01.函数极限定义与性质、无穷小量的阶-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:34:27

好，接下来我们就继续开始吧呃，这个我看了一下一些同学问这个礼包的这个事情呃，不用着急，就这一两天对吧，然后明天啊，我们是没有这个课程的。你基本上可以去看一下这个课表，我觉得同学们进行去跟这个直播课程呢呃，可能效果会比你去看这个回放的效果要好的多啊。所以我们所有的课程呢，为什么设置的都是这个直播课程，原因也在这，你发现你上课已经我们已经听了好几次课程了，你不光今天是第一次课程。

零基础提前学，我们已经学了十几次课程了，你听这个直播课程的效果肯定会更好一点，而且我们这个课程的设置啊，你基本上去看一下。一个周的课程是三节课。对吧，我们基本上一个周是三节课，比如说我们这个周的话是周一上课。今天周几啊？今天是周四是吧？呃，我们基本上比如说周二吧，你比如说周二上课，我下节课就是周四。

我再下节课就是周六。对吧，我时间就是这样安排的，中间的话，你刚好有一天的话进行去整理，做作业的时间。我觉得这个东西就非常科学，你不用就说这个里面当中啊，一股脑吃个大胖子对吧？一点一点的来，一点一点来。跟上这个课程，所以我如果这个课程的话，你发现今天你就听直播课程，我觉得这个直播课程有两个作用。

第一个事情当然的话，你上课有互动性，有互动的效果更好一点，其实不光有互动性，而且这个直播课可以约束你进行去认真的听。中间你拖不了进度条啊，我经常讲很多同学可能听回放的时候拉进度条下去，过程当中啊，如果你听回放，千万不能拉进度条。你可以倍速，但不能拉进度条，有些同学这个倍速也倍速的太快了，你敢把我的课倍速成这个两倍速两倍速，我不知道怎么样，

对吧？你要被被速的这个二点五倍速，我觉得还能挺吗？我觉得我基本上上课的这个语速啊呃，有的时候会稍微会快一点，有的时候基本上还差不多，有的时候会慢一点，因为一个一节课程嘛。我不能说永永远都是这个匀速上课呀啊。所以这是第一个事情，所以他你我两个小时，你看到我上两个小时，你就是两个小时，那中间部分的东西的消化，你就稳稳当当消化就行。

这是第一个事情，第二个事情它能约束你进行去啊，这个有计划的复习。我我原来零基础提前学的时候做计划的时候就跟你讲，你如果看了今天晚上有直播课程，你就会觉得今天是有事儿的。我需要进行去把这个课程消化到位。对吧，一直都跟着这个课程的话，你发现每次过程对你的学习也是个约束，另外事情它也是个计划，我直播课程到哪就是你需要达到什么目标？那就是这样的一个阶段，所以下去过程当中好好来啊，不用着急，

这个事情另外事情这个礼包呃，我们今天过程当中是这个16号。我们下次课程的话，刚好是周六，周六是18号，我估计这两天过程当中啊，你就收到这个礼包，这个礼包啊，你第一批礼包里面可能会收到。我不知道这个PPT你能看到吗啊，就这个。呃，第一批里面当中有一些这个周边对吧啊，然后这个礼盒，然后有这个第一本的一本通，

还有这个800题800题的基础分测篇。哎，800题的基础分测篇还有个强化分册，所以说强化班的时候的话，我们会记这个专题突破和这个800题的强化篇。啊，强化篇这个强化篇的话，我们呃里面当中啊是230道题，230道题，我感觉如果暑假不够，我这两天的话，感觉这个出题的这个。状态非常好，对吧？这两天的过程当中，

我再给你进行去把这个东西再加强一点啊，所以说暑假的过程当中，六月份你还会收到一本习题集。所以不用进行去担心这个习题，如果你觉得这个习题你还不够，你可以学有余力的进行去再买一本书，但是学有余力这个词怎么进行检验呢？你上课知识点都在在脑子里面吗？上课讲的例题都在脑子里面吗？这些东西是基础，我们已有配套的东西，你做了没有？哎，大家一定注意啊，我先不说我这个习题集一定比别人的好，

我不敢这样说，我不敢说这话，但是我这个习题集一定是跟我的课程匹。匹配的最密切的一本习题集。这是一定的，所以与其说把它装作成一个习题集我，或者而言，把它当做成同步作业。它可以称之为我们这个课程的同步作业，我学一节做一节作业，我学一节做一作业，就跟我们零基础提前学一样，慢慢来啊。好了，这是这个事情，

所以说第一批的礼包啊，你不用着急，也就这一两天的事情了，好了，那么接下来我们就继续，我们来看看第二事情，再来讲讲极限的基本性质。极限有几个性质呢？极限有三大性质，第一性质叫做唯一性。极限存在b为一这件事情没什么可讲的，你极限是一那或者比如说我举个例子。如果一个人说哎，这个极限是一或二，你告诉我这件事情，

这句话说的对不对？不对。啊，这或二不不对，应该是一且二这句话不对。哎，不对，要是一就是一，要是二就是二，所以同学们注意极限存在b为一哎，这是这个事。有复印版的吗？呵呵，这个没有对吧？这个没有没有这个复印版，

你要是想印呢，你就收到了之后，你再去把它复印一本啊。也行啊，复印一本也行，我看了一下那个数一数二数三的同学的，它有。哎，这个讲义呢？我看有些同学把那个书现在流行这种嘛，是把那个书裁了一下，然后穿起来了是吗？嗯，也行吧，就是你自己的一种学习方式啊。

我不太理解的话，这个是现在，比如说。是这本书，这能外面是能才是吗？然后把它定起来，我不我不太懂啊，这个现在学习这种学习方式的话，越来越高端了啊。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看下面一个事情。第一点呢，我们就重点讲了极限存在b唯一过去了，那么接下来我们来看看第二事情叫做局部有机性。

大家注意这个事情非常的重要，它叫什么呢？它叫局部有结晶。那么，在这里面当中，我们先来看看第一个事情。我说如果在limits趋向s0，我的极限是a。大家注意，如果极限是a表明这个极限是存在的吧？如果这个极限是a这个极限就是存在的，那我想问你个事情，如果这个极限存在，能不能说明这个函数有界啊？那么，

接下来我们来看看这个事情，这件事非常非常的简单。大家好好听啊，这是y这是零这是s，我先来讲一个问题，什么叫做有界啊？同学们，给我回答一下什么叫做有机零基础提前学过程当中，我讲过这个事情，什么叫有机？有界这个事情指的是能不能被两条线给夹住。这是巅峰理解水平。既要有下界，也得有上界。既有下界也有上界，

那么接下来我们看看这个事，如果这个人的极限是a。对吧，比如说我们画一下这幅图。好，这个极限神灵。那么，请问同学们，你这个极限是a，那我就说明一个事情，在这个附近的这些人就接近于a，对不对？那就说明在去心灵域范围内的人就接近原因。那我就能被a+1和a- 1进行加注啊。我这样讲能理解吗？

这是最简单的理解。当然，你可能看到书本上说什么a加这个e布斯龙，这个a-e布斯龙没有必要就简单一点，我们理解透彻就行。所以你发现一个事，这个附近的人肯定是有钱。但是我想问你个事情，然后外面的世界的人也有些吗？是所有人都有戒，还是只有身边的这些人有戒？因为你极限是a身边的，这些人都接近于a那身边这些人的话，接近于a肯定被a+1和a- 1加注肯定没问题。但是我想问你，

