负x。哎，我第一股就会达到负x。所以接下来过程当中，我们来看看零处当然是零啊。我来看这个函数图像，那从零开始巅峰值达到你低谷，达到负的你巅峰值，达到你低谷，达到负的你哎，你发现看就是来来回回这样。然后这个人是个奇函数，后面是个奇函数，奇函数乘以奇函数这个东西是个偶函数，所以你发现一个事情，

他这个人的图像非常的精彩。诶，就是这个图像，如果你把这个函数图像找到了之后啊，这个题就可以秒杀了，来我们来看看两条结论。第一条结论请你告诉我个事情y=x乘上sin x这个人，请告诉我在x趋向于无穷大的时候有没有g啊？你注意啊，红色线才是这个人的图形走向。听懂我的意思吗？虚线不是这个人图形走向，有人说那肯定有机啊，不是被两个人夹住，注意一个问题，

不是要被两个人夹住是。是要被两条平行的线夹住。听懂吧，有人说老师，你看这不有界吗？被这两条线夹住，不不是这样，我要被两条什么平行的线夹住。你想一个事情，等你趋向无穷大的时候，你这条线是不红色线越摆越开，越摆越开啊？能不能夹住夹不住？所以说这个时候它是什么没有界的？然后我们再来看第二事情，

那请同学们告诉我，如果x趋向于无穷大x倍的sin x的极限。存不存在？存在不存在，你就看看这条线呗。我们都知道我们去讲这个极限的时候，你看比如说最后你的这条线停在了a。趋向了a你的极限，是a趋向了这儿你的极限，是这儿趋向了这儿你是这儿，但是你发现你这条线是什么？你这条线是哎呀，你发现你看来回的摆来回的摆存不存在，当然不存在这个极限，结果是不存在的。

但是你告诉我个事情，是无穷大吗？是不是无穷大？它不是无穷大，如果你发现看一幅图，它是这样，我走你哎，我走你到无穷大，它就是无穷大。但是你发现一个事情，它到那之后，它得上下来回的摆。停不下来。你要提到无穷大，它就无穷大，

那来来回回摆，所以说在这里面当中是什么情况？且这个人不为无穷大。这个东西要叫什么？这个东西叫做震荡的不存在。注意啊，这个人叫做震荡的不存在，所以你可以发现你看这个人图像，有人说老师真的这个实际上的图形就是这个样子吗？完完全全是这样。我在这里面当中啊，我给你看一下这个人的图形啊。你可以大致的进行去瞅一下这个人的图像诶，怎么出不来？为什么出不来？

它怎么会出不来呢？今天用不了吗？嗯。哎，这个好神奇啊。这个东西怎么用不了呢？无法进入，这肯定不是网速的问题啊，这跟网速估计是没有什么关系好了吧？那等会儿再看吧。可以吧，同学们，我们等会再看好了，把这个事情你先掌握清楚，那么所以说这个函数的性质啊，

我就把它掌握清楚了，那么接下来同学们我们再来看看下面的问题。继续来看嗯。不唯一的无穷大不不不是这样，不存在包括两种，一种是无穷大，一种是不唯一，只有不唯一的不存在。所以这两个东西啊，你要注意一下这个事情，那么接下来我们再来看看第二个问题，这是我考的第一个点，然后同学们注意你再好好听第二个人。那么，请同学们告诉我，

你会画这个人的图像吗？你看这个人，这个人图像不会画，但是同学们，你发现你会不会画这个人的图像啊？这个图像会画吧，这人图像怎么画的？这个人图像的振幅是a，就是我上面有条线是a，我下面有条线是负a。而且我在零处是没有意义的，越靠近于零摆的越快，就是上下的来回摆动，来回摆动，来回摆动出去还好了。

是不是这样子啊？出去就还好了，这是这幅图，那么所以你想一个事情，现在把这个a改成了多少x分之一，现在这个人的振幅是谁？振幅就是x分之一，什么叫做振幅呢？巅峰值达到x分之一，低谷达到多少负的x分之一？所以我们接下来看一下这个事情，我用这个黑色线画x分之一的线，注意啊，这不是这个函数的图像，这是函数的这个边界。

然后第一股达到多少？第一股达到负的x分之一，然后接下来我们来瞅，越靠近于零摆的越快，而且它在零处是没有意义的。对吧，靠近零摆的越快，靠近零摆的越快。我问你个事情，你靠近零的时候从哪摆？你是不是从负无穷摆到哪去？摆到这个正无穷去。所以说你发现就从负无穷摆到这个正无穷去摆到正无穷去，然后你发现这个出来就还好了。大家能理解我的意思吗？

呃，就是这个意思，就是我靠近零的时候从负无穷摆到正无穷，大家一定注意啊，我这不好画。但是我相信你理解我什么意思，就是这个图形的话，你发现进去来回的摆摆上去摆下来摆上去摆下来，越摆越开，同学们能理解我的意思吗？所以说接下来过程当中，我们来看看第一个问题点，请告诉我y等于x分之一，再乘以一个sin x分之一，请告诉我。

在x趋向于零的时候，有没有界啊？有借还是没有借？你看看这条线，注意一个事情，这条线就是这个有颜色的，这条线才是这个函数有没有解？很明显，一个事情越摆越开，在这个去心领域内，很明显没有记啊啊这个东西啊，夹不住，那么接下来我们再看第二事情，那么请告诉我，如果x趋向零。

这个极限存不存在啊？存不存在你顺着这个人往过跑，你顺着这条线往上跑，越摆越开，越摆越开，如果你停到无穷大，那就是无穷大。你听到负无穷就是负无穷，但是你发现你一会儿你这个来来回回摆，所以同学们这个极限结果是不存在。而且你要注意它是不是无穷大，这种不存在。听到无穷大是无穷大，但是无穷大一会儿就走了，对吧？

一会儿就走了，一会儿就走了，来回的摆动，所以这种东西啊，也叫震荡的不存在。哎，叫正当的，不存在能理解我的意思吗？注意啊，这叫高手，你要会这样进行去处理问题啊，你绝对是一个高手。那么，这件事情我给你去看看同济西版的教材，你什么事情都明白了。

那么，在同济七版教材里面当中啊，其实有这个题。这个题目我给你找找。那么，接下来我们来看看这个题目，同济七版教材的这个答案的这个写法，你稍微一瞅你什么东西都明白了。好同学们，你给我看看这个部分内容。教材当中啊，有这个题。好，那么接下来我们来看看这个第六题，而且同学们注意，

