10.零基础考点精讲10-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:24:36

行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。那么今天啊，是我们这个三九六零基础提前学的最后一次课程，我们来把这个啊，前两天的话过程当中给同学们发的这个。啊，试卷零基础通关测试卷，我们把这个东西啊，

作为一个重点的精讲，然后把这上面当当中的每个题啊，给同学们进行去讲一下，然后把这个部分的知识点再来回顾一下。当然，在这个听课的过程当中啊，大家也要进行去啊，帮这个把这个自己的错题啊，好好整理一下，当然如果这个题出错了，自己要好好进行去反思一下。是哪个部分出现的问题？是你的运算能力没有达标，还是这里面当中的知识点给遗忘了，还是在复习过程当中啊，

没有进行去复盘，调整一下自己的学习方法。呃，这个奖就是我们今天啊，这个已经开始印了，所以说大家不用着急，而且的话，今年过程当中这个三九六啊，你是真的不用着急进去去买很多这种别的参考资料书。我们今年当中啊，这个资料是完全足够的，那么今年过程当中，我们这个三九六精综数学也有个高分，必刷800题。所以在这里面当中，

我们嗯，我讲多少你就跟着来就行了，对吧？你就不用进行去按照那是数一数二数三的课。对吧，我们这个是零基础，提前学课，一直跟你讲三九六精宗数学跟数学三是不一样的，要求是完全不一样的。所以在这里面当中，去年过程当中啊，突然间难了，然后的话导致了很多人说啊，这个要按照数三复习，不是这样子的。

那你还是得按照数学三九六同学的话，我们的要求来，那么今年过程当中，我们呃这个题目啊，也是给同学们有的这个专门的一本这个习题集。呃，很快大家就可以进行去收到这本习题，因为还在印，所以大家就不用进行去催，我们今天过程当中啊，调了一下这个时间。你看一下课表，我们是16号，然后进行去上课，所以说接下来过程当中啊，

还有这一个周的时间好好进行去复盘一下，如果大家的话比较着急的话，你可以放后面的过程当中啊，可以进去去看看。但是同学们，你按照我们的节奏走就行，没有任何问题，我一直跟你讲经验，过程当中我们三九六同学还是比较幸福的。因为今年过程当中，我们开设的是这个三九六的这个全程班，不是去年过程当中我们开的这个冲刺班，那么像往年过程当中我们也就仅仅到了这个九月份和十月份。给三九六同学们，我们开设一下这个啊，

冲刺救命班的课程，但是今年过程当中，我们有基础班，我们有这个强化班，我们也有这个冲刺，还有最后的点睛，还有这个模考。所有的课程都有，所以你们经验过程当中一定不用继续去着急这个事情，你只要采访我们每一步，我们给大家设定的这个节拍就行。那么，今天过程当中，你看这个习题，我也把它分成了这个基础分册，

所以说接下来过程当中啊，你收到的这个本就是基础的通关分册，当然的话，我们还有本这个。三九六同学的这个讲义，所以说这个里面当中的题目，而且针对于我们三九六同学这里面当中，你发现看我都给你进行去写了一下这个建议的用时，还有这个题目的难度系数。因为我们基本上而言，对大家的这个做题速度还是有要求的。因为我们在考研过程当中，我们考察的题目是35道题，你看今天过程当中我们考了一次试，大家有些同学呃，

我看了一下那个微博，还有一些同学在小红书当中艾特我。然后看了一下，很多同学把这个卷子做完，然后的一些感受，那么大家的话，你可能做了一次这个卷子了，之后啊，我们这套试卷呢。是总共是有30个题。你做了一次之之后，你发现我们这个题量还是挺大的，你虽然每个题啊，难度系数不是说顶高的那种，但是你发现这个题量也是挺大的。

而且我们考试过程当中，不仅仅有数学，我们还有这个逻辑，还有这个写作，所以说你在这个做题啊，你慢慢吞吞的话，你最后你发现时间根本不够。我们在考试过程当中，我们总共有35个题。35个题啊，总共做题的时间应该是在一个小时20分钟到一个小时30分钟内，所以说每个题的这个做题时间应该平均下来是。两分钟到三分钟。那这样讲，进行去讲的话，

有些题目你可能做题一分钟就把它秒了，但是有些题你两分钟就秒不动，你有可能需要做到四分钟。所以最后平均下来是每个题啊，接近于两分钟到三分钟，所以大家注意一个事情，不要对两分钟有过多的这种执念。那么，将来过程当中，我们收到这本习题集啊，有些题目你发现两分钟你根本秒不掉，有些题的话你发现三分钟都秒不到。所以有些题你必须要做到这个四分钟，有可能是五分钟才能把它做出来，所以大家注意一个事情，

整张试卷的做题要平衡。至于这个做题的这个模考的这个方法，等到我们这个九月份真正进行模考的时候再说，有的时候你发现一个题太难太难太难。那这个时候你发现大可把它放弃啊。你可以跳，所以叫弹跳式做题方法，但是我们现在这个阶段，我不希望有这个这样的一个想法，那么今年过程当中给同学们开设这个全程班。我们有这个基础，有这个强化，所以到了这个冲刺啊，我们希望同学们必须保证一个什么事情呢，至于我们三九六同学遇到的这个考研的模考卷当中的所有的题。

你必须都在这个有效的时间内把它做完啊，这是我对同学们的今年过程当中的一个至高要求，好了，这个点我们就不多说了。没开三九六之前。啊不不不，用多买啊，不是不是没没有那个多花这个钱干嘛？我们是可以调的，对吧啊？就是你三九六可以调过来，然后。然后的话，这个可以调的啊，是可以调你自己的话呃，

如果中间的话，可能这个数三的话，那个全程班还贵一点，也会有个差价会退给你。所以大家注意不用都买啊，不用不用浪费这个时间啊。呃，好了，这个点我们就多啊，不说了，那么接下来我们就正式开始，所以说接下来过程当中啊，大家就会收到我们这本啊，这个800题的讲义，还有我们的这个正式的讲义。

所以同学们今年过程当中啊，你们大可放心，而且这个数三同学吧，数一数二数三同学，他们的这边讲义已经收到了。那么当然的话，我们这个印呐，都会印成那种b5纸，就是你经常买书，你知道吧，那个书的话，那个纸张叫b5纸，那么今年的话呃，但是很多同学反映说那个空间不够。所以给我们三九六同学，

我今年专门给你调成了a4纸a4纸是比那个b5纸要大一点点的啊，稍微的大一些，所以给你调了一下，那这样的话，你发现你收到这本。我觉得空间更大一点，你做起来更爽一点好吧，好，这个事情我就不多说了，另外一个事情大家一定要注意，你接下来过程当中你收到的这本800题啊。这里面当中的这个题目的空间是不够做的，所以将来过程当中啊，你准备一本做这个800题的这本。白纸也行，

对吧？空白纸也行，本儿也行，但是不要怎么办呢？每年过程当中都是这样，有的就是把这个所有的题的答案都写到旁边，就这点空能做下来吗？所以大家稍微的进行去准备一下，当然我们上到这个基础班的第一次课程，我会重点跟同学们去说这个事情，好了，不多说了，那么接下来我们就准备开始。那么，接下来我们把这个通关测试卷，

我们做一个详细的讲评，但是在讲评之前呢？我先来点一下，就是我们啊。呃，已经上了这个十几次课程吧，接近是十次课。那么我们这么长时间的这个课程呢，我们相信已经稍微的有点这个学习的感觉了，那么这个零基础提前学课程，为什么每年我开会就是我们其实三九六同学，我们直接开基础班就行？那为什么我会在前面过程当中给你加个零基础，提前学课程呢？有两个问题，

第一个事情，这个部分的课程的学习啊。一个事情是希望同学们感受一下这个考研的这个学习的这种状况，学习的这种氛围，还有这个学习的这种方式。希望同学们稍微的进行融进来，那第二个事情，这个零基础的课程，那么把这个部分处理清楚了之后，下个阶段的这个基础班的课程的学习啊，会更加的轻松一点。所以说这两个部分的课程就是无缝衔接的，那么在这里面当中，我们上过这个十次课程了之后啊，那么简简单单十次课程，

我希望同学们通过这次考试。你稍微的话，对你前期过程当中这一小段的这个复习啊，做一个反省，做一个总结，如果你发现这个测试卷做的很好，证明这么长的时间段内我的学习。我们的这个复习方法是完全正确的，那么将来过程当中就按照这个走就行，那我不希望同学们有些同学这个学习方式啊。出现了问题，但是你发现一直都没有测试，为什么因为发现一个事情，比如说我们现在是二月份。整年整年过程当中做的第一张卷子在十月份。