外面的世界的人有界吗？我说走你。你看你这块东西，你能说它有界吗？不能你只能说什么，你只能说这个附近有界。所以我们说什么如果趋向于x0这个极限是存在的，我就说什么，我就说在x趋向于x0的时候。函数是有界的。对吧，就说在这个附近这些人，他是有节的，那我再问你一个事情，什么叫做x趋向x0呢？

去新领域。就说明在这个去心领域范围内，它是有界的，所以大家注意啊，这件事情说的是x=x零的。去新领域。内它右键。跟得上我的意思吗？诶，就是去心领域范围内有解。所以记住这个事情。如果极限是存在的，就说明在这个趋向过程当中，有界就是去心领域范围内有界，你能说外面有界吗？

不能，所以你看看这个定理的名字叫什么？人家叫做局部有界性，你没看看吗？为什么说的是局部有界限，只在这个局部是有界的？外面的世界我不知道，然后接下来过程当中，我们再来看第二事情。诶，再来看，如果这是y这是零这是x，然后在这种当中啊，你发现第一个事情。如果这个部分是x0。

那我想问你个事，如果我的图形是这样。那么，请同学们告诉我个事情第二幅图。请告诉我第二幅图的意思是什么？就是s趋向于s0的时候，我这个人的极限结果是什么？我这个极限结果是无穷大。对吧，我这个极限结果是无穷大，如果你极限结果是无穷大，你在这个附近是不是就接近于无穷大？那你想这个附近有没有解绝对没有解，所以在这里面当中，我们就可以说在x趋向于x0的时候。

也就是去心领域内，这个函数怎么办？没有解，根本夹不住你，不可能夹住的，在这就是我们在这里面当中的内容。记住这个问题，如果趋向于这个方向，它的极限存在，我就说什么情况，在这个趋向过程当中有节。能听懂我的意思吗？哎，就是这个问题，那么接下来我们来看几个事情，

比如说举个例子，我们先看第一个问题离。那么我说几句话。我第一句话说这样，我说fx。等于sin x比x。3 x=0。去心灵域内。领域内。有劲。请同学们告诉我对不对？好，这是这个第一个事情，然后第二件事情，我再说fx=ln x。

然后在什么情况在x=0的右曲线领域内。去心邻域内，无界对不对。好，这是第二句话，然后再看第三件事情。如果这是fs。然后设是x绝对值比s，我说在x=0的去心领域内。内右界对不对？对不对？其实大家注意啊，我刚才讲的这些事情都可以进行推广的。那么，这里面当中啊，

可能第三个人是很多同学最容易犯错的问题啊，很多同学觉得这个第三个人可能大家有问题。那么，接下来我们看看第一个事情，你想请告诉我，他说在这个去心领域内有没有界，我可以怎么办？我可以求去心领域内的极限啊。在趋向过程当中的极限，这个极限是几一，如果这个极限是一，那就说明什么事，说明在往零跑的时候，它就接近于一。那接近于一的话，

你告诉我个事情不就说明什么情况，不就说明你看就说明在零的附近的这些人接近于一。他不就有界吗？所以这几个第一个事情对着吧啊，没有问题，极限存在在趋向过程当中有接趋向过程就是曲线领域。然后第二事情我们再看，那这个人说右虚心领域内有没有解我就进行去求右极限吧。那么，在这里面当中，你看这个右极限是负无穷。既然你这个极限是负无穷，我就说明什么事情，我就说明你在往这个零哎，从零阵往零跑的时候。

往零跑的时候，这个部分东西怎么办？最后将来趋向无穷大，那就说明这个函数在这个区域怎么办？没有解。大家一定注意个事情。是哪个趋向我就谈哪个。那么，接下来我们再来看看第三个人到底对还是不对呢？你再来看第三个人。第三个人的话，这个题我们可能需要怎么办？他要谈的是去心领域，这个题可能要分。要分零正和零负，

那么所以在这里面当中，我们先来看看零正。零真的话，这个时候你发现就比零大比零大的话，这是s分之s，这是一。那么然后再来分零负x趋向多少零负x分之绝对值零负的时候比零小？比零小的话，这人是负s，所以这是负一。那有些同学说啊，那这个极限就是不存在，不存在就没有界，大家注意哦，我们说的是存在在这个附近当中是有界。

无穷大在这个附近是没有界，那么同学们告诉我个事情，请告诉我很多说那这种东西也叫不存在，不存在就没有界吗？大家注意一个事情。不对，人家是有界的。如果你在这里面当中大致的看个图形，你什么东西都清楚了。你看你看看图形。就什么意思呢？就说我在这里面当中啊，你看就是这个样子哎，比如说我随便画，我这个是草图啊，

我这个画的图未必对啊。你看这半边是不是往一跑？那这半边往一跑，这个附近的人就接近于一这个附近是不是能被夹住有解？然后这一块的东西往多少呢？往负一跑，然后你发现这附近的人就接近于负一，所以它是个有节。所以你看这边有界，这边有界不就是去心领域内都有界吗？所以因此同学们注意，我把这个东西啊进行去推广。推而广之。什么东西叫做巅峰总结呢？好，

我们来看看这个事情，所以在这里面当中，你要注意一个事情，注意到笔记上我们来总结一下，要注意。趋向对吧？核心重点要看趋向。对吧，你就要看趋向，所以在这里面当中，我把这个问题点总结一下，将来就变得非常简单，就什么意思呢，它是这样。如果在这里面当中，

我这样写，这是limit x趋向一个框。如果你发现一个事情，如果这个极限是存在的。哎，存在的我就可以说什么东西啊，我就说这个在趋向于框架。然后这个人有劫。哎，大家注意啊，这个趋向于框下右键，如果在这里面当中，它说在levi tx趋向于框的时候。这个人的极限结果是无穷大，我就说什么，

我就说在这个趋向于框的时候，这个人。没有结果。哎，它没有解我，就说这两条内容，你看我就推广了，所以将来我过程当中，我们就看这样说，如果是趋向于s0。就是s0的去心领域内有界，如果是趋向于s0正存在，那就是s0正就是右去心领域内有界。如果你发现趋向于无穷大极限时存在，那就说明在趋向无穷大的时候，

它是有界同学们听得懂吗？是不这个事情，所以同学们接下来过程当中，我们就来看这个事情，一起来看。如果趋向于零的极限是存在，就说明在去心领域内有节，如果趋向于零，真的极限是无穷大，那就说明又趋心领域内是没有节。如果趋向于s0正极限是存在，那就说明什么情况，那就说明这个点的右曲线领域内是有界。如果趋向于零负极限存在，就说明左曲线领域内也是存在啊，

也是右键能听得懂我的意思吗？所以说这个人有没有界有界，就这么简单，对吧？你哪个方向极限存在哪个方向有界哪个方向是无穷大，哪个方向无界，而那个方向表示什么意思呢？刚才我们讲了一个例题，我把这个事情讲完了呀。就这么简单。所以把这个事情想清楚就行，听明白我的意思吗？注意啊，我觉得这个有界限的考题，我们可以考。