我们不会考证明题的，我们只会考这个选择题，只要它考，我一下子把它选了。看看这个第六题，他说什么情况，他说这个人在负无穷到正无穷，内有没有借回答我有借还是没有借？你告诉我s in跟cos一样不一样一样吧，这个人的话，你发现振幅就是s巅峰值达到s低谷达到负x。所以说这人的图像就是哎，你发现来来回回摆有没有界没有界，所以说是无界的，然后另外一个事情，

这个函数在趋向于正无穷的时候它。它的结果是无穷大吗？它不是的，它是不存在，而且不是无穷大，是不唯一的不存在，是震荡的不存在，所以同学们这题是不是结束了？不信你看看这个题的答案，你读一下。你看看这题答案，你读懂了吗？就这个题啊。你读一下，它说对于任意的m大于零，

总会存在使得什么什么情况，然后怎么怎么样，对于任意的m总总存在什么情况什么什么情况。我都疯了，对吧？那么接下来我们再来看看下面这个人，你看这个人这个人在零到一当中有没有借？没有借刚才图像都出来了。去向临阵的时候是不是无穷大，不是无穷大，不是无穷大，是震荡的，不存在，你再来看看这个题的答案，我就问你个事情，

看完答案，你能想得到吗？就这个答案，首先第一个事情你看得懂，看不懂，还是一个问题，第二事情你看懂了之后，你能独立自主的想得到吗？这都是问题点，我们可以读一下，它说什么它对于任意的m大于零，总会找找到一个点，然后怎么办？可取流氓词语啊。数学当中的流氓词语可取，

不妨取，不妨设显然。你想想是不是啊，然后在这里面当中取一个人怎么怎么样怎么怎么样怎么样怎么样怎么样怎么样怎么样，你看这题我需要吗？我早都把这题做完了。那么，接下来同学们，我们再来看看这个真题。所以将来过程当中啊，别人问你这个题，你说你怎么做的，你就告诉他这题是显然啊，好了，我们来看看这个人。

这个函数的振幅是谁？振幅就是这个人，那么同学们想什么叫做振幅啊？振幅的意思就是巅峰值达到x方分之一。低谷达到负的x方分之一，然后零处没有意义，然后来来回的摆动，来回的摆动。那我想问你个事情，你来看，请问这个人在趋向于零的时候，他的极限结果什么？你往零跑的时候是什么情况？这个东西很明显是不存在，而且不是无穷大的，

不存在那有没有界呢？没有界正确答案选择d这个题是不是秒了？所以我觉得这种题啊，挺适合考给我们的，对吧？难度系数也不大。会做的同学简简单单，不会做的同学在那里面当中啊，你看到这个答案，你发现这个东西简直就不是人想的。你今天会了吧？好了，这些事情我就给你讲到这儿，所以说今天我们继续回来，回到刚才这个事情，

它就完美了。那么，刚才过程当中，我们就给你了几个极限，我就给你那四个极限，现在过程当中，你能分析清楚吗？我发现最近我这个电脑不知道是这个一直在运行还是怎么样啊，它有点累了啊，好了，我们来看看这个人。那么，请同学们告诉我，这个极限是什么？你看这个极限，

这个极限图像都能画出来，趋向零的时候是不存在，而且怎么办？而且不为无穷大是什么情况？是震荡的不存在。这题结束了，所以这个题啊，下去过程当中啊，好好整理整理啊。呃，把这里面当中啊，每一种情况一定要把它给我分析清楚啊，而且这个题啊，就这个题，还有这个题啊，

在我们估计的话，今年过程当中做的习题集里面，你会经常碰到。无论是哪本习题集，你肯定会碰到这个题的，所以将来只要你碰到那个题，不要管它答案怎么写，你直接把这题秒了，这就是你的水平。好，这个题啊，我们就讲到这了，那么接下来我们就继续，我们再来看第二个问题，继续回到无穷小比节。

那么，刚才过程当中，我们讲过一个事情，什么叫无穷小？在这个趋向下，它的极限结果是零。它就是这个趋向下的无穷小。那你想一个问题，如果你的极限结果是零。那你就在这个趋向下是无穷小，你往零跑，你往零跑，你往零跑，往零跑，是不是有个速度问题啊？

我把这个趋向速度的问题就叫比阶的问题。所以我们来看看第一个事情怎么比解呢？首先，如果在一个趋向下。你这个人的极限结果是零，你是个无穷小，在这个趋向下，你这个人的极限结果是零，你也是无穷小，当然在这里面当中啊，做分母的这个人他。它得不为零。那这个时候我怎么进行比截呢？我就把它放在同一个极限下做比。对吧，

放在同一个极限下做比，我们经常用到这个情况，比如说说两者之间是等价无穷小，它会怎么样？两者之间互为这个同阶无穷小会怎么样？我是你的高阶无穷小会怎么样？所以说这个定义法还挺关键的。就把这两个东西啊，做个比做个比，求个极限，那么同学们想这个极限结果会有几种事情发生啊，这是我们零基础提前学讲的。第一种情况，有没有可能是零有可能，如果是零，

你发现上面这个人为下面这个人的高阶无穷小。哎，高阶无穷小。所以我想问你一个事情，如果一个高阶无穷小比上一个低阶无穷小，这个极限结果是存在还是不存在？存在的吧，记住这个问题，一个高级。无穷小比上一个低阶无穷小，它的极限结果是零，它是存在的高比低是存在的。记住了，然后再看，如果这个极限结果是无穷大，

那就说什么他这个人为这个人的什么无穷小。第一切无穷小。低阶无穷小。好，这是这个问题，它是它的低阶，但是你发现第一比高存不存在，第一比高不存在，第一比高，这是唯一的不存在情况。什么高比低存在同阶存在等价也存在你，比如说是一一的话，两者之间是等价，两者之间等价，这人当然存在。

如果是一个不为零的数呢？不为零的数，这人是同阶同阶存，不存在同阶也存在，记住这个问题。高比低存在，低比高不存在等价存在，同阶也是存在。所以如果你拥有了这个水平，将来过程当中啊，它会帮着你进行去处理极限的问题啊，我们零基础提前学都讲过，所以说我们到了这个阶段呢，你发现更加的综合一点。比如说举个例子，

我一看这是x方，然后这个部分是ln 1，加上x三次方，然后这个部分是sin x平方。好了，同学们，你来看看这个事情。我拿到这个题的时候，我就稍微的分析一下上面的极限，结果是零下面的极限，结果也是零，然后你发现一个问题，这个人是几节？这是二阶吧，然后这个人是几阶？