结果十月份的时候做卷子之后发现效果不理想，那这个时候你发现调整方法，时间就来不及了。那么，考试至少有个成绩啊，这个成绩可以对你的这个复习啊，有点这个提出一点检测作用吧。所以在这个今天过程当中，我们这个考完了之后，希望同学们稍微的进行去把之前的部分东西啊，稍微调整一下，第一个事情，那么就是我们三九六同学的这个。做题啊，需要把控的几个事情，

第一个事情你必须要非常熟练，难不会特别的难，可能说那去年考试的难。那么，去年的考试难，其中只有五六个题特别的难，但是大部分的题的还是核心方向。所以在这里面当中一定要注意一个事情，就说我们特别的难的题，不是说特别特别的多。所以在这里面当中还是考察核心的题，一定要注意非常的熟练。难不会说特别特别难，但是你要熟练，我举个简单例子，

比如说隐函数求导，你要反应的特别快，比如说导数定义，你要反应的特别快。也就说我们考试的部分的东西不是说特别特别多，但是有效的题型一定要注意看到它就立即要反映出来。所以说核心题型的方法必须要掌握清楚，那第二事情也通过这次考试啊，给很多同学有一个反省。你发现这个高分真的是看你的复习速度吗？我看了一下这个有些同学的话，在这个小红书当中啊，或者是这个微博当中啊，发的一些帖子，我看了一下，

有的人说反映说什么事情呢，说我们这个基础班六月份才结束。稍微的慢慢，我可以明确跟你讲一点都不慢，你可以去看看这个数学，一数学，二数学，三他们复习的东西更多，我们也是这个基础班是九六月份结束。所以说这个速度一点都不慢。我可以明确的讲，我们三九六同学的话，这个基础班上完你就可以进行去做，往年过程当中三九六同学的9%。95以上的题。

不能说100%，因为有些部分的题啊，我会在强化过过程当中还会跟同学们进行去延展，所以说每轮的这个课程呢，都是一个无缝衔接的过程。所以因此一定要注意，不要老是进行去看，哎呀，说这个人家别的同学都已经看积分了，我在在这里面当中才进行复习到导数，我零基础提前学才复习完。那有些同学还没有开始呢。我在2月26号。呃，今年的话，

这个三九六同学，我们只有这一个班级，所以不会设置这个三九六同学的这个全程二班，那么在这个2月26号，我的这个数学一数学二数学三同学还会开设一个全程二班。那个时候他们才开始这个零基础天气学，而且那个班级的话，最后很多同学在这个学习数学，一数学，二数学，三最后都能取得一些非常非常好的成绩。难道这些同学都无望了吗？不是的吧，到有些同学的这种感想说，那我三月份复习太晚了，

那就无望了呀，不是这样，还有一些同学从六月份开始的呢。所以，尤其对于三九六同学，我们注重的是复习质量，不是看你的复习速度，你朝朝之急急的把它复习完，但是你发现效果不好，你又得来一遍，又得来一遍。我一遍走过去比你复习三四遍的复习效果好，所以在这里面当中一定要进行去改观一下自己的这种复习认识，不要太急。尤其是从哪年开始呢？

从二一年开始。每年的话，考研同学们这个呃，反正不管怎么样，就是特别特别的着急，我记得我原来上这个一六一七一八一九的时候。二零年的时候，我当时这个一八一九年的时候，这个在北京新东方上课，每年的话，暑假的过程当中还会有一个基础班。不可思议吧。七月份了耶，还有个基础班，你说那些同学怎么办呢？

二零二那个班级的话，最后还有些同学考了一些非常非常优秀的分数。而且这些优秀的分数的这个人数还挺多。所以现在而言的话，不是说不是太卷的问题，是这个网络过程当中给很多同学造成的各种各样子的这种焦虑状态，特别的焦虑。今年的话，班级上有二战同学吧，还有一些二战同学是我去年的话，这个学习数学一数学二数学三班级同学。你发现我在去年三月份的时候，我就一直在上课的过程当中说这个问题，我说同学们怎么今年过程当中尤为的焦虑？特别的焦虑就是你复习的这个积分的过程当中，

有些人的话这个说我已经复习到这个多元微分学了。你说你复习高等数学的话，有些人说我已经把这个这个线性代数复习完了，等你说复习基础班的时候，有同学说我开始做真题了，你说你理他干嘛呢？我只要踩在拍子上，每个阶段的这个课程消化到位，质量复习的很好，到了最后的这个考试，我一定能取得非常好的成绩的。我六月份之前就做基础工作。七月份到九月份的今年的暑假班，我们就进行去刷题，我们就进行去强化提升，

九月份的之后，我们就进行冲刺，同时我们进行模考卷。所以这样的一个复习安排，不就是合情合理的复习吗？着啥急呀，所以将来过程当中啊，别人说哎，你复习到哪说？说这个我们财经基础提前学复习完，他说那我已经复习线性代数了，你告诉他，你先不等你自己回答，将来别人问说你复习哪，你说你复习了哪？

他说，线性代数复习完，你说你真题都做完了。他说真题做完，你说你已经做模拟卷了，你说往年的过程当中，我说听说二三年的模拟卷还挺好，我去把二三年的模拟卷都开始做了。所以说你发现不要管他，你要试着给别人制造焦虑，你自己而言要在这里面当做，不要受到别人的影响。所以说今天过程当中，我尤其想强调这个问题，对吧？

我们才零基础体现学，不要焦虑这个问题。所以第三个事情，那么接下来同学们，我们这个第三点我先不说，一会儿过程当中我再说，一会儿过程当中我在讲题的过程当中，希望同学们注意一定要进行去分析。一个题出错，一定要注意一个事情，它背后有可能有各种原因。是上课的内容消化不到位，是作业没有复习到位，还是这个复盘没有进行东西都给全给忘掉了，导致的这个部分的话，

你发现这个卷子。做的不是说特别好，所以这一条一会我会重点的说好了，同学们，那么接下来我们就正式开始我们零基础通关测试卷的这个奖品，我们先来看看这里面当中啊，有个前三题。呃，这个前三题啊，我在这里面当中啊，我写的这个非常的苛刻，你自己好好进行去改一下，这里面当中一定要注意。全对得十分。只要你有一个出错，

请你注意一个事情，你就给自己改零分。所以说这个题啊，只有十分和零分，不要说啊，我就错一个，我跟你讲一个都不能出错，我一直给你讲一个事情，你考三九六跟你考数学三要求不一样。数学三同学的要求说啊，有些人说我就考到120分，那就可以了，我能丢30分，但是对于你们而言，我们这这个70分尽可能考到60。

啊，我都要求这点其实是顶多错两三个，也就是64分以上。顶多错两三个，不要错太多了，所以说我们现在而言的话，你们提早开始也不就是希望同学们能考的更好，也希望上一个更好的学校吗？所以说对于三九六同学，我觉得大家而言定的要求啊，一定要高一点，对吧？就不能出错，那么接下来我们来看看这几个人。第一个人就是这八个，

等价无穷小公式，自己去默写一下，然后这个五个有态的公式所进行去推出的，这个等价无穷小公式。哎，等价公式那么这几个人呢？就是分别是is趋向零的时候，比如说is进行去减sin is进行去减arcs in。s进行去减多少呢？这个什么arctangent哎，比如说减去这个tangent，还有这里面当中s减去这个arctangent，还有这个s减去这个ln这几个人。哎，这几个人非常的重要，

当然在这里面当中啊，你也可以再进行去记一下这几个人，我不复习了，对吧？我也不会给你写这是多少，你不要来问我啊，你这个东西你对照一下就行。还有第六个人，那你想一个事情，这些东西都是怎么推的你，比如说第一个人。第一人泰勒展开第一项被干掉了，留下第二项负六分之一，负负得正不就是六分之s三次方吗？那所以说在这里面当中，

我们再来看你，如果减一减s呢，你看这个人。那这人也是泰勒展开他的第一项，是一被干掉，第二项是s被干掉，留下第三项是不是二分之x方，你也可以把这个记住，这个东西是不是也常考？贼喜欢考，所以说这里面当中啊，我们今天可以实际六个人好，这是第一条，然后第二事情就是这个导数的这个计算性定义。还有这个单侧导数定义，

还有这个推广定义，尤其是推广定义，我们说了两个事情，做题方法是什么？我只要见到一个极限去求导数，见到导数求极限，首先想这个导数定义，你就记住一个问题，这个导数定义我们在考试过程当中啊，你记清楚。你就记这两种就行。大家记好了，那么在这里面当中，你看第一个人s趋向s0 fs-fs零比上s-s零。然后第二个人的话就是x啊，