啊，说实话可以考，因为我们好些年没有考过这个事情，难度系数其实也没有说那么的大，那么接下来我们把这个东西啊。总结一下，就这块内容。好了，听明白了给我回复一吧，把这个事情能记住吗？看哪个范围内有没有界，就求哪个方向的极限。听明白我的意思吗？存在了有结无穷，大了没有结，

剩下的不知道剩下的东西是不知道的啊，注意啊，和推不回来啊。那么所以说这个有界性的判定啊，是每年过程当中的这个难点内容，所以今天过程当中，我把这个东西给你们总结一下，我们来看看有界性的判定方法，一会儿过程当中就贼简单。你放心啊，贼简单，你掌握住这个套路就行，那么接下来我们看看第一个事情。有界性的定义。你还记得什么叫有进心吗？

有界限的定义是，如果存在那个大于零的数。使得这个范围内的这个函数能被什么东西呢？这个人夹住就行。是不是这个事情也就说这个人的意思就说哎，你发现让这个函数怎么办？比这个数小，比这个负的这个数大。所以看一个函数有没有界，就是看什么情况，这个人加上绝对值小不小于一个人的数。所以在这里面当中，你发现比如说我们来住在这。有些非常经典的吧你，比如说你看s in这个人有没有解？

cos这个人有没有减？又借吧，这人是大于负一小于一，这人大于负一小于一，那如果换一个人呢？你看sin x分之一。coss分之一有没有解？这都是有解的。那么，这都是有界的，因为你发现，无论是s in谁，它都会大于负一，小于等于一，它都会被两条线夹住。

只要你能被两条线夹住，你就有节好第二个事情，那么在考研过程当中还喜欢考的，比如说这是阿克。潘正题这个人。对吧，这个人是有劫那，所以说阿尔克tangent这个框有没有劫？这个人也有劫。因为只要这个阿克坦正体这个人，他永远都是大于多少负二分之派，小于二分之派的。哎，这个人也是有界的，同学们都能听得明白我的意思吗？

这个图像你还记得吗？往上跑咔的一下，往上跑他是有界的。所以说这两人呢，都是有界的，常见的有界，这是我零基础提前学讲的，有没有界就看这个区间内的函数能不能被两条线夹住？你能被两条线夹住，你就是有界好，这是我们讲的第一个问题，那么接下来我们再来看第二事情，我刚才是不是讲了极限的局部有界限呢？来给我稍微进行回顾一下。大家注意看哪个方向有接就看哪个方向的极限，

那么在这里面当中，我们再来写一遍，如果怎么办？我在这个趋向下，你发现我的极限是存在的，我在这个方向下怎么办？一定有极。我在这个方向下的极限，结果是无穷大，我在这个方向下一定没有解，所以在这种当中我们来看看第一个事情。那这个时候你发现我就说什么，我就说这个人在这个趋向下，他是什么有界的？然后这个时候我就可以说什么，

我就说这个函数在这个趋向下，它是没有解的。哎，没有记录，所以说这个内容点呢，难度系数不大，但是大家注意一个事情，它只能说一个局部。哎，只能在一个局部。是在一个很小的范围内，有没有解？但是这个东西啊，还没有达到巅峰能力，接下来过程当中，

我们再来看下一个。下面一个事情，下面这个点可太重要了啊，你看看这个人B区间连续函数的性质问题。那这个内容的话，水平点可非常的高了。那b区间连续函数的性质，我就来重点讲一个事情，所以在这里面当中，我们先介绍第一个问题，什么叫做b区间连续啊？对吧，这个第一个问题，或者我写第一条。请告诉个事情，

这个人说如果这个函数我在什么区间连续，我在B区间连续。那同学们想象一个事情B区间连续什么意思啊？什么叫做闭区间连续？B区间连续什么意思呢？B区间连续啊，它有三层意思。第一层意思，我们先来看。他说的是内部一定连续。内部连续就说明这条线是不断的。对吧，这条线不断，然后第二件事情x=a处。你看这处就这半边这半边叫什么呢？

这半边叫做右连续。同学们告诉我，右连续什么意思啊？右极限要等于函数值。右极限存在要等于函数值第三个事情s=b处什么情况做连续。所以说这俩人都是单侧连续，因此如果在这里面当中画一幅图，我们来看看这个事情，好好理解啊。这事情贼简单，你看这是y这是零这是s这是a点这是b点。那你想一个事情，什么叫右连续啊，右边往它跑，跑到函数值右极限等于函数值，

还记得吗？同学们。这零基础提前学听了吧？好了，我先问一下啊呃，听了连续的话给我回复个一。没有听到，连续给我回复个二。啊，都能听到吧？好，我看看看这个事情啊，你你要是这个知识点你你都不知道的话，你你这个内容得复习内容啊。哎呀，

还非常好，非常好啊，那么所以说你看什么叫右连续呢？从右边跑，跑到函数值。然后什么叫做左连续呢？左边跑跑的函数值，然后中间是什么？中间是不断的。哎，中间是不断的。所以同学们注意什么叫做闭区间连续呢？我觉得是这样理解的。就是从a点出发到b点结束，中间不断同学们听懂了吗？

你想你看你这边跑跑到a这边跑，跑到b中间不断嘛，不就是从a出发到b结束吗？这件事情我们可以有人生哲学的意义啊。假设这就是你的出生。假设这就是你的死亡，那么同学们告诉我个事情，请问这是你的巅峰，你是这是你的这个死亡，你怎么走怎么走哎？你都要回来。对吧，你不能说走走走，你不回来了，你这上天了呀，

那你肯定得回来，那么所以说你发现从你的出生，你肯定会经历过人生的巅峰和人生的低谷再回来。是不是这个事情你绝对会经历过人生的巅峰，你也绝对会经历过人生的低谷，然后再回来，因为你发现你有这个起点到终点。他一定是这样，所以同学们，你发现既然有巅峰，既然有低谷，一定可以被巅峰和低谷夹住，请同学们告诉我有没有减？马上这条内容就可以写了，来吧，

如果一个函数。一个函数在B区间上是连续的。那这个时候我就立即可以写这个函数，在这个B区间上一定是什么有界的？哎，大家注意啊，如果你是B区间连续，你一定是有界的。所以在这里面当中，我们要注意这个事情，如果你在一个B区间连续，那在这个B区间上一定是有界的。能听懂我的意思吗？好了，这是这个问题，

那么接下来我们就来看第三个点了。那考研重点就来了诶，那如果改一下，如果在这里面当中，我说这个事情。我说这个函数在开区间内连续呢。同学们，想想一个事情，你敢说这个人有戒吗？同学们，告诉我个事情，你敢说这个人有戒吗？你当然不敢。哎，你绝对不敢。

你开区间连续，你怎么能说有界呢？那么接下来同学们，我们发现一个事情，我们来看看，我们来看第一幅图。那这个里面当中，我们发现第一个问题，这是y这是零这是x。那你想我举个简单例子，比如说y等于x分之一。这是y等于x分之一这条线。请你告诉我，他在这个零到一连不连续没有断呢？没有断，

当然连续啊，连续但是有界吗？没有界为什么没有界呢？因为这半边没人拦你，搂不住你了，你胡乱跑，你跑到无穷大去了，你没有界了呀？所以你看如果你开区间连续，你敢在这说说一个什么事情，说这个函数在什么情况，你在开区间内有界吗？大家注意，这就错完了。绝对不行，