这是三阶吧，高阶比低阶呢？高比低是存在的。然后这个部分呢，同阶也是存在的，所以说我用我的眼神漂一下，我就知道这个题肯定可以拆，为什么呢？因为第一个人是高比低。第二人是同阶，刚才讲过高比低是存在的，同阶也是存在的，所以说这个人呢，我就可以把它拆开。对吧，

这个眼神非常重要，这个眼力非常重要，我就把它拆开，拆成了这个人，一+s三次方，然后再加上limits趋向零。然后这个部分是sin x平方，比上平方。那这个时候你看看第一个人，请告诉我直接做吧，或者你直接等价一下啊，你做慢一点也行，在这个极限帽子下，两者之间是除法。就可以等价当s趋向零三次方就是0 login 1加框，

立即等价无穷小框。然后再看这个人当s趋向零的时候，这是平方sins可以等价无穷s，这是两个，所以说这个结果是零，这个结果是一就是一。听懂吗？当然你的做题速度上来之后啊，这个题非常简单，高比低是零等价之后你发现这个结果是一我就直接秒了。水平点越来越高，所以记住这个事情，只有什么情况，只有这里面当中的第一笔高，他是不行的。

高比低是行的，低比高不行，那比如说我们再来看例二。如果在这里面当中，我们再写一个极限题s趋向零的时候。你发现这是个s in再减去tangent，我比上x三次方好，同学们，你看看这个题，那这个题同学们告诉我能不能拆呀？这人就不行，为什么呢？你稍微进行去瞅一下，上面是一阶，下面是三阶，

低阶比上高阶，这可不行。对吧，第一比高不行，然后这个人呢？第一比高也不行。所以说除了低比高之外的都行，因此在这个题当中我们怎么处理啊？你看水平点非常好啊，这种东西的等价一会儿过程当中我还会讲。啊，就这个题的等价，我一会还会讲怎么处理啊？提出一个tangent题吧。提出一个tangent题，

第一个人就变成了cosine，第二人变成减一。所以在这种当中，马上这个东西就出来了，当x趋向零的时候，这是三次方等价无穷s等价无穷负的二分之x方，等于负二分之一。这题结束了吧？哦，我相信我们班每个同学都会做这个题，这个水平点非常的基础。所以在无穷小比阶段当中啊，你必须要清楚第一个问题就是什么比上什么是存在的，什么比上什么是不存在的。好，

这个知识点呢？把它拿下来好，这个问题啊，我们就讲到这掌握清楚，给我回复一啊。好，这是我们讲的这个第二问题，无穷小量的比值，那么接下来我们再来看看第三个点，当然在这里面当中啊，等价无穷小是最重要的。唉，等价无穷小，那么接下来我们就来看看等价无穷小，那么在等价无穷小过程当中啊，

首先的第一个事情，我先来说一下，我们三九六的同学的要求啊。对于我们三九六同学等价无穷小的替换，洛必达的法则四则运算法则这三种方法是我们考研过程当中的核心方法。至于态度展开，是我们次选的方法，什么后面过程当中学习了拉格朗日，也是次选的方法，对于我们的主要部分呢，考研当中就喜欢考。等价无穷小代换，所以因此你发现，如果是今年的考题，对吧？

对于我们今年二零二四年的考题，等价无穷小代换一定有道题。没有之一，一定会出的，所以首先第一件事情你得记公式啊啊，这个东西的要求就两个，第一事情记公式。第二事情它的用法。把这两个事情掌握清楚，我觉得就没有问题了。而且我在这本呃讲义当中对这些题啊有所拔高，我相信我们的水平点，训练了之后啊，处理今年的考研真题，现在都没有问题。

好，我们先来看看第一个事情，那么首先第一件事公式得记住啊。在屈孝陵的时候。si nine s等价无穷多少？x阿克sines等价无穷多少？x tangents等价多少？x。arctangent呢等价s，这四个人是不是好记啊？这四个非常简单，sin er sine tangent arc tangent。然后接下继续ln一加s等价无穷s一的s减一等价无穷s一减cos二分之x方。一+s的阿尔法次方减一等价无穷s。阿尔法s这个当中最喜欢考的谁呢？

喜欢考这个的。哎，这里面当中啊，喜欢考这个人那么，所以说在这里面当中啊，我们再把这个东西啊，继续去补一下，这里面当中还喜欢考这个人。喜欢考开方的样子，比如说开个N次方减一，那这个人呢？立即写是不是等价无穷小多少n分之一s？如果在这种当中，他写的是一减x的N次方减一呢，立即等价无穷负的n分之一s，

同学们注意啊，我们不光要会。考的东西不是说特别难把这个不是特别难的东西啊，一定要掌握住做题的速度好，这个事情当然在这里面当中，这个人喜欢考。还有个人就是这里面当中还有个a的x- 1这个人。那这个人等价怎么操作呢？其实这个东西你不想背也行啊，你在考试过程当中立即做一个幂值转换，变成这个样子吧。然后接下来我们来看看这个事情，这是零吧，然后这是个数吧，两者一乘就是零，

就是框一亿的框减一，立即等价无效框。所以等价无穷，小多少x倍的lna好把这几个人呢都要给我记住好，这是我们在这种当中需要记的第一步。哎，这些人如果这个部分是加，那就是n分之一贝塔，如果这是减负的n分之一，贝塔能记住吗？应该可以吧，其实说将来过程当中我考的多一点，比如我在这里面当中写个考四次方，一加上四分之一s减一。等价多少？

首先看这是四，前面就是四分之一，当趋向零，这是框等价无效四s，这是s。是不是这个事情，如果再来看，如果这是一减五x开上四次方减一呢？继续这是四，前面是四分之一，这是框。对吧，这个框这是负的，前面一个负号五s，所以负的四分之五s，

所以速度非常非常的重要。好了，同学们听清楚了给我回复一，如果你有这个速度啊，你去处理去年考研真题的第一个题，我估计你只需要十秒钟。十秒钟都不需要稍微的眼神看一下这东西就出来了，都没有必要说我一定要把这个人写成一加上这个人的阿尔法次方减一的形式，没有必要了。把这个事情掌握清楚，好，这是我们讲的第一波内容，这是我们在这里面当中啊，常见的八个等价无穷小公式。尤其要注意，

它那么接下来我们来看看第20题等价无穷小的使用原则，大家有没有发现一个事情就这个知识点？是很多同学容易出错的。对吧，非常容易出错。在这里面当中，我们一直讲这个事情，用等价无穷，小的时候稍微的慎重一点，稳重一点，要扣着这个原则去走。但是很多同学不听呐，学时间长了之后就飘了，包括做极限一样，做极限形也不定了，