这个就不是x了，那么在这里面当中，你发现你看就是x0加上个框，然后再减去fx 0。比上什么情况？这个框，然后要要求这个框怎么办？框这个人趋向零哎，这是第二种，那么在这里面当中啊，我们希望同学们进行去看一个问题，注意啊，这个框趋向零，我不写了，可以吧？

这框必须要保证趋向零。那么，在这里面当中，我们在考试过程当中，你就记住这两种。所以说所有的导数定义当中比较重要的就是计算性定义和推广定义。什么增量定义，你大可不必用，对吧？不用都行，你就记住这两种，那么在考试过程当中，只要见到极限去求导数，见到导数求极限。推定义的时候，

你就记住一个问题，你看。这个人是fs，这个人是一坨。所以说你只要见到那个极限里面的f后面不是x就是你这个极限里面当中，你不知道凑定义有个f。除非这个括号里面是x，我会想计算性定义。除非之后只要这里面当中不是一个x，剩下的东西全部用推广定义来做就行，这样的话，你发现你的学习思维方式就非常清晰。我只要见到诶，不是fs推广零不是fs推广零，能听懂我的意思吗？

好了，这条内容听明白了，请给我回复个一。没问题吧？哎，这不是很多同学的纠结点吗？很多人说啊，老师，我到底是用计算型第一还是用推广第一啊？好，就这样来就行。好，那么接下来我们再看第三个事情，那就是在这里面当中啊，连续性和可导性的判定方式。

那么，这里面当中啊，有两种，一种是分的，还有一种是不分的，连续就是极限等函数值，那么可导就是导数定义的极限存在。如果需要分的话，连续就是左极限，右极限等于函数值，如果你发现可导需要分的话，就是左导等于右导存在且相等。然后最后一条间断点的分类和判定方法我不写了，你自己跟着那个就是我们的讲义部分的东西啊，你把它整理一下就行。

好了，这是我们在这里面当中讲的这个前三题，我就说到这自己去对照一下吧。好不好？同学们应该能改的过来啊，那么接下来我们来看看这里面当中的第一个题，我估计很多同学你发现后面的题都做的还挺好。然后这个里面当中啊，出错的点就出错的，在这里面当中的第一个题目。好了，那么接下来我们看看第一个考题，第一考题考什么呢？考了一个复合函数的问题，你看这是一个分段函数。

其实同学们注意一个事情，第一个人也是分段函数。对吧，第一个人也是啊，为什么看到绝对值了，那么看到绝对值，它其实也是一个分段函数，我把这个人呢，你发现fs我给写清楚。那么，在这里面当中，如果s是大于等于零和小于零，我们就进行分，如果是大于等于零，这就是s，

那就2s，所以说这两个一乘，这是x。啊，对吧？那么接下来我们再看第二事情，如果是趋向于这个是小于零，那这就是多少？这是负s梁加是零那二分之一乘呢？这就是零。所以说这个时候啊，你明确的进行发现这个函数呢，也是个分段函数考点是什么考点？就是一个分段函数复合，另外一个分段函数做题方法几步？

两步第一步叫什么？你看fjs第一步一一替换替进去，把所有的s用js进行去替换。所以说在这里面当中啊，你就进行去替就行，然后这是零，然后进行去替换就行，一一替换替完了之后，然后再怎么办进行去讨论？讨论诶js什么时候大于等于0 js什么时候小于零，那第二件事情怎么办？画个图形就行了，你就在这里面当中，把图形把这个js图形画出来。这个题啊，

立即出来了。那么，在这里面当中，我们看看js，你发现小于零的时候是x。然后大于等于零的时候是x方，就是这个，那么接下来我们来看看这个事情，请问同学们什么时候这个js大于等于零啊？大于等于零的时候不就是这一段吗？这一段的时候大于等于零，什么时候啊？就是x大于等于零的时候，而且这个时候的话，这个函数等于多少呢？

这个函数刚好等于x方。那么，接下来我们再看什么时候这个函数小于零啊？你看看就这一段的时候什么时候小于0s小于零的时候小于零。那这个时候这个人等于多少呢？这人等于零。能理解我的意思吗？所以说这个题的正确答案呢，你发现大于等于零的时候是x方，小于零的时候是零，正确答案选c。做对了吗？没有问题啊啊，我估计很多同学，你发现整张试卷我们这套试卷的话，

你发现这个总分呢，我是严格的，按照我们这个三九六的同学的东西来的。我还没有问呢呃，大家跟我回复一下，你们做这套卷子花费了多长时间啊？啊，大家给我进行回答一下，我调查一下，我看看情况，就是你做完这套试卷，你大概花了多长时间？这这么快呀。哦，那非常好了啊，

那非常好。嗯，非常好哎，可以可以可以哎呀，证明我们这段时间的话，这个学习非常非常的好了啊。好了，那么接下来其实一个多小时的话没有问题啊。对吧，你就控制在这个小时时间内，不要太超了，你要是做了这个，做了俩点儿。我觉得也不行啊，做了俩点也不行，

好了，那么接下来我们就继续，这是第一个题，那么接下来我们再来看看第二题。啊，这后面这几个题，后面这几个题啊，就比较简单了，那么在这里面当中，我们来看看这个事情，那么其实就是确定等价无穷小。等价多少，接触是多少，你发现这第一个人呢，完全就考了，

等价无穷小公式，那么在这里面当中，马上来看考的是什么呢？考的是这个x趋向零。然后这是一+x的阿尔法次方减一，立即等价无穷。阿尔法x如果推广的话，就是框趋向零。然后这是一加上框的阿尔法次方减一等价无穷阿尔法框。所以说这个题目的话，你发现立即来操作。x趋向零的时候，那么这个时候你发现一个事情，你就可以怎么写？把这个人写成一加上多少负的这个x平方，

然后它的三分之一次方，然后再来减一。那这时候就立即等价无穷，小阿尔法框就是这个人。是不是这个事情，其实你有没有发现一个问题啊？就是这个样子的考题，考研的过程当中就特别喜欢考根号的东西，有没有发现？有发现吧，所以说将来过程当中如何提高自己的做题能力，我再强调一遍。对于我们三九六同学，不光要会，必须要快，

而且要熟练，所以你发现一个事情，我就在这里面当中，直接把它给我记住不就行。如果在将来过程当中，你看你就记这个人，如果这是一加上x，然后开N次方分之一，这人就等价无穷n分之一x。你看你把它给我记住。如果在这里面当中，你看这里面当中，如果这是减号一减去x的n分之一次方减一等价无穷小负的n分之一s。行不行这个事情？所以在这里面当中，

你发现你越来越快，你做题速度越来越高，那这是一减去x平方这人的三分之一，那这个时候你看。这个部分就是框，那就等价多少三分之一，这是负的，然后这是x方负的它。是不是这个事情你看慢慢的进行提高，越做越快，是不是这个事情，所以说它就是负三分之x方接数是二？好了，这是我们在这里面当中啊，讲的第一个人，

那么接下来我们再来看看第二人，那第二人的话，你发现还是考等价，两项是乘法吧。乘法可以使用等价无穷小公式，那么在这里面当中还考了一个考点，这个考点是什么呢？就是经典的200000000做差问题。那两页做差问题，你的核心考点是什么？就是在这里面当中提出后者，那么接下来我们就来看看这个事情。那么，在这里面当中，其实你发现这是tan x，

然后我们就提出一个e提出来之后的话，你看这是e的一次方。那这个时候就变成了cosines再减一，然后再来减一。那这时候就可以等价了吧？敌人等价他哎，这是一那这个时候你发现看这个部分不就是零吗？零的话，一的框减一，立即等价无穷，小于框就是这个人，所以说这个人的话就等价无穷，小于这个人，这是负的二分之一x方。因此，

这个结果就是负的二分之一x的三次方结数是三减。好了，这是这个考题，那么当然在这里面当中，你发现经典的两翼做差问题，那比如说我们在这个，我记得我们税前系列是讲过这个题的。那么有一个题的话，你发现是趋向零，如果考题考这个人啊，我觉得贼喜欢考这个人。你看这个人等价多少呢？我们怎么做？我还是提后者，大家好好听啊，