你不能说开区间连续它就有界啊。所以接下来过程当中，我们需要对这个事情进行加以修正。哎，我得加以修真。我怎么去修正这个人呢？一修正他就有界了呢？大家来瞅一下，你看这一版面就很好。这半边的极限是一，这半边就很好。对吧，这半边往这跑诶，这半边你看有一只手拉着你。你这半边极限是存在的，

这个极限这只手就拉住你，但是那半边没有手，就像你一只手拎拎一个绳子，那个绳子有可能是没有接的。但同学们想一个事情，如果在这里面当中，我们来看一个事情，这是AB。你这个方向的极限是存在你这个方向极限也是存在，那这个时候你发现你两边不就有两只隐形的手吗？你听得懂我的意思吗？你这个极限是存在哎，我这边有人搂着你这个极限存在，有人搂着你，那这个时候你看，

无论你中间怎么好，怎么跑，怎么跑，你一定是有节的。是吧，这个时候就有界，我两边有人搂着你，对吧？两边一搂你怎么甩都行，那这个时候你发现这个动作是不是特别像扯面啊？像不像就是就就跟那个扯面一样啊，拉面一样，所以说在你往年的过程当中，有些学长学姐们把它叫做什么叫做扯面定理。哎，

就是这个玩意，扯面定理。所以在这里面当中，你发现一个事，他这个核心重点要求什么？你在这里面当中加一句话。且什么呢？这个方向的极限存在单侧啊，只要单侧极限存在就行a正的极限存在。且什么情况呢？然后这是b负的极限也存在。只要你这一侧的极限是存在，我这个人就有劲。所以在这里面当中，我们的核心重点是什么呢？

我们说的是如果你是开区间连续，你必须要保证什么情况呢？必须要保证这个单侧极限是存在的。哎，单侧极限是存在的，所以接下来过程当中，我们就可以整理做题方式了来，那么接下来考点内容做题方法了。破题方法，大家注意啊，这个东西还挺难的。哎，这个东西还挺难的，你不要小看这个内容。如何求。

如何求。啊，如何判定？初等函数的有界性。这个内容掌握清楚了之后，你就相当于把它当成一个套路进行去处理就行。对吧，如何进行去确定一个什么初等函数的有机性，什么叫初等函数还记得吗？都忘完了。就是由基本初等函数进行有限次的加减乘除，复合而来的，用一个式子表达的函数是不是啊？这个定义太长了，我不喜欢这句话。

就是什么情况，你所见到的一个式子表达的函数。你所见到的一个式子表达的函数。像分段函数一般，不是初等函数，对吧？一个式子表达函数。能听懂我的意思吗？你你要不知道什么叫你看一个一个一个这都这都是。所以你发现这初等函数，初等函数有一个特点，在定义区间内都连续，所以首先第一个事情第一步。找。初等函数的无定义点。

对吧，我来找到这个函数的，没有定义的点，比如说你看我拉一条线。我拉了一条线了，之后的话，你发现我来找到什么情况，我来找到这个人的没有定义的点你，比如说a点没有定义b点没有定义c点没有定义，那这个时候我就把这个函数分成了什么？就分成了负无穷，到A区间a到B区间b到C区间c到正无穷区间。这个时候我就把这个函数分成了，在这个开区间连续这个开区间连续这个开区间连续这个开区间连续。找到无定义点就把它分成了多个连续的区间，

然后接下来我们用怎么办？用扯面定理求单侧极限就行。所以在这里面当中第二步。用扯面定理求单侧极限，不信你下去试没有你做不出来的。啊，所以说你只会见到一些这个书籍当中，把这个题目的答案写的非常的麻烦。没有说你用这个东西，你做不出来的怎么办呢？用扯面定理求单侧极限。只要你这个单侧极限是存在的，你就是有机，其实这个事情也可以这样理解，你想想是不是你也可以这样理解？

你这个人不就是什么情况，你看我再给你教一种理解方式，你这人不是开区间。连续吗？那开区间连续的话，我怎么办？你看这个是开区间连续，我怎么办呢？我在中间截一刀。对吧，我咔的一下截一个人。我截一个人了，之后的话，你看这个人是不是变成了去薪领域啊？这个人是不是变成了去心领域啊？

只要这个去心领域内的极限是存在的，他是不是有解去心领域内的极限存在这一段，是不是也有解？而这是B区间内一定的右界，所以求右界呗。你能听懂我的意思吗？就是这个方向的极限存在，这个方向有界，这个方向极限存在，这个方向有界b学员连续本来就有界，那就有界呗。我说完了。能理解我的意思吗？所以说同学们注意这个事情，如果你将来过程当中啊，

你看你见到的是什么，你见到的是a到b，你就要求这两个单侧极限。能理解吗？你看你如果得到的是a到b，你就要在在这里面当中求什么？求a正的极限。还要进行去求什么求b负的极限，那如果你碰到的是这种情况呢？这种情况注意啊，我只用求开的，我只用进行去判断什么，我只用判断b。负的极限。我管的是开区间B区间肯定都是有间好，

大家听明白吧，我们还是做个题吧，来感受一下，你看这个题。说实话，这个题啊，我们就可以秒了。首先，我们先看第一个事情，请问这个函数它的没有定义的点是多少？它的没有定义的点。它的没有定义的点是负一。所以说零这个点是有定义，因此这个人的话，他应该是在哪个区间？

他应该是这个区间。零这个区间是有定义。所以大家注意，零到正无穷，这个a选项我们只用做什么？你看a这个人的话，他应该是一到正无穷。啊，应该是零到正无穷。所以说这个时候我只用求哪个方向，我只用去求这个方向。这是你的定义域吗？对吧？零到正无穷，这个定义域都有意义，

这次我不看了，我就看正无穷极限，正无穷极限，这x方比上x+1同学们注意抓个大头。因为这是无穷大比无穷大的未定式，无穷大比无穷大，未定式可以抓大头，上面抓它，下面抓它，真是无穷大。这个方向的极限结果是无穷大，说明什么事情？说明这个人没有减，所以答案选几选a啊？好了，

这个事情听懂了吧？哎，这是我们的a选项，跟得上吗？我的意思吗？所以说你看这个题非常简单，好了，我们再来看第20题初等函数。第一步，干嘛先找定域吧，那这个人的无定点是多少？很明显一个事情，这个人的无定贼简单哦。你这这这再做不会没没办法了，第一步找无定义点零是没有定义的点，

所以说零到正无穷都是开区间。因此这个人是多少零到正无穷，都是开区间得求几个侧得求两个侧，那么这里面当中你发现首先趋向于零阵。这个极限是多少无穷小乘有界无穷小极限是存在，然后再来看看当x趋向于正无穷。你求这个极限当x趋向正无穷，如果x趋向正无穷x分之一就趋向零。所以在这里面当中，你发现这就是框，那这是框的话，就是s in框立即等价无穷小于框，那这个极限是减一。所以你发现两侧极限存不存在两侧极限都存在，有没有界有界哎，

这个人是有界跟得上我的意思吗？非常容易啊，就是你做题套路掌握清楚就行，来再来看c选项，请告诉我一个事情c选项的没有定义的点在何处啊？来，我们再来看。c选项这个初等函数第一步第一步干嘛找无定点，它的无定点是多少？它的无定点是负一，我跟你讲这个东西照猫画虎都能做出来。没有做不出来的，它是负一，所以你告诉我个事情，这个人应该是多少零到正无穷，