所以今天过程当中啊，把这个内容稍微重点复习一下。先看第一个事情，乘除法可用。乘除法因式可以用。在这里面当中非常简单，你看比如说我们看看一个事情，这是a这是b这是c-d。能不能用非常简单，比如说这个人能不能用，能不能用就把这个东西抽出来，跟剩下的人是不是构建成乘除法关系？就除我之外，我们两者之间是乘除法关系，如果是就能用，

比如说这里面当中a除你之外就是乘法关系。比如说b除你之外，就是乘法关系就等于零，那c呢？除你之外，这不行。因此，在这种当中a可以用b可以用，但是c和d不能用，跟得上我的意思吗？就是除我之外，是不是乘除法关系？那这就可以了，然后接下来过程当中，我们再来看看第二类加减法要慎用。

呃，在考研过程当中啊，乘除法的问题，你就直接用就行，就我们看到一个乘除法，哎呀，非常开心，就直接用。但是如果在考研过程当中啊，见到加减法，加减法怎么样，慢慢的进行去检验一下，它不用着急啊，绝对是在控制的时间在一分钟范围内。所以说只要你遇到加减法，

一定要怎么办？去检验这件事情，必须要进行检验。检验是这个事情当中的重点。怎么去检验呢？它们内容是这样，如果这里面当中f等价无穷小a，然后这个j等价无穷小于b。那么，在这里面当中，你能说这个f+j就等价无穷，小于a+b吗？不行。哎，不行，

我们在这里面当中啊，必须要检验怎么检验呢？它的要求就是中间用上加法，两者作比。你可以是这两者作弊，也可以是这两者作弊无所谓，反正你把这两者作弊求个极限。就来看看这个结果是不是负一只，要不是负一我就能用。所以慢一点，稳重一点，等你学多了之后，你眼神漂一下，你都知道能不能用了。好，

这是我们讲的这个问题，能听懂吧？比如说在这里面当中，我们来看一个事情。呃，比如说我们看看这个题零。在s趋向零的时候，然后这是e的s减去个e的tangent x。好同学们，我们来看看这个事情，这个东西能不能用？能用还是不能用？能不能用我们先检验一下，就是在这种当中，你分析一下这个事情。

对吧，分析一下，那分析一下的话，就是如果s趋向零，你就给这个人减个一，然后给这个人加个一一的这个tans。能不能用我们先用再说，或者你进行检验，我们先用再说，用了之后的话，你发现前面这个值是s，后面这人等价多少？提一个负号出去就是一亿的tan- 1趋向零，这是零吧一亿的框减一等价无穷小框，所以就减成tan。

有些同学就来了，说老师不对呀，这个东西可以用啊，你看这两者之比不是负一，不是说两者之比不是负一，我要看的是什么？我要看的是两者之比的极限是不是负一？这是你的准则，所以在这里面当中，你去检验一下，当x趋向0x比上负摊正题，这个人的极限就是趋向零。s比上负s就是负一啊，要看这个人的极限结果是否负一，不是看两者之比是否负一，

所以说这个人呢，绝对不能用。对吧，这就用不了，那如果在这里面当中用不了怎么办？其实这个题我都不会这样想，我会想什么？这是200000000做差吧？两翼作差会想什么事情呢？这个题啊，稍微的等一会儿可以吗？不要着急啊，这个题等一会儿过程当中我再来讲。这是我们讲的第二事情，就是加减法慎用，

只要见到乘除法，赶紧用，只要见到加减法先进行去检验一下。好，这是我们讲的第二个问题，然后接下来我们再来看看第三个事情。第三个事情就是次方幂，哎次方幂啊，也非常关键，那么次方幂是这样的一个意思。如果在这里面当中，你发现fs这个人跟gs是等价的。那这个时候fs这个人的阿尔法次方就跟gs这个人的阿尔法次方，只要这个阿尔法次方大于零。它就可以等价，

所以因此啊，你发现大于零的次方数里面可以先等价。当然，这个等价得满足等价的这个条件，所以在这种当中，比如说我们说一个事情，你看第一个事。如果s趋向零，那请告诉我个事情，这个sin x平方等价多少？非常简单，这是个大于零的次方数吧，因为sin x等价无穷x，所以说平方就等价它的平方。如果当x趋向零，

我们继续，如果趋向零，正趋向零正，这是根号sin x呢？等价多少？因为这是大于零的次方数，里面可以先等价，里面等价无穷，小S这一开就行，所以这两者东西啊，也是等价的。注意啊，只要是大于零的四方数，里面的东西啊，都是可以等价的，

没问题吧？哎，我觉得这节课大家这个水平点非常的好。好，非常非常的好，这是我们在这里当中啊，讲的这个次方幂的问题，然后再看第四个事情呃，大家下去过程当中啊，你可以把我上课讲的这个内容啊。自己列一个思维导图，然后你就知道了，我们在这节过程当中有多少知识点，比如说无穷小，尤其是使用原则有哪些部分内容啊是？

什么什么可用，什么时候不能用，还能怎么用？把这些东西天天复习一下好，我们再看下面一个事情可以推广使用。推广使用这个东西啊，我其实都不想重点讲，就是在这里面当中，比如说举个例子，如果在这里面当中，你发现如果是x趋向零。那这个sins它就等价无穷，小S我就可以怎么办？我就可以把这个人推广，我就可以推广成什么？

如果这个框去向零，那么这个s in框就立即等价无穷，谁等价无穷框，这就叫推广使用。就是我将来过程当中不会再去看这个x是不是零了，我要看的是什么，看的是这个整体的这个结果，它是不是零？能理解吗？所以一定要注意这个问题，那么接下来我们来看看一个点，比如说我来出一个题。在这种当中啊，我们写当s趋向无穷大。然后这个部分是s，

然后这是3s加上一二倍的s平方，加上五。好，我们求一下这个极限，这个极限怎么做？你再来看这个题。怎么处理？拿到极限先定行吧，你先定一下，因为s是趋向无穷，大一定要盯着这个帽子走啊，有的同学不在乎这个帽子。这个帽子是非常重要的，然后这个s是趋向无穷，大再来看。

你来看看这个部分，因为我如果看的话，我就单独看这个部分，我单独看这个部分的话，你发现我单独求这个极限。我单独求这个极限就是无穷大比无穷大的未定式。那这个时候就可以抓大头啊，我抓这个平方，你抓s这个人很明显比他大，所以说这个结果就是解零。哎，这就是零那既然你发现一个问题，这个极限是零，两者之间是什么法？两者之间乘法。