这个我们三九六课程呢，不是说特别的多。所以说在这里面当中，我觉得这一年过程当中，你完全可以跟着这个课程来走。所以一定要把这个课程呢完全听完，所以比我们这个这个数一数二数三呢，我们觉得稍微的要轻松一点，因为我们考的内容稍微少。你的概率论少了三章。你的线性代数少了两张，你的高等数学如果相对于数学一少了好多。那么，接近于半本书，所以对我们而言的话，

这个内容点不是说特别特别多，所以一定要跟着这个课程来，你看这个部分我也可以进行去提出后者。然后就变成了一的tangent t，然后再减去s in，再来减一。那么，接下来同学们告诉我个事情，你看一的零是一吧，这是非零因子，我来问大家一个事情，请问在做等价无穷小的过程当中。请问非磷因子能不能淡化？当然可以，绝对没有问题，

非零因子的淡化，你无论是在做等价的时候，求极限的时候，当然可以等价，立即等价成一。这就是它的淡化，然后在这里面当中，我们再来看你，发现这个人是零就是框一亿的框减一，立即等价无穷，小于这个框的部分内容。那么同学们，你发现又考到这个人吧？如果考到这个时候，我们做第一次过程当中，

我用了一分钟，或者用了两分钟，泰勒展开，如果第二次还是两分钟，第十次还是两分钟，你就没有提高。这个东西找等价怎么最快不是太多，那么在这种当中最快的就是提出个tangent就是一减cos，所以脑子里面一转就是s乘上二分之s次方，因此是二分之s三次方，这个人就等价完了。对吧，把这个东西给我记清楚。所以这个能力啊，是一定要具备的，

你发现一个事情，我不说别的，就这些题啊，比我们这么多些年来考的这个三九六考的那些有些题都难。你去看看那个事情，我之前给你看过我们的这个真题啊。三九六同学的这个真题，你比如说你看看这个二一年，你看这个第一题。够水吧，能不能秒了？这太简单了，你上面等价6s，这人等价3s，然后这个结果等于二。

这是二一年第一次更改的，然后紧接着的话，你发现一个事情到了这个二二年。你再看二二年二二年的时候，你发现趋向无穷大的时候，这个人是几这人是零。所以这框离以及等价无穷小是多少？等价无穷小框所以说是二答案，优选几选一。这就是我们在这里面当中的这个极限题，对吧？这些年的考点。所以说这个部分的东西啊，难度系数不是说顶大那种，那么如果是去年二零二三年的呢，

我们税前系列的第一道题就讲了。难度系数也不大啊，所以说在我们这块考这个求极限等价的这块问题啊，你好好跟着这个课程走就行，处理那些问题啊，没有任何问题。那么，接下来我们就继续再来看来记忆。你看这个人，那这人就出来了，最经典的方法就是什么题探真题。一提这个人就变成了cos in，然后再来减一，然后这个人部分等价无穷小S，然后这人等价负的二分之s次方，

因此是负二分之一s三次方，因此这个结果就出来了，这是几节？三级好了，那么接下来我们再看看下面这个人，那么下面这个人的话，刚才过程当中，我已经跟你说了，你可以把它给我记住。你看，趋向于零的时候，这是e的s- 1再减s。那么，首先第一个事情的话，你发现你看这个人能不能等价不行，

因为这一项和这一项作比的极限是负一，所以说在这里面当中不能等价。泰勒展开式首选。所以说在这里面当中啊，你给这谁呀，你就给es展开。展的第一项约掉了展的第二项约掉了，留下第三项是二分之s方，所以说就展到这儿就行了，那所以说它的结果就是二分之s方加上高阶项。我加上我的高阶，立即等价无穷小于五，当然在这个题当中啊，你发现你可以不这样做，脑子一转就出来了。

就是刚才说的第一项被干掉，第二项被干掉，留下第三项，所以说他的接触就是2g跟得上吧好。好，这是我们讲的这个题，那么接下来我们就继续再来看看第六个点。那么第六点又考了什么事情呢？考了这样的个内容。就是在这里面当中，你发现一个函数是趋向于一的，那么l这个函数就立即等价无穷，小于这个函数减一。当然，等价要站立在能等价的前提条件下，

就是乘除法可用，加减法慎用。这种前提条件下。所以在这里面当中，你再来看这个题，那就说is如果是趋向零，那么这里面当中是lnes，你看e的零是不是一？所以说它就立即等价无穷，多少一亿的s- 1。所以说这个人立即等价无穷，小多少x结束是几结束是一。当然，我们在考研过程当中啊，也喜欢考这个人，

你看你可以进行，顺便的把它做了law in co sing。cosine零是几一l一个函数趋向于一，立即等价无穷小。这个函数减一，立即等价无穷小负的二分之x方也喜欢考这个人。所以将来过程当中，你要整理这个经验，你比如说在这里面看，如果是趋向零loin cos in，能不能看出来这里是负的二分之x方，这里是二阶，不是背的脑子转出来的。如果你硬生生背，你就不要记了，

你就记方法，记这个操作性的状态。不要这个，如果你是硬背，你就不要背了，你听懂我的意思吗？你看这里面当中，我讲了好几个，比如说这个人，这个人。还有这里面当中的这个人，如果你是硬着背的，就不要背了。我给你教了这个脑子要转对吧？脑子越用越灵活，

你放心吧，你这这一辈子的话，你的这个大脑开发都不足1%。所以你还害怕这个消灭这个脑细胞吗？越用越好用，越用越灵活，而且数学这个东西的学习啊，就是越学越有自信心。很多人的话说这个什么情况呢？这个数学的学习啊。呃，可能这个去年过程当中，我就说过这个事情，对吧？这个今年过程当中，

我也跟同学们去聊这个问题啊，尤其是很多同学是女生，对吧？这个以前过程当中，我听过一些话，对吧？比如说高中的时候，你的高中老师就经常说什么问题呢？说这个。有些女生不太适合学数学，或者你听过一些人说女生不适合学数学，我觉得这都是鬼话。这跟这个东西男女之分有什么区别？这都什么年代了，那么在这里面当中，

我觉得我身边的话，你发现这个读博的读博后的好多女生呢。对吧，人家在这里面当中学，这个数学推这些公式学一些非常的话，这个软件或者进行进行一些建模，人家的话比有些男生做的还溜。所以在这里面当中啊，还是学习方法的问题，但是你发现经常受到别人的打击啊，容易这个抵消自己的这个自信心。长时间没有自信了，之后的话，你发现你都不感兴趣，一不感兴趣，

当然学的不好。所以其实你发现中间就是这样几环套的。如果你经常发现你没有自信，没有自信就不想学，没有兴趣，没有兴趣，当然学不好，你看这是一连半，所以说最终导致的这个成绩不好。你去想想高中的过程当中，好多省份的话，人家这个文科状元，这个理科状元，还有好多这个女生呢啊，所以我觉得这个根本就没有关系。

好了，那么接下来我们就继续再来看看这个第七个点。那么，在这里面当中，你看你就可以秒了吧？在这里面当中，你看越做越快，越做越快，当架不起s告诉我这个人是谁？你就直接背，你看这是减号操作，它是负的。然后这人是多少？这是二分之一s，所以说结果等于负二分之一是不越做越快啊。

我们考研过程当中也会考这种题啊，所以就像我们刚才做这个真题一样，你像这个题你会做到一分钟吗？不会有可能就是20秒，十秒钟就做完了。所以说像这样的一个题，它不会算在我们这个总时间内。所以你发现不要对这个两分钟有过多的执念。对吧，千万不要对这个两分钟到有个度之念，我说平均下来两到三分钟。有些题你不足一分钟呢，不足30秒呢，那有些题你发现两分钟做不出来，做不出来，

做不出来呗，我多想一会儿。当然，如果是在考试过程当中，你想到超过四分钟了，你赶紧把这个题标出来再做下面道题，那是我们后面考试的事情。所以不要对那个时间有过多的这个执念好了，那么接下来我们再来看看这个第二题。这个第二题怎么做？看到根式有同学说我有理化，有个鬼的话，我一个根号怎么有理化呀？这个题考什么？这题就直接带就行，

这个题啊，就直接进行带入就行。你发现一个问题，当趋向零的时候，这是零，这是零，这是五根号，五是什么根号？五就是一定是，所以说这个题就秒了。你不要在那里面当中，还瞎做，这里面当中啊，一定要注意一个事情，做极限，

一定要先定型。对吧，做极限必须要先定型再定法型也不定了。有些同学不定型了啊，这当然不行，好了，那么接下来我们继续，我们再来看看这里面当中的第九个题来解。那你发现一个事情，它是趋向于拿到极限先定型，你很明显又会发现一个事情真人实例。然后在这里面当中，这个部分是几呢？你看这是五减四五减四，这是一这是一，