只用看几个测，只用看一个测，看这个测，所以说我们只用去求什么？只用去求真无穷，这个人的极限，这个极限是几一，所以存不存在，存在有界他不行。对吧，我要找没有界的，这题要找无界的。然后再来看看d选项，这个函数本来就有解，因为它介于负二分之派到二分之派中间，

它本来就有解。它不行再来看e选项来继续啊，再来看e选项e选项的没有定义的点是多少来再来瞅。那么，这个人的话，你发现e选项没有定义的点是零，所以说你看这个人是没有定义，因此是零到正无穷。对吧，这个人就是什么？这人就是零到正无穷是开的，所以在这里面当中，我们首先第一个事情要求什么零正的极限？还要去求什么？还要去求正无穷的极限，

那么在这里面当中，我们操作一下零正零正分之一是正无穷。真无穷加负号负无穷，一亿的负穷往回跑，往零跑好，再看下面无穷大分之一是零，一亿的零是一。两侧的极限都是存在有没有界有界不行？所以说这题答案选几选a简不简单？我跟你讲，你要不会做这种题啊，你真的有点对不起人啊。而这贼简单第一步干嘛？初等函数啊，第一步找它的没有定义的点。

然后看看这个区间，如果都是开看双侧极限对吧？如果你发现一个b一个开看单侧极限。如果两个都是b，那就不看了，肯定是有限，就这么简单套路就行，对吧？找到没有定义的点，把它划分成多个开区间的样子，然后用扯面定理求单侧极限。你能看懂这个事情吗？我不说别的，像这个题好多同学都看不明白。你去试一下，

好多同学他都看不懂。他们看不懂这个事情，到底在说什么？而这个事情就很尴尬。好了，那么这个信息点我们就讲到这儿，那么接下来我们再来看看下面一个问题，稍微拖会儿堂啊，这个今天因为是第一次课程，我因为开始讲了一些这个。开班的一些内容，复习的一些方法，注意的一些事项，所以说我们呃，这个后面的部分内容，

我再讲一条。来再来看看下面的事情。那么就叫局部保护性，局部保护性啊，也叫脱帽保护性。哎，就是脱掉这个极限的帽子，什么样的一个意思呢？它是这个意思，我们来看看这个问题，就说如果你发现我s趋向s0的时候。我这个极限是什么？我这个极限等于a，我是大于零。或者我就直接写我这个极限大于零。

极限大于零。那我想问你个事，我接下来能得到什么信息？我就说这。如果我这个极限大于零，接下来过程当中，我们来看一幅图。好，先给我看第一幅图。这是y轴，这是零，然后这是s，这是s0吧？那极限大于零的话，你发现你看现在这个人极限就大于零啊。

对吧，这个极限大于零，你能说这个函数就大于零。那我画大一点。那我画大一点。你能说这个函数大于零吗？极限大于零，函数就大于零，不是这样子的，你发现这个东西叫什么？这叫一人得道，鸡犬升天。你只能说什么？你只能说哎，你发现你极限大于零，

身边这些人非常靠近大于零。所以说应该说身边呢，身边应该是去腥领域。因为我没有到这个点，我的身边是去心领域，我只能说什么不是领域啊，是去心领域则什么情况在x0到。虚心凌欲内。这个函数大于零。听得懂我的意思吗？你能说很远处大于零，你看这很远处小于零。注意这个问题啊，那么接下来我们再来看第二式。这个点非常简单，

也就说如果极限大于零。对吧，我这个人的极限大于零，我就可以说什么情况，我就可以说这个函数在这个趋向过程当中，它就大于零。这个非常简单，你看我就把这个帽子给去掉了。所以同学们注意这个问题点非常简单，你看怎么去掉帽子呢？你就看这个帽子是怎么样？在这个范围内，我就能把这个帽子给去掉。能理解吧，好了，

那么接下来我们再来看，如果小于零呢？哎，你看这是s0，如果这个极限，你发现你看这个a现在是小于零极限小于零，你能说所有小于零吗？你只能说这一块是小于零。你看如果在很远处呢，你看人家这个人还能大于零呢。对吧，你哪知道我怎么样，我很远处我爱怎么样怎么样，关你啥事，对吧，

所以说这个问题点，你要想清楚，因此在这种当中应该说什么？如果在x趋向x0的时候，我这个极限是什么小于零？你只能说什么去掉这个帽子看去向，只能说什么在x0的什么读。去心灵域内。这个函数小于零。想去掉这个帽子，你就看看这个去向。是不这个问题，那么接下来我们再来看第三个事情，那如果极限是等于零呢？好，

再来看看下面一个事情，第三个事儿，那这件事情是会考察的啊，那么再看第三个事情，如果我这个函数是这样。那你告诉我个事情，现在这个极限什么情况？现在这个人的话是limits趋向s0这个极限什么这个极限等于零。但是你发现等于零的时候，这身边的人呢？哎，这身边的人呢？你敢不敢把这个帽子去掉？你说这个几这个人等于零。不能吧，

你看这身边的话有大于零，也有小于零，说不清楚了。能理解吗？要想去掉帽子，必须是什么？要不是大于零，要不是小于零。去掉这个帽子，看这个去向，看这个去向，就能把这个帽子去掉，所以叫脱帽，保护性或者叫去帽，保护性。

因此，我们经常讲对保正好保负号不保零。保证好保负号不保零。能理解我的意思吗？好注意这个问题啊。这件事情能想清楚吧，保正好保负号不保零。所以像这种类型问题往往在什么情况下会考察呢？知道极限振幅性。知道了一个极限的正负性，想进行去看，在这个附近的时候，这个被求极限函数正负性来看一道题。把这个讲义啊，我们先来看看一点四这个题。

好，来看看这个题，那么接下来过程当中，你看我知道了这个极限的正负性吧，他想看看在这个去心看。看到了没？他想看看在这个去腥领域内这人的正负心，告诉我考什么？也就说我现在知道了这个极限是大于零，他想看在这个去心灵域内，这个人什么情况考什么？考保护性吧，这太容易了，所以在这里面当中，我们来看第一个事情，

也就是说在x趋向零的时候，这个fx比上s这个人什么零？大于零，这个人大于零，我想把这个帽子去掉，必须什么时候才能谈呢？必须是一定要注意，必须是在。s=0的什么邻域？同学们，告诉我个事情，什么领域一定注意是它的去腥领域。想脱掉这个帽子，只能在这个范围内把帽子去掉，所以你发现一个事情，

这个有个很形象的一个意思。只有在你的领域内，你才能去掉你的帽子。然后在外面进行去行走的时候，你必须要把帽子戴上，这是你的标志。你能理解我的意思吗？必须要戴着帽子进行走，等你回到你的家中，这就是你家回到你家的时候，你把帽子给去掉，没有关系，哎呦，好形象啊，对吧？

能理解我的意思吧，这就是你家对吧？你去向林就是林的去心领域，这就是你家在你家，你可以把帽子去掉。当然的话，你发现你必须要保证这个人大于零还是小于零，所以这个时候你看我就可以把这个帽子给去掉。而你发现在这个范围内s什么零大于零，你知彼这个情况的话，你看知彼大于零，下面大于零呢，那这人肯定大于零。而这个范围s什么零小于零之比大于零，下面小于零呢，