既然乘法，就可以等价了。你在这里面当中很明显会发现这个极限，结果是零零就是框，如果这个框趋向零。那么s in框这个人就会立即等价无效框，所以这个部分呢，它就可以等价无穷小于这个人。那么，一旦等价无效，这个人我就可以把他操作了。当x趋向无穷大只是二倍的x方加上五，然后这是x方加上x，我就可以抓了吧？我一抓的话，

你发现上面这个部分抓上平方，下面这个部分进行抓上二倍的x方，所以说这个极限结果等于多少等于二分之一？你看这个题，你觉得这个题能不能出成今年的考研真题完全没有问题啊？作为我们今年考研真题的第一个题或者第二题。完全可以啊，在这种当中考了抓大头，第二事情考了这个等价的问题，所以一定要注意自己的这个眼力，不要盯着这个人走。要盯着这个人的结果去走，哎，这是这个事情，过去了。

可以抛开s in，直接看里面的极限，什么意思啊？不是那个意思，你没有听懂我的事儿。大家注意啊，我在定型呢。就是我就想看看这个人何去何从。我就想看看这个人在趋向无穷大的时候到底往哪去，你要注意，你在判定呢？能理解吧，我就想知道你到底往哪跑，我就给你求个极限，结果我知道了你这个人往零跑，

你这人既然往零跑，你就是狂。理解我的意思吧好，这是这个事。呃，这个还有这个同学啊，这个乘四八四四f这个同学呃，你的零基础提前学是听了还是没有听啊？听都还没听。这这这可不行啊，那么在这种当中，你看你抓个大头一抓的话，上面抓它，下面抓它。所以说在这种当中有两种方法，

第一种方法眼睛漂就行，第二种方法你约一下无穷大分之一，这个结果是零。对吧，或者而言，你去看什么下面这个平方远远的比上面大。下面这个人比上面远远的大，这个结果不就是零吗？所以这个内容马上出来啊，没关系啊，这个慢慢进行去。提高可以吧啊，这个上课大家有问题啊，你们都可以问好不好？同学们，

我觉得这个基础班呢，都没有什么关系啊。所以在这里面当中啊，慢慢来，这第一个事情啊。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看啊，慢慢来呃，谁都会遇到这种情况，所以我在前两天过程当中啊看过。看了一个帖子啊，我是觉得这个。想想到这个当时非常有感触，我就觉得这个事情当我大家在这个学习过程当中肯定会遇到一些自己非常。

泛轴的问题，尤其是学数学嘛。学数学就是这样，有的人你发现你钻牛角尖钻进去了，等你回头看你发现我怎么会钻牛角尖呢？但是在其中钻牛角尖的时候确实容易钻进去也不难。但是你跳出来之后啊，就变得很简单，而且我觉得这个看过一句话对吧，因为我我看不到大家，大家只能看到我。我也不知道你们在屏幕前过程当中啊，听课的时候是什么样子的一个情况，对吧？消化是一个什么样情况？

但是呃，我觉得在这个初学的过程当中啊。大家肯定会碰到问题，你上课过程当中，只要你遇到问题，你就问就行好了，那么接下来我们就继续，我们再来看下面一个问题。这是我们讲的这个推广使用，要会推广，那么所以说上面过程当中讲的所有人都要会推广。就是这里面当中的这些问题啊，每个人都要会推广。对吧，都要会推广。

那么，接下来过程当中，我们来看几个题。比如说，类似于去年考研真题，你给我秒啊，比如说我们来看看例二。limits如果是趋向零正哎，我随便写，然后这个部分是根号下一减去三倍的根号s。开上个三次方，然后再减去个一，那么这个部分减去一个多少呢？再减去一个比上个s in根号s好，同学们注意啊，

这个题完全可以出成今天的真题。你看这题结果是多少？能不能秒？肯定可以啊，绝对可以秒，你看第一个事情当x趋向零正的时候，你发现这人是零吧零就是框s in框，立即等价无穷框。不是一，你看吧，慢一点。那样。你写成一的话，这个题就废了啊，慢一点你你发现你刚才做你连十秒钟都没花到，

我们说一个题平均下来可以用到一两分钟，你着啥急啊？好，我们来看看这个人，你发现当x趋向零正的时候，这是零吗？那么所以说在这里面当中，我们套哪个公式啊？当s趋向零根号下一减去s的N次方减一等价无穷多少n分之s配负号？那如果在这种当中是框趋向零，那这是多少一键去框开N次方，然后减一呢等价负的n分之一框？能理解吧，注意啊，不要不要不要不要乱来好，

我眼睛一瞅发现这个部分趋向零，前面是多少三分之一框是多少三倍的根号s？配上负号，因此这个结果等于多少负一哎，亏大发了啊，这个题你看这这个题类似于去年的考研真题吧？跟去年的考研真题非常的像啊，这是这个题不难对吧？但是你不要把它给我做错了，那么接下来我们再看看第三个问题，继续看。如果这是limit x趋向零。好，我继续写，然后这个部分我写成无穷大。

这是四一加上多少呢？x分之二我再减一，我再比上多少呢？我再比上一个，这是ln一加上x分之一。好，告诉我一个事情，这个极限结果等于多少？你发现他非常喜欢考这个人。是多少？那么在这里面当中看看第一个事情，当x趋向无穷，大趋向无穷大，这个部分就是零。就是框ln 1加框，

立即等价无穷框吧，然后再看下面这个人当x趋向无穷大，这个部分就是零。就是框那么前面是四就是四分之一四分之一，这是正框，所以说这个结果等于多少等于二分之一这个结果。是不是出来了？难度系数不大，但是在这里面当中啊，我们的核心考点的难度系数啊，在这里面当中不会说特别特别难。要把这个事情抓住，清楚过去了，可以吗？有没有发现老头子特别喜欢考这个人呐？

我们的真题就是这样体现的呀，一定要把它给我秒了，好这里面当做推广使用，我就讲到这，那么接下来我们再来看看下面的问题，无穷小量。接着确定。如何进行去确定一个无穷小量的解？那么，在确定一个无穷小量的积啊当中，有两种方法，那么在这里面当中，我们看看第一种方法。第一种方法其实就是在x趋向零的时候，把这个fs和sk次方作比。

如果这个极限结果它等于一个不为零的数，我就说什么情况，我就说在x趋向零的时候。哎，趋向零的时候fx为这个什么情况？为x的k解无穷小。可以解无穷小。什么情况呢？就是在这里面当中，把这个人跟这个人作比。这个人跟这个人作比k次方作比得到一个不为零的数。那这个时候这个人在这个什么趋向零的时候就是s的k减无穷小。啊，这是一种方法，但是其实我们经常而言不喜欢用这个方法，