所以说这是零比零型。那么，在这里面当中，我们看到什么？两根号做差，立即怎么办？有理化。所以说，在这里面当中，上下同乘是多少根号下5 s- 4，加上一个根号s。然后上面这个部分就变成你的平方，减你的平方，你的平方减你的平方就是5 x- 4再减x。所以说在这里面当中，

其实这个人就变成了4x。那这个时候我们就接下来继续做当s趋向零的时候，你发现看上面是四倍的s- 1，然后这是s- 1，告诉个事情怎么办？对，非常好，你看这个人。那这个人是一，这是一，那这个结果就是二。那在乘除法中的非零项，它叫什么？它叫非零因子，可以淡化，

所以说在这里面当中最后的结果是几是二。你看我们已经有了非常大的提高了，我见到这个东西我就有反应，见到这个东西有反应，我就问你个事情，就这样的一个题，能不能出为我们今年的话，三九六同学的考研真题的原题？能不能当然能比这个二一年二二年二三年都要难一点点？其实也难不了多少啊，都差不多都简单，所以在这里面当中啊，一定要注意个事情，我们这每个阶段学习的东西都非常的重要。好了，

那么接下来我们继续再来看。那么，这里面当中，我们再来看看这个题。那这题怎么操作？还是这样，但是这里面当中有没有同学等于零的？等于零上课知识点就没有好好听呢，有些同学说，哎，这是无穷大当x趋向于正无穷的时候。秦方这个人比s远远的大，所以说这个人的话，你发现第一个人一抓抓你，第二个人一抓抓你，

然后这个部分意见就没了。那么，同学们告诉我事情对不对？当然不对。错误点在哪？你去告诉我个事情，这个题的错误点在哪？大家一定要注意一个事情，这个题是无穷大减，无穷大不一定是吧？对吧，但是抓大头是无穷大比无穷大的v定式。不要乱来，所以说在这里面当中啊，你要注意抓大头，

它是有要求的。不要糊涂，因此在这里面当中，我们怎么办？我只要看到这里面当中，你发现只要见到两根号做差，我立即想到有理化，所以说当s趋向正无穷的时候，就进行有理化想。那有理化一下的话，就变成了根号下s方加s，然后再加上个根号下s方减s，然后这个时候你发现你看就变成了你的平方减你的平方。那这两个东西一减呢？两个一减是2s？

好，这个时候你再来看这个人是无穷大。然后这个部分呢，你看这个人是无穷大，这也是无穷大，所以他就变成了无穷大比无穷大的位定式，那既然变成无穷大比无穷大的位定式，在这里面当中怎么操作s趋向正无穷的时候，是不是能不能抓？当然可以抓了，那这人是2s，你比他远远的大，你比他远远的大，而且在这里面当中，我们继续看，

当s趋向正无穷的时候，我做慢一点啊。我们都知道一个事情，这个is方开方，不是x是绝对值，听懂吗？而你发现一个事情，这里面当中s是趋向正无穷，突出s大于零大于零的话，你发现一个事情当s趋向正无穷的时候，这是2s比上多少s+s，这是一。你看吧，所以在这里面当中一定要注意这个问题，这个题是个简单题，

简单点的在哪呢？简单点，这个人是在多少？这人是正无穷。对吧，这个题是正无穷。如果在这里面当中，我把这些改一下。我把这个题就变尖了。我把这题改成什么情况？你把这个东西记笔记啊，你上课的过程当中啊，你来听这个试卷啊，我觉得试卷讲评还挺重要的。那么，

在这里面当中，这是根号下s方加s，然后再减去s方减s。好，来看看这个。那你发现一个事情当s趋向多少负九？我趋向负无穷的时候，你发现一个事情，这个人也比他远远大，这是无穷大吧，但开方是正无穷。这个开方式正无穷，所以说这个题还是个无穷大减无穷大的未定式极限。听得懂我的意思吗？哎，

还是个无穷大减无穷大未定式，那这题怎么做呢？能不能抓？当然不能抓，所以说这个题啊，你发现一个事情，你只能进行有理化。就变成了根号下x方加s，然后再加上个根号下x方减s。然后上面这个部分就变成你的平方，减你的平方是2x。是变成它了，那么接下来过程当中，我们继续看你发现这是无穷大。那这一项是正无穷，

因为开方都是正的，然后这一项是正无穷，正无穷，加正无穷，当然是正无穷，所以说在这里面当中啊，能不能抓大头，当然可以抓。一抓这个题就变成2s，然后这是根号s方，然后这是根号s方，然后在这里面当中s趋向负穷的时候一定要注意根号s方是绝对值啊。是不是啊？这都是上课讲的内容，当s趋向负无穷的时候，

你告诉我s趋向负无穷突出了s是不是小于零？小于零的时候，你发现这个绝对值就等于相反数，相反数所有时间等于负一。你看这个题就非常好了。那么因此你发现在考试过程当中，我们这个题就要比刚才那个题牛逼一点，但是这两道题是不是都要会呀？当然都要会，那么在这里面当中，我们顺便把这个未定式的这个啊，这个无穷大减无穷大的情况，我们也给同学们复习一下。这两天过程当中有没有做这个睡前洗脸？做了吧哎，

都要去做这个睡前系列，那么这两天的话，过程当中我记得有一天我是讲过这个题啊。嗯，这一天。就是睡前系列的这个第五天的这个题，你看看这个题，当时很多同学你发现这个题做的不好。对吧，就这个题，那在这里面当中啊，你看这两个极限。你就进行去对照一下啊，所以说这两天过程当中啊，你每天都做一下这基础部分。

你想一个事情，你做一个题，你可能不觉得多。你这一年累下去300道题。那这就不少了，因为有的时候你发现你去做一本书，一本书里面顶多就300道题，有些书是300题，有些书是500题，有些数学800题，有数学1000道题。有就说2000道题，300题就不少了。而且这些题你发现每个部分的话，在这里面当中我都给你精挑细选了。

你在这个题当中，你来看看，你看s趋向负无穷，但是你发现这是根号根号这个部分是什么？这是正无穷。然后再减负无穷。同学们，想一个事情，你在这个题当中，第一个人等于多少？第一个人就出来了。如果你发现一个问题，这是真无穷减正无穷。很大减很大，这不知道这才叫未定式。

对吧，但是你发现一个事情，如果是一个正无穷减去负无穷呢？对吧，正无穷减去负无穷减去负无穷，其实就是正无穷加正无穷正无穷加正无穷，这是多少？这是正无穷。很大加很大，当然很大呀，然后在这里面当中，我们再看，如果是负无穷，减负无穷。那么，

在这里面当中很小减很小呢？很小的东西再减很小的东西，我们两个是一样的，我减你我不知道这是未定式。但是你发现如果是很小加这个什么东西呢？加上很小呢？那这个东西你发现结果当然是服务型，这都不用做了，所以在不要背哦，有同学在那背理解对吧？啊，这几年过程当中啊，跟着我一定要进行去理解你想象一个事情，你怎么样进行去学好这个做好题呢？你做好题的第一个阶段是什么？

你是不要有知识点的支撑啊。第二，事情是不是有题型的方法呀？没有知识点，光有方法，有个鬼的用。你在这里面当中看到两根号做差，你知道题，后者知道题，后者怎么了？题了之后的话你不会做了。要有知识点，要有方法，该背的东西要记，该记的东西一定要天天进行去拿出来进行去背背。

所以这两个东西缺一不可。所以很多同学你发现这个这次考了一个试啊，有的考的好的证明，这段时间的学习方法是没有问题的，持之以恒的往下走。呃，今年的三九六啊，我会给同学们进行去多开几次。因为今年过程当中，我们是没有这个什么督学班的，我们也没有VIP班，今年的三九六同学只有这一套班级，所以。所以今年过程当中啊，我会在中间的话，

比如说高等数学的结束。高等数学的中间，比如说举个例子，我可以给你们进行去开设一次考试，对吧？给你们发一套卷子。然后的话，这个中期测试等高等数学结束了，我再给你做一次中期测试，线性代数和概率统计结束，再给你做一次中期测试。等到所有结束啊，我再给你来一次，所以今年过程当中啊，我可以给你进行去多进行几次，

所以我希望同学们最后啊，你都能取得一些非常非常好的一些成绩。所以大家不要着急，千万不要急，你就跟着这个安排来，你要知道哪个阶段做什么事情，你就跟着这个直播课程走就行。所以说这些方法都要用。怎么进行学习啊？如果进行，如果上课的话，你发现有些人不会学习。一开始谁学习不是模仿吗？谁学习都是模仿先模仿模仿着做，不会做的话模仿着做。