上面肯定也得小于零。负负才能得正，所以同学们告诉个事情，它说去心灵域内都大于零，去心灵域内都小于零，对不对？不对。它不对，它在这个范围大于零，它在这个范围小于零，所以这不对，然后我们再看右区间领域内它大于零，右区间左区间内小于零，右区间零大于零，没问题。

然后又去零大于等于零不能必须大于零，所以答案选d同学们学会了吗？对，林玉是你家。对吧，在你家里面你就可以脱掉你的帽子，但是必须要保证这个极限是大于零的时候才能脱掉。好了，同学们，你想清楚了吗？能学会吗？一定是可以的。极限大于零，在你加里的时候你就大于零。没问题吧，

极限大于零，在你家你就大于零，极限小于零，在你家你就小于零。好，这是这个事情，如果把这个事我们来推广一下呢？来下面这条贼简单来看这个人。那如果说什么情况，如果这个极限是大于a呢？那大于一的话，你发现这个帽子能不能去掉也可以，我就说什么情况在你加的时候你就大于一。两种理解方式。你极限大于a，

说明这身边的那些人就大于a，或者你这样理解。哎，我们分析一下。那么同学们，你看我把这个人移过来。s趋向s0，这是fs我来问你个事情a存不存在？a存不存在？存在的吧，存在就可拆嘛，对吧？加减法当中，只要见到存在就可以拆呗，那是不是说明这个人极限大于零？

没问题啊。这个没问题吧，你看这是存在的，我就给拆出去啊，那么你的极限减a的极限不就是a吗？大于零，那同学们想一个事情来，我们看看保护性啊。刚保护性说你这个人大于零，则在你家里面，你这个帽子就可以去掉，你这个人是不是大于零？你这人大于零，我就比a大呀。没问题吧？

所以这件事情非常简单。能理解吗诶，所以说到了最后我们就看，如果我的极限大于零。在我的去心领域内，我就大于零，我的极限小于零，在去心领域内，我就小于零，我的极限大于a，在去心领域内，我就大于a。我的极限小于a，在去心领域内，我就小于a。

那不就是这样吗？然后在这里面当中，我还可以进而推广，再看最后一个事情。你再看好好听，好贼简单，你看第一个事情，请问同学们，它说它的极限比它的极限大。我的极限比你的极限大，说明什么事情？说明极限存不存在？肯定存在呀，你不存在怎么比较大小？你是不存在的，

我是不存在的，你说这个不存在比那个不存在大，你不胡说八道吗？大家注意，你不能说你不存在，我也不存在，这个不存在比那个不存在，大胡说八道，没有这个事情，它一定是存在的。所以在这里面当中，你分析一下这个事情。既然是存在，我能不能拆开？同学们存在能不能拆开？

存在当然能拆开。他是不是变成这样？你的极限存在，你的极限存在就拆开你的极限，减你的极限嘛，那不就比他大吗？这没问题吧，来一起看。这个整体的极限大于零，则在去薪领域内，帽子就可以脱掉，这个人大于零，那不就说我比你大吗？所以这件事情你发现我的极限比你的极限大了，在你家里面他就比他大，

你的极限比他的极限小，在你家里面你就比他小。但是同学们注意，永远注意一个事情，保正好保负号永远不能保零，所以你看这块都没有，等于号都没有，等于号。保证好，保护好，不保利。好了，这些事情听明白了，给我回复一。贼简单哦，

就说我的极限大于零，在去心领域内我大于零，我的极限小于零，在去心领域内我小于零。我的极限大于a，我在曲线领域大于a，我的极限小于零，我在我家里面就是曲线领域里，我把帽子去掉，我小于a。我的极限比你的极限大，我在我家里面，我比你大，我的极限比你小，我在我家里面比你小，

你就注意一个事情，把这几句话学一年都学不会，那我就就没没办法了。你绝对能学会的来看一道考题，把这题给我灭了，我给你明确讲，这就是二零二一年的考研真题。这是新大纲更改的第一年，考了一个极限定义的题来灭了。选几赶紧告诉我选几。看看这个事情。请问同学们，你的极限是一？你能说明这个函数值就是一或者二吗？说不清楚的。

你极限是一，你能说明该点函数值怎么样？我刚才讲过极限跟该点函数值没有半毛钱关系。我的极限是一，我该点有可能不存在，我该点有可能是一，我该点也有可能不是一，我跟你该点函数只有半毛钱关系吗？没有。BD，不选。然后接下来我们再来看你，很明显会发现我讨论的是附近附近附近什么叫附近你家里面？那么，在这里面当中，

我们就可以看，如果s趋向s0，现在我的极限是解一。我极限是一吧，我极限是一的话，你发现我就小于二分之三。是不是这个事情我极限是一，我就小于二分之三？那你想一个事情在。哦，他说结论必不可能成立的是哎呀，这个题我看错了。这题就是我在选谁是对的。哦，我在选谁是对的，

要不这样题我改一下吧，我来问你个事情，下列正确的是我改一下，我把这个题我讲完，不然的话。哇，这个都都讲到这儿了，我我不把它讲完，我有点对不起自己，我说下列结论一定正确的是。一定正确的是，好了，同学们告诉我事情，请问这里面当中哪个人一定正确？极限是一，

你能说该点函数值是二吗？不能，你能说该点函数值一定是一吗？那不能。跟该点函数值没有半毛钱关系，来我们再来看我的这个极限是一。说明我的极限是小于二分之三的。我的极限小于二分之三，在我的附近不就小于二分之三吗？脱帽保护心。然后再来看看第二事情，我的极限，这个结果的话，你发现是一，我肯定怎么办？

大于二分之一。对吧，我的极限大于二分之一，我极限大于二分之一，在我的附近，我就大于二分之一，没有问题，然后第二事情。我的极限是一我的这个极限怎么办？一定是大于三分之二在我的附近呢？一定大于三分之二，所以说这个题啊，如果改成这样就选AC好了。同学们听明白了，给我回复一。

没问题吧？好听明白了给我回复一啊，你发现这节课稍微的比可能说比那种纯计算的题啊，有些同学不喜欢学。不喜欢学这一节课，就把它卖过去了，好那么接下来我们看来看看它说下列决论当中不可能成立的是。那么，请问同学们，你的极限是一我这点的函数值有没有可能是二有可能？函数值有没有可能是一也有可能就说我的极限跟那个点处的函数值没有关系，你那个点处函数值是什么情况都有可能，你爱是什么什么？然后接下来我们看下面一个事情，再来看a选项a选项说你的极限小于二分之三附近，

小于二分之三对着呢。你的极限大于二分之一，在附近大于二分之一，对着呢，但是你的极限是什么？大于三分之二，你的附近必须大于三分之二，答案选一。好了，同学们，这个题剖析完成了吧？没有什么可讲的了，就是这个题你学到最后，你能学会的东西也就这样了。你学到这个水平也就可以了，

能听懂我的意思吗？好，这个问题点我们就讲到这。好，掌握清楚给我回复一吧，哎，这个问题。好，这是我们讲的这个一点五这个题，所以下去过程当中好好进行去处理它。好，这是我们讲的这个问题，来再来看看最后一个事情。哎，最后一个事情。