你喜欢用吗？我很少用这种方法，我们经常用的方法是什么？我经常用这个方法。我就直接在看s趋向零的时候fs等价无穷小于a倍的sk次方。如果你等价无穷，小a倍的sk次方，我就说什么3s趋向零的时候，这个fs怎么办？fs为x的什么k？可以解无穷小。哎k接无穷小。所以我们怎么去操作呢？我们的核心重点非常的简单，就是找等价。

确定无穷小的接数的核心就是找等价，把它给我记到笔记上，只要将来过程当中我想去确定一个无穷小量的基因。我就进行去找等价，所以说方法论的东西，哎，方法论那么找无穷小确定无穷小量的阶的核心。接的核心就是找等价无穷小哎，就是来找等价无穷小。我进行去确定这个无穷小量级，我怎么去确定呢？我就进行来找等价，找到这个人的等价无穷小，我就确定出来了，这个人的解。

这就是我们去处理这种问题的核心，所以将来你发现比皆哎我去找等价，找到这人等价我就知道，皆皆都知道，那这人立即就出来了。好，这是我们在这种当中处理的第一个问题，点那么接下来我们来看看下面一个问题，如果这个人的接触确定了之后，你发现我还有一个原则叫做核取低阶原则嘛。河曲DJ，但是这个问题点呢，大家一定要听清楚一个事，我把这个东西啊注到这。这个东西的对象。

这个对象是有限个无穷小相加减问题。大家注意啊，是有限个无穷小量相加减，同学们注意一个问题点，这里面当中有标志是。是有限个，但是这个点不重要，我们考肯定考有限个，一定注意是无穷小相加减的问题。有限个无穷小相加减。只要是无穷小无穷小无穷小相加减，但是另外一个事情，这第一条对吧？它的对象是这个，那它的要求呢？

不通经哎，不通经。就是相加减的部分是不同减的。你如果是同阶，就没有什么意思了。两个人都是同阶，我怎么何取递进啊？所以它的对象就是有限个无穷，小量相加减，而且每个无穷小呢。接触还不一样，你的接触跟我的接触是不一样，只有不一样的时候我才会用，如果一样啊，我就不会用的。

那么所以说接下来过程当中，我们看第三个事情，它的内容，那么这个内容是什么呢？就是我们经常讲河曲d阶，河曲d阶，我把这个内容我们再来赘述一遍。就是如果说在一个这里面当中，在一个趋向下。如果这个fs的极限结果是零，它就是个无穷小。而且在这里面当中，我们又写这里面当中，比如说是gix。对吧tix。

这东西是fs的高级无穷小。那这个时候你发现这个无穷小，再加上第一个这个无穷小，再加上第二个无穷小。一直加到多少第n个无穷小，那么这个时候你发现它等价的是多少？等价的是这个最低点。你发现没？无穷小无穷小无穷小无穷小有限个无穷小相加减，而且每个人的接触是不一样的。当我接触是不一样，所以在这种当中我就取得了最低级。这就是我们的操作形式，那么在这里面当中，比如说我们举个简单例子。

比如说零。s趋向零。然后在这里面当中，这是三。然后这是e的x方减一告诉我个事情，这个东西呢，对非常好，就是一个无穷小，后面跟的高阶无穷小，这个东西就是个废物。你发现这个人等价的是一次方法。看阶的时候就直接等价，这个等价的是一次方是一阶，这个人等价的是二次方是二阶。诶，

这是二阶，所以说一个无穷小，后面跟上高阶这东西是个费用，就等价无穷大，再等价无穷大。那这个内容点就出来了，所以说叫做合取第一阶原则，把这个事情想清楚。过去了，可以吗？都是在回顾原来的知识点，我相信你通过一遍一遍的训练这个知识体系肯定在搭建起来。所以我们学习的这一点，希望同学们能建立一个非常完整的知识体系，这个非常重要，

你下去过程当中可以做一下思维导图。你对照这个思维导图啊，天天进行去复习都可以，这个思维导图你就跟着这个上课部分的内容，然后进行去看。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题来做一个题吧。把这个一点七这个题做一下，要不这样吧，我们稍微的进行去。减号无所谓啊。你比如说我写一个人。这是sins。然后的话再减去多少再减去t an ENT根号s。

那这个时候你发现第一个人什么解，第一人是一解吧，第二人是几解，第二人是二分之一解吧。你等价的是x嘛，你等价的是根号s嘛，所以这个题的话，你得改成零正啊，那这是二分之一节，所以合取第一节，你加上我，它就等价无穷小负的这个人。所以我们经常讲的是何取理解。我咋没学减去递减呢？没有，

是这个部分和这个东西相加，因此这个人等价多少等价无效负的根号x。是不是这个问题点哎，注意一下这个事行吧呃，那么接下来我们再来看看一点七这个题吧，我把这题讲一下，一会儿要不下课过程当中大家可以完成一下这个题。怎么样好？那么接下来我们继续。呃，你问的这个问题啊，就问错了。你看这个同学问了一个事，说x趋向零的时候x+1，然后在这种当中加上x方，

大家注意啊。这就不是无穷小。不要再去说常数了，这个跟这个同学问的问题是一样的，你看这个人的极限，结果是零叫无穷小，这人极限结果是零叫无穷小。你这都不是无穷小，谁会让你去找等价无穷小？首先第一个事情，这种题目就不会出现。所以考研真题当中啊，就不会出现你所问的这个问题，你想多了，它就不是个无穷小。

能理解我的意思吗？哎，注意必须要保证每个部分的这个极限，结果是零，你必须得保证它是无穷小啊。好，那么接下来我们继续再看一点七这个题来看第一个人吧。第一人考什么？如果s趋向零，那这个部分也是零啊。所以说这个部分就考了一个事情框去向，零立即等价无穷二分之一，这个人的平方也就说根号s开三次方的平方。那这人是多少呢？其实就是x三分之一的平方，

三分之一的平方是多少x的？三分之二次方？因此，这个人的阶数是多少阶数？就是三分之二阶好，这是第一个事情，再看第二个人，第二个人可以渺茫。一看这是负号，所以前面有个负的，看到三三分之一s，所以这人是几节一节可以秒啊，这个东西立即把它秒了。那么再来看看下面这个人，那么下面这个人的话，

我们先用一下，等价加减法，加减法用等价的时候先试一下。如果这人是s，这人是s，两者作比的极限不是负一没有问题，2s结束是几节一节？那么再来看下面这个人，那么下面这个人的话，你看如果这是s-s两者作比的极限是负一就不行。那不行，怎么办？我在这里面当中，我们刚才都做过这个事情，把这个tangent提出来吧，