你看看我怎么做，所以有些同学都是这样上课的内容，你发现第一个阶段你要做的学习过程当中第一个事情是不是要听课？听课是快速积蓄知识的一个过程，有没有发现我有的时候你可能在零基础提前学，没有感受到这个知识密度。等到基础班再看。一节课程部分的东西啊，是非常多的，所以在这里面当中，你发现听课完了之后啊，等你把这个课程听完了之后下去过程当中一定要进行去整理。有些同学就没有这一环，听这个东西做完了之后再去做作业。不要这个，

听完课程就直接做作业，我不说别的，不信你自己去检验一下，我上课刚讲的题你听懂了。但是你发现过了一个二三十分钟，让你自己独立自主的把它做出来，你都做不出来。所以下去过程当中一定要注意一个事情，就可以把我上课讲的这个题复现一下啊，这个字儿复习的复。对吧，把这个东西复现一下，你看能不能复现出来？等你复现出来之后，你再进行去做作业，

作业当中错误的东西，然后进行怎么办？然后来看看哎，我是哪个部分东西出现问题了？一段时间过后的话，要进行去复盘，所以这一年过程当中，我希望你要走这样的一个过程。一定注意，我们包括高等数学的东西都不是说特别多。你下课过程当中啊，不一定说一定要是写一遍，你你你想一个事情，我举个例子。比如说下课过程当中，

对着讲义对吧？这个知识点有没有在脑子里面？比如说我这节课学的等价无穷小哎，等价无穷小东西，我这八个等价无穷小公式到底有没有记住啊？对吧，这些东西到底有没有记住啊？你当然知道你很快的去想一想，你想想就知道你记没记住。就跟你看到一个单词儿一样，这个单词儿到底有没有记住你一眼看过去你都知道特别陌生，肯定没有记住啊。特别熟悉，肯定记住了。所以说这个东西特别熟悉，

肯定记住特别陌生，肯定没有记住。好，这是第一个事情，然后看到这个例题，如果你看过去一点思路都没有，这个道题得重做，如果这个题你发现看过去诶，有思路。对吧，我知道自己啊，这个真完完整整做能做出来好，这个题可以过去了。所以这就叫我们下去过程当中整理，不要把我上课的笔记能坨一遍，

也不要把这个上课的例题再抄一遍。都不要这样做，这都叫无用功，好了，不多说了，继续回来，所以我今天过程当中啊，会谈到学习方法的问题。大家好好听啊，这节课不光讲这套卷子，我也会给你去说一下这段时间的这个复习，还有会给你说一下这个接下来过程当中复习的这样的一个。啊，这个阶段性的问题好，那么接下来既然讲到这儿，

把它讲完。如果你发现是无穷大乘无穷大呢？当然是无穷大，不用多想。很大乘很大，当然很大，那么同学们告诉我，如果是无穷大乘上一个数呢？这个数你得分，那这个东西一定是无穷大吗？大不一定，除非这个数不为零。两倍的无穷，大是无穷大。三倍的无穷，

大是无穷大。100倍的无穷，大是无穷大。但是你发现，如果是零乘无穷大呢？零乘无穷，大是未定式。然后第三个事情，如果是无穷大加上一个数呢，无穷大加上一个数，当然是无穷大，那如果无穷大加上一个有界变量呢？有些的话，它是有范围的。还是无穷大，

所以在这里面当中能不能听懂？我不要背，听懂吗？不要背。哎，这个东西啊，要理解脑子转一转就出来了，好了，这是这个部分对吧？你脑子一转就出来了，不要背啊，不要背理解它。那非常非常大，你加个数，你要它干嘛？

好，这个内容。好了，那么接下来我们就可以继续回来了，刚才过程当中啊。诶，我不是讲的这个题吗？把它说完啊。所以说接下来过程当中，你看你看这个题就是一个正无穷，加上正无穷，正无穷，加正无穷，当然是正无穷，所以说无穷大。

但是这个人呢？你看这是正无穷，减正无穷，这是个未定式，那这个未定式怎么做？那么这个人当然的话，你看可以把这个东西写成根号x方，然后有理化。想我不说了，你自己去看。睡前系列的第五个题。好了，这个部分内容我们就说到这，那么接下来我们就继续再回来，再来看看下面道题，

所以刚才这个题啊，非常非常的好。再来看第11题。那么这个题还是一个考点，其实核心考点就是等价无穷小替换。那么，在这里面当中，我们来看看这里面当中的第一个事情，这是limits趋向零两者之间什么法乘除法，给这个人先等一下。好看，上面能不能看快一点？你看这是一加还是一减一减吧，一减前面就有一个负号，然后这个次方数是多少？

把这里写成三分之一，二分之s方。你又没学会啊，是不是越学越快啊？就等于负六分之一，你就直接把它给我秒出来了。所以将来过程当中就不用说哎，我把这个人写成一加上负的二分之s方，然后再来个三分之一次方减一，有的人看起来觉得非常麻烦。你觉得这个东西非常恶心，你就看快一点，那么这就是我刚才讲的，你看如果这是一+x你的阿尔法次方，这个是吧？

比如说N次方。减一is趋向零，那这时候就等价无穷n分之s。对吧，如果推广的话，你看如果框趋向零的话，这就是一加上这个框，然后n分之一次方减一等价无穷多少n分之一框？那如果你发现一个事情，如果框趋向零，我把它改成减呢？那一减的话，你发现不就等价无穷小负的这个人的吗？所以越学越快，考研过程当中贼喜欢考这个人。

那如果是这样的话，你发现去年二零二三年那道真题是不是可以秒了？对吧，就是哪个体能就是我们这里面当中，你看看。第一天。就这个题是不可以秒了。这是我们三九六同学的话，去年二零二三年考研真题的第一个题，你看这个人的话，直接秒第二人的话，你看这人是曲向林，等下我找他。然后上面这个人呢，负的填个符号，

然后这里面的话，你发现你看这是二那就是二分之一，然后这是二x，然后这是limits趋向零。所以说这点等于贝塔，因此你看这两个约掉了，然后阿尔法乘贝塔就等于负一越做越快，我们不光是要会，而且的话这个速度也很重要。是吧，你的速度非常重要，好了，那么这个事情我们就回来了。来继续再来看下面一题。再来看看这里面当中的12题和这里面当中的13题，

好继续操作，拿到极限先定型吧，一定的话，你发现这人摊着你零是零。有些同学不可否认的啊，有些同学你发现这个tan的图像都记不住。tangent在零处是零，你都不知道。然后这是quantity，quantity在零是多少？quantum的头像绘画吧。好，我先问一下，然后三角函数的图像都会画诱导公式，还记得的同学给我回复个一不记得的同学给我回复二。

好，给我回复一下。啊，能记住吧。啊，如果说你发现啊，这个事情你没有背过，我觉得态度不认真啊。为啥没有记住呢？为什么记不住呢？所以下去是不是要反思一下？该背的东西要背吧，我一直给你讲一个事情，如果所有的数学。都变成能够通过背诵，

通过记忆就能取得高分的话。那这么多年的数一数二数三的平均分，不至于说才60多分。三九六同学的话，没法看到这个数学部分的平均分，因为我们是三科，最后的话拿到一个总成绩。那你高考的话，这个数学平均分也不至于那么低。都进行去背了，那很容易就提分了，所以说记住这个知识会做题的一个什么东西呢，必要条件不是充分条件。所以你看这人是一。那么，

在这里面当中，我们就继续看，你看这个部分是无穷大对吧？这QT你看趋向零是无穷大，所以说这是无穷大。因此，这是一等无穷大的未定式，如果你还不会看，你就把这个人写成cos，再比上s in。对吧，然后当x趋向零的时候，这人是趋向一，然后这人趋向零，那这个结果也是趋向无穷大，

然后这个人的五次方还不是趋向无穷大吗？一样的，所以接下来过程当中，我们就继续看那这题就可以做了，一到无穷大未定式怎么做啊？不要跟我说秘制转换。我要的答案你当然都知道，我要答案是什么？一秒破题，我要的是那个结论，如果在一个极限下u的v负。符合一的无穷大，不一定时答案就等于一亿的极限符号照抄头顶照写d- 1，不要在那给我再墨迹了。对吧，

先密制转换，再操作太墨迹，直接写答案就等于一的这个极限符号照抄，然后这个头顶部分再照写。然后这里面当中啊，再减以三倍的，这个tangent的x方。那么这个题比较简单的话，你发现corten t是c比c是c比co，所以说这两个东西约掉了，就是e的三次方。听得懂我的意思吗？你看这俩东西约掉了呀。因为两个相乘是一嘛，本题结束。