那么，接下来我们看看这个题目。哎，这个题目这个题目考了什么呢？它给了两个函数，这题是我编的题哦。呃，你来评评这个题编的怎么样？来看看考点。考了什么东西呢？给了两个函数，比较在一个什么东西呢？比较在去心领域内，它的大小。比较在一个趋向下，

两函数大小。问题怎么做？对吧，我就比较在这个趋向下两个函数谁大？同学们，想想比较的是什么？比较的是家中用什么东西啊？用刚才保护性的推论。那个东西也叫保续性诶，也叫保续性保了一个什么续性呢？你想一个问题。我比较在这个趋向下谁大，我只需要怎么办？我只需要去求这两个趋向下的极限。对吧，

我就求这两个趋向下的极限。我的方向就求这两个趋向极限，你的极限比我的极限大，我就说什么情况在这个趋向下。你比我大。如果你的极限比我的极限小，在这个趋向下，你比我小。所以你发现这就是我的考点内容，我作为一个题的时候，我得想到我不能天马行空做现在而言的话，你看考的是又区新领域告诉我什么范围？刚才讲过右曲线领域，其实就是什么x0啊，这就是零正方向x趋向多少零正？

那么，所以接下来过程当中，我们就求极限呗，先来看第一个事情，这是limits趋向零正，然后这个fs极限是多少？fs极限就是limits趋向零正sins比s，这极限是一。然后接下来过程当中，我们再来看limits趋向零正js极限，那么这个题的话，你发现就是limits趋向零正。然后接下来继续只是一一减去cos根号s比上s。求这个极限，那这个极限也会做吧ln啊，

你看发现这是一减cosine框等价无穷二分之一，这个框的这个人的平方是不是x这是二分之一？是不是这个问题啊？那么现在就得到了一个事情，马上就可以说明，也就说在这个x趋向零正的时候。在这个趋向临阵的时候，我这个人的极限比你的极限大。那你想在这个趋向过程当中，我的极限比你大，那也就说什么我的极限比你极限大，在这个趋向过程当中，我就比你大，帽子可以去掉吧。帽子去掉，

我比你大。答案选a同学们，听懂了没有？比你小，不可能大于等没有等号，小于等不可能无法判断，判断出来了答案选a呀，你觉得这题编的怎么样？它非常符合我们三九六同学这个考研的这个方向性。你看这个事情。所以下去过程当中好好进行去练习一下这个事情，听明白我的意思吗？呃，我一直给你讲一个事情，你们不用按照这个数一数二数三同学的课程去听。

因为今年过程当中，对于你们而言的话，我觉得非常幸福的一个事情就是这是我呃，在这几年过程当中啊，我是从二零一五年开始讲考研数学。到了今年过程当中，应该是讲课的第八年。那么，这八年过程当中，第一次开设三九六数学的全程班，以前过程当中只开冲刺班，可能有些同学呃，也听过一些冲刺班呃，那个口碑还可以啊。还算不错，

那么今年过程当中，我们开设的这个第一届的三九六的全程班，我相信你跟这个课程呢，一定可以把这个东西啊，学的非常非常的好的。所以你你们不用继续去看这个数一数二数三同学内容，有些部分东西的这个切入点呢，你得按照三九六同学的这个方向进来。你看今年编这个题，这就是我们最新的二一年的考研真题。这是最新的二一年考研真题，你得按照这个方向先走。所以在接下来过程当中啊，好好进行处处理啊呃，你如果跟着那个数三听那个不定积分蒙蒙的，

那是因为什么呢？因为你没有听零基础的不定积分。数一数二数三同学是在零基础已经开过了一次不定积分，然后再进行去讲这个不定积分。你能理解我的意思吗？所以你看他们的咔咔的进行凑一分，凑的很准，然后公式背的贼溜，人家已经学过了一遍了。然后的话，你再进行去听，你肯定会有一点压力啊，就跟这个课程一样，你比如说你看刚才你在求这个极限的时候，我其实写的比较啰嗦。

我估计很多同学你发现眼睛一瞅就瞅出来二分之一。那么但是有些同学说这啥这什么玩意儿，你没有听零基础提前学的课程呐，你听这个东西又费力了。包括在这里面当中，你看刚才我讲这个B区间连续我讲连续的时候，你要没有听零基础提前学，你连续连续是什么？你又不清楚了。你学到今天，你终于明白我为什么在第一个阶段的过程当中给你们进行去讲这个零基础提前学课程吧。你自己想想，你要是零基础提前学学的舒服，你今天听这个内容，你会听的贼爽。

你如果没有听，你发现你看这个第一个题，你听起来就费劲，然后接下来过程听这个骗子题，你都估计都听不懂。然后下面过程当中，你看这些事情，秋季前几个部分的课程呢，它是衔接的，所以说我觉得我们三九六所有同学的课程的正式的部分的课程应该是从今天开始的。我我在零基础提前学习阶段过程当中啊，对大家的要求说实话是非常低的啊，我对大家而言的话，我没有过多的要求。我就觉得你听好你的课，

你下去过程当中做你的作业就可以了。但是我就觉得从今天开始，我们的正式课程。大家注意，正式课程应该是从今天开始。哎，从今天开始。上一个阶段的部分东西啊，只不过是仅仅是一个预热阶段，大家先听啊呃，这个手机都有，全程都有啊，你不用去管这个事，这个全程都有。我上课写的手记全程都有，

就是你们用的这个电子版的这个这个讲义啊呃，这个讲义部分的话，我们只会发这个第一章。呃，第一章结束了之后，你应该都会收到你的这个这个书籍，收到之后啊，我们就不给同学们进行发了好了，同学们哎，这是这个事情。所以同学们注意啊，我们三九六同学的所有的正式课程应该是从今天开始，那我就想强调一个问题了，那么从今天开始啊，你的学习态度。

诶，你注意一下，应该要转成。哎，要转正这件事情非常的重要，你的学习态度那么上一个阶段的过程当中啊呃，你可以去看看数一数二数三。对吧，我其实有些部分的过程当中，我是有严格的要求的，比如说有些部分的打卡，你尽可能能打哎，当然的话，你就尽可能打。其实我在这年过程当中会跟同学们进行组织几个事情的，

尤其是你后面过程当中，你们也会学到不定积分，我也会组织你们进行去打卡的。你可能看到这两天看到他们打卡很爽吧？对吧，三天课程把内容学完，然后连续这六天进行这个不定积分的训练，每天二十道题，每天二十道题，刷刷刷这个能力一下就上来了。所以同学们注意，从今天开始啊，你的学习态度要转正，注意跟直播，这是第一步。

哎，第一步，所以下去过程当中啊，你要注意一个事情，你一定要尽可能跟上直播课程。如果你实在跟不了，一定要及时的把这个回放看了，不要拖啊。对吧，顶多就在一两天的时间内把这个什么把这个回放赶紧看了。不要在那拖，请不要囤课，听懂我的意思吗？不要囤课，你越囤越多，

所以今天的话我可能会你会发现我很啰嗦啊。我啰嗦，我就在这里面当中啰嗦，这一次因为今天的课程呢，我们算正式开始了。所以希望同学们注意你能跟直播就跟直播，跟不了及时不回放，千万不要吞课。是不是这个问题，所以这是我们在这里面当中说的第一个事情呃，你们不用进行去补这个补丁积分，因为我们后续过程当中，我们的补丁积分在那里面当中，我们会重点讲的。好，