这就是coss再来减一。所以说这人等价无穷s，这是负二分之一x方，因此这个整体是几节三节好，这是这个人。那么，再看最后一个事情，最后一个人怎么办？我们都知道一个问题，这是大于零的次方数。大于零的次方数里面可以先等价，而当x趋向零的时候，这人就是零就是框ln 1加框，立即等价无穷框，那这人就是二次方。

所以说这个结果是多少？就是三分之二次方。所以这个人的接数是多少？这人接数是三分之二g。体系出来了吧？哎，这个体系就出来了，很多人说老师这种题，我们考研会考吗？我稍微改一下不就行。你比如说你看这个当年过程当中，二零二二年考的题，他说下列当中谁跟s是等价，这种除法可以吧？或者我出下列阶数当中最高的是我就出下列阶数当中最高的是，

然后是a选项b选项c选项d选项e选项我就选。d选项三阶是最高阶吧，那这个题就是非常好的一道考题了，一定要注意这个问题，那么接下来我们再来看看下面这个题。把一点八这个题啊，我们稍稍微进行操作一下，看这个人，他说已知这个什么给了五个啊，这个四个函数。然后说在趋向零的时候，能够跟这个s进行等价的无穷小时。来看看这个人吧。解先来看第一个人，第一任非常简单，

它等价的是多少？二分之一s，所以说这个f不选。呃，注意一个问题啊，我们做题的时候要注意，我们做的都是选择题，所以这里面当中只要带有f的东西都不选，立即把这个d选项和b选项排除。好，这是这个人，然后接下来我们再看这个人，你发现这个部分等价无穷，小多少x倍的lna，所以这个人也不是所带有h的东西，

也不选。h的东西不选h东西不选答案，选a这个题你发现有会做选择题，我也不用去做，剩下两个人。我照样把这个题做得很好。排除法呀，排除法就出来了，也没有动，剩下两个人，当然我们在学习过程当中啊，还是进行练习一下，看看这个j。g这个人怎么做？要注意这个呃，

考试过程当中的这个方向性我们都知道，这个对数函数。对数函数在考试过程当中是这样。如果在求导的时候喜欢加减法，看到除法变加减法。但是在找找等价求极限的时候，我们喜欢的是乘除法，对吧？但是你发现这个东西如果看出阶，我也可以变呐。灵活一点啊，灵活一点就是对数函数看到乘除法可以变成加减法，看到加减法可以变成乘除法，所以说这个人就立即变成了ln 1+s。再减去ln1-x^2变成这个人吧，

那变成这个人的时候，我们再来看，请问。这个人是几级啊？因为你发现一个事情当s趋向零的时候，这个ln 1+s它会等价无穷s，注意啊，我在尝试，我没有做题。看阶的时候可以尝试一下，这人是一阶，然后接下来再看这是多少呢？一减s方这人肯定等价无穷负的s方吧？这是几阶？这是二阶，

所以根据何去递进后面跟的这个东西是个废物吧，所以就等价无穷大。因此，这个人等价无穷多少x，所以这个人是对的。那么再来看看下面这个人，那如果这个人等价呢？上面等价平方，这是s1除是s，那这个人也对，所以说这个题的正确答案，选择这个j和这个w。难度系数大不大？非常简单，你可以看出来，

这是二零二二年的考研真题，难度系数也不高。啊，基本考点好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看几个事情，把这个内容啊，我们讲的差不多，一会儿你休息过程当中可以进行去完成一点九这个题。好，我多讲几个，那么再来看看下面一个问题，常考的四大题型继续。你没有读懂题吧，人家说是跟x是等价的式，

人家不是说跟x是同阶的式。人家说的是等价，什么叫等价？等价的话，你发现我就一定要等价乘它。不是同阶同阶的话，可以有个系数。这叫同心。我俩接触相同。啊，要注意啊，读题对吧？读题啊，要好好读题好了，那么接下来我们再来看看下面一个事情，

看看常见的四大题型。第一件事情非零因子。哎，非零因子。非零因子是考研过程当中非常重要的事情，但是这个内容很多同学用的不好。什么叫非零因子呢？有两个要素，一个事情是非零，一个事情是因子。非零要保证这个人呢，他是个乘除法，因此要保证啊，这个因此要保证是乘除法，非零得保证这个人的极限，

结果得不是零。那么经常我们会考的一些非零因子啊，比如说这个在趋向于零的时候的es。对吧coss。这都是非零因子，那么请同学们告诉我，在等价的过程当中，能不能非零因子先算呢？也可以。所以注意在等价的过程当中，非零因子也可以先算，比如说我们举个例子啊，在s趋向零的时候。这个sins×1个coss，这能等价多少？

那这个题的做题方式啊，我有两种。比如说你看零。那么，这个人到底等价多少呢？我们可以走第一条方向线。方法一那方法一的话，你看这个人。乘上cos来，盯着这个人走。cos in 0是多少？cos in 0是一，cos in 0是一，而且两项乘法非零因子可以淡化。所以这个前面这个人等价无穷，

后面淡化成一，这就是x。跟得上，我们同学们好，这是第一个事情，第二个事情还有一种方法，我只要见到s in和cosine相乘，我立即可以想到二倍角公式，我就想到这个点。然后这个部分就是框，因此这个人等价多少三个框立即等价无穷框就变成这个人也可以啊，两个人之间的结果都是x。无论怎么做，这都是爱。听清楚了吗？

这是第一个事情，你比如说我们再来看，如果这里面当中我们再看第二。呃，当然，我们现在过程当中啊，可以把前面那个题讲了就行了，所以我们也不用心心去看例二了，前面过程当中我不是留了一个题吗？就这个题。还记得这个题吗？刚写到，我们把它做下。那么，请问200000000做差可以怎么做？

我只要碰到200000000做差，是不是可以提出后者？把这个后面这个东西提出来，所以在这种当中，我就把这个e的tangent提出来。提出来之后的话，你发现这个东西减这个人就变成了这样，然后再来减个一。是不这个事情，然后接下来过程当中，我们继续处理。那么，请问这一点当中的第一项是多少？那tan 0是零啊e的零是一啊，这一项跟这个人是乘除法因子，

又非零非零因子可以淡化。然后再来看看这个部分，它是零就是框一的框减一，立即等价无效框变成这个样子。所以接下来过程当中，这个人等价多少啊，我们就直接写啊，三分之一s三次方配负号吧，零基础提前学讲过了。所以这个人呢，立即出来了。你看200000000做差前面这个人可以淡化，后面这个人可以等价一等价就出来了。不难吧，哎，