好，这是我们在这里面考题，然后再看下面一个事情，当x趋向无穷大的时候，你发现这人是几一？然后这人是多少？这是无穷大，因此这个核心考点是多少？一的无穷，大的位点是？那既然这是一的无穷大未定式，怎么做答案就等于一的这个极限符号照抄头顶照写d- 1。所以说这个结果就变成它等于一的五次方。我来看看你水平怎么样？啊，

我来检验一下咱们班同学的水平。好同学们告诉我这个结果等于几？回答我怎么写？赶紧告诉我，等几？你看吧。这不是废完了吗啊？等于一吗？完了啊，我今年就考这个题。对吧，我今年就考这个题，那这题废完了。很多说啊，这不是重要极限吗？

你看吧，只知其形，不知其内涵呐。大家注意一个事情，什么叫做重要极限呢？重要极限是一的无穷，大的最简解式。那么，在这里面当中，你看趋向零一，加上s的x分之一，那这个时候你看这是一，这是无穷大一的无穷大的最简形式，这是一。然后在这里面当中，

我们再来看，如果是趋向无穷大，或者你改一下，那这就是一加上x分之一的x，这是一的无穷大最简形式等于一。但同学们注意一个事情，这是吗？这不是的，你来给我看看这个人在这个趋向零的时候，你看无穷大，这是无穷大无穷大加，一是无穷大无穷大的零啊。这是无穷大的零的未定式，我们都知道一个事情，在考研的过程当中，

如果是一的无穷大的未定式，这个极限是怎么操作的？这个极限等于一亿的，这个极限符号照抄头顶照写d减一，但是你发现一个事情，如果这个极限结果它是无穷大的零。或者是零的菱形未定式，是不是幂值转换？所以说这里面当中的这个结果等于多少头顶照写啊，这个照抄lin底。因为这是幂值转换嘛。所以说大家注意上面为什么是u减一，因为趋向于一login函数趋向于一等价无穷，这个函数减一。好了，

这两个方法知道吧，所以说这个结果应该等于多少，它就等于e的这个极限符号照抄。然后在这里面当中头顶照写，然后是lin这个底。那么这个时候我们再来定性，你看趋向于零的时候，这人是零零分之一，是无穷大无穷大加一无穷大l引无穷大无穷大。零乘无穷大的未定式，那么同学们告诉我个事情，零乘无穷大未定式怎么做？把一个人下方。把一个人放下去，但是同学们注意一个事情，

你想下放吗？我不想，我又看到分之一，所以说在这里面当中怎么办？回答我怎么做？我看你怎么这这个水平点怎么样？怎么做？我要把它放下，但我不想放下去啊，我看到分之一怎么办？我倒带换一下。我只需要一次倒代换，你自己就下去了，这就变成了趋向无穷大了。然后你自己不就下去了吗？

你这人不就变成了他了吗？然后这个结果等于几，然后呢，等价无穷，小t等于e的一胡来了。学的啥玩意儿？这对不对？这当然不对，你不要乱来哦，人家这个人是趋向多少？人家这个人是趋向无穷大。你不要在那等下了，你都胡来，那这人怎么办？我们首先看第一种方法。

幂函数远远比它大，这是零或者你落下下面求导是一，上面求导是一加t分之一。所以说这里面当中这是零e的零是一，所以这个题的结果是等于一不是一。哎，等于一不是一这两天呢，我有一天的睡前系列的题啊，我就是这样出的。所以说大家注意啊呃，这个你都是跟着我进行去学习的同学，所以我希望同学们注意你这个上课的过程当中啊。我们组织的这些东西啊，你是必须要进行去做的。我有一天啊。

你看呃，这一天呢，还没发出来，今天才是第八天，我今天刚好把它这一周的都录完了啊，然后的话，这个第十一天的时候。还没出来啊，第十一天我就出了这个题。你看吧，很多同学估计都要跳陷阱了。好了，在这里面当中，我们就讲到这儿来继续关联。能学会吧，

哎，掌握清楚好，这是我们讲的这个题，那么接下来我们继续再来看看下面两个题。好了，看看十四题。再来看这个人。那么，这个我们就继续当s趋向多少呢？s是趋向于这个无穷大的，你看这个十四题趋向无穷大。如果抓一下，我问你个事情啊。我们都知道做极限不能局部先算。但是为什么我在这里面当中敢说抓大头啊？

我说抓一下，这是s这是s，然后这是一为什么？那不是说不能给局部先算吗？同学们，一定要听清楚我在干啥呀？我在定型同学们。对吧，我再定型大致的看看就行了。不要那么的轴，我在定型就大致的瞅瞅你发现这人是一，然后上面是无穷大。听懂我的意思吗？我没有做，我在定型，

我大致的看一看，我还没有开始算呢，所以接下来过程当中我们就可以处理了。一的无穷大未定式答案等于多少来走？答案就等于e的这个极限符号照抄，然后是头顶部分照写，然后再来d减一d减一就是s加六分之。is加三再来减一。那这个时候这个结果就变成了e的limits，趋向无穷大，然后这是二分之一，你看这个人。那这个人就是上减下，那上减下是多少？上减下刚好是负三，

所以说负三倍的x加一，然后这是x加六。所以在这里面当中啊，抓个大头就等于一亿的负的二分之三，所以说本题立即结束了。听懂我的意思吗？好，这十四题。跟得上吗？没有问题了，我直接一抓就出来了。好，这是我们在这里面当中啊，介绍的这个任务，那么接下来我们继续，

我们再来看看十五题来继续。那么，十五题这个题啊，还是这样当s趋向零的时候，你发现先定型a的零对吧？这是一一一三三三比三，这是一一的无穷大。答案就得多少一亿的这个极限符号找抄。然后头顶部分照写，然后再来d减一三分之a的SB的sc的s。再来减一那么所以说在这里面当中，它的这个极限结果就变成这样趋向零，把这个三分之一抛出去s分之。那这个时候你发现它就是a的SB的sc的s，然后再来减几减三。

这题有没有同学出错的呀？原题是吧？有没有同学做错的？你想想一个事情。如果你把这个题做错了，做错的同学给我回复个依赖。啊，如果这个题做错了，请给我回复个一啊啊，没关系啊，我不会说你的啊。啊，有没有同学做错？好了，那么接下来我们看看这个题啊，

怎么去处理啊？那么，在这里面当中啊，我们有两种手法。对吧，在这里面当中，核心重点考了一个事情，那么如果你去用这个知识点，我趋向于零的时候a的x减一等价多少？等价多少？等价无穷，小于x倍的lna。哎，不要进行去背，因为这个人的话，

你看这是is背录音，当然你做熟了之后直接出来了，密制转换一下嘛，意义的框减一等价无穷框。如果你拥有这样的一个知识点的话，你发现这个题你可以怎么做好？我们先来看看方法一。那方法一的话，你看这个部分当I趋向零的时候，这个部分是一阶无穷小吗？那这个一阶无穷小，这个as减一也是一阶无穷小，因为它等价的是x倍的lna，这是一阶啊。然后b的s减一也是一解c的s减一也是一解，

所以说这个时候你发现一个事情，这个人是一解存在。这个是一阶比一阶存在，然后这个人也是一阶比一阶存在，那这个时候你发现我就把它变成这样了，那所以说这个极限结果就变成了s趋向零。多少a的s减一BS limits趋向零，然后这是多少b的s减一BS。然后这是limits趋向零，然后这是c的s减一BS。那所以说这个时候你发现能不能进行等价了？可以还是不可以，当然是可以，因为你发现一个问题，这里面当中是除法等价无穷s倍的l nas。

然后这里面当中当is趋向零，这是is倍的多少呢lnb？BS然后继续limits趋向零，然后这是s倍的ln cbs，所以说这个结果就等于lna。加lo NB加lo nc。是吧，这是第一种方法。可不可以啊？可以，但是你发现何必呢？对吧，说实话，没有必要可以，但是这件事情说实话，

没有必要，我在这里面当中怎么办？我只需要稍微的落下就出来了。稍等会儿，我把这个移一下，所以在这里面当中，我其实而言的话，根本不需要做这么麻烦。在这上面这个极限呢，你看方法二。那么上面这个部分的话，你看这人是零a的零是一，这是一，这是一三三减三，这是零零比零型的未定式，