这是一个事情，然后另外一个事情，大家注意一个事情就是下去的学习方法的问题，一定要整理笔记。对吧，例题例题搞定，内容搞定，再做作业。这件事情你要注意，这个部分有些同学就没有这一环。下去过程当中也没有这一环，下去就直接做作业一做，哎呀，一团糟怎么办？不要怎么办？

你下去过程当中先把内容消化，再把例题搞定，再做作业。如果这个时候你发现有些作业题没有做好。对吧，有些作业题的话，你发现没有做好，没有做好的时候怎么办？我再进行去看看是不是上课的一些东西没有消化到位啊。还是这个题，我没有怎么见过呀？还是这个题，我能学习一些新的东西再整理。注意啊，这是这个事情，

所以我建议同学们你们跟着直播课程就走就行了，下去过程当中不要在二刷课程。我觉得没有必要。不要说什么叫做整理呢，就是把课再听一遍，什么叫复盘呢，把课再听一遍，不不不，这不叫复盘。听了直播课程了之后，如果有哪些部分是痛点下去，可以通过回放进行去补充，不要把回放当做成主要部分。回放是一个匹配，我们的课程的部分。

听得懂我的意思吗？有会学习有的呢，听了一年课，一直在听课，一直在听课，不做作业，不整理，不复盘，你后面成绩怎么好？所以这是这个事情，那么最后一个事打卡呃，之前过程当中，我在零基础的时候，我就跟你说了，你们可以组织组织几个这个好一点的这个战友。

一起进行去复习，因为这个线上过程当中啊，大家呃，有的时候下去做作业，没有人监督，未免枯燥。所以大家可以进行去什么啊，有个小组的问题是吧，你可以组织你的小组，大家注意哦，从今天开始非常重要，因为组织你的小组。当然，如果你觉得你自主的这个自律性非常强，那你就自己好好复习就行，

所以同学们你可以自己组织一个小组。这个组织你自己组织吧，这这还要还要我来吗？对吧啊？考研战友同班同学考研战友。对吧，我们都是一个班集体的，这个战斗，所以同学们，你们自己可以组织一下，对吧？都是跟着呃周老师进去去学习的同学。所以我觉得你们方向性都一致，然后下去有些作业啊，出现了问题了，

然后的互相可以去讨论一下。如果这里面当中最近学习的话，你发现出现了一些问题啊，可以互相讨论一下，所以我觉得这个小组很重要，然后另外一个事情就是你的学习打卡。你的学习打卡可以在你的小组里面进行，也可以去我们的超话，我的超话叫做考研数学啊，这个一笑而过，考研数学重要性，你也可以在里面进行去打卡啊，那里面。全部都是我们呃，我的一些学生。

所以你发现里面当中啊，全都是跟着我进行学习的同学，所以你可以在这打，当然的话，你也可以在我的平台当中打都行啊呃，只要我在这里面当中啊，看到了。直播课程的好处就是这样，我经常的话，我看到一些同学的一些问题，我下次过程当中我就会去解答，如果你想让我看到你就艾特我就行。对吧，当然的话，你可以在这里打卡，

我觉得这个打卡不是为了这些事情，最重要的事情是什么呢？最重要的事情是。可以监督着自己更加的自律。因为这个东西是一个长期的一个过程。我记得去年班级上有好多好多同学呃，这个下周就会出成绩了。啊，当然的话，以前过程当中呃，这个往上上届对吧？他们成绩都已经上研究生了，那些同学你发现坚持一两天谁都可以。坚持两三天，谁都可以，

你要坚持一年，你就是一个非常有魄力的同学。所以我觉得这个东西也是个监督作用，你今天打了两天，对吧？你发现你发现第三天过程当中没打，你不难受吗？你肯定贼难受，反正我很难受，我觉得我有强迫症，我不知道你有没有我强迫症贼严重，你上课过程当中听了几次，你估计都知道我就有强迫症。我要打了，打了九次，

第十次没打，我能难受一天。所以同学们注意这个东西啊，也是你自己对自己的要求好了，这个点呢，我们就说到这。好了，那么今天课程我们就简单讲到这今天啊呃，第一天课程没有作业，因为今天部分东西啊，我们讲的东西不是说特别多。下去过程当中，你就好好进行去整理这个笔记就行，听得懂我的意思吗？哎，

今天这个部分的东西啊。还算我们在学习第一章当中的难点，如果你觉得学习起来哎，也没有那么难呐，周老师说难，我不觉得难呐，我觉得听的还挺好，那我就觉得这是这节课最大的收获。所以下去过程当中这一节课整理笔记就行，然后我们的作业是从下节课，因为这节课讲的东西啊，没有说那么的多，所以说这节课的作业不是说特别的多。呃，这里面其实也可以做，

对吧？就看看。然后你们去把那个作业做了啊，稍微等我一下。呃，要不下节课再做吧呃，下节课再做也行。下节课再做吧啊，这个。你们也可以去把这几个题做了。把这个第一个考点，这个第一个考点，你去看看零基础，提前学听懂吧，看看零基础，

提前学把第一个考点做了。你像什么这个定义域的问题，你像给一个这个人的话，求这个人极限的问题，当然你可以留到下节课再做下节课一起做吧。然后如果你想做的话，你就做第一个题。做下第五个题，做下第六个题，哎，一五六。做一下第一个题，做一下第五个题，做一下第六个题，这是零基础，

提前学我们讲的那个什么呃，讲的那个函数部分内容。你去看看，比如这个偶函数了，单调性了，然后对于我们三九六同学呃，如果下节课过程当中，你觉得有问题的这个点呢，我就把这个东西我给你们进行讲一讲。呃，这是我预排的呃，你们收到那个比我这个排版的好看啊，我这个是没有排版的，这是我自己自己自己排的。你们那个是发到排版公司，

然后进行去排版了之后的啊，所以说这个是原稿的内容，你们那个会比我这个好看多了啊，就是我们今年的高分必刷八百题啊。好了，那么这个点呢，我们就讲到这吧，好吧，同学们，唉，这是我们今天这个事情，然后的话，这个下去过程当中把这个作业啊，我们从下节课开始慢慢来，然后另外一个事情，

我这个作业上的题有些部分的东西啊。难度系数可能会稍微的大一点点啊，然后这个的话，一会我也会把第一章部分的题给你们发到这个APP里面。听懂我的意思吗？我也会把第一章的题发到APP里面，然后你去下载一下，然后这两天过程当中，大家都会收到这个纸质版的讲义说。收到之后啊，我们就不给同学们进行去发放这个了，好那么今天啊，是我们三九六同学的第一次课程啊，我相信同学们呃，肯定是以一个非常好的一个状态，

然后我们从今天开始啊。认认真真的备战这个考研数学，因为这七十分呢，对你们而言，我相信在这个金棕数学当中啊，是非常非常关键的，希望同学们好好加油。我们的要求不是说考一个百分之八十的高分，百分之九十的高分，我们要求的是接近于满分。顶多呢，只错两道，就说达到这个六十六分以上的这个成绩，这是我们的要求，好了，

那么今天课程呢，我们就讲到这好不？同学们下去过程当中好好加油。好吧，同学们行吧，第一天呢，我们的课程我们就讲到这，然后下次课程我们就是周六了，好，我们周六再见吧，好，周六见。

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01.函数极限定义与性质、无穷小量的阶-2

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