基础问题。好，那么接下来我们继续，这是我们这里面当中啊介绍的这个第一个问题，那么接下来我们再来看看第二个核心考点。哎，这是非常喜欢考的第一种题型，然后接下来过程当中，我们再来看看第二种题型我用的是什么？一这种一好再来看二。二这种考点考的更多，就是如果一个函数趋向于。lin，这个函数符合等价的结构，这人呢，

立即等价无穷，小于这个函数再减一。考的谁多？我们考研过程当中特别喜欢考这个人，尤其我们三九六同学，你发现比数一数二数三同学还喜欢考这个人。如果这个函数趋向于1 ln，这个函数立即等价无穷，小于这个函数减一，那么这个东西的话，你发现分析就是这样分析。考的什么内容呢？只要看到等价就进行，想等价无穷小带换公式，那么这个里面当中这是ln一个函数。

ln的等价无效公式想的是谁啊？ln 1加框吧，我就这里面当中加个一，我再减个一。那这个时候你再来看看这个部分。你趋向于一，趋向于一，这一减的话，这就是零罗印一加框，立即等价无效框。是不是这个东西出来了，但是同学们不要在下去过程当中慢慢进行推理，直接背结果录音，一个函数趋向一立即等价无穷小，这个函数减一。

而且在考试过程当中啊，特别喜欢考一个人，你看喜欢考这个人。如果x趋向零。那么这个时候你发现login cos in呢？cosine零是不是一罗引函数趋向于一，立即等价无穷。这个函数减一等价无穷负的二分之x方。然后还喜欢考谁呢？一的s1的零是不是一罗印函数趋向一立即等价无穷，这个函数减一，然后就等价无穷s，你看这考的多多呀。只要考试过程当中考，这个人眼睛一瞅，

这个题就出来了。水平点立即上来了，所以我觉得对于我们三九六同学，你下去过程当中一定要把我今天讲的这个笔记上的东西啊，好好进行去记。注意啊，这个笔记上的东西啊，该背的东西也要背。啊，今天过程当中把这个笔记好好整理一下，下去过程当中笔记上该背的东西，把它给我背到脑子里面，然后再进行做题。好，这是这个事情，

继续来再来看第三条内容。如果一个函数趋向于。哎，这个函数趋向于。那么，如果是这个函数的阿尔法次方减一等价多少呢？好，我们来看看这个东西啊，你得进行去想想它适合哪个等价无穷小公式啊？一个人的阿尔法次方减一，他很明显适合这个人s趋向零一，加上s的阿尔法次方减一等价无穷。阿尔法x。如果一个框趋向零一，加上这个框的阿尔法次方减一等价无穷，

阿尔法框。是不是适合这个人啊？当然你也可以秘制转换，但我觉得秘制转换呢嗯。不太行好不太行，幂值转化了之后的话，这个部分的结果它。行不行也行哎，两种方法哎，这个同学提出了一个很好的方式，这个也行，可以可以幂值转化可以，所以这里面当中我们分析一下。思维方式可以有两个。第一个思路。

我就去想这个人，我就在这里面当中，怎么办？我加个一我，然后再减个一。那这个时候你就发现一个问题，如果这个人趋向于一，这个部分是不是零？零就是框一加上框的阿尔法次方减一等价无穷，阿尔法这个任框。是不是出来了？好，这是第一个方向，当然第二个方向也可以怎么做？幂值转换e的阿尔法次方倍的ln这个函数。

然后减一那这个时候你发现一个问题，这个部分就是1 ln 1这个部分的东西啊，它就是零。所以说一的框减一立即等价无穷，小于框就等价无穷小这个人。然后再来l一个函数趋向一呢，立即等价无穷，小于这个函数再减一，是不是做成这样？所以说这几个事情都是可以的。啊，这个东西啊，它不是幂值函数。这不是幂值函数，下面是个函数，

上面也是个函数，才叫幂值函数嘛，好，这个问题，所以说两个方向性都行吧？这里面当中啊，特别喜欢考这个人。来，我们来操作一下。如果这里面当中是x趋向零一减去多少呢？cosines开上N次方等价多少？你看看这个人。贼喜欢考。把刚才那个东西记住，一个函数趋向于一。

这个函数的阿尔法次方减一立即等价无穷。阿尔法倍的这个函数减一好这个东西啊，我们可以写一下。你看这个部分的东西，我提一个负号行不行？提一个负号就可以写成coss的n分之一，次方减一。然后这个东西就可以出来了。刚才说扩赛零不就是一吗？一个函数趋向于一，它的阿尔法次方减一立即等价无穷。阿尔法倍的。这个函数再减一。那么然后这个结果就出来了，这是负的n分之一，

然后这是负二分之一s方，因此这个结果就是n分之一倍的二分之s方。这个东西特别好背。你怎么去记呢？你思考一个问题，如果x趋向零一减cos，是不是二分之一x方啊？如果s趋向零，你发现给这个cosines开上个N次方，它也等于加无穷小二分之x方，只不过在这前面怎么办？多了个n分之一。开多少次方多多少开多少次方多多少把这东西给我记住。这东西能记住吧，就是n分之一倍的二分之x次方，

你看这个东西多精彩啊。把这个内容一下就想清楚了。把这个东西啊，记到笔记上。跟得上我的意思吗？哎，东西的点呢，必须要想清楚，这是阿尔法倍的这个函数建议。哎，把这两个等价系数那么最后一个事情，我们再来看看最后一个问题点，第四个点。两翼做差形式，两翼做差形式在考研过程当中，

只要见到立即怎么提出胡者？提后者好，这四个题型我们考研过程当中特别喜欢考第一个人，非零因子可以在等价的过程当中淡化。第二事情，一个函数趋向于1l，这个函数立即等价无穷，这个函数减一一个函数趋向于一，这个函数的阿尔法次方减一立即等价无穷，阿尔法倍的。这个函数简易，然后再来两翼作差题库者。那这就全了，达到这个水平肯定没有问题，那么接下来我们稍后休息会吧，

你在休息的过程当中把这个题给我完成一下。好不好？同学们把这题如果做完了，同学再去做一下，一点一零，如果你还做完了，再做一下，一点一一，还有这里面当中的一点一二。一点一三啊，都可以做行吧好，我们稍微休息会儿，你能做几道就做几道对吧，能做几道就做几道，一会儿上课过程当中我就直接讲。

好，稍微休息会吧，一会我们继续。

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02.函数极限计算专题突破（1）-1

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