我就可以怎么办？我直接一个洛必达不就出来了吗？所以在这种当中就是s趋向零，然后一落一落，下面求导没了，这是a的s lo una，这是b的sl oun b，然后这是c的slounc。你告诉我个事情，谁简单？然后再来看，这是a的零是一b的零是一，这是一一定是直接带直接带直接带，所以说这个题是不是出来了？你看这个事情很明显，

这个洛必达法则还挺好用。如果好求导，我为啥不用啊？那这就是这个事情，那么接下来我们再来看看这个题的答案，那答案等于多少呢？好，我们再来瞅一下这个答案，这个答案，这个部分的话，它的结果这人是一亿的，这个三分之一，然后这是lo in a加loo in b加loo INC不就是lo on ABC嘛？然后这个结果的话，其实就是ln，

然后上去就是ABC开三次方，所以说这就是ABC开三次方。我建议同学们，你把它写到最后，听懂我的意思吗？我们这次考试啊，理论上都是选择题，但是我都给你出成填空题。我不希望同学们受到那些选项影响的一个事情，至于从选项当中啊，有的时候也能做一些答案出来，这是我们后面过程当中教同学们选择题做题方法的事情。但是你们在这里面当中有严格的进行去训练，自己的能力，这是我们的第一个阶段。

好了，那么接下来我们继续再来看看十六题。我们来把十六题我们来讲一下。好，再来看看这个题。那么这个题怎么做呢？那你发现一个事情当s是趋向负无穷的。那负无穷的话，大致的瞅瞅定型的时候，大致瞅瞅你看第一个部分是无穷大。如果这个抓大头是这个人，那这个人其实就是你听得懂我的意思吗？我在我没有做题，我在定型啊。有些同学又来了，

说这个时候怎么能抓呢？大致的瞅瞅定型，就大致的瞅瞅我比你大的很多，我要的是你。那这个部分的话，其实就是根号s方，但是开出来应该是负s负s加s，这是零就大致的瞅瞅定型就大致瞅瞅。零乘无穷大的位定式，所以说这个题我怎么错？好，我们先看第一件事情。你怎么处理啊？那么这个里面当中我们其实就可以把它进行下方。但是你想下放吗？

我其实不想。哎，你如果不想把它下放的话，在这里面当中，我们来看看第一种方法。我可以怎么办？直接进行倒代换。行不行？当我进行倒代换的时候的话，这个人其实就变成了t趋，向多少呢？t趋向于零负。然后在这里面当中，这个人其实就变成了t分之一。然后上面这个部分变成多少，

这个部分变成了二，再加上然后这个部分是t的平方分之一，然后这个部分呢？它是二分之一次方，然后再减去t分之一。对吧，这个人就变成这样，或者我就把它写成根号。我就把它写成根号下，然后这是t方分之一，再加上二，我再加上一个t分之一。是不是这个样子啊，然后接下来过程当中，我给你上下同时乘上个题，

那在这里面当中有一个陷阱啊。你要稍微的注意一下，然后在这里面当中，如果t趋向零负，然后上下同时乘个t，这人就变成了一。那我想问你个事情，这个人乘个t，然后t进去了就t方一加上二倍的t方对不对？对不对？大家就告诉我个事情，这种做法对不对？我原来过程当中讲过这个事情。对不对？当然不对，

你发现一个问题，在这个趋向零负的时候，这是t上下同乘的时候，这人变成加一，然后这是t倍的根号下。t方，然后再加上二。j类目当中要注意一个问题点，你发现一个问题，这个t进去这个t是正的还是负的？这个t是小于零的。对，非常好，这是我们第一次课程讲的吧，就是求极限的，

第一次课程一个负号扔进开方数里面扔进去了之后，然后前面要添负号。我讲过这个事情吧，然后这个时候的话就变成了负的这个t趋向零负，然后这人是t方，然后这人是根号下一加上二倍的t方再减一。好了，同学们直接来等价，这就是t趋向零负，然后这是t方，然后你看这是二吧，写二分之一，这是正的吧，直接写二t方。然后这个结果就等于多少等于负一。

好，这题都做对了吗？我相信没有问题啊，应该是能做对，你看这是我们在这一题当中讲的这个第一种方法。那么，这个地方当中还有没有方法来做呢？我觉得还有我们继续再来看第二种方法，这个题非常好，一定要把这个题整理一下。这题很牛的。那么，在这里面当中，我们再来看看第二种方法。还能怎么做？

那么你发现你看这是无穷大。这也是无穷大，我可以把这里面当中卯给提出来。有人说啊，老师不是无穷大减，无穷大才能提毛发吗？不一定。提毛法是一种等价。就是恒等变形。不是等价提毛法，是恒等变形。那么，在这里面当中，我们好像还没有介绍这个题毛法，所以说这件事情你先听一下吧，

我们基础班再讲，我基础班会重点来讲题毛法，我忘了。这个我们三九六同学是零基础阶段，我们还没有讲这个题目法基础班的时候我们再讲啊，基础班我们会重点讲的。那么今天你就听一下就行好吧哎，你就听一下，那么在这里面当中，我们还有一种方式，我来把这里面当中的x方提出来。如果在这里面当中把x方提出来之后的话，你看这里面当中的这是根号，你就把x方提出去。提出去就变成了一加上x方分之二，

我给你写慢一点啊。然后这人是加x。听懂我的意思吗？然后这个时候你发现当s趋向负无穷的时候，那么这是x我问你个事情。把这个人一开是多少？这个人开方是x吗？不是的，这是负无穷，所以说这个人是负x。所以这是负s的话，这是一加上x方分之二，然后再来加上x。那这个时候你发现我就可以把这个x写出去了。s写出去就是x方，

然后提一个负号出去，然后这里面当中的第一个部分就写成多少就是根号下一，加上x方分之二减一。跟得上吗？当s趋向无穷大的时候，这块是不是零？能不能等价当然可以等价，因为这两项之间是乘法关系，乘法关系我就可以等价，那么这个次方数是二，那就写二分之一，然后这是正的就是正的，然后这个结果是负一。你看这种方法怎么样？非常好，

我觉得还挺不错的呀，这方法不是很棒吗？好，这又是一种方法。那么，接下来过程当中啊，我们继续还有没有方法呢？我们这里面当中还有。再来看看方法三。那么，在这节课的笔记啊，下去过程当中好好整理啊，自己的错题一定要整理到这个错题本当中，我希望每个同学都拥有这个错题本。对吧，

你自己整理一下这个错题本，那么接下来我们来看看这个题。那么，这个题还能怎么做？你发现看这虽然是无穷大，但其实它是负无穷啊，这项是正无穷，但是这项是负无穷。还是个无穷大减无穷大。你觉得呢？你前面是正的，后面是负的嘛？那么，在这里面当中，我还可以怎么做？

这是limits趋向于负无穷，你看这个部分是根号下x方加二。其实这个人是负的。你可以把这个人怎么写？你这个x是趋向于负无穷。那所以说这里面当中的根号x方式等于负x。因为根号x方是等于绝对值等于负x，所以这个人的话你怎么写？你得写成负的这个人。听懂了没？好听懂了给我回复。写到这儿，结束了点睛之笔，就在这儿，然后接下来我们就继续dis去向负穷，

然后怎么办？有理化，那这个时候呢？你看。上下同乘个x方，这个人这个根号加根号。然后上面这个人呢，就变成你的平方减你的平方，这是二有理化嘛，你的平方减你的平方。那这个时候同学们想一个事情，这是无穷大正无穷，加正无穷正无穷无穷，大比无穷，大的不一定是敢不敢抓到头，

当然敢这抓他这抓他这抓他。同学们告诉我，等于一吗？不是等于一，然后在这里面当中当s趋向负无穷的时候，这是二s这个人呢，是绝对值绝对值是负s绝对值是负s负一。这方法不错吧。你看这个题，所以我觉得这次考试啊，像这个题，它的核心重点就考的那个事情一定要注意一个问题，你就注意再注意。你给我标到笔记上根号x方是等于绝对值，不是等于x。

当我这个人是趋向于正的的时候，我就等于x我需要负的时候，我是小于零等于负x。就考了这个点。行吗？同学们好，我们稍微休息会儿可以吗？好休息会儿，一会儿我们再来讲，后半程好休息会儿吧呃，我相信这个。就算你都做对了，你听这个课程呢，你再听我讲这个卷子，我相信也很有收获。

不是吗？你发现你虽然是那样做的，但是我还能学习一些很多新的方法，我回顾很多这个新的知识点，我觉得也很挺好啊。好了，我们稍微休息会儿吧，一会儿我们继续。

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10.零基础考点精讲10-1

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